Simulação das temperaturas diárias na cidade de Natal-rn

(1)

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MEC ˆANICA

PROGRAMA DE P ÓS-GRADUAÇ ÃO EM ENGENHARIA MEC ÂNICA

SIMULAÇ ÃO DAS TEMPERATURAS DI ÁRIAS NA CIDADE DE NATAL-RN

DORGIVAL ALBERTINO DA SILVA J ´UNIOR

(2)

Disserta¸cão de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-Gradua¸cão em Engenharia Mecânica da Universi-dade Federal do Rio Grande do Norte como requisito parcial para a obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Engenharia Mecânica.

Orientador: Prof. Dr. Jos´e Ubiragi de Lima Mendes

(3)

Disserta¸c˜ao apresentada e aprovada em de de , pela banca examinadora composta pelos seguintes membros:

Prof. Dr. Jos´e Ubiragi de Lima Mendes Orientador

Prof. Dr. Carlos Magno de Lima Examinador Interno

Prof. Dr. Roberto Silva de Souza Examinador Externo

(4)

E ao meu anjo da guarda

(5)

(6)

`

A Deus, que me concede paz e felicidade. `

A minha fam´ılia, que me d´a suporte.

Aos meus bons amigos, que me orientam nas minhas escolhas.

Aos meus professores, que me ajudaram na minha forma¸c˜ao acadˆemica, pela amizade e apoio.

(7)

A recupera¸cão de informa¸cões é de extrema importância em todas as áreas do conhecimento. Em rela¸cão as temperaturas da cidade de Natal, elas foram simuladas e analisadas. Desta forma, foi poss´ıvel recuperar, com certa precisão, as tempera-turas de dias em que elas não foram coletadas. Para isso, construiu-se um software que indica o valor da temperatura em cada instante na cidade. O programa foi desenvolvido em linguagem Delphi com a utiliza¸cão de fun¸cões interpoladas poli-nomiais de terceiro grau. As equa¸cões foram obtidas no Excel cujos dados foram coletados no Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais(INPE). Essas fun¸cões foram modificadas a partir de um fator de corre¸cão de modo a fornecerem os valores de tem-peraturas entre aqueles que não foram coletados. De posse desse programa pode-se construir tabelas e gráficos para analisar as temperaturas em determinados per´ıodos de tempo. A mesma análise foi feita desenvolvendo matematicamente as fun¸cões que descrevem as temperaturas. Com os dados fornecidos por esse software foi poss´ıvel afirmar quais são os horários de maiores e menores temperaturas na cidade, assim como os meses que possuem os ´ındices com as maiores e menores temperaturas.

(8)

Information retrieval is of paramount importance in all areas of knowledge. Regarding the temperatures of Natal, they were simulated and analyzed. Thus, it was possible to recover, with some accuracy, the temperatures of days they were not collected. For this we constructed a software that displays the temperature value at each moment in the city. The program was developed in Delphi using interpo-lated polynomial function of third degree. The equations were obtained in Excel and data were collected at the Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais (INPE). These functions were changed from a correction factor in order to provide values to temperatures between those who were not collected. Armed with this program you can build tables and charts to analyze the temperatures for certain periods of time. The same analysis was done by developing mathematical functions that describes the temperatures. With the data provided by this software is possible to say which are the hours of highest and lowest temperatures in the city, as the months have indexes with the highest and lowest temperatures.

(9)

Introdu¸c˜ao 2

Objetivos 5

1 Revis˜ao Bibliogr´afica 6

1.1 Recupera¸c˜ao de Informa¸c˜ao . . . 7

1.2 M´etodos Estat´ısticos . . . 8

1.3 Interpola¸c˜ao . . . 10

1.4 M´etodo de Resolu¸c˜ao de Sistemas Lineares . . . 14

2 Metodologia 20 2.1 Obten¸c˜ao dos dados . . . 21

2.2 An´alise dos dados . . . 23

2.3 Equa¸c˜oes pelo Excel . . . 26

2.4 Fator de Corre¸c˜ao . . . 33

2.5 Equa¸cões pelo Método Numérico . . . 36

3 Resultados e Discuss˜oes 42

4 Conclus˜oes 82

Bibliografia 84

(10)

1 Evolu¸c˜ao da esperan¸ca de vida ao nascer. . . 3

2.1 Site do INPE . . . 21

2.2 Dados do INPE . . . 22

2.3 Sistema de Busca de Temperaturas . . . 26

2.4 Gr´afico das temperaturas as 5 horas . . . 27

2.7 Gr´aficos das temperatura as 14 horas . . . 30

2.9 Fator de corre¸c˜ao . . . 33

2.10 Fluxograma do m´etodo num´erico . . . 36

3.1 Dia 6 de Janeiro . . . 44

3.2 Dia 5 de Novembro . . . 46

3.3 Dia 15 de Junho . . . 48

3.4 Dia 15 de Julho . . . 50

3.6 Dia 20 de Dezembro . . . 54

3.7 Gráfico de três dias do mês de Janeiro . . . 56

3.8 Gráfico de três dias do mês de Fevereiro . . . 58

3.9 Gráfico de três dias do mês de Mar¸co . . . 60

3.10 Gráfico de três dias do mês de Abril . . . 62

3.11 Gráfico de três dias do mês de Maio . . . 64

3.12 Gráfico de três dias do mês de Junho . . . 66

3.13 Gráfico de três dias do mês de Julho . . . 68

3.14 Gráfico de três dias do mês de Agosto . . . 70

3.15 Gráfico de três dias do mês de Setembro . . . 72

3.16 Gráfico de três dias do mês de Outubro . . . 74

3.17 Gráfico de três dias do mês de Novembro . . . 76

3.18 Gráfico de três dias do mês de Dezembro . . . 78

3.19 Dia 16 de Janeiro . . . 80

3.20 Dia 7 de Fevereiro . . . 81

(11)

1.1 Pontos de um sistema . . . 12

2.1 5 horas de Janeiro . . . 23

2.2 Constantes . . . 35

2.3 Pontos de um sistema . . . 37

3.2 Dia 5 de Novembro . . . 47

3.3 Dia 15 de Junho . . . 49

3.4 Dia 15 de Julho . . . 51

3.6 Dia 20 de Dezembro . . . 55

3.7 Dados de Janeiro . . . 57

3.8 Temperaturas extremas de Janeiro . . . 57

3.9 Horas em que as temperaturas foram acima da m´edia . . . 57

3.10 Dados de Fevereiro . . . 59

3.11 Temperaturas extremas de Fevereiro . . . 59

3.13 Dados de Mar¸co . . . 61

3.14 Temperaturas extremas de Mar¸co . . . 61

3.16 Dados de Abril . . . 63

3.17 Temperaturas extremas de Abril . . . 63

3.19 Dados de Maio . . . 65

3.20 Temperaturas extremas de Maio . . . 65

3.22 Dados de Junho . . . 67

3.23 Temperaturas extremas de Junho . . . 67

3.25 Dados de Julho . . . 69

3.26 Temperaturas extremas de Julho . . . 69

3.28 Dados de Agosto . . . 71

(12)

3.31 Dados de Setembro . . . 73

3.32 Temperaturas extremas de Setembro . . . 73

3.34 Dados de Outubro . . . 75

3.35 Temperaturas extremas de Outubro . . . 75

3.37 Dados de Novembro . . . 77

3.38 Temperaturas extremas de Novembro . . . 77

3.40 Dados de Dezembro . . . 79

3.41 Temperaturas extremas de Dezembro . . . 79

(13)

O processo de recupera¸cão de dados já é bastante usado no caso de arquivos de computadores, onde é poss´ıvel recuperar arquivos em discos r´ıgidos que não funcionam mais.

