Entropia de bloco no formalismo estatístico generalizado de Kaniadakis

NYLADIH THEODORY CLEMENTE MATTOS DE SOUZA

Entropia de Bloco no Formalismo

Estat´ıstico Generalizado de Kaniadakis

Entropia de Bloco no Formalismo

Estat´ıstico Generalizado de Kaniadakis

Disserta¸c˜ao apresentada ao Programa de

P´os-Gradua¸c˜ao em F´ısica da Universidade Federal do

Rio Grande do Norte como requisito obrigat´orio para

obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em F´ısica.

Orientador: Profo _{Dr. Dory H´elio Aires de} Lima Anselmo

Coorientador: Profo _{Dr. Raimundo Silva J´unior}

Dedicat´

oria

Agradecimentos

`

A Coordena¸c˜ao de Aperfei¸coamento de Pessoal de N´ıvel Superior (Capes), pelo investimento cedido a este estudante sem o qual seria imposs´ıvel completar este curso de mestrado.

Aos professores que comp˜oem o corpo discente do Departamento de F´ısica Te´orica e

Experi-mental (DFTE), pela contribui¸c˜ao que deram para a forma¸c˜ao profissional-cientifica em n´ıvel de

p´os-gradua¸c˜ao.

Aos professores dos departamento de qu´ımica, matem´atica e, em especial, de f´ısica da

Uni-versidade Estadual do Estado do Rio Grande do Norte (UERN), pela forma¸c˜ao acadˆemica em

n´ıvel de gradua¸c˜ao.

Aos colegas que fazem parte do ambiente acadˆemico, novos e n˜ao t˜ao novos, pelos caf´es,

conversas,... que contribuem (h´a quem diga que n˜ao) para a produ¸c˜ao cient´ıfica cotidiana.

Ao ProfessorDr. Dory H´elio Aires de Lima Anselmopelos conselhos valiosos, paciˆencia, aten¸c˜ao e dedica¸c˜ao que tornaram poss´ıvel a realiza¸c˜ao deste trabalho.

`

A Eliˆangela Paulino Bento(e fam´ılia) e Tercilene Pinheiro do Couto, por terem pos-sibilitado a amplia¸c˜ao das pr´aticas dos valores familiares.

Ao professor brejo-cruzense Jos´e Maria da Silva (in memoriam), por ter concedido aceso gratuito, em diferentes momentos de minha vida, aos pergaminhos do conhecimento (os livros),

agradecimentos especiais.

Aos meus irm˜aosHidalyn Theodory Clemente Mattos de SouzaeIzabel Maria Matos de Souza que a mais de duas d´ecadas sempre ofereceram amizade, ajuda, companheirismo e aten¸c˜ao.

Aos meus pais Sr. Manoel de Souza e Sra. Marimilia Matos de Souza que sempre foram os recept´aculos e emissores de amor, ref´ugio, ajuda.

´

O FILHO DO ESP´IRITO!

A mais amada de todas as coisas, a Meu ver, ´e a Justi¸ca,

n˜ao te desvies dela, se ´e que Me desejas, nem a descures, para que Eu em ti possa confiar.

Nela te apoiando, ver´as com teus pr´oprios olhos e n˜ao com os alheios,

saber´as pela tua pr´opria compreens˜ao e n˜ao pela compreens˜ao de teu semelhante.

Pondera isto em teu cora¸c˜ao; como incumbe ser. Em verdade, a justi¸ca ´e Minha d´adiva a ti

e o sinal de Minha miseric´ordia. Guarda-a, pois, ante os teus olhos.

A posi¸c˜ao que a renomada estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG) ocupa no cen´ario cient´ıfico

´e incontest´avel, tendo um ˆambito de aplicabilidade muito abrangente. Por´em, muitos fenˆomenos

f´ısicos n˜ao podem ser descritos por esse formalismo. Isso se deve, em parte, ao fato de que a

estat´ıstica de BG trata de fenˆomenos que se encontram no equil´ıbrio termodinˆamico.

Em regi˜oes onde o equil´ıbrio t´ermico n˜ao prevalece, outros formalismos estat´ısticos devem

ser utilizados. Dois desses formalismos emergiram nas duas ´ultimas d´ecadas e s˜ao comumente

denominados deq-estat´ıstica eκ-estat´ıstica; o primeiro deles foi concebido por Constantino Tsallis

no final da d´ecada de 80 e o ´ultimo por Giorgio Kaniadakis em 2001. Esses formalismos possuem

car´ater generalizador e, por isso, contem a estat´ıstica de BG como caso particular para uma

escolha adequada de certos parˆametros. Esses dois formalismos, em particular o de Tsallis, nos

conduzem tamb´em a refletir criticamente sobre conceitos t˜ao fortemente enraizados na estat´ıstica

de BG como a aditividade e a extensividade de certas grandezas f´ısicas.

O escopo deste trabalho est´a centrado no segundo desses formalismos. Aκ-estat´ıstica constitui

n˜ao s´o uma generaliza¸c˜ao da estat´ıstica de BG, mas, atrav´es da fundamenta¸c˜ao do Princ´ıpio de

Intera¸c˜ao Cin´etico (KIP), engloba em seu ˆamago as celebradas estat´ısticas quˆanticas de

Fermi-Dirac e Bose-Einstein; al´em da pr´opria q-estat´ıstica.

Neste trabalho, apresentamos alguns aspectos conceituais da q-estat´ıstica e, principalmente,

da κ-estat´ıstica. Utilizaremos esses conceitos junto com o conceito de informa¸c˜ao de bloco para apresentar um funcional entr´opico espelhado no formalismo de Kaniadakis que ser´a utilizado

posteriormente para descrever aspectos informacionais contidos em fractais tipo Cantor. Em

particular, estamos interessados em conhecer as rela¸c˜oes entre parˆametros fractais, como a

di-mens˜ao fractal, e o parˆametro deformador κ. Apesar da simplicidade, isso nos proporcionar´a, em trabalho futuros, descrever estatisticamente estruturas mais complexas como o DNA, super-redes

The position that the well-known statistical Boltzmann-Gibbs (BG) occupies in the scientific

field is undeniable, with a very broad scope of applicability. However, many physical phenomena

cannot be described by this formalism. This is partly due to the fact that BG statistics deals

with phenomena that are in thermodynamic equilibrium.

In regions where thermal equilibrium does not prevail, other statistical formalisms must be

used. Two of these formalisms have emerged in the last two decades and are commonly called

q-statistics andκ-statistics, the first was conceived by Constantino Tsallis in the late 80’s and the

last one by Giorgio Kaniadakis in the 2001 year. These formalisms have a generalizing character

and therefore contain the BG statistics as a special case for an appropriate choice of certain

parameters. These two formalisms, particularly the Tsallis one, also leads us to think critically

about concepts so strongly rooted in the BG as additivity and extensivity of certain physical

quantities.

The scope of this work focuses on the second of these formalisms. Theκ-statistics is not only

a generalization of BG statistics, but through the reasoning of the Principle of Interaction Kinetic

(KIP), includes at its core the celebrated quantum statistics of Fermi-Dirac and Bose-Einstein,

and also the q-statistics itself.

We present some conceptual aspects ofq-statistics and especially the κ-statistic. We will use

these concepts together with the concept of block information to display an entropic functional

formalism mirrored in the Kaniadakis on in what will be later used to describe information aspects

contained in Cantor type fractals. In particular we are interested in knowing the relationship

between fractal parameters such as fractal dimension, and the deforming parameter κ. Despite

its simplicity, it will provide, in future works, statistical tools to describe more complex structures

1.2.1 Fractal de Koch e fractal de Cantor . . . 3

1.2.2 Constru¸c˜ao de uma super-rede usando uma regra de itera¸c˜ao fractal . . . 4

1.2.3 Espectro de energia associado ao conjunto tri´adico de Cantor . . . 4

1.3.1 Medida de um conjunto (uma linha) atrav´es de c´ırculos. . . 8

1.3.2 Comportamento t´ıpico da medidas-dimensional de Hausdorff (_Hs_{) em rela¸c˜ao a s. 9} 1.4.1 Medida de uma curvar em diferentes escalas . . . 11

1.4.2 Medida do per´ımetro dos contornos consteiros de v´arios territ´orios realizadas por F. Richardson.. . . 12

1.4.3 Mapeamento de um curva usando o M´etodo da Contagem de Caixas. . . 14

1.5.1 Agregado aleat´orio de 3600 part´ıculas sobre uma rede quadrada. . . 15

1.5.2Dq em fun¸c˜ao de q para um conjunto de Cantor com duas escalal1 = 0.25 e l2 = 0.4 18 1.5.3f(α) em fun¸c˜ao de α para um conjunto de Cantor com duas escalas l1 = 0.25 e l2 = 0.4. . . 18

3.2.1 Esbo¸co de Sq para diferentes valores de q e W = 2. . . 42

3.4.1 Fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao para um sistema browniano . . . 53

3.5.1S{κ} em fun¸c˜ao de pi; (0≤pi ≤1) para W = 2 . . . 55

4.1.1 Constru¸c˜ao de uma sequˆencia atrav´es de outra sequˆencia pr´e-estabelecida . . . 60

4.1.2 Conjunto de sequˆencias geradas a partir da fixa¸c˜ao de uma sequˆencia matriz . . . 61

4.1.3 Constru¸c˜ao da primeira gera¸c˜ao do conjunto (2,3)-Cantor . . . 62

4.1.4 Constru¸c˜ao da segunda gera¸c˜ao do conjunto (2,3)-Cantor . . . 63

4.1.5 Equivalˆencia entre a representa¸c˜ao gr´afica e simb´olica para conjuntos de (2,3)-Cantor. 63

4.2.1 N´umero total de elementos de uma dada sequˆencia para um conjunto (2,3)-Cantor 65

4.2.2 Ocorrˆencia de sobreposi¸c˜ao em blocos de sequˆencia no conjunto (2,3)-Cantor . . . 67 4.2.3 Blocos permitidos dentro da terceira gera¸c˜ao (2,3)-Cantor. . . 68

