EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL
LEANDRO SOUZA CANAVEZI
UMA PROPOSTA LÚDICA COM UTILIZAÇÃO DO GEOGEBRA PARA O ESTUDO DE FUNÇÕES QUADRÁTICAS E PROBABILIDADE GEOMÉTRICA
EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL
LEANDRO SOUZA CANAVEZI
UMA PROPOSTA LÚDICA COM UTILIZAÇÃO DO GEOGEBRA PARA O ESTUDO DE FUNÇÕES QUADRÁTICAS E PROBABILIDADE GEOMÉTRICA
Dissertação de mestrado profissional apresentada ao Programa de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional (PROFMAT) como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Matemática.
Orientador: Prof. Dr. Paulo A. S. Caetano
Ficha catalográfica elaborada pelo DePT da Biblioteca Comunitária UFSCar Processamento Técnico
com os dados fornecidos pelo(a) autor(a)
C213p
Canavezi, Leandro Souza
Uma proposta lúdica com utilização do GeoGebra para o estudo de funções quadráticas e probabilidade geométrica / Leandro Souza Canavezi. -- São Carlos : UFSCar, 2016.
151 p.
Dissertação (Mestrado) -- Universidade Federal de São Carlos, 2016.
1. Funções quadráticas. 2. Probabilidade
“Não há ramo da matemática, por mais abstrato que seja, que não possa um dia vir a ser aplicado aos fenômenos do mundo real.”
Lobachevsky
“A matemática, quando a compreendemos bem, possui não somente a verdade, mas também a suprema beleza.”
A Deus, em primeiro lugar, pelas bênçãos e pela força que me faz seguir adiante todos os dias.
À minha esposa, pelo apoio, incentivo e paciência, fundamentais para que eu pudesse dedicar-me aos estudos e concluir o curso de mestrado.
Ao meu filho, por alegrar-me todos os dias e ser uma das razões pela qual sigo adiante.
À minha família (também sogro, sogra, cunhados e outros), pelo apoio dado sempre que possível e por sempre me desejarem o bem.
Ao meu pai, André (em memória), por ter cuidado tão bem de mim.
Ao professor Paulo Antônio Silvani Caetano, pelo apoio na orientação deste trabalho.
Aos professores do Programa de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional do polo UFSCar (PROFMAT), pela seriedade e competência com as quais ministraram todo o curso.
À CAPES, pela bolsa de estudos, fundamental para a conclusão do curso e deste trabalho.
Aos meus colegas de turma, sem dúvida grandes professores que contribuem para, além de ensinar matemática, iluminar a vida de seus alunos; por nossa união e pelo curto, mas muito proveitoso, tempo de convivência.
Ao meu amigo Georges, companheiro de curso, pelo apoio e parceria nos estudos.
Aos gestores e todos os demais funcionários da EE Prof. Farid Fayad e da EMEF Cônego Aníbal Difrância, pelo apoio dado durante a aplicação das atividades propostas.
Esta dissertação relata a idealização, o planejamento, a construção e a aplicação de atividades para o estudo de funções quadráticas e probabilidade geométrica para turmas de 9.º ano do ensino fundamental. Também apresenta as análises das atividades realizadas pelos alunos e as conclusões acerca dos objetivos propostos e dos objetivos alcançados. O objetivo principal das atividades elaboradas é proporcionar aos alunos uma melhor aprendizagem dos conteúdos e temas abordados através de uma abordagem lúdica, interativa e motivadora. Os objetivos específicos são desenvolver a capacidade de traduzir um problema matemático na linguagem matemática, manipular expressões algébricas, fazer estimativas e comparações, desenvolver conhecimentos matemáticos como saber expressar e calcular a área e o perímetro de figuras planas, calcular probabilidades de ocorrência de eventos aleatórios, resolver equações quadráticas, traçar gráficos de funções quadráticas e manipular o software ou o aplicativo GeoGebra. Para isto criamos um jogo de dardos adaptado e fichas de atividades contendo instruções, questões, tabelas, gráficos, exercícios de cálculos, problemas de otimização e roteiros de construções gráficas aplicadas ao GeoGebra.
A metodologia utilizada neste trabalho foi a Engenharia Didática. As atividades foram aplicadas em duas turmas de 9.º ano do ensino fundamental de duas escolas diferentes, sendo uma turma de uma escola da rede municipal de ensino de Bauru, estado de São Paulo, e outra turma de uma escola da rede estadual de ensino da cidade de Agudos, estado de São Paulo. Durante a aplicação foram utilizadas 12 aulas de 50 minutos nas duas turmas, sendo 6 dias de aulas duplas, nas quais os alunos participaram ativamente de todas as atividades. Nosso trabalho tem como referência os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) e outros documentos que regem o ensino de matemática nas escolas públicas do Brasil. Recomendamos e autorizamos a reprodução destas atividades para fins didáticos.
This paper reports the idealization, planning, construction and implementation of activities for the study of quadratic functions and geometric probability for classes of 9th grade of elementary school. It also presents the analysis of the activities undertaken by pupils and conclusions about the proposed objectives and goals achieved. The main objective of the developed activities is to provide students a better learning content covered and issues through a playful approach, interactive and motivating. The specific objectives are to develop the ability to translate a mathematical problem in mathematical language, manipulate algebraic expressions, estimates and comparisons, develop mathematical knowledge as knowing how to express and calculate the area and perimeter of plane figures, calculating probabilities of random events, solve quadratic equations, plotting graphs of quadratic functions and manipulate the software or the GeoGebra application. For this we have created a game of darts adapted and activity sheets containing instructions, questions, tables, graphs, calculation exercises, optimization problems and graphic constructions scripts applied to GeoGebra.
The methodology used was the Didactic Engineering. The activities were implemented in two classes of 9th grade of elementary school in two different schools, one class at a school in the municipal school of Bauru, São Paulo, and another class of a school in the state school system the city of Agudos, state of São Paulo. During the application were used 12 50-minute lessons in two classes, with six days of double classes, in which students actively participated in all activities. Our work makes reference to the National Curriculum Parameters (PCN) and other documents governing the teaching of mathematics in public schools in Brazil. We recommend and authorize reproduction of these activities for didactic purposes.
