Algoritmos evolucionários eficientes para otimização de redes

(1)

Centro de Pesquisa e Desenvolvimento emEngenharia Elétria

Algoritmos Evoluionários Eientes para

Otimização de Redes

Eduardo Gontijo Carrano

Tesede doutoradosubmetidaà BanaExaminadora

de-signada pelo Colegiado do Programa de Pós-Graduação

emEngenharia Elétria da UniversidadeFederal de

Mi-nasGerais, omo requisito parial para obtenção do

tí-tulode Doutor emEngenharia Elétria.

Orientador: Prof. Riardo HiroshiCaldeira Takahashi

(2)

Neste trabalho apresentam-se novas ferramentas voltadas à otimização de redes.

Primeiramente são apresentadas abstrações de oneitos ontínuos, apazes de gerar

oneitosanálogosnoespaçodisreto, ondeasredes sãodenidas. Estes oneitos

on-feremaoespaçode redesferramentasomorepresentaçõesespaiais,álulosde posição

relativa e distânia e determinação de direções. Isso torna possível a implementação

de ténias geralmente só empregadas em problemas ontínuos, omo análises de

dis-persão, busas loais, otimizações unidimensionais, et, que podem ser inorporadas

aos algoritmos de otimização através de operadores evoluionários. Estes operadores

sãoutilizadosomobase paraaonstruçãode dois algoritmos: um AlgoritmoGenétio

e um Algoritmo de Seleção Clonal. Estes algoritmos foram apliados na solução de

dois problemas lássios, reonheidamente omplexos, e em dois problemas prátios.

Alémdisso, são apresentados algoritmosespeíos,voltados a três situações distintas

doproblemade projeto desistemas de distribuiçãode energiaelétria: posiionamento

de subestações assoiado ao projeto da topologia de redes, projeto multi-objetivo de

redes de distribuição de energia e sheduling da expansão de sistemas de distribuição

deenergia. Estes algoritmossão baseados emoperadoresquesão onstruídostendoem

onta asaraterístias espeíasdos problemas tratados.

Osresultadosobtidosmostramqueasferramentasdesenvolvidassãoúteisnasolução

de problemasde otimização emredes, sendoapazes de obter boas soluçõesem

(3)

This work presents new tools tohelp in the solution of networkoptimization

prob-lems. Firstly, some onepts of ontinuous spaes have been extended to the disrete

spae, where the networks are dened. These onepts grant to the network spae

in-terestingproperties,suh asspatialrepresentations, relativepositionalulus,distane

measurements and diretion denitions. They make possible the implementation of

tehniques whihare usuallyemployed onlyinontinuousproblems, suhasdispersion

analysis, loalsearhes, unidimensionaloptimizations, et, whih an be embedded in

optimization algorithmsthrough evolutionary operators. These operators are used to

build two algorithms: a Geneti Algorithm and a Clonal Seletion Algorithm. These

algorithms have been employed for optimization of two lassial problems whih are

known to be diult, and two pratial ases. Besides, three problem spei

algo-rithms are presented, for three situations of distribution system design: joint faility

loation and network topology design, multi-objetive design of distribution systems

andsystem expansionsheduling. Thesealgorithmsarebased onoperatorswhihhave

been built taking into aount the harateristis of problem.

The results showthat the developed toolsare useful fornetwork optimization, and

thattheyanobtaingoodsolutionsinproblemswhihouldnotbesolvedbytraditional

(4)

Antes detudoagradeçoaDeusportudoqueEletemproporionadoemminhavida,

aminhamãeEnia, portudo quefezpormimenquanto esteve aomeulado eameu pai

Jorge,portoda ompreensão, amizade,ompanheirismo e apoioirrestritodediados.

AgradeçoaosmeuorientadoresRiardoTakahashi,OrianeMagelaeCarlosM.F

on-sea, não só pela orientação reebida e tempo dediado, mas também por todas as

nossas longas disussões que sempre resultaram em boas idéias e são responsáveis por

boaparte doonteúdo deste texto.

Agradeço à minha família,prinipalmente àMaria, Evelin, César, Manoel, Samuel

e Estelita, pelo arinho e força e a minha namorada Danielle pelo amor, ompreensão

epaiênia, prinipalmente nos momentos difíeis.

Agradeçoaos meusamigos Frederio Gadelha,RodrigoCardoso, Luiano Pimenta,

EdgarPereira,LuísEpifânio,AlexandreRamos,RiardoAdriano,CássiaNunes,Bruno

Baetae ÉriBaeta pelaajudaao longo destapesquisa.

Agradeçoatodos meus professores, prinipalmenteRodney Saldanha,Jaime

Rami-rez, José Raphael, Walmir Caminhas, Antnio Braga, João Vasonelos e Élie Melo

porterem feito partede minhaformação aadêmia eientía.

(5)

Lista de Figuras viii

Lista de Tabelas x

Lista de Arnimos xi

1 Projeto Ótimo de Redes 1

1.1 Grafos . . . 5

1.1.1 Árvores . . . 6

1.2 Representação das Variáveis . . . 8

1.3 Formulação Geral doProblemade Projeto Ótimode Redes . . . 9

1.3.1 Árvore Geradora Mínima -MST . . . 10

1.3.2 Árvore de Comuniação Ótima- OCST . . . 11

1.3.3 Árvore Geradora QuadrátiaMínima - q-MST . . . 11

1.4 Modelagemde Sistemas Reais UtilizandoRedes . . . 12

2 FormulaçãoGeraldeProblemasde OtimizaçãoContínuaeAlgoritmos Determinístios 15 2.1 Formulação Geral de Problemas de OtimizaçãoContínua . . . 15

2.1.1 Caso Mono-objetivo . . . 15

2.1.2 Caso Multi-objetivo. . . 17

2.2 Algoritmos Determinístiospara Problemas Mono-objetivo . . . 19

2.2.1 Algoritmo quasi-Newton BFGS . . . 20

2.3 Algoritmos Determinístiospara Problemas Multi-objetivo . . . 23

2.3.1 Abordagemvia ProblemaPonderado -

P λ

. . . 23

2.3.2 Abordagemvia Problema

ǫ

Restrito -P

ǫ

. . . 25

2.3.3 AbordagemHíbrida . . . 26

2.4 Tratamento de RestriçõesemAlgoritmos Determinístios . . . 28

2.4.1 Método de Barreira . . . 28

(6)

3 Algoritmos Evoluionários 31

3.1 Algoritmos Evoluionários Mono-objetivo . . . 32

3.1.1 Algoritmo Genétio . . . 32

3.1.2 Algoritmo de Seleção Clonal . . . 39

3.2 Algoritmos Evoluionários Multi-objetivo . . . 45

3.2.1 NSGA-II . . . 47

3.3 Tratamento de RestriçõesemAlgoritmos Evoluionários . . . 52

3.3.1 Penalidade de Soluções . . . 52

3.3.2 Eliminaçãode Soluções . . . 52

3.3.3 Reparo de Soluções . . . 52

3.4 Diuldades na Apliação de Algoritmos Evoluionários para Projeto Ótimo de Redes . . . 53

3.4.1 Uso de Operadores Desenvolvidos para Redes . . . 54

3.4.2 Uso de CodiaçõesEspeías para Redes . . . 55

3.4.3 Controle Dimensionalem Problemas de Redes . . . 57

4 Projeto de Redes Utilizando Algoritmos om Inspiração Contínua 65 4.1 Coneitos Contínuos em Projeto de Redes . . . 66

4.1.1 PosiçõesRelativase Medidas de Distânia emProblemas de Redes 68 4.1.2 Pesos TopológiosemÁrvores . . . 73

4.2 Operaçõesno EspaçoVetorial . . . 74

4.2.1 Interpolaçãoem Linha eBusa Unidimensional . . . 74

4.2.2 Vizinhança eBusa Loal . . . 76

4.2.3 PontosAleatórios aDistânias Pré-denidas . . . 77

4.3 Exemplos . . . 78

4.4 Algoritmos Evoluionários Desenvolvidos . . . 82

4.4.1 Operadores . . . 82

4.4.2 GANet . . . 85

4.4.3 ClonalNet . . . 85

4.5 Resultados . . . 86

4.5.1 Metodologia de Comparação dos Algoritmos . . . 87

4.5.2 OCST . . . 91

4.5.3 q-MST . . . 93

4.6 Testes de Desontinuidadedo Espaço de Redes . . . 95

4.6.1 Teste de Desontinuidade 1 . . . 96

4.6.2 Teste de Desontinuidade 2 . . . 97

5 Apliações no Projeto e Planejamentode Sistemas de Distribuiçãode Energia Elétria 100 5.1 O Sistemade Distribuiçãode Energia Elétria . . . 100

