Existência e não existência de soluções globais para uma equação de onda do tipo...

(1)

Fabio Antonio Araujo de Campos

Orientador: Prof. Dr. Ma To Fu

Dissertação apresentada ao Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação - ICMC-USP, como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Matemática.

USP – São Carlos Janeiro/2010

SERVIÇO DE PÓS-GRADUAÇÃO DO ICMC-USP

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(3)

(4)

(5)

Agradecimentos

`

A minha querida M˜ae, que sonhou este sonho comigo.

Ao professor Ma To Fu, que com compreens˜ao, dedica¸c˜ao e boa vontade aceitou orientar-me neste projeto.

`

A minha fam´ılia, amigos e a Renata pela compreens˜ao nas minhas ausˆencias, apoio e est´ımulo.

Aos meus amigos de Mestrado, pelas discuss˜oes e convivˆencia que me ajudaram muito nesta jornada.

(6)

(7)

Resumo

Neste trabalho estudamos a equa¸c˜ao de ondas do tipo p-Laplaciano

utt−∆pu+ (−∆)αut=|u|q−2u,

definida num dom´ınio limitado doRn_{, com 2}_≤_{p < q} _{e 0}_{< α <}_{1. Utilizando o}

(8)

(9)

Abstract

In this work we study the p-Laplacian wave equation

utt−∆pu+ (−∆)αut=|u|q−2u,

defined in a bounded domain of Rn_{, with 2}_≤ _{p < q} _{and 0} _{< α <}_{1. By using}

(10)

(11)

SUM ´

ARIO

Introdu¸c˜ao 1

1 Preliminares 5

1.1 Topologias Fraca e Fraca Estrela . . . 5

1.2 Espa¸cosLp_{(Ω) . . . .} ₆

1.3 Distribui¸c˜oes . . . 7

1.3.1 Convergˆencia em D(Ω) . . . 8

1.3.2 Derivada de uma Distribui¸c˜ao . . . 8

1.4 Espa¸cos de Sobolev . . . 9

1.4.1 Imers˜oes de Sobolev . . . 9

1.4.2 Operadores de Ordem Fracion´aria . . . 10

1.5 Os Espa¸cos Lp_{(0, T}_;_V_{) . . . .} ₁₂

1.6 Operadorp-Laplaciano . . . 13

1.7 Resultados Gerais . . . 14

2 Existˆencia Global de Solu¸c˜ao 17 2.1 Problema Aproximado . . . 20

2.2 Estimativas a priori . . . 21

2.3 Passagem ao limite . . . 25

2.4 Condi¸c˜oes Iniciais . . . 28

3 Comportamento Assint´otico 31

4 Não Existência de Solu¸cão Global 39

(12)

(13)

INTRODU ¸

C ˜

AO

Neste trabalho estudamos a questão da existência global e o comportamento assintótico de solu¸cões para uma equa¸cão de onda do tipo p-Laplaciano,

utt−∆pu+Dut=g(u), (1)

onde Dut é termo de dissipa¸cão (damping) eg(u) é uma perturba¸cão não linear. O operador p-Laplaciano, também chamado pseudo Laplaciano, é definido por

∆pu=div(|∇u|p−2∇u) ou ∆pu= N X j=1 ∂ ∂xj ∂u ∂xj

p−2

∂u ∂xj

!

, p >1.

Estas duas formas do pseudo Laplaciano correspondem `as derivadas de Fr´echet, emW₀1,p(Ω), dos funcionais

kukp_A= 1 p

Z

Ω

|∇u|pdx e kukp_B = 1 p Z Ω n X j=1 ∂u ∂xj p dx,

respectivamente, onde k · kA e k · kB s˜ao conhecidas normas equivalentes.

O pseudo Laplaciano é um operador não linear que se reduz ao Laplaciano usual no caso p= 2, e é de grande interesse teórico por ser protótipo para o estudo de diversas equa¸cões envolvendo operadores monótonos, hemi-cont´ınuos e degenerados. (ver por exemplo Lions [11])

Muitos estudos sobre equa¸c˜oes de ondas do tipo p-Laplaciano foram apresentados nos ´

ultimos trinta anos. Normalmente, para o estudo de solu¸c˜oes globais, consideram-se termos dissipativos fortes

Dut=−∆ut,

conforme por exemplo, Biazutti [2], Ma e Soriano [13], Messaoudi [16] e Webber [23]. Aparentemente, a existência de solu¸cões globais desse tipo de problema com apenas dissi-pa¸cão “fraca”

(14)

´e um problema em aberto.

Em 2007, Yaojun Ye [25] apresentou um resultado de existência global para a equa¸cão (1) com a dissipa¸cão fraca Dut = ut acima observada, num contexto de dados pequenos tomados dentro de um conjunto de estabilidade (po¸co potencial). É um resultado do tipo Sattinger [7], Georgiev e Todorova [8] ou Messaoudi [16].

Dessa forma, pareceu-nos interessante apresentar uma disserta¸cão unificando o artigo de Ye [25] e o artigo de Gao e Zhang [6], que trata da não existência do tipo “blow-up” de solu¸cões do problema (1) com energia inicial negativa.

Entretanto, descobrimos mais tarde que o artigo [25] cont´em um erro na aplica¸c˜ao do conhecido Teorema de Aubin-Lions [11], invalidando um argumento essencial sobre a compacidade do problema.

Para recuperar a nossa proposta inicial, resolvemos estudar a equa¸cão (1) com uma dissipa¸cão intermediária, considerada anteriormente por Gao e Ma [7]. Mais precisamente, consideramos

Dut= (−∆)αut, 0< α <1.

Podemos observar queα = 0 corresponde a dissipa¸c˜ao fracaDut =ut eα = 1 corresponde a dissipa¸c˜ao forte Dut=−∆ut.

No presente trabalho consideramos o problema

     

    

utt− △pu+ (−△)α_ut₌_|_u_|q−2_u, _em _Ω_×_{(0, T}₎

u(x, t) = 0, em ∂Ω×(0, T)

u(x,0) = u0(x), ut(x,0) =u1(x), x∈Ω,

(2)

onde Ω ´e um dom´ınio limitado do Rn_{, 2} _≤ _{p < q} _{e 0} _{< α <} _{1. Os dados iniciais dever˜ao}

satisfazer

u0 ∈W01,p(Ω) e u1 ∈L2(Ω). (3)

Basicamente, reunimos os resultados de trˆes artigos (Ye [25], Gao-Ma [7] e Gao-Zhang [6]), reescrevendo-os dentro de um mesmo contexto e linguagem.

No Cap´ıtulo 2, provamos a existência de solu¸cões globais para o problema (2) com dados pequenos, seguindo os passos de Ye [25], mas com dissipa¸cão tipo fracionário apresentado em Gao e Ma [7]. O método utilizado é de aproxima¸cão de Faedo-Galerkin, combinado com argumentos de monotonia, como apresentados em Lions [11]. O resultado principal é o Teorema 2.4.

No Cap´ıtulo 3, provamos que a energia do sistema associada `as solu¸c˜oes obtidas no Teorema 2.4,

E(t) = 1

2||ut(t)||

2 2+

1

p||∇u(t)|| p p−

1

(15)

decai para zero a uma taxa polinomial. Como veremos,

d

dtE(t) = −||(−∆)

α

2u(t)||2

2,

o que mostra que a energia é decrescente. O resultado segue as linhas de Gao e Ma [7] e Biazutti [2]. A análise é feita utilizando o método de Nakao [18]. O resultado principal é o Teorema 3.1.

No Cap´ıtulo 4, apresentamos um resultado de não existência global para o problema (2) no caso da energia inicial ser negativa. O resultado é apresentado em Gao e Zhang [6] e segue os passos de Messaoudi-Belkacem [17].

(16)

(17)

CAP´ITULO 1

PRELIMINARES

Daremos aqui algumas defini¸cões e resultados que serão importantes como pré-requisitos para uma melhor compreen¸cão do que será tratado a seguir.

1.1 Topologias Fraca e Fraca Estrela

Seja X um espa¸co de Banach e X∗ _{seu dual topol´ogico. A topologia Fraca} _{σ(X, X}∗₎

em X ´e a topologia menos fina que torna cont´ınua todos os funcionais (ϕf)f∈X∗ tal que

ϕf :X−→K e ϕf(x) =f(x) = hf, xi para f percorrendo X∗_.

Defini¸cão 1.1. Dizemos que uma sequência {xn} ⊂ X é fracamente convergente em X, se é convergente no sentido de σ(X, X∗). Neste caso escrevemos xn ⇀ x. Em particular, uma sequência{xn} converge fracamente se e só se,|f(xn)−f(x)| −→0 para∀f ∈X∗_.

Proposi¸c˜ao 1.2. Seja X um espa¸co de Banach e {xn} uma sequˆencia em X. Temos que:

• xn⇀ x⇔f(xn)−→f(x),∀f ∈X∗

• Se xn −→x, ent˜ao xn⇀ x.

• Se xn ⇀ x, ent˜ao {||xn||} ´e limitado e ||x|| ≤lim inf||xn||.

• Se xn ⇀ xe se fn−→f em X∗ ₍_||_fn₋_f_||

X∗ −→0), ent˜ao fn(xn)−→f(x).

Demonstra¸c˜ao: Ver [3].

Defini¸c˜ao 1.3. A topologia Fraca Estrela, denotada por σ(X∗_{, X), ´e a topologia menos}

fina de X∗ _{induzida por} _{_ϕx_}

x∈X. Ou seja, fn −→ f em (X∗, σ(X∗, X)), escrevemos fn⇀ f∗ , e diremos que fn converge paraf na topologia Fraca Estrela.

