O Papel da Modelagem Mental dos Enuniados
na Resolu~ao de Problemas em Fsia
TheroleofmentalmodellingofthestatementsinPhysisproblemsolving
Sayonara Salvador Cabral daCosta
FauldadedeFsia,PUCRS
Av. Ipiranga,6681,90619-900 PortoAlegre,RS,Brasil
sayonarapurs.br
Maro Antonio Moreira
Institutode Fsia, UFRGS
CaixaPostal15051, CampusdoVale, 91501-970,PortoAlegre,RS,Brasil
moreiraif.ufrgs.br
Reebidoem27denovembro,2000. Manusritorevisadoreebidoem14defevereiro,2002.
Aeitoem24demaro,2002.
Este trabalho, fundamentadona Teoria dos Modelos Mentais de Johnson-Laird (1983, 1996), da
ontinuidadeaonosso projetosobremodelagemmentalemresolu~aodeproblemas(Costa e
Mo-reira, 1998),enfoandoadiuldade quealunosdeMe^aniaGeral, disiplinadourrulobasio
dos ursos de Engenharia e Fsia da Pontifia Universidade Catolia do Rio Grande do Sul,
apresentam para modelar mentalmente o enuniado do problema. Foi usada uma metodologia
qualitativabaseadanosdepoimentosverbais(duranteaulasespeasderesolu~aodeproblemas)
e esritos nas veria~oes de aprendizagem), de alunos das turmas de um dos autores, durante
o perodo 1 o
semestre de 1998 a 1 o
semestre de 2000. O tema abordado foi Cinematia de um
ponto material. Os resultadospareem orroborar nossa hipotese deque arepresenta~ao mental
doenuniadode umproblema, apresentado atravesde um disurso lingustio, aompanhado ou
n~aoderepresenta~aopitoria,podeserfavoreidapeloensinoexplitodamodelagem fsia das
situa~oesenfoadasnoenuniado.
This paper, based on Johnson-Laird's mental models theory (1983, 1996), is a sort of progress
report of our projet on mental modeling in problem solving, fousing on the diÆulties that
students of General Mehanis, a subjet of the basi urriulum of engineering ourses of the
CatholiUniversityofRioGrandedoSul,presenttomentallymodelthestatementoftheproblem.
Aqualitativemethodologywasusedbasedonstudentsverbal(duringproblemsolvinglasses)and
written(inquizzesandexams)disourse,duringtheperiodoftimebetweentherstsemesterof1998
andtherstsemesterof2000. ThetopiwasKinemati ofa materialpartile. Researhndings
seem to support our hypothesis that the mental representation of the statement of a problem,
presented through linguisti disourse, aompanied or not of a pitoral representation , might
be failitated by the expliitteahing of the physial modelingof the situations involved inthat
statement.
I Introdu~ao
A pratia, difundida entre professores de Fsia (ao
lado de outras disiplinas dos urrulos de forma~ao
aad^emia), de privilegiar aatividade de resolu~ao de
problemas,einontestavel. Paree-nos,entretanto,que
a justiativa,senos fossefaultadoonsultar os
pro-sentassemalgumaraz~aoparalegitimaroseuuso.
Para nos, a atividade de resolver problemas e
intrnsea ao proesso de ensino-aprendizagem,
po-dendo, inlusive, ser onebida omo meio e/ou m
do mesmo. Para omear, onsideramos um
proble-maomo umasitua~aona qualum indivduo, umavez
proes-is~oes para seguir um aminho na busa de soluion
a-la. N~ao aabamos de sintetizar o proesso de
apren-dizagem? Poisaprendern~aoetomaronheimentode
alguma oisa, ret^e-la na memoria, tornar-se apto ou
apazdealgumaoisa,emonsequ^eniadeestudo,
ob-serva~ao,experi^enia,disernimento? Aprenderrequer
umaatitudedeonfrontoomumproblemaparaoqual
n~aosetem,masbusa-searesposta.
Nosso interesse em resolu~ao de problemas tem
nos ensejado uma relativa atualiza~ao a respeito de
pesquisasdesenvolvidassobreotema(CostaeMoreira,
1996; 1997a; 1997b; 1997; Moreira e Costa, 2000).
Desde 1997, estamos investigando a quest~ao da
mo-delagem mental dos enuniados dos problemas. Este
trabalho da sequ^enia a outros, sobre o mesmo tema
(CostaeMoreira,1998;2000),namedida emque
pre-tendeinvestigaralgumas diuldadesinerentes ao
pro-esso de resolu~ao de problemas ( ou aaprendizagem
de Fsia), mais espeiamente a quest~ao da
inter-preta~aodosenuniadosdosproblemas,envolvendoum
domnioespeo. Nossoobjetivoe:
identiar algumas araterstias de diuldades
manifestadasporumnumeroonsideraveldeindivduos
no desenvolvimento daatividade de resolu~ao de
pro-blemas;
apresentar justiativas que possam orroborar a
nossahipotesede queepossvelensinar-se,nosentido
deajudar,amodelagemmentaldassitua~oes
represen-tadasnosenuniadosdosproblemas.
Neste artigo desenvolvemos o primeiro objetivo
que, na nossa opini~ao, pode onstituir-se em um dos
subsdiospara odesenvolvimentode atividades de
en-sino visando failitar a modelagem mental para os
alunos.
A seguir, faremos algumas onsidera~oes sobre o
tema da modelagem mental, tendo omo refer^enia a
teoria dos Modelos Mentais de Johnson-Laird (1983).
A metodologiautilizada, osresultados obtidoseasua
analisedaraontinuidadeaesterelato;porultimo,
ap-resentaremosaonlus~ao, quereuniraomentarios
so-brepossveisinfer^eniaslogradasapartirdaonjuga~ao
dateoriadisponveleresultadosenontrados.
II Fundamenta~ao teoria
Modelosmentais s~ao representa~oesinternas onstru
-daspelaspessoaspara aptaromundo exterior. Seres
humanosentendemomundoonstruindomodelos
men-tais,isto e,\modelosde trabalho"quepredizeme
ex-pliameventos.
Oproessamentoda linguagemeum dosmais
im-portantes domnios da aplia~ao da teoria de
Mode-losMentais. O prinipal foo de aten~ao tem sidoem
omoosmodelosmentaiss~aoonstrudosquandoos
in-divduosentendem o que l^eem ouo queedito a eles.
minantes: i)oqueerepresentadoeii)ousodamemoria
deurto-prazo(oumemoriadetrabalho)naonstru~ao
domodelomental.
UmprinpiobasiodaTeoriadosModelosMentais
onsidera que as representa~oes mentais do onteudo
de textos s~ao similares, em forma, as representa~oes
derivadas da perep~ao do mundo. Para Bransford
(apudGarnham,1997,p.154),aompreens~aoeum
pro-essoonstrutivon~aosoapartirdoqueestaexplitono
texto, masdaombina~aodesta omainforma~ao
ar-mazenadanamemoria. Sobesteaspeto,pode-sedizer
que, ao onstruir o signiado do texto, o indivduo
desenvolveumproessointerpretativo.
O proesso mental que da oer^enia a esta
inter-preta~aoehamadoinfer^enia. Johnson-Laird(1983)
onsideradoistiposdeinfer^enias: i)asexplitas,que
exigem um esforo onsiente e deliberado para
inte-grar a informa~ao { omo os que oorrem durante os
proessosdedutivospresentesnasatividadesientas
eii)asimplitas,quesustentamosproessosmais
o-munseotidianosdejulgamentosomoaompreens~ao
dodisurso,exigindoumonheimentoonsientemais
superial. A intera~ao em sala de aula atraves da
linguagemimplia agera~aoeavalia~aode infer^enias
explitaseimplitasentreaspartesenvolvidas.
