λ-ALN: autômatos lineares não-determinísticos com λ-transições.

λ

-ALN: Autmatos Lineares Não-Determinístios

om

λ

-Transições

B.C.BEDREGAL 1

,GrupodeLógia,Linguagem,Informação,TeoriaeApliações

LoLITA,DepartamentodeInformátiaeMatemátiaApliadaDIMAp,

Univer-sidadeFederaldoRioGrandedoNorteUFRN,CampusUniversitário,59072-970

Natal,Brazil.

Resumo. Neste trabalho introduziremos a lasse dos autmatos lineares

não-determinístiosom

λ

-transições. Baseadosnumanovaformanormalpara gramáti-aslineares,provamosquealassedelinguagensaeitaporestetipodeautmatoé

exatamentealassedaslinguagenslineares. Mostramosaindaque,análogoaoque

oorre omosautmatosnitose omosautmatosompilhas, aexistêniadas

λ

-transiçõesemumautmatolinearnão-determinístionãosigniaquenãopossa

serdenidoumautmatolinearnão-determinístiosem

λ

-transiçõesquereonheça a mesmalinguagem. Ou seja, as

λ

-transições não aumentamo poder de aeita-ção destesautmatos e portanto podemser dispensadasdomodelo. Finalmente,

apresentamosumaapliaçãodestesautmatosnoontextodebioinformátia.

Palavras-have. Linguagenslineares,gramátiaslineares,formanormal,

autma-toslinearesnão-determinístios,

λ

-transições.

1. Introdução

AlassedaslinguagenslinearesseloalizadentrodahierarquiadeChomskyentre

aslinguagensregulareseaslivresdeontexto. Oprinipalmodeloomputaional

para estalassede linguagenssãoasgramátiaslineares. Esta gramátiapermite

geraradeiasfazendoasamentos entre prexose suxosde subadeiasdaadeia

asergerada. Esta apaidadedeasamentosfazomqueestalassedelinguagens

ontenhaa maioriadas linguagens livresde ontextousuais. Assim, por exemplo

a linguagemdos palíndromose

{a

n

_b

n

_:

_n

_≥

₁

_}

, que geralmente são usadasomo

exemplos de linguagens livres de ontexto quenão são regulares, são na verdade

linguagens lineares. Umexemplode umalinguagemqueé livredeontextoeque

nãoélinearé:

{a

n

_b

n

_a

m

_b

m

_:

_{n, m}

_≥

₁

_}

.

Emtermos de autmatos,naliteraturahá pelo menostrês modelosdiferentes

paraalassedaslinguagenslineares: Umtipoespeialdeautmatonitodeduas

tas [22, 12℄, tradutores nitos [22, 20℄ e autmatos ompilha que exeutam no

máximo uma voltapara qualquer entrada [11, 12, 14, 3, 13℄. Apesar dos méritos

deadaumdessesmodelos,elesnãosãonaturaisnemintrínseos,poisonsideram

1

elementosexternosaomodelo. Porexemplo,notipoespeialdeautmatonitode

duastas,aentradaédivididanasduastas,detalmodoqueasegundataontém

oreverso do pedaço mais àdireita da adeiade entrada. Note que osautmatos

usuais(autmatosnitosdeterminístios,autmatosompilha,máquinasdeTuring

mesmo a de duas tas , et.) assumem que a entrada inteira está na ta de

entradaaomomentode iniiaraomputação. Assim,estemodelonão possuiesta

araterístianatural. Alémdisso,aesolhadeondedividirassimomoareversão

dapartedireitaéfeitaexternaaomodelo. Portanto,estemodelonãoénemnatural

nem intrínseo. O tradutor nito também divide aentrada em duas partes, mas

asoloanuma úniataseparadasporumsímboloespeial,sendoqueasegunda

parte éinvertida. Assim, analogamenteao modeloanterior, tradutoresnitos não

são intrínseosnem naturais. Finalmente, uma vez que avoltano autmato om

pilha éummovimento oqualdereseapilha preedido poroutroqueaumenta a

pilha,oautmatoompilhaomnomáximoumavoltaélaramentenão natural.

