Os problemas da função crítica prescrita e da dualidade em análise geométrica

Instituto de Ciências Exatas Departamento de Matemática

Tese de Doutorado

Os Problemas da Função Crítica Prescrita e da

Dualidade em Análise Geométrica

José Rafael Santos Furlanetto

Orientador: Prof. Marcos da Silva Montenegro

Inicialmente agradeço à Deus por tudo que vivenciei até hoje, sejam coisas "boas"ou "ruins". Agradeço pela oportunidade de ter aprendido algo com cada uma delas. Aos meus pais Maria Eliza e Hélio (ambos falecidos) pelo esforço na minha criação. Estou certo de que vocês estão orgulhosos de minha conquista.

À minha esposa Fernanda pelo apoio, amor e carinho não-decrescentes. Por sempre encarar com bons olhos a nossa "aventura"em solo mineiro.

À meu orientador, Professor Dr. Marcos da S. Montenegro, por ter aceitado me orientar, por nutrir uma relação de irmandade com seus orientados e por me ensinar os caminhos que um bom pesquisador deve trilhar.

Ao meu cunhado Marcos A. P. Borges pelo apoio inestimável no princípio da minha chegada a Minas.

À Virgínia, por me receber em sua casa enquanto ainda não tinha onde morar, sem sequer me conhecer. Naquele momento descobri o signi…cado da expressão "hospital-idade mineira"e dou fé sobre sua verac"hospital-idade a qualquer um.

Aos amigos do curso, em especial à Márcio Fialho e Gil Fidélix, pessoas acima da média.

À Andréa, secretária do departamento. Sempre sorridente e pronta a ajudar os alunos. Exemplo de funcionalismo público.

Aos queridos amigos do Clube do Um. Dos quais destaco: Mario, Bráulio, Alison, Euder, Rodrigo, André, Alan e Luish. Nunca jamais esquecerei de nossas reuniões, do clima único de amizade e da ótima e suavizante conversa. Vocês estão no top 10 dos melhores amigos que já …z.

Finalmente, agradeço à Murilo Lanza, vizinhaço, parceiro de idas ao Mineirão, de cervejas, de vinhos e de excelente conversa. Grande amigo. Outro no top 10.

de vocês, e suas casas …caram para trás. Apesar disso, embora vocês lutem num campo estrangeiro, para sempre terão direito à glória que colherem lá. Fizeram juramentos: agora devem cumpri-los todos, ao senhor, à terra e à aliança de amizade.

Capítulo 1

Introdução. . . 6

1.1 Organização . . . 6

1.2 Apresentação . . . 7

1.2.1 O Problema da Função Crítica Prescrita Vetorial . . . 10

1.2.2 Sobre o Teorema da Dualidade . . . 11

Capítulo 2 Blow Up Vetorial. . . 12

Capítulo 3 Funções Críticas Vetoriais . . . 20

3.1 De…nição de Função Crítica Vetorial . . . 20

3.2 Propriedades das Funções Críticas . . . 24

Capítulo 4 Demonstrações dos Principais Resultados . . . 41

4.1 O Problema da Função Crítica Prescrita. . . 41

4.2 Sobre o Teorema da Dualidade. . . 55

4.3 E Doravante? . . . 84

Apêndices . . . 85

1 Auxiliar ao Teorema 4 . . . 85

2 Propriedades Básicas de F eG: . . . 100

Introdução

1.1

Organização

Este trabalho esta organizado da seguinte maneira:

Neste capítulo introdutório damos um breve resumo do que foi feito, lançamos alguma base teórica já bem conhecida na literatura (porém que necessita ser aqui colocada) e enunciamos os principais resultados. Acreditamos que com isso o leitor já possa ter uma ideia do conteúdo e do alcance de nossos resultados.

O segundo capítulo trata do assim chamado Blow Up Vetorial, teoria recente desen-volvida por M. Montenegro e E. Barbosa, veja [17]: Neste capítulo apenas apresentamos os principais resultados e não provamos nada (ou quase nada), as provas obviamente

po-dem ser encontradas na referência citada. Estes resultados serão ferramenta muito útil no decorrer da tese.

O capítulo3é constituído de conteúdo inédito e versa sobre as Funções Críticas

Vetori-ais. Nele, de…nimos o conceito de função crítica vetorial e provamos algumas propriedades básicas deste novo conceito. Nada de muito so…sticado porém fundamental no estudo sub-sequente.

No capítulo4apresentamos as provas dos principais resultados deste trabalho,

primeira-mente mostramos um resultado sobre funções críticas prescritas e numa segunda subseção apresentamos os avanços obtidos no sentido do Teorema da Dualidade.

A escrita termina com dois pequenos apêndices. No primeiro colocamos algumas contas que aparecem no Teorema 4 a …m de facilitar a leitura do referido. No segundo apêndice colocamos duas propriedades básicas das funções F e G que recorrentemente aparecerão

neste trabalho. Tratam-se de propriedades advindas da homogeneidade que essas funções portam.

1.2

Apresentação

O estudo das constantes ótimas de Sobolev vem sendo objeto de pesquisa mundo afora já por algumas décadas. O interesse decorre do fato central de que saber informações sobre as melhores constantes nos permite saber informações sobre existência e unicidade de soluções de equações(no caso escalar)e sistemas(no caso vetorial)do tipo potencial. Em termos um

pouco mais precisos, a primeira melhor constante nos diz coisas sobre existências enquanto que a segunda nos fala sobre multiplicidades destas soluções.

Uma questão que aparece naturalmente neste contexto é sobre em que condições temos a existência de funções extremais para as desigualdades ótimas de Sobolev. Do ponto de vista escalar os pesquisadores Djadli e Druet, na publicação [9]; mostraram que em uma variedade riemanniana arbitrária compacta com dimensão n 4 acontece ao menos, uma

das duas assertivas:

(1) _B0(g) =B0(g)_extr; ou

(2) I0

g possui função extremal.

OndeB0(g)é a segunda melhor constante de Sobolev para p= 2; proveniente da desigual-dade

Z

M j

u_j2 dvg

2 2

A0(n;2)

Z

M jr

guj2dvg+B0(g)

Z

M

u2_dv

g (I0g) e

B0(g)_extr = n 2

4 (n 1)A0(n;2) maxM Sg:

Cabe aqui, como nota, que doravante usaremos as notações a(n) = n 2

4(n 1) e A0(n) = A0(n;2):

Pois bem, o resultado acima devido a Djadli e Druet é conhecido como o Teorema da Dualidade e, a …m de estudá-lo, E. Hebey e M. Vaugon introduziram em[10] o conceito de

função crítica.

Por outro lado, E. Barbosa e M. Montenegro em[6]obtiveram signi…cativos avanços nos

Seja (M; g) uma variedade suave riemanniana compacta de dimensão n 4. Temos o espaço de SobolevH1;2_{(M)dado por}

H1;2(M) =C1_(M)k:kH1;2(M)

ondeku_kH1;2_(M) :=

R

Mjrguj

2

dvg+R_M u2dvg

1=2

:Tomek 1um número inteiro. De…ni-mos então o espaço de Sobolev vetorial H_k1;2(M) por

H_k1;2(M) := H1;2(M) H1;2(M) H1;2(M)

onde o produto é tomadok vezes e a norma é dada por kU_kH1;2

k (M)=kUkHk := Z

Mjr

gUj2dvg +

Z

Mj

U_j2dvg

1=2

onde U = (u1; u2; ; uk)2Hk1;2(M) e

Z

Mjr

gUj2dvg = k

X

i=1 Z

Mjr

guij2dvg

Z

M j

Uj2dvg = k

X

i=1 Z

M

u2idvg;

sendorg o gradiente segundo a métrica g:

SejaF :Rk _!Ruma função suave, positiva e₂ homogênea, ou seja,_{F ( t) =} 2 _{F (t)}

para todo t ₂Rk e todo _{> 0}. Observe que _{2 =} 2n

n 2: Tome também H : M R

k _{! R}

função suave, positiva e2 homogênea na segunda variável, isto é, H(x; t) = 2H(x; t)

para todo (x; t) ₂ M Rk e para todo _{> 0:} Segue então da continuidade da imersão de

Sobolev H1;2_{(M) ,! L}2 _{(M) e da proposição 2:2:1 em [6] que existem constantes ótimas} A0(g; F; H) e B0(g; F; H) tais que a chamada desigualdade ótima de Sobolev vetorial,

Z

M

F (U)dvg

2=2

A0(g; F; H)

Z

Mjr

gUj2dvg+B0(g; F; H)

Z

M

H(x; U)dvg (Jg;optF;H)

seja válida para toda U ₂ H_k1;2(M): Para …ns de esclarecimento do discurso apenas, no-tamos que A0(g; F; H) é a menor constante tal que existe B que torna a desigualdade de Sobolev vetorial válida eB0(g; F; H)é a menor constante tal que a desigualdade de Sobolev

vetorial valha comA0(g; F; H):

Notamos também que a proposição2:2:1em[6]mostra que a primeira melhor constante

A0(g; F; H)não depende da funçãoHescolhida nem tampouco da métricag. Num linguajar mais preciso temos que

onde MF = maxSk 1

2 (F);

Sk 1

2 := n

t2Rk_;Pk

i=1jtij 2

= 1o e A0(n) é a melhor constante

de Sobolev escalar. Este fato será amplamente utilizado nesta tese.