Paraompreender aspremissas, s~ao usados varios
proedimentos sem^antios, que permitem onstruir os
modelosmentais. Construdoomodelomentaldeuma
sentena, ele pode serrevisado, dependendo de novas
informa~oes. Nessesentido,eleeprovisorio. Umafonte
deerronesteproessoestarelaionadaomaonota~ao
das palavras ontidasnas premissas,que podem estar
fora do alane do indivduo: os modelos mentais de
uma pessoa est~ao limitados por fatores tais omo seu
onheimentoesuaexperi^eniapreviaoma
terminolo-gia utilizada,alemda propria estruturadosistema de
proessamento da informa~ao, (Norman, 1983). Este
ultimopontoseradisutidoaseguir.
Osegundodomniodeaplia~aodateoriados
Mo-delos Mentais esta relaionado om o pensamento e
o raionio. Neste ^ambito, o enfoque e dado tanto
paraasrepresenta~oespresentesnestasatividadesomo
para osproessosquemanipulamestas representa~oes
na memoria de urto-prazo. Inlusive, a
quanti-dade requerida de proessamento e armazenamento
nesta memoria tem sido usada para expliar a
di-uldaderelativadeproblemasaparentementesimilares.
Equvoospodemseratribudosalimita~aodamemoria
detrabalho{quantomaismodelosmentaisseneessite
paraumproblemaqueexigeraionio,maisdifilele
resultara.
Estesmodelospodemseronsideradosomoos
tijo-losnaonstru~aodoonheimento,maselessopodem
ser adequadamente utilizados se forem \manuseados"
peloraionio.
preens~aodalinguagem,oraionioindutivoe,elaro,
odedutivo(inluindooraioniosilogstio). Segundo
Johnson-Laird (apud Garnham,1997, p.167), uma
in-fer^enia indutiva e ompatvel om somente um dos
modelosmentaisonstrudosdaspremissas. Esta
ara-terstia trazdiuldadespara oindivduo quandoele
preisaesolherummodeloentretodososompatveis
omaspremissas. Porisso,algunsprinpiosv~aoreger
oproessode indu~ao: espeiidade, parim^onia,uso
deonheimentoprevioedisponibilidadederesgatara
informa~aodamemoria.
Como se pode ver ateaqui, a Teoria dos Modelos
Mentaistemumaaplia~ao\natural"paraaresolu~ao
de problemas. Desreveromo osindivduos resolvem
problemas e expliar omo eles prouram por uma
solu~aonumespaoquepodeonterumainnidadede
possveis solu~oes ( omo proposto originalmente por
NewelleSimon,1972). Esteespaousaano~aode
re-presenta~aode umestado dea~oes, portanto ade um
modelomental.
Reentemente (Garnham, 1997, p.168), a
abor-dagem de modelos mentais para resolu~ao de
proble-mastemenfatizadoousodoonheimentopreviomais
doqueabusaatravesdeumespaodepossibilidades.
Mais umavez, ano~aodemodelomentalepertinente,
uma vez que a tarefa requer a transforma~ao da
re-presenta~ao do mundo em fun~ao da inorpora~ao de
informa~oeseexperi^eniasaosmodelosmentaisja
exis-tentes.
Continuaremos este trabalho desrevendo a
metodologia empregada, seguida da apresenta~ao e
analise dos resultados obtidos, onfrontando-os oma
TeoriadosModelosMentais.
III Metodologia
Prosseguindo om a pesquisa envolvendo os alunos
da disiplina de Me^ania Geral, do urrulo basio
dosursos deEngenhariaeFsia daPUCRS,
desre-veremos, nesta oportunidade, o trabalhodesenvolvido
omasturmasdeumdosautores,noperodoentre 1 o
semestrede1998e1 o
semestrede2000. Oonteudoque
seraobjeto de analiseeodo Movimento de um ponto
material,desenvolvidonoperododeumm^es,omseis
horas de aulas semanais, divididas em dois enontros
de tr^es horas. Destes, ino foram de apresenta~ao e
disuss~aodoonteudo,interaladospordoisexlusivos
de resolu~ao de problemas, ulminando om um para
revis~ao geraldo tema e outro para aavalia~ao
indivi-dualou\prova"nalsobreoonteudotrabalhado. No
total,foramutilizados9enontros.
Nossa metodologiade trabalho foi a analise
quali-tativa das manifesta~oes verbais eesritas dos alunos
durante as tarefas de resolu~ao de problemas. Nas
aulasexlusivasparaestaatividade,osalunos,emada
semestre, reebiam uma lista de problemas.
Traba-lhando em pequenos grupos, de dois a quatro alunos
(vertabela 1), podiam soliitara interven~ao do
pro-fessorparadisutir ainterpreta~aoe/ou aabordagem
deumdeterminadoproblema-aindaquealgunsalunos,
maisreservados,preferissemtrabalhareonsultar
indi-vidualmenteoprofessor.
Naauladerevis~ao,osalunostinhamaoportunidade
de manifestar individualmente suas duvidas quanto a
aspetos do onteudo, referendados ou n~ao por seus
pares,veiuladooun~aonosproblemaspropostos,alem
de soliitarem ajuda espeiamente na resolu~ao de
algunsproblemas. Oprofessoraproveitavaomomento
para fazer uma abordagem \holstia" do tema
estu-dado,organizandoejustiandoseudesenvolvimentoe
osproedimentosrequeridosnaresolu~aodeproblemas.
Aonaldasaulasderesolu~aodeproblemasedade
re-vis~ao,perguntas eomentariosdosalunoseram
anota-dos. Osdesempenhosnasavalia~oesindividuaisesritas
aresentaramdadossobrea\din^amia"doproesso.
Tabela1. Dadosobrenumerodealunosegruposaproximadosnoperododapesquisa.
Semestre I/1998 II/1998 I/1999 II/1999 I/2000
N o
.
aproximado
gruposnasaulas 12 7 9 10 9
deR.P.
N o
.
dealunosna
veria~aode 47 23 35 40 35
aprendizagem
A maioria dos problemas propostos eram
oriun-dos da bibliograa indiada na primeira aula de ada
semestre. Entreeles,BeereJohnston(1991),Hibbeler
(1985,1999),MeriameKraige(1999)eFonsea(1964).
Osproblemaseramesolhidossoboriteriode
abran-gerem uma gamaonsideravelde situa~oes em que as
duasprinipaislassesdeonheimentofossem
requeri-das: o delarativo ou gurativo e o proedimental ou
operativo (Sternberg, 2000,p.151).
O onheimento delarativo onsiste em onheer
\fatos". Por exemplo, que ~v= d~r
dt
e a express~ao que
nospermitealularaveloidadeinstant^aneaequeela
envolveonheerafontedoonheimentodelarativo{
omo sesabe que v = d~r
dt
ea express~ao daveloidade
instant^anea? {ea apaidadedeusar, apliar,
trans-formaroureonheerarelev^aniadoonheimento
de-larativo em situa~oes novas e n~ao familiares (Arons,
1990).
No nosso entendimento, as atividades propostas
ontribuamparaodesenvolvimentodesta apaidade,
onjugandooraioniodedutivoeindutivooma
in-terpreta~aodaobserva~aoeexperi^eniaspessoais.
Con-ordamosomZylbersztajn(1998)noquedizrespeito
aatividadede resolverproblemas: \Estamostratando
om umproesso onomitante einterdependente: ao
mesmotempoqueateoriaeneessariaparaaresolu~ao
deproblemas,ela tambemserenaeseaprofundapor
meio da resolu~ao de problemas, e o mesmo pode-se
dizerdosproedimentos".
As modia~oes oorridas na listagem dos
pro-blemas apresentados, no perodo da pesquisa, foram
mnimas. Apenas dois deles foram substitudos om
o proposito de expandir a apresenta~ao de situa~oes
ineditasoudifereniadasemformatodasjatrabalhadas
emexemplos.
A primeira aula de problemas propunha
situa~oes envolvendo movimento em uma dimens~ao,
apresentando-asatravesdefun~oesmatematias
repre-sentando aposi~ao, ouveloidade, ouaelera~ao(q.v.
