Equações diferenciais ordinárias não suaves autônomas e não autônomas

Clayton Eduardo Lente da Silva

Equações diferenciais ordinárias não suaves

autônomas e não autônomas

São José do Rio Preto

2016

Clayton Eduardo Lente da Silva

Equações diferenciais ordinárias não suaves

autônomas e não autônomas

Tese apresentada como parte dos requisitos

para obtenção do título de Doutor em

Matemática, junto ao Programa de

Pós-Graduação em Matemática, do Instituto de

Biociências, Letras e Ciências Exatas da

Universidade Estadual Paulista “Júlio de

Mesquita Filho”, Campus de São José do

Rio Preto.

Orientador: Prof. Dr. Paulo Ricardo da Silva

Silva, Clayton Eduardo Lente da.

Equações diferenciais ordinárias não suaves autônomas e não

autônomas / Clayton Eduardo Lente da Silva. -- São José do Rio

Preto, 2016

76 f. : il.

Orientador: Paulo Ricardo da Silva

Tese (doutorado) – Universidade Estadual Paulista “Júlio de

Mesquita Filho”, Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas

1. Matemática. 2. Teoria dos sistemas dinâmicos. 3. Geometria.

4. Topologia. 5. Filippov, Sistemas de. 6. Equações diferenciais

ordinárias. I. Silva, Paulo Ricardo da. II. Universidade Estadual

Paulista "Júlio de Mesquita Filho". Instituto de Biociências, Letras e

Ciências Exatas. III. Título.

CDU – 517.93

Clayton Eduardo Lente da Silva

Equações diferenciais ordinárias não suaves

autônomas e não autônomas

Tese apresentada como parte dos requisitos

para obtenção do título de Doutor em

Matemática, junto ao Programa de

Pós-Graduação em Matemática, do Instituto de

Biociências, Letras e Ciências Exatas da

Universidade Estadual Paulista “Júlio de

Mesquita Filho”, Campus de São José do

Rio Preto.

Comissão Examinadora

Prof. Dr. Paulo Ricardo da Silva

U

NESP – São José do Rio Preto

Orientador

Prof. Dr. Claudio Aguinaldo Buzzi

UNESP – São José do Rio Preto

Prof. Dr. Marcelo Messias

UNESP – Presidente Prudente

Prof. Dr. Marco Antônio Teixeira

UNICAMP – Campinas

Prof. Dr. Douglas Duarte Novaes

UNICAMP – Campinas

e aos meus avós,

Josias e Maria de Lourdes,

Leonardo e Maria José,

Aosprofessores doutores Paulo RiardodaSilvae AlainJaquemard, pelaorientação

eo-orientação, respetivamente.

Aosmeus paisRubens IzidorodaSilvaeSoniaMariaLentedaSilva,portodooapoio

proporionado.

À minha irmã Alessandra Renata Lente da Silva e ao meu sobrinho Miguel David

Lenteda Silva,peloarinho.

Aos meus amigos Carlos Custódio da Silva, Italo Antonio Rissi e Renan Eduardo

SoaresGonçalves, pela ompanhia einentivo de ada um a seu tempo emodo.

Aos professores doutores MárioRiardo AlvesGouveiae ClaudioGomesPessoa, por

algumasvaliosas disussões referentes aotrabalho.

Aos professores doutores Claudio Aguinaldo Buzzi e Apareida Franiso da Silva,

peloapoio.

Aos olegas da pós-graduação, Bruno Domiiano Lopes, Rubens Pazim Carnevarolo

Junior, Rodrigo Donizete Euzébio e Jaime Rezende de Moraes, pelos bons momentos e

frutíferas disussões.

Aos olegas e amigos que z na França, espeialmente Doglas Lubarino e Betânia

Medeiros, que onhei na Université de Bourgogne, e Josy Cardoso Roy e Joanie Sfay,

queonhei naidade de Dijon.

À CAPES, pelo auxílionaneiro.

Nesta tese estudamos sistemas dinâmios não suaves autnomos e não autnomos.

Consideramosiniialmentesistemas quadrátios positivamente limitadosautnomos

pla-narese damos ondiçõessobre os ampospara que osistema de Filippov orrespondente

seja limitado. Também estudamos uma lasse de sistemas quadrátios e provamos que,

sob algumasrestriçõesnos oeientes daparte linear,os sistemasde Filippov

relaiona-dossão limitados. Emseguida,onsideramossistemasnão autnomos edamosondições

paraaexistênia de soluçõesperiódias de umalasse de equações difereniaisordinárias

nãoautnomas. Porm,onsideramosequaçõesdifereniaisordináriasnãoautnomasde

segundaordemgenérias,relaionadasasistemasnãosuavesenãoautnomos,estudamos

ooneito de soluçãodestasequaçõesedamosondiçõesanalítiasquesão satisfeitaspor

soluçõestípias,omoassoluçõesdeslizantes,porexemplo. Auniidade desoluçõespara

estas equações tambémé estudada.

Palavras-have: Sistemas de Filippov, sistemas não suaves, ampos de vetores

des-ontínuos, equações difereniais ordinárias não suaves, equações difereniais ordinárias

por partes, sistemas limitados, ampos limitados,sistemas quadrátios, ampos

quadrá-tios, variedade de desontinuidade, soluçõesdeslizantes, soluções permanentes, soluções

In this thesis we study autonomous and non-autonomous non-smooth dynamial

sys-tems. We initially onsider planar autonomous positively bounded quadrati systems.

We give onditions on the vetor elds for that the orrespondent Filippov system be

bounded. We also study a lass of quadrati systems and we prove that, under some

restritions on the oeients of linear part, the related Filippov systems are bounded.

We then onsider non-autonomous systems and we give onditions for the existene of

periodi solutions of a ertain lass of non-autonomous ordinary dierential equations.

Finally we onsider generi non-autonomous seond order dierential equations and we

studythe onept of solutionofthese equationsand determineanalytialonditions that

are satisedby typialsolutions,sliding solutionsforinstane. Moreover, the uniqueness

of solutionsfor these equationsis studied.