(18)

• fn⇀ f∗ ⇔ hfn, xi −→ hf, xi,∀x∈X

• Se ||fn−f||X∗ −→ 0, ent˜ao fn ∗

⇀ f em X∗_{. Se} _fn _{⇀ f} _em _X∗_{, ent˜ao} _fn _{⇀ f}∗ _em

X∗_.

• Se fn⇀ f∗ em X∗_{, ent˜ao} _||_fn_|| _{´e limitado e} _||_f_{|| ≤}_{lim inf}

n−→∞ ||fn||.

• Se fn⇀ f∗ em X∗ _e _xn_−→_x _em _X_{, ent˜ao} _fn(x)_−→_f_(x)_.

Proposi¸c˜ao 1.5. Seja X um espa¸co de Banach reflexivo e suponha que a sequˆencia{un}n∈N

seja limitada em X. Ent˜ao existe uma subsequˆencia {un_k}k∈N que converge na topologia

fraca.

Proposi¸cão 1.6. Sejam X um espa¸co de Banach separável e {fn}n∈N uma sequência

lim-itada em X∗_{. Ent˜ao existe uma subsequˆencia} _{_f

nk}k∈N que converge na topologia fraca

estrela.

Demonstra¸c˜ao: Ver [3]

1.2 Espa¸cos

L

p

(Ω)

Seja Ω ⊂ Rn _{um conjunto aberto e 1} _≤ _{p <} _∞_{. Ent˜ao} _Lp_{(Ω) denota o conjunto das}

classes de equivalência das fun¸cões mensuráveis u : Ω −→ R _{tal que} R

Ω|u(x)|pdx < ∞,

onde identificamos as fun¸cões cujos valores são iguais q.s. em Ω. A norma em Lp_{(Ω) é} dada por:

||u||p =

Z

Ω

|u(x)|pdx

1/p

(1.1)

Para o caso em quep=∞, definimosL∞_{(Ω) o conjunto consistindo de todas as fun¸c˜oes}

mensuráveis que são essencialmente limitadas. A norma em L∞_{(Ω) é dada por:}

||u||∞ = inf{c;|u(x)| ≤c, q.s. em Ω} (1.2)

Proposi¸c˜ao 1.7. Lp_(Ω) _{´e um espa¸co de Banach para todo} ₁_≤_p_{≤ ∞}_.

Proposi¸cão 1.8. (Hölder).Se u ∈ Lp_(Ω) _e _v _∈ _Lq_(Ω) _então _uv _∈ _L1_(Ω) _{e tem-se a}

desigualdade,

Z

Ω

|uv|dx≤ ||u||p||v||q, (1.3)

(19)

Lema 1.9. (Fatou). Seja {fn}n∈N uma sequˆencia de fun¸c˜oes Lp(Ω) para 1≤p <∞, tal

que para cada n∈N_, _fn(x)_≥₀ _{q.s. em} _Ω_.

Z

Ω

lim inf

n fn(x)dx≤lim infn

Z

Ω

fn(x)dx. (1.4)

Teorema 1.10. (Convergência dominada). Seja fn uma sequência de fun¸cões inte-gráveis em Lp_(Ω)_{. Suponha que:}

1 fn converge q.s. para uma fun¸c˜ao f em Lp(Ω).

2 Existe uma fun¸cão integrável g em Lp_(Ω)_{, tal que} _|_fn_{| ≤}_g_{. Então,} _f _∈_Lp_(Ω) _e

Z

Ω

f(x)dx= lim

n

Z

Ω

fn(x)dx. (1.5)

Proposi¸c˜ao 1.11. (Representa¸c˜ao de Riez). Sejam 1 ≤ p < ∞, ϕ ∈ (Lp_(Ω))′ _e

1

p +

1

q = 1. Ent˜ao existe uma ´unica u∈L

q_(Ω) _{tal que}

hϕ, vi=

Z

Ω

u(x)v(x)dx, ∀ v ∈ Lp(Ω) e ||u||q =||ϕ||(Lp_(Ω))′. (1.6)

1.3 Distribui¸c˜

oes

Seja Ω⊂Rn_{um conjunto aberto. Por um multi-´ındice entendemos os}_α_{= (α}₁_{, ..., αn)}_∈ Nn _{com ordem}_|_α_|₌_α₁₊_...₊_{αn. Definimos o operador de derivada parcial} _Dα_{, de ordem}

|α|, por:

Dαu= ∂

|α|_u

∂α1x

1...∂αnxn

(1.7)

onde a fun¸cão u: Ω−→R_{é uma fun¸cão suficientemente derivável.}

Defini¸cão 1.12. Seja u: Ω−→R _{uma fun¸cão cont´ınua. O suporte de}_u _{é definido por:}

(20)

Defini¸c˜ao 1.13. O subespa¸co vetorial deC∞_{(Ω) definido por todas as fun¸c˜oes com suporte}

compacto contidos em Ω, ser´a denotado por C∞

0 (Ω), isto ´e,

C₀∞(Ω) :={u∈C∞(Ω);supp(u)⊂⊂Ω} (1.9)

onde o s´ımbolo ⊂⊂ denota compactamente contido, ou seja, V ⊂⊂ W se V ⊂ W e V ´e compacto. O espa¸co C∞

0 (Ω) ser´a chamado o espa¸co das fun¸c˜oes testes.

Defini¸cão 1.14. Dizemos que uma fun¸cão u : Ω −→ R _{é localmente integrável em Ω, se}

for Lebesgue-integr´avel em todo compacto K ⊂Ω. Denotamos este espa¸co por,

L1loc(Ω) :={u∈L1(K);K ⊂⊂Ω} (1.10)

Lema 1.15. (Du Bois-Raymond). Seja u∈L1

loc(Ω) e tal que,

Z

Ω

uϕdx= 0 para todo ϕ∈C0∞(Ω) (1.11)

ent˜ao u= 0 quase sempre em Ω.

1.3.1 Convergˆ

encia em

D

(Ω)

Defini¸c˜ao 1.16. (O Espa¸coD(Ω)). Sobre o espa¸coC∞

0 (Ω), definiremos a seguinte no¸c˜ao

de convergˆencia. Diremos que {ϕn}em C∞

0 (Ω) converge para zero em C0∞(Ω), quando:

1. Existe K ⊂Rn_{, com} _K _⊂⊂_{Ω tal que}_supp(ϕn)_⊂_K _{para todo}_n_∈N_.

2. Para α∈Nk_,_∀_k _∈N∗_{, temos que} _Dα_ϕn_−→_{0 uniformemente em Ω.}

O espa¸co vetorial C∞

0 (Ω) com esta no¸cão de convergência é denotado por D(Ω) e

de-nominado espa¸co das fun¸c˜oes testes em Ω.

Defini¸cão 1.17. Uma distribui¸cão emD(Ω) é um funcional linearT :D(Ω)−→R_{tal que}

a cadaϕ ∈D(Ω) associa o número real hT, ϕi. Além dissoT deve ser cont´ınua no seguinte sentido: se{ϕn}n∈N converge paraϕ em D(Ω), então T(ϕn)−→T(ϕ) em R. O espa¸co de

todas as distribui¸c˜oes ser´a denotado por D′_(Ω).

Diremos que {Tn} converge para zero em D′_{(Ω), se}_h_{Tn, ϕ}_{i −→}_{0 para todo} _ϕ_∈_D(Ω).

1.3.2 Derivada de uma Distribui¸c˜

ao

Defini¸c˜ao 1.18. Seja T uma distribui¸c˜ao e α ∈ Nk _{para algum} _k _∈ N∗_{. A derivada de}

ordem α deT ´e definida por:

DαT :D(Ω) −→ R

(21)

1.4 Espa¸cos de Sobolev

Sjaα ∈Nk _{para algum}_k _∈N∗_{.Sabemos que se}_u_∈_Lp_{(Ω) para 1}_≤_p_{≤ ∞}_{nem sempre}

ocorre Dα_u_∈_Lp_{(Ω). Exemplo desse fato ´e a fun¸c˜ao de Heaviside.}

Defini¸c˜ao 1.19. Seja Ω ⊂Rn_{, 1}_≤_p_≤ ₊_∞ _e _m _∈N_{. Denotamos por} _Wm,p_{(Ω) o espa¸co}

de todas as fun¸c˜oes u ∈Lp_{(Ω) tal que para todo} _|_α_{| ≤}_m, _Dα_u_∈ _Lp_{(Ω) para todo} multi-´ındice α = (α1, ..., αn) de inteiros n˜ao negativos. Com as correspondentes normas dadas

por,

||u||m,p = (

X

|α|≤m

||Dαu||pp)1/p se 1≤p <∞ (1.12)

||u||m,∞ = max |α|≤m||D

α_u_||

∞ se p=∞ (1.13)

s˜ao chamados Espa¸cos de Sobolev de ordem m em Lp_(Ω).

Quando m= 0 temos Wm,p_{(Ω) =}_Lp_{(Ω) e quando} _p_{= 2 temos} _Wm,p_{(Ω) =}_Hm_(Ω).

Defini¸c˜ao 1.20. Definimos para 1 ≤ p < ∞ o espa¸co W₀m,p(Ω) como sendo o fecho de

D(Ω) em Wm,p_{(Ω). Quando} _p_{= 2, escrevemos} _Hm

0 (Ω) em lugar deW

m,2

0 (Ω). Al´em disso,

a norma ||∇u||p ´e uma norma de W01,p(Ω) equivalente a norma definida em (1.12).

Teorema 1.21. O espa¸co (Wm,p_(Ω),_||_._||_m,p) _{´e um espa¸co de Banach.}

O espa¸co Hm_{(Ω) com} _m _∈ _N _{´e um espa¸co de Hilbert, no qual o produto interno, ´e} definido por

(u, v)m = X

|α|≤m

(Dαu, Dαv)2,

onde (., .)2 é o produto interno emL2(Ω), que é também um espa¸co de Hilbert.

