Teoria de Ramsey para circuitos e caminhos

para iruitos e aminhos

Fabriio Siqueira Benevides

Dissertação Apresentada

ao

Instituto de Matemátia e Estatístia

da

Universidade de São Paulo

para

Obtenção de Título de Mestre

em

Ciênias

Área de onentração: CiêniasdaComputação

Orientador: Prof. Dr. Yoshiharu Kohayakawa

Durante a elaboração deste trabalho o autor reebeu auxílio naneiro

para iruitos e aminhos

Esteexemplar orrespondeàredação nalda

dissertaçãodevidamenteorrigidaedefendida

por Fabriio Siqueira Benevides e aprovada

pelaomissão julgadora.

São Paulo, 10 de junhode 2007

Bana examinadora:

Prof. Dr. Yoshiharu Kohayakawa (presidente) IME-USP

Prof. Dr. Carlos Gustavo Tamm de AraujoMoreira IMPA

A Deus, por oloar as pessoas ertas em meu aminho e por me emprestar todas as

ferramentas neessárias aomeu desenvolvimento inteletual e moral.

Ao ProfessorDr. Yoshiharu Kohayakawa, pelaorientaçãosegura,sem a qualnão seria

possívelarealização deste trabalho.

AoProfessor Dr.JozefSkokan,peloinentivo nafasenaldestetrabalho e pelos v

alo-rosos insights.

AoProfessorDr.PauloFeoloeaosdemaismembrosdabanapelauidadosaleitura

dessa dissertação e pelos valorosos onselhos que vieram amelhorar signiantemente

o texto.

À Fundação deAmparo à Pesquisa do Estado de SãoPaulo(FAPESP) e aoConselho

Naional de Desenvolvimento Cientío e Tenológio (CNPq), pelas onessões das

bolsasde estudoparaa realização deste trabalho.

Aosmeus olegas de turma do Institutode Matemátia e Estatístia da Universidade

de São Paulo, pela alorosa reeptividade e pelos bons momentos em que estivemos

juntos. Voêsrealmente meajudaram muitonessa aminhada.

Gostaria de agradeer também a toda minha família por me proporionar o

ambi-ente de amor onde tive a sorte de reser. Meus irmãos, unhada e sobrinhos foram

partiularmenteimportantes.

Tambémsougratoespeialmenteaomeuirmãoeàminhairmã por sempreteremsido

exemplos devida paramim.

Finalmente, Estareiemdébito eternoommeus paise omJuliana pelaompreensão,

paiêniaintermináveleenorajamentosquandoesteserammaisneessários. Paraeles,

OsprinipaisobjetosdeestudonestetrabalhosãoosnúmerosdeRamseyparairuitos

e olema daregularidade deSzemerédi. Dados grafos

L

1

, . . . , L

k

,onúmerode Ramsey

R

(

L1, . . . , L

k

)

é o menor inteiro

N

tal que, para qualquer oloração om

k

ores das arestas dografoompleto om

N

vérties,existe umaor

i

paraaqual alassede or orrespondente ontém

L

i

omo um subgrafo. Estaremos espeialmente interessados no asoem queosgrafos

L

i

sãoiruitos.

Diversos resultados sobre este tema surgiram na última déada. No apítulo 1,

enuniamos alguns desses resultados, inluindo umresultado original. No apítulo 2,

apresentamos umbreve histório sobre teoriade Ramsey etodas asdenições básias

neessárias paraaqueles que não estão familiarizados om a área. Em seguida,

intro-duzimosolema daregularidadeeexibimosumaapliaçãodestelemaemumproblema

em que temos interesse. No apítulo 4, exibimos umaprova detalhada de umreente

lema de estabilidade sobre emparelhamentos grandes em

3

-olorações de grafos quase

ompletos. Estelemaseráneessárionaprovadoresultadoprinipaldoapítulo5,que

The main objets of interest inthis work are the Ramseynumbers for yles and the

Szemerédiregularitylemma. Forgraphs

L

1

, . . . , L

k

,theRamseynumber

R

(

L

1

, . . . , L

k

)

istheminimuminteger

N

suhthatforanyedge-oloringoftheompletegraphwith

N

verties by

k

olorsthere existsa olor

i

for whih the orresponding olor lass on-tains

L

i

asasubgraph. Wearespeiallyinterestedintheasewherethegraphs

L

i

are yles.

Many results about this theme were obtained in the last deade. In hapter 1,

we enumeratesome of these results, inluding an original one. In hapter 2, we state

the basi denitions, speially for those who are not familiar with this subjet, and

give an historial overview of Ramseytheoryitself. Inthe nexthapter, we introdue

the regularity lemma and we exhibit an appliation of this lemma in a problem of

our interest. In hapter 4, we show a detailed proof of a very reent stability lemma

about large mathings in a

3

-oloring of an almost omplete graph. This lemma will

beneessaryintheproof ofthemainresultofhapter5,whih isthemain produtof

Agradeimentos v

Resumo vii

Abstrat vii

1 Introdução 1

2 Coneitos básios e histório 5

2.1 Breve histório da teoriade Ramsey . . . 5

2.2 Colorindo arestas degrafos . . . 8

2.3 Ramsey paragrafos. . . 11

2.4 Teoremas de densidade . . . 14

3 Lema da regularidade 17 3.1 Uma apliaçãodo lemada regularidade . . . 22

4 Um lema de estabilidade 25 4.1 Ferramentas e resultados do tipoRamsey . . . 28

4.2 Prova dolema 4.1. . . 34

4.2.1 Caso 1 daprova: existe uma4-partição . . . 37

4.2.2 Caso 2 daprova: existe umaomponentemonoromátia grande 40 4.2.3 Prova dolema 4.11: reduzindo oloraçõesextremais fraas . . . . 51

5 Ramsey para iruitos pares 57 5.1 Prova doteorema . . . 59

5.2 Caminhos e iruitosemgrafos densos . . . 62

5.3 Prova doslemas5.3e 5.5 . . . 65

5.4 Prova dolema 5.4. . . 72

Introdução

Dados grafos

L

1

, . . . , L

k

,o número de Ramsey

R

(

L

1

, . . . , L

k

)

é o menor inteiro

N

tal que,paraqualqueroloraçãoom

k

oresdasarestasdografoompletoom

N

vérties, existe umaor

i

paraaqual a lassede ororrespondenteontém

L

i

omo subgrafo. Começamos exibindo alguns resultados para os asos em que

k

é igual a

2

ou

3

e os grafos

L

i

sãotodosiruitosoutodosaminhos.

Oasoemquetemosapenasduasoreseosgrafos

L

1

,

L

2

sãoaminhosfoiresolvido ompletamente há algum tempo em [15 ℄. Se

P

n

denota um aminho om

n

vérties, sabe-seque, para

n

≥

m

≥

2

,

R

(

P

n

, P

m

) =

n

+

j

m

2

k

−

1

.

Em partiular, temosque

R

(

P

n

, P

n

) =

_3n

₋

₂

2

.

