O Comprimento da Trajetoria de um Projetil
Theprojetilepathlength
Antonia D. S.Bruno
Departamento deEngenhariaMe^aniaeProdu~ao,
Universidade FederaldoCeara,
CaixaPostal 12144,60455-760, Fortaleza,CE,Brasil
J.Mauriio O.Matos
Departamentode Fsia, UniversidadeFederaldoCeara
CaixaPostal 6030,60451-970, Fortaleza,CE,Brasil
mauriiofsia.uf.br
Reebidoem16deoutubro,2001. Aeitoem4demaro,2002.
Nestetrabalhoapresentamosoaluloanaltiodoomprimentodatrajetoriadeumprojetilonde,
nasequa~oesdomovimento,einludaumaforadeatritodiretamenteproporionalaveloidade
doprojetil. Apesardapresenadaforaderesist^eniadoar,epossvelresolveranalitiamenteas
equa~oesdomovimentoedeterminaraequa~aodatrajetoriaeoseuomprimento.Comparamosos
resultadosobtidosomomodeloparabolioedeterminamoso^angulodelanamentoqueproporiona
omaioromprimentodatrajetoria.
Inthis work we present the alulation of the path length of a projetile where, inthe motion
equation, a drag fore diretly proportional to the veloity of the projetile has been inluded.
Despiteofthedragforeitispossibletosolvethemotionequationsanddeterminethepathandits
lengthexatly. Theobtainedresultsareomparedwiththeparabolimodelandthelaunhangle
thatgivesthegreatestpathlengthisomputed.
I Introdu~ao
A abordagem lassia do movimento de um projetil
lanado da superfie da terra geralmente resolve as
equa~oesdomovimentoe, subsequentemente,obtem a
equa~aodatrajetoria,otempodev^oo,aalturamaxima
atingida e o alane. O exemplomais simplesde um
estudo desta natureza, apresentado nos ursos
intro-dutorios de fsia para alunos de fsia eengenharias,
eo domovimento deum projetilque obedeeo
mod-eloparaboliodeGalileu[1℄,ondesedesprezaqualquer
inu^eniadaatmosfera. Reentementeessaabordagem
foiexpandidainluindo-seoalulodoomprimentoda
trajetoria doprojetil[2℄. Foimostradoqueepossvel,
a partirda equa~ao da trajetoria e mediante uma
in-tegra~ao,obter-seumaexpress~aoanaltiaparao
om-primento datrajetoria.
Quando se inluem os efeitos da resist^enia do
ar sobre o movimento de um projetil, a solu~ao das
equa~oes do movimento torna-se mais difil e n~ao
pode ser obtida analitiamente [3℄. No entanto, para
numerodeReynoldsR
e
<1:0,aforaderesist^eniado
ar pode ser assumida omo diretamente proporional
a veloidade do projetil [4,5℄ e podemos resolver as
equa~oesdomovimentoanalitiamente.
Nestetrabalhoapresentamos oalulo analtio do
omprimento da trajetoria de um projetil assumindo,
alem da fora gravitaional, uma fora de resist^enia
diretamente proporionalaveloidadedoprojetil. Na
se~ao II, apresentamos detalhes do alulo; na se~ao
III,omparamososresultadosobtidosomos
resulta-dos obtidos om o modelo parabolio, e na se~ao IV
apresentamosasonlus~oes.
II Detalhes do alulo
Nestase~aomostraremosoalulodoomprimentoda
trajetoriadeumprojetilnosmodelosparabolioeom
resist^eniadoar.
mentos difereniaisdS,dx edy, dS= p dx 2 +dy 2 :
Figura1. Ilustra~aodarela~aogeometriaentredS,dxe
dy.
Aintegra~aodedS seguediretamente
S= R
Z
0 r
1+( dy
dx )
2
dx; (1)
onde R eoalane. Conheendo-sea equa~aoda
tra-jetoria do movimento, S eobtidadiretamente atraves
da Eq. (01). Observando que dy / dx = v y / v x ;
pode-mos, alternativamente,determinarS integrandoaEq.