Antes de continuarmos, cabem aqui duas pequenas observações: A primeira é sobre o fato de que as melhores constantes citadas acima serem todas sobre p = 2 e a segunda é

que a proposição2:2:1;também supracitada, prova os fatos descritos para 1 p < n e não apenas para p= 2: Para demonstrações ver[6], claro.

Ainda a respeito das melhores constantes, chamamos de uma aplicação extremal de

(J_g;optF;H) a uma aplicação U0 2 Hk1;2(M) f0g que realiza a igualdade em (J F;H

g;opt). Além

disso, uma estimativa referente à segunda melhor constante vetorial que aparece em[6]que

…nalmente resultou no Teorema da Dualidade foi B0(g; F; H) min

M H(x; t0)

(n 2) 4 (n 1)M

2=2

F A0(n) max_M Sg

para todo t0 2 Sk 1

2 tal que F (t0) = MF e sendo Sg a curvatura escalar segundo g sobre

M:

Lançado então este pequeno conjunto básico de ideias, vemo-nos em condição de enun-ciarmos o Teorema da Dualidade Vetorial que, como citado, aparece em[6]:

T

eorema 1 (Teorema da Dualidade): Seja (M; g) suave, riemanniana e compacta com

dimensão n 4: Tome k > 1 número natural, F : Rk _! R função contínua, positiva,

2 homogênea e H : M Rk _! R função contínua, positiva, ₂ homogênea na segunda

variável. Então ocorrerá

(D1) A desigualdade ótima de Sobolev Jg;optF;H admitirá aplicação extremal U0 ou

(D2) _B0(g; F; H) minMH(x; t0) = a(n)MF2=2 A0(n) maxMSg; 8t0 2Sk2 1 tal que F(t0) = MF:

onde Sg é a função curvatura escalar segundo g sobre M:

Para terminarmos, e como o assunto é Melhores Constantes, decidimos colocar uma última proposição à respeito neste ponto. Trata-se de uma estimativa obtida por E. Barbosa em[6]e que será usada posteriormente nesta tese. Para maiores detalhes sobre as melhores

P

roposição 1 Seja (M; g) variedade riemanniana compacta de dimensão n 2: Para cada

t0 ₂Sk 1

2 tal que F (t0) =MF; temos

M_F2=2 B0(g)

maxx2MH(x; t0) B0

(g; F; H) M

2=2

F B0(g)

min_M Sk 1

2 H

:

Em particular, se existirt0 2Sk 1

2 tal que F (t0) = MF emin_M Sk 1

2 H = maxx2MH(x; t0),

então

B0(g; F; H) = M

2=2

F B0(g)

min_M Sk 1

2 H

e, além disso, se a desigualdade ótima de Sobolev escalar possuir extremal então a

desigual-dade ótima de Sobolev vetorial com F e H possui extremal.

Passemos agora a apresentar os principais resultados desta tese.

1.2.1

O Problema da Função Crítica Prescrita Vetorial

Inicialmente, pensamos em desenvolver o conceito de função crítica vetorial a …m de que, à semelhança de Djadli e Druet, pudéssemos aplicar os resultados ao estudo do Teorema da Dualidade. No entanto, ao encontrarmos o trabalho de E. Humbert e M. Vaugon [15]

decidimos que estudar o chamado Problema da Função Crítica Prescrita no contexto vetorial seria, também, de interesse. Embora não haja conexão direta com o estudo da Dualidade

(pelo menos ainda não sabemos disso)incluímos então este estudo neste trabalho.

Obviamente, o leitor ainda não tem como compreender plenamente do que se trata o dito problema pois sequer de…nimos o que é uma Função Crítica mas, a grosso modo, trata-se de darmos funções F e G; como citadas acima, sobre uma variedade riemanniana (M; g)

compacta e perguntar em que condições teremos a existência de uma métrica~g pertencente à classe conforme de g para a qualG será crítica para ~g segundoF (a de…nição de função

crítica mais uma série de outros itens concernentes ao tema podem ser encontradas no capítulo3):

Fixex₂M (M como no enunciado abaixo): De…na para cadax₂M; mG(x) = min

t2S₂k 1

G(x; t)

O resultado obtido foi,

TEOREMA: Seja (M; g) riemanniana, compacta, dim M = n 4; não

G : M Rk _{! R suave e 2 homogênea na segunda variável. Então existirá ~g 2 [g] tal}

que G é crítica para ~g segundo F se e somente se existir um ponto de x ₂ M tal que

mG(x)>0:

1.2.2

Sobre o Teorema da Dualidade

O objetivo principal deste trabalho é estudar o Teorema da Dualidade, ou seja, saber em que condições (D1) não ocorre enquanto (D2) sim, bem como em que situação podemos garantir que ambos ocorram.

No que concerne à dualidade obtivemos dois resultados. Neste primeiro aparecem as condições para que(D1) não ocorra enquanto(D2)ocorra, trata-se do

TEOREMA: Seja (M; g) variedade riemanniana, suave, compacta, dimM = n 4:

Considere também F : Rk _{! R suave, positiva e 2 homogênea e G : M R}k _{! R}

suave, positiva e 2 homogênea na segunda variável. Suponha adicionalmente que exista

um ponto x0 2 M tal que Wg 0 (Tensor de Weyl, Cap. 4)numa vizinhança V0 de x0:

Então existe uma métrica g~2[g] tal que

B0(~g; F; G) min

M G(x; t0) = a(n)M

2=2

F A0(n) max_M S~g

8t0 2S₂k 1 tal que F(t0) =MF e, além disso, J~g;optF;G não possui aplicação extremal.

O segundo resultado versa sobre condições para as quais tanto(D1)com(D2)ocorram.

No entanto este resultado é bem restrito pois trabalhamos comG(t) =_jt_j2 e ainda carece de aprimoramento, uma vez que o alvo são funçõesG gerais, à semelhança do anterior. O estudo do teorema da função crítica prescrita nos deu ideias de como aprimorá-lo, mas até o fechamento desta tese nenhum avanço digno de reporte foi obtido. Segue o resultado.

TEOREMA: Sejam (M; g) variedade riemanniana suave, compacta, dimM = n 7

e não conformalmente difeomorfa à (Sn_{; h):} Suponha que exista _{x0 2 M} tal que _{Wg 0}

numa vizinhança de x0: Dada G : M Rk _{! R tal que G(t) = jtj}2_{, então existe}

~

g ₂ [g]

tal que

B0(~g; F; G) min

M G(x; t0) =a(n)M

2=2

F A0(n) max_M S~g;

para todo t0 ₂S₂k 1 tal que F(t0) =MF e a desigualdade ótima de Sobolev vetorial (J~g;optF;G)

Blow up vetorial

Neste capítulo, apresentaremos importante ferramenta matemática utilizada para compor os resultados desta tese. Trata-se de resultados de Blow up já fortemente conhecidos no contexto escalar que foram extendidos_nobtidos para o contexto vetorial. Considerando a grande quantidade de cálculos a serem efetuados no desenrolar dos próximos dois capítulos e para não entediar o leitor com desnecessidades, colocaremos aqui apenas os principais resultados e algumas demonstrações. O conteúdo completo pode ser encontrado em [17]: Como de praxe neste trabalho (mas nunca demais se citado), notamos que ao longo deste

capítulo usaremos que F : Rk _! R será uma função suave, positiva e ₂ homogênea.

G:M Rk _!Rsuave, positiva e ₂ homogênea na segunda variável.