No caso de dados coletados em experimentos ou aparelhos, não é poss´ıvel recu-perar exatamente as informa¸cões perdidas. No entanto, um processo de simula¸cão pode ser utilizado para se aproximar dos valores perdidos.

A simula¸cão pode ser feita para recuperar valores de vários sistemas, tais como crescimento populacional, prolifera¸cão de doen¸cas, taxa de mortalidade, crescimento urbano, decaimento radioativo, dentre outros.

Numa pesquisa anual, por exemplo, se em determinado ano a pesquisa n˜ao for feita, ´e poss´ıvel obter os valores aproximados daquele ano utilizando os valores dos anos anteriores e posteriores.

Em um processo muito simplificado, é poss´ıvel simular os valores para o ano de 1990, na fig. 1, apenas com os outros dados da tabela. Produzindo, dessa forma, uma tabela sobre a evolu¸cão da esperan¸ca de vida ao nascer, por sexo, no Estado de São Paulo, com um intervalo de dez anos.

(14)

Figura 1: Evolu¸c˜ao da esperan¸ca de vida ao nascer.

A simula¸cão de valores de temperaturas é um processo bem mais complexo, devido ao clima ser um sistema caótico. A dificuldade de se recuperar valores de temperaturas reside no fato de a quantidade de dados a serem analisados ser enorme, já que a temperatura varia a cada instante.

A proposta dessa disserta¸cão é recuperar os valores das temperaturas utilizando apenas 11,5% dos dados dispon´ıveis em uma tabela que contêm as temperaturas em fun¸cão das horas.

(15)

a brisa constante torna a temperatura agrad´avel.

A medida das temperaturas faz-se necessário também para avaliar o risco que a popula¸cão tem de contrair câncer de pele. Na cidade de Natal, esse risco é alto, já que as temperaturas na capital são elevadas.

A previsão do Instituto Nacional do Câncer[5] mostra que o Rio Grande do Norte terá 2.930 casos de câncer de pele em 2010. O Instituto afirma que a média anual era de 2,5 mil novos casos. Segundo o Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais[6], a capital tem ´ındices alt´ıssimos do câncer.

Diante desse contexto, surge a necessidade de estudos experimentais e te´oricos capazes de analisar as temperaturas ambientais na cidade de Natal.

Finalmente, o presente trabalho foi dividido em 4 cap´ıtulos para uma melhor descri¸c˜ao do tema apresentado.

O primeiro cap´ıtulo é uma revisão bibliográfica sobre os temas relacionados com o trabalho. Nesse cap´ıtulo está a fundamenta¸cão teórica, onde o modelo matemático de interpola¸cão utilizado no programa será apresentado nessa se¸cão. Mas também será apresentado o método utilizado para resolu¸cão dos sistemas lineares.

Já o segundo cap´ıtulo é reservado para a metodologia empregada nessa dis-serta¸cão. Mostrando como foi o processo de coleta dos dados, e obten¸cão das equa¸cões que descrevem as temperaturas.

(16)

Gerais

Este trabalho objetiva simular e recuperar os valores das temperaturas da cidade de Natal durante um ano a partir de fun¸c˜oes interpoladas e modificadas por um fator de corre¸c˜ao.

Espec´ıficos

• Encontrar o grau do polinˆomio que descreva satisfatoriamente os pontos dese-jados.

• Construir tabelas de dados em intervalos regulares.

• Utilizar fun¸c˜oes interpoladas pelo Excel para retornar os valores de tempera-turas.

• Desenvolver matematicamente essas fun¸c˜oes e comparar seus resultados com os fornecidos pelo Excel.

• Modificar, experimentalmente, as equa¸c˜oes, de forma que elas possam fornecer dados mais pr´oximos dos reais.

• Verificar a validade do método, utilizando varia¸cões temporais aleatórias, e comparando os resultados simulados com os reais.

• Visualizar, por padr˜oes gr´aficos, o comportamento das temperaturas durante um ano nessa cidade.

(17)

Revis˜

ao Bibliogr´

afica

(18)

O setor de informática lida com uma área conhecida como recupera¸cão de in-forma¸cão, que consiste em armazenar documentos e recuperar as informa¸cões con-tidas neles.

Esse setor busca as informa¸c˜oes dentro de documentos, seja feita em banco de da-dos interligada-dos, seja na pr´opria internet. O tipo de arquivo pode ser tanto arquivos de texto, de sons, de imagens, quanto de dados.

O termo recupera¸cão de informa¸cão na informática faz alusão à chamada de arquivos já existentes e completos. No caso dessa disserta¸cão, o termo recupera¸cão faz referência à simula¸cão de dados que foram perdidos, ou não coletados.

Dessa forma, as simula¸cões feitas nessa disserta¸cão contribuem para a pera¸cão de informa¸cão em rela¸cão à coleta de dados. Com isso, é poss´ıvel recu-perar, com uma certa precisão, dados que foram perdidos ou não coletados em uma observa¸cão ou em um experimento.

Meireles et al. [8] utilizaram o termo recupera¸cão como a representa¸cão e o acesso a informa¸cão já existente. Sendo portanto utilizado para modificar a forma com que os dados geográficos são tratados e apresentados ao usuário, no caso por mapas temáticos.

Nos feriados, a bolsa de valores de São Paulo - Bovespa - não abre para o pregão. No entanto, é poss´ıvel simular como teria sido o comportamento das a¸cões naquele dia baseando-se em dias anteriores.

No caso da bolsa de valores, esse procedimento é conhecido como análise de curto prazo, ou análise gráfica. Ao contrário da análise fundamentalista, a análise gráfica faz simula¸cões apenas baseadas nos valores anteriores das a¸cões.

A natureza da recupera¸cão de informa¸cão exige representa¸cão secundária em rela¸cão ao fator social, levando pesquisadores a encontrar mecanismos mais eficientes de interpreta¸cão dos registros armazenados. [7]

(19)

1.2 M´

etodos Estat´ısticos

A estat´ıstica tem participado nas atividades profissionais da atualidade, já que os números traduzem objetivamente as questões do cotidiano, proporcionando veri-fica¸cões baseadas em fatos e dados.

A popula¸cão é a cole¸cão de todas as observa¸cões potenciais sobre um determinado fenômeno. Já a amostra é o conjunto de dados efetivamente observados ou extra´ıdos de uma popula¸cão.[2]

´

E a partir de uma amostra que origina-se o estudo para fazer inferˆencias sobre a popula¸c˜ao.

