Estimativa da incerteza de medição de um sistema utilizado para caracterização eletrônica de materiais semicondutores

(1)

ESTIMATIVA DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO DE UM SISTEMA

UTILIZADO PARA CARACTERIZAÇÃO ELETRÔNICA DE MATERIAIS

SEMICONDUTORES

ANELISE FERNANDES BORCELLI

BACHAREL EM FÍSICA MÉDICA E LICENCIADA EM FÍSICA

DISSERTAÇÃO PARA A OBTENÇÃO DO TÍTULO DE MESTRE EM ENGENHARIA E TECNOLOGIA DE MATERIAIS

(2)

ESTIMATIVA DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO DE UM SISTEMA

UTILIZADO PARA CARACTERIZAÇÃO ELETRÔNICA DE MATERIAIS

SEMICONDUTORES

ANELISE FERNANDES BORCELLI

BACHAREL EM FÍSICA MÉDICA E LICENCIADA EM FÍSICA

ORIENTADORA: PROFª. DRª. BERENICE ANINA DEDAVID

Dissertação de Mestrado realizada no Programa de Pós-Graduação em Engenharia e Tecnologia de Materiais (PGETEMA) da Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul, como parte dos requisitos para a obtenção do título de Mestre em Engenharia e Tecnologia de Materiais.

Trabalho financiado pelo Projeto Casadinho/Procad-CNPq 2012-2016-PROCESSO Nº 552415/2011-1, bolsa de incentivo PUCRS e bolsa-taxa HP (três meses finais).

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(4)

A ciência não é, e nunca será, um livro terminado. Todo progresso importante levanta novas questões. Dificuldades novas e mais profundas são reveladas posteriormente a cada desenvolvimento.

(5)

(6)

Aos meus familiares, pela compreensão durante estes anos de superação nos quais estive ausente em muitas ocasiões.

À minha orientadora, profa. Dra. Berenice Anina Dedavid, por perseverar e acreditar que eu seria capaz de desenvolver esse trabalho quando eu estava quase desistindo.

À minha colega Morgana Streicher, por conceder as amostras para o desenvolvimento desta pesquisa.

Aos queridos professores e colegas do Programa de Pós-Graduação em Engenharia e Tecnologia de Materiais, meus respeitosos e sinceros agradecimentos.

À Equipe Administrativa do Programa de Pós-Graduação em Engenharia e Tecnologia de Materiais, especialmente às secretarias Cláudia Marina Meira e Viviane Nunes Dorneles, que sempre estiveram dispostas a ajudar nos momentos de dificuldades.

Ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia e Tecnologia de Materiais pelo acolhimento.

À PUCRS pelo aporte financeiro por meio da sua Política de Incentivo à Educação que me concedeu desconto para cursar o Mestrado.

(7)

D

EDICATÓRIA

... 5

A

GRADECIMENTOS

... 6

INTRODUÇÃO ... 20

OBJETIVOS ... 22

Objetivos Específicos ... 22

REVISÃO

BIBLIOGRÁFICA ... 23

Materiais Semicondutores ... 24

Semicondutores Extrínsecos ... 27

Propriedades Elétricas dos Semicondutores ... 30

Caracterização Eletrônica de Semicondutores ... 32

Medidas Eletrônicas ... 32

Método de Van der Pauw ... 34

Medidas de Efeito Hall ... 37

Contatos Metal-Semicondutor Ôhmicos ... 40

Avaliação dos Resultados de uma Medição ... 40

Estimativa da Incerteza de Medição ... 41

Precisão do Sistema de Medição ... 51

MATERIAIS

E

MÉTODOS ... 53

Sistema de Medição ... 53

Preparação das Amostras ... 54

Procedimento de Medição ... 57

Medição da Resistividade ... 59

(8)

Resultados das Medições ... 63

Espessura das Amostras ... 63

Contatos Metal-Semicondutor ... 69

Propriedades Elétricas ... 74

Avaliação das Fontes de Incerteza ... 80

Precisão do Sistema de Medição ... 81

Condições de Repetibilidade ... 81

Condições de Precisão Intermediária ... 82

Condições de Reprodutibilidade ... 84

Planilha de Incerteza ... 85

CONCLUSÕES ... 90

PROPOSTAS

PARA

TRABALHOS

FUTUROS ... 93

(9)

Figura 3.1. Ilustração do modelo de bandas de energia para um semicondutor (Fonte: KITTEL, 2004). ... 24

Figura 3.2. Modelo de ligações químicas de semicondutores (Fonte: SWART, 2013). ... 25

Figura 3.3. Esquema do modelo de ligações e de bandas de energia para visualização dos estados: (a) sem portadores; (b) com elétron livre; e (c) com lacuna (Fonte: SWART, 2013). ... 26

Figura 3.4. (a) Função de Fermi-Dirac e (b) diagrama de bandas de um semicondutor a uma temperatura bem maior que 0 K, com igual número de elétrons na banda de condução e de lacunas na banda de valência (Fonte: SWART, 2013). ... 26

Figura 3.5. Diagrama da banda de energia do (a) silício e do (b) GaSb (SHEEL, 2000). ... 27

Figura 3.6. Ilustração do modelo de bandas de energia para um semicondutor do tipo n. (a) Estado doador localizado dentro do espaçamento entre bandas para T = 0 K. (b) Excitação de um elétron livre de um estado doador para a banda de condução para T > 0 K (Fonte: SWART, 2013). ... 28

Figura 3.7. Ilustração do modelo de bandas de energia para um semicondutor do tipo p. (a) Estado receptor localizado dentro do espaçamento entre bandas para T = 0 K. (b) Excitação de um elétron para o estado receptor para T > 0 K (Fonte: SWART, 2013). ... 29

Figura 3.8. (a) Barra de material semicondutor de comprimento L e seção de área A com aplicação de uma tensão V; (b) Representação esquemática da medida de quatro pontas (Fonte: SWART, 2013). ... 33

Figura 3.9. Esquema da configuração utilizada no método de Van der Pauw para determinar as resistências características (a) RA e (b) RB (Fonte: NIST,

2011). ... 35

Figura 3.10. Representação da medida de efeito Hall em sólido com portadores de: (a) cargas negativas; (b) cargas positivas (Fonte: SWART, 2013; HALL, 1879). ... 38

Figura 3.11. Etapas propostas no GUM para estimar a incerteza de uma medição. 41

(10)

Figura 4.1. Sistema de medição Hall, modelo HMS-3000, Ecopia®. ... 53

Figura 4.2. Sistema de teste. (a) Fotografia do sistema de teste. (b) Desenho esquemático dos itens que compõem o sistema de teste. ... 54

Figura 4.3. (a) Cristal de GaInSb e no esquema as partes 1, 2 e 3 de onde foram retiradas as amostras. (b) Fotografia da amostra preparada para as medições Hall. ... 55

Figura 4.4. Relógio comparador analógico utilizado para medir a espessura das amostras... 55

Figura 4.5. Pontos de solda fria nos quatro cantos da amostra. ... 56

Figura 4.6. Amostra posicionada no porta-amostras. ... 56

Figura 4.7. Identificação dos contatos para medidas pelo método de Van der Pauw. ... 58

Figura 4.8. Sentido positivo da densidade do fluxo magnético (sentido norte-sul). ... 61

Figura 4.9. Sentido negativo da densidade do fluxo magnético (sentido sul-norte). . 61

Figura 5.1. Gráfico do comportamento do contato ôhmico da amostra C1. (a) Curva antes das medições de tensão; (b) Curva depois das medições de tensão. ... 70

(11)

Figura 5.6. Gráfico do comportamento do contato ôhmico da amostra D3. (a) Curva antes das medições de tensão; (b) Curva depois das medições tensão. ... 71

Figura 5.7. Gráfico do comportamento do contato ôhmico da amostra F1. (a) Curva antes das medições de tensão; (b) Curva depois das medições de tensão. ... 72

