Leis de escala e Crossovers em modelos de crescimento

em

Modelos de Cresimento

Sidiney GeraldoAlves

Orientador: Prof. José GuilhermeMoreira

Co-orientador: Prof. Silvio daCostaFerreiraJr. (DPF/UFV)

Tese apresentadaà Universidade Federal de MinasGerais omorequisito parialpara

obtenção dograu de Doutor emFísia.

MariaJosé Alves

Aosmeus pais,sem osquaisesse momento nãoseriapossível. Pelas obranças e pelos

exemplos aolongo detoda minha vida.

À Letiia, minha amadaesposa, pelo seuamore ompanheirismo.

Aosorientadores,professores JoséGuilherme eSilvio (DPF/UFV) pelos preiosos

en-sinamentose disussões.

AosprofessoresdoDF/UFMG,portodososensinamentosquereebi. Emespeial,aos

professoresdogrupodeFísiaEstatísitaportrabalharem emfunçãodeequiparolaboratório

sem o qual não seriapossívela realização de todosostrabalhos dessatese de doutoramento,

e partiularmenteao professorJaerson pelo tempo dediado aadiministração domesmo.

Aosfunionários do DF/UFMG,por todososserviçosprestados.

Aos olegas, agradeço a todos osolegas da pós-graduação, em partíular àqueles do

laboratóriode Físia Estatístia.

Aosprofessoresdo DPF/UFV,pela hospitalidadee amizade. Em espeial, aos

profes-soresMarelo e José Arnaldopelaleitura doapítulo derevisão da tese.

À omunidade que desenvolve o Linux e softwares livres (Latex, Grae, FORTRAN,

Xg, Gnome, et.),através dosquaistodosostrabalhosdessa tese foramdesenvolvidos.

Nesta tese de doutoramento, estudamos leis de esalas e rossovers em modelos de

resimentode agregados einterfaes. Nossaabordagemonsiste emumaanalisedemodelos

disretos por meio de simulações om o objetivo de investigar suas lasses de universalidade

e o apareimento de rossovers. Na primeira parte da tese, analisamos as propriedades de

esalaeminterfaes. Oprimeiro modeloderesimento de interfaesestudado foionstruído

para apturar osefeitos da ompetição entrea deposição e difusão de partíulas.

Enontra-mos umatransiçãono omportamento da rugosidade,que exibeumexpoentede resimento

referente àlasse deuniversalidadede Mullins-Hering(MH)paratemposurtos eàlassede

Villain-Lai-Das Sarma (VLDS) paratempos longos. Em seguida, investigamos o modelo de

Wolf-Villain om umamodiação na regra de resimento introduzida paraestudar

rosso-vers. Conluímos esta parte da tese analisando estruturas omsimetria radial, omatenção

partiular a detalhes assoiados à estratégia de medida da rugosidade que podem levar a

onlusões equivoadas dos expoentes e, onseqüentemente, da lasse de universalidade dos

sistemas onsiderados. Na parte seguinte, onsideramos transições morfológias em

mode-los de agregação de partíulas. Estudamos generalizações do modelo de agregação limitada

por difusão (DLA).Na primeira, onsideramos oefeito de umatendênia nastrajetórias das

partíulas. Mostramos que osagregados apresentam uma transição morfológia entre o

mo-delo DLA e o modelo de agregação balístia (BA) e araterizamos quantitativamente essa

transição por meio do omprimento araterístio. Em seguida, estudamosa anisotropia em

agregados obtidos no modelo DLA através de uma generalização que inlui uma

probabili-dade deresimento àsregrasdeevoluçãoedaapliaçãodaténiadereduçãoderuído. Esse

modeloapresenta umrioomportamento quandovariamos osparâmetros envolvidos.

Fina-lizamos essa tese omummodelo deagregação oqual onsistede umamistura de partíulas

queexeutamaminhadasaleatóriasetrajetóriasbalístias. Nestemodelo,enontramosuma

In thisdotoralthesis,westudied, throughsimulations ofdisretemodels,thesaling

laws, universality lasses and rossovers in aggregation proesses and interfaes growth. In

the rst part of the thesis, we analyzed the interfaes saling in growth models. Initially, a

interfaegrowthmodelthatapturestheeetsoftheompetitionbetweenpartiledeposition

and diusion was studied. We found a transitionin theroughness behavior, whih presents

a growth exponent relatedto theMullins-Hering(MH)universalitylassfor short timesand

theVillain-Lai-Das Sarmalassfor longtimes. In addition,we investigated amodiedW

olf-Villain model aiming to study the rossovers found in this model. We onlude this part

of the thesis by analyzing strutures with radial symmetry, with partiular attention to the

details assoiated totheroughnessmeasurestrategy,whih anleadtoerroneousonlusions

about the exponents and, onsequently, the universality lass of the onsidered system. In

the seond part, we onsidered morphologial transitions in modied diusion-aggregation

aggregation growth models. In the rst one, the eet of a bias in the partile trajetories

wasstudied. We show that the aggregates exhibit a morphologial transitionbetween DLA

andballistiaggregation(BA)modelsandharaterizedquantitativelythistransitionthrough

the harateristi length. In the next work, the anisotropy of aggregates obtained with the

DLAmodelwasdeeplyanalyzedthroughtheinlusioninitsevolutionrulesofaneighborhood

dependent growth probability and the appliation of noise redution tehnique. This model

exhibit a rih behavior when we vary the involved parameters. We onluded the thesis

with the investigation of an aggregation model whih onsist of a mixture of Brownian and

ballisti wandering partiles. In this model, we found a smooth transition from DLA to

1 Introdução 1

I Leis de Esalas em Modelos de Cresimento 5

2 Leis de Esala e Modelos de Cresimento 6

2.1 Frataise Leis deEsala . . . 6

2.1.1 Auto-similaridade e Auto-anidade . . . 6

2.1.2 Caraterização deEstruturas Fratais . . . 11

2.2 Modelos deCresimento de Agregados . . . 13

2.2.1 Agregação Limitada por Difusão . . . 14

2.2.2 Agregação Balístia . . . 19

2.3 Classes deUniversalidade emInterfaes . . . 20

2.3.1 Caraterização deInterfaes . . . 20

2.3.2 EquaçõesEstoástias . . . 25

2.3.3 Correlações eCrossover emInterfaes . . . 33

2.4 Modelos deCresimento de Interfaes . . . 36

2.4.1 Deposição Aleatória . . . 36

2.4.2 Deposição Aleatória omRelaxação- Modelode Family . . . 36

2.4.3 Deposição Aleatória omReusa- Modelode Kim-Kosterlitz . . . 38

2.4.4 Deposição Balístia- Modelode Vold. . . 39

2.4.5 Deposição Aleatória omDifusãode Partíulas . . . 41

2.4.6 Modelos deCresimento e Classesde Universalidade . . . 42

II Modelos de Cresimento de Interfaes 44 3 Efeito da Difusão em um Modelo de Cresimento de Interfaes 45 3.1 Introdução. . . 45

d

= 1 + 1

3.3.2 Simulações em

d

= 2 + 1

dimensões. . . 53

3.4 Formação deMorros . . . 56

3.5 Conlusões . . . 58

4 Crossover no Modelo de Wolf-Villain 60 4.1 Introdução. . . 60

4.2 OModelode Wolf-Villain . . . 61

4.3 Regra deEvolução Probabilístia . . . 62

4.4 Resultados. . . 63

4.4.1 Resultados em

1 + 1

Dimensões . . . 63

4.4.2 Resultados em

2 + 1

Dimensões . . . 68

4.5 Conlusões . . . 72

5 Teoria de Esala em Sistemas om Simetria Radial 74 5.1 Introdução. . . 74

5.2 Omodelode EdenForadaRede . . . 75

5.3 Interfae dosAgregadoseFlutuaçõesdosCentros de Massa . . . 78

5.4 Modelos deresimento na redequadrada . . . 82

5.5 Conlusões . . . 84

III Modelos de Agregação de Partíulas 86 6 Transição Morfológia entre os Modelos DLA e BA 87 6.1 Introdução. . . 87

6.2 Agregação de Partíulas omTendênianasCaminhadas . . . 88

6.3 Modelode Agregação de Caminhantes omTendênias Aleatórias . . . 90

6.4 Caminhada e Otimização . . . 93

6.5 Resultados. . . 95

6.5.1 Validade do AlgoritmoOtimizado. . . 95

6.5.2 Caraterização daTransiçãoMorfológia . . . 96

6.5.3 Relaçõesde Esala . . . 101

6.6 Transiçãona Caminhada . . . 101

7.2 Redução deRuídono Algoritmode Bogoyavlenskiy . . . 106

7.3 Algoritmo Generalizado . . . 109

7.4 Conlusões . . . 114

8 Agregação em uma Mistura de Partíulas 117 8.1 Introdução. . . 117

8.2 Modeloe Implementação Computaional . . . 117

8.3 DistribuiçõesRadial e Angular dePartíulas . . . 119

8.4 Conlusões . . . 126

IV Conlusões e Perspetivas 127

Introdução

Proessos de resimento naturais podem levar a estruturas omplexas, que possuem

irregularidades em diferentes esalas de observação. Tais proessos, em sua maioria forado

equilíbrio, são enontrados nos mais diferentes fenmenos físios. Como exemplos podemos

itar eletrodeposições [1℄, formação de dedos visosos (visous ngering) em desloamento

uido-uido [2℄, resimento de olnias de batérias [3℄, resimento de neurnios [4 ℄, et.