Umavezquearestriçãoaoautmatoompilhadepoderfazernomáximoumavolta

não fazpartedaestruturadoautmato (sóanalisamosaposterioriseoautmato

ompilhasatisfazounãoestarestrição)estemodelotambémnãoéintrínseo.

Nesteartigopropomosummodelode autmatosalternativospara alassedas

linguagenslinearesquehamaremosautmatoslinearesnão-determinístiosom

λ

-transições,que donossoponto devistaémaisnaturalesimplesqueosmostrados

anteriormente. Além disso, nosso modelo é intrínseo e próprio, no sentido que

não é uma restrição de algum tipo de autmato. Outra vantagem do autmato

propostoomrespeitoaosoutrosmodeloséqueeleestendeosautmatosnitos

não-determinístios (afn), ouseja todo afn éumautmato linear não-determinístio

(aln).

Por outro lado, os

λ

-movimentos nas lasses habituais de autmatos não são

esseniaisparaosmodelos. Assim,porexemplo,

λ

-movimentonãoaumentaopoder

omputaionalde aeitaçãode autmatos nitos(ver,porexemplo,[14℄), nem de

um autmato om pilha (ver, porexemplo, [12℄) e nem das máquinas de Turing

(Tese de Churh). Neste trabalho, provamos que os aln não têm seu poder de

aeitaçãoaumentadoemfunçãodautilizaçãode

λ

-movimentos.

O artigo está organizado omo segue. Na seção 2. apresentamos o oneito

de gramátias lineares e das linguagens geradas por tais gramátias assim omo

duas novas formas normais para essas gramátias. Na seção 3. introduzimos o

oneitodeautmatoslinearesnão-determinístiosom

λ

-transiçõeseaslinguagens

aeitas por estes autmatos enquanto na seção seguinte mostramos que a lasse

das linguagensaeitas poresses autmatos éalasse daslinguagens lineares. Na

seção5.mostramosqueos

λ

-movimentos nãoaumentamopoderdeaeitaçãodos

autmatos lineares não-determinístiose portanto podemos presindir deles. Na

seção 6. apresentamos uma apliação dos aln no estudo de sequênias de DNA

2. Gramátias Lineares

Como usual, uma gramátiaformal

G

é uma quádrupla

hV, T, S, P

i

onde

V

éum

onjuntonitodesímbolosvariáveis,

T

éumonjuntonitodesímbolosterminais

eportanto

V

∩

T

=

∅

,

S

∈

V

éavariáveldeiníioe

P

⊆

(

V

∪

T

)

+

_×

₍

V

∪

T

)

∗

éo

onjunto deproduções. Paresordenados

(

x, y

)

∈

P

sãodenotadospor

x

→

y

.

Denição 2.1. Umagramátia

G

=

hV, T, S, P

i

élinear,seada

x

→

y

∈

P

étal

que

x

=

A

e

y

=

uBv

paraalgum

A, B

∈

V

e

u, v

∈

T

∗

. Umavariável

A

∈

V

será

hamada linear à esquerda seadaprodução

A

→

y

∈

P

ou

y

∈

T

∗

ou

y

=

Bz

para algum

z

∈

T

+

e

B

∈

V

. Analogamente, uma variável

A

∈

V

será hamada

linear à direita seadaprodução

A

→

y

∈

P

ou

y

∈

T

∗

ou

y

=

zB

para algum

z

∈

T

+

e

B

∈

V

. Umagramátialinear

G

estánaforma normal linear(fnl),

seadavariável

A

∈

V

ouélinearàdireitaouélinearàesquerda.

Assim, em uma gramátia linear, ada produção em

P

tem nolado esquerdo

umavariávelenoladodireitoumaadeiaomnomáximoumavariável(orestante,

sehouver,sãosímbolosterminais),semqualquerrestriçãodaposiçãodessaeventual

variável.

