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O papel da modelagem mental dos enunciados na resolução de problemas em física.

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O Papel da Modelagem Mental dos Enuniados

na Resolu~ao de Problemas em Fsia

TheroleofmentalmodellingofthestatementsinPhysisproblemsolving

Sayonara Salvador Cabral daCosta

FauldadedeFsia,PUCRS

Av. Ipiranga,6681,90619-900 PortoAlegre,RS,Brasil

sayonarapurs.br

Maro Antonio Moreira

Institutode Fsia, UFRGS

CaixaPostal15051, CampusdoVale, 91501-970,PortoAlegre,RS,Brasil

moreiraif.ufrgs.br

Reebidoem27denovembro,2000. Manusritorevisadoreebidoem14defevereiro,2002.

Aeitoem24demaro,2002.

Este trabalho, fundamentadona Teoria dos Modelos Mentais de Johnson-Laird (1983, 1996), da

ontinuidadeaonosso projetosobremodelagemmentalemresolu~aodeproblemas(Costa e

Mo-reira, 1998),enfoandoadiuldade quealunosdeMe^aniaGeral, disiplinadourrulobasio

dos ursos de Engenharia e Fsia da Pontifia Universidade Catolia do Rio Grande do Sul,

apresentam para modelar mentalmente o enuniado do problema. Foi usada uma metodologia

qualitativabaseadanosdepoimentosverbais(duranteaulasespeasderesolu~aodeproblemas)

e esritos nas veria~oes de aprendizagem), de alunos das turmas de um dos autores, durante

o perodo 1 o

semestre de 1998 a 1 o

semestre de 2000. O tema abordado foi Cinematia de um

ponto material. Os resultadospareem orroborar nossa hipotese deque arepresenta~ao mental

doenuniadode umproblema, apresentado atravesde um disurso lingustio, aompanhado ou

n~aoderepresenta~aopitoria,podeserfavoreidapeloensinoexplitodamodelagem fsia das

situa~oesenfoadasnoenuniado.

This paper, based on Johnson-Laird's mental models theory (1983, 1996), is a sort of progress

report of our projet on mental modeling in problem solving, fousing on the diÆulties that

students of General Mehanis, a subjet of the basi urriulum of engineering ourses of the

CatholiUniversityofRioGrandedoSul,presenttomentallymodelthestatementoftheproblem.

Aqualitativemethodologywasusedbasedonstudentsverbal(duringproblemsolvinglasses)and

written(inquizzesandexams)disourse,duringtheperiodoftimebetweentherstsemesterof1998

andtherstsemesterof2000. ThetopiwasKinemati ofa materialpartile. Researhndings

seem to support our hypothesis that the mental representation of the statement of a problem,

presented through linguisti disourse, aompanied or not of a pitoral representation , might

be failitated by the expliitteahing of the physial modelingof the situations involved inthat

statement.

I Introdu~ao

A pratia, difundida entre professores de Fsia (ao

lado de outras disiplinas dos urrulos de forma~ao

aad^emia), de privilegiar aatividade de resolu~ao de

problemas,einontestavel. Paree-nos,entretanto,que

a justiativa,senos fossefaultadoonsultar os

pro-sentassemalgumaraz~aoparalegitimaroseuuso.

Para nos, a atividade de resolver problemas e

intrnsea ao proesso de ensino-aprendizagem,

po-dendo, inlusive, ser onebida omo meio e/ou m

do mesmo. Para omear, onsideramos um

proble-maomo umasitua~aona qualum indivduo, umavez

(2)

proes-is~oes para seguir um aminho na busa de soluion

a-la. N~ao aabamos de sintetizar o proesso de

apren-dizagem? Poisaprendern~aoetomaronheimentode

alguma oisa, ret^e-la na memoria, tornar-se apto ou

apazdealgumaoisa,emonsequ^eniadeestudo,

ob-serva~ao,experi^enia,disernimento? Aprenderrequer

umaatitudedeonfrontoomumproblemaparaoqual

n~aosetem,masbusa-searesposta.

Nosso interesse em resolu~ao de problemas tem

nos ensejado uma relativa atualiza~ao a respeito de

pesquisasdesenvolvidassobreotema(CostaeMoreira,

1996; 1997a; 1997b; 1997; Moreira e Costa, 2000).

Desde 1997, estamos investigando a quest~ao da

mo-delagem mental dos enuniados dos problemas. Este

trabalho da sequ^enia a outros, sobre o mesmo tema

(CostaeMoreira,1998;2000),namedida emque

pre-tendeinvestigaralgumas diuldadesinerentes ao

pro-esso de resolu~ao de problemas ( ou aaprendizagem

de Fsia), mais espeiamente a quest~ao da

inter-preta~aodosenuniadosdosproblemas,envolvendoum

domnioespeo. Nossoobjetivoe:

identiar algumas araterstias de diuldades

manifestadasporumnumeroonsideraveldeindivduos

no desenvolvimento daatividade de resolu~ao de

pro-blemas;

apresentar justiativas que possam orroborar a

nossahipotesede queepossvelensinar-se,nosentido

deajudar,amodelagemmentaldassitua~oes

represen-tadasnosenuniadosdosproblemas.

Neste artigo desenvolvemos o primeiro objetivo

que, na nossa opini~ao, pode onstituir-se em um dos

subsdiospara odesenvolvimentode atividades de

en-sino visando failitar a modelagem mental para os

alunos.

A seguir, faremos algumas onsidera~oes sobre o

tema da modelagem mental, tendo omo refer^enia a

teoria dos Modelos Mentais de Johnson-Laird (1983).

A metodologiautilizada, osresultados obtidoseasua

analisedaraontinuidadeaesterelato;porultimo,

ap-resentaremosaonlus~ao, quereuniraomentarios

so-brepossveisinfer^eniaslogradasapartirdaonjuga~ao

dateoriadisponveleresultadosenontrados.

II Fundamenta~ao teoria

Modelosmentais s~ao representa~oesinternas onstru

-daspelaspessoaspara aptaromundo exterior. Seres

humanosentendemomundoonstruindomodelos

men-tais,isto e,\modelosde trabalho"quepredizeme

ex-pliameventos.

Oproessamentoda linguagemeum dosmais

im-portantes domnios da aplia~ao da teoria de

Mode-losMentais. O prinipal foo de aten~ao tem sidoem

omoosmodelosmentaiss~aoonstrudosquandoos

in-divduosentendem o que l^eem ouo queedito a eles.

minantes: i)oqueerepresentadoeii)ousodamemoria

deurto-prazo(oumemoriadetrabalho)naonstru~ao

domodelomental.

UmprinpiobasiodaTeoriadosModelosMentais

onsidera que as representa~oes mentais do onteudo

de textos s~ao similares, em forma, as representa~oes

derivadas da perep~ao do mundo. Para Bransford

(apudGarnham,1997,p.154),aompreens~aoeum

pro-essoonstrutivon~aosoapartirdoqueestaexplitono

texto, masdaombina~aodesta omainforma~ao

ar-mazenadanamemoria. Sobesteaspeto,pode-sedizer

que, ao onstruir o signiado do texto, o indivduo

desenvolveumproessointerpretativo.

