Estudo da influência da flexibilidade dos discos nas rotações críticas de rotores

EURICO ARRUDA FILHO

ESTUDO DA INFLUÊNCIA DA FLEXIBILIDADE DOS DISCOS NAS

ROTAÇÕES CRÍTICAS DE ROTORES

Tese apresentada à Faculdade de Engenharia do Campus de Guaratinguetá, Universidade Estadual Paulista, para a obtenção do título de Doutor em Engenharia Mecânica na área de Projetos e Materiais.

Orientador: Prof. Dr. Celso Pinto Morais Pereira

A779e Arruda Filho, Eurico Estudo da influência da flexibilidade dos discos nas rotações críticas de rotores. / Eurico Arruda Filho.- Guaratinguetá : [s.n.], 2007

122f.: il.

Inclui apêndice

Bibliografia: f. 111-1117

Tese (doutorado) – Universidade Estadual Paulista, Faculdade de Engenharia de Guaratinguetá, 2007

Orientador: Prof. Dr. Celso Pinto Morais Pereira

1. Mecânica dos sólidos I. Título

UNESP UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA Faculdade de Engenharia do Campus de Guaratinguetá

" ESTUDO DA INFLUÊNCIA DA FLEXIBILIDADE DOS DISCOS NAS

ROTAÇÕES CRÍTICAS DE ROTORES"

EURICO ARRUDA FILHO

ESTA TESE FOI JULGADA ADEQUADA PARA A OBTENÇÃO DO TÍTULO DE “DOUTOR EM ENGENHARIA MECÂNICA”

PROGRAMA: ENGENHARIA MECÂNICA ÁREA: PROJETOS E MATERIAIS

APROVADA EM SUA FORMA FINAL PELO PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO

Prof. Dr. Marcelo dos Santos Pereira Coordenador

BANCA EXAMINADORA:

Prof. Dr. CELSO PINTO MORAIS PEREIRA Orientador/UNESP-FEG

Prof. Dr. JOSÉ GERALDO TRANI BRANDÃO UNESP-FEG

Prof. Dr. MAURO PEDRO PERES UNESP-FEG

Prof. Dr. MÁRCIO TADEU DE ALMEIDA UNIFEI

Prof. Dr. CARLOS ALBERTO CHAVES UNITAU

DADOS CURRICULARES

EURICO ARRUDA FILHO

NASCIMENTO 31/12/1957 - TAUBATÉ / SP

FILIAÇÃO Eurico Arruda

Eli Pinto Arruda

1975/1979 Curso de Graduação em Engenharia Civil. Universidade de Taubaté.

1986/1989 Curso de Graduação em Matemática. Universidade de Taubaté.

1992/1993 Curso de Especiliazação em Administração de Produção e Materiais.

Universidade de Taubaté.

1994/1995 Curso de Especiliazação em Matemática. Universidade de Taubaté.

1999/2001 Curso de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica, nível de Mestrado.

AGRADECIMENTOS

Em primeiro lugar agradeço a Deus, fonte da vida e da graça. Agradeço pela minha vida, minha inteligência, minha família e meus amigos,

ao meu orientador, Prof. Dr. Celso Pinto Morais Pereira que jamais deixou de me incentivar. Sem a sua orientação, dedicação e apoio, o estudo aqui apresentado seria impossível,

às funcionárias da Biblioteca do Campus de Guaratinguetá pela dedicação, presteza e principalmente pela vontade de ajudar,

às secretárias da pós-graduação, em especial Regina e Elisa pela dedicação e alegria no atendimento,

ARRUDA, E. A. Estudo da Influência da Flexibilidade dos Discos nas Rotações Críticas de Rotores. 2007. 122 f. Tese (Doutorado em Engenharia Mecânica) - Faculdade de Engenharia do Campus de Guaratinguetá, Universidade Estadual Paulista, Guaratinguetá, 2007.

RESUMO

O presente trabalho visa constatar a alteração nas freqüências de ressonância de rotores, considerando o efeito da flexibilidade dos discos, bem como o momento fletor aplicado ao eixo devido ao efeito giroscópico.

A análise por matriz de transferência é utilizada para obter as freqüências naturais do sistema, considerando-o sem amortecimento, e movimento em órbita circular.

Realizou-se uma fase experimental, a fim de se verificar a teoria desenvolvida, bem como observar os modos de vibrar do disco, do eixo, e do sistema disco-eixo, e suas respectivas freqüências naturais.

ARRUDA, E. A. Study of the Influence of the Flexibility of Discs in the critical Rotations of Rotors. 2007. 122 f. Thesis (Doctorate in Mechanical Engineering) - Faculdade de Engenharia do Campus de Guaratinguetá, Universidade Estadual Paulista, Guaratinguetá, 2007.

ABSTRACT

The main objective of this work is to investigate the resonant frequencies of rotors, taking into account not only the flexibility of the discs, but also the bending moment (due to the gyroscopic effect) applied to the shaft. The theorical analysis is based in the transfer matrix technique. The system was assumed to be undamped with the shaftdisc in circular orbit motion. An experimental work was carried out in order to obtain the mode shapes and the natural frequencies of the disc, shaft, and of the disc-shaft system. A good correlation was observed between the theorical and experimental results.

LISTA DE FIGURAS

Figura 2.1 - Giroscópio...27

Figura 2.2 - Ângulos de Euler ...29

Figura 2.3 - Componentes vetoriais de movimento ...30

Figura 2.4 - Componentes vetoriais das velocidades ...33

Figura 2.5 - Binário da precessão estacionária...34

Figura 2.6 - Momento conjugado ...35

Figura 2.7 - Quantidades de movimento ...35

Figura 3.1 - Elemento elástico e elemento de massa...38

Figura 3.2 - Distribuição dos anéis de massa e mola ...41

Figura 3.3 - Modos de vibração...42

Figura 3.4 - Elemento massa e elemento mola...52

Figura 3.5 - Anel circunferencial de massa ...69

Figura 3.6 - Determinante de freqüências ...73

Figura 4.1 - Modelagem do disco...75

Figura 4.2 - Momento e esforço cortante ...76

Figura 4.3 - Esforço distribuído...76

Figura 4.4 - Eixo idealizado com massas concentradas ...82

Figura 4.5 - Deformação elástica de uma seção do eixo ...83

Figura 4.6 - Elemento de massa pontual ...86

Figura 4.7 - Estação (e) onde se localiza o disco ...88

Figura 4.8 - Sistema disco-eixo biapoiado ...90

Figura 4.9 - Sistema disco-eixo com apoio flexível...91

Figura 4.10 - Forças exercidas pelo apoio no eixo...92

Figura 5.1 - Freqüência natural versus rotação do disco...99

Figura 6.1 - Banco de testes - Disco 1 (flexível)...101

Figura 6.2 - Banco de testes – Ensaio do disco 1 (flexível) ...102

Figura 6.3 - Banco de testes – Ensaio do disco 2 (rígido)...103

Figura 6.4 - Sistema atingindo a velocidade crítica ...104

LISTA DE TABELAS

Tabela 5.1 - Dimensões e dados do disco e do eixo...97

Tabela 5.2 - Comparação dos valores obtidos para freqüências naturais (Hz) ...97

Tabela 5.4 - Efeito da rotação do disco nas freqüências naturais...99

Tabela 5.5 - Freqüências naturais (Hz) obtidas na simulação...100

Tabela 5.6 - Freqüências naturais (Hz) obtidas para precessão síncrona...100

Tabela 6.1 - Dimensões e dados dos discos e do eixo...102

Tabela 6.2 - Freqüências naturais para os dois discos (martelo piezoelétrico) ...103

