Infinitos números de Carmichael

UNIVERSIDADEFEDERAL DEMINASGERAIS INSTITUTO DE CIÊNCIASEXATAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

S

R

ORIENTADOR:

FABIO

ENRIQUE

BROCHERO

MARTINEZ

I

NFINITOS NÚMEROS DE

C

ARMICHAEL

APOIO: CAPES BELOHORIZONTE - MG

UNIVERSIDADEFEDERAL DEMINASGERAIS INSTITUTO DE CIÊNCIASEXATAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

S

R

INFINITOS NÚMEROS DE

CARMICHAEL

Dissertação de mestrado apresentada como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre pelo Departamento de Matemática do Instituto de Ciências Exatas da Universi-dade Federal de Minas Gerais.

Orientador: Fabio E. Brochero Martinez.

Agradecimentos

• Agradeço primeiramente a Deus.

• Aos meus pais, Antonio e Rovia, pelo oportunidade que me deram de vir estudar em Belo Horizonte, por sempre me incentivar e ensinar o que era melhor para mim. • Ao meu irmão e à minha cunhada, Sabir e Tiene, pelo incentivo que sempre me deram. • À minha namorada, Karine, pela força, companheirismo e compreensão.

• À minha tia Lili, por todos os ensinamentos e por me fazer gostar de Matemática. • Ao meu avô, Vicente, aos meus tios, primos e demais membros familiares.

• Ao meu orientador, Fabio, por todos os ensinamentos, pela paciência e pela enorme boa vontade. Está sendo muito proveitoso trabalhar contigo.

• À toda equipe do PICME pela oportunidade. Em especial, à Sylvie, Mário Jorge e Remy, pela força e pelas dicas.

• Aos demais professores e funcionários do Departamento de Matemática.

• Aos meus amigos de Ouro Preto, Mariana e Belo Horizonte: Flávia, Michele, Marcus, Vitor, Lucas Assis, Saulo, Tulio, Luana, Vladimir, Alice, Daniel, Paim, Remer, Natália, Dani, Jéssica, Vinícius, Luis Felipe, Danilo, Carol, Pedros (Daldegan e Franklin), Li-lian, Letícia, Pablo, Luccas, a todos os outros moradores e ex-moradores da minha república, entre outros.

Resumo

O objetivo desse trabalho é mostrar que existem infinitos números de Carmichael. Com isso, os números de Carmichael são de certa forma os piores números para se testar a pri-malidade utilizando o Pequeno Teorema de Fermat. Assim, o Pequeno Teorema de Fermat pode ser (e é) usado como um bom teste de não primalidade, mas nunca pode ser usado como um teste de primalidade. Nossa principal referência foi o artigo There are infinitely many Carmichael numbers([1], de W. R. Alford, A. Granville e C. Pomerance) e para cumprir nosso objetivo foram estudados diversos tópicos em várias áreas da Matemática, como as estimativas assintóticas de Mertens, teoria de grupos e caráteres, a função de Carmichael, a constante de Davenport, a desigualdade de Brun-Titchmarsh (que nos levou a estudar a teo-ria de Fourier e o grande crivo), o Teorema dos Números Primos em Progressão Aritmética em hipóteses mais gerais e algumas estimativas acerca dos zeros dasL-séries de Dirichlet.

Abstract

The goal of this work is to show that there are infinitely many Carmichael numbers. Hence, the Carmichael numbers are in some way the worst numbers for testing primality using Fermat’s Little Theorem. Thus, Fermat’s Little Theorem can be (and is) used as a good test of non-primality, but it never can be used as a primality test. Our main reference was the paperThere are infinitely many Carmichael numbers([1], W. R. Alford, A. Granville and C. Pomerance) and to fulfill our goal we studied many topics in various areas of Mathematics, such as Mertens’ asymptotic estimates, group theory and characters, Carmichael’s function, Davenport’s constant, Brun-Titchmarsh inequality (which led us to study the Fourier’s the-ory and the large sieve), Prime Number Theorem in Arithmetic Progression in more general hypotheses and some estimates about the zeros of DirichletL-series.

Sumário

Introdução ix

1 As estimativas assintóticas de Mertens 1

1.1 A 1a_{fórmula de Mertens . . . . 1}

1.2 A 2a_{fórmula de Mertens . . . . 4}

1.3 A constante de Euler-Mascheroni e a 3a_{fórmula de Mertens . . . . 5}

2 Resultados algébricos 9 2.1 Caráteres . . . 9

2.2 A função de Carmichael . . . 12

2.3 Subsequências com produto 1 . . . 13

3 O Grande Crivo e a desigualdade de Brun-Titchmarsh 17 3.1 O Grande Crivo . . . 17

3.2 A desigualdade de Brun-Titchmarsh . . . 25

4 Infinitos números de Carmichael 29 4.1 Grandes números, pequenos fatores primos . . . 29

4.2 Relacionando pequenos fatores primos com primos em P.A. . . 32

4.3 A cota inferior para a quantidade de números de Carmichael . . . 35

4.4 Transferindo o trabalho para os zeros dasL-séries . . . 38

A A teoria de Fourier 45 A.1 Uma integral . . . 45

A.2 A transformada de Fourier . . . 46

A.3 O somatório de Poisson . . . 51

B Riemann, Dirichlet e os teoremas dos números primos 53 B.1 A funçãoζ de Riemann . . . 53

B.2 O Teorema dos Números Primos . . . 55

B.3 AsL-séries de Dirichlet . . . 56

B.4 O Teorema dos Números Primos em Progressão Aritmética . . . 58

C Sobre os zeros dasL-séries 61 C.1 Uma cota para os zeros . . . 61

Referências Bibliográficas 65

Introdução

No final do século XX, a necessidade de determinar se um númeron _∈ Né primo de forma

computacionalmente eficiente se tornou um problema prático fundamental. Tal necessidade surgiu a partir da invenção dos sistemas criptográficos assimétricos baseados no fato de que não é conhecido no momento nenhum algoritmo eficiente e genérico para fatorar números que tenham apenas fatores primos grandes.

O sistema criptográfico desse tipo mais conhecido e usado é o RSA, que é um sistema inventado pelos professores Ronald Rivest, Adi Shamir e Leonar Adleman, do MIT. Esse método consiste em uma chave pública(n, a)e uma chave privada(p, q, b), onden=pqcom peqprimos gigantes,aé um inteiro tal que1< a < nescolhido de forma a ser relativamente

primo com ϕ(n) = (p₋1)(q ₋1) (onde ϕ é a função de Euler) e b _≡ a−1 _{(mod ϕ(n)). É}

claro que se conhecemos algum dos três números da chave privada então os outros dois são facilmente calculáveis computacionalmente, isto é, tal cálculo é de complexidade polinomial com respeito ao tamanho da entrada.

Dada uma mensagem M com1 < M < n, a mensagem criptografada será um número

C tal que1 < C < neC _≡ Ma _{(mod n). Para decodificar a mensagem basta observar que} existek1tal que:

Cb _≡Mab _≡Mk1ϕ(n)+1 _{≡M (mod n),}

onde a igualdade anterior é verdadeira para quase todo valor deM. De fato, ela pode ser

falsa no caso quemdc(M, n)₆= 1, mas isso acontece com probabilidade 1_p+1_q−pq1. Porém, no caso em quemdc(M, n)>1ainda podemos decodificar a mensagem. Sobraram os seguintes casos: mdc(M, n) = p, q oun. O último implica quen divide M, o que é um absurdo pois

1 < M < n. Os outros dois são completamente análogos entre si, de forma que podemos

supor sem perda de generalidade quep divide M emdc(M, q) = 1. Sabemos queb _≡ a−1

(mod ϕ(n))eC _≡ Ma _{(mod n)implicamb ≡ a}−1 _{(mod q−1)eC ≡ M}a _{(mod q),} respecti-vamente. Logo, existek2tal que:

Cb _≡Mab _≡Mk2(q−1)+1_{≡M (mod q),}

assim o Teorema Chinês dos Restos nos diz queM é o único inteiro tal que:

        

M _≡0 (mod p)

M _≡Cb _{(mod q)} 1< M < n

.

Observemos que o método tradicional para determinar se um númeroné primo consiste

em dividirnpor todos os primos menores ou iguais a√n. Este método também nos permite

determinar seus fatores primos menores ou iguais a √n, mas tal método é

computacional-mente ruim. De fato, sen tem k algarismos binários, então o tamanho da entrada é k, isto

é,n =O(2k_{). Por esse método realizaríamosO(}√_{n) =O(2}k/2_{)divisões, ou seja, o algoritmo}

tem tempo exponencial com respeito ao tamanho da entrada.

