INTEIROS QUE SE ESCREVEM NA FORMA X^2 + Q Y^2, Q = 1, 2, 3, ...

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(1)

Universidade Federal de Mato Grosso

Instituto de Ciˆencias Exatas e da Terra

Departamento de Matem´atica

Inteiros que se escrevem na forma

x

2

+

qy

2

, q

= 1,

2,

3, ... .

Ricardo de Jesus Caldas Assis

Mestrado Profissional em Matem´atica: PROFMAT/SBM

Orientador: Prof. Dr. Martinho da Costa Ara´ujo

Cuiab´a - MT

(2)

Inteiros que se escrevem na forma

x

2

+

qy

2

, q

= 1,

2,

3, ... .

Este exemplar corresponde `a reda¸c˜ao final da dis-serta¸c˜ao, devidamente corrigida e defendida por Ricardo de Jesus Caldas Assis e aprovada pela co-miss˜ao julgadora.

Cuiab´a, 10 de setembro de 2015.

Prof. Dr. Martinho da Costa Ara´ujo Orientador

Banca examinadora:

Prof. Dr. Martinho da Costa Ara´ujo Prof. Dr. Jos´e de Arimat´eia Fernandes Prof. Dr. Daniel Carlos Leite.

(3)
(4)

Disserta¸c˜ao de Mestrado defendida em 10 de Agosto de 2015 e aprovada pela

banca examinadora composta pelos Professores Doutores

Prof. Dr. Martinho da Costa Ara´ujo

Prof. Dr. Jos´e de Arimat´eia Fernandes

(5)

`

A minha doce amada e meu amado

(6)

Agradecimentos

(7)

Aos que aqui chegaram, vale lembrar as palavras do ap´ostolo Paulo:

Posso todas as coisas,

naquele que me fortalece

(Filipenses 4 : 13).

(8)

Resumo

Nesta disserta¸c˜ao estamos interessados nos inteiros n que se escrevem na forma

x2+ 2y2 e x2+ 3y2. Problema proposto por Fermat em 1654. A prova do teorema

sobre os inteiros que se escrevem como soma de dois quadrados x2 + y2 pode ser

adaptada para determinar os inteiros que se escrevem na formax2+ 2y2 ex2+ 3y2.Neste

caso, precisamos do teorema da fatora¸c˜ao ´unica em produto de primos para n´umeros da forma a +b√2;a+bξ3

ξ3 = −1+

√ −3 2

, juntamente com alguns t´opicos de teoria dos n´umeros.

(9)

Abstract

In this work we are interested in the integers n that are written in the form

x2+ 2y2 and x2+ 3y2. This problem was proposed by Fermat in 1654. The proof of the

theorem about the integers that are written as the sum of two squares x2 +y2 can be

adapted in order to determine the integers that can be writing in the formsx2+ 2y2 and

x2+ 3y2. In this case, we need to use the theorem of unique factorization on the product

of primes for numbers of the forma+b√2;a+bξ3

ξ3 = −1+

√ −3 2

, together with some topics of Number Fields.

(10)

Sum´

ario

Agradecimentos v

Resumo vii

Abstract viii

Introdu¸c˜ao 1

1 Os conjuntos Z[i] e Z[√2] 3

1.1 O conjunto Z[i] . . . 3

1.1.1 Norma em Z[i] . . . 4

1.1.2 Elementos Invert´ıveis em Z[i] . . . 5

1.1.3 Divisibilidade em Z[i] . . . 5

1.1.4 Divis˜ao Euclidiana em Z[i] . . . 6

1.1.5 Lema de Euclides . . . 7

1.1.6 Fatora¸c˜ao ´Unica emZ[i] . . . 9

1.1.7 Congruˆencias M´odulo n e o Conjunto Zn . . . 10

1.1.8 Elementos Primos em Z[i] . . . 15

1.1.9 Elementos Irredut´ıveis em Z[i] . . . 16

1.2 O conjunto Z[√2] . . . 17

1.2.1 Norma em Z[√2] . . . 18

1.2.2 Elementos Invert´ıveis em Z[√2] . . . 19

1.2.3 Divisibilidade em Z[√2] . . . 19

1.2.4 Divis˜ao Euclidiana em Z[√2] . . . 20

1.2.5 Lema de Euclides . . . 21

(11)

1.2.7 Elementos Primos em Z[√2] . . . 23

1.2.8 Elementos Irredut´ıveis em Z[√2] . . . 24

2 Reciprocidade Quadr´atica 26 2.1 Res´ıduos quadr´aticos e n˜ao-quadr´aticos . . . 26

2.2 S´ımbolo de Legendre . . . 26

2.3 Crit´erio de Euler . . . 27

2.4 Lei de Reciprocidade Quadr´atica de Gauss . . . 29

3 Inteiros que se escrevem na forma x2+qy2, q = 1,2 e 3. 36 3.1 Inteiros que se escrevem na forma x2+y2 . . . 36

3.2 Inteiros que se escrevem na forma x2+ 2y2 . . . 40

3.3 Inteiros que se escrevem na forma x2+ 3y2 . . . 44

(12)

Introdu¸c˜

ao

Os n´umeros primos que se escrevem na formax2+y2 foram estudados,

primeira-mente, por Fermat, em 1654,e s˜ao abordados em v´arios cursos de Teoria dos N´umeros at´e os dias de hoje. Em seus estudos, Fermat caracterizou os n´umeros primos que se escrevem como soma de dois quadrados e, posteriormente, outros matem´aticos formularam novas demonstra¸c˜oes que caracterizaram tais primos. Na atualidade, vem sendo estudados os primos da formarx2 +qy2, onde r eq s˜ao inteiros livres de quadrados. Abordaremos os

primos na forma x2+qy2 com q = 1,2 e 3, buscando uma caracterizac˜ao para tais,

con-forme Clark (2003), de forma que os leitores compreendam esta caracteriza¸c˜ao. Faremos a fundamenta¸c˜ao te´orica baseada em alguns t´opicos elementares de teoria dos n´umeros como, por exemplo, inteiros gaussianos, reciprocidade quadr´atica, fatora¸c˜ao ´unica, etc. Posteriomente, `a fundamenta¸c˜ao te´orica, caracterizaremos os primos na formax2+y2,e,

logo ap´os, os primos na formax2+ 2y2 e x2+ 3y2.

Como este tema ´e alvo de muitos estudos na atualidade, ´e interessante apresent´a-lo aos leitores interessados, por meio deste trabalho. Ser˜ao desenvolvidas algumas etapas, as quais tem como objetivo nos levar a caracteriza¸c˜ao de primos que se escrevem na forma

x2+qy2 com q = 1,2 e 3. Cada etapa depende da teoria feita anteriormente e por meio

de casos particulares conjecturaremos um resultado e o demonstraremos. Esperamos que todos os leitores entendam o desenvolvimento de cada etapa, e juntos possamos obter uma caracterizac˜ao dos n´umeros primos que estamos procurando.

Trataremos no Cap´ıtulo 1 sobre os conjuntos Z[i] eZ[√2], deixando claro as suas de-fini¸c˜oes e destacando algumas de suas propriedades. Este cap´ıtulo serve de alicerce para o resultado principal do trabalho e a teoria desenvolvida pode ser encontrada nas seguintes referˆencias bibliogr´aficas: Vitorino e ao (2013), Dias (2001), Stillwell (2003) e Moreira et al. (2012).

(13)

de Euler, Lei de Reciprocidade Quadr´atica de Gauss, entre outros. Estes conceitos de teoria dos n´umeros ser˜ao valiosos para o desenvolvimento do trabalho e podem ser encon-trados nas seguintes referˆencias bibliogr´aficas: Hefez (2011) e Santos (2007).

(14)

Cap´ıtulo 1

Os conjuntos

Z

[

i

]

e

Z

[

2]

Neste trabalho vamos usar os seguintes conjuntos:

Z={0,±1,±2,±3, ...}

Z+={x∈Z;x≥0}={0,1,2,3,4, ...}.

Neste cap´ıtulo destacaremos alguns resultados sobre os conjuntosZ[i] e oZ[√2].

Estes resultados nos auxiliar˜ao no resultado desejado do trabalho.