Anexo). O objetivo desta atividade e o domnio das
rela~oes entre as grandezas inematias fundamentais
e destas om outras seundarias, assim omo os
pro-edimentos para desenvolv^e-lasem onformidade om
as ondi~oes espeas (ondi~oes de ontorno) em
ada problema. As situa~oes apresentadas requerem
que os alunosonjuguem odomnio dos oneitos em
inematia, presumivelmente ja trabalhados em
disi-plinas anteriores, om o alulo diferenial e integral
e algebra vetorial, tambem onsiderados omo pr
e-requisito.
A segunda aula de problemas abordou o
movi-mento plano e tridimensional de um ponto. O
obje-tivo permaneia o mesmo, ou seja o de dominar as
rela~oes entre as grandezas inematias e os
proedi-mentos para desenvolv^e-las, em onson^ania om as
ondi~oes espeas em ada problema.
Esperava-se, outrossim,que os proessosdesenvolvidosem uma
dimens~ao fossem generalizados para duas e tr^es
di-mens~oes, utilizando-se diferentes oordenadas
(arte-sianas, polares, intrnseas). Entretanto, o suesso
destaatividadeestaondiionadotambemaonep~ao
doquesejaumvetor,doaratervetorialdasgrandezas
inematias fundamentais, assoiado a proedimentos
espeosparaaborda-la. A analise deste tema,pela
suaextens~ao,seraobjeto deumproximotrabalho.
Apesar de trabalharmos ao longo do perodo da
pesquisa omos resultadospariais de ada semestre,
e ada vez insistir na disuss~ao de temas pol^emios
nos semestres anteriores, veriamos uma grande
re-sist^enia amudarestequadroommuitosalunos, que
manifestavamosmesmos embaraosjadetetados
an-teriormente.
Oqueosindivduospensam, osonheimentos que
eles trazem para uma tarefa ognitiva prov^e as
es-truturas de esquemas interpretativos que permitem
raioinarelevaradiantearesolu~aodeproblemas.
Es-tasrenas,esquemasindividuaisderaionio,n~aos~ao
onstru~oespuramenteindividuais,s~aoompartilhadas
poruma \ulturasoial." (Resnik, 1994, p. 477). A
formaomoosgruposdealunosdesenvolveramas
ativi-dades ao longo dos semestres reete uma abordagem
relativamenteonstante naquest~aoderesolver
proble-mas: umtrabalhoquase me^anio.
Estaonstata~aoserviupararatiarnossahipotese
de trabalho de que a interpreta~ao deste tipo de
pro-blemas n~ao e tarefa fail para os alunos; a falta de
uma modelagem mental adequada gera obstaulos de
nveisdiversos,todosonorrendopara ainviabilidade
dasolu~aodosproblemas. Nestetrabalho
apresentare-mos algumasregularidades, manifestadaspelos alunos
aoresolveremproblemasdeumalistaeumaquest~aoda
provaesritadeavalia~ao,quereforamnossopontode
vista.
IV Apresenta~ao/analise dos
re-sultados
Problema1 {Lista 1
O movimento de um ponto material e
desritopelafun~aox=t 4
3t 3
+t,onde
x e dado em metros e t em segundos.
Determinar a posi~ao, a veloidade e a
aelera~ao quando t=2s:
Apesar de ser onsiderado por nos o problema
mais simples, pratiamente um \exerio", que
en-sejaria o uso das rela~oes entre posi~ao, veloidade e
aelera~ao,surpreendemo-nosomalgumas rea~oesde
alunos(repetidasemtodos(!) ossemestres).
Umnumeroexpressivodealunos(tabela 2)tentou
\integrar"afun~aohorariadaposi~aoparadesrevera
veloidade{ nadisuss~aoom eles,esteproedimento
evideniou que n~ao haviam identiado a informa~ao
doproblema: afun~aohorariadaposi~ao. Asrela~oes
v= dx
dt ea=
dv
dt
foram\lembradas",esritasinlusive,
mas os alunos n~ao souberam omo utiliza-las; paree
que o signiado delas n~ao foi apreendido. Por outro
lado, este foi oprimeiro problema que teriam que
re-solver sozinhos, e esta aula suedeu outra na qual se
de-obter-se a veloidadeinstant^anea, neessitava-se
inte-grarafun~aodaaelera~ao.Consideramosqueestefato
orroboravanossasuposi~aoaima grifada,ouseja,no
nossoentendimento,osalunosn~aorepresentaram
inter-namente,emtermosdeummodelomentaldasitua~ao,
as informa~oes ontidas no enuniado e reagiram de
forma me^ania, seguindo os ultimos proedimentos
utilizados nos exemplos. Portanto, o primeiro
requi-sito pararepresentarinternamenteoenuniadofalhou.
Afaltadoreonheimentoedodomniodoformalismo
matemationeessariopararealizaratarefa{
registra-do por esrito, sem demonstrar que tenha sido
om-preendido - inviabilizaram o proesso. Uma pergunta
feitaporumaluno, mesmodepoisde havermos
disu-tidoomoseugrupo,queapresentaradiuldadesom
este problema, retrata bem o que estamos querendo
dizer: \Paraalularaposi~aoquandot=2s;ent~aoe
sosubstituirnafun~aodex?"
Tabela2. Dadosobrenumerodealunosegruposaproximadosnoperododapesquisa.
Semestre I/1998 II/1998 I/1999 II/1999 I/2000
N o
.
aproximadodealunos
presentesnaaulasdeR.P. 41 22 32 35 31
N o
.
dealunosque
expressaram 5 3 4 4 4
diuldadesnoproblema1 (12%) (23%) (12,5%) (11,5%) (13%)
Problema2{ Lista1
Arela~ao x=t 3
12r 3
+45t+18(S.I.) representa a posi~ao de um ponto material em
fun~ao do tempo. Determinar a: o instante para o qual a veloidade se anula; b) a
posi~ao,a aelera~ao e a dist^aniaperorrida ao mde 5s.
A experi^enia do problema anterior e a disuss~ao
que provoou pareem ter surtido efeito pois, neste
aso,n~aoseveriaramasdiuldadesmanifestadasno
primeiro problema. \Quando os indivduos movem-se
de umasitua~aoparaoutra, arregamhistorias de
ex-peri^eniaspreviasomeles. S~aohistoriasdeformasde
agir... situa~oes similares experimentadas transferem
onheimento,nemsempreoorreto...." (ibid.,p.490).
Poroutrolado,osigniadodarela~aoapresentadano
enuniadoeraexplito. Mesmosem podermosavaliar
individualmenteasausas,aquiosalunosusaram
or-retamente asrela~oesentreaposi~ao,aveloidadeea
aelera~ao instant^aneas, bem omo souberamalular
oinstante em que a veloidade seanulava. Em
om-pensa~ao, TODOS os que tiveramduvidas(tabela 3),
revelaram-nasemalgumdestesaspetos:
Como alularadist^aniaperorrida?
Porqueanalisarosdesloamentospariais?
Porquesomar osmodulosdasintegrais?
Tabela3. Perentagemdealunosquemanifestaramdiuldades noproblema2,porsemestre.
Semestre I/1998 II/1998 I/1999 II/1999 I/2000
22% 23% 25% 20% 16%
(9alunos) (9alunos) (9alunos) (9 alunos) (9alunos)
Estas quest~oes pareem evideniar a n~
ao-mo-delagem mental do oneito de dist^ania e,
on-sequentemente, das possveis estrategias para obt^
e-la, omo alular a integral da fun~ao veloidade em
rela~aoaotempo,levandoemonsidera~aoamudana
nosentidodaveloidade.Seosigniadodaintegra~ao
fosseentendido,failitariaaompreens~aodaestrategia
utilizadanoalulodadist^ania,reforando,inlusive,
ooneitodesta. Noasodeummovimento
unidimen-sional, o aluno poderia determinar esta dist^ania
al-ulando a posi~ao maxima atingida, o que permitiria
obteroomprimentoperorridonointervalodetempo
onsiderado. Ofraassonestatarefajafoi identiado
por Gil Perez et al. (1988), justamente reditando-o
afaltade uma analise mais profundada quest~ao
pro-posta.
outroproblema,impondoumanovaabordagem:
Problema3 {Lista 1
Umapartulasemoveaolongodeumalinhahorizontaltalque suaveloidadeedada
porv=(3t 2
6t)m/s,ondet eotempoemsegundos. Se a partula esta iniialmente
loalizadanaorigem0,determine: a)adist^aniaperorridadesdet=0atet=3;5s;b)
aveloidademediaeesalar(modular)mediaduranteomesmointervalodetempo;)
a aelera~aoinstant^aneaemt=3;5s:Interpretetodososresultadosomsuasproprias
palavras.