(01) no tempo, ou seja: para o modelo parabolio
v
x = v
0
os e v
y = v
0
sen gt onde v
0
e s~ao
re-spetivamente aveloidadee o^angulo delanamento.
Esrevemosent~ao
s 1+ dy dx 2 = s v 2
+( u gt) 2
v 2
;
ondev=v
0
os eu=v
0
sen. A integraldenida na
Eq. (1)podeseresritaomo
S= T Z 0 q v 2
+( u gt) 2
dt; (2)
ondeT =2u=geotempodev^oo. Fazendoamudana
de variavel, = u gt, podemos esrevera Eq. (2)
omo S= 2 g u Z 0 p v 2 + 2 d: (3)
A integral denida na Eq. (3) e uma integral
tabelada [6℄ que, resolvida e apos uma pequena
ma-nipula~aoalgebria,nosda
S= v
2
0
sen+os 2
ln(
1+sen
)
: (4)
AEq. (4)eamesmaequa~aoobtida,narefer^enia
[2℄,quandodS foi integradaemx.
b) Modeloomresist^enia do ar
Assumindo-seuma foraderesist^eniaomoarda
forma ~
F = b~v, asequa~oesdomovimentodoprojetil
s~aoesritasomo
x= kx_ (5a)
e
y= ky_ g: (5b)
Ondek=b=m,meamassadoprojetilegea
ae-lera~ao da gravidade. As equa~oes (5a)e (5b) podem
serintegradasfailmente[7,8℄forneendo
_ x=v
0 ose k t ; (6a) e _ y=(v
0 sen+ g k )e k t ; (6b)
Integrando as equa~oes (6a) e (6b), obtemos as
posi~oesx ey:
x= v 0 os k (1 e k t ); (7a) e y= 1 k v 0 sen+ g k 1 e k t g k t: (7b)
A equa~ao da trajetoria pode ser enontrada
eliminando-se o tempo entre as equa~oes (7a) e (7b),
obtendo-se
y=(tg+ g kv 0 os )x+ g k 2 ln(1 kx v 0 os ) (8)
OtempodesubidadoprojetiledeterminadodaEq.
(6b)omy_ =0,
t s = 1 k ln(1+ kv 0 sen g ) (9)
Substituindo o valor de t
s
na Eq. (7b),
determi-namosaalturamaximaatingidapelo projetil
H = v 0 sen k g k 2 ln(1+ kv 0 sen g ): (10)
Para estabeleermos o omprimento da trajetoria
proederemosomono asodomodeloparabolio,
in-tegraremosno tempo. Usandoasequa~oes (6a)e(6b)
esrevemos
dy
dx =
(ku+g) ge k t
kv
; (11)
ondeu ev s~ao denidas omo anteriormente.
Substi-tuindo a Eq. (11)na Eq. (1) eintegrando no tempo
S= T Z 0 p k 2 v 2
+(ku+g) 2
2g(ku+g)e k t +g 2 e 2k t kv ( v e k t
)dt : (12)
Fazendo-seumamudana devariavel,=e k t
e denindo=k 2
v 2
+(ku+g) 2
, b= 2g(ku+g)ea=g 2
, a
Eq. (12)podeseresritaomo
S= 1 k 2 " Z 1 p a 2
+b+
2
d (13)
onde"=e k T
eT eotempodev^oo. AintegraldenidanaEq. (13)eumaintegraltabelada[6℄que,resolvida,nos
fornee S= 1 k 2 f p
a+b+ r
a" 2
+b"+
" + p aln( 2 p a p a" 2
+b"++2a"+b
2 p
a p
a+b++2a+b ) + b 2 p ln[ (2 p p
a+b++b+2)"
2 p p a" 2
+b"++b"+2
℄g : (14)
d
Paraobtermos valoresdeS,eneessario
onheer-mos otempo de v^oo T. Ovalor de T pode ser
alu-ladoatravesdaEq. (7b)admitindo-sey =0:Ou seja,
otempodev^oosatisfazaequa~aotransendental
gT = u+ g k 1 e k T ; (15)
que pode ser resolvida graamente ou usando-seum
metodo numerio tal omo o metodo de Newton [9℄.
