Análise do espalhamento espectral em superfícies de estruturas complexas para comunicações móveis

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE

CENTRO DE TECNOLOGIA

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA

ANÁLISE DO ESPALHAMENTO ESPECTRAL EM

SUPERFÍCIES DE ESTRUTURAS COMPLEXAS

PARA COMUNICAÇÕES MÓVEIS

ROSSANA MORENO SANTA CRUZ

ORIENTADOR: Prof. Dr. Adaildo Gomes D’Assunção

Universidade Federal do Rio Grande do Norte

Centro de Tecnologia

Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica

ANÁLISE DO ESPALHAMENTO ESPECTRAL EM

SUPERFÍCIES DE ESTRUTURAS COMPLEXAS

PARA COMUNICAÇÕES MÓVEIS

Rossana Moreno Santa Cruz

Orientador: Prof. Dr. Adaildo Gomes D’Assunção

NATAL – RN Agosto de 2005

ANÁLISE DO ESPALHAMENTO ESPECTRAL EM

SUPERFÍCIES DE ESTRUTURAS COMPLEXAS PARA

COMUNICAÇÕES MÓVEIS

Rossana Moreno Santa Cruz

Orientador: Prof. Dr. Adaildo Gomes D’Assunção

Agradecimentos

A Deus, por ter iluminado meu caminho e guiado meus passos, proporcionando a concretização desta etapa tão importante da minha vida;

Aos meus pais e familiares, pelo apoio, incentivo e credibilidade passados dia-a-dia;

Ao professor Adaildo, por todos os conhecimentos compartilhados, todo o apoio, compreensão e solidariedade, passados ao longo do nosso convívio;

Ao professor Ronaldo, pela disposição e paciência na parte de medições e também pelos conhecimentos técnicos passados ao longo do trabalho;

Aos demais professores do Departamento de Engenharia Elétrica da UFRN, pelo aprendizado, solidariedade e amizade;

Aos professores do CEFET-PB, pela importante contribuição na realização deste trabalho;

Sumário

Lista de Figuras viii

Lista de Tabelas xiv

Lista dos Principais Símbolos, Abreviaturas e Acrônimos xv

Resumo xviii

Abstract xix

1. Introdução 001

2. Espalhamento de Ondas Eletromagnéticas em Interfaces Planas 007

2.1 Introdução 007

2.2 Características dos Meios de Propagação 008

2.2.1 Equações de Helmholtz 011

2.2.2 Meios Dielétricos – Incidência Normal 012 2.2.3 Meios Dielétricos – Incidência Oblíqua 019 2.2.4 Meios Condutores – Incidência Normal 026 2.2.5 Meios Condutores - Incidência Oblíqua 027

2.2.6 Meios Condutivos 029

2.2.7 Impedância de Superfície 030

2.2.8 Características de Materiais Anisotrópicos 032

2.3 Conclusão 034

3. Métodos de Análise do Espalhamento de Ondas Eletromagnéticas 035

3.1 Introdução 035

3.2 Traçado de Raios 035

3.3 Método da Linha de Transmissão 039 3.3.1 Coeficientes de Transmissão e Reflexão para os Modos TE e TM de Propagação 039 3.3.2 Incidência de Ondas Planas em Camadas Dielétricas 048

3.4 Método de Onda Completa 051

3.4.1 Incidência Normal e Propagação em Três Camadas Dielétricas 051 3.4.2 Incidência Normal e Propagação em Multicamadas Dielétricas 055 3.4.3 Incidência Oblíqua e Propagação Através de Camadas Dielétricas Anisotrópicas 057

3.5 Conclusão 073

4. Espalhamento de Ondas Eletromagnéticas em Paredes 074

4.1 Introdução 074

4.2 Reflexão em uma Parede de Tijolos 074

4.3 Reflexão em Paredes com Perdas 076

4.4 Reflexão em Paredes com Perdas – Observação do Efeito da Rugosidade 079 4.5 Perda de Transmissão Através de Paredes 082 4.6 Aproximação para a Perda de Transmissão 086 4.7 Transmissão Através de Paredes e Pisos Situados no Mesmo Andar 087 4.8 Reflexão Através de uma Parede de Gesso (sem suportes) 087

4.9 Conclusão 089

5. Espalhamento de Ondas Eletromagnéticas em Superfícies Resistivas 090

5.1 Introdução 090

5.2 Projeto de uma Superfície Resistiva 091 5.2.1 Otimização de uma Tela de Salisbury 097

5.3 Absorvedores Jaumann 101

5.5 Conclusão 107 6. Espalhamento de Ondas Eletromagnéticas em Superfícies Seletivas de Freqüência 108

6.1 Introdução 108

6.2 Elementos de uma FSS 109

6.3 Técnicas de Análise e Medição de uma FSS 111

6.4 Conclusão 116

7. Procedimento de Medição e Resultados 117

7.1 Introdução 117

7.2 Medição dos Coeficientes de Reflexão e Transmissão 117

7.3 Setup de Medição 120

7.4 Medições para a Parede de Tijolos 122

7.5 Medições para a Parede de Madeira 124

7.6 Conclusão 128

8. Conclusões 130

Lista de Figuras

Capítulo 1

1.1: Geometria de uma Tela de Salisbury. 02

1.2: Geometria de um Absorvedor Jaumann. 02

1.3: Geometria de uma FSS. 03

1.4: Seção transversal de uma MIS. 03

Capítulo 2

2.1: Incidência de uma onda eletromagnética na superfície de separação de dois meios. 07

2.2: Incidência normal da onda. 18

2.3: Reflexão e refração. 20

2.4: a) Reflexão e refração de ondas com polarização perpendicular; b) Forma mais simples de representação da polarização perpendicular. 22 2.5: a) Reflexão e refração de ondas com polarização paralela; b) Forma mais simples de

representação da polarização paralela. 25

2.6: Reflexão de ondas com polarização perpendicular. 27 2.7: Reflexão de ondas com polarização paralela. 29

Capítulo 3

3.1: Modelo de propagação de traçados de raios através de uma parede. 38 3.2: Representação gráfica da Lei de Snell, mostrando a direção das ondas refletida e

transmitida em um a) espaço físico; b) plano do vetor de onda. 39 3.3: Propagação oblíqua de uma onda plana no sistema de coordenadas. 41

3.4: Analogia da reflexão e transmissão de uma onda plana em uma linha de transmissão,

3.5: Variação da intensidade do coeficiente de reflexão para o modo TE, em função do ângulo de incidência, para uma onda plana refletida em um dielétrico de

permissividadeεr. 45

3.6: Analogia da reflexão e transmissão de uma onda plana em uma linha de transmissão,

propagando-se no modo TM. 47

3.7: Variação da intensidade do coeficiente de reflexão para o modo TM, em função do ângulo de incidência, para uma onda plana refletida em um dielétrico de

permissividadeεr. 47

3.8: Parede de tijolos analisada pela analogia da linha de transmissão para a simulação de ondas refletida e transmitida. As impedâncias Zin e Za são estudadas para os modos TE

e TM de propagação. 48

3.9: Análise de uma estrutura de parede composta, formada por n camadas, através do

método da linha de transmissão. 49

3.10: Espalhamento em três camadas distintas. 52

3.11: Espalhamento em N camadas. 56

3.12: Espalhamento em camadas dielétricas anisotrópicas. 58 3.13: Coeficientes de reflexão em estruturas com três camadas dielétricas isotrópicas, para o

caso de incidência oblíqua da onda e modo TE de propagação. a) f = 1,8 GHz, b) f =