Figura 5.10. Gráfico do comportamento do contato ôhmico da amostra G1. (a) Curva antes das medições de tensão; (b) Curva depois das medições de tensão. ... 73

Figura 5.13. Gráfico dos valores de tensão entre os contatos para polarização direta. ... 75

Figura 5.14. Gráfico dos valores de tensão em função da corrente elétrica direta.... 76

Figura 5.15. Gráfico dos valores de tensão entre os contatos para polarização inversa. ... 77

Figura 5.16. Gráfico dos valores de tensão em função da corrente elétrica inversa. 78

Figura 5.17. Carta de controle das medidas de tensão na amostra G1 em três dias diferentes... 83

(12)

Tabela 3.1. Exemplos de materiais semicondutor, bom isolante, e bom condutor (KITTEL, 2004; SWART, 2013; WANG, et al., 2010). ... 24

Tabela 4.1. Composição química dos lingotes utilizados nesse estudo. ... 54

Tabela 5.1. Resultado das medições da espessura das amostras. ... 68

Tabela 5.2. Valores medidos das tensões entre os contatos da amostra G1 na temperatura de 300 K com polarização direta. ... 74

Tabela 5.3. Valores medidos das tensões recíprocas entre os contatos da amostra G1 na temperatura de 300 K com polarização direta. ... 76

Tabela 5.4. Valores medidos das tensões entre os contatos da amostra G1 na temperatura de 300 K com polarização inversa. ... 77

Tabela 5.5. Valores medidos das tensões recíprocas entre os contatos da amostra G1 na temperatura de 300 K com polarização inversa. ... 78

Tabela 5.6. Propriedades elétricas obtidas após aplicar uma corrente elétrica de 2 mA na temperatura de 77 K. ... 79

Tabela 5.7. Propriedades elétricas obtidas após aplicar uma corrente elétrica de 2 mA na temperatura de 300 K. ... 79

Tabela 5.8. Valores medidos da tensão V (em mV) entre os contatos após aplicar uma corrente de 1,00 mA com polaridade inversa na amostra G1 na temperatura de 300 K. ... 81

(13)

Tabela 5.13. Valores medidos das tensões V (em mV) entre os contatos após aplicar uma corrente de 3,00 mA com polaridade inversa na amostra G1 em 77 K. ... 84

Tabela 5.14. Valores medidos das tensões V (em mV) entre os contatos após aplicar uma corrente de 5,00 mA com polaridade inversa na amostra G1 em 77 K. ... 85

(14)

LISTA DE QUADROS

Quadro 4.1. Relação das grandezas de entrada configuradas no software. ... 57

Quadro 4.2. Grandeza de saída do sistema de medição. ... 57

Quadro 4.3. Notação dos símbolos utilizados para as tensões de saída do sistema de medição. ... 58

Quadro 4.4. Relação das grandezas de saída do modelo de medição. ... 59

Quadro 4.5. Configuração das grandezas de entrada no software. ... 60

Quadro 5.1. Planilha para o cálculo da incerteza das medições da espessura da amostra C1. ... 64

Quadro 5.4. Planilha para o cálculo da incerteza das medições da espessura da amostra D1. ... 65

Quadro 5.7. Planilha para o cálculo da incerteza das medições da espessura da amostra F1. ... 66

(15)

Quadro 5.11. Planilha para o cálculo da incerteza das medições da espessura da

amostra G2. ... 67

Quadro 5.12. Planilha para o cálculo da incerteza das medições da espessura da amostra G3. ... 68

Quadro 5.13. Algumas possíveis fontes de erro do sistema de medição. ... 80

Quadro 5.14. Planilha para cálculo da incerteza das medições da tensão Vab. ... 87

Quadro 5.15. Planilha para cálculo da incerteza das medições da tensão Vbc. ... 87

Quadro 5.16. Planilha para cálculo da incerteza das medições da tensão Vac. ... 87

Quadro 5.17. Planilha para cálculo da incerteza das medições da tensão Vcd. ... 88

Quadro 5.18. Planilha para cálculo da incerteza das medições da tensão Vda. ... 88

(16)

LISTA DE SÍMBOLOS

 velocidade de deriva dos portadores de carga cm/s

 resistividade elétrica Ω.m

 condutividade elétrica (Ω.m)-1

 mobilidade dos portadores cm2_/Vs

n mobilidade dos elétrons cm2/Vs

p mobilidade das lacunas cm2/Vs

A área cm2

a amplitude do intervalo __

B campo magnético T

ci coeficiente de sensibilidade __

d espessura da amostra cm

EC energia do nível mínimo da banda de condução eV

EF energia do nível de Fermi eV

EG largura da banda proibida eV

EV energia do nível máximo da banda de valência eV

F força magnética N

G fator de forma dependente da geometria __

i corrente elétrica A

k fator de abrangência __

n concentração de portadores de carga cm3

N dopagem da impureza doadora ou aceitadora __

n número de observações repetidas __

N número de fontes de entrada __

ns densidade superficial de cargas cm2

nt número total de pares dos valores __

p concentração de lacunas no semicondutor cm-3

P probabilidade de abrangência __

q carga elétrica do elétron C

R resistência elétrica Ω

(17)

RH coeficiente Hall cm /C

RS resistência de folha Ω/□

rx,y coeficiente de Pearson __

S distância entre dois pontos cm

s(xi) desvio-padrão __

T temperatura K

U incerteza expandida __

�

̅ incerteza-padrão __

u(xi) incerteza-padrão de cada fonte de entrada __

uc(y) incerteza-padrão combinada __

uxi(y) componente de incerteza do mensurado __

V diferença de potencial ou tensão elétrica V

veff graus de liberdade efetivos __

VH tensão Hall V

vi graus de liberdade de cada fonte de entrada __

xi grandeza de entrada __

Xi fonte de incerteza de entrada __

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RESUMO

Borcelli, Anelise. Estimativa da incerteza de medição de um sistema utilizado para caracterização eletrônica de materiais semicondutores. Porto Alegre. 2015. Dissertação. Programa de Pós-Graduação em Engenharia e Tecnologia de Materiais, Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul.

A proposta desse trabalho foi apresentar um estudo de caso da aplicação do método clássico para a avaliação dos dados de medição e para a expressão da incerteza de medição. O objeto de estudo foi um cristal semicondutor definido como amostra do ensaio com base na sua estrutura eletrônica. O sistema de medição permite caracterizar a amostra através do método de Van der Pauw e do efeito Hall para determinar a resistividade e o coeficiente Hall do cristal. A escolha de um semicondutor como objeto de estudo e um método de caracterização eletrônica para avaliação da incerteza de medição é devida a sua importância na fabricação de dispositivos utilizados em praticamente todos os produtos eletrônicos. Primeiramente, foi realizada uma revisão da literatura sobre as características dos semicondutores para compreensão dos resultados que foram obtidos; em seguida, o desenvolvimento de uma pesquisa dos fenômenos físicos que explicam as medições realizadas; e, por último, a apresentação das características técnicas do sistema de medição destinado para obtenção dos valores das grandezas de estudo. Após, foi apresentado o método para avaliação da incerteza, e analisadas as fontes de incerteza inerentes ao processo de medição e aos fenômenos físicos envolvidos, e identificadas as componentes que não afetam o resultado da medição. O produto final desse trabalho foi uma planilha de cálculo com o balanço de incerteza para avaliação dos resultados das medições. Essa planilha foi desenvolvida para o sistema de medição utilizado nesse trabalho. Entretanto, propõem-se que seja testada por outros usuários para avaliação dos resultados obtidos com outro conjunto de instrumentos de medição.

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ABSTRACT

BORCELLI, Anelise. Uncertainty measurement of a system used by electronics characterization of semiconductors materials. Porto Alegre. 2015. Master. Graduation Program in Materials Engineering and Technology, PONTIFICAL CATHOLIC UNIVERSITY OF RIO GRANDE DO SUL.