LISTA DE SÍMBOLOS

LETRAS LATINAS

i Índice do i-ésimo elemento [-]

I Número de elementos do disco [-]

Di Rigidez flexional do i-ésimo elemento [N/m]

Ei Módulo de elasticidade longitudinal [N/m

2_]

ti Espessura do i-ésimo elemento mola [m]

Manel Massa do i-ésimo anel circunferencial [kg]

ri Raio do i-ésimo elemento [m]

Y(r,) Deflexão linear do disco, função de (r;) [-]

y (r) Deflexão linear, função de (r) [m]

n Número de nós diametrais [-]

p _& Número de nós circunferenciais [-]

o

h Quantidade de movimento angular em relação ao ponto O [-] Ip Momento de inércia do rotor em relação ao seu eixo de rotação

própria

[kg.m2] It Momento de inércia do rotor em relação ao eixo transversal que

passa pelo seu centro

[kg.m2]

y M

&

Momento total em torno do eixo y [N.m]

Mx Momento em torno do eixo x [N.m]

My Momento em torno do eixo y [N.m]

Mz Momento em torno do eixo z [N.m]

M (r,) Momento fletor, função de (r,) [N.m]

m (r) Momento fletor, função de (r) [N.m]

Q (r,) Força cortante, função de (r,) [N]

q (r) Força cortante, função de (r,) [N]

^ `

Z Vetor de variáveis de estado [-]

[D]i Matriz de rigidez do i-ésimo elemento mola [-]

[Cn] Matriz de coeficiente para “n” nós diametrais [-]

[R]i Matriz de raios do i-ésimo elemento mola [-]

x, y, z Sistema de eixos cartesianos rotativos [-]

z y

xˆ ,ˆ ,ˆ Vetores unitários na direção dos eixos cartesianos [-]

X, Y, Z Sistema de eixos cartesianos (referencial) [-]

m Potência genérica [-]

a, b Coeficientes da equação polinomial de deflexão de placas

circulares

[-]

A Coeficiente da solução homogênea da equação de deflexão de

placas circulares

[-]

}

{A Matriz dos coeficientes da equação de deflexão de placas

circulares [-]

[T]i Matriz campo, representando o efeito do i-ésimo anel elástico [-]

[P]i Matriz do carregamento do i-ésimo elemento massa do disco [-]

ui,j Elementos da matriz de transferência total do disco [-]

det Valor do determinante de uma matriz ou submatriz [-]

d Diferencial de ângulo [-]

Gi Momento giroscópico do i-ésimo elemento massa do disco [Nm]

IDi Momento de inércia diametral do k-ésimo elemento massa [kg.m2] [F]i Matriz de transferência para o i-ésimo par de elementos

massa-mola do disco

[-]

{Z} Matriz de transferência do disco [-] [T] Matriz de transferência global do disco [-] [L] Matriz do carregamento do efeito giroscópico do i-ésimo elemento

de massa do disco [-]

ti,j Elementos da matriz [T] [-]

G Momento global que o disco exerce sobre o eixo devido à

flexibilidade e ao efeito giroscópico [N/m]

i

G

T Relação entre o momento global e a deflexão angular onde o disco _{está localizado} [-]

E Índice que define uma estação à esquerda do ponto considerado [-] D Índice que define uma estação à direita do ponto considerado [-] e Estação ao longo do eixo

Ie Momento de inércia de área do eixo [m

4_]

Ge Módulo de elasticidade transversal do material do eixo [N/m

2_]

Ee Módulo de elasticidade longitudinal do material do eixo [N/m

2_]

li Comprimento do i-ésimo elemento do eixo [m]

i Índice das estações do eixo [-]

I Número das estações do eixo [-]

U Trabalho de deformação do eixo [Nm]

[UM]e Matriz de transferência do e-ésimo elemento elástico do eixo [-]

[L]i Matriz de transferência do efeito do disco na estação i onde o

mesmo se encontra

[-]

gi,j Elementos da matriz [G]

Mei Massa do i-ésimo elemento massa do eixo [kg]

Md Massa total do disco [kg]

Se Área da seção transversal do eixo [m2]

{Z} Vetor de estado [-]

> @

UP Matriz de transferência de ponto do elemento [-]

> @

UD Matriz de transferência do efeito do disco na estação e onde o

mesmo se encontra [-]

> @

UG Matriz de transferência global do sistema disco-eixo [-]

LETRAS GREGAS

I, T, \ Ângulos de Euler [-]

\ T

I _{, ,} Velocidades angulares instantâneas de precessão, nutação e

rotação própria do giroscópio [-]

OXYZ Sistema de referência fixo [-]

zˆ , yˆ , ˆ

x Versores na direção dos eixos rotativos Oxyz [-]

Oxyz Eixos rotativos [-]

Z

Versor da direção do eixo fixo Z [-]

Z& Velocidade angular [rad/s]

Ângulo radial de deflexão do disco [rad] )

,

( D

I r Deflexão angular do disco, função de (r,) [rad/m]

i

P Massa por unidade de comprimento circunferencial [kg/m]

:& Velocidade angular do sistema de referência rotativo [rad/s]

i

X Coeficiente de Poisson do i-ésimo elemento [-]

K _{Coeficiente do esforço cisalhante dependente da seção transversal}

do eixo [-]