Nota¸c˜ao: Denota-se porW−1,p′

(Ω) o espa¸co dual topol´ogico deW₀1,p(Ω), onde 1≤p < ∞

e 1_p +_p1′ = 1. Por H

−1_{(Ω) denotamos o espa¸co dual de} _H1 0(Ω).

Indentificamos o dual de L2_{(Ω) consigo mesmo, por´em n˜ao fazemos isso com} _H1 0(Ω).

1.4.1 Imers˜

oes de Sobolev

Proposi¸c˜ao 1.22. Sejam Ω um aberto limitado do Rn_{, de classe} _C1 _onde ₁ _≤ _p _{≤ ∞}_.

Então as seguintes imersões são cont´ınuas.

i Se p < n ent˜ao W1,p_(Ω)_֒_→_Lq_(Ω) _onde ₁_≤_q _≤ np

n−p =p

(22)

ii Se p=n ent˜ao W1,p_(Ω) _֒_→_Lq_(Ω) _onde ₁_≤_{q <}_∞_.

iii Se p > n ent˜ao W1,p_(Ω)_֒_→_L∞_(Ω)_.

Proposi¸c˜ao 1.23. Seja Ω um dom´ınio limitado em RN_{, tem-se as seguintes imers˜oes,}

W₀1,p(Ω) ֒→L2_(Ω)_֒_→_W−1,p_(Ω) _se 2N

N + 2 ≤p <∞ (1.14)

cont´ınuas e densas.

Proposi¸c˜ao 1.24. (Rellich-Kondrachov).Sejam Ωum aberto limitado do Rn_{, de classe}

C1 e 1≤p≤ ∞. Então as seguintes imersões são compactas:

i Se p < n ent˜ao W1,p_(Ω)_֒_→_Lp_(Ω) _onde ₁_≤_{q <} np

n−p =p

∗_.

ii Se p=n ent˜ao W1,p_(Ω) _֒_→_Lp_(Ω) _onde ₁_≤_{q <}_∞_.

iii Se p > n ent˜ao W1,p_(Ω)_֒_→_C0_{( ¯}_Ω)_.

1.4.2 Operadores de Ordem Fracion´

aria

Considere espa¸cos de Hilbert V eH com os respectivos produtos internos ((·,·)) e (·,·). SuponhaV ֒→H densamente eV ֒→H compactamente. Seja a:V ×V −→R_{uma forma}

bilinear simétrica, cont´ınua e coerciva. Pelo teorema da representa¸cão de Riez, para cada u ∈ V existe um único Au ∈ H tal que a(u, v) = ((Au, v)), para ∀v ∈ V. Desta forma o operadorA fica bem definido pela terna{V, H,((·,·))}. O dom´ınio deA, representado por D(A), é o conjunto dos u∈ V tal que a forma linear v 7−→ ((u, v)) é cont´ınua em V com a topologia induzida de H. Ou seja:

D(A) ={u∈V;v 7−→((u, v)) ´e cont´ınua, para ∀v ∈V} (1.15)

Al´em disso, A´e um operador limitado, positivo e auto-adjunto.

Considera¸cões sobre Operadores Auto-Adjuntos: Seja H um espa¸co de Hilbert e a nota¸cão A ⊆ B indicando que A é um subconjunto denso de B. Dizemos que T : domT ⊂H−→H é simétrico se

hT u, vi=hu, T vi, ∀u, v ∈domT. (1.16)

Dizemos queT é Hermetiano seT é simétrico edomT é subconjunto denso emH. Então o operadorT∗_{é uma extensão de toda extensão auto-adjunta de}_T_{. Esses resultados podem}

(23)

Teorema 1.25. SejaV um espa¸co de Hilbert separ´avel de dimens˜ao infinita eA :V −→V

uma aplica¸cão linear, simétrica e estritamente positiva em V. Então:

(i) Existe um sistema ortonormal completo (wν)ν∈N de H constitu´ıdo por autovetores de

A.

(ii) Se (λν)ν∈N s˜ao os autovalores de A correspondentes aos autovetores (wν)ν_∈N ent˜ao,

0< λ1 ≤λ2 ≤...≤λν ≤...,

com λν −→ ∞ quando ν −→ ∞.

(iii) A(wν) =λνwν, ∀ν ∈N_.

Observa¸c˜ao 1.26. O operador A, pode ser visto como o ”inverso”de um operador com-pacto.

Defini¸c˜ao 1.27. Definimos ent˜ao D(Aα_{) =} _{_u_∈_H;

∞ X

ν

λ2_να|(u, wν)|2 <+∞} e para cada u∈D(Aα_{) definimos:}

Aα_u₌P∞

ν=1λαν(u, wν)wν. Para α >0, a potˆencia A−α _{´e definida por:}

A−α_u₌P∞

ν=1λ−να(u, wν)wν.

Observa¸c˜ao 1.28. : Como λ1 ´e o menor dos autovalores de{wν}ν∈N temos,

||Aα_u_|| ₌_||

∞ X

ν=1

λα

ν(u, wν)wν|| ≥ λα1||

∞ X

ν=1

(u, wν)wν||

= λα₁||u||. (1.17)

Proposi¸cão 1.29. Seja α >0, a imersão D(Aα₎_֒_→_H _{é compacta.}

Proposi¸cão 1.30. Se ρ≥0, α >0, então a imersão D(Aα+ρ₎_֒_→_D(_Aα₎ _{é compacta.}

(24)

1.5 Os Espa¸cos

L

p

(0

, T

;

V

)

Defini¸cão 1.31. SejaV um espa¸co de Banach. Uma fun¸cãou: (0, T)−→V é mensurável quando para toda fun¸cão f ∈ V∗ _{a fun¸cão numérica} _t _{7−→ h}_{f, u(t)}_i

V∗_,V for mensur´avel a

Lebesgue em (0, T).

Defini¸cão 1.32. Dizemos que u : (0, T) −→ V é integrável no sentido de Bochner em (0, T) se u mensurável e a fun¸cão numérica t 7−→ ||u(t)||V for integrável a Lebesgue em

(0, T). Neste caso, a integral de Bochner de u ´e o vetor de V, denotado por

Z T

0

u(t)dt e

caracterizado por,

f,

Z T

0

u(t)dt

V∗_,V

=

Z T

0

hf, u(t)iV∗_,Vdt,∀f ∈V∗. (1.18)

Defini¸cão 1.33. Seja 1 ≤ p < ∞, denotamos Lp_{(0, T}_;_V_{) o espa¸co vetorial das fun¸cões} vetoriais u: (0, T)−→V, que a cada t ∈(0, T) faz corresponder o vetor u(t)∈V, tal que t7−→u(t) é mensurável e t7−→ ||u(t)||p_V é integrável a Lebesgue em (0, T).

Em Lp(0, T;V) define-se a norma

||u||Lp₍₀_,T_;_V₎ =

Z T

0

||u(t)||p_Vdt

em rela¸c˜ao a qual Lp_{(0, T}_;_V_{) ´e um espa¸co de Banach.}

Por L∞_{(0, T}_;_V_{) denotamos o espa¸co vetorial das fun¸c˜oes mensur´aveis} _u_{: (0, T}₎_−→_V

tais que

sup t∈(0,T)

ess||u(t)|| <∞. (1.19)

EmL∞_{(0, T}_;_V_{) definimos a norma}

||u||L∞

(0,T;V) = sup

t∈(0,T)

ess||u(t)|| (1.20)

em rela¸c˜ao a qual L∞_{(0, T}_;_V_{) ´e um espa¸co de Banach.}

Se 1 ≤ p < ∞, ent˜ao o dual topol´ogico de Lp_{(0, T}_;_V_{) se identifica com o espa¸co} Lp′

(0, T, V∗_{) onde} 1

p +

1

p′ = 1. Demonstra-se tamb´em que se V ´e um espa¸co reflexivo(resp.

separável) e 1< p <∞ (resp. 1≤p <∞), então Lp_{(0, T}_;_V_{) é reflexivo(resp. separável).}

Dado u∈Lp_{(0, T}_;_V_{), 1}_≤_p_{≤ ∞}_{, definimos a aplica¸c˜ao linear,}

Tu(ϕ) =hTu, ϕi=

Z T

0

u(t)ϕ(t)dt, ∀ϕ∈ D(0, T) (1.21)

onde a integral ´e entendida como a integral de Bochner em V.

(25)

Defini¸c˜ao 1.34. SejaT ∈ D′_{(0, T}_;_V_{). A derivada de}_T _{de ordem} _n_{´e definida como sendo}

a distribui¸c˜ao vetorial sobre (0, T) com valores em V dado por:

hd

n_T

dtn , ϕi= (−1)

n_h_T,dnϕ

dtni, ∀ϕ∈ D(0, T). (1.22)

Teorema 1.35 (Aubin-Lions). Sejam B0, B, B1 espa¸cos de Banach, B0 e B1 reflexivos, a

imers˜ao de B0 em B ´e compacta, B imerso continuamente em B1, e W o espa¸co:

W ={u∈L2_{(0, T}_;_B

0);u′ ∈L2(0, T;B1)}

munido da norma ||u||W =||u||L2₍₀_,T_;_B₀₎+||u′||_L2₍₀_,T_;_B₁₎. Ent˜ao W ´e um espa¸co de Banach,

e a imers˜ao de W em L2(0, T;B) ´e compacta.

Lema 1.36 (Lema de Lions). Seja O um aberto do Rn

x ×Rt, e sejam gk e g fun¸c˜oes de Lq₍_O₎_, ₁_{< q <}_∞_{, tais que:}

||gk||Lq₍_O₎ ≤C

e gk−→g quase sempre em O.

Ent˜ao gk −→g na topologia fraca de Lq₍_O₎_.

