Aplicação da função densidade de probabilidade beta no diagnóstico de defeitos de montagem em redutores de engrenagens

(1)

Marcelo Braz de Aquino

Dissertação apresentada à Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira da Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, como parte dos requisitos exigidos para a obtenção do título de Mestre em Engenharia Mecânica

Orientador: PROF. DR. Adyles Arato Junior

Ilha Solteira, Fevereiro de 2004.

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA

APLICAÇÃO DA FUNÇÃO DENSIDADE DE

PROBABILIDADE BETA NO DIAGNÓSTICO

(2)

MARCELO BRAZ DE AQUINO

Esta dissertação foi julgada adequada para obtenção do título de MESTRE EM

ENGENHARIA MECÂNICA na área de concentração MECÂNICA DOS SÓLIDOS e

aprovada em sua forma final pelo Programa de Pós-graduação em Engenharia Mecânica

__________________________________________ Prof. Dr. João Antônio Pereira - Coordenador.

COMISSÃO EXAMINADORA:

Prof. Dr. Adyles Arato Júnior - Orientador.

Prof. Dr. Robson Pederiva.

(3)

(4)

(5)

(6)

Ao Prof. Dr. Adyles Arato Júnior, pela orientação e acima de tudo amizade.

Aos professores da pós-graduação da FEIS / UNESP.

Aos técnicos do departamento de engenharia mecânica, em especial ao Carlos José Santana (Grilo), pelo apoio.

À Milena Paula Rubio, Márcia Aquino, Poli Poloni, Margareth Aquino, Herbert Garcia, Leonel Aquino e Uiara Aquino, pelos momentos de felicidades vividos.

Aos colegas Leonardo Caldiron, Gilson Lemos, Eduardo Kruger, Ailton Fernando, Ivo Lourenço, Giorgio Calegari, Breno Ziviani, Alexandre Alves e Mauro Gomes, pelo companheirismo.

À CAPES (Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior), pelo apoio financeiro.

À FEIS / UNESP pelas ótimas condições oferecidas.

Muito Obrigado.

(7)

(8)

1 INTRODUÇÃO...1

2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA...5

3 APLICAÇÃO DA FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE BETA NA ANÁLISE DE VIBRAÇÃO...11

CARACTERÍSTICAS DO SINAL DE VIBRAÇÃO...11

CARACTERIZAÇÃO ESTATÍSTICA DO SINAL DE VIBRAÇÃO...15

FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE AJUSTADA AOS SINAIS DE VIBRAÇÃO...17

Momento Estatístico de Primeira Ordem...24

Momento Estatístico de Segunda Ordem...24

Operador do Valor Esperado...25

Skewness...27

Kurtosis...27

FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE BETA...28

ANÁLISE INDEPENDENTE DA QUALIDADE DO ENGRENAMENTO...33

4 PROCESSAMENTO DO SINAL DE VIBRAÇÃO...37

ETAPAS DO PROCESSAMENTO E PRODUTO FINAL DA TÉCNICA...42

5 APLICAÇÃO DO MÉTODO AOS DEFEITOS DE MONTAGEM INADEQUADA DO REDUTOR MECÂNICO...56

APARATO EXPERIMENTAL...56

INSTRUMENTAÇÃO...58

PROCEDIMENTOS UTILIZADOS NA AQUISIÇÃO DOS SINAIS DE VIBRAÇÃO...65

CONDIÇÃO DE FUNCIONAMENTO DO REDUTOR MECÂNICO DE ENGRENAGENS...68

CÁLCULO DA POTÊNCIA ÚTIL...72

APLICAÇÃO AOS SINAIS SIMULADOS...73

(9)

6 DISCUSSÕES DOS RESULTADOS...93

7 CONCLUSÕES DO TRABALHO E RECOMENDAÇÕES PARA PESQUISAS

FUTURAS...96

8 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS……...…99

APÊNDICE 1...A-1

APÊNDICE 2...A-7

(10)

Figura 3.1. Sinal Temporal de um processo aleatório...13

Figura 3.2. Todos os objetos (amplitudes) do sinal temporal representado na figura 3.1...16

Figura 3.3. Sub-amostra A referente a todas amplitudes compreendidas no intervalo de tempo 0,5 – 1,0 seg., sub-amostra B referente a todas amplitudes compreendidas no intervalo de tempo 1,5 – 2,0 seg. do sinal temporal da figura 3.1 que forma a amostra global...16

Figura 3.4. Função Densidade de Probabilidade p(x) de uma onda senoidal superposta a um nível médio constante...17

Figura 3.5. Cálculo da função densidade de probabilidade p(x) para um processo aleatório...18

Figura 3.6. Amostra temporal aleatória para análise digital...19

Figura 3.7. Possíveis formas da função densidade de probabilidade Gaussiana ou Normal...21

Figura 3.8. Possíveis formas da função densidade de probabilidade Uniforme...21

Figura 3.9. Possíveis formas da função densidade de probabilidade Gamma...22

Figura 3.10. Possíveis formas da função densidade de probabilidade Weibull...22

Figura 3.11. Possíveis formas da função densidade de probabilidade Exponencial...23

Figura 3.12. Possíveis formas da função densidade de probabilidade Lognormal...23

Figura 3.13. Formas simétricas da função densidade de probabilidade beta...29

Figura 3.14. Formas assimétricas da função densidade de probabilidade beta...30

Figura 3.15. Formas das FDP’s para um mesmo sinal com períodos de tempo diferentes...31

Figura 3.16. Descrição do procedimento utilizado na análise individual independente...35

Figura 4.1. Procedimento do processamento do sinal de vibração...41

Figura 4.2. Rigidez do engrenamento de 9 dos 44 dentes do pinhão...43

Figura 4.3. Média temporal síncrona do sinal de vibração simulado por computador referente a uma trinca prematura...44

Figura 4.4. Sinal de vibração referente a uma revolução completa do Pinhão...45

Figura 4.5. Sinal de vibração da figura 4.4 dividido pelo seu valor RMS...46

Figura 4.6. Valores absolutos da figura 4.5...47

Figura 4.7. Valores da figura 4.6 adicionados de 3% da máxima amplitude...48

(11)

Figura 4.9. Função densidade de probabilidade beta representativa de todo o engrenamento...50

Figura 4.10. Sinal normalizado para cada um dos dentes do pinhão...51

Figura 4.11. Funções densidade de probabilidade beta para cada um dos dentes do pinhão...52

Figura 4.12. Produto final da técnica: Qualidade do engrenamento...53

Figura 4.13. Fluxograma representativo da análise estatística deste trabalho...54

Figura 5.1. Vista geral da bancada experimental...58

Figura 5.2. (a) Zoom da bancada experimental. (b) Detalhe do Trigger...59

Figura 5.3. Cadeia de medição utilizada na aquisição dos sinais de vibração oriundos do redutor mecânico...60

Figura 5.4. Acelerômetro utilizado...60

Figura 5.5. Condicionador / amplificador utilizado...61

Figura 5.6. Conversor analógico / digital utilizado...62

Figura 5.7. Microcomputador utilizado...63

Figura 5.8. Software de aquisição de dados utilizado...63

Figura 5.9. Calibrador do sistema de medição...64

Figura 5.10. Bancada experimental com toda a instrumentação...65

Figura 5.11. Espectro do redutor para velocidade nominal oferecida pela rede, com restrição de 100 psi no bombeamento do óleo...71