i

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO...17

1.1 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA...18

1.2 OBJETIVOS DO TRABALHO ...25

1.3 CONTEÚDO DO TRABALHO...25

2 EFEITO GIROSCÓPICO...27

2.1 ASPECTOS GERAIS...27

2.2 GIROSCÓPIO ...27

2.2.1 Ângulos de Euler ...28

2.3 PRECESSÃO ESTACIONÁRIA DE UM GIROSCÓPIO...32

2.4 EFEITO GIROSCÓPICO APLICADO AO SISTEMA EIXO–DISCO...34

3 DETERMINAÇÃO DA VIBRAÇÃO EM DISCOS ...38

3.1 O MÉTODO DAS MATRIZES DE TRANSFERÊNCIA (MMT)...38

3.1.1 Aspectos Gerais ...38

3.1.2 Modelagem do Disco...39

3.1.3 Equação da Rigidez Local ...39

3.2 MODELAGEM MATRICIAL...41

3.2.1 Matriz Campo (considera a elasticidade - mola)...41

3.2.1.1 Deflexão para o Elemento Elástico ...42

3.2.1.2 Ângulo de Deflexão - matriz elasticidade para n 2 ...45

3.2.1.3 Momento Fletor ...45

3.2.1.4 Esforço Cortante (Q) ...48

3.2.1.5 Matriz Campo (Casos especiais para n = 0 e n = 1)...54

3.2.1.5.1 Matriz Campo - para n 0...55

3.2.1.5.1.2 Momento Fletor ...56

3.4.1.4.1.3 Esforço Cortante...57

3.2.1.5.2 Matriz Campo - para n 1...61

3.2.1.5.2.1 Ângulo de Deflexão...61

3.2.1.5.2.2 Momento Fletor ...62

3.4.1.4.2.3 Esforço Cortante...63

3.2.2 Matriz Ponto ...68

3.4.3 Condições de Contorno ...70

4 VIBRAÇÃO EM UM SISTEMA DISCO-EIXO...74

4.1 ASPECTOS GERAIS...74

4.2 MODELAGEM DO DISCO ...74

4.2.1 Elemento Massa...74

4.2.2 Elemento Mola ...78

4.2.3 Matriz de Transferência do Disco ...79

4.2.4 Condições de Contorno ...79

4.3 ANÁLISE DO EIXO...82

4.3.1 Elemento Elástico...83

4.3.2 Elemento Massa...86

4.4.1 Efeito do Disco ...88

4.5 MATRIZ DE TRANSFERÊNCIA GLOBAL DO SISTEMA ...89

4.5.1 Eixo Biapoiado ...89

4.5.1.1 Condições de Contorno ...90

4.5.2 Eixo com Apoio Flexível...91

4.5.2.1 Condições de Contorno ...94

4.6 CRITÉRIOS DE DETERMINAÇÃO DAS FREQÜÊNCIAS NATURAIS ...94

5 RESULTADOS ANALÍTICOS COMPARATIVOS ...96

5.1 APLICAÇÃO EM SISTEMAS DINÂMICOS ...96

5.2 FREQÜÊNCIAS NATURAIS DO SISTEMA DISCO-EIXO ...96

5.2.1 Simulação e comparação com uma referência (1º caso) ...96

5.2.2 Simulação pelo MMT (2º caso)...98

6 ENSAIOS NO BANCO DE TESTE ...101

6.1 INTRODUÇÃO...101

6.2 DADOS DO BANCO DE TESTES...102

6.3 ENSAIOS SEM ROTAÇÃO...103

6.3.1 Resultados do ensaio do sistema disco-eixo...103

6.4 ENSAIOS COM ROTAÇÃO...104

6.4.1 Resultados do ensaio do sistema disco-eixo...104

7 COMENTÁRIOS E DISCUSSÕES...105

7.1 ROTOR...105

7.2 SISTEMA DISCO-EIXO ...106

8 CONCLUSÕES...109

8.1 PARA TRABALHOS FUTUROS ...109

9 REFERÊNCIAS ...111

10 BIBLIOGRAFIA CONSULTADA...115

APÊNDICE A – ALGORÍTMO DOS CÁLCULOS ...118

1 INTRODUÇÃO

A vibração é um fenômeno físico que está continuamente presente na natureza, e também em máquinas e estruturas que constituem sistemas físicos produzidos pelo homem. Em alguns desses sistemas a vibração é vital e deve-se explorá-la, porém em outros sistemas é indesejável e busca-se reduzi-la.

Ao longo do tempo, o estudo das vibrações era exclusivo de físicos e matemáticos; no entanto, com a evolução dos materiais e dos processos de fabricação, o estudo das vibrações passou a ser assunto também da engenharia.

Toda máquina ou estrutura possui características dinâmicas que interferem na maneira como o sistema responde às cargas dinâmicas as quais está sujeita. Estas características dinâmicas são as freqüências naturais e os modos de vibração do sistema.

Atualmente, o método utilizado pela indústria para avaliar o comportamento vibratório é essencialmente experimental (Coutinho, 1994), incorrendo em custos altos e demandando grande tempo de desenvolvimento de projeto. Desta forma, passou-se a ter necessidade de métodos alternativos, que permitam simular o desempenho dinâmico dos componentes do sistema, ainda na fase de projeto, com menores custos.

O estudo de dinâmica de rotores é de essencial importância para o projeto de equipamentos rotativos, além disso, sistemas operando em altas velocidades apresentam a contribuição do efeito giroscópico, gerando a necessidade de uma análise mais profunda desse fenômeno.

O custo elevado dos testes experimentais leva a considerar simulações numéricas para verificar o projeto de equipamentos rotativos, evitando a obrigação de realizar experimentos diferentes para cada tipo de variável a ser estudada.

Hoje em dia, máquinas rotativas trabalham com alta densidade de fluxos de energia, devido às elevadas velocidades as quais seus eixos são submetidos, podendo originar problemas de vibração e instabilidade dos rotores.

Todo este cenário implica em altas cargas de inércia, elevados níveis de vibração do disco e do eixo, ocasionando instabilidades dinâmicas, as quais são de grande interesse para que se possa prognosticar o comportamento do sistema, acarretando num acréscimo das exigências dos projetos para o desenvolvimento de máquinas mais eficientes, que funcionem livres de problemas de vibrações indesejáveis e que obtenham uma estabilidade dinâmica aceitável.

Isto originou um aumento do número de pesquisas sobre dinâmica de rotores ocasionando avanços das técnicas de análise de vibrações e dos métodos analíticos. Busca-se maior confiabilidade dos modelos matemáticos e das técnicas computacionais para a simulação dos fenômenos dinâmicos com precisão.

Para se realizar simulações o mais fidedignas possível, é necessário desenvolver modelos que possam representar os sistemas reais de forma confiável. Com a finalidade de estudar o comportamento dinâmico de sistemas rotativos, muitas pesquisas têm sido desenvolvidas utilizando tanto técnicas analíticas como numérico-experimentais.

1.1 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

O objetivo desta seção é revisar os principais assuntos que deverão ser abordados nos capítulos seguintes deste trabalho com a finalidade de orientar o seu desenvolvimento. Esta revisão tem expressiva importância para o desenvolvimento desta pesquisa, uma vez que a mesma é fundamentada tanto em livros técnicos de autores consagrados da área, como também em literatura científica e técnica e relatórios de experimentos práticos.

Desta forma, a revisão acrescenta informações importantes no conhecimento do atual cenário no que se refere às pesquisas realizadas na área. Além disso, esta tem por objetivo servir como fonte de pesquisa e de referências bibliográficas para trabalhos futuros.

Diversos métodos têm sido pesquisados e utilizados no estudo das soluções gerais da vibração de eixos flexíveis, e pode-se destacar: Método de Rayleigh-Ritz, (Lallane 1990), Método dos Modos Assumidos (Lee, 1996); Método de Galerkin (Yim, 1986; Yum, 1993), Método dos Elementos Finitos (MEF) (Kang, 1992; Mackerle 1999 e 2000) e Método das Matrizes de Transferência (Kramer, 1993; Tesar, 1988).

O Método das Matrizes de Transferência apresenta-se como uma ferramenta extremamente vantajosa na análise dinâmica de eixos rotativos devido a sua versatilidade e simplicidade no uso, entretanto, encontra-se um número escasso de publicações sobre seu emprego, sobretudo considerando a influência do efeito giroscópico.

O Método das Matrizes de Transferência para diagnóstico de vibrações de flexão iniciou-se com o Método de Myklestad-Prohl (Meirovitch, 1967) que consiste em uma tabulação de relações dinâmico-elásticas de um sistema, no qual a freqüência natural é obtida quando as condições de contorno são satisfeitas.

Um estudo onde o efeito giroscópico e a flexibilidade dos discos são considerados para a obtenção das freqüências de ressonância de sistemas eixo–discos, que são representados por meio de elementos massa-mola é realizado por Dopkin e Shoup (1974). Empregam o Método das Matrizes de Transferência com a finalidade da obtenção das freqüências naturais e os modos de vibração para diversas configurações eixo-discos.

do contato é somente uma função das rotações nas engrenagens, (2) a força que age na linha do contato é uma função das rotações e da flexibilidade das engrenagens, e (3) dois rotores não são acoplados. Os autovalores, e os modos de vibração são calculados e os resultados são discutidos.