4.2.4 Irrelevˆancia da morfologia de um bloco para a probabilidade . . . 69 4.3.1 Comportamento de S{κ} mediante crescimento de L para a configura¸c˜ao m = 2,

r= 3 e s = 9. . . 72 4.3.2 Comportamento de S{κ} mediante crescimento de L para a configura¸c˜ao(m = 2,

r= 12, s = 144). . . 73 4.3.3 Comportamento de S{κ} mediante crescimento de L para a configura¸c˜ao(m = 15,

r= 27, s = 27). . . 74 4.3.4 Gr´afico log-log de S{κ} em fu¸c˜ao do inverso do tamanho dos blocos s para uma

sequˆencia contendo L= 1010 _{elementos.. . . 75} 4.3.5 Comportamento de κ em rela¸c˜ao a dimens˜ao fractal para conjuntos tipo Cantor

unidimensionais.. . . 76 4.4.1 Conjunto 2-(2,3)-Cantor . . . 78

4.4.2 Poss´ıveis blocos que podemos utilizar para encontrar padr˜oes numa estrutura tipo (2,3)-Cantor bidimensional s˜ao representados pelos quadrados na figura. . . 79

4.4.3 Dependˆencia de κ com a dimens˜ao fractal para duas e trˆes dimens˜oes. Neste gr´afico,d ´e a dimens˜ao topol´ogica correspondente ao objeto fractal em estudo. . . 81

4.4.4 Gr´aficos de κ contra df para d = 1,2,3 dimens˜oes. Observe o comportamento

3.1 Resumo das rela¸c˜oes de recorrˆencia, a partir do formalismo de Kaniadakis, para algumas estat´ısticas convencionais. . . 50

4.1 Poss´ıveis sequˆencias formadas atrav´es de uma regra de itera¸c˜ao utilizando elemen-tos do conjunto _{0,1_}. . . 60

4.2 Regras de itera¸c˜ao ligadas a conjuntos fractais. . . 64

1 Fractais 1

1.1 Introdu¸c˜ao . . . 1

1.2 Autossimilaridade, Autoafinidade e Dimens˜ao Fractal . . . 2

1.3 Dimens˜ao de Hausdorff-Besicovitch . . . 6

1.4 C´alculo alternativo da dimens˜ao fractal . . . 9

1.4.1 Contagem de Caixas . . . 11

1.5 Multifractais. . . 14

1.6 Conclus˜oes . . . 19

2 Formalismo de Kaniadakis 20 2.1 Introdu¸c˜ao . . . 20

2.2 Descri¸c˜ao do Problema Cin´etico . . . 22

2.3 Princ´ıpio de Intera¸c˜ao Cin´etico - KIP . . . 24

2.4 Entropia κ-generalizada . . . 26

2.5 Fun¸c˜ao geradora e κ-´algebra . . . 32

2.6 Conclus˜oes . . . 37

3 Postulados e propriedades concernentes a κ-entropia 39 3.1 Introdu¸c˜ao . . . 39

3.2 Fundamentos daq-estat´ıstica . . . 40

3.2.1 Formalismo canˆonico dentro da q-estat´ıstica . . . 44

3.3 Rela¸c˜oes entre a κ-estat´ıstica e outras estat´ısticas . . . 47

3.5 κ-entropia e entropia de bloco . . . 52

4 An´alise de bloco para um conjunto fractal tipo Cantor 59 4.1 Constru¸c˜ao de sequˆencias atrav´es de regras de itera¸c˜ao, conjunto de Cantor . . . . 59 4.2 Probabilidade associada a uma sequˆencia tipo (m,r)-Cantor . . . 64

4.3 Entropia de bloco para sequˆencias tipo (m,r)-Cantor com dimens˜ao fractal menor que 1 . . . 70

4.4 Entropia de Bloco para sequˆencias tipo (m,r)-Cantor para dimens˜oes superiores . 77

5 Conclus˜oes e Perspectivas 83

Bibliografia 90

Cap´ıtulo

1

Fractais

1.1

Introdu¸

c˜

ao

Em meados da d´ecada de 60, e mais intensamente na d´ecada de 70, foi desenvolvida e

es-tabelecida as bases te´oricas de uma nova geometria. Diferente da tradicional geometria1_{, esta}

nova geometria incorpora uma descri¸c˜ao mais satisfat´oria das formas encontradas na natureza,

em particular, aquelas de aparˆencia fragmentada e irregular. A necessidade desta nova geometria

pode, em parte, ser entendida se observarmos os trabalhos de seu introdutor e principal defensor,

Benoit Mandelbrot. Numa de suas obras [1], Mandelbrot nos conduz a refletir a respeito do

tratamento “frio” que a geometria cl´assica disp˜oe quando da descri¸c˜ao da natureza: a geometria

Euclidiana n˜ao ´e h´abil em descrever formas naturais como “nuvens, montanhas, uma ´arvore, os

limites de um continente”, pois, complementava Mandelbrot, “nuvens n˜ao s˜ao esferas, montanhas

n˜ao s˜ao cones, linhas costeiras n˜ao s˜ao c´ırculos, as cascas de uma ´arvore n˜ao s˜ao lisas, relˆampagos

n˜ao viajam em linha reta”.

A aplica¸c˜ao dos conceitos envolvidos na geometria Fractal a outras ´areas cient´ıfica se deve,

em muito, aos esfor¸cos de Mandelbrot que ativamente trabalhou para mostrar a real importˆancia

desta geometria, at´e ent˜ao recente, no estudo dos fenˆomenos naturais. Em Mandelbrot [2], ´e

apresentado um tratamento bastante objetivo relacionado aos conceitos e utilidades da geometria

Fractal.

Desde da introdu¸c˜ao da geometria fractal at´e os tempos recentes, ´e indiscut´ıvel a grande

po-pularidade e aplicabilidade que esse novo ferramental te´orico possui nos v´arios ˆambitos cient´ıficos.

1_{Geometria Euclidiana}

Por si mesmos, os objetos fractais possuem uma atra¸c˜ao peculiar, exibindo um car´ater enigm´atico

nas suas diversas formas que permeiam suas diferentes escalas. Na f´ısica, os fractais s˜ao aplicados

em demasiado no estudo da dinˆamica dos sistemas complexos, na f´ısica dos materiais, mecˆanica

estat´ıstica e an´alise de sinais.

Atrav´es do estudo dos fractais ainda somos levados a estudar algo mais geral, osMultifractais:

muitas vezes nos deparamos com fractais que apresentam leis de escala muito irregular variando

de regi˜ao a regi˜ao dentro do fractal; em tais casos, o conhecimento somente da dimens˜ao fractal

n˜ao ´e suficiente para caracterizar esses fractais como uma estrutura ´unica. Particularmente, o

estudo dos fractais nos conduz a investigar a conhecida fun¸c˜ao α que constitui a maneira mais

geral de expressar a dimens˜ao de um objeto geom´etrico.

Este cap´ıtulo ´e destinado a expor algumas ideias, conceitos e defini¸c˜oes a respeito dos fractais,

ou de uma forma mais geral, os multifractais. Na se¸c˜ao 1.2 apresenta-se dois conceitos muito

presentes na an´alise fractal, a autoafinidade e a dimens˜ao Fractal. Em seguida, na se¸c˜ao 1.3,

apresentamos a maneira formal de determinar a dimens˜ao de qualquer forma geom´etrica da

natureza. Dois m´etodos alternativos de computar a dimens˜ao fractal s˜ao apresentados na se¸c˜ao

1.4. A apresenta¸c˜ao do chamado fenˆomeno multifractal e um pouco de seu formalismo s˜ao

apresentados na se¸c˜ao 1.5. Finalmente, a se¸c˜ao 1.6 segue com algumas conclus˜oes, do ponto de

vista f´ısico, da importˆancia do formalismo fractal.

1.2

Autossimilaridade, Autoafinidade e Dimens˜

ao Fractal

O termo fractal foi cunhado por Mandelbrot para designar formas geom´etricas rugosas e

fragmentadas que exibem certas propriedades de simetria relacionadas a invariˆancia sob dila¸c˜ao

ou contra¸c˜ao. Talvez a invariˆancia por escala seja a caracter´ıstica mais not´avel dos fractais:

quando um fractal ´e observado numa determinada escala reduzida (ampliada) ele assemelha-se

a uma c´opia menor (maior) do objeto fractal como um todo [1, 2]. `As vezes, essa caracter´ıstica

´e t˜ao marcante num fractal - ou classe de fractais - transpassando todas as suas dire¸c˜oes

espa-ciais, que ´e comum rotularmos estes fractais como autossemelhantes (fractais como a poeira de

Cantor e a curva de Koch s˜ao exemplos desse tipo de fractal). Na maioria das vezes, os fractais

autossemelhantes s˜ao obtidos atrav´es de regras de itera¸c˜ao [3] , ou seja, s˜ao determinados atrav´es

apresentamos alguns objetos pertencentes `a classe de fractais autossemelhantes e determin´ıstico

(outra denomina¸c˜ao para fractais obtidos com regras de itera¸c˜ao).