1.1

O conjunto

Z

[i]

Defini¸c˜ao 1.1 O conjunto dos inteiros de Gauss (ou inteiros Gaussianos) ´e o

Z[i] ={a+bi| a, bZ}, onde i2 =1.

Dados z =a+bi, w =c+di Z[i], definimos z+wZ[i] e z.w Z[i], por: 1. z+w= (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i

2. z.w = (a+bi).(c+di) = (acbd) + (ad+bc)i.

As opera¸c˜oes de adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao em Z[i] tem as seguintes propriedades, e para todoz, w, uZ[i], temos

1. Associativa da adi¸c˜ao: z+ (w+u) = (z+w) +u;

(15)

3. Elemento oposto da adi¸c˜ao: ∃ −z Z[i] tal quez+ (z) = 0 = (z) +z; 4. Comutativa da adi¸c˜ao: z+w=w+z;

5. Associativa da multiplica¸c˜ao: z.(w.u) = (z.w).u; 6. Comutativa da multiplica¸c˜ao: z.w =w.z;

7. Valem as leis distributivas da multiplica¸c˜ao: z.(w+u) = (z.w) + (z.u) e (w+u).z = (w.z) + (u.z);

8. Elemento neutro da multiplica¸c˜ao: 1Z[i] tal quez.1 = 1.z =z.

Observa¸c˜ao 1.1 Os elementos0 = 0+0.i,1 = 1+0.i e abis˜ao ditos, respectivamente, elemento neutro da adi¸c˜ao, elemento neutro da multiplica¸c˜ao e elemento oposto em Z[i].

Exemplo 1.1 Sejam z= 3i, w = 5 + 2iZ[i], temos:

z+w= (3i) + (5 + 2i) = 8 +i z.w= (3i).(5 + 2i) = 17 +i.

Defini¸c˜ao 1.2 Dado z =a+biZ[i],dizemos que z =abi ´e o seu conjugado emZ[i].

Exemplo 1.2 Sejam z= 2i, w = 3 + 2iZ[i], temos:

z= 2 +i e w= 32i.

Exemplo 1.3 Verificar que para todo z, wZ[i] tem-se z.w =z.w.

Com efeito, sejam z =a+bi, w =c+diZ[i], temos

z.w= (acbd) + (ad+bc)i= (acbd)(ad+bc)i= (abi).(cdi) =z.w.

Veremos, agora, algumas propriedades e resultados importantes dosInteiros Gaus-sianos. Por quest˜oes did´aticas, dividiremos o que vem a seguir em subse¸c˜oes. Come¸caremos com a defini¸c˜ao de norma.

1.1.1

Norma em

Z[

i

]

Defini¸c˜ao 1.3 A fun¸c˜ao N : Z[i] Z+ dada por N(z) = z.z,∀z ∈ Z[i], ´e dita norma

(16)

Observa¸c˜ao 1.2 Dado z =a+bi, temos N(z) =z.z = (a+bi).(abi) =a2+b2.

Exemplo 1.4 Dado z = 3 + 4iZ[i], temos N(z) =N(3 + 4i) = 32+ 42 = 25.

Na proposi¸c˜ao a seguir, veremos que a norma ´e multiplicativa em Z[i]. Proposi¸c˜ao 1.1 Se z, w Z[i], ent˜ao N(z.w) =N(z).N(w).

Demonstra¸c˜ao:

De fato, temos que N(zw) =zwzw =zzww =N(z)N(w).

1.1.2

Elementos Invert´ıveis em

Z[

i

]

No conjunto dos n´umeros inteirosZos n´umeros invert´ıveis s˜ao±1 com as opera¸c˜oes usuais. Agora, vamos definir elementos invert´ıveis em Z[i] e determinar o conjunto dos elementos invert´ıveis deZ[i].

Defini¸c˜ao 1.4 Um elemento z Z[i], z 6= 0, ´e dito invert´ıvel se existe 0 6=w Z[i], tal quez.w = 1.

Afirma¸c˜ao: O conjunto (Z[i])∗ ={z|N(z) = 1}=1, ±i}´e o conjunto dos elementos

invert´ıveis deZ[i].

De fato, se z =a+bi ´e invert´ıvel em Z[i], ent˜ao 1 =N(z.w) =N(z)N(w), da´ı

N(z) = 1 a2 +b2 = 1 a = ±1, b = 0 ou a = 0, b = ±1, da´ız = ±1,±i. Ent˜ao,

como os quatros possuem inverso temos, (Z[i])∗ = {z| N(z) = 1} = 1, ±i} ´e o

conjunto dos elementos invert´ıveis de Z[i].

1.1.3

Divisibilidade em

Z[

i

]

De maneira inteiramente an´aloga a divisibilidade em Z podemos definir a divisi-bilidade em Z[i]. Vamos, ent˜ao, `a defini¸c˜ao e algumas propriedades da divisibilidade em

Z[i].

Defini¸c˜ao 1.5 Para z, w Z[i], dizemos que z divide w se existe uZ[i], n˜ao-nulo, tal quew=z.u.

(17)

Exemplo 1.5 Note que 1|i pois, i= (1)(i) e 3 + 4i|25 pois, 25 = (3 + 4i)(34i).

Vejamos algumas propriedades da divisibilidade em Z[i] na seguinte proposi¸c˜ao: Proposi¸c˜ao 1.2 Sejam z, w, uZ[i]. Ent˜ao,

1. 1|z e z|z;

2. Se z|1, ent˜ao z= 1,1, i ou i;

3. Se z|w e w|u, ent˜ao z|u;

4. Se z|w, ent˜ao N(z)|N(w).

Demonstra¸c˜ao:

De fato, como z = 1.z, assim provamos 1. Se z|1, temos que existe v Z[i] tal que1 = z.v, logo 1 =N(z).N(v), o que significa dizer que z (Z[i])∗, isto ´e,

z= 1,1, i ou i, com isso provamos 2. Agora, se z|w e w|u, tem-se que existem v, s

Z[i] tais que w = z.v e u = w.s, logo u = z.v.s = (v.s).z, ou seja, z|u. Finalmente, se

z|w, existe v Z[i] tal que w=z.v, logo N(w) =N(z).N(v), ou seja, N(z)|N(w), o que conclui a demonstra¸c˜ao.

1.1.4

Divis˜

ao Euclidiana em

Z

[

i

]

Nesta subse¸c˜ao vamos descrever a chamada divis˜ao euclidiana. Primeiramente, vamos relembrar o conceito de divis˜ao euclidiana,ou divis˜ao com resto, nos n´umeros in-teiros, que ´e uma das quatro opera¸c˜oes que toda crian¸ca aprende na escola, e estenderemos o conceito para os inteiros gaussianos. Sua formula¸c˜ao precisa ´e: dadosa, bZ com

b6= 0, existem q, r Z com a=bq+r e 0 r <|b|.

(18)

Proposi¸c˜ao 1.3 Dados z, w Z[i] com w6= 0, existem q, r Z[i] com z =wq+r e

0N(r)< N(w).

Demonstra¸c˜ao:

Basta dividir z =x+yi, w=a+bi, onde x, y, a, b Z. Ent˜ao,

z w =

x+yi a+bi.

abi abi =

xaxbi+yaiybi2

a2+b2 =

xa+yb a2+b2 +

yaxb a2+b2 i.

Tomando m e n como os inteiros mais pr´oximos de xa+yb

a2 +b2 e

yaxb

a2+b2, respectivamente,

temos que :

m xa+yb a2 +b2

,

n ya−xb a2+b2

≤ 1 2.

Se q=m+ni, ent˜ao:

r=zwq=wz w−q

=w

xa+yb

a2+b2 −m+

yaxb a2+b2 −n

i

,

o que implica,

N(r)N(w)

1 2 2 + 1 2 2!

= N(w)

2 < N(w).

1.1.5

Lema de Euclides

Utilizaremos a divis˜ao euclidiana para demonstrar o Lema de Euclides, mas, primeiramente, daremos uma defini¸c˜ao de primo emZ[i].

Defini¸c˜ao 1.6 Dizemos que p ´e um primo em Z[i], quando p n˜ao pode ser escrito como produto de dois inteiros deZ[i] cujas normas s˜ao maiores que 1.