M´edia Aritm´etica

A média aritmética de um conjunto de dados é definida como a divisão entre o somatório de todos os valores pela sua quantidade.

xa=

Pn

i=1xi

n (1.1)

M´edia Geom´etrica

A média geométrica é o resultado da ra´ız enésima do produto de todos os valores dados.

xa= ( n

Y

i=1

xi)n1 (1.2)

Mediana ´

E o valor que se encontra na posi¸cão média da série ordenada de dados. [1] Se a quantidade de dados for par, é a medida dos dois valores de posi¸cão média da série ordenada.

(20)

´

E o valor de mais alta frequˆencia de aparecimento numa s´erie dada.[1]

Em geral, a moda é utilizada quando os dados estão em uma escala nominal. No entanto, existem conjuntos que não apresentam moda, e outros que são bi ou multimodal.

Medidas de Dispers˜ao

As medidas de dispersão indicam se os valores estão relativamente próximos um dos outros, ou separados em torno de uma medida de posi¸cão: a média.[11] A Variância e o Desvio Padrão são medidas de dispersão.

Variˆancia

A variância para a amostra é aproximadamente a média aritmética dos quadrados dos desvios de todos os valores dividido pela média aritmética da popula¸cão.

σa=

Pn

i=1(xi−x)2

n−1 (1.3)

Para a popula¸c˜ao

σ_p =

Pn

i=1(xi−x)2

n (1.4)

Desvio Padr˜ao

O desvio padrão é a raiz quadrada da variância. Para a amostra

σa= (

Pn

i=1(xi−x)2

n−1 )

1

2 (1.5)

Para a popula¸c˜ao

σ_p = (

Pn

i=1(xi−x)2

n )

1

(21)

1.3 Interpola¸c˜

ao

Ajuste de Curvas

Os valores das temperaturas são dependentes do dia e da hora, neste caso pode-se tra¸car um diagrama de dispersão. No entanto, é muito dif´ıcil encontrar matematicamente uma curva que passe exatamente por esses pontos. Na verdade, torna-se prefer´ıvel encontrar uma curva que melhor se ajuste aos pontos fornecidos. Isso ocorre porque o procedimento de coleta de dados possuiu um erro que é inerente a qualquer experimento. Apenas pelo fato de ocorrer a medi¸cão, os dados medidos já são modificados. É imposs´ıvel verificar as condi¸cões de um sistema sem modificá-lo.

O problema de ajuste de curvas consiste em m+ 1 fun¸cões - onde m é o grau do polinômio que se deseja obter - g0(x), g1(x), . . . , gm(x), cont´ınuas no intervalo

[a, b], encontrar m+ 1 coeficientes β₀,β₁, . . . , β_m de modo que:

f(x) = β0g0(x) +β1g1(x) +. . .+βmgm(x) (1.7) Ajuste Polinomial

O ajuste polinomial ocorre quando os pontos apresentados no diagrama não podem ser descritos por uma fun¸cão linear. Nestes casos a fun¸cão 1.7 é composta utilizando as seguintes fun¸cões [9]

g0(x) = 1

g1(x) =x

g₂(x) =x2 g₃(x) =x3

...

gm(x) =xm

(22)

f(x) =β₀+β₁x+β₂x2+. . .+β_mxm_. _(1.9) Dessa forma,f(x) torna-se um polinˆomio de graum. Para se encontrar os valores deβ basta resolver o sistema abaixo:

       n P

xi Px2i . . .

P xm i P xi P

x2_i P

x3_i . . . P

xm_i +1

P x2 i P x3 i P x4

i . . .

P

xm_i +2

... ... ... . .. ...

P

xm i

P

xm_i +1 P

xm_i +2 . . . P

x2m i        ×        β₀ β1 β₂ ... βm        =        P yi P

yixi

P

y_ix2

i ...

P

yixmi

      

No caso particular de um polinˆomio de terceiro grau, esse sistema fica represen-tado por     n P

x_i P

x2 i P x3 i P

xi Px2i

P x3 i P x4 i P

x2_i P

x3_i P

x4_i P

x5_i

P x3 i P x4 i P x5 i P x6 i     ×     β₀ β₁ β2 β₃     =     P y_i P

yixi

P

yix2i

P

y_ix3

i

   

e a equa¸c˜ao desejada ´e

(23)

Interpola¸c˜ao Polinomial de Terceiro Grau Utilizando o M´etodo dos M´ınimos Quadrados

A tab. 1.1 mostra um conjunto de pontos coletados de um sistema qualquer:

Tabela 1.1: Pontos de um sistema

y x

y1 x1

y2 x2

y₃ x₃ y₄ x₄ y5 x5

y6 x6

y₇ x₇ y₈ x₈ y9 x9

Seja f(xi) a fun¸cão resultante da intepola¸cão. No caso de um polinômio de terceiro grau, f(x) = β₀+β₁x+β₂x2₊_β

3x3.

O objetivo ´e fazer com que o desvio, di = yi − f(xi), seja m´ınimo. Pelo m´etodo dos m´ınimos quadrados:

D(β₀, β₁, β₂, β₃) = n

X

i=1

d2_i = n

X

i=1

[yi−β0 −β1xi−β2x2i −β3x3i]2 (1.11) Derivando parcialmente essa fun¸c˜ao e igualando-a a zero para determinar o seu valor m´ınimo: ∂D ∂β0 = 2 n X i=1

[yi−nβ0−β1xi−β2x2i −β3x

3

i] = 0 (1.12)

∂D ∂β1 = 2 n X i=1

(24)

∂D ∂β₂ = 2

n

X

i=1

[yi−β0−β1xi−β2x2i −β3x

3

i]x

2

i = 0 (1.14)

∂D ∂β3 = 2 n X i=1

[yi−β0−β1xi−β2x2i −β3x3i]x3i = 0 (1.15) Rearrumando os termos que podem zerar a equa¸c˜ao, e fazendo Pn

i=1 = P

:

nβ0+β1 X

xi+β2 X

x2_i +β3 X

x3_i =Xyi (1.16)

β₀Xxi+β1 X

x2_i +β₂Xx3_i +β₃Xx4_i =Xxiyi (1.17)

β0 X

x2_i +β1 X

x3_i +β2 X

x4_i +β3 X

x5_i =Xx2_iyi (1.18)

β₀Xx3_i +β₁Xx4_i +β₂Xx5_i +β₃Xx_i6 =Xx3_iy_i (1.19) Fazendo um sistema matricial:

    n P xi P

x2_i P

x3_i

P

xi Px2i

P x3 i P x4 i P

x2_i P

x3_i P

x4_i P

x5_i

P

x3_i P

x4_i P

x5_i P

x6_i

    ×     β0 β₁ β2 β3     =     P yi P

yixi

P

yix2i

P

yix3i

(25)

1.4 M´

etodo de Resolu¸c˜

ao de Sistemas Lineares

Os métodos numéricos para resolver sistemas lineares dividem-se em dois tipos: Métodos Exatos, e Métodos Iterativos.