Demodosemelhante,oasoemqueosgrafos

L

1

,

L

2

sãoiruitosfoiompletamente soluionado por Bondy e Erd®s em [4 ℄. Reentemente, Károlyi e Rosta onseguiram

refazer este trabalho de forma simplese autoontida em[20 ℄. Este resultadopode ser

resumido no teoremaa seguir,onde

C

n

denotaumiruito detamanho

n

. Teorema 1.1. Sejam

3

≤

m

≤

n

inteiros. Então

R

(

C

n

, C

m

) =















6

,

m

=

n

= 3

,

4

,

n

+

m/

2

₋

1

,

m, n >

4

,

sãopares,

max

_{

2

m

₋

1

, n

+

m/

2

₋

1

_}

, m

épar e

n

é ímpar,

2

n

−

1

,

asoontrario.

resultados sobre situaçõespartiulares. Vejamos alguns resultados reentes. Bondy e

Erd®s, ainda em[4℄,onjeturaram que, se

n >

3

é ímpar,então

R

(

C

n

, C

n

, C

n

) = 4

n

−

3

.

Duranteumbomtempo,houvepouosavançosnadireçãodeprovartalonjetura.

Até que, em1999, Šuzak[23℄ provou quese

n

éímpar então

R

(

C

n

, C

n

, C

n

) = 4

n

+

o

(

n

)

,

(1.1)

quando

n

→ ∞

. Reentemente, Kohayakawa, Simonovits e Skokan [19 ℄ onseguiram melhorar o teoremaaima. Eles provaramo teoremaa seguir.

Teorema 1.2. Existe uminteiro

n

0

talque paratodo

n > n

0

,

n

ímpar, temos

R

(

C

n

, C

n

, C

n

) = 4

n

−

3

.

Contudo, o aso em que

n

é par é bastante diferente do aso em que

n

é ímpar. Reentemente, Figaje Šuzak [10 ℄ obtiveram umresultado assintótioparaeste aso,

mesmo quandoosiruitospossuemtamanhosumpouo diferentes.

Teorema 1.3. Dados

α

1

,

α

2

,

α

3

>

0

,temos

R

(

C

2

⌊

α1n

⌋

, C

2

⌊

α2n

⌋

, C

2

⌊

α3n

⌋

) = (

α1

+

α2

+

α3

+ max

{

α1, α2, α3

}

+

o

(1))

n,

quando

n

→ ∞

. Istoimplia que, empartiular, para

n

par temos

R

(

C

n

, C

n

, C

n

) = 2

n

+

o

(

n

)

,

quando

n

→ ∞

.

Pouo depois, independentemente, Gyárfás, Ruszinkó, Sárközy e Szemerédi [17 ℄

provaram um resultado semelhante, porém maispreiso, paraaminhos, onrmando

uma onjetura deFaudreee Shelp [9℄.

Teorema 1.4. Existe uminteiro

n

0

talque, paratodo

n > n

0

,temos

R

(

Pn, Pn, Pn

) =

2

n

₋

1

, n

ímpar,

2

n

−

2

, n

par.

Duranteestetrabalhodemestrado,emonjuntoomJozefSkokan[2 ℄,onseguimos

provar queo resultadojusto,

R

(

C

n

, C

n

, C

n

) = 2

n,

A prova faz usodo lema da regularidade de Szemerédi e de um lema de estabilidade

de [17℄ sobre emparelhamentos grandes em

3

-olorações de grafos quase ompletos.

Ao estudarmos a prova desse lema de estabilidade, ahamos um pequeno deslize na

análise deumdossubasos dessaprova. Essedeslize aabounosmostrandoque havia

um erro no próprio enuniado do lema. Contudo, esse erro foi failmente orrigido,

deixando o enuniado do lema um pouo mais frao do que o original, e mesmo om

esta versãomaisfraaépossívelprovar oteoremaprinipalde [17 ℄e onossoresultado

parairuitos.

Noapítulo2,fazemosumbreveresumohistóriosobreteoriadeRamseyemgeral.

Apresentamos entãodiversosoneitosbásiose xamosalgumanotação. Em seguida,

introduzimos o lema da regularidade e ilustramos uma apliação deste lema em um

problemaemquetemosinteresse. Noapítulo4,exibimosumaprovadetalhadadolema

de estabilidademenionado aima. Amotivação paratal apítuloétermos umaprova

autoontida do nosso resultado original, o teorema 5.1. Contudo, o leitor ansioso em

veraprovadesteteoremasópreisaentenderoenuniadodolema deestabilidade4.1,

Coneitos básios e breve histório

2.1 Breve histório da teoria de Ramsey

Os teoremas do tipo Ramsey têm sido extensivamente estudados durante a última

déada. Elesenquadram-senalassedeproblemasquehamamosdeextremais. Neste

tipodeproblema,normalmenteprouram-sefunçõeslimiaresparaotamanhodeertas

estruturas de modoque sempresejapossívelenontrarnestasumadada subestrutura.

De erta forma, teoremas do tipo Ramsey armam que não existe o aos absoluto

dentro de tais estruturas gerais, o que torna o assunto bastante motivador. Façamos

umbreve resumohistório.

Em 1928,o jovemmatemátiobritânio Frank Plumpton Ramseyesreveu um

ar-tigointituladoOnaprobleminformallogi,publiadonoProeedingsoftheLondon

Mathematial Soiety em1930. Este artigo tratava de um problema algorítmio em

lógia proposiional. Nele, Ramsey prova um resultado puramente matemátio, hoje

onheido omo teorema de Ramsey. Tal teorema, que a prinípio era apenas mais

uma ferramenta noartigo, aabou mostrando ter maior relevânia do que o problema

original desse artigo.

Denição 1. Uma oloração om

r

ores, ou simplesmente uma

r

-oloração, de um onjunto

S

é uma função

f

:

S

→ {

1

, . . . , r

}

qualquer. Em geral, ao exibirmos uma oloração, espeiamosumafamília de subonjuntosde

S

,

{

S

1

, . . . , S

r

}

,tal que

S

i

=

{

s

∈

S

:

f

(

s

) =

i

}

é oonjunto dosvérties quereeberam aor

i

.

Teorema 2.1(Ramsey). Seja

G

umonjunto innito esejam

k

e

r

inteirospositivos. Então, paratoda oloração da família dossubonjuntos om

k

elementos de

G

om

r

ores existe um subonjunto innito monoromátio

F

de

G

,ou seja,tal quetodosos subonjuntos de

F

om

k

elementos têm amesma or.

Teorema 2.2 (Ramsey, versão nita). Dados inteiros

k

,

r

e

n

, existe uminteiro

N

0

tal quepara todo

N

≥

N

0

e todo onjunto

G

om

N

elementos temosque: para toda oloração da família dos subonjuntos om

k

elementos de

G

om

r

ores existe um subonjunto monoromátio

F

de

G

,ouseja, talquetodosossubonjuntosde

F

om

k

elementos têma mesmaor, talque

|

F

|

=

n

.

Denição 2. Dados

k

,

r

e

n

,denotamosomenorinteiro

N

0

omapropriedadeaima por

R

r

(

n

;

k

)

.