2,4 GHz e c) f = 9 GHz. 63

3.14: Coeficientes de reflexão em estruturas com três camadas dielétricas anisotrópicas, para o caso de incidência oblíqua da onda e modo TE de propagação. a) f = 1,8 GHz,

b)f = 2,4 GHz e c) f = 9 GHz. 65

3.15: Validação do estudo sobre Métodos de Onda Completa realizado neste trabalho. Os coeficientes de reflexão e transmissão são analisados em função da permissividade paraf = 890 MHz, d = 27 cm e σ = 0,05 S/m. 70

3.16: Validação do estudo sobre Métodos de Onda Completa realizado neste trabalho. Os coeficientes de reflexão e transmissão são analisados em função da condutividade para

f = 890 MHz, d = 27 cm e εr = 6. 67

3.17: Validação do estudo sobre Métodos de Onda Completa realizado neste trabalho. Os coeficientes de reflexão e transmissão são analisados em função da permissividade paraf = 1,8 GHz,d = 27 cm e σ = 0,05 S/m. 68

3.18: Validação do estudo sobre Métodos de Onda Completa realizado neste trabalho. Os coeficientes de reflexão e transmissão são analisados em função da condutividade para

3.19: Validação do estudo sobre Métodos de Onda Completa realizado neste trabalho. Os coeficientes de reflexão e transmissão são analisados em função da permissividade paraf = 1,8 GHz, d = 27 cm e σ = 0,05 S/m. É feita uma comparação com o Método

da Linha de Transmissão, estudado em [12], para a observância de convergência entre

pontos e curvas. 69

3.20: Validação do estudo sobre Métodos de Onda Completa realizado neste trabalho. Os coeficientes de reflexão e transmissão são analisados em função da razão de anisotropia para f = 890 MHz, d = 27 cm e σ = 0,05 S/m. 70

3.21: Validação do estudo sobre Métodos de Onda Completa realizado neste trabalho. Os coeficientes de reflexão e transmissão são analisados em função da razão de anisotropia para f = 1,8 GHz,d = 27 cm e σ = 0,05 S/m. 71

3.22: Validação do estudo sobre Métodos de Onda Completa realizado neste trabalho. Os coeficientes de reflexão e transmissão são analisados em função da razão de anisotropia para f = 890 MHz, d = 27 cm e εxx = 5,12 e εzz = 3,4. 72

3.23: Validação do estudo sobre Métodos de Onda Completa realizado neste trabalho. Os coeficientes de reflexão e transmissão são analisados em função da razão de anisotropia para f = 1,8 GHz,d = 27 cm e εxx = 5,12 e εzz = 3,4. 72

Capítulo 4

4.1: Intensidade dos coeficientes de reflexão para os modos TE e TM de propagação em função do ângulo de incidência, para uma parede de tijolos de espessura W = 20cm,

nas freqüências de 900 MHz e 1.800 MHz. 76

4.2: Coeficientes de reflexão para os modos: a) TE e b) TM de propagação, em função do ângulo de incidência, para uma parede de tijolos de espessura infinita ( W ∞) e

outra de espessura finita (W = 30 cm), εw = 4 - j0,1 e freqüência de 4 GHz. 78

4.3: Observação do efeito da rugosidade entre paredes lisas e rugosas de espessura finita (år

= 7,51 - j0,1348) e infinita (år= 7,51): a) para o modo TE e b) para o modo TM, na

freqüência de 4 GHz. 82

4.4: Uso de antenas cornetas para a medição das propriedades de transmissão através de

paredes. 83

4.5: Dimensões para uma parede de gesso construída com suportes de metal. 83 4.6: Fração da potência transmitida, de onda incidente em uma parede de gesso sem

4.8: Modelo para a análise da perda de transmissão desprezando as múltiplas reflexões. 86 4.9: Coeficientes de reflexão de uma parede de gesso sem suportes. 88

Capítulo 5

5.1: Geometria de uma tela de Salisbur.y 91

5.2: Comportamento em freqüência da refletividade de uma tela de Salisbury para Rs = 350

S/m2,år = 1 e d = 7,5 mm. 93

5.3: Variação da resistência superficial para uma largura de banda máxima, a um nível de refletividade desejado, para o caso de incidência normal. 094 5.4: Variação da largura de banda ótima normalizada para um nível específico de

refletividade (r). 094

5.5: Variação da resistência superficial em função do ângulo de incidência da onda, para uma largura de banda máxima e modo de polarização TM. 096 5.6: Variação da resistência superficial em função do ângulo de incidência da onda, para

uma largura de banda máxima e modo TE de propagação. 096 5.7: Geometria da grade de fita: W é a largura da fita e d é a periodicidade. 097

5.8: Circuito equivalente da grade de fita. 097 5.9: Coeficiente de reflexão em função de W/d,para a incidência normal da onda, de uma

superfície resistiva utilizando o modelo da linha de transmissão equivalente: f = 10

GHz.

100

5.10: Coeficiente de reflexão, para a incidência oblíqua da onda, de uma superfície resistiva utilizando o modelo da linha de transmissão equivalente: f = 10 GHz. 101

5.11: Configuração básica de um absorvedor de radar Jaumann. 102

5.12: Geometria de um absorvedor Jaumann, representada pelo modelo de linha de

transmissão equivalente. 102

5.13: Comportamento do coeficiente de reflexão em um absorvedor Jaumann composto por

duas camadas resistivas para o caso de incidência normal da onda, em função da freqüência normalizada: a) Variação da resistência superficial R2; b) Variação da

5.14: Impedância normalizada em função da freqüência para um absorvedor Jaumann de

duas camadas resistivas, para o caso de incidência normal da onda. 104 5.15: Seção transversal de uma MIS sob incidência normal da onda.

5.16: Partes real e imaginária do coeficiente de reflexão de uma estrutura MIS versus

freqüência, para: εr1 = 12, σ1 = 5 S/m; εr2 = 4, σ2= 0, εr3 = 1, σ3 = 0, d1= 250 µm e d2 = 1 µm.

105

106

Capítulo 6

6.1: Geometria de uma estrutura periódica bidimensional. 109 6.2: a) Elemento de abertura; b) Elemento de patch. 110

6.3: Formas de elementos de FSS. 110

6.4: Setup de medições de uma FSS. 112

6.5: Sistema de medição de uma FSS. 113

6.6: Dispositivo de uma estrutura FSS de espira quadrada. 114

6.7: Potência refletida em dB, normalizada com relação à freqüência, para uma FSS de

espira quadrada. 114

6.8: Potência transmitida, normalizada com relação à freqüência, para uma FSS de espira

quadrada. 115

6.9: Potência transmitida em dB, normalizada com relação à freqüência, para uma FSS de

espira quadrada. 115

Capítulo 7

7.1: Técnica utilizada para o procedimento de medição dos coeficientes de reflexão e transmissão, tendo como referência a visada direta entre as antenas cornetas.

7.2: Setup de medições constituído de duas antenas cornetas direcionais, devidamente

alinhadas e orientadas com o auxílio de suportes adequados e interligadas ao equipamento de medição.