The purpose of this paper was to present a case on the application of the classic method for the evaluation of measurement data and expression of uncertainty in measurement. The object of study was a semiconductor crystal defined as test sample based on their electronic structure. The measurement system allow characterizing the sample by Van der Pauw technique and Hall effect to determine the resistivity and the Hall coefficient of the crystal. The choice of the semiconductor as the object of study and an electronic characterization method for evaluation of uncertainty in measurement is due to its importance in the manufacture of devices used in virtually all electronic products. Firstly, there was be a review of the literature about the characteristics of semiconductors for understanding the results that was be obtained; then, developing a research of physical phenomena that explain the measurements; and finally the presentation of the technical characteristics of the measuring system designed to obtain the values of the study variables. Eventually, classic method was be present and the inherent sources of uncertainty in measurement process was be analyzed as well as the physical phenomena involved and identifying the components that do not affect the measurement results. The final product of this work was be an uncertainty budget for evaluation of measurements. This worksheet was be developed for the measurement system used in this work. However, it is proposed that it should be is tested by other users to evaluate the results obtained with another set of measuring instruments.

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INTRODUÇÃO

Na etapa atual do desenvolvimento humano, denominada sociedade da informação, as condições de geração do conhecimento e processamento da informação foram alteradas por uma revolução tecnológica centrada nas tecnologias da informação. O domínio da informação e do conhecimento constituem a atividade social e econômica predominante, fundamentada na geração, no armazenamento, no tratamento, na transmissão e no uso da informação. Essencialmente, os produtos da sociedade da informação são baseados no emprego de dispositivos eletrônicos fabricados em semicondutores.

Apesar de todo o progresso ocorrido, especialmente durante o século XX, em relação aos conhecimentos da ciência básica dos materiais e seu desenvolvimento, continuam existindo demandas e desafios para a obtenção de novos materiais. Como por exemplo, materiais para a fabricação de circuitos integrados mais potentes, com mais funções, mais rápidos, de menor consumo de potência, de menor tamanho e mais baratos.

Nesse contexto, a caracterização eletrônica de materiais semicondutores é de fundamental importância. O conhecimento das propriedades desses materiais define a sua aplicação em diversas áreas, como por exemplo: na microeletrônica, nos dispositivos optoeletrônicos e estruturas fotônicas, nos sensores e atuadores, na micromecânica, nas estruturas para biologia e medicina, na fabricação de placas de circuitos impressos e suas evoluções.

(21)

sem avaliar a confiabilidade metrológica desses sistemas não é possível associar uma indicação quantitativa da qualidade do resultado destas medições.

A incerteza de medição é a indicação quantitativa da qualidade do resultado de medições. Com a sociedade globalizada, tornou-se necessária a definição de uma metodologia internacionalmente aceita para a estimativa da incerteza, permitindo a comparabilidade entre os resultados obtidos em diferentes laboratórios ou instituições. O início da elaboração do Guia para a Expressão de Incerteza de Medição (GUM) ocorreu em 1977 após o reconhecimento do Comitê Internacional de Pesos e Medidas (CIPM) da ausência de um consenso mundial sobre a equação para o cálculo da incerteza de um resultado de medição (GUM, 2012; INMETRO, 2008).

A primeira versão do GUM foi publicada em 1993, e passou a nortear os trabalhos relacionados à medição em praticamente todas as áreas, realçando e tornando mais difundidos os conceitos metrológicos como rastreabilidade, incerteza expandida, graus de liberdade, probabilidade de abrangência, nível da confiança. Atualmente, o GUM é adotado na maioria dos países. O GUM e os seus diversos suplementos, juntamente com o Vocabulário Internacional de Metrologia (VIM), compõem um conjunto abrangente de publicações, extremamente eficiente para orientar e normatizar os trabalhos relacionados à área da metrologia.

(22)

OBJETIVOS

Nesse trabalho objetivou-se avaliar a confiabilidade metrológica de um sistema de medição por efeito Hall que utiliza o método de Van der Pauw para a caracterização eletrônica de materiais semicondutores.

Objetivos Específicos

Estimar as fontes de incerteza para o sistema de medição utilizado para determinar a resistividade, o número de portadores de carga e sua mobilidade em amostras do semicondutor Ga1-xInxSb:Al (dopado com alumínio).

Testar a liga eutética GaIn como solda fria para os contatos entre as ponteiras e a amostra, quanto à praticidade e a linearidade da curva i (corrente) x V (tensão).

(23)

REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

Desde a descoberta do diodo e o constante aprimoramento da tecnologia da informação, o avanço das pesquisas relacionadas com a transmissão de dados tem sido surpreendente e de grande impacto sobre a sociedade. Estas pesquisas aceleraram o interesse por outros materiais, que como o silício possuem características semicondutoras (MISHRA, 2008).

São três as principais características de um material semicondutor:  ligação covalente;

 aumento da condutividade com a temperatura;

 aumento da condutividade do material pela adição de impurezas selecionadas na rede cristalina, ao contrário do que ocorre com os condutores ou metais.

Existem vários materiais, além do silício e do germânio, que possuem estas características. Alguns desses materiais são compostos formados a base dos elementos (12) (16) e (13) (15) da tabela periódica. Outros, formam ligas

estequiométricas reunindo três ou mais desses elementos, como exemplo o Ga1-xInxSb para x variando entre 0 e 1 (ADACHI, 2009). Além desses, existem alguns

óxidos metálicos que possuem características semicondutoras, por exemplo, o SnO2

(tipo n) que é utilizado na fabricação de sensores (WANG, et al., 2010).

(24)

Materiais Semicondutores

Os semicondutores são definidos como sendo materiais que possuem as bandas de valência e condução separadas por uma banda proibida de energia com valor não muito elevado, menor que 4 eV, conforme ilustram a Figura 3.1 e os exemplos da Tabela 3.1.

Figura 3.1. Ilustração do modelo de bandas de energia para um semicondutor (Fonte: KITTEL, 2004).

Tabela 3.1. Exemplos de materiais semicondutor, bom isolante, e bom condutor (KITTEL, 2004; SWART, 2013; WANG, et al., 2010).

Material Banda de Energia

à 300 K (eV) Classificação

Germânio (Ge) 0,66 Semicondutor

Silício (Si) 1,12 Semicondutor

Arseneto de Gálio (GaAs) 1,42 Semicondutor

Antimoneto de Gálio (GaSb) 0,72 Semicondutor

Óxido de Estanho (SnO2) 3,60 Semicondutor

Diamante (C) 5,47 Bom isolante

Sílica (SiO2) 9,00 Bom isolante

Alumínio (Al) 0,00 Bom condutor

Esse tipo de material puro terá uma condutividade elétrica bastante reduzida em temperaturas normais de operação (entre 233 K e 313 K). A condutividade dos materiais semicondutores puros se posiciona entre a condutividade dos isolantes e a dos condutores, isto é, entre 10-6_{e 10}4_(Ω._m)-1_{(KITTEL, 2004).}

(25)

Nos semicondutores puros os elétrons não estão livres, mas presos nas ligações covalentes entre os átomos, como ilustra a Figura 3.2. Cada um dos átomos da rede cristalina compartilha um ou mais elétrons entre si.

Figura 3.2. Modelo de ligações químicas de semicondutores (Fonte: SWART, 2013).

Entretanto, em temperaturas acima de 0 K, a vibração da rede cristalina é suficiente para romper uma pequena fração das suas ligações químicas conferindo certa condutividade elétrica aos semicondutores. Nesse tipo de ligação todos os orbitais ficam preenchidos com dois elétrons cada, cada átomo fica com a sua última camada completa, e a energia total do sistema é menor que a soma da energia interna dos átomos isolados garantindo, assim, a manutenção das ligações químicas e a coesão da estrutura (SWART, 2013).