(7)

5.2 Sistema Teste . . . 107

5.3 ExpansãodeRedesdeDistribuiçãoConsiderandoInertezasnaEvolução de Carga . . . 109

5.3.1 Análise de SensibilidadeMulti-objetivo . . . 110

5.3.2 Resultados . . . 115

5.4 ProjetoMulti-objetivo de Redes de Distribuição . . . 120

5.4.1 Algoritmo GenétioEspeío . . . 120

5.4.2 Resultados . . . 121

5.5 Loalizaçãode SubestaçõesAssoiadoaoProjetodaTopologiade Redes de Distribuição- Caso Mono-objetivo . . . 125

5.5.1 Formulação doProblema . . . 126

5.5.2 Algoritmo Proposto . . . 127

5.5.3 Resultados . . . 128

5.6 Loalizaçãode SubestaçõesAssoiadoaoProjetodaTopologiade Redes de Distribuição- Caso Multi-objetivo . . . 135

5.6.1 Formulação doProblema . . . 135

5.6.2 Algoritmo Coneitual . . . 137

5.6.3 O AlgoritmoGA-BFGS Multi-objetivo . . . 139

5.6.4 Resultados . . . 140

5.7 Sheduling da Expansão de Sistemas de Distribuição Utilizando o Dy-nami Programming GenetiAlgorithm (DP-GA) . . . 144

5.7.1 Sheduling da Expansãode Sistemasde Distribuição . . . 145

5.7.2 Dynami Programming Geneti Algorithm -DP-GA . . . 148

5.7.3 Métodos Não-dinâmios . . . 149

5.7.4 Resultados . . . 150

6 Conlusões e Propostas de Continuidade 154 6.1 Conlusões. . . 154

6.1.1 Projeto de Redes . . . 154

6.1.2 Algoritmos Evoluionários Baseados em InspiraçõesContínuas . 155 6.1.3 Apliações no Projeto de Sistemas de Distribuição de Energia Elétria . . . 155

6.2 Propostas de Continuidade . . . 157

6.3 Produção BibliográaDurante oDoutoramento . . . 159

Referênias Bibliográas 161 A Denições Relevantes 173 A.1 Conjuntos . . . 173

(8)

B Operadores Desenvolvidos 176

B.1 Operadores - KruskalGA . . . 176

B.1.1 Cruzamento . . . 176

B.1.2 Mutação . . . 177

B.2 Operadores - GANet e ClonalNet . . . 177

B.2.2 Mutação . . . 178

B.3 Operadores - NSGA-PS . . . 179

B.3.2 Mutação . . . 180

B.3.3 Operadores Determinístios . . . 183

B.4 Operadores - DP-GA . . . 184

B.4.1 Operadores de Correção . . . 184

B.4.3 Mutação . . . 185

C Sheduling da Expansão do Sistema de 100 Nós - Soluções Obtidas 189 C.1 Sheduling ObtidopeloDP-GA . . . 189

C.2 Sheduling ObtidopeloAlgoritmoGenétio Não-Dinâmio . . . 192

(9)

1.1 Exemplo de grafo . . . 6

1.2 Exemplo de árvore geradora . . . 8

1.3 Exemplo de grafoom redundânia . . . 13

1.4 Exemplo de ilo de Hamilton . . . 13

2.1 Exemplo de fronteira Pareto emum problema bi-objetivo . . . 19

2.2

P λ

. . . 25

2.3 Funionamentodaabordagem

P ǫ

. . . 26

2.4 Falhas do

P ǫ

. . . 27

3.1 Métodos de seleção emGA's: RWS vs. SUS . . . 37

3.2 Células dosistema imunológio . . . 40

3.3 Exemplo de fronteira Pareto emum problema bi-objetivodisreto . . . 46

3.4 Exemplo de odiação porraio de abrangênia . . . 60

3.5 Limitaçõesdaodiação porraiode abrangênia . . . 61

3.6 Triangulação de Delaunay de um onjuntode 5pontosnoplano . . . . 63

4.1 Interpolação de redes . . . 76

4.2 Geração de redes a distânias pré-denidas . . . 78

4.3 Sistema de 3 nós . . . 79

4.4 Sistema de 3 Nós- Representação dos vetores em

R

3

. . . 80

4.5 Sistema de 9 nós . . . 81

4.6 Sistema de 9 nós - Rede

R

. . . 82

4.7 Variávelaleatória

X1

. . . 89

4.8 Exemplo de dominâniaestoástia de primeiraordem . . . 89

4.9 OCST - Intervalos . . . 91

4.10 q-MST - Intervalos . . . 93

4.11 OCST (25 nós) - Teste de desontinuidade 1 . . . 96

4.12 OCST (50 nós) - Teste de desontinuidade 1 . . . 96

4.13 OCST (25 nós) - Teste de desontinuidade 2- Direção 1 . . . 98

(10)

5.1 Sistema teste - Conexões possíveis . . . 107

5.2 Sistema teste - Melhor soluçãoalançada . . . 108

5.3 Inerteza aumulada emuma variável Gaussiana . . . 113

5.4 Sistema de 21 nós - Problema . . . 115

5.5 Sistema de 21 nós - Resultados . . . 116

5.6 Sistema de 21 nós - Alternativasviáveis . . . 117

5.7 Sistema de 21 nós - Conjunto de Pareto . . . 122

5.8 Sistema de 21 nós - Algumasredes do onjunto de Pareto . . . 123

5.9 Sistema de 100 nós -Conexões possíveis . . . 123

5.10 Sistema de 100 nós -Conjuntode Pareto . . . 124

5.11 Sistema de 100 nós -Rede A . . . 124

5.12 Caso real . . . 129

5.13 Sistema real - Posição daSS paradiferentes horizontes de tempo . . . . 130

5.14 Sistema real - Topologias . . . 131

5.15 Sistema real - Custoaumulado . . . 132

5.16 Sistema tíio- Posição da SS para diferentes horizontes de tempo . . 133

5.17 Sistema tíio- Topologias . . . 134

5.18 Sistema tíio- Custo aumulado . . . 134

5.19 Exemplo de fronteira Pareto para o problema MJFLND . . . 137

5.20 Soluçõesanalisadas pelo algoritmonoMJFLND . . . 139

5.21 Algoritmo GA-BFGSmulti-objetivo . . . 141

5.22 Sistema real - FronteiraPareto. . . 142

5.23 Sistema real - Algumassoluçõesdo onjunto de Pareto . . . 143

5.24 Exemplo de sheduling da expansão de uma rede. . . 147

5.25 Representação da expansãoapresentada na Fig. 5.24 . . . 149

5.26 Sistema de 100 nós -Rede iniial (

x

[0])

