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Impacto sobre a renda per capita de longo prazo de um sistema de aposentadoria de repartição simples

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Academic year: 2017

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(1)

...

-•

' "

セfundaᅦᅢo@

' "

GETULIO VARGAS

EPGE

Escola de Pós-Graduação em

Economia

Seminários de Pesquisa Econômica II

(la

parte)

"IMPACTO SOBRE A RENDA PEB

CAPITA DE LONGO PBAZO DE U1VI

SISTEMA DE APOSEN-rADOBIA DE

BEPABTIÇÃO SIMPLES"

LOCAL:

DATA:

HORÁRIO:

li

SAMUEL DE ABREU PESSÔA

(F ac. de Economia e Administração - USP)

Fundação Getulio Vargas

Praia de Botafogo, 190 - 10

0

andar

Auditório

29/08/96 (53 feira)

(2)

..

....

-..

,

Impacto sobre a renda per capita de longo prazo

de um sistema de aposentadoria de repartição

simples

Samuel de Abreu Pessôa*

Faculdade de Economia e Administração da Universidade de São Paulo Departamento de Economia

Agosto de 1996

RESUMO

Este trabalho constrói um modelo de gerações sobrepostas em tempo contínuo de acumulação de capital. Os indivíduos passam por dois períodos de vida distintos. No primeiro, que transcorre entre o nascimento até a idade de T anos, os indivíduos ofertam trabalho inelasticamente,

con-somem e acumulam capital de forma ótima e se defrontam com uma probabilidade de morte nula. No segundo aposentam-se e passam a ter uma probabilidade de morte positiva, auferindo renda do patrimõnio acumulado ej ou recebendo transferências financiadas com imposto distor-cido sobre a renda. Neste caso há um sistema de previdência de repartição simples.

A partir da agregação das escolhas individuais, encontra-se uma equação para o capital de estado estacionário no sistema fundado e no sistema de repartição simples. Pode-se então calcular a renda de estado estacionário em cada um dos sistemas e a sensibilidade do diferencial de renda com ralação a diversos parâmetros.

• Agradeço os cometários de Flávio Barreto, Pedro Ferreira, Renato Fragelli, Marcos Lisboa. Afonso Franco, Luiz Oliveira e participantes do primeiro encontro brasiliense de economia. Este trabalho contou com suporte financeiro da Fundação Instituto de Pesquisa em Economia (FIPE).

(3)

..

...

-1 Introdução

o

objetivo deste trabalho é a construção de um modelo de acumulação de capital, com

gerações sobrepostas em tempo contínuo, que possibilite responder a seguinte pergunta:

qual é o guanho de renda de uma economia no longo prazo quando ela altera o sistema

de aposentadoria de um sistema de repartição simples para um sistema fundado? A

preocupação é quantitativa, por isto optou-se por uma estrutura flexível para posterior

simulação e análise de sensibilidade com relação aos parâmetros.

A estratégia para enfrentar este problema é imaginar duas economia que são idênticas

em todos os aspectos - preferências, tecnologias, e dotações iniciais - tendo como única

diferença a forma como o sistema de previdência social é instituído. Este não é um trabalho

de economia institucional porque não se pergunta como esta instituição foi criada, ou

qual o motivo para duas economias que são idênticas desenvolverem diferentes arranjos

institucionais. O objetivo é mais singelo: deseja-se construir uma estrutura analítica para

determinar o impacto de uma instituição sobre a renda.

Tendo esclarecido o objetivo deste trabalho é oportuno deixar bem claro quais são os

pontos que não serão abordados neste trabalho. Não há preocupações com o problema

fiscal. Sempre supõem-se que o gestor da previdência social calibra o valor da alíquota

de imposto de sorte que haja receita suficiente. As contas públicas sempre estarão

equi-libradas. Efetivamente o modelo que será desenvolvido neste trabalho permite o cálculo

da pressão fiscal da previdência de repartição simples, isto é, a determin-ação do valor da

alíquota do imposto de renda que equilibra as contas públicas.

O sistema da previdência social tem duas atribuições: aposentadoria e segurança social.

Muitas vezes estas duas funções aparecem misturadas em um mesmo instrumento. Por

exemplo, uma parte do benefício da previdência pode ser visto como a contrapartida das

(4)

r

....

-l

entre indivíduos. A primeira atribui-se à aposentadoria; um processo que, do ponto de

vista individual, constituí-se em uma transferência de renda ao longo do tempo. A segunda

é uma redistribuição que ao menos em tese deve ocorrer dos indivíduos de maior renda

aos de menor renda. Como este projeto tem preocupações macroeconômicas, questões

distributivas não serão abordadas. Desta forma limita-se ao aspecto de transferência

intertemporal da previdência.