Notequeuma variável

A

emumagramátialinearserálinearàdireita elinear

àesquerda,ao mesmotempo,apenasquandotodasasproduçõestendo

A

nolado

esquerdo,têmnoseuladodireitoumaadeiaompostaapenasporsímbolos

termi-nais. Notetambémquediferentementedafnl,aformanormallinearusual(fnlu)

[23,12,5℄,permitequehajaduasproduçõesomomesmoladoesquerdo,masom

seusladosdireitosdireitosdiferindonaposiçãodavariável:emumadasproduções,

avariáveloorrenaposiçãomaisàesquerda,enquantonaoutraproduçãoavariável

oorrenaposiçãomaisàdireita. Observeque,seumagramátialinearestánafnl

entãotambémestánafnlu,porémumagramátianafnlupodenãoestarnafnl.

Comousual,paraada

u, v, w

∈

(

V

∪

T

)

∗

e

A

∈

V

,

uAw

⇒

uvw

seexisteuma

produção

A

→

v

∈

P

. Seja

⇒

∗

ofehoreexivoetransitivode

⇒

. A linguagem

geradaporumagramátia

G

é

L

(

G

) =

{w

∈

T

∗

_:

_S

_⇒

∗

_w}

Linguagensgeradasporgramátiaslinearessãohamadaslinguagenslineares.

Lema 2.1. Seja

G

umagramátia linear. Existeumagramátialinear

G

′

nafnl

tal que

L

(

G

) =

L

(

G

′

₎

.

Demonstração. Sem perda de generalidade, podemos assumir que agramátia

G

não ontémproduçõesunitárias 2

. Para ada

A

∈

V

e

u

∈

T

+

seja

Au

=

{A

→

uBv

∈

P

:

paraalgum

B

∈

V

e

v

∈

T

+

_}

. Se

Au

6

=

∅

entãosubstituaadaprodução

A

→

uBv

∈

Au

em

P

pelasproduções

A

→

uC

e

C

→

Bv

,onde

C

éumavariável

nova,eadiione

C

a

V

. Nesteponto,adaprodução temaforma:

2

Produções unitáriassãoproduções da forma

A

→

B

. Atransformação de umagramátia linearemuma gramátialinearequivalente (ousejaquegera amesmalinguagem)livredetais

A

→

uB, A

→

Bu

or

A

→

u

paraalgum

u

∈

T

∗

e

A, B

∈

V

. Seavariável

A

∈

V

nãoénemlinearàdireitanem

linear à esquerda, então substitua ada produção

A

→

Bv

∈

P

pelas produções

A

→

C

e

C

→

Bv

, onde

C

éuma variávelnova, eadiione

C

a

V

. A gramátia

resultante estánafnleéequivalente àgramátiaoriginal.

Umagramátialinear

G

estánaformanormallinearforte(fnlf)seestána

fnleosladosdireitosdasproduçõessãodaforma

aA

ou

Aa

paraalgum

a

∈

T

∪{λ}

e

A

∈

V

∪ {λ}

.

Proposição2.1. Seja

G

umagramátialinear. Existeumagramátialinear

G

b

na fnlftal que

L

(

G

) =

L

(

G

b

)

.

Demonstração. Primeiroobtenhaafnlde

G

seguindooalgoritmodesritonoLema

2.1eemseguidaapliqueoseguintealgoritmo:

Paraada

A

∈

V

e

a

∈

T

,se

A

a

₌

_{A

_→

_ya

_∈

_P

_:

_{|y| ≥}

₂

ou

y

∈

T

} 6

=

∅

,então

adiione uma variávelnova

B

a

V

, removade

P

asproduçõesem

A

a

eintroduza

asproduções

A

→

Ba

e

B

→

y

,para ada

A

→

ya

∈

A

a

.

Depois, de forma análoga, para ada

A

∈

V

e

a

∈

T

se

Aa

=

{A

→

ay

∈

P

:

|y| ≥

2

ou

y

∈

T

} 6

=

∅

, então adiione uma variável nova

B

a

V

, remova

de

P

as produçõesem

Aa

eintroduza asproduções

A

→

aB

e

B

→

y

, paraada

A

→

ay

∈

Aa

.

Oresultadoéumagramátialinearnafnlfequivalentea

G

.