Figura 5.12. Espectro da bomba de óleo para velocidade nominal oferecida pela rede, com restrição de 100 psi no bombeamento do óleo...72

Figura 5.13. Alicate amperométrico...73

Figura 5.14. (a) Uma revolução do pinhão relativo ao sinal 1. (b) Qualidade do engrenamento relativo ao sinal 1 ...75

Figura 5.18. Média temporal síncrona do sinal de vibração SEMDEF-1 mencionado na tabela 5.1...78

(12)

Figura 5.22. Média temporal síncrona do sinal de vibração SEMDEF-3...80

Figura 5.23. Qualidade do engrenamento do sinal de vibração SEMDEF-3...80

Figura 5.24. Média temporal síncrona do sinal de vibração DESAL-1A...81

Figura 5.25. Qualidade do engrenamento do sinal de vibração DESAL-1A...81

Figura 5.30. Média temporal síncrona do sinal de vibração DESAL-1B...84

Figura 5.31. Qualidade do engrenamento do sinal de vibração DESAL-1B...84

Figura 5.36. Média temporal síncrona do sinal de vibração EXCENT-1A...87

Figura 5.37. Qualidade do engrenamento do sinal de vibração EXCENT-1A...87

Figura 5.42. Média temporal síncrona do sinal de vibração EXCENT-1B...90

Figura 5.43. Qualidade do engrenamento do sinal de vibração EXCENT-1B...90

(13)

(14)

Tabela 3.1. Algumas fdp’s freqüentemente encontradas...20

Tabela 5.1. Dados arquivados relativos às condições de operações experimentais utilizadas neste trabalho...67

Tabela 5.2. Valores RMS da velocidade de vibração...70

(15)

(16)

AQUINO, Marcelo Braz, “Aplicação da Função Densidade de Probabilidade Beta no

Diagnóstico de Defeitos de Montagem em Redutores de Engrenagens”, Faculdade de Engenharia

de Ilha Solteira, UNESP, 2004, 103 p., Dissertação de Mestrado.

Este trabalho explana detalhadamente uma técnica de monitoramento baseada na função

densidade de probabilidade Beta que analisa o engrenamento, dente a dente, onde a detecção da

anomalia é feita através de um parâmetro estatístico que é extraído do sinal de vibração,

corresponde a interação de cada par de dente, e comparado com este mesmo parâmetro calculado

para o engrenamento de todos os pares de dentes relativo a uma revolução completa da

engrenagem. O produto final da técnica é uma figura de simples de interpretação que mostra a

localização da anomalia com sua severidade respectiva. Em adição, possui a vantagem de

descrever um sinal vibratório composto por milhares de pontos em apenas um parâmetro para

cada dente da engrenagem monitorada. O método provou ser capaz de avaliar a severidade do

dano no dentado como oclusões de fabricação, trincas e dente quebrado através do uso de um

simulador de sinais. Este trabalho avalia o comportamento do método proposto com relação à sua

capacidade de diagnosticar falhas de montagem inadequada, em particular a excentricidade e o

(17)

(18)

AQUINO, Marcelo Braz, “Aplication of Beta Probability Density Function for the Diagnostic of

Assembly Defects in gear pairs”, Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira, UNESP, 2004, 103

p., Dissertação de Mestrado.

This work introduces a technique of monitoring based on Beta distribution which analyzes

the gear mesh, tooth by tooth. The detection of the anomaly is made through a statistical

parameter that is extracted of the vibration sign, corresponding the interaction of each tooth pair,

which is compared with that same parameter calculated from the group of all teeth pairs relative

a complete turn of the gear. The result of the technique is a simple figure of easy interpretation

that shows the localization of the fault and its respective severity. In addition, this technique

possesses the advantage of describing a vibratory sign composed by thousands of points in just

one parameter which is determined for each tooth of the monitored gear. The method proved to

be able to detect and to evaluate the damage severity in the jagged such as occlusions of

manufacturing, crack and broken tooth using of a signal simulator. This work evaluates the

behavior of the proposed method respect to its capacity to diagnose faults of inadequate

(19)

O redutor mecânico de engrenagens é amplamente utilizado na transmissão do movimento, como elemento de ligação entre máquinas motrizes e operatrizes, principalmente para adequar a rotação de saída das motrizes à faixa requerida para entrada das operatrizes. Neste tipo de aplicação, falhas ou paradas para manutenção dos redutores acarretam em interrupções da produção e conseqüente prejuízo financeiro para o estabelecimento.

Na tentativa de evitar os contratempos de uma parada inesperada, utiliza-se a manutenção preventiva, que pode ser do tipo sistemática ou condicional. Como o método sistemático de manutenção necessariamente exige a interrupção da produção para se realizar a desmontagem total ou parcial do equipamento, mesmo que para uma simples inspeção visual, aos poucos, tem-se implementado a manutenção preventiva condicional, conhecida também como preditiva, baseada na análise de vibrações e óleo, para evitar ao máximo qualquer tipo de parada.

(20)

o mundo, levando ao desenvolvimento de tecnologias nas áreas de sensores de medição, teorias de processamento de sinais, hardwares de processamento digital, simuladores de sistemas dinâmicos,

ferramentas de análise de dados e métodos de análise que tornam a manutenção preditiva possível de ser realizada.

No caso da análise de vibrações, o acompanhamento do surgimento de falhas é feito a partir da observação de alguma alteração do padrão do sinal em comparação com o correspondente do equipamento em perfeito estado de funcionamento. Com análise do tipo de alteração no sinal, o inspetor terá informações sobre a localização e a severidade do defeito, podendo estimar a vida residual da máquina e programar as paradas somente quando realmente necessárias, sem que ocorram danos.

(21)

A análise espectral clássica poderá ser incapaz de detectar falhas de engrenagens em seu estágio inicial, acima de tudo no caso de falhas localizadas. Será muito difícil a avaliação do espaçamento e evolução das famílias de bandas laterais no espectro, levando em conta que o redutor mecânico de engrenagens possui uma relativa complexidade construtiva, que envolve além das engrenagens, os eixos, mancais, fixações, caixas e retentores. Todos estes elementos são responsáveis por sinais vibratórios que se somam, resultando que o sinal de vibração medido em qualquer ponto de sua carcaça será bastante complexo e, conseqüentemente, de difícil análise.

Na grande maioria de suas aplicações, o redutor mecânico trabalha em faixas de velocidades baixas, mas com grande potência na transmissão do movimento, podendo-se citar seu emprego em esteiras transportadoras e em trens de moendas de usinas de açúcar e álcool. Uma outra dificuldade que surge, talvez a mais crítica, são as velocidades de operação, que são tão baixas que quase sempre estão abaixo daquelas utilizadas nas normas de avaliação de vibrações mecânicas de máquinas rotativas como a NBR 10082, que está baseada na ISO 2372/74, onde as velocidades utilizadas estão compreendidas no intervalo de 600 até 12000 rpm em suas medições realizadas para base de comparação com as de outras máquinas.

Diante destes dois principais obstáculos, torna-se necessário o desenvolvimento de técnicas orientadas especificamente para a identificação de defeitos de cada um de seus elementos em particular, principalmente aquelas que possam ser aplicadas à equipamentos que trabalham fora dos limites de operação utilizados pelas normas, servindo assim, como um complemento e auxilio às técnicas usuais de monitoramento e diagnóstico de falhas.

(22)

máquinas rotativas e modelamento dinâmico de pares engrenados.