Alguns padr˜oes e formas da natureza (fractais naturais) assemelham-se, pelo menos em parte,

aos fractais constru´ıdos atrav´es de regras de itera¸c˜ao, por´em, diferentemente desses, os chamados

fractais naturais s˜ao limitados no espa¸co. Na f´ısica do estado s´olido, as regras de itera¸c˜ao

men-cionadas anteriormente, s˜ao bastante usadas para gerar estruturas superficiais conhecidas como

super-redes. As super-redes s˜ao concebidas atrav´es da disposi¸c˜ao, numa ordem pr´e-estabelecida,

de um material A sobre um material B (ou mais de dois materiais) formando um estrutura mais

complexas com propriedades diferentes dos materiais que a comp˜oem. Quando dispomos os

ma-teriais de forma alternada, concebemos uma super-rede peri´odica. Quando a alternˆancia entre

as camadas se d´a seguindo uma sequˆencia de Fibonacci, estamos na presen¸ca de uma super-rede

quasi-peri´odica2 _{(A figura1.2.2mostra como isso pode ser realizado de maneira intuitiva.) [4,5].} Em outros casos, essas mesma regras s˜ao utilizadas para descrever o espectro de energia de um

sistema f´ısico particular [7, 8] (figura 1.2.3).

Figura 1.2.1: Fractal de Kock e fractal de Cantor: `a esquerda, Fractal de Koch em diferentes escalas. Esse fractal apresenta autossemelhan¸ca em diferentes partes da curva, incluindo o tamanho

global do objeto (comparar as partes circuladas). `A direita, as quatro primeiras gera¸c˜oes do conjunto

tri´adico de Cantor: partindo da linha de cima, dividimos a mesma em trˆes tamanhos iguais e exclu´ımos a

ter¸ca parte central, ent˜ao, obtemos a primeira gera¸c˜ao (os dois segmentos logo abaixo da linha de cima).

As gera¸c˜oes subsequentes s˜ao obtidas mediante mesmo racioc´ınio. Quando executamos esse processo

infinitas vezes, obtemos um fractal conhecido comoPoeira de Cantor.

2_{O termo quasi-peri´odico vem tomando bastante importˆancia desde de trˆes d´ecada atr´as, sendo sua defini¸c˜ao}

Material A Material B Cantor Periódica Fibonacci

. . . .

. .

. . .

Figura 1.2.2: Constru¸c˜ao de uma super-rede usando uma regra de itera¸c˜ao fractal. A rede

peri´odica `a direita pode ser constru´ıda atrav´es da disposi¸c˜ao do material A e B de maneira alternada.

O resultado ´e uma super-rede peri´odica de per´ıodo AB. No centro, a rede ´e crescida usando a regra de

itera¸c˜ao de Fibonacci e `a esquerda usando a regra de crescimento do conjunto tri´adico de Cantor. Tanto

a super-rede de Fibonacci quanta de Cantor s˜ao aperi´odicas.

Figura 1.2.3: Espectro de energia associado ao conjunto tri´adico de Cantor: quatro pos-sibilidades para um sistema que possui seus autovalores de energia seguindo a sequˆencia (2,3)-Cantor

Apesar da autossimilaridade ser bastante not´avel em alguns fractais, ela constitui um caso

particular do que chamamos de autoafinidade. Quando dizemos que um fractal ´e autoafim,

significa dizer que suas medidas espaciais n˜ao s˜ao proporcionalmente modificadas quando da

redu¸c˜ao ou amplia¸c˜ao da escala, como acontece num fractal autossimilar. Em geral, dizemos que

um certo objeto fractal sofre uma transforma¸c˜ao autoafim quando cada ponto P(x1, ..., xn) que

constitui o fractal, ´e transformado em PT(r1x1, ..., rnxn), onde o conjunto {r1, ..., rn} nos indica

de quanto devemos, dependendo da escala, reduzir ou ampliar o fractal em cada uma de suas

dire¸c˜oes. Obviamente, quando r1 =... =rn, retomamos a autossimilaridade. Em muitos casos,

a propriedade de autoafinidade exibida pelos fractais ´e utilizada nos fenˆomenos de turbulˆencias

com car´ater de probabilidade: nesse tipo de autoafinidade “estat´ıstica”, a probabilidade est´a

relacionada a ocorrˆencia de um grandeza f´ısica que assume car´ater autoafim.

A autoafinidade descrita anteriormente, constitui uma caracter´ıstica bastante marcante em

alguns fractais. Por´em, n˜ao ´e a ´unica: um fractal apresenta uma not´avel curiosidade quando

da observa¸c˜ao de sua dimens˜ao. Para apresentar esse aspecto, tomemos por exemplo a curva de

Koch esbo¸cada na figura 1.2.1. Em essˆencia, temos que o contorno daquela figura ´e formado por

segmentos de um determinado tamanho fixo. Uma an´alise meticulosa da figura ainda revela um

aparente singularidade no que diz respeito `a dimens˜ao desse contorno, a saber, que se um objeto

´e formado por linhas, ´e natural supor que sua dimens˜ao ´e a mesma que de uma linha; portanto, o

objeto na figura1.2.1, `a esquerda , teria uma dimens˜ao igual a unidade. No entanto, se desejamos

caracterizar de forma ´unica tal objeto, devemos parametriz´a-lo tamb´em de maneira ´unica. Essa

incˆomoda degenerescˆencia ´e eliminada quando analisamos com mais aten¸c˜ao e min´ucia o conceito

de dimens˜ao. Essa defini¸c˜ao ´e descrita de maneira completa na Teoria de Conjuntos3_.

Em todo caso, verifica-se que os fractais s˜ao objetos geom´etricos que apresentam sua dimens˜ao

maior que sua dimens˜ao topol´ogica4 _{[1,9]. Isso tem uma implica¸c˜ao bastante not´avel: em geral,} fractais apresentam dimens˜ao fracion´aria: os dois fractais descritos na figura 1.2.1, possuem

respectivamente dimens˜ao fractal _≈ 1,26 e _≈ 0,63. Com o conhecimento dessa dimens˜ao ´e

poss´ıvel em alguns casos caracterizar um objeto fractal por completo 5 _{e, assim, utilizarmos essa}

medida como um parˆametro relevante na an´alise de problemas afins.

3_{Particularmente, nos trabalhos de Hausdorff que ser˜ao tratados na pr´oxima se¸c˜ao.}

4_{Se um objeto ´e formado por pontos, sua dimens˜ao topol´ogica ´e 0, por linhas 1, por quadrados 2,...}

5_{Por´em, para muitos fenˆomenos f´ısicos, a medida multifractal deve ser empregada devido `as complexas rela¸c˜oes}

1.3

Dimens˜

ao de Hausdorff-Besicovitch

Durante o per´ıodo que se estendeu de meados do s´eculo XIX at´e o final da primeira d´ecada do

s´eculo XX, os matem´aticos encontraram certas dificuldades em dimensionar estruturas geom´etricas

rugosas e fragmentadas; a defini¸c˜ao de dimens˜ao tal com na geometria cl´assica, assumindo

so-mente valores inteiros, n˜ao era apropriada para descrever os fractais. Muitos matem´aticos

con-tribu´ıram para uma nova elabora¸c˜ao de uma defini¸c˜ao de dimens˜ao que comportasse as

“anoma-lias”estruturais dos fractais; por´em, foi somente no come¸co da segunda d´ecada do s´eculo XX que

Hausdorff concebeu uma maneira formal de estabelecer a dimens˜ao de qualquer objeto geom´etrico.

Com o uso dessa defini¸c˜ao, verificou-se que muitos fractais (para n˜ao dizer todos) apresentam uma

certa peculiaridade em rela¸c˜ao a sua dimens˜ao: os fractais s˜ao formas geom´etricas que apresentam

dimens˜ao fracion´aria6_{. Al´em disso, e assim como os objetos cl´assicos, os fractais compartilham}

da lei de potˆencia M _∼δdf, onde M ´e a medida do volume fractal, δ´e um forma que serve para

mapear a extens˜ao M do fractal e df sua dimens˜ao.

Para conseguir inferir a dimens˜ao de um objeto da maneira formal proposta e estabelecida

por Hausdorff, devemos primeiro entender o conceito de medida de um conjunto. A medida de

um conjunto ´e simplesmente uma maneira de atribuir um tamanho ao conjunto; por exemplo,

se estabelecermos que a medida de um quadrado ´e definida como a maior distˆancia conseguida

entre os pontos que o constitui, sua medida ser´a expressa pelo comprimento de sua diagonal.

Existem v´arias maneira de atribuir uma medida a um conjunto; outro exemplo seria a medida de

Lebesgue (nesse caso, a medida do quadrado seria representada pela ´area do mesmo)[10]. Com

isso em mente, apresentamos agora a medida de Hausdorff que ´e definida como ([10], p´agina 27)

Hδs

. =inf

( _∞

X

i=1

|Ui|s:{Ui} mapeia F numa escala δ.

)

(1.3.1)

O entendimento dessa ´ultima defini¸c˜ao est´a contido no jarg˜ao te´orico da teoria de conjuntos

6_{Mandelbrot afirma que qualquer objeto geom´etrico que possua dimens˜ao fracion´aria, ´e necessariamente um}

(que n˜ao consta neste trabalho). Por´em, vamos apresentar alguns esclarecimentos da nota¸c˜ao e

entendimento empregado na equa¸c˜ao (1.3.1). Se tomarmos U como o conjunto de pontos, cuja representa¸c˜ao seja U(x1, ..., xn), |U| denota a maior distˆancia poss´ıvel encontrada dentro de U

seguindo a m´etrica de Euclides7_{. Agora, seja F um conjunto qualquer contido no espa¸co R}n_{, tal}

queF _⊂S∞_i=1Ui e que 0≤ |Ui| ≤δ, comδ <1. Ent˜ao, temos que dentro dos diversos somat´orios

submetidos entre osUi que cobrem F, devemos escolher aquele que representa a menor soma para

um determinado valor de δ, ou seja, inf_{P∞_i=1|Ui|s}.