3. Autmato Linear Não-Determinístio om

λ

-Transições

Umautmatolinearnão-determinístioom

λ

-transições 3

(

λ

-aln),onsiste

dedoisonjuntosnitosdisjuntosdeestados(

Q

e

P

)algunsdosquaisserão

onsi-deradosomoestadosdeaeitação,umatadeentradainnitaàdireitaedividida

em élulas,ada uma dasquais omportaum símbolo deum alfabeto de entrada

(ouo símbolol espeialque representao onteúdoem brano),duas abeças

lei-toras e uma unidade de ontrole que administra a onduta do

λ

-aln de aordo

om a onguração orrente. A exeução do

λ

-aln omeça om uma adeia na

ta de entrada, om a abeça leitora esquerda apontando para osímbolo mais à

esquerdana taeaabeçaleitoradireita apontandopara osímbolo(diferente de

brano)mais àdireita nataetendoomoestadoorrente umestadopertenea

umsubonjuntoespeialde

Q

∪

P

, hamadode onjunto de estadosiniiais. Um

passo omputaional num

λ

-aln é feito omo segue: a unidade de ontrole, em

funçãoda lasseque pertene oestadoorrente,usaaabeça leitoraesquerdaou

direita para lerumsímbolo data, logomoveuma élula paraadireita aabeça

3

Otermolinearaquiédevidoaofatodeaeitarlinguagenslinearesdiferentementedos

leitoraesquerda,asooestadoorrentepertençaa

Q

,ouumaélulaparaesquerda

a abeça leitora direita, aso o estado orrente pertença a

P

. Ao mesmo tempo

muda, seguindouma esolha não-deterministia, para umestado de um onjunto

depossíveisestados. Aunidadedeontroledeum

λ

-alntambémadmitemudarde

estadosemmoverasabeçasleitoras,istoésemlersímbolosdatadeentrada. A

omputaçãopáraquandoumaabeçaleitoraruzaaoutra,asooestadoorrente

nesse momentosejadeaeitaçãoo

λ

-alnaeita aadeiadadaomoentrada, aso

ontrárioarejeita. Agura1ilustraumarepresentaçãoesquemátiadeum

λ

-aln.

Formalmente,um

λ

-alnéumasêxtupla

M

=

hQ, P,

Σ

, δ, I, F

i

onde

Q

e

P

são

onjuntosnitosdisjuntosdeestados,

Σ

éumonjuntonitodesímbolosdeentrada

(alfabeto),

I

⊆

Q

∪

P

éoonjuntodeestadosdeiníio,

F

⊆

(

Q

∪

P

)

éumonjunto

de estados de aeitação e

δ

: (

Q

∪

P

)

×

(Σ

∪ {λ}

)

−→

℘

₍

_Q

_∪

_P

₎

é a função de

transição 4

.

Analogamenteaautmatosnitos,ada

λ

-alntemassoiadoumgrafodirigido

hamadodiagramadetransição. Aúniadiferençaomosdiagramasdetransição

de autmatos nitos está na forma omo distinguimos os estados de

Q

om os

estadosde

P

. Paraosprimeirosusamos írulosenquanto paraosoutros usamos

quadrados. Assim,umautmato nitonão-determinístiopodeservistoomoum

λ

-alnonde

P

=

∅

. Portanto,

λ

-alnéumaextensãonaturalparaautmatosnitos

λ

-não-determinístios.

Estado

atual

Unidade de

Controle

Cabeça de

leitura

esquerda

Fita de Entrada

Cabeça de

leitura direita

Figura1: Representaçãoesquemátiadeum

λ

-aln.

Umadesriçãoinstantânea(DI)deum

λ

-alndeveregistraroestadoorrente,

oquerestalerdaadeiadeentradaequalabeçaestáativa. Assim,umaDIéum

par

(

q, w

)

∈

(

Q

∪

P

)

×

Σ

∗

signiandoquerestaaindaler

w

nataequeoestado

atualé

q

. Aabeçaleitoraqueestáativaédeduzidaapartirdoestadoorrente.

Osímbolo

⊢

denotaráummovimentodeuma DIaoutraDI.Assim,paraada

q

∈

Q

,

q′ ∈

Q

∪

P

,

p

∈

P

,

w

∈

Σ

∗

e

a

∈

Σ

∪ {λ}

4

Observequeousodeumonjuntodeestadosomosendoestadosiniiaisnãoéartiial,uma

vezquehádiversosautoresqueusamonjuntosdeestadosiniiaisemsuadeniçãodeautmatos.