118

7.3: Analisador de redes (acima) e gerador de varredura (abaixo). Equipamentos para

medições até 20 GHz. 121

7.4: Efeito da variação do valor de εr para uma parede de tijolos: f = 9 GHz,W = 14 cm, εr’

= 4,4 a 5,4 (0,5) e εr’’= 0,1. 122

7.5: Efeito da variação do valor de εr para uma parede de tijolos: f = 9 GHz,W = 14 cm, εr’

= 4,9 e εr’’= 0,1 a 0,2 (0,05). 123

7.6: Efeito da variação do valor da espessura W para uma parede de tijolos: f = 9 GHz, εr’ =

4,9,εr’’= 0,1 e W = 13 a 15 cm (1 cm). 124

7.7: Efeito da variação do valor de εrpara uma parede de madeira: f = 9 GHz, W= 0,63 cm,

εr’ = 3 a 4 (0,5) e εr’’= 0,1. 125

7.8: Efeito da variação do valor de εr para paredes de madeira: f = 9 GHz, W= 0,63 cm, εr’

= 3 e εr’’= 0,1 a 0,2 (0,05). 125

7.9: Efeito da variação do valor da espessura W para paredes de madeira: f= 9 GHz,εr’ = 3,

εr’’= 0,1 e W= 0,63 a 0,83 cm (0,1 cm). 126

7.10: Cálculo da potência transmitida através da equação de Friis[2] e comparação com os

dados medidos: f= 9 GHz e εr = 1. 127

7.11: Cálculo da potência refletida através de (7.2) e comparação com os dados medidos: f =

Lista de Tabelas

Capítulo 2

2-1: Classificação de alguns meios como dilétricos, semicondutores ou bons condutores, de

acordo com a freqüência. 09

2-2: Características de dielétricos de baixas perdas. 15 2-3: Constantes dielétricas e condutividades para alguns materiais. 19 2-4: Permissividades para alguns materiais anisotrópicos uniaxiais (eixo óptico na direção y).

Lista dos Principais Símbolos, Abreviaturas e Acrônimos

A Periodicidade (em FSS)

α Constante de atenuação

B Comprimento do lado de um elemento quadrado (em FSS) B Largura de banda normalizada

β Constante de fase

B r

Densidade de fluxo magnético

C r

Função vetorial qualquer

D r

Densidade de fluxo elétrico

D Espessura do substrato dielétrico dLOS Distância em visada direta (LOS)

d1 Distância do transmissor ao ponto de reflexão d2 Distância do ponto de reflexão ao receptor

δ Profundidade de penetração

E r

Campo elétrico

Ex Componente de campo elétrico na direção x Ey Componente de campo elétrico na direção y Ez Componente de campo elétrico na direção z Et Campo elétrico tangencial

ε0 Permissividade elétrica no vácuo

εr Permissividade elétrica relativa

η0 Impedância de onda no vácuo

ηi Impedância de onda no meio i Fr Freqüência de ressonância

FSS Superfícies Seletivas de Freqüência (Frequency selective surfaces)

φ Ângulo de azimute

GT Ganho da antena transmissora

Γ Coeficiente de reflexão

γ0 Constante de propagação no espaço livre

γ1 Constante de propagação no meio 1

γ2 Constante de propagação no meio 2 H

r

Campo magnético

Ht Campo magnético tangencial

Hx Componente de campo magnético na direção x Hy Componente de campo magnético na direção y Hz Componente de campo magnético na direção z I Raio incidente

J _{Imaginário igual a −1} J

r

Densidade superficial de corrente elétrica

K Número de onda

k0 Número de onda no espaço livre LOS Visada direta (line of sight)

MIC Circuitos Integrados de Microondas (Microwave integrated circuit) MIS Metal – Isolante – Semicondutor (Metal – Insulator – Semiconductor)

µ0 Permeabilidade magnética no vácuo PR Potência recebida

(PR)LOS Medida da potência recebida em visada direta

(PR)REFL Medida da potência recebida através de reflexão PT Potência transmitida

R Distância do ponto de referência ao observador R Raio refletido

RADAR Detecção e Localização por Ondas de Rádio (Radio Detecting and

Ranging)

Rs Resistência superficial

RX Receptor

ρ Coeficiente de reflexão

ρs Fator de perda por espalhamento em superfície rugosa

σ Condutividade elétrica

T Raio transmitido TX Transmissor

TE Ondas elétricas transversais TM Ondas magnéticas transversais

PolarizaçãoTE Polarização perpendicular (horizontal)

PolarizaçãoTM Polarização paralela (vertical)

θ Ângulo de elevação

θi Ângulo de incidência

Resumo

Neste trabalho, é utilizado o Método da Linha de Transmissão, para a investigação do fenômeno de propagação em paredes não-homogêneas e de espessura finita. A avaliação da eficiência e aplicabilidade do método da linha de transmissão é realizada, considerando materiais como gesso, madeira e tijolo, encontrados na composição das estruturas de paredes em questão.

Posteriormente, são apresentadas simulações para superfícies resistivas, como telas deSalisbury e absorvedoresJaumann, e para linhas de transmissão do tipo

metal-isolante-semicondutor (MIS), além do estudo sobre superfícies seletivas de freqüência (FSS). Em

seguida, é proposto o desenvolvimento de dispositivos e circuitos integrados de microondas (MIC) de tais estruturas, para a realização de experimentos.

Os resultados obtidos demonstram que a análise efetuada neste trabalho é eficiente e precisa. Para diversas estruturas e aplicações em circuitos, os valores numéricos obtidos para os parâmetros analisados foram comparados com os valores teóricos e experimentais, inclusive de outros autores. Nestes casos, observa-se uma excelente concordância. Estes resultados indicam o potencial da técnica adotada para a análise da propagação de ondas eletromagnéticas através de estruturas de camadas múltiplas, com aplicações em sistemas de comunicações móveis e radar.

Finalmente, são apresentadas propostas para a realização de trabalhos futuros relacionados, por exemplo, com o desenvolvimento de reflectarrays, superfícies seletivas

Abstract

In this work, the transmission line method is explored on the study of the propagation phenomenon in nonhomogeneous walls with finite thickness. It is evaluated the efficiency and applicability of the method, considering materials like gypsum, wood and brick, found in the composition of the structures of walls in question.

The results obtained in this work are compared to those available in the literature, for several particular cases. A good agreement is observed, showing that the performed analysis is accurate and efficient in modeling, for instance, the wave propagation through building walls and integrated circuit layers in mobile communication and radar system applications.

Later, simulations of resistive sheets devices such as Salisbury screens and Jaumann absorbers and of transmission lines made of metal-insulator-semiconductor (MIS) are made.

Thereafter, it is described a study on frequency surface selective structures (FSS). It is proposed the development of devices and microwave integrated circuits (MIC) of such structures, for the accomplishment of experiments.

Capítulo 1

Introdução

Uma explosão no crescimento da indústria de telecomunicações tem tornado necessária a utilização de sistemas de rádio em ambientes interiores. Como o número de dispositivos de comunicações e a quantidade de informações transferidas são potencialmente muito elevados, uma detalhada investigação do mecanismo pelo qual os sinais transmitidos são modificados pelo ambiente deve ser realizada. Tal estudo facilita o desenvolvimento de estratégias de comunicação mais eficientes, bem como parâmetros de projeto para a disposição dos edifícios que melhor suportem os sistemas de comunicações de rádio [1]. A técnica de traçado de raios é a mais usada no estudo da rádio-propagação e mostra resultados adequados na predição de parâmetros como a perda de percurso e o espalhamento de retardo dos sinais em ambientes complexos. Esta técnica substitui as ondas eletromagnéticas por raios de propagação discretos, após serem submetidos aos fenômenos de atenuação, reflexão e espalhamento, devido à presença de edifícios, paredes e outras obstruções [2].

