“Método de Gauss”: inapropriado até no nome

Ensaios Econômicos

Escola de

Pós-Graduação

em Economia

da Fundação

Getulio Vargas

N◦ 765 ISSN 0104-8910

"Método Gauss": Inapropriado Até no Nome

Clovis de Faro

Maio de 2015

Os artigos publicados são de inteira responsabilidade de seus autores. As

opiniões neles emitidas não exprimem, necessariamente, o ponto de vista da

Fundação Getulio Vargas.

ESCOLA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ECONOMIA Diretor Geral: Rubens Penha Cysne

Vice-Diretor: Aloisio Araujo

Diretor de Ensino: Carlos Eugênio da Costa Diretor de Pesquisa: Humberto Moreira

Vice-Diretores de Graduação: André Arruda Villela & Luis Henrique Bertolino Braido

de Faro, Clovis

"Método Gauss": Inapropriado Até no Nome/ Clovis de Faro – Rio de Janeiro : FGV,EPGE, 2015

13p. - (Ensaios Econômicos; 765)

Inclui bibliografia.

“Método de Gauss”: Inapropriado Até No Nome

Clovis de Faro1

Maio de 2015

1

2

1- Introdução

Tal como ressaltado em de Faro e Guerra (2014), tem sido frequente em nossos tribunais, sentenças judiciais determinando que, relativamente ao caso de amortizações de dívidas com prestações constantes, a popular Tabela Price seja substituída por um sistema que, fundamentado em uma particular aplicação do regime de juros simples, vem sendo cognominado de “Método de Gauss” (cf. Antonick e Assunção, 2006 e Nogueira, 2013). E isso, frize-se, mantendo-se o valor numérico da taxa de juros especificada no contrato de financiamento (usualmente, habitacional).

A par de ser totalmente inadequado, como discutido em de Faro (2014c), associar o nome do grande matemático alemão Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) ao procedimento em questão, sucede que ao mesmo, como a qualquer outro que seja baseado no regime de juros simples, associam-se incontornáveis inconsistências. Como já anteriormente, amplamente evidenciado em de Faro (2013b e 2014a).

Tomando a Tabela Price como base de comparação, o propósito do presente trabalho é o de aprofundar a análise das deficiências do que tem sido denominado como “Método de Gauss”. Em particular, dado que as sentenças judiciais costumam não alterar os valores numéricos das taxas contratuais de juros, substituindo tão somente o regime de juros compostos, que está implícito na Tabela Price, pela peculiar variante do regime de juros simples que está subjacente ao que se chama de “Método de Gauss”, buscar-se-á considerar a questão do ponto de vista do financiador.

2 – Formulação do Problema

Seja o caso de um financiamento de valor F, que deve ser resgatado mediante o

pagamento de n prestações periódicas, constantes e postecipadas, que costumam ser mensais

nas operações de financiamentos habitacionais, considerada a taxa periódica de juros i.

De uma maneira geral, em sendo especificado que a taxa i, que suporemos estar na

forma dita unitária, é de juros compostos, diz-se que a prestação constante p estará sendo

determinada de acordo com os ditames do chamado sistema francês; popularmente conhecido como Tabela Price (cf. de Faro 2014b, p. 241). Sendo seu valor obtido mediante o emprego da relação:









. 1 1 n

pF i  i  (1)

Por outro lado, se for estipulado que a taxa de juros i, mantido seu valor numérico,

seja considerada como sendo de juros simples, e que seja feito uso do que tem sido chamado de “Método de Gauss”, o valor da prestação constante, que agora denotaremos por ˆp, será

dado pela relação (cf. Nogueira, 2013, p. 150):1

1

3

pˆ 2F



1n i.





n_2i n



1



_



(2)

Ora, excetuando-se o caso trivial de uma única prestação, n = 1, quando se tem

ˆ (1 )

p p F i , pode-se mostrar, como anteriormente em de Faro (2013b), e também no

Apêndice, que se tem p pˆ se tivermos mais de uma prestação



n2



.

Consequentemente, mantidas as condições contratuais, no que concerne ao valor F do

financiamento, ao número n de prestações periódicas, e ao valor numérico da taxa periódica

de juros i , a obrigatoriedade da substituição da Tabela Price pelo chamado “Método de

Gauss”, acarretará em perda financeira para o financiador.