Subia (1987) abordou em seu trabalho, procedimentos matemáticos de cálculo que permitiram determinar as freqüências naturais de torres estaiadas para diversas situações de serviço Para isso estabeleceu uma formulação que permitiu a determinação dessas freqüências, utilizando o método da matriz de transferência. O procedimento consistiu na discretização da estrutura em elementos de barras, massas discretas, molas e amortecedores viscosos, para a representação da estrutura.

No trabalho de Fang, Luo (1987) o método de matriz de transferência e a teoria de elemento de giros “forward” e “backward” são usados no problema da vibração livre de um rotor flexível com massa aleatoriamente distribuída, com o efeito giroscópico relacionado com suas velocidades críticas e funções vibracionais correspondentes. A teoria generalizada é desenvolvida e estendida, e empregada em combinação com o método assintótico de Bogoliubov-Mitropolskii para deduzir dois grupos de equações diferenciais de primeira ordem no sentido de se calcular a resposta transiente do rotor. O fenômeno do acoplamento do rotor com duas velocidades críticas é também analisado.

Utilizando também o Método das Matrizes de Transferência (Lee, 1991) faz o estudo de uma viga rotativa de Timoshenko contendo vários discos rígidos e finos. Verifica também a estabilidade dinâmica de vigas uniformes com a seção transversal não simétrica para diversas condições de contorno. O modelo de Euler-Bernoulli é considerado e as velocidades críticas são obtidas, analisando a estabilidade da viga para diferentes condições de contorno.

torque axial foram analisados de modo que a integralidade do método de matriz de transferência seja alcançada. Para demonstrar a eficácia, um exemplo numérico é apresentado para estimar o efeito do desequilíbrio do eixo nas respostas de estado estacionário pelo método de GTMM e de elemento finito (FEM).

Kramer (1993) estudou e desenvolveu o Método das Matrizes de Transferência utilizando como técnica analítica para o estudo do comportamento dinâmico de sistemas rotativos. Sua metodologia foi aplicada também em rotores para obtenção dos modos de vibração.

Coutinho (1994) apresenta em seu trabalho uma formulação matricial que tem como base o Método das Matrizes de Transferência, no sentido de se analisar as freqüências naturais de eixos homocinéticos, admitindo a presença exclusivamente de excitação flexional, não considerando a contribuição do efeito giroscópico.

Rao (1995) apresentou em sua obra, o Método das Matrizes de Transferência para a análise das velocidades críticas de um sistema eixo-disco considerando o efeito giroscópico. Alguns exemplos são apresentados, e demonstra que a aproximação dos resultados obtidos pelo método das Matrizes de Transferência é mais satisfatória para aplicações computacionais que o procedimento de Holzer convencional.

Kumar, Sujatha e Ganesan (1997), em seu trabalho chamam a atenção para a importância da inclusão de flexibilidade do disco nas freqüências naturais de um rotor em análise dinâmica. Tal análise ajuda a predizer a resposta dinâmica de rotores com mais precisão das freqüências naturais. Em sua análise utilizam uma placa cônica que é modelada através do método dos elementos finitos do rotor com a inclusão da sua flexibilidade. Um estudo paramétrico também foi executado para verificar as características de freqüência do sistema. O estudo igualmente apresenta a obtenção dos modos de vibração de discos adicionais.

Siu e Mau (2001) realizam um estudo analítico das características dinâmicas de um sistema rotor-mancal pelo método de matriz de transferência. Eixos girando do sistema são modelados como vigas de Timoshenko considerando os efeitos do momento giroscópico. As engrenagens acopladas ao eixo são modeladas como um par de discos rígidosconectado por um sistema mola-amortecedor, eo erro da transmissão é simulado por uma excitação do deslocamento. A matriz de transferência de uma das engrenagens é determinada. A vibração do sistema rotor-rolamento também é estudada. São determinadas freqüências naturais e formas correspondentes da modalidade, sob diferentes velocidades de rotação.

Martins (2001) apresentou a comparação entre as análises numérica e experimental de um eixo traseiro de um protótipo de um veículo automotor do tipo mini-baja. O protótipo foi desenvolvido utilizando o sistema de eixo rígido na suspensão traseira, sendo que para se determinar a freqüência natural do eixo realizou-se uma análirealizou-se numérica utilizando o método das Matrizes de Transferência.

Zu e Ji (2002) publicam trabalho no qual o método de matriz de transferência é desenvolvido para analisar o sistema rotor-rolamento não-linear. O eixo girando é descrito como sendo uma viga de Timoshenko, que considera o efeito da inércia de giro. Matrizes de transferência são desenvolvidas para os elementos do eixo de Timoshenko, o elemento do disco, determinando-se a matriz de transferência global.A resposta de estado estacionário de giros sub-harmônicos, e super-harmônicos é determinado usando o método harmônico do contrapeso. Dois exemplos numéricos sãoapresentados para demonstrar a eficácia desta aproximação.

Dan-Mei et al.(2003) apresentam um trabalho no sentido de oferecer uma solução para o problema do cálculo das características da vibração de torção utilizando o método das matrizes de transferência, apresentando um novo ponto de vista sobre como confirmar as freqüências naturais.

velocidade crítica. Apresentou o um procedimento numérico prático para analisaros registros do rotor.

No trabalho de Liu (2003), o método da matriz de transferência é apresentado com a finalidade de se analisar as estruturas de sistemas unidimensionais. As fórmulas para calcular os autovalores baseados neste o método também são apresentadas. O método é aplicado para a análise da simulação para os autovalores de um rotor com momento giroscópico, e as diferenças observadas entre os resultados da simulação e o cálculo exato são pequenas.

O método da matriz de transferência (TMM) é utilizado no trabalho de Liew, Feng, e Hahn (2004), com a finalidade de se prever o comportamento da vibração de sistemas lineares de rolamento do rotor. A técnica foi utilizada para encontrar a resposta do desequilíbrio de sistemas estaticamente determinados com mancais hidrodinâmicos. Seu estudo aplica uma simulação estática aos sistemas indeterminados, permitindo a utilização prática aos sistemas rotativos. A técnica é utilizada em sistemas simples de rotor com dois e quatro rolamentos. Mostra-se que, em sistemas estaticamente indeterminados, o desequilíbrio pode afetar não somente o tamanho da órbita e a forma, mas também a distribuição de carga entre os rolamentos.

Dawson e Davies, (2005) em seu trabalho apresentam um procedimento mais eficaz do Método das Matrizes de Transferência, onde apresenta uma extensão do método através de uma convergência quadrática aplicada a freqüência natural. O método é descrito e ilustrado com a aplicação em problemas de vibrações.

lâminas flexíveis e o eixo causou um efeito muito pequeno nas regiões de instabilidade.

Um estudo que desenvolve um método de matriz de transferência modificado para analisar as vibrações laterais e de torção do acoplamento do sistema simétrico composto por rotor-rolamento com um torque externo é apresentado por Hsieh, Chen e Lee (2006). Os ângulos de Euler são usados descrever as orientações dos elementos do eixo e do disco. Adicionalmente, para realçar a exatidão, o eixo girando simetricamente é modelado pela viga de Timoshenko utiliza-se usar um conceito de sistema contínuo que se mostrou melhor que o conceito convencional. Além disso, o método harmônico do contrapeso é adotado nesta aproximação para determinar as respostas de estado estacionário. Finalmente, diversos exemplos numéricos são apresentados para demonstrar a aplicabilidade desta aproximação.

