Revista Brasileira de Ensino de F´ısica,v. 32, n. 4, 4301 (2010) www.sbfisica.org.br
Artigos Gerais
Deslocamento da for¸ca normal `
a superf´ıcie de apoio a um corpo em
equil´ıbrio na presen¸ca da for¸ca de atrito
(The displacement of normal force to the support surface of a body in equilibrium in the absence of friction forces)
Eden V. Costa
1e C.A. Faria Leite
Instituto de F´ısica, Universidade Federal Fluminense, Niter´oi, RJ, Brasil
Recebido em 23/9/2009; Aceito em 15/11/2009; Publicado em 25/2/2011
A representa¸c˜ao do equil´ıbrio de um corpo por meio da figura de um bloco apoiado sobre uma superf´ıcie plana nos ´e muito familiar, pois ´e recorrente nos livros did´aticos de f´ısica b´asica. No entanto, na maioria dos casos onde a for¸ca de atrito est´a presente, esta representa¸c˜ao, em geral, necessita de maior rigor. Pois, sob esta condi¸c˜ao, a for¸ca normal `a superf´ıcie desloca-se lateralmente, e, ent˜ao, deixa de ter o mesmo suporte do peso, fato este, quase sempre, negligenciado nos livros did´atico de f´ısica b´asica. Neste artigo, faremos a an´alise das condi¸c˜oes de equil´ıbrio de um corpo na presen¸ca do atrito e discutiremos o deslocamento lateral da for¸ca normal `
a superf´ıcie de apoio ao corpo.
Palavras-chave: equil´ıbrio, atrito, deslocamento.
The equilibrium representation of a body by means of a figure of a block resting on a plane surface is very familiar to us since it is recurrent in the textbooks of fundamental physics. Nevertheless, in most of the cases where the frictional force is present, this representation, in general, requires greater strictness. Under this con-sideration, the normal force to the surface is displaced sideways, leaving the same line action of the weight force, and this fact is almost always neglect in the textbooks of fundamental physics. In this paper we will analyze the equilibrium conditions of a body in the presence of frictional forces and we will discuss the lateral displacement of the normal force to the support surface of a body.
Keywords: equilibrium, frictional, displacement.
1. As condi¸
c˜
oes de equil´ıbrio
O equil´ıbrio de um corpo ´e definido a partir dos con-ceitos de for¸ca e de torque. O conceito de for¸ca nos acompanha desde crian¸ca, quando, adquirimos a id´eia de que for¸ca e esfor¸co muscular s˜ao sinˆonimos. O torque est´a ligado `a id´eia de rota¸c˜ao. E, ´e comum apresent´a-lo utilizando como exemplo o ato de abrir ou de fechar portas. Sendo assim, s˜ao conceitos presentes em nosso dia-a-dia, vivˆencia de um longo cotidiano, e, apreen-didos intuitivamente. Finalmente, aprendemos que as condi¸c˜oes para o equil´ıbrio de um corpo s˜ao: (1) a resul-tante do sistema de for¸cas que agem sobre o corpo deve ser nula; (2) o torque resultante do sistema de for¸cas que age sobre o corpo, deve ser nulo.
Uma ilustra¸c˜ao comum nos livros de f´ısica b´asica ´e um bloco em repouso, apoiado sobre uma superf´ıcie plana horizontal na presen¸ca da for¸ca de atrito (Fig. 1). A an´alise da figura mostra que a representa¸c˜ao das for¸cas est´a compat´ıvel com a condi¸c˜ao da for¸ca resul-tante nula, entretanto, incompat´ıvel com a condi¸c˜ao do torque resultante nulo. Pois, o bin´ario formado pelo
pesoP e pela for¸ca normal N n˜ao equilibra o bin´ario formado pela for¸caFe pela for¸ca de atrito Fat. Logo, esta representa¸c˜ao est´a em desacordo com as condi¸c˜oes estabelecidas para o equil´ıbrio de um corpo. Na Fig. 2 vˆe-se a representa¸c˜ao compat´ıvel. Nela, o deslocamento da normal N torna o bin´ario (P, N) capaz de equi-librar o bin´ario (F, Fat), e, assim, representar um torque resultante nulo, compat´ıvel com o equil´ıbrio de um corpo [1].