Todosestesfenmenospossuemumaaraterístiaemomum: umgrandenúmerode

onsti-tuintesqueinteragemmutuamentedeumamaneiramuitas vezessimpleselevamaestruturas

omplexas e/ou omportamentos não-lineares. Devido a essas araterístias a ompreensão

de tais proessos de resimento não é uma tarefa fáil. As araterístias dessas estruturas

são determinadas por um onjunto de fenmenos que oorrem durante seu proesso de

for-mação. Por exemplo,no resimento de olniadebatérias, seomeio é rioemalimento,o

padrãogeradoéompatopoisaompetição pornutrientesnãoéagressiva(gura1.1 (a)). Já

quandoexisteumaesassezdenutrienteopadrãogeradoéramiadodevidoainstabilidades,

o quemaximizaaáreadeontatoomo meio(gura1.1(b))eotimiza oproessode proura

por nutriente.

Em alguns proessos, podemos enontrarestruturas que apresentama propriedadede

invariânia sobmudanças deesalade observação. Seo fatordeesalausadonessa mudança

é omesmoparaasdiferentesdireçõesdizemosqueoobjetoé auto-similar. Asestruturas que

apresentam a propriedade de auto-similaridade são onheidas omo objetos fratais [5, 6 ,

7, 8℄e suas araterístias podemser estudadas usandoa geometria fratal, introduzida por

Mandelbrot [5℄.

Muitosproessosderesimentoenvolvemumasuperfíiedeseparaçãoentrediferentes

meios. Essassuperfíiespodemapresentarirregularidadesemdiferentesesalasdeobservação.

Por exemplo, ao aminharmos sobre uma montanha podemos enontrar uma hierarquia de

subidas e desidas de todos os tamanhos. Para quem aminha ao longo do perl de uma

(a) (b)

Figura1.1: Em (a) resimento de olnia de batérias em um meio rio em alimento. Em

(b) um meio om alimentação esassa. As guras foram extraída da página:

http://star.tau.a.il/inon/bayber0.htmlemnovembrode2005.

vão desde milímetros até quilmetros. No entanto, para se observar a invariânia sob uma

mudançadeesalaemalgumasinterfaeséneessáriofatoresdeesaladiferentesparadireções

diferentes. Estas interfaessão denominadasauto-ans.

Passosimportantes foram dadosna ompreensão da dinâmia de proessos de

resi-mento por meiodo estudode modelos disretose deequaçõesfenomenológias de

resimen-tos[7,9℄. Essasaproximaçõesprouramapturararaterístiasfísiasesseniaisdoproesso

de resimento. Na aproximação de modelosdisretos prouramosreproduzir,através de

re-gras simples, osproessos maisrelevantes queoorremdurante a evolução. Na aproximação

via equações fenomenológias prouramos desrever o sistema no limite termodinâmio

(es-alas de omprimentos grandes),ou seja, os detalhesmirosópios sãoignorados e apenas

suas médiassãoonsideradas. Aonstrução dessasequaçõesbaseia-se emargumentosfísios

e/ou de prinípios de simetria. Em ambas aproximações prouramos por expoentes rítios

assoiados àsleisde potênia que determinama lassede universalidade do sistema.

Um proesso de resimento baseado na agregação de partíulas de grande interesse

é o modelo de agregação limitada por difusão (DLA, de diusion-limited aggregation) [10℄.

Nesse modelo, partíulas são lançadas de pontos muito distantes do agregado e exeutam

aminhadas aleatóriasatéalançaremumsítioprimeiro vizinhodoagregadoonde sãoxadas

irreversivelmente. Versõesna redee foradelaforam muito estudadas[11, 12 ,13 ℄. Apesarde

sua simpliidade, o modelo DLA geraestruturas omplexas om propriedades de esalanão

triviais [7, 8,14,15℄. Outro modeloimportante, onheido omoagregação balístia(BA,de

balistiaggregation), éobtidoquandosubstituímosaaminhadaaleatórianomodeloDLApor

homogêneas, elas possuem uma relação de esala não trivial da densidade e da largura da

zona ativa omofunçõesdo número de partíulas no agregado.

Modelos de deposição do tipo sólido sobre sólido foram propostos para ompreender

melhor a dinâmia de resimento de interfaes [7, 9℄. Em partiular, os modelos de W

olf-Villain(WV)[16 ℄eDasSarma-Tamborenea(DT)[17 ℄sãodegrandeimportâniaporqueforam

pioneirosnoestudodadifusãodepartíulasnasinterfaes,alémdeseremaprimeiraevidênia

numériademonstrando expoentesde esaladiferentesdaqueles daslasses deuniversalidade

de Edward-Wilkinson (EW) [18 ℄ e Kadar-Parisi-Zhang (KPZ) [19 ℄.

O prinipal objetivo dessa teseé estudar leisde esalae transiçõesno resimento de

interfaes edeagregados pormeio demodelosdisretos. Oapítulo 2édediadoa uma

revi-são de literatura, em que desrevemos os prinipaismodelos de resimento por agregação e

de interfaes,bemomoalgumasdasténiasutilizadasemsuasaraterizações. Nosdemais

apítulos apresentamos ostrabalhosda tese,prourandoapresenta-losda maneiramais

inde-pendente possível(asonlusõesdeada trabalhosãoinluídas nonaldosapítulos). Estes

trabalhosforamdivididosemduaspartes,naprimeiraestudamos lassesdeuniversalidadese

rossovers emmodelos deresimento de interfae (denominados modelosde deposição). No

apítulo3estudamosummodeloderesimentodeinterfaeparaabordaraompetiçãoentre

a deposição e a difusão daspartíulas, bemomo, a formação de morros [20 , 21 ,22℄ quando

umatendênianasaminhadaséinluída. Nestetrabalho,mostramosqueomodeloapresenta

um rossover da lasse de universalidade de Mullins-Hering (MH)para a deVillain-Lai-Das

Sarma (VLDS)em

1 + 1

dimensões. Entretanto,em

2 + 1

dimensões,omesmorossover não

é observado e o modelo apresenta expoentes relaionados à lasse de universalidade VLDS.

Alémdisso,observamosqueumatendênianasaminhadaslevaainstabilidadese,

onseqüen-temente, a interfaes om formação de morros e uma mudança no expoente de resimento

paraumvalor assintótiopróximode

1/2

. Mostramostambémqueasgrandesutuaçõesnas

interfaes, as paredes dosmorros, são as responsáveis pela mudança no expoentede

resi-mento. No apítulo 4 , estudamos uma versão modiada do modelo de Wolf-Villain (WV).