• Métodos Exatos São aqueles que permitiriam obter, se não fossem os erros de arredondamento, a solu¸cão exata de um sistema com um número finito de cálculos.

• Métodos IterativosSão os que fornecem a solu¸cão de um sistema de equa¸cões, com uma certa precisão, através de um processo infinito convergente.

Um dos métodos exatos é o de decomposi¸cão LU, o qual pode ser utilizado para resolver um sistema matricial. Seu teorema é mostrado abaixo.[4]

Teorema 1.1 (Teorema LU) Seja A= (aij) uma matriz quadrada de ordem n, e

Ak o menor principal, constitu´ıdo das k primeiras linhas e k primeiras colunas de A.

Assumimos quedet(Ak)6= 0 parak= 1,2, . . . , n−1. Então existe uma única matriz triangular inferior L = (lij), com l11 = l22 = . . . = lnn = 1, e uma única matriz

triangular superior U = (uij) tal que LU =A. Al´em diss, det(A) =u11u22. . . unn. Esse m´etodo consiste em transformar uma matriz [A], em um produto de duas matrizes, uma triangular inferior, [L], e a outra triangular superior, [U], e resolver dois sistemas envolvendo essas novas matrizes.

[A][X] = [B] (1.20)

[A] = [L][U] (1.21)

(26)

[L][Y] = [B] (1.23)

[U][X] = [Y] (1.24)

Os elementos das matrizes envolvidas no processo podem ser explicitados como abaixo:     

a₁₁ a₁₂ . . . a₁_n a₂₁ a₂₂ . . . a₁n ... ... ... ...

an1 an2 . . . ann

     =     

1 0 . . . 0

l₁₁ 1 . . . 0 ... ... ... ...

ln1 ln2 . . . 1      ×     

u₁₁ u₁₂ . . . u₁_n

0 u₂₂ . . . u₁n ... ... ... ... 0 0 . . . unn

    

• Resolvendo para a primeira linha de U:

u11 =a11, u12=a12 , u13 =a13 , ... , u1j =a1j (1.25) com j = 1,2, ..., n.

• Resolvendo para a primeira coluna de L:

a₂₁ =l₂₁u₁₁, a₃₁=l₃₁u₁₁ , a₄₁=l₄₁u₁₁ , ... , a_i₁ =l_i₁u₁₁

li1 =

ai1

u₁₁ (1.26)

com i= 2,3, ..., n.

• Resolvendo para a segunda linha de U:

a21=l21u11, a22=l21u12+u22 , a23 =l21u13+u23

(27)

• Resolvendo para a segunda coluna de L:

a₁₂ =u₁₂ , a₂₂=l₂₁u₁₂+u₂₂ , a₃₂=l₃₁u₁₂+l₃₂u₂₂

li2 =

ai2−li1u12

u₂₂ (1.28)

com i= 1,2, ..., n.

Se o processo continuar, ´e poss´ıvel obter todos os elementos das matrizes trian-gulares inferiores e superiores, segundo as express˜oes:

lij =

aij −

Pj−1

k=1likukj

ujj

, i > j (1.29)

u_ij =a_ij − i−1

X

k=1

(28)

A solu¸cão de um sistema triangular inferior é feita por substitui¸cão direta, ou seja, determina-se o valor da primeira incógnita e substitui esse valor na equa¸cão seguinte, até a enésima equa¸cão.

Defini¸c˜ao 1 Uma matriz triangular inferior ´e uma matriz quadrada C = (cij) tal

quecij = 0 para i < j.

            

l11y1 = b1

l21y1 + l22y2 = b2

l₃₁y₁ + l₃₂y₂ + l₃₃y₃ = b₃

... ... ... . .. ...

ln1y1 + ln2y2 + . . . + lnnyn = bn

onde aii6= 0; i = 1, 2, . . . , n. A resolu¸c˜ao do sistema ´e feita como se segue:

y1 =

b1

l₁₁ (1.31)

y2 =

b₂−l₂₁y₁ l22

(1.32)

y₃ = b3−l31y1−l32y2

l₃₃ (1.33)

Se o processo continuar, pode-se estabelecer para todos os termos:

yi =

b_i−Pi−1

j=1lijyj

lii

(1.34)

(29)

Sistema de Ordem n Triangular Superior

A solu¸cão de um sistema triangular superior é obtida por retrosubstitui¸cão, ou seja, determina-se o valor da enésima incógnita e substitui-se esse valor na penúltima equa¸cão, para determinar o valor de x_n₋₁ e continuar o processo até a primeira incógnita.

Defini¸c˜ao 2 Uma matriz triangular superior ´e uma matriz quadrada C = (cij) tal

quecij = 0 para i > j.

                

u₁₁x₁ + u₁₂x₂ + u₁₃x₃ + . . . + u₁_nx_n = y₁ u₂₂x₂ + u₂₃x₃ + . . . + u₂nxn = y2

. .. ... ... ...

u₍n−2)x(n−2) + u(n−2)x(n−1) + u(n−2)xn = y(n−2)

u(n−1)x(n−1) + u(n−1)xn = y(n−1)

u_nnx_n = y_n

onde a_ii6= 0; i = 1, 2, . . . , n. A resolu¸c˜ao do sistema ´e feita a seguir:

xn=

yn

u_nn (1.35)

x(n−1) =

y₍n−1)−u(n−1)nxn

u₍n−1)(n−1)

(1.36)

x₍_n₋₂₎ = y(n−2)−u(n−2)(n−1)x(n−1)−u(n−2)xn

u(n−2)(n−2)

(30)

x(n−i) =

y(n−i)−

P

u(n−i)(n−j)x(n−j)

u₍n−i)(n−i)

(1.38)

Por indu¸c˜ao matem´atica:

xi =

y_i−Pn

j=i+1uijxj

u_ii (1.39)

(31)

Metodologia

(32)

O Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais(INPE) divulga, no seu site, variáveis climáticas que podem ser apresentadas em arquivos do Excel em um determinado mês. A figura 2.1 mostra quais os parâmetros que o INPE disponibiliza.

(33)

A figura 2.1 mostra como esses dados são fornecidos à popula¸cão.

(34)

A partir dos dados coletados do INPE, foram selecionados dez dias de cada mês, seguindo a progressão aritmética de três dias. Em cada um desses dias, foi obtido o valor da temperatura em fun¸cão da hora, para um determinado dia.

Por exemplo, `as 5 horas do dia 3 de Janeiro, verificou-se que a temperatura era de 27,6467o_C_{; `as 5 horas do dia 6 de Janeiro, o valor da temperatura era 27}_,₆₆₃₇o_C

e assim por diante at´e o dia 27.

Com isso, obteve-se uma amostra de 11.5% dos dados. Os dados foram dispostos em uma tabela como a que segue abaixo:

Tabela 2.1: 5 horas de Janeiro

Ano Dia Minuto Temperatura

2009 3 300 27,6467

2009 6 300 27,6637

2009 9 300 27,1717

2009 12 300 26,1033

2009 15 300 26,703

2009 17 300 26,5675

2009 21 300 26,432

2009 24 300 26,60885

(35)

Esse procedimento foi repetido para as 8 horas, 11 horas, 14 horas e 17 horas, levando em considera¸cão que as maiores temperaturas ocorrem nesse per´ıodo, assim como a exposi¸cão à radia¸cão ultra-violeta.