Podemos usar vários teoremas de Teoria dos Números para testar a não primalidade de um número inteiro positivo grande. Atualmente, a melhor ideia é a de usar o Pequeno Teorema de Fermat.

Teorema 0.0.1(Pequeno Teorema de Fermat). Para todopprimo ea_∈Z_temosap _{≡a (mod p).} Esse mesmo teorema pode ser reescrito da seguinte forma:

Teorema 0.0.2. Seja num inteiro positivo. Se existea inteiro tal que nnão divide an_−aentãon

não é primo.

Esta segunda versão do teorema de Fermat apresenta um método para mostrar que um dadonnão é primo. O númeroaé ditotestemunhada não primalidade den.

Exemplo 0.0.1. O númeron = 227

+ 1não é primo, pois:

3n _{≡14253499250832430415487322527807807556169766≡3 (mod n),}

assim3é uma testemunha da não primalidade den.

Ressaltamos que para calcular a potência anterior módulonnão precisamos multiplicar a_×a_{× · · · ×}a,nvezes (o que dariaO(n)operações). Existe um algoritmo linear com respeito ao tamanho da entrada, isto é, fixando 1 < a < n, para o cálculo de an _{(mod n)} pode-mos fazer no máximo4 log₂noperações. No exemplo anterior, a quantidade de operações é

menor que1000. De fato, começando do1, podemos multiplicar pora, elevar ao quadrado,

(possivelmente) tomar o resto da divisão por n, (possivelmente) multiplicar por a e

nova-mente tomar o resto da divisão porn. Dessa forma, o número de operações é no máximo4 vezes o número de dígitos binários den.

Definição 0.0.1. Dizemos quencomposto é um pseudoprimo na basea >1sean−1 _{≡1 (mod n).} Exemplo 0.0.2. O menor pseudoprimo na base 2 é 341 = 11 _× 31. De fato, temos 210 _{≡ 1}

(mod 11) =_⇒2340 _{≡1 (mod 11)e2}5 _{≡1 (mod 31) =⇒2}340 _{≡1 (mod 31). Comomdc(11,31) =}

1segue que2340 _{≡1 (mod 341).}

Fixado a > 1, existem infinitos pseudoprimos na base a. De fato, não é difícil mostrar

que sepé primo ímpar tal quepnão dividea2_−1então:

n= a

2p₋₁

a2₋₁ =

ap₋₁

a₋1

ap_{+ 1}

a+ 1 é um pseudoprimo na basea.

A noção de pseudoprimo pode ser otimizada da seguinte forma: seja n₋1 = 2k_{b, com}

b ímpar. Observemos, pelo Pequeno Teorema de Fermat, que se n é primo ímpar então (ab₎2k

≡ 1 (mod n), logo deve existir um menorj tal que(ab₎2j

≡ 1 (mod n). No caso que

j _≥ 1e n é primo temos, pela minimalidade dej, que(ab₎2j−1

≡ −1 (mod n). A partir da

observação anterior, dizemos que n é pseudoprimo forte na basea se ab _{≡ 1 (mod n) ou se} existem < k tal que(ab₎2m

≡ −1 (mod n). É claro que todo pseudoprimo forte na baseaé

um pseudoprimo na basea.

Fixado a > 1, foi provado por Pomerance que existem infinitos pseudoprimos fortes

na base a. Especificamente, ele provou que o número de pseudoprimos fortes na base a

menores ou iguais axé maior ou igual ae(logx)5/14

para todoxsuficientemente grande.

Definimosα(n)como a probabilidade de, ao escolher um número arbitrárioamenor que ncommdc(a, n) = 1,nser pseudoprimo forte na basea, isto é:

α(n) := 1

ϕ(n)#{a∈N; 0< a < n, né pseudoprimo forte na basea}.

O valor dessa probabilidade pode ser limitado superiormente, como enunciamos a seguir:

Teorema 0.0.3. Para todo número composto ímparn >9temosα(n)_≤1/4.

A demonstração do teorema acima pode ser encontrada em[8]e a igualdade ocorre se e somente sené de alguma das formas:

  

n=p1p2; pi’s primos,p1 ≡3 (mod 4), p2 = 2p1−1ou

n=p1p2p3; pi’s primos,pi ≡3 (mod 4),epi−1dividen−1para todoi= 1,2,3. Uma ideia natural é testar vários valores dea, pois ao testarmostbases distintas e primas

entre si, a probabilidade dennão ser primo, mas ser pseudoprimo forte em cada uma dessas

bases (assumindo que os eventos são independentes) é menor ou igual a1/4t_{. O teste de} não-primalidade (ou teste de não-primalidade probabilístico) de Miller-Rabin é baseado nessa ideia natural.

Por outro lado, existem números compostos que validam o teorema de Fermat para toda base. Esses números são o ponto central desse trabalho.

Definição 0.0.2. Um número composto n é dito número de Carmichael se an _{≡ a (mod n) para}

todo inteiroa, ou equivalentemente, sené pseudoprimo na baseapara todoa.

O teorema0.0.3nos mostra, além da eficiência do teste de Miller-Rabin, que não existem "números de Carmichael fortes". De fato, para todo número composto ímparn existe 0 <

xii SUMÁRIO

a < nprimo com nque não é pseudoprimo forte na basea. Miller mostrou em sua tese de

doutorado que se a Hipótese Estendida de Riemann for verdadeira então é suficiente testar os O(log4+εn)primeiros primos como bases no teste de Miller-Rabin para garantir quen é

primo.

O seguinte critério facilita verificar se um número é de Carmichael dada sua fatoração.

Teorema 0.0.4 (Critério de Korselt). Seja n um número composto. Temos que n é número de

Carmichael se e somente sené livre de quadrados ep₋1dividen₋1para todopprimo dividindon.

Demonstração. (=_⇒): Suponhamos que existepprimo tal quep2_{dividen. Comoné número}

de Carmichael temos que an _{≡ a (mod n)para todo a inteiro, logo a}n _{≡ a (mod p}2_{) para}

todoa. Tomandoa =psegue0_≡pn _{≡p (mod p}2_{), um absurdo. Logo, né livre de}

quadra-dos. Sejam p divisor primo de n e g uma raiz primitiva módulo p. Como mdc(g, p) = 1, ordpg =p−1egp−1 ≡1 (mod p)segue quep−1dividen−1.

(_⇐=): Sejan = p1p2. . . pk. Temos api ≡ a (mod pi)para todos a, i, logoa(api−1−1) ≡ 0

(mod pi). Multiplicando ambos os lados por1 +a+a2_{+· · ·+a}(n−1)/(pi−1)segue_a(an−1_{−1) =}

an _{− a ≡ 0 (mod pi) para todos a, i. Portanto, a}n _{≡ a (mod n), ou seja, n é número de} Carmichael.

Exemplo 0.0.3. Exemplos de números de Carmichael:

• O menor número de Carmichael é o561. De fato, pelo critério acima basta notar que 561 = 3_×11_×17é livre de quadrados,2_|560,10_|560e16_|560.

• Os próximos números de Carmichael menores que 105 são 1.105, 1.729, 2.465, 2.821, 6.601, 8.911,10.585,15.841,29.341,41.041,46.657,52.633,62.745,63.973e75.361. Existem8.241

números de Carmichael menores que1012_{,19.279menores que10}13_{,44.706menores que10}14

e105.212menores que1015_.

• Em1939, Chernick mostrou que sep= 6m+ 1,q = 12m+ 1er= 18m+ 1são primos então

pqr é um número de Carmichael, mas não se sabe se existem infinitas triplas de primos dessa forma.

Nesse texto, vamos provar que existem infinitos números de Carmichael, como foi feito no artigo [1]. Com isso, existem infinitos números inteiros positivos que satisfazem o Pe-queno Teorema de Fermat para toda base mas não são primos. Assim, o PePe-queno Teorema de Fermat pode muito bem indicar que alguns números não são primos, mas mesmo se testarmos todas as possíveis bases podemos ficar em dúvida se o número é primo ou não.

dk+ 1ondedé um divisor deL). Esses primos serão vistos como elementos do grupo

mul-tiplicativo (Z_/kLZ₎∗_{. Se a quantidade de elementos de P for "grande", podemos escolher}

um subconjunto _{p1, p2, . . . , pr} desses primos tal que C := p1p2. . . pr ≡ 1 (mod L). Além disso, vale que pj ≡ 1 (mod k) para 1 ≤ j ≤ r e portanto C ≡ 1 (mod k). Como pj −1 dividekLekLdivideC₋1segue queCé número de Carmichael. FixadoL, vamos estimar

inferiormente a quantidade de números de Carmichael obtidos por esse processo.