(

q, aw

)

⊢

(

q′, w

)

épossívelse,esomente se,(sss)

q′ ∈

δ

(

q, a

)

e

(

p, wa

)

⊢

(

q′, w

)

épossívelsss

q′ ∈

δ

(

p, a

)

.

Usamos

∗

⊢

paraofehoreexivoetransitivode

⊢

,ouseja

∗

⊢

representauma

quantidadearbitráriademovimentos.

Alinguagemaeitaporum

λ

-aln

M

éoonjunto

L

(

M

) =

{w

∈

Σ

∗

_{: (}

_{q0, w}

₎

_⊢

∗

₍

_{qf, λ}

₎

paraalgum

qf

∈

F

e

q0

∈

I}

4.

λ

-aln's e Linguagens Lineares

Primeiromostraremosqueadalinguagemaeitaporalgum

λ

-alnélinear.

Teorema 4.1. Seja

M

=

hQ, P,

Σ

, δ, I, F

i

um

λ

-aln. Entãoexiste umagramátia

linear

G

tal que

L

(

M

) =

L

(

G

)

.

Demonstração. Seja

G

=

hQ

∪

P

∪ {S},

Σ

, S, P

′

_i

onde

P

′

₌

_{qi

_→

_aqj

_:

_a

_∈

_Σ

_{∪ {λ}, qi}

_∈

_{Q, qj}

_∈

_Q

_∪

_P

e

qj

∈

δ

(

qi, a

)

}∪

{pi

→

qj

a

:

a

∈

Σ

∪ {λ}, pi

∈

P, qj

∈

Q

∪

P

e

qj

∈

δ

(

qi, a

)

}∪

{qf

→

λ

:

qf

∈

F

} ∪ {S

→

q0

:

q0

∈

I}

Claramente,

L

(

M

) =

L

(

G

)

.

Observação 4.1. Obviamente quando

I

=

{q0}

para algum

q0

∈

Q

∪

P

, p

ode-mos usar o próprio

q0

omo variável iniial eapagar toda oorrênia de

S

em

G

.

Inlusonoasode

I

⊆

Q

ou

I

⊆

P

poder-se-iausaraténiadeeliminaçãode

pro-duções unitárias usualmenteapliadas em gramátias livres de ontexto, onforme

exempliado em[14 , 7, 19,5℄.

Notequeagramátia

G

resultantedaprovaestánafnlf.

Agoraprovaremosqueadalinguagemlinearéaeitaporum

λ

-aln.

Teorema4.2. Seja

G

=

hV, T, S,

P

b

i

umagramátialinear. Entãoexisteum

λ

-aln

M

talque

L

(

G

) =

L

(

M

)

.

Demonstração. Sem perda degeneralidadepodemosassumirque

G

estánafnlf.

Seja

Q

=

{A

∈

V

:

A

é uma variável linear à direita

} ∪ {C}

, onde

C

6∈

V

e

P

=

{A

∈

V

:

A

éumavariávellinearàesquerda

}

. Então,

M

=

hQ, P, T, δ,

{S}, F

i,

onde

F

=

{C}

eparaada

A

∈

Q

∪

P

e

a

∈

T

∪ {λ}

,

δ

édenidapor

δ

(

A, a

) =

(

{B

∈

V

:

A

→

aB

∈

P

b

ou

A

→

Ba

∈

P

b

}

,se

A

→

a

6∈

P

b

{B

∈

V

:

A

→

aB

∈

P

b

ou

A

→

Ba

∈

P

b

} ∪ {C}

,se

A

→

a

∈

P

b

Notequeosalgoritmosnosteoremas4.1e4.2sãoduais,nosentidoqueapliando

umeem seguidaooutrosemprevoltaremosaooriginal.

Observetambémque,omeanismodeparadadosaln,apesardenãoexplíitado

emsuaformulaçãomatemátia,podeserformalizadoatravésdanoçãodeDIomo

segue: quandoforahadoumaDI

(

q, λ

)

apartirdomovimentodeumaoutraDI(por

exemplo,

(

q

′

_{, a}

₎

_⊢

₍

_{q, λ}

₎

), estamosnasituaçãoem queuma abeça leitoraruza a

outra eportantoaexeuçãodoalnpára.