Figura 1: tabela de conteúdos matemáticos referentes ao 2.º bimestre do 9.º ano
do ensino fundamental ... 37
Figura 2: quadro de conteúdos do ensino fundamental – anos finais ... 38
Figura 3: distribuição dos conteúdos curriculares nos anos finais do ensino fundamental – matemática ... 40
Figura 4: esquema representativo dos níveis de dificuldade de uma sequência didática ... 41
Figura 5: Capa das atividades aplicadas à turma do 9.º ano D da EE Prof. Farid Fayad ... 47
Figura 6: Início das instruções para a ficha de atividades 1 ... 48
Figura 7: Parte da página 3 das Instruções para a ficha de atividades 1 ... 48
Figura 8: Parte da página 3 das Instruções para a ficha de atividades 1 ... 49
Figura 9: Parte da página 1 da ficha de atividades 1 ... 49
Figura 10: Parte da página 4 das instruções para a ficha de atividades 1 ... 50
Figura 11: Parte da página 4 das instruções para a ficha de atividades 1 ... 51
Figura 12: Parte da página 5 das instruções para a ficha de atividades 1 ... 51
Figura 13: Parte da página 1 da ficha de atividades 1 ... 51
Figura 14: Parte da página 1 da ficha de atividades 1 (primeira das 7 tabelas referentes aos 7 tipos respectivos de alvos) ... 52
Figura 15: Parte da página 6 da ficha de atividades 1 ... 53
Figura 16: Parte da página 6 da ficha de atividades 1 ... 54
Figura 17: Item a da pergunta 6 da ficha de atividades 1 ... 54
Figura 18: Item b da pergunta 6 da ficha de atividades 1 ... 55
Figura 19: Item c da pergunta 6 da ficha de atividades 1 ... 55
Figura 20: Item d da pergunta 6 da ficha de atividades 1 ... 55
Figura 21 Item e da pergunta 6 da ficha de atividades 1 ... 55
Figura 22: Item f da pergunta 6 da ficha de atividades 1 ... 55
Figura 23: Item g da pergunta 6 da ficha de atividades 1 ... 56
Figura 24: Item h da pergunta 6 da ficha de atividades 1 ... 56
Figura 25: Parte da página 1 das instruções para a ficha de atividades 2 ... 57
Figura 26: Parte da página 2 das instruções para a ficha de atividades 2 ... 57
Figura 27: Parte da página 1 da ficha de atividades 2 ... 58
Figura 28: Resposta correta para a pergunta 1 da ficha de atividades 2 ... 58
Figura 30: Tabela da pergunta 2 da ficha de atividades 2 preenchida
corretamente ... 60
Figura 31: Gráfico da pergunta 3 da ficha de atividades 2 construído corretamente ... 61
Figura 32: Parte da página 4 da ficha de atividades 2 ... 62
Figura 33: Resposta correta para a pergunta 4 da ficha de atividades 2 ... 62
Figura 34: Parte da página 5 da ficha de atividades 2 ... 63
Figura 35: Parte da página 5 da ficha de atividades 2 ... 63
Figura 36: Parte da página 1 das instruções para a ficha de atividades 3 ... 64
Figura 37: Parte da página 1 da ficha de atividades 3 ... 65
Figura 38: Tabela da pergunta 1 da ficha de atividades 3 preenchida corretamente ... 65
Figura 39: Perguntas 2 e 3 da ficha de atividades 3 ... 66
Figura 40: Parte da página 1 das instruções para ficha de atividades 4 ... 67
Figura 41: Parte da página 2 das instruções para a ficha de atividades 4 ... 67
Figura 42: Parte da página 5 das instruções para ficha de atividades 4 ... 68
Figura 43: Parte da página 4 das instruções para a ficha de atividades 4 ... 69
Figura 44: Parte da página 5 das instruções para a ficha de atividades 4 ... 70
Figura 45: Parte da página 1 da ficha de atividades 4 ... 70
Figura 46: Parte da página 1 da ficha de atividades 4 ... 71
Figura 47: Parte da página 2 da ficha de atividades 4 ... 71
Figura 48: Parte da página 3 da ficha de atividades 4 ... 72
Figura 49: Parte da página 3 da ficha de atividades 4 ... 72
Figura 50: Parte da página 4 da ficha de atividades 4 ... 73
Figura 51: Parte da página 5 da ficha de atividades 4 ... 74
Figura 52: Itens a, b, c, e d do problema 2 da ficha de atividades 4 com as respostas esperadas ... 74
Figura 53: Tabela do item e do problema 2 da ficha de atividades 4 preenchida corretamente ... 75
Figura 54: Gráfico da pergunta f do problema 2 da ficha de atividades 4 construído corretamente ... 76
Figura 55: Item g do problema 2 da ficha de atividades 4 ... 76
Figura 56: Item h do problema 2 da ficha de atividades 4 ... 76
Figura 57: Item i do problema 2 da ficha de atividades 4 ... 76
Figura 58: Item j do problema 2 da ficha de atividades 4 ... 77
Figura 59: Item k do problema 2 da ficha de atividades 4 ... 77
Figura 63: Parte da página 10 da ficha de atividades 4 ... 80
Figura 64: Parte da página 11 da ficha de atividades 4 ... 81
Figura 65: Parte da página 12 da ficha de atividades 4 ... 82
Figura 66: Parte da página 1 das instruções para a ficha de atividades 5 ... 83
Figura 67: Parte da página 2 das instruções para a ficha de atividades 5 ... 83
Figura 68: Pergunta 1 da ficha de atividades 5 com as respostas esperadas ... 84
Figura 69: Parte da página 1 da ficha de atividades 5 ... 84
Figura 70: Pergunta 2 da ficha de atividades 5 com as respostas esperadas ... 85
Figura 71: Itens f e g da pergunta 3 da ficha de atividades 5 com as respostas esperadas ... 85
Figura 72: Item h da pergunta 3 da ficha de atividades 5 com as respostas esperadas ... 85
Figura 73: Perguntas 4 e 5 da ficha de atividades 5 com as respostas esperadas ... 86
Figura 74: Pergunta 6 da ficha de atividades 5 com as respostas esperadas ... 86
Figura 75: Itens a, b e c da pergunta 7 da ficha de atividades 5 com as respostas esperadas ... 87
Figura 76: Itens d até j da pergunta 7 da ficha de atividades 5 com as respostas esperadas ... 87
Figura 77: Item k da pergunta 7 da ficha de atividades 5 com as respostas esperadas ... 88
Figura 78: Parte da página 6 da ficha de atividades 5 ... 88
Figura 79: Parte da página 7 da ficha de atividades 5 ... 89
Figura 80: Eu (Leandro Souza Canavezi) iniciando a construção do jogo de dardos adaptado ... 91
Figura 81: Eu (Leandro Souza Canavezi) iniciando a construção do jogo de dardos adaptado ... 91
Figura 82: Alunos dos 8.os anos da EMEF Cônego Aníbal Difrância auxiliando na construção do jogo de dardos adaptado ... 92
Figura 83: Alunos dos 8.os anos da EMEF Cônego Aníbal Difrância auxiliando na construção do jogo de dardos adaptado ... 92
Figura 84: Alunos dos 8.os anos da EMEF Cônego Aníbal Difrância auxiliando na construção do jogo de dardos adaptado ... 93
Figura 85: Jogo de dardos adaptado pronto ... 93
Figura 86: Detalhe de identificação do jogo de dardos adaptado... 93
Figura 87: Alunos do grupo 1D ... 97
Figura 89: Resposta correta do grupo 1D para a pergunta 1 da ficha de
atividades 1 ... 98
Figura 90: Resposta correta do grupo 3D para a pergunta 2 da ficha de atividades 1 ... 98
Figura 91: Alunos dos grupos 1D e 4D durante o lançamento de dardos ... 99
Figura 92: Alunos dos grupos 2E e 3E durante o lançamento de dardos ... 99
Figura 93: Alunos dos grupos 2E e 3E durante o lançamento de dardos ... 99
Figura 94: Aluno do grupo 4D durante o lançamento de dardos ... 100
Figura 95: Tabela 1 preenchida pelo grupo 3D ... 101
Figura 96: Tabela 2 preenchida pelo grupo 3D ... 101
Figura 97: Tabela 3 preenchida pelo grupo 1D ... 102
Figura 98: Tabela 4 preenchida pelo grupo 1D ... 102
Figura 99: Tabela 5 preenchida pelo grupo 3E ... 103
Figura 100: Tabela 6 preenchida pelo grupo 3E ... 103
Figura 101: Tabela 7 preenchida pelo grupo 2E ... 104
Figura 102: Tabela 8 preenchida pelo grupo 2E ... 104
Figura 103: Gráfico corretamente construído pelo grupo 1D para a pergunta 5 da ficha de atividades 1 após intervenção ... 105
Figura 104: Gráfico corretamente construído pelo grupo 2E para a pergunta 5 da ficha de atividades 1 após intervenção ... 106
Figura 105: Grupo 3D construindo corretamente o gráfico para a pergunta 5 da ficha de atividades 1 ... 106
Figura 106: Resposta correta do grupo 1D para a pergunta 6 item a da ficha de atividades 1 ... 107