Na temperatura de 0 K os semicondutores não poderão conduzir corrente elétrica, pois a banda de valência está totalmente preenchida por elétrons e a banda de condução totalmente vazia, com todos os estados desocupados. Aumentando-se a temperatura acima de 0 K de um material semicondutor com largura da banda proibida reduzida, alguns poucos elétrons da banda de valência adquirem energia térmica da rede cristalina, podendo saltar dos estados da banda de valência para os estados vazios da banda de condução, como ilustra a Figura 3.3 (KITTEL, 2004).

Elétron de valência compartilhado

(26)

(a)

(b) (c)

Figura 3.3. Esquema do modelo de ligações e de bandas de energia para visualização dos estados: (a) sem portadores; (b) com elétron livre; e (c) com lacuna (Fonte: SWART, 2013).

Dessa forma, se for aplicado um campo elétrico, o semicondutor responderá com uma corrente elétrica, dada pela soma da condução dos elétrons na banda de condução e das lacunas na banda de valência. Os elétrons e as lacunas são chamados de portadores de carga e, o processo de sua liberação é chamado de geração térmica de portadores.

(a) (b)

Figura 3.4. (a) Função de Fermi-Dirac e (b) diagrama de bandas de um semicondutor a uma temperatura bem maior que 0 K, com igual número de elétrons na banda de condução e de lacunas

na banda de valência (Fonte: SWART, 2013).

(27)

um par elétron-lacuna, como ilustram as Figuras 3.4 e 3.5 (SWART, 2013). Portanto, pode-se dizer que a condutividade será função da densidade dos portadores de carga na banda de condução.

(a) (b)

Figura 3.5. Diagrama da banda de energia do (a) silício e do (b) GaSb (SHEEL, 2000).

Tendo em vista o baixo número de elétrons que saltam da banda de valência para a banda de condução nos semicondutores puros, a condutividade é bem reduzida. Entretanto, é possível aumentar a densidade de portadores de carga do material com a inclusão de impurezas na rede cristalina (VAN VLACK, 2000).

O sucesso dos semicondutores se deve à disponibilidade de técnicas de dopagem (adição de pequena quantidade de impurezas específicas) controlada, em nível e local no semicondutor, permitindo, assim, alterar localmente as propriedades do semicondutor. Isso, por sua vez, permite o desenvolvimento de inúmeros dispositivos e circuitos integrados eletrônicos (SWART, 2013).

Se o dopante possuir cinco elétrons ou mais na última camada é um doador de elétrons, e se a impureza ou dopante possuir três ou menos elétrons na última camada é um aceitador de elétrons (KITTEL, 2004).

Semicondutores Extrínsecos

(28)

concentrações diminutas, introduzem um excesso de elétrons ou de lacunas no material (CALLISTER, 2002). Um semicondutor extrínseco é chamado do tipo n quando os elétrons são os portadores majoritários de carga em virtude da sua densidade ou concentração, e as lacunas são os portadores minoritários de carga.

O elétron adicional que não forma ligações fica fracamente preso à região ao redor do átomo de impureza, por meio de uma atração eletrostática fraca. A energia de ligação desse elétron é relativamente pequena, sendo facilmente removido do átomo de impureza, se tornando um elétron livre ou de condução. Cada evento de excitação doa um único elétron para a banda de condução, por esse motivo uma impureza desse tipo é chamada de doadora.

Uma vez que cada elétron doador é excitado de um nível de impureza, nenhuma lacuna correspondente é criada dentro da banda de valência (KITTEL, 2004). Para os semicondutores do tipo n, o nível de Fermi é deslocado para cima no espaçamento entre bandas e imediatamente abaixo da parte inferior da banda de condução, até próximo ao estado doador, e a sua posição exata é uma função tanto da temperatura como da concentração de doadores. O modelo de bandas de energia para um semicondutor tipo n está representado na Figuras 3.6.

Figura 3.6. Ilustração do modelo de bandas de energia para um semicondutor do tipo n. (a) Estado doador localizado dentro do espaçamento entre bandas para T = 0 K. (b) Excitação de um elétron

livre de um estado doador para a banda de condução para T > 0 K (Fonte: SWART, 2013).

(29)

O efeito oposto é produzido pela adição de impurezas aceitadoras de elétrons. Uma das ligações covalentes ao redor de cada átomo da rede cristalina fica deficiente de um elétron, isto pode ser visto como uma lacuna que se encontra fracamente ligada ao átomo de impureza. Essa lacuna pode ser liberada do átomo de impureza pela transferência de um elétron de ligação adjacente. Essencialmente, o elétron e a lacuna trocam de posições. Por isso, considera-se que uma lacuna em movimento está em um estado excitado e participa do processo de condução análogo ao de um elétron doador excitado.

Cada átomo de impureza desse tipo introduz um nível de energia dentro do espaçamento entre bandas, localizado acima, porém muito próximo, da parte superior da banda de valência. Uma lacuna é criada na banda de valência pela excitação térmica de um elétron da banda de valência para esse estado eletrônico da impureza. Como apenas um portador é produzido, não é criado um elétron livre no nível de impureza ou na banda de condução. Uma impureza desse tipo é chamada receptora, pois ela é capaz de aceitar um elétron deixando uma lacuna na banda de valência. As excitações extrínsecas em que são geradas lacunas também podem ser representadas através do modelo de bandas, conforme ilustra a Figura 3.7.

Figura 3.7. Ilustração do modelo de bandas de energia para um semicondutor do tipo p. (a) Estado receptor localizado dentro do espaçamento entre bandas para T = 0 K. (b) Excitação de um elétron

para o estado receptor para T > 0 K (Fonte: SWART, 2013).

En erg ia Es pa ça m en to en tre b an da s Ba nd a de co nd uç ão Ba nd a de va lê nc ia Estado

receptor _{Lacuna na banda}

(30)

Nesse caso, as lacunas estão presentes em concentrações muito mais altas do que os elétrons, e são responsáveis pela condução elétrica. Sendo, portanto, as lacunas os portadores majoritários de carga e os elétrons os portadores minoritários de carga. Para os semicondutores do tipo p, o nível de Fermi está posicionado dentro do espaçamento entre bandas, e próximo ao nível do receptor (KITTEL, 2004).

Propriedades Elétricas dos Semicondutores

As propriedades elétricas dos sólidos são primordialmente determinadas pelo comportamento dos elétrons do material, e dependem essencialmente do arranjo dos elétrons no material, ou seja, dos estados quânticos que eles ocupam (VAN VLACK, 2000).

Uma das características elétricas mais importantes de um material sólido é a capacidade de se opor à passagem de corrente elétrica i mesmo quando existe uma tensão V aplicada. A lei de Ohm afirma que a corrente fluindo através de um dispositivo é diretamente proporcional à tensão aplicada ao dispositivo (SWART, 2013).

A resistência R de um material entre dois pontos quaisquer é determinada aplicando-se uma diferença de potencial V entre esses pontos e medindo a corrente i resultante (VAN VLACK, 2000). Assim, a resistência R do material é definida pela Equação 3.1.

R = � (3.1)

O valor de R é influenciado pela configuração da amostra, e para alguns materiais é independente da corrente. Um dispositivo obedece à lei de Ohm quando a sua resistência é independente do valor e da polaridade da diferença de potencial aplicada.

(31)

levou à inclusão de uma propriedade intrínseca do material: a resistividade ou condutividade. Esta grandeza permite quantificar a capacidade de transporte de corrente no material e realizar comparações significativas entre os diferentes materiais (VAN VLACK, 2000). A resistividade  é independente da geometria de amostras homogêneas e sem descontinuidades, e está relacionada a R através da Equação 3.2 (HALLIDAY e RESNICK, 1993).