5.

λ

-Movimentos são Desneessários

Um

λ

-alnsem

λ

-transiçõesserádenominadodeautmatolinear

não-determi-nístio(aln).

Os

λ

-movimentos nas lasses usuais de autmatos não são esseniais para os

modelos. Por exemplo,

λ

-movimentos não aumentam o poder omputaional de

aeitaçãode autmatosnitos (veja,porexemplo,[14℄), deautmatos ompilhas

(veja,porexemplo,[12℄)nemdemáquinasdeTuring(pelatesedeChurh). Assim,

resulta razoávelesperar que aln e

λ

-aln tenhamexatamente o mesmo poder de

aeitação. Porém,quandouma

λ

-transiçãoemum

λ

-alnoorreentredoisestados

de diferentes tipos não éóbvioomo podemoseliminá-la semalterara linguagem

aeitapeloautmato.

Teorema 5.1. Seja

M

=

hQ, P,

Σ

, δ, I, F

i

um

λ

-aln. Entãoexisteumaln

M

′

tal

que

L

(

M

) =

L

(

M

′

₎

.

Demonstração. Oseguintealgoritmomostraomo obtertalaln

M

′

:

1. Adiione a

I

qualquer estado

q

para o qual exista uma

λ

-transição de um

estado

q0

∈

I

a

q

. Repetir este passo até não onseguir adiionar qualquer

novoestadoa

I

.

2. Paraada

λ

-transição deumestado

q

′

_∈

_Q

_∪

_P

aumestado

q

′′

_∈

_Q

_∪

_P

:

(a) Apague-adodiagramadetransição,e

(b) Paraadaestado

q

∈

Q

∪

P

e

a

∈

Σ

∪ {λ}

,seháumatransiçãorotulada

por

a

desde

q

a

q

′

,entãoadiioneumanovatransição,tambémrotulada

por

a

,de

q

a

q

′′

.

6. Apliação

Linguagens formais têm diversas apliações que vão além do desenvolvimento de

ompiladores. Porexemplo,podemserapliadosemriptograa[24℄,em

proessa-mentodigitaldeimagens[15℄,embiologiamoleular[2℄,emteoriadaoptimalidade

[18℄, emreonheimentosdegestosdaLIBRAS[6℄,et. Aquiapresentaremosuma

6.1. Palíndromos

Palíndromos,ousejaadeiasquetêmomesmoresultadoquandolidasdaesquerda

paraadireita oudadireita paraesquerda, emboraaparentemsermerosjogos

lin-guístios ou uma onstrução interessante em teorias dos números (por exemplo,

o estudo dos númerosprimos que são palíndromos em sua representaçãodeimal

[10℄)têmapliaçõesimportantesnoestudodesequêniasdeDNA.Anoçãode

pa-líndromos sobre um alfabeto

Σ

pode sergeneralizada poronsiderar uma função

φ

: Σ

→

Σ

daseguinte forma:

λ

éum

φ

-palíndromoe

a

∈

Σ

é um

φ

-palíndromo

somentese

a

=

φ

(

a

)

. Se

w

∈

Σ

∗

éum

φ

-palíndromoentão

awφ

(

a

)

tambémseráum

φ

-palíndromo,paratodo

a

∈

Σ

.

Umafunção

ψ

: Σ

∗

_→

_Σ

éuma involuçãomóra(antimóra)seéinvolutiva,

ouseja

ψ

◦

ψ

=

IdΣ

∗

eparatodo

u, v

∈

Σ

∗

,

ψ

(

uv

) =

ψ

(

u

)

ψ

(

v

)

(

ψ

(

uv

) =

ψ

(

v

)

ψ

(

u

)

)

[16,17℄.

Proposição6.1. Seja

φ

: Σ

→

Σ

umainvolução. Então,asfunções

φ,

e

φ

b

: Σ

∗

_→

_Σ

∗

denidas reursivamentepor

e

φ

(

λ

) =

φ

b

(

λ

) =

λ,

φ

e

(

wa

) =

φ

e

(

w

)

φ

(

a

)

e

φ

b

(

wa

) =

φ

(

a

)

φ

b

(

w

)

são,respetivamente,involuçõesmóraseantimóras.