A escolha da interpola¸cão polinomial foi feita devido ao fato de as temperaturas variarem muito. Um ajuste de curva linear não descreveria bem as temperaturas que ocorrem em um mês, porque não apresentam inflexões.

Os gráficos descritos por uma fun¸cão quadrática são os mais utilizados, justa-mente pelo fato de eles possuirem inflexões capazes de passarem por pontos que seriam inacess´ıveis a uma fun¸cão afim.

Os erros são inerente a qualquer experimento, a qualquer coleta de dados. Além do mais, algumas as temperaturas podem sofrer altera¸cões bruscas durante a coleta de dados. O que gera grandes desvios na resposta.

Dessa forma, para definir uma fun¸cão anal´ıtica que descreva o sistema proposto não se deve optar por uma forma polinomial interpoladora dos pontos fornecidos, mas sim uma curva que melhor se ajuste a estes pontos, levando em considera¸cão a existência de erros que, geralmente, não são previs´ıveis.

Embora não seja necessário for¸car uma fun¸cão que apresente como resposta os valores exatos das temperaturas, justamente por apresentarem erros devido a coleta dos dados, e a mudan¸cas climáticas não dependentes apenas da temperatura, é razoável supor que a fun¸cão obtida se aproxime ao máximo desses pontos e que descreva muito bem os pontos adjacentes.

(36)

desenvolvidos dois m´etodos:

• O primeiro consiste em plotar no Excel os dados das tabelas previamente coletados, e fazer com que seja mostrada a fun¸cão polinomial que melhor se ajusta a esses pontos. Essa fun¸cão foi então modificada por um fator de corre¸cão que torna a fun¸cão capaz de descrever os valores de temperaturas entre aqueles que não foram coletados. A partir desses dados foi feito um programa, em Delphi - com uma interface mais amigável em rela¸cão ao usuário -, tendo o objetivo de indicar o valor da temperatura simulada em fun¸cão do tempo para o ano de 2009.

• O segundo método consiste em determinar essas fun¸cões matematicamente, com o objetivo de utilizá-las para analisar as temperaturas, utilizando-se também o fator de corre¸cão. Com isso é poss´ıvel simular os valores das temperaturas em fun¸cão do tempo, assim como encontrar a média, variância, desvio padrão, valores m´ınimos e máximos das temperaturas, e os horários em que essas tem-peraturas encontram-se acima da média. Esse procedimento foi feito também pelo autor dessa disserta¸cão, mas agora utilizando a linguagem Fortran.

Essa mesma metodologia pode ser aplicada a qualquer ano, mas tamb´em para qualquer tipo de experimento.

(37)

2.3 Equa¸c˜

oes pelo Excel

Após a coleta de dados, foram construidos cinco gráficos no Excel, um para cada hora. Esses gráficos tinham como variáveis independentes os dias do mês de Janeiro, e as dependentes as temperaturas em cada um desses dias. O objetivo da constru¸cão desses gráficos é que pode-se obter as fun¸cões interpoladas a partir deles.

Uma vez obtidas essas equa¸cões, elas foram introduzidas no programa Sistema de Busca de Temperaturas para serem acessadas quando o usuário fornecer os valores da variável dependente.

(38)

horas. Com isso, foi poss´ıvel obter uma fun¸c˜ao que descrevesse o comportamento da temperatura, nessa hora, durante o mˆes de Janeiro:

Figura 2.4: Gráfico das temperaturas as 5 horas A equa¸cão que descreve esse gráfico é:

(39)

Da mesma forma foi feito para as 8 horas:

Figura 2.5: Gráfico das temperaturas as 8 horas Equa¸cão do gráfico:

(40)

Figura 2.6: Gr´afico das temperaturas as 11 horas

Equa¸c˜ao do gr´afico:

(41)

Para as 14 horas:

Figura 2.7: Gr´aficos das temperatura as 14 horas

Equa¸c˜ao do gr´afico:

(42)

Figura 2.8: Gráfico das temperaturas as 17 horas Equa¸cão do gráfico:

(43)

Todo esse procedimento foi feito para o mˆes de Janeiro, no entanto, para des-crever durante todo o ano de 2009 foi necess´ario repetir o mesmo processo para os outros meses.

Com o objetivo de melhorar a precisão do programa, a partir do mesmo proce-dimento descrito acima, foram encontradas fun¸cões interpoladas polinomialmente de sexto grau. No entanto, o resultado foi inesperado. Essas fun¸cões descreviam muito bem - melhor até do que as fun¸cões de terceiro grau encontradas anteriormente - os valores das temperaturas para dias menores do que cinco. Contudo, os resultados diferiam muito dos reais para dias maiores do que vinte, chegando a apresentar valores como 225o_C _{para o dia 21 de Janeiro às 14 horas.}

Esse problema é conhecido na computa¸cão numérica como Runge’s phenomenon. Esse problema aparece geralmente quando é utilizado uma fun¸cão polinomial de alto grau. Runge descobriu esse problema quando estava analisando o comportamento das fun¸cões em rela¸cão aos erros usando a interpola¸cão polinomial para descrever certas fun¸cões.[10]

(44)

As equa¸cões foram coletadas dos gráficos e implementadas na linguagem do programa. No entanto, não é poss´ıvel descrever as temperaturas diferentes das coletadas. Para solucionar esse problema, foi necessário supor que as temperaturas diárias se comportem semelhantes a uma distribui¸cão normal.

Para construir um programa que se adequasse a todos os pontos dessa dis-tribui¸cão, foi necessário ligar esses pontos por fun¸cões. Sendo assim, cada uma dessas fun¸cões foram modificadas devido a adi¸cão experimental de um fator de corre¸cão, de forma que os resultados fossem os mais próximos dos reais.

O fator de corre¸cão é uma fun¸cão afim, com um coeficiente angular que foi determinado experimentalmente.

A figura abaixo mostra a tendência de dire¸cão das temperaturas expressas pelo fator de corre¸cão:

(45)

Essa determina¸cão consistiu na introdu¸cão de valores para o coeficiente angular desse fator. A cada valor introduzido na fórmula, o programa era reescrito para todos os meses, e recompilado.

Com o programa funcionando, era então introduzidos a hora, o dia e o mês. Após o processamento, o programa retornava um valor de temperatura, o qual era comparado com a temperatura real apresentada na tabela do INPE.

Um exemplo dessa modifica¸c˜ao ´e dada abaixo:

y= 4E−05x3+ 0,0038x2−0,1858x+ 28,332 (2.6) equa¸c˜ao obtida no Excel.

A equa¸c˜ao posta na linguagem do Delphi ´e

T r:= 0.00004power(t,3) + 0.0038power(t,2)−0.1858t+ 28.332 +corr; (2.7) cujo fator de corre¸c˜ao possui o seguinte valor:

corr := 0.4∗(StrtoF loat(edthora.T ext)−5); (2.8) A equa¸cão (2.7) mostra como funciona esse fator de corre¸cão. A hora inserida pelo usuário será diminuida de 5 horas e multiplicada por 0.4.