. . . 151

5.27 Sistema de 100 nós -Comparação das abordagens . . . 152

5.28 Sistema de 100 nós -Efeitos dadisretização dotempode projeto . . . 153

C.1 Sheduling obtido peloDP-GA. . . 191

C.2 Sheduling obtido pelondGA . . . 193

(11)

4.1 Propriedades de espaços vetoriais . . . 69

4.2 Propriedades de produtos esalares . . . 70

4.3 Propriedades de medidas de distâniaem espaçosvetoriais . . . 71

4.4 Sistema de 9 nós - Distânia entre as redes . . . 82

4.5 Algoritmos. . . 90

4.6 OCST - Resultados . . . 92

4.7 q-MST - Resultados . . . 94

5.1 Sistema teste - Resultados obtidospelo GANet e ClonalNet . . . 107

5.2 Parâmetros das distribuiçõesde probabilidades. . . 117

5.3 ClonalNet - Soluções não-dominadas . . . 118

5.4 GANet - Soluçõesnão-dominadas . . . 119

(12)

AIS: sistemaimunológioartiial

BFGS: Broyden-Flether-Goldfarb-Shanno

Clonal: Algoritmode SeleçãoClonal

ClonalNet: Clonal om inspiração ontínua

DP: Programaçãodinâmia

DP-GA: Dynami Programming Geneti Algorithm

EA: algoritmoevoluionário

GA: algoritmogenétio

GA-BFGS: algoritmohíbrido que ombina um GA e um quasiNewton BFGS

GANet: GA om inspiração ontínua

In: expansãodo sistemautilizandoa abordageminremental

IBEA: Indiator Based Evolutionary Algorithm

MOCSA: Multi-objetive Clonal Seletion Algorithm

MOGA: Multi-objetive Geneti Algorithm

MOIA: Multi-objetive Immune Algorithm

MST: árvore geradora mínima

ndGA: expansão do sistemautilizandoo algoritmogenétio não-dinâmio

NPGA: Nihed Pareto Geneti Algorithm

NSGA: Non-dominated Sorting Geneti Algorithm

(13)

OCST: árvore de omuniação ótima

PAES: Pareto Arhived Evolution Strategy

PESA: Pareto Envelop-based Seletion Algorithm

q-MST: árvore geradora quadrátiamínima

RWS: roleta estoástia

SPEA: Strength Pareto Geneti Algorithm

SS: subestações

SUS: amostragem universal estoástia

TS: seleção por torneio

TSP: problema doaixeiro viajante

(14)

Projeto Ótimo de Redes

O projeto ótimo de redes pode ser denido omo a tarefa de enontrar o onjunto

de arestas que minimiza uma dada função de usto enquanto e oneta todos os

vér-ties de um grafo, enquanto obedee uma estrutura pré-estabeleida. Estes problemas

apresentamsérias diuldadesemsua solução,oquesedeveprinipalmenteànatureza

ombinatóriados mesmos(Pierre, 1993).

Essa natureza ombinatóriaimplia emum númeromuito grandede possíveis

solu-ções,quereseexponenialmenteomadimensãodoproblema. Alémdisso,anatureza

disretaimposta por este tipode problema geralmenteausa severas desontinuidades

no espaço onde as variáveis de deisão estão denidas, o que faz om que não exista

um onjuntode soluções fatíveisno qualse possa aminhar failmente, sem saltos no

espaço.

Estesaspetosrestringemonsideravelmenteosmétodosquepodemserapliadosno

projetoótimode redes. Autilizaçãode métodos determinístios,voltadosàotimização

não-lineardeespaçosontínuos,setornaimpossível,umavez queosmesmosdependem

de álulos de derivadas que, por denição, não existem no espaço disreto onde as

redes são denidas.

Téniasquemontamaárvoredepossibilidades(tambémhamadasdemétodos

enu-merativos), omo o Branh-and-Cut ou o Branh-and-Bound (Grötsheland Holland,

(15)

do problema. No entanto, sua apliação se torna inviável em parte dos asos

práti-os uma vez que alto omputaional assoiado a estes métodos se torna um aspeto

restritivo nasolução de problemas de médio e grandeporte atempoviável.

Algoritmospolinomiaisvoltados àotimizaçãode redes, omoDijkstra,Kruskal and

Ford-Fulkerson (Dijkstra, 1959; Ahuja etal., 1993; Bazaraa etal., 1991) apresentam

grandeeiênianasoluçãodosproblemasparaosquaisforamdesenvolvidos(aminhos

mínimos, árvore geradora mínima e uxo máximo respetivamente) tendo entretanto

sua apliação limitada em outros ontextos. Versões disretas do algoritmo Simplex

Vanderbei (2001) tambémpodem ser apliadasà solução de redes, desde que todos os

funionaissejamlineares. Asoluçãodeproblemasnão-linearesutilizandoestesmétodos

sóépossívelatravésdeaproximaçõeslinearesque,emboapartedos asos,podemlevar

asoluçõesnais que não ondizem om o problema real.

A inapliabilidade da maior parte das ténias lássia motiva a busa de outros

métodos para a solução deste problema. Os algoritmosevoluionários (EAs) se

desta-amomouma alternativaviáveldentre esses métodos, umavez queapresentamvárias

araterístiasfavoráveis:

•

Nãodependem de premissas matemátias fortes omo linearidade, difereniabili-dade,onvexidade ouunimodalidade;

•

Podem ser apliadosàmaiorparte dos problemasprátiossem adaptações estru-turais;

•

Permitem adaptações da estrutura do algoritmo nos asos em que a estrutura tradiionalse mostrainsuiente;

•

São reonheidamenteeientes nabusa de ótimos globais emproblemas multi-modais (Duan and Yu,2002).

(16)

Algoritmos genétios: Os algoritmos genétios (GAs) (Holland, 1975; Goldberg,

1989)vêmsendo apliadosàsoluçãode vários problemasrelaionadosom redes,

taisomo:

•

Projetode redes de teleomuniações (Abuali etal.,1994);

•

Projetoderedesdedistribuição(Ramírez-Rosadoand Bernal-Agustín,1998);

•

Projetoderedesdetransmissãodeenergia(Duan and Yu ,2002;Chung etal., 2003);

•

Roteamentode veíulos (Ferentinos et al., 2002;Baker and Ayehew,2003);

•

Projetode sistemasde trânsitourbano (Chakroborty, 2003),et.

Oautor dapresente tese apresentaalgumasontribuiçõesnoprojeto de sistemas

de distribuição de energiaelétria utilizandoalgoritmosgenétios:

•

Projeto multi-objetivo utilizando um GA espeío (Carrano etal., 2004, 2006b);

•

Posiionamentode subestaçõesassoiadoaoprojetodatopologiadosistema utilizando GAs híbridos (Carrano etal.,2005,2007e)

•

Planejamento do sheduling da expansão do sistema utilizando uma meta-heurístia que assoia um algoritmogenétio aum método de programação

dinâmia(Carrano et al., 2007a).

Sistemas imunológios artiiais: A apliação de sistemas imunológios

artii-ais(AIS)(Dasgupta,1999;de Castro and Timis,2002;Dasgupta etal.,2003)na

solução de problemas de projeto ótimo de redes se enontra restrita a pouas

apliações:

•

Soluçãodoproblemadoaixeiroviajante(doinglêsTravelingSalesman Prob-lem ou TSP)(de Castroand Von Zuben, 2002);

(17)

•

Navegação de robs (Luh and Liu,2004).

As pouas referênias enontradas na bibliograa são provavelmente justiadas

pela estrutura destes algoritmos, que é dependente de uma denição adequada

de distânia. O autor da tese emprega estes algoritmos no projeto de sistemas

de distribuição de energia elétria onsiderando inertezas na evolução de arga

(Carrano etal.,2007). Aimplementaçãopropostaébaseadanamétriaproposta

porCarrano et al.(2007f),apaz de determinar a distâniaentre redes.