₌ (3.2)

Na qual S representa a distância entre os dois pontos onde é realizada a medida da tensão, e A é a área da seção reta perpendicular à direção da corrente. Um material obedece à lei de Ohm quando a sua resistividade é independente do módulo, da direção e do sentido do campo elétrico aplicado (VAN VLACK, 2000; SWART, 2013).

Algumas vezes, a condutividade elétrica  é usada para especificar a natureza elétrica do material. A condutividade pode ser definida como o inverso da resistividade do material, conforme a Equação 3.3 (HALLIDAY e RESNICK, 1993).

₌

 (3.3)

A condutividade elétrica, no caso dos materiais semicondutores, indica a facilidade do movimento dos portadores de cargas, elétrons ou lacunas, de uma posição para a outra no material (KITTEL, 2004). A medida do tipo de condutividade (tipo p ou tipo n), depende da quantidade de portadores de carga positivas (lacunas) e negativas (elétrons) incorporados na rede do cristal, conforme traduz a Equação 3.4.

_{= n}_�_{| |�}_�_{+ n}_�_{| |�}_� (3.4)

Sendo nn e np os portadores de carga (negativos e positivos) e n e p a

(32)

parâmetro único para caracterizar um material, visto que materiais diferentes podem ter a mesma resistividade em temperaturas diferente (VAN VLACK, 2000). Além disso, um dado material pode apresentar diferentes valores de resistividade, dependendo da forma como ele foi sintetizado. Isto é notadamente válido para os semicondutores, onde a resistividade sozinha não explica todos os resultados experimentais observados (SWART, 2013; KITTEL, 2008).

A condutividade, no entanto, é bem reduzida para os semicondutores puros, tendo em vista o baixo número de elétrons que saltam da banda de valência para a banda de condução. Mas pode ser bem mais alta para os semicondutores extrínsecos. Tanto para os semicondutores puros quanto para os extrínsecos, a mobilidade dos portadores de carga será maior para os elétrons do que para as lacunas (SWART, 2013).

Portanto, a caracterização eletrônica de semicondutores é extremamente importante no processo de fabricação de dispositivos em estado sólido, pois permite avaliar se com as propriedades elétricas que o material apresenta, é possível utilizá-lo para executar funções específicas em diversas aplicações (SWART, 2013).

Caracterização Eletrônica de Semicondutores

Medidas Eletrônicas

A resistividade pode ser medida diretamente no material semicondutor por meio da medida da resistência elétrica de uma peça com forma e dimensões geométricas conhecidas, como ilustra a Figura 3.8 (a). Esse método possui limitações, mas a principal delas é a pequena tolerância dimensional necessária para garantir uma medida confiável. Existem vários outros métodos experimentais que possibilitam a obtenção da resistividade elétrica em materiais semicondutores. Cada método fornece a resistividade com valores e precisão distintos.

(33)

método eletrômetro e método de Van der Pauw. O outro, é o método de quatro pontas ilustrado na Figura 3.8 (b), sendo esse o mais utilizado para a caracterização elétrica de lâminas (SWART, 2013; SCHMIDT,1997; SEILER, 2004; WEDSTER,1999; VAN DER PAUW,1958).

(a) (b)

Figura 3.8. (a) Barra de material semicondutor de comprimento L e seção de área A com aplicação de uma tensão V; (b) Representação esquemática da medida de quatro

pontas (Fonte: SWART, 2013).

No método de quatro pontas, quatro agulhas alinhadas de forma equidistante (com distância S entre cada contato) são pressionadas sobre a superfície do semicondutor. Uma fonte de corrente faz passar uma dada corrente i entre as agulhas 1 e 4, enquanto entre as agulhas 2 e 3 mede-se a tensão V. Demonstra-se, então, que a relação apresentada na Equação 3.5 é válida para a resistividade (SMITH, 1958).

₌ _{SG �} (3.5)

Onde G é um fator de correção tabelado, que depende da geometria da amostra. Para amostras ou camadas finas com espessura d e dimensões horizontais muito maiores que a distância S entre as agulhas, vale a Equação 3.6.

_{= � � = ,}

� (3.6)

Ainda é usual definir uma grandeza denominada resistência de folha RS como

(34)

espessura. Como a resistividade é uma função direta da geometria da amostra, é conveniente expressar a resistência de folha RS em unidades de ohms por quadrado,

e calcular utilizando a Equação 3.7.

� = 

(3.7)

A ação de deriva de portadores somente ocorrerá quando houver um campo elétrico e altas concentrações de portadores, podendo ser considerável para os portadores majoritários.

A dopagem do semicondutor pode ser determinada considerando a sua relação com a mobilidade dos portadores. Se o nível de dopagem for significativo, a resistividade pode ser calculada por meio das Equações 3.8 e 3.9, para semicondutores tipo p e tipo n, respectivamente.

₌ _ �

(3.8)

_{= �}

_� (3.9)

A dopagem está relacionada com a resistividade de acordo com a Equação 3.10.

N = � (3.10)

Onde  é a mobilidade dos portadores e N é a dopagem da impureza doadora ou aceitadora.

Método de Van der Pauw

(35)

formato da amostra, desde que a sua espessura seja três vezes menor do que a área. Por esse motivo, é um dos métodos mais adequados para a obtenção da resistividade, densidade e mobilidade de portadores de carga em lâminas de materiais semicondutores.

O método de Van der Pauw é amplamente utilizado na indústria de semicondutores para determinar a resistividade de placas planas com formatos arbitrários.

As amostras devem satisfazer as seguintes condições (SEILER, 2004):  os contatos entre a amostra e a ponta de prova devem ser ôhmicos;  os contatos devem estar na periferia da amostra;

 os contatos devem ser suficientemente pequenos;

 a amostra deve ser homogênea em espessura, e não deve apresentar descontinuidades (furos isolados, por exemplo).

A grande vantagem desse método, em comparação às medições por quatro pontas, é a eliminação da correção geométrica da superfície da amostra. O objetivo da medição de resistividade é determinar a resistência de folha RS. Van der Pauw

(1958) demonstrou que existem duas resistências características RA e RB, associadas

com os contatos correspondentes mostrados no esquema das medições representados na Figura 3.9. RA e RB estão relacionadas com a resistência de folha

RS pela Equação 3.11 (VAN DER PAUW, 1958).

(a) (b)

(36)

(−

� ) + (− � ) = (3.11)

Onde RA (R12,43) e RB (R23, 14) são as resistências elétricas características (ver

Figura 3.9), RS é a resistência de folha, e d é a espessura da amostra. A resistividade

 pode ser calculada utilizando a Equação 3.7 apresentada no Capítulo 3.3.1.

Para a obtenção das duas resistências características utiliza-se a seguinte metodologia: aplica-se uma corrente direta i12 entre os contatos 1 e 2 e mede-se a

tensão V34 entre os contatos 3 e 4, conforme esquema apresentado na Figura 3.9 (a).

Em seguida, aplica-se uma corrente elétrica i23 entre os contatos 2 e 3 e mede-se a

tensão V14 entre os contatos 1 e 4, conforme esquema apresentado na Figura 3.9 (b).

Os valores de RA e RB podem ser calculados por meio da lei de Ohm.

Assim, é possível resolver numericamente o teorema de Van der Pauw (1958) para obter o valor de RS. A solução, contudo, pode ser obtida quando as dimensões

superficiais da amostra forem simétricas. Nesse caso, considera-se o teorema da reciprocidade definido na Equação 3.12.

, = , (3.12)

Por consequência, é possível obter um valor mais preciso para as resistências R12,34 e R23,41 fazendo duas medições adicionais dos valores recíprocos R23,41 e R12,34

utilizando as Equações 3.13 e 3.14, respectivamente, e calculando a média dos resultados.

= , + , (3.13)

= , + , (3.14)

(37)

sentido oposto, os valores RA e RB podem ainda ser calculados como a média das

medições realizadas na polaridade padrão e na polaridade inversa. A vantagem de fazer isso é que qualquer desvio nos valores de tensão, como potenciais termelétricos devido ao efeito Seebeck, serão cancelados (VAN DER PAUW, 1958).