Agora, e mais importante, quando submetemos (1.3.1) ao limiteδ _→0, obtemos

lim

δ→0H

δ s = lim

δ→0inf

( _∞

X

i=1

|Ui|s :{Ui} mapeia F com um medida δ.

)

=_Hs (1.3.2)

que ´e a medida s-dimensional de Hausdorff do conjunto F (ver figura 1.3.1).

Em todo caso, a medidas-dimensional de Hausdorff tende para infinito ou para 0 para todo s_∈R_{. No entanto, existe um valor de spara o qual H}s _{salta de infinito para 0 coms crescendo.}

Esse valor ´e simbolizado como dimHF e representa a dimens˜ao (fractal) do conjunto F. A figura

1.3.2 mostra o esbo¸co do comportamento t´ıpico de _Hs _{em rela¸c˜ao a s, al´em de evidˆenciar o}

valor limite onde o referido salto ocorre. Para objetos euclidianos, esse valor ´e, como esperado,

igual a dimens˜ao desse objeto, ou seja, dimFH = 1 para um segmento de linha, dimFH = 2

para um c´ırculo, dimFH = 3 para um cone. A medida s-dimensional de Haudorff constitui uma

maneira formal, mas n˜ao a ´unica, de estabelecer a dimensionalidade de um ente fractal e pode,

em alguns casos8_{, ser suficiente para caracterizar um objeto fractal por completo e eliminar a}

degenerescˆencia apresentada na ´ultima se¸c˜ao. Por´em, os limites que essa medida assume quando

a escala tende a zero, mostram que seu uso ´e pouco pr´atico na determina¸c˜ao da dimens˜ao fractal,

sendo mais conveniente utilizar m´etodos de estimativa de dimens˜ao alternativos.

7_{A m´etrica de Euclides ´e aquela em que a distˆancia entre dois pontos X(x}

1, ..., xn) eY(y1, ..., yn) ´e expressa

pord=p(y1−x1)2+..+ (yn−xn)2.

8_{Existem alguns fractais, os chamados multifractais, que necessitam mais que a determina¸c˜ao da dimens˜ao}

Figura 1.3.1: Medida de um conjunto (uma linha) atrav´es de c´ırculos: (a) a maior distˆancia

|U|encontrada no conjunto de pontos que forma um circulo ´e o seu diˆametrod. Considerando que cada

c´ırculo tenha diˆametro d= δ = 1, podemos estimar que a linha no topo da figura tenha uma largura

de 14 unidades para qualquer valor que venhamos a adotar paras. (b) no entanto, quando diminu´ımos

parad =δ3₄, obtemos uma estimativa de 19 para s= 0, 11 para s = 1, 6 para s=2 e diminuindo com

s. Mesmo assim, o menor dos somat´orios tal como exigido pela equa¸c˜ao (1.3.1) n˜ao poder´a ser obtido

com esta disposi¸c˜ao; pois, existem c´ırculos que apresentam regi˜oes em comum (intersec¸c˜oes) com outros

c´ırculos. (c) Diminuindo estas intersec¸c˜oes (pelo menos visualmente), vemos que as estimativas para o

comprimento da linha ´e 14 para s = 0, 8 para s = 1, 5 para s = 2 e diminuindo com s aumentando.

Assim, mesmo para umδ es fixos, devemos garantir que os c´ırculos estejam dispostos a cobrir toda a

s

dim F

s

Figura 1.3.2: Comportamento da medida s-dimensional de Hausdorff (Hs_{) em rela¸c˜ao a}

s. Para uma forma geom´etrica qualquer, o valor des=dimHF representa a dimens˜ao dessa forma no

espa¸co Euclidiano.

1.4

C´

alculo alternativo da dimens˜

ao fractal

O c´alculo da dimens˜ao fractal usando a medida de Hausdorff apresenta muitas

dificul-dades pr´aticas; em muitos casos, n˜ao conseguimos obter analiticamente o valor onde ocorre a

descontinuidade na medida s-dimensional de Hausdorff. Comumente, utiliza-se outros m´etodos que exibem uma maior facilidade operacional, pois estes apresentam-se na forma de algoritmos

simples de assimilar.

Comecemos ent˜ao a descrever um desses algoritmos que nos permitir´a determinar a dimens˜ao

fracion´aria de curvas cont´ınuas que possuem uma forma qualquer. De posse de uma linha irregular

qualquer (figura1.4.1), utilizemos uma r´egua de comprimentoδe, posicionando simultaneamente

as duas extremidades da r´egua sobre o contorno da linha, executamos tantas medidas quantas

necess´arias at´e cobrir, de maneira sequencial, toda sua extens˜ao. O n´umero N(δ) de vezes que

utilizamos a r´egua multiplicado por seu tamanhoδnos fornece o valor da medida do comprimento da linha. Claro, e dependendo do tamanho da r´egua, podemos cometer um erro muito grosseiro

quando escolhemos um certo valor para o tamanho da nossa r´egua, quaisquer irregularidades na

curva menores que o comprimento da r´egua ser˜ao ignorados e, consequentemente, n˜ao ser˜ao

con-tabilizados no montante total que representar´a o comprimento da curva. Uma maneira razo´avel

de englobar essas irregularidades, ´e reduzir o tamanho da r´egua; assim, conseguimos “enxergar”

as irregularidades da curva e, consequentemente, aumentamos a precis˜ao do somat´orio total que

resulta no valor da medida do comprimento da linha. Portanto, para garantir que todas as

anor-malidades da curva n˜ao passem desapercebidas durante a tomada do somat´orio dos termos que

contribuem para obten¸c˜ao do comprimento da curva, fazemos δ assumir valores muito pequenos (δ << 1). Como esperado, o comprimento da linha medido numa determinada escala δ, ´e dado

pelo produto N(δ).δ. Em geral, observa-se que esse produto obedece a lei de potˆencia

N(δ)_×δ_∼δ−s, (1.4.1)

onde s ´e um parˆametro que est´a ligado `a dimens˜ao fractal. Explorando o limite da equa¸c˜ao

(1.4.1) em regi˜oes onde δ <<1, a dimens˜ao fractal pode ser encontrada, sendo expressa por

df ∼ −

logN(δ)

logδ . (1.4.2)

Em 1967, Mandelbrot [11] aplicou esse m´etodo quando da determina¸c˜ao dos limites costeiros do

Reino Unido. A figura 1.4.1 mostra de maneira pict´orica a aplica¸c˜ao do algoritmo mencionado

( c )

( a ) ( b )

( d )

Figura 1.4.1: Medida de uma curvar em diferentes escalas.(a) curva a ser medida; (b) medida do

comprimento da linha em (a) utilizando uma r´egua de tamanhoδ; (c) medida da curva em (a) utilizando

uma r´egua de tamanhoδ1< δ (a curva foi retirada para mostrar o aspecto da linha depois da utiliza¸c˜ao

das r´eguas); (d) novamente, medida da linha em (a) utilizando uma r´egua de tamanho δ2 < δ1 < δ.

Perceba que a medida que diminu´ımos δ, mais e mais nos aproximando da configura¸c˜ao da curva que

desejamos medir o comprimento.

F. Richardson [12] realizou, antes de Mandebrot, algumas medidas dos per´ımetros de alguns

territ´orios conhecidos. Estes resultados est˜ao dispostos na figura 1.4.2. Deles, podemos inferir

que o comportamento do tamanho do per´ımetro L do territ´orio do Reino Unido est´a relacionado com a r´egua δ atrav´es de uma lei de potˆencia como aquela exposta na equa¸c˜ao (1.4.1)9_{. Nessa}

figura, o logaritmo da medida do per´ımetro dos limites territoriais est˜ao relacionados de maneira

linear com o logaritmo de δ. A inclina¸c˜ao das curvas nesse gr´afico representam o valor ₋s. Para

a costa do Reino Unido, s = 0,3 e a dimens˜ao fractal vale df = 1 +s≈1.3.10

1.4.1

Contagem de Caixas

Digamos agora que desejemos determinar a dimens˜ao fractal das curvas (como um todo) da

figura1.4.3utilizando, para esse fim, o m´etodo descrito anteriormente. Como podemos perceber, diferentemente dos limites territoriais, o objeto exposto naquela figura apresenta certa

frag-menta¸c˜ao, al´em de apresentar certa complexidade estrutural. Isso torna a aplica¸c˜ao do m´etodo

9_{Na verdade, a lei expressa pela equa¸c˜ao (1.4.1) foi empiricamente estabelecida por Richardson.}

COSTA AUTRALIANA

CÍRCULO

COSTA SUL-AFRICANA

FRONTEIRA DA A_{LEMANHA EM 1900} COSTA OES_{TE DA GRÃ}

-BRETANHA

FRONTEIRA DE PORTU_GAL

1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

3.0 3.5 4.0 Lo g (C om pr im en to to ta l e m q ui lô m et ro s) 10

Log (Comprimento da régua em quilômetros)10

Figura 1.4.2: Medida do per´ımetro dos contornos consteiros de v´arios territ´orios realizadas por F. Richardson. De acordo com as observa¸c˜oes de Richardson, o per´ımetro dos limites costeiros de

um territ´orio do globo terrestre s˜ao proporcionaisδ−s, onde−s´e a inclina¸c˜ao da reta que melhor se ajusta

aos pontos obtidos como a medida do comprimento territorial realizado com uma r´egua de tamanho δ.

Em geral, `a medida que diminu´ımosδ,N(δ)×δtende a um n´umero muito grande; no entanto, a dimens˜ao

fractal ´e pass´ıvel de ser determinada j´a que a raz˜ao (1.4.2) ´e finita [12].

anterior um tanto tedioso, para n˜ao dizer imposs´ıvel. Portanto, e neste caso, vamos abandonar

o uso do m´etodo anterior e apresentar outro um tanto mais sofisticado do ponto de vista

opera-cional. Se tomarmos aquela figura1.4.3e a colocarmos numa rede quadrada onde cada quadrado possua uma aresta de comprimento δ, podemos mape´a-la em toda sua extens˜ao sem nos

pre-ocuparmos nem com sua fragmenta¸c˜ao e nem com sua complexidade estrutural. Em seguida,

contamos as caixas que possuam pelo menos um parte do objeto dentro dos limites do quadrado.