Ant algorithms: A estrutura disreta intrínsea dos Ant algorithms (Dorigo, 1992;

Dorigoetal., 1996) favoree a utilização destes algoritmosna solução de

proble-masderedes. Apesarde reentes, estesalgoritmosvêmsendoapliadosemvários

problemasrelaionados:

•

Solução doTSP (Dorigo and Gambardella, 1997);

•

Roteamentode redes wireless ad ho (Güne³and Bouazizi,2002);

•

Projetode sistemasde distribuiçãode água (Zehin et al., 2003);

•

Roteamentode veíulos (Bell and MMullen, 2004);

•

Projetode redes de distribuição de energia elétria(Gómezet al., 2004).

Estes algoritmos são utilizados nesta tese para omparação om os resultados

obtidospelos algoritmosapresentados noCap. 4, quando utilizadospara solução

de um sistema de distribuição de energia elétria.

As ontribuições do autor itadas aima ompõem a maior parte dos resultados

apresentadosnestetrabalho. OsCaps.4e5apresentamosprinipaisresultadosobtidos

nestasreferênias.

Na seqüênia deste apítuloé apresentado o oneito de grafo,fundamentalpara a

(18)

1.1 Grafos

Ooneitodegrafoéessenialparaoentendimentodoproblemadeprojetoótimode

redes,umavezqueelassãomodeladasporgrafos. Umgrafo

G

onsisteemumonjunto nito

V

de vérties(

|V

|

=

n

),um onjuntonito

A

de arestas(

|A|

=

m

),eumamatriz de adjaênia

M

, que assoia a ada aresta

a

de

G

um par não ordenado de vérties (não neessariamentedistintos) de

G

, hamados de extremos de

a

(Bondy and Murty , 1976;Wilson,1996).

As redes tratadas ao longo deste trabalho são modeladas por grafos planares, om

arestas não-direionadas e sem realimentação dos nós. Essas propriedades denem a

matrizde adjaêniaque desreve o grafoompleto (

G

C

), omo apresentado em(1.1).

M

G

C

[

i, j

] =







0

se

i

=

j

1

se

i

6 =

j

i, j

= 1

, . . . , n

(1.1)

Neste aso, a laro que o número de arestas presentes no grafo ompleto é denido

por:

m

=

n

−

1 X

i

=1

i

=

n

· (

n

−

1)

2 .

(1.2)

AFig. 1.1(a)apresentaum exemplodegrafonão-direional,

G

1 (

V

G

1 , A

G

1 )

,omseis vérties (

V

G

1 = [1

,

2 ,

3 ,

4 ,

5 ,

6]

) e 10 arestas (

A

G

1 = [

a, b, c, d, e, f, g, h, i, j

]

) om pesos

W

G

1 = [

w

a

, w

b

, w

c

, w

d

, w

e

, w

f

, w

g

, w

h

, w

i

, w

j

]

respetivamente. JáaFig.1.1(b)apresenta

ografoompletoparaoonjuntode vértiesdografodaFig.1.1(a),queéumsub-grafo

de

G

C

(

G

1 ⊂

G

C

).

Uma estrutura partiular de grafos, as árvores, é disutida de forma detalhada na

(19)

CAPÍTULO 1. PROJETO ÓTIMODE REDES 6

1

2

3

4

5

6 a

[

w

a

]

b

[

w

b

]

c

[

w

c

]

d

[

w

d

]

e

[

w

e

]

f

[

w

f

]

g

[

w

g

]

h

[

w

h

]

i

[

w

i

]

j

[

w

j

]

(a) Grafoom6vértiese10arestas

PSfrag replaements

1

2

3

4

5

6

(b)Grafoompleto

Figura 1.1: Exemplo de grafo

1.1.1 Árvores

As árvores representam umas das lasses mais importantes de grafos, uma vez que

muitosproblemasprátiosapresentamestruturadeárvoreoupodemser modeladospor

elas. Outrossistemas,embora nãoenvolvendo redesomestrutura deárvore,envolvem

árvores emertasetapas doseu projeto. Umgraforepresentauma árvore se obedeea

seguintedenição:

Denição 1.1 Um grafo

G

(

V, A

)

éumaárvorese,e somentese,

G

é umgrafo onexo 1

quenão ontém ilos.

Dessadenição, derivamalguns teoremas importantes (Narsingh, 1984):

Teorema 1.1 Existeum, eapenasum, aminhoentrequalquerpar devérties emuma

árvore.

Teorema 1.2 Em uma árvore om

n

vérties existem

n

−

1

arestas.

A demonstração desses teoremas é simples, e pode ser enontrada em Narsingh

(1984). Destes teoremas perebe-se que a remoção, ou adição,de uma aresta aografo

faz om que o mesmo deixe de ser uma árvore: a remoção de uma aresta faz om que

(20)

o grafo deixe de ser onexo, enquanto que, a adição de uma aresta insere um ilo no

grafo.

Outroteorema importantesobre árvores éapresentado porCayley (1889):

Teorema 1.3 (Teorema de Cayley) Em um grafo ompleto

G

C

, om

n

vérties e

m

=

n

(

n

−

1)

2

arestas, existem

n

−

₂

árvores que são sub-grafos de

G

C

.

O Teorema de Cayley dá uma noção sobre a dimensão do espaço de busa do

pro-blema,que rese exponenialmente om onúmero de nós.

Uma árvore partiular, que tem grande importânia no ontexto de otimização, é

a árvore geradora mínima (do inglês Minimum Spanning Tree ou MST), disutida na

seqüênia(Even , 1989).

Árvore Geradora Mínima

Um grafo

G

′

(

V

′

, A

′

)

é hamado um sub-grafo de um grafo

G

(

V, A

)

, se

V

′

⊆

V

e

A

′

⊆

A

. Claramente, uma esolha arbitráriade

V

′

⊆

V

e

A

′

⊆

A

pode não produzir umsub-grafo,simplesmenteporqueistopode nãoser umgrafo: algunsdosvértiesque

são extremos de

A

′

podem não estar ontidos em

V

′

.

Seja

G

(

V, A

)

um grafoonexo esuponhaqueadaaresta

a

∈

A

tem peso onheido

w

(

a

)

>

0

. Deseja-se enontrar um sub-grafo onexo

G

′

(

V, A

′

)

ujo peso total

X

a

∈

A

w

(

a

)

é mínimo; ou, em outras palavras, deseja-se remover de

G

o sub-onjunto de arestas ujo peso total é máximo, e que ainda deixa o grafo onexo. Fia laro que esse

sub-grafo não possui ilos, uma vez que possui peso total mínimo. Como

G

′

é onexo,

pelo Teorema 1.1, pode-se onstatar que

G

′

é uma árvore, não podendo portanto ser

removida nenhuma aresta sem destruir a onetividade do grafo. O sub-grafo de

G

queontém todos osvérties de

G

e éuma árvore é hamadode árvore geradora de

G

(a Fig. 1.2 apresenta um exemplo de árvore geradora para o grafo da Fig. 1.1(a)). A

(21)

PSfrag replaements

1

2

3

4

5

6 a

b

d

h

j

Figura 1.2: Exemplo de árvore geradora para o grafodaFig. 1.1(a)

1.2 Representação das Variáveis

O espaço de busa do problema de projeto de redes é denido pelo sub-onjunto

de sub-grafos de

G

C

que obedeem a estrutura de interesse (no aso deste trabalho, busa-se sub-grafos de

G

C

que são árvores). Com isso, ada aresta do grafo ompleto representa uma variávelde deisãodo problema de otimização.