O capítulo 3 evidencia a aplicação da função densidade de probabilidade beta na análise de vibrações, apresentando as importantes características que levaram à escolha desta distribuição para realizar o monitoramento de pares engrenados e o modelamento matemático necessário para que o sinal de vibração possa ser analisado estatisticamente.

No capítulo 4 é apresentado, passo a passo de maneira objetiva, todos os processamentos e normalizações do sinal de vibração do momento da aquisição até a análise do produto final da técnica através de um sinal simulado digitalmente com as mesmas características de uma anomalia em fase inicial.

A aplicação da técnica aos sinais simulados numericamente e aos obtidos experimentalmente é apresentada no capítulo 5, incluindo todas as especificações dos equipamentos e da bancada experimental utilizada.

O capítulo 6 discute os resultados apresentados no capítulo 5, quanto a capacidade da técnica de detectar localizar e discriminar os tipos falhas.

(23)

A demanda da manutenção preditiva tem levado ao aumento da eficiência através da eliminação de paradas desnecessárias em um sistema. Uma manutenção confiável deverá monitorar a condição de um sistema para descobrir anomalias e diagnosticar a “saúde” dos componentes críticos. O crescimento deste tipo de abordagem no mundo todo levou ao desenvolvimento de novas tecnologias nas áreas de sensores de medição, teorias de processamento de sinais, Hardwares de

processamento digital, simuladores de sistemas dinâmicos, análise de dados e raciocínios de aproximações (Begg, et al. 1999) que tornaram possível a implementação da manutenção preditiva.

Choy et al. (1996) simularam e analisaram a vibração de um sistema de transmissão com

(24)

sinais reais que não puderam ser simuladas.

McFadden e Toozhy (2000) desenvolveram um procedimento de detecção de falhas em

rolamentos, em adição à usual técnica de ressonância de alta freqüência. Neste procedimento foi incluída uma técnica muito utilizada no monitoramento de engrenagens, a média temporal síncrona, que ajuda não só a remover o ruído do sinal de vibração como também eventos periódicos que não são exatamente síncronos com o giro do eixo da engrenagem monitorada. Naquele momento, os autores acharam interessante a utilização desta técnica em rolamentos, porque a pista interna contém a mesma rotação do eixo, tornando propícia sua utilização. Na parte final do estudo, aplicou-se a técnica do envelope ao sinal de vibração em cada zona de carregamento desigual detectada pela média temporal síncrona devido ao defeito introduzido experimentalmente simulando uma ranhura na pista interna do rolamento.

Algumas das mais eficazes técnicas baseadas na análise de vibração utilizadas na detecção e na capacidade de diagnóstico da condição de engrenagens foram discutidas por Dalpiaz, et al.

(2000). Os autores utilizaram resultados experimentais provenientes de um par engrenado afetado

(25)

atenção para a interação entre as técnicas individuais, pois os autores, perceberam que o melhor método de análise de falhas no dentado das engrenagens foi a utilização da transformada wavelet do sinal residual proveniente da média temporal síncrona.

Martin e Honarvar (1995) fizeram estudos de falhas em rolamentos utilizando momentos

estatísticos pares e ímpares, onde um indica o cume da função densidade de probabilidade que o define e o outro indica a falta de assimetria da mesma. Demonstraram que os momentos podem ser usados efetivamente, dando uma maior flexibilidade em operações no campo, sendo ainda, uma ferramenta de baixo custo para manutenção e controle de qualidade. Os autores utilizaram as distribuições Gaussiana e Uniforme para descrever os referidos momentos estatísticos e terminaram o estudo alertando que estes parâmetros poderiam ainda ser descritos por outras distribuições como a beta e a weibull.

Oguamanam, et al. (1995) usaram a distribuição Beta no cálculo do Kurtosis no

monitoramento de falhas de uma bomba hidráulica. Os autores compararam a estimação deste parâmetro pelos métodos: method of moments (MM) e maximum likelihood estimation (MLE). O

primeiro método é relatado como sendo o mais utilizado e de tempo computacional menor, já o segundo, seria um método novo que descreveria a distribuição dada com a máxima probabilidade dos dados que utilizaria um procedimento iterativo de convergência. Diferente da distribuição Normal que indica defeitos pelos valores de kurtosis maiores do que três, a distribuição Beta possui a vantagem de não dispor de tal limite. Os estudiosos terminam o trabalho reiterando que os defeitos não foram indicados por valores específicos do parâmetro, mas pela diferença entre os dentes sadios e os anômalos, podendo ser relatado como a condição do dano.

No trabalho realizado por Brennan e Chen (1997), foi feito um estudo comparativo entre três

(26)

passa-desalinhamento e excentricidade. A segunda técnica empregada foi a transformada wavelet, que, embora seja uma ferramenta um pouco complexa, podendo ser difícil a compreensão de suas figuras, foi tida como a melhor das três analisadas, por ter detectado e localizado as falhas. A última ferramenta de análise diz respeito ao emprego do quarto momento estatístico normalizado em torno da média de uma variável aleatória ou simplesmente Kurtosis, este parâmetro detectou mas não localizou as falhas. A conclusão tirada sobre este parâmetro estatístico foi que ele pode ser o método mais barato de monitoramento do estado de um par engrenado.

Heng e Nor (1998) realizaram estudos de sinais de vibração e acústica no monitoramento de

rolamentos. Foram utilizados na análise os parâmetros a e b derivados da distribuição beta, fator de

crista, rms e momentos estatísticos como skewness e kurtosis. Em situações ideais, esperava-se que as variáveis estatísticas provenientes da análise do rolamento não mudasse com a variação da velocidade do eixo, entretanto os resultados obtidos foram menos sensíveis e levaram a uma performance pobre dos valores dos métodos estatísticos quando a velocidade do eixo estava entre 1500 e 2500 rpm. Estes resultados foram parcialmente devidos à vibração longitudinal que excitou os componentes de sustentação do experimento. Embora os parâmetros a e b derivados da

distribuição beta tenham sido muito maiores que outros como kurtosis e fator de crista, não houve grande vantagem em se utilizar um ou outro parâmetro, já que todos identificaram os defeitos nas pistas interna e externa, bem como no elemento girante do rolamento.

Rao (1999) começa seu estudo comentando sobre os vários parâmetros estatísticos utilizados,

(27)

progressão do dano poderia ser vista e eliminaria a necessidade de pesquisa de bandas de freqüências. Como dito por outros pesquisadores, Rao também salientou a vantagem da derivação do kurtosis a partir da distribuição beta não possuir limite de valores, diferente da derivação pela distribuição normal, que indica defeitos com seus valores sempre maiores do que três.

Wang et al. (2001) investigaram a sensibilidade e robustez das técnicas de demodulação em

amplitude e fase, kurtosis da distribuição beta e transformada wavelet para sinais obtidos experimentalmente referentes à condição normal de funcionamento da engrenagem, dente trincado, lascado e desgastado. A análise realizada nestas condições revelou que o kurtosis da distribuição beta e a transformada wavelet em amplitude são as técnicas seguras para o monitoramento da saúde de engrenagens, pois elas são menos sensíveis ao carregamento, velocidade do eixo e bandas de freqüências utilizadas. E sua efetividade pode ser complementada pela modulação em fase da média temporal síncrona do sinal de vibração.