Keywords: Filippovsystems, non-smooth systems, disontinuous vetor elds,

non-smoothordinarydierentialequations,pieewiseordinarydierentialequations,bounded

systems, bounded vetor elds, quadrati systems, quadrati vetor elds, sliding

Introdução 8

1 Sistemas de Filippov quadrátios e limitados no plano 16

1.1 Teoria introdutóriade sistemas de Filippov . . . 16

1.2 Camposde vetores quadrátios e limitadosnoplano . . . 22

1.3 Denições eresultados preliminares . . . 23

1.4 Resultados prinipais . . . 24

2 Soluções periódias de uma lasse de equações não autnomas 31 2.1 Denições eresultados preliminares . . . 32

2.2 A equação autnoma

y

′′

₊

_η

_sgn(

_y

_{) =}

_θy

. . . 35

2.2.1 O aso hiperbólio

θ >

0

. . . 35

2.2.2 O aso elíptio

θ <

0

. . . 37

2.2.3 O aso parabólio

θ

= 0

om

η <

0

. . . 40

2.3 A equação não autnoma

y

′′

₊

_η

_sgn(

_y

_{) =}

_θy

₊

_α

_sen(

_βt

₎

. . . 40

2.3.1 O aso hiperbólio

θ >

0

para

α

6

= 0

. . . 40

2.3.2 O aso elíptio ressonante

θ

=

−

β

2

para

α

6

= 0

. . . 49

2.3.3 O aso elíptio

−

β

2

₆

₌

_{θ <}

₀

para

α

6

= 0

. . . 53

2.3.4 O aso parabólio

θ

= 0

om

η <

0

para

α

6

= 0

. . . 59

3 Soluções deslizantes de equações de segunda ordem não-autnomas 63 3.1 Denições eresultados preliminares . . . 63

3.2 Correspondênia de uma D2DE om Sistemas de Filippov . . . 68

3.3 Soluçõesdeslizantes euniidade de soluções . . . 71

Sistemas dinâmios não suaves apareem em um grande número de problemas de

EngenhariaElétria,Meânia,SistemasBiológios,TeoriadeControle,TeoriadosJogos,

entreoutros. Alguns modelosdestesproblemas são desritos porumsistemade equações

difereniaisom lado direito dadoporpartes, de lasse

C

r

em ada parte,

r

>

1

:

x

′

=

Z

(

t, x

)

, t

_∈

R

, x

_∈

R

n

, n

_∈

N

_{\ {}

0

_}

.

(1)

Sistemasdotipo(1) são onstituídosporduas oumais zonas, quesão regidospor

ex-pressõesdistintasde

Z

emada umdeles. Trabalhamosapenas om duaszonas. Quando

o sistema em questão é autnomo, ou seja, independe de

t

, em ada um dos domínios

atuam diferentes ampos de vetores,

X

e

Y

. A fronteira omum entre estas duas zonas,

denotada por

Σ

, é hamada de variedade de desontinuidade. Há diferentes maneirasde

deniradinâmiadosistemaautnomosobre

Σ

,porémadotamosaonvençãodeFilippov

[1℄,razão pelaqualtaissistemastambémsão hamadossistemas de Filippov edenotados

simplesmentepor

Z

= (

X, Y

)

.

Oestudodesistemasdinâmiosnãosuavesérelativamentereenteemuitoesforçotem

sido empregado para veriar a validade e/ou adequação de resultados dateoria lássia

nesta novateoria.

No Capítulo 1, onsideramos preliminarmentesistemas quadrátios autnomos. Tais

sistemasforamdisutidos em uma das primeirasoasiões porBühel[2℄, atravésde uma

oleçãodeexemplos. Apareem,omomodelo,nateoriadeompetiçãoentreduasespéies

[3℄, porexemplo.

Conformeliteraturasobreoassunto[4,5,6℄,ossistemasqueestudamos sãoosdotipo

x

′

=

Ax

+

f

2

(

x

)

, x

∈

R

2

,

(2)

que os limitados para

t

>

0

são os que têm parte quadrátia, a menos equivalênia, na

forma





0

x

1

x

2





;





x

2

2

0





;





x

2

2

−

x

1

x

2

+

c x

2

2





,

|

c

|

<

2;

(3)

omdeterminadas restriçõesnos oeientes damatriz

A

(partelinear dosistema). Para

detalhessobretaisrestrições,onsultaroCapítulo1. Entendemosporlimitadopara

t

>

0

,

umsistemaemqueadaórbitapermanee emum onjunto ompato(paraadaórbita),

para todo

t

>

0

. A propriedade de um sistema ser limitado é de extrema importânia,

porexemplo, naanálise dadinâmiade resimento populaional [7℄, dentre outros.

Uma questão natural é onsiderar dois ampos limitados bidimensionais e distintos

X, Y

e perguntar se o sistemade Filippov resultante

Z

= (

X, Y

)

é limitado. A resposta

para talquestão énegativa,onforme observamos naFigura 1.

Σ

(a) Fluxode

X

.

Σ

(b) Fluxode

Y

.

Σ

() Fluxode

Z

= (

X, Y

)

.

Figura 1: Campos

X, Y

quadrátioslimitadosomSistemadeFilippov

Z

= (

X, Y

)

ilimitado.

Distinguimosem

Σ

,regiõesdeostura

Σ

c

,delize

Σ

s

eesape

Σ

e

,bemomooonjunto

de pontosnas quaisastrajetórias de quaisquerdos ampos

X, Y

tangeniamavariedade

dedesontinuidade,hamadoonjuntode pontosdetangênia

Σ

t

eoonjuntode

pseudo-equilíbrios

Σ

p

, onstituído por equilíbrios do ampo de Filippov

Z

s

, quando este existir. Taisonjuntosestão representados na Figura2.

A dinâmia navariedade de desontinuidade

Σ

é ruial para queo sistema não seja

limitado. Assim, o primeiro resultado do Capítulo 1 estabelee ondições suientes

sobre

Σ

para que o sistema de Filippov

Z

= (

X, Y

)

seja limitado, sendo

X, Y

ampos

bidimensionaisquadrátios e ada um deles limitado.

Resultado A. Seja

Z

= (

X, Y

)

o sistema de Filippov em que os ampos

X, Y

são

quadrátios limitados bidimensionais, uja variedade de desontinuidade

Σ

é o eixo

Σ

(a) Costura.

Σ

(b)Deslize.

Σ

() Esape.

Σ

(d) Tangênia.

Σ

(e) Pseudo-equilíbrio.

Figura2: Variedadededesontinuidade

Σ

representadaporregiõesdistintas. OampodeFilippov

Z

s

estádenido apenasemregiõesdedeslizeoudeesape.

limitados. Ver Teorema 1.4.1(página 25).