Tendo em onta estes aspetos, pode-se representar as soluções do problema de

otimização através de um vetor

X

omposto por

m

variáveis binárias que indiam a presença ouausênia de ada uma das arestas possíveis, omo ilustradoem(1.3).

de

1

1 . . .

2

2 . . . n

n

−

1

para

2

3 . . .

3

4 . . .

n

X

=

[

x

1 x

2 . . . x

k

x

k

+1

. . .

x

m

]

x

i

∈

[0

,

1]

(1.3)

Entretanto esta representação binária não é suiente em todos os asos, uma vez

que, em parte dos problemas prátios, ada aresta pode assumir tipos distintos

(pro-blemas multi-branh). Isso oorre por exemplo em redes de energia elétria, onde se

pode utilizar ondutores om bitolas diferentes, ouemredes de água, onde geralmente

(22)

Umaalternativamaisompatapara estesproblemas éautilizaçãodeinteirospara

representar o tipo de onexão utilizado (Ramírez-Rosadoand Bernal-Agustín, 1998).

Nessarepresentaçãoadavariáveldedeisão

x

i

podeassumirvaloresinteirosquevariam de

0

(ausênia de onexão)a

b

(nós onetadosom uma onexão de tipo

b

, onde

b

éo númerode tiposde onexões possíveis). A Eq. (1.4)ilustra essa representação.

de

1

1 . . .

2

2 . . . n

n

−

1 para

2

3 . . .

3

4 . . .

n

X

=

[

x1

x2

. . . x

k

x

k

+1

. . .

x

nc

]

x

i

∈

[0

,

1 , . . . , b

]

(1.4)

1.3 Formulação Geral do Problema de Projeto Ótimo

de Redes

Tendoomo baseosoneitos desritos anteriormenteesendo

f

c

(

X

)

umafunção

X

que se deseja minimizar, pode-se denir a seguinte formulação geral para o problema

de otimização de redes:

X

∗

= arg min

X

f

c

(

X

)

sujeito a

:

X

∈ F

X

onde

F

X

é o onjunto de redes fatíveis.

NoCap. 3são disutidas ténias deotimização potenialmenteapazes de resolver

este problema, tendoem vistaas diuldades já itadas.

Na seqüênia, serão disutidas as formulações de três problemas lássios tratados

ao longo desta tese: árvore geradora mínima, árvore de omuniação ótima (do

in-glês Optimal Communiation Spanning Tree ou OCST) e árvore geradora quadrátia

(23)

1.3.1 Árvore Geradora Mínima - MST

ComojáfoiitadonaSeção1.1.1,oproblemadeenontraraárvoregeradoramínima

onsiste da busa da árvore geradora na qual a soma dos pesos das arestas é mínima.

Este problema apresenta aseguintedenição formal(Lin and Gen, 2006):

Seja

G

(

V, A

)

um grafoonexo, não direionado e seja

w

i,j

∈

W

o peso assoiado à arestaqueoneta oparde vérties

(

i, j

)

. Sejam

T

⊆

A

e

S

osvértiesinduzidospor

T

(i.e.,

S

é o onjunto de vérties quesão extremosdas arestasde

T

). O problema MST pode ser denido omo busar oonjunto

T

que minimiza:

T

∗

= arg min

T

X

i,j

∈

V

w

i,j

· t

i,j

(1.5)

sujeito a:











X

i,j

∈

V

t

i,j

=

|V

| −

1 X

i,j

∈

V

t

i,j

≤ |S| −

1 t

i,j

∈ {

0 ,

1 }

,

∀i, j

∈

V

(1.6)

onde

(

i, j

)

∈

T

se, e somente se

t

i,j

= 1

.

Como exemplo,para este problema ousto da árvore

T

apresentada naFig. 1.2é:

C

T

=

w

a

+

w

b

+

w

d

+

w

h

+

w

j

AsoluçãodoproblemaMST nãoonstituiumatarefaomputaionalomplexa,uma

vezqueomesmopodeserresolvidoemtempopolinomialutilizandoalgoritmoslássios,

omo Kruskal (Kruskal, 1956) ouPrim (Prim, 1957). No entanto, muitas variantes do

problema MST são omputaionalmente omplexas. Dentre elas sedestaam o OCST

eoq-MST,para osquaisaindanão existemalgoritmospolinomiaisexatos (Soak et al.,

(24)

1.3.2 Árvore de Comuniação Ótima - OCST

Oproblema de enontrar árvore de omuniação ótima onsistenabusa daárvore

geradora de mínimo usto que umpre om requisitos de omuniação previamente

onheidos entre os pares de vérties do grafo (Hu, 1974; Soaket al., 2006). O OCST

foi iniialmente provado omo NP-hard (Garey and Johnson, 1979) e posteriormente

foiprovadoser MAXSNP-hard (Arora et al.(1998)mostramquenão existemmétodos

aproximados om usto polinomial para solução de problemas MAX SNP-hard om

NP

6 =

P

.). O problema apresenta a seguinte formulação:

Seja

R

i,j

a demanda de omuniação existente entre

(

i, j

)

e

C

X

i,j

o peso aumulado

do aminho

(

i, j

)

em

T

2

. A formulação apresentada para o MST (Eqs. (1.5) e (1.6))

pode ser estendida para OCST apenas substituindo-se (1.5) por (1.7).

T

∗

= arg min

T

X

i,j

∈

V

R

i,j

· C

i,j

X

(1.7)

Para este problema, ousto da árvore

T

apresentada na Fig.1.2 é:

C

T

=

R1

,

2 w

a

+

R1

,

3 w

b

+

R1

,

4 (

w

a

+

w

d

) +

R1

,

5 (

w

a

+

w

d

+

w

h

)+

R1

,

6 (

w

a

+

w

d

+

w

h

+

w

j

) +

R2

,

3 (

w

a

+

w

d

) +

R2

,

4 w

d

+

R2

,

5 (

w

d

+

w

h

) +

R2

,

6 (

w

d

+

w

h

+

w

j

) +

R3

,

4 (

w

b

+

w

a

+

w

d

)+

R3

,

5 (

w

b

+

w

a

+

w

d

+

w

h

) +

R3

,

6 (

w

b

+

w

a

+

w

d

+

w

h

+

w

j

)+

R

4 ,

5 w

h

+

R

4 ,

6 (

w

h

+

w

j

) +

R

5 ,

6 w

j

1.3.3 Árvore Geradora Quadrátia Mínima - q-MST

O problema de enontrar a árvore geradora quadrátia mínima, iniialmente

pro-posto por Assad and Xu (1992), onsiste da busa pela árvore geradora que

mini-miza uma função quadrátia, que depende dos pesos das arestas e da interação

en-tre as mesmas (Soak et al., 2006). Este problema também foi provado omo NP-hard

2

(25)

(Assad and Xu, 1992)e apresenta aseguinteformulação:

Seja

w

k,l

i,j

o peso induzido na aresta

(

i, j

)

pela aresta

(

k, l

)

. Mais uma vez pode-se extenderaformulaçãodoMST (Eqs. (1.5)e(1.6))paraoq-MST substituindoafunção

objetivo(1.5) por(1.8).

T

∗

= arg min

T

X

i,j

∈

V

X

k,l

∈

V

w

k,l

i,j

· t

i,j

· t

k,l

!