Figura 107: Resposta correta do grupo 3E para a pergunta 6 item b da ficha de atividades 1 ... 108
Figura 108: Resposta correta do grupo 1D para a pergunta 6 item c da ficha de atividades 1 ... 108
Figura 109: Resposta correta do grupo 3D para a pergunta 6 item d da ficha de atividades 1 ... 108
Figura 110: Resposta correta do grupo 3D para a pergunta 6 item e da ficha de atividades 1 ... 108
Figura 111: Resposta correta do grupo 1D para a pergunta 6 item f da ficha de atividades 1 ... 109
Figura 112: Resposta correta do grupo 1D para a pergunta 6 item g da ficha de atividades 1 ... 109
Figura 113: Resposta correta do grupo 1D para a pergunta 6 item h da ficha de atividades 1 ... 109
atividades 2 após intervenção ... 111 Figura 117: Tabela 9 incorretamente preenchida pelo grupo 1E... 111 Figura 118: Tabela 9 corretamente preenchida pelo grupo 2D ... 112 Figura 119: Gráfico corretamente construído pelo grupo 3D para a pergunta 3 da
ficha de atividades 2 ... 113 Figura 120: Resposta correta do grupo 5D para o exercício complementar da
ficha de atividades 2 ... 114 Figura 121: Alunos dos grupos 4D e 5D manuseando o notebook ... 114 Figura 122: Projeção na lousa do gráfico da pergunta 3 da ficha de atividades 2
para a turma do 9.º ano E ... 115 Figura 123: Tabela corretamente preenchida pelo grupo 3E para a pergunta 1 da
ficha de atividades 3 ... 115 Figura 124: Resposta correta do grupo 3E para a pergunta 2 da ficha de
atividades 3 ... 116 Figura 125: Resposta correta do grupo 3E para a pergunta 3 da ficha de
atividades 3 ... 116 Figura 126: Aluno do grupo 5D utilizando uma calculadora ... 116 Figura 127: Alunas do grupo 3D ... 117 Figura 128: Resposta correta do grupo 3E para o problema 2 itens a, b, c e d da
ficha de atividades 4 ... 119 Figura 129: Resposta correta do grupo 3E para o problema 2 item e da ficha de
atividades 4 ... 120 Figura 130: Gráfico construído com linha contínua pelo grupo 2D para o
problema 2 item f da ficha de atividades 4 ... 121 Figura 131: Resposta correta do grupo 2D para o problema 2 item g da ficha de
atividades 4 ... 121 Figura 132: Resposta correta do grupo 2E para o problema 2 item h da ficha de
atividades 4 ... 122 Figura 133: Resposta correta do grupo 3D para o problema 2 item i da ficha de
atividades 4 ... 122 Figura 134: Resposta correta do grupo 3D para o problema 2 item j da ficha de
atividades 4 ... 123 Figura 135: Resposta correta do grupo 2D para o problema 2 item k da ficha de
atividades 4 ... 124 Figura 136: Smartphone de um aluno do grupo 1D com o aplicativo GeoGebra
Calculadora Gráfica instalado ... 125 Figura 137: Smartphone de um aluno do grupo 1E com o aplicativo GeoGebra
Figura 138: Resposta correta do grupo 3E para a pergunta 1 da ficha de atividades 5 ... 127 Figura 139: Resposta correta do grupo 3E para a pergunta 2 itens a até e da
ficha de atividades 5 ... 128 Figura 140: Resposta correta do grupo 3E para a pergunta 3 item f da ficha de
atividades 5 ... 128 Figura 141: Resposta correta do grupo 1E para a pergunta 3 item g da ficha de
atividades 5 ... 128 Figura 142: Resposta correta do grupo 1E para a pergunta 3 item h da ficha de
atividades 5 ... 129 Figura 143: Resposta correta do grupo 1E para a pergunta 4 itens a, b, c e d da
ficha de atividades 5 ... 129 Figura 144: Resposta correta do grupo 1E para a pergunta 5 itens e, f, g e h da
ficha de atividades 5 ... 129 Figura 145: Resposta correta do grupo 5D para a pergunta 6 itens a, b, c e d da
ficha de atividades 5 ... 130 Figura 146: Resposta correta do grupo 1D para a pergunta 7 item a da ficha de
atividades 5 ... 130 Figura 147: Resposta correta do grupo 1D para a pergunta 7 itens b e c da ficha
de atividades 5 ... 130 Figura 148: Resposta correta do grupo 1D para a pergunta 7 itens d até e da
ficha de atividades 5 ... 131 Figura 149: Resposta parcialmente correta do grupo 5D para a pergunta 7 itens
f, g, h e i da ficha de atividades 5 ... 131 Figura 150: Resposta correta do grupo 1D para a pergunta 7 itens f, g, h e i da
ficha de atividades 5 ... 132 Figura 151: Resposta correta do grupo 1D para a pergunta 7 itens j e k da ficha
de atividades 5 ... 132 Figura 152: Resposta do grupo 5D para a pergunta 8 item a da ficha de
atividades 5 ... 133 Figura 153: Resposta do grupo 5D para a pergunta 8 item b da ficha de
atividades 5 ... 133 Figura 154: Resposta do grupo 5D para a pergunta 8 item c da ficha de
atividades 5 ... 133 Figura 155: Resposta do grupo 5D para a pergunta 8 item d da ficha de
atividades 5 ... 134 Figura 156: Resposta do grupo 5D para a pergunta 8 item e da ficha de
atividades 5 ... 134 Figura 157: Resposta do grupo 1E para a pergunta 8 item a da ficha de
atividades 5 ... 134 Figura 158: Resposta do grupo 1E para a pergunta 8 item b da ficha de
Figura 160: Resposta do grupo 1E para a pergunta 8 item d da ficha de atividades 5 ... 135 Figura 161: Resposta do grupo 1E para a pergunta 8 item e da ficha de
SUMÁRIO
Introdução ... 27 1. Apresentação ... 28 1.1 Breve histórico profissional ... 28 1.2 Minha experiência no PROFMAT ... 29 1.3 Relatos do dia a dia enquanto professor ... 29 1.4 As escolhas do tema e do público-alvo ... 30 2. As relações entre os conteúdos matemáticos abordados e os PCN, o
27
Introdução
Os conteúdos matemáticos abordados neste trabalho foram escolhidos levando-se em consideração algumas perguntas recorrentes feitas pelos alunos. Tais perguntas dizem respeito à relação deles próprios com a matemática. Entre elas, destacam-se: “Para que serve a matemática?” “O que isto tem a ver com matemática?” “Quando utilizarei este (determinado) conteúdo matemático no meu dia a dia?” Pensando nas respostas a estas perguntas, e procurando dar condições para que os alunos respondam a outras próprias perguntas a respeito da relação que têm com a matemática, escolhemos dois temas principais a serem estudados: funções quadráticas e probabilidade geométrica. A ideia norteadora para a elaboração das atividades foi fazer com que os alunos percebam o “surgimento” de funções quadráticas e parábolas em situações que, à primeira vista, não têm relação com tais temas. Para tal, fizemos uma abordagem lúdica, na qual os alunos deixaram de lado as “aulas tradicionais” e participaram de aulas interativas e motivadoras.
No capítulo 1 fazemos uma apresentação pessoal.
No capítulo 2 apresentamos as relações entre os conteúdos matemáticos abordados neste trabalho e outros documentos oficiais que regem o ensino em nível nacional e nas redes estadual de São Paulo e municipal de Bauru, estado de São Paulo.
No capítulo 3 apresentamos a metodologia da Engenharia Didática, na qual se baseiam as atividades deste trabalho.
No capítulo 4 descrevemos as atividades propostas e aplicadas em sala de aula.
No capítulo 5 descrevemos a construção do jogo de dardos adaptado. No capítulo 6 descrevemos todo o processo de implementação das atividades.
No capítulo 7 fazemos análises e reflexões acerca das atividades. No capítulo 8 fazemos as conclusões e as considerações finais acerca das atividades.
1. Apresentação
Neste capítulo apresento um breve histórico da minha trajetória profissional até o momento, minha experiência com o PROFMAT, alguns relatos do dia a dia enquanto professor que me conduziram à elaboração das atividades deste trabalho e às escolhas do tema e do público-alvo.
1.1 Breve histórico profissional
Desde minha juventude, por volta dos 14 anos de idade e durante as aulas de matemática em minha turma de 8.ª série, percebi que tenho paixão pela matemática e me imaginei como professor lecionando matemática. Sempre ajudei meus colegas explicando e tirando dúvidas, inclusive nas séries anteriores. Claramente, minha aptidão era voltada para a área das ciências exatas.