Seja (M; g) variedade riemanniana compacta, suave e com dimM = n 2: De…na Jg;G :H_k1;2(M)!R por

Jg;G(U) =

Z

Mjr

gUj2dvg+

Z

M

G(x; U)dvg

e considere o conjunto

= U ₂H_k1;2(M) tal que Z

M

F (U)dvg = 1

e ponha := infU2 (Jg;G(U)):Nestas condições temos a

P

roposição 2 Se < M_F2=2 A0(n) 1 então existirá U 2 tal que

=Jg;G(U ):

P

rova. A prova deste resultado, com mínimas modi…cações, pode ser encontrada em [6]: Esta proposição garante queU = u1_{; u}2_{; :::; u}k _{é solução fraca de}

(

gui + 1₂@G_@ti (x; U ) = ₂ @G_@ti (x; U ) emM

R

MF (U )dvg = 1:

SendoF e Gsuaves, tem-se também que U é suave (veja[6]):

Continuando, sejaG" uma sequência de funções(do tipoG) convergindo pontualmente

emM Rk _{para Gquando " !0. Suponha que para cada " >0próximo o bastante de 0}

tenhamos que _g;F;G" < M_F2=2 A0(n) 1 com _g;F;G = M_F2=2 A0(n) 1:Pela proposição

2temos gerada uma sequência(U")2Hk1;2(M)de funções suaves que claramente é limitada

emH_k1;2(M): Nestas condições, sabemos que existe uma aplicaçãoU0 ₂H_k1;2(M)tal que U"* U0 emH_k1;2(M) e U"!U0 emL2k(M):

Ficam então postas duas situações para U0 : ou U0 é não nulo ou U0 é identicamente nulo emM:Daqui em diante lidaremos apenas com o segundo caso, ou seja, comU0 0:Temos que a sequência(jU"j)explode em L1(M) pois,(U")converge para zero em L2k(M)e

1 =

Z

M

F (U")dvg C0jU"(x")j2 2

Z

Mj

U"j2dvg !0;

onde x" 2M ponto de máximo de jU"j: Sendo assim, …ca natural a de…nição de ponto de

blow up para a sequência (U"):

De…niremos um ponto de concentração de (U") (ou ponto de blow up) como um ponto

x0 2M tal que

lim sup

"!0 Z

Bg(x0; )

jU"j2 dvg >0

para qualquer >0tomado. Notando queBg(x0; )é a bola segundo a métricag centrada

emx0 e de raio : O próximo resultado versará sobre existência e unicidade de pontos de concentração.

P

roposição 3 Existe ponto de concentraçãox0~ ₂M para a sequência (U") e ele é único.

P

rova. Por compacidade de M a existência de ao menos um ponto x0 é imediata. Fixe >0; e ponha

lim sup

"!0 Z

Bg(x0;)

Tem-se que

gjU"j MF2=2 A0(n) 1

jU"j 1F (U") emM

Tomando uma função corte e pondo 2_jU

"jm+1como função teste na desigualdade anterior

(m escolhido depois); Z

Mr

gjU"j:rg 2jU"jm+1 dvg MF2=2 A0(n)

1Z

M

2_jU

"jmF (U")dvg:

Desenvolvendo o lado esquerdo da desigualdade acima encontra-se

(m+ 1)

Z

M

2

jU"jmjrgjU"jj2dvg M_F2=2 A0(n) 1Z

M

2

jU"jmF(U")dvg

Z

M j

U"jm+1rg 2 :rgjU"jdvg:

Por outro lado, …xado >0 encontra-se uma constanteC >0;independente de", tal que Z

M r

g jU"j

m+2 2

2

dvg (1 + )

(m+ 2)2 4

Z

M

2

jU"jmjrgjU"jj2dvg

+C krg k2₁

Z

Mj

U"jm+2dvg:

Juntando estas duas últimas desigualdades, usando Holder e evocando a desigualdade ótima deL2 _{Sobolev obtêm-se}

A"

Z

M j

U"j

m+2 2

2 dvg

2=2

B"

Z

Mj

U"jm+2dvg +C"

Z

Mj

U"j2m+2dvg

1=2 ;

onde A"(m; F; ); B" krg k₁ e C" m; F;krg k₁; :

Suponha por absurdo que0< a <1:Neste caso pode-se escolher >0em >0pequeno

o bastante tal que

A" A1 >0; m+ 2 2 e2 2

m

2 2 <2 :

Assim, usando Holder, obtemos para " grande uma constante C1 >0 tal que

Z

M j

U"j

m+2 2

2 dvg

2=2

C1

e que

Z

Bg(x0; )

jU"j2 dvg C1

Z

Mj

U"j2

m

2 2 dv

g

Usando então que U" !0 emL2k(M) chega-se a

lim sup

"!0 Z

Bg(x0;₄)

jU"j2 dvg = 0

o que claramente contradiz o fato de x0 ser ponto de concentração de (U"): Logo a = 1 e

isto facilmente implica na unicidade dex0:

P

roposição 4 A sequência(x")dos pontos de máximo de(jU"j)converge para x0:~ Ademais,

para qualquer >0; temos

jU"j !0 em C0(M fx0~ g):

P

rova. Seja x0 ₂ M o ponto limite da sequência (x"): Então (U") concentra-se em x0

pois se isto não ocorresse e pela proposição anterior teríamos para qualquer pequeno o bastante

lim sup

"!0 Z

Bg(x0;2 )

jU"j2 dvg = 0:

Pelos desenvolvimentos na proposição anterior, para" grande, Z

Bg(x0;2 )

jU"j

(m₁₊₂₎₂

2 dv

g C1

Usando a proposição 2:4 de[17]deduz-se então que

sup

Bg(x0; )

jU"j C0 n=2

Z

Bg(x0; )

jU"j2 dvg

!1=2 !0

o que claramente contradiz o fato de que (_jU"(x")j) explode quando " ! 0: Assim, x0 é

ponto de concentração de(U"): Para a última parte, como para qualquer >0;

lim sup

"!0 Z

M Bg(x0;₂)

jU"j2 dvg = 0

voltando à prova da proposição anterior tem-se que existe constantes positivasm2 eC2 tais

que _Z

Bg(~x0;2 )

jU"j

(m2+2)2 2 dv

g C2:

Novamente lançando mão da proposição2:4chega-se a

sup

M Bg(x0;₂)

jU"j C3

Z

M Bg(x0;₂)

jU"j2 dvg

!1=2 !0;

P

roposição 5 Para qualquerR >0;

lim

"!0 Z

Bg(x0;R ")

F(U")dvg = 1 k(R);

onde k(R)_!0 quando R _!+₁ e " é como na proposição 8:

P

rova. Sabemos que existe > 0tal que exp_x" : B (0) _!Bg(x"; )é difeomor…smo para

qualquer ": Tome " função corte tal que 0 " 1; " = 1 em Bg(x"; =2); " = 0 em

M Bg(x"; )e jrg "j C: Pondo

~

U"= "U"

então, a menos de subsequência,

lim

"!0 Z

Bg(x"; )

F U~" dvg = 1: (2.1)

Usando homogeneidade e o sistema(S")satisfeito por U" chega-se a

lim

"!0 Z

Bg(x"; ) rgU~"

2

dvg = MF2=2 A0(n)

1

: (2.2)

Para cada"; introduza a métrica g~" na bola "=B 1

" (0) por

~

g"(x) = expx"g ( "x);

onde, lembrando, " = ~U"(x")

2=n

: Note que " ! 0 quando " ! 0 e que g~" ! em

C2

loc(Rn): Ponha também o mapa " em Rn;

"(x) =

( _n=2

" U~" expx"( "x) se x2 "

0se x₂Rn _":

Fato essencial é que " satisfaz o sistema

~

g"

i "+

2

"

2

@G"

@ti

exp_x"( _"x); " = "

2

@F"

@ti

( "):

Agora, com os limites(2:1) e(2:2)e usando expansão de Cartan da métrica g; chega-se a

lim

"!0 Z

Rn

F ( ")dx= 1

e

lim

"!0 Z

Rnjr

"j2dx= MF2=2 A0(n) 1

Usando agora expansão de Cartan da métrica g; o re…namento das estimativas de Giorgi-nash-Moser(proposição 2:4 de [17]) e belos argumentos de análise(veja Lema 2:1 de [17])

conclui-se a existência de um 0 2 D1k;2(Rn) tal que a sequência( ") converge para 0 em Dk1;2(Rn) e que

0 =t0 ; e = 1 +_n(n j₂₎xj2_A0(n) 1

n

2

:Temos então que, Z

F ( ")dx!

Z

F ( 0)dx Z

Rn

F( 0)dx= 1

para qualquer limitado em Rn. Finalmente,

Z

Bg(x0;)

F (U")dx=

Z

BR(0)

F ( ")dv~g" ! Z

BR(0)

F( 0)dx= 1 k(R):

Como queríamos.

Estes próximos três resultados são fundamentais e serão muito utilizados no capítulo4.