1.2 OBJETIVOS DO TRABALHO

Este trabalho tem como objetivo estudar o comportamento dinâmico de rotores com discos flexíveis, apresentando uma formulação e implementação de uma rotina computacional por meio do “software MATLAB”, com relação ao Método das

Matrizes de Transferência, considerando as influências do efeito giroscópico e as propriedades dos mancais. Tal estudo é importante para o levantamento e otimização de parâmetros críticos em componentes mecânicos.

Todos os programas de análise dinâmica de rotores em uso atualmente consideram os discos como corpos rígidos. Esta aproximação, geralmente é satisfatória, no entanto pode ser otimizada se o disco apresentar uma freqüência próxima da freqüência de ressonância do rotor.

Este estudo permite o refinamento e identificação de faixas de trabalho dos parâmetros mais críticos do sistema, podendo reduzir de maneira expressiva, equações matemáticas e medições experimentais envolvidas na concepção teórico-experimental do sistema.

O estudo do efeito giroscópico tem como objetivo analisar as interações dinâmicas que acontecem quando o sistema se encontra sob a ação de velocidade rotacional, como por exemplo, as variações sofridas pela freqüência e pela amplitude.

Pretende-se desta forma determinar o comportamento dinâmico do sistema, para que se estabeleçam as variáveis que interferem em seu desempenho vibratório, de tal forma que se possa estabelecer um modelo simplificado para sua análise.

1.3 CONTEÚDO DO TRABALHO

O trabalho foi organizado de forma que permita uma compreensão gradual do fenômeno giroscópico e suas inferências no sistema, desenvolvendo-se cada capítulo de forma seqüencial.

comportamento vibratório dos sistemas dinâmicos, modelos matemáticos na detecção de falhas ou na otimização de sistemas.

No capítulo 2, realiza-se a exposição do efeito giroscópico, dando-se ênfase à caracterização desse fenômeno sob a ótica da física e da matemática. São apresentadas suas principais influências no comportamento vibratório do sistema eixo-disco, com o desenvolvimento da formulação necessária, determinando-se a expressão matemática que o descreve.

O trabalho avança com a apresentação do Método das Matrizes de Transferência, seus conceitos, procedimentos e utilização na simulação computacional.

O capítulo 3 trata ainda da formulação matricial para a análise de vibrações de discos flexíveis, considerando o efeito giroscópico. O modelamento do disco é realizado através do Método das Matrizes de Transferência.

As formulações matriciais para a análise de vibrações do eixo elástico são realizadas no capítulo 4, bem como a determinação da matriz de transferência global a qual é composta pelas funções de transferência de cada componente do sistema, conduzindo a um modelo para a obtenção das características dinâmicas do sistema eixo-disco.

Desenvolve-se também a implementação de uma rotina computacional utilizando

o “software MATLAB”, permitindo a utilização do Método das Matrizes de

Transferência para os casos de mancais rígidos e mancais flexíveis, sendo que algumas rotinas encontram-se listadas no Apêndice I.

Na seqüência, no capítulo 5, faz-se uma comparação dos resultados obtidos da análise dinâmica de um sistema disco-eixo-mancal através de métodos analíticos de referências, e do Método das Matrizes de Transferência.

O capítulo 6 apresenta uma série de ensaios realizados no banco de testes da UNESP - Guaratinguetá, apresentando seus resultados, e comparando-os com os resultados obtidos através da metodologia adotada.

2 EFEITO GIROSCÓPICO

2.1 ASPECTOS GERAIS

No estudo de vibrações e dinâmica de sistemas mecânicos, a análise do comportamento das máquinas rotativas horizontais normalmente é bastante complexa, isto porque estas máquinas são constituídas por rotores, eixos, mancais etc.. Desta forma, para o estudo do comportamento dinâmico é necessário se determinar a interação de todos os componentes do sistema, e suas influências.

Neste capítulo, descrevem-se as características físicas do efeito giroscópico, bem como os fatores que propiciam seu aparecimento, e ainda as interações dinâmicas dele provenientes.

2.2 GIROSCÓPIO

Giroscópio é um mecanismo que consiste de um volante rotativo (rotor) de massa

m, que está apoiado num eixo cujos mancais são colocados num suporte circular

(cardan), com um prolongamento que se apóia numa coluna (Figura 2.1) (Bento e Farinha, 2001).

Ao girar o rotor em torno de seu próprio eixo, com velocidade angular Zs, o

sistema todo irá girar em torno do eixo da coluna com velocidade angular Zp

denominada velocidade de precessão do giroscópio. Ainda mais, quando o giroscópio

sofre precessão em torno de uma coluna vertical, o eixo do rotor normalmente oscila para cima e para baixo. Essas oscilações do eixo são denominadas de nutação, que são

perfeitamente visíveis quando as velocidades são baixas. Sendo assim, a extremidade do eixo do rotor descreve uma curva ondulada.

Em geral, as leis de Newton implicam no uso de referenciais inerciais, porém quando se pretende analisar o movimento de rotação de um corpo rígido em relação a um referencial fixo, que é o caso do movimento de um giroscópio, é mais conveniente o uso de sistemas não inerciais, como o sistema com coordenadas rotacionais.

Diz-se que há movimento giroscópico, quando o eixo em torno do qual um corpo encontra-se rodando, possui um movimento de rotação em torno de outro eixo, que é coplanar com o primeiro (Bento e Farinha, 2001).

Quando um corpo portador de grande quantidade de movimento angular em torno de um eixo é forçado a mover-se de modo que esse eixo gire em torno de um segundo eixo, surge um movimento denominado momento giroscópico, que precisa ser

equilibrado de alguma maneira. Isto ocorre, por exemplo, nas rodas dianteiras de um veículo quando faz uma curva em alta velocidade.

Um giroscópio apresenta duas propriedades fundamentais: A inércia giroscópica

ou “rigidez no espaço”, que é uma conseqüência da primeira Lei de Newton, e a

precessão, que é a inclinação do eixo em ângulo reto ante a qualquer força que tenda a

modificar o plano de rotação. Assim, aplica-se geralmente o termo giroscópio, a discos montados em suportes cardânicos, de tal forma que possa girar livremente em qualquer direção, fazendo com que o momento giroscópico não possa ser transmitido.

2.2.1 Ângulos de Euler

representam três deslocamentos angulares que levam à transformação de um sistema de coordenadas a outro, embora as rotações não sejam sobre três eixos ortogonais (Figura 2.2). Essa seqüência utilizada para os ângulos eulerianos, I, T e \, e sua variação com o tempo, definem as velocidades angulares instantâneas , de precessão, de nutação e de rotação própria (spin) do giroscópio, respectivamente, no instante considerado.

\ T I ,e

O movimento de spin de um rotor giroscópico é responsável para evitar que o corpo em rotação caia, mantendo-se em precessão em torno de um eixo vertical.

O movimento de corpos rígidos com um ponto fixo em um espaço inercial será analisado, onde Z é usualmente denominado eixo do corpo e o eixo z denominado de

eixo de precessão.

z

y

x

Figura 2.2 - Ângulos de Euler

Utilizando-se o sistema de referência fixo OXYZ, a velocidade angular Z&do

Chamando de xˆ ,yˆezˆos versores na direção dos eixos rotativos Oxyz, e de Z

o versor da direção do eixo fixo Z fixo, tem-se a expressão da velocidade angular (Figura 2.3):

z y Zˆ .ˆ .ˆ

. T \

I

Z& (2.1)

sendo:

dt d dt

d dt

d \

\ T T I

I , e (2.1a)

O sistema de eixos rotativos, Oxyz fixo no anel interno, é mais apropriado para se

determinar os componentes da velocidade angular Z&, pois são os eixos principais de inércia do giroscópio e embora o acompanhem em sua precessão e nutação, não participam de sua rotação própria.