O modelamento da propagação de ondas eletromagnéticas através das paredes dos edifícios tem um grande impacto, não só no planejamento dos sistemas celulares urbanos, como também nas demais aplicações de comunicações móveis. A construção das paredes é usualmente baseada em considerações estruturais e arquitetônicas e, mesmo que o tipo de elementos usados para tal construção seja conhecido, sua influência na propagação das ondas eletromagnéticas é de difícil predição. Métodos numéricos e analíticos rigorosos têm sido aplicados para o modelamento de paredes de edifícios não-homogêneas, contudo, ainda é escassa a comparação destes com dados experimentais.

modelos relativamente simples para descrever a reflexão e a transmissão através de estruturas de paredes compostas [3], usando, por exemplo, os coeficientes de Fresnel para

meios infinitos. No entanto, as paredes em questão não são estruturas relativamente simples de serem analisadas; uma série de fatores como a espessura, os diversos materiais que as constituem além do ambiente em que estão localizadas, devem ser levados em consideração para que seja feito um estudo rigoroso e o mais próximo do real, da propagação eletromagnética nos ambientes interiores, em especial, desta propagação através dos obstáculos que fazem parte do ambiente. Por isso, um método de análise eficiente que ressalte as características dos obstáculos que fazem parte do ambiente deve ser utilizado. Neste trabalho, será explorado o Método da Linha de Transmissão, para a investigação do fenômeno de propagação em paredes não-homogêneas e de espessura finita.

Em geral, ainda são raras as investigações do comportamento eletromagnético das estruturas de paredes compostas e os resultados existentes na literatura são aplicados normalmente para um único tipo de parede [4]. Neste contexto, este trabalho tem como objetivos:

• Avaliar a eficiência e a aplicabilidade do método da linha de transmissão, através da comparação com dados medidos, considerando materiais como gesso, madeira e tijolo, encontrados na composição das estruturas de paredes em questão;

• Desenvolver dispositivos e circuitos integrados de microondas (MIC), tais como

superfícies resistivas (telas de Salisbury) [5], absorvedores Jaumann [6],superfícies

seletivas de freqüência (FSS) [7] e estruturas obtidas de linhas de transmissão do

tipo metal-isolante-semicondutor (MIS) [8].

Além disso, propõe-se a observação da perda de penetração através das paredes, com o auxílio de modelos como a equação de perdas no espaço-livre proposta por Friis [2].

Fig. 1.1: Geometria de uma Tela de Salisbury[5]. Fig. 1.2: Geometria de um Absorvedor Jaumann[6]. d

εr

Plano de Terra Rs (S/m2)

Plano de Terra

Z1

d1

Z2

Fig. 1.3: Geometria de uma FSS[7].

Fig. 1.4: Seção transversal de uma MIS [8].

A Fig. 1.1 mostra a geometria de uma Tela de Salisbury, constituída por uma

superfície resistiva, um plano de terra e uma camada dielétrica de espessura d. Esta

estrutura é usada no desenvolvimento de absorvedores de RF, por exemplo. A estrutura da Fig 1.2 é denominada absorvedor Jaumann de RF, podendo ser considerada como uma

evolução da Tela de Salisbury. A geometria desse absorvedor de sinais de RF é constituída

por duas superfícies resistivas e um plano de terra, separados por duas regiões dielétricas. As impedâncias superficiais Z1 e Z2 indicadas são desiguais, assim como as distâncias de separação d1 e d2. Estes parâmetros podem ser usados, por exemplo, para otimizar a resposta em freqüência da refletividade do absorvedor.

A geometria da Fig. 1.3 corresponde a uma superfície seletiva de freqüência (FSS),

sendo constituída por um arranjo planar de patches condutores, com formatos diversos,

depositados sobre um substrato dielétrico. Essas estruturas são adequadas ao desenvolvimento de filtros, ideais para a utilização conjunta com antenas em sistemas de comunicações sem fio e de radar. Diferentemente das duas estruturas anteriores, essa estrutura tem a natureza típica dos circuitos integrados de microondas. A Fig. 1.4 mostra a

w1

d1

d2

εr1,σ1 εr2,σ2=0

εr3,σ3=0

z

y

x

θ

φ

inc

k

seção transversal de uma linha de microfita metal-insulator-semiconductor (MIS). Essa

estrutura planar é largamente empregada no desenvolvimento de circuitos integrados monolíticos de microondas (MMIC). O estudo de estruturas do tipo MIS, voltado para a

determinação de suas propriedades de reflexão e transmissão, é realizado neste trabalho. O conteúdo deste trabalho foi dividido em oito capítulos, que podem ser sumariamente descritos como:

• Capítulo 2: no capítulo 2, há a exposição geral da teoria, ressaltando as características dos meios de propagação, especificamente os meios dielétricos, observando-se os conceitos de permissividade elétrica, permeabilidade magnética, condutividade, isotropia, anisotropia, impedância de onda e polarização. As principais equações e deduções dos itens citados são apresentadas.

• Capítulo 3: no capítulo 3 são abordados três métodos de análise utilizados no estudo de propagação de ondas eletromagnéticas: o traçado de raios, o método da linha de transmissão e o método de onda completa. É feita uma introdução sobre o método de traçado de raios, sua importância e aplicações em estruturas de paredes não-homogêneas. Em seguida, é feita a exposição mais detalhada do método da linha de transmissão, o método mais utilizado neste trabalho, apresentando as equações clássicas da impedância de entrada em um meio e as deduções mais importantes. Foram simulados resultados para as equações do método da linha de transmissão para a validação de programas computacionais feitos em MATLAB. Este método foi

análise da propagação de ondas eletromagnéticas através de estruturas compostas por multicamadas.

• Capítulo 4: neste capítulo, o enfoque é dado à propagação de ondas eletromagnéticas em paredes. A partir das equações para a impedância de entrada do método da linha de transmissão, obtêm-se as equações para os coeficientes de reflexão e transmissão através de paredes com e sem perdas. A partir disso, foram feitas simulações com o auxílio destas equações para novamente validar os programas computacionais desenvolvidos em MATLAB. Um fator relevante é o

estudo feito com paredes que apresentam um certo nível de rugosidade. Baseando-se em estudos realizados por Landron [20], foram desenvolvidos programas

computacionais em MATLAB para a observação do efeito da rugosidade em paredes

de pedra (limestone), os quais foram comparados com os resultados obtidos para os

casos de paredes com e sem perdas, com o auxílio do método da linha de transmissão. Por fim, foram feitas simulações para uma parede de gesso, para o caso em que este material apresente permissividade relativa complexa (εr = 2,8 – j0,046).

Os resultados obtidos foram comparados com resultados existentes na literatura [12] para o caso em que o gesso é considerado um material sem perdas.

• Capítulo 5: este capítulo trata do espalhamento de ondas eletromagnéticas em superfícies resistivas e linhas de transmissão do tipo metal-isolante-semicondutor. Nele são abordadas aplicações envolvendo telas de Salisbury, absorvedores Jaumann, e MIS. A teoria, as equações principais e os resultados simulados para os

respectivos dispositivos são apresentados.

• Capítulo 6: este capítulo apresenta o estudo do espalhamento de ondas eletromagnéticas através de estruturas periódicas denominadas superfícies seletivas de freqüência (FSS). É feita a exposição da teoria e são apresentados resultados de

• Capítulo 7: no capítulo 7, é descrito o procedimento de medição utilizado na parte experimental deste trabalho. Foram realizadas medições de reflexão, transmissão e visada direta entre as antenas. Algumas observações como o alinhamento e a orientação das antenas são ressaltadas. Para cada localização do transmissor e do receptor, foram medidos os valores obedecendo-se a distância e a posição angular em relação à superfície. Para o caso da visada direta, os valores medidos são comparados à curva teórica obtida através da equação de Friis [2]. Os valores da

potência recebida por reflexão e da potência recebida por visada direta são utilizados na obtenção do coeficiente de reflexão empírico [2]. Por fim, é feita uma breve exposição do setup de medições realizado no Centro Federal de Educação

Tecnológica da Paraíba. Também são apresentados os resultados medidos na parte experimental do trabalho. É observado comportamento dos coeficientes de reflexão para o modo TE com relação a variações da parte real e imaginária da permissividade e da espessura, para a validação dos dados medidos, para uma parede de tijolos e outra de madeira.