Agora, onsideramos

X, Y

ampos quadrátios, om parte quadrátia em uma das

formas dadas em (3) e om ondições sobre os oeientes da parte linear estabeleidas

em[6℄ (onsultar o Teorema1.2.1, página 22). Outra questão que surge é dar ondições

suientes sobreos oeientes das partes linearesde

X

e

Y

quegarantamque osistema

de Filippov

Z

= (

X, Y

)

sejalimitado:

Resultado B. Seja

Z

= (

X, Y

)

o sistema de Filippov em que os ampos

X, Y

são

quadrátioslimitadosbidimensionais,om parte quadrátia emumadas formas (3)eom

variedadededesontinuidade

Σ

dadapeloeixooordenadohorizontal. Exibimosondições

sobre

X

e

Y

para que

Z

seja limitado. Ver Teorema1.4.2 (página 26).

Osresultados do Capítulo1 já forampubliados em[8℄.

Nos demais apítulos da tese, trabalhamos om sistemas não autnomos, ou seja,

temosuma dependênia explíita davariável

t

, naequação (1).

O Capítulo 2 apresenta uma equação diferenial que é um importante modelo de

problema de ontrole automátio (ver [9℄, página 504, para maioresdetalhes):

y

′′

₊

_η

_sgn(

_y

_{) =}

_θy

₊

_α

_sen(

_βt

₎

(4)

aequação(4). Consideramosvaloresarbitráriosdosparâmetrosemostramosqueexistem

limitesexplíitos quegarantem a existêniade soluções periódias típias.

Iniiamos om o estudo de soluções da equação autnoma, em que não há o termo

forçante

α

sen(

βt

)

. Tal equação produz um sistema autnomo planar (

x

1

=

y

,

x

2

=

y

′

)

om a propriedade de reversibilidade para ampos de vetores desontínuos, introduzido

porJaquemard e Teixeira em [10℄. Obtemos, a depender dosinal de

η

, um ontínuo de

órbitasperiódias, onforme aFigura 3.

x

1

x

2

(a) Selasvisíveis,

η >

0

.

x

1

x

2

(b) Selasinvisíveis,

η <

0

.

Figura3: Retratosdefasedaequação(4) om

α

= 0

e

θ >

0

.

Quando a equação autnoma é perturbada por uma função real

t

7→

F

(

t

)

, ontínua

e

T

-periódia, uma questão natural é estudar a persistênia e o surgimento de soluções

periódias para anova equação. A Figura4 ilustra algumasdestas soluções.

t

y

(a) Soluções

kπ

-periódias para

distin-tosvaloresde

k

∈

N

∗

.

t

y

−

kπ

kπ

(b) Variação de

α

para uma

dadasoluçãoperiódia.

Figura 4: Soluçõesperiódiasdaequação(4)om

η >

0

e

θ >

0

.

ondulaçãoperiódia domar. A esolha dotermo forçante

α

sen(

βt

)

justia-sepor erta

propriedade de simetria, podendo-se tomar

F

omo uma função ímpar, e pela expansão

de

F

em série de Fourier, admitindo o primeiro termo desta série omo uma primeira

aproximação para talfunção.

A dinâmia daequação (4) é estudada em torno da origem, que éuma singularidade

típia de sistemas dinâmios não suaves. Por isso, onsideramos as ondições iniiais

y

(0) = 0

,

y

′

_{(0) =}

_ρ

. Quando

θ <

0

, mostramos que os asos

η >

0

e

η <

0

são similares. Jáse

θ

>

0

, adinâmia édrastiamentediferentequando

η

troa de sinal.

Admitimos

α

omooparâmetropara umafamíliade soluções. Variandoeste

parâme-tro, enontramos soluções que são e que não são periódias. Na sub-família de soluções

periódias, existe um limitante

α

∗

que, extrapolado, faz om que a solução pera a sua

periodiidade. Nagura 4(b) a soluçãoorrespondentea

α

∗

é a traejada.

Temos então, os prinipaisresultados doCapítulo 2,reunidos no enuniadoabaixo.

Resultado C. Considere a equação (4) om ondições iniiais

y

(0) = 0

,

y

′

_{(0) =}

_ρ

.

Para

η, θ

xos, enontramos ondições em

α

=

α

(

η, θ, ρ

)

para a existênia de soluções

periódias da equação (4) Ver Teorema (A), Teorema 2.3.1, Teorema 2.3.2, Teorema

2.3.3,Teorema2.3.4, Teorema2.3.5 e Teorema 2.3.6.

O estudo realizadono Capítulo 2 é uma omplementação dotrabalho feito em [11℄ e

gerouum artigo,uja referêniaé [12℄.

No Capítulo 3, onsideramos equações difereniais ordinárias de segunda ordem não

autnomasporpartes

x

′′

=

f

(

t, x, x

′

) =







f

1

(

t, x, x

′

)

se

h

(

t, x, x

′

₎

₆

₀

f

2

(

t, x, x

′

)

se

h

(

t, x, x

′

₎

_>

₀

,

(5)

sendo

f

1

,

f

2

,

h

funções reais de lasse

C

r

₋

1

,

r

>

2

. Analisamos o oneito de solução

destetipodeequaçãoedeterminamosondiçõesanalítiasquesãosatisfeitasporsoluções

típias. Alémdisso, aexistêniae uniidadede soluçõese soluçõesdotipodeslizante são

estudadas.

Aquestãoiniialdesteapítuloéompreenderoqueseentendeporsoluçãodaequação

(5). Considere, por exemplo,

h

(

t, x, x

′

_{) =}

_x

′

e

t

7→

x

i

(

t

)

a solução de

x

′′

₌

_f

i

(

t, x, x

′

)

tal

que

x

(

t

0

) = 0

,

x

′

₍

_t

0

) = 0

para

i

= 1

,

2

, onformea Figura5.

Noaso representado naFigura5(a), podemosompreender omosoluçãodaequação

t

x

t

0

x

2

x

2

x

1

x

1

(a)Soluçãoalternante.

t

x

t

0

x

2

x

2

x

1

x

1

(b) Soluçõesdeslizantes.

t

x

t

0

x

2

x

2

x

1

x

1

() Soluçõesalternantesou

permanentes.