Exemplo 1.6 Verificar que z = 1 +i´e primo em Z[i].

De fato, suponha que existam w, uZ[i] tais que 1 +i=w.u, ent˜ao

2 =N(w).N(u). Logo, w ou u tem norma igual a 1. Portanto, z = 1 +i ´e um primo em

Z[i].

(19)

todos primos.

O pr´oximo resultado nos aux´ılia na verifica¸c˜ao de primalidade em Z[i].

Proposi¸c˜ao 1.4 Se N(z) ´e primo em Z, ent˜ao z ´e primo em Z[i].

Demonstra¸c˜ao:

Suponha que z n˜ao ´e primo em Z[i]. Ent˜ao, existem w, u Z[i], w, u 6= 0, tais quez =wu e N(w), N(u)>1. Isto ´e uma contradi¸c˜ao pois, N(z) ´e primo em Z.

Exemplo 1.7 Verificar que 1i ´e primo de Z[i].

Com efeito, como N(1i) = 2 e 2´e primo em Z ent˜aoz ´e primo em Z[i].

O pr´oximo resultado, Lema de Euclides, nos garante que se um primo em Z[i] divide um produto de dois inteiros gaussianos, ent˜ao ele divide um dos fatores.

Lema 1.1 (Lema de Euclides) Se p´e um primo em Z[i], coma, bZ[i] e p|ab,ent˜ao

p|a ou p|b.

Demonstra¸c˜ao:

Para demonstr´a-lo, vamos fazer sucessivas divis˜oes euclidianas, sendo x0 =a e

x1 =p. Seja xk+2 o resto da divis˜ao euclidiana de xk por xk+1. Temos ent˜ao as divis˜oes:

x0 =q1x1+x2

x1 =q2x2+x3

x2 =q3x3+x4

... xn−2 =qn−1xn−1+xn

xn−1 =qnxn+xn+1

Observe que como xk 6= 0 ⇒ N(xk+1) < N(xk), podemos tomar n tal que

N(xn+1) = 0, ou seja, xn+1 = 0. Logo xn|xn−1. Observe que xn|xk−1 e xn|xk. Logo,

(20)

xn|x0 = a e xn|x1 = p. Tomando as j + 1 primeiras equa¸c˜oes e realizando substitui¸c˜oes

adequadas, temos que xj =ajx1+yjx0 =ajp+yja; particularmente xn =anp+yna. Se

p|a ent˜ao o lema est´a demonstrado. Se p n˜ao divide a, ent˜ao, como xn|p, xn|a e

xn = anp +yna, ent˜ao xn ∈ {±1,±i} e temos: xn = anp + yna se, e somente se,

b= (xn)−1(banp+ynab) implicando que p|b, o que conclui a demonstra¸c˜ao.

1.1.6

Fatora¸c˜

ao ´

Unica em

Z

[

i

]

A fatora¸c˜ao ´unica ´e uma das propriedades mais usadas em problemas envolvendo n´umeros inteiros. Vamos prov´a-la para os inteiros de Gauss. Primeiramente provaremos que todo inteiroz de Gauss com norma maior do que 1 pode ser escrito como o produto de um ou mais primos emZ[i]. Se N(z) = 2,como 2 ´e primo e a norma ´e multiplicativa, ent˜ao z ´e primo, portanto est´a provado. Considere N(z)>2. Se z ´e primo a fatora¸c˜ao ´e imediata. Sez n˜ao ´e primo, ent˜ao z=ab implicando queN(z) =N(a).N(b), onde

N(a), N(b)>1, e N(a), N(b)< N(z).Podemos supor, por indu¸c˜ao, que seN(x)< N(z),

ent˜ao x ´e fator´avel. Logo, a e b s˜ao fator´aveis, e portanto z o ´e. Para provar que esta fatora¸c˜ao ´e ´unica, basta considerar as duas fatora¸c˜oes p1p2...pn eq1q2...qm.Suponha, por

indu¸c˜ao, p1p2...pn=ξq1q2...qm,sendo ξ um invert´ıvel, implica que a sequˆencia (pi) ´e uma

permuta¸c˜ao (a menos que sejam multiplica¸c˜oes pelos invert´ıveis) da (qi).Se m´ax{n;m}=

1, ent˜ao o resultado ´e imediato. Supondo que ele vale se m´ax{n′;m}<m´ax{n;m},pelo Lema de Euclides, vemos que para algum i, pn|qi. Sem perda de generalidade, podemos

supor i =m. Como pn e qm s˜ao primos, ent˜ao qm = ξ′pn, onde ξ′ ´e um invert´ıvel. Logo

p1p2...pn = ξq1q2...qm ⇔ p1p2..pn−1 = ξξ′q1q2..qm−1. Por indu¸c˜ao, p1, p2, ..., pn−1 ´e uma

permuta¸c˜ao( a menos que seja multiplica¸c˜oes pelos invert´ıveis) de q1, q2, ..., qm, portanto

a fatora¸c˜ao ´e ´unica. Com isso, provamos a seguinte proposi¸c˜ao:

Proposi¸c˜ao 1.5 Seja z Z[i], ent˜ao existem z1, z2, ..., zn ∈ Z[i], unicos e primos, tais´ quez =z1.z2...zn.

Exemplo 1.8 Considere as seguintes fatora¸c˜oes

(21)

1.1.7

Congruˆ

encias M´

odulo

n

e o Conjunto

Z

n

O conceito de congruˆencia de inteiros foi introduzido e estudado por Gauss e ´e utilizado para enfatizar o resto da divis˜ao euclidiana. Est´a se¸c˜ao ser´a ´util pois a linguagem de congruˆencia m´odulon e classes de equivalˆencia ser˜ao utilizadas com muita frequˆencia. Defini¸c˜ao 1.7 (Congruˆencia m´odulo n) Seja n 2 um inteiro e a, b Z. Dizemos quea ´e congruente a b m´odulo n se, e somente se, n|(ab).

Quando a ´e congruente a b m´odulo n escrevemos a b(mod n). Caso contr´ario, escrevemos a6≡b(mod n). A express˜aoa b(mod n) lˆe-se a ´e congruente a b m´odulon.

Exemplo 1.9 Veja as congruˆencias

1. 2537(mod 6), pois 2537 =12 e 6| −12

2. 136≡22(mod 5), pois 1322 =9 e 5 n˜ao divide 9.

A seguir veremos uma propriedade muito interessante da congruˆencia m´odulo n.

Proposi¸c˜ao 1.6 A congruˆencia m´odulo n ´e uma rela¸c˜ao de equivalˆencia emZ. Ou seja, para todoa, b, cZ a congruˆencia m´odulo n satisfaz:

1. a a(mod n);

2. Se ab(mod n), ent˜ao ba(mod n);

3. Se ab(mod n) e b c(mod n), ent˜ao ac(mod n).

Demonstra¸c˜ao:

Vide Villela (2000).

Veremos agora que o conceito de congruˆencia de inteiros m´odulo n pode ser utilizado para enfatizar o resto da divis˜ao euclidiana porn.

Proposi¸c˜ao 1.7 Seja n 2. Ent˜ao ab(mod n) se, e somente se, a e b tˆem o mesmo resto na divis˜ao euclidiana por n.

Demonstra¸c˜ao:

(22)

Exemplo 1.10 Os n´umeros25e 100deixam resto0na divis˜ao por5,logo25100(mod5).

As seguintes propriedades adicionais das congruˆencias s˜ao muito ´uteis nas aplica¸c˜oes do conceito de congruˆencia.

Proposi¸c˜ao 1.8 (Propriedades das congruˆencias) Sejam a, b, c, dZ e seja n2.

1. se ab(mod n) e cd(mod n), ent˜ao a+cb+d(mod n)

2. se ab(mod n) e cd(mod n), ent˜ao acbd(mod n)

3. se ab(mod n), ent˜ao ambm(mod n), para todo m1.

Demonstra¸c˜ao:

Vide Villela (2000).

Exemplo 1.11 Qual o resto da divis˜ao de 747 por 9?