Neste problema, o aluno deveria tomar deis~oes
semqueestivessempresentesnoenuniadoorienta~oes
explitas: preisavainvestigarsehaviainvers~aodo
sen-tidodomovimentonointervalodetempoesolhidopara
determinar a dist^ania perorrida; so ent~ao ele teria
ondi~oes de resolv^e-lo. Com este proedimento ele
evideniariaaompreens~aodomodelofsio-oneitual
apropriado. Foimaisfailreonheeremestaestrategia
doquealularosvaloresdasveloidadesmedias,ujas
deni~oesestavamesqueidas(vertabela4). Ainlus~ao
de quest~oes interpretativas dos resultados numerios
teve um resultado inesperado: rarssimos foram os
alunos que pediram ajudapara disutir este item em
todosossemestresavaliados! Umaobserva~aoquedeve
serfeitaequeestetipodeitemn~aotinhaasuaresposta
nonaldosproblemasdalista,omoosoutrosom
re-spostasnumerias. Desonheemossealgumaluno,
in-dividualmente,tenhaompletadoasolu~aodo
proble-marespondendoestaquest~aoforadasaulas.
Aparente-mente elesonsideravam-na\feita",poisquando
difer-entes grupos eram indagados se tinham duvidas,
res-pondiam negativamente. No primeiro semestre desta
pesquisa,n~aodemosmuitaimport^aniaparaeste
om-portamento,masfomossurpreendidospelomesmo
pro-edimento dosalunosnossemestresseguintes. Mesmo
estetema,odainterpreta~ao,tendosidoobjetode
dis-uss~aonasaulasteorias,estarea~aopersistiuaolongo
doperododestetrabalho.
Tabela4. Numerodealunos(ougrupos)quemanifestaramdiuldadesemadasemestre.
A interpreta~ao, \om as proprias palavras do
aluno",susita uma disuss~aopartiular, poisenvolve
a rela~ao entre a linguagemfalada habitualmente e a
aeitaientiamente. Porumlado,oalunon~aogosta
deseexpressar,poroutro, odesenvolvimentoeusoda
linguagemdesempenhamumpapelfundamentalno
en-sinoeaprendizagem. Noqueserefereai^enia,umdos
aspetos que nos hamamais a aten~ao e a deni~ao
operaionaldeoneitosbasios.
As palavras adquirem signiado atraves da
ex-peri^enia ompartilhada. Segundo Arons (1990),
\[palavras℄(...) s~aometaforas,extradasdodisursodo
dia-a-dia,paraoqualdamosumsigniado
profunda-mente alterado(...).". Os alunos n~ao perebem isso a
n~ao serquelhesapontemos expliitamente. Porissoe
t~ao importante que os enorajemos a interpretar
ver-balmente os resultados numerios e graos que eles
Algunsexemplosdesitua~oesevideniadasdurante
operododapesquisapodemajudarareforarestatese.
E o asododesempenhode muitosalunos naquest~ao
seguinte,propostanaveria~aodeavalia~aoemI/1998
erepetidaompequenasvaria~oesemII/1999eI/2000:
Quest~aode prova {1 o
semestrede 1998e de 2000e 2 o
de 1999
Omovimentodeumpontomaterialedenidopelarela~aox=2r 3
40t 2
+200t 50;emunidade
do S.I.. a) Exatamente, qual e a informa~ao que esta equa~ao nos fornee?; b) Determine o(s)
instante(s) emque aveloidadedo ponto seanula. (siamente falando,o queestaaonteendo
aomovimentodopontoneste(s) momento(s)? Faaumomentarioquejustiqueasuaresposta;
) Determineaposi~ao,aaelera~aoeadist^ania perorridapeloponto aomde 5s. Interprete
adaumdestesresultadosobtidos,ougraamente,ouatravesdepalavras.
osoneitos de posi~ao,desloamento, trajetoria
e dist^ania perorrida s~ao freq uentemente onfundidos
pelos alunos. Foioqueaonteeunasrespostasparao
itema). Porexemplo:
\Estaequa~aonosforneeatrajetoria 1
emumerto
tempo, n~ao e a dist^ania perorrida" (ALUNO 4 {
1998)
\Ela nos determina o aminho de x em fun~ao do
tempo, ouseja, para ada tempoteremosuma posi~ao
diferente emnosso grao" (ALUNO13-1998)
\Informa que a dist^ania que um ponto material
perorreeumafun~aodotempo,ouseja,aadatempo
existe uma dist^ania diferente." (ALUNO33-1998)
Nossainterpreta~aoasrespostasdestes alunosn~ao
deixa de onstituir-se em modelos mentais do que
nospresumimos que eles tenham entendido. Segundo
Johnson-Laird (1990), a linguagem nos apaita para
terexperi^eniadomundoeparaomuniarertas
on-ep~oesabstratasdele. Ummodelomentalrepresentao
estadode oisasonretasaqueserefereuma ora~ao;
lembrando-se que a omunia~ao humana depende de
inten~oes, o signiado de um omentario pode estar
foradoalanedoouvinte.Dequalquerforma,a
termi-nologia aeita ientiamente n~ao oinide om a
uti-lizada pelos alunos. Esta observa~ao vale igualmente
paraosproximosdesempenhos.
arepresenta~ao graaequivoadados
movimen-tos,objeto deestudo daliteratura(p. ex. MDermott
et al., 1986), foi retratadanos graosposi~ao versus
tempo, onebidosomo arepresenta~aoda trajetoria
doponto.
\[aequa~aodada℄...nosinformaaformadomovimen
to, quenesteasoeumaparaboladetereirograu...."
(ALUNO 35-1999)
\Noinstantet=5s,aposi~ao do pontoe200mem
rela~ao aoseu pontode partida. Por exemplo:
(ALUNO 28-1998)
Apesardeamaioriadosalunosidentiar
orreta-menteafun~aox(t),ano~aodeinstante(iniial,nal,
qualquer)e onfundida omade intervalode tempo:
\Aequa~aonosdaaposi~aoqueummovelestaem
umertointervalodetempo ." (MLW-2000)
\Esta equa~ao quer dizer a posi~ao que o objeto
seenontraem adaintervalodetempo . (ALUNO
21-1999)
A interpreta~ao dos smbolos usados para
de-signar as grandezas tambem mostra-se ambgua: na
fun~ao horaria da posi~ao, ha uma tend^enia
\natu-ral"deinterpretarxomodist^aniaetomotempode
dura~ao. Nadetermina~aodaposi~aodopontoapos5s
(item):
\ x ( t = 5s) = 2. 5 3
40:5 2
+ 200.5 { 50 =
200m
Opontose enontrana dist^ania de200 mno
ins-tantede 5s." (ALUNO 1-1998)
Este resultado india que foi perorrido 200 m em
5s. (aluno20-1998)
Os oneitos de veloidade media e instant^anea
s~ao onfundidos; o mesmo aontee om a aelera~ao.
Quandointerpretam a veloidade instant^anea,
fazem-no assim: \...o ponto anda tantos metros por
se-gundo....". Trowbridge e MDermott (1980) ja
assi-nalavam a diuldade de interpretar a veloidade (e,
nesteaso,tambemaaelera~ao)instant^anea\...omo
um numero, referindo-se a um unio instante e uma
barreira oneitual para muitos alunos" (p.1024). Os
alunostendemautilizarmuitoaexpress~ao\veloidade
por tempo \ para araterizar a aelera~ao ou,
\mu-dana de veloidadesobre tempo". Nesta ultima,
so-bre e usadono sentidode durante muito mais doque
deraz~ao,sem aperep~ao explitadaonex~aooma
unidadedointervalodetempo. Algunsexemplossobre
a interpreta~ao da aelera~ao em t = 5s, dos pouos
alunosquetentaramfaz^e-la:
\O pontoestasendoaelerado6m/s/s" 2
.