Observação. Àsvezes,estamosinteressadosnoasoassimétrioondeparaadaor

i

é dadouminteiro

n

i

espeiandootamanhodoonjunto monoromátioquequeremos enontrar na or

i

. Por exemplo, para duas ores, dados inteiros

n

1

,

n

2

e

k

, existe um inteiro,que tomamos menor possível,

R2

(

n1

, n2

;

k

)

tal que, se

|

G

| ≥

R2

(

n1, n2

;

k

)

, então, em toda oloração da familia dos subonjuntos om

k

elementos de

G

om duas ores, existe um onjunto monoromátio

F

i

de or

i

tal que

|

F

i

|

=

n

i

para

i

igual a

1

ou

2

. Isso segue diretamente do teorema anterior já que

R2

(

n1, n2

;

k

)

≤

R

2

(

n

;

k

)

onde

n

= max

{

n

1

, n

2

}

. Parasimpliar a notaçãodenotamos

R

(

n

1

, n

2

;

k

) :=

R

2

(

n

1

, n

2

;

k

)

Pouo antes de Ramsey enuniar seu teoremasobre oloraçõesde onjuntos, Issai

Shur, aluno de Frobenius e inueniado bastante por este, estudava olorações de

númerosnaturais. Umdosresultados obtidos porShur éo teoremaa seguir.

Denição 3. Denotamos o onjunto dos

n

primeiros inteiros positivos,

{

1

,

2

, . . . , n

}

, por

[

n

]

.

Teorema 2.3 (Shur). Para todo inteiro positivo

r

, existe um inteiro

n

=

S

(

r

)

tal que, paratoda oloração

f

: [

n

]

→

[

r

]

,dos

n

primeiros inteiros positivosom

r

ores, existem

x, y

∈

[

n

]

tais que

f

(

x

) =

f

(

y

) =

f

(

x

+

y

)

, ou seja,

x

,

y

e

x

+

y

possuem a mesma or.

Talproblemaapareeuemumatentativade Shur dedar umaprovaelegantepara

a versão modular da onjetura de Fermat: ele aabou onluindo que a equação

x

m

+

y

m

≡

z

m

( mod

p

)

possui solução inteira para todo

m

e todo primo

p

suien-temente grande. Ele tinha interesses bastante variados na matemátia. Ao tentar

resolver um problema sobre a distribuição de resíduos quadrátios, deparou-se om a

seguintequestão: seráqueparatodointeiro

k

existeum

n

talquetodaoloraçãode

[

n

]

omduasorespossuiumaprogressãoaritmétiamonoromátiadetamanho

k

? Shur onjeturou que sim, mas não onseguiuresolver o problema. Após algum tempo em

aberto, o problema hegou aos ouvidos de Bartel Leendert van derWaerden e outros

estudantes em Göttingen. Em 1927, van der Waerden deu uma resposta armativa

paraa questão, onrmando aonjetura deShur.

Para instigarauriosidadedoleitoremostraromooteoremadeRamseypodeser

usadonasmaisdiversasáreasde matemátia, exibimosaquiumaprova doteoremade

Erd®s-Szekeres (1935).

Teorema 2.5 (Erd®s-Szekeres). Dado um inteiro

n

, existe um inteiro

f

(

n

)

tal que todoonjunto depelomenos

f

(

n

)

pontosnoplano,semtrêspontosolineares,ontém umsubonjunto de tamanho

n

queforma um

n

-ágonoonvexo.

Prova. Armamos que é suiente tomar

f

(

n

) =

R

(

n,

5; 4)

. Tome um onjunto de

f

(

n

)

pontos no plano onde não há três pontos olineares. Temos que mostrar que existem

n

deles que formam um

n

-ágono onvexo. Vamos olorir ada onjunto de quatro desses pontos om uma de duas ores: usamos a or

1

se esses quatro pontos

formam, emalguma ordem, umquadrilátero onvexo, aso ontrário, usamosa or

2

.

Pelaesolha de

f

(

n

)

,o teoremade Ramseynosdiz que:

1. ou existem

n

desses pontos tais que quaisquer

4

deles formam um quadrilátero onvexo;

2. ouexistem

5

dessespontostaisquequaisquer

4

delesnãoformamumquadrilátero

onvexo.

Suponha que o primeiro aso aontee e onsidere os tais

n

pontos. Armamos que estes pontos formamum polígono onvexo. Se essa armação fosse falsa, entãoa

envoltória onvexa dos

n

pontosonsistiria de

t

pontos, para algum

t < n

. Ospontos restantes estariam dentro do

t

-ágono determinado pela envoltória onvexa destes

t

. Chamamosessespontosdepontosinternos. Agora,sezermosumatriangularizaçãodo

t

-ágonoentão,omonãohátrês pontosolineares,umdospontosinternos,digamos

x

, airádentrodeumdostriângulos. Oponto

x

juntamenteomosvértiesdessetriângulo nãoformamumquadriláteroonvexo. Issoéumaontradição. Logo,ospontosformam

o

n

-ágonoonvexo desejado.

Suponha agora que o segundo aso aontee e onsidere os tais

5

pontos. Como

quaisquer

4

delesformamumquadriláteronavoenãohá

3

delesolineares, a

envol-tória onvexa desses

5

pontosdeve serum triângulo. Logo,

2

pontos estão no interior

desse triângulo. A reta que passa por eles divide o plano em dois semi-planos, um

dos quaisdeve onter exatamente dois vérties da envoltória onvexa. Essesdois

vér-ties juntamente om osdois pontos internos formam umquadrilátero onvexo. Mas

isto ontradiz a esolha dos

5

pontos. Logo, na verdade, este segundo aso não pode

aonteer.

Nas últimas duas déadas, teoria de Ramsey deixou de ser um emaranhado de

problemas e teoremas etornou-se umasubdisiplina oesadaanálise ombinatória. É

possívelaté enontrar livros espeíos sobre o assunto, por exemplo, [16℄. Contudo,

2.2 Colorindo arestas de grafos

Neste trabalho estudamos apenas olorações da família dossubonjuntos de dois

ele-mentosde

[

n

] =

{

1

,

2

, . . . , n

}

. Noteque issoequivale a estudar olorações dasarestas de umgrafoompleto om

n

vérties.

Sempre que falarmos de oloração de um grafo

G

estaremos nos referindo a uma oloração das arestas de

G

. Esrevemos ordem para nos referirmos ao número de vértiesde umgrafoe tamanho paranosreferirmos aonúmerode arestas. Umalique

é um subgrafo ompleto de um grafo. Elaé monoromátia se foi atribuída a mesma

or paratodasassuas arestas. Uma notação bastante omumem teoriade Ramseyé

a seguinte.

Denição 4. Esrevemos

n

_→

(

l

)

r

se para toda

r

-oloração do grafo ompleto om

n

vérties podemos enontrar uma lique monoromátia de ordem

l

. Mais geralmente, esrevemos

n

→

(

l

1

, . . . , l

r

)

se, para qualquer

r

-oloração do grafoompleto om

n

vérties, podemos enontrar uma lique monoromátia de ordem

l

i

da or

i

paraalgum

1

≤

i

≤

r

.