Neste trabalho, investigamos o rossover no modelo WVpela introdução de uma

probabili-dade de resimento queprivilegia ossítios ujonúmerode ligaçõesé maior. Mostramos que

essa modiação aelerao rossover dalasse de universalidade MH paraa EW,em

1 + 1

e

2 + 1

dimensões. Entretanto, omo essa modiação introduz umareusa de partíulas, um

rossover paraa lasse de universalidade KPZ aparee. No apítulo5, estudamos as

propri-edades de esala de interfaes om simetria radial utilizando agregados obtidos pelo modelo

de resimento deEdenforadaredeepor trêsmodelosna redequadrada [23℄. Nessaanálise,

mostramos que diferentes estratégias adotadas para medir a rugosidade da interfae podem

levar aexpoentesde resimento diferentes.

deagregados(denominadosmodelosdeagregação). Noapítulo6,propomosummodelopara

analisaratransiçãomorfológiaentreosmodelosDLAeBA.Nessemodelo,introduzimosum

parâmetro degeneralização

λ

queontrola atendêniadaaminhadadaspartíulas[24℄. En-ontramos umatransição deagregados fratais (DLA) emesalas de omprimento pequenas

paraobjetoshomogêneos(BA) emesalas grandes. A transiçãoentreosregimesde esalado

DLAeBAfoideterminada usandooomprimento araterístio

ξ

quedivergequando

λ

→

1

seguindo umaleidepotênia. Noapítulo7 ,estudamosaanisotropianomodeloDLAatravés

de umageneralizaçãoqueinluiumaprobabilidade deagregaçãodaspartíulasquealançam

o agregado, essa probabilidade é proporional ao número de vizinhos oupados [25℄. Essa

generalização é onstruída baseada emum algoritmo proposto por Bogoyavlenskiy [26℄ para

gerar agregados isotrópiosobtidos usandoo modeloDLAnarede. No apítulo8,

apresenta-mos ummodeloqueonsideraagregação emumamistura departíulas [27 ℄introduzidopara

estudar a transição entre osmodelos DLAe BA forada rede. Esse modelo, queinlui osde

agregação limitadapor difusão e de agregação balístiaomo asos limites, é ontrolado por

uma probabilidade

p

queorresponde à fraçãode partíulas que onstituemo agregado adi-ionadas seguindo asregras do modelo de agregação balístia. Enontramos que a dimensão

fratal

d

f

reseontinuamente omoumafunção de

p

de umvalormuito próximoaoobtido paraagregadosdomodeloDLAavalorespróximosdosagregadosdoBA.NoapítuloIV,

na-lizamos essa tesede doutoramento apresentandoumresumodasonlusõesdeada trabalho

Leis de Esalas em Modelos de

Leis de Esala e Modelos de

Cresimento

2.1 Fratais e Leis de Esala

Observando estruturas enontradas nanatureza, taisomo árvoresbronquiais,

forma-çõesdendrítiasdeneurnios, olniasdebatérias oufungos,eletrodepósitos, dentre outras,

enontramos irregularidades em uma ampla faixa de esalas de omprimento. Por

exem-plo podemos failmente notar que o galho de uma árvore se paree om a árvore ou que

um pequeno ramo de uma ouve-or se paree om a ouve-or inteira. Essa araterístia

de invariânia sob mudanças de esala de observação (uma parte se paree om o todo) é

hamada de auto-similaridade. Objetos que apresentam essa propriedade são denominados

objetos fratais. Em geral,osobjetos auto-similares nãopodemseradequadamente tratados

om os métodos analítios usuais. De fato, asferramentas da geometria fratal, introduzida

por Mandelbrot [5 ℄, forneem uma desrição matemátia quantitativa maisompleta desses

sistemas auto-similares [6, 7 ℄.

Quandofalamosemauto-similaridadeouinvariâniasobmudançasdeesalade

obser-vação, usamosomesmofatornatransformaçãode esalaparatodasasdireções. Entretanto,

emalgunsasos,omoosontornosdasmontanhaspertenentesaumaadeia[28℄éneessário

um fator deesala apropriado paraada direção do espaço,de maneira queas suas

proprie-dades permaneçam invariantes. Os objetosquepossuemessa araterístiasãodenominados

auto-ans.

2.1.1 Auto-similaridade e Auto-anidade

Devemos observar que quando fazemos suessivas mudanças na esala de observação

onstituintes básiosouotamanhodoobjeto. Por exemplo,quandoobservamos umgalhode

umaárvoreelesepareeomaárvore. Se passarmosaolharpara umpequenogalhoretirado

doprimeiro eassimsuessivamente,alançaremosumramo(ouaule)queemnadaseparee

om a árvore ouseus galhos. Outro fatomuito importanteé quenos exemplosda ouve or

e da árvore, osramos apenassepareem omo todo,eles não sãouma reprodução exata da

ouve or ou daárvore. Paraobjetos nosquaisa invariânia de esalanão éexata, devemos

falar em auto-similaridade estatístia. Contudo, podemos onstruir estruturas matemátias

exatas usando, por exemplo, um proesso reursivo que produz objetos para os quais não

existem limites inferior ou superior e levam a uma reprodução exata entre duas realizações

distintas ou entre duas partes do objeto. Tais objetos são onheidos omo objetos

auto-similares determinístios. Dependendo do método de onstrução, partes são retiradas ou

adiinadas a uma estrutura aada iteração. Para ilustrar tais objetos, usaremos otriângulo

de Sierpinski queégeradoa partirdeumtriângulo equiláterototalmente preenhidode lado

ℓ

0

, onforme ilustrado na gura 2.1. O triângulo de Sierpinski pode ser obtido através do seguinte proedimento: a ada iteração (ou passo)

k

,removemos umtriângulo equilátero de lado

ℓ

k

−

1

/2

de ada triângulo totalmente preenhido. Esse proedimento deve ser repetido innitasvezesparaseobteroobjetoauto-similardeterminístio. Comopodeservistoapartir

da região destaada nopasso

k

= 3

,aestrutura nopasso

k

−

1

éuma ampliaçãode umadas partes no passo

k

.

Umaaraterístiaimportantede umobjetofrataléque,emgeral,suadimensãonão

é inteira e émenor queadimensão

d

do espaçono qual estáimerso. Ooneitode dimensão de umobjetopodeserligado usualmente aduasidéias: onúmerodeoordenadasneessárias

para loalizar um ponto no espaço e a noção de medida de omprimento [29 ℄. Usando a

primeira idéia, Poinare e Brouwer disutiram o oneito da hamada dimensão topológia.

Essa noção arma que um objeto possui

n

dimensões quando podemos separa-lo em duas partes desonexas usandoumobjetode

n

−

1

dimensões. Assim,onsiderandoqueumponto possuidimensão

0

(zero),umaretapossuidimensão

1

(um)umavezqueelapodeserseparada

retirando apenas um de seus pontos. Por sua vez, um plano, que pode ser dividido emdois

retirando umareta, possuidimensão

2

(dois)e assimsuessivamente.

Ovolumede umobjeto, sendoeleregular oufratal, pode serdeterminado por

V

(ǫ) =

N

(ǫ)ǫ

d

(2.1)

em que

N

(ǫ)

é o número mínimo de aixas de lado

ǫ

neessário para obrir todo o objeto e

d

≥

d

objeto

é a dimensão das aixas usadas, normalmente a mesma do espaço de imersão.

A medida do número de aixas de lado

ǫ

neessárias para obrir um objeto (uma medida relaionada ao aspeto métrio do oneito de dimensão) também fornee uma maneira de

mediradimensãodoobjeto. Essapodeserdenominadadimensãodeapaidade,iniialmente

denida por Kolmogorov. A dimensão de apaidade é uma medida do quanto o objeto ou

onjunto onsiderado preenheo espaço noqual estáimerso. Em geral, obtemos

N

(ǫ) =

Aǫ

−

D

,

(2.2)

em que a onstante

A

é hamada de launaridade e

D

é a dimensão do objeto. Para uma dadadimensão, quantomaioralaunaridade, maioraquantidadederegiõesvaziasnointerior

do objeto. Noteque paraobjetos regulares

D

=

d

éinteiro epodeoinidir om a dimensão do espaço de imersão. Para objetos fratais

D

=

d

f

, a dimensão fratal do objeto. Essa denominação, dimensãofratal,é devido aofatoqueesta dimensãonão é inteira e,emgeral,

d

f

< d

. Comoonsequênia, quandotomamos olimitede

ǫ

→

0

(naequação (2.1 )),ovolume de objetos regulares vaiparaumvalor nito, umavez quede aordoom aequação (2.2)

N

(ǫ)

∼

ǫ

−

d

.

Entretanto, paraumobjetofratalovolumevaia zeropois,

V

(ǫ)

∼

ǫ

(

d

−

d

f

)

e

d

−

d

f

>

0

. Por outro lado, a superfíie de uma estrutura fratal pode ser muito grande (ou atémesmoinnita). Assim,aofazerumamedida sobreoobjetousandoumaaixaoma

mesmadimensãodoespaçodeimersão doobjeto,essamedidatendea

0

nolimite

ǫ

→

0

,mas quando adimensãodaaixaémenor quea dimensãodeimersão equeadoobjeto, amedida

diverge. Istodeve-seao fatoqueosobjetosfrataispossuemdimensãonão inteira menor que

No aso do triângulo de Sierpinski, om

ℓ

0

= 1

, o número de aixas de tamanho

ǫ

= 1/2

k

neessáriasparaobrir aestruturanopasso

k

é

N

(ǫ) = 3

k

,assimseuvolumeédado

por

V

(ǫ) = 3

k

1

2

k

d

=

3

4

k

,

(2.3)

em que usamos

d

= 2

(dimensão das aixas usadas no reobrimento). No limite

k

→ ∞

a equação (2.3 ) fornee

V

→

0

. A dimensão fratal, que pode ser determinada exatamente a partir daequação (2.2 ), é

d

f

=

−

ln [N(ǫ)]

ln(ǫ)

=

−

ln 3

k

ln (1/2

k

₎

=

ln 3

ln 2

= 1.584...