Tive ótimos professores que serviram de modelo e que me fizeram criar uma pré-identidade como professor. As aulas de matemática me encantavam, e aprender um conceito matemático novo, para mim, era muito prazeroso.
Ao concluir a 8.ª série prestei uma prova, chamada vestibulinho, na qual fui aprovado. Iniciei o curso técnico em eletrônica no CTI – Colégio Técnico Industrial “Prof. Isaac Portal Roldán” da minha cidade, Bauru, SP. Anos atrás um dos meus tios também fizera o mesmo curso, e sempre o ajudei, enquanto criança e jovem, a desmontar e montar aparelhos eletrônicos que ele consertava em casa. Isto me fez criar gosto e interesse pela eletrônica. Concluí o curso, junto o ensino médio, e logo comecei a estagiar na área de manutenção de aparelhos eletrônicos domésticos (televisor, aparelhos de som etc.). Após o estágio permaneci trabalhando na mesma empresa por 7 anos.
29
ingressei em 2008 na rede estadual de ensino como professor de matemática e de física. Trabalhei na rede SESI – SP como professor de matemática. Atualmente também sou professor da rede municipal de ensino de Bauru. Acabei deixando de lado o ofício de técnico em eletrônica; este, para mim, tornou-se um hobby nas (poucas) horas vagas.
1.2 Minha experiência no PROFMAT
Desde que ingressei como professor efetivo na rede estadual de ensino de São Paulo fiz vários cursos de atualização profissional oferecidos pela Secretaria Estadual de Educação – SEE. Sempre busquei me atualizar e continuar estudando. Minha paixão por matemática me impulsiona a fazer cursos. Foi desta forma que me conduzi ao PROFMAT, iniciando o curso em fevereiro de 2014 e concluindo em 2016 com a apresentação desta própria dissertação. Em resumo, penso que foi um ótimo curso que fiz, no qual revi vários conteúdos matemáticos com os quais não lido diretamente no dia a dia (por exemplo, o cálculo) e também aprendi vários outros conteúdos matemáticos que não estudei na graduação e que não conhecia (por exemplo, congruências). Considero a experiência no PROFMAT como ótima, porém isto não significa que considero o curso fácil de se cursar; digo que não é uma tarefa simples administrar o tempo destinado aos estudos, ao trabalho e à família. Com toda certeza, digo que só consegui terminar o PROFMAT graças ao apoio dos meus familiares, principalmente.
1.3 Relatos do dia a dia enquanto professor
“indisciplinado” e contínuo destes aparelhos acaba por deixar seus usuários (os alunos) cada vez mais desatentos.
Não percebo na maioria dos alunos com os quais lido diariamente o mesmo encantamento e o mesmo prazer que eu tinha enquanto estudante. Percebo que eles são “imediatistas”, ou seja, querem ver rapidamente o resultado do que fazem, inclusive do que aprendem. Se isto não acontece eles perdem rapidamente o interesse pelo aprendizado. Frequentemente ouço perguntas do tipo: Para que serve a matemática? O que isto tem a ver com matemática? Quando utilizarei este (determinado) conteúdo matemático no meu dia a dia? Sempre respondo, relacionando a matemática com as profissões, principalmente, e também com situações do dia a dia, seja fazendo cálculos de troco, estimativas de quantidades etc. E também respondo explicando as contribuições da matemática para o desenvolvimento tecnológico, e para isto aproveito minha experiência como técnico em eletrônica. Inclusive, explico como a matemática é fundamental para o desenvolvimento dos celulares e smartphones que eles tanto “amam”.
Sempre que possível utilizo jogos em minhas aulas: bingo de tabuada, dominós, damas, gincanas e outros. Mas penso que nem sempre é adequado fazer isto. Alguns alunos “se aproveitam” dos poucos momentos livres durante as aulas com jogos para fazer coisas alheias à aula, o que acaba tumultuando a turma, além de tirar-lhes a atenção para o que está sendo ensinado. Também utilizo recursos de informática como notebook e datashow para exibir slides e filmes sobre determinado conteúdo matemático e utilizo o winplot para estudar funções. Confesso que nunca havia utilizado o GeoGebra nas aulas até aplicar as atividades deste trabalho. Percebo que, no geral, o interesse dos alunos em aprender matemática nestas aulas é maior, apesar do tumulto também ser maior. E também nunca havia planejado utilizar jogos e informática (notebook e smartphones) ao mesmo tempo nas aulas.
1.4 As escolhas do tema e do público-alvo
31
não comportando turmas com cerca de 35 alunos. Outra dificuldade semelhante que enfrento na escola municipal onde leciono é que o laboratório de informática está desativado por um tempo indeterminado para adequações. Por isso utilizo 1 notebook com datashow apenas em sala de aula. Em setembro do ano passado foi disponibilizada uma versão do GeoGebra para smartphones, sob a forma de aplicativo, para download gratuito. É chamado GeoGebra Calculadora Gráfica. Resolvi, então, planejar atividades pensando no uso deste aplicativo pelos alunos durante as aulas.
Um dos conteúdos matemáticos que muitos alunos apresentam dificuldades de aprendizagem é o traçado de gráficos de funções, tanto do 1.º quanto do 2.º grau, que é um conteúdo do 9.º ano do ensino fundamental. O uso do GeoGebra nas aulas pode ser um facilitador para a aprendizagem destes conteúdos, pois os alunos podem manipular rapidamente os gráficos, dinamizando a aula no geral. As raízes de uma função quadrática, por exemplo, podem ser facilmente visualizadas e, desta forma, os alunos podem estabelecer conexões com as raízes de uma equação quadrática. As variações dos coeficientes a, b e c de uma função quadrática e as respectivas mudanças nos gráficos podem ser facilmente percebidas; os pontos de máximo e de mínimo podem ser rapidamente obtidos.
2. As relações entre os conteúdos matemáticos abordados e os PCN, o Currículo de Matemática do Estado de São Paulo, o Currículo Comum para o Ensino Fundamental Municipal de Bauru e outros documentos
Este capítulo, dividido em duas partes, tem por objetivo situar e contextualizar as atividades e conteúdos matemáticos abordados neste trabalho de acordo com os PCN (Parâmetros Curriculares Nacionais), o Currículo de Matemática do Estado de São Paulo, o Currículo Comum para o Ensino Fundamental Municipal de Bauru e outros documentos, e assim justificar as escolhas tanto do tema quanto do público-alvo. A primeira parte trata do ensino na rede estadual de São Paulo e a segunda parte trata do ensino na rede municipal de Bauru.
2.1 Ensino na rede estadual de São Paulo
De acordo com o Currículo de Matemática do Estado de São Paulo o estudo de equações e funções quadráticas no ensino fundamental inicia-se a partir do 2.º bimestre do 9.º ano; o estudo de probabilidade inicia-se a partir do 3.º bimestre do 7.º ano, sendo um dos temas referentes ao estudo de razões.
Semestralmente a Secretaria Estadual de Educação de São Paulo distribui aos alunos os Cadernos do Aluno. Cada disciplina tem um caderno semestral específico correspondente, sendo que o volume 1, distribuído no primeiro semestre, contém Situações de Aprendizagem referentes aos conteúdos do primeiro e do segundo bimestre, e o volume 2, distribuído no segundo semestre, contém Situações de Aprendizagem referentes aos conteúdos do terceiro e do quarto bimestre. Os professores recebem os Cadernos do Professor, que são versões dos respectivos Cadernos do Aluno contendo planejamento de aulas, respostas, comentários e sugestões referentes às Situações de Aprendizagem.