Algumas perguntas naturais a serem respondidas ao longo do texto são: como construir esses inteiros L? Quão pequenos devem ser os fatores primos dosqj −1? Por que eles não podem ser tão pequenos? Como escolherk? Como podemos garantir que existem muitos

primos da forma dk+ 1? Como podemos garantir que existem alguns desses primos com

produto1 (mod L)? Quantas subsequências com produto1 (mod L)existem?

Tentamos ao máximo provar todos os resultados, mas infelizmente alguns teoremas ficaram para trás, por fugirem do tema ou por serem bastante conhecidos. Nesses casos, vamos enunciá-los e exibir uma referência para o leitor contemplar suas demonstrações. Em todo o texto vamos usar principalmente o primeiro dos dois teoremas enunciados a seguir. Eles dizem respeito ao comportamento assintótico das funções:

π(x) := #_{pprimo;p_≤x_} e

π(x;q, a) := #_{pprimo;p_≤xep_≡a (mod q)_},

e as ideias para suas demonstrações encontram-se no apêndiceB.

Teorema 0.0.5(dos Números Primos). Temos lim x→∞

π(x)

x/logx = 1.

Teorema 0.0.6(Dirichlet). Sejama, q _∈Z∗

+commdc(q, a) = 1. Temos lim

x→∞

π(x;q, a)

π(x) = 1

ϕ(q). A tese do teorema acima é válida em ocasiões mais gerais. De fato, se f : R_{+ →} R_{+ é}

uma função não decrescente então dizemos que vale a Propriedade dos Números Primos em Progressão Aritméticacom parâmetrof se dadoε > 0existex0 tal que para todox≥x0 ea, d

inteiros positivos primos entre si comd_≤f(x)então:

π(_πx₍;_xq, a₎ ) −_ϕ(1_q)

< _ϕ(ε_q).

Ao longo de todo o texto, vamos considerarpcomo um número primo e vamos denotar:

C(x) := #_{n _≤x;né número de Carmichael_}.

Capítulo 1

As estimativas assintóticas de Mertens

Existem inúmeras provas elementares da existência de infinitos números primos. Uma delas consiste em mostrar que a soma dos inversos dos primos é divergente. Uma pergunta na-tural é: qual é o comportamento assintótico dessa soma? Nesse capítulo, mostraremos uma prova elementar devida a Mertens do comportamento assintótico da soma dos inversos dos primos, que será amplamente usado ao longo do texto. Para isso, precisamos da1afórmula de Mertens, que será usado apenas para mostrar a2a fórmula. Introduziremos a constante de Euler-Mascheroni e demonstraremos também a3afórmula.

1.1 A 1

_{fórmula de Mertens}

Teorema 1.1.1(1a_{fórmula de Mertens). Para todox≥2temos}X

p≤x logp

p = logx+O(1).

Antes de demonstrar isso, necessitamos de alguns lemas.

Lema 1.1.2. A maior potência depdividindon!évp(n!) = X k≥1

n pk

.

Demonstração. Na fatoração den!aparecem_⌊n/p_⌋múltiplos dep. Desses,_⌊n/p2_{⌋contribuem}

com dois fatoresp. Desses,_⌊n/p3_{⌋contribuem com três fatoresp, e assim por diante. É claro}

que essa soma é finita, poispk _{> npara todok grande.}

Lema 1.1.3. Para todon _∈N_temos n

p −1< vp(n!)< n p +

n p(p₋1).

Demonstração. Por um lado, temos:

n

p −1<

n p

≤X

k≥1

n pk

=vp(n!).

Por outro lado, temos:

X

k≥1

n pk

< n p +

X

k≥2

n pk =

n p +

n p

X

k≥1

1

pk =

n p +

n p(p₋1).

2 CAPÍTULO 1. AS ESTIMATIVAS ASSINTÓTICAS DE MERTENS

Lema 1.1.4. Para todon _≥2temosY

p≤n

p < 4n.

Demonstração. Vamos mostrar por indução sobre n. Para n = 1,2,3,4o lema é claramente verdadeiro. Suponhamos quen >2é par. Temos quennão é primo. Logo:

Y

p≤n

p= Y p≤n−1

p_≤4n−1 <4n.

Assim, basta provar paranímpar, digamosn= 2m+ 1. Como 2m+1

m

= _m(2_!(m_m+1)!_+1)! temos:

Y

m+1<p≤2m+1

p

2m+ 1

m

≤ 1 22

2m+1 _{= 4}m_,

pois os fatores p com m + 1 < p _≤ 2m + 1 estão no numerador do binomial e não são cancelados com nenhum termo do denominador e a desigualdade segue do fato de que, na expansão de(1 + 1)2m+1 _{pelo Binômio de Newton, aparecem} 2m+1

m

e 2m+1

m+1

e esses termos são iguais. Logo, por hipótese, temos:

Y

p≤n

p= Y p≤m+1

p Y

m+1<p≤2m+1

p_≤4m+14m = 4n.

É interessante ressaltar que esse lema pode ser melhorado. Denis Hanson mostrou que a desigualdade anterior continua válida para todonse a base4for trocada por3. Existe ainda outro resultado cotando superiormente o produto de primos. Dadoε >0a constante3pode ainda ser trocada pore1+ε_{usando o Teorema dos Números Primos. Ganhamos por um lado} mas perdemos por outro: nesse caso o teorema pode não valer para todon _∈ N_{e sim para}

todongrande. De fato, o Teorema dos Números Primos nos garante que existen0(ε)tal que

n _≥n0(ε)implicaπ(n)<(1 +ε)_logn_n. Assim, paran≥n0(ε)temos: Y

p≤n

p_≤nπ(n)< n(1+ε)n/logn=e[(1+ε)n/logn] logn =e(1+ε)n.

O próximo lema é uma versão fraca da aproximação de Stirling, que diz que:

n! =n

e

n√

2πn

1 +O

1

n

.

Lema 1.1.5. Existeθn ∈[0,1]tal quelog(n!) = nlogn−n+ 1 +θnlogn.

Demonstração. Usando a integral de Riemann-Stieltjes e integrando por partes temos: n

X

i=1

logi₋

Z n

1

logtdt=

Z n

1−

logtd_⌊t_{⌋ −}

Z n

1

logtdt=₋

Z n

1−

logtd_{t_}

= [₋logt_{t_}]n₁ +

Z n

1−{

t_}dlogt=

Z n

1−{

1.1. A 1a _{FÓRMULA DE MERTENS 3}

Logo,logn! =nlogn₋n+ 1 +θnlogn.

Alternativamente, poderíamos usar a aproximação de Stirling no lugar do lema acima para demonstrar a1afórmula de Mertens.

Demonstração. (da 1a_{fórmula de Mertens) Sejan =⌊x⌋. Temos:}

logn! =X p≤n

vp(n!) logp,

logo, pelo lema1.1.3, obtemos:

nX

p≤n logp

p −

X

p≤n

logp <logn!< nX

p≤n logp

p +n

X

p≤n

logp

p(p₋1). (1.1)

Usando os lemas1.1.4e1.1.5na primeira desigualdade acima segue que:

nX

p≤n logp

p −nlog 4< nlogn−n+ (1 + logn)< nlogn

X

p≤x logp

p =

X

p≤n logp

p <logn+ log 4≤logx+ log 4.

Por outro lado, temos:

X

p≤n

logp p(p₋1) <

X

m≥2

logm m(m₋1) ≤

X

r≥1

X

2r−1_<m≤2r

rlog 2

m(m₋1) =X

r≥1

X

2r−1_<m≤2r

rlog 2

m₋1 −

rlog 2

m

= log 2X r≥1

_r

2r−1 −

r

2r

= log 2X r≥1

r

2r = log 2

1 2+ 1 4+ 1 8+. . .

+ 1 4 + 1 8 +. . .

+

1 8+. . .

+. . .

= log 4.

Assim, da segunda desigualdade de(1.1), temos:

X

p≤x logp

p >logn+

1

n −(1 + log 4)≥logx−(1 + log 4)

uma vez que

logx₋logn =

Z x

n 1

tdt≤

1

n(x−n)≤

1

n =⇒logn+

1

4 CAPÍTULO 1. AS ESTIMATIVAS ASSINTÓTICAS DE MERTENS

1.2 A 2

_{fórmula de Mertens}

Como veremos adiante, a segunda fórmula de Mertens determina o comportamento assin-tótico da soma dos inversos dos primos. Para a prova dessa fórmula precisaremos da 1a fórmula de Mertens e dos seguintes lemas:

Lema 1.2.1. A somaX

p

log

1 1₋1/p

− 1_p

é convergente.