(2.4)

Conforme menionado anteriormente, objetos fratais são invariantes sob mudanças

de esala isotrópias. Entretanto, existem objetos que neessitam transformações de esala

anisotrópias para manter a invariânia. Tais objetos são denominados auto-ans. Estamos

interessados partiularmente emestruturas quepodemser desritaspor umafunção unívoa

h(~x)

(aalturadeumainterfae,porexemplo),emque

~x

representa umaposição. Paradeixar adesrição maislara,limitar-nos-emosao aso

1 + 1

dimensionalnoqual

h(~x) =

h(x)

éuma função apenasdeumaoordenadaespaial. Quando

h(x)

é umafunçãoauto-am, éválidaa relação

h(x) =

b

−

H

h(bx),

(2.5)

emque

b

éofatordeesalanadireção

x

,

b

H

atransformaçãoapropriadanadireção

perpendi-ulara

x

e

H

éumexpoente,denominadoexpoentedeHurst. Estaequaçãoretrataofatoque umafunção auto-amdeveseresaladademaneiras distintasemada direção paramantera

invariânia. No asoem que

H

= 1

,atransformação éisotrópiae o sistemaéauto-similar. Da mesma maneira que os objetos fratais, as urvas auto-ans podem ser obtidas

através de um proesso reursivo. Como exemplo, partiremos da diagonal de um retângulo

de omprimento

4ℓ

ealtura

2ℓ

mostrada nagura 2.2(a). Aurvaauto-am éobtida usando

o seguinte proedimento: a ada passo

k

substituímos os segmentos de omprimento

ℓ/4

k

pelaestruturamostradanagura2.2(b). Para obteroexpoentedeHurst dessaurva,vamos

utilizar o treho destaado na gura 2.2 (). Para reuperarmos a gura original em (b)

devemos fazerastransformaçõesde esala

x

→

x

′

=

b

_k

x

e

h

→

h

′

₌

_b

⊥

h

om

b

k

= 4

e

b

⊥

= 2

. Daequação (2.5 ) temosque

b

k

=

b

e

b

⊥

=

b

H

. Assim

b

⊥

=

b

H

k

e

H

=

ln 2

ln 4

=

1

2

.

(2.6)

Outroexemplodeurvaauto-améobtidousandoumaminhantealeatório. Considere

k = 0

k = 3

(d)

(a)

k = 1

(b)

k = 2

(c)

Figura2.2: Ilustração deummétodosimplesparaseobterumaurvaauto-am.

um salto de omprimento

1

a direita ou a esquerda. Um exemplo da função

x(t)

após

10

4

passosémostradanagura2.3 (a). Em2.3(b)apartedestaadaem2.3 (a)éampliadausando

o mesmo fator de esala em ambas as direções. Já em 2.3 (), usamos um fator diferente

para ada direção. Repare que a urva em (b) paree alongada na direção vertial quando

omparada om a original. Já a urva em () se paree muito om a urva original. Para

obter a urva em ()usamos,

b

k

=

b

2

e

b

⊥

=

b

, ou seja,

H

= 1/2

, pois o desvio quadrátio médio (uma medida dalargura da urva auto-am)emumaaminhada aleatóriaé dado por

σ

∼

t

1

/

2

.

(a)

(b) ()

Figura2.3: (a)Curvaauto-amgerada emuma aminhadaaleatória após

10

4

passos. Em(b)

a partedestaada em(a)éampliada usandoomesmofatordeesala emambasas

2.1.2 Caraterização de Estruturas Fratais

Nesta seção,desreveremos algumas dasprinipais medidas quantitativas que podem

ser utilizadas para araterizar tanto estruturas obtidas através de modelos quanto aquelas

enontradas na natureza [7, 8℄. Em ambos os asos onsideraremos que as posições das

partíulas dosistemaonsiderado sãodesignadas por umonjunto de variáveis

~r

i

.

Método Massa-Raio

Um método simples muito utilizado para determinar a dimensão fratal é o método

massa-raio. Este método onsiste basiamente em determinar a massa

M

(r)

do aglomerado nointeriordeumíruloderaio

r

,ouseja,ontaronúmerodesítiospertenentesaoagregado no interior deumírulo deraio

r

. Em geral,

M(r)

seguea relação

M

(r)

∼

r

D

(2.7)

em que

D

é adimensãodo objeto. No asode objetosfratais

D

=

d

f

. Portanto,para obter a dimensão fratalbastamedira inlinação dográo de

ln

M

versus

ln

r

.

Raio de Giração

No estudo desistemas queapresentam umasimetriaradial (por exemplo objetosujo

resimento oorre apartir de umasemente e que possuisimetria esféria) é omum utilizar

o álulodo raiode giração

r

g

denido por

r

g

=

"

1

N

N

X

i

=1

(~r

i

−

~r

cm

)

2

#

1

/

2

,

(2.8)

em que

N

é o número de partíulas no agregado,

~r

i

é a posição da

i

-ésima partíula e

~r

cm

a posição do entro de massa. A evolução do raio de giração pode ser estudada omo uma

função do número de partíulas no agregado

N

. Para objetos auto-similares, a relaçãoentre

r

g

e

N

segueumalei de potênia, ouseja,

r

g

∼

N

ν

,

(2.9)

em que

ν

é o expoente do raio de giração. Como

N

∝

M

e

r

g

∝

r

a

, emque

r

a

é o raio do agregado. Assim,enontramos

r

_g

1

/ν

∼

r

d

f

Funçãode Correlação

A função de orrelação tem sido extensivamente utilizada para a araterização de

sistemas desordenadosem físiaestatístia. Umadasmedidasmaisusadas naaraterização

de agregados fratais é a função de orrelação da densidade entre dois pontos

C(~r)

denida por

C(~r) =

1

N

X

{

~

r

0

}

ρ(~r

0

)ρ(~r

0

+

~r),

(2.10)

emque

ρ(~r) = 1

quandoopontoperteneaoagregadoe

ρ(~r) = 0

,asoontrário. Osomatório se estende sobre todas as

N

partíulas do agregado. Considerando objetos homogêneos e isotrópios

C(~r)

depende apenas da distânia

r

, ou seja,

C(~r) =

C(r)

, e

C(r)

representa a probabilidade deenontrarmos duaspartíulas doobjetoseparadasporumadistânia

r

. Um proedimento para medir a orrelação entre duaspartíulas é ilustrado na gura 2.4 . Neste

proedimento, usamos dois írulos onêntrios oloados sobre uma partíula do agregado

usada para referênia. O elemento de área delimitado entre os dois írulos onêntrios é

utilizado para determinar o número de sítios pertenentes ao agregado a uma distânia

r

da partíula de referênia. Uma média é feita usando todasas partíulas do agregado omo

referênia para umamesma distânia

r

.

Para objetos auto-similares espera-seque a função de orrelação sejauma função

ho-mogênea de ordem

α

,ou seja,

C(r) =

b

−

α

C(br),

(2.11)

o queimplia na formaalgébria

C(r)

∝

r

−

α

.

(2.12)

r

Figura2.4: Ilustraçãodeumproedimentoparadeterminaçãodafunçãodeorrelaçãoentredois

O expoente

α

é hamadoo-dimensionalidade doobjeto, pois satisfaza relaçãode esala

α

=

d

−

d

f

,

(2.13)

emque

d

éadimensãodeimersãodoobjetoe

d

f

suadimensãofratal. Arelação (2.13 )pode ser obtida daseguinte forma,

N

(r)

∼

Z

r

0

C(r

′

)d

d

r

′

⇒

r

d

f

_∼

_r

d

−

α

Em que

C(r

′

₎

forneeuma medida dadensidade a umadistânia

r

′

ao redor deumponto.