Nase~aoseguinte,faremosompara~oesentreos
resul-tados do modelo parabolio, Eq. (4) e o modelo om
foraderesist^eniadoar,Eq. (14).
III Resultados
Para veriarmos aexatid~aoda Eq. (14), integramos
numeriamenteaEq. (13)usandouma rotinabaseada
no algoritmo de Romberg [10℄. Fizemos tambem um
aluloaproximadodeS usando,naEq. (14),otempo
dev^ooobtidode umaleiempria,formuladapor
Lit-tlewood[11℄,quetemaseguinteforma:
T L = s 8H g : (16)
H e a altura maxima atingida pelo projetil e g e
a aelera~ao da gravidade. J. E. Littlewood foi um
pesquisadoringl^esqueestudouexaustivamenteos
pro-blemas de balstia durante a primeira grande guerra
mundial e estabeleeu a lei empria denida na Eq.
(16) para o movimento de projeteis lanados da
quandoomovimentodoprojetileparabolio. Podemos
investigaranaturezadaformula(16)nopresente aso
noregimedekT <<1. Iniialmente,expandimosa
ex-ponenialnaEq. (15)paradeterminarmosotempode
v^ooemsuessivasaproxima~oes[7,8℄,obtendo
T = ku+g
gk kT k 2 T 2 2 + k 3 T 3 6 : (17)
DividindoporT,podemosesreveraEq. (16)omo,
T = 2u
ku+g +
kT 2
3
: (18)
Nolimitek!0(modeloparabolio),aEq. (17)nos
forneeotempodev^ooorrespondente,T
0
=2u=g:De
modoque, sekebempequenomasn~aozero,otempo
de v^ooseriaaproximadamente igualaT
0
. Seusarmos
estevaloraproximadonaEq. (17),obteremosotermo
seguinteemprimeiraordememk:
T 1 = 2u g " 1+ ku g 1 + 2ku 3g # : (19)
Paraavaliarmosotermoku/g emompara~aoakT,
alulamos ku/g e kT para diferentes valores de v
0 e
Figura2. Curvasdeku=g ekT emfun~aodo^angulode
lanamento.
Podemos veriar que, para todos os asos,
ku=g<kTdemodoquepodemosexpandirotermo
en-tre par^enteses,Eq. 18,eesrever
T
1 =
2u
g
2ku 2
3g 2
: (20)
AEq. (20)nosdaotempodev^ooemprimeira
or-dem. Mostraremos agora que podemos determinar a
Eq. (20)apartirdalei deLittlewood. Usandoovalor
deH;Eq. (10),naEq. (16)eexpandindoologaritmo,
temos
T
L1 =
s
8
g
u
k g
k 2
ku
g k
2
u 2
2g 2
+ k
3
u 3
3g 3
:
Considerando termos ate primeira ordem, amos
om
T
L1 =
2u
g s
1 2ku
3g
que,expandindoaraizquadrada,nosfornee
T
L1 =
2u
g
1 1
2 2ku
3g
= 2u
g
2ku 2
3g 2
queeomesmo resultado da Eq. (20). Vemos, ent~ao,
quealei empria deLittlewood e,para oaso de
re-sist^enia do ar proporional a veloidade do projetil,
uma expans~ao em pot^enias de k e que oinide em
primeiraordemomovalorexatopara kpequeno.
Numeriamente, podemos estudar a disrep^ania
entrealeideLittlewoodeosresultadosexatosdo
pre-sentemodelo,denindooerroperentualrelativoomo:
=
T T
L
T
100% : (21)
Natabela1,mostramosvaloresdeparadiferentes
valoresdek, dev
0
edo ^angulode lanamento.
Pode-mos veriar que, para k < 1;0, os erros perentuais
relativos s~ao menores que 1,0%, indiando que neste
regimeaformuladeLittlewoodnosfornee temposde
v^ooompreis~aodestaordem.