Figura5: Algumaspossibilidadesdesoluçãodaequação(5)om

x

(

t

0) =

x

′

₍

_t

_{0) = 0}

.

deste tipo é hamada de solução alternante ou de troa. Já no aso da Figura 5(b),

quando

t

>

t

0

temos uma impossibilidade tanto para

x

1

quanto para

x

2

. Nesse aso,

onsideramosasoluçãode

x

′

_{= 0}

atéqueuma das impossibilidadessejavenida. Quando

istooorre,dizemosqueasoluçãoédeslizante oude deslize. NaFigura5() temosoutras

possibilidades,emqueasoluçãopodeounãoalternardeuma paraoutra. Se nãoalterna,

dizemosque asolução épermanente.

Os últimos dois asos da Figura 5 mostram que o problema não tem uniidade de

soluções. E istooorre apenasempontosdaurva soluçãopara osquais

h

(

t, x, x

′

_{) = 0}

,o

quetorna importanteaanálise de tal urva.

Oonjunto defunçõesdifereniáveisquesatisfazema equaçãoimplíita

h

(

t, x, x

′

_{) = 0}

éhamadoonjunto desontinuidade daequação (5).

Muitos estudos [11, 13, 14, 15, 16℄ lidam om o problema de determinar soluções

periódias deste tipo de equação em que

h

(

t, x, x

′

_{) =}

_x

₋

_g

₍

_t

₎

para alguma função

g

de

lasse

C

1

. Todavia, as soluções obtidas neste aso (omo as do Capítulo 2) não são do

tipodeslizante, que são as onsideradas neste apítulo.

Nostrabalhos[17,18,19℄osautoresonsideraramumasopartiularde(5),oosilador

om atrito(verFigura 6)desrito pelaequação

x

′′

+

x

+

F

sgn(

x

′

) =

γ

sen(

ωt

)

(6)

em que os parâmetros

F, γ, ω

são onstantes reais que orrespondem, respetivamente,

à intensidade da frição, amplitude e frequênia do termo forçante. O onjunto de

des-ontinuidade, que é dado por soluções de

x

′

_{= 0}

, orresponde siamente à ausênia de

movimentonoosilador.

As soluções da equação (6) podem ser tais que

x

′

_<

₀

ou

x

′

_>

₀

atrito atrito

x

= 0

termoforçante

F

Figura 6: Osiladoromatrito.

tereira possibilidade

x

′

_{= 0}

na qual a solução pode estaionar por algum instante de

tempo. Otermoestaionar podeser entendidoomodeslizar noontexto doCapítulo

3 e signia que a solução satisfaz para algum intervalo de tempo, a equação implíita

h

(

t, x, x

′

_{) = 0}

. Provamos então oprimeiroresultado do Capítulo3,quedá uma ondição

neessária para aexistênia de soluçõesdeslizantes:

Resultado D. Sejam

I

⊂

R

e

U

⊂

R

2

abertos. Considere

x

:

I

→

R

uma função

duas vezes difereniável e

h

:

I

×

U

→

R

uma função de lasse

C

k

,

k

>

1

, sendo

0

um

valor regular de

h

. Se o onjunto

H

x

=

{

t

∈

I

|

h

(

t, x

(

t

)

, x

′

₍

_t

_{)) = 0}

_}

tem medida positiva

entãoexiste

t

∗

_∈

_H

x

tal que

h

x

′

(

t

∗

_{, x}

₍

_t

∗

₎

_{, x}

′

₍

_t

∗

₎₎

₆

_{= 0}

. VerProposição3.1.1(página64).

Este resultado diz que se

h

x

′

≡

0

então

H

x

tem medida nula, ou seja, as soluções

daequação (5) não são deslizantes. Isto oorre om as soluções da equação estudada no

Capítulo 2, já que

h

(

t, x, x

′

_{) =}

_x

. Em seguida, damos ondições suientes para uma

soluçãoser dotipodeslizante:

Resultado E. Considere a equação (5) e

p

= (

t

0

, x

0

, x

′

0

)

∈

I

×

U

tal que

h

(

p

) = 0

e

h

x

′

(

p

)

6

= 0

. Se

min

i

=1

,

2

{

f

i

(

p

)

}

<

−

h

t

(

p

) +

x

′

0

h

x

(

p

)

h

x

′

(

p

)

<

max

i

=1

,

2

{

f

i

(

p

)

}

então uma solução

x

(

t

)

que satisfaz

x

(

t

0

) =

x

0

e

x

′

₍

_t

0

) =

x

′

0

é uma solução deslizante e

q

= (

t

0

, x

0

)

é um ponto de deslizeno gráo de

x

. Teorema 3.3.1 (página71).

Aonal do Capítulo3,damos ondições para oproblema ter uniidade de soluções:

Resultado F. Considere a equação (5) satisfazendo

x

(

t

0

) =

x

0

e

x

′

0

(

t

0

) =

x

′

0

.

De-terminamosondições para a existênia e uniidade loalde soluções de (5). Teorema

Sistemas de Filippov quadrátios e

limitados no plano

Estudamos neste apítulo sistemas de Filippov

Z

= (

X, Y

)

quadrátios

bidimensio-nais. Damosondições para quetaissistemas sejampositivamentelimitados.

Nasduas primeirasseçõesabordamos de modointrodutórioa teoriade Filippov para

amposde vetoresdesontínuos e apresentamos resultados onheidossobre ampos

qua-drátios,dateoria lássia.

Após a parte introdutória desrita no parágrafo anterior, apresentamos denições e

oneitos preliminarespara, enm, enuniar edemonstrar os resultados prinipais.

1.1 Teoria introdutória de sistemas de Filippov

Sejam

Ω

um aberto de

R

n

om fehoompato e

Σ

uma subvariedade mergulhadade

odimensão

1

de

R

n

dada por

Σ =

h

−

1

₍₀₎

, em que

h

: Ω

⊂

R

n

→

R

é uma função de

lasse

C

r

,

r

>

1

. Admita que

0

é um valorregularde

h

, ouseja, ovetor gradiente de

h

é não nuloem ada pontoda variedade de odimensão 1:

∇

h

(

x

)

6

= 0

∈

R

n

,

∀

x

∈

h

−

1

₍₀₎

.

Denote por

X

n,r

_(Ω)

aoonjuntode ampos de vetores sobre

Ω

⊂

R

n

, de lasse

C

r

. Ao

esrevermos

r

,a subentendida a ondição

r

>

1

.