Outra medida importantequando ahipótese de isotropia nãoé preenhida é afunção

de orrelação tangenial (ou angular)

C

r

(θ)

denidaem

d

= 2

omo [30 ℄

C

r

(θ) =

1

N

X

θ

′

ρ

r

(θ

′

)ρ

r

(θ

′

+

θ)

(2.14)

emque

ρ

r

(θ)

forneeonúmerodepartíulas

k

emumaaixadetamanho

rδrδθ

noponto

(r, θ)

. Para determinar

C

r

(θ)

podemos utilizar o proedimento ilustrado a gura 2.5. O somatório sobre

θ

′

varia

0

até

π

usando inrementos

δθ

′

. A função

C

r

(θ)

desreve a orrelação entre pares de pontos em uma amada de espessura

δr

a uma distânia

r

da origem omo uma função da separação

rθ

entre eles.

δ

r

θ

δθ

r

Figura2.5: Ilustração dadeterminaçãodafunção de orrelação angular. Umelemento deárea

rδrδθ

éutilizadoparadeterminar aorrelaçãoentredoispontosàmesmadistânia

r

daorigemeomumaseparaçãoangular

θ

.

2.2 Modelos de Cresimento de Agregados

Nanatureza podemosenontrarumnúmeromuitograndedeproessosderesimento

exemplos, podemos itar a eletrodeposição, a formação de vasos sangüíneos, o resimento

de olnias de batérias, de líquens, et. Muitos desses proessos oorrem pela agregação

de um ou mais omponentes. Para um maior entendimento desses, torna-se neessária a

onstrução de modelos que prourem inluir os prinipais ingredientes envolvidos. Muitas

vezes esses modelos de resimento são denidos em uma rede

d

-dimensional em que ada sítio é assoiado a uma variável

σ

i

, a qual assume valores

σ

i

= 0

ou

σ

i

= 1

quando o sítio

i

estávazioououpado,respetivamente. Podemosaindaonstruirtaismodelosforadarede

nestesumonjunto devariáveis

~r

i

éusadoparadesignaraposiçãodaspartíulaspertenentes ao agregado. Nesta seção iremos desrever alguns modelos ujo meanismo fundamental é a

agregação deunidades fundamentais quehamaremos generiamente de partíulas.

2.2.1 Agregação Limitada por Difusão

Umdosmodelosderesimento deagregadosmaisestudadoséomodelodeagregação

limitadapor difusãomaisonheidoporDLA(diusion-limited aggregation)[7 , 8,10℄. Nesse

modelo,umasementeéusadaomoondiçãoiniialeoutraspartíulas sãoliberadas,umade

ada vez, em posições aleatórias distantes dessa semente. As partíulas movem-se seguindo

uma aminhada aleatória até entrarem emontato om umapartíula do agregado, quando

elas tornam-se irreversivelmenteparte dele. Se naaminhada, aspartíulas ultrapassam um

raio

r

k

muito distante do agregado, elas são desartadas. Versões do modelo na rede e fora delaforamamplamenteestudadas[12 ,31℄. Nagura2.6mostramosumagregadoom

3

×

10

4

partíulas geradoemumaredequadrada. Apesardesuaregrasimples,omodeloDLAproduz

estruturas om ramos que possuem auto-similaridade estatístia. Essa morfologia é devido

a efeitos de blindagem produzidos pelos ramos maisexternos que apturam osaminhantes

Figura2.6: PadrãogeradopelomodeloDLAnaredequadradaom

3

×

10

4

om umaeiêniamuito maiorqueosramos maisinternos. Assim,pequenasutuaçõessão

ampliadas exponenialmente. Essainstabilidade,juntamenteomaaleatoriedadeinerenteàs

regras domodelo, levam aestruturas omplexas ompropriedades deesala nãotriviais.

Para estudar as propriedades das estruturas geradas pelo modelo DLA é neessário

simular o resimento de padrões om um grande número de partíulas. Para tal, o uso

das regras desritas aima torna-se inviável devido ao tempo omputaional exigido. Para

ontornar esse problema, é neessárioutilizar proedimentos queotimizem a simulação.

Pri-meiramente podemosobservarquepartíulaslançadasdepontosmuitodistantesdoagregado

passam, om igual probabilidade, sobre um írulo entrado na semente. Assim, podemos

lançar novaspartíulas sobre umírulo entrado na semente ujo raio é ligeiramente maior

que oraio doagregado, ouseja, podemos usarumraio de lançamento

r

0

=

r

a

+

δr,

(2.15)

emque

r

a

éamaiordistâniadaspartíulaspertenentesaoagregadoàsemente(umamedida do raio do agregado), e

δr

é tipiamente

5a

, em que

a

é a dimensão de uma partíula. No momento do lançamento, a direção é esolhida aleatoriamente de uma distribuição uniforme

entre

π

e

−

π

.

Umaoutrapropriedadeimportantedeumaminhantealeatórioquepodeserexplorada

équeelealançaomigualhanequalquerpontosobreumíruloderaio

r

entradonoponto de lançamento, desde que

r

≫

a

. Devido a essa propriedade podemos utilizar as seguintes estratégias de otimização:

•

Quando o aminhante está longe do agregado ele pode exeutar saltos de tamanhos

r

ext

> a

atéalançaroírulodelançamentoouultrapassaradistânialimite

r

k

,quando quando esse aminhante é desartado e um novo é liberado no írulo de lançamento.

Podemos utilizar

r

ext

=

r

−

r

0

,em que

r

é a distânia do aminhante àsemente, desse modo o aminhante pode saltar, nomáximo, paraoírulo delançamento.

•

Quando simulações de larga esala são exeutadas, surgem buraos da ordem do

ta-manho doagregado no seuinterior, umaaraterístia de objetos fratais.

Conseqüen-temente, o tempo omputaionalpara simular as aminhadas torna-seproibitivamente

grande. Uma maneira de ontornar este problema é usar saltos internos de tamanhos

r

in

para aeleraro proesso. A esolhade

r

in

deve sertal queo aminhante nãoatinja o agregado. Uma boa estratégia paraimplementar ossaltos internos é a seguinte:

di-vidimos o espaço em umamalha de espaçamento

2r

in

,e a toda élula queonter uma

parte do agregado assoiamoso valor

1

e paraas demaiso valor

0

. Assim,a partíula

Na gura2.7 ,mostramosumarepresentaçãoesquemátia ontendotodasasotimizações

des-ritas. Um uidado a ser tomado é em relaçãoao valor de

r

k

: seuvalor deve ser maior que

100r

a

parasimulaçõesde largaesala.

r

_a

r

_k

r

0

r

_ext

r

in

(a) (b)

Figura2.7: Ilustração dasotimizaçõesutilizadas nomodeloDLA.Em(a)ilustramosaidéiados

saltosexternoseinternoseem(b)amalhausadaparaexeuçãodossaltosinternos.

Notequeasélulasoupadasestãodestaadaseminza.

O fenmeno de blindagem pode ser observado na gura 2.8 (a), na qual, a ada

10

3

partíulasadiionadasaoagregadoaorétroada. Pode-severqueaspartíulasmaisreentes

xam-seapenasnaspartesmaisexternasdoagregado,emumaregiãodenominadazonaativa.

Outra maneira de evideniar a blindagem, no aso do modelo ser implementado em uma

rede, é por meio da ontagem do número de vezes que um sítio vazio vizinho ao agregado

(sítio da periferia) é visitado por umaminhante. Para fazer tal medida devemos gerar um

agregado e emseguida liberar

N

partíulas, umade ada vez, pararealizar uma aminhada aleatória. A ada sítio primeiro vizinho do agregado assoiamos um ontador. Quando um

sítioda periferiaé visitado,seuontador éaresidodeumaunidadeemvez deresê-lo. Na

gura2.8 (b),mostramosafunçãodedistribuiçãodeprobabilidadesdeumapartíulaalançar

um sítio de periferia

i

a uma distânia

ℓ

=

r

a

−

r

i

no interior do agregado. Essa urva foi obtida soltando

10

5

partíulas em

100

agregados distintos. A variável

ℓ

fornee a distânia de penetração de uma partíula no interior do agregado em relação a suafronteira externa.

Note que para

ℓ < ℓ

′

(

≈

100

, neste aso) a probabilidade de resimento dos sítios dentro

dessa regiãoéaproximadamente onstante,eaima dessevalorelavaiazerorapidamente. O

valor

ℓ

′

forneeumamedida quantitativa dalargura da zona ativa queevidenia aexistênia

do efeitodablindagemno modeloDLA.Umademonstraçãoadiional doefeitodablindagem

é apresentada na gura 2.9, na qual os sítios que foram visitados pelo menos uma, dez ou

axiais do agregado,umaevidênia quantitativa da anisotropia imposta pela rede.