Figura 1 - Bloco homogˆeneo em equil´ıbrio sobre uma superf´ıcie plana horizontal, sob a a¸c˜ao das for¸cas: pesoP, normalN, atrito
Fat eF. Nesta representa¸c˜ao o bin´ario (P,N) n˜ao equilibra o bin´ario (F,Fat).
1E-mail: eden@if.uff.br.
4301-2 Costa e Leite
Figura 2 - Bloco homogˆeneo em equil´ıbrio sobre uma superf´ıcie plana horizontal, sob a a¸c˜ao das for¸cas: pesoP, normalN, atrito
Fat eF. O deslocamento da normal Ntorna o bin´ario (P,N) capaz de equilibrar o bin´ario (F,Fat).
2.
O deslocamento da for¸
ca normal `
a
superf´ıcie de apoio ao corpo
Vamos aplicar as condi¸c˜oes de equil´ıbrio ao cubo em repouso representado na Fig 3. A resultante nula nos d´a
F = Fat, (1)
N=P. (2)
O torque resultante nulo, em rela¸c˜ao ao ponto O, nos d´a
F y+N(2L−x)−P L= 0. (3)
Sabendo queFat =µeN eP =mg, podemos escre-ver
y=(x−L)
µe
, (4)
y= µ 1
µe ¶
x−
µ
L µe
¶
, (5)
y=ax−b, (6)
Figura 3 - Cubo homogˆeneo de aresta 2Lem repouso sobre uma superf´ıcie plana horizontal, sob a a¸c˜ao das for¸cas: pesoP, nor-malN, atritoFat eF. A distˆancia entre a linha de a¸c˜ao da for¸ca horizontal F e a superf´ıcie de apoio ao corpo ´ey. A distˆancia entre a linha de a¸c˜ao da normalN e a face esquerda do cubo ´e
x.
ondea= (1/µe) eb = (L/µe). A Eq. (6) ´e a equa¸c˜ao de uma reta. Logicamente, a dependˆencia entreyex´e linear.
Se a for¸caFfor nula, a for¸ca de atritoFat tamb´em ser´a nula. Neste caso, a linha de a¸c˜ao do pesoP coin-cidir´a com a linha de a¸c˜ao da for¸ca normalN, e, assim,
x=L. Logo, este ´e o menor valor de x. Fica evidente, que o maior valor dex´e igual a 2L. Portanto, a for¸ca normal N pode deslocar-se no intervalo L ≤ x ≤ 2L
(veja a Fig. 4).
Figura 4 - Distˆancia y entre a linha de a¸c˜ao de uma for¸ca horizon-talFaplicada na face direita de um cubo homogˆeneo de aresta 2Lem repouso, apoiado sobre uma superf´ıcie plana horizontal,
vs. distˆanciaxentre a linha de a¸c˜ao da for¸ca normalNe a face
esquerda do cubo. A regi˜ao hachurada n˜ao tem significado f´ısico.
Em nossa an´alise, consideramos o cubo em repouso, isto ´e, em equil´ıbrio est´atico. ´E ´obvio que, se o cubo estiver em movimento uniforme, ou seja, em equil´ıbrio dinˆamico, a discuss˜ao tamb´em ´e v´alida.
3.