Demonstração. Trivial.

Claramente,

φ

b

(

w

) =

φ

e

(

w

)

R

₌

_φ

_e

₍

_w

R

₎

,onde

w

R

éaadeiareversade

w

.

Teorema 6.2. Seja

φ

: Σ

→

Σ

uma involução e

w

∈

Σ

∗

. Então

w

é um

φ

-palíndromo sss

w

=

φ

b

(

w

)

Demonstração. A base da indução(

λ

e

a

∈

Σ

tal que

a

=

φ

(

a

)

) é trivial. Como

hipóteseindutivaonsidereum

φ

-palíndromo

w

∈

Σ

∗

talque

w

=

φ

e

(

w

)

. Então,

e

φ

(

awφ

(

a

)) =

φ

e

(

wφ

(

a

))

φ

e

(

a

) =

φ

e

(

φ

(

a

))

φ

e

(

w

)

φ

(

a

) =

awφ

(

a

)

.

Em[16,17℄éusadaasegundapartedeste teoremaomodeniçãoprimitivade

θ

-palíndromo,onde

θ

: Σ

∗

_→

_Σ

∗

éumafunçãoinvolutivaeantimóra. Porém,nas

provasderesultadosem[17℄usamdefato

φ

b

. UmdessesresultadoséaProposição7 eoLema9,ondeprovamquedadoumainvoluçãoantimóra

θ

sobreumalfabeto

Σ

,oonjuntodos

θ

-palíndromos,

Pθ

,éumalinguagemlivredeontextonãoregular.

Masaquirenaremosmaisesseresultado.

Teorema 6.3. Seja

φ

: Σ

→

Σ

umainvolução. Então

Pφ

é umalinguagem linear

(determinístia).

Demonstração. Seja

∆ =

{a

∈

Σ :

a

=

φ

(

a

)

}

. Entãooaln

M

=

h{q0}, P,

Σ

, δ,

{q0}, F

i

tal que

P

=

{pa

:

a

∈

Σ

}

,

F

=

{q0} ∪ {pa

:

a

∈

∆

}

, e para todo

a

∈

Σ

,

6.2. DNA e Palíndromos

Osáidos nuléios fazemparte das élulas vivasesão responsáveispelo

armaze-namento e transmisão dainformação genétia assim omo pela síntese preisa de

proteínas. Osáidosnuléiossão asbiomoléulasque ontémasinformações

ge-nétiaseportanto sãofundamentaispara oontroleelular. Elasestãoompostas

de subunidadeshamadasdenuleotídeos(áidofosfório,açúar,base puríniae

base pirimidínia). Existem dois tiposde áidos nuléios: áidos

desoxirribonu-léios(DNA)eáidosribonuléios(RNA). Umamoléulade DNAestáformada

por umapentose(açúar formadopor5arbonos),umáido fosfórioeuma base

nitrogenada. Háquatro possíveistiposde bases nitrogenadasno DNA- Adenina

(A),Citosina(C), Guanina(G)eTimina(T)-asquaispodemserlassiadasem

purínias (A eG) epirimídias (Ce T).Estas quatro bases ligam-se ao açúare

ao fosfato para formar DNA ompleto numa estrutura de dupla hélie [1℄. Cada

hélieformaumaadeia(sequênia)debasesnitrogenadas,detalformaqueháum

emparelhamentodeambas,onetandoadabasedeumaadeiaomumabaseda

outraadeia,fazendouma espéiedeponteentreambasasadeias. Estas ligações

sópodem serfeitasentre basesdotipo

A

om

T

edotipo

C

om

G

, oquelevaa

trataressasbasesomoomplementares.

Numnível maisabstrato,podemosonsiderar asbases nitrogenadasomoum

alfabeto

Σ =

{A, C, G, T

}

. Afunção

θ

: Σ

→

Σ

denida por

θ

(

A

) =

T

,

θ

(

T

) =

A

,

θ

(

C

) =

G

e

θ

(

G

) =

C

élaramente involutiva.