1.6 Operador

p

-Laplaciano

Defini¸c˜ao 1.37. Seja V um espa¸co de Banach reflexivo; considere a fun¸c˜aoA:V −→V′_.

Nós dizemos que A é monótona se hA(u)− A(v), u−vi ≥0, para ∀u, v ∈V. E dizemos que A é hemicont´ınua se para cada u, v ∈ V a fun¸cão de valores reais t 7−→ A(u+tv)(v) é cont´ınua.

Exemplo 1.38. Considere p ≥ 2, definimos o operador ∆pu = div (|∇u|p−2∇u) , que

aplica W₀1,p(Ω) em W−1,q_(Ω)_{, onde} _p−1₊_q−1 _{= 1}_{. Este operador ´e chamado p-Laplaciano}

e denotado por ∆p, além disso é fácil ver que ∆p é monótono, hemicont´ınuo e limitado.

Defini¸c˜ao 1.39. Dizemos que A´e do tipo M se :

 



un ⇀ u

A(un)⇀ f,

lim supAun(un)≤f(u)

=⇒ Au=f.

(26)

Demonstra¸c˜ao: Seja{un}uma sequˆencia em V tal queun⇀ u,A(un)⇀ f e lim supAun(un)≤

f(u). Pela monotonicidade temos que hA(un)− A(v), un−vi ≥ 0 para ∀v ∈ V e então obtemos quehf−A(v), u−vi ≥0 para todov ∈V. Para qualquerw∈V, tomev =u−tw com t > 0, então thf − A(u−tv), wi ≥ 0 donde hf − A(u−tv), wi ≥ 0. Pela hemicon-tinuidade de A, quando t −→ 0 temos que hf − A(u), wi ≥ 0 para todo w ∈ V, então

hf − A(u), wi= 0, para ∀w∈V, logo f =A(u).

1.7 Resultados Gerais

Defini¸cão 1.41. Seja D ⊂ Rn+1_{. Dizemos que} _f _{satisfaz as condi¸cões de Caratheodóry}

sobre D se:

• f(t, x) ´e mensur´avel em t, para cada xfixo;

• f(t, x) ´e cont´ınua em x, para cada t fixo;

• Para cada compactoC em D, existe uma fun¸c˜ao real integr´avel mC(t) tal que

|f(t, x)| ≤mC(t), para ∀(t, x)∈C. (1.23)

Considere o retˆanguloR ={(t, x)∈Rn+1_;_|_t₋_t₀_|_{< a,}_|_x₋_x₀_|_{< b}_}_{, com} _{a, b >}_0.

Teorema 1.42(Carathéodory). Sejaf :R_−→Rn_{satisfazendo as condi¸cões de Carathéodory}

sobreR_{. Ent˜ao em algum intervalo}_|_t₋_t₀_|_{< β}_{, com}_{β >}₀_{, existe uma solu¸c˜ao do problema}

de valor inicial:

x′ ₌_{f(t, x)}

x(t0) = x0.

Teorema 1.43. (Prolongamento de solu¸c˜ao). Seja D = [0, w]×B, com 0< w < ∞

e B ={x∈Rn_;_|_x_|_{< b}_}_{, b >}₀ _e _f _{nas condi¸cões de Carathéodory. Seja} _ϕ(t) _{uma solu¸cão}

de:

x′ ₌_f_{(t, x)}

x(t0) =x0,|x0| ≤b.

Suponhamos que em qualquer intervaloI ⊂R_{, onde}_ϕ(t)_{est´a definida tenha-se}_|_ϕ(t)_{| ≤}

M, para todo t ∈ I, M independente de t e M < b. Ent˜ao, ϕ tem um prolongamento at´e

[0, w].

(27)

Lema 1.44 (Nakao). Seja E uma fun¸c˜ao n˜ao negativa e limitada, definida em R+ _e

sat-isfazendo a desigualdade

sup t≤s≤t+1

E(s)γ+1 ≤C0[E(t)−E(t+ 1)], t∈R+, (1.24)

onde C0 é uma constante positiva e γ é uma constante não negativa.

1. Se γ >0, ent˜ao existe uma constante C > 0 tal que

E(t)≤C(1 +t)−1γ, ∀t≥0 (1.25)

2. Se γ = 0, ent˜ao existem constantes positivas K e ρ tal que

E(t)≤Kexp−ρt, ∀t≥0. (1.26)

(28)

(29)

CAP´ITULO 2

EXISTˆ

ENCIA GLOBAL DE SOLU ¸

C ˜

A

O

Considere Ω⊂Rn _{um aberto, com fronteira Γ =}_{∂Ω suficientemente regular,} _{T >}_{0 um}

n´umero real e Q= Ω×(0, T) cuja fronteira lateral ´e dada por Σ = Γ×(0, T). Considere o seguinte problema,

     

    

utt− △pu+ (−△)αut=|u|q−2u, em Q

u(x, t) = 0, em Σ

u(x,0) = u0(x), ut(x,0) =u1(x), x∈Ω

(2.1)

com

u0 ∈W01,p(Ω) e u1 ∈L2(Ω), (2.2)

onde q≥2 é um número real não-negativo e △p é o operador p-Laplaciano comp≥2.

Defini¸c˜ao 2.1. Uma fun¸c˜aou:Q−→R_{, satisfazendo}

u∈L∞_{(0, T}_;_W1,p

0 (Ω)) e ut∈L2(0, T;L2(Ω)) (2.3)

´e chamada solu¸c˜ao fraca do problema (2.1), se para todov ∈W₀1,p(Ω), tem-se d

dt(ut, v)− h△pu, vi+ ((−△) α_u

t, v) = (|u|q−2u, v) (2.4)

em D′(0, T), e ainda

u(x,0) =u0(x) e ut(x,0) =u1(x), x∈Ω. (2.5)

Definiremos alguns funcionais,

J(u) = 1

p||∇u|| p p−

1 q||u||

q

q, K(u) = ||∇u||pp − ||u||qq, u∈W

1,p

(30)

e de acordo com [25] definimos

d= inf

u {sup_λ_≥₀J(λu) :u∈W

1,p

0 (Ω)\{0}} (2.7)

e o seguinte conjunto,

W ={u:u∈W₀1,p(Ω), K(u)>0, J(u)< d} ∪ {0}. (2.8) Denotaremos a energia total por,

E(t) =E(u(t)) = 1

2||ut(t)||

2 2+

1

p||∇u(t)|| p p−

1

q||u(t)|| q q =

1

2||ut(t)||

2

2 +J(u(t)) (2.9)

onde t≥0 e E(0) = 1

2||u1||

2

2+J(u0) ´e a energia total dos dados iniciais.

Agora vamos mostrar a validade de alguns lemas que nos auxiliarão a mostrar a existência de solu¸cão para (2.1).

Lema 2.2. Suponha que u ∈ W01,p(Ω) e que p < q < np/(n − p) para 2 ≤ p < n e

p < q <∞ paran ≤p. Então d é um número real positivo.

Demonstra¸cão: Pela Proposi¸cão 1.22, temos que existeCq>0 tal que||u||q ≤Cq||∇u||p. Queremos achar o ponto de máximo da fun¸cão J(λu) para u fixado. Assim de,

J(λu) = λ

p

p||∇u|| p p−

λq q ||u||

q

q (2.10)

temos,

d

dλJ(λu) = λ

p−1_||∇_u_||p

p −λq−1||u||qq. (2.11)

Igualando a express˜ao anterior a zero temos,

d

dλJ(λu) = 0 ⇒λ

q−1_||_u_||q

q=λp−1||∇u||pp =⇒ λq−1

λp−1 =

||∇u||p p

||u||qq =λ q−p_.

Assim

λ∗ =

_||∇_u_||p

p

||u||qq

1/(q−p)

, (2.12)

´e ponto cr´ıtico deJ(λu). Derivando (2.11) novamente temos:

d2

dλ2J(λu)

λ=λ∗

= (p−1)

_||∇_u_||p

p

||u||qq

p −2

q−p

||∇u||pp−(q−1)

_||∇_u_||p

p

||u||qq

q −2

q−p

||u||qq, (2.13)

como p < q e

_||∇_u_||p

p

||u||qq

p −2

q−p

||∇u||p_p = ||∇u|| p p

p −2

q−p+1

(||u||qq)p

−₂

q−p

= ||∇u|| p p

q −2

q−p

(||u||qq)q

−₂

q−p−1

=

_||∇_u_||p

p

||u||qq

q −2

q−p

(31)

por (2.13) e (2.14) temos

d2

dλ2J(λu)

λ=λ∗

<0. (2.15)

Logo λ∗ é ponto de máximo global de J(λu). Então,

sup λ≥0

J(λu) = J(λ∗u) =

λp

∗

p||∇u|| p p−

λq

∗

q ||u|| q q

=

_||∇_u_||p

p

||u||qq

q−pp _||∇_u_||p

p

p −

_||∇_u_||p

p

||u||qq

q−qp _||_u_||q

q q

= 1

p

||∇u||p p

_q−qp

(||u||qq)q−pp

− 1

q

||∇u||p p

_q−qp

(||u||qq)q−pp

=

q−p qp

||∇u||p

||u||q

_qqp−p

≥ C

qp q−p

q

q−p qp

>0. (2.16)

Logo de (2.7) e (2.16) obtemos,

d= inf

u {sup_λ_≥₀J(λu) :u∈W

1,p

0 (Ω)\{0}} ≥C

qp q−p

q

q−p qp

>0 (2.17)

o que prova o lema.

Lema 2.3. Suponha que p < q < np/(n−p) para 2 ≤ p < n e p < q < ∞ para n ≤ p. Então d é um número real finito e o conjunto W é limitado em W₀1,p(Ω).