Demonstração. Pela série de Taylor do logaritmo temos:

log

1 1₋1/p

− 1

p =−log

1₋ 1

p

− 1

p =

=_{− −}X k≥1

1

kpk

!

− 1_p =X k≥2

1

kpk <

X

k≥2

1 2pk =

1 2p(p₋1), assim cada um dos termos é positivo e limitado por 1

2p(p−1), portanto: X p log 1 1₋1/p

− 1_p

<X

p

1

2p(p₋1) <

X

n≥2

1

2n(n₋1) = 1 2,

isto é, o somatório é uma série crescente e limitada superiormente, logo é convergente.

Lema 1.2.2. Sejac0 = X p log 1 1₋1/p

− 1_p

. Para todox_≥2e algumθx ∈(0,1)temos:

X

p≤x 1

p = log

"

1

Q

p≤x(1−1/p)

#

−c0+

θx 2(x₋1).

Demonstração. Definindoθxtal que satisfaça a equação anterior, basta mostrar queθx ∈(0,1). Para isso notemos que:

0 < θx = 2(x−1)

X p>x log 1 1₋1/p

− 1_p

= 2(x₋1)X p>x

X

k≥2

1

kpk

< 2(x₋1)X p>x

X

k≥2

1

2pk = (x−1)

X

p>x 1

p(p₋1) = (x−1)

X

p>x

1

p₋1− 1

p

< (x₋1)X n>x

1

n₋1− 1

n

< x−1

N ₋1 <1, (1.2)

ondeN =_⌊x_⌋+ 1.

Teorema 1.2.3(2a_{fórmula de Mertens). Existec}

1 ∈Rtal que sex≥2então: X

p≤x 1

p = log logx+c1+O

1 logx

1.3. A CONSTANTE DE EULER-MASCHERONI E A 3a_{FÓRMULA DE MERTENS 5}

Demonstração. DefinimosR(t) := P_p≤tlog_pp ₋logt. Pela 1afórmula de Mertens sabemos que R(t) =O(1). Utilizando integral de Riemann-Stieltjes temos que:

X

p≤x 1

p =

Z x

2−

1 logtd

X

p≤t logp p ! = Z x 2− 1

logtd(R(t) + logt).

Fazendou= _log1_{t ⇒}du=_−tlog12_tdt,dv =dR(t)⇒v =R(t)e integrando por partes:

X

p≤x 1

p =

Z x

2

1

tlogtdt+

Z x

2−

1

logtdR(t) = [log logt]

x

2 +

R(t) logt x 2− + Z x 2−

R(t)

tlog2tdt

= log logx₋log log 2 + R(x) logx −

R(2−₎

log 2 +

Z x

2−

R(t)

tlog2tdt.

SejaR := sup_t≥2−|R(t)|. Pela limitação da 1afórmula temos:

R(x) logx −

Z ∞

x

R(t)

tlog2tdt

≤ R logx + Z ∞ x R tlog2tdt

=

2R

logx <

2(1 + log 4) logx .

Logo, o teorema segue comc1 =−log log 2 + 1 +

Z ∞

2

R(t)

tlog2tdt.

1.3 A constante de Euler-Mascheroni e a 3

_{fórmula de Mertens}

Olhemos para a sequênciaan=Pni=11/i−logn. Mostremos que{an}é convergente. Temos: 1

k+ 1 ≤

Z k+1

k 1

tdt= log(k+ 1)−logk ≤

1

k

para todok _≥2. Assim, comologn =Pn_k=2[logk₋log(k₋1)]paran_≥2segue que:

|an|=

n X k=2 1

k −logn

= n X k=2 1 k − Z k

k−1

1 tdt ≤ n X k=2 1

k₋1− 1

k

= 1₋ 1

n <1, (1.3)

logo an é soma de termos positivos e an < 1 para todo n, assim an converge. Definimos

γ = liman. Essa constante γ é chamada constante de Euler-Mascheroni. Numericamente

podemos mostrar queγ = 0,577215663. . .. Concluímos também que para todontemos:

n

X

k=1

1

k ≥logn, (1.4)

logo a série harmônica (lado esquerdo acima comn_{→ ∞}) diverge.

As constantesc0ec1definidas no lema1.2.2e na2afórmula de Mertens, respectivamente,

são unidas pelo seguinte teorema.

6 CAPÍTULO 1. AS ESTIMATIVAS ASSINTÓTICAS DE MERTENS

Antes de demonstrá-lo precisamos de algumas propriedades acerca da função Zeta.

Definição 1.3.1. Definimos a função Zeta de Riemann como a única extensão meromorfa de:

ζ(s) =X n≥1

1

ns (1.5)

para o plano complexo.

Notemos que ses=σ+iθentão essa soma faz sentido sempre queσ >1, uma vez que:

|ζ(s)_|=

X

n≥1

1

ns

≤

X

n≥1

1

ns

=

X

n≥1

1

nσ <∞.

Teorema 1.3.2(Euler). A função Zeta satisfaz:

ζ(s) =Y p

1₋ 1

ps

−1

.

Sabemos que a soma definida em 1.5 só faz sentido se σ > 1. Integrando por partes a

integral de Riemann-Stieltjes obtemos:

X

n≥1

1

ns =

Z ∞

1−

1

tsd⌊t⌋=

s s₋1−s

Z ∞

1−

{t_} ts+1dt

Como essa última integral converge sempre que σ > 0, obtemos a primeira parte da

nossa extensão:

ζ(s) = s

s₋1 −s

Z ∞

1−

{t_} ts+1dt.

A expressão do lado direito acima tem um polo simples em s = 1, o que poderia ser

previsto antes, já que a série harmônica diverge (e então só faltaria obter a ordem desse polo). Notemos também queζ(1 +σ) = 1/σ+O(1)paraσ >0.

Demonstração. (do Teorema1.3.1) Sejaf : (0,_∞)_→R_{dada porf(σ) = logζ(1+σ)−}X

p

p−1−σ.

Pela Fórmula de Euler temos:

f(σ) =X p

log

1 1₋p−1−σ

−p−1−σ

.

Pelas desigualdades em (1.2), cada termo da soma acima é menor que _2p(p1₋₁₎. Logo,f

1.3. A CONSTANTE DE EULER-MASCHERONI E A 3a_{FÓRMULA DE MERTENS 7}

Por um lado, temos:

logζ(1 +σ) = log(1/σ+O(1)) = log(1/σ) +O(σ) =₋log(σ) +O(σ) =₋log(σ+O(σ2)) =₋log[1₋(1₋σ+O(σ2))]

=₋log(1₋e−σ) +O(σ) =X n≥1

e−σn

n +O(σ) =

Z ∞

0

e−σtdH(t) +O(σ),

ondeH(t) := P_1≤n≤t1/n. Integrando por partes obtemos:

logζ(1 +σ) =σ

Z ∞

1

e−σtH(t)dt+O(σ).

Por outro lado, sejaP(t) :=P_p≤u1/p. Integrando por partes e fazendou=et_{, temos:}

X

p

p−1−σ =

Z ∞

1

u−σdP(u) =σ

Z ∞

1

u−1−σP(u)du=σ

Z ∞

0

e−σtP(et)dt.

Juntando as duas partes e a definição def obtemos:

f(σ) = σ

Z ∞

0

e−σt[H(t)₋P(et)]dt+O(σ). (1.6)

Pelos lema1.3e2afórmula de Mertens sabemos que para todot_≥1vale:

H(t) = logt+γ+O(1/t)

P(et) = logt+c1+O(1/t)

Assim, substituindo em(1.6)obtemos:

f(σ) = σ

Z ∞

0

γ₋c1+O

1

t+ 1

e−σtdt+O(σ)

=σ(γ₋c1)

Z ∞

0

e−σtdt+σ

Z ∞

0

e−σtO

1

t+ 1

dt+O(σ)

=γ₋c1+O

σ+σ

Z ∞

0

e−σt dt t+ 1

=γ₋c1+O

σlog

1

σ

.