Denição 5. Afunção de Ramsey

R

(

l

1

, . . . , l

r

) :

N

r

_→

_N

denotaomenor inteiro

n

tal que

n

→

(

l1

, . . . , lr

)

.

Ademais, dados

l

1

, . . . , l

r

, dizemos que

R

(

l

1

, . . . , l

r

)

é o número de Ramsey de

l

1

, . . . , l

r

.

Usamos também

n

→

(

l

)

para denotar a mesma oisa que

n

→

(

l, l

)

e

n

→

(

l

)

2

. Domesmomodo

R

(

l

)

é usadoparadenotar

R

(

l, l

)

. Éimportanteobservarqueopapel das ores no grafo não é simétrio. Por exemplo, suponha que queremos provar que

R

(

l1, l2

) =

n

,paraertosinteiros

l1

< l2

e

n

. Empartiular,temosqueprovarquedada uma

2

-oloração do grafo ompleto om

n

vérties, om as ores

1

e

2

, onseguimos ahar umalique de ordem

l

1

da or

1

ou umalique monoromátia de ordem

l

2

da or

2

. Contudo, se aharmos uma lique monoromátia de ordem

l1

na or

2

ainda não resolvemos oproblema. Por outro lado, éfáil veriar que

R

(

l

1

, l

2

) =

R

(

l

2

, l

1

)

.

Como ilustração,vamos exibirumaprovade umaversão doteoremade Ramsey,a

sabera versão paraoloração de arestas de um grafoompleto. As provas dasoutras

versõesqueenuniamos sãosemelhantes a esta.

Teorema 2.6 (Ramsey). A função

R

deRamsey estábemdenida, isto é,paratoda

r

-upla

(

l

1

, . . . , l

r

)

∈

N

r

existe

n

talque

Prova. Façamos primeiro o aso em que

r

= 2

. Para tanto, faremos indução sobre

l

1

+

l

2

. Notequepodemosassumirque

R

(1

, l

) =

R

(

l,

1) = 1

paratodo

l

,porvauidade. Ademais, é trivial veriar que

R

(

l,

2) =

R

(2

, l

) =

l

para todo

l

. Isto é mais do que suiente paraa baseda indução. Agoratome

l

1

, l

2

>

1

e suponha,omo hipótese de indução, que

R

(

l

1

, l

2

−

1)

e

R

(

l

1

−

1

, l

2

)

existem. Armamos que

R

(

l1, l2

−

1) +

R

(

l1

−

1

, l2

)

→

(

l1, l2

)

.

Seja

G

o grafo ompleto om

n

vérties,

n

=

R

(

l

1

, l

2

−

1) +

R

(

l

1

−

1

, l

2

)

. Fixe uma

2

-oloração

χ

de G.Esolha umvértie

x

∈

V

(

G

)

qualquer e dena

V

1

=

{

y

∈

V

(

G

) :

χ

(

x, y

) = 1

}

,

V

2

=

{

y

∈

V

(

G

) :

χ

(

x, y

) = 2

}

=

V

(

G

)

−

V

1

− {

x

}

.

Então

|

V

1

|

+

|

V

2

|

=

n

−

1

,de modo que 1.

|

V

1

| ≥

R

(

l

1

−

1

, l

2

)

ou

2.

|

V

2

| ≥

R

(

l

1

, l

2

−

1)

.

Suponha que (1)oorre. Pela denição de

R

,o onjunto

V

1

possui umalique mono-romátia daor

2

deordem

l

2

oupossuiumaliquemonoromátia daor1deordem

l

1

−

1

. Noprimeiro aso, já enontramosoque queríamos. No segundoaso, podemos aresentar

x

à lique deordem

l

1

−

1

e obter umalique de ordem

l

1

da or

1

donde também enontramoso quequeríamos. Oasoemque

(2)

oorreé análogo.

Finalmente, o aso em que

r >

2

também é tratado de maneira análoga. Basta fazermos aindução sobre

l

1

+

. . .

+

l

r

apósveriar abasee que

2 +

r

X

i=1

(

R

(

l

1

, . . . , l

i

−

1

, l

i

−

1

, l

i+1

, . . . , l

r

)

−

1)

→

(

l

1

, . . . , l

r

)

.

Apartir destaprovaonluímos também que

R

(

l, k

)

≤

R

(

l, k

−

1) +

R

(

l

−

1

, k

)

.

E a partirdesta equação e do fato de que

R

(1

, l

) =

R

(

l,

1) = 1 =

l

−

1

0

é fáil provar

por induçãoque

R

(

l, k

)

≤

k

+

l

−

2

k

₋

1

.

Em partiular, no asoemque

l

=

k

,temos

R

(

l

)

≤

2

l

−

2

l

₋

1

Teorema 2.7. Valeque

2

l/2

_≤

_R

₍

_l

₎

_≤

₂

2l

−

2

.

Prova.Oladodireito da inequaçãoé umaonseqüêniada observaçãoaima,já que

2

l

₋

2

l

−

1

≤

2

2l

−

2

√

l

≤

2

2l

−

2

_.

Para a segunda parte, usamos o método probabilístio de maneira bastante simples.

Considere umgrafoompleto

G

om

n

vértiesepinteadaarestade

G

omumaentre duasoresomprobabilidadeiguala

1

/

2

paraadaoreindependenteparaadaaresta. Para

W

⊂

G,

|

W

|

=

l

, onsidere a variável aleatória indiadora

X

W

tal que

X

W

= 1

se

G

[

W

]

émonoromátio e

X

W

= 0

asoontrário. Sejatambém

X

=

P

W

X

W

. Se

n <

2

l/2

temos,

E

₍

_X

_{) =}

=

E

X

W

X

W

!

=

X

W

E

₍

_X

_W

_{) =}

X

W

P

₍

_X

_W

_{= 1)}

=

X

W

2

1

2

(

₂

l

)

=

n

l

2

1

−

(

2

l

)

≤

n

l

l

!

·

2

1+

2

l

·

1

2

l

2

_/2

≤

2

l/2

l

_·

2

1+

₂

l

l

!

·

1

2

l

2

_/2

=

2

1+

2

l

l

!

<

1

.

Logo, existe umaoloração do grafoompleto om

n

vérties,

n

=

2

l/2

, quenão

possuiliquemonoromátia deordem

l

.

Como onseqüêniado teoremaaima temosque

√

2

_≤

lim inf

R

(

s

)

1/s

_≤

lim sup

R

(

s

)

1/s

_≤

4

.

Calular o valor de

lim

R

(

s

)

1/s

éum problemaemaberto. Na verdadenem sequer

sabemos se este limite existe. Entre os problemas que envolvem o omportamento

assintótio dafunção de Ramseyeste é umdos maisélebres.