Blankenship e Singh (1995) desenvolveram um modelo para descrever a transmissão de força

de malha em um par engrenado. Apesar deste estudo desconsiderar vários efeitos, tais como, giroscópio, desbalanceamento, desalinhamento, perda de contato no dentado e outros efeitos não lineares, o modelo foi ainda bastante complexo. Utilizaram no trabalho um sistema de dez graus de liberdade. Os resultados alcançados demonstram que, como já era esperado, quanto maior o número de graus de liberdade utilizados no modelo, melhor serão descritos os efeitos causados pelas forças de engrenamento. Sendo necessário aumentar cada vez mais o número destes graus conforme aumenta a complexidade do sistema engrenado.

Em contrapartida, Amabili e Rivola (1997) demostraram que se o objetivo do estudo estiver a

(28)

estabilidade.

A maioria dos trabalhos mostrados nesta revisão utilizaram técnicas estatísticas focados em momentos descritivos como skewness e kurtosis de funções usuais para este tipo de estudo que foram analisadas com a introdução de defeitos em rolamentos ou engrenagens, tais como, trincas, desgastes, oclusões e quebras.

(29)

O sinal proveniente de um sistema vibratório possui grande quantidade de informações que devido à sua complexidade, torna o papel da análise estatística muito importante devido à sua capacidade em descrever e caracterizar milhares de pontos por apenas um parâmetro. Este capítulo mostra um breve comentário sobre a classificação e características dos sinais e, posteriormente, a modelagem estatística baseada na teoria da probabilidade, que dentro das várias possibilidades de análise, o emprego da função densidade de probabilidade beta já mostrou ser uma grande ferramenta na detecção de falhas em máquinas rotativas.

CARACTERÍSTICAS DO SINAL DE VIBRAÇÃO

(30)

Os sinais denominados analógicos, ou seja, um sinal f(t) é definido para todos os valores da

variável contínua t, e sua amplitude pode atingir qualquer valor dentro de um intervalo contínuo.

Esse tipo de sinal pode ainda receber outras denominações, tal como tempo-contínuo.

Sinais discretos no tempo são representados matematicamente como uma seqüência de números. Uma seqüência de números x, onde o n-ésimo número é denotado por x[n], é formalmente

escrito como (Oppenheim, 1999):

∞ < < ∞ −

= xn n

x { [ ]}, ( 3.1 )

onde n é um inteiro. Na prática, tal seqüência assume valores à intervalos de tempos iguais, neste

caso o valor numérico da seqüência é igual ao valor do sinal analógico, xa(t), no tempo nT, isto é,

∞ < < ∞ −

=x nT n

n

x[ ] _a( ), ( 3.2 )

Sinais discretos são digitalizados para representarem os valores de suas amplitudes segundo códigos. Esse tipo de sinal é apropriado para a manipulação numérica em computadores, sendo atualmente muito utilizado.

(31)

aleatório, podendo-se citar ainda turbulências, movimento de um carro passando por uma estrada de terra e construções sendo excitadas por um terremoto. Sinais com características aleatórias são inicialmente divididos em: sinais aleatórios estacionários e não estacionários. Os sinais aleatórios estacionários são caracterizados pelo fato das distribuições de probabilidade não dependerem do tempo absoluto, portanto, o termo estacionário se refere às distribuições de probabilidade e não aos sinais amostrados. Esta característica implica que todas as propriedades estatísticas são independentes do tempo absoluto, assim o valor médio, valor médio quadrático, variância e desvio padrão são totalmente independentes do tempo. Estes podem ainda ser classificados como ergódico e não-ergódico. Os sinais aleatórios estacionários ergódicos são caracterizados pelo fato de além de estacionários, todas as características estatísticas de conjunto, com respeito à uma variação do eixo temporal e as características estatísticas tomadas ao longo de uma única amostra, coincidirem.

A figura 3.1 mostra o comportamento de um processo aleatório e verifica-se que ele não possui qualquer padrão de repetição ou forma.

0 0.5 1 1.5 2 2.5

-0.5 0 0.5 1 1.5

Tempo [s]

A

m

pl

itu

de

(32)

determinísticos periódicos senoidais podem ser definidos matematicamente por uma função variável com o tempo, conforme descreve a equação (3.3), na qual X é a amplitude do sinal, fo é a freqüência

em Hertz, t é o tempo e φ é o ângulo de fase.

) 2

sen( )

(t =X πf₀t+φ

x ( 3.3 )

Os sinais determinísticos periódicos complexos podem ser definidos matematicamente por uma função cuja forma de onda se repete exatamente em intervalos regulares Tp, tal como apresenta

a equação (3.4), na qual t é o tempo e n representa um inteiro.

) (

)

(t xt nT_p

x = ± ( 3.4 )

Os sinais determinísticos não-periódicos são classificados em sinais quase-periódicos e transientes. A classe que engloba os sinais determinísticos não-periódicos quase-periódicos pode ser definida matematicamente por uma função variante com o tempo, conforme apresenta a equação (3.5), na qual fn é a freqüência em Hertz, diferente de um número racional para todos os valores de

n, Xn é a amplitude da n-ésima componente, t é o tempo e φn é o ângulo de fase da n-ésima

componente. ∞ = + = 1 ) 2 sen( ) ( n n n

n f t

X t

x π φ ( 3.5 )

Já os sinais determinísticos não-periódicos transientes podem ser compreendidos como sendo todos os sinais que não se enquadram nas categorias citadas acima os quais podem ser descritos por alguma função variante com o tempo, tal como a equação (3.6), na qual A é a amplitude inicial, a é o

(33)

< ≥ =

−

0 0

0 )

(

t t Ae t

x

at

( 3.6 )

Conhecida a classificação dos sinais, a seção seguinte, descreve especificamente as características aleatórias, buscando descrever e modelar o seu comportamento.

CARACTERIZAÇÃO ESTATÍSTICA DO SINAL DE VIBRAÇÃO

Tendo realizado um dado experimento aleatório e obtido através dele uma das ocorrências do experimento, estamos freqüentemente interessados em alguma característica numérica dessa ocorrência. Quando o valor desta característica é determinado para uma ocorrência dada, o número assim obtido certamente depende da ocorrência o experimento e tem em si mesmo o elemento aleatório como a própria ocorrência também o possui. Tal junção da ocorrência chama-se variável aleatória, ou seja, é uma função numérica avaliada das ocorrências de um experimento aleatório (Lindgren, 1972).

A característica fundamental dos sinais aleatórios é a total ausência de uma equação matemática exata que possa descrever o seu comportamento para valores, tanto no passado quanto no futuro. Em virtude desta característica, os sinais aleatórios são caracterizados e modelados segundo suas propriedades estatísticas, cujo principal objetivo é prever qual poderia ser o valor da amplitude do sinal em um determinado tempo t. Essas características aleatórias são obtidas mediante

os valores das amplitudes do sinal, as quais inicialmente serão denominadas de objetos.

(34)

0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 0

0 . 5

O b je t o s

Figura 3.2. Todos os objetos (amplitudes) do sinal temporal representado na figura 3.1.

A figura 3.2 explana graficamente o mencionado no parágrafo anterior, onde o intervalo compreendido entre 0.5 e 1.0 segundo da figura 3.1, respectivamente evidenciado em vermelho na figura 3.2, possuindo 25 valores de amplitudes e o intervalo de 1.5 até 2.0 segundos, em azul, com a mesma quantidade de objetos, formam as duas sub-amostras A e B contidas na amostra global que, por sua vez, aparece na figura 3.3.