8 CAPÍTULO 1. AS ESTIMATIVAS ASSINTÓTICAS DE MERTENS

Sabemos, pelo lema1.2.2e pela2afórmula de Mertens, que:

c0 =− X

p≤x

log

1₋ 1

p + 1 p +X p>x log 1 1₋1/p

−1

p

=₋X p≤x

log

1₋ 1

p

−log logx₋c1+O 1 logx +X p>x log 1 1₋1/p

−1

p

=_⇒c0+c1+ log logx+ X

p≤x log

1₋ 1

p =X p>x log 1 1₋1/p

− 1

p

.

Pelas desigualdades em(1.2)temosP_p>xhlog₁₋1_1/p− 1_pi < _2⌊1_x⌋. Tomando a

exponen-cial de ambos lados e usando a série de Taylor temos:

ec0+c1_logxY

p≤x

1₋ 1

p = exp ( X p>x log 1 1₋1/p

−1 p +O 1 logx ) = exp O 1 logx

= 1 +O

1 logx

.

Portanto, pelo teorema anterior obtemos parax_≥2que:

Y

p≤x

1₋ 1

p = e −γ logx

1 +O

1 logx

.

Capítulo 2

Resultados algébricos

2.1 Caráteres

Definição 2.1.1. Dado um corpo K e um grupo abeliano finitoG definimos um caráter como um

homomorfismoχ:G_→K∗_{. Indicaremos porχ}

1 o caráter trivial (χ1 = 1 ∀x∈G).

No caso em queK = C_{temos que a imagem de cada caráter está contida emS}1 _{pois as}

imagens são raízes da unidade. Denotaremos porGb =GbK o conjunto de caráteres deGcom respeito ao corpoK. Quando não restar dúvida sobre quem éK vamos omitir tal índice.

Lema 2.1.1. Se|G_|=neχé caráter deGentão:

X

x∈G

χ(x) =

  

n, seχ=χ1,

0, caso contrário. (2.1)

Demonstração. Seχ=χ1 então o lema é óbvio. Caso existay∈Gcomχ(y)6= 1obtemos:

χ(y)X x∈G

χ(x) = X x∈G

χ(xy) =X x∈G

χ(x) =_⇒X x∈G

χ(x) = 0.

Seχeχ′ _{são caráteres deGentão podemos definir o produto}

(χ.χ′)(x) = χ(x).χ′(x),

e isso fornece uma estrutura de grupo abeliano ao conjuntoGb:=_{χ;χé caráter deG_}.

Lema 2.1.2. SejaK um corpo que contém uma raiz_|G_|-ésima da unidade. Então o grupoGbé finito

e da mesma ordem deG.

Demonstração. SeGé cíclico de ordemg, digamos queG= (σ), então para todoχ_∈Gbtemos

[χ(σ)]g _{= χ(σ}g_{) = 1, ou seja,χ(g)é raizg-ésima da unidade. Por outro lado, sew ∈ K com}

10 CAPÍTULO 2. RESULTADOS ALGÉBRICOS

Se Gnão é cíclico o teorema da representação de grupos abelianos finitos diz que G _≃ G1 ⊕ G2 ⊕ · · · ⊕Gn, onde cada Gi é cíclico de ordem gi e gerador σi. Para aplicar o que concluímos no caso cíclico devemos mostrar queGb_≃Gb1⊕Gb2⊕ · · · ⊕Gbn. Basta provar que

\

G1⊕G2 ≃Gb1⊕Gb2 (G1eG2 não necessariamente cíclicos). O resto segue por indução.

Se χi é caráter de Gi, i = 1,2 então (x1, x2) → χ1(x1)χ2(x2) é um caráter de G1 ⊕G2,

onde xi ∈ Gi, i = 1,2. Por outro lado, se χ é caráter de G1 ⊕ G2 então x1 → χ(x1, e2)

é caráter de G1 e x2 → χ(e1, x2) é caráter de G2, onde ei ∈ Gi é a identidade do grupo

Gi, i= 1,2. Como os mapas do tipo(x1, x2)→ χ1(x1)χ2(x2)são inversos aos mapas do tipo

x1 →χ(x1, e2);x2 →χ(e1, x2), segue-se o resultado.

Definição 2.1.2. Dado um grupo G, definimos oexpoente deGcomo o mínimo inteiro positivo t

tal quegt _{= 1para todog ∈G.}

Exemplo 2.1.1. No grupoG= (Z_4×Z_{8,+)com32elementos, o expoente é8. É fácil mostrar que no}

grupoG= (Z_n

1×Zn2× · · · ×Znk,+)comn1n2. . . nkelementos, o expoente émmc(n1, n2, . . . , nk)

pois o expoente tem que ser múltiplo denj para todoj (já que(0, . . . ,0,1,0, . . . ,0)com1naj-ésima

posição tem ordemnj) e tem que ser o mínimo.

Lema 2.1.3. Se_|G_|=n,K contém uma raizm-ésima primitiva da unidade ondemé o expoente de Gentão para todox_∈Gtemos:

X

χ∈Gb

χ(x) =

  

n, sex=eG

0, caso contrário. (2.2)

Demonstração. A aplicação x : Gb _→ K∗_{, χ 7→ χ(x) define um caráter de G}b_{, isto é, um}

ele-mento deGbb. Esse lema segue, portanto, dos dois lemas anteriores.

As equações(2.1)e(2.2)são chamadas de "Relações de Ortogonalidade".

Dado um grupo GeF_{q um corpo comq elementos definimos a álgebra de grupos}F_q[G]

como o conjunto de somas formais finitas da forma:

X

g∈G

agg.

Dotamos esse conjunto com duas operações+,_·definidas por:

X

g∈G

agg+

X

g∈G

bgg :=

X

g∈G

(ag +bg)g

X

g∈G

agg

!

· X

g∈G

bgg

!

:=X g∈G

cgg, ondecg :=

X

h₁,h₂∈G h₁h₂₌g

ah1bh2.

Com essas operações,F_{q[G]é uma}F_{q-álgebra com baseG. Em geral, omitiremos o sinal}

2.1. CARÁTERES 11 Dado um caráterχ:G_→F∗

q, definimosχ:Fq[G]→Fq[F∗q]∼Fqestendendo linearmente:

χ X

g∈G

agg

!

:=X g∈G

agχ(g)∈Fq,

assimχé uma transformação linear. De fato,χé um homomorfismo deFq-álgebras pois:

χ

X

g∈G

agg

! X

g∈G

bgg

!!

=χ X

g∈G

cgg

!

=X g∈G

cgχ(g) =

X

g∈G

X

h₁,h₂∈G h1h2=g

ah1bh2χ(h1h2)

= X h1∈G

X

h2∈G

ah1χ(h1)bh2χ(h2) = χ

X

h1∈G

ah1h1

!

χ X

h2∈G

bh2h2

!

.

Lema 2.1.4. SejamF_{q um corpo comq elementos eGum grupo abeliano commelementos, tal que}

q_≡1 (mod m). Sejab _∈F_{q[G]. Entãob = 0se e somente seχ(b) = 0para todo caráterχ∈G}b_.

Demonstração. Comoq_≡1 (mod m)entãoF_{qpossui uma raizm-ésima primitiva da unidade.}

Sejamb=P_g∈Gag.geh∈G. Pelas relações de ortogonalidade segue que:

X

χ∈Gb

χ(h−1b) = X χ∈Gb

χ X

g∈G

agh−1g

!

=X g∈G

ag



X

χ∈Gb

χ(h−1g)



=ah|G|.

Logo,b= 0se e somente seah = 0para todoh∈G.

Seja q _≥ 1 um inteiro. Vejamos o caso em que G = (Z_/qZ₎∗ _{(ou seja, G é o grupo dos}

elementos inversíveis móduloq). Denotamos(Z\_/qZ₎∗ como o grupo de caráteres módulo_q.

Além disso, podemos estender a definição de caráter para uma funçãoχ˜: Z_→ Cde forma

que seχ_∈(Z\_/qZ₎∗ _então:

˜

χ(n) =

  

χ(n(mod q)), semdc(n, q) = 1 0, caso contrário.

Ao longo do texto vamos nos referir aos caráteres móduloqcomo sendo essas extensões,

que também são chamadas de Caráteres de Dirichlet.

As relações de ortogonalidade implicam facilmente que:

ϕ(q)−1X χ

χ(n)χ(m) =

  

1, sen_≡m (mod q),1_≤m_≤q, mdc(n, q) = 1

0, semdc(n, q)>1 (2.3)

e seχ, χ′ _∈Gb_então:

ϕ(q)−1 X

1≤n≤q

χ(n)χ′(n) =

  

1, seχ=χ1

12 CAPÍTULO 2. RESULTADOS ALGÉBRICOS

2.2 A função de Carmichael

Vejamos o que acontece com o expoente do grupoG =Z∗

n ≃ Z∗_pα₁

1 ×

Z∗

pα2

2 × · · · ×

Z∗

pαk_k onde

n =pα1

1 pα22. . . pαkk. Para isso, vamos definir a funçãoλde Carmichael.