O proesso mental que da oer^enia a esta

inter-preta~aoehamadoinfer^enia. Johnson-Laird(1983)

onsideradoistiposdeinfer^enias: i)asexplitas,que

exigem um esforo onsiente e deliberado para

inte-grar a informa~ao { omo os que oorrem durante os

proessosdedutivospresentesnasatividadesientas

eii)asimplitas,quesustentamosproessosmais

o-munseotidianosdejulgamentosomoaompreens~ao

dodisurso,exigindoumonheimentoonsientemais

superial. A intera~ao em sala de aula atraves da

linguagemimplia agera~aoeavalia~aode infer^enias

explitaseimplitasentreaspartesenvolvidas.

Paraompreender aspremissas, s~ao usados varios

proedimentos sem^antios, que permitem onstruir os

modelosmentais. Construdoomodelomentaldeuma

sentena, ele pode serrevisado, dependendo de novas

informa~oes. Nessesentido,eleeprovisorio. Umafonte

deerronesteproessoestarelaionadaomaonota~ao

das palavras ontidasnas premissas,que podem estar

fora do alane do indivduo: os modelos mentais de

uma pessoa est~ao limitados por fatores tais omo seu

onheimentoesuaexperi^eniapreviaoma

terminolo-gia utilizada,alemda propria estruturadosistema de

proessamento da informa~ao, (Norman, 1983). Este

ultimopontoseradisutidoaseguir.

Osegundodomniodeaplia~aodateoriados

Mo-delos Mentais esta relaionado om o pensamento e

o raionio. Neste ^ambito, o enfoque e dado tanto

paraasrepresenta~oespresentesnestasatividadesomo

para osproessosquemanipulamestas representa~oes

na memoria de urto-prazo. Inlusive, a

quanti-dade requerida de proessamento e armazenamento

nesta memoria tem sido usada para expliar a

di-uldaderelativadeproblemasaparentementesimilares.

Equvoospodemseratribudosalimita~aodamemoria

detrabalho{quantomaismodelosmentaisseneessite

paraumproblemaqueexigeraionio,maisdifilele

resultara.

Estesmodelospodemseronsideradosomoos

tijo-losnaonstru~aodoonheimento,maselessopodem

ser adequadamente utilizados se forem \manuseados"

peloraionio.

(3)

preens~aodalinguagem,oraionioindutivoe,elaro,

odedutivo(inluindooraioniosilogstio). Segundo

Johnson-Laird (apud Garnham,1997, p.167), uma

in-fer^enia indutiva e ompatvel om somente um dos

modelosmentaisonstrudosdaspremissas. Esta

ara-terstia trazdiuldadespara oindivduo quandoele

preisaesolherummodeloentretodososompatveis

omaspremissas. Porisso,algunsprinpiosv~aoreger

oproessode indu~ao: espeiidade, parim^onia,uso

deonheimentoprevioedisponibilidadederesgatara

informa~aodamemoria.

Como se pode ver ateaqui, a Teoria dos Modelos

Mentaistemumaaplia~ao\natural"paraaresolu~ao

de problemas. Desreveromo osindivduos resolvem

problemas e expliar omo eles prouram por uma

solu~aonumespaoquepodeonterumainnidadede

possveis solu~oes ( omo proposto originalmente por

NewelleSimon,1972). Esteespaousaano~aode

re-presenta~aode umestado dea~oes, portanto ade um

modelomental.

Reentemente (Garnham, 1997, p.168), a

abor-dagem de modelos mentais para resolu~ao de

proble-mastemenfatizadoousodoonheimentopreviomais

doqueabusaatravesdeumespaodepossibilidades.

Mais umavez, ano~aodemodelomentalepertinente,

uma vez que a tarefa requer a transforma~ao da

re-presenta~ao do mundo em fun~ao da inorpora~ao de

informa~oeseexperi^eniasaosmodelosmentaisja

exis-tentes.

Continuaremos este trabalho desrevendo a

metodologia empregada, seguida da apresenta~ao e

analise dos resultados obtidos, onfrontando-os oma

TeoriadosModelosMentais.

III Metodologia

Prosseguindo om a pesquisa envolvendo os alunos

da disiplina de Me^ania Geral, do urrulo basio

dosursos deEngenhariaeFsia daPUCRS,

desre-veremos, nesta oportunidade, o trabalhodesenvolvido

omasturmasdeumdosautores,noperodoentre 1 o

semestrede1998e1 o

semestrede2000. Oonteudoque

seraobjeto de analiseeodo Movimento de um ponto

material,desenvolvidonoperododeumm^es,omseis

horas de aulas semanais, divididas em dois enontros

de tr^es horas. Destes, ino foram de apresenta~ao e

disuss~aodoonteudo,interaladospordoisexlusivos

de resolu~ao de problemas, ulminando om um para

revis~ao geraldo tema e outro para aavalia~ao

indivi-dualou\prova"nalsobreoonteudotrabalhado. No

total,foramutilizados9enontros.

Nossa metodologiade trabalho foi a analise

quali-tativa das manifesta~oes verbais eesritas dos alunos

durante as tarefas de resolu~ao de problemas. Nas

aulasexlusivasparaestaatividade,osalunos,emada

semestre, reebiam uma lista de problemas.

Traba-lhando em pequenos grupos, de dois a quatro alunos

(vertabela 1), podiam soliitara interven~ao do

pro-fessorparadisutir ainterpreta~aoe/ou aabordagem

deumdeterminadoproblema-aindaquealgunsalunos,

maisreservados,preferissemtrabalhareonsultar

indi-vidualmenteoprofessor.

Naauladerevis~ao,osalunostinhamaoportunidade

de manifestar individualmente suas duvidas quanto a

aspetos do onteudo, referendados ou n~ao por seus

pares,veiuladooun~aonosproblemaspropostos,alem

de soliitarem ajuda espeiamente na resolu~ao de

algunsproblemas. Oprofessoraproveitavaomomento

para fazer uma abordagem \holstia" do tema

estu-dado,organizandoejustiandoseudesenvolvimentoe

osproedimentosrequeridosnaresolu~aodeproblemas.

Aonaldasaulasderesolu~aodeproblemasedade

re-vis~ao,perguntas eomentariosdosalunoseram

anota-dos. Osdesempenhosnasavalia~oesindividuaisesritas

aresentaramdadossobrea\din^amia"doproesso.

Tabela1. Dadosobrenumerodealunosegruposaproximadosnoperododapesquisa.

Semestre I/1998 II/1998 I/1999 II/1999 I/2000

N o

.

aproximado

gruposnasaulas 12 7 9 10 9

deR.P.

N o

.

dealunosna

veria~aode 47 23 35 40 35

aprendizagem

A maioria dos problemas propostos eram

oriun-dos da bibliograa indiada na primeira aula de ada

semestre. Entreeles,BeereJohnston(1991),Hibbeler

(1985,1999),MeriameKraige(1999)eFonsea(1964).

Osproblemaseramesolhidossoboriteriode

abran-gerem uma gamaonsideravelde situa~oes em que as

duasprinipaislassesdeonheimentofossem

requeri-das: o delarativo ou gurativo e o proedimental ou

operativo (Sternberg, 2000,p.151).