Isto é, tendo presente o conceito de taxa interna de retorno de um fluxo de caixa (cf. de Faro, 2014b, p.69), a taxa de juros que expressa a rentabilidade do financiador cairá do valor

i para um certo valor i, inferior a i. Valor este que, com razoável precisão, fazendo-se uso da

chamada fórmula de Karpin (cf. de Faro, 2014, p.176), será dado por:1













2 3 2 . 3 1

i   n n (3)

onde



n p. F



F

  (4)

Assim, por exemplo, se o valor do financiamento for F = R$ 200.000,00, com a

amortização devendo ser efetuada ao longo de 5 anos, mediante o pagamento de prestações mensais (n = 60) e constantes, e a taxa contratual de juros for de 24% ao ano, com

capitalização mensal (o que implica em uma taxa efetiva mensal de 2%), a adoção da Tabela Price acarretaria uma prestação p = R$ 5.753,79; tal como dada pela relação (1).

Ao passo que, em sendo estipulado o emprego do chamado “Método de Gauss”, nas mesmas condições contratuais no que tange aos valores de F e de n, e mantido o valor

numérico de 2% para a taxa mensal de juros, o valor da resultante prestação mensal, obtida a partir da relação (2), seria reduzido para pˆ= R$ 4.612,16. Ou seja, para gáudio do tomador

do financiamento, que costuma ser chamado de mutuário, seu encargo mensal sofreria uma redução de 19,84%.

Por outro lado, do ponto de vista do financiador, sua almejada taxa de rentabilidade de 2% a.m., que seria obtida se fosse mantida a Tabela Price, seria reduzida para 1,13% a.m. O que se traduz em uma não trivial redução de mais de 40%.

3 – Como Procurar Evitar a Perda de Rentabilidade

Sabedores de que os nossos tribunais estariam adotando a prática de determinar a substituição da Tabela Price pelo chamado “Método de Gauss”, sem que sejam alterados os valores numéricos das taxas de juros especificadas nos contratos de financiamento, os financiadores seriam tentados a implementar, preventivamente, o artifício de elevar as taxas de juros contratuais.

Ou seja, pode-se imaginar que os financiadores busquem adotar a seguinte estratégia (ou melhor dizendo, estratagema):

1

4

a) Preliminarmente, antes da assinatura do contrato de financiamento, uma vez fixados os valores de F e de n, sendo desejado auferir a taxa de rentabilidade i, fazer uso da

Tabela Price para, através da relação (1), determinar o correspondente valor da prestação p.

b) Uma vez fixado o valor de p, fazer uso da relação (2), tomando a taxa de juros como

incógnita. Desse modo, denotando por iˆ a solução desejada, far-se-á uso da

relação:1













ˆ 2 . 1 2

i  Fn p n_ n p F_ (2’)

c) Mantidos os valores de n e de F, especificar no contrato de financiamento o

emprego da Tabela Price, com a taxa periódica de juros iˆ.

d) Com tal procedimento, se os tribunais estipularem que seja adotado o chamado “Método de Gauss”, em substituição a Tabela Price, mantida a taxa contratual de juros, os financiadores evitariam as perdas atinentes.

Como ilustração do procedimento, seja o caso do financiamento de R$ 100.000,00, com 120 prestações mensais.

Sendo desejado auferir a taxa mensal de 0,5%, o investidor, fazendo uso da relação (1), determinaria que o valor da prestação mensal deve ser p = R$ 1.110,21.

Levando o valor de p, assim obtido, para a relação (2’), obter-se-ia iˆ0,0082 a.m.

Ou seja, com maior precisão, seria de 0,8157% a.m. o valor que seria especificado como a taxa contratual de juros, para fins de aplicação da Tabela Price.

Desse modo, se for judicialmente determinada a substituição da Tabela Price pelo chamado “Método de Gauss”, o emprego da relação (2), com F= R$ 100.000,00, n = 120 e i =

0,8157% a.m., conduziria exatamente ao valor p = R$ 1.110,21, desejado.

Consequentemente, uma vez adotado tal procedimento, o financiador asseguraria a sua taxa de rentabilidade de 0,5% a.m.

4 – É Sempre Possível Evitar a Perda da Rentabilidade?

Sucede que, como aqui iremos evidenciar por meio de alguns exemplos numéricos, a resposta à pergunta que encabeça esta seção é negativa. Isso porque, como formalmente justificado no Apêndice, ao chamado “Método de Gauss”, assim como a qualquer outro procedimento que se fundamente no regime de juros simples, associam-se características indesejáveis. Em particular, uma que impossibilita a aplicação generalizada do procedimento considerado.