+

w

i,j

· t

i,j

(1.8)

Neste aso, o usto daárvore

T

(Fig.1.2) é:

C

T

=

w

a

+

w

a

b

+

w

a

d

+

w

h

a

+

w

j

a

+

w

b

+

w

a

b

+

w

d

b

+

w

h

b

+

w

j

b

+

w

d

+

w

d

a

+

w

b

d

+

w

h

d

+

w

j

d

+

w

h

+

w

h

a

+

w

b

h

+

w

d

h

+

w

j

h

+

w

j

+

w

j

a

+

w

j

b

+

w

j

d

+

w

j

h

1.4 Modelagem de Sistemas Reais Utilizando Redes

Vários problemas de projeto em engenharia são araterizados por estruturas de

redes. Devido a isso, algumas estruturas de grafos são utilizadasna modelagemdestes

problemas:

Redes om redundânia: Em problemas de projeto geralmente se busam grafos

onexos,sendo que as árvores se araterizamomo grafos onexos mínimos. No

entanto,emalgunsproblemasprátiosdeseja-se quearede apresente alternativas

de onexão emtodos, ou na maior parte, dos vérties (deseja-se que exista mais

de um aminho entre dois extremos

a

e

b

). Nestes asos são inseridas arestas queriamredundânias, dando aos vérties dografoalternativasde alimentação.

Redes de gás, teleomuniações, transmissão de energiae omputadores são

pro-blemasprátios que apliam essa estrutura. A Fig. 1.3 mostra um dos possíveis

grafos om redundânia que podem ser obtidos do grafo apresentado na Fig.

(26)

1

2

3

4

5

6 a

b

d

f

g

h

j

Figura1.3: Exemplo de grafoom redundânia

Cilos de Hamilton: Outra lasse relevante de grafos tem a estrutura de ilos de

Hamilton. Seja

G

um grafoonexo, um ilo de Hamilton de

G

é denido omo um aminhofehado que atravessa ada vértie uma únia vez, exeto o vértie

de partida do urso, que é atravessado duas vezes. Os problemas mais lássio

que empregam essa estrutura de grafos são o TSP e problemas de Sheduling.

Variantes doTSP tambémempregameste tipode estrutura, omo planejamento

delimpezaurbanaeplanejamentode rotasaéreaseterrestres. A Fig. 1.4mostra

um dos possíveis ilos de Hamiltonque podemser obtidosdografo apresentado

naFig. 1.1(a). PSfrag replaements

1

2

3

4

5

6 a

b

e

f

i

(27)

Redes em árvore: Como disutido neste apítulo,as árvores representam uma das

lasses mais importantes de grafos. A estrutura de uma árvore é disutida na

seção 1.1.1. Dentre os problemas modelados por redes em árvore, pode-se itar

projeto de redes de distribuição de água, projeto de redes de distribuição de

energiaelétriaeprojeto de redes de sensores sem o. Umadas possíveisárvores

(28)

Formulação Geral de Problemas de

Otimização Contínua e Algoritmos

Determinístios

Ao longo deste apítulo são apresentadas as formulações gerais de problemas de

otimização ontínua para asos mono e multi-objetivo. Também são disutidos

algo-ritmos apazes de resolver estes problemas. Estas formulações e algoritmos não são

diretamente apliáveis a problemas de redes, devido à araterístia ombinatóriados

mesmos. No entanto, o estudo destes tópios onstitui uma parte importante deste

trabalho, uma vez que parte dos métodos desenvolvidos aquisão onstruídos om

ins-piração em abordagens ontínuas. Além disso, no Cap. 5 são apresentadas apliações

destes algoritmos, que são exeutados juntamente om algoritmos evoluionários para

posiionamentode nós e projeto datopologia darede simultâneos.

2.1 Formulação Geral de Problemas de Otimização

Contínua

2.1.1 Caso Mono-objetivo

Seja

x

∈

R

n

o vetor de parâmetros que devem ser esolhidos em um determinado

problema,e

f

(

· ) :

R

n

_7→

_R

(29)

deniro problema de otimização omo:

x

∗

= arg min

x

f

(

x

)

(2.1)

ouseja, busa-se o valorde

x

para o qual

f

(

x

)

é mínimo.

No entanto, na maior parte dos problemas também é neessário o atendimento de

restrições relaionadas ao problema. Para atendimento dessas restrições, denem-se

regiões noespaço de parâmetros

R

n

atravésde desigualdadese igualdades:

g

i

(

x

)

≤

0 ∀

i

= 1

, . . . , r

h

j

(

x

) = 0

∀

j

= 1

, . . . , p

(2.2)

Portanto, o problema de otimização restrita, em um ontexto geral, apresenta a

seguinte formulação:

x

∗

= arg min

x

f

(

x

)

(2.3) sujeito a:











g

1 (

x

)

≤

0

.

g

r

(

x

)

≤

0 h1

(

x

) = 0

.

h

p

(

x

) = 0

(2.4)

Asaraterístiasdafunçãoobjetivoedoonjuntoderestriçõesdoproblema

usual-mente denem o método a ser utilizado em sua solução. Uma araterístia muito

importantepara a esolha dessesalgoritmosé a modalidade.

Modalidade de Funções

Com base nas denições apresentadas noAp. A, pode-se deniruma ategorização

(30)

Denição 2.1 (Função Unimodal) Seja

f

(

· ) :

C

⊂

R

n

_7→

_R

. Diz-se que

f

(

· )

é unimodal se

R

(

f, α

)

1

é onexo para todo

α

∈

R

. Diz-se ainda que

f

(

· )

é estritamente unimodalse, além disso,

R

(

f, α

)

é um onjunto ompato para todo

α

∈

R

.

Por simetria,dene-se ainda:

Denição 2.2 (Função Multimodal) Seja

f

(

· ) :

C

⊂

R

n

_7→

_R

. Diz-se que

f

(

· )

é multimodalse existe

α

∈

R

tal que

R

(

f, α

)

não é onexo.

Uma função unimodalgeralmente apresenta um únio mínimo. No entanto, é

im-portante destaar que uma função unimodal pode possuir múltiplos mínimos, desde

queoonjuntosdestes formeum onjunto onexo. Uma função estritamenteunimodal

tambémpode assumir múltiplos mínimos,desde que o onjunto destes forme um

on-junto onexo ompato (Takahashi,2004). As funções multimodaispossuem múltiplos

mínimosemtodos osasos.

2.1.2 Caso Multi-objetivo

Seja

x

∈

R

n

ovetorde parâmetrosquedevemseresolhidosemum problema

multi-objetivo. Seja ainda

f

(

· ) :

R

n

_7→

_R

m

o vetor de

m

funções objetivodesse problema. O onjunto

X

∗

das soluçõeseientes desritopor:

X

∗

= arg min

x











f1

(

x

)

.

f

m

(

x

)

(2.5)

1

(31)

sujeito a:











g1

(

x

)

≤

0

.

g

r

(

x

)

≤

0 h

1 (

x

) = 0

.

h

p

(

x

) = 0

(2.6)

a denido univoamente.

Seja

F

x

aregião naqualo problema seenontra restrito(denida peloonjuntode restriçõesapresentado em(2.6)). Emgeral, não existe um únio ponto

x

∈ F

x

emque

f

(

· )

atingevalormínimopara todas asfunções. Então:

X

∗

=

{x

∗

∈ F

x

| 6 ∃

z

∈ F

x

onde

f

(

z

)

≤

f

(

x

∗

)

e

f

(

z

)

6 =

f

(

x

∗

)

}

(2.7)

onde osoperadores relaionais

≤

e

6 =

são denidos para vetores

u, v

∈

R

m

, talque:

u

≤

v

⇔

u

i

≤

v

i

∀

i

= 1

, . . . , m

u

6 =

v

⇔ ∃i

|

u

i

6 =

v

i

, i

= 1

, . . . , m

(2.8)

Ospontos

x

∈ F

x

quenãopertenema

X

são hamadosde dominados,umavezque existem outros pontos

z

∈ F

x

, tal que

f

(

z

)

≤

f

(

x

)

e

f

(

z

)

6 =

f

(

x

)

, o que signia que

f

(

z

)

émelhorque

f

(

x

)

emaomenosuma oordenada semser pior emnenhuma outra.