O primeiro é a chamada concentraçãoL2_:

P

roposição 6 Para qualquer >0;

lim

"!0 R

M Bg(x0;)jU"j

2 dvg

R

M jU"j

2 dvg

= 0:

P

rova. Veja[17]:

Observe que decorre imediatamente desta última proposição que

lim

"!0 R

Bg(x0; )jU"j

2 dvg

R

M jU"j

2 dvg

= 1:

Este fato também terá participação futura. O próximo resultado é comumente conhecido, inclusive em sua variante escalar, como Lema da distância 1;

P

roposição 7 Existe uma constanteC > 0; independente de"; tal que

dg(x; x")n=2 jU"(x)j C

para qualquer x₂M e " próximo o su…ciente de zero. Aqui, dg é a distância com respeito

P

rova. Esta prova é muito semelhante à seguinte. Como já dito, veja [17]:

O próximo resultado é o chamado Lema da distância2; ele não aparece em[17];apesar de, como já dito, sua demonstração seguir as mesmas ideias da prova do Lema da distância

1:

P

roposição 8 Para todo > 0; existe R > 0 tal que para qualquer " próximo de zero o

bastante e qualquerx2M

dg(x; x") R " )dg(x; x")n=2 jU"(x")j ;

onde " = ~U"(x")

2=n

:

P

rova. De…na u"(x) = dg(x; x")n=2 jU"(x)j e suponha por absurdo que exista 0 > 0 tal que para qualquerR > 0haja " >0 e y" 2M satisfazendo

dg(x"; y") R " e dg(x"; y")n=2 jU"(y")j> 0: (2.3) Pela proposição4; y" !x0:~ Além disso, de 0< 0dg(x"; y")n=2 jU"(y")j temos também que

jU"(y")j ! +1: Agora, tome > 0 pequeno o bastante de modo que expy" : B2 (0) ! B2 (y") seja um difeomor…smo. Ponha " Rn por

" = "1expy"(B (x"))

onde "=jU"(y")j 2 =n:Introduza então,

h"(x) = expy"g ( "x) e V"(x) = n=" 2 U" expx"( "x) :

Temos queh"! em Cloc2 (Rn);onde é a métrica euclidiana.

(i)A sequência (V")é uniformemente limitada em B1 2

2 =n

0 (0) para " próximo de zero.

De fato, …xado x2B1 2

2 =n

0 (0);temos

dg x";expy"( "x) +dg expy"( "x); y" dg(x"; y")

e portanto, para" próximo de zero,

dg x";expy"( "x) dg(x"; y") 2 "

= dg(x"; y") 2jU"(y")j 2 =n

1

Desta forma,

jV"(x)j = "n=2 U" expy"( "x) =

n=2

" dg x";expy"( "x)

n=2

u" expy"( "x)

2n=2 n=_" 2 dg(x"; y") n=2 u" expy"( "x)

= 2n=2 u_"1(y")u" expy"( "x)

2n=2 1 0 :C;

onde C >0 foi obtido a partir da proposição7: Assim, para" próximo de zero,

sup

B₁

2 2 =n

0

(0)j

V"(x)j 2n=2 01C; (2.4)

como queríamos.

Por outro lado, a aplicaçãoV" = v"1; :::; v"k satisfaz (veja [17]) 8i= 1; :::; k;

h"v

i "+

1 2

@G"

@ti

(x; V") = "

2

@F @ti

(V") emB1 2

2 =n

0 (0);

com " = inf_H1;2

k (M)(Jg;F;G"): Deste modo, graças a (2:4) e as estimativas de De Giorgi-Nash-Moser aplicadas ao sistema acima(veja [17]; proposição2:4);

1 = jV"(0)j sup B₁

4 2 =n

0

(0)j

V"(x)j C

0 @Z

B₁

2 2 =n

0

(0)j

V"j2 dvh" 1 A

1=2

= C

0 @Z

B₁

2 20 =n " (y")j

V"j2 dvg

1 A

1=2 :

Finalmente, pela proposição5;para chegarmos a um absurdo, basta mostrar que₈"próximo o bastante de zero e para qualquerR >0;

B1 2 2

=n

0 "(y")\BR "(x") =;: De volta a(2:3); temos ao fazer R_!+₁que

lim

"!0

dg(x"; y")

"

= +1:

Assim,

dg x";expy"( "x)

"

1 2

dg(x"; y")

" !

+₁

e desta forma, dadoR >0 existe" tal que

dg x";expy"( "x) > R "; 8x2B1 2 2

=n

0

(0)

Funções Críticas Vetoriais

Neste capítulo, introduziremos a noção de função vetorial crítica e provaremos resultados e propriedades. Apesar de conter ideias e demonstrações simples, o capítulo é fundamental visto que é através do conceito de função crítica que conseguiremos extrair resultados a respeito do teorema da dualidade.

O capítulo foi dividido em duas seções apenas com o objetivo de facilitar a leitura e a procura. Na primeira introduzimos o conceito de função vetorial crítica. Na segunda estudamos algumas propriedades das funções vetoriais críticas e provamos proposições sim-ples relacionadas a isto. Vale ressaltar também que a palavra vetorial inserida no nome das funções críticas tem apenas o propósito de formatar o conceito de modo diferente ao feito no caso escalar uma vez que, essencialmente, poderíamos simplesmente chamá-las de funções críticas, mas, neste caso, haveria coincidência de nomes, o que não é salutar em matemática. No entanto, sempre que não houver risco de confusão, usaremos apenas as palavras função crítica para nos referirmos a uma função crítica. vetorial.

3.1

De…nição de Função Crítica Vetorial

Seja (M; g) variedade suave, riemanniana e compacta com dimensão n 4: De…nimos a classe conforme da métricag como o conjunto

[g] := _f~g =f g ; f ₂C1(M) comf >0_g

Tomeg~₂[g]e escrevag~='2 2_{g com' 2C}1_{(M); ' >0:Considere tambémF :R}k _!R

suave, positiva e 2 homogênea e H : M Rk _! R suave, positiva e ₂ homogênea na

segunda variável. De…na a função G:M Rk _!Rpor

G(x; t) :=

g':jtj2+ B0(g;F;H) M_F2=2 A0(n)

H(x; t)'

'2 1

onde g(:) = div(rg(:)) é o operador laplaciano segundo a métrica g. Note que G

não necessariamente é positiva, apesar de ser suave e manter a2 homogeneidade. Nestas condições temos a seguinte

A

…rmação: Pondo o funcionalJg;F;H :Hk1;2(M) f0g !R por

Jg;F;H(U) :=

R

MjrgUj

2 dvg+

R

MH(x; U)dvg

R

MF (U)dvg

2=2

temos queJ~g;F;G(U:' 1) = J_g;F; B₀₍g;F;H)

M_F2=2 A₀₍n)H

(U)para toda U ₂H_k1;2(M) _f0_g:

P

rova. De fato, comodvg =

p

jg_jdx e~g ='2 2_{g entãodv~}

g ='2 dvg e portanto para toda

U ₂H_k1;2(M) _f0_g; Z

M

F U:' 1 dv~g =

Z

M

' 2 F (U)'2 dvg =

Z

M

F (U)dvg;

e com isso os denominadores dos funcionais estão resolvidos. Trabalhemos com os numer-adores agora. Temos que

Z

M r~

g U ' 1

2

dv~g =

Z

M k

X

i=1

r~g ui' 1

2 dv~g =

Z

M k

X

i=1

'2 r~g ui' 1

2 dvg = k X i=1 Z Mjr

guij2dvg+

Z

M

g(')u2i' 1dvg

! = k X i=1 Z Mjr

guij2dvg +

Z

M

g(')jUj2' 1dvg;

uma vez que R_Mu2_' 2_jr

g'j2 2u' 1g(rg';rgu)dvg =R_M g(')u2'dvg para toda u2

H1;2_{(M): Por outro lado,} Z

M

G x; U ' 1 _dv ~

g =

Z

M

' 2_{G(x; U)'}2 _dv

g =

Z

M

'n42G(x; U)dv

g;

e portanto, juntando esta informações, Z

M r~

g U ' 1

2 dvg~+

Z

M

G x; U ' 1 dvg~ = Z

Mjr

gUj2dvg+

+

Z

M

g(')

' jUj 2

dvg+

'2 1

' G(x; U)dvg

=

Z

Mjr

gUj2+ B0

(g; F; H)

e com isto resolvemos os numeradores.

De posse desta a…rmação e sabendo da validade da desigualdade ótima de Sobolev vetorial paraF eH temos então que

Z

M

F U ' 1 dv~g

2=2

=

Z

M

F (U)dvg

2=2

M_F2=2 _A0(n) Z

Mjr

gUj2dvg+B0(g; F; H) Z

M

H(x; U)dvg

= M_F2=2 _A0(n)

Z

M r~

g U ' 1

2 dvg~+

Z

M

G x; U ' 1 dvg~

B0(g; F; H)

M_F2=2 _A0(n) Z

M

H(x; U)dvg

#

+B0(g; F; H)

Z

M

H(x; U)dvg

= M_F2=2 _A0(n) Z

M r

~

g U ' 1

2 dv~g +

Z

M

G x; U ' 1 dv~g ;

ou seja, escrevendo V = U ' 1 _{chegamos que a melhor desigualdade de Sobolev vetorial} equivale a

Z

M

F(V)dv~g

2=2

M_F2=2 A0(n)

Z

M jr~

g(V)j2dv~g+

Z

M

G(x; V)dv~g (C~gF;G)

para todaV 2H_k1;2(M):

Fica natural então procurar por uma "melhor função"Ge ver o que ela pode nos dizer. Mas qual é o sentido matemático da expressão "melhor função"? Esclarecemos isto na seguinte

D

e…nição 1 Seja (M; g) uma variedade riemanniana, suave e compacta e F : Rk _! R

função suave, positiva e2 homogênea(k 1). Uma dada função G:M Rk _!R suave

e 2 homogênea na segunda variável será dita ser uma função crítica para g segundo

F se

(i) A desigualdade CF;G

g for verdadeira para todaU 2H

1;2

k (M) f0g e

(ii) Se para toda _G~ _{: M} Rk _! R suave e ₂ homogênea na segunda variável, com

~

G G; G~ 6 G; a desigualdade CF;G~

g for falsa para alguma UG~ 2H

1;2

k (M) f0g:

di…culdade, procuremos uma de…nição equivalente que satisfaça nossos anseios de termos algo mais palpável em mãos. Para isto, voltemos ao funcional Jg;F;G de…nido mais acima.