Se a hora informada for menor do que 5, o valor do fator de corre¸cão torna-se negativo, diminuindo da temperatura apresentada pelas equa¸cões às 5 horas.

O valor da temperatura torna-se satisfatório, pois é de se esperar que as temper-aturas às 4 horas da manhã sejam menores do que as das 5 horas, assim como as das 6 horas sejam maiores do que as das 5 horas.

´

E conveniente observar que a contribui¸cão máxima desse fator de corre¸cão é de 0.6 graus Celsius às 6 horas e 30 minutos. Ou seja, foi proposto que as temperaturas às 6 horas e 30 minutos são maiores do que as das 5 horas em 0.6 graus Celsius.

Mas também, a influência desse fator desaparece quando é informada a hora igual àquelas coletadas. Nesse exemplo, se o usuário digitar 5 horas, a temperatura apresentada será exatamente igual à fornecida pela fun¸cão.

(46)

temperaturas devem diminuir ao longo do tempo. Das 12 horas e 30 minutos até às 15 e 30 minutos o coeficiente foi -0.2. Finalmente, das 15 horas e 30 minutos até às 17 horas, o coeficiente foi de -0.1.

Esse processo ´e resumido abaixo:

f(t) = α(t−β) (2.9)

Tabela 2.2: Constantes

Hora α β

(47)

2.5 Equa¸c˜

oes pelo M´

etodo Num´

erico

O fluxograma abaixo mostra o procedimento feito para o desenvolvimento com-putacional implementado na linguagem Fortran.

(48)

tempo tem a forma:

f(x) = β₀+β₁x+β₂x2+β₃x3 (2.10) Para encontrar essas fun¸cões, é necessário resolver o sistema matricial abaixo:

   

n P

xi Px2i

P

x3_i

P

xi

P

x2_i P

x3_i P

x4_i

P x2 i P x3 i P x4 i P x5 i P

x3_i P

x4_i P

x5_i P

x6_i

    ×     β0 β1 β₂ β3     =     P yi P

yixi

P

yix2i

P

yix3i

   

Onde os pontos (x,y) foram dispostos em uma tabela:

Tabela 2.3: Pontos de um sistema

y x

y1 x1

y2 x2

y₃ x₃ y₄ x₄ y5 x5

y6 x6

y₇ x₇ y₈ x₈ y9 x9

Denominei [E], como sendo a matriz dos somatórios de x. A matriz [F] é a dos somatórios de xy. E por último, a matrix [X] é a matriz dos coeficientes da equa¸cão.

[E][X] = [F] (2.11)

(49)

A matriz [D] ´e a que possui os dados da tabela. Ent˜ao para construir a matriz [E], a seguinte subrotina foi utilizada:

! SUBROTINA MATRIZ SOMATORIOX SUBROUTINE SOMATORIOX(W,P) ! E, D IMPLICIT NONE

INTEGER I, J, K

REAL, DIMENSION(9,2) :: P REAL, DIMENSION(4,4) :: W

DO I = 1, 4 DO J = 1, 4 W(I,J) = 0 ENDDO ENDDO

I=1

DO J=1, 4 DO I=1, 4 DO K=1, 9

W(I,J) = P(K,1)**(I+J-2) + W(I,J) ENDDO

ENDDO ENDDO W(1,1) = 9 END

(50)

! SUBROTINA MATRIZ SOMATORIOY SUBROUTINE SOMATORIOY(W,P) ! F, D IMPLICIT NONE

INTEGER I, K

REAL, DIMENSION(9,2) :: P REAL, DIMENSION(4,1) :: W

DO I = 1, 4 W(I,1) = 0 ENDDO

DO I=1, 4 DO K=1, 9

W(I,1) = P(K,2)*(P(K,1)**(I-1)) + W(I,1) ENDDO

ENDDO END

(51)

Nesse ponto, foi necessário decompor a matriz [E], em duas outras: uma trian-gular inferior [L] e a outra triantrian-gular superior [U], de forma que [E] = [L][U]. Pelas equa¸cões (1.30) e (1.29), pode-se desenvolver um código para encontrar a matriz triangular superior [U] e triangular inferior [L].

lij =

aij −Pj_k−₌₁1 likukj

ujj

, i > j

uij =aij − i−1

X

k=1

likukj, i≤j O seguinte c´odigo foi desenvolvido:

! SUBROTINA LU

SUBROUTINE LU(W,P,Q)! E,L,U IMPLICIT NONE

INTEGER I,J,N,K,G

REAL,DIMENSION(4,4) :: W,P,Q,Z N=4

Z(1,1) = 0

DO G=1, N

! MATRIZ SUPERIOR I=G

DO J=1, N DO K=1, I-1

Z(I,J) = Z(I,J) + P(I,K)*Q(K,J) ENDDO

Q(I,J) = W(I,J) - Z(I,J) Z(I,J) = 0

(52)

! MATRIZ INFERIOR I=G

J=G

DO I=1, N DO K=1, J-1

Z(I,J) = Z(I,J) + P(I,K)*Q(K,J) ENDDO

P(I,J) = (W(I,J) - Z(I,J))/(Q(J,J)) Z(I,J) = 0

ENDDO

J=G ENDDO RETURN END

O subprograma acima calcula as matrizes [U] e [L] da seguinte forma: primeiro calcula todos os elementos da primeira linha de [U], ou seja [U]1j, depois, com esse

resultado, calcula os elementos da primeira coluna da matriz [L], que s˜ao [L]i1. Logo

(53)

Resultados e Discuss˜

oes

(54)

Nesse ponto é necessário verificar a validade do programa proposto. Para isso, é necessário escolher aleatoriamente alguns dias para comparar as temperaturas simuladas com as reais, e poder verificar a sua eficiência.

Como pode-se observar nos gráficos seguintes, houve uma concordância entre o método utilizando as fun¸cões interpoladas pelo Excel, e o método usando as fun¸cões feitas matematicamente. Por essa razão, o erro em rela¸cão às temperaturas reais foi calculado tomando apenas as temperaturas simuladas numericamente e as reais.

Embora seja poss´ıvel simular as temperaturas de todos os dias do ano, a apre-senta¸c˜ao dos resultados ficou compreendida entre os dias 3 e 27, os quais foram os dias em que se iniciaram e nos quais se encerraram a coleta de dados, respectiva-mente.

Essa verifica¸c˜ao ocorre devido a necessidade de constatar e validar o m´etodo utilizado comparando os resultados aos dados reais.

Em um primeiro momento, os gráficos com as temperaturas simuladas pelas equa¸cões interpoladas pelo Excel são plotadas no gráfico, juntamente com as tem-peraturas simuladas pelo método numérico implementado em linguagem Fortran. No mesmo gráfico encontram-se as temperaturas reais. Logo abaixo, encontra-se uma pequena explica¸cão do comportamento dessas temperaturas.