Figura 3.3. Sub-amostra A referente a todas amplitudes compreendidas no intervalo de tempo 0,5 – 1,0 seg. e sub-amostra B referente a todas amplitudes compreendidas no intervalo de tempo 1,5 – 2,0 seg. do sinal temporal da figura 3.1, que forma a amostra global.

Conhecendo-se a equivalência entre um sinal temporal aleatório e uma amostra estatística, pode-se descrever o modelamento utilizado para caracterizar um fenômeno aleatório, que aqui está fundamentado na função densidade de probabilidade.

AMOSTRA GLOBAL

SUB-SUB-AMOSTRA B

(35)

FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE AJUSTADA AOS

SINAIS DE VIBRAÇÃO

A função densidade de probabilidade p(x) da densidade de valores de x, pode ser vista com

clareza na figura 3.4. Como a onda senoidal permanece durante mais tempo nos valores extremos do que nas imediações do valor médio, a função densidade de probabilidade p(x) será maior nas

extremidades e menor no valor médio.

Figura 3.4. Função Densidade de Probabilidade p(x) de uma onda senoidal superposta a um nível médio constante.

Consideremos agora o caso em que x(t) não é mais uma onda senoidal, mas sim um processo

aleatório. Quando dizemos que x(t) é aleatório, significa dizer que seus valores não podem ser

preditos de antemão. Assumindo que as características estatísticas de x(t) não mudam com o tempo,

poderemos utilizar o fato mencionado para calcular a função densidade de probabilidade para x(t)

exatamente da mesma forma que fazemos para uma função determinística (Newland, 1983). A figura 3.5 mostra parte da história de um processo aleatório. Os intervalos de tempo dt onde

dx x t x

(36)

Figura 3.5. Cálculo da função densidade de probabilidade p(x) para um processo aleatório.

No decorrer do tempo T, x(t) se encontra limitado entre x e x+dx durante o tempo total ( dt1 +

dt2 + dt3 + dt4 ). Podemos então, dizer que, se T é suficientemente grande, a função densidade de

probabilidade p(x) será dada por:

p(x) dx =Fração de tempo total transcorrido durante o qual x(t) está entre x e x+dx.

(

)

T dt = T

.. . + dt + dt + dt

= 1 2 3 ( 3.7 )

Para que a equação 3.7 seja matematicamente correta, o intervalo de tempo T deve ser

infinito, o que implica que o sinal temporal tem que continuar eternamente sem que ocorram mudanças no seu caracter durante o decorrer do tempo. Pode-se concluir que a equação 3.7 é apenas uma definição teórica para o entendimento da função densidade de probabilidade para um sinal aleatório, carecendo de um significado prático e usual.

Se x(t) é uma função aleatória de t, não podemos usar a equação 3.7 para calcular uma

expressão matemática para p(x) Para uma amostra dada qualquer da história do processo aleatório. O

único procedimento que podemos fazer é medir p(x) mediante um laborioso processo de dividir o

(37)

intervalos com espaçamentos muito curtos, ou seja, discretizar o sinal conforme a figura 3.6, onde N

é o número total de elementos da amostra e dn é o número de elementos compreendidos entre x e

x+dx, então, por analogia à equação 3.7, a função densidade de probabilidade é dada por:

p(x) dx = Fração do número total da amostra que está compreendida entre x e x + dx

= N dn

( 3.8 )

Figura 3.6. Amostra temporal aleatória para análise digital.

Não existe uma forma ou procedimento geral para que um sinal ou mais genericamente uma variável aleatória qualquer, seja manipulada matematicamente para que o resultado final seja uma função densidade de probabilidade.

Este fato fez com que a teoria da probabilidade fosse desenvolvida, tomando-se por base variáveis aleatórias específicas, resultando em diversos tipos de funções densidade de probabilidade, na qual cada uma dessas funções descrevessem especificamente o comportamento de uma variável aleatória, também específica, não havendo assim generalidades.

(38)

A tabela 3.1 fornece as principais funções densidade de probabilidade atualmente utilizadas com suas respectivas formulações e parâmetros de definição.

Tabela 3.1. Algumas fdp’s freqüentemente encontradas.

FDP EXPRESSÃO

Gaussiana 2

2 2 ) -(x e 2 1 = y a -b 1 = y

Gamma b

x -a

a x e

) a ( b

y= 1 1

Weibull _b _axb

e abx y= -1

-Exponencial µ

µ x e 1 = y

Lognormal 2

2 2 2 1 = ) -) x (ln( e x y

(39)

-1.50 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 Variavel aleatoria A m pl itu de d a F D P G A U S S IA N A m=d=0.5 m=0.5 d=1 m=0.5 d=2

Figura 3.7. Possíveis formas da função densidade de probabilidade Gaussiana ou Normal.

Outra função densidade de probabilidade importante e com amplas aplicações, é denominada de Uniforme, sendo ilustrada na figura 3.8, onde a e b são os limites do intervalo de definição.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Variavel aleatoria A m pl itu de d a F D P U N IF O R M E a=0.1 b=0.9 a=0.2 b=0.8 a=0.3 b=0.7

Figura 3.8. Possíveis formas da função densidade de probabilidade Uniforme.

(40)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 Variavel aleatoria A m pl itu de d a F D P G A M M A

Figura 3.9. Possíveis formas da função densidade de probabilidade Gamma.

A função densidade de probabilidade Weibull é muito popular na área da teoria da confiança por ser uma distribuição robusta. A figura seguinte ilustra suas possíveis formas, onde a e b são os

limites do intervalo de definição.

0 1 2 3 4 5 6

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 Variavel aleatoria A m pl itu de d a F D P W E IB U LL a=b=1 a=b=2 a=b=3

Figura 3.10. Possíveis formas da função densidade de probabilidade Weibull.

(41)

0 1 2 3 4 5 6 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 Variavel aleatoria A m pl itu de d a F D P E X P O N E N C IA L m=0.5 m=1 m=2

Figura 3.11. Possíveis formas da função densidade de probabilidade Exponencial.

A função densidade de probabilidade Lognormal é uma variação da fdp Normal, tendo também, boa faixa de aplicação. A figura 3.12 caracteriza suas formas, onde m é a média e d o

desvio padrão.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 Variavel aleatoria A m pl itu de d a F D P L O G N O R M A L m=d=0.5 m=d=1 m=d=2

Figura 3.12. Possíveis formas da função densidade de probabilidade Lognormal.

(42)

É possível extrair muitas outras informações de uma função densidade de probabilidade, chamadas de medidas da fdp, sendo descritas por intermédio dos momentos estatísticos e suas normalizações. Uma fdp está completamente caracterizada se forem medidos os seus quatro primeiros momentos estatísticos.

Momento Estatístico de Primeira Ordem

Mais conhecido como média, o momento estatístico de primeira ordem, representa uma medida de localização ou centralidade de uma função densidade de probabilidade. Definida matematicamente pela equação 3.9, onde x são os valores da variável aleatória, f(x) e p(x) são as

funções densidade de probabilidade contínua e discreta respectivamente.

x todos

p(x) x

= para distribuições discretas

=

x todos

dx ) x ( f

x para distribuições contínuas ( 3.9 )

A concepção da média nada mais é que uma somatória ponderada de todos os possíveis valores da variável aleatória X, onde a maioria dos engenheiros e cientistas identificam-nas como o

primeiro momento estatístico em relação à origem.