Com o intuito de ilustrar situações onde não se pode aplicar a estratégia apresentada na seção anterior, comecemos com o caso de um financiamento com valor F = R$ 100.000,00,

que deve ser resgatado mediante o pagamento de 10 prestações anuais, com o financiador pretendendo assegurar a taxa de rentabilidade de 10% a.a.

1

5

Se pudesse ser feito uso da Tabela Price, segue-se que a aplicação da relação (1) faria com que o valor de cada uma das 10 prestações anuais fosse:







10



0,10 100.000 1 1 0,10 R$16.274,54

p     

Entrando com este valor de p na relação (2’), segue-se que a correspondente taxa de

juros simples, que faria com que a imposição do chamado “Método de Gauss” conduzisse ao mesmo valor da prestação, seria:













ˆ 2 100.000 10 16.274,54 10 10 1 16.274,54 2 100.000 0,2344

i    _    _ 

ou 23,44% ao ano.

Ou seja, tal como indicado na Tabela I, teríamos i iˆ/ 2,3443; o que significa que a taxa de juros contratual teria de ser bem mais do que o dobro da taxa desejada de rentabilidade.

Vejamos, agora, o que acontece quando se incremente de 1 ano, sucessivamente, o prazo contratual de 10 anos. O que é apresentado na Tabela I.

Tabela I

Evolução da Razão i iˆ/ no Caso onde i = 10% a.a.

n

p

_i

ˆ

_{i i}

ˆ

_/

(em anos) ( R$ ) (% a.a.) --

10 16.274,54 23,44 2,3443

11 15.396,31 27,39 2,7393

12 14.676,33 32,90 3,2899

13 14.077,85 41,11 4,1110

14 13.574,62 54,67 5,4669

15 13.147,38 81,33 8,1331

16 12.781,66 157,86 15,7864

17 12.466,41 2.450,41 245,0407

18 12.193,02 não existe −−

Os valores apresentados na Tabela I, nos mostram que, à medida que se aumenta o número de anos n que expressa o prazo do financiamento, há que se fazer crescentes

acréscimos na taxa de juros que deve ser especificada no contrato de financiamento. Acréscimos esses que, como no caso do prazo de 17 anos, conduz a valores absurdamente elevados para a taxa de juros contratual.

Ainda mais, o que acontece no caso onde n = 18 anos, tem-se uma impossibilidade.

Isso porque, surpreendentemente, a aplicação da relação (2’) conduziria a um valor negativo para a taxa iˆ.

A explicação para tal impossibilidade reside no fato de que, como mostrado no Apêndice, a relação (2’) não se aplica toda a vez que o valor de p exceda ou iguale o limite

dado pela razão 2F/(n-1) . Ou seja, no caso de nosso exemplo, se

2 100.000 / (18 1) $11.764,71

6

Na Tabela II, que se refere à, relativamente, modesta taxa de juros de i1% a.m.,

estão considerados prazos contratuais, em termos de anos, que são comuns em financiamentos habitacionais.

Assim, supondo ainda o financiamento de R$ 100.000,00, que deve ser resgatado ao longo de n anos, mediante pagamentos mensais, são apresentados os correspondentes valores

das prestações segundo a Tabela Price e segundo o chamado “Método de Gauss”. Sendo também apresentados os valores limites p, dados pela reação





2 1

p  F n (5)

bem como valores da taxa iˆ, tais como dados pela relação (2’).

Tabela II

Valores Limites e da Taxa de Juros iˆ

n

p

p

ˆ

p



_i

ˆ

(em anos) ( R$ ) ( R$ ) ( R$ ) (% a.a.)

5 2.224,44 2.059,20 3.389,83 1,62

7 1.765,27 1.548,04 2.409,64 2,15

10 1.434,71 1.149,34 1.680,67 4,11

11 1.367,79 1.061,98 1.523,72 5,86

12 1,313,42 988,01 1.398,62 10,16

13 1.268,67 924,52 1.290,32 37,40

14 1.231,43 869,34 1.197,60 impossível

Verifica-se, assim, que mesmo no relativamente curto prazo de 5 anos, a estratégia de majorar a taxa contratual de juros, já implicaria em um acréscimo de 62%. Acréscimo esse que aumenta substancialmente à medida que se incrementa o prazo contratual.

Sendo que a estratégia entra em colapso a partir do prazo de 14 anos. Ou seja, se o prazo de financiamento, em meses, for superior a 168, não existe taxa mensal de juros simples capaz de resgatar um financiamento de R$ 100.000,00.