Temos 72 = 49 4(mod 9), ent˜ao 73 = 72.7 4.7 = 28 1(mod 9). Portanto,

747 = 73.15+2 = (73)15.72 115.4 = 4(mod 9), ou seja, o resto ´e 4.

Seja n 2 um inteiro. Pela Proposi¸c˜ao 1.6 a congruˆencia m´odulo n ´e uma rela¸c˜ao de equivalˆencia. A classe de equivalˆencia de um inteiroa na congruˆencia m´odulo

n´e chamada de classe residual m´odulo n ou, simplesmente, classe de res´ıduos m´odulo n.

Assim, escrevemos a classe de res´ıduos m´odulo n da seguinte forma: [a] ={xZ/ xa(mod n)}={xZ/ n|(xa)}.

Exemplo 1.12 Seja n = 2. Dado a Z, pela divis˜ao euclidiana, existem q e r, unica-mente determinados, tais que a= 2.q+r, com 0r1. Logo,

[a] =

[0] se, e somente se, a ´e par

[1] se, e somente se, a ´e ´ımpar.

Logo, s´o h´a duas classes distintas m´odulo 2, a saber [0] e [1]. Das propriedades de rela¸c˜ao de equivalˆencia,Z= [0][1], onde [0] = 2.Z={2t/ tZ} e

(23)

Proposi¸c˜ao 1.9 Seja n2. Para cada aZ existe um ´unico r Z, com

0 r n1, tal que [a] = [r]. Logo, h´a n classes de res´ıduos m´odulo n distintas, a saber, [0],[1], ...,[n1], onde [r] =nZ+r e Z= [0][1]....[n1].

Demonstra¸c˜ao:

Seja a Z. Dividindo a por n, existem q, r Z unicamente determinados, com

0r n1, tais que

a=qn+r.

De a=qn+r, conclu´ımos que a r(mod n), ou seja, [a] = [r],em outras palavras existe talr. Agora, sejamr, sZtais que 0r, sn1 e [r] = [s].Vamos mostrar que r=s.

De fato, de(n1)r, s(n1) e n|(rs), conclu´ımos que rs = 0, isto ´e, r=s.

Portanto, r ´e ´unico.

Defini¸c˜ao 1.8 (Conjunto das Classes de Res´ıduos M´odulo n) O conjuntoZn´e cha-mado de conjunto das classes de res´ıduos m´odulo n, ou seja,

Zn={[0],[1], ....,[n−1]}.

Exemplo 1.13 Vejamos para alguns valores de n o conjunto Zn correspondente. 1. Para n = 2, temos Z2 ={[0],[1]};

2. Para n = 3, temos Z3 ={[0],[1],[2]};

3. Para n = 5, temos Z5 ={[0],[1],[2],[3],[4]};

4. Para n = 8, temos Z8 ={[0],[1],[2],[3],[4],[5],[6],[7]}.

Vamos definir emZnas opera¸c˜oes de adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao entre seus elementos.

Defini¸c˜ao 1.9 (Adi¸c˜ao e Multiplica¸c˜ao em Zn) Sejam n≥2 e a, b∈Z. Definimos 1. [a] + [b] = [a+b]

(24)

Observamos que essas defini¸c˜oes n˜ao dependem dos representantes das classes de res´ıduos. De fato, pelas propriedades das congruˆencias, temos

aa1(mod n) e b≡b1(mod n)⇔

a+b a1+b1(mod n) e a.b≡a1.b1(mod n)⇔

[a+b] = [a1+b1] e [a.b] = [a1.b1]⇔

[a] + [b] = [a1] + [b1] e [a].[b] = [a1].[b1].

Portanto, a adi¸c˜ao e a multiplica¸c˜ao das classes de res´ıduos independem do inteiro que ´e representante da classe.

Vejamos as tabelas das opera¸c˜oes emZ2.

Exemplo 1.14 Tabelas das opera¸c˜oes em Z2

+ [0] [1] [0] [0] [1] [1] [1] [0]

. [0] [1] [0] [0] [0] [1] [0] [1]

Proposi¸c˜ao 1.10 (Propriedades da adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao de Zn) Seja n ≥ 2. A adi¸c˜ao e a multiplica¸c˜ao de Zn tˆem as seguintes propriedades, para quaisquer

[a],[b],[c]Zn:

1. (Associativa da adi¸c˜ao) ([a] + [b]) + [c] = [a] + ([b] + [c]);

2. (Comutativa da adi¸c˜ao) [a] + [b] = [b] + [a];

3. (Existˆencia de elemento neutro da adi¸c˜ao) [0]´e o elemento neutro aditivo

[0] + [a] = [a];

4. (Existˆencia do oposto da adi¸c˜ao) O oposto de [a] ´e [a] tal que [a] + [a] = [0];

5. (Associativa da multiplica¸c˜ao) ([a].[b]).[c] = [a].([b].[c]);

6. (Comutativa da multiplica¸c˜ao) [a].[b] = [b].[a];

(25)

8. (Distributiva da multiplica¸c˜ao) ([a] + [b]).[c] = [a].[c] + [b].[c].

Demonstra¸c˜ao:

Vide Villela (2000).

O pr´oximo resultado nos d´a um crit´erio para determinar se um elemento ´e in-vert´ıvel ou n˜ao em Zn.

Proposi¸c˜ao 1.11 Seja n 2. Um elemento [a] Zn ´e invert´ıvel se, e somente se,

mdc(a, n) = 1.

Demonstra¸c˜ao:

Seja [a]Zn um elemento invert´ıvel. Ent˜ao, existe [b]∈Zn tal que

[1] = [a][b] = [ab].Logo, ab1(mod n),ou seja,n|(ab1).Portanto, existe qZ tal que

ab1 = qn,isto ´e, a(b) +n(q) = 1.Da´ı, conclu´ımos que mdc(a, n) = 1. Por outro lado, suponhamos que mdc(a, n) = 1. Ent˜ao, existem x, y Z tais que ax+ny = 1. Portanto,

[1] = [ax+ny] = [a][x] + [n][y] = [a][x] + [0][y] = [a][x], mostrando que [x] ´e o inverso de

[a].

Exemplo 1.15 Vamos obter o conjunto dos elementos invert´ıveis de Z10.

Para cada i ∈ {0,1, ....,9}, temos mdc(i,10) = 1 se, e somente se, i ∈ {1,3,7,9}. Por-tanto, (Z10)∗ ={[1],[3],[7],[9]}.

Exemplo 1.16 Vamos obter o conjunto dos elementos invert´ıveis de Z11.

Note que se i∈ {1, ....,9,10}, ent˜ao mdc(i,11) = 1. Portanto,

(Z11)∗ ={[1],[2], ....,[10]}=Z11− {[0]}.

Corol´ario 1.1 Todo elemento n˜ao-nulo de Zp, com p primo, ´e invert´ıvel. Demonstra¸c˜ao:

De fato, pela proposi¸c˜ao anterior para cada i ∈ {1,2, ..., p 1} temos que

mdc(i, p) = 1. Portanto, (Zp)∗ =Zp− {[0]}.

Exemplo 1.17 Em Z3 = {[0],[1],[2]}, os inversos de [1] e [2] s˜ao, respectivamente,

[1]e [2], pois [1]2 = [1] e [2]2 = [1].

(26)

1.1.8

Elementos Primos em

Z

[

i

]

Agora vamos caracterizar os primos em Z[i].Pela Proposi¸c˜ao1.4 seN(z) ´e primo emZ,ent˜aoz ´e um primo emZ[i] ( pois sez fatora ent˜aoN(z) fatora). Observe que todo primo z divide N(z), portanto ele deve dividir ao menos um fator primo em Z deN(z).

Se z dividir ao menos dois n´umeros distintos(absolutamente) x e y primos em Z, como sempre ´e poss´ıvel tomar a, b Z tal que ax+by = 1, ter´ıamos z|1, um absurdo. Logo, todo primo em Z[i] divide exatamente um primo inteiro positivo (e seu elemento oposto da soma) emZ. Seja esse primo inteiro positivop. Temos 3(trˆes) casos:

1. Se p ´e par, ent˜ao p = 2. Sendo z = a+bi, ent˜ao N(z) = a2 +b2 = 2, ou seja,

z =±1±i,e obtemos os quatro primos 1 +i,1i,1 +i e 1i.