Graa-mente,istosignia(ALUNO 3-1999):
\Sua aelera~ao e de 6 m/s nestesegundo".
(ALUNO7-1999)
\Signia que no instante esolhido, a
veloidadedopontoaumenta6m/saadasegundo".
(ALUNO16-1999)
Nos tr^es semestres, a maioria dos alunos
simples-mentealulouaaelera~ao(tabela5). Osquea
inter-pretaramozeramomoseaaelera~aopermaneesse
onstantenomovimento,oun~aoonseguiramse
expres-saradequadamente,omomostramosexemplosaima.
EstesresultadosorroboramotrabalhodeTrowbridge
e MDermott (ibid.), no qual um aluno se manifesta
sobre este tema daseguinte forma: \... para a
veloi-dadeseralulada deve haverumintervalode tempo.
Para um instante os objetos n~ao t^em veloidade, so
umaloaliza~ao".EmTrowbridgeeMDermott(1981)
eRosenquist eMDermott(1987)estetema erevisto,
mas,noquedizrespeitoaaelera~aoinstant^anea,soe
enfoadoomovimentoomaelera~aoonstante.
Condi~oesparainvers~aonosentidodomovimento
s~aoonfundidas: termosomoparaouatingeorepouso
momentaneamente, s~aoexpress~oesquedevemser
evi-tadas nesteaso, poisosalunosinterpretam-nasomo
\permanee assim porum intervalode tempoeassim
aaelera~aosopodeserzero".
Aondi~aoonomitante develoidadenula e
ae-lera~ao n~ao-nula n~aoe sequer assinalada pelos alunos
omorelevantenainvers~aodosentidodomovimento.
\Paratemposem 3,3s e 10s aveloidade seanula,
ou seja, o ponto para o seu movimento naqueles
ins-tantes." (ALUNO 35-1998)
\Istosigniaqueoobjeto nosinstantes 3,3se10s
esta parado, sem movimento em qualquer dire~ao."
(ARF-2000)
O registro das ambiguidades enontradas nas
quest~oesinterpretativasdoproblemapodeser
onside-radoumindiativodadiuldadedeosalunos
expres-saremsuasonep~oesexpliitamente. Poroutrolado,
estas quest~oes onstituem-se em um meio de
avaliar-mosasrepresenta~oesmentaisdosalunos. Naprimeira
vers~aodeste problema(1 o
semestrede1998), erade
14alunos,numtotalde47, interpretaramafun~ao no
enuniadoomo representando adist^ania perorrida,
enquanto 13 analisaram o instante em que a
veloi-dadeseanulavaomoseomovimentoseinterrompesse
a partir da, sem relaionar om a aelera~ao. Esta
onstata~aoajudou-nosadisutir ofato nossemestres
seguintes, tanto nas apresenta~oes em aula omo nas
aulas espeas de problemas. Mesmo assim, estas
onep~oesontinuaramaonteendo.Atabela5
ares-enta outros dados sobre o desempenho dos alunos
nestaquest~ao,nostr^essemestresenvolvidos.
Tabela 5. Desempenhoinsatisfatorionasquest~oesinterpretativasemadasemestre.
\N~ao interpretaram" signia que as respostas
numerias n~ao foram traduzidas em palavras ou em
outro tipo de representa~ao, omo diagramas. Por
exemplo, uma resposta tpia desta lassia~ao para
ainterpreta~aodovalornumeriodadist^ania
peror-rida:
\29 m e a dist^ania perorrida ao m de 3s".
(Aluno 1{1999)
Como se v^e, o aluno simplesmente repetiu a
in-forma~ao que se pedia, n~ao expliou o que
signi-ava aquele resultado numerio para o movimento.
Um exemplo de express~ao inorreta para a mesma
\dist^aniaperorrida"earespostadeoutroaluno:
\... 29m foi o que o ponto se desloou em 3s."
(Aluno 45{1998)
Aquiodesloamentoetratadoomodist^ania
per-orrida. Novamentepodemospensarquetalvezoaluno
tenha se expressadomal, utilizadodesloamento para
representar oomprimentodo quefoiperorrido. Mas
a diferena edestaada em aulas de Fsia, eele esta
sendoavaliadosobestepontodevista.
Muitas investiga~oes enontradas na literatura
re-etem ohiato entre os \oneitosintuitivos"e os
mo-delosoneituaisapresentadospeloslivroseemsalade
aula(e.g.,TrowbridgeeMDermott,apudArons,1990,
p. 38). Devemosestarientesdeque,pormaisluidez
que empreguemos em nossas apresenta~oes, por mais
quetenhamospropostoatividadesvariadasderesolu~ao
de problemas,isson~aorevelaraoverdadeiroestadode
ompreens~aoe raionio dos nossos alunos. Tambem
aompreens~aodosalunosdoquesigniainterpretar,
expliar oujustiar algumfatoediferente daque
es-peraramos; uma araterstiaevideniada pelas suas
respostaseasuperialidade,oquepodeestar
eviden-iando ouumafragilidadede seusmodelosmentais ou
um despreparo de lidar om este tipo de exig^enia
-quealiaspoderiaseronrmadopela rea~aonasaulas
em queainterpreta~aoesrita(problema3)ougraa
(problema6) foirequeridaeeles n~aosemanifestaram.
No nveldeste urso, voltadopara aaplia~ao de
mo-delos fsios e matematios, poderamosesperar quea
quest~ao oneitual estivesse resolvida, levando-se em
ontaaexperi^eniaemdisiplinasanterioresdeFsia.
Emprinpio, oformalismomatematioapliadoesua
interpreta~aoequepoderiamgerarmaioresobstaulos
aonstru~aodeummodelomentalquerepresentassee
permitissebusarumasolu~aoparaosproblemas
pro-postos -ainda queos oneitose aplia~oes deste
for-malismo ja tenham sido exploradosem disiplinas
es-peasdeMatematia.
Os demais problemas propostos na lista 1 (q.v.
Anexo) apresentaramrea~oesondeoaspetomais
dis-sonantedaresolu~aoorretafoian~ao observ^ania das
ondi~oes de ontorno do problema (ou limites de
in-tegra~ao das integrais).
A medida que o numero de
integrais aumenta, paree que ha uma tend^enia de
deamaioriadosproblemasenvolverinforma~oessobre
asondi~oes inematiasiniiais (t =0) provoa uma
faltade aten~ao do leitor, um relaxamento nosdados
determinantes, fazendo que o problema proposto seja
malidentiado e, destaforma, tenhaa suaresolu~ao
inviabilizada.
Na nossa opini~ao, este e o aso tpio de erro
de-vidoasobreargadamemoriade trabalho: muitas
in-forma~oes relevantes que devem ser onsideradas, ao
ladodeestrategiasn~ao menosimportantes quedevem
serexeutadas.
Namesma linha deraionio, situa~oes mais
on-retaspareemfavoreeramodelagem mental. No
pro-blema 5, os alunos, em geral, demonstraram saber
omo as informa~oes os levariam ao objetivo
alme-jado. Asdiuldades aonteeramnodesenvolvimento
da estrategia, prinipalmente no alulo da integral{
omoum dosmovimentosera uniformemente variado,
era fail a obten~ao da fun~ao horaria da posi~ao, o
que n~ao aonteia para o outro, uja opera~ao,
ape-sar de onheida, n~ao foi reonheida por muitos; o
usoindevidodoslimitesdeintegra~aotambemfoi
ma-nifestado. Perebe-se que muitos alunos ainda
insis-tememignoraraimport^aniadasondi~oesespeas
do problema; neste ponto a modelagem mental n~ao e
ompleta. Estaaparenterelut^ania emn~aoonsider
a-las relevantes pode ser atribuda igualmente a uma
\eonomiaognitiva",araterstiadosmodelos
men-taisonstrudospelosindivduosaoreonheeremuma
tarefa, queprovoa ofraasso quandomuitos
elemen-tosdeabstra~aos~aorequeridos. Issopoderiajustiar
arelativadiuldadeomainterpreta~aodoproblema
6,ondeaprinipalinforma~aoestavanonaldo
enun-iado, oque fezque algunsalunos quase n~ao a
reon-heessem,devidoaquantidadedeinforma~oesontida
nele. Novamentearepresenta~aograa,queensejaria
umadisuss~aosobre oomportamentodo movimento,
foi menosprezadapelos alunos. A n~ao-observ^ania de
ummesmo sistema de unidades para asgrandezas foi
motivodeerro. Esteproblemafoi inludo apartirdo
2 o
semestrede1999.