O onheimento delarativo onsiste em onheer

\fatos". Por exemplo, que ~v= d~r

dt

e a express~ao que

nospermitealularaveloidadeinstant^aneaequeela

(4)

envolveonheerafontedoonheimentodelarativo{

omo sesabe que v = d~r

dt

ea express~ao daveloidade

instant^anea? {ea apaidadedeusar, apliar,

trans-formaroureonheerarelev^aniadoonheimento

de-larativo em situa~oes novas e n~ao familiares (Arons,

1990).

No nosso entendimento, as atividades propostas

ontribuamparaodesenvolvimentodesta apaidade,

onjugandooraioniodedutivoeindutivooma

in-terpreta~aodaobserva~aoeexperi^eniaspessoais.

Con-ordamosomZylbersztajn(1998)noquedizrespeito

aatividadede resolverproblemas: \Estamostratando

om umproesso onomitante einterdependente: ao

mesmotempoqueateoriaeneessariaparaaresolu~ao

deproblemas,ela tambemserenaeseaprofundapor

meio da resolu~ao de problemas, e o mesmo pode-se

dizerdosproedimentos".

As modia~oes oorridas na listagem dos

pro-blemas apresentados, no perodo da pesquisa, foram

mnimas. Apenas dois deles foram substitudos om

o proposito de expandir a apresenta~ao de situa~oes

ineditasoudifereniadasemformatodasjatrabalhadas

emexemplos.

A primeira aula de problemas propunha

situa~oes envolvendo movimento em uma dimens~ao,

apresentando-asatravesdefun~oesmatematias

repre-sentando aposi~ao, ouveloidade, ouaelera~ao(q.v.

Anexo). O objetivo desta atividade e o domnio das

rela~oes entre as grandezas inematias fundamentais

e destas om outras seundarias, assim omo os

pro-edimentos para desenvolv^e-lasem onformidade om

as ondi~oes espeas (ondi~oes de ontorno) em

ada problema. As situa~oes apresentadas requerem

que os alunosonjuguem odomnio dos oneitos em

inematia, presumivelmente ja trabalhados em

disi-plinas anteriores, om o alulo diferenial e integral

e algebra vetorial, tambem onsiderados omo pr

e-requisito.

A segunda aula de problemas abordou o

movi-mento plano e tridimensional de um ponto. O

obje-tivo permaneia o mesmo, ou seja o de dominar as

rela~oes entre as grandezas inematias e os

proedi-mentos para desenvolv^e-las, em onson^ania om as

ondi~oes espeas em ada problema.

Esperava-se, outrossim,que os proessosdesenvolvidosem uma

dimens~ao fossem generalizados para duas e tr^es

di-mens~oes, utilizando-se diferentes oordenadas

(arte-sianas, polares, intrnseas). Entretanto, o suesso

destaatividadeestaondiionadotambemaonep~ao

doquesejaumvetor,doaratervetorialdasgrandezas

inematias fundamentais, assoiado a proedimentos

espeosparaaborda-la. A analise deste tema,pela

suaextens~ao,seraobjeto deumproximotrabalho.

Apesar de trabalharmos ao longo do perodo da

pesquisa omos resultadospariais de ada semestre,

e ada vez insistir na disuss~ao de temas pol^emios

nos semestres anteriores, veriamos uma grande

re-sist^enia amudarestequadroommuitosalunos, que

manifestavamosmesmos embaraosjadetetados

an-teriormente.

Oqueosindivduospensam, osonheimentos que

eles trazem para uma tarefa ognitiva prov^e as

es-truturas de esquemas interpretativos que permitem

raioinarelevaradiantearesolu~aodeproblemas.

Es-tasrenas,esquemasindividuaisderaionio,n~aos~ao

onstru~oespuramenteindividuais,s~aoompartilhadas

poruma \ulturasoial." (Resnik, 1994, p. 477). A

formaomoosgruposdealunosdesenvolveramas

ativi-dades ao longo dos semestres reete uma abordagem

relativamenteonstante naquest~aoderesolver

proble-mas: umtrabalhoquase me^anio.

Estaonstata~aoserviupararatiarnossahipotese

de trabalho de que a interpreta~ao deste tipo de

pro-blemas n~ao e tarefa fail para os alunos; a falta de

uma modelagem mental adequada gera obstaulos de

nveisdiversos,todosonorrendopara ainviabilidade

dasolu~aodosproblemas. Nestetrabalho

apresentare-mos algumasregularidades, manifestadaspelos alunos

aoresolveremproblemasdeumalistaeumaquest~aoda

provaesritadeavalia~ao,quereforamnossopontode

vista.

IV Apresenta~ao/analise dos

re-sultados

Problema1 {Lista 1

O movimento de um ponto material e

desritopelafun~aox=t 4

3t 3

+t,onde

x e dado em metros e t em segundos.

Determinar a posi~ao, a veloidade e a

aelera~ao quando t=2s:

Apesar de ser onsiderado por nos o problema

mais simples, pratiamente um \exerio", que

en-sejaria o uso das rela~oes entre posi~ao, veloidade e

aelera~ao,surpreendemo-nosomalgumas rea~oesde

alunos(repetidasemtodos(!) ossemestres).

Umnumeroexpressivodealunos(tabela 2)tentou

\integrar"afun~aohorariadaposi~aoparadesrevera

veloidade{ nadisuss~aoom eles,esteproedimento

evideniou que n~ao haviam identiado a informa~ao

doproblema: afun~aohorariadaposi~ao. Asrela~oes

v= dx

dt ea=

dv

dt

foram\lembradas",esritasinlusive,

mas os alunos n~ao souberam omo utiliza-las; paree

que o signiado delas n~ao foi apreendido. Por outro

lado, este foi oprimeiro problema que teriam que

re-solver sozinhos, e esta aula suedeu outra na qual se

(5)

de-obter-se a veloidadeinstant^anea, neessitava-se

inte-grarafun~aodaaelera~ao.Consideramosqueestefato

orroboravanossasuposi~aoaima grifada,ouseja,no

nossoentendimento,osalunosn~aorepresentaram

inter-namente,emtermosdeummodelomentaldasitua~ao,

as informa~oes ontidas no enuniado e reagiram de

forma me^ania, seguindo os ultimos proedimentos

utilizados nos exemplos. Portanto, o primeiro

requi-sito pararepresentarinternamenteoenuniadofalhou.

Afaltadoreonheimentoedodomniodoformalismo

matemationeessariopararealizaratarefa{

registra-do por esrito, sem demonstrar que tenha sido

om-preendido - inviabilizaram o proesso. Uma pergunta

feitaporumaluno, mesmodepoisde havermos

disu-tidoomoseugrupo,queapresentaradiuldadesom

este problema, retrata bem o que estamos querendo

dizer: \Paraalularaposi~aoquandot=2s;ent~aoe

sosubstituirnafun~aodex?"

Tabela2. Dadosobrenumerodealunosegruposaproximadosnoperododapesquisa.

Semestre I/1998 II/1998 I/1999 II/1999 I/2000

N o

.

aproximadodealunos

presentesnaaulasdeR.P. 41 22 32 35 31

N o

.

dealunosque

expressaram 5 3 4 4 4

diuldadesnoproblema1 (12%) (23%) (12,5%) (11,5%) (13%)

Problema2{ Lista1

Arela~ao x=t 3

12r 3

+45t+18(S.I.) representa a posi~ao de um ponto material em

fun~ao do tempo. Determinar a: o instante para o qual a veloidade se anula; b) a

posi~ao,a aelera~ao e a dist^aniaperorrida ao mde 5s.