Capítulo 2

Espalhamento de Ondas Eletromagnéticas em Interfaces Planas

2.1 Introdução

Neste capítulo, será feita uma exposição geral da teoria, ressaltando as características dos meios de propagação, especificamente os meios dielétricos e condutores, observando-se os conceitos de permissividade elétrica, permeabilidade magnética, condutividade, isotropia, anisotropia, impedância de onda, incidências normal e oblíqua e polarização. As principais equações e deduções dos itens citados são apresentadas. A Fig. 2.1 ilustra a incidência de uma onda eletromagnética na interface entre dois meios, as orientações dos campos elétrico e magnético, bem como as componentes refletida e transmitida.

Fig. 2.1: Incidência de uma onda eletromagnética na superfície de separação de dois meios. X

Meio 1 Meio 2

E+i

H+i

E+t

H+t x

z E-r

H-r

n1 n1

n2

2.2 Características dos Meios de Propagação

Em eletromagnetismo, os meios podem ser classificados de acordo com suas características elétricas e magnéticas, como permissividade elétrica (ε), permeabilidade magnética (µ) e condutividade elétrica (σ). Eles podem ser, por exemplo, dielétricos perfeitos, dielétricos com perdas, semicondutores, bons condutores ou condutores perfeitos. A classificação também depende da freqüência da onda eletromagnética que se propaga no meio.

Um meio pode ser dielétrico para uma determinada faixa de freqüências e condutor para outra [9]. A freqüência é um fator importante na caracterização de um meio dielétrico ou bom condutor. No caso do cobre, que é comumente considerado como um excelente condutor (år = å/å0 = 1, σ = 5,8 x 107 mhos/m), (σ / ùå), que consiste na razão entre as

correntes de condução e deslocamento, é muito grande em freqüências comuns. Mesmo em 30 GHz, (σ/ ùå) = 3,5 x 107, e o cobre se comporta ainda como bom condutor. No entanto,

em uma freqüência de 1020 Hz correspondendo à faixa dos raios X, a razão (σ/ ùå) = 10-2 e

o cobre se apresenta, portanto, como um dielétrico. Este resultado explica porque os raios X podem penetrar consideravelmente em um metal como o cobre [10].

Na Tab. 2-1 estão representados valores de (σ/ ùå) em função da freqüência para

Tab. 2-1: Classificação de alguns meios como dielétricos, semicondutores ou bons condutores, de acordo com a freqüência [10].

Meios _σσ/ùå(10n) Freqüência (10m Hz) Classificação

n = 4 a 2 m = 1 a 3,5 (freq. baixas) Bom condutor n = 2 a -2 m = 3,5 a 8,5 (freq. baixas) Semicondutor Terra

n≤ -2 m≥ 8,5 (microondas) Dielétrico n = 5 a 2 m = 2,5 a 6 (freq. baixas) Bom condutor n = 2 a -2 m = 6 a 10 (freq. baixas à microondas) Semicondutor Água do mar

n≤ -2 m≥ 10 (infravermelho) Dielétrico n = 6 a 2 m = 10 a 15 (infravermelho) Bom condutor Cobre

n = 2 a 0 m = 15 a 18 (ultravioleta) Semicondutor

Sabe-se pela lei de Ampère que, para campos variando harmonicamente no tempo,

E j E H

r r

r

ωε σ + = ×

∇ (2.1)

onde o primeiro termo à direita representa a densidade de corrente de condução e o segundo, a densidade de corrente de deslocamento. Se σ = 0, então o meio é dito perfeitamente dielétrico, podendo ser considerado sem perdas quando ε e µsão números reais, ou com perdas, quando ε e/ou µassumem valores complexos [9].

Assume-se que σ/ωε = 1 é a linha de divisão entre um material condutor e um dielétrico. Se σ〉〉ωε, o meio é dito condutor, pois a corrente de condução é predominante em relação à corrente de deslocamento. Em termos práticos, pode-se classificar os meios como: bons condutores _⎟

⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛ _≤

ωε σ

100 ; semicondutores _⎟

⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ _{≤ 〈100}

100 1

ωε

σ _{e dielétricos}

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛ _〈

100 1

ωε

σ _[10].

para a mica, nas freqüências de rádio, σ/ωε é da ordem de 0,0002. Para bons condutores,

σ e ε são quase independentes da freqüência. Para esses materiais, a razão σ/ωε é relativamente constante nessa faixa de freqüências de interesse.

Por estas e outras razões, as propriedades dos dielétricos geralmente são dadas em termos da constante dielétrica do meio εr e da razão σ/ωε. Sob estas circunstâncias, a

razão σ/ωε é conhecida como fator de dissipação D do dielétrico. Para dielétricos quase

perfeitos, ou seja, aqueles que apresentam pequenos valores de D, o fator de dissipação é

praticamente o mesmo que o fator de potência do dielétrico. De fato, o fator de potência é dado por [11]:

φ

sen . .F =

P , onde φ=tan−1D (2.2)

onde o fator de dissipação e o fator de potência diferem em menos que 1% quando seus valores são menores que 0,15 [11].

Os meios dielétricos podem também ser considerados isotrópicos ou anisotrópicos.

Os meios isotrópicos são aqueles nos quais a permissividade elétrica é constante, isto é, independe da direção do campo elétrico

(

)

densidade de fluxo elétrico estão relacionadas com o campo elétrico através de:

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = z y x z y x z y x E E E D D D D ε ε ε 0 0 0 0 0 0 (2.3)

com εx =εy =εz. Os meios anisotrópicos são classificados como uniaxiais, nos quais as permissividades são idênticas em duas direções, correspondendo a três situações: εx,εy = εz;

2.2.1 Equações de Helmholtz

Para o caso de uma onda propagando-se num meio de permissividade (ε), permeabilidade (µ) e condutividade (σ), os campos variam harmonicamente no tempo e são representados por (2.1) e pela lei de Faraday[9]:

H j E r r ωµ − = ×

∇ (2.4)

Portanto, as equações de Helmholtz para os campos elétrico e magnético, obtidas a

partir de (2.1) e (2.4) são dadas por:

0 2

2 _{− =}

∇ E E r r

γ (2.5) e

0 2

2 _{− =}

∇ H H r r

γ (2.6) onde

µε ω ωµσ γ2 _{= −} 2

j (2.7)

ou

2

k

j −

= ωµσ

γ (2.8)

sendoγ a constante de propagação e k o módulo do vetor de onda

( )

. As soluções das equações (2.5) e (2.6) são respectivamente,

r n

e

r

E

r

E

r

r

=

(

)

)

(

e r n

e

r

H

r

H

r

r

=

0

(

)

)

(

onde nˆ é o vetor que indica o sentido de propagação da onda. De uma forma geral, a

[

]

[

]

= ωµσ β ωµσ

α . Portanto, para uma onda plana propagando-se no propagando-sentido z+, as soluções (2.9) e (2.10) podem ser reescritas respectivamente como:

z j z

e e E z

E( ) = ₀ −α − β

r r

(2.11)

z j z

e e H z

H( )= 0 −α − β r

r

(2.12)

onde α é chamado de fator de amortecimento ou constante de atenuação da onda eletromagnética, enquanto β é denominada constante de fase. Pode-se concluir das equações (2.11) e (2.12) que se a constante de propagação é um número complexo, então, a onda sofrerá uma atenuação ao longo da direção de propagação. O único meio onde não ocorre atenuação das ondas eletromagnéticas é o dielétrico perfeito. Neste caso, σ= 0, γ = jβ = jk e a constante de atenuação α = 0 [9].

2.2.2 Meios Dielétricos – Incidência Normal

Quando uma onda eletromagnética plana, propagando-se em um meio 1, incide na superfície de um meio 2 que possua características diferentes daquele meio – permissividade elétrica (ε), permeabilidade magnética (µ) e condutividade (σ) – parte da energia proveniente da onda é transmitida e parte é refletida.