Como primeira aproxima¸c˜ao, podemos dizer que a medida M do comprimento desse objeto pode ser obtida atrav´es do produto do n´umero de caixas N(δ), que possua pelo menos uma parte do

objeto dentro de seus limites, pelo comprimento da aresta (δ) comum `as caixas, ou seja,

M =N(δ)δd, (1.4.3)

n˜ao podemos esperar que a dimens˜ao desse objeto seja inteira. No entanto, a equa¸c˜ao (1.4.3)

nos fornece uma boa instiga¸c˜ao na obten¸c˜ao de uma equa¸c˜ao an´aloga que sirva para expressar

a dimens˜ao fractal do objeto da figura 1.4.3 em termos de N(δ) e δ. Para formas geom´etricas

cl´assicas, observamos que para duas medidas de um mesmo volume V (na figura 1.4.3, V corres-ponde `a ´area dos quadrados), por´em, realizados em diferentes escalas, digamos δ e δ′_{, temos que}

N(δ)_∼δ−d_{. Portanto, esperamos que para um fractal}

N(δ)_∼δ−df_{, (1.4.4)}

onde df representa a dimens˜ao fractal da forma geom´etrica em quest˜ao. E, finalmente, podemos

tirar da equa¸c˜ao anterior que

df = lim δ→0−

logN(δ)

logδ (1.4.5)

Esse procedimento, onde obtemos a dimens˜ao fractal por meio da contagem de caixas

pos-suindo arestas de comprimentoδ, ´e conhecido na literatura comoM´etodo da Contagem de Caixas

(MCC). ´E importante enfatizar que a equa¸c˜ao (1.4.5) pode ser usada somente no caso especial

onde h´a ocorrˆencia de autoafinidade. Uma vers˜ao generalizada desse m´etodo, e que pode ser

aplicado em qualquer situa¸c˜ao, ´e desenvolvido em [13, 14]. Al´em do MMC apresentado aqui, h´a ainda outros m´etodos mais sofisticados na literatura que conduzem a uma estimativa da

Figura 1.4.3: Mapeamento de um curva usando o M´etodo da Contagem de Caixas. O

somat´orio dos quadros com tons mais intensos ´e representado porN(δ) na equa¸c˜ao (1.4.4).

1.5

Multifractais

Muitos dos fractais at´e agora apresentados possuem uma lei de escala um tanto quanto

sim-ples, admitindo a dimens˜ao fractal, tal como apresentada, como o ´unico parˆametro de real

im-portˆancia que torna poss´ıvel uma caracteriza¸c˜ao completa de um objeto geom´etrico. Por´em,

muitos fenˆomenos de interesse para os f´ısicos como fenˆomenos que envolve dinˆamica ca´otica,

turbulˆencia, crescimento de pol´ımeros, exige um ferramental relacionado aos fractais um pouco

mais sofisticado do que esse que at´e agora v´ınhamos descrevendo. Na verdade, fenˆomenos f´ısicos

podem admitir um grau de complexidade tal que a leis de escala que os descrevem tornam-se

igualmente complexas: isso significa que ´e necess´ario mais que a dimens˜ao fractal para descrever

suas propriedades de forma singular.

Para enfatizar essa necessidade, tomemos alguns exemplos da literatura. Muitos processos

f´ısicos e qu´ımicos como a ordena¸c˜ao por disposi¸c˜ao eletroqu´ımica [17, 18], morfologia de filmes finos [19], solidifica¸c˜ao dendr´ıtica(relativo a forma do neurˆonio) [20, 21] e dissolu¸c˜ao qu´ımica,

d˜ao origem a estruturas formadas por processos de agrega¸c˜ao de difus˜ao limitada (DLA11_{) [22,}

23]. A figura 1.5.1 mostra uma estrutura t´ıpica formada num processo DLA. Outra ´area de

interesse para os f´ısicos, ´e aquela onde permeiam os fenˆomenos de percola¸c˜ao [24], onde conceitos

Figura 1.5.1: Agregado aleat´orio de 3600 part´ıculas sobre uma rede quadrada[22].

associados aos fractais s˜ao amplamente utilizados. Em ambas teorias, DLA e percola¸c˜ao, obtemos

estruturas f´ısicas totalmente distintas, por´em, com a mesma dimensionalidade fractal [25]. Em

geral, essas estruturas necessitam de um conjunto hier´arquico de dimens˜oes fractais [26] para

serem caracterizadas.

Nesse momento, introduziremos um conceito geom´etrico que est´a um passo al´em dos fractais

at´e agora descrito e que fornece, em princ´ıpio como uma analogia, o ferramental necess´ario

para a obten¸c˜ao de uma boa aproxima¸c˜ao da descri¸c˜ao de fenˆomenos f´ısicos onde o conceito de

fractalidade ´e utilizado.

Em geral, e sem muito rigor matem´atico, quando um objeto geom´etrico admite diferentes leis

de escala correspondentes a diferentes regi˜oes de sua estrutura, chamamos esse objeto de

multi-fractal [27]. Inicialmente, a an´alise de uma estrutura fractal (levando em conta agora seu conceito

mais geral: a multifractalidade) pode ser realizada se dividimos a estrutura em pequenos peda¸cos

de tamanho l. Em geral, associa-se a cada parte da estrutura uma probabilidade pi relacionada

a uma lei de escala do tipo

onde α ´e um expoente de escala e q ´e um n´umero inteiro maior ou igual a zero. A lei

ex-pressa na equa¸c˜ao (1.5.1) ´e bastante comum na f´ısica: a magnetiza¸c˜ao em uma regi˜ao i e de tamanho l, ´e expressa por uma lei an´aloga [28], por exemplo . O expoente de escalaα´e cont´ınuo

na maioria das vezes e torna-se mais apropriado considerar a express˜ao

dα′ρ(α′)l−f(α′), (1.5.2)

que indica a quantidade de vezes que α admite um valor entre α′ e dα′ +α′. O produto dαρ(α)

revela que a fun¸c˜aoρ(α′_{) ´e uma esp´ecie de fun¸c˜ao densidade. Nesta mesma express˜ao,f(α}′_{) ´e um}

fun¸c˜ao cont´ınua. Essa fun¸c˜ao representa a dimens˜ao fractal generalizada e est´a relacionada `as

propriedades observadas numa medida. Para entender como esta rela¸c˜ao se manifesta, usaremos

o conjunto de dimens˜oes definido por [29]

Dq = lim l→0

1 q₋1

lnχ(q) lnl

. (1.5.3)

Quandoq= 0, Dq´e denominada dedimens˜ao fractal de suporte da medida, quandoq = 1,Dq

recebe o nome dedimens˜ao de informa¸c˜ao e, finalmente, paraq = 2,Dq ´e chamada de dimens˜ao

de correla¸c˜ao. A fun¸c˜ao χ(q) ´e somente a integral da equa¸c˜ao (1.5.2). Como l admite valores muito pequenos, contanto que ρ(α′_{) n˜ao seja nulo, a fun¸c˜ao χ(q) ´e dominada por valores de α}′

que tornam qα′_−f(α′_{) muito pequeno, isso significa que devemos tomar valores de α}′ _{tal que}

d dα′[qα

′

Para termos um m´ınimo, exigimos que

d2 (dα′₎2[qα

′

−f(α′)]α′_=α >0 (1.5.5)

Nas duas ´ultimas equa¸c˜oes, α ´e definido por condi¸c˜oes de extremo. Seguindo, ´e poss´ıvel

mostrar atrav´es da equa¸c˜ao (1.5.3) junto com os resultado posteriores a essa, que

Dq =

1

q₋1[α(q)−f(α)] (1.5.6)

Por fim, conhecendo f(α) e o espectro de valores α, podemos encontrar Dq. S˜ao os valores

de Dq que nos permitem caracterizar de maneira ´unica um determinado multifractal e,

conse-quentemente, relacionar esses valores `a dinˆamica de um sistema f´ısico. As figuras 1.5.2 e 1.5.3

apresentam o comportamento caracter´ıstico das fun¸c˜oes D(q) e f(α) para sistemas tipo Cantor em duas escalas distintas. Para um conjunto de cantor com uma escala (l = 1/3), obtemos que

Dq = ln2/ln3 [30] para qualquer q. Assim, para esse valor de escala, o ´unico parˆametro de

in-teresse ´e a dimens˜ao fractal ordin´aria. Os resultados apresentados pelas equa¸c˜oes (1.5.1)-(1.5.6)

D

D_¥ 0.8

0,6

0.4

0

-20 +20 +40

-40

q

D-¥

Figura 1.5.2: Dq em fun¸c˜ao de q para um conjunto de Cantor com duas escala l1 = 0.25 e

l2= 0.4 [30].

0.6 0.8

0.4

0.2

0

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

a

f(

a

)

Figura 1.5.3: f(α) em fun¸c˜ao de αpara um conjunto de Cantor com duas escalasl1= 0.25e

´

E sempre importante enfatizar que a geometria fractal com seu significado mais geral

estabe-lecido pelo neologismo multifractal, tratava-se puramente de um geometria que a princ´ıpio n˜ao

possu´ıa nenhum significado f´ısico ou remetia a isso.