Sobreoproblemadealularovalorexatode

R

(

s

)

,aindaqueparavalorespequenos de

s

, sugerimos a ótima resenha [24 ℄. Enerramos esta seção om um texto de Paul Erd®squeexpressaoquãodifíiléomputaionalmenteenontrarestesvaloresexatos:

Suponhaqueumespíritomalignonosdiga: Amenosquevoêsdesubram

o valor de

R

(5)

,eu exterminarei a raçahumana. Nossa melhor estratégia seriatalvez fazeromquetodososomputadores domundoe ientistasda

omputação trabalharem juntos nisto. Por outro lado, se ele perguntasse

2.3 Teorema de Ramsey para grafos

Uma generalizaçãonatural dosnúmerosde Ramseyé aseguinte.

Denição 6. Dados

r

grafos

G

1

, . . . , G

r

,denimos o número de Ramsey genera-lizado

R

(

G

1

, . . . , G

r

)

omoo menor inteiro

N

talqueseasarestas dografoompleto om

N

vérties sãooloridas om

r

ores,existe umsubgrafo monoromátio da or

i

isomorfo a

G

i

para algum

1

≤

i

≤

r

. Para simpliar a notação também denimos, paraum grafo

G

,

R

(

G

) :=

R

(

G, G

)

.

Vejaqueestamosinteressadosemenontrarografo

G

i

simplesmenteomosubgrafo do grafo induzido pelas arestas da or

i

, mas não exigimos que

G

i

seja um subgrafo induzido deste. Assim,aexistênia de

R

(

G1, . . . , Gr

)

é umaonseqüêniaimediatado teorema de Ramsey original. Este, por suavez, é equivalente a tomar ada

G

i

omo um grafo ompleto. Oleitor que estiver uriosoem saber mais sobre o aso induzido

podeonsultar, por exemplo,aseção

5

.

3

de [16 ℄.

Étrivialveriarentãoque

R

(

G

1

, . . . , G

r

)

≤

R

(

|

G

1

|

, . . . ,

|

G

r

|

)

,onde

|

G

i

|

éaordem de

Gi

. Ointeressante équeparaertos grafos

Gi

o número à esquerdaé muitomenor do queo número àdireita. Defato,váriosdosteoremasqueveremosàfrentemostram

que

R

(

G

1

, . . . , G

r

)

é da ordem de uma função linear para algumas lasses de grafos enquanto que

R

(

l1, . . . , lr

)

é pelo menos uma exponenial em

min

{

l1, . . . , lr

}

, omo é fáil onluir apartirdo teorema2.7.

Notação 7. Em geral, quando não estamos enumerando uma seqüênia de grafos,

usamos o índie subsrito

n

para indiar que a ordem de umgrafo

Gn

é

n

. Ademais faremos as seguintes onvenções:

C

n

é um iruito,

P

n

é um aminho, e

K

n

é um grafo ompleto, todosom

n

vérties. Assim os tamanhos de

C

n

e

P

n

são

n

e

n

−

1

respetivamente. Além disso, om erto abuso de notação, usaremos

Tn

sempre que quisermos falar sobreumaárvoregenériade ordem

n

. Otamanho de

T

n

é

n

−

1

.

Paraenerrarestaseçãomostraremosalguns resultadossimplesemteoriade

Ram-sey paragrafos.

Umfatointeressante,mas de fáilveriação, é que

R

(

G, H

)

_≥

(

χ

(

G

)

₋

1)(

c

(

H

)

₋

1) + 1

,

onde

χ

(

G

)

é onúmero romátio de

G

e

c

(

H

)

éaordem damaior omponenteonexa de

H

. Para ver isto basta exibir uma

2

-oloração de um grafo ompleto de ordem

(

c

(

H

)

₋

1)(

χ

(

G

)

₋

1)

que não possui uma ópia de

G

na or

1

nem uma ópia de

H

na or

2

. Paratanto, bastapartiionar osvértiesde

K

(c(H

)

−

1)(χ(G)

−

1)

em

(

χ

(

G

)

−

1)

onjuntos

V1, . . . , V

χ(G)

−

1

deordem

(

c

(

H

)

−

1)

. Eentão pintartodasasarestasomas duasextremidades em onjuntos distintosda partiçãooma or

1

easdemaisarestas

Umaapliação desseresultado é oteorema aseguir.

Teorema 2.8. Para todos

s, t

≥

2

temos

R

(

K

s

, T

t

) = (

s

−

1)(

t

−

1) + 1

.

Prova. O fato de que

R

(

K

s

, T

t

)

≥

(

s

−

1)(

t

−

1) + 1

é uma apliação direta do fato anterior. Para provar adesigualdadeontrária, onsidereuma

2

-oloraçãodeumgrafo

ompletoom

n

= (

s

−

1)(

t

−

1) + 1

vérties. Seja

G

1

osubgrafo induzidopelasarestas

da or

1

e

G

2

osubgrafo induzido pelas arestasdaor

2

(

G

2

é oomplemento de

G

1

).

Suponha que

G

1

não ontém

K

s

omo subgrafo. Então um onjunto independente de

G

2

tem ordem no máximo

s

−

1

. Logo,

χ

(

G

2

₎

_{≥ ⌈}

_n/

₍

_s

₋

₁₎

_⌉

₌

_t

. Armamos

que

G

2

possui um subgrafo

H

2

de grau mínimo pelo menos

t

−

1

. Admitindo isto, é fáil ver que

H

2

ontém uma ópia de

T

t

. De fato, podemos assumir indutivamente que ahamos

Tt

−

1

⊂

H

2

, onde

Tt

−

1

=

Tt

−

x

e

x

é umafolha qualquer de

Tt

. Seja

y

o vizinho de

x

em

T

t

. Como

y

tem pelo menos

t

−

1

vizinhos em

H

2

, pelo menos um

dessesvizinhos, digamos

z

,nãopertene a

T

t

−

1

. Logo,o subgrafo de

H

2

induzido por

T

t

−

1

∪

z

laramente ontém umaópiade

T

t

. Resta provar a existênia de

H

2

. Suponha o ontrário, ou seja, que

G

2

nãopossui

um subgrafo de grau mínimo pelo menos

t

−

1

. Então todo subgrafo

H

de

G

2

tem

grau mínimo no máximo

t

−

2

, ou seja, possui um vértie de grau menor ou igual a

t

−

2

. Em partiular, o grafo

Hn

=

G

2

tem umvértie

xn

de grauno máximo

t

−

2

. Seja

H

n

−

1

=

H

n

\ {

x

n

}

. Novamente

H

n

−

1

possuiumvértie

x

n

−

1

degrau nomáximo

t

₋

2

. Faça então

H

n

−

2

=

H

n

−

1

\ {

x

n

−

1

}

. Continue fazendo isto até que todos os vérties de

G

2

tenham sido enumerados. Agora, a seqüênia

x1, . . . , xn

é talque ada

x

i

é adjaente ano máximo

t

−

2

vérties anteriores a ele. Entãoumalgoritmo guloso paraolorir osvérties de

G

2

usaria no máximo

t

−

1

ores,umaontradição.