Combinando esses métodos com as medidas recíprocas, obtemos as Equações 3.15 e 3.16.

= , + , + , + , (3.15)

= , + , + , + , (3.16)

Em geral com o teorema de Van der Pauw (1958) não é possível calcular a resistência de folha RS utilizando as equações conhecidas. A exceção é quando

R = RA = RB, nesse caso, a resistência de folha é dada pela Equação 3.17.

� = 

� (3.17)

Normalmente, para determinar a mobilidade  e a densidade superficial de cargas ns é necessário realizar uma combinação das medidas de resistividade obtidas

pelo método de Van der Pauw (1958) e as medidas de efeito Hall.

Medidas de Efeito Hall

Esse efeito é um resultado do fenômeno segundo o qual um campo magnético aplicado perpendicularmente à direção do movimento de uma partícula carregada exerce sobre a partícula uma força perpendicular tanto ao campo magnético quanto à direção de movimento da partícula.

(38)

concentração do portador majoritário e sua mobilidade. A medida do efeito Hall é realizada como indicado na Figura 3.10, na qual uma corrente elétrica i passa através de uma amostra com a forma de um paralelepípedo.

(a) (b)

Figura 3.10. Representação da medida de efeito Hall em sólido com portadores de: (a) cargas negativas; (b) cargas positivas (Fonte: SWART, 2013; HALL, 1879).

Aplica-se um campo magnético B perpendicular ao sólido, o qual irá defletir as cargas com uma força magnética F perpendicular ao campo B e ao deslocamento dos portadores de carga , de acordo com a Equação 3.18.

�⃗ = q( ⃗ × ⃗⃗) (3.18)

Como os vetores do campo magnético e da velocidade dos portadores são perpendiculares entre si, o módulo do produto vetorial da Equação 3.19 é dado pelo produto do módulo de ambos.

F = q_B (3.19)

Essa deflexão irá acumular cargas nas faces laterais do sólido até uma situação de regime estacionário, em que a força total lateral de Lorentz é nula (HALLIDAY et al,1993). Esse acúmulo de cargas nas faces laterais corresponde à indução de um potencial denominado tensão Hall VH, que pode ser medido com um voltímetro. As

(39)

de sinais opostos. O valor de VH depende da corrente i, do campo magnético B, e da

espessura da amostra d, de acordo com a Equação 3.20.

� = �� (3.20)

Nessa expressão, RH é um valor constante característico de cada material

semicondutor denominado coeficiente Hall (1879). Para os semicondutores extrínsecos tipo n, onde os portadores de carga majoritários são os elétrons, o valor de RH é negativo e pode ser determinado através da Equação 3.21.

� = �| | (3.21)

Dessa forma, n pode ser determinado, uma vez que RH pode ser medido e o

valor de q é conhecido. Medindo-se VH e conhecendo os valores de i e B é possível

determinar a densidade superficial de cargas ns por meio da Equação 3.22.

� = _|�

�| (3.22)

Além disso, é possível determinar a mobilidade do elétron n (SCHMIT,1979;

SEILER, 2004) com a Equação 3.23.

�� = _{�| |}� (3.23)

Ou, usando a Equação 3.24.

�� = | �|� (3.24)

Dessa forma, o valor de n pode ser determinado se a condutividade  também

(40)

Contatos Metal-Semicondutor Ôhmicos

A junção ou contato metal-semicondutor é de fundamental importância para dispositivos eletrônicos, pois é ela que permite a formação das interconexões entre dispositivos dentro do circuito integrado (SEILER, 2004). Além de conexões com dispositivos, a junção metal-semicondutor também pode constituir a parte interna de alguns tipos de dispositivos (SWART, 2013).

As junções metal-semicondutor podem apresentar comportamento de contato ôhmico: relação I-V linear e simétrica em torno de V = 0 com baixa resistência elétrica, ou seja, quase uma reta vertical passando pela origem. Ou, de contato tipo retificador: conduz corrente para polarização direta e praticamente não conduz corrente para polarização reversa (SEILER, 2004; WEDSTER,1999).

Lembrando que a natureza sempre procura a situação de mínima energia (SWART, 2013; SEILER, 2004; WEDSTER,1999), um bom contato ôhmico entre as ponteiras ou pontas de medição pode ser realizado através de uma solda metálica ou metaloide apropriada.

Avaliação dos Resultados de uma Medição

O resultado de uma medição é uma aproximação ou estimativa do valor do mensurando. Com base nas informações disponíveis a partir da medição é possível estabelecer uma probabilidade de que esse valor supostamente único se encontre dentro de um intervalo de valores da grandeza medida.

(41)

Os métodos estudados para estimar e expressar a incerteza não se aplicam apenas aos resultados de uma medição, mas também são aplicáveis a um projeto conceitual e, à análise teórica de experimentos, de métodos de medição, de componentes e sistemas complexos. Consequentemente, o resultado de uma medição e sua incerteza podem ser conceituais e fundamentados em dados hipotéticos e devem ser interpretados nesse sentido mais amplo (GUM, 2012; INMETRO, 2008).

Estimativa da Incerteza de Medição

O Guia para a Expressão de Incerteza de Medição (GUM) propõe uma metodologia para avaliar e expressar a incerteza associada ao resultado de uma medição. Tal método pode ser implementado em muitos campos de atuação, e pode ser resumido na sequência de etapas apresentadas no diagrama da Figura 3.11.

Figura 3.11. Etapas propostas no GUM para estimar a incerteza de uma medição.

Dentre essas etapas, a mais importante é estabelecer a grandeza física de estudo, ou seja, a definição do mensurando. Na maioria das vezes, o mensurando não é medido diretamente, mas determinado a partir de n grandezas de entrada xi,

(42)

= , , … , � (3.25)

Após o processo de investigação das possíveis variáveis envolvidas para a obtenção do resultado da medição é possível organizar essas informações utilizando recursos gráficos que permitem identificar com razoável clareza as fontes de incerteza de entrada que contribuem para a estimativa da incerteza expandida1_{. O diagrama de}

Ishikawa, mais conhecido como diagrama causa-efeito ou espinha-de-peixe, é o recurso frequentemente utilizado (OLIVEIRA, 1995).

O diagrama causa-efeito é utilizado para organizar de forma estruturada e hierárquica as informações, permitindo identificar a relação entre o efeito (fenômeno físico) sob investigação e as suas causas mais prováveis e merecedoras de maior atenção (variáveis que influenciam significativamente no resultado). Esta avaliação exige o conhecimento do problema para a geração de uma lista das causas, retroagindo-se a partir do efeito estudado, da direita (cabeça do peixe) para a esquerda (espinhas).

O procedimento para elaborar um diagrama causa-efeito pode ser sistematizado da seguinte forma: determinar o efeito cujas causas pretende-se identificar; listar quais as causas mais prováveis e que têm uma influência direta no problema a ser resolvido (causas primárias); esboçar o esqueleto do diagrama colocando na extremidade direita o efeito, e partindo desta traçar uma linha horizontal para esquerda de onde irradiam as ramificações com as causas consideradas como primárias; identificar as causas secundárias que afetam as causas primárias e, caso aplicável, as causas terciárias que afetam as causas secundárias. Cada um desses

(43)

níveis constitui ramificações nas causas de nível imediatamente inferior, conforme exemplificado no diagrama da Figura 3.12 (OLIVEIRA. 1995).

Figura 3.12. Ilustração do diagrama de Ishikawa.

Após elaborar o diagrama causa-efeito é possível visualizar com maior facilidade as condições de contorno do modelo matemático e as fontes que definem a incerteza de medição do mensurando. As incertezas-padrão2_{de cada fonte de}

entrada, u(xi), são estimadas em função da maneira como a fonte de entrada aparece

para definir o mensurando.