Noproblema7, oslimites deintegra~ao noalulo
dadist^aniaperorridaforamutilizadosindevidamente
pois, ao inves de levarem em onta o intervalo de
tempoateomomentoemqueaaelera~aoseanulava,
onsideraram-noate o momento em que a veloidade
seanulava. Arepresenta~aoinorretadealgunsalunos
poderiaseratribudaaalgumaambiguidadedo
enuni-ado,masnossahipoteseequeaondi~aodeveloidade
nulatenhasidoonfundidaomadeaelera~aonula{
doismomentosdistintosdomovimento.
No problema8, nem todos se deram onta de que
bastava enontrar a rela~ao entre a veloidade e a
posi~ao para responder as duas perguntas. Ahavam
que para alular a posi~ao deveriam \integrar"
umaleitura desompromissadaomainterpreta~aodo
quel^eem.
A ondi~ao apresentada no problema 9 e
inusi-tada: a veloidade e representada omo uma fun~ao
do desloamento. Os alunos deveriam ultrapassar o
onheimento requerido ate ent~ao, ser riativos,
res-gatando uma ondi~ao que tinha sido explorada em
aulasteoriasemumontextodiferente,ouseja,\a
re-gradaadeia":preisariamavanarnousodaderivada
de uma fun~ao uja variavel de integra~ao n~ao era
explita. Umavezultrapassadaesta\barreira",o
pro-edimento seguinte n~aoapresentouduvidas. Mas,sem
estedisernimentoiniialdasitua~aoapresentada,om
seusoneitoseproedimentosinerentes,aresolu~ao
es-tariainviabilizada(eimportantelembrarqueresolu~ao
e entendida omo o proesso que se iniia pela
lari-a~aodoenuniado,suarela~aoomumonheimento
previoquepossibiliteseudesenvolvimento). Comoessa
quest~aon~ao hegavaaserrealizadaem aula,poruma
quest~ao detempo, era aultima dalista, muitos eram
osalunos que pediam ajudapara resolv^e-la,
individu-almente,ounomaximoemduplas,pelamesmaraz~ao:
n~ao onseguiamatinar omo\gatilho" paraa sua
re-solu~ao.
A tabela 6 apresenta um resumo das diuldades
que os alunos manifestaram na aula de resolu~ao de
problemasparaosproblemas4a9eaperentagemde
onsultasaoprofessoremadasemestre.
Tabela6. Diuldadesmanifestadasporalunos(grupos)nosproblemas4a9daLista1.
Essas diuldades, manifestadas periodiamente,
nos initam areetir sobre os proessosmentais
indi-viduaiseem grupo. Emmedia,os gruposhegavama
fazeremaulaateosproblemas5ou6. Estestiverama
oportunidade de serem \negoiados" em ada grupo,
ou seja, alguem propunha uma solu~ao e os outros
seguiam-na ou n~ao, tinham a hane de ontestarou
onordar. Cada duvida manifestada em um grupo
poderia ser interpretada, aproximadamente, omo de
todos os alunos do grupo? Nas tabelas,
apresenta-mos a propor~ao do numero de vezes em que as
per-guntas foramfeitasao professor, sem omputar
quan-tos alunosompunham ogrupo deonde ela provinha.
Por outro lado, o leitor poderia pensar que talvez os
alunos desdenhassem a tarefa proposta pelo
profes-sor, mas issoom erteza n~ao aonteeu. Os grupos,
mesmo os alunosisolados que preferiam trabalhar
as-sim,empenharam-seefetivamente efaziapartedo
pro-essobusaremoprofessorpararesolverasduvidasque
n~ao dirimiamentre si. Quanto aosproblemasquen~ao
onluam em aula, tinham a liberdade de onsultar
o professor nas aulas seguintes. Nestes asos a
on-sultaeramais partiular(istojafoiomentadopara a
quest~ao9), nosnais dasaulas,atraindomuitasvezes
outros olegasque tinham tambem enfrentado
tabela anterior.
V Conlus~oes
Neste trabalho prouramos identiar e analisar
al-gumas diuldades relativas a interpreta~ao de
enun-iados de problemas de Fsia, espeiamente sobre
Cinematia de um ponto material, do ponto de vista
da Teoria dos Modelos Mentais. Essas diuldades
onstituem-se naprimeirabarreiraparaobom
desem-penhona tarefade resolv^e-los e,neste asoespeo,
tem sido registrada numa suess~ao de 5 semestres
letivos, para grupos diferentes de uma mesma
disi-plina.
A tend^enia dos alunos em resolver problemas,
omo os apresentados neste trabalho, e o de resolver
um \quebra-abea", um jogo om suas
\ferramen-tas"disponveis(nemsempreomsigniadoparaeles)
para serem utilizadas numa situa~ao espea. No
momento em que este \jogo" exige que eles preisem
tomar deis~oes mais profundas, raioinar, desrever
aminhos ou interpretar dados e resultados, as suas
representa~oes internas s~ao requeridas e sua
exterio-riza~ao nos permite fazer algumas infer^enias sobre a
ompreens~aoqueestasendoatribudaaoproblemaque
desenvolvem.
Emvariosmomentosdestetrabalho,foram
identi-adasomoumadasbarreirasparaarepresenta~aode
um problemaas\onep~oesalternativas", objetos de
estudo emensinodei^enias,espeialmenteentre1970
e 1980. Segundo Moreira (1996), os modelosmentais
nos permitem entender por que estas onep~oes s~ao
t~aoresistentesamudanas: estesmodeloss~aopessoais
e funionais para o indivduo que os onstruiu, ent~ao
modia-los {nosentido deuma modia~aototal de
uma onep~ao para outra { n~ao sera tarefa trivial.
Vosniadou (1994) prop~oe uma oneitua~ao mais
am-plapara estamudanaoneitual,omoum
enriquei-mentodemodelospreviose,somenteemasoextremo,
uma revis~aoompletadestesmodelos.
De partiular signia~ao para este tema e a
maneiraomo osindivduos organizam,representame
nalmenteutilizamseusonheimentos. N~aohaduvida
dequemuitasdei^eniasemsolu~aodeproblemas
po-dem ser atribudas a fragilidade de alguns oneitos
neessarios a tarefa. No aso espeo em que os
alunosoptamporumaminho equivoado,paree-nos
quehouvefaltade\ontrole",ouseja,osalunos
\onhe-iam" os reursos, mas afragilidade da interpreta~ao
ereonheimentodasinforma~oesdisponveislev
aram-nos a aloa-los indevidamente. Este \ontrole"
in-lui deis~oesexeutivas sobre planejamento, avalia~ao,
monitoramentoeordena~ao. Esteultimo aspeto,junto
om o onheimento sobre ogni~ao e as \renas"
do indivduo, onstituem o que usualmente se hama
derenas"omoavis~aodomundomatematiodo
in-divduo. No nosso aso, inluiramostambem a vis~ao
domundo fsio. .
Asrenasonstituemoonheimentosubjetivodo
indivduo(istoe,n~aoneessariamenteorretodoponto
devistaiento)arespeitodoonteudoedastarefas
partiularesrelaionadas. Pareequeasrenas
mode-lamatitudes e emo~oese dirigem asdeis~oes tomadas
durante a atividade matematia na resolu~ao de
pro-blemas.