Uma outra questão que tem sido muito debatida é se a aposentadoria deve ser pública

ou privada. Do ponto de vista deste trabalho é totalmente imaterial quem gere o sistema

previdenciário: se uma agência estatal ou uma empresa privada. Se a eficiência

admin-istrativa de ambas for equivalente, o resultado será igual. Neste trabalho supõem-se que

a administração do sistema previdenciário será eficiente não se definindo se a

adminis-tração é pública ou privada. Se os incentivos subjacentes ao sistema forem os mesmos,

ele funcionará igualmente bem com administração pública ou privada.

Também há uma desconfiança de que a poupan\-<-: adicional gerada pelo sistema

fun-dado não produza a elevação do investimento produtivo, mas fique perdida na esfera

especulativa, produzindo ganhos expressivos a especuladores, em detrimento da atividade

produtiva. Em nosso modelo a economia trabalha sempre a pleno emprego I , de tal sorte

que toda poupança gerada automaticamente transforma-se em investimento produtivo.

Finalmente, resta uma questão de extrema importância: mesmo que o sistema fundado

aumente a renda no longo prazo da economia, há um custo de transição que recai sobre

a geração que está aposentada no momento em que a transição é feita. Será fruto de

trabalho futuro a mensuração deste custo e a determinação de maneiras alternativas de

financiamento da transição, de tal sorte que o peso do ajustamento não recaia totalmente

sobre uma única geração. Esta etapa da pesquisa só faz sentido se de fato os ganhos

de renda obtidos com a alteração do sistema forem significativos, que é o objeto deste

1 Podemos imaginar que há um fazedor de política econômica que adota políticas anticíclicas

keynesianas.

(5)

e,:

'.

trabalho.

2

Descrição informal do modelo

Ao construir um modelo formal para investigar o problema proposto a primeira dificuldade

que o pesquisador se defronta é como formalizar o processo de envelhecimento. Neste

modelo supõem-se que os indivíduos passem por dois períodos distintos ao longo de suas

vidas: jovens e velhos. Quando jovens, até completar T anos de vida, os indivíduos ofertam trabalho inelasticamente ao mercado, consomem e poupam. Supõem-se que a

probabilidade de morte é nula. Após T anos de vida ocorre uma transformação física

instantânea: a disutilidade do trabalho que era nula torna-se infinita e a probabilidade

de morte torna-se estritamente positiva. Na velhice o indivíduo vive da riqueza que ele

transferiu para o segundo período de vida e, se o sistema de previdência for por repartição

simples, tamb::111 de transferências da previdência social.

O segundo problema é como caracterizar os dois sistemas. No sャZZLセ・ュ。@ de repartição

supõem-se que há um imposto distorcido sobre a renda cuja receita é transferida na

brma de benefício para a população aposentada. O im!,osto desestimula a acumulação

de capital mas em geral não integralmente. Os indivíduos transferem renda, na forma de

capital que foi acumulado no primeiro período de vida, para o segundo período de vida.

Evidentemente, se o valor presente dos benefícios futuros forem suficientemente elevados o

indivíduo nada transfere para o segundo período, ou podem inclusive transferir um débito.

No sistema fundado os indivíduos consomem quando aposentados somente a riqueza que

privadamente acumularam ao longo de sua vida ativa. Uma outra distinção dos sistemas

suposta é a forma que é tratada a incerteza quanto à data da morte. No sistema fundado a poupança individual funciona como transferência intertemporal de renda e seguro contra

a incerteza quanto a data da morte. Imagina-se um sistema próximo a um fundo de

(6)

....

"

Toda a riqueza dos indivíduos que morrem em um instante é transferida, em partes iguais, aos indivíduos que nascem neste mesmo momento. Esta transferência funciona de forma

análoga à uma herança não planejada, devido ao motivo precaução .

Após esta descrição informal segue a terceira sessão em que apresenta-se o modelo de

previdência de repartição e na quarta sessão o modelo com previdência fundada. A terceira

sessão é composta de sete subseções. Na primeira encontra-se a trajetória ótima de

con-sumo para cada período da vida de um indivíduo representativo a partir da maximização

do valor presente da utilidade instantânea do consumo, suposta separável assumindo a

forma funcional de coeficiente de aversão relativa ao risco constantes.