Primeiramente, observe que ele é inspirado em(CF;G g ):

De…na então o seguinte número real

g;F;G = inf H_k1;2(M) f0g

(Jg;F;G(U))

ondeF eGsão como na de…nição(1)acima. Tomet0 2S2k 1tal queMF = maxSk₂ 1(F (t)) =

F(t0):Dadou2H1;2_{(M) f0g;ponhaU0 =t0u= (t0}

1u; t02u; ; t0ku)2H

1;2

k (M) f0g:

Assim,

Jg;F;G(U0) =

R

MjrgU0j

2 dvg+

R

M G(x; U0)dvg

R

MF (U0)dvg

2=2

=

R

Mjrgt0uj

2

dvg+R_MG(x; t0u)dvg

R

MF (t0u)dvg

2=2

=

Pk i=1jt0j

2R

Mjrguj

2

dvg+R_Mft0(x)u

2_dv

g

M_F2=2 R_Mju_j2 dvg

2=2

=

R

Mjrguj

2 dvg+

R

M ft0(x)u

2_dv

g

M_F2=2 R_M juj2 dvg

2=2

ondeft0(x) = G(x; t0):Por outro lado, da teoria escalar de funções críticas, sabemos que,

ver[10],

g;f = inf

H1;2_{(M) f0g}Jg;f(u) = _H1;2₍inf_{M) f0g}

R

Mjrguj

2

dvg+R_Mf(x)u2dvg

R

Mjuj

2 dvg

2=2

!

A0(n) 1

seja qual for a variedadeM e qual for a função f: Com isso, temos

g;F;G = inf H_k1;2(M) f0g

(Jg;F;G(U)) inf

H1;2_{(M) f0g}(Jg;F;G(t0u))

= inf

H1;2_{(M) f0g} Jg;ft0 (u) M

2=2

F M

2=2

F A0(n)

1 ;

e isto juntamente com o item (i) da de…nição 1 nos diz que se G é crítica para g segundo F então

g;F;G = M

2=2

F A0(n)

Resta-nos apenas ajustarmos o item (ii) da de…nição 1: Mas este é um trabalho simples, uma vez que:

~

G como em (ii) na de…nição1 tal que (C_gF;G~) é falsa

, 9U_G~ 2H_k1;2(M) tal que Z

M

F (U_G~)dvg

2=2

> M_F2=2 A0(n)

Z

Mjr

gU_G~j2dvg +

Z

M

~

G(x; U_G~)dvg

, J_g;F;G~(U_G~)< M_F2=2 A0(n) 1

, g;F;G < M

2=2

F A0(n)

1 :

E assim estamos em condições de formular a seguinte de…nição equivalente à de…nição1 :

D

e…nição 2 Sejam (M; g) variedade riemanniana, suave, compacta e F : Rk _! R função

suave, positiva e 2 homogênea (k 1). Uma dada função G:M Rk _!R suave e ₂

homogênea na segunda variável será dita ser

(i) Subcrítica para g segundo F se g;F;G < M

2=2

F A0(n)

1 ;

(ii) Fracamente crítica para g segundo F se g;F;G = M

2=2

F A0(n)

1

e

(iii) Crítica para g segundo F se for fracamente crítica para g segundo F e se para toda

~

G : M Rk _! R suave e ₂ homogênea na segunda variável, com _G~ _{G; G}~ _{6 G}

tivermos que _G~ _{é subcrítica para g segundoF:}

Com esta de…nição, alcançamos o propósito desta primeira seção e, por isso, fechando-a. Na próxima seção discutiremos propriedades das funções críticas e provaremos alguns resultados.

3.2

Propriedades das Funções Críticas

A primeira indagação que trazemos da seção anterior e que surge naturalmente após serem dadas de…nições em matemática é, logicamente, a respeito de existências. No nosso caso, de existência de funções críticas. Será que existe alguma? A resposta começa a ser dada na seguinte proposição, porém antes de irmos a ela, notamos que ao longo de toda a seção, sempre que aparecerF;estaremos falando de uma funçãoF :Rk _!Rsuave, positiva e₂

P

roposição 9 Seja H : M Rk _! R função suave, positiva e ₂ homogênea na segunda

variável. De…na G:M Rk _!R por

G(x; t) = B0(g; F; H)

M_F2=2 A0(n)H(x; t):

EntãoG é fracamente crítica para g segundo F:

Se, além disso, existir uma aplicaçãoU0 ₂H_k1;2(M) _f0_gque seja extremal para(J_g;optF;H):

Então a função G será uma aplicação crítica para g segundo F:

P

rova. Temos que 8U ₂H_k1;2(M); Z

M

F (U)dvg

2=2

M_F2=2 A0(n)

Z

M jr

gUj2dvg+B0(g; F; H)

Z

M

H(x; U)dvg

que é a desigualdade ótima de Sobolev vetorial para F e H: Considerando agora U ₂ H_k1;2(M) _f0_g;

M_F2=2 A0(n) 1

R

MjrgUj

2

dvg + B0(g;F;H) M_F2=2 A0(n)

R

MH(x; U)dvg

R

MF (U)dvg

2=2

=

R

MjrgUj

2 dvg +

R

MG(x; U)dvg

R

MF (U)dvg

2=2 :

Passando ao ín…mo emH_k1;2(M) _f0_gtemos M_F2=2 _A0(n) 1 _g;F;G M_F2=2 _A0(n) 1; ou seja,

g;F;G = M

2=2

F A0(n)

1 :

Exemplos paraH seriam H(x; t) = (x)Pk_i=1jtij2; com 2C1(M); >0:

Agora, seja _G~ _:M Rk _{!R suave e 2 homogênea na segunda variável, com G}~ _G;

~

G6 G: Então temos que Z

M

~

G(x; U0)dvg <

Z

M

G(x; U0)dvg;

e portanto,

g;F;G~

R

MjrgU0j

2

dvg+R_MG~(x; U0)dvg

R

MF (U0)dvg

2=2 < R

MjrgU0j

2

dvg+R_MG(x; U0)dvg

R

MF (U0)dvg

2=2

=

R

MjrgU0j

2

dvg+ B0(g;F;H) M_F2=2 A0(n)

R

MH(x; U0)dvg

R

MF (U0)dvg

2=2 = M

2=2

F A0(n)

já queU0 é extremal para a desigualdade ótima de Sobolev vetorial. Assim, em resumo,

g;F;G~ < M

2=2

F A0(n) 1

e, dada a arbitrariedade de_G;~ _{segue queG é função crítica parag segundo F:}

Uma maneira de buscarmos por exemplos de funções críticas é inspirarmo-nos na proposição acima juntamente com o teorema da dualidade. Como ela nos diz que basta que encon-tremos uma aplicação extremal para (J_g;optF;H) então, olhando para o teorema da dualidade

(pág.9);encontramos outra fonte de extremais tomando uma variedade riemanniana(M; g);

dimM 4 que possua função curvatura escalar não-positiva, S~g 0 (se necessário, após

uma mudança conforme de métrica; o que é possível pelos desenvolvimentos apresentados por exemplo em[13]): Temos então que

B0(~g; F; H)H(~x; t0)>

(n 2) 4 (n 1)M

2=2

F A0(n)Sg~(~x);

para algum x~₂M e 8t0 ₂Sk 1

2 tal que F (t0) =MF. Ora, neste caso, o teorema da

duali-dade a…rma que(J_g;optF;H) possuirá aplicação extremalU0. Portanto, pondo G= B0(~g;F;H)

M_F2=2 A0(n)H

temos tantas funções críticas para ~g segundo F quantas funções H; nas nossas hipóteses, forem possíveis. Para maiores informações à respeito da existência de extremais para a desigualdade ótima de Sobolev vetorial, ver as referências[6]e [11].