A experi^enia do problema anterior e a disuss~ao

que provoou pareem ter surtido efeito pois, neste

aso,n~aoseveriaramasdiuldadesmanifestadasno

primeiro problema. \Quando os indivduos movem-se

de umasitua~aoparaoutra, arregamhistorias de

ex-peri^eniaspreviasomeles. S~aohistoriasdeformasde

agir... situa~oes similares experimentadas transferem

onheimento,nemsempreoorreto...." (ibid.,p.490).

Poroutrolado,osigniadodarela~aoapresentadano

enuniadoeraexplito. Mesmosem podermosavaliar

individualmenteasausas,aquiosalunosusaram

or-retamente asrela~oesentreaposi~ao,aveloidadeea

aelera~ao instant^aneas, bem omo souberamalular

oinstante em que a veloidade seanulava. Em

om-pensa~ao, TODOS os que tiveramduvidas(tabela 3),

revelaram-nasemalgumdestesaspetos:

Como alularadist^aniaperorrida?

Porqueanalisarosdesloamentospariais?

Porquesomar osmodulosdasintegrais?

Tabela3. Perentagemdealunosquemanifestaramdiuldades noproblema2,porsemestre.

Semestre I/1998 II/1998 I/1999 II/1999 I/2000

22% 23% 25% 20% 16%

(9alunos) (9alunos) (9alunos) (9 alunos) (9alunos)

Estas quest~oes pareem evideniar a n~

ao-mo-delagem mental do oneito de dist^ania e,

on-sequentemente, das possveis estrategias para obt^

e-la, omo alular a integral da fun~ao veloidade em

rela~aoaotempo,levandoemonsidera~aoamudana

nosentidodaveloidade.Seosigniadodaintegra~ao

fosseentendido,failitariaaompreens~aodaestrategia

utilizadanoalulodadist^ania,reforando,inlusive,

ooneitodesta. Noasodeummovimento

unidimen-sional, o aluno poderia determinar esta dist^ania

al-ulando a posi~ao maxima atingida, o que permitiria

obteroomprimentoperorridonointervalodetempo

onsiderado. Ofraassonestatarefajafoi identiado

por Gil Perez et al. (1988), justamente reditando-o

afaltade uma analise mais profundada quest~ao

pro-posta.

(6)

outroproblema,impondoumanovaabordagem:

Problema3 {Lista 1

Umapartulasemoveaolongodeumalinhahorizontaltalque suaveloidadeedada

porv=(3t 2

6t)m/s,ondet eotempoemsegundos. Se a partula esta iniialmente

loalizadanaorigem0,determine: a)adist^aniaperorridadesdet=0atet=3;5s;b)

aveloidademediaeesalar(modular)mediaduranteomesmointervalodetempo;)

a aelera~aoinstant^aneaemt=3;5s:Interpretetodososresultadosomsuasproprias

palavras.

Neste problema, o aluno deveria tomar deis~oes

semqueestivessempresentesnoenuniadoorienta~oes

explitas: preisavainvestigarsehaviainvers~aodo

sen-tidodomovimentonointervalodetempoesolhidopara

determinar a dist^ania perorrida; so ent~ao ele teria

ondi~oes de resolv^e-lo. Com este proedimento ele

evideniariaaompreens~aodomodelofsio-oneitual

apropriado. Foimaisfailreonheeremestaestrategia

doquealularosvaloresdasveloidadesmedias,ujas

deni~oesestavamesqueidas(vertabela4). Ainlus~ao

de quest~oes interpretativas dos resultados numerios

teve um resultado inesperado: rarssimos foram os

alunos que pediram ajudapara disutir este item em

todosossemestresavaliados! Umaobserva~aoquedeve

serfeitaequeestetipodeitemn~aotinhaasuaresposta

nonaldosproblemasdalista,omoosoutrosom

re-spostasnumerias. Desonheemossealgumaluno,

in-dividualmente,tenhaompletadoasolu~aodo

proble-marespondendoestaquest~aoforadasaulas.

Aparente-mente elesonsideravam-na\feita",poisquando

difer-entes grupos eram indagados se tinham duvidas,

res-pondiam negativamente. No primeiro semestre desta

pesquisa,n~aodemosmuitaimport^aniaparaeste

om-portamento,masfomossurpreendidospelomesmo

pro-edimento dosalunosnossemestresseguintes. Mesmo

estetema,odainterpreta~ao,tendosidoobjetode

dis-uss~aonasaulasteorias,estarea~aopersistiuaolongo

doperododestetrabalho.

Tabela4. Numerodealunos(ougrupos)quemanifestaramdiuldadesemadasemestre.

A interpreta~ao, \om as proprias palavras do

aluno",susita uma disuss~aopartiular, poisenvolve

a rela~ao entre a linguagemfalada habitualmente e a

aeitaientiamente. Porumlado,oalunon~aogosta

deseexpressar,poroutro, odesenvolvimentoeusoda

linguagemdesempenhamumpapelfundamentalno

en-sinoeaprendizagem. Noqueserefereai^enia,umdos

aspetos que nos hamamais a aten~ao e a deni~ao

operaionaldeoneitosbasios.

As palavras adquirem signiado atraves da

ex-peri^enia ompartilhada. Segundo Arons (1990),

\[palavras℄(...) s~aometaforas,extradasdodisursodo

dia-a-dia,paraoqualdamosumsigniado

profunda-mente alterado(...).". Os alunos n~ao perebem isso a

n~ao serquelhesapontemos expliitamente. Porissoe

t~ao importante que os enorajemos a interpretar

ver-balmente os resultados numerios e graos que eles

(7)

Algunsexemplosdesitua~oesevideniadasdurante

operododapesquisapodemajudarareforarestatese.

E o asododesempenhode muitosalunos naquest~ao

seguinte,propostanaveria~aodeavalia~aoemI/1998

erepetidaompequenasvaria~oesemII/1999eI/2000:

Quest~aode prova {1 o

semestrede 1998e de 2000e 2 o

de 1999

Omovimentodeumpontomaterialedenidopelarela~aox=2r 3

40t 2

+200t 50;emunidade

do S.I.. a) Exatamente, qual e a informa~ao que esta equa~ao nos fornee?; b) Determine o(s)

instante(s) emque aveloidadedo ponto seanula. (siamente falando,o queestaaonteendo

aomovimentodopontoneste(s) momento(s)? Faaumomentarioquejustiqueasuaresposta;

) Determineaposi~ao,aaelera~aoeadist^ania perorridapeloponto aomde 5s. Interprete

adaumdestesresultadosobtidos,ougraamente,ouatravesdepalavras.

osoneitos de posi~ao,desloamento, trajetoria

e dist^ania perorrida s~ao freq uentemente onfundidos

pelos alunos. Foioqueaonteeunasrespostasparao

itema). Porexemplo:

\Estaequa~aonosforneeatrajetoria 1

emumerto

tempo, n~ao e a dist^ania perorrida" (ALUNO 4 {

1998)

\Ela nos determina o aminho de x em fun~ao do

tempo, ouseja, para ada tempoteremosuma posi~ao

diferente emnosso grao" (ALUNO13-1998)