Definição 2.2.1. Definimos a funçãoλ(n)de Carmichael como o expoente do grupoZ∗

n. Em outras

palavras,λ(n) := min_{k _∈N_;ak_{≡1 (mod n)∀a;mdc(a, n) = 1}.}

Observemos que λ(n)está definido para todo n pois se a en são primos entre si então aϕ(n) _≡ 1 (mod n). Se ordna denota a ordem dea módulon então temos que ordna divide

λ(n)para todoacommdc(a, n) = 1. Logo,λ(n)é um múltiplo demmc(_{ordna;mdc(a, n) = 1_})e pela minimalidade deλtemos que:

λ(n) = mmc(_{ordna;mdc(a, n) = 1}).

Por outro lado,ϕ(n)é múltiplo deordnapara todoaprimo comn, logoλ(n)divideϕ(n).

Teorema 2.2.1. Sejampum primo ímpar e kum inteiro positivo. Os únicos números que possuem

raiz primitiva são2,4, pk_e2pk_.

Demonstração. A demonstração pode ser encontrada em[8].

Vamos agora obter um algoritmo para calcularλ(n)para todon.

Teorema 2.2.2. Semdc(m, n) = 1entãoλ(mn) = mmc(λ(m), λ(n)).

Demonstração. Notemos primeiramente que se a, m e n são dois a dois primos entre si

então ammc(λ(m),λ(n)) _{≡ 1 (mod m) e a}mmc(λ(m),λ(n)) _{≡ 1 (mod n), pois λ(m), λ(n) dividem}

mmc(λ(m), λ(n)), logoammc(λ(m),λ(n)) _{≡1 (mod mn)e portantoλ(mn)dividemmc(λ(m), λ(n)).}

Por outro lado, existem a1 e a2 tais que ordma1 = λ(m) e ordna2 = λ(n). Pelo

Teo-rema Chinês do Resto existe a inteiro tal que a _≡ a1 (mod m) e a ≡ a2 (mod n) o que

implicaordma =λ(m)eordna = λ(n), logoammc(λ(m),λ(n)) ≡1 (mod mn). Assim, segue que

mmc(λ(m), λ(n))divideλ(mn).

Dessa forma fica provado queλ(mn) = mmc(λ(m), λ(n)).

Sendo assim, basta calcular a função nas potências de primo. De fato, no caso de n = 2,4ou pα _{(ondep é primo ímpar e α ∈ N) então de acordo como teorema 2.2.1 existe raiz} primitiva módulon, logo existeg _∈Z_{ntal que}Z∗

n = (g)e portantoλ(n) =ϕ(n). Portanto, só faltam as potências de2a partir de23_{. Provaremos o seguinte:}

Teorema 2.2.3. Sejaα _≥3um inteiro. Temosλ(2α_{) = 2}α−2_.

Demonstração. Indutivamente, paraα = 3en ímpar (de modo quemdc(n,2) = 1), digamos, n = 2k+ 1, temos n2 _{= 4k(k + 1) + 1 ≡ 1 (mod 2}3_{) pois k(k + 1)é par. Suponhamos que}

n2α−2

≡1 (mod 2α_{)para todonímpar e para algumα≥3. Temos duas opções:}

n2α−2

≡1 (mod 2α+1_)oun2α−2

2.3. SUBSEQUÊNCIAS COM PRODUTO 1 13 Elevando ambas as opções ao quadrado segue quen2α−1 _≡1 (mod 2α+1), portantoλ(2α+1) divide2α−1_.

Seja agoran _≡ 3 (mod 23_{). Temos ord}

23(n) = 2eord₂4(n) = 4. Novamente por indução,

suponha que ord2α(n) = 2α−2 e ord₂α+1(n) = 2α−1 para algum α ≥ 3. Então, n2α− 2

≡ 1 (mod 2α_{)mas n}2α−2

6≡ 1 (mod 2α+1_{), o que implica n}2α−2

≡ 1 + 2α _{(mod 2}α+1_{). Temos duas}

opções:

n2α−2

≡1 + 2α _{(mod 2}α+2_)oun2α−2

≡1 + 2α_{+ 2}α+1 _{(mod 2}α+2_).

Elevando ambas as opções ao quadrado segue que n2α−1

≡ 1 + 2α+1 _{6≡ 1 (mod 2}α+2_).

Portanto, ord2α+2(n) > 2α−1. Logo, só podemos ter ord₂α+2(n) = 2α ouord₂α+2(n) = 2α+1,

uma vez queord2α+2(n)divideϕ(2α+2) = 2α+1. Mas sabemos queord₂α+2(n)≤λ(2α+2)≤2α,

assim só podemos terλ(2α+2_{) = 2}α_.

Dessa forma, a funçãoλfica completamente determinada e será usada no teorema4.3.1.

2.3 Subsequências com produto 1

Observemos que para toda sequência de elementos de um grupoGde comprimento_|G_|+1é possível escolher uma subsequência cujo produto é1, pois dada a sequênciag1, g2, . . . , g|G|+1

e definindohj =g1g2. . . gj comj = 1,2, . . . ,|G|+ 1obtemos uma lista com|G|+ 1elementos de G. Logo, existem j1 < j2 tais que hj1 = hj2 e portanto gj1+1gj1+2. . . gj2 = hj2h

−1

j1 = 1.

Assim, uma pergunta natural é: qual é o máximo valor den_∈N_{tal que existe uma sequência}

denelementos deGque não possui subsequência não vazia com produto1?

Definição 2.3.1. Dado um grupoG definimos suaconstante de Davenport, n(G), como o

com-primento da maior sequência de elementos de G (não necessariamente distintos) tal que nenhuma

subsequência não-vazia tem o produto dos termos igual a1.

Pelo que demonstramos acima, a constante de Davenport de qualquer grupo existe e vale no máximo a ordem do grupo. Dado um grupo G, em geral não sabemos determinar sua

constante de Davenport, mas o seguinte teorema limitan(G)em função do seu expoente se

Gé um grupo abeliano finito.

Teorema 2.3.1(van Emde Boas&Kruyswijk). SeGé um grupo abeliano finito em é o expoente deGentão:

n(G)< m

1 + log|G|

m

.

Demonstração. Sejam g1, g2, . . . , gn ∈ G uma sequência que não possui subsequências com produto1e suponha por absurdo quen _≥m1 + log|_mG|. Escolha um número primoq tal

queq_≡1 (mod m). Consideremos o elemento da álgebra de grupoF_q[G]:

(a1−g1)(a2−g2). . .(an−gn) =

X

g∈G

14 CAPÍTULO 2. RESULTADOS ALGÉBRICOS

Como nenhuma subsequência deg1, g2, . . . , gntem produto1segue quek1 =a1a2. . . an.

Observemos que basta encontrara1, . . . , an∈F∗q tais que n

Y

i=1

(ai−gi) = 0 (2.5)

pois isso implica quek1 = 0, o que gera um absurdo e logo existirá uma subsequência com

produto1.

Pelo lema 2.1.4, qualquer caráterχ : G _→ F∗

q em Gb pode ser extendido a um homomor-fismo de aneisχ:F_q[G]→Fq. Como:

χ

n

Y

i=1

(ai−gi)

!

= n

Y

i=1

(ai−χ(gi))

vemos que (2.5) vale se existe j _{∈ {}1,2, . . . , n_} tal que χ(gj) = aj. Assim, o problema é equivalente a mostrar que é possível escolhera1, a2, . . . , an ∈ F∗q tal que para todo caráterχ existe j tal que χ(gj) = aj. A estratégia para a escolha dosaj é a seguinte: escolhemos a1

tal que χ(g1) = a1 vale para o máximo possível de χ ∈ Gb. Do restante, escolhemos a2 da

mesma forma, e assim sucessivamente. Cadaχ(gi)é raizm-ésima da unidade emF∗

q, então temos m valores diferentes para χ(gi). Se S é qualquer subconjunto de Gb e g _∈ G então

existe alguma _∈ F∗

q tal queχ(g) = aé verdadeiro para pelo menos |S|/mcaráteresX ∈ S. Logo,χ(g)₆=avale para no máximo|S_|(1₋1/m)caráteresχ_∈S. Aplicando esse algoritmo parag1, g2, . . . , gkpodemos escolhera1, . . . , ak ∈F∗q tais que o resto dos caráteresχ ∈Gbcom

χ(gj)6=aj para todoj = 1,2,3, . . . , kestão em quantidade máxima de:

|Gb_|

1₋ 1

m

k

=_|G_|

1₋ 1

m

k

<_|G_|e−k/m.