Uma vez superadosestes errosenvolvendofaltade
aten~ao na leitura, identia~ao da situa~ao proposta
no enuniado, aspetos relevantes e informa~oes que
permitem reorrer a modelos que possam soluionar
o problema, e neessaria uma analise para onstruir
o onheimento sobre ada estrategia utilizada. Se
visamos a aprendizagem signiativa, um aminho e
o ensino da onstru~ao para estas representa~oes { a
modelagem.
SegundoMoreira(1996,p.201),osmodelosmentais
daspessoaspodem serdeientes em varios aspetos,
talvez omelementos desneessarios, err^oneos ou
on-traditorios. Noensino,osprofessoresutilizammodelos
oneituais e esperam que o aluno onstrua modelos
mentais onsistentes om eles, que, por sua vez,
de-vemseronsistentesomosmodelosfsiosmodelados.
Estemodelosoneituaiss~aoosonstrudos,projetados
pelos professores,enontradosnoslivros,parafailitar
aompreens~aode um modelo fsio, omo os que s~ao
tratadosnosproblemas.
Nossa proposta e enorajar os alunos a
interpre-tarmentalmenteeexpressarverbalmenteastarefasque
lhess~aopropostas,assimomoosresultadosnumerios
e graos que obt^em delas. Um aspeto lingustio
ruial para se entender oraionioientoe a
ex-plia~ao, emoposi~aoao usode termostenios
isola-dos. Dizerqueainvers~aodosentidodeummovimento
oorre sempre que a veloidade seanula n~ao signia
que estejamos onsientes do que se passa no
movi-mento: preisamos entender em que ondi~oes isso e
possvel. Esta irunst^ania envolve a quest~ao da
in-fer^enia e explia~ao ientas. Outro aspeto n~ao
menosimportanteealinguagemmatematia.
Segundo o fsio, historiador e losofo da i^enia,
PierreDuhem (1949, apud Carey e Spelke, 1994), os
ientistasn~aoonstroemdiretamentedosenso omum
aompreens~aodosfen^omenosfsios,mastransladama
linguagemdaexperi^eniaordinariaparaumadesri~ao
matematiadomundo;ent~aoelesprouram
~oeseregularidadesnestadesri~aomatematia. Estas
generaliza~oes, traduzidas paraa linguagemdos
obje-tos dodia adia, onstituir~ao as leis fsias. O queos
ientistas fazemeriar mapeamentos entre a Fsia e
aMatematia. Nersessian(1992)exempliaeste
ma-peamento entredomniosdoonheimentoomos
om-mentaisdefen^omenosreaisouimaginarios. Damesma
forma,podemosesperarquenossosalunosultrapassem
osnuleosdeseussistemaspreviosdeonheimentopor
meiodemapeamentodediferentesdomniosde
onhe-imento.
Perguntasemformadeliberadamentesoratias
po-dem ajudar nesta tarefa. Como ja foi omentado e
justiadoanteriormente,respostaslaraseexplia~oes
luidas da parte do professor n~ao s~ao suientes para
mudanas nas onep~oes dos alunos, ebeneiar~ao a
aprendizagemdelesmenosdoqueoonfrontoom
on-tradi~oeseinonsist^eniasquelevariamamodiar
re-ursivamenteseusmodelosmentais.
A presena de onep~oes semelhantes envolvendo
um numero signiativode indivduos nos impulsiona
paraontinuarmosestapesquisasobreopapelda
mode-lagem mental nainterpreta~aodos enuniadosde
pro-blemasdeFsia. Estaquest~ao,dareinid^eniade
ati-tudes por parte dos alunos frente aos enuniados dos
problemas,aolongode5semestresonseutivos,eum
desaoparanossotrabalhonatentativaderevertereste
quadro.
Comoarma Moreira (1996,p.230) sobre aTeoria
dosModelosMentaisdeJohnson-Laird:
\Possivelmente, este e um referenial promissor,
porem mais difil metodologiamente. A ideia de que
as pessoas, ou os alunos no aso, onstroem modelos
mentaisdomundo,i. e.,\re-presentam"internamente
omundoexternoeatraente. Oproblemaequeedifil
investigar tais modelos. Os modelos mentais das
pes-soas, ao inves de serem preisos, onsistentes e
om-pletos, omoosmodelosientos, s~ao,simplesmente,
funionais. Na pesquisa, ao inves de busar modelos
mentaislaroseelegantes,teremosqueentenderos
mo-delos onfusos, \poludos", inompletos, instaveis que
osalunosrealmentet^em. E issoedifil!"
Pesquisas paralelas, enfoando a resolu~ao de
pro-blemas aparentemente semelhantes (Costa e Moreira,
2000), t^em aresentado informa~oes relevantes neste
sentido. Areditamos queexista num aminhoviavel,
queinluiumareformula~aonoproessodeensino,
en-volvendo a modelagem dos enuniados dos problemas
deFsia,omoobjetivodeobtermosmelhores
desem-penhos na aprendizagem. Para isso, temos insistido
quenossosalunosdesenvolvamumaanalise rtia dos
enuniadosdosproblemasquelhess~aopropostos,
abor-dandoonteudosespeostrabalhadosemaula. Esse
proedimento temajudado adetetar fatoresque
di-ultamatarefaderesolu~aodeproblemase,aomesmo
tempo, auxiliadoaorroborarnossahipotesedequee
possvelajuda-losamodelarmentalmenteassitua~oes
representadasnosenuniadosdosproblemas. Uma
pro-postaomesteobjetivoestanosnossosplanosparaum
proximotrabalho.
Refer^enias
physis teahing. NewYork: JohnWiley&Sons.
BEER, F.P., JOHNSTON, E.R.(1991). Me^ania
VetorialparaEngenheiros {CinematiaeDin^amia(5
ed). S~aoPaulo: EditoraMGraw-Hill.
CAREY, S., SPELKE,E. (1994). Domain-spei
knowledgeandoneptualhange. In:GELMAN,S.A.,
HIRSCHFELD, L.A.(Eds.) Mapping the mind {
Do-main Speityin Cognition and Culture. Cambridge:
UniversityPress,p. 474-493,1994.
COSTA, S.S.C., MOREIRA, M.A. (1996).
Res-olu~aodeproblemasI:diferenasentrenovatose
espe-ialistas. Investiga~oes em Ensino de Ci^enias, Porto
Alegre,v.1,n.2,p. 176-192.
(1977a). Resolu~ao de problemasII:
pro-postasdemetodologiasdidatias. Investiga~oesem
En-sinode Ci^enias, PortoAlegre,v.2,n.1,p. 5-26.
(1997b). Resolu~ao de problemas III:
fa-toresqueinueniamnaresolu~aodeproblemasemsala
de aula. Investiga~oes em Ensino de Ci^enias, Porto
Alegre,v.2,n.2,p. 65-104.
(1997). Resolu~ao de problemasIV:
es-trategias para resolu~ao de problemas. Investiga~oes
em Ensino de Ci^enias, Porto Alegre, v. 2, n.3, p.
153-184.
(1998). Modelagem em resolu~ao de
pro-blemas: estudo preliminar. Atas do VI Enontro
de Pesquisa em Ensino de Fsia (CD-ROM).
Flo-rianopolis,26a30deoutubro,11p.
(2000). Aresolu~aodeproblemasomoum
tipoespeialdeaprendizagemsigniativa. AtasdoIII
Enontro Internaional sobre Aprendizagem
Signia-tiva,Penihe,11a15desetembro,p. 243-252.
FONSECA,A. (1964). Din^amia. Rio de Janeiro:
EditoraLivrostenioseCientos.
GARNHAM, A. (1997). Representinginformation
inmentalmodels. In: CONWAY,M.A.(ed.). Cognitive
Models ofMemory (1997). Cambridge,MA:TheMIT
Press.