No caso de um material dielétrico perfeito, quando uma onda incide normalmente na sua superfície, também ocorrerá que parte da energia será transmitida e parte será refletida. Um dielétrico perfeito é aquele que apresenta condutividade nula (σ = 0), de

modo que não exista perda ou absorção de potência na propagação através do dielétrico.

• Permissividade elétrica de um dielétrico sem perdas [11]

P r

⋅ −∇ =

ρ (2.13)

onde P r

é o momento dipolo por unidade de volume. Desde que cargas livres não estejam presentes, a densidade de carga pode ser expressa por ρ e então, a lei de

Gauss torna-se:

( )

r r

⋅ −∇ = = ⋅

∇ ε0 ρ (2.14)

e ainda pode ser escrita sob a forma:

(

)

⋅

∇ E P r r

ε (2.15)

o que sugere o uso de um vetor densidade de corrente de deslocamento (ou fluxo de corrente) definido por:

P E D

r r r

+

=ε0 (2.16)

permitindo que (2.15) seja escrita na sua forma mais freqüente:

0

= ⋅ ∇ D

r

(2.17)

A teoria sobre as propriedades dos materiais dielétricos ainda permite definir

P r

como ε0χE

r

, onde χ representa a susceptibilidade elétrica do material. Desta forma, a equação (2.16) ainda pode ser expressa por:

(

)

r r

χ ε +

= ₀ 1 (2.18)

O que sugere que o termo 1 + χ pode ser considerado como a permissividade relativa εr, característica do material dielétrico. Assim, torna-se possível utilizar a

E D

r r

ε

= , com ε=ε0εr (2.19)

Portanto, a permissividade elétrica para o caso de um material sem perdas é representada simplesmente por:

r

ε ε

ε= 0 (2.20)

onde ε_r é a constante dielétrica relativa do meio e ε0é a permissividade elétrica em

condições de espaço livre e tem o valor de 8,854 x 10-12 F/m.

Contudo, a permissividade elétrica relativa assume um valor complexo em dielétricos que apresentam alguma perda significativa, sendo dada por:

''

'

r r

r ε jε

ε = − (2.21)

ondeεr’ é a parte real da expressão (2.21), denominada de constante dielétrica e εr’’

representa a parte imaginária da expressão (2.21), denominada de constante de relaxação do meio (que diz respeito à conversão da energia eletromagnética em térmica), representada pela razão

0

ωε σ _.

No caso em que o meio apresenta cargas elétricas livres, elas podem se deslocar sob a ação do campo elétrico, dando lugar a uma corrente de condução proporcional à condutividade elétrica iônica do meio (σ_i). Desta forma, a equação (2.21) pode ser expressa como,

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

₊

−

=

r i r

r

j

ε

ω

σ

ε

ε

' ''

tan

r i r

ε ω σ ε

δ = + (2.23)

Assim, a permissividade complexa do material pode ser obtida em função da tangente de perdas:

(

)

ε_r = 1− jtan (2.24)

A condutividade elétrica efetiva do meio (σ), neste caso, relaciona-se com a condutividade iônica do meio (σ_i), com a freqüência (ω=2πf ) e com a constante

de relaxação (εr’’), pela expressão:

''

r

i ωε

σ

σ= + (2.25)

A Tabela 2-2 mostra alguns valores de permissividade relativa e tangente de perdas para dielétricos de baixas perdas:

Tabela 2-2: Características de dielétricos de baixas perdas.

Material Dielétrico _εεr tanδδ Polietileno 2,26 0,0003 Polipropileno 2 0,0002 Polytetrafluoretileno (teflon) 2,1 0,00015

f = 3 GHz.

• Permeabilidade magnética (µ) [11]

M J

B r r

r × ∇ = = × ∇ 0

µ (2.26)

ondeµ0é a permeabilidade magnética no espaço livre e vale 4π x 10-7 H/m e M

r

é o momento dipolo por unidade de volume na magnetização. A equação (2.26) é válida quando não há corrente devido ao movimento de cargas livres. Ela também pode ser escrita na forma abaixo,

0 0 = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ×

∇ B M r r

µ (2.27)

o que sugere o uso de um campo magnético H r definido por: M B H r r r − = 0

µ (2.28)

Isto permite que (2.27) seja representada por:

0 = × ∇ H r (2.29)

O momento dipolo por unidade de volume na magnetização é expresso por:

H

M _m

r r

χ

= (2.30)

ondeχm é a susceptibilidade magnética. Neste ponto, a magnetização é proporcional à intensidade do campo magnético. Assim, a equação (2.28) pode ser representada por:

(

)

(

)

B _m r r r r r µ χ µ

µ + = + =

onde µ=µ_rµ₀ =µ₀

(

)

A partir disso, pode-se considerar o caso de uma onda plana se deslocando na direção x, incidente em uma superfície paralela ao plano x = 0, com E_i

r

sendo a intensidade do campo incidente da onda, Er

r

a intensidade do campo refletido no meio 1 e E_t

r

a intensidade de campo transmitido pela onda e propagada no meio 2, como mostrado na Fig. 2.1. A analogia serve para o campo magnético H

r

. ε1 e µ1

são respectivamente a permissividade elétrica e a permeabilidade magnética do meio 1 e ε2 e µ2 são as respectivas constantes para o meio 2. Designam-se por η1e

η2 as razões

1 1

ε µ _e

2 2

ε

µ _{, correspondentes às impedâncias de onda nos meios 1 e}

2, respectivamente. Assim, obtêm-se as seguintes relações [11]:

i i H E r r 1 η

= (2.32)

r r H E r r 1 η −

= (2.33)

i t H E r r 2 η

= (2.34)

t r

i H H

H

r r r

=

+ (2.35)

t r

i E E

E

r r r

=

+ (2.36)

E, a partir da combinação de (2.32) a (2.36), obtém-se:

1 2 2 2 η η η + = i t E E (2.38) 2 1 2 1 η η η η + − = i r H H (2.39) 2 1 1 2 η η η + = i t H H (2.40)

As permeabilidades dos dielétricos não diferem significativamente da permeabilidade do espaço livre, podendo ser assumido que µ1 = µ2 = µ0[11]. Assim,

obtém-se a relação

0 2 1 0 2 1 µ ε ε µ η η ⋅

= , de onde se conclui que

1 2 2 1 ε ε η η = .

Fig. 2.2: Incidência normal da onda.

Na Fig. 2.2, observa-se a onda incidindo normalmente na superfície de separação entre dois meios, sendo uma parte refletida e outra transmitida através da mesma. O raio refletido R foi deslocado para a direita apenas para efeito de

visualização, pois neste caso, a incidência e a reflexão ocorrem no mesmo ponto, havendo múltiplas reflexões, de forma que a maior parte da onda seja refletida e uma parcela apenas, seja transmitida.

Tabela 2-3: Constantes dielétricas e condutividades para alguns materiais [12].