A respeito dos Cadernos do Aluno e do Professor:
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O Currículo de Matemática do Estado de São Paulo fala a respeito de competências e de habilidades:
Um currículo que promove competências tem o compromisso de articular as disciplinas e as atividades escolares com aquilo que se espera que os alunos aprendam ao longo dos anos. Competências, nesse sentido, caracterizam modos de ser, de raciocinar e de interagir, que podem ser depreendidos das ações e das tomadas de decisão em contextos de problemas, de tarefas ou de atividades. (SÃO PAULO, 2011, p. 14)
Tais habilidades traduzem, de modo operacional, as ações que os alunos devem ser capazes de realizar, ao final de cada bimestre, após serem apresentados aos conteúdos curriculares listados. (SÃO PAULO, 2011, p. 57)
Mais especificamente, no 4.º bimestre do 9.º ano há a Situação de Aprendizagem 4, cujo título é: Probabilidade e Geometria. Esta Situação de Aprendizagem apresenta um texto sobre os experimentos do matemático francês Georges-Louis Leclerc que ficou conhecido como Conde de Buffon, cujo título é: O pi e a agulha de Buffon. Também apresenta o problema 4, que diz respeito a um jogo de dardos tradicional e envolve cálculos de probabilidades. No ensino médio o estudo de problemas de otimização inicia-se a partir do 2.º bimestre da 1.ª série, na situação de aprendizagem 4 cujo título é: Problemas envolvendo funções de 2.º grau em múltiplos contextos; problemas de máximos e mínimos. Porém, cabe ressaltar, novamente, que o público-alvo deste trabalho é constituído por alunos do 9.º ano do ensino fundamental.
Os conceitos de competências e de habilidades são considerados fundamentais na LDBEN – Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional, nos DCN – Diretrizes Curriculares Nacionais e nos PCN – Parâmetros Curriculares Nacionais, que são documentos elaborados pelo Conselho Nacional de Educação e pelo MEC – Ministério da Educação. O Currículo de Matemática do Estado de São Paulo diz que:
Anualmente e geralmente no mês de novembro acontece o SARESP – Sistema de Avaliação de Rendimento do Estado de São Paulo, que é uma prova escrita aplicada aos alunos pela Secretaria da Educação do Estado de São Paulo (SEE/SP) em turmas do 2.º, 3.º, 5.º, 7.º e 9.º anos do ensino fundamental e da 3.ª série do ensino médio. O seu objetivo principal é avaliar o ensino básico nas escolas da rede estadual. Participam do SARESP alunos de escolas particulares, da rede SESI e do Centro Paula Souza. As disciplinas avaliadas são Língua Portuguesa, Matemática, Ciências da Natureza, História e Geografia (7.º e 9.º anos do ensino fundamental e 3.ª série do ensino médio). Há também aplicação de provas de redação para amostras de turmas (exceto para turmas do 2.º ano do ensino fundamental). Os resultados do SARESP são utilizados para orientar as ações pedagógicas no sentido de melhorar a qualidade da educação básica e também integram o cálculo do Índice de Desenvolvimento da Educação do Estado de São Paulo (Idesp). Todas as provas do SARESP são formuladas tendo como base várias competências e habilidades específicas de cada uma das disciplinas avaliadas. Tais competências e habilidades constam nas Matrizes de Referência para a Avaliação SARESP – Ensino Fundamental e Médio.
De acordo com as Matrizes de Referência para a Avaliação SARESP – Ensino Fundamental e Médio:
Em seus princípios centrais, aparecem as competências (formas de raciocinar e tomar decisões) como eixo em torno do qual guiam-se as aprendizagens e a prioridade que é dada à competência de leitura e escrita. (SÃO PAULO, 2009, p. 3)
Neste mesmo sentido o Currículo de Matemática do Estado de São Paulo explica que é por meio da exploração das ideias fundamentais de cada disciplina que se busca estabelecer relações entre conteúdos matemáticos e competências matemáticas:
No caso específico da Matemática, proporcionalidade, equivalência, ordem, aproximação, problematização, otimização, entre outras, são exemplos de tais ideias fundamentais, a serem exploradas nos diversos conteúdos estudados. (SÃO PAULO, 2011, p. 59)
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o processo de ensino e aprendizagem, no qual os conceitos, as ideias e os métodos matemáticos devem ser abordados mediante situações nas quais os alunos precisem desenvolver algum tipo de estratégia para resolvê-las. Também explicam que:
[...] convém destacar que é desejável que os problemas a serem trabalhados em sala de aula não sejam tratados separadamente. O que se recomenda é que os professores garantam que todos eles sejam explorados em situações mais ricas, contextualizadas, que possibilitem o desenvolvimento da interpretação, da análise, da descoberta, da verificação e da argumentação. (BRASIL, 1998, p. 112)
Os PCN explicam que há diversas possibilidades de trabalho em sala de aula, e que dentre elas destacam-se as tecnologias da comunicação e os jogos, pois são recursos que podem contextualizar os problemas além de fornecer instrumentos para construção de estratégias de resolução.
Os números inteiros podem surgir como uma ampliação do campo aditivo, pela análise de diferentes situações em que esses números estejam presentes. Eles podem representar diferença, “falta”, orientação e posições relativas. As primeiras abordagens dos inteiros podem apoiar-se nas ideias intuitivas que os alunos já têm sobre esses números por vivenciarem situações de perdas e ganhos num jogo, débitos e créditos bancários ou outras situações. (BRASIL, 1998, p. 66)
De acordo com o Currículo de Matemática do Estado de São Paulo:
Por um lado, certamente os numerosos recursos tecnológicos disponíveis para utilização em atividades de ensino encontram um ambiente propício para acolhimento no terreno da Matemática: máquinas de calcular, computadores, softwares para a construção de gráficos, para as construções em Geometria e para a realização de cálculos estatísticos são muito bem-vindos, bem como o seu uso será crescente, inevitável e desejável, salvo em condições extraordinárias, em razão de extremo mau uso. (SÃO PAULO, 2011, p. 33-34)
A respeito do uso de jogos em sala de aula, de acordo com o Currículo de Matemática do Estado de São Paulo:
corrigidas de forma natural, no decorrer da ação, sem deixar marcas negativas.
A participação em jogos de grupo também representa uma conquista cognitiva, emocional, moral e social para o estudante e um estímulo para o desenvolvimento de sua competência matemática. (SÃO PAULO, 2011, p. 46-47)
De acordo com o Currículo de Matemática do Estado de São Paulo, as primeiras ideias associadas ao plano cartesiano estão presentes no ensino fundamental, tanto no 6.º ano quanto no 7.º ano, por meio de Situações de Aprendizagem que tratam da localização de pontos em mapas, do estudo de simetrias, de ampliações e de reduções de figuras no plano; também estão presentes no 8.º ano e no 9.º ano por meio de Situações de Aprendizagem que tratam da construção, análise e interpretação de gráficos.