Neste aso, diz-se que

z

domina

x

. As soluções

x

∗

que pertenem ao onjunto

X

∗

,são

hamadas de soluções eientes, já que não são dominadas por nenhum outro ponto.

Portanto,naotimizaçãomulti-objetivobusa-seumonjuntodesoluçõeseientespara

um problema de otimização de um vetor de funções. Este onjunto,

X

∗

, é hamado

de onjunto de Pareto, e dene a fronteira Pareto,

Y

∗

, no espaço de objetivos. Um

exemplode fronteira Pareto, para um problema ontínuoom duas funçõesobjetivo,é

(32)

ofereesuporteparadeisãoemproblemasdeprojeto,umavezqueaposiçãorelativadas

soluçõesnafronteiraPareto permiteumaavaliaçãode ompromissodentre osobjetivos

tratados. Com isso, o projetista pode avaliar o efeito de substituir uma solução por

outra, tendo em vista a perda em um objetivo om o simultâneo ganho em outro (ou

outros). A abordagemmono-objetivo não permite esse tipo de análise.

−2.8

−2.6

−2.4

−2.2

−2

−1.8

−1.6

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

PSfrag replaements

f

1 f

2 A

Y

∗

B

Figura2.1: Pode-se pereber que não existe dominânia entre as soluções do onjunto

Y

∗

. As soluções daregião

A

estão fora do onjunto imagem (

I

) de

f

(

· )

, não podendo portanto ser alançadas. Já assoluções daregião

B

pertenem à

I

, mas estão fora de

Y

∗

, poisada uma delas édominada por aomenos uma solução de

Y

∗

.

2.2 Algoritmos Determinístios para Problemas

Mono-objetivo

Nesta seção é apresentado o algoritmo quasi-Newton BFGS

(33)

2.2.1 Algoritmo quasi-Newton BFGS

Introdução

Os algoritmos de direção de busa, em sua maioria, têm omo suporte a mesma

idéia básia:

1. Esolherumadireçãonaqualseespera quesejapossívelderesimentodafunção;

2. Enontrar um ponto sobre essa direção na qual a função assume valor mínimo

(otimizaçãounidimensional);

3. Denir o ponto enontrado omo ponto orrente e repetir o proesso até que se

atinjaum ritériode onvergênia pré-estabeleido.

Uma esolha óbvia para a direção em que será realizada a busa unidimensional é o

vetor que anula o vetor gradiente no ponto orrente (isto é válido em problemas de

minimização).

Nas déadas de 50 e 60 foram propostas melhorias desse método, utilizando

infor-mações da urvatura da função para orreção da direção de busa. Essas informações

de urvatura são estimadas através de algum método de aproximação da inversa da

matriz Hessiana da função objetivo. No método quasi-Newton BFGS, a aproximação

dainversa damatriz Hessiana édenida por:

r

k

=

x

k

+1

−

x

k

v

k

=

∇f

(

x

k

+1

)

− ∇f

(

x

k

)

H

k

+1

=

H

k

+

1 +

r

′

k

· H

k

· r

k

r

′

k

· v

k

· v

k

· v

′

k

v

′

k

· v

k

−

v

k

· r

′

k

· H

k

+

H

k

· r

k

· v

′

k

r

′

k

· v

k

(2.9)

onde:

x

k

é opontoavaliadona iteração

k

;

∇f

(

x

k

)

é o gradienteda funçãoobjetivono ponto

x

k

;

(34)

Na prátia,as Eqs. (2.9)fazem uma aproximação iterativada inversa daHessiana,

porém om um usto omputaional muito inferior ao álulo exato da mesma, uma

vez quenão éneessárionenhum áluloadiionalde funçãoobjetivo,enem ainversão

damatriz. Informaçõesadiionaissobre métodos de direçãode busa,inluindooutros

métodos queutilizamaproximaçõesdainversa daHessiana,podemser enontradasem

Takahashi (2004);Bazaraa et al.(1993).

Algoritmo

Umadesrição geraldo algoritmosBFGS éapresentada abaixo.

Estrutura Básia do Algoritmo quasi-Newton BFGS

1:

H

0 ←

I

; 2:

k

←

0

;

3: alular

∇f

(

x

0 )

;

4: while

kx

k

+1

−

x

k

< ε

do 5:

α

∗

←

arg min

α

f

(

x

k

−

α

· H

k

· ∇f

(

x

k

))

; 6:

x

k

+1

←

x

k

−

α

∗

· H

k

· ∇f

(

x

k

)

; 7: alular

∇f

(

x

k

+1

)

;

8:

r

k

←

x

k

+1

−

x

k

;

9:

v

k

← ∇f

(

x

k

+1

)

− ∇f

(

x

k

)

; 10:

H

k

+1

←

H

k

+

1 +

r

′

k

· H

k

· r

k

r

′

k

· v

k

· v

k

· v

′

k

v

′

k

· v

k

−

v

k

· r

′

k

· H

k

+

H

k

· r

k

· v

k

′

r

′

k

· v

k

;

11:

k

←

k

+ 1

; 12: end while

Onde:

x0

éa soluçãoiniial;

(35)

A determinação de

α

∗

é realizada através de algum método de otimização

unidi-mensional, omoo algoritmodaseção áurea, desritoabaixo (Takahashi, 2004).

Algoritmo da Seção Áurea

1:

x

a

←

b

−

0 .

618(

b

−

a

)

; 2:

x

b

←

a

+ 0

.

618(

b

−

a

)

; 3:

f

a

←

f

(

x

a

)

;

4:

f

b

←

f

(

x

b

)

;

5: while

b

−

a > ǫ

do 6: if

f

a

< f

b

then 7:

b

←

x

b

; 8:

x

b

←

x

a

;

9:

x

a

←

b

−

0 .

618(

b

−

a

)

; 10:

f

b

←

f

a

;

11:

f

a

←

f

(

x

a

)

; 12: else

13:

a

←

x

a

; 14:

x

a

←

x

b

;

15:

x

b

←

a

+ 0

.

618(

b

−

a

)

; 16:

f

a

←

f

b

;

17:

f

b

←

f

(

x

b

)

; 18: endif

19: end while

20:

x

f

←

a

+

b

2

;

Onde:

a

e

b

são os limitesonsiderados pelaseção áurea;

(36)

Oalgoritmoquasi-Newton BFGSdepende da difereniabilidadedafunção objetivo

e das restrições para funionar adequadamente. Além disso, esse algoritmo se mostra

ineienteemproblemasmultimodais, umavez que asoluçãoótima enontrada é

alta-mente dependentedo ponto iniialonsiderado.

2.3 Algoritmos Determinístios para Problemas

Multi-objetivo

Algoritmos determinístios não-lineares, omo o algoritmo quasi-Newton disutido

naSe. 2.2.1, não são apazes de mapear todooonjuntode Pareto diretamente, uma

vez queosmesmosoperamemumaúniafunçãoobjetivo. Entretanto,pode-seassoiar

aessesalgoritmosténiasquetornemosmesmosapazesdeobteroonjuntodePareto

emproblemas ontínuos. Como uso destas ténias é possível obter uma soluçãoapós

ada exeução ompleta do algoritmo. Isso implia na neessidade de se exeutar o

algoritmoao menos

P

vezes para obter

P

pontos noonjunto de Pareto (diz-se que o algoritmodeve ser exeutado aomenos

P

vezes porque nem todas as soluções obtidas pertenem neessariamenteao onjunto de Pareto).

Na seqüênia, são disutidos três métodos apazes de estimaro onjuntode Pareto

emproblemas ontínuos, utilizandoalgoritmosdeterminístios.