2. Se p 3(mod 4). Note que x 0,1,2 ou 3(mod 4), ent˜ao x2 0 ou 1(mod 4).

Queremos mostrar que p´e um primo em Z[i]. Suponha que p n˜ao ´e primo de Z[i],

ent˜ao existem z = c+di, w = a+bi Z[i], com 1 < N(z), N(w) < p2, tais que

p=zw. Como p´e um inteiro primo, devemos ter w=z =cdi, logo p=c2+d2.

Agora, p = c2 +d2 0,1 ou 2(mod 4), o que ´e um absurdo, pois por hip´otese

p3(mod 4). Portanto, p´e um primo em Z[i].

3. Se p1(mod 4).Dado x= 1.2... p−21

, temos que:

x2 1.2...

p1 2

.1.2...

p1 2

≡1.2...

p1 2

.

p+ 1 2

...(p2).(p1) 1.(p1)≡ −1(mod p).

Logo, p|x2+ 1 = (x+i)(xi).Suponha que p´e um primo de Z[i], ent˜ao peloLema

de Euclides p|(x+i) ou p|(xi).Da´ı, existem z1, z2 ∈Z[i] tais quex+i=p.z1 ou

xi =pz2. Mas, ter´ıamos z1 = 1px+ 1pi ouz2 = 1px− 1pi e 1p n˜ao ´e inteiro. Logo, p

n˜ao ´e primo de Z[i], da´ı existem z =a+bi, w=c+diZ[i], com

1 < N(z), N(w) < p2, tais que p =wz = (a+bi)(c+di) = (acbd) + (bc+ad)i.

Como p Z, ent˜ao bc =ad, ou seja, a =ce b=d ou a=c eb =d, com isso conclu´ımos quew=±z.Logo, comop >0 segue quew=z eN(z) = p(p=a2+b2),

portanto conclu´ımos que z ´e primo e mais z e seu conjugado s˜ao os ´unicos primos em Z[i] que dividem p.

(27)

(a) O primo 1 +i e seus produtos pelos invert´ıveis.

(b) Os primos p em Z tal que p3(mod 4) e seus produtos pelos invert´ıveis. (c) Para cada primo p em Z tal que p1(mod 4), os primosa+bi, abi e seus

produtos pelos invert´ıveis, sendo p=a2+b2.

1.1.9

Elementos Irredut´ıveis em

Z

[

i

]

Em Z, os conceitos de elemento irredut´ıvel e elemento primo coincidem, ou seja, um elemento p´e irredut´ıvel se, e somente se, ´e primo. No conjunto Z[i] veremos que os conceitos de primo e irredut´ıvel tamb´em coincidem, isto segue do fato de que em Z[i] a fatora¸c˜ao ´e ´unica.

Defini¸c˜ao 1.10 Um elemento z Z[i], n˜ao-nulo e n˜ao-invert´ıvel, ´e dito irredut´ıvel quando z =wu com w ou u invert´ıvel em Z[i].

Exemplo 1.18 Verificar que z = 1 +i ´e irredut´ıvel em Z[i].

De fato, escrevendo 1 +i = wu, com w, u Z[i], temos 2 = N(w)N(u). Logo,

N(w) = 1 ou N(u) = 1 e da´ı conclu´ımos que w ou u ´e invert´ıvel em Z[i]. Portanto,

z= 1 +i´e irredut´ıvel em Z[i].

Observa¸c˜ao 1.4 E facil verificar que os produtos de´ 1 +i pelos invert´ıveis tamb´em s˜ao irredut´ıveis em Z[i].

O pr´oximo resultado mostra que um elemento p ´e primo em Z[i] se, e somente se,p´e irredut´ıvel em Z[i].

Proposi¸c˜ao 1.12 Seja pZ[i],com pn˜ao-nulo e n˜ao-invert´ıvel. Ent˜aop´e um elemento primo de Z[i] se, e somente se, p ´e um elemento irredut´ıvel de Z[i].

Demonstra¸c˜ao:

Se p=wu com w, uZ[i], ent˜aop|wu e, como p ´e primo, temos quep|w ou p|u.

(28)

u=u1...us, com wi e uj elementos irredut´ıveis de Z[i], temos que uma fatora¸c˜ao para ab ´e

ab=w1....wr.u1....us.

Como p|wu, temos que wu = pz, para algum z Z[i]. Pela unicidade da fatora¸c˜ao de

wu, temos que p = wiv ou p = ujv, com v invert´ıvel, para algum ´ındice i, j. Agora, se

p|wi e wi|w, implica que p|w, por outro lado se p|uj e uj|u, implica que p|u, o que mostra quep ´e primo.

1.2

O conjunto

Z

[

2]

Defini¸c˜ao 1.11 O conjunto dos inteiros quadr´aticos ´e dado por

Z[√2] = {a+b√2| a, bZ}={a+b√2i| a, bZ onde i2 =1}.

Dados z =a+b√2, w =c+d√2Z[√2], definimos z+wZ[√2] e

z.wZ[√2],por:

1. z+w= (a+b√2) + (c+d√2) = (a+c) + (b+d)√2 2. z.w = (a+b√2).(c+d√2) = (ac2bd) + (ad+bc)√2.

As opera¸c˜oes de adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao emZ[√2] tem as seguintes propriedades: Para todo z, w, uZ[√2],temos

1. Associativa da adi¸c˜ao: z+ (w+u) = (z+w) +u;

2. Elemento neutro da adi¸c˜ao: 0Z[√2] tal que z+ 0 = 0 +z =z;

3. Elemento oposto da adi¸c˜ao: ∃ −z Z[√2] tal que z+ (z) = 0 = (z) +z; 4. Comutativa da adi¸c˜ao: z+w=w+z;

5. Associativa da multiplica¸c˜ao: z.(w.u) = (z.w).u; 6. Comutativa da multiplica¸c˜ao: z.w =w.z;

(29)

8. Elemento neutro da multiplica¸c˜ao: 1Z[√2] tal que z.1 = 1.z =z.

Observa¸c˜ao 1.5 Os elementos 0 = 0 + 0.√2,1 = 1 + 0.√2 e ab√2 s˜ao ditos, respectivamente, elemento neutro da adi¸c˜ao, elemento neutro da multiplica¸c˜ao e elemento

oposto emZ[√2].

Exemplo 1.19 Sejam z = 22, w= 3 + 2√2Z[√2], temos que:

z+w= (22) + (3 + 2√2) = 5 +√2

z.w= (22).(3 + 2√2) = 10 +√2.

Defini¸c˜ao 1.12 Dado z = a+b√2 Z[√2], dizemos que z = a b√2 ´e o seu conjugado em Z[√2].

Exemplo 1.20 Sejam z = 52√2, w =1 + 6√2Z[√2], temos:

z= 5 + 2√2 e w=16√2.

De modo an´alogo a Z[i], podemos verificar que para todo z, w Z[√2] tem-se

z.w = z.w. Veremos, agora, algumas propriedades e resultados importantes dos Intei-ros Quadr´aticos. Por quest˜oes did´aticas, dividiremos o que vem a seguir em subse¸c˜oes. Come¸caremos com a defini¸c˜ao de norma.

1.2.1

Norma em Z[

2]

Defini¸c˜ao 1.13 A fun¸c˜ao N :Z[√2]Z+ dada por N(z) =z.z,∀z ∈ Z[√−2], ´e dita

norma em Z[√2].

Observa¸c˜ao 1.6 Dado z =a+b√2, temos

N(z) =z.z = (a+b√2).(ab√2) = a2+ 2.b2.

Exemplo 1.21 Dado z =3 + 2√2Z[√2], temos

N(z) = N(3 + 2√2) = (3)2+ 2.22 = 17.

Na proposi¸c˜ao a seguir, veremos que a norma ´e multiplicativa em Z[√2]. Proposi¸c˜ao 1.13 Se z, wZ[√2], ent˜ao N(z.w) = N(z).N(w).