A incerteza de medição geralmente engloba muitas causas (chamadas de componentes no vocabulário metrológico). Algumas delas podem ser estimadas por

(44)

uma avaliação do Tipo A3_{da incerteza de medição, aplicando uma distribuição}

estatística dos valores provenientes de séries de medições que podem ser caracterizadas por desvios-padrão. Outras componentes podem ser estimadas por uma avaliação do Tipo B4_{da incerteza de medição, também determinadas por}

desvios-padrão calculados a partir de funções de densidade de probabilidade fundamentadas na experiência ou em outras informações.

A avaliação Tipo A da incerteza-padrão é inerente ao processo de medição e realizada através de um tratamento estatístico do conjunto de repetições das observações da grandeza de entrada xi. Quando são executadas repetidas medições

da grandeza de entrada xi sob condições de repetitividade, uma das avaliações Tipo A

da incerteza-padrão _̅_� é determinada conforme a Equação 3.26.

�

̅ =

√� (3.26)

Onde s(xi) é o desvio-padrão dos valores individuais do conjunto de

observações, e n é o número de observações repetidas.

3_{Avaliação de uma componente da incerteza de medição por uma análise estatística dos valores} medidos, obtidos sob condições definidas de medição (VIM, 2012).

(45)

Contudo, a avaliação do Tipo B da incerteza-padrão é realizada por um método diferente do estatístico. Normalmente é avaliada por julgamento científico embasado nas informações disponíveis sobre a possível variabilidade da grandeza de entrada xi.

O conjunto de informações pode incluir dados de medições prévias, experiência ou conhecimento do comportamento e das propriedades de materiais e instrumentos relevantes, especificações dos fabricantes ou documentos normativos, dados fornecidos em certificados de calibração e outros certificados, incertezas atribuídas a dados de referência extraídos de manuais.

De tal modo que uma incerteza-padrão do Tipo A é obtida a partir de uma função densidade de probabilidade derivada de uma distribuição de frequência observada, enquanto que uma incerteza-padrão do Tipo B é obtida de uma função densidade de probabilidade assumida como conveniente e adequada com base no grau de credibilidade de que um evento poderá ocorrer. Ambos os enfoques empregam interpretações reconhecidas de probabilidade, por exemplo, retangular, triangular, normal e t-Student.

Uma das estimativas da incerteza-padrão Tipo B, u(xi), é obtida quando os

valores de u(xi) têm uma determinada distribuição de probabilidade aceitada e um

intervalo de dispersão. Assumindo-se que a variação de u(xi) tenha distribuição

retangular para um intervalo simétrico ± a, a estimativa da incerteza-padrão nesse caso é definida pela Equação 3.27.

= �

√ (3.27)

Admitindo-se que u(xi) tenha uma distribuição triangular no intervalo ± a, a

estimativa da incerteza-padrão é definida pela Equação 3.28.

= �

(46)

Quando a incerteza de uma fonte de entrada u(xi) provém de um certificado de

calibração com as informações da probabilidade e do fator de abrangência k5_{, a}

estimativa da incerteza-padrão é definida pela Equação 3.29.

= (3.29)

Onde U é a incerteza expandida e k é o fator de abrangência declarados no certificado de calibração da respectiva fonte de entrada.

O passo seguinte é avaliar se duas ou mais variáveis estão inerentemente relacionadas, sendo necessário explorar a natureza dessa relação. A técnica estatística usualmente empregada para modelar e investigar a relação entre duas ou mais variáveis é a análise de regressão.

O diagrama de dispersão é uma forma qualitativa de identificar se as duas variáveis estão correlacionadas, como demonstrado na Figura 3.13. Esse diagrama é um gráfico no qual cada par (xi, yi) é representado como um ponto plotado em um

sistema bidimensional de coordenadas. A inspeção desse diagrama de dispersão indica que, embora nenhuma curva simples passe exatamente através de todos os pontos, há uma forte indicação de que os pontos estão dispostos aleatoriamente dispersos em torno de uma linha reta. Duas variáveis podem apresentar-se como tendo uma correlação positiva, negativa, ou não apresentarem correlação (MONTGOMERY, 2003).

(47)

(a)

(b) (c)

Figura 3.13. Tipos de correlação possíveis para um diagrama de dispersão. (a) Diagrama de dispersão em que não há correlação. (b) Diagrama de dispersão de correlação positiva. (c). Diagrama

de dispersão de correlação negativa.

Uma das formas quantitativas de avaliação da intensidade da correlação entre duas variáveis x e y é o cálculo do coeficiente de Pearson rx,y, o qual é definido pela

Equação 3.30 (INMETRO, 2008).

, = � ∑ − ∑ ∑

√[� ∑ − ∑ ] × [� ∑ − ∑ ] (3.30)

Onde xi e yi são os pares dos valores que definem os pontos no diagrama de

dispersão, e nt é o número total de pares dos valores.

A etapa seguinte é estimar as incertezas das fontes de entrada. Caso exista correlação entre uma fonte de entrada e o mensurando é necessário calcular o coeficiente de sensibilidade. O coeficiente de sensibilidade ci do mensurando y em

(48)

= _�� (3.31)

No caso de não existir uma relação direta entre o mensurando e alguma fonte de entrada, o coeficiente de sensibilidade pode ser determinado experimentalmente.

Após estimar as incertezas-padrão de todas as fontes de entrada do mensurando e calcular os seus coeficientes de sensibilidade, pode-se estimar cada componente de incerteza na unidade do mensurando pela Equação 3.32 (INMETRO, 2008).

� =

�

� = . (3.32)

Onde uxi(y) é a componente de incerteza do mensurando referente a cada fonte

xi, ci (xi) é o coeficiente de sensibilidade referente a cada fonte xi, u(xi) é a incerteza

referente a cada fonte xi.

Nesta etapa da metodologia de cálculo da incerteza de medição pelo GUM é possível avaliar de forma mais objetiva o impacto da incerteza de cada fonte de entrada na incerteza combinada do mensurando. Também é possível definir a exatidão necessária de qualquer uma das fontes de entrada do mensurando em relação à tolerância do seu respectivo processo (GUM, 2012).

A estimativa da incerteza-padrão combinada, uc(y), é obtida a partir da

combinação das incertezas-padrão u(xi) de cada uma das fontes de entrada xi. O GUM

(49)

Quando não há correlação entre as incertezas das fontes de um mensurando, a sua respectiva incerteza-padrão combinada uc(y) é calculada pela Equação 3.33.

� = √∑ (_{� .}� ) � = = √∑( . ) � = = √∑( ) � = (3.33)

Quando há correlação entre as incertezas das fontes de um mesurando, a sua respectiva incerteza-padrão combinada uc(y) é calculada pela Equação 3.34:

� = ∑ (_{� )}� � = + ∑ ∑ _�� _�� ( ) ( , ) � = + �− = (3.34)

Onde o coeficiente de correlação entre duas fontes de incertezas xi e xj é

definido pela Equação 3.35.

( , ) = ( , )

( ) (3.35)

Sendo que r(xi, xj) deve estar contido no intervalo -1  r(xi, xj)  +1. Quando as

incertezas das fontes de entrada são correlacionadas, ou seja, r(xi, xj) = 1, a

incerteza-padrão combinada será a soma linear delas, duas a duas.

O número de graus de liberdade efetivos veff da incerteza-padrão combinada

de um mensurando é calculado pela Equação 3.36 de Welch-Satterthwaite (GUM, 2012; INMETRO, 2008).

(50)

Onde:

 N é o número de fontes de entrada;

 vi são os graus de liberdade de cada fonte de entrada;

 ui(y) é a incerteza-padrão de cada fonte de entrada na unidade do

mensurando;

 u(xi) é a incerteza-padrão de cada fonte de entrada;

 ci(xi) é o coeficiente de sensibilidade do mensurando em relação a cada fonte

de entrada.