Figura 2.3 - Componentes vetoriais de movimento

Os componentes do vetor obtido não são ortogonais, desta forma, é necessário se efetuar a decomposição do vetor unitário Zˆ em componentes ao longo dos eixos x e y,

z x

sen

Zˆ T.ˆcosT.ˆ (2.2)

Efetuando-se a substituição na (2.1), tem-se:

z y

x

sen .ˆ .ˆ ( .cos ).ˆ

. T T \ I T

I

Z& _(2.3)

Desta forma, os componentes de Z& segundo os eixos móveis serão:

,

. T

I

Z_x sen Z_y T e Z \ I.cosT

z

Tendo em vista que os eixos coordenados são os eixos principais de inércia, os

componentes do momento angular h_o &

podem ser obtidas através do produto dos

componentes de Z& pelos momentos de inércia do rotor em relação à x, y e z,

respectivamente.

Chamando de Ip o momento de inércia do rotor em relação ao seu eixo de

rotação própria, e de It o momento de inércia do rotor em relação ao eixo transversal

que passa pelo seu centro, e ainda, desprezando a massa dos anéis, obtém-se:

z I

y I x sen I

h_{o t}.I. T.ˆ _t.T.ˆ _p.(\ I.cosT).ˆ &

(2.4)

Os eixos rotativos estão fixos no anel interno, não possuindo desta forma, rotação própria, o que permite indicar a velocidade angular :& do sistema como sendo:

y Zˆ .ˆ

. T

I &

: (2.5)

Ou ainda, substituindo o valor de Zˆobtido em (2.2):

z y

x

sen .ˆ .ˆ .cos .ˆ

. T T I T

I

&

Quando um corpo rígido gira em torno de um ponto fixo, obtém-se uma equação que envolve todos os momentos das forças aplicadas ao corpo rígido em relação a O.

¦M_o h&_o š: & &

o

h (2.7)

Substituindo os valores obtidos para h&_o e :& das equações (2.4) e (2.6)

respectivamente, na equação (2.7) pode-se obter as três equações diferenciais, correspondentes a cada eixo cartesiano:

(2.8) )

cos . .( . ) cos . . . 2 .

(I T TI T T \ I T

¦M_x I_t sen I_p

I T

T I T

T I

T . .cos ) . . cos

( 2 _<

¦M_y I_t sen I_p sen (2.9)

) cos .

(_< T T

6

dt d I

M_{z p} (2.10)

2.3 PRECESSÃO ESTACIONÁRIA DE UM GIROSCÓPIO

No movimento giratório há um caso especial no qual é possível uma simplificação das equações anteriores. Este caso é conhecido como precessão estacionária, no qual o ângulo de nutação T e as velocidades angulares de precessão

, e de rotação própria

I _{\ permanecem constantes.}

Neste caso, a velocidade angular Z& do giroscópio, seu momento angular h₀ &

, e a

velocidade angular :& do sistema de referência rotativo (Figura 2.4), reduzem-se respectivamente à:

Z&= -I_{˜senT.x z}

z ˆ

z I

x sen I

h_{0 t}˜I˜ T ˆ _p ˜Z_z.ˆ

&

(2.12)

z x

senT ˆ I cosT.ˆ

I˜ ˜ ˜

:& _(2.13)

Sendo que, é o componente ao longo do eixo de rotação própria,

da velocidade angular total do giroscópio.

T I \

Z ˜cos z

Como T ,I e\ são constantes, o vetor quantidade de movimento angular 0 h

&

também o é, em módulo e direção, em relação ao sistema rotativo de referência, e sua derivada wh₀/wt em relação a tal sistema também é nula;

&

Logo:

0

h

M_y

& & &

š :

¦ (2.14)

que se alterar, após substituição das equações (2.12) e (2.13) em:

¦M_y (I_p ˜Z_zI_t ˜I˜cosT)˜I˜senT yˆ

&

, (2.15)

Zˆ .

I &

:

x sen .ˆ

. T

I

Z

z

Z

Zz. z ^

\.=^

y O

x

Considerando que é válido atribuir para pequenos ângulos de nutação: senT |T

e cosT |1, a equação (2.15) pode ser reescrita como:

¦M_y (I_p˜Z_z I_t ˜I).I˜T˜yˆ

&

(2.16)

O segundo membro da equação (2.16) representa o conjugado que deve ser aplicado em torno de um eixo perpendicular ao eixo de precessão e ao eixo de rotação própria do giroscópio para manter sua precessão estacionária em torno do eixo de precessão com ângulo de nutação constante; ver Figura 2.5.

zˆ

.

I

y

M 6

T

zˆ . <

Z

z

B’ _y O

B

x

Figura 2.5 - Binário da precessão estacionária

2.4 EFEITO GIROSCÓPICO APLICADO AO SISTEMA EIXO–DISCO

xˆ .

I &

:

xˆ .

I

My 6

z sen .ˆ

. T

I

xˆ .

\ z

y Y

eixo de giro

X Z

x

Figura 2.6 - Momento conjugado

Efetuando a decomposição da velocidade angular de precessão no sistema acoplado ao disco, e calculando as quantidades de movimento em relação ao eixo perpendicular ao eixo de precessão e o de rotação (Figura 2.7), tem-se:

) ˆ . ˆ

.

.(cosT x senT z

I

My 6

z sen I_t.I. T.ˆ

x I_p.\.ˆ

z

y Y

eixo de giro

X

O Z

x

O momento resultante em torno do eixo y pode ser obtido por meio do produto vetorial da eq. (2.17);

0 h&

& &

š

¦M_y I (2.17)

Sendo que:

x z

sen ˆ .cos ˆ

. T I T

I

I

& &

_(2.17a)

Fazendo o produto vetorial, têm-se:

¦

» » »

¼ º

« « «

¬ ª

T I \

T I T

I

sen I I

sen z y

x

M

t p

y

. . 0 .

. 0 cos .

ˆ ˆ

ˆ

&

(2.18)

y sen

I sen I

M_y ( _p\ ˜I. T _tI²˜ T ˜cosT)ˆ

¦ & _(2.19)

Para pequenos ângulos de deflexão do eixo pode-se aproximar

T T T |1esen |

cos , portanto:

T I I

\ . ²). ( _.

t p

y I I

M

¦ (2.20)

ou ainda:

T I I \ ). .

(

t p

y I I

M

¦ (2.21)

A equação (2.21) permite determinar o momento que deve ser aplicado a fim de que o sistema entre em precessão com ângulo de nutação T; ou seja:

T I \ I . ). . .

(

p t

y I I

M

3 DETERMINAÇÃO DA VIBRAÇÃO EM DISCOS

3.1 O MÉTODO DAS MATRIZES DE TRANSFERÊNCIA (MMT)

3.1.1 Aspectos Gerais

O Método das Matrizes de Transferência (MMT) constitui-se numa ferramenta versátil e precisa, útil na análise dinâmica de estruturas tendo em vista a facilidade em sua manipulação, competindo no meio técnico-científico com o Método dos Elementos Finitos (Almeida, 1990). Apresenta-se os princípios e os conceitos do Método das Matrizes de Transferência, com a finalidade de se fazer uma aplicação direta ao sistema eixo/disco/mancal.