Notação 8. Dados dois grafos

G

= (

V

(

G

)

, E

(

G

))

e

H

= (

V

(

H

)

, E

(

H

))

, tais que

V

(

G

)

∩

V

(

H

) =

∅

,o grafounião

G

∪

H

é denidosimplesmenteomo

G

_∪

H

= (

V

(

G

)

_∪

V

(

H

)

, E

(

G

)

_∪

E

(

H

))

.

Ademais, parauminteiro

k

,denimos

kG

omoa uniãode

k

ópias disjuntasde

G

. Outro resultado simples que também pode ter bastante utilidade é o que segue

abaixo.

Teorema 2.9. Para quaisquergrafos

G, H

1

_{, H}

2

,onde

V

(

H

1

)

∩

V

(

H

2

) =

∅

,

R

(

G, H

1

_∪

H

2

)

_≤

max

_{

R

(

G, H

1

) +

_|

H

2

_|

, R

(

G, H

2

)

_}

.

Em partiular,

R

(

G, sH

)

≤

R

(

G, H

) + (

s

−

1)

|

H

|

. Prova. Seja

n

= max

{

R

(

G, H

1

_{) +}

_|

_H

2

_|

_{, R}

₍

_{G, H}

2

₎

_}

e suponha que o grafo

K

n

seja

or

1

. Então, omo

n

≥

R

(

G, H

2

₎

,deve existirum grafo

H

2

na or

2

. Removendo-se

este grafode

K

n

aindasobram pelomenos

R

(

G, H

1

₎

vérties. Logo,o graforesultante

deveonterum

H

1

daor

2

. Assim,o

K

n

ontém um

H

1

_∪

_H

2

naor

2

. Istoompleta

a provada primeira desigualdade.

Agora, dadosgrafos

G

e

H

,fazendo

H

1

_{= (}

_s

₋

₁₎

_H

e

H

2

₌

_H

,temosque

R

(

G, sH

)

_≤

max

_{

R

(

G,

(

s

₋

1)

H

) +

_|

H

_|

, R

(

G, H

)

_}

=

R

(

G,

(

s

₋

1)

H

) +

_|

H

_|

,

já que

R

(

G,

(

s

−

1)

H

)

≤

R

(

G, H

)

. Agora, é trivial provar a segunda desigualdade do enuniado usandoindução.

Usandoo teoremaaima é possívelalular

R

(

sK

2

, tK

2

)

. Teorema 2.10. Se

s

≥

t

≥

1

então

R

(

sK

2

, tK

2

) = 2

s

+

t

−

1

.

Prova. O grafo

G

2s+t

−

2

=

K

2s

−

1

∪

(

t

−

1)

K

1

não ontém

s

arestas independentes, ou seja, não ontém

sK

2

. Ademais, seu omplemento não ontém

tK

2

. Com isto, é trivial onluirque

R

(

sK

2

, tK

2

)

≥

2

s

+

t

−

1

.

É trivialveriar também que

R

(

sK

2

, K

2

) = 2

s

. Assim, paraompletar a prova é suiente veriarque

R

(

sK

2

, tK

2

)

≤

R

((

s

−

1)

K

2

,

(

t

−

1)

K

2

) + 3

eusarinduçãosobre

min

{

s, t

}

. Comodeostume,seja

n

=

R

((

s

−

1)

K

2

,

(

t

−

1)

K

2

) + 3

, onsidere uma

2

-oloração de

Kn

e denote por

G

i

o grafo induzido pelas arestas da

or

i

,para

i

= 1

,

2

. Se

G

1

₌

_K

n

então

sK

2

⊂

G

1

,ese

G

2

₌

_K

n

então

tK

2

⊂

G

1

,pois

n

_≥

2

s

_≥

2

t

. Caso ontrário, existemtrêsvérties, digamos

x

,

y

e

z

,tais que

xy

∈

G

1

,

xz

∈

G

2

. Agora,

Kn

\ {

x, y, z

}

ontém ou um

(

s

−

1)

K2

da or

1

ou um

(

t

−

1)

K2

da or

2

. No primeiro aso, adiionamosa aresta

xy

para enontrar o nosso

sK

2

. No segundo, adiionamos aaresta

xz

e enontramos o

tK

2

.

Finalmente, uma generalização do teorema anterior ([6℄) foi usada em um treho

da prova do lema 4.1 no apítulo 4,um dos foos prinipais neste trabalho, estudado

no artigo [17℄.

Teorema 2.11 (Cokayne e Lorimer, 1975). Dados

n

1

, . . . , n

t

≥

1

inteiros tais que

n

1

= max

{

n

1

, . . . , n

t

}

então

R

(

n

1

K

2

, . . . , n

t

K

2

) =

n

1

+ 1 +

t

X

i=1

(

n

i

−

1)

.

Corolário 2.12. Dado uminteiro positivo

n

valeque

2.4 Teoremas de Ramsey versus teoremas de densidade

Em geral,umproblemadotipoRamseypodeserformuladodaseguintemaneira: dada

umaquantidade

r

deores,queremosdeterminarseemtoda

r

-oloraçãodeumonjunto deobjetospodemosenontrarumsubonjuntomonoromátiodessesobjetosomuma

dada propriedade. Estaquestãopode serformuladaemtermosde hipergrafos. Se

V

é o onjunto dos objetos que iremos olorir e

E

é a família dossubonjuntos de

V

que satisfazem umaertapropriedade então podemosformalizar apergunta omo: dadoo

hipergrafo

H

= (

V, E

)

,éverdadeque,emtoda

r

-oloraçãode

V

,existeumahiperaresta monoromátia, ou seja, um onjunto

e

∈

E

tal que osvérties pertenentes a

e

⊂

V

possuemtodosa mesmaor? Issonosmotiva afazer adenição aseguir.

Denição 9. Dado um hipergrafo

H

, seu número romátio

χ

(

H

)

é o menor inteiro talqueexiste umaoloraçãodosvérties de

H

onde nenhumadashiperarestas de

H

émonoromátia. Vejaqueistoéumageneralizaçãonaturaldonúmeroromátio paragrafos.

Umoutrotipode problemaé relaionado à próxima denição.

Denição 10. Dado um hipergrafo

H

= (

V, E

)

, denimos a função de Turán

T

(

H

)

omo o menor inteiro

T0

tal que para todo subonjunto

V

′

de

V

om pelo menos

T0

vértiesexiste

e

∈

E

tal que

e

⊂

V

′

. Dena

τ

(

H

) =

T

(

H

)

/

|

V

(

H

)

|

. Notação 11. Para umonjunto

S

euminteiro

l

denotamos

S

l

:=

_{

F

_⊂

S

;

_|

F

_|

=

l

_}

.

Emgeral,nãosabemosomoalular

T

(

H

)

. Masovalorde

T

(

H

)

éonheidopara ertas famílias de hipergrafos. Por exemplo, onsidere o hipergrafo

H

n

= (

V

n

, E

n

)

, onde

V

n

=

[n]

2

e

E

n

=

{

S

2

:

S

_∈

[n]

_l

}

, para algum

l

. Veja que alular

T

(

H

n

)

é equivalenteaenontraro menornúmerode arestas

t

talquetodografoom

n

vérties e pelo menos

t

arestas possui uma lique de ordem

l

. Um importante teorema de densidade éoteoremade Turán [30℄quenosdá ovalor exatode

T

(

H

n

)

. Veja também o livro deBollobás [3 ℄.