Considereosonjuntos

Σ

−

₌

_h

−

1

₍₍

_−∞

_,

_0])

e

Σ

+

₌

_h

−

1

_([0

_,

₊

_∞

₎₎

,dadospelasimagens

inversas dos referidos intervalos pela função

h

. A fronteira omum destes onjuntos é a

Denição1.1.1. Sejam

X, Y

∈

X

n,r

_(Ω)

. Umampodevetoresdesontínuosobre

Ω

⊂

R

n

é uma apliação

Z

(

x

) =







X

(

x

)

se

x

∈

Σ

−

Y

(

x

)

se

x

∈

Σ

+

.

(1.1)

O onjunto de ampos de vetores desontínuos sobre um aberto

Ω

de

R

n

é denotado

por

X

n,r

_(Ω

_{, h}

₎

. A variedade

Σ =

h

−

1

₍₀₎

é hamada de variedade de desontinuidade.

Observe que

Z

|Σ

−

=

X

,

Z

|Σ+

=

Y

e

Σ = Σ

−

_∩

_Σ

+

.

Denição 1.1.2. Um sistema de equações difereniais ordinárias de primeira ordem

x

′

=

Z

(

x

)

(1.2)

em que

Z

∈

X

n,r

_(Ω

_{, h}

₎

, om as onvenções de Filippov [1℄, é hamado de sistema de

Filippov e é denotado simplesmente por

Z

= (

X, Y

)

.

Apesar de já itado na observação aima, o termo órbita de um sistema de Filippov

aree de um entendimento mais laro, uma vez que não estamos na presença de

onti-nuidades e das ondições de Lipshitz. Foi Filippov [1℄ quem sistematizou o oneito de

órbitasparataissistemas. Suaideiafoidarregras,onheidasomoonvençõesde

Filip-pov, paraa transição de órbitasentre asregiões

Σ

−

e

Σ

+

passando atravésdavariedade

de desontinuidade

Σ

e,também, para a permanênia das órbitasna mesma. São três as

onvençõesdeFilippov,umapara adatipodeação dosamposdistintos

X, Y

∈

X

n,r

_(Ω)

navariedade de desontinuidade

Σ

.

As ações dos ampos na variedade de desontinuidade se dá em termos dos ângulos

formados por ada ampo om o vetor gradiente da variedade. Consideramos então as

derivadas de Lieemum ponto

x

∈

Σ =

h

−

1

₍₀₎

:

X

i

h

(

x

) =

h

X

i

(

x

)

,

∇

h

(

x

)

i

,

X

i

j

h

(

x

) =

h

X

i

(

x

)

,

∇

X

i

j

−

1

h

(

x

)

i

, j

>

2

,

para

1

6

i

6

2

,om

X

1

=

X

,

X

2

=

Y

,

X

1

i

h

=

X

i

h

e

h

., .

i

o produtointernousual em

R

n

.

Distinguimosna variedade de desontinuidade

Σ

asseguintes regiões:

(i)

Σ

c

é uma região de ostura se

Xh

·

Y h >

0

em

Σ

;

(ii)

Σ

d

é uma região de deslize se

Xh >

0

e

Y h <

0

em

Σ

;

Emuma região de ostura onveniona-se que uma órbita de

Z

= (

X, Y

)

que ontém

umponto

x

∈

Σ

éompostaporumaórbitadoampoque atingeavariedade

Σ

noponto

x

e por uma órbita do ampo que deixa a variedade

Σ

no mesmo ponto

x

. Tal órbita

ruza

Σ

, daío nome de ostura. Vera Figura1.1.

Σ

c

=

{

x

∈

Σ

|

Xh

(

x

)

·

Y h

(

x

)

>

0

}

∇

h

(

x

)

∇

h

(

x

)

x

x

X

1

(

x

)

X

1

(

x

)

X

2

(

x

)

X

2

(

x

)

Σ

Σ

Figura 1.1: Um ponto

x

de ostura para

n

= 3

em uma variedade de desontinuidade que é uma superfíiededimensão2:

X

1

h

(

x

)

, X

2

h

(

x

)

>

0

(àesquerda)e

X

1

h

(

p

)

, X

2

h

(

p

)

<

0

(àdireita).

Aonvençãoemumaregiãode deslizeédeque ambasasórbitasdosdistintosampos

X, Y

atigem a variedade

Σ

no ponto

x

. Quando isto oorre, surge uma tereira órbita

quepermanee em

Σ

, daí onome de deslize.

Σ

d

=

{

x

∈

Σ

|

Xh

(

x

)

>

0

, Y h

(

x

)

<

0

}

Jáemuma regiãode esapeaonvençãoé queambas asórbitasdos distintosampos

X, Y

deixamavariedade

Σ

noponto

x

,daíonomedeesape. Porquestãodeonsistênia

matemátiarelaionada aouxo regressando notempo, onsidera-seuma tereiraórbita

quetambémpermanee em

Σ

.

Σ

e

=

{

x

∈

Σ

|

Xh

(

x

)

<

0

, Y h

(

x

)

>

0

}

A Figura1.2 ilustraas duas situações aimamenionadas.

Tanto em

Σ

d

quanto em

Σ

e

dene-se um ampo que é tangente à variedade

Σ

e que

∇

h

(

x

)

∇

h

(

x

)

x

x

X

1

(

x

)

X

1

(

x

)

X

2

(

x

)

X

2

(

x

)

Σ

Σ

Figura1.2: Umponto

x

dedeslize(àesquerda)edeesape(àdireita)para

n

= 3

emumavariedadede desontinuidadequeéumasuperfíiededimensão2:

X

1

h

(

p

)

>

0

,

X

2

h

(

p

)

<

0

(àesquerda)e

X

1

h

(

p

)

<

0

,

X

2

h

(

p

)

>

0

(àdireita).

Denição 1.1.3. Um ampo de vetores deslizante assoiado a

Z

= (

X, Y

)

é um ampo

n

-dimensional

Z

s

sobre

Σ

s

= Σ

d

∪

Σ

e

que é tangentea

Σ

, denido por

Z

s

(

x

) =







Z

e

(

x

) =

p

−

x

se

x

∈

Σ

e

Z

d

(

x

) =

−

(

−

Z

)

e

(

x

)

se

x

∈

Σ

d

,

onde

p

é o ponto do segmento queliga

x

+

X

(

x

)

a

x

+

Y

(

x

)

tal que

p

−

x

é tangentea

Σ

.

A Figura1.3 ilustraum ampo deslizante.