\Informa que a dist^ania que um ponto material

perorreeumafun~aodotempo,ouseja,aadatempo

existe uma dist^ania diferente." (ALUNO33-1998)

Nossainterpreta~aoasrespostasdestes alunosn~ao

deixa de onstituir-se em modelos mentais do que

nospresumimos que eles tenham entendido. Segundo

Johnson-Laird (1990), a linguagem nos apaita para

terexperi^eniadomundoeparaomuniarertas

on-ep~oesabstratasdele. Ummodelomentalrepresentao

estadode oisasonretasaqueserefereuma ora~ao;

lembrando-se que a omunia~ao humana depende de

inten~oes, o signiado de um omentario pode estar

foradoalanedoouvinte.Dequalquerforma,a

termi-nologia aeita ientiamente n~ao oinide om a

uti-lizada pelos alunos. Esta observa~ao vale igualmente

paraosproximosdesempenhos.

arepresenta~ao graaequivoadados

movimen-tos,objeto deestudo daliteratura(p. ex. MDermott

et al., 1986), foi retratadanos graosposi~ao versus

tempo, onebidosomo arepresenta~aoda trajetoria

doponto.

\[aequa~aodada℄...nosinformaaformadomovimen

to, quenesteasoeumaparaboladetereirograu...."

(ALUNO 35-1999)

\Noinstantet=5s,aposi~ao do pontoe200mem

rela~ao aoseu pontode partida. Por exemplo:

(ALUNO 28-1998)

Apesardeamaioriadosalunosidentiar

orreta-menteafun~aox(t),ano~aodeinstante(iniial,nal,

qualquer)e onfundida omade intervalode tempo:

\Aequa~aonosdaaposi~aoqueummovelestaem

umertointervalodetempo ." (MLW-2000)

\Esta equa~ao quer dizer a posi~ao que o objeto

seenontraem adaintervalodetempo . (ALUNO

21-1999)

A interpreta~ao dos smbolos usados para

de-signar as grandezas tambem mostra-se ambgua: na

fun~ao horaria da posi~ao, ha uma tend^enia

\natu-ral"deinterpretarxomodist^aniaetomotempode

dura~ao. Nadetermina~aodaposi~aodopontoapos5s

(item):

\ x ( t = 5s) = 2. 5 3

40:5 2

+ 200.5 { 50 =

200m

Opontose enontrana dist^ania de200 mno

ins-tantede 5s." (ALUNO 1-1998)

Este resultado india que foi perorrido 200 m em

5s. (aluno20-1998)

Os oneitos de veloidade media e instant^anea

s~ao onfundidos; o mesmo aontee om a aelera~ao.

Quandointerpretam a veloidade instant^anea,

fazem-no assim: \...o ponto anda tantos metros por

se-gundo....". Trowbridge e MDermott (1980) ja

assi-nalavam a diuldade de interpretar a veloidade (e,

nesteaso,tambemaaelera~ao)instant^anea\...omo

um numero, referindo-se a um unio instante e uma

(8)

barreira oneitual para muitos alunos" (p.1024). Os

alunostendemautilizarmuitoaexpress~ao\veloidade

por tempo \ para araterizar a aelera~ao ou,

\mu-dana de veloidadesobre tempo". Nesta ultima,

so-bre e usadono sentidode durante muito mais doque

deraz~ao,sem aperep~ao explitadaonex~aooma

unidadedointervalodetempo. Algunsexemplossobre

a interpreta~ao da aelera~ao em t = 5s, dos pouos

alunosquetentaramfaz^e-la:

\O pontoestasendoaelerado6m/s/s" 2

.

Graa-mente,istosignia(ALUNO 3-1999):

\Sua aelera~ao e de 6 m/s nestesegundo".

(ALUNO7-1999)

\Signia que no instante esolhido, a

veloidadedopontoaumenta6m/saadasegundo".

(ALUNO16-1999)

Nos tr^es semestres, a maioria dos alunos

simples-mentealulouaaelera~ao(tabela5). Osquea

inter-pretaramozeramomoseaaelera~aopermaneesse

onstantenomovimento,oun~aoonseguiramse

expres-saradequadamente,omomostramosexemplosaima.

EstesresultadosorroboramotrabalhodeTrowbridge

e MDermott (ibid.), no qual um aluno se manifesta

sobre este tema daseguinte forma: \... para a

veloi-dadeseralulada deve haverumintervalode tempo.

Para um instante os objetos n~ao t^em veloidade, so

umaloaliza~ao".EmTrowbridgeeMDermott(1981)

eRosenquist eMDermott(1987)estetema erevisto,

mas,noquedizrespeitoaaelera~aoinstant^anea,soe

enfoadoomovimentoomaelera~aoonstante.

Condi~oesparainvers~aonosentidodomovimento

s~aoonfundidas: termosomoparaouatingeorepouso

momentaneamente, s~aoexpress~oesquedevemser

evi-tadas nesteaso, poisosalunosinterpretam-nasomo

\permanee assim porum intervalode tempoeassim

aaelera~aosopodeserzero".

Aondi~aoonomitante develoidadenula e

ae-lera~ao n~ao-nula n~aoe sequer assinalada pelos alunos

omorelevantenainvers~aodosentidodomovimento.

\Paratemposem 3,3s e 10s aveloidade seanula,

ou seja, o ponto para o seu movimento naqueles

ins-tantes." (ALUNO 35-1998)

\Istosigniaqueoobjeto nosinstantes 3,3se10s

esta parado, sem movimento em qualquer dire~ao."

(ARF-2000)

O registro das ambiguidades enontradas nas

quest~oesinterpretativasdoproblemapodeser

onside-radoumindiativodadiuldadedeosalunos

expres-saremsuasonep~oesexpliitamente. Poroutrolado,

estas quest~oes onstituem-se em um meio de

avaliar-mosasrepresenta~oesmentaisdosalunos. Naprimeira

vers~aodeste problema(1 o

semestrede1998), erade

14alunos,numtotalde47, interpretaramafun~ao no

enuniadoomo representando adist^ania perorrida,

enquanto 13 analisaram o instante em que a

veloi-dadeseanulavaomoseomovimentoseinterrompesse

a partir da, sem relaionar om a aelera~ao. Esta

onstata~aoajudou-nosadisutir ofato nossemestres

seguintes, tanto nas apresenta~oes em aula omo nas

aulas espeas de problemas. Mesmo assim, estas

onep~oesontinuaramaonteendo.Atabela5

ares-enta outros dados sobre o desempenho dos alunos

nestaquest~ao,nostr^essemestresenvolvidos.

Tabela 5. Desempenhoinsatisfatorionasquest~oesinterpretativasemadasemestre.

(9)

\N~ao interpretaram" signia que as respostas

numerias n~ao foram traduzidas em palavras ou em

outro tipo de representa~ao, omo diagramas. Por

exemplo, uma resposta tpia desta lassia~ao para

ainterpreta~aodovalornumeriodadist^ania

peror-rida:

\29 m e a dist^ania perorrida ao m de 3s".

(Aluno 1{1999)

Como se v^e, o aluno simplesmente repetiu a

in-forma~ao que se pedia, n~ao expliou o que

signi-ava aquele resultado numerio para o movimento.

Um exemplo de express~ao inorreta para a mesma

\dist^aniaperorrida"earespostadeoutroaluno:

\... 29m foi o que o ponto se desloou em 3s."