???

Teorema 2.13. Dados

n

e

l

,o menor inteiro

t

tal que todo grafo om

n

vérties e

t

arestas possuiumalique de ordem

l

é dado por

t

=

t

(

n, l

) = 1 +

n

2

−

k

m

+ 1

2

−

(

l

₋

1

₋

k

)

m

2

,

Vamos agora fazer uma breve omparação entre propriedades do tipo Ramsey e

propriedadesdedensidade. Dadoumhipergrafo

H

euminteiro

r

,onsidereasseguintes armações:

A

:

χ

(

H

)

> r

;

B

:

τ

(

H

)

_≤

1

/r.

E, paraumaseqüênia de hipergrafos

H

n

= (

V

n

, E

n

)

,onsidere asarmações aná-logas:

A

∗

:

χ

(

H

n

)

> r,

quando

n

→ ∞

;

B

∗

:

τ

(

H

n

)

≤

1

/r

quando

n

→ ∞

.

Asarmações

A

e

A

∗

sãoarmaçõesdotipo Ramsey. Enquanto queasarmações

B

e

B

∗

são armações de densidade. A armação

A

diz que, se as hiperarestas de

H

foremoloridas om

r

ores, então enontraremos uma hiperarestamonoromátia. A armação

B

diz que, se um onjunto de vérties não é muito pequeno, então ele ontém umahiperaresta de

H

. Émuito fáil veriara validade doseguinteteorema. Teorema 2.14. Valem asseguintesimpliações: (i)

B

implia

A

;(ii)

B

∗

implia

A

∗

.

Contudo, as impliações reíproas,

A

implia

B

e

A

∗

implia

B

∗

são falsas.

Considere, por exemplo, suas interpretações para teoriade Ramsey lássia(omo na

seção 2.2), onde o onjunto das arestas de um grafo é

r

-olorido e queremos ahar uma lique monoromátia de ordem

l

. Preisamente, se olharmos novamente para os hipergrafos

H

n

= (

V

n

, E

n

)

, onde

V

n

=

[n]

2

e

E

n

=

{

S

2

:

S

∈

[n]

_l

}

, temos uma

seqüênia

(

H

n

)

para aqual vale

A

∗

enão vale

B

∗

.

De fato, veja que a armação

χ

(

H

n

)

> r

é idêntia a

n

→

(

l

)

r

. Assim, pelo teorema 2.6 (Ramsey), a seqüênia

{

H

n

}

satisfaz

A

∗

. Por outrolado, o teorema 2.13

nosdiz queseesrevermos

n

= (

l

−

1)

m

+

k

om

0

≤

k < l

−

1

,então

T

(

H

n

) = 1 +

n

2

−

k

m

+ 1

2

−

(

l

₋

1

₋

k

)

m

2

.

Logo,

lim

n

→∞

τ

(

H

n

) = 1

−

1

l

−

1

.

Para

r

≥

2

e

l

≥

4

temos que

1

−

1

l

−

1

>

1

/r

de modo que

B

∗

é falsa. Esta mesma

onstrução nosdáexemplos dehipergrafospara osquais

A

implia

B

nãovale. Umdosmais famososteoremas de densidade é o teoremade Szemerédi, que

gene-raliza oteorema 2.4(vander Waerden).

Teorema 2.15 (Szemerédi [28 ℄). Para todo inteiro

l

e real

ε >

0

existe um inteiro

O teorema de van der Waerden foi provado em 1927. Em 1936, Erd®s e Turán

onjeturaram o teoremaaima. Para

l

= 2

o teorema étrivial. Oasopartiular em que

l

= 3

foiprovado em1953 por Roth [25℄. Em 1969,oasopartiular emque

l

= 4

foiprovado porSzemerédi [27℄ e elemesmoprovou o teoremageral aima em1973. A

Lema da regularidade de Szemerédi

Alguns problemas emteoriaextremaldosonjuntospodemser resolvidosusando

ape-nas ténias de matemátia elementar. Em outros faz-se neessário o uso de ténias

sostiadas, omo o lema da regularidade de Szemerédi e lemas de estabilidade. Em

Teoria de Ramseyparagrafos,este é oaso dosproblemas nosartigos [5 ,19, 23℄, que

tratam de números de Ramsey para iruitos ou aminhos envolvendo mais de três

ores, para os quais até agora não existem provas elementares. Nas seções seguintes

falaremos sobre os resultados obtidos nestes artigos. Agora nos onentraremos na

prinipal ferramenta usadanestesartigos.

Olemadaregularidade temsemostradoumadasmaispoderosasferramentaspara

lidaromproblemasextremais. Daíamotivaçãoemestudá-lo. Estelemafoionebido

originalmenteomo umlema auxiliarna prova doteorema 2.15. Basiamente, ele nos

diz quequalquer grafopode ser, de erto modo, aproximado por uma uniãode grafos

bipartidospseudo-aleatórios. Assim,olemadaregularidadenosajudaaarregarertos

resultados, que sãotriviais na lasse dos grafos aleatórios, para a lasse de grafos em

geral, onde provavelmente seria mais difíil provar que essas propriedades valem. As

seguintes deniçõestornam preiso oque aabamosde dizer.

Denição 12. Dadosumgrafo

G

= (

V, E

)

eonjuntos

X, Y

⊂

V

disjuntos,denimos

e

(

X, Y

) =

e

G

(

X, Y

) =

|{

xy

∈

E

:

x

∈

X, y

∈

Y

}|

. E para

X

,

Y

não vazios também denimos adensidade do par

(

X, Y

)

em

G

omo

d

(

X, Y

) =

d

G

(

X, Y

) =

e

(

X, Y

)

|

X

_{| · |}

Y

_|

.

Denição 13. Seja

ε >

0

. Dado um grafo

G

e dois onjuntos de vérties disjuntos

A, B

_⊂

V

(

G

)

, dizemos que o par

(

A, B

)

é

ε

-regular se para todos

X

⊂

A

e

Y

⊂

B

satisfazendo

temos

|

d

(

X, Y

)

₋

d

(

A, B

)

_|

< ε.

(3.1) Denição 14. Dizemos que umpar

(

A, B

)

é

ε

-regular om densidade

d

se

(

A, B

)

é

ε

-regular e

d

(

A, B

) =

d

.

Istonosdiz,essenialmente, queasarestasentreosonjuntos

A

e

B

seomportam omo asde um grafobipartido aleatório, onde ada aresta tem probabilidade

d

(

A, B

)

de pertenera talgrafo.

Proposição3.1. Opar

(

A, B

)

é

ε

-regularnografo

G

seesomenteseé

ε

-regularem

G

, o omplemento de

G

.