(a)

10

100

1000

10

-7

10

-6

10

-5

10

-4

10

-3

10

-2

f

(b)

ℓ

Figura2.8: (a)PadrãodoDLAemumaredequadradae(b)funçãodedistribuiçãodedistânias

depenetraçãonointeriordeagregadosom

3

×

10

5

partíulas.

(a) (b) ()

Figura2.9: Sítiosderesimento(oudeperiferia)visitadosporaminhantes(a)pelomenosuma

vez,(b)maisque

10

vezese()maisque

100

vezes.

UmadasmedidasdaspropriedadesdeesaladoDLAéadimensãofrataldoagregado.

Na gura2.10mostramos umgráo obtido usandoo método massa-raio paraumagregado

om

10

5

partíulas resido em uma rede quadrada (veja seção 2.1.2). A dimensão fratal

medida foi

d

f

= 1.67

, em aordo om as simulações realizadas por Meakin [31 ℄ nas quais

d

f

≈

5d/6

. Esse valor é umpouo diferente do enontrado para agregados residos forada rede noqual

d

f

= 1.715

±

0.004

[12 ℄.

Outra maneira de obter adimensão fratal dosagregados é através do estudo doraio

de giração

r

g

emfunção donúmerodepartíulas

N

(seção 2.1.2 ). Usandosimulaçõesforada rede, Tolmane Meakin enontraram

ν

= 0.5830

±

0.0014

,que fornee,

d

f

= 1.715

[12 ℄.

As dimensões fratais dos agregados obtidos na rede são signiativamente menores

que as obtidas fora da rede. Isto deve-se à anisotropia imposta pela rede, omo pode ser

Figura2.10: Massa emfunção doraio para um agregado do DLAom

10

6

partíulas. A linha

traejada possuiinlinação

1

.

67

.

(a) (b)

Figura2.11: PadrõesdoDLAobtidosnarede quadradaefora darede, em(a)e (b),

respetiva-mente. Emambosasososagregadospossuem

10

7

partíulas.

rede, gura2.11(b). Umamaneira deevideniara anisotropia daredeé utilizar ométodode

redução de ruído [32 ℄. Nessemétodo,assoiamosum ontador a ada sítioda rede e sempre

que um sítio vizinho ao agregado for visitado por um aminhante aleatório seu ontador é

aresido de umaunidade. Umsítioreseapenasquandoo sítiofor visitado

M

vezes. Note que esse proedimento favoree o resimento dossítios om maior probabilidade, reduzindo

assim a aleatoriedade assoiada às regras de resimento. Quando

M

= 1

o modelo origi-nal DLA é reuperado. Na gura 2.12 mostramos agregados om

M

= 2,

4,

16

e

32

gerados em redes quadradas. Repare que à medida que

M

aumenta, a anisotropia da rede a mais evidente. Em todas assimulaçõesagregados om

N

= 10

4

partíulas foram gerados.

Retor-naremosa analisedaanisotropiaemagregados doDLAnoapítulo7,noqualdisutiremose

Figura2.12: PadrõesdomodeloDLAobtidosemredesquadradasusandoosparâmetrosderedução

deruído

M

= 2

,

4

,

16

e

32

,dadireitaparaaesquerda.

2.2.2 Agregação Balístia

Quando a aminhada aleatória no modelo DLA é substituída por uma trajetória

ba-lístia obtemos o modelo onheido omo modelo de agregação balístia também hamado

BA (Ballisti aggregation) [33 ℄. Duas versões foram muito estudadas, nas quais a ondição

iniial édadapor umapartíulaloalizadanoentrodarede[34,35,36℄. Naprimeira versão,

partíulas são lançadas, uma de ada vez, de pontos esolhidos ao aaso sobre um írulo

de raio muito maior que o do agregado. As partíulas seguem uma linha reta, om direção

esolhida ao aaso, até entrar em ontato om qualquer partíula do agregado onde

xam-se permanentemente. Na segunda versão, as trajetórias são ao longo de uma direção xa.

Uma nova partíula é lançada quando a aminhante ou olide omo agregado ou alança o

írulo de lançamento, na primeira versão, ou quando passa pelo agregado, na segunda. Na

gura 2.13 mostramos agregados gerados usando-se as duas versões. As estruturas são, em

ambososasos,assintotiamente homogêneas,omdensidade

ρ >

0

. Entretanto,adensidade das estruturas dos agregados onvergem para o limiteassintótio de forma não trivial. Para

a primeira versão, a densidade do agregado

ρ(r)

dentro de umírulo de raio

r

aproxima-se

(a) (b)

de umaonstante seguindo umalei de potênia da forma[34℄

ρ(r) =

ρ

∞

+

Ar

−

β

(2.16)

em que

ρ

∞

é a densidade assintótia do agregado,

A

é uma onstante e

β

é o expoente que arateriza a aproximação do limite assintótio. Ovalor de

β

pode ser obtido da inlinação do gráo

ln[ρ(r)

−

ρ

∞

]

ontra

ln(r)

. Liang e Kadano [34 ℄ enontraram

β

≈

0.55

e

0.66

para agregadosna redequadrada eforada rede,respetivamente. Essesvaloressugerem que

o expoente

β

não é universal. Entretanto, umageneralização do modelo BA[24℄ sugere que esse expoente é universal(detalhes no apítulo6).

Para a segunda versão do modeloBA, a estruturagerada possuiuma forma de leque

e apresenta uma densidade maior na região entral om grandes regiões vazias nas bordas

laterais. A distribuição da densidade

ρ(r, θ)

dentro dessa estrutura possui uma relação de esalanão-trivial. Adistribuiçãodadensidadeédenidaomoonúmero departíulas dentro

da área

r∆r∆θ

em torno da posição

~r

, e o ângulo

θ

é denido em relação ao eixo paralelo as trajetórias. A distribuição de densidade proposta por Liang e Kadannof [34 ℄ obedee a

relação deesala

ρ(r, θ) =

r

−

µ

f

(r

ν

(θ

−

θ

c

))

(2.17)

em que

f

(x)

≡

onstantepara

x

≪

1

e ai rapidamente a zero para

x

≫

1

,

θ

c

é umângulo que limita as bordas do agregado e

µ

e

ν

são expoentes de esala universais que podem ser obtidos pormeio doolapso dasurvas

ρr

µ

versus

r

ν

_(θ

₋

_θ

c

)

paradiferentes valoresde

r

. Os valoresenontrados parasimulaçõesforadaredesão

µ

≈

0.13

e

ν

≈

3.0

,queonordamom os valores enontrados para simulações na rede quadrada [35℄. Contudo, o valor

θ

c

≈

15.5

◦

enontrado em simulações fora da rede difere muito do valor

θ

c

≈

32

◦

determinado para a

rede quadrada.

2.3 Classes de Universalidade em Interfaes

2.3.1 Caraterização de Interfaes

O resimento de interfaes é um proesso omplexo presente em muitos fenmenos

naturais. Como exemplos podemos itar proessos geológios (erosãoem montanhas),

bioló-gios (resimento deolnia debatérias), hidrodinâmios (movimento de umuidoemum

meio poroso), deposição (resimento de lmesnos), entreoutros. Asaraterístias dessas

interfaessãodeterminadasporumonjunto deproessosqueoorremdurantesuaformação.

Aapliaçãodeleisdeesalaemmodelosderesimento,umaferramentapadrãodaMeânia

Estatístia,temsidoextensivamenteusadaparaompreenderoomportamentodarugosidade

de regras simples,osmeanismosfísios esseniaisde umproesso deresimento. Esses

mo-delos de resimento sãoomumente denidos emumarede

d

-dimensional e aaltura do sítio

i

no tempo

t

édesignada por

h

i

(t)

om

i

= 1

,

2

,

. . .

,

L

d

,emque

L

d

representa otamanhodo

sistema.

Podemos desrever quantitativamente essas interfaes por meio da altura média

h(t)

da superfíie noinstantet,

h(t) =

1

L

d

L

X

i

=1

h

i

(t)

(2.18)

uja evolução fornee a veloidade de resimento da interfae e da rugosidade ou largura

média [7, 9℄dainterfae, quearaterizaasutuações emtornoda altura médiae édenida

omo

w(L, t)

≡

v

u

u

t

1

L

d

L

X

i

=1

(h

i

(t)

−

h(t))

2

.