(Aluno 45{1998)

Aquiodesloamentoetratadoomodist^ania

per-orrida. Novamentepodemospensarquetalvezoaluno

tenha se expressadomal, utilizadodesloamento para

representar oomprimentodo quefoiperorrido. Mas

a diferena edestaada em aulas de Fsia, eele esta

sendoavaliadosobestepontodevista.

Muitas investiga~oes enontradas na literatura

re-etem ohiato entre os \oneitosintuitivos"e os

mo-delosoneituaisapresentadospeloslivroseemsalade

aula(e.g.,TrowbridgeeMDermott,apudArons,1990,

p. 38). Devemosestarientesdeque,pormaisluidez

que empreguemos em nossas apresenta~oes, por mais

quetenhamospropostoatividadesvariadasderesolu~ao

de problemas,isson~aorevelaraoverdadeiroestadode

ompreens~aoe raionio dos nossos alunos. Tambem

aompreens~aodosalunosdoquesigniainterpretar,

expliar oujustiar algumfatoediferente daque

es-peraramos; uma araterstiaevideniada pelas suas

respostaseasuperialidade,oquepodeestar

eviden-iando ouumafragilidadede seusmodelosmentais ou

um despreparo de lidar om este tipo de exig^enia

-quealiaspoderiaseronrmadopela rea~aonasaulas

em queainterpreta~aoesrita(problema3)ougraa

(problema6) foirequeridaeeles n~aosemanifestaram.

No nveldeste urso, voltadopara aaplia~ao de

mo-delos fsios e matematios, poderamosesperar quea

quest~ao oneitual estivesse resolvida, levando-se em

ontaaexperi^eniaemdisiplinasanterioresdeFsia.

Emprinpio, oformalismomatematioapliadoesua

interpreta~aoequepoderiamgerarmaioresobstaulos

aonstru~aodeummodelomentalquerepresentassee

permitissebusarumasolu~aoparaosproblemas

pro-postos -ainda queos oneitose aplia~oes deste

for-malismo ja tenham sido exploradosem disiplinas

es-peasdeMatematia.

Os demais problemas propostos na lista 1 (q.v.

Anexo) apresentaramrea~oesondeoaspetomais

dis-sonantedaresolu~aoorretafoian~ao observ^ania das

ondi~oes de ontorno do problema (ou limites de

in-tegra~ao das integrais).

A medida que o numero de

integrais aumenta, paree que ha uma tend^enia de

deamaioriadosproblemasenvolverinforma~oessobre

asondi~oes inematiasiniiais (t =0) provoa uma

faltade aten~ao do leitor, um relaxamento nosdados

determinantes, fazendo que o problema proposto seja

malidentiado e, destaforma, tenhaa suaresolu~ao

inviabilizada.

Na nossa opini~ao, este e o aso tpio de erro

de-vidoasobreargadamemoriade trabalho: muitas

in-forma~oes relevantes que devem ser onsideradas, ao

ladodeestrategiasn~ao menosimportantes quedevem

serexeutadas.

Namesma linha deraionio, situa~oes mais

on-retaspareemfavoreeramodelagem mental. No

pro-blema 5, os alunos, em geral, demonstraram saber

omo as informa~oes os levariam ao objetivo

alme-jado. Asdiuldades aonteeramnodesenvolvimento

da estrategia, prinipalmente no alulo da integral{

omoum dosmovimentosera uniformemente variado,

era fail a obten~ao da fun~ao horaria da posi~ao, o

que n~ao aonteia para o outro, uja opera~ao,

ape-sar de onheida, n~ao foi reonheida por muitos; o

usoindevidodoslimitesdeintegra~aotambemfoi

ma-nifestado. Perebe-se que muitos alunos ainda

insis-tememignoraraimport^aniadasondi~oesespeas

do problema; neste ponto a modelagem mental n~ao e

ompleta. Estaaparenterelut^ania emn~aoonsider

a-las relevantes pode ser atribuda igualmente a uma

\eonomiaognitiva",araterstiadosmodelos

men-taisonstrudospelosindivduosaoreonheeremuma

tarefa, queprovoa ofraasso quandomuitos

elemen-tosdeabstra~aos~aorequeridos. Issopoderiajustiar

arelativadiuldadeomainterpreta~aodoproblema

6,ondeaprinipalinforma~aoestavanonaldo

enun-iado, oque fezque algunsalunos quase n~ao a

reon-heessem,devidoaquantidadedeinforma~oesontida

nele. Novamentearepresenta~aograa,queensejaria

umadisuss~aosobre oomportamentodo movimento,

foi menosprezadapelos alunos. A n~ao-observ^ania de

ummesmo sistema de unidades para asgrandezas foi

motivodeerro. Esteproblemafoi inludo apartirdo

2 o

semestrede1999.

Noproblema7, oslimites deintegra~ao noalulo

dadist^aniaperorridaforamutilizadosindevidamente

pois, ao inves de levarem em onta o intervalo de

tempoateomomentoemqueaaelera~aoseanulava,

onsideraram-noate o momento em que a veloidade

seanulava. Arepresenta~aoinorretadealgunsalunos

poderiaseratribudaaalgumaambiguidadedo

enuni-ado,masnossahipoteseequeaondi~aodeveloidade

nulatenhasidoonfundidaomadeaelera~aonula{

doismomentosdistintosdomovimento.

No problema8, nem todos se deram onta de que

bastava enontrar a rela~ao entre a veloidade e a

posi~ao para responder as duas perguntas. Ahavam

que para alular a posi~ao deveriam \integrar"

(10)

umaleitura desompromissadaomainterpreta~aodo

quel^eem.

A ondi~ao apresentada no problema 9 e

inusi-tada: a veloidade e representada omo uma fun~ao

do desloamento. Os alunos deveriam ultrapassar o

onheimento requerido ate ent~ao, ser riativos,

res-gatando uma ondi~ao que tinha sido explorada em

aulasteoriasemumontextodiferente,ouseja,\a

re-gradaadeia":preisariamavanarnousodaderivada

de uma fun~ao uja variavel de integra~ao n~ao era

explita. Umavezultrapassadaesta\barreira",o

pro-edimento seguinte n~aoapresentouduvidas. Mas,sem

estedisernimentoiniialdasitua~aoapresentada,om

seusoneitoseproedimentosinerentes,aresolu~ao

es-tariainviabilizada(eimportantelembrarqueresolu~ao

e entendida omo o proesso que se iniia pela

lari-a~aodoenuniado,suarela~aoomumonheimento

previoquepossibiliteseudesenvolvimento). Comoessa

quest~aon~ao hegavaaserrealizadaem aula,poruma

quest~ao detempo, era aultima dalista, muitos eram

osalunos que pediam ajudapara resolv^e-la,

individu-almente,ounomaximoemduplas,pelamesmaraz~ao:

n~ao onseguiamatinar omo\gatilho" paraa sua

re-solu~ao.

A tabela 6 apresenta um resumo das diuldades

que os alunos manifestaram na aula de resolu~ao de

problemasparaosproblemas4a9eaperentagemde

onsultasaoprofessoremadasemestre.

Tabela6. Diuldadesmanifestadasporalunos(grupos)nosproblemas4a9daLista1.