Prova.Bastaobservarque

d

G

(

A, B

) = 1

−

d

G

(

A, B

)

,paratodos

A

⊂

V

(

G

)

,

B

⊂

V

(

G

)

disjuntos. Assim,naequação (3.1) temos

|

d

_G

(

X, Y

)

₋

d

_G

(

A, B

)

_|

=

_|

(1

₋

d

G

(

X, Y

))

−

(1

−

d

G

(

A, B

))

|

=

|

d

G

(

X, Y

)

−

d

G

(

A, B

)

|

.

Denição 15. Dado um vértie

x

e umonjunto de vérties

Y

, denimos

deg(

x, Y

)

omo onúmero devizinhos de

x

em

Y

,ouseja,

deg(

x, Y

) =

|{

y

∈

Y

: (

x, y

)

∈

E

(

G

)

}|

. Proposição3.2(Amaioriadosvértiespossuigraualto). Seja

(

A, B

)

umpar

ε

-regular om densidade

d

,sobre umgrafo

G

qualquer. Dado

Y

⊂

B

tal que

|

Y

|

> ε

|

B

|

,temos que

|{

x

∈

A

: deg(

x, Y

)

≤

(

d

−

ε

)

|

Y

|}| ≤

ε

|

A

|

.

Prova.Suponha por absurdoque existe

Y

⊂

B

,

|

Y

|

> ε

|

B

|

tal que

|{

x

_∈

A

: deg(

x, Y

)

_≤

(

d

₋

ε

)

_|

Y

_|}|

> ε

_|

A

_|

.

Seja

X

=

{

x

∈

A

: deg(

x, Y

)

≤

(

d

−

ε

)

|

Y

|}

. Temos que

e

(

X, Y

) =

X

x

∈

X

deg(

x, Y

)

_≤

(

d

₋

ε

)

_|

X

_{| · |}

Y

_|

,

e portanto

d

(

X, Y

)

_≤

d

₋

ε,

o queontrariao fatode

(

A, B

)

ser

ε

-regular.

O lema a seguir sobre pares regulares, além de interessante por si só, será

parti-ularmente importante na prova do teorema prinipal do apítulo 5. Informalmente,

elenosdizqueumgrafobipartidosuientemente grandeombipartição

V

1

∪

V

2

onde

(

V1, V2

)

éumpar

ε

-regularpossuiaminhosdequasetodosostamanhospossíveisentre quase todososparesdevérties

v

′

_∈

_V

1

,

v

′′

_∈

_V

Observação. Ao denirmos onstantes durante o enuniado de um teorema/lema,

omo no seguinte, usaremos omo índie subsrito da onstante o número desse

teo-rema/lema (no lugar do tradiional índie

0

). Isto failita futuras referênias a tais

onstantes.

Lema 3.3. Seja

G

umgrafobipartido ombipartição

V1

∪

V2

tal que

|

V1

|

=

|

V2

|

=

n

. Suponhaque

(

V

1

, V

2

)

é

ε

-regularomdensidadepelomenos

α/

4

,paraalgum

0

< α

≤

1

e

0

< ε <

0

.

01

α

. Entãoexiste

n

3.3

talquese

n > n

3.3

,entãoparatodo par devérties

v

′

∈

V1

,

v

′′

_∈

_V2

, onde

deg(

v

′

₎

_,

_deg(

_v

′′

₎

_≥

_αn/

₅

, e todo

l

, onde

1

≤

l

≤

n

−

5

εn/α

, temos que

G

ontémum aminho deomprimento

2

l

+ 1

onetando

v

′

e

v

′′

.

Prova. Tome

v

′

e

v

′′

omo aima. Considere primeiro o aso em que

1

≤

l

≤

αn/

6

. Seja

V

_i

−

=

{

v

∈

V

i

: deg(

v

)

< αn/

5

}

,

para

i

= 1

,

2

.

Como

αn/

5

<

(

α/

4

−

ε

)

n

,pelaproposição 3.2,

|

V

−

i

| ≤

εn

. Assim, sedenirmos

V

_i

+

=

Vi

\

V

_i

−

,

temos que

|

V

+

i

| ≥

(1

−

ε

)

n

. Jogandoforaalguns vérties de

V

+

1

e

V

+

2

,podemos obter

ˆ

V

1

⊆

V

1

+

e

V

ˆ

2

⊆

V

+

2

,tais que

|

V

ˆ

1

|

=

|

V

ˆ

2

| ≥

(1

−

ε

)

n

e

v

′

_∈

_V

_ˆ

1

,

v

′′

_∈

_V

_ˆ

2

. É fáil ver que o subgrafo

H

induzido por

V

ˆ

1

∪

V

ˆ

2

tem grau mínimopelomenos

αn/

5

−

εn

. Construa gulosamente um aminho de omprimento

2

l

−

2

, digamos

P

2l

−

2

=

v

0

v

1

. . . v

2l

−

2

, tal que

v

0

=

v

′

e

V

(

P

2l

−

2

)

⊆

V

ˆ

1

∪

V

ˆ

2

\ {

v

′′

_}

. Ouseja, omee esolhendo

v

0

=

v

′

e dado

que foram esolhidos

v

0

, . . . , v

i

−

1

, esolha

v

i

omo qualquer vértie da vizinhança de

v

i

−

1

em

H

quenãopertença a

{

v

0

, . . . , v

i

−

1

} ∪ {

v

′′

_}

. Talvértie

v

i

existepois

l

≤

αn/

6

e

deg(

v

i

−

1

)

≥

αn/

5

−

εn

,eportanto

deg(

v

i

−

1

)

−

l

≥

1

. Paraextender

P

2l

−

2

demodoa obterumaminhoquetermineem

v

′′

etenhaomprimento

2

l

+ 1

,bastamostrarque

G

ontémumaaresta

{

v

2l

−

1

, v

2l

}

de

NH

(

v

2l

−

2

)

\

(

V

(

P

2l

−

2

)

∪{

v

′′

_}

₎

para

NH

(

v

′′

₎

_\

_V

₍

_P

2l

−

2

)

. Neste aso,

P

2l+1

=

P

2l

−

2

v

2l

−

1

v

2l

v

′′

₌

_v

0

. . . v

2l

v

′′

será o aminho queprouramos. De fato, talaresta existe já que,

|

N

H

(

v

2l

−

2

)

\

(

V

(

P

2l

−

2

)

∪ {

v

′′

}

)

| ≥

αn/

5

−

εn

−

αn/

6

−

1

> εn

e analogamente

|

N

H

(

v

′′

)

\

V

(

P

2l

−

2

)

|

> εn.

Assim,pela

ε

-regularidadede

(

V

1

, V

2

)

,adensidade entreessesdoisonjuntosnãopode ser nula.

Agora suponha que

αn/

6

≤

l

≤

n

−

5

εn/α

e já onstruímos um aminho de om-primento

2

l

−

1

, digamos

P

2l

−

1

=

v

0

v

1

. . . v

2l

−

1

,onde

v

0

=

v

′

e

v

2l

−

1

=

v

′′

. Neste aso

a estratégia é diferente: queremos aumentar este aminho substituindo uma de suas