Demonstra¸c˜ao:

(30)

1.2.2

Elementos Invert´ıveis em Z[

2]

No conjunto Z[i] os elementos invert´ıveis s˜ao ±1 e ±i. Agora, vamos definir elementos invert´ıveis em Z[√2] e determinar o conjunto dos elementos invert´ıveis de

Z[√2].

Defini¸c˜ao 1.14 Um elemento z Z[√2], z 6= 0,´e dito invert´ıvel se existe

06=wZ[√2] tal que z.w = 1.

Afirma¸c˜ao: O conjunto (Z[√2])∗ = {z|N(z) = 1} = 1} ´e o conjunto dos

elementos invert´ıveis deZ[√2].

De fato, se z = a +b√2 ´e invert´ıvel em Z[√2], ent˜ao 1 = N(z.w) = N(z)N(w) implicando queN(z) = 1 a2+ 2b2 = 1a =±1, b = 0, da´ız =±1. Ent˜ao, como os dois possuem inverso s˜ao±1 temos, (Z[√2])∗ ={z|N(z) = 1}=1}´e o conjunto dos

elementos invert´ıveis deZ[√2].

1.2.3

Divisibilidade em Z[

2]

De maneira inteiramente an´aloga a divisibilidade em Z[i] podemos definir a divi-sibilidade emZ[√2].Vamos, ent˜ao, a defini¸c˜ao e algumas propriedades da divisibilidade em Z[√2] que s˜ao semelhantes aZ[i].

Defini¸c˜ao 1.15 Para z, w Z[√2], dizemos que z divide w se existe u Z[√2],

n˜ao-nulo, tal quew=z.u.

Denotaremos que z divide w da seguinte forma: z|w.

Exemplo 1.22 Note que 22|6 pois, 6 = (22)(2 +√2).

Vejamos algumas propriedades da divisibilidade em Z[√2] na seguinte pro-posi¸c˜ao:

Proposi¸c˜ao 1.14 Sejam z, w, uZ[√2]. Ent˜ao, 1. 1|z e z|z;

2. Se z|1, ent˜ao z= 1 ou 1;

(31)

4. Se z|w, ent˜ao N(z)|N(w).

Demonstra¸c˜ao:

De fato, como z = 1.z, assim provamos 1. Se z|1, temos que existe v Z[√3]

tal que 1 = z.v, logo 1 = N(z).N(v), o que significa dizer que z (Z[√3])∗, isto ´e,

z= 1 ou 1,com isso provamos2.Agora, sez|w e w|u,tem-se que existemv, s Z[√2]

tais que w = z.v e u = w.s, logo u = z.v.s = (v.s).z, ou seja, z|u. Finalmente, se z|w,

existe v Z[√2] tal que w =z.v, logo N(w) = N(z).N(v), ou seja, N(z)|N(w), o que conclui a demonstra¸c˜ao.

1.2.4

Divis˜

ao Euclidiana em Z[

2]

Assim como no conjuntoZ[i],a divis˜ao euclidiana emZ[√2] funciona da mesma forma. Portanto, emZ[√2] temos a seguinte formula¸c˜ao para a divis˜ao euclidiana:

Proposi¸c˜ao 1.15 Dados z, w Z[√2] com w6= 0, existem q, r Z[√2] com

z=wq+r e 0N(r)< N(w).

Demonstra¸c˜ao:

Basta dividir z =x+y√2, w =a+b√2, onde x, y, a, bZ. Ent˜ao,

z w =

x+y√2

a+b√2.

ab√2

ab√2 =

xaxb√2 +ya√2yb √22

a2+ 2b2 =

xa+ 2yb a2+ 2b2+

yaxb a2+ 2b2

√ −2.

Tomando m e n como os inteiros mais pr´oximos de xa+ 2yb

a2+ 2b2 e

yaxb

a2+ 2b2,

respec-tivamente, temos que

m xa+ 2yb a2+ 2b2

,

n ya−yb a2+ 2b2

≤ 1 2.

Se q=m+n√2, ent˜ao:

r=zwq=wz w−q

=w

xa+ 2yb

a2+ 2b2 −m+

yayb a2+ 2b2 −n

−2

,

o que implica,

N(r)N(w)

1 2

2

+ 2.

1 2

2!

= 3

(32)

1.2.5

Lema de Euclides

Utilizaremos a divis˜ao euclidiana para demonstrar o Lema de Euclides, mas, primeiramente, daremos uma defini¸c˜ao de primo emZ[√2].

Defini¸c˜ao 1.16 Dizemos que p´e primo em Z[√2], quando pn˜ao pode ser escrito como produto de dois inteiros deZ[√2] cujas normas s˜ao maiores que 1.

Exemplo 1.23 Verificar que z = 0 +√2´e primo em Z[√2].

De fato, suponha que existam w, u Z[√2] tais que 0 +√2 = w.u, ent˜ao

2 =N(w).N(u). Logo, w ou u tem norma igual a 1. Portanto, z = 0 +√2´e um primo em Z[√2].

Veremos, mais adiante, que os produtos de 0+√2 pelos elementos de (Z[√2])∗

s˜ao todos primos.

O pr´oximo resultado nos auxilia na verifica¸c˜ao da primalidade em Z[√2].

Proposi¸c˜ao 1.16 Se N(z) ´e primo em Z, ent˜ao z ´e primo emZ[√2].

Demonstra¸c˜ao:

Suponha que z n˜ao ´e primo emZ[√2].Ent˜ao, existem w, uZ[√2], w, u6= 0,

tais que z =wu e N(w), N(u)>1. Isto ´e uma contradi¸c˜ao pois, N(z) ´e primo em Z.

Exemplo 1.24 Verificar que 32 ´e primo de Z[√2].

Com efeito, como N(3 2) = 11 e 11 ´e primo em Z temos z primo em

Z[√2].

(33)

Lema 1.2 (Lema de Euclides) Sep´e um primo emZ[√2], coma, bZ[√2] e p|ab,

ent˜ao p|a ou p|b.

Demonstra¸c˜ao:

Para demonstr´a-lo, vamos fazer sucessivas divis˜oes euclidianas, sendo x0 =a e

x1 =p. Seja xk+2 o resto da divis˜ao euclidiana de xk por xk+1. Temos ent˜ao as divis˜oes:

x0 =q1x1+x2

x1 =q2x2+x3

x2 =q3x3+x4

... xn−2 =qn−1xn−1+xn

xn−1 =qnxn+xn+1

Observe que como xk 6= 0 ⇒ N(xk+1) < N(xk), podemos tomar n tal que

N(xn+1) = 0, ou seja, xn+1 = 0. Logo xn|xn−1. Observe que xn|xk−1 e xn|xk. Logo,

xn|xn e xn|xn−1, ent˜ao indutivamente, xn|xk,∀k,0≤k ≤n, particularmente

xn|x0 = a e xn|x1 = p. Tomando as j + 1 primeiras equa¸c˜oes e realizando substitui¸c˜oes

adequadas, temos que xj =ajx1+yjx0 =ajp+yja; particularmente xn =anp+yna. Se

p|a ent˜ao o lema est´a demonstrado. Se p n˜ao divide a, ent˜ao, como xn|p, xn|a e

xn=anp+yna, ent˜ao xn∈ {±1} e temos: xn=anp+yna se, e somente se,

b= (xn)−1(banp+ynab) implicando que p|b, o que conclui a demonstra¸c˜ao.

1.2.6

Fatora¸c˜

ao ´

Unica em Z[

2]

(34)

N(a), N(b) > 1, portanto N(a), N(b) < N(z). Podemos supor, por indu¸c˜ao, que se

N(x)< N(z),ent˜aox´e fator´avel. Logo,a e bs˜ao fator´aveis, e portantoz o ´e. Para provar que esta fatora¸c˜ao ´e ´unica, basta considerar as duas fatora¸c˜oes p1p2...pn e q1q2...qm.