Na segunda subseção substitui-se as trajetórias ótimas do consumo individual

encon-tradas na primeira subseção na função utilidade, obtendo uma função utilidade indireta. A

maximização desta utilidade indireta determina a riqueza ótima que o indivíduo deixará

para o segundo perí'ldo de vida. Como mencionado, esta riqueza escolhida para ser

transferida para ú ;egundo período de vida dependerá, entre outros, dlJ "lllor presente

das transferências futuras que o indivíduo receberá da previdência social. Na terceira

subsecão apresenta-se um sumário dos principais resultados referentes à escolha

individ-ual, e na subseção seguinte é exposta a estrutura demográfica da economia. Supõem-se

que há um crescimento populacional constante; determina-se em seguida a população

economiacamente ativa, a população aposentada e a razão de dependência do sistema,

que é a relação entre as duas. A razão de dependência é um parâmetro importante para

simulação: para um dado crescimento populacional fixado e uma duração fixada para a

vida ativa, há uma relação biunívuca entre a razão de dependência e a probabilidade de

morte. Para simulação o valor da probabilidade de morte será escolhido para gerar um

volor previamente estipulado da razão de dependência.

Após a solução da escolha individual, na próxima subseção (quinta) determina-se o

consumo agregado da economia, somando para um instante o consumo dos indivíduos

(7)

para uma geração e depois somando para todas as gerações existentes, obtendo-se uma

forma analítica para o consumo agregado no estado estacionário. Determina-se após o

valor da transferência ao nascer que os indivíduos recebem dos mortos.

Na sétima subseção encontra-se o equihbrio geral da economia no estado estacionário,

a partir da equação de equilíbrio no mercado de bens. O consumo agregado per capita

é igual ao produto per capita menos a depreciação do capital. Encontra-se também a

equação de equilíbrio das contas públicas. Supondo-se que a função de produção é

Cobb-Douglas o modelo pode ser consolidado na forma de um sistema de duas equações não

lineares que são simultaneamente solucionadas para a taxa de juros de estado estacionário

e a alíquota de imposto que equilibra as contas públicas. Determina-se em seguida a renda

de estado estacionário.

N a quarta sessão desenvolve-se rapidamente o modelo fundado, enfatizando as

princi-pais diferenças com o modelo anterior Segue a conclusão.

Este modelo é síntese de dois エイ。オLセNャィッウN@ Cass e Yaari ( 1967) apresentam um modelo de

gerações sobrepostas em tempo contínuo em que os indivíduos conhecem a data da morte.

Blanchard (1986) desel1volve o seu famoso modelo de juventude perpétua. Supõem que as

pessoas ao nascer se defrontam com uma probabilidade de morte constante; tudo se passa

como se as pessoas fossem eternamente jovens, seguindo portanto o nome do modelo. No

modelo aqui exposto ao longo do primeiro período de vida os indivíduos vivem numa

economia de Cass e Yaari e ao longo do segundo período de vida numa economia de

Blanchard.

Com relação aos trabalhos que tem sido publicados o modelo aqui apresentado tem

duas inovações: a utilização de tempo contínuo permite uma maior flexibilidade na

cons-trução do modelo, bem como facilita o estudo da sensibilidade do resultado à alterações do

valor dos parâmetros. Por outro lado o presente trabalho inova ao levar em consideração

(8)

esta incerteza, dado que não há poupança por motivo precaução, produzem valores de

taxa de juros de estado estacionário muito elevados. Este fato, além de ser contrafactual,

faz com que a taxa de capitalização do fundo de pensão seja elevada, viezando o resultado

a favor deste sitema. Veja por exemplo Barreto e Oliveira (1995), o facículo da revista

Estudios Económico (1995) dedicado à previdência social e Arrau (1990) e as referências citadadas nestes trabalhos. Por outro lado, Fabel (1994) não tem preocupações

quantita-tivas e estranhamente faz uma análise de equilíbrio parcial, não considerando o impacto

da previdência social sobre a taxa de juros da economia. Ao longo de todo o seu livro

supõem que a taxa de juros de longo prazo é iqual à taxa de preferência intertemporal, hipótese que só faz sentido num contexto de horizonte infinito.

3 Sistema de repartição

3.1 Escolha individual

Primeiro período

Os indivíduos escolhem a trajetória do consumo de forma a

T+1 1-.1 ( t)

1

e-p(t-s)c <T

S;

dt

s 1

-(T

max

sujeito a: dv(s, t) dt

=

m(t)v(s, t)

+

y(s, t) - c(s, t)

v(s, s)

=

vo(s) e v(s, T

+

s)

=

E,

onde

c(s, t) - consumo em t do indivíduo que nasceu em s; v(s, t) - riqueza em t do indivíduo que nasceu em s;

y(s, t) - renda líquida do trabalho em t do indivíduo que nasceu em s;

m (t) - renda líquida do capital;

vo(s) - dotação inicial do indivíduo que nasceu em s;

E - riqueza que o indivíduo escolhe transferir para a segunda etapa da vida.