A respeito dos problemas de otimização o Currículo de Matemática do Estado de São Paulo diz que:
Um caso especialmente importante para a criação e a exploração de centros de interesse é o dos problemas que envolvem situações de otimização de recursos em diferentes contextos, ou seja, problemas de máximos ou de mínimos. Procurar, em cada problema, não apenas uma solução, mas sim a melhor solução, para minimizar os custos ou maximizar os retornos, por exemplo, pode constituir um atrativo a mais na busca de contextualização dos conteúdos estudados.(SÃO PAULO, 2011, p. 49)
Os PCN sugerem um critério para a verificação da aprendizagem dos alunos sobre probabilidade:
Resolver problemas de contagem e indicar as possibilidades de sucesso de um evento por meio de uma razão. Por meio deste critério o professor verifica se o aluno é capaz de resolver problemas de contagem com quantidades que possibilitem obter o número de agrupamentos, utilizando procedimentos diversos, como a construção de diagrama de árvore, tabelas etc., sem o uso de fórmulas. Verifica, também, se o aluno é capaz de indicar a probabilidade de sucesso de um evento por meio de uma razão, construindo um espaço amostral em situações como o lançamento de dados, moedas etc. (BRASIL, 1998, p. 77)
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Figura 1: tabela de conteúdos matemáticos referentes ao 2.º bimestre do 9.º ano do ensino fundamental
Figura 2: quadro de conteúdos do ensino fundamental – anos finais
2.2 Ensino na rede municipal de Bauru
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Um dos princípios norteadores do Currículo Comum para o Ensino Fundamental Municipal de Bauru é:
Por meio de uma prática pedagógica alicerçada na resolução de problemas enquanto perspectiva metodológica – pautada pelo efetivo diálogo entre professor-aluno e aluno-aluno sobre o conhecimento matemático – o docente, ao garantir a aprendizagem da matemática, colaborará na constituição da cidadania do aluno. (TEZANI, 2012, p. 204)
Neste sentido os PCN também tratam da relação entre matemática e construção (constituição) da cidadania:
Também é importante salientar que a compreensão e a tomada de decisões diante de questões políticas e sociais dependem da leitura crítica e interpretação de informações complexas, muitas vezes contraditórias, que incluem dados estatísticos e índices divulgados pelos meios de comunicação. Ou seja, para exercer a cidadania é necessário saber calcular, medir, raciocinar, argumentar, tratar informações estatisticamente etc. (BRASIL, 1998, p. 27)
O Currículo Comum para o Ensino Fundamental Municipal de Bauru apresenta os objetivos gerais do componente curricular (matemática) no ensino fundamental. Dois destes objetivos são:
Identificar os conhecimentos matemáticos (aritmético, algébrico, combinatório, estatístico, geométrico, métrico, probabilístico) como instrumentos necessários para a seleção, organização e produção de informações relevantes para a interpretação e avaliação crítica da realidade circundante. (TEZANI, 2012, p. 205)
Compreender a importância do trabalho coletivo na busca de soluções para as situações problemas propostas, sabendo respeitar e argumentar-discutir acerca do raciocínio matemático empregado pelo outro. (TEZANI, 2012, p. 205)
autonomia de seguir uma sequência de ensino que julgar mais adequada à realidade da turma para a qual estiver lecionando.
Figura 3: distribuição dos conteúdos curriculares nos anos finais do ensino fundamental – matemática
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Figura 4: esquema representativo dos níveis de dificuldade de uma sequência didática
No referido esquema representativo da Sequência Didática (SD1),
a intensificação das cores acompanha o nível de dificuldade das atividades que vão se tornando cada vez mais complexas. Entretanto, o docente deve atentar-se em relação ao aumento gradativo do nível de dificuldade das atividades propostas ao aprendiz de tal modo que o mesmo elabore progressivamente o conhecimento matemático. (TEZANI, 2012, p. 220)
A utilização de jogos nas aulas de matemática é um tema abordado no Currículo Comum para o Ensino Fundamental Municipal de Bauru. Segundo este documento, tal utilização deve ser permeada pela problematização para que o jogo não perca a sua função educativa. A resolução de problemas nas aulas de matemática é outro tema abordado e fortemente “apoiado”.
3. Metodologia
A metodologia utilizada na realização deste trabalho é a Engenharia Didática, criada no início da década de 1980 por Michèle Artigue, educadora e autora da área de didática da matemática francesa. Nesta metodologia a abordagem didática é comparada ao trabalho de um engenheiro ao realizar um projeto e é baseada em experiências em sala de aula. Desta forma, destaca-se a importância das realizações didáticas em sala de aula como prática de investigação, associando conhecimentos práticos com conhecimentos teóricos.
É preciso salientar que esta metodologia está fundamentada numa teoria muito ampla, que envolve a teoria das situações didáticas, dos quadros epistemológicos e dos obstáculos cognitivos desenvolvidas por autores da didática das matemáticas francesa, Brousseau, Douady e Chevallard. (CARNEIRO, 2005, p. 90)
Segundo Artigue (1996), a Engenharia Didática é caracterizada por 4 níveis de organização ou fases:
1) Análises prévias;
2) Concepção e análise a priori; 3) Implementação;
4) Análise a posteriori e validação.
A Engenharia Didática caracteriza-se como pesquisa experimental na qual a validação acontece através da comparação entre a análise a priori e a análise
a posteriori; tal validação é interna e não há a necessidade de aplicação de um pré-teste ou de um pós-pré-teste.
A seguir descrevemos cada das fases anteriormente citadas.
3.1 Fase 1: Análises prévias
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Artigue (1996) sugere que essa análise inclua a distinção de três dimensões: a epistemológica, que diz respeito às características do saber; a didática, que diz respeito ao funcionamento do sistema de ensino; e a cognitiva, que caracteriza o público-alvo.
3.2 Fase 2: Concepção e análise a priori
Nesta fase é feita a intervenção comentada na fase anterior. É elaborado um plano de ação, ou seja, são elaboradas as atividades que os alunos desenvolverão em sala de aula. É composta pelas partes descritiva e preditiva. Na parte descritiva as escolhas globais são descritas, ou seja, o tema principal e o objetivo principal das atividades são descritos. Também as escolhas locais são descritas, ou seja, as intervenções são detalhadas, os recursos utilizados, o tempo de aplicação e o público-alvo são explicitados. Na parte preditiva acontece o momento no qual se imagina quais serão as respostas dos alunos para as atividades propostas e as possíveis dificuldades que eles apresentarão. Nesta fase são elaboradas hipóteses de como serão o raciocínio e o comportamento dos alunos durante a aplicação das atividades; a partir destas hipóteses é que são tomadas as decisões para a criação das atividades.
3.3 Fase 3: Implementação
Nesta fase as atividades são aplicadas e toda a aplicação é descrita, ou seja, são detalhados a quantidade de alunos, quais turmas participaram, as respostas e toda a participação dos alunos. É um momento de coleta da produção dos alunos para uma análise posterior. Se necessário, podem acontecer modificações nas atividades visando obter um melhor resultado final.
3.4 Fase 4: Análise a posteriori e validação
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4. Descrição das atividades propostas
Neste capítulo descrevemos as atividades propostas de acordo com a metodologia da Engenharia Didática.
4.1 Análises prévias
Esta etapa iniciou com o reconhecimento dos alunos das turmas de 9.º ano em relação à aprendizagem de matemática, e este reconhecimento foi diferente em cada uma das turmas. O professor (pesquisador) já conhecia a maioria dos alunos do 9.º ano D da E.E. Prof. Farid Fayad, pois leciona nesta escola desde 2010. Conhecia as dificuldades de aprendizagem e as potencialidades destes alunos. Já os alunos do 9.º ano E da EMEF Cônego Aníbal Difrância o pesquisador não conhecia, pois começou a lecionar nesta escola no início deste ano de 2016. Teve, portanto, que conhecê-los num primeiro momento e, então, verificar suas dificuldades de aprendizagem e potencialidades. Assim, desde as primeiras semanas de aula o pesquisador procurou investigar o nível de conhecimento destes alunos em relação a várias habilidades e competências matemáticas através de exercícios de conteúdos referentes a anos anteriores. Em resumo: iniciou uma revisão de conteúdos desde as primeiras semanas de aula para conhecer estes alunos. No capítulo 6 (Implementação) estas atividades de revisão são descritas com maiores detalhes.
4.2 Aprendizagem significativa
Propusemos aulas diferentes daquelas que os alunos estão acostumados e vivenciam diariamente, a fim de proporcionar uma melhor aprendizagem dos conteúdos matemáticos abordados. Neste sentido evitamos uma abordagem tradicional, na qual os alunos apresentam uma postura mais “passiva” do que “ativa”, e preocupam-se mais com o registro das atividades do que com a própria participação na aula. Buscamos relacionar os conhecimentos já adquiridos pelos alunos com novos conhecimentos a fim de atingir uma aprendizagem significativa conforme explica Ausubel:
em ligar a informação nova com conceitos ou proposições relevantes preexistentes em sua estrutura cognitiva. (AUSUBEL et al., 1980, p. 159)
Segundo Ausubel, a aprendizagem de conceitos inteiramente novos – a aprendizagem mecânica – é necessária e inevitável, mas posteriormente ela passará a se transformar em significativa. A aprendizagem deve valorizar a participação e as experiências dos alunos e não deve se basear simplesmente à memorização de um conteúdo sem sentido e objetivo. Desta forma, a aprendizagem significativa é preferível à aprendizagem mecânica, pois constitui um método mais simples, prático e eficiente para se aprender algo. Quando o aluno aprende algo mecanicamente e só mais tarde percebe a relação com algum conhecimento anterior já dominado, acaba dispendendo esforço e tempo demasiados; a aprendizagem teria acontecido mais facilmente se ele tivesse estabelecido relação com conhecimentos já existentes na sua estrutura cognitiva, como se fossem “âncoras”.