∇

h

(

x

)

x

X

1

(

x

)

X

2

(

x

)

Z

s

(

x

)

Σ

Figura 1.3: Umampodevetoresdeslizante

Z

s

emumponto

x

∈

Σ

s

.

Observação 1.1.1. Em regiões de ostura não há ampo deslizante. Este apenas está

denido em pontos ujo produto das derivadas de Lie é negativo:

Xh

(

x

)

·

Y h

(

x

)

<

0

.

Ospontosdavariedadededesontinuidade

Σ

sãolassiadosdamaneiraquesesegue.

•

x

_∈

Σ

c

ou

•

x

_∈

Σ

s

e

Z

s

(

x

)

6

= 0

∈

R

n

.

Ospontosde

Σ

quenãosãoregularessãohamadosdepontossingulares. Distinguimos

dois subonjuntos doonjunto de pontos singulares, a saber:

Σ

p

e

Σ

t

. Um ponto

x

∈

Σ

p

éhamadode pseudo-equilíbriode

Z

eéaraterizadopor

Z

s

(

x

) = 0

. Umponto

x

∈

Σ

t

é

hamadode tangênia de

Z

e éaraterizado por

Xh

(

x

)

·

Y h

(

x

) = 0

(neste aso

x

é um

pontode ontato tangenteentre asórbitas de

X

e/ou

Y

om

Σ

).

As singularidades típias de um sistema de Filippov são os pontos

x

∈

Σ

que são

pseudo-equilíbriosde

Z

(equilíbriosdo ampodeslizante) ou astangênias:

•

x

_∈

Σ

s

tal que

Z

s

(

x

) = 0

∈

R

n

ou

•

x

_∈

Σ

talque

Xh

(

x

)

·

Y h

(

x

) = 0

.

Para umdadoampo

W

∈

X

n,r

_(Ω)

,dizemosque

m

éaordemde ontato darespetiva

órbita

Γ

W

om a variedade

Σ

, em

x

, se

W

k

_h

₍

_x

_{) = 0}

,

∀

k

= 0

, . . . , m

−

1

e

W

m

_h

₍

_x

₎

₆

_{= 0}

.

Para

W

=

X

(respe.

Y

), dizemos que

x

∈

Σ

é uma tangênia invisível se a ordem de

ontato

m

de

Γ

X

(respe.

Γ

Y

)passando por

x

épare

X

m

_h

₍

_x

₎

_>

₀

(respe.

Y

m

_h

₍

_x

₎

_<

₀

).

Dizemos que

x

∈

Σ

é uma tangênia visível, para

W

=

X

(respe.

W

=

Y

), se a ordem

de ontato

m

de

Γ

X

(respe.

Γ

Y

) passando por

x

éímpar apenas ouépar e

X

m

_h

₍

_x

₎

_<

₀

(respe.

Y

m

_h

₍

_x

₎

_>

₀

). A Figura 1.4ilustra um ponto de tangênia visível om ontato

de ordem par.

∇

h

(

x

)

∇

h

(

x

)

x

x

X

1

(

x

)

X

1

(

x

)

X

2

(

x

)

X

2

(

x

)

Σ

Σ

Figura 1.4: Um ponto

x

∈

Σ

de tangênia visível, onde

X

2

h

(

x

) = 0

(à esquerda) e

X

1

h

(

x

) = 0

(à direita). Oponto

x

temordemdeontatoparom

Σ

.

Seja

W

∈

X

n,r

_(Ω)

. Denotamos o uxo de

W

por

φ

W

(

t, x

)

. Então







d

dt

φ

W

(

t, x

) =

W

(

φ

W

(

t, x

))

,

φ

W

(0

, x

) =

x,

emque

t

∈

I

=

I

(

x, W

)

⊂

R

,

I

um intervaloque depende de

p

e

W

.

Denição1.1.4. Seja

V

umavizinhançade

x

∈

Σ

em

Ω

⊂

R

n

. Umaórbitaloal

φ

Z

(

t, x

)

de um ampo de vetores de Filippov é denido da seguintemaneira, onde

φ

Z

(0

, x

) =

x

:

•

Para

x

∈

Σ

−

_\

_Σ

e

x

∈

Σ

+

_\

_Σ

, a órbita loal é dada por

φ

Z

(

t, x

) =

φ

X

(

t, x

)

e

φ

Z

(

t, x

) =

φ

Y

(

t, x

)

, respetivamente, om

t

∈

I

.

•

Para

x

∈

Σ

c

tal que

Xh

(

x

)

>

0

e

Y h

(

x

)

>

0

, a órbita loal é dada por

φ

Z

(

t, x

) =

φ

X

(

t, x

)

para

t

∈

I

∩ {

t

6

0

}

e

φ

Z

(

t, x

) =

φ

Y

(

t, x

)

para

t

∈

I

∩ {

t

>

0

}

. Para o aso

Xh

(

x

)

<

0

e

Y h

(

x

)

<

0

a denição é a mesma, invertendoo tempo.

•

Para

x

∈

Σ

e

, a órbita loal é dada por

φ

Z

(

t, x

) =

φ

Z

s

(

t, x

)

para

t

∈

I

∩ {

t

6

0

}

e

φ

Z

(

t, x

)

é umadas órbitas

φ

X

(

t, x

)

,

φ

Y

(

t, x

)

ou

φ

Z

s

(

t, x

)

para

t

∈

I

∩ {

t

>

0

}

. Para

x

_∈

Σ

d

a denição é a mesma,porém invertendoo tempo.

•

Para

x

∈

Σ

t

, a órbita loal é dada por

φ

Z

(

t, x

) =

φ

1

(

t, x

)

para

t

∈

I

∩ {

t

6

0

}

e

φ

Z

(

t, x

) =

φ

2

(

t, x

)

para

t

∈

I

∩ {

t

>

0

}

, onde

φ

1

,

φ

2

é uma das órbitas

φ

X

,

φ

Y

ou

φ

Z

s

.

•

Para

x

∈

Σ

p

, a órbita loal é dada por

φ

Z

(

t, x

) =

x

para todo

t

∈

I

.