Escolhemoskcomo o menor inteiro tal que_|G_|.e−k/m_{< m, isto é,k =⌊mlog (|G|/m)⌋+ 1.} Sejamχ1, χ2, . . . , χros únicos caráteres tais queχi(gj)=6 aj para todoj = 1,2, . . . , k egj ∈G. Comor _≤m₋1e por hipótese sabemos quen _≥m1 + log|_mG|, segue quen_≥m+k₋1_≥

k+r. Portanto, definindoχj(gk+j) = ak+j para todoj com1≤k≤rteremos que:

χ

n

Y

i=1

(ai−gi)

!

= 0 _∀χ_∈G,b

o que é contraditório. Logo,n < m

1 + log|G|

m

.

Teorema 2.3.2. SejamGum grupo abeliano finito,r > t > n=n(G)inteiros positivos. Qualquer sequência derelementos em Gcontém ao menos r

t

/ _nrsequências distintas de comprimento entre

t₋netcujo produto é a identidade.

2.3. SUBSEQUÊNCIAS COM PRODUTO 1 15

n < r₋s teríamos que no conjunto R₋S existiria uma subsequência com produto1que pode ser adicionada aS, o que contradiz a maximalidade de S. Assim, n _≥ r₋s. SejaT

qualquer subsequência deS, com_|T_|=t₋n. Se:

Y

x∈T

x=g

então:

Y

x∈S−T

x=g−1.

SejaU a menor subsequência deS₋T com produtog−1 _{(possivelmente,U =∅). Temos}

|U_{| ≤}n(caso contrário poderíamos retirar uma subsequência deU com produto1).

Seja V a subsequência obtida da sequência original contendo os elementos de U e T.

Observemos que:

Y

x∈V

x= Y x∈U

x

! Y

x∈T

x

!

=gg−1 = 1

e t₋n = _|U_{| ≤ |}U_|+_|T_| = _|V_{| ≤} t. Portanto, B é uma subsequência cujo produto é a

identidade e de comprimento entret₋net. Basta então contar a quantidade de sequências

distintas.

Notemos também que para cada escolha da subsequênciaT obtemos uma subsequência V, mas sequênciasT’s distintas podem gerar a mesma sequência V. O número de escolhas

de subsequênciasT é ao menos _t−s_n≥ r_t−−_nne o número de repetições é no máximo _t|₋V_n|_≤

t t−n

= _nt, logo o número deV’s distintos é maior ou igual a:

s t₋n

t n

≥

r₋n t₋n

t n

=

r t

r n

Capítulo 3

O Grande Crivo e a desigualdade de

Brun-Titchmarsh

Todo esse capítulo é dedicado à demonstração da desigualdade de Brun-Titchmarsh, que será usada nas demonstrações de alguns teoremas no capítulo4. Por ser bastante profundo, necessitamos de uma ferramenta pesada para a sua demonstração: o Teorema do Grande Crivo. Para a prova do Teorema do Grande Crivo necessitamos da Teoria de Fourier, que se encontra no ApêndiceA.

3.1 O Grande Crivo

Sejam_{an}, an ∈Cuma sequência eM, N ∈ZeN >0. Definimos a soma:

S(α) := X M <n≤M+N

ane2πiαn. (3.1)

Além disso, definimos _ku_k = min_{u_{− ⌊}u_⌋,_⌊u_⌋+ 1₋u_} (ou seja,_ku_k é a distância deu

para o inteiro mais próximo).

Seja α1, α2, . . . , αR uma sequência finita de números reais. Dizemos que tal sequência é

δ-espaçadase_kαi−αjk ≥δpara todoi, j ∈ {1,2, . . . , R}, i6=j.

Teorema 3.1.1(do Grande Crivo). Sejamα1, α2, . . . , αR uma sequênciaδ-espaçada e S a função

definida pela equação(3.1). Então existe∆(N, δ)>0tal que: R

X

j=1

|S(αj)|2 ≤∆(N, δ)

X

M <n≤M+N |an|2.

Nos anos60e70foram feitas inúmeras tentativas para calcular o valor ótimo para∆(N, δ).

Finalmente, tal valor foi encontrado em1973por Montgomery e Vaughan.

Teorema 3.1.2(Montgomery-Vaughan). ∆(N, δ)_≤N ₋1 +δ−1_.

É fácil comprovar que a cota dada por Mongomery-Vaughan é a melhor, pois tomando

18 CAPÍTULO 3. O GRANDE CRIVO E A DESIGUALDADE DE BRUN-TITCHMARSH

an=

  

1, seR_|n

0, caso contrário,

segue paraM =₋1eN _≡1 (mod R)queS(αj) = #{múltiplos deRem[0, N −1]}. Logo: R

X

j=1

|S(αj)_|2 =

N ₋1

R + 1

2

R= (N−1 +R)

2

R .

Por outro lado, X

0≤n≤N−1

|an|2 = #{múltiplos deRem[0, N−1]}=

N ₋1 +R R .

Logo, nesse caso ocorre a igualdade: R

X

j=1

|S(αj)|2 =

(N ₋1 +R)2

R = ∆(N, δ)

X

M <n≤M+N |a_n|2.

Ao invés de demonstrar o Grande Crivo com a cota de Montgomery-Vaughan, provare-mos um resultado mais fraco, mas que será suficiente para demonstrar uma versão mais simples da desigualdade de Brun-Titchmarsh. De fato, vamos mostrar que:

R

X

j=1

|S(αj)_|2 _≤ π

2

2 (N −1 +δ

−1₎ X

M <n≤M+N |an|2.

Os seguintes lemas sobre sequências nos permitirão demonstrar a desigualdade acima.

Lema 3.1.3. SejamDum real positivo e[cn,r]uma matriz complexaN _×R. São equivalentes:

A)X r X n

cn,rxn

2

≤DX

n

|xn|2, para todoxn∈C.

B) X n,r

cn,ryrxn

2

≤DX

n

|x_n|2X

r

|y_r|2_{, para todox}

n, yr ∈C.

C)X n X r

cn,ryr

2

≤DX

r

|yr|2, para todoyr ∈C.

Demonstração. (A_⇒B) Por Cauchy-Schwarz e por hipótese, temos:

X n,r

cn,ryrxn

2 = X r yr X n

cn,rxn

2 ≤X r |yr|2

X r X n

cn,rxn

2

≤DX

r |yr|2

X

n

|xn|2.

(B_⇒A) SejamLr :=

X

n

cn,rxneyr =Lr. Temos por hipótese:

X r |Lr|2

2 = X r X n

cn,rxn

X

m

cm,rxm

2 = X n,r

cn,ryrxn

2

≤DX

n |xn|2

X

3.1. O GRANDE CRIVO 19

=_⇒X r X n

cn,rxn

2 =X r

|Lr|2 ≤D

X

n

|xn|2.

A equivalência entreB eCé completamente análoga.

O que realmente precisamos do lema acima é a equivalência entre A e C, que usaremos no lema a seguir. O item B foi usado apenas como intermediador entre A e C.

Lema 3.1.4. Sejam α1, α2, . . . , αR números reais fixos, M e N inteiros positivos e S(α) a função

definida pela equação (3.1). Se são dados B > 0 constante e _{bi}i∈Z com bi ≥ 0 e bi > 0 para

M < i_≤M +N então são equivalentes:

I) X

1≤r≤R

|S(αr)_|2 _≤B X

M <n≤M+N |an|2

bn

para todoan∈C.

II) X

M <n≤M+N

bn X

1≤r≤R

yre2πinαr

2

≤B X

1≤r≤R

|yr|2 para todoyr ∈C.

Demonstração. Sejamxn =

an √

bn

ecn,r =e2πiαrn√bn. Pelos itens A e C do lema anterior temos:

X

1≤r≤R

X

M <n≤M+N

ane2πiαrn

2

≤B X

M <n≤M+N |an|2

bn

se e somente se:

X

M <n≤M+N

X

1≤r≤R

yre2πiαrn

p bn 2

≤B X

1≤r≤R |yr|2.