Essas diuldades, manifestadas periodiamente,

nos initam areetir sobre os proessosmentais

indi-viduaiseem grupo. Emmedia,os gruposhegavama

fazeremaulaateosproblemas5ou6. Estestiverama

oportunidade de serem \negoiados" em ada grupo,

ou seja, alguem propunha uma solu~ao e os outros

seguiam-na ou n~ao, tinham a hane de ontestarou

onordar. Cada duvida manifestada em um grupo

poderia ser interpretada, aproximadamente, omo de

todos os alunos do grupo? Nas tabelas,

apresenta-mos a propor~ao do numero de vezes em que as

per-guntas foramfeitasao professor, sem omputar

quan-tos alunosompunham ogrupo deonde ela provinha.

Por outro lado, o leitor poderia pensar que talvez os

alunos desdenhassem a tarefa proposta pelo

profes-sor, mas issoom erteza n~ao aonteeu. Os grupos,

mesmo os alunosisolados que preferiam trabalhar

as-sim,empenharam-seefetivamente efaziapartedo

pro-essobusaremoprofessorpararesolverasduvidasque

n~ao dirimiamentre si. Quanto aosproblemasquen~ao

onluam em aula, tinham a liberdade de onsultar

o professor nas aulas seguintes. Nestes asos a

on-sultaeramais partiular(istojafoiomentadopara a

quest~ao9), nosnais dasaulas,atraindomuitasvezes

outros olegasque tinham tambem enfrentado

(11)

tabela anterior.

V Conlus~oes

Neste trabalho prouramos identiar e analisar

al-gumas diuldades relativas a interpreta~ao de

enun-iados de problemas de Fsia, espeiamente sobre

Cinematia de um ponto material, do ponto de vista

da Teoria dos Modelos Mentais. Essas diuldades

onstituem-se naprimeirabarreiraparaobom

desem-penhona tarefade resolv^e-los e,neste asoespeo,

tem sido registrada numa suess~ao de 5 semestres

letivos, para grupos diferentes de uma mesma

disi-plina.

A tend^enia dos alunos em resolver problemas,

omo os apresentados neste trabalho, e o de resolver

um \quebra-abea", um jogo om suas

\ferramen-tas"disponveis(nemsempreomsigniadoparaeles)

para serem utilizadas numa situa~ao espea. No

momento em que este \jogo" exige que eles preisem

tomar deis~oes mais profundas, raioinar, desrever

aminhos ou interpretar dados e resultados, as suas

representa~oes internas s~ao requeridas e sua

exterio-riza~ao nos permite fazer algumas infer^enias sobre a

ompreens~aoqueestasendoatribudaaoproblemaque

desenvolvem.

Emvariosmomentosdestetrabalho,foram

identi-adasomoumadasbarreirasparaarepresenta~aode

um problemaas\onep~oesalternativas", objetos de

estudo emensinodei^enias,espeialmenteentre1970

e 1980. Segundo Moreira (1996), os modelosmentais

nos permitem entender por que estas onep~oes s~ao

t~aoresistentesamudanas: estesmodeloss~aopessoais

e funionais para o indivduo que os onstruiu, ent~ao

modia-los {nosentido deuma modia~aototal de

uma onep~ao para outra { n~ao sera tarefa trivial.

Vosniadou (1994) prop~oe uma oneitua~ao mais

am-plapara estamudanaoneitual,omoum

enriquei-mentodemodelospreviose,somenteemasoextremo,

uma revis~aoompletadestesmodelos.

De partiular signia~ao para este tema e a

maneiraomo osindivduos organizam,representame

nalmenteutilizamseusonheimentos. N~aohaduvida

dequemuitasdei^eniasemsolu~aodeproblemas

po-dem ser atribudas a fragilidade de alguns oneitos

neessarios a tarefa. No aso espeo em que os

alunosoptamporumaminho equivoado,paree-nos

quehouvefaltade\ontrole",ouseja,osalunos

\onhe-iam" os reursos, mas afragilidade da interpreta~ao

ereonheimentodasinforma~oesdisponveislev

aram-nos a aloa-los indevidamente. Este \ontrole"

in-lui deis~oesexeutivas sobre planejamento, avalia~ao,

monitoramentoeordena~ao. Esteultimo aspeto,junto

om o onheimento sobre ogni~ao e as \renas"

do indivduo, onstituem o que usualmente se hama

derenas"omoavis~aodomundomatematiodo

in-divduo. No nosso aso, inluiramostambem a vis~ao

domundo fsio. .

Asrenasonstituemoonheimentosubjetivodo

indivduo(istoe,n~aoneessariamenteorretodoponto

devistaiento)arespeitodoonteudoedastarefas

partiularesrelaionadas. Pareequeasrenas

mode-lamatitudes e emo~oese dirigem asdeis~oes tomadas

durante a atividade matematia na resolu~ao de

pro-blemas.

Uma vez superadosestes errosenvolvendofaltade

aten~ao na leitura, identia~ao da situa~ao proposta

no enuniado, aspetos relevantes e informa~oes que

permitem reorrer a modelos que possam soluionar

o problema, e neessaria uma analise para onstruir

o onheimento sobre ada estrategia utilizada. Se

visamos a aprendizagem signiativa, um aminho e

o ensino da onstru~ao para estas representa~oes { a

modelagem.

SegundoMoreira(1996,p.201),osmodelosmentais

daspessoaspodem serdeientes em varios aspetos,

talvez omelementos desneessarios, err^oneos ou

on-traditorios. Noensino,osprofessoresutilizammodelos

oneituais e esperam que o aluno onstrua modelos

mentais onsistentes om eles, que, por sua vez,

de-vemseronsistentesomosmodelosfsiosmodelados.

Estemodelosoneituaiss~aoosonstrudos,projetados

pelos professores,enontradosnoslivros,parafailitar

aompreens~aode um modelo fsio, omo os que s~ao

tratadosnosproblemas.

Nossa proposta e enorajar os alunos a

interpre-tarmentalmenteeexpressarverbalmenteastarefasque

lhess~aopropostas,assimomoosresultadosnumerios

e graos que obt^em delas. Um aspeto lingustio

ruial para se entender oraionioientoe a

ex-plia~ao, emoposi~aoao usode termostenios

isola-dos. Dizerqueainvers~aodosentidodeummovimento

oorre sempre que a veloidade seanula n~ao signia

que estejamos onsientes do que se passa no

movi-mento: preisamos entender em que ondi~oes isso e

possvel. Esta irunst^ania envolve a quest~ao da

in-fer^enia e explia~ao ientas. Outro aspeto n~ao

menosimportanteealinguagemmatematia.

Segundo o fsio, historiador e losofo da i^enia,

PierreDuhem (1949, apud Carey e Spelke, 1994), os

ientistasn~aoonstroemdiretamentedosenso omum

aompreens~aodosfen^omenosfsios,mastransladama

linguagemdaexperi^eniaordinariaparaumadesri~ao

matematiadomundo;ent~aoelesprouram

~oeseregularidadesnestadesri~aomatematia. Estas

generaliza~oes, traduzidas paraa linguagemdos

obje-tos dodia adia, onstituir~ao as leis fsias. O queos

ientistas fazemeriar mapeamentos entre a Fsia e

aMatematia. Nersessian(1992)exempliaeste

ma-peamento entredomniosdoonheimentoomos

(12)

om-mentaisdefen^omenosreaisouimaginarios. Damesma

forma,podemosesperarquenossosalunosultrapassem

osnuleosdeseussistemaspreviosdeonheimentopor

meiodemapeamentodediferentesdomniosde

onhe-imento.