(55)

Dia 6 de Janeiro

Figura 3.1: Dia 6 de Janeiro

(56)

A tabela 3.1 mostra os dados apresentados pelo método utilizando o excel, pelo método numérico, e pelas temperaturas reais.

Tabela 3.1: Dia 6 de Janeiro

Hora Delphi(Excel) Fortran(Num´erico) Reais(INPE)

5 27.36 27.36 27.66

6 27.76 27.76 28.20

7 28.26 28.26 28.34

8 28.66 28.66 28.66

9 29.06 29.06 28.61

10 28.71 28.71 28.91

11 28.91 28.91 28.71

12 28.71 29.11 28.75

13 28.47 28.47 28.50

14 28.27 28.27 28.11

15 28.07 28.07 27.77

16 27.32 27.32 27.48

17 27.22 27.22 27.43

O erro foi calculado em rela¸cão às temperaturas apresentadas pelo Fortran e pelo INPE, segundo a fórmula:

ε=

P

Tnumerico−PTreais

P

Tnumerico

×100

ε= 367.18−367.1428

(57)

Dia 5 de Novembro

Figura 3.2: Dia 5 de Novembro

(58)

Tabela 3.2: Dia 5 de Novembro

5 25.90 25.90 26.33

6 26.30 26.30 26.43

7 27.23 27.23 27.07

8 27.63 27.63 27.78

9 28.03 28.03 28.03

10 28.15 28.14 28.64

11 28.35 28.34 28.53

12 28.15 29.54 28.77

13 28.41 28.41 28.41

14 28.21 28.21 28.25

15 28.01 28.01 28.06

16 27.11 27.11 27.67

17 27.01 27.01 26.96

ε=

P

Tnumerico−PTreais

P

Tnumerico

×100

ε= 358.86−360.93

(59)

Dia 15 de Junho

Figura 3.3: Dia 15 de Junho

No mês de Junho, ocorreram varia¸cões bruscas nas temperaturas, aproximando-se de um sistema caótico, onde a previsão(simula¸cão) dos resultados torna-aproximando-se impre-cisa.

(60)

Tabela 3.3: Dia 15 de Junho

5 23.33 23.48 23.03

6 23.78 23.88 22.74

7 24.23 24.14 23.92

8 24.63 24.54 25.79

9 25.03 24.94 27.18

10 27.58 27.50 27.83

11 27.78 27.70 28.28

12 27.58 27.90 28.65

13 26.93 27.04 28.41

14 26.53 26.84 27.96

15 26.18 26.64 28.14

16 26.66 26.71 27.68

17 26.56 26.61 27.14

ε=

P

Tnumerico−PTreais

P

Tnumerico

×100

ε= 337.92−346.74

(61)

Dia 15 de Julho

Figura 3.4: Dia 15 de Julho

(62)

Tabela 3.4: Dia 15 de Julho

5 21.64 21.87 22.06

6 22.04 22.27 22.36

7 23.07 22.95 24.10

8 23.47 23.35 24.51

9 23.87 23.75 25.88

10 25.13 24.96 25.23

11 25.33 25.15 27.29

12 25.13 25.36 27.35

13 26.57 26.47 27.73

14 26.37 26.27 26.85

15 26.17 26.07 27.00

16 25.60 25.41 26.31

17 25.50 25.31 26.46

ε=

P

Tnumerico−PTreais

P

Tnumerico

×100

ε= 319.18−333.15

(63)

Dia 10 de Janeiro

Figura 3.5: Dia 10 de Janeiro

(64)

Tabela 3.5: Dia 10 de Janeiro

5 26.90 26.88 27.67

6 27.29 27.28 28.01

7 28.29 28.27 28.52

8 28.69 28.67 28.76

9 29.04 29.07 28.87

10 28.87 28.80 29.03

11 29.03 29.00 28.91

12 28.87 29.20 28.93

13 28.12 28.21 28.31

14 28.00 28.01 27.98

15 27.80 27.81 27.32

16 27.37 27.33 27.25

17 27.27 27.23 27.06

ε=

P

Tnumerico−PTreais

P

Tnumerico

×100

ε= 365.76−366.6223

(65)

Dia 20 de Dezembro

Figura 3.6: Dia 20 de Dezembro

(66)

Tabela 3.6: Dia 20 de Dezembro

5 25.44 25.50 26.56

6 25.84 25.90 26.78

7 26.89 26.70 27.41

8 27.29 27.18 27.93

9 27.69 27.58 28.22

10 27.84 28.16 28.90

11 28.04 28.36 29.19

12 27.84 28.56 28.74

13 28.82 28.80 28.66

14 28.62 28.60 28.67

15 28.42 28.40 28.25

16 27.49 27.41 27.91

17 27.39 27.31 27.51

ε=

P

Tnumerico−PTreais

P

Tnumerico

×100

ε= 358.46−364.73

(67)

Simula¸cões das temperaturas em três dias de cada mês

Figura 3.7: Gráfico de três dias do mês de Janeiro

(68)

Temperatura m´edia de Janeiro 27.94

Variˆancia 0.0009844

Desvio padr˜ao 0.0313757174

Tabela 3.8: Temperaturas extremas de Janeiro Temperatura Hora Dia Maior temperatura no mˆes 29.547 12 27 Menor temperatura no mˆes 26.434 5 19

Tabela 3.9: Horas em que as temperaturas foram acima da m´edia Horas Quantidade de dias acima da m´edia

5 0

6 2

7 14

8 21

9 25

10 25

11 25

12 25

13 12

14 10

15 6

16 2

(69)

Figura 3.8: Gráfico de três dias do mês de Fevereiro

(70)

Temperatura m´edia de Fevereiro 27.98

Tabela 3.11: Temperaturas extremas de Fevereiro Temperatura Hora Dia Maior temperatura no mˆes 29.503 13 14 Menor temperatura no mˆes 23.371 5 27

5 0

6 0

7 6

8 12

9 16

10 25

11 25

12 25

13 20

14 20

15 19

16 19

(71)

Figura 3.9: Gráfico de três dias do mês de Mar¸co

(72)

Temperatura m´edia de Mar¸co 27.68

Tabela 3.14: Temperaturas extremas de Mar¸co Temperatura Hora Dia Maior temperatura no mˆes 30.036306 12 27 Menor temperatura no mˆes 23.93 7 3

5 0

6 0

7 2

8 7

9 11

10 25

11 25

12 25

13 23

14 22

15 22

16 17

(73)

Figura 3.10: Gráfico de três dias do mês de Abril

(74)

Temperatura m´edia de Abril 27.40

Variˆancia 0094785

Tabela 3.17: Temperaturas extremas de Abril Temperatura Hora Dia Maior temperatura no mˆes 29.564 12 18 Menor temperatura no mˆes 24.401 5 24

5 0

6 0

7 0

8 4

9 11

10 23

11 23

12 23

13 23

14 22

15 22

16 21

(75)

Figura 3.11: Gráfico de três dias do mês de Maio

(76)