Material Dielétrico

εεr’ εεr’’ µµr σσ (S/m) tanδδ

Concreto seco 4 – 6 0,05-0,1; 4, 60 GHz --- 0,070 – 0,102 0,125 Concreto

arejado

2 – 3 0,1-0,5; 3, 60 GHz --- ---

---Tijolo Seco 4 0,05-0,1; 4, 3 GHz 0,99 0,01 – 0,028 ---Pedra calcária

(limestone)

7,5 --- 0,95 0,03

---Vidro 3,8 – 8 < 3x10-3_{; 3 GHz 1 ---} ---Madeira 1,5 – 2,1 < 0,07; 3 GHz --- --- 0,025

Gesso 2,8 0,046; 60 GHz --- --- ---Limalha 2,9 0,16; 60 GHz --- --- ---Mármore 11,6 0,078; 60 GHz --- ---

---Metal 7,5 --- --- --- 2

Solo, terra 7 - 30 --- --- 0,001 – 0,030

---2.2.3 Meios Dielétricos – Incidência Oblíqua

Caso a incidência da onda eletromagnética seja oblíqua, ou seja, a superfície não é paralela ao plano contendo os campos E

r

e H r

, as condições de propagação dessa onda são mais complexas. Novamente, parte da onda será transmitida e parte será refletida, mas neste caso, a onda transmitida será também refratada, ou seja, a direção de propagação será alterada.

Fig. 2.3: Reflexão e refração [11].

Na Fig. 2.3, se v1ev2 são as velocidades da onda nos meios 1 e 2, respectivamente, então 2 1 v v AD CB

= . Entretanto, como CB= ABsenθ₁ e AD=ABsenθ₂, obtém-se que:

2 1 2 1 v v sen sen = θ θ , sendo 1 0 1 1 1 1 1 ε µ ε µ = = v e 2 0 2 2 2 1 1 ε µ ε µ = =

v . Deste modo, tem-se

que: 1 2 1 2 2 1 sen sen n n = = ε ε θ θ (2.41)

onde n1 e n2 são os índices de refração dos meios 1 e 2. A impedância de onda (η) está relacionada aos índices de refração da seguinte forma:

2 1 1 2 2 1 µ µ η η ⋅ = n n (2.42)

de onde se obtém que:

2 1 1 2 2 1 µ µ ε ε η η ⋅

= (2.43)

I1 I2 R1

Como µ1 = µ2 = µ0, a equação (2.41) pode ser expressa também em função da

impedância de onda:

2 1 1 2 2 1 sen sen η η ε ε θ

θ _{= =}

(2.44)

Sendo AE = CB, obtém-se que ε₁sen₂θ₁ = ε₂senθ₂= ε₁senθ₃ e, portanto, queθ1 = θ3.

O ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão e está relacionado com o ângulo de refração pelas equações (2.41) e (2.44), o que em Óptica Geométrica é conhecido como Lei de Snell.

A potência transmitida por metro quadrado em uma onda é obtida do produto vetorial dos campos E

r

e H r

. Desde que estes campos sejam perpendiculares entre si, a potência transmitida por metro quadrado é dada por:

η

2

E

. Pela Fig. 2.3, a potência da onda incidente que atinge AB será igual a

(

)

2 1 cos

/

1 η Ei θ, a potência da onda refletida será

(

)

2 1 cos

/

1 η Er θ e a potência transmitida será

(

)

/

1 η Et θ . De acordo com o princípio

de conservação de energia tem-se que:

(

)

/

1 η Ei θ =

(

)

/

1 η Er θ +

(

)

2 2 cos

/

1 η Et θ . Assim, obtém-se:

1 2 1 2 2 2 2 2 cos cos 1 θ ε θ ε i t i r E E E E −

= (2.45)

Caso a onda incida obliquamente na interface entre dois meios, como o mostrado anteriormente, torna-se necessário considerar dois casos especiais. No primeiro deles, o vetor campo elétrico é paralelo à superfície limite entre os dois meios, ou perpendicular ao plano de incidência da onda (o plano que contém o raio incidente e a normal à superfície). Este caso é freqüentemente chamado de polarização horizontal. No segundo caso, o vetor

incidência da onda. Este é o caso da polarização vertical. Os dois casos estão demonstrados

nas Figs. 2.4 e 2.5.

• Caso 1: Polarização perpendicular (horizontal)

O vetor campo elétrico é perpendicular ao plano de incidência da onda e paralelo à superfície de interface entre os dois meios. A Fig. 2.4a considera o campo incidente E

r

i na direção positiva do eixo x, assumindo que E r

r e E r

t são os campos refletido e transmitido, respectivamente, também na direção positiva do eixo x. A

Fig. 2.4b é uma forma mais simples de explicar a polarização perpendicular (horizontal).

Fig. 2.4: a) Reflexão e refração de ondas com polarização perpendicular (horizontal) [11]; b) Forma mais simples de representação da polarização perpendicular (horizontal).

Assim, aplicando a condição de que a componente tangencial de E r

é contínua na superfície (z = 0, na Fig. 2.1), E_i E_r E_t

r r r

=

+ , então [11]:

i r

i t

E E E

E +

=1 (2.46)

Inserindo (2.46) em (2.45), obtém-se:

θ2

I1 R1

ε1

ε2

T1

Superfície

θ1

θ1

z

y

Ei Er

Hi

Hr

Et

Ht

a)

z

Ar Ar

Superfície i

E r

onda

x

z = 0 z = d

2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 cos cos cos cos cos cos 1 1 cos cos 1 1 cos cos 1 1 θ ε θ ε θ ε θ ε θ θ ε ε θ θ ε ε θ θ ε ε + − = = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − = i r i r i r i r i r i r i r E E E E E E E E E E E E E E (2.47)

e, a partir de (2.41) ou (2.44), obtém-se:

(

)

2 1 2 2 2 2 2

2 cosθ ε 1 θ ε ε θ

ε = −sen = − sen (2.48)

Conseqüentemente, determina-se de (2.47) e (2.48), que:

(

)

(

)

2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 sen / cos sen / cos sen cos sen cos θ ε ε θ θ ε ε θ θ ε ε θ ε θ ε ε θ ε − + − − = − + − − = i r E E (2.49)

A equação (2.49) fornece a razão entre os campos refletido e incidente (coeficiente de reflexão) para o caso da polarização perpendicular (horizontal) da onda.

• Caso 2: Polarização paralela (vertical)

Neste caso, E r

é paralelo ao plano de incidência e H r

2 1 cos cos 1 θ θ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = t r i t E E E E (2.50)

Inserindo (2.50) em (2.45), obtém-se:

2 1 2 1 2 2 cos cos 1 1 θ θ ε ε ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ i r i r E E E E (2.51)

de (2.51) obtém-se:

(

)

(

)

2 1 1 2 2 2 1 1 2 1 cos 1 cos θ ε θ ε θ ε θ ε sen sen E E i r − + − −

= (2.52)

Entretanto, como: 1 2 2 1 2

2_{θ ε /ε θ}

sen

sen = , obtém-se:

(

)

(

)

2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 / cos / / cos / θ ε ε θ ε ε θ ε ε θ ε ε sen sen E E i r − + − − = (2.53)

A equação (2.53) fornece o coeficiente de reflexão para a polarização paralela (vertical), ou seja, a razão entre os campos refletido e incidente quando E

r

Fig. 2.5: a) Reflexão e refração de ondas com polarização paralela (vertical) [11]; b) Forma mais simples de representação da polarização paralela (vertical).

• Caso 3: Ângulo de Brewster: Há ainda um caso particular em que não ocorre

reflexão, em um determinado ângulo, denominado ângulo de Brewster. Isto ocorre

quando o numerador em (2.53) é igualado a zero. Para isso, tem-se:

(

)

(

)

A dedução apresentada em (2.54) fornece o ângulo de Brewster para o qual

não há reflexão da onda quando esta incide paralelamente, ou seja, é verticalmente polarizada. Se a onda incidente não for totalmente polarizada na direção vertical, haverá alguma reflexão, mas a onda refletida será totalmente polarizada na direção horizontal [11].