(9)

Solucionando obtém-se:

c(s, t)

=

c(s, s)eO' J.t(m(tl)-p)dtl

=

C(S, s)R-O'(s, t)e-O'p(t-s) (1)

onde:

" (2)

é o fator de desconto do instante t ao instante s.

Integrando a restrição orçamentária segue:

R(s, t)v(s, t)

=

lt R(s, t')y(s, t')dt'

+

vo(s) - lt R(s, t')c(s, t')dt . (3)

Substituindo-se (1) segue para o final do período:

r

T+s

R(s, T

+

s)E

=

h(s, s)

+

vo(s) - c(s, s) ls RI-O'(S, t)e-O'p(t-s)dt , (4)

ondE:;

r

T+s

h(s, s)

==

ls R(s, t)y(s, t)dt (5)

é a riqueza humana ao nascer do indivíduo da geração s. Solucionando para o consumo

inicial tem-se:

c(s, s)

=

AI [h(s, s)

+

vo(s) - R(s, T

+

s)E] (6)

onde

(7)

Segundo período

Analogamente, os indivíduos escolhem:

max {'XJ e_(P+P)(t_(T+S))CI-!-(s; t) dt

lT+s 1 - -O'

sujeito a: dv(s, dt t) = m(t)v(s, t)

+

x(s, t) - c(s, t)

(10)

oi,

onde:

p - probabilidade instantânea de morte2 .

Seguindo os mesmos passos encontra-se:

c(s, t) - c(s, T

+

s)eU J:+.(m(t')-p-p)dt'

R(T

+

s, t)v(s, t)

c(s, T

+

s)R-U(T

+

s, t)e-u(P+p'(t-(T+s)) (8) E

+

t

R(T

+

s, t')x(s, t')dt' - [t R(T

+

s, t')c(s, t')dt' . (9)

JT+s JT+s

Seja

9(s, T

+

s)

== ('XJ

R(T

+

s, t)x(s, t)dt

JT+s (10)

o valor calculado em T

+

s da renda futura do sistema previdenciário que o indivíduo

nascido em s receberá, segue de (9)

onde

c(s, T

+

s)

=

A2"l[E

+

9(s, T

+

s)],

A2

== [00

R1-U(T

+

s, t)e-u(P+p)(t-(T+s))dt JT+s

e no cálculo de (11) utilizou-se a condição de transversalidade

lim R(T

+

s, t)v(s, t)

=

O .

t--oo

(11)

(12)

o

leitor deve ter notado que no sistema de previdência de repartição simples não há

se-guro quanto à incerteza da data da morte. Este fato formalmente tem duas conseqüências.

A probabilidade de morte eleva a taxa de preferência intertemporal do indivíduo; na

in-existência de seguro o perfil do consumo será menos crescente3 . Por outro lado, se houver

seguro, a seguradora pagaria ao indivíduo um prêmio. A taxa de juros sobre o capital

20 indivíduo maximiza E J-Z:.e-p(t-(T+·»u(c(t))dt = J-Z:.e-p(t-(T+·»P(s,t)u(c(t))dt, onde

P(s, t) = e-p(t-(TH» é a probabilidade de um indivíduo da geração s estar vivo em t. Veja Yaari

(1965). .

3Nota-se a diferença entre (8) e (1).

9

I

(11)

"

passaria a ser m(t)+p e em caso de morte a riquesa deste individuo é transferida à

se-guradora (ver Blanchard (1985)). O fato do capital aos olhos do indivíduo render uma

taxa maior do que a taxa de juros de mercado fará com que a sua taxa de desconto de

rendas futuras seja maior do que, por exemplo, a do Setor Público acarretando a não

satisfação da equivalência Ricardo/Barro (ver Blanchard e Fischer (1989), capítulo 3).

Não existindo seguro, a taxa à qual o indivíduo desconta rendas futuras é igual à taxa de

desconto do Setor Público. Nesta situação, apesar dos indivíduos morrerem, a incerteza

quanto à data da morte produziria equivalência Ricardiana se não houvesse aposentadoria

e se a renda do trabalho não variasse com o tempo.