Ainda caminhando em direção à "montagem"de funções críticas, fazemos uma parada para introduzir o importante conceito de aplicação extremal que, à semelhança das de-sigualdades ótimas de Sobolev, é uma aplicação de H_k1;2(M) que realiza o ín…mo _g;F;G: Tecnicamente, temos a

D

e…nição 3 Sejam (M; g) variedade riemanniana, suave, compacta, G função fracamente

crítica parag segundoF:Uma aplicação U0 2H_k1;2(M) f0g será dita ser umaaplicação

extremal para G (segundo a métrica g) se

Jg;F;G(U0) = MF2=2 A0(n)

1 :

C

orolário 1 Sejam(M; g) variedade riemanniana, suave, compacta eG função fracamente

crítica parag segundo F: Se existir uma aplicação extremal U0 paraG então G é aplicação

crítica parag segundo F:

Outra informação importante sobre aplicações extremais é a de que uma aplicação ex-tremal satisfaz, no sentido fraco ao menos, um sistema de equações. Em termos mais precisos: DadaGfunção crítica parag segundoF então uma aplicaçãoU0 = (u1; ; uk)2

H_k1;2(M) f0gserá uma aplicação extremal para G se e somente se U0 satis…zer 8

< :

gui+ 1₂@G(_@tx;U_i 0) =

M_F2=2 A0(n) 1

2

@F(U0)

@ti emM R

MF (U0)dvg = 1:

i= 1; :::; k (S)

Para veri…car este fato primeiramente note que comoU0 é aplicação extremal paraGentão

podemos supor que _Z

M

F (U0)dvg = 1;

pois, caso contrário, ou seja, casoR_MF (U0)dvg =c >0; c= 16 ;tomamosU~0 = _c1U=02 :Assim,

Z

M

F U0~ dvg =

Z

M

F U0

c1=2 dvg =

1

c Z

M

F(U0)dvg = 1:

Além do mais, seU0 é extremal paraGentão U0; >0, também é extremal paraG;uma vez que

R

M jrg( U0)j

2 dvg +

R

MG(x; U0)dvg

R

M F( U0)dvg

2=2 =

2R

MjrgU0j

2 dvg+

R

M

2_{G(x; U0)dv}

g

2 R

M F(U0)dvg

2=2

= M_F2=2 _A0(n) 1:

Continuando, multiplique o sistema (S) por cada ui e some as equações obtendo

k

X

i=1

g(ui)ui+

1 2

@G(x; U0)

@ti

ui = k

X

i=1 2 6 4

M_F2=2 _A0(n) 1

2

@F(U0)

@ti

ui

3 7 5

o que nos dá, pela proposição21 (ver apêndice 2)que

k

X

i=1

[ g(ui)ui] +G(x; U0) = MF2=2 A0(n)

1

Integrando sobreM cada lado desta igualdade e aplicando integração por partes, Z

M jr

gU0j2dvg+

Z

M

G(x; U0)dvg = M_F2=2 A0(n) 1Z

M

F(U0)dvg:

ComoR_MF (U0)dvg = 1 então podemos ver que

U0 é solução fraca de (S),U0 é extremal paraG: Com isso, podemos formular a seguinte

D

e…nição 4 Sejam (M; g) variedade riemanniana, suave, compacta, F : Rk _! R função

suave, positiva e 2 homogênea e G função fracamente crítica para g segundo F: Uma

aplicaçãoU0 ₂H_k1;2(M) _f0_g será dita ser uma aplicação extremal para G se for uma

solução fraca para o sistema(S):

Note que as regularidades de F e de G foram fundamentais para a formulação desta de…nição.

A seguir, apresentaremos outro resultado de fácil demonstração, porém fundamental no decorrer da tese. Note também que aparentemente estaremos "quebrando"a discussão sobre extremais, no entanto, a inserção deste resultado neste ponto faz-se necessária para a inclusão do próximo, este sim voltando a citar extremais.

P

roposição 10 Seja G função fracamente crítica para g segundoF: Tome t0 ₂Sk 1

2 tal que

F(t0) =MF: Então

G(:; t0) :M !R

é função escalar fracamente crítica para g:

P

rova. Ponha ft0(x) = G(x; t0): Como G é fracamente crítica para g segundo F então

para cada U 2H_k1;2(M) f0g; M_F2=2 A0(n) 1

R

MjrgUj

2 dvg+

R

M G(x; U)dvg

R

MF (U)dvg

2=2 :

TomeU0 =t0u; comu₂H1;2_{(M) f0g qualquer. Assim,} M_F2=2 A0(n) 1

R

MjrgU0j

2 dvg+

R

M G(x; U0)dvg

R

MF (U0)dvg

2=2

=

R

Mjrgt0uj

2 dvg +

R

MG(x; t0u)dvg

R

MF (t0u)dvg

2=2

=

R

Mjrguj

2

dvg+R_M ft0u

2_dv

g

M_F2=2 R_Mju_j2 dvg

portanto, passando ao ín…mo emH1;2_{(M) f0g;}

(_A0(n)) 1 g;ft0 (A0(n))

1

o que garante queft0 é fracamente crítica para g:

Com isso podemos então apresentar a seguinte proposição que, sobre certas condições, nos diz qual é a "cara"das aplicações extremais.

P

roposição 11 Seja G função vetorial fracamente crítica para g segundo F: Suponha que

u0 2H1;2_{(M) f0g seja função extremal paraf}

t0(x) = G(x; t0); onde t0 2S

k 1

2 é tal que

F(t0) =MF: Então

U0 =t0u0 ₂H_k1;2(M) _f0_g ( )

é aplicação extremal paraG:

Além disso, se tivermos que G é positiva e tal que G(x; t0) = minSk 1

2 G(x; t) para todo

x2M; então existirá extremal u0 paraft0 e toda aplicação extremal paraG será da forma

( ):

P

rova. Queremos mostrar que Jg;F;G(U0) = MF2=2 A0(n) 1

:Ora,

Jg;F;G(U0) =

R

M jrg(t0u0)j

2 dvg+

R

MG(x; t0u0)dvg

R

MF (t0u0)dvg

2=2

=

R

M jrgu0j

2 dvg+

R

Mft0(x)u

2 0dvg

M_F2=2 R_Mju0j2 dvg

2=2 :

Mas, pela proposição anterior,ft0 é fracamente crítica parag (poisG o é!)e u0 é extremal

para ft0; logo _R

Mjrgu0j

2

dvg+R_Mft0(x)u

2 0dvg

R

Mju0j

2 dvg

2=2 = (A0(n)) 1

;

e por conseguinte

Jg;F;G(U0) = MF2=2 A0(n) 1

:

Provemos agora a segunda parte. SuponhaGpositiva tal queG(x; t0) = minSk₂ 1G(x; t)

para todox₂M: Desta forma, temos que

G(x; t0) G x; t jtj =

1

ou melhor,

k

X

i=1

jtij2ft0(x) G(x; t); 8(x; t)2M R

k_:

Por outro lado, 8U 2 H_k1;2(M) f0g; temos pela proposição 20; pela desigualdade de Minkowski e pela desigualdade obtida acima que

Z

M

F(U)dvg

2=2

M_F2=2 0 @Z

M k

X

i=1 u2_i

!2 =2 dvg

1 A

2=2

M_F2=2

k

X

i=1 Z

Mj

uij2 dvg

2=2

M_F2=2 _A0(n)

" _k X

i=1 Z

Mjr

guij2dvg+

Z

M

ft0(x)

k

X

i=1 u2_idvg

#

M_F2=2 _A0(n) Z

Mjr

gUj2dvg+

Z

M

G(x; U)dvg :

Agora, se U0 2 H_k1;2(M) f0g for extremal para G então as desigualdades acima são igualdades. Assim, da segunda igualdade concluímos que

U0 = ~t:u:~

Voltando à primeira, que F ~t = F (t0) = MF; e podemos por ~t = t0: A terceira implica

queu~ é extremal paraft0:Finalizando a prova.

Observe que qualquerGcujo valores emM Sk 1

2 não dependam det 2Sk2 1 que possua extremal os terá como apenas na forma U0 = t0u0: Vejamos, a seguir, dois exemplos. O primeiro volta a levantar uma construção de aplicação crítica que difere da exposta logo após a proposição9:O segundo refere-se à esta última proposição. Nele exporemos as bases sobre o caso em que a nossa variedade (M; g) é conformalmente difeomorfa à (Sn_{; h):} Problema

este, não tratado neste trabalho. Vale ressaltar aqui, a título de informação apenas, que duas variedades(M1; g1) e(M2; g2)riemannianas serão ditas serem conformalmente difeomorfas se existir um difeomor…smo :M1 !M2 tal que

g2 ₂[g1];

Exemplo 1 Considere que nossa variedade riemannian (M; g); dimM 4; seja tal que

B0(g) = n 2

4 (n 1)A0(n) maxM Sg

e que a desigualdade ótima de Sobolev escalar admita função extremal u0: Para con…rmar

que isto é possível veja [6]. Tome H :M Rk _!R tal que

H(x; t) =

k

X

i;j=1

aij(x)jtij jtjj

com as funções suaves aij 0, para algum l 2 f1; :::; kg; all = c > 0 uma constante e

aii all para todo i: Perceba então que 8x2M;

alljtj2 k

X

i=1

aii(x)jtij2 k

X

i;j=1

aij(x)jtij jtjj:

Deste modo, temos claramente que min_M Sk 1

2 H =all:

Por outro lado, se considerarmosF de tal modo queF (el) = MF; el = (0;0; :::;0;1;0; :::;0);

então temos que maxMH(x; el) = all: Logo pela proposição1 chegamos a

B0(g; F; H) =

M_F2=2 _B0(g) all

:

Por outro lado, tomando U0 =elu0 segue, de cálculos semelhantes aos feitos na proposição

anterior que U0 é extremal para (J_g;optF;H). Pondo então

G(x; t) = B0(g)

allA0(n)

H(x; t)

segue da proposição9 que G é função crítica para g segundo F:

Como já dito, este próximo exemplo versa sobre a proposição11;vejamos.