Na tabela 2, mostramos uma ompara~ao entre o
resultadoaproximado,usandoaleideLittlewood para
otempodev^oonaEq. (14),eoresultadodaintegra~ao
numeriaeanaltiaomotempodev^ooobtidodaEq.
(15)resolvidapelometododeNewton. Adotandoo
sis-tema MKS, osvalores k = 0,1; 0,5; 1,0/s,v
0
= 20,0
m/s eg =10,0 m/s 2
s~ao assumidospara diversos
va-lores do ^angulo de lanamento. Observandoa tabela
2,notamosqueosresultadosanaltiosenumerioss~ao
iguaisnonumerodegurasapresentadas,eoresultado
aproximadoapresentaumadisrep^ania,resenteom
ovalordek;emrela~aoaoalulonumerioeanaltio.
Comoeradeseesperarparak=0,1/s,oerrorelativo
maximoede apenasde0,05%; noasodek=0,5 /s;
oerrorelativomaximoede0,89%;e parak=1;0/s,o
errorelativomaximosobepara2,5%.
NaFig. 3,mostramosograodoomprimentoda
trajetoria(S)edoalane(R )emfun~aodo^angulode
mo-v
0
=10,0 m/s eg=10,0m/s 2
:Claramente,ograo
mostraoefeitodaresist^eniadoarnoomprimentoda
trajetoria e no alane. Para ^angulos de lanamentos
maioresdoque10 0
,adiferenaentreosomprimentos
dastrajetoriasedosalanesaentua-seeastrajetorias
maximasorrespondentesdiferememmaisde30%. Os
alanesmaximos,porsuavez,diferememmaisde32
% .
Para lanamentos vertiais ( = =2) os
ompri-mentos dastrajetoriaspodem serobtidosfailmente e
podemosdeterminaradiferenadeomprimentoentre
as duastrajetoriaspelaseguinteexpress~ao:
S=S
0
( =2) S
k
(=2)= 2g
k 2
ln
1+ kv
0
g
+ v
2
0
g 2v
0
k
: (22)
d
Tabela2. Compara~aodoomprimentodatrajetoriadeumprojetil. Caluloaproximado,numerioeanaltio.
0
=10;0m/s,g=10;0m/s 2
.
Podemos notar que, no limite k ! 0, temos que
S!0equandok!1,S! v
2
0
g
, queeovalordo
omprimentodatrajetoriadomodeloparabolio. Para
o asomostrado na Fig. 3, a Eq. (22) nosdaS =
2,44m, que esta de aordo om o valor alulado na
gura.
NasFigs. 4e5,mostramososgraosdeumestudo
doomprimentodatrajetoriaedoalaneemfun~aodo
par^ametrok:ApresentamosurvasdeSeRemfun~ao
Figs. 5e7temos agoraosresultadosdeS eR para k
= 0,5/s ediferentes veloidadesdelanamento: v
0 =
5,0; 10,0e20,0m/s.
Figura 3. Grao de S e R em fun~ao do ^angulo de
lanamento paraomodelo parabolio (linha pontilhada)e
paraomodeloomresist^eniadoar(linhaontnua).
Figura4. CurvasdeSemfun~aodo^angulodelanamento
paradiferentesvaloresdek.
Figura5.CurvasdeRemfun~aodo^angulodelanamento
Figura6. CurvasdeS emfun~aodo^angulodelanamento
paradiferentesveloidadesiniiais. k=0,1/s.
Figura7. CurvasdeRemfun~aodo^angulodelanamento
paradiferentesveloidadesiniiais. k=0.1/s.