3.2 Escolha da riqueza deixada para a segunda etapa da vida

A utilidade do indivíduo para toda vida é:

l

T+s 1-1. ( t)

ÁOO

1-1. ( t)

Us

=

e-p(t-s) c CT

S;

dt

+

e-pT e-(P+p)(t-(T+s» c CT

S;

dt. (13)

s 1 - -U T+s 1 - -U

Substituindo-se a trajetóna ótima de consumo segue:

」ャMセHウLウI@ _pT 」ャMセHウLtKウI@

Vs

=

AI 1 _ 1

+

e A2 1 _ 1 (14)

U U

A partir de (14) determina-se o valor ótimo de E, lembrando de (6) e (11). Segue:

c(c, T

+

s)

=

c(s, s)e-U JaT+a(m(t)-p)dt

=

c(s, s)RU(s, T

+

s)eupT . (15)

Para que E seja ótimo não pode haver descontinuidade na trajetória do consumo.

Substituindo-se (6) e (11) em (15) segue:

onde:

-T2

R(s, T

+

s)E = -=-w(s, s) - R(s, T

+

S)9(S, T

+

s)

T

w(s, s) _ vo(s)

+

h(s, s)

+

R(s, T

+

S)9(S, T

+

s)

10

(16)

(17)

(18)

(12)

e

w(s, s) - riqueza total ao nascer do indivíduo da geração s.

A expressão (16) tem a seguinte interpretação: o valor avaliado em s da riqueza que o

indivíduo deixará para a sua aposentadoria é igual à fração da sua riqueza total que deseja deixar para o segundo período menos o valor presente das transferências da seguridade

social.

Na situação em que a utilidade é logarítmica, isto é, u vale 1, no qual a preferência intertemporal é nula segue:

Dado que T é a duração do primeiro período de vida e p-l é a duração esperada do

segundo período de vida, a interpretação é evidente.

Para o caso logaritmico no qual a taxa de preferência intertemporal é estritamente positiva segue:

e

00 -pT

,:;:. _pT セ@ -(P+p)(t-(T+s))dt e P!O-1

.L 2 = e e = - - p - - p .

T+s P

+

P

-

-Agora TI e T2 são diferentes da duração cronológica de cada período. A existência de

preferência intertemporal torna a avaliação subjetiva de intervalos de tempo diferente da

duração cronológica dos mesmos.

Quando a elasticidade de substituição intertemporal do consumo é diferente de um as

expressões complicam-se, pois o efeito renda e o efeito substituição associado a alterações

da taxa de juros não se compensam, no entanto, interpretação análoga aplica-se.

(13)

3.3

Trajetória

do consumo

Substituindo-se (19) em (6) e (11), lembrando de (1) e (8), segue:

c(s, t) - w(s, s) T - e · O'J:t(m(t')-p)dt' ses<t<T+s - - (20)

c(s, t)

=

w (s, s) (1

J:t

(m(t')-p)dt' (1 fTt (m(t')-p-p)dt'

- e e +.

T ウ・エセtKウN@ (21)

A figura 1 apresenta o comportamento do consumo de um indivíduo da geração s no

estado estacionário, isto é, supondo m· constante, quando p < m· < p

+

p, que é razoável para esta classe de modelos (veja Blanchard e Fischer, 1989, capítulo 3, p.124).

Para uso posterior explicita-se a evolução da riqueza individual em cada período da

vida (segue de (3), (9), (20) e (21):

Primeiro período

w(s s)

l

t (' )

R(s, t)v(s, t) = h(s, s)

+ vo(s)

- . : R1-(1(s, t')e-(1P t -s dt'

T

s (22)

Segundo período

R(s, t)v(s, t)

=

13w(s, s) - R(s, T

+

s) [g(s, T

+

s) -

r

t

R(T

+

s, t)x(s, t')dt']

T JT+s

_R1-(1(s, T

+

s)e-(1PTW(:: s)

r

t R1-(1(T

+

s, t')e-(1(p+p)(t'-(T+s»dt . (23)

T JT+s

Ambas determinam a riqueza que o indivíduo que nascem em s tem no instante t, avaliada

em s.

A

interpretação é padrão. Por exemplo, para (23) segue: o valor em s da riqueza

em t de um indivíduo da geração s é igual à fração de sua riqueza total que ele deixa para

o segundo período menos o total das transferências públicas que receberá que ainda não

(14)

3.4 Estrutura demográfica

A cada instante nascem K ent indivíduos. Uma vez que a probabilidade de morte é con-stante e igual a p, a probabilidade de uma pessoa que nasceu em s estar viva em t é:

1 ウ・ウセエセtKウ@

e

e-p(t-(T+s» se t > T

+

s.

Logo, a população em t da geração s, isto é, N(s, t) será:

A população total em t é:

ウ・ウセエセtKウ@

se t > T

+

s.