Exemplo 2 ("Meio Exemplo") : Seja (Sn_{; h); n 4;} a esfera unitária com sua métrica

padrão. Tome g ₂ [h] e escreva g = '2 2_{h: Temos então que por reformulações diretas}

de resultados bem conhecidos na esfera, ver [2] e [10], que existe uma única função escalar

crítica para g, a saber,

fg(x) =

n 2

4 (n 1)Sg

e que fg possui extremais da forma

onde 6= 0; > 1 e r é a distância com respeito a h a algum ponto …xado de Sn_: Neste

caso então, de…nindo

H(x; t) = n 2

4 (n 1)Sgjtj

2

podemos porfg(x) =H(x; t0); onde t0 2Sk2 1 é tal que F(t0) =MF: Assim,

U0 =t0 ' 1 ou U0 =t0 ' 1( cosr)1 n2

seriam, como é fácil veri…car, aplicações extremais paraH:No entanto, a proposição

ante-rior exige queH seja função fracamente crítica para g segundo F e esta informação ainda

permanece em aberto. Na verdade, acreditamos na validade da seguinte a…rmação,

(i) Em (Sn_{; g) com n 4 e g = '}2 2_{h, a função H de…nida acima é função}

crítica para g segundo F (será única?):

Perceba então que basta mostrar que H é fracamente crítica para g independentemente

deF;uma vez que com isso e com as aplicações extremais acima concluiríamos a criticidade

de H para g: A prova desta a…rmação provavelmente virá de argumentos semelhantes aos

que foram utilizados para provar a conjectura de Yamabe, ver[2];[18];[22]. Mas isto,

atual-mente, é apenas especulação de nossa parte. Vale ressaltar que este resultado, se provado, facilitará em muito o estudo do teorema de dualidade sobre variedades conformalmente

difeomorfas àSn_;aliás, como já dito na introdução desta tese, uma parte do estudo vetorial

ainda inexplorado.

Ainda falando sobre o exemplo anterior, surge a pergunta: Apenas aquele citado fato da teoria escalar nos motivou a levantar tal suspeita(i)? A resposta é não! Na realidade

temos que em uma variedade(M; g); compacta e não conformalmente difeomorfa à esfera

(Sn_{; h)} a função _fg é subcrítica para _{g (}ver _[9_] ou _[15_]). Deste resultado temos a seguinte

proposição, esta sim, somada à informação escalar, fazem um motivante para a a…rmação

(i) acima.

P

roposição 12 Em uma variedade(M; g);compacta, dimM =n 4;não conformalmente

difeomorfa à esfera unitária (Sn_{; h)} temos que

(i) Toda funçãoGfracamente crítica paragsegundoF satisfaz,G ₄₍n_n 2₁₎maxM(Sg)jtj2com

G6 n 2

4(n 1)maxM(Sg)jtj 2

:

(ii) A função H = n 2

4(n 1)Sgjtj

2 _{é subcrítica para}

P

rova. (i)Suponha, por absurdo, que 8x₂M e 8t₂Rk_;

G(x; t)< n 2

4 (n 1)maxM (Sg(x))jtj

2

: ( )

Tomando em particulart0 2Sk 1

2 tal que F(t0) =MF temos G(x; t0)< ₄₍n_n 2₁₎Sg(x): Ora,

sendo G função fracamente crítica para g segundo F sabemos, pela proposição 10; que G(:; t0) é fracamente crítica para g:

Por outro lado, e nas condições desta proposição, é conhecido que toda função escalar f fracamente crítica parag satisfaz 8x2M;

f(x) n 2

4 (n 1)Sg(x):

Na verdade, as contas desta última a…rmação podem ser encontradas em[12];com a ressalva de que lá elas estão feitas para uma constante ao invés de uma função f; porém as idéias são facilmente adaptáveis para f.

Voltando à prova segue em particular que a desigualdade acima vale paraG(:; t0):Juntando

as informações, temos que 8x2M;

n 2

4 (n 1)Sg(x) G(x; t0)<

n 2

4 (n 1)maxM (Sg(x))

ou seja,

Sg(x)<max

M (Sg(x)); 8x2M

o que é um absurdo pois M é variedade compacta e portanto atinge o máximo em algum pontox; S~ g(~x) = maxM(Sg(x)): Logo, ( ) não ocorre.

Mostremos agora o segundo item.

(ii) Suponha por contradição que H seja função fracamente crítica para g segundo uma dada F qualquer (nas hipóteses da sessão, claro): Pela proposição 10; para um t0 ₂

Sk 1

2 tal que F (t0) = MF; G(:; t0) é fracamente crítica para g. Mas, sendo (M; g) não

conformalmente difeomorfa à esfera, já sabemos que G(:; t0) é subcrítica para g: Absurdo pois uma função não pode ser fracamente crítica e subcrítica ao mesmo tempo. Finalizando a prova.

P

roposição 13 Seja (M; g) riemanniana, suave, compacta, não conformalmente difeomorfa

à (Sn_{; h)} e com dimensão _{n 4:} Seja

G(x; t)> n 2

4 (n 1)Sgjtj

2

fracamente crítica parag segundo F:Então G é crítica parag segundo F e possui extremal

U ₂H_k1;2(M):

P

rova. Tomando t0 2 Sk 1

2 tal que F (t0) = MF então pela proposição 10 temos que

G(:; t0) é função escalar crítica para g e satisfaz G(x; t0)> ₄₍n_n 2₁₎Sg. Assim, teorema 3 de

[10] garante que existe extremal u ₂ H1;2_{(M) para G(:; t0): Sabemos pela proposição 11} que U = t0u ₂ H_k1;2(M) é extremal para G: Finalmente, pelo corolário 1; concluímos que Gé crítica para g segundo F:Como queríamos.

Outra propriedade interessante aparece na seguinte

P

roposição 14 Seja (M; g) variedade riemanniana compacta e suave. Se uma dada função

G : M Rk _! R suave e ₂ homogênea na segunda variável é fracamente crítica para _g

segundoF então toda função G~ :M Rk _!R suave e₂ homogênea na segunda variável

tal que _G~ _{G é fracamente crítica para g segundo F:}

P

rova. Temos que ₈U 2H_k1;2(M); Z

M

G(x; U)dvg

Z

M

~

G(x; U)dvg

e portanto,

Jg;F;G(U) Jg;F;G~(U):

Passando ao ín…mo emH_k1;2(M) _f0_g;

M_F2=2 A0(n) 1 = _{g;F;G g;F;G}~ M_F2=2 A0(n) 1

ou seja g;F;G~ = M

2=2

F A0(n) 1

; como queríamos.

Surgindo como uma consequência destas últimas proposições temos o fato de que, gros-seiramente falando, a função

B0(g; F; H)

M_F2=2 A0(n)H(t)

P

roposição 15 Seja(M; g)variedade riemanniana compacta, suave, de dimensãon 4não

conformalmente difeomorfa à esfera(Sn_{; h):} Suponha adicionalmente que_Sg seja constante

(veja Obs. abaixo). DadaH :Rk _!R suave, positiva e ₂ homogênea temos que

G(t) = B0(g; F; H)

M_F2=2 _A0(n) H(t)

é a menor função crítica parag segundoF que não depende de x:

P

rova. Basta provarmos que G é crítica para g segundo F: Claramente pela proposição 9

temos queGé fracamente crítica parag segundoF: Por outro lado, sendo(M; g) não

con-formalmente difeomorfa à(Sn_{; h)}então pela proposição_12;item_(ii);temos que n 2

4(n 1)Sgjtj 2

é subcrítica parag segundoF: Consequentemente, pela proposição anterior B0(g; F; H)

M_F2=2 A0(n)H(t)>

n 2

4 (n 1)Sgjtj

2

pelo menos para quase todo pontot ₂Rk_: Em particular, pela proposição₁₀e pelo fato de

Sg ser constante temos em particular que

B0(g; F; H)

M_F2=2 A0(n)H(t0)>

n 2

4 (n 1)Sg

onde, lembrando, t0 2 Sk 1

2 é tal que F (t0) = MF: Reescrevendo de modo conveniente

temos

B0(g; F; H) min

M H(t0)>

n 2

4 (n 1)M

2=2

F A0(n) max

M Sg

e portanto, pelo teorema da dualidade segue que existe extremal U0 para a desigualdade

(J_g;optF;H): Agora pela parte …nal da proposição10segue que G é crítica parag segundoF: Obs.: Com relação à possibilidade de sempre podermos encontrar na classe conforme de g uma métrica g~ tal que S~g seja constante citamos os artigos que compõe o chamado

"O Problema de Yamabe". São eles as referências [2], [18], [19], [21] e [22]. Nestes artigos resolveu-se completamente o problema de Yamabe e provou-se que se a variedade for fechada então é possível encontrar tal métrica ~g: Para uma última referência que, de certo modo, engloba todas as citadas logo acima, recomendamos[16].