Assim, ´e natural nos questionamos sobre como uma inter-rela¸c˜ao entre f´ısica e an´alise

mul-tifractal pode ser realizada. Obviamente, o formalismo fractal constitui um ferramental

te´orico-matem´atico ´util na descri¸c˜ao de fenˆomenos f´ısicos (n˜ao teria sentido dedicar um cap´ıtulo para

a apresenta¸c˜ao de tal geometria e, al´em disso, temos evidenciado v´arios exemplos a respeito de

sua aplicabilidade). Para fortalezar ainda mais a importˆancia dessa geometria, deixe-nos citar

alguns exemplos de ampla aplicabilidade na f´ısica. De uma forma um tanto did´atica, Stanley e

Meakin mostram como a termodinˆamica e fenˆomenos multifractais est˜ao relacionados atrav´es de

uma analogia realizada via fun¸c˜ao de parti¸c˜ao canˆonica [27]; nesse trabalho, os dois formalismo

se confundem do ponto de vista anal´ıtico, ou seja, numa primeira an´alise, ´e quase imposs´ıvel

destingir se estamos tratando de fractais ou de termodinˆamica. Na maioria das vezes, ´e nesse

sentido de analogia que observamos que a partir de uma an´alise multifractal ´e poss´ıvel obter

alguma informa¸c˜ao f´ısica de um determinado sistema f´ısico.

Outro exemplo que podemos apresentar e que mostra como ´e poss´ıvel estabelecer uma conex˜ao

entre f´ısica e multifractais, ´e obtido do estudo dos fenˆomenos cr´ıticos, onde, por exemplos, as

leis de escala que relacionam a magnetiza¸c˜ao em uma regi˜ao de interesse, exibem as mesmas

propriedades de escala que a equa¸c˜ao (1.5.1) [30].

Em 1988, Tsallis [31] introduziu em um artigo ”Uma poss´ıvel generaliza¸c˜ao da entropia de

Boltzmann-Gibbs (BG)”um nova forma para o funcional entr´opico. Esta nova entropia continha

a BG como um caso particular. A necessidade desse novo formalismo tinha como principal

escopo, abranger fenˆomenos f´ısicos que n˜ao podiam ser descritos pela BG. Com Tsallis, conceitos

como aditividade e extensividade foram revistos e redefinidos: normalmente, fenˆomenos fora

do equil´ıbrio, embora extensivos, n˜ao s˜ao aditivos do ponto de vista da BG. O fato principal

´e que esse formalismo possui sua inspira¸c˜ao, em algum n´ıvel de interpreta¸c˜ao, na fractalidade

associada `a estrutura f´ısica de um fenˆomeno. Tsallis possibilitou posteriormente com sua

q-estat´ıstica estabelecer uma descri¸c˜ao de uma gama de fenˆomenos f´ısicos [31] antes limitados

Cap´ıtulo

2

Formalismo de Kaniadakis

2.1

Introdu¸

c˜

ao

Na descri¸c˜ao dos fenˆomenos f´ısicos que contem muitas componentes, ´e comum fazˆe-la

utilizando as bases da Mecˆanica Estat´ıstica de Boltzmann-Maxwell-Gibbs (BG) [32], se o sistema

em considera¸c˜ao for cl´assico, ou pelas Estat´ısticas de Fermi-Dirac [33, 34] ou Bose-Eisntein [35, 36], se o sistema for quˆantico. A primeira dessas teorias, a BG, oferece uma perfeita conex˜ao entre

o comportamento microsc´opico de um sistema f´ısico e seus parˆametros macrosc´opicos atrav´es da

celebrada rela¸c˜ao da entropia S =₋kBln(W), proposta por Boltzmann em 1872. Por´em, como

toda constru¸c˜ao humana, a mecˆanica estat´ıstica de BG n˜ao ´e universal: muitos fenˆomenos f´ısicos

apresentam pequenos, e mesmo grandes desvios, quanto as predi¸c˜oes feitas atrav´es da BG1_{. Um}

exemplo simples que podemos tomar para evidenciar isso, ´e aquele associado ao fluxo de calor ao

longo de uma barra de cobre, onde as suas extremidades encontra-se em temperaturas distintas

e, mais complicado, nos estudo das turbulˆencias num flu´ıdo. Isso se deve, em alguma instˆancia,

ao fato de a BG ter seu ˆambito de aplicabilidade reduzido a uma classe de fenˆomenos particulares

que encontram-se no chamado Equil´ıbrio Termodinˆamico.

Na dire¸c˜ao contr´aria, ou talvez mais abrangente, temos os fenˆomenos den˜ao-equil´ıbrio. Estes

possuem uma complexidade descritiva maior, por´em, s˜ao na mesma medida de sua

complexi-dade, de maior interesse devido em geral tratarem de sistemas mais real´ısticos (como sistemas

clim´aticos, biol´ogicos e sociais). Como tais sistemas n˜ao podem ser tratados pela tradicional

1_{Uma evidˆencia disso se encontra, obviamente, na pr´opria existˆencia dos formalismos de Bose-Einstein e}

Fermi-Dirac

BG, partimos na busca de outro formalismo que, de algum modo, permita uma descri¸c˜ao mais

apropriada para tais sistemas de n˜ao-equil´ıbrio. Percorrendo a literatura, encontramos propostas

como a de Tsallis - voltada para uma ´area conhecida hoje como Estat´ıstica N˜ao-Extensiva. Em

1988, Tsallis [31] apresentou uma proposta estat´ıstica que tinha como um dos pontos principais

a defini¸c˜ao de uma nova forma para a entropia. Al´em disso, e sustentado por essa nova entropia,

Tsallis nos leva a refletir a respeito de conceitos tradicionais como a extensividade e aditividade

entr´opica: nesse formalismo, a regra de adi¸c˜ao da entropia de dois subsistemas, ´e modifica por

uma soma mais geral, de modo que, poder´ıamos ter dois sistemas onde as entropias relativas s˜ao

n˜ao-aditivas no senso da BG.2 _{Todavia, aq-entropia}3 _{constitui uma generaliza¸c˜ao da BG, ou seja,}

para alguma condi¸c˜ao espec´ıfica a q-estat´ıstica retoma a BG.

A proposta estat´ıstica de Tsallis que traz em suas bases uma entropia modificada, faz parte

do grupo dos formalismos alternativos a BG que foram criados para descrever fenˆomenos f´ısicos

de interesse particular. Dentro desse grupo, podemos encontrar a estat´ıstica de Druyvesteyn

[37,38] usada para descrever o mecanismo das descargas el´etricas em gases a baixa press˜ao; e que contem a distribui¸c˜ao de Maxwell-Boltzmann como caso particular. Temos tamb´em a estat´ıstica

de Abe [39], que atrav´es da modifica¸c˜ao da entropia de Shannon e incorporando ideias de estudos

de grupos quˆanticos, exibe uma entropia que ´e invariante sobre a mudan¸ca do parˆametro qusado

por Tsallis. Por fim, temos ainda as estat´ısticas e/ou entropias de Renyi [40], Sharma-Mittal

[41], Landsberg-Vedral [42], entre outros.

Mediante a essa gama de formalismos, Kaniadakis propˆos, em 2001, as seguintes quest˜oes:

(i) ´e poss´ıvel tratar todos esses formalismos anteriormente mencionados sobre as bases de um

formalismo mais universal; (ii) ´e poss´ıvel obter a distribui¸c˜ao estacion´aria de sistemas n˜ao-lineares

no contexto desse novo formalismo; (iii) como a distribui¸c˜ao estacion´aria, se existir, dependeria

da maneira particular de cada formalismo acima mencionado; por ´ultimo, (iv) existe algum

mecanismo, lei, princ´ıpio por tr´as da descri¸c˜ao temporal desse formalismo mais unificado? Claro,

as respostas a essas quest˜oes ´e tratada pelo pr´oprio Kaniadakis que postula a existˆencia de um

princ´ıpio que governa as intera¸c˜oes dinˆamicas e que imp˜oe uma forma para a entropia que ´e

independente do formalismo particular usado para tratar um sistema f´ısico [43].

2_{Quando somamos as entropias de dois sistemas isolados, a entropia do sistema composto ´e, de acordo com a}

BG, a soma das entropias dos dois sistemas inicialmente disjunto. Quando usamos a entropia definida por Tsallis,

isso n˜ao ´e necessariamente verdade.

´

E seguindo essas quest˜oes levantadas por Kaniadakis que nos ocuparemos neste cap´ıtulo em

estabelecer as ideias necess´arias para apresentar o que podemos denominar de Formalismo de

Kaniadakis.

Assim, organizamos este cap´ıtulo como se segue. Na se¸c˜ao 2.2, descrevemos o problema

cin´etico relacionado a um sistema de part´ıculas que est˜ao sujeitas a um potencial externo e

que interagem entre si atrav´es de colis˜oes bin´arias. Na se¸c˜ao 2.3, apresentamos o Princ´ıpio de

Intera¸c˜ao Cin´etico (KIP)4 _{que, segundo Kaniadakis, governa a dinˆamica dos sistemas f´ısicos e}

que, acima de tudo, unifica os formalismos estat´ısticos existentes. Posteriormente, na se¸c˜ao 2.4,

usamos o KIP junto com o procedimento de Kramer-Moyal para encontramos uma express˜ao

generalizada para a entropia de um sistema f´ısico e, em seguida, na se¸c˜ao 2.5, expomos as bases

alg´ebricas que permitem construir um conjunto de fun¸c˜oes de distribui¸c˜ao associadas `a entropia

mencionada anteriormente. Seguimos com algumas conclus˜oes sobre os assuntos discutidos no

presente cap´ıtulo na se¸c˜ao 2.6.