Su-ponha, por indu¸c˜ao,p1p2...pn =ξq1q2...qm,sendo ξ uma unidade, implica que a sequˆencia

(pi) ´e uma permuta¸c˜ao( a menos que sejam multiplica¸c˜oes pelos invert´ıveis) da (qi). Se

m´ax{n;m}= 1, ent˜ao o resultado ´e imediato. Supondo que ele vale se

m´ax{n′;m} < m´ax{n;m}, pelo Lema de Euclides, vemos que para algum i, p

n|qi. Sem

perda de generalidade, podemos supori=m. Comopn e qm s˜ao primos, ent˜ao qm =ξ′pn,

onde ξ′ ´e uma unidade. Logo p

1p2...pn = ξq1q2...qm ⇔ p1p2..pn−1 = ξξ′q1q2..qm−1. Por

indu¸c˜ao, p1, p2, ..., pn−1 ´e uma permuta¸c˜ao( a menos que seja multiplica¸c˜oes pelos

in-vert´ıveis) de q1, q2, ..., qm, portanto a fatora¸c˜ao ´e ´unica. Com isso, provamos a seguinte

proposi¸c˜ao:

Proposi¸c˜ao 1.17 Seja z Z[√2], ent˜ao existem z1, z2, ..., zn ∈ Z[

−2], unicos e pri-´ mos, tais que z =z1.z2...zn.

Exemplo 1.25 Considere as seguintes fatora¸c˜oes

1. Para z = 3, temos 3 = (1 +√2)(12)onde 1 +√2 e 12 s˜ao primos; 2. Para z = 11,temos 11 = (3 +√2)(32)onde3 +√2 e 32s˜ao primos.

1.2.7

Elementos Primos em Z[

2]

Agora vamos procurar os primos em Z[√2]. Note que se N(z) ´e primo em Z,

ent˜ao z ´e um primo de Z[√2] (pois se z fatora ent˜ao N(z) fatora). Observe que todo primo z divide N(z), portanto ele deve dividir ao menos um fator primo em Z deN(z).

Se z dividir ao menos dois n´umeros distintos (absolutamente) x e y primos em Z, como sempre ´e poss´ıvel tomar a, b Z tal que ax+by = 1, ter´ıamos z|1, um absurdo. Logo, todo primo de Z[√2] divide exatamente um primo inteiro positivo (e seu oposto da soma) em Z.Seja esse primo inteiro positivo p. Temos 3(trˆes) casos:

1. Se p ´e par, ent˜ao p= 2. Sendo z =a+b√2, ent˜ao N(z) =a2+ 2b2 = 2, ou seja,

(35)

2. Sep5 ou 7(mod8).Note quex0,1, .., ou 7(mod8), ent˜ao x2 0,1 ou 4(mod8).

Queremos mostrar que p ´e um primo em Z[√2]. Suponha que p n˜ao ´e primo de

Z[√2], ent˜ao existem z =c+d√2, w =a+b√2Z[√2], com

1 < N(z), N(w) < p2, tais que p = zw. Como p ´e um inteiro primo, devemos ter

w=z =cd√2, logo p=c2+ 2d2.Agora, p=c2+ 2d2 0,1,2,3 ou 6(mod8),

o que ´e um absurdo, pois por hip´otese p5 ou 7(mod 8).Portanto, p´e um primo em Z[√2].

3. Se p 1 ou 3 mod 4.Dado x= 1.2...(p1),temos:

x2 1.2...(p1).1.2...(p1)≡ −2(mod p).

Logo, p|x2 + 2 = (x+2)(x2). Suponha que p ´e um primo de Z[2],

ent˜ao pelo Lema de Euclides p|(x+√2) ou p|(x2). Da´ı, existem

z1, z2 ∈Z[√−2] tais que x+√−2 = p.z1 oux−√−2 =pz2. Mas, ter´ıamos

z1 = 1px+ 1p√−2 ou z2 = 1px− 1p√−2 e 1p n˜ao ´e inteiro. Logo, p n˜ao ´e primo de

Z[√2], da´ı existem z =a+b√2, w =c+d√2Z[√2], com

1< N(z), N(w)< p2,tais quep=wz = (a+bi)(c+di) = (ac2bd)+(bc+ad)2.

Como p Z, ent˜ao bc =ad, ou seja, a =ce b=d ou a=c eb =d, com isso conclu´ımos que w=±z.Logo, como p > 0 segue que w=z e

N(z) = p(p=a2+2b2),portanto conclu´ımos quez ´e primo e maisz e seu conjugado

s˜ao os ´unicos primos em Z[√2] que dividem p.

Com base no exposto acima, vimos que os ´unicos primos emZ[√2] s˜ao:

(a) O primo 0 +√2 e seus produtos pelos invert´ıveis.

(b) Os primosp em Ztal que p5 ou 7(mod8) e seus produtos pelos invert´ıveis. (c) Para cada primop em Z tal que p1 ou 3(mod8), os primos a+b√2,

ab√2 e seus produtos pelos invert´ıveis, sendo p=a2+ 2b2.

1.2.8

Elementos Irredut´ıveis em

Z[

2]

(36)

Defini¸c˜ao 1.17 Um elemento z Z[√2], n˜ao-nulo e n˜ao-invert´ıvel, ´e dito irredut´ıvel quando z =wu com w ou u invert´ıveil em Z[√2].

Exemplo 1.26 Verificar que z = 0 +√2´e irredut´ıvel em Z[√2].

De fato, escrevendo 0 +√2 =wu, com w, uZ[√2], temos 2 =N(w)N(u).

Logo, N(w) = 1 ou N(u) = 1 e da´ı, concluimos que w ou u ´e invert´ıvel em Z[√2].

Portanto, z = 0 +√2´e irredut´ıvel em Z[√2].

Observa¸c˜ao 1.7 E facil verificar que os produtos de´ 0 +√2 pelos invert´ıveis tamb´em s˜ao irredut´ıveis em Z[√2].

O pr´oximo resultado mostra que um elementop´e primo emZ[√2] se, e somente se,p´e irredut´ıvel em Z[√2].

Proposi¸c˜ao 1.18 Seja p Z[√2], com p n˜ao-nulo e n˜ao-invert´ıvel. Ent˜ao p ´e um elemento primo de Z[√2] se, e somente se, p´e um elemento irredut´ıvel de Z[√2].

Demonstra¸c˜ao:

Se p = wu com w, u Z[√2], ent˜ao p|wu e, como p ´e primo, temos que

p|w ou p|u. Por outro lado, u|p e w|p. Logo w ou u ´e invert´ıvel, mostrando assim que

p ´e um elemento irredut´ıvel de Z[√2]. Por outro lado, seja p Z[√2] um elemento irredut´ıvel. Ent˜ao p´e n˜ao-nulo e n˜ao-invert´ıvel. Sew, uZ[√2]s˜ao tais que p|wu, es-crevendow=w1...wr e u=u1...us,com wi e uj elementos irredut´ıveis de Z[

−2],temos que uma fatora¸c˜ao para ab ´e

ab=w1....wr.u1....us.

Como p|wu, temos que wu = pz, para algum z Z[√2]. Pela unicidade da fatora¸c˜ao de wu, temos que p=wiv ou p=ujv, com v invert´ıvel, para algum ´ındice i, j. Agora, se

(37)

Cap´ıtulo 2

Reciprocidade Quadr´

atica

Neste cap´ıtulo destacaremos o s´ımbolo de Legendre, o crit´erio de Euler e a Lei de Reciprocidade Quadr´atica de Gauss.

2.1

Res´ıduos quadr´

aticos e n˜

ao-quadr´

aticos

Defini¸c˜ao 2.1 Sejam m um inteiro positivo ea um inteiro commdc(m, a) = 1. Dizemos que a ´e um inteiro res´ıduo quadr´atico (mod m) se existe x Z tal que x2 a(mod m).

Caso n˜ao exista tal inteiro, dizemos que a ´e um res´ıduo n˜ao-quadr´atico (mod m).

Exemplo 2.1 Res´ıduos quadr´aticos mod 7.

12 1(mod 7) 22 4(mod 7) 32 2(mod 7)

42 2(mod 7) 52 4(mod 7) 62 1(mod 7).

Note que, como (a,7) = 1, a ∈ {1,2,3,4,5,6}, os res´ıduos quadr´aticos (mod 7)

s˜ao 1,2 e 4 e os res´ıduos n˜ao-quadr´aticos s˜ao 3,5 e 6. Podemos escrever tamb´em

RQ7 ={1,2,7} e RN Q7 ={3,5,6}.