N(t)

=

l

t N(s, t)ds

+

jt-T N(s, t)ds

=

K ent

[1 -

e-

+ - - .

nT

e-nT]

t-T -00 n n

+

p

Adotando a normalização

[

1 _' e-nT e-nT ]-1

K=

+

-n n+p

segue:

Para a população economicamente ativa e os inativos segue, respectivamente:

e

L(t) =

e- nT

n+p e nt

l_e-nT e-nT

n

+

n+p

N(t) - L(t)

=

Logo a razão da dependência do sistema previdenciário será:

RD=

e-nT

n+p l_e-nT

n

13

(24)

(25)

(26)

(27)

(15)

3.5 Consumo agregado

o

consumo total em um instante é o consumo dos vivos de uma geração, somado para todas as gerações. Segue:

C(t) -

l

t K e ns w (s, - s) e U

fI

• (m(t')-p)dt'd s

t-T T

+

j

t-T K enSe-p(t-(T+s» w(s セ@ s) R-U(s, T

+

s )e-upT eU T+8(m(t )-p-p)dt

fI

,

,

ds .

-00 T

No estado estacionário w(s, s)

=

w* e m(t)

=

m*. Segue:

onde:

MM]」J]kセ@C(t) w*

[1 -

e-(n-u(m*-p»T

+ - - - -

e-(n-u(m*-p»T

1

ent T n-u(m*-p) n+p-u(m*-(p+p))

-

--T - TI +T2

- lT+s 1 e-(m*-u(m*-p»T

TI _ e-(mO-u(mO-p»(t-s)dt =

-S m*-u(m*-p)

T2

_

e-(l-u)m*T e-upT {':tO e-(mO-u(mO-(p+p»)(t-(T+s»dt lT+s

e-(mO-u(mO-p»T

m* - u(m* - (p

+

p))

(29)

(30)

(31)

No cálculo de (29) e (31), para que a integral fosse limItada supõem-se respectivamente

que:

n

+

P - u(m* - (p

+

p))

>

O (32)

e

m* - u(m* - (p+p)) > O. (33)

3.6 Cálculo da dotação inicial

Devido à inexistência de seguro contra a incerteza da data da morte, os indivíduos ao morrerem deixam uma riqueza, que é redistribuída em partes iguais aos indivíduos que

(16)

Para calcular a dotação inicial é necessário calcular a riqueza total dos indivíduos que

morrem. O primeiro passo é calcular a riqueza de indivíduos no segundo período de vida.

Segue de (23):

R(s, t)v(s, t) - 13w(s, s) - R(s, T

+

s)

r

oo

R(T

+

s, t')x(s, t)dt'

T lt

_R 1- u(s, T

+

s)e-UPTW(s.: s)

r

t Rl-u(T

+

s, t')e-u(P+p)(tl_(T+s»dt.

T lT+s

No estado estacionário, supondo que x(s, t)

=

x* segue:

v(s, t)e-mO(t-(T+s»

=

W * T2 mOT -=-e - - e x* -mO(t-(T+s»

T

m*

w* 1 - e-(mO-u{mO-{p+p»)(t-{T+s»

- -::::-eu(mO -p)T (34)

T m*-O"(m*-(p+p))

A riqueza dos mortos no instante t é dada por:

Vmortos em t - I:T pN(s, t)v(s, t)ds

セ@ jセZt@

pK ense-p(t-(T+s»v(s, t)ds

e n(t-T) pK {W* -::::- [( e mOT T2 - - - : -eu(mO-p) ) 1

T m*-O"(m*-(p+p)) n+p-m*

eu(mO-p)

1 ]

x*

1 }

+ (m* - O"(m* - (p

+

p))) (n

+

p - O"(m* - (p

+

p)) - m. n

+

p (35)

No cálculo de (35) é feita a suposição que

n+p>m. (36)

De (19) segue:

1 mOT

• - e -mOT x

=

Vo

+

Y

+

e

-m· m· (37)

Dado que

= Vmorte':tcm t, de (35) e (37) pode-se calcular:

w* [_ e-(n-u(mO-p»T ]-1

f

-

T - p (m· - O"(m* - (p

+

p)))(n

+

p - O"(m· - (p

+

p)))

[ .1 -

e-m

o

T

( -mOT P -nT)]

y

+-

e - - - e

m* m* n

+

p (38)

(17)

Supondo que o valor de estado estacionário do benefício da previdência seja

propor-cional à renda líquida do trabalho, isto é, que x*

=

Oy*, segue que (38) e (29) que:

c*

y* l-e nT e-nT

n

+

n+p

l_e-n-C7(Tn* -p»T e-(n-C7(Tn* -p»T

n-u(m*-p)