Perguntasemformadeliberadamentesoratias

po-dem ajudar nesta tarefa. Como ja foi omentado e

justiadoanteriormente,respostaslaraseexplia~oes

luidas da parte do professor n~ao s~ao suientes para

mudanas nas onep~oes dos alunos, ebeneiar~ao a

aprendizagemdelesmenosdoqueoonfrontoom

on-tradi~oeseinonsist^eniasquelevariamamodiar

re-ursivamenteseusmodelosmentais.

A presena de onep~oes semelhantes envolvendo

um numero signiativode indivduos nos impulsiona

paraontinuarmosestapesquisasobreopapelda

mode-lagem mental nainterpreta~aodos enuniadosde

pro-blemasdeFsia. Estaquest~ao,dareinid^eniade

ati-tudes por parte dos alunos frente aos enuniados dos

problemas,aolongode5semestresonseutivos,eum

desaoparanossotrabalhonatentativaderevertereste

quadro.

Comoarma Moreira (1996,p.230) sobre aTeoria

dosModelosMentaisdeJohnson-Laird:

\Possivelmente, este e um referenial promissor,

porem mais difil metodologiamente. A ideia de que

as pessoas, ou os alunos no aso, onstroem modelos

mentaisdomundo,i. e.,\re-presentam"internamente

omundoexternoeatraente. Oproblemaequeedifil

investigar tais modelos. Os modelos mentais das

pes-soas, ao inves de serem preisos, onsistentes e

om-pletos, omoosmodelosientos, s~ao,simplesmente,

funionais. Na pesquisa, ao inves de busar modelos

mentaislaroseelegantes,teremosqueentenderos

mo-delos onfusos, \poludos", inompletos, instaveis que

osalunosrealmentet^em. E issoedifil!"

Pesquisas paralelas, enfoando a resolu~ao de

pro-blemas aparentemente semelhantes (Costa e Moreira,

2000), t^em aresentado informa~oes relevantes neste

sentido. Areditamos queexista num aminhoviavel,

queinluiumareformula~aonoproessodeensino,

en-volvendo a modelagem dos enuniados dos problemas

deFsia,omoobjetivodeobtermosmelhores

desem-penhos na aprendizagem. Para isso, temos insistido

quenossosalunosdesenvolvamumaanalise rtia dos

enuniadosdosproblemasquelhess~aopropostos,

abor-dandoonteudosespeostrabalhadosemaula. Esse

proedimento temajudado adetetar fatoresque

di-ultamatarefaderesolu~aodeproblemase,aomesmo

tempo, auxiliadoaorroborarnossahipotesedequee

possvelajuda-losamodelarmentalmenteassitua~oes

representadasnosenuniadosdosproblemas. Uma

pro-postaomesteobjetivoestanosnossosplanosparaum

proximotrabalho.

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Flo-VI ANEXO

LISTA 1

1. O movimento de um ponto material e denido

pela rela~ao x = t 4

{ 3t 3

+ t, onde x e expresso em

metros et em segundos. Determinara posi~ao, a

ve-loidadeeaaelera~aoquandot=2s.

Resp. : -6m, - 3m/s, 12m/s 2

2. A rela~ao x = t 3

{ 12t 2

+ 45t + 18 (S.I.)

re-presentaaposi~aodeumpontomaterialemfun~aodo

tempo. Determinar: a)oinstanteparaoquala

veloi-dadeseanula; b)aposi~ao, aaelera~aoeadist^ania

perorridaaomde5s.

Resp.: a)3e5s; b)68 m,6m/s 2

;58m

3. Uma partula se move ao longo de uma linha

horizontaltalquesuaveloidadeedadaporv=(3t 2

{

6t)m/s,ondeteotempoemsegundos. Seapartula

estainiialmenteloalizadanaorigem0,determine: a)

adist^ania perorrida desde t = 0 ate t = 3,5s; b) a

veloidademediaeesalar(modular)mediaduranteo

mesmointervalodetempo;)aaelera~aoinstant^anea

em t= 3,5s. Interprete todos os resultados om suas

propriaspalavras.

Resp.: a)14,1m;b)1,7m/se4,0m/s; )15 m/s 2

4. Aaelera~aodeumpontomaterialediretamente

proporionalao tempo t(a = kt, ondek e uma

ons-tante). No instante iniial (t = 0), sua veloidade e

{5m/s e sua aelera~aoe nula. Sabendo-se que v =

0e x = 10m quando t =2s, esreveras equa~oes que

araterizamomovimento.

Resp: a= 5

2

t;v= -5+ 5

4 t

2

;x= 50 3 5t+ 5 12 t 3

5. No mesmo instante, dois automoveis A e B,

partemdorepousodeumalinhadelargada. Oprimeiro

possui uma aelera~ao onstante a

A

= 8 m/s 2

,

en-quanto o segundo possui uma aelera~ao a

B = p 2t 3 m/s 2

, onde t e medido em segundos. Determine a

dist^ania entre os automoveisquando A alana uma

veloidadede120km/h.

Resp.: erade 35m

6. Um argueiro move-se a uma veloidade de 8

nos(poruriosidade,1no=1milhamartima/hora=

1,852km/h) quandoseusmotoress~ao repentinamente

parados. Se o argueiro demora 10 min para reduzir

(14)

ede sua veloidadev, em nos,em fun~ao dotempot

durante este intervalo. Represente-astambematraves

degraos. Adesaelera~aodonavioeproporionalao

quadradodasuaveloidade,ouseja,a=-kv 2

.

Resp.: v=8/ (1+6t);s =4/3 ln(1+6t)

7. Omovimentodeumponto materialedadopela

fun~ao horariada posi~ao: x= 2t 3

{15t 2

+24t + 4

(S.I.). Determine: a) o instante em que aveloidade

seanula;b)aposi~aoeadist^aniatotalperorridaate

quandoaaelera~aoseanula.

Resp.: a)1se 4s;b) 1,5me 24,5m

8. A aelera~aode umponto material ea= -k/x.

Determinou-seexperimentalmentequev=3m/sea=

-1,2m/s 2

,quandox=500mm. Obtera)aveloidade

quando x = 750 mm e b) a posi~ao do ponto para a

qualasuaveloidadeenula.

Resp.: a) 2,92 m/s; b)904m.

9. Aveloidadedeumapartulaqueatravessaum

lquido para baixo e medida em fun~ao de seu

deslo-amento s por v = (125-s) mm/s, onde s e dado em

mm. Determine: a) a aelera~ao da partula quando

elaestaloalizadaa100mmapartirdasuaposi~ao

ori-ginal;b)adist^aniaqueapartulaperorreateparar;

) otemponeessarioparaelaparar.

Resp.: a) -25mm/s 2

Imagem

Tabela 1. Dado sobre n umero de alunos e grupos aproximados no per  odo da pesquisa.
Tabela 2. Dado sobre n umero de alunos e grupos aproximados no per  odo da pesquisa.
Tabela 4. N umero de alunos (ou grupos) que manifestaram diuldades em ada semestre.

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