Demonstra¸c˜ao: Do Lema 2.2 e de (2.7), temos que

d≤sup

λ≥0

J(λu) =J(λ∗u) =

q−p qp

λp_∗||∇u||p_p, ∀u∈W01,p(Ω)\. (2.18)

Assim d ´e finito.

Se u∈W, ent˜ao K(u)>0, i.e., ||∇u||p

p− ||u||qq>0. Consequentemente,

d > J(u) = 1 p||∇u||

p p−

1 q||u||

q q ≥

q−p qp

||∇u||p_p

e ent˜ao

||∇u||pp ≤

qp q−p

d. (2.19)

Logo W ⊂ {u∈W₀1,p(Ω); ||∇u||p p ≤

qp q−p

(32)

Agora estamos munidos de ferramentas para mostrar a existˆencia de solu¸c˜ao de (2.1).

Teorema 2.4. Suponha que p < q < np/(n −p) para 2 ≤ p < n e p < q < ∞ para

n ≤ p. Se u0 ∈ W, u1 ∈ L2(Ω) e a energia inicial E(0) < d, ent˜ao o problema (2.1)

admite solu¸c˜ao global fraca u(x, t) tal que u(·, t)∈W,

u∈L∞(0, T;W₀1,p(Ω)) e ut∈L∞(0, T;L2(Ω)). (2.20) Para provar a existência de solu¸cão fraca para o problema (2.1), utilizaremos o método de Faedo-Galerkin que consiste das seguintes etapas:

(i) Aproxima¸cões de Galerkin, que consiste em projetar o problema em subespa¸cos de dimensão finita obtendo o problema aproximado. Este por sua vez é um sistema de equa¸cões diferenciais ordinárias com valores iniciais, cuja existência de solu¸cão local será garantida pelo teorema de Carathéodory (Teorema 1.42).

(ii) Estimativas a priori, que consiste em através da equa¸cão aproximada achar limi-tantes para a solu¸cão e suas derivadas. Com isso, utilizando o teorema de prolongamento de solu¸cões (Teorema 1.43), podemos estender a solu¸cão local para o intervalo [0, T].

(iii) Passagem ao limite, que consiste em mostrar que as solu¸cões aproximadas con-vergem para a solu¸cão do problema original. Aqui o teorema de compacidade de Aubin-Lions (Teorema 1.35) e o lema de Aubin-Lions (Lema 1.36) serão essenciais.

(iv) Verifica¸c˜ao dos dados iniciais, que consiste em verificar que a solu¸c˜ao obtida na etapa anterior satisfaz os dados iniciais.

2.1 Problema Aproximado

Seja r um inteiro tal que r > n(1₂ − 1_p) + 1. Dessa forma, Hr

0(Ω) ֒→ W 1,p

0 (Ω)

com-pactamente. Ent˜ao o conjunto de autofun¸c˜oes −∆r_w

j = αjwj em H0r(Ω) ser´a uma base

de ”Galerkin”para ambos os espa¸cos Hr

0(Ω) e L2(Ω). Para cada m ∈ N, seja Vm =

[w1, w2, ..., wm] o espa¸co gerado pelos primeiros m vetores wm. N´os procuramos por uma

fun¸c˜ao

um(t) = m

X

j=1

Kjm(t)wj, (2.21)

onde as fun¸cõesKjm(t) são escolhidas de modo que cadaumseja solu¸cão do seguinte sistema de equa¸cões diferenciais ordinárias.

(u′′_m(t), wj)− h△pum(t), wji+ ((−△p)αu′_m(t), wj) =

Z

Ω

|um(t)|q−2um(t)wjdx, (2.22)

(33)

onde (u(t), v(t)) =

Z

Ω

u(x)v(x)dx eu0m,u1m s˜ao escolhidos emVm tais que:

u0m −→u0 em W01,p(Ω) , u1m −→u1 em L2(Ω) (2.24)

Assim, em particular, existem sequˆencias ξjm e ηjm tais que

u0m = m

X

j=1

ξjmwj e u1m = m

X

j=1

ηjmwj.

Em vista de (2.22) e (2.23), para cada mfixo, as fun¸c˜oesKjm(t), 1≤j ≤m, satisfazem um sistema de equa¸c˜oes diferenciais do tipo

 



K′′

jm(t) =Fj(t, Kjm(t)), 1≤j ≤m,

Kjm(0) =ξjm, 1≤j ≤m,

K′

jm(0) =ηjm, 1≤j ≤m.

Este sistema pode ser reescrito na forma de um sistema de primeira ordem nas condi¸c˜oes de Carath´eodory.

Ou seja, o problema aproximado (2.22)-(2.23) se reescreve como um sistema de equa¸cões diferenciais ordinárias na variável t. Pelo teorema de Carathéodory, este sistema possui solu¸cão localum(t) num intervalo [0, tm) (para algumtm >0). Agora vamos obter estima-tivas para a solu¸cão um(t) tal que possamos estendê-la para o intervalo [0, T].

2.2 Estimativas a priori

Multiplicando (2.22) por K′

jm(t) e somando sobrej de 1 am, obtemos:

(u′′_m(t), u′_m(t))− h△pum(t), um′ (t)i+ ((−△)αu′m(t), u′m(t)) =

Z

Ω

|um(t)|q−2um(t)u′m(t)dx (2.25) Integrando de 0 a t cada parcela temos,

Z t

0

((−△)αu′_m(s), u′_m(s))ds =

Z t

0

((−△)α/2u′_m(s),(−△)α/2u′_m(s))ds

=

Z t

0

||(−△)α/2u′_m(s)||2₂ds (2.26) e

−

Z t

0

Z

Ω

△pum(s)u′_m(s)dxds =

Z t

0

Z

Ω

(34)

Como

Z

Ω

|∇um(t)|p−2∇um(t)∇u′m(t)dx= 1 p

d dt

Z

Ω

|∇um(t)|pdx, (2.28)

obtemos

Z t

0

Z

Ω

△pum(s)u′_m(s)dxds = 1

p||∇um(t)|| p p−

1

p||∇um(0)|| p

p. (2.29)

Agora vamos mostrar que |um(t)|q−2_um(t) _∈ _Lq′

(Ω) onde 1

q +

1

q′ = 1. De fato, como

q′ ₌ q

q−1 e pela proposi¸c˜ao 1.22 temos,

|||um(t)|q−2um(t)||q_q′′ = Z

Ω

||um(t)|q−2um(t)|q−q₁dx= Z

Ω

|um(t)|qdx=||um(t)||q_q <∞ (2.30)

Utilizando a desigualdade de H¨older, (2.21) e (2.30) temos

Z

Ω

||um(t)|q−2um(t)u′_m(t)|dx≤ |||um(t)|q−2um(t)||q′||u′

m(t)||q <+∞, (2.31)

logo integrando de 0 a tm a express˜ao acima temos

Z

Ω

|um(t)|q−2um(t)u′m(t)dx∈L1(0, tm). (2.32) Al´em disso como,

h− △p um(t), u′m(t)i=

Z

Ω

|∇um(t)|p−2∇um(t)∇u′m(t)dx,

analogamente ao caso anterior ´e f´acil mostrar que

|∇um(t)|p−2∇um(t)∈Lp′(Ω). (2.33)

Usando H¨older, (2.21) e (2.33) temos

h− △pum(t), u′m(t)i ∈L1(0, tm). (2.34)

De (2.26) e como

D((−△)α/2₎_֒_→_L2_(Ω), _(2.35)

temos,

(35)

de (2.25), (2.32), (2.34) e (2.36) segue que

(u′′_m(t), u′_m(t))∈L1(0, tm). (2.37)

Agora vamos mostrar que

(u′′_m(t), u′_m(t)) = 1 2

d dt|u

′

m(t)|2 (2.38)

onde d

dt ´e a derivada distribucional em D

′_{(0, tm). Com efeito, para cada} _θ _∈_{D(0, tm),}

de (2.37) temos

h(u′′_m, u′_m), θi=

Z tm

0

(u′′_m, u′_m)θdt

=

Z tm

0

Z

Ω

u′′_mu′_mdxθ(t)dt =

Z

Ω

Z tm

0

1 2

d dt|u

′

m|2θ(t)dtdx

= 1 2

Z

Ω

ku′_m|2θ(t)|t=tm

t=0 −

Z tm

0

|u′_m|2θ′(t)dt

dx

=−1

2

Z tm

0

Z

Ω

|u′m|2θ′(t)dt= 1 2h

d dt|u

′

m|2, θi. (2.39)

Logo de (2.25),(2.26),(2.29) e (2.38) segue que

1 2||u

′

m(t)||22+

1

p||∇um(t)|| p p+

Z t

0

||(−△)α/2u′_m(s)||2₂ds− 1

q||um(t)|| q q

= 1

2||u1m||

2 2+

1

p||∇u0m|| p p−

1 q||u0m||

q

q (2.40)

ou seja,

1 2||u

′

m(t)||22+J(um(t)) +

Z t

0

||(−△)α/2u′_m(s)||2₂ds= 1 2||u1m||

2

2+J(u0m). (2.41)

Note que usando (2.9) junto com (2.41) temos

Em(t) +

Z t

0

||(−△)α/2u_m′ (s)||2₂ds=Em(0) (2.42)

ent˜ao derivando a express˜ao acima temos,

(36)

Logo vemos que a energia decresce com o tempo.