Fica claro, portanto, que a estratégia proposta, além de poder conduzir a extremamente elevados valores para a taxa contratual, nem sempre é factível.

5 – A Questão Relativa à Determinação do Saldo Devedor

Qualquer que seja o sistema de amortização adotado, uma importante questão, pois que tem significantes implicações tanto para credores como para devedores, é a relativa à apuração do saldo devedor do financiamento.

7

No caso do chamado “Método de Gauss”, seus proponentes, buscando emular a sistemática que fundamenta o que é dito ser o método retrospectivo (cf. de Faro, 2014b, p. 244), preconizam o seguinte procedimento.

Preliminarmente, é definido o que tem sido apresentado como índice de ponderação; dado pela relação:









2 . 2 1

I  i F n_ i n _ (6)

A seguir, é estipulado, de maneira artificial e ad hoc, que as parcelas de juros e de amortização que compõem a k-ésima prestação, sejam respectivamente dadas por:





ˆ ₁

k

J  n k I (7)

e

ˆ_k ˆ ˆ_k , 1,2,...,

A  P J k n (8)

Concentremos atenção, agora, no caso particular de um financiamento com somente dois períodos. O que nos permitirá a obtenção de soluções analíticas.

Se o tomador do financiamento resolver quitar seu débito logo após o pagamento da primeira prestação, seu saldo devedor, independentemente da repartição entre as parcelas de amortização e de juros, será exatamente igual ao valor da prestação que se acabou de pagar. Ou seja, ter-se-á:

1

ˆ ˆ

S P (9)

ou



 



1

ˆ _{1 2 2}

S F  i i (9’)

Por outro lado, sendo feito uso do chamado método de recorrência (cf. de Faro, 2014 b, p.244), segundo o qual, no caso particular em questão, o valor do débito remanescente é igual valor financiado, acrescido de juros por um período, subtraído pelo valor da prestação que se acabou de pagar, tem-se:





'

1 1 ˆ

S F  i P (10)

ou









' 2

1 1 2

S F  i i i (10’)

Alternativamente, adotando o que se denomina de método prospectivo (cf. de Faro, 2014 b, p. 244), que, no caso em apreço, se alicerça no valor atual da única prestação ainda a vencer, tem-se:





"

1 ˆ 1

S P i (11)

ou









" 2

1 1 2 2 3

8

Fica, pois, evidente que, mesmo considerando os consagrados métodos prospectivo e de recorrência, o chamado “Método de Gauss”, não conduz a resultados financeiramente consistentes.

6 - Conclusão

O aqui apresentado afigura-se ser, mais do que suficiente, para que nossos tribunais não deem guarida para um sistema de amortização de dívidas que, além de estar sendo inadequadamente associado ao nome daquele que é universalmente reconhecido como um dos maiores matemáticos da história, Johan Carl Friedrich Gauss, é flagrantemente eivado de deficiências.

Dado que, como discutido em de Faro (2012a), a Tabela Price, desde que não haja prestação em atraso, não acarreta na ocorrência de anatocismo, bem como apresenta consistência financeira, nossos magistrados não devem propor sua substituição pelo impropriamente chamado de “Método de Gauss”.

Referências:

- Antonik, L. e Assunção, M. (2006). Tabela Price e Anatocismo. Revista de Administração da UNIMEP, 4 (1):120-136.

- Ayres Jr., F. (1963). Mathematics of Finance. Schaum, New York.

- Butcher, M. e Nesbitt, C. (1971). Mathematics of Compound Interest. Ulrich’s, Ann Arbor.

- de Faro, C. (1969). Matemática Financeira. APEC, Rio de Janeiro.

- de Faro, C. (2013a). Uma Nota sobre Amortização de Dívidas: Juros Compostos e Anatocismo. Revista Brasileira de Economia, 67 (3): 283-295.

- de Faro, C. (2013b). Amortização de Dívidas e Prestações Constantes: Uma Análise Crítica.

Ensaio Econômico da EPGE, Nº 746.

- de Faro, C. (2014a). Uma Nota sobre Amortização de Dívidas e Prestações Constantes.

Revista Brasileira de Economia, 68 (3): 363-371

- de Faro, C. (2014b). Matemática Financeira: uma Introdução à Análise de Risco. Saraiva,

São Paulo.

- de Faro, C. (2014c), Sobre o Impropriamente Chamado “Método de Gauss”, manuscrito não publicado.