Denição 1.1.5. Uma órbita global

Γ

Z

(

t, x

)

de

Z

∈

X

n,r

_(Ω

_{, h}

₎

tal que

Γ

Z

(0

, x

) =

x

é a união

Γ

Z

(

t, x

) =

[

i

_∈

Z

{

σ

i

(

t, x

i

)

|

t

i

6

t

6

t

i

+1

}

,

de órbitas loais

σ

i

(

t, p

i

)

, preservando orientação e satisfazendo

σ

i

(

t

i

+1

, p

i

) =

σ

i

+1

(

t

i

+1

, p

i

+1

) =

p

i

+1

e

t

i

→ ±∞

para

i

→ ±∞

. Uma órbita global é dita positiva (respe. negativa) se

i

∈

N

Nesta seção fazemos breves onsiderações sobre ampos quadrátios e limitados no

plano. Para estudos detalhadosindiamosos trabalhos [4,5, 6,7℄.

Denição 1.2.1. Seja

X

∈

X

n,r

_(Ω)

. Um sistema de equações difereniais ordinárias de

primeira ordem autnomo

x

′

₌

_X

₍

_x

₎

(ou apenas o ampo

X

) é dito limitado se ada

órbitapermanee emum ompato para

t

>

0

. Casoontrário, o sistema (ou o ampo) é

dito ilimitado.

Considere um sistema de equações difereniais ordinárias autnomo planar, sendo a

origem

(0

,

0)

um pontode equilíbrio:

x

′

=

Ax

+

f

2

(

x

)

,

(1.3)

em que

x

= (

x

1

, x

2

)

∈

R

2

,

A

= (

a

ij

)

2

×

2

é uma matriz om oeientes reais onstantes,

f

2

(

x

) = (

P

(

x

)

, Q

(

x

))

6≡

0

∈

R

2

,

P

(

x

) =

ax

2

1

+

bx

1

x

2

+

cx

2

2

e

Q

(

x

) =

dx

2

1

+

ex

1

x

2

+

f x

2

2

om

a

,

b

,

c

,

d

,

e

,

f

onstantes reais taisque

a

2

₊

_b

2

₊

_c

2

₆

_{= 0}

e

d

2

₊

_e

2

₊

_f

2

₆

_{= 0}

.

Dentre estes sistemasé sabido (ver [5, 6℄)que, a menos de equivalênia, os limitados

(para

t

>

0

) são os que têm parte quadrátia na forma

f

2

(

x

) = (0

, x

1

x

2

)

,

f

2

(

x

) = (

x

2

2

,

0)

ou

f

2

(

x

) = (

x

2

2

,

−

x

1

x

2

+

cx

2

2

)

om

|

c

|

<

2

erestriçõessobre os oeientes da matriz

A

:

Teorema 1.2.1. Seja

x

′

₌

_Ax

₊

_f

2

(

x

)

um sistema quadrátio autnomo planar, om um

ponto de equilíbrio na origem

(0

,

0)

, om parte quadrátia omo aima e om ondição

iniial

x

(0) =

x

0

.

(a) Se

f

2

(

x

) = (

x

1

x

2

+

x

2

2

, x

2

2

)

, então o sistema tem uma órbita ilimitada (quando

t

→

∞

) para algum

x

0

∈

R

2

.

(b) Se

f

2

(

x

) = (0

, x

1

x

2

)

, então o sistema tem todas as suas órbitas limitadas (para

t

>

0

) se, e somente se,

a

12

= 0

,

a

11

<

0

e

a

22

6

0

.

() Se

f

2

(

x

) = (

x

2

2

,

0)

, então o sistema tem todas as suas órbitas limitadas(para

t

>

0

) se,e somente se,

a

21

= 0

,

a

11

6

0

,

a

22

6

0

e

a

11

+

a

22

<

0

.

(d) Se

f

2

(

x

) = (

x

2

2

,

−

x

1

x

2

+

cx

2

2

)

, então o sistema tem todas as suas órbitas limitadas (para

t

>

0

) se, e somente se,

|

c

|

<

2

e satisfaz uma das seguintes ondições: (i)

a

11

<

0

; (ii)

a

11

= 0

e

a

21

= 0

; ou (iii)

a

11

= 0

,

a

21

6

= 0

,

a

12

+

a

21

= 0

e

Denotamos por

Q

2

_(Ω)

_⊂

_X

2

,r

_(Ω)

ao onjunto de ampos de vetores quadrátios

pla-nares.

1.3 Denições e resultados preliminares

Denição 1.3.1. Um sistema de Filippov

Z

= (

X, Y

)

(ou um ampo desontínuo) é

quadrátio se os ampos

X, Y

são quadrátios.

Denição 1.3.2. Um sistema de Filippov (ou um ampo desontínuo)

Z

= (

X, Y

)

é

limitado se todas as suas órbitas globais permaneem em um ompato para

t

>

0

. Caso

ontrário,

Z

= (

X, Y

)

é dito ilimitado.

A partir de agora, onsideraremos avariedade de desontinuidade

Σ =

_{

(

x

1

, x

2

)

|

x

2

= 0

}

.

A primeiraquestão quesurge é a seguinte:

X, Y limitados

=

_⇒

Z

= (

X, Y

)

limitado

?

A proposiçãoabaixo nos dizque aresposta, emgeral, é negativa.

Proposição 1.3.1. Existem ampos

X, Y

∈ Q

2

limitados tal que

Z

= (

X, Y

)

não é

limitado.

Demonstração. Considere

h

(

x

1

, x

2

) =

x

2

e

Z

= (

X, Y

)

dado por

X

(

x

1

, x

2

) = (2 + 3

x

2

+

x

2

2

,

−

1

−

x

2

)

e

Y

(

x

1

, x

2

) = (

−

1 +

x

2

2

,

2

−

2

x

2

)

.

Apliando o item () do Teorema 1.2.1, onluímos que

X

e

Y

são limitados. A

variedade

Σ

, formada pelos pontos

(

x

1

,

0)

, é tal que

Σ = Σ

d

e o ampo deslizante é

Z

s

(

x

1

,

0) = (1

,

0)

. Este ampo não tem equilíbrio e sua órbita é ilimitada. Portanto

Z

= (

X, Y

)

é ilimitado.

Denotamos por

Q

2

_(Ω

_{, h}

₎

ao onjunto de ampos de vetores desontínuos quadrátios

−

2

2

_Σ

Figura1.5: Umaórbita global ilimitada de

Z

= (

X, Y

)

passando por pontos de ostura,

om

X

e

Y

limitados.

Sejam

x

= (

x

1

, x

2

)

,

p

= (

p

1

, p

2

)

,

q

= (

q

1

, q

2

)

pontos de

R

2

e onsidere

A

= (

a

ij

)

2

×

2

,

B

= (

b

ij

)

2

×

2

e

f

2

, g

2

dadas omo em(1.3).