2.2

Descri¸

c˜

ao do Problema Cin´

etico

Descreveremos e analisaremos a seguir dois sistemas f´ısicos5 _{particulares que nos auxiliar˜ao}

na dire¸c˜ao do entendimento de um princ´ıpio geral que, segundo Kaniadakis, unifica uma classe de

outros formalismos j´a existentes na literatura e, al´em disso, pode ser utilizado para propor outros

novos. Comecemos ent˜ao a descrever tais sistemas. Primeiramente, partiremos de um sistema

f´ısico composto de N part´ıculas que se encontram confinadas num volumeV em total isolamento

t´ermico e mecˆanico e que est˜ao submetidas a um temperatura T muito alta e a uma densidadeρ muito baixa. Sob tais condi¸c˜oes, podemos fazer duas assertivas: primeira, podemos dizer que a

fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao referente a essas part´ıculas satisfaz a equa¸c˜ao de Liouville para uma fun¸c˜ao

de distribui¸c˜ao f de uma part´ıcula; segunda, a intera¸c˜ao entre part´ıculas ocorre unicamente por

colis˜oes bin´aria. Essa ´ultima implica, portanto, que a probabilidade de ocorrer qualquer outro

tipo de colis˜ao conjunta, se existir, ´e t˜ao pequena que pode ser considerada desprez´ıvel. Usando

essas duas afirmativas, temos que se duas part´ıculas do sistema interagem mediante uma colis˜ao

4_{Do inglˆes, Kinetical Interaction Principle.}

5_{Nossas considera¸c˜oes ser˜ao tomadas dentro das possibilidades que a Mecˆanica Cl´assica permitir, ou seja,}

estamos nos referindo a sistemas f´ısicos cujo estado de seus componentes (mol´eculas por exemplo) possuem um

bin´arias, aquela que se encontra no s´ıtior1(x1,v1, t), cuja fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao ´e designada por f1(r1), passar´a, depois de colidir com a part´ıcula 2, a ocupar o s´ıtio r′₁(x′₁,v′₁, t+dt), onde a densidade de part´ıculas muda para f₁′(r′₁). De maneira similar, a part´ıcula 2 que se encontra no s´ıtio r2(x2,v2, t), onde a fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao associada ´e f2(r2), ap´os colidir com a part´ıcula 1, ocupar´a o s´ıtio r′₂(x′₂,v₂′, t+dt), cuja fun¸c˜ao densidade ´ef₂′(r′₂).

G. Kaniadakis [43] postula que a probabilidade π de que essas duas part´ıculas, inicialmente nos s´ıtios r1 e r2, sofram uma transi¸c˜ao, devida a colis˜ao, de maneira a ocupar depois da colis˜ao os s´ıtios r′₁ e r′₂ respectivamente, ´e expressa por

π(t,r1 →r

′

1,r2 →r

′

2) .

=T(t,r1,r′₁,r2,r′₂)γ(f1, f₁′)γ(f2, f₂′). (2.2.1)

O fatorT em (2.2.1) depende somente da natureza da intera¸c˜ao6_{, sendo proporcional `a sec¸c˜ao} de choque. Ele ´e denominado deTaxa de Transi¸c˜ao e n˜ao depende da densidade de part´ıculas dos

s´ıtios iniciais e finais. A fun¸c˜ao γ que aparece na defini¸c˜ao (2.2.1) ´e um tanto arbitr´aria, sendo vinculada a certa condi¸c˜oes especiais. Ela depende das densidades iniciais e finais das part´ıculas

nos s´ıtios 1 e 2. Como estamos considerando apenas colis˜oes bin´arias, γ ´e identicamente nula se a densidade de part´ıculas no s´ıtio inicial for f = 0. Isso ´e compreens´ıvel, pois se n˜ao existem

part´ıculas no s´ıtio 1, a probabilidade de haver uma colis˜ao e, consequentemente transi¸c˜ao, com

uma outra part´ıcula do s´ıtio 2, ´e zero. No entanto, se f′ _{= 0, π depende somente do s´ıtio inicial,}

sendo diferente de zero j´a que γ(f,0)₆= 0.

O segundo sistema a ser descrito, ´e aquele relativo a um sistema f´ısicoS em contato com um

reservat´orio de calor R. Nesse caso, o nosso sistema S ´e apenas uma componente do reservat´orio

de calor e podemos nos referir a ele apenas como uma part´ıcula teste. Portanto, e mediante

uma colis˜ao, a part´ıcula teste (o sistema S) transita do s´ıtio r1 para r

′

1, enquanto a part´ıcula do reservat´orio transita de r₂ para o s´ıtio r′₂.

Agora, a taxa de transi¸c˜ao associada ao trˆansito da part´ıcula teste entre o s´ıtio inicial e final,

´e definida como

W(r1,r′₁, t)=.

Z

d6r1d6r2T(r1,r′₁,r2,r

′

2, t)˜γ(f1, f

′

1). (2.2.2)

Usando esse resultado, temos que a probabilidade da part´ıcula 1 passar do s´ıtior₁ para o s´ıtio r′₁ ´e, ent˜ao,

π(t,r1 →r

′

1)∼W γ(f1, f

′

1). (2.2.3)

Na equa¸c˜ao (2.2.2), o fatoreγest´a relacionado `a natureza do reservat´orio R e depende somente da natureza da intera¸c˜ao entre a part´ıcula teste 1 e part´ıcula 2, esta pertencente ao reservat´orio.

Podemos ver das equa¸c˜oes (2.2.1) e (2.2.3), que a probabilidade de transi¸c˜ao associado a

part´ıcula 1 e 2, depende de um fun¸c˜ao arbitr´aria γ. O Princ´ıpio de Intera¸c˜ao Cin´etico (KIP) diz

respeito aos postulados relacionados a fun¸c˜ao γ. Como veremos, ele ser´a ´util para descrever as distribui¸c˜oes existentes e permitir´a sugerir novas distribui¸c˜oes.

2.3

Princ´ıpio de Intera¸

c˜

ao Cin´

etico - KIP

Nas defini¸c˜oes (2.2.1) e (2.2.3), Kaniadakis introduziu a fun¸c˜ao γ. Por defini¸c˜ao, essa fun¸c˜ao

satisfaz a seguinte rela¸c˜ao

γ(f, f′) γ(f′

, f) = κ(f) κ(f′

onde κ(f) ´e uma fun¸c˜ao real e positiva da fun¸c˜ao de distribi¸c˜ao f. A condi¸c˜ao (2.3.1) im-plica, como pode ser percebido, que a fun¸c˜ao γ(f, f′)/κ(f) ´e sim´etrica em rela¸c˜ao af. A solu¸c˜ao

mais geral para a fun¸c˜ao γ(f, f′), obedecendo a rela¸c˜ao (2.3.1), ´e

γ(f, f′) =a(f)b(f′)c(f, f′), (2.3.2)

onde as fun¸c˜oes arbitr´ariasa(f) eb(f) est˜ao relacionadas atrav´es deκ(f) = a(f)/b(f) ec(f, f′) = c(f′, f). Apesar de ser arbitr´aria, a fun¸c˜ao a(f) possui a restri¸c˜ao de que quando f = 0, ela ´e

tamb´em igual a zero, ou seja, a(f = 0) = 0. Isso ocorre, como j´a foi indicado anteriormente, devido ao fato de que se o s´ıtio inicial est´a vazio, a probabilidade da part´ıcula 1 transitar ´e zero.

Da mesma forma, quando f′ = 0, a probabilidade dessa mesma part´ıcula transitar n˜ao deve depender do s´ıtio final e, assim, a fun¸c˜ao b(f′ = 0) = 1. O ´ultimo fator em (2.3.2), c(f, f′), al´em

de depender das fun¸c˜oes de distribui¸c˜oes no s´ıtio inicial e final, ele afeta a transi¸c˜ao de maneira

sim´etrica.

A fun¸c˜aoγ(f, f′_{) introduzida na equa¸c˜ao (2.2.1), define uma forma de intera¸c˜ao especial que}

envolve, juntas e/ou separadamente, as part´ıculas nos dois s´ıtios iniciais e finais. Essa afirma¸c˜ao

pode ser entendida usando a seguinte analogia: no estudo estat´ıstico de um sistema de f´ermions,

a forma da fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao est´a associada ao Princ´ıpio de Exclus˜ao de Pauli. Quando

levamos em considera¸c˜ao esse princ´ıpio, a forma da fun¸c˜ao γ(f, f′_{) deve assumir o aspecto}

γ(f, f′) =f(1₋f′). (2.3.3)

Da mesma forma que na dinˆamica dos f´ermions, outras formas para γ(f, f′_{) podem ser}

Exclus˜ao-Inclus˜ao [45]. Segundo Kaniadakis [43], `a forma da fun¸c˜ao γ(f, f′_{) expressa em (2.3.2), est´a}

associado um princ´ıpio (seja ela de inclus˜ao, inclus˜ao-exclus˜ao,...) mais geral que ´e chamado de

Princ´ıpio de Intera¸c˜ao Cin´etico (KIP7_{). A natureza f´ısica desse princ´ıpio ainda n˜ao foi descrita de}

maneira adequada na literatura, mas nos conduz a uma reflex˜ao na dire¸c˜ao de um princ´ıpio f´ısico

mais geral, que leva em conta os j´a mencionados. Assim, e j´a que n˜ao conhecemos a natureza f´ısica

da KIP (apenas, ´e sugerida que existe), a fun¸c˜ao γ(f, f′_{) ´e apenas uma constru¸c˜ao matem´atica}

que nos permite recorrer, atrav´es de uma escolha particular, as estat´ısticas e princ´ıpios (como

a da exclus˜ao de Pauli) existentes, mas que pode desempenhar um papel muito importante na

descri¸c˜ao de fenˆomenos f´ısico n˜ao descritos devido as limita¸c˜oes das j´a existentes teorias.