- de Faro, C. e Guerra, S. (2014). Proibição da Capitalização de Juros e o Poder Judiciário: Equívocos na Aplicação de Teorias Econômicas sobre Juros Simples e Compostos. Revista de Direito Administrativo, 266:209-228.

- Nogueira, J. (2013). Tabela Price: Mitos e Paradigmas. Millenium, Campinas.

9

Apêndice

1 – Comportamento da prestação no caso da Tabela Price

A relação ( 1 ) do texto, decorre da equivalência financeira, uma vez considerada a taxa periódica de juros compostos i, suposta positiva, entre o valor F do financiamento e a

sucessão das n prestações periódicas, postecipadas e iguais a p. Isto é, tomando-se como data

de comparação (data focal) a de concessão do financiamento, tem-se a seguinte equação de valor:





1 1 n j j

F p i 







 ( A.1 )

É de comprovação imediata que: a)





 







1 1 2 1 1 1 0, 0 1 ₁ n j j n n j j j j

F j i

p F se i i i i _i     _  _   _{  }    _   _{  }     _{    }        _{ }





_

b)





1 lim lim 1 n

i i _j

j F p i            _{ }   _    



 c)





 



















2

. 1 1 log 1

.

0, 0

1 1 _{1 1}

n

n _n

i F i i

p i F

se i

n n i _i

  _         _   _{  }     _   _{  } d)





.

lim lim .

1 1 n

n n

i F

p i F

i         _{ }      

Ou seja, no caso do sistema de prestações constantes, a juros compostos (Tabela Price), enquanto que o valor da prestação cresce indefinidamente à medida que se aumenta a taxa de juros, o valor da prestação decresce quando se aumenta o número de prestações. Entretanto, tem-se que o valor da prestação nunca é inferior ao produto i.F; que representa os

juros, por um período e à taxa i, devidos ao valor do financiamento.

2 – Comportamento da prestação no caso do regime de juros simples

Diferentemente do regime de juros compostos, que goza da chamada propriedade de cindibilidade do prazo (cf. de Faro, 2014b, p. 60), a determinação do valor da prestação não independe da data focal que seja considerada para expressar a equivalência financeira entre o financiamento e a sucessão de prestações.

No que se segue, mantido o valor numérico da taxa i, agora considerada como de juros

10

2.1 – Data focal quando da concessão do financiamento

Em tal situação, que pode ser considerada como a mais natural, a equivalência financeira é escrita como:

1 1 .

n j p F j i   



( A.2 ) onde denotamos por p o resultante valor da prestação constante.

Sucede que, e provavelmente seja esta a razão pela qual os proponentes do regime de juros simples não adotem tal data focal, não se consegue expressar o valor de p por uma

forma fechada que seja tratável; mesmo para valores moderados do número n de prestações.1

Todavia, pode-se concluir que:

a) como





1





2

1 1

1 . 1 . 0

n n

j j

i j j i j

i      _{    } 





e





1

1

lim n 1 . 0

i j

i j 





_  

do que decorre que





1

1

lim lim n 1 .

i i

j

p F i j 

  _      _  _     



segue-se que o valor da prestação p cresce ilimitadamente, à medida que se aumenta a taxa

de juros i.

b) relativamente ao número n de prestações, basta observar que a série





1

1 1 . j i j    



é

divergente. Logo, o valor da prestação p decresce com o número das mesmas; tendendo, no

limite, a anular-se.

c) observando-se que, das relações ( A.1 ) e ( A.2 ), se tem









1 1 1 1 . 1 n j n j j i j p p i       





( A.3 )

segue-se que, dados n, F e i, se tem p p , se para todo j1tivermos









1 1 . 1 1 j

i j i

   .

1

11

Ora



₁



j _{1 .}



₁



2 _{2 j 1 . , 0 e 1;}

i j i j j i i j i se i j

           com igualdade se j = 1.

Logo, 1 1 .





1 1





j

i j i

   , do que decorre que se tenha p p se o número de

prestações n for maior do que um. Havendo igualdade, com p p F



1i



,se n1. Uma primeira constatação da impropriedade da consideração do procedimento em questão é que, o que é exemplificado no caso em que F = R$ 10.000,00, i = 1% a.m e n = 180

meses, o resultante valor de p, tal como computacionalmente calculado a partir da relação

(A.2 ), é R$ 97,43. Valor este que sequer cobre os juros, relativos ao primeiro mês, devidos ao valor do financiamento (juros estes iguais a R$ 100,00).