2.3.1 Abordagem via Problema Ponderado -

P λ

Uma ténia intuitiva para solução de problemas é o

P λ

, que propõe uma soma ponderada dos objetivos. Os pontos do onjunto de Pareto são obtidos através da

variaçãodo vetor de pesos, utilizandoa formulação apresentada abaixo:

x

= arg min

x

m

X

i

=1

(37)

sujeito a:











x

∈ F

x

λ

i

≥

0 m

X

i

=1

λ

i

=

1

Umavantagemdestemétodoéamanutençãodaestruturaderestriçõesdoproblema

original. No entanto, esse método apresenta omo prinipal limitação a inapaidade

de mapear todo o Pareto em problemas não-onvexos: o

P λ

só é apaz de mapear as soluções do onjunto de Pareto que pertençam à asa onvexa de

F

. Isto pode ser vistonainterpretaçãogeométria doalgoritmo,extraída de Takahashi(2004):

Montando aformulaçãodo

P λ

no espaçode objetivos:

y

∗

= arg min

y

∈F

_y

m

X

i

=1

λ

i

y

i

(2.11)

Esteproblemapodeser vistoomo: enontrar oponto

y

∗

∈ F

y

queminimizaoproduto esalar

λ

′

y

. Se

α

∗

é o valormínimodesse produto, então:

λ

′

y

∗

=

α

∗

(2.12)

éa equaçãodohiperplanosuporte a

F

y

noponto

y

∗

. Essa interpretação éilustradana

Fig. 2.2(a).

Perebe-seportantoqueessaténiasóéapazdeenontrarsoluções

y

∗

dafronteira

Pareto

Y

∗

que admitam hiperplanos de suporte, o que só oorre nas soluções

perten-entes à asa onvexa do onjunto

F

y

. A Fig. 2.2(b) ilustraum problema onde parte das soluções não pode ser obtida utilizandoa abordagemponderada.

Éimportantesalientarquediferentes vetoresde pesospodemlevaràmesmasolução

(38)

PSfragreplaements

f

1 f

2 h

1 h

∗

Y

∗

Y

y

∗

(a) Partindode um hiperplano iniial

h1

, uja inlinação édenida pelo vetorde ponderações

λ

, um algoritmo de otimização mono-objetivo determinaumaseqüeniadehiperplanos

parale-losa

h1

,busandoaminimizaçãodadistâniade adahiperplanoemrelaçãoàorigemdoespaço

Y

,omarestriçãodequeohiperplanoontenha algumpontode

F

y

. Oalgoritmoonvergepara ohiperplanosuporte

h

∗

,ujoúniopontode

in-terseção om

F

y

é o ponto

y

∗

, pertenente ao

onjuntodePareto

Y

∗

. PSfrag replaements

f

₁

f

2 h

1 h

2 Y

∗

Y

(b) A fronteira Pareto

Y

∗

_{∈ Y}

possui trehos,

representadospor linha ontínua, nosquais

to-dos os pontos possuem hiperplano suporte, e

trehos, representados porlinha traejada, nos

quaisnenhumpontoadmitehiperplanosuporte.

Nenhum desses pontos pode ser obtido

uti-lizandoaformulação

P λ

.

Figura2.2:

P λ

2.3.2 Abordagem via Problema

ǫ

Restrito - P

ǫ

Outra formulação alternativa para obtenção do onjunto de Pareto em problemas

ontínuos é apresentada em (2.13). Neste aso, o problema atua na otimização de

apenas uma das funções objetivo, tratando as outras omo restrições. Para se obter

novas soluções varia-se o vetor das restrições

ǫ

. A Fig. 2.3 ilustra essa abordagem (Takahashi,2004).

x

∗

= arg min

x

f

i

(

x

)

(2.13)

sujeito a:







x

∈ F

x

(39)

Pode ser demonstrado que esse método é apaz de enontrar todas as soluções

do onjunto de Pareto (Takahashi, 2004). No entanto, os problemas gerados por esse

métodopodemsetornaromputaionalmenteomplexos,umavez queomesmoalteraa

estruturaderestriçõesdoproblemaoriginal(objetivosnão-linearessetornamrestrições

não-lineares).

PSfrag replaements

f

₁

f

₂

A

B

ǫ

2 ǫ

₁

Y

Figura 2.3: A fronteira Pareto

Y

∗

é representado pela linha ontínua. Os pontos

A

e

B

pertenemàfronteiraPareto, sendoenontrados atravésdoproblema

P ǫ

respetiv a-mente: om aminimizaçãode

f1

sujeita a

f2

≤

ǫ2

eom a minimizaçãode

f2

sujeita a

f1

≤

ǫ1

.

Alémdisso, este métodose deparaom mais dois problemas (Takahashi, 2004):

•

Alguns vetores

ǫ

podem resultaremsoluçõesnão-eientes (Fig. 2.4(a));

•

Alguns vetores

ǫ

podem gerar problemasinfatíveis(Fig. 2.4(b)).

2.3.3 Abordagem Híbrida

Pode-se ombinar as duas ténias desritas anteriormente para gerar uma ténia

(40)

PSfragreplaements

f

1 f

2 A

B

C

D

Y

∗

(a) O onjunto imagem da função

f

(

· )

possui trehosdesuafronteiranãopertenentesao

on-junto de Pareto: os trehos

AB

e

CD

. Como o valor da função

f1

é igual em todo otreho

AB

, e orresponde ao mínimo de

f1

, a mini-mização desta função om a restrição

f2

< ǫ2

pode gerar pontos pertenentes a

AB

e por-tanto não pertenentes ao onjunto de Pareto.

Omesmooorrenotreho

CD

onsiderando

f2

omofunçãoobjetivo.

PSfrag replaements

f

₁

f

2 ǫ

1 Y

(b) A fronteira doonjunto imagemda função

f

(

· )

é representada por uma linha ontínua no trehoqueorrespondeaoonjuntodeParetodo

problema,eporuma linha traejada notreho

quenão fazparte domesmo. Casosejam

esta-beleidas asrestrições

f1

< ǫ1

e

f2

< ǫ2

simul-taneamente,nãohaverásoluçãofatível,embora

adarestriçãoisoladamente admitasoluções.

Figura 2.4: Falhas do

P ǫ

Essa abordagemhíbrida éomposta de dois passos:

1. Exeutaro

P λ

para uma estimativainiial doPareto;

2. Caso existam buraos na fronteira Pareto enontrado pelo

P λ

, então utilizar o

P ǫ

apenas nesses buraos, visando preenher ompletamenteo Pareto, aso seja

possível.

A prinipal vantagem dessa ténia é que problemas de maior omplexidade que o

original somente serão resolvidos quando forem realmente neessários. Além disso o

métodoauxiliadiretamentenadeterminaçãodos limitesdos vetores

ǫ

. Poroutro lado, sua apliaçãose torna inviável emproblemas om mais de duas funções objetivo, uma

vez quea deteção de buraos nafronteira Pareto pode se tornar omplexaemtrês ou

mais dimensões.

(41)

uti-(1983);Ehrgott (2000);Takahashi (2004).

2.4 Tratamento de Restrições em Algoritmos

Deter-minístios

Dois métodos são usualmente empregados no tratamento de restrições através de

algoritmosbaseados emdireçõesde busa:

•

Métodode barreira;

•

Métodode penalidade.

Uma breve desrição desses métodos é apresentada abaixo. Detalhes sobre estes e

outros métodos podem ser enontradas em Luenberger (1984); Bazaraa et al. (1993);

Takahashi (2004).

2.4.1 Método de Barreira

Seja oproblema de otimizaçãorestrita:

x

∗

= arg min

x

f

(

x

)

sujeito a:











g

1 (

x

)

≤

0 g2

(

x

)

≤

0

.

g

p

(

x

)

≤

0

Uma das possíveis formulações do método de barreira é apresenta na seqüênia