Corolário 3.1.5. SejaB_{(α) :=}X

n∈Z

bne2πiαnuma série de Fourier convergente, combn ≥0ebn >0

paraM < n_≤M +N. Se:

X

1≤r,s≤R

yrysB(αr−αs)≤B

X

1≤r≤R

|yr|2 (3.2)

para algumB >0eyr ∈Ccom1≤r ≤Rarbitrários então

X

1≤r≤R

|S(αr)|2 ≤B

X

M <n≤M+N |an|2

bn

para todoan∈C.

Demonstração. SubstituindoB_(αr−αs)na hipótese, temos:

X

1≤r,s≤R

yrysB(αr−αs) =

X

n∈Z

bn

X

1≤r,s≤R

yryse2πiαrne2πiαsn=

X

n∈Z

bn X r

yre2πiαrn

2 ,

20 CAPÍTULO 3. O GRANDE CRIVO E A DESIGUALDADE DE BRUN-TITCHMARSH

Observemos que se escolhermos a sequênciabnno corolário anterior de tal forma que:

        

bn≥0, sen∈Z

bn≥1, seM < n≤M+N

B_{(α) = 0, sekαk ≥δ}

(3.3)

então a validade da desigualdade(3.2)para algumB >0implica que:

X

1≤r≤R

|S(αr)_|2 _≤B X

M <n≤M+N |a_n|2

bn ≤

B X

M <n≤M+N |an|2,

que corresponde exatamente à desigualdade do Grande Crivo. Nesse ponto, basta escolher {bn}cumprindo(3.3)eB adequados tais que a desigualdade(3.2)é válida e depois verificar a dependência deB com a sequência_{αr}e comN.

Podemos suporδ < 1/2, pois o casoδ = 1/2é possível somente seR = 2, que é trivial.

Observemos que se _{bn} é uma sequência satisfazendo (3.3) de tal forma que a série de Fourier B_{(α) =} P

n∈Zbne2πiαn tem suporte contido em kαk ≤ δ então a desigualdade do Grande Crivo é verdadeira tomando∆(N, δ) =B_{(0). De fato, como osαi’s sãoδ-espaçados}

segue queB_{(αr−αs) = 0sempre quer6=s. Assim, temos:}

X

1≤r,s≤R

yrysB(αr−αs) =

X

1≤r≤R

yryrB(0) =B(0)

X

1≤r≤R |yr|2.

Sejam_{bn}os coeficientes de Fourier da função B(α). É natural tentar escreverbncomo o valor emnda funçãob_∈L1_{(R), para os quais a transformada de Fourier:}

bb(θ) :=

Z ∞

−∞

b(t)e−2πiθtdt

tem suporte contido em[₋δ, δ]. Assim, o somatório de Poisson (teoremaA.3.1) garantirá que

B_{(α) = 0sempre quekαk ≥δ, pois:} B_{(α) :=} X

n∈Z

b(n)e2πiαn=X k∈Z

bb(k₋α). (3.4)

Para verificar se o somatório de Poisson é efetivamente aplicável, primeiramente vamos observar quebb _∈ L1_{(R), poisb ∈L}1_{(R). Pelo teoremaA.2.5, notando queB(α) = 0quando}

kα_{k ≥}δ, temos:

b(t) =

Z

R

bb(θ)e2πiθtdθ =

Z δ

−δ

bb(θ)e2πiθtdθ. (3.5)

Sejaβ(α) :=P_k∈Zbb(k−α). Temos que osb(n)’s são os coeficientes de Fourier da função

3.1. O GRANDE CRIVO 21

θ _→θ₋α, obtemos que:

b(t)e2πiαt =

Z δ+α

−δ+α

bb(θ₋α)e2πiθtdθ. (3.6)

Somando de₋N aN a última equação, obtemos:

N

X

n=−N

b(n)e2πiαn= N

X

n=−N

Z δ+α

−δ+α

bb(θ₋α)e2πiθndθ =

Z δ+α

−δ+α

bb(θ₋α) N

X

n=−N

e2πiθn

!

dθ

=

Z δ+α

−δ+α

bb(θ₋α)

e2πiθ(N+1/2)_−e−2πiθ(N+1/2)

eπiθ_−e−πiθ

dθ

=

Z δ+α

−δ+α

bb(θ₋α)sen[(2N + 1)πθ] sen(πθ) dθ.

Integrando a equação(3.6)de₋N ₋1/2atéN + 1/2, temos:

Z N+1/2

−N−1/2

b(n)e2πiαt =

Z N+1/2

−N−1/2 Z δ+α

−δ+α

bb(θ₋α)e2πiθtdθdt=

Z δ+α

−δ+α

bb(θ₋α)

Z N+1/2

−N−1/2

e2πiθtdt

!

dθ

=

Z δ+α

−δ+α

bb(θ₋α) e

2πiθt

2πiθ

N+1/2

−N−1/2 !

dθ =

Z δ+α

−δ+α

bb(θ₋α)sen[(2N + 1)πθ]

πθ dθ.

Juntando as duas equações obtidas acima segue que: N

X

n=−N

b(n)e2πiαn₋

Z N+1/2

−N−1/2

b(t)e2πiαtdt =

Z δ+α

−δ+α

λαsen[(2N + 1)πθ]dθ, (3.7)

ondeλα(θ) :=bb(θ₋α)

1 sen(πθ) −

1

πθ

.

Como _{| ±}δ +α_| < 1 temosλα ∈ L1([−δ +α, δ +α]). O teorema A.2.1assegura que o lado direito da equação(3.7)tende a0quandoN _{→ ∞}. Assim, comob _∈L1_{(R), segue pelas}

equações(3.4)e(3.7)e pela definição deβqueP_|n|≤Nb(n)e2πiαn_{converge para}b_{b(−α) =β(α)} quandoN _{→ ∞}.

Com isso, confirmamos que poderíamos ter aplicado o somatório de Poisson, ou seja, isso estabelece a equação(3.4)para|α_{| ≤} 1/2e, consequentemente, estabelece para todo α

por periodicidade.

Queremos obterb_∈L1_{(R)sujeito às condições:}         

b(t)_≥0, set _∈R

b(t)_≥1, seM + 1_≤t _≤M +N

bb(θ) = 0, se_|θ_{| ≥}δ.

(3.8)

e tal queB_{(0) =}b_{b(0) =}R∞

−∞b(t)dtseja pequeno.

22 CAPÍTULO 3. O GRANDE CRIVO E A DESIGUALDADE DE BRUN-TITCHMARSH

gráfico é o seguinte:

Figura 3.1.1.Funçãofb(θ) = max_{0,1_{− |}θ_|}.

Vamos calcularf a partir dafb. Temos:

f(t) =

Z

R

b

f(θ)e2πiθtdθ =

Z 0

−1

(θ+ 1)e2πiθtdθ+

Z 1

0

(1₋θ)e2πiθtdθ

=

Z 0

−1

θe2πiθtdθ₋

Z 1

0

θe2πiθtdθ+

e2πiθt 2πit

1

−1

=

θe2πiθt 2πit 0 −1 − 1 2πit Z 0 −1

e2πiθt_dθ−

θe2πiθt 2πit 1 0 + 1 2πit Z 1 0

e2πiθt_dθ+ e2πit−e−2πit 2πit

= e

−2πit

2πit −

1 (2πit)2 −

e−2πit (2πit)2

− e

2πit

2πit+

e2πit (2πit)2 −

1 (2πit)2

+sen(2πt)

πt

= e

2πit_+e−2πit₋₂ (2πit)2 =

eπit_−e−πit 2πit

2

=

sen(πt)

πt

2

.

Para a mudança de variáveis, definimosfn,δ(t) :=f n−₂δt. Sua transformada vale:

b

fn,δ(θ) =

Z ∞

−∞

_sen[π

2(n−δt)]

π

2(n−δt) 2

e−2πiθtdt

=

Z −∞

∞

_sen(π

2u)

π

2u 2

e−2πiθ(n−u)/δdu

−δ =

e−2πinθ/δ

δ

Z ∞

−∞

_sen(π

2u)

π

2u 2

e−2πiu(−θ/δ)du

= 2e

−2πinθ/δ

δ fb(−θ/δ) =

2e−2πinθ/δ

δ max{0,1− |θ/δ|}.

Para cumprir a terceira condição de(3.8), sendoC > 0, é suficiente definir:

bb(θ) := 2Cδ−1max_{1_{− |}θ/δ_|,0_} X δ(M+1)≤n≤δ(M+N)

e−2πinθ/δ,

e assim teremos:

b(t) =C X

δ(M+1)≤n≤δ(M+N) (

senπ

2(n−δt)

π

2(n−δt) )2