Com a finalidade de facilitar a descrição do Método das Matrizes de Transferência, é necessário introduzir alguns conceitos básicos.

x Elemento - é a menor parte em que a estrutura se divide quando de sua

discretização e pode ser de campo (campo elástico) ou de ponto (massa pontual) (Figura 3.1).

x Sistema - é composto de certo número de elementos, e cada elemento está

situado entre dois pontos do sistema (Figura 3.1).

e ... elemento elástico m ... elemento de massa m

e

Figura 3.1 - Elemento elástico e elemento de massa

x Variáveis de Estado - são as grandezas de interesse do sistema, dentre as quais,

x Vetor de Estado - é uma matriz coluna composta pelas variáveis de estado do

sistema, especificando os deslocamentos e as forças internas em um ponto do sistema, sendo este ponto o extremo de um elemento (Almeida, 1990).

x Matriz Transferência - relaciona os vetores de estado entre dois pontos do

sistema, transferindo um vetor de estado para outro, considerando para isso as características elásticas ou dinâmicas do elemento ou segmento. Geralmente os pontos escolhidos são os extremos do elemento.

Se a matriz transferência relaciona as condições sobre os dois lados de um elemento de campo (elástico), essa matriz de transferência recebe o nome de

Matriz Campo, e se ela relaciona as condições dos dois lados de uma massa

pontual, é denominada Matriz Ponto.

3.1.2 Modelagem do Disco

A modelagem tem por objetivo, tornar possível a análise do comportamento mecânico em situações críticas e em situações estáveis, permitindo assim o equacionamento de uma situação que não poderia ser obtida em sistemas reais, devido às limitações do sistema disco-rotor-mancal.

Na modelagem de nosso sistema, inicialmente o disco deve ser reduzido a um modelo equivalente, possível de ser equacionado. Para tanto, deve-se representá-lo por uma série de anéis circunferenciais, denominados anéis de massa e anéis de placa, cada qual localizado em uma posição distinta e conhecida, ao longo do raio do disco.

O anel de massa não apresenta propriedades elásticas, mas deve considerar o

momento de inércia da massa, uma vez que o mesmo exerce um momento de reação dinâmica na estação onde está localizado contribuindo na vibração do disco.

O anel de placa apresenta propriedades flexionais, equivalentes ao trecho real do

disco, porém não possui massa e é considerado de espessura constante. Entre dois anéis de massa, existe um anel circunferencial de placa.

Em termos de parâmetros locais, pode-se equacionar a rigidez flexional (Di) do

i-ésimo anel elástico (seguido do i-i-ésimo anel de massa), como:

) 1 (

12 2

3

i i i i

t E D

X

˜

˜

(3.1)

onde:

Ei é o módulo de elasticidade longitudinal,

ti é a espessura do i-ésimo elemento,

X_i é o coeficiente de Poisson do i-ésimo elemento.

A massa do i-ésimo anel circunferencial será obtido por:

) ( 2 2

1 i i i i

anel t r r

M U ˜ ˜S˜ (3.2)

onde:

U_i é a massa específica do i-ésimo elemento massa, ri é o raio do i-ésimo elemento.

A massa por unidade de comprimento circunferencial Pi, é obtida por:

i r 2S P anel

i M

=

i i i i i

r r r t

2

)

( 2 2

1

˜

˜

U

(3.3)

2 r

r1

r2

r3

D1

D2

D3

D4

1

P

2

P

3

P

1 r r_i

4

P

4 r

ri+1

Figura 3.2 - Distribuição dos anéis de massa e mola

3.2 MODELAGEM MATRICIAL

3.2.1 Matriz Campo (considera a elasticidade - mola)

A equação que governa a deflexão de um anel elástico circunferencial sem massa, espessura constante, entre duas estações é (Timoshenko e Woinowsky, 1959):

0 ) , ( 4

’ Y r D (3.4)

Para o estudo das placas circulares é conveniente utilizar-se um sistema de referências em coordenadas polares, sendo a origem das coordenadas coincidente com o centro da placa.

Logo, a equação (3.4) pode ser escrita em coordenadas polares (Timoshenko e Woinowsky, 1959):

2

2 2

2 2

2 _{1 1}

¸¸ ¹ · ¨¨

© §

w w w

w w

w

D

r r r

r ˜Y(r,D) 0 (3.5)

+ + + ₊ + + + + - + _- - - - - - - -

n = 3 (nós diametrais) p = 2 (nós circunferenciais)

Figura 3.3 - Modos de vibração

3.2.1.1 Deflexão para o Elemento Elástico

A Função de Deflexão (Y) deve ser escolhida de forma adequada, com a

finalidade de descrever os modos diametrais e radiais, portanto adota-se.

D D y r n r

Y( , ) ( )˜cos (3.6)

2

2 2

2 2

2 _{1 1}

¸¸ ¹ · ¨¨ © § w w w w w w D r r r

r ˜Y(r,D) 0, logo:

¸¸ ¹ · ¨¨ © § w w w w ˜ w w 2 2 2 2

2 _{1 1}

D

r r r

r . ¸¸_¹

· © w w w w ˜ w w 2 2 2 2

2 _{1 1}

D r r r r ¨¨ §

. y(r)˜cosnD 0 (3.7)

Assim, após determinar as derivadas parciais e efetuar as devidas simplificações tem-se:

2 1

1

2 1

1 2 1 2 3 2 2 2 2 3 3 4 4 ˜ n dr dy r n dr y d r dr y d r dr y d

+ 1 ( 4 4 2) 0 4 y n n

A equação (3.8) é de forma equidimensional da equação (3.4) homogênea, e possui solução do tipo (Irvin e Mullineaux, 1959):

y(r) = Ai.rm _(3.9)

Onde, m é a potência genérica de r.

Substituindo a solução (3.9) na equação (3.8) obtém-se a expressão, a seguir:

1

2

3

1

2

_˜2

1

2 2 1

n m

m m

m m m

m m m

+

2 2 1 4 4 2

0 n n n

m (3.10)

A equação (3.10) tem como possíveis raízes os fatores divisores do termo independente, ou seja, as prováveis soluções são:

m = ± n; m = ±

n2

ou m = ±

n2

Efetuando-se a substituição de m = ± n na equação (3.10) verifica-se que ambos os casos são soluções e, portanto, a expressão (3.10) pode ser reduzida para a forma:

0

0

2 2

2 2 3

4

2

Bn m An m n B Am m

B Am m

n m n m

(3.11)

Comparando a expressão (3.10) com (3.11), obtêm-se os valores de A e B:

4

;

4 2

e B n

A

Substituindo-se os valores de A e B na equação do 2º grau , obtêm-se as raízes remanescentes:

0

2

0 ) 4 (

) 4

( 2

2

n m m

n m₃ 2

n

m₄ 2

Desta forma, pode-se afirmar que as raízes da equação (3.10) são:

n m

n n

m n

m₁ ; ₂ , m₃ 2 , ₄ 2

Estas raízes fornecem quatro soluções homogêneas distintas, exceto para o caso em que n = 0 e n = 1.

Assim, para o caso geral, tem-se:

; 2 para , )

( 2

4 2 3 2

1 t

n r

A r

A r A r A r

y n n n n (3.12)

onde:

A1, A2, A3e A4 são constantes a serem determinadas.