Avariedade de desontinuidadenesteapítuloéaurva(dimensão 1)em

R

2

dadapor

Σ =

h

−

1

(0)

om

h

(

x

1

, x

2

) =

x

2

. O sistema de Filippov

Z

= (

X, Y

)

onsiderado é

Z

(

x

) =







X

(

x

) =

A

(

x

−

p

) +

f

2

(

x

−

p

)

se

x

2

>

0

Y

(

x

) =

B

(

x

₋

q

) +

g

2

(

x

−

q

)

se

x

2

6

0

.

(1.4)

Jámenionamosque ofato de

X, Y

seremamposquadrátios limitadosnão é

sui-entepara que

Z

= (

X, Y

)

seja limitado. O exemplo onsiderado nos deu a ilimitaçãona

regiãode deslize

Σ

d

. Porém,

Z

= (

X, Y

)

tambémpode ser ilimitadoom órbitas globais passando apenas por regiões de ostura

Σ

c

.

Segunda demonstração da Proposição1.3.1. Considere o ampo

Z

∈ Q

2

_(Ω

_{, h}

₎

dado por

Z

(

x

1

, x

2

) =















































0 0

0 1









x

1

−

1

x

2

+ 1





+





(

x

2

+ 1)

2

−

(

x

1

−

1)(

x

2

+ 1)





se

x

2

>

0

,





0 0

0 1









x

1

+ 1

x

2

−

1





−





(

x

2

−

1)

2

−

(

x

1

+ 1)(

x

2

−

1)





se

x

2

6

0

.

.

Os pontos das retas

x

2

=

−

1

e

x

2

= 1

são equilíbrios de

X

e

Y

, respetivamente.

Temos

Σ

t

=

{−

2

,

2

}

,

Σ

e

=

{

(

x

1

, x

2

)

∈

R

2

_{| −}

₂

_{< x}

1

<

2

}

e

Σ

c

=

{

(

x

1

, x

2

)

∈

R

2

_|

_x

1

<

−

2

ou

x

1

>

2

}

. O ampo deslizante

Z

s

é limitado porém o ampo desontínuo

Z

é

ilimitado. A Figura1.5ilustra esta situação.

1.4 Resultados prinipais

O primeiro resultado deste apítulo estabelee ondições suientes sobre os ampos

sejalimitado,onde

X, Y

são ampos quadrátios elimitados.

Teorema 1.4.1. Seja

Z

= (

X, Y

)

∈ Q

2

_(Ω

_{, h}

₎

om

X, Y

limitados e

h

(

x

1

, x

2

) =

x

2

.

(a) Se

Σ = Σ

s

, ou a ardinalidade de

Σ

t

(denotada por

#Σ

t

)

é 1 e

Σ

s

é ilimitado, ou

#Σ

t

>

2

e

Σ

c

é limitado, então

Z

é limitado se, e somente se, o ampo

unidi-mensional

Z

∗

s

identiado ao ampo deslizante

Z

s

é tal que

Z

∗

s

(

x

1

)

6

0

próximo de

x

1

= +

∞

e

Z

∗

s

(

x

1

)

>

0

próximo de

x

1

=

−∞

.

(b) Se

Σ = Σ

c

então

Z

= (

X, Y

)

é limitado.

Demonstração. (a) Suponha que

Σ = Σ

s

. Então, o ampo deslizante

Z

s

é identiado

a um ampo unidimensional

Z

∗

s

. Portanto

Z

é limitado se, e somente se,

Z

∗

s

(

x

1

)

6

0

próximo de

x

1

= +

∞

e

Z

∗

s

(

x

1

)

>

0

próximo de

x

1

=

−∞

. Seja

#Σ

t

= 1

e

Σ

s

ilimitado. Denote

(

x

t

_,

₀₎

_∈

_Σ

t

. A únia possibilidade de

Z

s

ser ilimitado aontee em regiões de

deslize ou esape pois se

Z

tem uma órbita global ilimitada passando pela região de

ostura

Σ

c

, neessariamente existem pelo menos dois pontos distintos

(

z,

0)

e

(

w,

0)

de

Σ

c

om

Xh

(

z,

0)

, Y h

(

z,

0)

>

0

e

Xh

(

w,

0)

, Y h

(

w,

0)

<

0

. Logo, existe

y

t

₆

₌

_x

t

tal que

Xh

(

y

t

_,

₀₎

_·

_{Y h}

₍

_y

t

_,

_{0) = 0}

, o que não é possível pois

#Σ

t

= 1

. No último aso,

#Σ

t

>

2

e

Σ

c

limitado,a demonstração é análogaaos asos anteriores.

(b)Se

Σ = Σ

c

entãoaúniapossibilidadedeumaórbitaglobalserilimitadaaonteese

elaontiverpelomenosdoispontosdistintosde

Σ

c

. Assim,existe

x

1

talque

Xh

(

x

1

,

0) = 0

ou

Y h

(

x

1

,

0) = 0

e, portanto,

Σ

t

6

=

∅

, o que é impossível pois

Σ = Σ

c

. Portanto

Z

é

limitado.

Consideremos agora

Z

= (

X, Y

)

onde

X

(respe.

Y

) é dado por

Ax

+

f

2

(

x

)

(respe.

Bx

+

g

2

(

x

)

)omo noTeorema1.2.1 itens

(

b

)

,

(

c

)

ou

(

d

)

. Seja

Q

p

i

=

{

F

i

∈

X

2

,r

(Ω)

|

F

i

(

x

) =

A

(

i

)

(

x

−

p

) +

f

(

i

)

2

(

x

−

p

)

}

para

i

= 1

, . . . ,

5

oonjuntode ampo de vetores quadrátios que satisfazemas seguintes ondições

A

(1)

_{= (}

_a

ij

)

2

×

2

om

a

11

<

0

, a

12

= 0

, a

22

6

0

;

A

(2)

_{= (}

_a

ij

)

2

×

2

om

a

11

6

0

, a

21

= 0

, a

22

6

0

, a

11

+

a

22

<

0

;

A

(3)

_{= (}

_a

ij

)

2

×

2

om

a

11

<

0

;

A

(4)

_{= (}

_a

ij

)

2

×

2

om

a

11

=

a

21

= 0

;

A

(5)

_{= (}

_a