Usando (2.41) vamos mostar que

um(t)∈W, para ∀t∈[0, tm). (2.44)

Suponha que (2.44) não ocorra, então existem valores de t∈[0, tm) tal queum(t)6∈W. Então por meio da continuidade de um(t), existirá t1 ∈ [0, tm) tal que um(t1) ∈ ∂W. Da

defini¸c˜ao deW e a continuidade de J(u(t)) e K(u(t)) em t1, temos que

J(um(t1)) = d (2.45)

ou

K(um(t1)) = 0. (2.46)

Por (2.41) junto com a condi¸c˜ao E(u(0)) < d, temos

J(um(t1))≤

1 2||u1m||

2

2+J(u0m) = E(um(0)) < d. (2.47)

Logo (2.45) é imposs´ıvel. Assuma que (2.46) se verifica, então nós temos

d

dλJ(λum(t1)) = λ

p−1_||∇_um(t

1)||pp−λq−1||um(t1)||qq

= λp−1(1−λq−p)||∇um(t1)||pp. (2.48) Por (2.12) e (2.15) temos que λ∗ = 1 ´e candidato a extremante local e

d2

dλ2J(λum(t1))|λ=1<0. (2.49)

Ent˜ao

sup λ≥0

J(λum(t1)) =J(λum(t1))

λ=1=J(um(t1))< d, (2.50)

o que contradiz (2.7). Assim (2.46) não ocorre, logo um(t)∈W, ou seja, os dados iniciais são tomados convenientemente em um conjunto limitado, ou ainda podemos pensar que estes dados são tomados pequenos como em [7].

De (2.19), (2.41) e (2.44) temos que,

1 2||u

′

m(t)||22+ (

q−p

qp )||∇um(t)|| p p+

Z t

0

||(−△)α/2u′_m(s)||2₂ds

≤ 1

2||u1m||

2

2+d≤C ∀t∈[0, tm], (2.51)

(37)

Pelo Corolário de prolongamento de solu¸cão, podemos estender a solu¸cão aproximada um(t) para o intervalo [0, T]. Além disso, de (2.51) temos

{um} ´e limitada em L∞_{(0, T}_;_W1,p

0 (Ω)) (2.52)

{u′_m} ´e limitado em L∞_{(0, T}_;_L2_(Ω)) _(2.53)

{u′_m} ´e limitado em L2_{(0, T}_;_D((_−△₎α/2_)). _(2.54)

Como o operador △p ´e limitado, ent˜ao

{△pum} limitado em L∞_{(0, T}_;_W−1,p/p−1_(Ω)) _(2.55)

{|um|q−2um} limitado em L∞_{(0, T}_;_Lq′

(Ω)). (2.56)

Finalmente, precisamos de uma estimativa parau′′_{(t). Como a nossa base de ”Galerkin”foi}

tomada no espa¸co de HilbertHr

0(Ω)⊂W 1,p

0 (Ω), vamos usar o argumento da proje¸c˜ao [11].

Definimos o operador projec˜ao Pm : Hr

0(Ω) −→ H0r(Ω) que projeta H0r(Ω) sobre Vm e ´e

definido por,

Pm(h) = m

X

j=1

((h, wj))wj h ∈H₀r(Ω) (2.57)

onde ((., .)) denota o produto interno em H0r(Ω). Como {wj} ´e uma base ortonormal de

um espa¸co de Hilbert, temos que Pm assim definido é um projetor ortogonal, logo é um operador autoadjunto. Além disso Hr

0(Ω) e L2(Ω) possuem a mesma base e H0r(Ω) ֒→

W01,p(Ω)֒→L2(Ω) densamente, ent˜ao H0r(Ω)֒→L2(Ω) densamente. Ent˜ao Pm possui uma

extens˜ao P∗

m : H−r(Ω) −→ H−r(Ω) que será linear e limitada, veja [9]. É fácil mostrar que P∗

m ´e auto-adjunta. Logo Pm∗(h) = Pm(h) = h para todo h ∈Vm. Agora aplicamos a proje¸c˜ao em (2.22) temos que

(u′′_m(t), v) = (P_m∗(|um(t)|q−2um(t)), v)− hPm∗(△pum(t)), vi −(Pm∗((−△)αu′m(t)), v) (2.58) para todo v ∈Vm. Pelo argumento de densidade e lembrando que a proje¸cão é uma trans-forma¸cão linear que leva sequências limitadas em sequências limitadas, temos de (2.52), (2.54) e (2.55) que

(u′′_m(t)) limitado em L2(0, T;H−r(Ω)). (2.59)

2.3 Passagem ao limite

(38)

um ⇀ u∗ em L∞(0, T;W₀1,p(Ω)) (2.60)

u′_m ⇀ u′ em L2(0, T;L2(Ω)) (2.61)

e de (2.55) existe χ1 ∈L∞(0, T;H−r(Ω)) tal que

△pum ⇀ χ∗ 1 em L∞(0, T;H−r(Ω)) (2.62)

e de (2.56) existe χ2 ∈L∞(0, T;Lq

′

(Ω))

|um|q−2um ⇀ χ∗ 2 em L∞(0, T;Lq

′

(Ω)) (2.63)

Como a imers˜ao W₀1,p(Ω) ֒→ L2_{(Ω) ´e compacta e por (2.52) e (2.53), podemos usar}

Teorema de Aubin-Lions[11]. Logo a sequˆencia

um −→u f orte em L2(0, T;L2(Ω)) (2.64)

Por (2.54), (2.59) e como D((−△)α/2₎ _֒_→ _L2_{(Ω) compactamente, podemos aplicar}

novamente o teorema de Aubin-Lions obtendo

u′_m−→u′ f orte em L2(0, T;L2(Ω)) (2.65)

Usando (2.52) e (2.64), n´os temos que

|||um|q−2um||_Lq′

(0,T;Lq′

(Ω)) =

Z T

0

Z

Ω

||um(t)|q−2um(t)|q′dxdt

=

Z T

0

||um(t)||q_qdt ≤C

Z T

0

||∇um(t)||q_pdt ≤C (2.66)

al´em disso|um|q−2um −→ |u|q−2u quase sempre em (0, T)×Ω. Assim pelo Lema de Lions, n´os conclu´ımos que

|um|q−2um ⇀∗ |u|q−2u em Lq′(0, T;Lq′(Ω)). (2.67) Logo de (2.63), (2.67) e pela unicidade da convergˆencia fraca estrela, temos que χ2 =

|u|q−2_u.

Agora vamos mostrar que χ1 =△pu usando o argumento da monotonicidade que pode

ser encontrado em [11]. Considere a equa¸c˜ao

(u′′_m(t), v) +h− △pum(t), vi+ ((−△)αu′m(t), v) =

Z

Ω

(39)

pela densidade fazemos v =um(t) e integramos de 0 a T para obter,

Z T

0

h− △pum(t), um(t)idt=−

Z T

0

(u′′_m(t), um(t))dt−

Z T

0

((−△)αu′_m(t), um(t))dt

+

Z T

0

Z

Ω

|um(t)|qdxdt, (2.69)

agora calculamos cada parcela de (2.69),

Z T

0

((−△)αu′_m(t), um(t))dt =

Z T

0

((−△)α/2u′_m(t),(−△)α/2um(t))dt

= 1

2||(−△) α/2_u

m(T)||22−

1

2||(−△) α/2_u

m(0)||22 (2.70)

e

Z T

0

(u′′_m(t), um(t))dt= (u′_m(T), um(T))−(u′_m(0), um(0))−

Z T

0

||u′_m(s)||2₂ds (2.71) Logo por (2.69), (2.70) e (2.71) temos

Z T

0

h− △pum(t), um(t)idt=−(u′m(T), um(T)) + (u′m(0), um(0)) +

Z T

0

||u′m(s)||22ds

−1

2||(−△)

α/2_um(T₎_||2 2+

1

2||(−△)

α/2_um(0)_||2 2+

Z T

0

||um(t)||qqdt.(2.72)

Estamos interessados em passar o limite superior na equa¸c˜ao (2.72), para isto utilizaremos o Lema de Fatou, ou mais precisamente sua vers˜ao invertida e como

lim sup

Z T

0

||um(t)||q_qdt≤

Z T

0

||u(t)||q_qdt, (2.73)

usando as convergˆencias (2.60), (2.64) e (2.65) temos

lim sup m−→∞

Z T

0

h− △pum(t), um(t)idt ≤(u′(0), u(0))−(u′(T), u(T)) +

Z T

0

||u′(t)||2₂dt

+1

2||(−△) α/2_u

0||22−

1

2||(−△)

α/2_u(T₎_||2 2+

Z T

0

||u(t)||q_qdt (2.74)

Por outro lado, passando o limite em (2.68), integrando de 0 a T e usando o argumento de densidade temos,

Z T

0

hχ1(t), u(t)idt = −(u′(0), u(0)) + (u′(T), u(T))−

Z T

0

||u′(t)||2₂dt− 1

2||(−△) α/2_u

0||22

+ 1

2||(−△)

α/2_u(T₎_||2 2−

Z T

0

(40)

Ent˜ao por (2.74) e (2.75) temos que

lim sup

Z T

0

h− △pum(t), um(t)idt≤ −

Z T

0

hχ1(t), u(t)idt. (2.76)

Logo pela Proposi¸c˜ao 1.13, temos que

χ1(t) = △pu(t) (2.77)

Agora passando o limite na equa¸c˜ao aproximada temos

(u′′(t), v) +h− △pu(t), vi+ ((−△)αu′(t), v) =

Z

Ω

|u(t)|q−2u(t)vdx (2.78)

para ∀v ∈W₀1,p(Ω) no sentido das distribui¸c˜oes.