Nos casos onde as raízes são duplas, tem-se:

( ) 2 , para 0; (3.13) 4

2 3 2

1A nr Ar A r nr n A

r

y " "

( ) 3 ₄ , para 1. (3.14) 3

1 2

1

n nr

r A r A r A r A r

y "

As equações (3.12), (3.13) e (3.14) descrevem a forma da Deflexão para o

3.2.1.2 Ângulo de Deflexão - matriz elasticidade para n 2

O Ângulo Radial de Deflexão () do disco, em qualquer ponto, será (Timoshenko e Woinowsky, 1959):

) , ( cos ) ( ) ,

( D I D r D

r y n r r w w ˜

) (3.15)

Para o caso geral da equação (3.12) tem-se:

; ) 2 ( ) 2 ( ) ( ) ( 1 4 1 3 1 2 1 1 n n n n r A n r A n r A n r nA r I n n n

n _{n A r n A r n A r}

r nA r

r). ₁ ( ) ₂ (2 ) ₃ 2 (2 ) ₄ 2 (

I (3.16)

3.2.1.3 Momento Fletor

O módulo por unidade de comprimento circunferencial do vetor momento fletor na direção tangencial (Timoshenko e Woinowsky, 1959) é dado por:

˜ D

D m r n r

M( , ) ( ) cos _»

¼ º « ¬ ª w w w w w w

2_{2 2} 2 ₂

D X X Y r r Y r r Y

D_i (3.17)

Sendo que, para o caso geral, as equações (3.6), (3.12) e (3.17) resolvidas, fornecem:

D D

X X

D y r n

r r r r D r

M( , ) _{i 2} ( ) cos

2 2 2 2 ˜ » ¼ º « ¬ ª w w w w w w » ¼ º « ¬ ª ˜ w w ˜ w w w w D D X D X D

D y r n

r n r y r r n r y r D r

M( , ) _i ( )cos ( ) cos ₂ ( ) cos

2

2 2

» ¼ º « ¬ ª ˜ ˜ w w ˜ w w ˜

˜ D D X D X y r n nD

r r y r n r r y r n D n r

m( ) cos _i cos ₂ ( ) ₂ cos ( ) ₂ ( ) ( 2) cos

2

Dividindo toda a expressão por cosnD, tem-se:

» ¼ º « ¬ ª ˜ w w w w 2 2 2 2 ) ( ) ( ) ( )

( y r n

r r y r r r y r D r

m _i X X (3.18)

Sabendo que a derivada parcial:

n n n n

r A r A e A r A r r y r w w w w 2 4 2 3 2 1 2 2 2 2 ) ( ) ( 2 2 r y r w w ) 1 2 )( 2 ( ) 1 )( ( ) 1 ( 2 2 2 1 n n r A n n r A n

n n n

) 2 2 ( 4 ) 1 2 )( 2 ( n r A n n 2 2 3 n r A 1 2 4 1 2 3 1 2 1

1 ( ) (2 ) (2 )

)

(

w

w _{y r nAr}n _{n A r} n _{n Ar} n _{n A r} n

r

Substituindo na equação (3.18), tem-se:

2 4

2 2 2

1 ( )( 1) (2 )( 1)

) 1 ( [ )

( n n n _{˜ ˜} n

i n n Ar n n A r n n A r n Ar

D r m Q ] ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( )

( 2 ₄

3 2 ) 2 ( 1 2 4 3 2 2 n n n n n n r A n r A n r A n r A n r A n r A n

X X X X X X

(1) ₍₂₎

^

2

2 2 2

1

2 _{] [( )( 1) ( ) ]}

) 1 ( [ )

( _˜ n n

i n n n n Ar n n n n A r

D r

m X X X X

(3.19) } ] ) ( ) 2 ( ) 1 )( 2 [( ] ) ( ) 2 ( ) 1 )( 2

[( 2 ₄

3

2 n n

r A n n n n r A n n n n

X X X X

Simplificando as expressões entre (1), (2), (3) e (4), tem-se:

(1) [ ( 1)_X˜ 2_X] ( 2 )(1_X) ( 1)(1_X) n

n n

n n

n n

n

(2) _{[ ( 1) ( )} 2 _{] (} 2 n n

n n

n

X X n)(1X)=n(n1)(1X)

(3) [(2n)(n1)X(2n)n2X] (n1)[(2n)XnX]nXX

=(n1)[(2n)Xn˜XX] =(n1)[2n2X nX]

=(n1)

>

4

n2

1X

@

(4) [(2 )( 1)_X(2 ) 2_X] ( 1)[(2 )_{X X X X}] n n n

n n

n n

n

= -(n1)

>

4

n2

1X

@

Substituindo os resultados das simplificações, na equação (3.19) tem-se:

{ )

(r D_i

m (_n)(_n1)(1Q)_A1rn2 (_n)(_n1)(1Q)_A2rn2

(n1)

>

4(n2)(1Q)

@

A3rn+( 1)[4 ( 2)(1 )] 4 } n

r A n

n X

Colocando _r2 _{em evidência:}

>

4 ( 2)(1 )

@

) 1 ( )

1 )( 1 )( ( )

1 )( 1 )( {( )

( 1 2

2 _{Q Q Q}

˜

n n

r A n

n r

A n

n D r r

m i n n

(n1)

>

4(n2)(1Q)

@

A₃r2n (n1)

>

4(n2)(1Q)

@

A₄r2n

3.2.1.4 Esforço Cortante (Q)

Deve-se agora, determinar o esforço cortante (Q) no extremo de cada anel de disco por unidade de comprimento circunferencial é dado por (Timoshenko e Woinowsky, 1959):

˜ D

D q r n

r

Q( , ) ( ) cos _»

¼ º « ¬ ª w w w w w w w w w w w ₂ 3 2 2 2 3 2 2 2 3

3 _{1 1 2 1}

D D r y r y r r y r r y r r y D_i » ¼ º « ¬ ª w w w w w ˜

(1 ) 1₂ 3 ₂ 1₃ 2 ₂

D D Q y r r y r

D_i (3.21)

Para o caso geral, e resolvendo cada derivada parcial em partes separadas,

D n r A n n r A n n r A n n r A n n r y r n n n n cos ] ) 1 )( 2 ( ) 1 2 )( 2 ( ) 1 )( ( ) 1 ( [ 1 1 4 1 3 3 2 3 1 2 2 w w c)

>

nAr n n A r n A r n A r

@

nD

r r y r n n n

n _{(2 )( 1) (2 ) (2 ) cos}

1 ) (

1 2 1

4 1 2 3 3 2 1 1 2 2 w w

_r1 _ry

>

( n)Ar ( n)A r n (2 n)Arn (2 n)A4r n 1

@

cosnD 1 3 3 2 3 1 2 w w d) n n r y r y

r ( )( ) cos

2 ) ( 2 2 3 2 2 3 »¼ º «¬ ª w w D

>

@

D

D n Ar n Ar n Ar n A r n

y r

n n

n _{2 2 cos}

2 2 2 ₁ 4 2 1 3 2 3 2 2 3 1 2 2 2 3 w w e) w w w w w _D D D

D y r n r y r n

r

r ( )cos

1 cos ) ( 1 2 2 3 2 3 2 w

w _{D D}

n n r y r n n r y r

r ( )( )cos

1 cos ) )( ( 1 2 3 2 2

>

@

_{n nAr n A r n A r n A r nD}

r

n n

n

n _{( ) (2 ) (2 ) cos}

( ) (

1 2 1

4 1 2 3 1 2 1 1 2 2

>

₍ n ₎Arn ₍ n₎A r n ₍ n₎ A rn ₍ n ₎A r n1

@

_cosnD

4 2 1 3 2 3 2 3 1 2