O número de graus de liberdade é um número inteiro. Sempre que houver números decimais no valor dos graus de liberdade efetivos, somente a parte inteira do número deve ser considerada. O número de graus de liberdade de uma incerteza-padrão tipo B é considerado pelo GUM como infinito (GUM, 2012).

O fator de abrangência k é definido a partir da distribuição t-Student e o mesmo depende da probabilidade de abrangência P, geralmente de 95,45%, e também do número de graus de liberdade efetivos Veff da incerteza-padrão combinada uc(y).

Eventualmente, a incerteza-padrão combinada uc(y) pode ser utilizada para expressar

a incerteza de um resultado de medição.

Porém, em algumas aplicações se faz necessária a declaração de uma incerteza que defina um intervalo em torno do resultado de medição. Espera-se que esse intervalo englobe uma grande porção da distribuição de valores que podem razoavelmente ser atribuídos ao mensurando. A incerteza expandida U, para uma determinada probabilidade de abrangência P, é estimada pela Equação 3.37. A sua probabilidade de abrangência P geralmente citada é 95% ou 95,45%.

= �,� . � (3.37)

(51)

expandida deverá ser declarado no máximo com dois algarismos significativos; desta maneira é definida a respectiva resolução do seu valor. Por sua vez, a resolução do valor da incerteza expandida estabelece a resolução do valor mais provável do mensurando.

Precisão do Sistema de Medição

A precisão de um sistema de medição pode ser avaliada pelo grau de concordância entre as indicações ou valores medidos, obtidos por medições repetidas, no mesmo objeto ou em objetos similares (VIM, 2012).

Geralmente, a precisão é expressa numericamente por medidas como o desvio-padrão, a variância ou o coeficiente de variação, sob condições especificadas

de medição. Tais “condições especificadas” podem ser, por exemplo, condições de

repetibilidade, condições de precisão intermediária ou condições de reprodutibilidade.

A repetibilidade de um sistema de medição pode ser avaliada após serem realizadas repetidas medições de uma grandeza nas seguintes condições: o mesmo procedimento de medição, os mesmos operadores, o mesmo sistema de medição, as mesmas condições de operação e o mesmo local, assim como medições repetidas no mesmo objeto ou em objetos similares durante um curto período de tempo.

As condições de precisão intermediária compreendem o mesmo procedimento de medição, o mesmo local e medições repetidas no mesmo objeto ou em objetos similares, ao longo de um período extenso de tempo, mas pode incluir outras condições submetidas à mudanças. As condições que podem variar compreendem novas calibrações, padrões, operadores, sistemas de medição e outras de acordo com o fenômeno físico estudado.

(52)

(53)

MATERIAIS E MÉTODOS

Sistema de Medição

Para a caracterização das propriedades elétricas de amostras de cristais semicondutores obtidos por STREICHER (2015) foi utilizado o sistema de medição Hall, modelo HMS-3000, fabricado pela Ecopia® (ver Figura 4.1). Com esse instrumento foi possível realizar medições em condições térmicas de 77 K (temperatura do nitrogênio líquido) e de 300 K (temperatura ambiente).

O sistema de medição consiste de uma fonte de corrente constante, um sistema de chaveamento pela técnica de Van der Pauw, um sistema de teste para medições a baixa temperatura (77 K), e um imã permanente com valor nominal de 0,556 T.

Figura 4.1. Sistema de medição Hall, modelo HMS-3000, Ecopia®.

O sistema de teste apresentado na Figura 4.2 é composto por um amostras modelo SPCB-01, uma placa com conexão para os contatos do porta-amostras, e um recipiente (dewar) que objetiva manter as condições térmicas para

(54)

(a) (b)

Figura 4.2. Sistema de teste. (a) Fotografia do sistema de teste. (b) Desenho esquemático dos itens que compõem o sistema de teste.

Preparação das Amostras

As amostras utilizadas nesse estudo foram retiradas de lingotes crescidos pelo método Bridgman em trabalhos anteriores realizados por pesquisadores do grupo e fazem parte do acervo do NUCLEMAT. Esses lingotes são cristais formados a partir de ligas ternárias de materiais semicondutores III-V (Ga1-xInxSb) com as composições

químicas descritas na Tabela 4.1.

Tabela 4.1. Composição química dos lingotes utilizados nesse estudo.

Lingote Composição Carga (g)

GaSb InSb Al

C Ga0,8In0,2Sb:Al 20,7335 6,4041 0,0217

D Ga0,8In0,2Sb:Al 36,2845 11,2074 0,0380

F Ga0,8In0,2Sb:Al 20,7335 6,4041 0,0217

G Ga0,8In0,2Sb:Al 20,7335 6,4041 0,0217

Os lingotes foram divididos em três partes, numeradas no sentido do seu crescimento, conforme indicado na Figura 4.3. Amostras de cada uma das partes foram cortadas na forma de um paralelogramo, lixadas e polidas com produtos metalográficos convencionais. As amostras foram previamente polidas com lixas

d’água, seguindo a granulometria 400-600-1200-4000 grão/pol2_{. Para as medições,}

(55)

(a) (b)

Figura 4.3. (a) Cristal de GaInSb e no esquema as partes 1, 2 e 3 de onde foram retiradas as amostras. (b) Fotografia da amostra preparada para as medições Hall.

As dimensões dos lados do paralelogramo foram medidas para garantir que as amostras pudessem ser posicionadas adequadamente no porta-amostra utilizado. Tais medições foram realizadas utilizando um paquímetro analógico, fabricante Mitutoyo.

As medidas da espessura das amostras foram realizadas utilizando um relógio comparador analógico, fabricante Mitutoyo, modelo CBW40, divisão da escala de 0,01 mm (ver Figura 4.4). Foram realizadas medidas em cinco pontos da amostra (nos quatro cantos e no centro).

(56)

Para garantir o contato ôhmico nas junções metal-semicondutor entre o cristal e os grampos, utilizou-se uma liga eutética de Ga (75,5 %) e In (24,5 %), cuja temperatura de fusão é 12 C como solda fria nos quatro cantos da amostra, conforme mostra a Figura 4.5.

Figura 4.5. Pontos de solda fria nos quatro cantos da amostra.

Após a preparação, a amostra foi colocada no porta-amostra, sendo que os quatro grampos foram posicionados sobre os pontos de solda, como mostra a Figura 4.6. Após a montagem do sistema de teste o porta-amostra foi conectado ao sistema de medição principal.

Figura 4.6. Amostra posicionada no porta-amostras.

Utilizando o sistema de comutação de corrente e tensão entre cada grampo foram verificadas as seguintes condições:

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 a linearidade do circuito amostra-solda e grampo; e  se a resistência elétrica era baixa.

Assim, com base nos resultados pode-se averiguar a qualidade do contato ôhmico da amostra-solda-grampo e suas características elétricas básicas.

Procedimento de Medição

A aquisição dos dados foi realizada através do software HMS-3000, versão

3.52, da Ecopia®_{, que acompanha o sistema de medição.}

 As grandezas de entrada do software e do modelo de medição são (ver

Quadro 4.1): corrente elétrica, densidade de fluxo magnético, espessura da amostra e temperatura. Esses valores são configurados na tela inicial do software.

Quadro 4.1. Relação das grandezas de entrada configuradas no software. Grandezas Símbolos Unidades

Corrente elétrica i mA

Densidade de fluxo magnético B T

Espessura da amostra d _m

Temperatura T K

 As grandezas de saída do software são (ver Quadro 4.2): as tensões

elétricas entre os contatos. Nesse caso, as grandezas de saída do sistema de medição são as grandezas de entrada do modelo de medição.

Quadro 4.2. Grandeza de saída do sistema de medição.

Grandeza Símbolo Unidade

Tensão elétrica V mV