2.4 Condi¸c˜

oes Iniciais

Devido as convergˆencias (2.59),(2.60) e (2.61) segue do Lema 8.1 (cap´ıtulo 3)[12] que

u∈C([0, T];L2(Ω))∩Cs(0, T;W01,p(Ω)) (2.79)

u′ ∈C([0, T];H−r(Ω))∩Cs(0, T;L2(Ω)). (2.80)

onde Cs(0, T;X) ´e o espa¸co das fun¸c˜oes fracamente cont´ınuas. Primeiramente vamos mostrar que

u(0) =u0. (2.81)

Seja θ ∈C1_{([0, T}_{]) tal que} _{θ(0) = 1 e} _θ(T_{) = 0 e} _{m > j} _{de (2.65) temos}

Z T

0

(u′_m(t), wj)θ(t)dt−→

Z T

0

(u′(t), wj)θ(t)dt. (2.82)

Integrando por partes temos

−(um(x,0), wj)−

Z T

0

(um(t), wj)θ′(t)dt−→ −(u(x,0), wj)−

Z T

0

(u(t), wj)θ′(t)dt. (2.83)

Mas de (2.64) temos

Z T

0

(um(t), wj)θ′(t)dt −→

Z T

0

(41)

ent˜ao

(um(0), wj)−→(u(0), wj). (2.85)

Logo

um(0) ⇀ u(0) em L2(Ω). (2.86)

Entretanto de (2.24) temos

um(0)⇀ u0 em L2(Ω). (2.87)

Pela unicidade do limite temos que

u(0) =u0. (2.88)

Agora provaremos que

u′(0) =u1. (2.89)

Tomando θ nas condi¸c˜oes anteriores, vamos multiplicar a equa¸c˜ao (2.22) por θ e inte-grando de 0 a T, temos

Z T

0

(u′′_m(t), wj)θ(t)dt−

Z T

0

h△pum(t), wjiθ(t)dt+

Z T

0

((−△)αum(t), wj)θ(t)dt

=

Z T

0

Z

Ω

|um(t)|q−2um(t)wjθ(t)dxdt (2.90) Integrando por partes temos:

−(u′_m(x,0), wj)−

Z T

0

(u′_m(t), wj)θ′(t)dt−

Z T

0

h△pum(t), wjiθ(t)dt

+

Z T

0

((−△)αum(t), wj)θ(t)dt=

Z T

0

Z

Ω

|um(t)|q−2um(t)wjθ(t)dxdt. (2.91) Fazendo m−→ ∞, usando a densidade de {wj}∞

j=1 em W 1,p

0 (Ω) e (2.91) temos:

−

Z T

0

(u′(t), v)θ′(t)dt−

Z T

0

h△pu(t), wjiθ(t)dt+

Z T

0

((−△)αu(t), wj)θ(t)dt

=

Z T

0

Z

Ω

|u(t)|q−2u(t)wjθ(t)dxdt+ (u1(t), v) para ∀v ∈W01,p(Ω). (2.92)

Integrando novamente por partes temos:

(u′(x,0), v) +

Z T

0

d dt(u

′_{(t), v)θ(t)dt}₋ Z T

0

h△pu(t), wjiθ(t)dt

+

Z T

0

((−△)αu(t), wj)θ(t)dt =

Z T

0

Z

Ω

(42)

Ent˜ao de (2.90) e (2.93) segue que,

(u′(0), v) = (u1, v) para ∀v ∈W01,p(Ω) (2.94)

Logo

u′(0) =u1 ∀x∈Ω. (2.95)

(43)

CAP´ITULO 3

COMPORTAMENTO ASSINT ´

OTICO

Neste cap´ıtulo estudaremos o comportamento assint´otico das solu¸c˜oes globais de (2.1) obtidas no Teorema 2.4.

Mostraremos que a energia

E(t) = 1

2||ut||

2 2 +

1 p||∇u||

p p −

1 q||u||

q

q, (3.1)

decai a zero satisfazendo uma taxa polinomial, que ´e t´ıpico para equa¸c˜oes de onda do tipo

p-Laplaciano com p >2 (cf. [13, 7]). A análise é baseada na técnica de Nakao [18].

A demostra¸cão do comportamento assintótico do problema (2.1) apresentada em Ye [25] é de dif´ıcil verifica¸cão. Aparenta faltar alguma hipótese adicional. Uma abordagem alternativa seria aquela apresentada em Messaoudi [16]. Mas aquela abordagem assume certa regularidade na solu¸cão, que não é de fato demonstrada. Além disso, o resultado dele é também contestado no Mathematical Review [22]. Dessa forma, seguiremos as linhas gerais de Gao e Ma [7], onde os dados iniciais (pequenos) são escolhidos segundo um argumento devido a L. Tartar [21].

Seja

Q(z) = 1

2pz p₋ 1

qC q qzq,

onde Cq é a constante de Sobolev da imersão ||u||q ≤ Cq||∇u||p. Como q > p, Q é estritamente crescente numa vizinhan¸ca à direita da origem. Além disso

Q′(z) = 1 2z

p−1₋_Cq qzq−1. EntãoQ possui um único máximo local em

z0 =C

−q q−_p

q

1 2

q−p

(44)

Vamos assumir as seguintes hip´oteses sobre os dados iniciais (u0, u1).

||∇u0||p < z0. (3.3)

1 2||u1||

2 2+

1

p||∇u0|| p p−

1 q||u0||

q

q< Q(z0). (3.4)

Teorema 3.1. Suponha válida as hipóteses do Teorema 2.4. Além disso, suponha que os dados iniciais(u0, u1)satifazem as condi¸cões (3.3) e (3.4). Então a energia correspondente

ao problema (2.1), obtida pelo Teorema 2.4, decai segundo a taxa polinomial

E(t)≤C(t+ 1)−p−22.

Comparado ao Teorema 2.4 anterior, as hip´oteses (3.3) e (3.4) garantem solu¸c˜oes globais um pouco menores.

Lema 3.2. Sob as condi¸c˜oes adicionais (3.3) e (3.4), a solu¸c˜ao fraca dada pelo Teorema 2.4 satisfaz

||∇u(t)||p < z0 ∀t∈[0, T]. (3.5)

Demonstra¸c˜ao: Sabemos que o problema aproximado satisfaz

1 2ku

′

m(t)k22+

1

pk∇um(t)k p p−

1

qkum(t)k q q+

Z t

0

k(−∆)α2u′

m(s)k22ds

= 1

2ku1mk

2 2+

1

pk∇u0mk p p−

1 qku0mk

q q.

Usando imers˜ao de Sobolev, o lado esquerdo da identidade satisfaz

1 2ku

′

m(t)k22+

1

pk∇um(t)k p p−

1

qkum(t)k q q+

Z t

0

k(−∆)α2u′

m(s)k22ds

≥ 1

2||u

′

m(t)||22+

1

p||∇um(t)|| p p−

1 qC

q

q||∇um(t)||qp

= 1

2||u

′

m(t)||22+

1

2p||∇um(t)|| p

p+Q(||∇um(t)||p),

e portanto

1 2||u

′

m(t)||22+

1

2p||∇um(t)|| p

p+Q(||∇um(t)||p)

≤ 1

2||u1m||

2 2+

1

p||∇u0m|| p p−

1

q||∇u0m|| q

q. (3.6)

Agora suponha que (3.5) ´e falsa. Ent˜ao para cada m grande, existe t∈[0, tm) tal que

(45)

Como u0m →u0 fortemente em W01,p(Ω), de (3.3) temos a existˆencia deN0 >0 tal que

k∇u0mkp =k∇um(0)kp < z0. (3.8)

Por continuidade, segue de (3.7) e (3.8) a existˆencia de um primeirot∗

m ∈(0, tm) tal que

k∇um(t∗_m)kp =z0. (3.9)

Por outro lado, de (3.4), existe N1 > N0 e β ∈(0, z0) tais que

1 2ku1mk

2 2+

1

pk∇u0mk p p−

1 qku0mk

q

q ≤Q(β), m > N1,

e ent˜ao de (3.6),

0≤Q(k∇um(t)kp)≤Q(β) ∀t∈[0, t∗_m], m > N1.

Da monotonia de Q em [0, t∗m] segue que

0≤ k∇um(t)kp ≤β < z0 ∀t∈[0, t∗m], m > N1,

o que contradiz (3.9).

Lema 3.3. Existe k >0 tal que

kE(t)≤ k

2ku

′_(t)_k2

2+k∇u(t)kpp− ku(t)kqq.

Demonstra¸c˜ao: Fixado δ >0, e em vista de (3.5) e (3.2),

k∇ukp_p− kukq_q = δJ(u) +

1− δ

p

k∇ukp_p−

1− δ

q

kukq_q

≥ δJ(u) +

1− δ

p

−

1− δ

q

C_qqk∇ukq_p−p

k∇ukp_p

≥ δJ(u) + 1−

1 2

q−p

− δ

p

!

k∇ukp_p

> δJ(u),

se δ >0 for suficientemente pequeno. Tomemos ent˜ao k=δ.

Lema 3.4. Para todo t >0,

E(t)≥ 1

2ku

′_(t)_k2 2+

1

2pk∇u(t)k p p.

Isto ´e, E(t) domina a norma k(u(t), u′_(t))_k

(46)

Demonstra¸c˜ao: Temos

E(t) ≥ 1

2ku

′_k2 2 +

1 pk∇uk

p p −Cqq

1 qkuk

q q

= 1

2ku

′_k2 2 +

1 2pk∇uk

p

p+Q(k∇ukp).

Como Q(k∇ukp)≥0, o resultado segue.

Demonstra¸c˜ao do Teorema 3.1: Fazendowj =u′

m(t) na equa¸c˜ao aproximada (2.22) e integrando sobre [t, t+ 1]×Ω parat >0, temos:

1 2||u

′

m(t+ 1)||22+J(um(t+ 1)) +

Z t+1

t

||(−△)α/2u′_m(s)||2₂ds = 1 2||u

′

m(t)||22+J(um(t))

ou equivalentemente

Em(t+ 1) +

Z t+1

t

||(−△)α/2_u′

m(s)||22ds=Em(t) (3.10)

Definimos ent˜ao

D2_m(t) =Em(t)−Em(t+ 1) (3.11)

e de (1.17) temos

D2_m(t) =Em(t)−Em(t+ 1) =

Z t+1

t

||(−△)α/2u′_m(s)||2₂ds (3.12)

≥ λα₁

Z t+1

t

||u′_m(s)||2₂ds. (3.13)

Dividindo o intervalo [t, t+1] em 4 partes iguais o teorema do valor m´edio para integrais nos garante que, existem t1 ∈[t, t+ 1/4] e t2 ∈[t+ 3/4, t+ 1], tais que:

||u′

m(t1)||22

4 =

Z t+1

t

||u′_m(s)||2₂ds e ||u

′

m(t)||22

4 =

Z t+1

t+3/4

||u′_m(t)||2₂.