Neste sentido, durante a aplicação das atividades o pesquisador assume o papel de mediador e “condutor”, e os alunos assumem o papel de protagonistas da própria aprendizagem. O início das atividades acontece de maneira “despretensiosa”, mas intencional, com o objetivo de provocar, posteriormente, um certo “espanto” por parte dos alunos ao notarem o “surgimento” de funções quadráticas e parábolas com um “simples” jogo.
4.3 Concepção e análise a priori
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Figura 5: Capa das atividades aplicadas à turma do 9.º ano D da EE Prof. Farid Fayad
uma maneira de organizar o andamento da aprendizagem, que é o que se espera que os alunos apresentem. Neste sentido, cabe lembrar que, de acordo com a metodologia da Engenharia Didática, neste momento estamos na fase da implementação, e são aceitas mudanças nas atividades que melhorem a própria aplicação das atividades e melhorem a aprendizagem dos alunos.
Figura 6: Início das instruções para a ficha de atividades 1
Figura 7: Parte da página 3 das Instruções para a ficha de atividades 1
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Figura 8: Parte da página 3 das Instruções para a ficha de atividades 1
Na sequência do texto e antes de iniciar o jogo de dardos adaptado propomos que os alunos respondam às duas primeiras perguntas da ficha de atividades 1, que dizem respeito ao conceito de probabilidade. A primeira pergunta deve ser feita separada da segunda, e para responder à segunda os alunos devem consultar um dicionário. Somente após responder à primeira pergunta é que os alunos devem ter contato com o dicionário.
Depois de responderem a estas perguntas há uma mensagem indicando que os alunos devem voltar à folha contendo as instruções para a ficha 1. Em seguida há textos explicando o conceito de probabilidade, porém sem especificar o conceito de probabilidade geométrica. A próxima atividade consiste em lançar os dardos nos alvos quadriculados. Ao todo são sete tipos de alvos quadriculados com quadradinhos centralizados na cor cinza de tamanhos diferentes. Deve-se anotar a quantidade de lançamentos favoráveis em cada tipo de alvo, isto é, a quantidade de dardos que acertam os quadradinhos na cor cinza. Se o dardo não atingir o alvo, então o lançamento é refeito e não deve ser considerado nem como favorável e nem como não favorável.
Figura 10: Parte da página 4 das instruções para a ficha de atividades 1
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Figura 11: Parte da página 4 das instruções para a ficha de atividades 1
Figura 12: Parte da página 5 das instruções para a ficha de atividades 1
Figura 14: Parte da página 1 da ficha de atividades 1 (primeira das 7 tabelas referentes aos 7 tipos respectivos de alvos)
Neste momento o professor escolhe ou os próprios alunos escolhem quem fará os lançamentos. Cada aluno participante deverá lançar 10 dardos no alvo quadriculado correspondente à tabela e as quantidades de lançamentos favoráveis devem ser anotadas numa das linhas da tabela, na coluna F. Todos os grupos de 5 alunos devem fazer a mesma anotação, e para isto os integrantes podem se revezar. Devem ser lançados 100 dardos em cada alvo em grupos de 10 lançamentos, e ao final destes lançamentos o total de lançamentos favoráveis deve ser anotado na linha T, coluna F. Para garantir a aleatoriedade dos lançamentos os alunos devem estar vendados e todos os lançamentos devem ser aleatórios. Caso o dardo lançado não atinja o alvo, então este lançamento é desconsiderado (não é contado nem como favorável e nem como não favorável).
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o gráfico seguinte depende desta informação para ser construído. Adiante, porém, haverá uma atividade para o cálculo (dedução) da diferença d genérica.
Figura 15: Parte da página 6 da ficha de atividades 1
Figura 16: Parte da página 6 da ficha de atividades 1
Em seguida há perguntas a respeito dos lançamentos, das diferenças d, das probabilidades e se os alunos perceberam que os pontos parecem formar uma curva (parábola). Estas e todas as demais perguntas devem ser respondidas em grupo. Caso os alunos precisem de ajuda poderão perguntar ao professor ou até mesmo a outros colegas de outros grupos.
Figura 17: Item a da pergunta 6 da ficha de atividades 1
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100 lançamentos uma quantidade adequada, sendo possível obter uma boa estimativa para a probabilidade.
Figura 18: Item b da pergunta 6 da ficha de atividades 1
Nesta pergunta espera-se que os grupos respondam que durante os lançamentos os participantes utilizaram venda nos olhos.
Figura 19: Item c da pergunta 6 da ficha de atividades 1
Nesta pergunta espera-se que os grupos respondam que o menor valor é muito próximo de 0 cm e o maior valor é 3 cm.
Figura 20: Item d da pergunta 6 da ficha de atividades 1
Nesta pergunta espera-se que os grupos respondam que o menor valor para a probabilidade é muito próximo de 0 ou 0% e o maior valor é 1 ou 100%.
Figura 21 Item e da pergunta 6 da ficha de atividades 1
Nesta pergunta espera-se que os grupos respondam que d deve estar entre 0,8 cm e 0,9 cm aproximadamente.
Figura 22: Item f da pergunta 6 da ficha de atividades 1
Figura 23: Item g da pergunta 6 da ficha de atividades 1
Nesta pergunta espera-se que os grupos respondam que a os pontos do gráfico não formam uma linha contínua, porque há intervalos de valores de d para os quais não foram construídos alvos (deveriam haver infinitos tipos de alvos). Entretanto, espera-se também que alguns alunos respondam que o gráfico forma uma linha contínua, haja visto que a noção de continuidade é mais “natural” do que a noção de descontinuidade. A própria percepção de “alinhamento” dos pontos pode instigar os alunos a responderem assim.
Figura 24: Item h da pergunta 6 da ficha de atividades 1
Nesta pergunta espera-se que os alunos respondam que conseguiram perceber este fato e que o nome da curva é parábola, haja visto que já estudaram tal conteúdo matemático e que, até o momento, nada foi dito sobre parábola nestas atividades.
As instruções para a ficha de atividades 1 e a ficha de atividades 1 compõem 1 bloco. A leitura e a aplicação deste primeiro bloco devem durar cerca de 4 aulas, sendo 2 dias de aulas duplas. Para agilizar a aplicação os alunos deverão levar para casa e ler este bloco (e os demais em outro momento). Como cada grupo de 5 alunos recebe um bloco, os integrantes devem revezar e cada dia um deles levará para casa.
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Figura 25: Parte da página 1 das instruções para a ficha de atividades 2
Há um texto explicando sobre a probabilidade experimental, que foi a probabilidade com a qual os alunos estiveram lidando até o momento, e sobre a probabilidade geométrica, que é obtida através da razão entre áreas (razão entre a área do quadrado cinza e a área do quadrado branco de contorno preto). Em seguida há a ficha de atividades 2, que inicia com o desenvolvimento da última fórmula das instruções para a ficha de atividades 2.