T1

θ2 z = 0

z

I1 R1

ε1 ε2 Superfície θ1 θ1 z y

Ei Et

Et Hi Ht Hr a) Ar Ar Superfície i H r onda

z = d x

2.2.4 Meios Condutores – Incidência Normal

Uma onda eletromagnética propagando-se num meio condutor tem sua amplitude reduzida à medida que esta avança neste meio. A constante de propagação, neste caso, é obtida como:

(

)

2

1 ωµσ

ωµσ

γ ≅ j = + j (2.55)

uma vez que a condutividade é alta, σ〉〉ωε, tendo como conseqüência 2

k

〉〉

ωµσ , onde

µε ω =

k é o módulo do vetor de onda. A constante de atenuação associada à diminuição

de amplitude da onda é, portanto, dada por:

2

ωµσ

α = (2.56)

e a constante de fase β tem o mesmo valor de α. Sendo assim, pode-se representar a variação do campo elétrico de uma onda que se propaga no sentido z+ como:

p jz p z z

j z

e

e

E

e

e

E

z

E

(

)

=

=

r

r

r

(2.57)

sendo δp =1/α=1/βa profundidade de penetração [9].

Uma onda plana incidindo normalmente sobre a superfície de um material condutor perfeito será totalmente refletida. Para campos que variam com o tempo, nem o campo elétrico, nem o campo magnético podem existir dentro de um condutor perfeito, de forma que nenhuma porção da onda incidente pode ser transmitida. Desde que não pode haver perdas dentro em um condutor perfeito, nenhuma parcela de energia é absorvida. Como resultado, as amplitudes dos campos incidente e refletido são iguais, tanto para E

r

quanto para H

r

, diferenciando-se em fase: E_i E_r r r

−

partir do plano de reflexão. Assume valor nulo na superfície e para múltiplos de meio comprimento de onda (λ/2) a partir da superfície. Tem valor máximo igual a duas vezes a intensidade de campo da onda incidente para distâncias a partir da superfície que são múltiplos ímpares de um quarto de onda (λ/4) [11].

2.2.5 Meios Condutores - Incidência Oblíqua

Sempre que uma onda incide obliquamente na interface entre dois meios, sendo um condutor perfeito, também devem ser considerados os dois casos principais de polarização, descritos anteriormente para os materiais dielétricos. Observando as Figs. 2.6 e 2.7 pode-se entender como ocorre a polarização da onda em um meio condutor:

• Caso 1: Polarização perpendicular (horizontal)

A Fig. 2.6 considera θi = θr = θ1no eixo z. As ondas transmitida e refletida têm o mesmo comprimento de onda e direções opostas ao longo do eixo z. Na

direção positiva do eixo y, as ondas incidente e refletida estão ambas na mesma

direção, progredindo para a direita, com velocidades iguais e mesmo comprimento de onda.

Fig. 2.6: Reflexão de ondas com polarização perpendicular (horizontal) [11].

Com a disposição do sistema de coordenadas da Fig. 2.6, a expressão para a onda refletida é obtida como [11]:

z

ε1

ε2 Superfície

θ1

θ1

y

'

^

n

^

n

Hr

Er Ei

(x A y B z C) j r r n j r

refletido

E

e

E

e

E

=

=

r

r

r

(2.58)

onde E_r r

é o vetor amplitude do campo elétrico da onda refletida na origem. Para a incidência normal da onda refletida, obtém-se:

θ θ

θ θ

π

π _{cos cos}

2 cos 2

cos

ˆ r x y z ysen z

n _⎟+ = +

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + =

⋅r ,

fazendo com que (2.58) se torne:

( θ θ)

β ysen zcos

j r

refletido

E

e

E

=

r

r

(2.59)

Para a onda incidente,

θ θ θ π θ π

π _{cos( ) cos}

2 cos 2

cos

ˆ r x y z ysen z

n _⎟+ − = −

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + =

⋅r ,

fazendo com que o campo incidente seja:

( θ θ)

β ysen zcos

j i incidente

E

e

E

=

r

r

(2.60)

• Caso 2: Polarização paralela (vertical)

Neste caso, E_i e E_r r r

terão as direções instantâneas mostradas na Fig. 2.7, porque as componentes paralelas ao limite de condução perfeita devem ser iguais e opostas. O campo magnético H

r

Er

ε1

ε2 Superfície

θ1

θ1

z

y

Hr Ei

Hi Ez

E_y

Fig. 2.7: Reflexão de ondas com polarização paralela (vertical) [11].

Para a onda incidente, a expressão para o campo magnético deve ser:

( θ θ)

β ysen zcos

j i incidente

H

e

H

=

r

r

(2.61)

e para a onda refletida,

( θ θ)

β ysen zcos

j r refletido

H

e

H

=

r

r

(2.62)

2.2.6 Meios Condutivos

Suponha uma onda uniforme plana em um meio com constantes ε1,µ1 e σ1, incida

normalmente em um outro meio, de profundidade de penetração infinita e constantes ε2,µ2 eσ2. As equações (2.37) a (2.40) são válidas para este caso. Porém, é interessante analisar estas expressões para uma situação em que uma onda eletromagnética incide normalmente sobre uma placa de cobre, na freqüência de 1 MHz. Para este exemplo, µ1 = µ2=µ0,ε1 = ε2 =ε0,σ1 = 0 e σ2= 5.8 x 107mhos/m (condutividade do cobre):

η1 =

0 0

ε µ

= 377ohms, para o caso de um meio com condutividade nula (meio 1) e

ωε σ

ωµ η

j j

+ =

A relação entre as intensidades dos campos elétrico e magnético, em função das impedâncias de onda descritas acima torna-se:

i r i

r

H H

E E

−

= (2.63)

Atribuindo valores a estas expressões, pode-se perceber que as diferenças entre os coeficientes de reflexão mostrados em (2.37), (2.38), (2.39) e (2.40) e a diferença de fase entre os campos elétrico e magnético podem ser desprezadas para o caso do uso de um material como o cobre. Por isso, o cobre é considerado um refletor perfeito para ondas de rádio. O campo incidente dentro do metal é aproximadamente 2 x 10-6 vezes o apresentado na onda inicial; já o campo magnético é aproximadamente duas vezes o apresentado pela onda inicial. Isto pode ser inferido partindo do princípio de que o campo magnético é refletido sem fase reversa, dobrando o valor do campo depois de refletido pelo metal. A razão entre E

r

e H r

dentro do metal é dada por η2, a impedância característica do cobre, o

que na prática é um valor muito próximo de zero, permitindo que as placas de cobre possam ser consideradas refletores perfeitos [11].

2.2.7 Impedância de Superfície

Em altas freqüências, a corrente está quase toda confinada dentro de uma fina camada na superfície do condutor. Em muitas aplicações, é conveniente fazer uso de uma impedância de superfície definida por [11]:

s s

J E

Z tan

r

= (2.64)

onde E r

tan é o campo elétrico tangencial à superfície do condutor e Js r

corrente total de condução, fluindo na fina placa do condutor. Se este estiver localizado no eixoy, a distribuição de corrente será dada por:

y

e

J

J

=

r

r

(2.65)

onde J₀ r

é a densidade de corrente na superfície e γ é a constante de propagação. Assume-se que a espessura do condutor é muito maior que a profundidade de penetração, tal que não haja reflexão a partir da superfície posterior do condutor. A corrente de condução total, ou seja, a densidade de corrente linear torna-se, portanto,

[ ]

_γ

γ

J

e

J

dy

e

J

dy

J

J

s

r

r

r

r

r

=

−

=

=

=

∫

∫

Mas, J₀ r

= σE r tan, conseqüentemente, σ γ = = s s J E

Z tan (2.67)

lembrando que a constante de propagação em um meio condutivo é expressa por

ϖµσ

γ = j e a profundidade de penetração por

ϖµσ

δ = 2 . Assim, para um meio condutivo:

η σ ϖµ ₌ = j

Z_s (2.68)