A implicação de tal fato é que, efetivamente, o débito não será liquidado, mesmo com o pagamento de todas as 180 prestações.

2.1.1 – A questão da determinação do saldo devedor

Fixando a atenção no caso de somente duas prestações, quando se tem uma formulação analítica tratável, com



_{1 3 2} 2





_{2 3}



pF  i i  i , vejamos o que aconteceria

no caso de liquidação da dívida, imediatamente antes do pagamento da primeira prestação.

a) de acordo com método de recorrência, tem-se: S₁ F(1i)

b) de acordo com o método prospectivo, tem-se: S₁ p p/ (1i)



_{2 7 7} 2 ₂ 3

 

_{2 5 3}2



F i i i i i

     

Com



2 3

 

2



1 1 2 5 3 0, 0

S S F i i  i i  se i

Ou seja, semelhantemente ao que ocorre quando se adota o chamado “Método de Gauss”, também teremos insanáveis inconsistências quando se busca efetuar uma liquidação antecipada do débito.

2.2 – Data focal coincidindo com a de vencimento da última prestação

Agora, a equação que expressa a equivalência financeira entre o valor F do

financiamento, e a sucessão das n prestações periódicas, cujo valor denotaremos por pˆ , em

sendo considerada a taxa periódica i de juros simples, passa a ser escrita como:













1

ˆ

1 . n 1

j

F i n p i n j



 



  (A.4)

12

Ora, dado que a relação ( A.4 ) envolve a expressão, há muito conhecida (a Wikipedia nos informa do trabalho de Aryabhatia, do ano de 499 DC), da soma dos n primeiros números

naturais, a adoção da época de vencimento da última prestação com data focal, tem levado a que, inapropriadamente, o procedimento seja denominado de “Método de Gauss”.1 _{Sendo que}

associar o nome de um matemático com a estatura de Gauss, a um procedimento eivado de inconsistências, afigura-se como um verdadeiro sacrilégio.

Além da já evidenciada falência do procedimento quando se busca determinar o saldo devedor de um financiamento, deve ser observado que:

a) embora se tenha a prestação pˆ crescendo à medida que se aumenta a taxa de juros i, pois que









2 1 .

ˆ

lim lim

2 1

i i

F n i p

n i n

 

 

 

 

 

tem-se, fazendo nos da regra de L’ Hospital

2 2

ˆ

lim lim

1 1

i i

F n F

p

n n n

      

Ou seja, o que deve ser considerado como uma inconsistência, embora desejável para os proponentes do procedimento, o valor da prestação pˆ é limitado superiormente pela razão





2F n1 .

Tal idiossincrasia implica em que, como apontado no texto, para o caso de um financiamento de R$ 100.000,00, com 18 prestações anuais constantes, e à taxa de juros de 10% a.a., enquanto que a Tabela Price acarreta uma prestação de valor p = R$ 12.193,02,

como 2F



n 1



R$11.764,11, não exista taxa anual de juros simples que produza,

segundo o chamado “Método de Gauss”, o valor ˆp p.

b) para prazos muitos longos, a prestação sequer cobre os juros, por um período, devidos ao valor financiado.

Isso porque, do mesmo modo que no caso de data focal na de concessão do financiamento, tem-se:









2 1 .

ˆ

lim lim

2 1

n n

F i n p

n i n

 



  

 

 

 

Tal fato acontece, por exemplo, no caso de um financiamento habitacional de R$ 100.000,00, com prazo de 15 anos e prestações mensais à taxa de juros de 1% a.m.

Isso porque, enquanto i F. R$1.000,00, temos pˆ R$820,07.

c) entretanto, para deleite dos proponentes do chamado “Método de Gauss”, tem-se que p p pˆ.

Já tendo sido comprovado que p p , comparemos pˆ com p.

1

13

Como





1





1 1 1 ˆ 1 . 1 . n n j j

i n j

F p i j p

i n         





segue-se que









1 1 1 1 1 .

ˆ _{1 .}

n

j n

j

i n j i n p p i j        





Logo, teremos p pˆ se for verificada a desigualdade





_

_

1

1 1 1 1 . 1 . n n j j

i n j

i j i n        





Ora, comparando-se as respectivas n parcelas da desigualdade acima, excetuando-se o

caso onde j = n, quando são iguais, temos que:















2

1 1

0 0 1

1 . 1 . 1 . 1 .

i n j j n j i

se i e j n

i n i j i n i j

  

     

   

Por conseguinte, p p p se nˆ, 1. Havendo igualdade, quando





ˆ 1