Figura 27: Parte da página 1 da ficha de atividades 2
Nesta pergunta espera-se que a resposta seja:
Figura 28: Resposta correta para a pergunta 1 da ficha de atividades 2
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Figura 29: Parte da página 1 da ficha de atividades 2
Figura 30: Tabela da pergunta 2 da ficha de atividades 2 preenchida corretamente
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Figura 31: Gráfico da pergunta 3 da ficha de atividades 2 construído corretamente
Em seguida, na ficha de atividades 2 há uma leitura complementar (texto) que busca responder às perguntas iniciais (Será que há alguma conexão entre o jogo dos discos e o jogo de dardos adaptado do jogo dos discos? Por que foi feita uma fusão de dois jogos?). Este texto apresenta uma análise do jogo dos discos com moedas, CDs e argolas e mostra a conexão entre o jogo dos discos e o jogo de dardos adaptado. Para isto o texto explica a conexão e apresenta figuras contendo quadrados gerados pelos centros das moedas confinadas (discos confinados) nos quadrados de contorno preto. Neste momento, ao fazer esta leitura complementar espera-se que os alunos percebam a semelhança entre estas figuras e os alvos quadriculados do jogo de dardos adaptado.
Figura 32: Parte da página 4 da ficha de atividades 2
Figura 33: Resposta correta para a pergunta 4 da ficha de atividades 2
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Figura 34: Parte da página 5 da ficha de atividades 2
As instruções para a ficha de atividades 1 e a ficha de atividades 2 compõem outro bloco. A leitura e a aplicação deste segundo bloco devem durar cerca de 2 aulas, sendo 1 dia de aulas duplas. Novamente, para agilizar a aplicação os alunos deverão levar para casa e ler este bloco (e os demais em outro momento). Como cada grupo de 5 alunos recebe um bloco, os integrantes devem revezar e cada dia um deles levará para casa.
E seguida há as instruções para a ficha de atividades 3 que dizem respeito ao problema inverso, ou seja, determinar a diferença d a partir de uma probabilidade p dada. Para isto o texto das instruções apresenta uma manipulação algébrica na qual d é dado em função da probabilidade p. Tal manipulação é possível levando-se em conta que os radicados em ambos os membros da igualdade é não-negativo, e isto deve ser comentado com os alunos.
Figura 36: Parte da página 1 das instruções para a ficha de atividades 3
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Figura 37: Parte da página 1 da ficha de atividades 3
Figura 38: Tabela da pergunta 1 da ficha de atividades 3 preenchida corretamente
Figura 39: Perguntas 2 e 3 da ficha de atividades 3
Nestas perguntas espera-se que os alunos respondam que perceberam que os valores das tabelas são próximos e que os gráficos são parecidos.
As instruções para a ficha de atividades 3 e a ficha de atividades 3 compõem outro bloco. A leitura e a aplicação deste terceiro bloco devem durar cerca de 1 ou 2 aulas, sendo 1 dia de aulas duplas. Novamente, para agilizar a aplicação os alunos deverão levar para casa e ler este bloco (e os demais em outro momento). Como cada grupo de 5 alunos recebe um bloco, os integrantes devem revezar e cada dia um deles levará para casa.
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Figura 40: Parte da página 1 das instruções para ficha de atividades 4
Figura 41: Parte da página 2 das instruções para a ficha de atividades 4
Na sequência o texto apresenta a definição matemática de função quadrática e uma síntese sobre funções quadráticas: a relação entre o coeficiente a
Figura 42: Parte da página 5 das instruções para ficha de atividades 4
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Figura 43: Parte da página 4 das instruções para a ficha de atividades 4
Figura 44: Parte da página 5 das instruções para a ficha de atividades 4
A ficha de atividades 4 começa com o problema (de otimização) 1.
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Figura 46: Parte da página 1 da ficha de atividades 4
Figura 48: Parte da página 3 da ficha de atividades 4
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Figura 50: Parte da página 4 da ficha de atividades 4
Figura 51: Parte da página 5 da ficha de atividades 4
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x (quantidade de lugares vagos)
p(x) (preço da passagem, em reais)
q(x) (quantidade de passageiros)
R(x) (receita arrecadada, em reais)
0 180 46 8 280
1 190 45 8 550
2 200 44 8 800
3 210 43 9 030
4 220 42 9 240
5 230 41 9 430
... ... ... ...
10 280 36 10 080
... ... ... ...
20 380 26 9 880
... ... ... ...
30 480 16 7 680
... ... ... ...
40 580 4 3 480
... ... ... ...
42 600 2 2 400
... ... ... ...
44 620 0 1 240
... ... ... ...
46 640 0 0
Figura 53: Tabela do item e do problema 2 da ficha de atividades 4 preenchida corretamente
Figura 54: Gráfico da pergunta f do problema 2 da ficha de atividades 4 construído corretamente
Figura 55: Item g do problema 2 da ficha de atividades 4
Nesta pergunta espera-se que os alunos respondam que o gráfico não é uma linha contínua porque corresponde aos valores discretos calculados e preenchidos na tabela anterior. Entretanto, também se espera que os alunos respondam que é uma linha contínua devido à noção “natural” de continuidade.
Figura 56: Item h do problema 2 da ficha de atividades 4
Nesta pergunta espera-se que os alunos analisem a simetria da curva formada pelos pontos discretos e respondam que a quantidade aproximada é 14 passageiros, e que o preço da passagem é de (180 + 14.10) = 320 reais.
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Nesta pergunta espera-se que os alunos realizem os seguintes cálculos:
R(x) = (180 + 10x) . (46 – x) = 180 . 46 – 180x + 460x – 10x² = -10x² + 280x +8280
E que, portanto, respondam que os coeficientes são: a = -10, b = 280 e c = 8280 .
Figura 58: Item j do problema 2 da ficha de atividades 4
Nesta pergunta espera-se que os alunos realizem os seguintes cálculos:
R(x) = (180 + 10x) . (46 – x)
(180 + 10x) = 0 180 = -10x x = - 180/10 x = -18
(46 – x) = 0 x = 46
E que, portanto, respondam que as raízes são: -18 e 46, justificando que uma das raízes é negativa, o que representa desconto no preço da passagem ao invés de acréscimo.
Figura 59: Item k do problema 2 da ficha de atividades 4
V = (14, 10 240)
E que, portanto, respondam que 14 é a quantidade de passageiros para que a receita seja máxima e que R$ 10 240,00 é a receita máxima.
Logo após o problema 2 há o problema (de otimização) 3 cuja resolução deve ser feita pelo professor utilizando o software GeoGebra.
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As 3 primeiras perguntas devem ser resolvidas sem o software GeoGebra. A partir delas há uma série de instruções que devem ser seguidas para a construção gráfica com o software GeoGebra.
Figura 61: Parte da página 9 da ficha de atividades 4
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Figura 65: Parte da página 12 da ficha de atividades 4
As instruções para a ficha de atividades 4 e a ficha de atividades 4 compõem outro bloco. A leitura e a aplicação deste quarto bloco devem durar cerca de 2 aulas, sendo 1 dia de aulas duplas. Novamente, para agilizar a aplicação os alunos deverão levar para casa e ler este bloco (e os demais em outro momento). Como cada grupo de 5 alunos recebe um bloco, os integrantes devem revezar e cada dia um deles levará para casa.
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Figura 66: Parte da página 1 das instruções para a ficha de atividades 5
A ficha de atividades 5 começa com um problema que pede aos alunos para voltarem à ficha de atividades 2 e anotarem a expressão calculada para p(d), com L = 3.
Figura 68: Pergunta 1 da ficha de atividades 5 com as respostas esperadas
Em seguida há a sequência de digitação da função quadrática a ser feita na janela de álgebra do aplicativo GeoGebra Calculadora Gráfica que gerará o respectivo gráfico (parábola).
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Em seguida há perguntas a respeito da concavidade da parábola, do coeficiente a, da diferença d e das probabilidades.
Figura 70: Pergunta 2 da ficha de atividades 5 com as respostas esperadas
Figura 71: Itens f e g da pergunta 3 da ficha de atividades 5 com as respostas esperadas
Figura 73: Perguntas 4 e 5 da ficha de atividades 5 com as respostas esperadas
Há perguntas que pedem que os alunos localizem as expressões para R(x) dos problemas (de otimização), construam o gráfico utilizando o aplicativo GeoGebra Calculadora Gráfica e completem algumas informações.
Figura 74: Pergunta 6 da ficha de atividades 5 com as respostas esperadas