+

n+p-u(m*-(p+p»

l-e-(Tn* -C7(Tn* -p»T e-(Tn* -C7(Tn* -p»T e-(Tn-C7(Tn* -p»T

m*-u(m*-p)

+

m*-u(m*-(p+p» - P (m*-u(m*-(p+p»)(n+p-u(m*-(p+p»)

(39)

Esta equação admite grande simplificação no caso em que a taxa de juros de estado

estacionário é igual à taxa de crescimento populacional. Nesta situação:

c* l_e- nT

oe-nT

n

+

n+P

y* l-e nT e nT

n

+

n+p

Se o valor do benefício for igual à renda do trabalho no estado estacionário o consumo

per capita é igual à renda líquida do trabalho.

3.7 Orçamento da

ーイ・カセ、↑ョ」ゥ。@

e

equilíbrio geral

No estado estacionário o gasto total da previdência é:

x*(N(t) _ L(t))

=

Oy*Kent e-nT

n+p

que será financiado pela receita dos impostos sobre a renda:

1 - e-nT TL(t)[f(k*) - 8k*] = TKe nt

-n

onde k*

==

セ@ é a relação capital/trabalho e f(k*) é o produto por trabalhador. Segue

portanto:

e-nT

f(k*) - 8k* 1 - T n+p

-:...;".---:....----0

f(k*) - k* f'(k*) - T l-e nT

n

(40)

Da última equação utilizou-se

(18)

ou

No estudo estacionário o consumo total é o produto total líquido da depreciação:

C(t)

=

F(K, L) - óK

=

N!:... [f(k*) - ó(k*)]

N

セ@

==

c* =

セ@

[J(k*) - ó(k*)] . (42) Substituindo-se (42) e (41) em (39), conjuntamente com (40), tem-se um sistema de duas

equações não lineares que podem ser solucionadas para a alíquota de imposto de renda e

a taxa de juros ou o capital por trabalhador de estado estacionário, lembrando que:

m*

=

(1 - T)[j'(k*) -

ó] .

(43)

Se a função de produção for f(k) = kO

, segue de (40) e (39):

L

1

N (1 - T)(l - a) [

1:

1

l_e-mOT +..!L (e-mOT - セ・MョtI@

U mO mO n+p

1 -

=

MMMMMZMMセセM⦅⦅⦅]⦅[セセMNNANNNN@

( l-r mO

+

ó)

1 o l-e n nT

+

e n+p nT

(44) l_e-n-"(Tr.· ·.,»T e-(n-,,(mO -p»T

n-u(mO-p)

+

n+p-u(mO-(p+p»

l-e (mO -,,(mO -p»T e-(mO -17(mO -p»T e-(m-,,(mO -p»T

mO-u(mO-p)

+

mO-u(mO-(p+p» - P (mO-u(mO-(p+p»)(n+p-u(mO-(p+p»)

e

L 1 [ ó

1

1-T

N 1 - a 1 -

C::

+

ó)

セ@

=

B-T- . (45)

Soluciona-se este sistema de equações para T e m* em função dos parâmetros a, ó, B, n,

T, p, p e a.

4 Sistema fundado

Formalmente os dois sistemas são parecidos. Nesta seção apresenta-se as principais etapas

da resolução do sistema fundado, explicitando as diferenças com o modelo anterior. Para

maior generalidade supõem-se que exista uma transferência do sistema de previdência aos

indivíduos no segundo período de vida. A diferença essencial é a existência de seguro.

Evidentemente, no sistema totalmente fundado a transferência pública é nula.

(19)

No sistema fundado os indivíduos ao aposentarem-se fazem um seguro contra a

in-certeza quanto à data da morte. A seguradora paga ao segurado pelo uso de sua riqueza a

taxa de juros de mercado mais um prêmio de risco igual à probabilidade de morte (de sorte

que o lucro da seguradora é nulo). Na ocorrência do 'sinistro' a riqueza deste indivíduo

passa para a seguradora. Este contrato altera as decisões individuais de duas maneiras.

No segundo período a taxa de juros relevante do ponto de vista individual é m(t)

+

p.

Logo, a taxa de desconto de redas futuras é maior do que no caso em que não há seguro.

Por outro lado, a diferença entre a taxa de desconto das preferências e taxa de desconto

de renda torna-se

p

+

P - (m"

+

p)

=

p - m"

que é a mesma do primeiro período. Agora não há alteração da declividade da trajetória

do logarítmico do consumo quando o indivíduo muda de etapa da vida (ver figura 1).