θ

éonheidaomoainvoluçãode

Watson-Crik,porteremsidoeles(JamesWatsoneFranisCrik)quepropuseram

em 1953 o modelo de dupla hélie para o DNA e portanto esse aparelhamento

entre bases omplementares. Um

θ

-palíndromo é onheido omo palíndromo de

Watson-Crik[17℄.

θ

-palíndromoseoutrostiposderedundâniasoorremomfrequêniasem

sub-adeias de DNA (veja por exemplo [21℄). Uma questão que torna importante o

estudo destas sequênias é que alguma enzimas têm a apaidade de reonheer

palíndromosparadepoisremovê-los,provoandoumamutaçãonoDNA.Neste

sen-tido,omodemonstradonoTeorema6.3,os

λ

-alnpodemserumaferramentaútil

paraesse tipodepesquisa. Porexemplo,o

λ

-alndaFigura 2éapazdedetetar

seumDNA ontémumsegmento quesejaum

θ

-palíndromodetamanho superior

ouiguala

2

n

,para algum

n

≥

3

,mesmo quesuasmetadesestejam separadaspor

diversasbasesnitrogenadas.

7. Considerações Finais

Estetrabalhointroduzummodelodeautmatosintuitivoesimplesparalinguagens

lineares que estende de maneiranatural os autmatos nitos não-determinístios

om

λ

-transições (

λ

-afn). Mais ainda, os

λ

-aln são intrínseos, no sentido que

não onsideram agentes externosao modelo, omo oorreom osoutros modelos

de autmatos para esta lasse de linguagens. Outra propriedadeinteressante dos

Figura2:

λ

-aln quedetetaem umDNAaoorrêniadealgum

θ

-palindromode

tamanhomaiorouiguala2n.

estendem de modo natural

λ

-afn, no sentido que todo

λ

-afn é um

λ

-aln om

P

=

∅

.

Nesteartigotambémprovamosque,analogamenteaoasodeautmatosnitos,

autmatos om pilha e máquinas de Turing, os

λ

-movimentos não aresentam

poderomputaionala

λ

-aln.

Comouma formade mostrarautilidade deste novoformalismo,apresentamos

umaapliaçãoemsequêniaspalindrmiasdeDNA.Depasso,apresentamosnovos

resultadosteóriosnestaárea.

Asimpliidadedasprovasnesteartigoadvemdasimpliidadedomodelooqual

seria outra vantagem deste modeloquando omparadoom osoutrosmodelosde

autmatosparaalassedaslinguagenslineares.

Comotrabalhosfuturospretende-seestudaralgumassublasesdealn,omopor

exemploautmatoslinearesdeterminístios(ald)eompararalassedelinguagens

aeitasporaldomalgumasdaslassesdelinguagenslinearesapresentadasem[9℄

equesãohamadasdedeterminístias. Emseguida poderiamosestabeleeruma

hierarquia innita de lasses de linguagens iniiando dessa lasse de linguagens

lineares determinístias até alasse daslinguagens lineares, deforma análoga à

hierarquiadelinguagenslivresdeontextoem[4℄.

Agradeimentos

Agradeço aosrevisoresannimospelas suassugestõesque ajudaramamelhorara

qualidade do artigo assim omo ao meu aluno de doutorado, Anderson de Paiva

Cruz,pelarevisãonalesugestõesfeitas.

Abstrat. Inthispaperwe introduethe lassof linearnon-deterministi

provethatthelassoflanguagesaeptedbysuhautomataisexatlythelassof

linearlanguages. Alsoweshowthat,analogouslytoniteautomataandpushdown

automata, theoorrenesof

λ

-transitions inanon-deterministilinearautomaton notmeansthatnotbepossibledeneanon-deterministilinearautomatawithout

λ

-transitionswhihaeptthesamelanguage.Thus,

λ

-transitionsnotinreasesthe

aeptanepowerofthislassofautomataandthereforeanbedispensed. Finally,

wepresentanappliationofthisautomataintheontextofbioinformatis.

Keywords. Linear languages, linear grammars, normal form, non-deterministi

linearautomata,

λ

-transitions.

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