(2.19)

Na análise das superfíies estamos interessados tanto nos valores estátios das

gran-dezas que a araterizam, quanto na sua evolução temporal. Desse modo, devemos medira

rugosidadeda interfaeomoumafunçãodotempo. Emgeral,aondiçãoiniial dainterfae

é umasuperfíieplanaquepossuirugosidadenula. Àmedida quepartíulassãodepositadas,

asuperfíieaumenta gradualmentesuarugosidade. Umgráotípiodaevoluçãomostraque

a rugosidade da superfíie possuidois regimes distintos separados por um tempo de

satura-ção

t

s

omo ilustrado na gura 2.14. Iniialmente, a rugosidade aumenta omo uma lei de potênia dada por

w(L, t)

∼

t

β

para

t

≪

t

s

.

(2.20)

10

0

10

1

10

2

10

3

10

4

t

10

0

w

w ~ t

β

t

_s

w ~ w

_s

Figura2.14: Gráoemesala logarítmiatípioparaaevoluçãodarugosidade. Iniialmente, a

rugosidade aumentaomoumaleidepotêniaepermaneeaproximadamente

ons-tanteapós o tempo desaturação. Esses dadosforam gerados usando o modelo de

Oexpoente

β

,hamadodeexpoentederesimento,araterizaadependênia omotempo. Para

t

≫

t

s

, o regime de resimento ede lugar a um de saturação quando a rugosidade alança umvalor estaionário

w

sat

,ouseja

w(L, t)

∼

w

sat

para

t

≫

t

s

.

(2.21)

Agura2.15 (a)mostraquatro urvas

w(L, t)

parasimulaçõesnasquaisotamanhodo sistema foivariado. À medida que

L

aumenta, arugosidade de saturação também aumenta. Conformemostradonagura2.15(b),adependêniade

w

sat

om

L

segueumaleidepotênia, isto é,

w

sat

(L)

∼

L

α

,

(2.22)

em queoexpoente

α

é hamadoexpoente darugosidade.

O tempo de saturação

t

s

pode ser estimado da forma mostrada na gura 2.14 . Esse tempotambémdependedotamanhodosistemaseguindoumaleidepotênia,omomostrado

na gura2.15 (b)

t

s

∼

L

z

,

(2.23)

emque

z

éhamadodeexpoentedinâmio. Aonstruçãomostradanagura2.14ilustrauma maneira simplesparaestimar

t

s

.

Podemos olapsar os dados da gura 2.15 em uma únia urva usando as relações

(2.21 ), (2.22) e (2.23 ). Para issodevemos realizar doispassos:

(a)

10

0

10

1

w

sat

10

2

10

3

L

10

2

10

3

10

4

t

s

(b)

Figura2.15: (a) Evolução darugosidade para quatrotamanhos diferentes dosistema. Observe

que arugosidadede saturaçãorese om

L

. (b)Gráos emesalalogarítmia da

rugosidade(gráosuperior)edotempodesaturação(gráoinferior)paraasurvas

(i) Traçar

w(L, t)/w

sat

(L)

omo uma função do tempo. Esse passo retira a dependênia em

L

da rugosidade de saturação, de modo queas urvaspassam a saturar no mesmo valor (gura2.16 (a)).

(ii) Traçar

w(L, t)/w

sat

(L)

omoumafunçãode

t/t

s

demodoqueasurvaspassamasaturar no mesmotempo araterístio(gura 2.16 (b)).

(a) (b)

Figura2.16: Ilustração doproessodeolapsoparaasurvasdarugosidade mostradasnagura

2.15 . Em(a)traçamos

w

(

L, t

)

/w

sat

(

L

)

ontrat. Notequeasurvasobtidassaturam

no mesmo valor independentemente dotamanho

L

dosistema. Em (b) traçamos

w

(

L, t

)

/w

sat

(

L

)

ontra

t/t

s

. Noteagoraqueasurvassaturaramomomesmotempo

araterístio.

Oresultadoobtido nagura2.16(b) sugereque

w(L, t)/w

sat

(L)

éumafunção de

t/t

s

, ou seja:

w(L, t)

w

sat

(L)

=

f

t

t

s

,

(2.24)

emque

f

(x)

éumafunçãode esalaom

x

=

t

t

s

. Defato,usandoasequações(2.22 )e(2.23 ),

enontramos a relaçãode esalade Family-Visek [7,8 , 9℄

w(L, t) =

L

α

f

t

L

z

.

(2.25)

Aformade

f

(x)

éevideniada nagura2.16 (b)naqualdoisregimespodemseridentiados: lei depotêniapara

x

≪

1

esaturaçãopara

x

≫

1

. Assim,aformaapropriada paraafunção de esalaé

f

(x)

∼

(

x

β

para

x

≪

1

const.

para

x

≫

1

Dadaafunçãodeesala(2.26),podemosdeterminarumarelaçãoentreosexpoentes

α

,

β

e

z

. Aproximandodo ponto de ruzamento

(t

s

, w(t

s

))

,gura 2.14 , pelaesquerda e usando (2.20 )e (2.23 ), enontramos, que

w(t

s

)

∼

t

β

s

∼

L

βz

.

Entretanto, aproximando-sedo mesmoponto peladireita, obtemosde (2.22 )

w(t

s

)

∼

L

α

.

Dessas duasrelações, obtemos

βz

=

α

ou

z

=

α

β

(2.27)

umarelaçãoentreostrêsexpoentesválidaparaqualquerproessoderesimentoqueobedeça

à relaçãode esala(2.25 ).

Osexpoentesderesimento eda rugosidadetambém podemserobtidos utilizando-se

a função de orrelação dadiferençade alturas

c(r, t)

denidapor

c(r, t) =

h

˜

h(

r

~

′

_{, t}

′

₎

₋

_˜

_h(

_~

_r

′

₊

_{~r, t}

′

₊

_t)

i

2

~

r

′

_,t

′

(2.28)

emque

h(~r, t) =

˜

h(~r, t)

−

h(~r, t)

¯

,

< ... >

~

r

′

_,t

′

representaumamédiaparadiferentes

r

~

′

_{, t}

′

e

h(~r, t)

¯

éumafunçãoapenasdotempo,ouseja,

¯

h(~r, t) = ¯

h(t)

. Emgeral,afunçãodeorrelação

c(r,

0)

tem a formade esala

c(r,

0)

∼

r

2

α

(2.29)

para

r

≪

L

. Enquanto a função

c(0, t)

possuiaforma

c(0, t)

∼

t

2

β

(2.30)

para

t

≪

t

s

.

Expoente de Hurst

Conforme vistoanteriormente, umobjetoauto-am obedeea relaçãode esala

h(x) =

b

−

H

h(bx)

(2.31)

em que

b

é umfatorde transformaçãode esalae

H

éo expoentede Hurst. A maneiramais simples para alularo expoente deHurst édeterminar omoa largura dainterfae depende

do tamanho da esalade observação (que hamaremos de janela) [37℄. Podemos determinar

a largura da interfae emumajanelade tamanho

ǫ

usandoa expressão

emque

max(h

ǫ

)

éamaiore

min(h

ǫ

)

amenoralturadentrodajanela. Paraobjetosauto-ans

temos

∆h(ǫ)

∼

ǫ

H

(2.33)

Um método mais utilizado e elaborado queo da diferençade alturas onsiste em

de-terminar a rugosidademédia

w(ǫ)

dentrode janelas de tamanho

2ǫ

+ 1

w(ǫ) =

*





1

2ǫ

+ 1

i

+

ǫ

X

j

=

i

−

ǫ

(h

j

−

h

i

)

2





1

/

2

₊

i

(2.34)

em que

h

i

é aaltura média dentroda janelade tamanho

2ǫ

+ 1

entradano sítio

i

,ou seja,

h

i

=

1

2ǫ

+ 1

i

+

ǫ

X

j

=

i

−

ǫ

h

j

(2.35)

e

< . . . >

i

representa umamédia sobrevários entros

i

. Para umperl auto-am,a relação

w(ǫ)

∼

ǫ

H

(2.36)

é válida.