Momento Estatístico de Segunda Ordem

Mais conhecido como variância, o momento estatístico de segunda ordem representa uma medida de variabilidade ou dispersão da variável aleatória X. Definida matematicamente pela

equação 3.10, onde x são os valores da variável aleatória, µ é a média, f(x) e p(x) são as funções

(43)

x todos

2

2₌ _(x_- ₎ _p(x) _{para distribuições discretas}

x todos

2

2₌ _(x_- ₎ _f(x)_dx _{para distribuições contínuas ( 3.10 )}

A concepção da variância consiste em uma somatória ponderada dos desvios de todos os valores de X em relação à média µ, por esta razão, a variância nunca terá valores menores que zero e

só será zero, quando for a única possibilidade de valor para X.

Operador do Valor Esperado

A média e a variância de uma função densidade de probabilidade podem ser relatadas em um contexto mais geral, que é denominado operador do valor esperado. O valor esperado de qualquer função g(X), de uma variável aleatória X é definido como

= x todos ) x ( p ) x ( g )} X ( g {

E para distribuições discretas

=

x todos

dx f(x)

g(x) para distribuições contínuas ( 3.11 )

Note que, se g(X) = X, então E{g(X)} = µ e que, se g(X) = (X-µ)2, então E{g(X)} = σ2. Por

conseguinte, E(X) = µ e E{(X-µ)2} = σ2. O operador do valor esperado deverá seguir as seguintes

propriedades fundamentais, onde c é uma constante:

1. E{c} = c

2. E{g(X) + c} = E{g(X)} + c

3. E{c g(X)} = c E{g(X)}

(44)

=

x todos

dx ) x ( f a) -(x }

a) -{(X

E ( 3.12 )

Os momentos em torno da origem, Mo, e em torno da média, Mm, são definidos,

respectivamente, pelas equações 3.13 e 3.14, Barnes (1994).

=

=E{X } x p(x)

M_ok k k para distribuições discretas

= xk f(x)dx para distribuições contínuas ( 3.13 )

=

=E{(X- ) } (x- ) p(x)

M_mk k k para distribuições discretas

= (x- )k f(x)dx para distribuições contínuas ( 3.14 )

As equações 3.13 e 3.14 são também conhecidas como momentos centrais e não-centrais respectivamente. Uma vez que a formulação genérica para os momentos estatísticos esteja definida, pode-se definir as outras duas medidas de interesse de uma função densidade de probabilidade, Mm3

e o Mm4, ou seja, o skewness e o Kurtosis respectivamente. A necessidade do conhecimento de mais

estes dois fatores se deve ao fato de que podem existir várias funções densidade de probabilidade completamente diferentes entre si, tanto no que diz respeito ao tipo de variável aleatória quanto na forma, mas com a mesma média e mesma variância.

Skewness

(45)

sobre a assimetria da função densidade de probabilidade em relação à média, sendo zero para qualquer FDP perfeitamente simétrica. Se a distribuição está concentrada na parte mais esquerda do gráfico, Mm3 é positivo, caso contrário, Mm3 é negativo. A medida normalizada do skewness também

é usada da seguinte forma.

6

=

2 3

m )

(M

Sk ( 3.15 )

Apesar do Mm3 ser capaz de diferenciar uma função densidade de probabilidade de outra,

pode ainda ocorrer o caso de duas funções densidade de probabilidade possuírem a mesma média, mesma variância e mesmo skewness.

Kurtosis

Uma maneira de diferenciar tais distribuições é por intermédio do cálculo do quarto momento em torno da média. O Mm4 fornece uma medida de kurtosis cuja característica é a de

analisar o achatamento da distribuição. Distribuições mais achatadas ou com caldas longas, são chamadas de platykurtic e as mais pontiagudas ou com caldas curtas, são chamadas de leptokurtic.

Mas para distribuições com as características da função densidade de probabilidade normal, será chamada de mesokurtic. A medida normalizada do kurtosis é definida como:

4 4

= Mm

K ( 3.16 )

(46)

Na seqüência do estudo, será tratada a maneira de obter uma função densidade de probabilidade que seja representativa de um sinal de vibração específico.

FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE BETA

Comecemos definindo a função gamma, pois a função beta está diretamente relacionada com essa outra, que por sua vez está denotada na equação seguinte (Mood, 2002).

0

= x e dx

(t) t-1 -x ( 3.17 )

Integrando por partes a equação 3.17, resultará em:

) t ( t ) t

( +1 = ( 3.18 )

E se t = n for um número inteiro,

! = 1 + ) n n

( ( 3.19 )

A função beta mostrada na equação 3.20 pode ser expressa em termos da função gamma conforme a 3.21.

1

0

1

= x ( -x) dx )

, (

B -1 -1 ( 3.20 )

) ( ) ( ) ( ) , ( B +

= ( 3.21 )

(47)

(

)

(

)

( ) ( )

(

1

)

, 0 1 0, 0

,

, 1 1

> > < < − Γ Γ + Γ

= − − _α _β

β α

β α β

α α β

e x para x x x

f ( 3.22 )

A mais importante e marcante característica da função densidade de probabilidade beta é a possibilidade de assumir uma grande variedade de formas sobre o intervalo (0,1) da variável aleatória. Dentre as diversas formas assumidas por essa função densidade de probabilidade, encontram-se a Gaussiana e a Uniforme, conforme apresentam as figura 3.13. Essa grande variedade de forma que pode ser assumida pela FDP Beta, deve-se ao fato desta distribuição ser função de outros dois parâmetros, além dos valores da variável aleatória, denominados α e β, que são ainda definidos pela média e variância.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 Variavel aleatoria A m pl itu de d a F D P B E T A alfa=beta=1 alfa=beta=0.5 alfa=beta=2 alfa=beta=5

Figura 3.13. Formas simétricas da função densidade de probabilidade beta.

(48)

posicionado para a esquerda da figura, o valor de skewness será positivo, e para direita, negativo. A figura 3.14 elucida o fato mencionado.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Variavel aleatoria

A

m

pl

itu

de

d

a

F

D

P

B

E

T

A

alfa=1.5 beta=5 alfa=1.5 beta=3 alfa=2 beta=1 alfa=4 beta=2

Figura 3.14. Formas assimétricas da função densidade de probabilidade beta.

(49)

A figura 3.15 apresenta à esquerda, um sinal com um período T=5s representando o período de engrenamento entre um dente do pinhão com o seu respectivo da coroa e, à direita, o mesmo sinal repetido cinco vezes resultando num período de 2,5s que representa, por exemplo, o período de engrenamento de todos os cinco dentes de um pinhão com os respectivos da coroa. As funções densidade de probabilidade beta sobrepostas dos dois sinais mencionados são mostrados na parte inferior da figura.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 Tempo [s] A m pl itu de

0 0.5 1 1.5 2 2.5

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 Tempo [s] A m pl itu de

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Amplitude dos sinais

F D P B et a

fdp beta do sinal com 1 periodo de 0.5 s fdp beta do sinal com 5 periodos de 0.5 s

Figura 3.15. Formas das FDP’s para um mesmo sinal com períodos de tempo diferentes.