Fazendo dS/d =0 na Eq. (4), podemos
determi-naro^angulodelanamento,queproduzatrajetoriade
maior omprimento no modelo parabolio, para uma
dadaveloidadedelanamento,ouseja,
sen
max ln
1+sen
max
os
max
=1 (23)
A Eq. (23) e uma equa~ao transendental uja
solu~ao pode ser obtida graamente ou, por
exem-plo, pelo metodo de Newton [7℄. Resolvendo (23)
pelo metodo de Newton, obtivemos, para o modelo
parabolio, o^angulo de lanamento queproduza
tra-jetoria de maior omprimento independentemente do
valor da veloidade de lanamento. O valor de
max
aluladoomdezesseisgurase
max
=56,4658351274523 50 0
:
Para obtermos
max
para o modelo om atrito
derivamos numeriamente a urva S() e veriamos
o^angulo para oqual aderivada se anula. NaFig. 8,
Figura 8. Grao de S e dS=d em fun~ao do ^angulo de
lanamento.
Finalmente, na Fig. 9, apresentamos os valores
maximosdoomprimento datrajetoria,doalaneem
fun~aodekemostramostambemosvalores
orrespon-dentesde
max
. Aveloidadedelanamentofoi: v
0 =
20,0 m/s.
E interessante notar que, quandok rese,
o^angulodelanamentoquedaRmaximodiminui;
en-quantoque,paraoomprimentodatrajetoria,o^angulo
quedaS maximoaumentaparav
0 xa.
Figura 9. Valores do omprimento maximo datrajetoria,
doalanemaximo,maxek.
IV Conlus~oes
A determina~aodo movimento deumprojetillanado
da superfie da terra e um problema importante na
historia da me^ania. O modelo mais simples,
movi-mentodoprojetilnaaus^eniadaatmosfera,eabordado
nosursosintrodutoriosdefsiaomoumexemplo
im-portantedemovimentoemduasdimens~oes. Apresena
da atmosferaintroduz foras de atritoque ompliam
aobten~aodassolu~oesparaesteproblema. Neste
tra-balhoanalisamosummodelodemovimentodeprojetil
que,alemdaforagravitaional,inluiumaforade
ar-rastediretamenteproporionalaveloidadedoprojetil.
Resolvemosanalitiamente as equa~oes do movimento
ederivamosumaexpress~aoparaoomprimentoda
tra-jetoria. No desenvolvimento deste trabalho, tanto o
tratamentoanaltioomoousodemetodosnumerios
foram neessarios e podem ser implementados omo
exemplo,nosursosbasiosdeme^ania,ensejandoao
estudanteexperi^eniateoriaeomputaional.
Agradeimentos
AgradeemosaoProf. LindbergL.Gonalvespelas
valiosas disuss~oes e ao arbitro pelas sugest~oes. Este
trabalhofoinaniadoparialmentepelaFINEP.
Refer^enias
[1℄ S.Drake, J. MaLahlan, Senti Amerian, maro,
(1975).
[2℄ H.Seraan, ThePhys.Teaher,fevereiro, (1999).
[3℄ J. Fazuri, J. M. O. Matos, Rev. Bras. de Ensino de
Fsia,20,327(1998).
[4℄ S. Timoshenko, D. H. Young, Advaned Dynamis,
MGraw{HillBookCompany,In.(1948).
[5℄ Timmerman, Jaobus P. van der Weele, Am. J.
Physis,67,538(1999).
[6℄ M. S.Spiegel,Manual de formulas, metodose tabelas
de matematia, Makron, MGraw-Hill, (Cole~ao
Shaum),Segundaedi~ao,pg.107(1992).
[7℄ K. R. Symon, Mehanis, Third Edition,
Addison-Wesley,(1971).
[8℄ J. B. Marion, S. T. Thorton, Classial Dynamis of
Partiles and Systems, Saunders College Publishing,
(1970).
[9℄ P. L. DeVries, A rst Course in Computational
Physis,Wiley,(1994).
[10℄ W. H. Press, S. A.Teukolsky,B. P.Flannery, W. T.
Vetterling,NumerialReipes,theartofsienti
om-puting, CambridgeUniversityPress, Seond Edition,
(1992).
[11℄ J. E. Littlewood, A Mathematiian's Misellany,
Mathuen, London (1953); Math. Gazette, 52, 132
(1968); Adventures in ballistis I, II (1915-1918):