Formalmente para o segundo período os indivíduos

max

sujeito a:

e

(CO e_(P+P)C1-:(;) dt

ls+T 1 - -U

dv(s, t)

=

(m(t)

+

p)v(s, t)

+

x(s, t) - c(s, t)

dt

v(s, t) = E .

A solução, de forma análoga à seção anterior, produz

c( s, t)

キHセ@

s) eU I.t(m(t')-p)dt' para todo t

セ@

s.

T

w(s, s) _ h(s, s)

+

R(s, T

+

S)9(S, T

+

s) pois vo(s)

=

O

onde

e

9(S, T

+

s)

=

{CO R(T

+

s, t)e-p(t-(T+s»x(s, t)dt lT+s

As diferenças com relação ao modelo sem seguro são:

(46)

(47)

(20)

(i) Não há necessidade de distiguir entre o consumo do primeiro período e do segundo

período (compare (20) e (21) com (46)).

(ii) Na definição da riqueza total ao nascer o termo voes) é nulo pois se há seguro a

riqueza dos mortos é transferida aos segurados vivos da mesma geração (compare

(47) com (19)).

(iii) Na definição de g(s, T

+

s) a taxa que desconta as transferências futuras é maior.

Nota-se o termo e-p(t-(T+s» em (48) que não aparece em (10).

(iv) Na definição de 1'2 não aparece o termo e-O'p(t-(T+s» e aparece o termo e-p(t-(T+s».

o

primeiro devido a trajetória do consumo e o segundo pela taxa mais elevada de

desconto de vendas futuras (compare (49) com (12).

Seguindo os mesmos passos da seção anterior obtém-se para o consumo agregado per

capita:

c=K-=-* w*

[1 -

e-(n-O'(m*-p»T +----:---:-e-(n. 'T(m*-p»T

1

T n - a(m* - p) n

+ p

- a(m* - p) (50)

e

[1 -

-m*T -m*T

1

* * e e

w =y

+0--- .

m* m*

+

p (51)

Logo:

l-e",*T O e-",*T l_e-{n-<T{"'* -p»T e-{n-<T{"'* -p»T

c* m*

+

セ@ n-O'(m*-p)

+

n+p-O'(m*-p)

y* - l-e nT e nT l-e {",* <T{"'* p»T e (",* <T{"'* p»T

n

+

n+p m*-O'(m*-p)

+

m*+p-O'(m*-p)

(52)

No caso do sistema totalmente fundado a alíquota de imposto e as transferências são

nulas (T

=

O

=

O). Neste caso:

m* = j'(k*) - 8

e

c* L f(k*) - dk*

-y* N f(k*) - k* f'(k*)

Soluciona-se (52) encontrando-se m*. Se o sistema não for totalmente fundado segue as

equações da seção 3.7 com (52) no lugar de (39).

19

(21)

to

.

-5 Conclusão

Os modelos desenvolvidos permitem que se calcule a renda de estado estacionário da

economia em diversas situações. Desta forma os méritos relativos de diversos sistema

podem ser quantitativamente avaliados. Do ponto de vista teórico pode-se caminhar em

três direções:

(i) utilização de uma função de produção com elasticidade de substituíção

capitaljtra-balho constante;

(ii) incoporação no modelo de progresso técnico exógeno poupador de trabalho;

(iii) supor que o perfil de renda do trabalho ao longo da vida útil de um indivúiduo não

é constante.

Referências

Arrau, Patricio HQセYPIN@ "Social Security Reform", World Bank, Working, Paper 512, mimeo.

Barreto, Flavio A. S. D. e Oliveira, Luiz G. S. (1995). "Aplicação de um modelo de gerações sobrepostas para a reforma da previdêcia no Bld.Sil: uma análise de sensi-bilidade no estado estacionário." Anais do XVII Encontro brasileiro de econometria, voI. 1, 71-91.

Blanchard, Oliver J. (1985). "Debts, Deficits, and Finite Horizons." Journal of Political Economy 93, 2 (April), 223-247.

Blanchard, Oliver J. e Fischer Stanley (1990). Lectures on Macroeconomics. The MIT Press.

Cass, David e Yaari, Menahem (1967). "Individual Saving, Aggregation Capital Accu-mulation, and Eflicient Growth." Em Karll Shell (ed.) Essays on the Theory of Optimal Economic Growth. Cambridge, MA: MIT Press.

Fabel, Oliver (1994). The Economics of Pensions and Variable Retirement Schemes. John Wiley & Sons.

(22)

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Autor: Pessoa, Samuel de Abreu.

Título: Impacto sobre a renda per capita de longo prazo de

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FGV -BMHS N° Pat.:F3249/98

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