Uma aplica¸
c˜
ao
Considere o cubo da Fig. 3. Suponha a aresta 2L = 48 cm, a for¸ca horizontal F = 300 N e o peso
P = 500 N. A Eq. (3) nos d´a
300y+ 500(48−x)−500(24) = 0. (7) Quando o cubo estiver na iminˆencia de tombar em torno do ponto O, a linha de a¸c˜ao da for¸ca normalN es-tar´a na posi¸c˜ao limitex= 48 cm, condi¸c˜ao sob a qual
y = 40 cm. Se aumentarmos o valor de y, o bin´ario formado pelas for¸cas P e N n˜ao poder´a equilibrar o bin´ario formado pelas for¸cas Fe Fat, e, ent˜ao o cubo tombar´a em torno do ponto O. Da mesma forma haver´a tombamento se mantivermosy= 40 cm e aumentarmos o valor da for¸caF, pois, a situa¸c˜ao apresentada ´e limite, o equil´ıbrio ´e inst´avel.
Deslocamento da for¸ca normal `a superf´ıcie de apoio a um corpo em equil´ıbrio na presen¸ca da for¸ca de atrito 4301-3
para o plano horizontal, fica evidente que numa repre-senta¸c˜ao adequada, a linha de a¸c˜ao da for¸ca normal ao plano n˜ao dever´a passar pelo centro de massa de um bloco (Fig. 5).
Figura 5 - Bloco homogˆeneo em equil´ıbrio sobre um plano incli-nado de um ˆanguloθ, sob a a¸c˜ao das for¸cas: pesoP, normalN
e for¸ca de atritoFat. A linha de a¸c˜ao da for¸ca normal ao plano dever´a estar deslocada em rela¸c˜ao ao centro de massa do bloco.
4.
Um coment´
ario
A ciˆencia que estuda a intera¸c˜ao entre superf´ıcies, sub-metidas a cargas e a movimentos relativos chama-se tri-bologia. Palavra derivada das palavras grega, tribo que significa atrito e logos que significa estudo. De forma que, em uma tradu¸c˜ao literal pode ser entendida como o estudo do atrito. A tribologia ´e uma vasto campo de pesquisa. Um estudo detalhado poder´a ser feito no livroThe Friction and Lubrication of Solids [2].
5.
Conclus˜
oes
Como vimos, na representa¸c˜ao das for¸cas aplicadas a um corpo em equil´ıbrio, est´atico ou dinˆamico, apoiado
sobre uma superf´ıcie plana na presen¸ca da for¸ca de atrito, deve-se levar em conta o deslocamento lateral da for¸ca normal `a superf´ıcie de apoio ao corpo. A falta de rigor nesta representa¸c˜ao fere frontalmente uma das condi¸c˜oes para o equil´ıbrio de um corpo: o torque re-sultante nulo. A an´alise e a discuss˜ao em classe deste tema foi importante, pois, nos surpreendeu constatar que muitos estudantes jamais haviam atentado para este detalhe. Certamente, pelo fato de quase sempre estar negligenciado nas representa¸c˜oes que aparecem nos livros did´aticos de f´ısica b´asica. Isto nos motivou destacar a importˆancia do rigor na representa¸c˜ao de um modelo f´ısico. No entanto, devemos ter em mente que, os textos de f´ısica dirigidos ao ensino m´edio, logi-camente, d˜ao ˆenfase ao equil´ıbrio de uma part´ıcula. E, neste caso, apenas a condi¸c˜ao da for¸ca resultante nula ´e suficiente. Por´em, por outro lado, isto nos fez pressupor que, muitos estudantes confundem corpo com part´ıcula. Assim, este texto d´a oportunidade para uma impor-tante discuss˜ao sobre as condi¸c˜oes de equil´ıbrio de um corpo e, tamb´em, sobre o rigor na sua representa¸c˜ao. Portanto, ´e capaz de preencher a lacuna existente nos livros did´aticos de f´ısica b´asica, que, em geral, negli-genciam o deslocamento da for¸ca normal `a superf´ıcie de apoio ao corpo.
Referˆ
encias
[1] Alaor Chaves e J.F. Sampaio,F´ısica B´asica: Mecˆanica
(LTC Editora, Rio de Janeiro, 2007).