Temperatura m´edia de Maio 26.74

Variˆancia 0.34792

Tabela 3.20: Temperaturas extremas de Maio Temperatura Hora Dia Maior temperatura no mˆes 29.987 12 14 Menor temperatura no mˆes 23.014 5 27

5 0

6 0

7 11

8 13

9 16

10 18

11 18

12 19

13 16

14 16

15 15

16 14

(77)

Figura 3.12: Gráfico de três dias do mês de Junho

(78)

Temperatura média de Junho 26.06 Variância 0.018000 Desvio padrão 0.13416

Tabela 3.23: Temperaturas extremas de Junho Temperatura Hora Dia Maior temperatura no mˆes 28.523 13 22 Menor temperatura no mˆes 23.026 5 22

5 0

6 0

7 0

8 0

9 0

10 25

11 25

12 25

13 22

14 20

15 18

16 25

(79)

Figura 3.13: Gráfico de três dias do mês de Julho

(80)

Temperatura m´edia de Julho 25.04

Variˆancia 0.21145

Tabela 3.26: Temperaturas extremas de Julho Temperatura Hora Dia Maior temperatura no mˆes 28.225 12 27 Menor temperatura no mˆes 21.321 5 11

5 1

6 1

7 1

8 2

9 3

10 19

11 25

12 25

13 25

14 25

15 25

16 25

(81)

Figura 3.14: Gráfico de três dias do mês de Agosto

No dia 5 de Agosto, as temperaturas tiveram um aumento de quase 2,5 graus Celsius das 9 horas `as 10 horas.

(82)

Temperatura m´edia de Agosto 25.77

Variˆancia 00091463

Tabela 3.29: Temperaturas extremas de Agosto Temperatura Hora Dia Maior temperatura no mˆes 28.382 13 3 Menor temperatura no mˆes 22.449 5 27

5 0

6 0

7 5

8 9

9 11

10 20

11 25

12 25

13 25

14 22

15 19

16 17

(83)

Figura 3.15: Gráfico de três dias do mês de Setembro

(84)

Temperatura m´edia de Setembro 26.283

Variˆancia 0.02310

Tabela 3.32: Temperaturas extremas de Setembro Temperatura Hora Dia Maior temperatura no mˆes 28.524 12 3 Menor temperatura no mˆes 24.144 10 27

5 0

6 0

7 7

8 11

9 14

10 13

11 15

12 17

13 25

14 25

15 19

16 10

(85)

Figura 3.16: Gráfico de três dias do mês de Outubro

(86)

Temperatura m´edia de Outubro 27.08

Tabela 3.35: Temperaturas extremas de Outubro Temperatura Hora Dia Maior temperatura no mˆes 28.309 12 21 Menor temperatura no mˆes 22.364 5 3

5 0

6 0

7 0

8 14

9 20

10 25

11 25

12 25

13 25

14 25

15 25

16 0

(87)

Figura 3.17: Gráfico de três dias do mês de Novembro

(88)

Temperatura m´edia de Novembro 27.48

Tabela 3.38: Temperaturas extremas de Novembro Temperatura Hora Dia Maior temperatura no mˆes 28.849 12 3 Menor temperatura no mˆes 25.573 5 22

5 0

6 0

7 1

8 8

9 25

10 22

11 22

12 23

13 25

14 25

15 25

16 0

(89)

Figura 3.18: Gráfico de três dias do mês de Dezembro

(90)

Temperatura m´edia de Dezembro 27.57

Tabela 3.41: Temperaturas extremas de Dezembro Temperatura Hora Dia Maior temperatura no mˆes 28.800 13 19 Menor temperatura no mˆes 25.369 5 16

5 0

6 0

7 0

8 1

9 21

10 24

11 25

12 25

13 25

14 25

15 25

16 3

(91)

Temperaturas simuladas de dias em que n˜ao foram coletados os dados reais

No dia 16 de Janeiro, as temperaturas simuladas desse dia apresentaram os valores conforme a figura abaixo:

(92)

(93)

Conclus˜

oes

(94)

A partir dos gr´aficos do cap´ıtulo anterior, pode-se obter as seguintes con-clus˜oes:

• O fator de corre¸c˜ao utilizado nesse trabalho foi o respons´avel por descrever as temperaturas entre aquelas que foram coletadas.

• A determina¸cão do coeficiente angular do fator de corre¸cão foi feita de forma heur´ıstica, ou seja, sem comprova¸cão matemática, apenas comparando os re-sultados simulados com os reais. No entanto, os valores para os coeficientes angulares apresentaram-se satisfatórios.

• Os resultados apresentados pelo m´etodo de simula¸c˜ao feito no Excel, foram bastantes semelhantes com aqueles feitos numericamente.

• Com apenas 11.5% dos dados, foi poss´ıvel recompor 100% das temperaturas reais com uma incerteza menor do que 5%.

• A temperatura simulada máxima anual foi de 30.04 graus Celsius, a qual ocor-reu no mês de Mar¸co, às 12 horas do dia 27. Já a temperatura m´ınima simulada foi de 21.32 graus Celsius, a qual ocorreu no mês de Julho, às 5 horas do dia 11.

• Nos dias 16 de Janeiro e 7 de Fevereiro n˜ao foram coletados os dados das temperaturas reais. No entanto, a simula¸c˜ao apresentou resultados conforme as figuras do cap´ıtulo anterior.

• Não foi poss´ıvel construir um programa com uma fun¸cão de sexto grau, devido ao Runge’s phenomenon. Por isso, foi conveniente escolher uma fun¸cão de terceiro grau, pois já apresenta pontos de inflexão suficientes para descrever satisfatóriamente as temperaturas.

(95)

[1] Cavanha Filho, A. O. - Estat´ıstica B´asica.

[2] Diniz, A. - Estat´ıstica B´asica Geoprocessamento UFMG, 2000.

[3] Ferneda, E. -Redes neurais e sua aplica¸cão em sistemas de recupera¸cão de informa¸cão. Perspectivas em Ciência da informa¸cão, 2008.

[4] Franco, N. M. B. - Cálculo Numérico Editora Pearson. [5] Instituto Nacional de Câncer - www.inca.gov.br

[6] Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais, Centro Regional do Nordeste -www.crn2.inpe.br

[7] Martins, R. P. - Informa¸cão e conhecimento: uma abordagem dos sis-temas de recupera¸cão de informa¸cões a partir das intera¸cões sociais. Perspectivas em Ciência da informa¸cão, 2008.

[8] Meireles, M. R. G., Almeida, P. E. M., Resende Silva, A. C. M. -Recupera¸cão de informa¸cão no ambiente acadêmico: georreferenciamento dos da-dos da-dos estudantes do Instituto de Educa¸cão Continuada da PUC Minas. Perspectivas em Ciência da informa¸cão, 2009.

[9] Pedrosa, D. P. F. - Ajuste de Curvas. Notas de Aulas.

[10] Runges Phenomenon - /en.wikipedia.org/wiki/Runge’s-phenomenon acessada em Janeiro de 2010.

[11] Shiguti, W. A., Shiguti, V. S. C. -Estat´ıstica, Bras´ılia, 2006.