(50)

Para possibilitar que a FDP Beta seja medida, torna-se necessário o desenvolvimento das expressões representativas dos momentos estatísticos especificamente para esta distribuição. Tomando-se por base as equações 3.13 e 3.22, pode-se obter a expressão do k-ésimo momento em torno da origem, descrito pela seguinte expressão:

(

)

( ) ( )

(

)

− − ₋ Γ Γ + Γ = 1 0 1 1₁ dx x x x Mok k

β α

β

α _{( 3.23 )}

Com base na resolução da integral descrita pela equação acima, obtém-se a expressão genérica para o k-ésimo momento em torno da origem.

(

)

(

)

( )

(

k

)

k M_ok

+ +

= ( 3.24 )

O quarto momento estatístico em relação à origem, que será o parâmetro estatístico utilizado neste trabalho, pode ser obtido substituindo k = 4 na equação 3.24, cujo resultado final é apresentado pela equação 3.25.

(

)(

)

(

+

)(

+ +1

)(

+ +2

)(

+ +3

)

3 + 2 + 1 + = 4 o

M ( 3.25 )

Os parâmetros estatísticos α e β que compõem o quarto momento estatístico em relação à

origem são definidos conforme as equações abaixo.

(

)

[

2

]

2

1 x

x

s

x

−

=

(51)

(

_{) ( )}

_[

2

_]

2

1

1 s

x

s

x

−

=

β

( 3.27 )

E supondo que é conhecido um conjunto de dados amostral referente a um experimento, contendo n pontos com valores observados x1, x2, x3,..., xn referentes a uma certa variável aleatória

X, a média amostral xdeste conjunto de dados pode ser obtido através da seguinte equação:

n x n x x x x x n i i n ₌ =

+ + + +

= 1 2 3 1 ( 3.28 )

Analogamente, a variância amostral s2 para este conjunto de dados pode ser obtida através da seguinte equação:

(

)

1 1 2 2 − − = = n x x s n i i

( 3.29 )

ANÁLISE

INDEPENDENTE

DA

QUALIDADE

DO

ENGRENAMENTO

O sinal de vibração adquirido de um redutor de velocidades que será inicialmente devidamente processado e normalizado conterá apenas um giro da engrenagem a ser monitorada, que será objeto do estudo. O principal fundamento desta técnica é o fato de se utilizar ferramentas estatísticas, comparando-se parâmetros sem se preocupar com a forma do sinal, pois, ele não será descrito em eixos como tempo, freqüência ou tempo-freqüência, mas sim em amplitudes, ou seja, o sinal vibratório do equipamento analisado se resumirá em amostras estatísticas.

(52)

Cada subamostra conterá todas as informações referentes ao engrenamento entre cada um dos dentes desta engrenagem, das quais são obtidos os parâmetros estatísticos, conforme equação 3.25, que são provenientes da distribuição beta dos valores de amplitude do sinal de vibração no domínio do tempo, que posteriormente, serão confrontados um a um, com este mesmo parâmetro extraído da amostra de referência descrevendo todo o sinal.

O melhor termo encontrado para nomear essa comparação seria qualidade ou condição do engrenamento (Oguamanam et al, 1995), pois, o confronto entre a amostra global ou de referência e as subamostras individuais, é descrita em um mapa que indica a severidade do defeito para cada um dos dentes, exibindo com isso, também a localização do defeito.

(53)

Figura 3.16. Descrição do procedimento utilizado na análise individual independente.

De acordo com a figura 3.16, percebe-se que uma eventual anomalia no sinal de referência poderá influenciar na comparação dos parâmetros, podendo atenuar os fenômenos transientes, mas nunca exaurir a capacidade de identificação do defeito permanente.

Obviamente, se for utilizado um sinal de referência que não possua nenhuma anomalia, conseqüentemente a amostra global não sofrerá nenhuma influência ou atenuação, provocando uma

SINAL RECENTE DO EQUIPAMENTO SINAL RECENTE DO EQUIPAMENTO

1 2 3 4 5

SUBAMOSTRAS AMOSTRA GLOBAL

COMPARAÇÃO

1 2 4 5

3

FDP BETA DE REFERÊNCIA FDP’S BETA INDIVIDUAIS

SE

V

E

R

ID

A

D

E

D

O

D

E

F

E

IT

O

(54)

equipamento já está em operação com muitas horas de serviço antes de se iniciar o processo de monitoramento.

Buscando uma forma se adequar à realidade das industrias, onde, na grande maioria, não é possível obter este sinal do equipamento dito como novo, ou pelo menos em boas condições de operação, este tipo de análise auxiliará as técnicas que não dispõem de tal característica.

(55)

Uma boa técnica de pré-processamento e muito utilizada que apresenta excelentes resultados é a média temporal síncrona (McFadden 1987a, McFadden 2000, McFadden & Toozhy 2000), pois possibilita que a assinatura de qualquer engrenagem que compõe o redutor seja extraída precisamente a partir do sinal vibratório total do redutor, além de reduzir fortemente o nível de ruído aleatório.

(56)

Outro ponto positivo deste método é a eliminação quase que total do ruído aleatório que pode estar presente, pois o valor da média de um grande número de amostras contendo apenas elementos aleatórios tende a zero. Uma dificuldade inerente à aplicação deste método é a necessidade da utilização de um trigger, para a obtenção de um sinal de referência, cuja finalidade é a determinação

da posição angular da engrenagem em estudo. Outro problema é que, para se obter um diagnóstico completo sobre o redutor, é necessário que a análise utilizando a média temporal síncrona seja repetida em cada engrenagem que o compõe.

Para falhas localizadas em um estágio de desenvolvimento bastante avançado, a simples inspeção visual da média temporal síncrona pode permitir a detecção e a localização da falha. Isto se deve ao fato de que a falha de um dente é caracterizada por alterações no padrão de vibração durante o seu período de atuação no processo de engrenamento (Choy et al. 1996). Já no caso da detecção de falhas em um estágio inicial, um processamento mais sofisticado é necessário, com o objetivo de detectar pequenas modificações no padrão de vibração. Sobre este contexto, a média temporal síncrona pode ser processada para possibilitar a identificação prematura de falhas localizadas, desta maneira ela desempenha o papel de uma ferramenta de processamento do sinal de vibração.

A forma mais eficiente de realização dessa média é denominada recursiva ou estável, na qual para cada novo bloco de dados é calculado um resíduo ponderado, sendo este acrescentado à média temporal síncrona. Matematicamente, a forma estável é obtida por intermédio da equação 4.1, na qual y(iT) é a média temporal síncrona, x(iT) é o bloco original e r é o r-ésimo bloco. Observando

esta equação pode-se notar que a média representada por y(iT) é modificada até que r seja igual ao

número total de blocos.

( )

r iT y iT x iT y iT

y r r

r r 1 1 − − − +

(57)

Muitas vezes a média temporal síncrona ainda apresenta componentes que eventualmente não trazem informações importantes sobre o tipo de análise a ser desenvolvida. No caso desta pesquisa, as componentes de baixa freqüência não trazem informações importantes sobre a condição do engrenamento. A maneira clássica de eliminar tais componentes indesejáveis de um sinal é através de filtros digitais, tais como os da classe IIR (Infinite Impulse Response) Butterworth,

Chebyshev tipo I e II e Elípticos, bastantes eficazes é amplamente utilizados.

Como resultado final da média temporal síncrona e posterior filtragem específica, o sinal resultante contém apenas as componentes vibratórias referentes à apenas uma engrenagem.

A segunda fase do procedimento, que busca atingir o objetivo final proposto por este trabalho consiste na normalização do sinal de vibração pré-processado para minimizar a influência da variação de potência sobre o sinal e possibilitar que a função densidade de probabilidade seja utilizada, pois a função densidade de probabilidade beta é definida no intervalo de amplitudes entre 0 e 1, conforme indica a equação 3.22.