2.4

Entropia

κ

-generalizada

Nesse momento, e com a ajuda do KIP, desenvolveremos a equa¸c˜ao (2.2.3) na tentativa de

es-tabelecer rela¸c˜oes com as grandezas termodinˆamicas. Particularmente, descreveremos aqui como

proceder para expressarmos a entropia e a energia de um sistema f´ısico contendo N part´ıculas f´ısicas idˆenticas sujeitas a colis˜oes bin´arias. Para tais fins, aplicaremos a expans˜ao de

Kramer-Moyal (um caso particular da equa¸c˜ao de Fokker-Plack) e, posteriormente, faremos uma

aproxi-ma¸c˜ao de primeira ordem da equa¸c˜ao (2.2.3). Consideraremos aqui que as part´ıculas de nosso

sistema est˜ao em contato t´ermico com um reservat´orioRe sujeitas a um potencial externoV que depende somente da posi¸c˜ao. Nesse caso, a equa¸c˜ao que descreve a evolu¸c˜ao temporal da fun¸c˜ao

de distribui¸c˜ao f =f(x,p, t) ´e dada por

df dt =

Z

[π(t,x,p′ _→p)₋π(t,x,p _→p′)]d3p′, (2.4.1)

onde a probabilidade de transi¸c˜ao π ´e, de acordo como o KIP, dada por

π(t,x,v _→v′) = W(t,x,v,v′)γ(f, f′). (2.4.2)

Escrevendo a taxa de transi¸c˜ao comoW(t,x,v,v′) =w(x,v,v′₋v), onde v′₋v representa

a mudan¸ca na velocidade durante a transi¸c˜ao, podemos escrever a equa¸c˜ao (2.4.1) como

df dt =

Z

w(v +y,y)γ[f(v +y), f(v)]d3y₋

Z

w(v,y)γ[f(v), f(v-y)]d3y. (2.4.3)

Por motivos de simplicidade, a dependˆencia da fun¸c˜aow e f em t e x ´e ocultada em (2.4.3).

Al´em disso, efetuou-se a seguinte mudan¸ca de vari´avel y = v′ ₋v. Agora, procedendo-se com

uma expans˜ao em s´erie de Taylor do integrando da primeira integral em (2.4.3), temos

w(v +y,y)γ[f(v +y), f(v)] =

∞ X

m=0 1 m!

∂m_{{w(u,y)γ[f(u, f(v))]}}

∂uα1...∂uαm

u=v

yα1...yαm. (2.4.4)

Fazendo isso com o integrando da segunda integral, temos tamb´em

γ[f(v), f(v ₋y)] =

∞ X

m=0

(₋1)m

m!

∂m_{γ[f(v), f(u)]}

∂uα1...∂uαm

u=v

yα1...yαm (2.4.5)

Tanto em (2.4.4) quanto em (2.4.5),u=v+y. O momento de m-´esima ordemξα1...αm(x,v, t),

ξα1...αm(x,v, t) =

1 m!

Z

yα1...yαmw(x,v,y, t)d

3_{y. (2.4.6)}

´

E importante mencionar que a fun¸c˜ao w(v,y) decresce muito lentamente com y. Desta

maneira, considera-se somente as transi¸c˜oes nas quais v_±y _≈v. Em (2.4.4) e (2.4.5),

consider-amos que os ´unicos termos que afetam a evolu¸c˜ao temporal da fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao em (2.4.3),

s˜ao aqueles relacionados ao primeiro e segundo termo. Desde modo, a equa¸c˜ao (2.4.3) torna-se

df dt =

∂_{ξi(u)γ[f(u), f(v)]}

∂ui

+ξi(v)

∂γ[f(v), f(u)] ∂ui

u=v

+

+

∂2_{ξ

ij(u)γ[f(u), f(v)]}

∂ui∂uj −

ξij(v)

∂2_{γ[f(v), f(u)]} ∂ui∂uj

u=v

, (2.4.7)

com ξi e ξij sendo os coeficientes de dispers˜ao e difus˜ao, respectivamente. Eles s˜ao definido,

como exposto anteriormente, pela equa¸c˜ao (2.4.6). Atrav´es da manipula¸c˜ao da equa¸c˜ao (2.4.7),

podemos simplific´a-la na seguinte forma

df dt =

∂ ∂vi

ξi+

∂ξij

∂vj

γ(f) +ξijγ(f)λ(f)

∂f ∂vj

, (2.4.8)

onde λ = n_∂f∂ hlnγ(f,f

′

)

γ(f′,f)

io

f′=f. Usando a equa¸c˜ao (2.3.1), que ´e a equa¸c˜ao que expressa o

KIP, temos que λ toma a forma

λ(f) = ∂

Assim, a equa¸c˜ao (2.4.8) torna-se df dt = ∂ ∂vi

ξi+

∂ξij

∂vj

γ(f) +γ(f) ∂

∂f [lnκ(f)]ξij ∂f ∂vj

, (2.4.10)

onde foi levado em conta que o espa¸co de velocidades ´e isotr´opico8 _{e que ξ}

i = Ji, ξij = Dδij,

onde J ´e o vetor de dispers˜ao e D o coeficiente de difus˜ao. Atrav´es da introdu¸c˜ao da fun¸c˜ao U, definida como9

β_∇vU =

1

D(J+∇vD), (2.4.11)

onde β ´e uma constante, e considerando que a fun¸c˜ao U depende somente da velocidade e que o potencial V depende somente da posi¸c˜ao x, reescevemos a equa¸c˜ao (2.4.10) como

df(x,v, t)

dt =∇v· {D(v)γ(f)∇vβ[V(x) +U(v)−µ] + ln[κ(f)]}, (2.4.12)

ondeµtamb´em ´e um constante. A equa¸c˜ao (2.4.12) representa a evolu¸c˜ao do sistema de part´ıculas no formalismo de Kramers e descreve sua dinˆamica de maneira n˜ao-linear. Outra maneira de

ex-pressar essa ´ultima, ´e escrevendo-a na forma

df

dt +∇v·

Dγ(f)_∇v

δK

δf

= 0, (2.4.13)

8_{Se as componentes do vetorv s˜ao independentes umas das outras, elas s˜ao ditas isotr´opicas.}

9_{O operador∇}

v deve ser interpretado como ∂∂v_xxˆ+

∂ ∂v_yyˆ+

onde δK

δf representa uma derivada funcional de K em rela¸c˜ao a f. Este funcional K ´e definido

atrav´es da express˜ao

K₌₋

Z

R

dnx dnv

Z

df ln

κ(f) κ(fs)

, (2.4.14)

onde fs ´e uma distribui¸c˜ao estacion´aria, sendo dada atrav´es de lnκ(fs) = β[V(x) +U(v)−µ].

Segue da equa¸c˜ao (2.4.14), que o funcional K_{´e uma esp´ecie de entropia que resulta da soma de}

dois termos, a saber, a entropia S do sistema, obtida atrav´es de

S=₋

Z

R

dnx dvn

Z

df ln[κ(f)] (2.4.15)

e, Sc = −β(E − µN), onde N ´e o n´umero de componentes do sistema e E, que ´e expresso

por

E =₋

Z

R

dn[V(x) +U(v)], (2.4.16)

´e a energia do sistema.

Da equa¸c˜ao (2.4.14), podemos tirar ainda que o funcional K _{cresce com o tempo. Para ver}

isso, vamos analisar a referida equa¸c˜ao. Se tomarmos σ(f) = ₋R dfln[κ(f)], podemos escrever

K_(t)−K_{(∞) =}

Z

R

dnx dvn[σ(f)₋σ(fs) + (f −fs)ln[κ(fs)]]

≈ Z

R

dnx dvn

1 2

d2_σ(f

s)

df2

s

(f₋fs)2

(2.4.17)

Assumindo que d2σ(fs)

df2

s ≤ 0, temos que a fun¸c˜ao κ(f) deve satisfazer a condi¸c˜ao de que sua

primeira derivada em f deve ser maior ou igual a zero e, consequentemente, K_{(t) ≤}K_{(∞). Isso}

significa que K _{assume seu valor m´aximo em t → ∞. O fato de} dK

dt ≥ 0 ou K(t) ≤ K(∞),

s˜ao suficientes para mostrar que K _{´e um funcional de Lyapunov, mostrando que o “Teorema}

H”´e verificado! Essa afirma¸c˜ao constitui um enuciado de irreversibilidade, ou seja, o funcional

2.5

Fun¸

c˜

ao geradora e

κ

-´

algebra

Depois da apresenta¸c˜ao do KIP e de sua posterior aplica¸c˜ao a um sistema particular, vamos

agora apresentar uma nova estrutura alg´ebrica e posteriores desenvolvimentos que nos

permi-tir˜ao propor uma forma anal´ıtica para a fun¸c˜ao κ(f). Vamos, ent˜ao, introduzir as propriedades relacionadas a uma certa fun¸c˜ao, denominada por Kaniadakis [43] como fun¸c˜ao geradora da

de-forma¸c˜ao κ10 _{e que, usualmente, ´e representada como g}

κ(x). Esta fun¸c˜ao deformadora gκ(x)

´e, a princ´ıpio, uma fun¸c˜ao real e arbitr´aria de seu argumento, por´em, deve possui as seguintes

propriedades:

(i)gκ(x)∈R;

(ii) gκ(−x) =−gκ(x);

(iii) d

dx[gκ(x)]>0;

(iv)gκ(±∞) = ±∞

(v)g(x)_≈x quando x_→0.

Atrav´es da fun¸c˜ao geradora, pode-se construir uma outra fun¸c˜ao real x{κ} que depende tanto

da vari´avel x quanto de um parˆametro κ, denominado de parˆametro deformador.

Arbitraria-mente, define-se a fun¸c˜ao x{κ} como

x{κ} =.

1 κsinh

−1_[g

κ(κx)] (2.5.1)