Logo

λα₁

Z t+1

t

||u′_m(s)||2₂ds≥λα₁

Z t+1/4

t

||u′_m(s)||2₂ds= λ α

1

4 ||u

′

(47)

E por (3.12) e (3.14) temos,

||u′_m(t1)||22 = 4

Z t+1/4

t

||u′_m(s)||2₂ds ≤4

Z t+1

t

||u′_m(s)||2₂ds

≤4λ−α

Z t+1

t

||(−△)α/2u(s)||2₂ds ≤4λ−αD_m2(t). (3.15)

Portanto

||u′_m(t1)||2 ≤2λ−α/2Dm(t), (3.16)

e analogamente,

||u′_m(t2)||2 ≤2λ−1α/2Dm(t). (3.17)

Agora, fazendo wj = um(t) na equa¸c˜ao aproximada e integrando sobre [t1, t2]× Ω,

temos:

(u′_m(t2), um(t2))−(u′m(t1), um(t1))−

Z t2

t1

||u′_m(s)||2₂ds+

Z t2

t1

||∇um(s)||ppds

+

Z t2

t1

((−△)α/2_u′

m(s),(−△)α/2um(s))ds=

Z t2

t1

||um(s)||qqds,

ou ainda

Z t2

t1

k||u′m(s)||22+||∇um(s)||pp− ||um(s)||qq

ds= (u′m(t1), um(t1))−(u′m(t2), um(t2))

+(k+ 1)

Z t2

t1 ||u′

m(s)||22ds−

Z t2

t1

((−△)α/2_u′

m(s),(−△)α/2um(s))ds.(3.18) Pelo Lema 3.2 temos que

k

Z t2

t1

Em(s)ds ≤(u′_m(t1), um(t1))−(u′m(t2), um(t2)) + (k+ 1)

Z t2

t1

||u′_m(s)||2₂ds

−

Z t2

t1

((−△)α/2u′_m(s),(−△)α/2um(s))ds. (3.19)

Usando as desigualdades de H¨older e notando que

kuk_D₍₍₋_∆)α/2₎ =||(−∆)α/2u||₂,

e

(48)

temos

Z t2

t1

((−△)α/2u′_m(s),(−△)α/2um(s))ds ≤

Z t2

t1

||(−△)α/2u′_m(s)||2||(−△)α/2um(s)||2ds

≤ sup

s∈[t,t+1]

kukD((−∆)α/2₎

Z t+1

t

||(−△)α/2u′_m(s)||2ds

≤ C1 sup

s∈[t,t+1]

||um(s)||pD2_m(t). (3.20)

Al´em disso,

(u′_m(t1), um(t1))−(u′m(t2), um(t2)) ≤ ||u′m(t1)||2||um(t1)||2+||um′ (t2)||2||um(t2)||2

≤ 4λα/₁ 2Dm(t) sup s∈[t,t+1]

||um(s)||2

≤ C2Dm(t) sup

s∈[t,t+1]

||∇um(s)||p. (3.21)

Pelo Lema 3.3 temos

||∇um(t)||p ≤(2p)1/pEm(t)1/p. (3.22)

Portanto de (3.20), (3.21) e (3.22), existir˜ao constantes C3 eC4 tais que (3.19) implica em

Z t2

t1

Em(s)ds ≤C3D2m(t) +C4Dm(t)Em(t)1/p. (3.23)

Aplicando o TVM para integrais temos que existe t0 ∈[t1, t2] tal que:

Em(t0) =

1 t2−t1

Z t2

t1

Em(s)ds. (3.24)

Como t2−t1 >1/2 e Em(t) ´e um funcional decrescente, temos que

1

2Em(t+ 1)≤C3D

2

m(t) +C4Dm(t)Em(t)1/p. (3.25)

Uma vez que Em(t+ 1) =Em(t)−D2m(t), podemos concluir que 1

2Em(t)≤(C3+ 1 2)D

2

m(t) +C4Dm(t)Em(t)1/p. (3.26)

Usando a desigualdade de Young, existe C′ _>_{0 tal que}

C4Dm(t)Em(t)

1

p ≤C′Dm(t) p p−₁ + 1

(49)

Assim, existem constantes C5 e C6 tais que

Em(t)≤C5Dm2(t) +C6Dm(t)

p

p−1. (3.27)

Como p >2, podemos escrever Dm(t)2 ₌ _Dm(t)pp−−21Dm(t)

p

p−1. Ent˜ao, da desigualdade

anterior temos

Em(t)≤(C5Dm(t)

p−2

p−1 +C

6)Dm(t)

p

p−1. (3.28)

Como Dm(t) ´e limitado, existir´a C7 tal que

Em(t)≤C7Dm(t)

p

p−₁, (3.29)

ou ainda.

Em(t)2(p

−1)

p ≤C

2(p−1)

p

7 Dm(t)2. (3.30)

Portanto

Em(t)1+p−p2 ≤C

2(p−1)

p

7 [Em(t)−Em(t+ 1)]. (3.31)

Aplicando o Lema de Nakao, com γ = p−_p2, existir´a uma contante C, independente de m, tal que

Em(t)≤C(1 +t)p−−p2, ∀t≥0, (3.32)

(50)

(51)

CAP´ITULO 4

N ˜

AO EXISTˆ

ENCIA DE SOLU ¸

C ˜

AO

GLOBAL

Nossa inten¸cão aqui é estudar a não-existência global de solu¸cão para o problema (2.1). Considere p el satisfazendo as seguintes condi¸cões:

 



2≤p < q < _nnp₋_p se n > p

2≤p < q se n≤p

(4.1)

Al´em disso, vamos supor a seguinte rela¸c˜ao,

E(t) +

Z t

0

||(−△)α/2u′(t)||2₂dt ≤E(0) e t ∈[0, T], (4.2) que ´e uma forma de Lei de Conserva¸c˜ao Fraca.

Teorema 4.1. Supondo v´alidas as condi¸c˜oes (4.1) e (4.2), para qualquer dado inicial

(u0, u1) ∈ W01,p(Ω)×L2(Ω), se E(0) < 0, ent˜ao a solu¸c˜ao de (2.1) ”blows-up”em tempo

finito T0 na norma de Lp(Ω).

Demonstra¸cão: Nossa inten¸cão é achar uma fun¸cão que seja limitada pela norma em Lp_{(Ω) da solu¸cão de (2.1), tal que a fun¸cão cres¸ca quando t se aproxima de} _T

0, ou seja,

fazendo com que a norma da solu¸c˜ao em Lp_{(Ω) ”blows-up”em tempo finito.}

Usando E(0) <0 e (4.2), n´os temos que

E(t)≤E(0)<0 (4.3)

Definimos uma fun¸c˜ao H(t) em termos da energia

H(t) =p(−E(t)) +p

2+ 1

||u′(t)||2₂+q−p

2q ||u(t)|| q

(52)

Agora, vamos introduzirF(t) = 1

2||u(t)||

2

2 para qualquer solu¸c˜aou(t), ent˜ao a derivada

deF(t) com respeito a t ser´a

F′(t) =

Z

Ω

u(t)u′(t)dx (4.5)

Uma vez que u(t) ´e solu¸c˜ao do problema (2.1), por (4.4) e (4.5) obtemos

F′′(t) =

Z

Ω

(u′′(t)u(t) +u′(t)2)dx=

Z

Ω

(u′(t)2+ [△pu(t) +|u(t)|q−2u(t)−(−△)αu′(t)]u(t))dx

=

Z

Ω

u′′(t)2dx+

Z

Ω

(△pu(t))u(t)dx+

Z

Ω

|u(t)|q−2u(t)u(t)dx−

Z

Ω

(−△)αu(t)′u(t)dx

= ||u′(t)||2₂− ||∇u(t)||p_p+||u(t)||q_q−

Z

Ω

= −p

2 +

p

2+ 1

||u′(t)||2₂− ||∇u(t)||p_p+

q+p

2q +

q−p

2q

||u(t)||q_q−

Z

Ω

(−△)αu′(t)u(t)dx

= −p

2||u

′₍_t₎_||2

2− ||∇u(t)||pp+

p q||u(t)||

q q+

p

2 + 1

||u′(t)||2₂+q−p

q ||u(t)||

q q−

Z

Ω

= p(−E(t)) +p 2+ 1

||u′(t)||2₂+ q−p 2q ||u(t)||

q q+

q−p

2q ||u(t)||

q q−

Z

Ω

= H(t) +q−p 2q ||u(t)||

q q−

Z

Ω

(−△)αu′(t)u(t)dx. (4.6)

Pelas condi¸c˜oes (4.1) e (4.3) temos

1

p||∇u(t)|| p p ≤

1

q||u(t)|| q

q (4.7)

e por (4.5) e (4.6) temos

F′′_(t)_≥_{H(t) +} q−p

2q ||∇u(t)|| p p−

Z

Ω

(−△)α_u′_(t)u(t)dx. _(4.8)

Estamos interessados em achar uma estimativa para

Z Ω

. Como p ≥ 2 temos,

W01,p(Ω)֒→H01(Ω). (4.9)

Assim, uma vez que