Alguns pesquisadores (Theodossiades e Natsiavas 2000, Parker et al. 2000) estudaram o comportamento e desenvolveram modelos matemáticos para diversas condições de não linearidades, principalmente às não linearidades relativas à rigidez de engrenamento, objetivando prever o comportamento dinâmico de redutores com tais características. É conhecido também que para sistemas lineares, as estruturas das máquinas excitadas pelos esforços dinâmicos decorrentes de seu funcionamento, respondem com sinais vibratórios cuja freqüência é idêntica àquela dos esforços que as provocam, e cuja amplitude é função da intensidade destes esforços. Portanto, as condições dinâmicas de operação influenciam na resposta vibratória de um redutor de velocidade.

(58)

assim, a razão entre o sinal e o parâmetro RMS será um sinal admensional podendo ser analisado estatisticamente.

A segunda normalização necessária deve-se à função densidade de probabilidade Beta. Por definição, essa distribuição está definida apenas para os valores da variável aleatória entre 0 e 1. Portanto para que a função densidade de probabilidade beta seja obtida, é necessário que a amplitude do sinal vibratório esteja contido no intervalo ( 0 , 1 ).

Essa normalização pode ser realizada calculando-se inicialmente o valor absoluto do sinal vibratório, obtendo-se assim apenas valores maiores ou iguais a zero, a seguir somando-se 3% do valor da maior amplitude do sinal à todos os pontos do sinal, obtendo-se assim somente valores maiores que zero. Finalmente dividindo-se o sinal resultante por uma constante que seja maior do que a maior das amplitudes presentes no sinal.

(59)

Figura 4.1. Procedimento do processamento do sinal de vibração.

Assim, após as etapas descritas no fluxograma, o sinal vibratório está pronto para ser analizado estatisticamente.

Início

Leitura do sinal de vibração

Cálculo da média temporal síncrona

Filtragem em torno da freqüência de engrenamento

Separação de um giro da engrenagem em estudo

Divisão do sinal de vibração pelo seu valor RMS

Cálculo do valor absoluto do sinal

Adição de 3% da amplitude máxima do sinal

Divisão do sinal por uma constante

(60)

Para um melhor entendimento de como é obtido o produto final do método de identificação e localização de falha utilizado neste trabalho, será mostrado passo a passo este procedimento com o uso de um simulador de sinais desenvolvido em Matlab® para o auxílio e entendimento do comportamento de sinais referentes aos prováveis defeitos provenientes de pares engrenados. Mais detalhes do simulador é encontrado no apêndice 1.

O programa computacional foi criado para gerar sinais de engrenagens que possuam defeitos com severidades variadas, pois, considerando-se que um dente quebrado da engrenagem seja um defeito muito severo e que seja complicado inserir um defeito na engrenagem cuja severidade esteja sendo monitorada, o uso do simulador de sinais foi importante para demonstrar a sensibilidade da técnica para defeitos em fase inicial.

(61)

18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 100

150 200 250 300 350 400 450 500 550 600

Rigidez de malha

Dentes

N

/m

ic

ro

m

et

ro

Figura 4.2. Rigidez do engrenamento de 9 dos 44 dentes do pinhão.

O estudo utilizado neste trabalho é puramente estatístico, por esta razão, a aquisição do sinal de vibração deverá ser feita de forma a favorecer o procedimento de análise. Então, as condições simuladas para a aquisição do sinal de vibração foram as seguintes:

Velocidade do eixo que contém o pinhão: 30Hz; Freqüência de amostragem: 19950 Hz; Número de blocos: 216; Número de pontos por bloco: 2600.

(62)

redução seja feita da melhor forma possível.

De fato, com um número satisfatório de médias, essa ferramenta aproximará a um sinal puramente periódico com periodicidade correspondente a uma revolução da engrenagem escolhida para o estudo, reduzindo fortemente os efeitos das outras fontes de vibrações, incluindo outras engrenagens, e ruídos (Dalpiaz et al. 2000).

0 0.025 0.05 0.075 0.1 0.125

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

Tempo [s]

V

el

oc

id

ad

e

[m

m

/s

]

Figura 4.3. Média temporal síncrona do sinal de vibração simulado por computador referente a uma trinca prematura.

(63)

engrenamento. Assim, este sinal contém informações vitais sobre as condições de engrenamento, o que facilitará muito a análise.

0 50 100 150 200 250 300 350

-2 -1 0 1 2 3

Rotação do Pinhão [Graus]

V

el

oc

id

ad

e

[m

m

/s

]

Figura 4.4. Sinal de vibração referente a uma revolução completa do Pinhão.

A primeira normalização a ser feita no sinal é a divisão pelo ser valor RMS. Este passo é feito para tornar o sinal independente da amplitude, pois qualquer que seja a amplitude do sinal, após divido pelo seu valor RMS, o resultado final da amplitude será sempre igual a 2 para sinais harmônicos.

Para exemplificar o resultado obtido quando um sinal qualquer é dividido pelo seu valor RMS, considere um sinal simples puramente senoidal, conforme apresenta a equação 4.2, onde A representa a amplitude do sinal, f a frequência e t o tempo.

( )

t Asen

(

ft

)

(64)

A

RMS=0.707 ( 4.3 )

Se dividirmos o sinal descrito pela equação 4.2 pelo seu valor RMS, equação 4.3, o seguinte resultado é obitido,

( )

(

)

₍

₎

t f sen A t f sen A RMS t s π

π ₂ ₂

707 . 0

2

=

= ( 4.4 )

ou seja, o resultado final da amplitude igual a 2 .

A figura 4.5 mostra o resultado da divisão do sinal da figura 4.4 pelo seu valor RMS.

0 50 100 150 200 250 300 350

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Rotaçao do Pinhao [Graus]

A

m

pl

itu

de

(65)

O próximo passo para chegar no sinal de vibração completamente normalizado, conforme mostrado adiante na figura 4.8, é a normalização devido à função densidade de probabilidade beta. Nesta normalização, os valores da variável aleatória deverão estar compreendidos no intervalo de definição dessa função ( 0 , 1 ), ou seja, os valores das amplitudes deverão obrigatoriamente estarem entre 0 e 1. Para isso, calcula-se o valor absoluto do sinal da figura 4.4, conforme a seguinte figura.

0 50 100 150 200 250 300 350

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

A

m

pl

itu

de

Figura 4.6. Valores absolutos da figura 4.5.

(66)

0 50 100 150 200 250 300 350 0

0.5 1 1.5 2

A

m

pl

itu

de

Figura 4.7. Valores da figura 4.6 adicionados de 3% da máxima amplitude.

Finalizando o processo de normalização, basta dividir o sinal da figura 4.7 por uma constante que seja maior do que a maior amplitude desta mesma figura para que se chegue em um sinal cujas amplitudes estejam seguramente entre 0 e 1.

0 50 100 150 200 250 300 350 0

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

A

m

pl

itu

de

Figura 4.8. Sinal de vibração completamente normalizado.

(67)

0 0.25 0.5 0.75 1 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Variavel Aleatoria [x]

A

m

pl

itu

de

d

a

D

is

tr

ib

ui

ça

o

B

et

a

Figura 4.9. Função densidade de probabilidade beta representativa de todo o engrenamento.