Umaforma alternativa paraalulara rugosidadeéonsiderar asutuações emtorno

daretaquemelhorajustaoperldentrodeumajaneladetamanho

2ǫ

+ 1

[38℄. Nessemétodo,

a rugosidade édenida por

w(ǫ) =

*





1

2ǫ

+ 1

i

+

ǫ

X

j

=

i

−

ǫ

(h

j

−

(aj

+

b))

2





1

/

2

+

i

,

(2.37)

emque

a

e

b

sãoosoeientesdaretaquemelhorseajustaaoperlnointervalo

[i

−

ǫ, i

+

ǫ]

. Os oeientes

a

e

b

sãodeterminados usandoo método dosmínimos quadrados. Moreira et al. [38℄ mostraramque ométodoqueonsidera osdesvios omrelação a alturamédia é mais

robusto e leva a resultados melhores (expoentes mais próximos do esperado) que o método

da diferença de alturas, equação (2.32) , e que o método da melhor reta é melhor que o dos

desvios om relaçãoaaltura média.

2.3.2 Equações Estoástias

Uma aproximação muitoutilizada para oestudo do resimento de interfaesé a

des-rição ontínua. Nestaaproximação utilizamosequaçõesestoátiasqueinluemmeanismos

relevantesemesalasdeomprimento grandes,desprezandoosdetalhesmirosópiose

foa-lizando apenasem suasmédias. Tais equaçõespodemseronstruídas atravésde argumentos

físios e/ou prinípiosde simetria. Cada termo da equação estoástia deve ser relaionado

umalassedeuniversalidadee,quandoapareemaisqueumtermoemumaequação,dizemos

em geral quealasse deuniversalidade dessa é ado termo dominante.

Quando onsideramos apenas a deposição aleatória em um proesso de resimento,

podemosdesrevê-lo por meio da seguinteequação

∂h(~x, t)

∂t

=

v

+

η(~x, t)

(2.38)

em que

v

representa o número médio de partíulas sendo adiionadas à interfae e

η(~x, t)

é um ruído que representa as utuações aleatórias no proesso de deposição. O ruído possui

média nula,

h

η(~x, t)

i

= 0,

(2.39)

e é desorrelaionado no espaçoe no tempo,ou seja,

η(~x, t)η(~x

′

, t

′

)

= 2Dδ

d

(~x

−

~x

′

)δ(t

−

t

′

),

(2.40)

em que

h

f

(x)

i

representa umamédia espaialde

f(x)

,ouseja,

h

f

(x)

i ≡

1

a

d

R

d

d

xh(~x, t)

,em que

a

d

éovolumedaregiãoonsiderada. Oexpoentederesimentopodeserobtidoporuma

integração daequação (2.38 )que fornee

h(~x, t) =

vt

+

Z

t

0

dt

′

η(~x, t

′

)

(2.41)

Assim, podemosalular osvaloresmédiosde

h(~x, t)

e

(h(~x, t))

2

:

h

h(~x, t)

i

=

vt

+

Z

t

0

dt

′

h

η(~x, t)

i

(2.42)

e

(h(~x, t))

2

= (vt)

2

+ 2vt

Z

t

0

dt

′

h

η(~x, t)

i

+

Z

t

0

dt

′

Z

t

0

dt

′′

η(~x, t

′

)η(~x

′

, t

′′

)

.

(2.43)

Usando asequações(2.39 )e(2.40 ), enontramos

h

h(~x, t)

i

=

vt

(2.44a)

(h(~x, t))

2

= (vt)

2

+ 2Dt

(2.44b)

que, substituídos na equação (2.19 ),produzem

w

2

(t) =

(h(~x, t))

2

− h

h(~x, t)

i

2

= 2Dt

(2.45)

e, onseqüentemente, ovalor

β

= 1/2

independente dadimensão do substratode deposição. Quandoorrelaçõeslateraisestãopresenteéneessárioinluirtermosadiionaisà

equa-ção (2.38 ). Comoexemplo podemos itar oproessode relaxação quesuaviza ainterfae

du-ranteo resimento. A equação usadapara desrever oproesso de relaxaçãono resimento

no ontexto de proesso de sedimentação de partíulas granularessob o efeito de umampo

gravitaional e tema forma

∂h(~x, t)

∂t

=

v

+

ν

∇

2

_{h(~x, t) +}

_{η(~x, t),}

(2.46)

em que

ν

éumparâmetro relaionadoao proessode relaxação. A mudançade variável(que será usadano restante daseção)

h

→

h

+

vt,

(2.47)

leva aseguinte equação

∂h(~x, t)

∂t

=

ν

∇

2

_{h(~x, t) +}

_{η(~x, t).}

(2.48)

Com essa mudança de variável observamos a interfae em um referenial que move-se om

veloidade igualà taxade deposição.

Os expoentes de esalapodem ser obtidos através de argumentos de esalaapliados

ou da solução exata da equação (2.48) . Vamos mostrar omo obter os expoentes usando

argumentos de esala. Fazendoa reesala

~x

→

x

~

′

₌

_b~x,

(2.49)

na direção horizontal devemos enontrar amudança

h

→

h

′

=

b

α

h

(2.50)

na direção vertial, onsiderando a auto-anidade da interfae. Quando efetuamos essa

mu-dança de esalaa interfae obtida deve serestatistiamenteidêntia àoriginal. Uma vez que

a interfae depende do tempo, para podermos omparar duas interfaes obtidas em tempos

diferentes, devemos reesalá-loutilizando a transformação

t

→

t

′

=

b

z

t.

(2.51)

Substituindo (2.49 )-(2.51 )em (2.48 )obtemos:

b

α

−

z

∂h(~x, t)

∂t

=

νb

α

−

2

_∇

2

_{h(~x, t) +}

_b

−

d/

2

−

z/

2

_{η(~x, t).}

(2.52)

No último termoda equação (2.52 )usamosaequação (2.40 )ea propriedadeda funçãodelta

δ

d

(a~x) =

a

−

d

δ

d

(~x).

Dividindo aequação (2.52 )por

b

α

−

z

obtemos

∂h(~x, t)

∂t

=

νb

z

−

2

_∇

2

_{h(~x, t) +}

_b

−

d/

2+

z/

2

−

α

_{η(~x, t)}

(2.53)

Considerando quea equação EWéinvariantesobessa transformaçãodeesala, obtemos

β

=

2

−

d

4

,

α

=

2

−

d

emumsistemade

d

dimensões. Noteque

z

= 2

é independentedadimensãoe queem

d

= 1

,

β

= 1/4

e

α

= 1/2

. Já em

d

= 2

, obtemos

β

e

α

ambos iguais a zero. É observado que a rugosidadereselogaritmiamentenotempo(para

t < t

s

)equearugosidadedesaturação,da mesmamaneira, dependelogaritmiamente de

L

. Já para

d

≥

3

,osexpoentesderesimento e da rugosidadesãonegativos,o quesignia umainterfae assintotiamente lisa.

UmainterpretaçãogeométriadotermoderelaxaçãonaequaçãodeEWpodeservista

na gura 2.17 1

. Na parte superior da gura é mostrada a interfae em um instante

t

e no entroaontribuiçãodotermoderelaxação. Naparteinferiordaguraémostradaainterfae

em uminstante

t

+

δt

apósa interfae reeberaontribuição do termo de relaxação. Éfáil notar queele suaviza ainterfae por meiode seurearranjo.

-10

-5

0

5

10

h(x,t)

-3

-2

-1

0

1

2

3

ν ∇

2

h(x,t)

-1

-0.5

0

0.5

1

x

-10

-5

0

5

10

h(x,t+

δ

t)

Figura2.17: IlustraçãodoefeitodarelaxaçãonaequaçãodeEW.Naurvasuperioronsideramos

afunção

f

(

x

) =

a

tanh(

bx

)

pararepresentarumainterfae

1 + 1

dimensionalemum

instante

t

. Noentroasegundaderivada dafunçãogaussiana enaurvadebaixoa

interfaenotempo

t

+

δt

,ouseja,asomadainterfaeomsuaderivadasegunda. Para

efeito deomparaçãotambémtraçamosainterfaenotempo

t

(urvatraejada).

Outro proesso que pode oorrer durante o resimento de interfaes é o resimento

normal (ou ortogonal) ao substrato. Na gura 2.18 (a) mostramos uma situação na qual

laramente existe esse resimento. Nessa gura a estrutura é obtida usando o modelo de

deposição balístia (BD, de balisti deposition) om ondição iniial dada por umsubstrato

uja parteentralé emformadeumsemi-íruloessemodeloserádisutidonaseção 2.3.3 .

Observe queosramos resemnadireção normal à superfíiedo substrato. Esse resimento

normal é uma onseqüênia direta das regras do modelo; as partíulas xam-se ao primeiro

1

Estaguraeasdemaisutilizadasparaumainterpretaçãodostermosdifereniaisdasequaçãoestoástias