GILP
EREZ,D.,MART
INEZTORREGROSA,J.,
SENENT P
EREZ, F. (1988). El fraaso enla
resolu-ion de problemas de fsia: una investigaion
orien-tadapornuevossupuestos. Ense~nanzadelasCienias,
Barelona,v. 6,n. 2,p. 131-146.
GRECA, I.M., MOREIRA, M.A. (2000). Mental
Models, oneptual models, and modelling.
Interna-tional Journal of Siene Eduation, v. 22, n. 1, p.
1-11.
HIBBELER, R.C. (1985). Me^ania { Din^amia.
RiodeJaneiro: EditoraCampus.
(1999). Me^ania - Din^amia. (8 ed.).
Rio de Janeiro: Livros Tenios e CientosEditora
S.A.
JOHNSON-LAIRD, P.N. (1983). Mental models.
Cambridge,MA:HarvardUniversityPress.
JOHNSON-LAIRD, P.N. (1990). El ordenador
MDERMOTT, L., ROSENQUIST, M.L., VAN
ZEE, E.H.(1987). Student diÆulties in onneting
graphsandphysis:Examplesfromkinematis.
Ameri-amJournalofPhysis,v. 55,n. 6,p. 503-513.
MERIAM,J.L.,KRAIGE,L.G.(1999). Me^ania
-Din^amia. (4 ed.). Rio deJaneiro: Livros Teniose
CientosEditoraS.A.
MOREIRA,M.A.(1996). ModelosMentais.
Inves-tiga~oesemEnsinode Ci^enias. PortoAlegre,v. 1,n.
3,p. 193-232.
MOREIRA,M.A.,COSTA,S.S.C.(2000). Pesquisa
em resolu~ao deproblemasem Fsia: uma vis~ao
on-tempor^anea. In: MOREIRA, M.A., SAHELICES,
C.C., VILLAGR
A, J. M. (orgs.), I Esuelade verano
sobre InvestigaionemEnse~nanza delasCienias,
A-tas,p. 53-82.
NERSESSIAN, N.J. (1992). How Do Sientists
Think? Capturing the Dynamis od Coneptual
ChangeinSiene. In: GIERE,R.N.(Ed.). Minnesota
StudiesinthePhilosophy ofSiene,v. XV.
Minneapo-lis: MinnesotaPress.
NEWELL,A., SIMON, H.A (1972). Human
prob-lem solving. EnglewoodClis,N.J.: Prentie Hall.
NORMAN,D.ASomeobservationsonmental
mod-els. (1983). In: GENTNER, D., STEVENS, A.L.
(Eds.). Mental models. New Jersey: Lawrene
Erl-baumAssoiates,p. 7-14.
RESNICK,L.B. (1994). Situated rationalism:
Bi-ologial andsoialpreparationfor learning. In:
GEL-MAN, S.A., HIRSCHFELD, L.A.(Eds.) Mapping the
mind { Domain Speity in Cognition and Culture.
Cambridge: UniversityPress,p. 474-493,1994.
ROSENQUIST,M.L.,MDERMOTT,L.C.(1987).
A oneptualapproahtoteahing kinematis.
Amer-ianJournal ofPhysis,v. 55,n.5,p. 407-412.
SCHOENFELD, A.H. (1985). Mathematial
prob-lem solving. Orlando: AademiPress.
STERNBERG, R.J. (1996). Psiologia Cognitiva.
Porto Alegre, Artes MediasSul (2000). Tradu~ao de
Cognitivepsyhology, Holt,RinehartandWinston.
TROWBRIDGE,D.E.,MDERMOTT,L.(1980).
Investigation of student understanding of the onept
of veloity in one dimension. Amerian Journal of
Physis,v. 48,n. 12,p. 1020-1028.
(1981). Investigation of student
un-derstanding of the onept of aeleration in one
di-mension. AmerianJournalof Physis,v. 49,n. 3,p.
242-253.
VOSNIADOU,S. (1994). Capturingandmodeling
the proess of oneptual hange. Learning and
In-strution,v. 4,p. 45-69.
ZYLBERSZTAJN, A.(1998). Resolu~aode
proble-mas: uma perspetivakuhniana. In: VI Enontro de
Pesquisa em Ensino de Fsia, Atas (CD-ROM).
Flo-VI ANEXO
LISTA 1
1. O movimento de um ponto material e denido
pela rela~ao x = t 4
{ 3t 3
+ t, onde x e expresso em
metros et em segundos. Determinara posi~ao, a
ve-loidadeeaaelera~aoquandot=2s.
Resp. : -6m, - 3m/s, 12m/s 2
2. A rela~ao x = t 3
{ 12t 2
+ 45t + 18 (S.I.)
re-presentaaposi~aodeumpontomaterialemfun~aodo
tempo. Determinar: a)oinstanteparaoquala
veloi-dadeseanula; b)aposi~ao, aaelera~aoeadist^ania
perorridaaomde5s.
Resp.: a)3e5s; b)68 m,6m/s 2
;58m
3. Uma partula se move ao longo de uma linha
horizontaltalquesuaveloidadeedadaporv=(3t 2
{
6t)m/s,ondeteotempoemsegundos. Seapartula
estainiialmenteloalizadanaorigem0,determine: a)
adist^ania perorrida desde t = 0 ate t = 3,5s; b) a
veloidademediaeesalar(modular)mediaduranteo
mesmointervalodetempo;)aaelera~aoinstant^anea
em t= 3,5s. Interprete todos os resultados om suas
propriaspalavras.
Resp.: a)14,1m;b)1,7m/se4,0m/s; )15 m/s 2
4. Aaelera~aodeumpontomaterialediretamente
proporionalao tempo t(a = kt, ondek e uma
ons-tante). No instante iniial (t = 0), sua veloidade e
{5m/s e sua aelera~aoe nula. Sabendo-se que v =
0e x = 10m quando t =2s, esreveras equa~oes que
araterizamomovimento.
Resp: a= 5
2
t;v= -5+ 5
4 t
2
;x= 50 3 5t+ 5 12 t 3
5. No mesmo instante, dois automoveis A e B,
partemdorepousodeumalinhadelargada. Oprimeiro
possui uma aelera~ao onstante a
A
= 8 m/s 2
,
en-quanto o segundo possui uma aelera~ao a
B = p 2t 3 m/s 2
, onde t e medido em segundos. Determine a
dist^ania entre os automoveisquando A alana uma
veloidadede120km/h.
Resp.: erade 35m
6. Um argueiro move-se a uma veloidade de 8
nos(poruriosidade,1no=1milhamartima/hora=
1,852km/h) quandoseusmotoress~ao repentinamente
parados. Se o argueiro demora 10 min para reduzir
ede sua veloidadev, em nos,em fun~ao dotempot
durante este intervalo. Represente-astambematraves
degraos. Adesaelera~aodonavioeproporionalao
quadradodasuaveloidade,ouseja,a=-kv 2
.
Resp.: v=8/ (1+6t);s =4/3 ln(1+6t)
7. Omovimentodeumponto materialedadopela
fun~ao horariada posi~ao: x= 2t 3
{15t 2
+24t + 4
(S.I.). Determine: a) o instante em que aveloidade
seanula;b)aposi~aoeadist^aniatotalperorridaate
quandoaaelera~aoseanula.
Resp.: a)1se 4s;b) 1,5me 24,5m
8. A aelera~aode umponto material ea= -k/x.
Determinou-seexperimentalmentequev=3m/sea=
-1,2m/s 2
,quandox=500mm. Obtera)aveloidade
quando x = 750 mm e b) a posi~ao do ponto para a
qualasuaveloidadeenula.
Resp.: a) 2,92 m/s; b)904m.
9. Aveloidadedeumapartulaqueatravessaum
lquido para baixo e medida em fun~ao de seu
deslo-amento s por v = (125-s) mm/s, onde s e dado em
mm. Determine: a) a aelera~ao da partula quando
elaestaloalizadaa100mmapartirdasuaposi~ao
ori-ginal;b)adist^aniaqueapartulaperorreateparar;
) otemponeessarioparaelaparar.
Resp.: a) -25mm/s 2