P

roposição 16 Seja (M; g) suave, riemanniana e compacta. Dada G função fracamente

crítica para g segundo F então existe G0 ₂ L1 _{M S}k 1

2 ; G0 G; "crítica"para g

segundoF:

A palavra crítica está citada entre aspas no enunciado pois a funçãoG0 ₂L1 _{M S}k 1 2 ; o que foge da de…nição de função crítica que exige a suavidade como propriedade.

P

rova. Dentre todas as funções H : M Rk _! R, ₂ homogêneas na segunda variável,

de…na o conjunto

SF = H 2L1 M Sk2 1 ;

n 2

4 (n 1)Sgjtj

2

H G e g;F;H = M

2=2

F A0(n)

1 ;

com a relação de ordem: H1 H2 2SF ,H1(x; t) H2(x; t)qtp M Rk :SejaC uma

cadeia emSF; digamos que C = (H )_a2I; onde I é um conjunto de índices. Ponha, para

quase todo ponto(x; t)₂M Rk_;

~

H(x; t) = inf

I H (x; t):

Temos, obviamente, que

~

H ₂L1 M Rk e n 2

4 (n 1)Sgjtj

2 _~

H G:

Seja(Hn) (H ) tal que

(i) Hn(x; t)!H~(x; t) qtp M Rk e

(ii) Para cadaU 2H_k1;2(M); jHn(x; U)j H^(x; U)2L1(M):

Note que(ii)é possível poisHnsatisfaz a desigualdade que aparece emSF:Nestas condições

temos para cadaU ₂H_k1;2(M) e pelo teorema da convergência dominada de Lebesgue que Z

M

Hn(x; U)dvg !

Z

M

~

H(x; U)dvg

e portantoJg;F;Hn(U)!Jg;F;H~ (U)para toda U 2H

1;2

k (M) f0g: Consequentemente

M_F2=2 _A0(n) 1

= _{g;F;Hn ! g;F;H}~

Logo, _H~ _{2 SF é cota inferior de C: Sendo C arbitrária, segue que toda cadeia possui uma}

cota inferior. Pelo Lema de Zorn, existe G0 ₂ SF tal que G0 é elemento mínimo de SF:

Seja agoraH G0; H ₆ G0: Então pela minimalidade de G0;temos que H(x; t)< n 2

4 (n 1)Sgjtj

2 _ou

g;F;H < M

2=2

F A0(n)

Ora, seH(x; t)< ₄₍n_n 2₁₎Sgjtj2 então g;F;H < M

2=2

F A0(n)

1

pois se este não fosse o caso, isto é, se H fosse fracamente crítica para g segundo F então pela proposição 10, H(x; t0)

seria escalar crítica parag;onde F(t0) =MF e H(x; t0)< ₄₍n_n 2₁₎Sg;o que implica, por[2];

que g;H(:;t0) <A0(n)

1

: Absurdo. Desta forma, temos em qualquer caso que

g;F;H < M

2=2

F A0(n) 1

:

Dada a arbitrariedade deH segue queG0;a menos de regularidade, é crítica parag segundo F:

Claro que pode-se indagar, após a proposição anterior, se existe condição ao menos su…ciente para que a função G0 acima seja suave. A resposta é dada na seguinte

P

roposição 17 Seja (M; g) riemanniana, compacta e suave e não conformalmente

difeo-morfa à (Sn_{; h)}, de dimensão _{n 4:} Dada _G fracamente crítica para _g segundo _F tal

que

G(x; t)> n 2

4 (n 1)Sgjtj

2 ;

então existiráG1 crítica para g segundo F:

P

rova. Como(M; g) é não conformalmente difeomorfa à (Sn_{; h);} então

H(x; t) = n 2

4 (n 1)Sgjtj

2

é subcrítica parag segundoF (proposição12): Agora, para cada "2[0;1]de…na ~

G"(x; t) ="G(x; t) + (1 ")

n 2

4 (n 1)Sgjtj

2

e ponha "0 = sup "2[0;1] ; g;F:G~" < M 2=2

F A0(n)

1

: Note que o conjunto não é vazio pois "= 0 pertence a ele. Finalmente, ponha

G" = ~G""0:

Desta forma,

g;F;G" < M 2=2

F A0(n)

1

8" <1 e g;F;G1 = M

2=2

F A0(n)

ComoG > n 2 4(n 1)Sgjtj

2

; então G1 = ~G"0 = "0G+ (1 "0)

n 2

4 (n 1)Sgjtj

2

> "0 n 2

4 (n 1)Sgjtj

2

+ (1 "0) n 2

4 (n 1)Sgjtj

2

= n 2

4 (n 1)Sgjtj

2 :

Portanto, a proposição 13 nos diz que G1 é crítica para g segundo F e possui extremal U ₂H_k1;2(M):Além disso temos que

n 2

4 (n 1)Sgjtj

2

G1 G;

pois "0G + (1 "0)₄₍n_n 2₁₎Sgjtj2 G , ₄₍n_n 2₁₎Sgjtj2 G: Finalizando a prova desta

proposição.

Mas, e quando a desigualdade for da formaG(x; t) n 2 4(n 1)Sgjtj

2

; ou seja, não estrita? O que podemos garantir neste caso é que8 >0;existiráG crítica para g segundoF com extremalU e tal que

n 2

4 (n 1)Sgjtj

2

G G+ jtj2;

pois_G~ _{=G+ jtj}2

Gé fracamente crítica parag segundoF (proposição14):Obviamente

~

G > ₄₍n_n 2₁₎Sgjtj2 e portanto a prova da proposição anterior se aplica novamente.

Para …nalizar esta seção, apresentamos dois últimos resultados. O primeiro na verdade, trata-se de uma lei de transformação em que, sabendo que uma dada função G é crítica parag segundoF então podemos garantir que para cada métricag~₂[g] existirá ao menos uma função crítica parag~segundoF:Este resultado será fundamental no desenvolvimento do chamado "Problema da Função Crítica Prescrita", cujo detalhes aparecem na próxima seção.

P

roposição 18 Dada (M; g) riemanniana, suave e compacta. Pondo g~ ₂ [g] tal que ~g =

'2 2_{g então temos que uma dada função G é crítica para g segundo F se e somente se a}

função

H(x; t) = g'jtj

2

+G(x; t)' '2 1

é crítica para g segundo F:

e sendo' >0 temos que

~

g;F;G~ = g;F;G;

ou seja, se uma é fracamente crítica para a métrica segundo F então a outra também é fracamente crítica para a sua métrica segundoF: Resta-nos provar a criticidade. Vejamos. Suponha G crítica para g segundo F: Seja H~ H; H~ 6 H: Lembrando que H~ :

M Rk _{!R é suave e2 homogênea na segunda variável. Assim,}

~

H g'jtj 2

+G(x; t)' '2 1

ou seja,

^

H = H'~

2 1₊

g'jtj2

' G

e _H^ _{6 G; e como G é crítica para g segundo F então}

g;F;H^ < M

2=2

F A0(n) 1

: Além disso, temos que

~

H = g'jtj

2

+ ^H(x; t)' '2 1

e portanto₈U ₂H_k1;2(M) _f0_g; temos queJ_~g;F;H~ (U ' 1) = J_g;F;H^ (U);e como antes

~

g;F;H~ = g;F;H^ < M

2=2

F A0(n) 1

:

Sendo_H~ _{arbitrária, segue que H é crítica para ~g segundo F:}

De modo análogo, prova-se que sendoH crítica parag~segundoF entãoGé crítica para g segundo F:Finalizando a prova.

Equivalentemente, esta proposição poderia ser reescrita na seguinte forma,

H é crítica para ~g segundo F _,H'2 2 g'

' jtj

2 _{é crítica para}

g segundo F:

Já o segundo e derradeiro resultado está diretamente relacionado com a demonstração do Teorema 4: Trata-se da

P

roposição 19 Seja (M; g) variedade riemanniana suave, compacta, com dimensão n 4:

vizinhança de x0 (veja capítulo 4): Tome f ₂ C1_{(M); não negativa e tal que f(x0) = 0:}

Então existirá uma métricagf 2[g] tal que

G(x; t) = n 2

4 (n 1)maxM Sgf f jtj

2

é fracamente crítica para gf segundo F: Além disso, Sgf (x0) = maxM Sgf :