2.2

S´ımbolo de Legendre

Defini¸c˜ao 2.2 Seja p um primo ´ımpar e a um inteiro tal que p n˜ao divide a. O s´ımbolo de Legendre

a p

´e definido por:

a p

=

1 se a ´e res´ıduo quadr´atico m´odulo p

(38)

Exemplo 2.2

3 11

= 1, pois existe xZ tal que x2 3(mod 11); por exemplo,

x= 5 ou 6.

Exemplo 2.3

2 11

= 1, pois n˜ao existe x Z tal que x2 2(mod 11); de fato, se

x1,2, ....,10(mod 11), ent˜ao x2 6≡2(mod 11).

2.3

Crit´

erio de Euler

Nesta se¸c˜ao, veremos um resultado importante, que nos ajudar´a a decidirmos se

a´e um res´ıduo quadr´atico ou n˜ao.

Teorema 2.3 (Crit´erio de Euler) Seja pum primo ´ımpar e a um inteiro positivo com

p n˜ao dividindo a. Ent˜ao

a p

≡ap−12 (mod p).

Demonstra¸c˜ao: Suponha a p

= 1, ou seja, a congruˆencia x2 a(mod p) tem solu¸c˜ao: digamos

quex=x0 seja uma solu¸c˜ao, da´ı(x0)2 ≡a(mod p). Pelo teorema de Fermat:

ap−1

≡1(mod p)ap−12 ≡[(x0)2]

p−1

2 ≡(x0)p−1 ≡1(mod p)⇒a

p−1 2 ≡ a p

(mod p).

Para

a p

= 1, ou seja, a congruˆencia x2 a(mod p) n˜ao tem solu¸c˜ao. Logo, para

cada 1kp1 existe uma ´unica solu¸c˜ao 1l p1 tal que kla(mod p). Como

x2 a(mod p)n˜ao tem solu¸c˜ao, ent˜aok =6 l(k incongruente l(mod p),pois, caso contr´ario

ter´ıamos k2 a(mod p)(ou l2 a(mod p)). Agrupando os inteiros 1,2,3, ...., p1 em

p1 2

pares (k, l) com

kla(mod p)1.2.3...(p2)(p1)ap−12 (mod p)⇒(p−1)!≡ −1≡a

p−1 2 ≡ a p

(mod p).

Portanto,

a p

≡ap−12 (mod p).

Exemplo 2.4 Pelo crit´erio de Euler,

5 23

≡511 ≡ −1(mod 23), ent˜ao 5 ´e um res´ıduo

n˜ao-quadr´atico mod 23, da´ı

5 23

=1.

(39)

1. Se ab(mod p), ent˜ao a p = b p . 2. a p . b p = ab p . 3. a2 p

= 1.

Demonstra¸c˜ao:

1. se a b(mod p), ent˜ao x2 a(mod p) tem sol. x2 b(mod p) tem sol., da´ı,

a p = b p . 2. De a p

≡ap−12 (mod p) e

b p

≡bp−12 (mod p), temos que:

ab p

≡(ab)p−1 2 ≡a

p−1 2 b

p−1 2 ≡ a p b p

(mod p)

a p . b p = ab p . 3. a2 p = a p . a p = 1

Exemplo 2.5 Note que

75 97 =

3.52

97 = 3 97 . 52 97

= 1, pois 103 3(mod 97).

Logo,

75 97

= 1.

Teorema 2.5 Se p´e um primo ´ımpar ent˜ao

−1 p =   

1 , se p1(mod 4) −1 , se p≡ −1(mod 4)

Demonstra¸c˜ao:

Pelo crit´erio de Euler: −1 p

≡(1)p−12 (mod p). Sep≡1(mod4), ent˜aop−1 =

4k, k Z. Logo, −1

p

≡ (1)42k(−1)2k ≡ 1(mod p) ⇒

−1

p

= 1. Se p ≡ −1(mod 4),

ent˜ao p+ 1 = 4k, kZ, logo, p1 = 2(2k1).

Logo,−1

p

≡(1)2k−1 ≡ −1(mod p)−1

p

(40)

Exemplo 2.6 Note que −5 23 = 5 23 . −1 23

. Pelo crit´erio de Euler,

5 23

≡511≡ −1(mod 23), ent˜ao 5 ´e um res´ıduo n˜ao-quadr´atico (mod 23), da´ı

5 23

=1. Como 23≡ −1(mod 4), temos que

−1 23

=1. Portanto,

5 23 . −1 23

= (1).(1) = 1, ou seja, 5 ´e um res´ıduo quadr´atico (mod 23).

2.4

Lei de Reciprocidade Quadr´

atica de Gauss

Vamos iniciar esta se¸c˜ao com a demonstra¸c˜ao do seguinte resultado:

Lema 2.1 (Lema de Gauss) Sejapum primo ´ımpar eaum inteiro commdc(a, p) = 1.

Sejaso n´umero dos menores res´ıduos quadr´aticos positivos dos inteirosa,2a,3a, ...,p−1

2 a

que s˜ao maiores que p

2, ent˜ao

a p

= (1)s. Demonstra¸c˜ao:

Considere os inteirosa,2a,3a, ...,p−1

2 a(∗).Sejamu1, u2, ...., usos maiores res´ıduos

positvos destes inteiros () que s˜ao maiores que p2 e v1, v2, ...., vt os menores res´ıduos po-sitvos destes inteiros() que s˜ao menores que p2. Vamos mostrar que

pu1, ...., p−us, v1, ...., vt(1) s˜ao exatamente os inteiros a,2a,3a, ...,p−1

2 a(mod p). De fato, dados quaisquer dois

inteiros de(1),nenhum deles s˜ao congruentesmod p(pois, s˜ao menores quep1). Ou seja,

ui 6≡ uj(mod p) e vi 6≡vj(mod p),∀i 6= j. Digamos que ocorra uma dessas congruˆencias, ter´ıamos ma na(mod p), onde m e n s˜ao inteiros com 1 m, n p−1

2 . Tamb´em se

pui 6≡ vj(mod p), caso venha acontecer ter´ıamos p−ma≡na(mod p), o que implica,

m≡ −n(mod p)(imposs´ıvel). Portanto, pu1, ...., p−us, v1, ...., vt(1) s˜ao os inteiros (∗) em alguma ordem. Portanto,

(pu1)....(p−us).v1....vt = 1.2...

p1 2

=

p1 2

!

(u1)(−u2)...(−us).v1....vt≡

p1 2

!(mod p) (1)su

1.u2...us.v1.v2...vt≡

p1 2

(41)

Sabemos que u1, u2, ...., us, v1, ...., vt s˜ao os menores res´ıduos positivos de (∗), ent˜ao

u1.u2...us.v1.v2...vt≡a.2a.3a...

p1 2

a ap−12 .

p1 2

!(mod p).

Portanto, (1)s ap−12 (mod p),e pelo crit´erio de Euler, a p

= (1)s.

Teorema 2.6 Se p´e um primo ´ımpar ent˜ao

2 p =   

1 , se p≡ ±1(mod 8) −1 , se p≡ ±3(mod 8)

Demonstra¸c˜ao:

No Lema de Gauss, tome a = 2. Se p 1(mod 4), digamos p= 4k+ 1, temos

p1

2 = 2k. Como 1≤2j ≤

p1

2 paraj ≤k e

p1

2 <2j ≤p−1 parak+ 1≤j ≤2k,

temos

2

p

= (1)k =

1 , se p1(mod 8) −1 , se p5(mod 8)

Se p3(mod 4), digamos p= 4k+ 3, temos p−1

2 = 2k+ 1.

Para1j k temos 12j p−1

2 e parak+1≤j ≤2k+1 temos

p1

2 <2j ≤p−1

donde

2

p

= (1)k+1 =

1 , se p3(mod 8) −1 , se p7(mod 8)

Portanto, 2 p =   

1 , se p≡ ±1(mod 8) −1 , se p≡ ±3(mod 8) Exemplo 2.7 Note que −2

569

= −1 569

. 5692

= 1.1 = 1, logo 2´e um res´ıduo quadr´atico

Figure

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