Avaliação e projeto de uma fonte de energia para sistema de detecção de faltas em redes de distribuição rurais

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Avaliação e projeto de uma fonte de energia para sistema de

detecção de faltas em redes de distribuição rurais

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Avaliação e projeto de uma fonte de energia para sistema de

detecção de faltas em redes de distribuição rurais

Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica da Escola de Engenharia da Universidade Federal de Minas Gerais como requisito parcial para a obtenção do grau de Mestre em Engenharia Elétrica. Área de concentração: Engenharia de Potência. Linha de pesquisa: Eletrônica de Potência.

Orientador:

Prof. Paulo Fernando Seixas

Co-orientador:

Prof. Porfírio Cabaleiro Cortizo

Universidade Federal de Minas Gerais Escola de Engenharia

Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica

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Este trabalho apresenta o desenvolvimento de sistemas de alimentação e comunicação para um detector de faltas em linhas de distribuição rurais.

Para o sistema de alimentação, foram estudadas alternativas ao uso de um transformador de média tensão dedicado ao equipamento, baseadas na extração de energia do campo eletro-magnético criado pela linha de distribuição e no uso de geradores fotovoltaicos. Os problemas eletromagnéticos foram modelados por circuitos equivalentes e avaliados numericamente, o que mostrou a inviabilidade das soluções propostas. Conseqüentemente, foi dimensionado um sis-tema constituído de módulos fotovoltaicos e banco de baterias para a alimentação do detector. Um conversor CC/CC do tipo buck foi projetado levando em conta as características da fonte de energia, notadamente a potência limitada e dependente do ponto de operação. Uma estratégia de controle para o conversor foi proposta visando maximizar a potência fornecida pelos módulos fotovoltaicos e recarregar o banco de baterias conforme o método recomendado pelo fabricante. O funcionamento do sistema foi vericado por simulações numéricas.

Para o sistema de comunicação, um modem FSK de 1200 bps foi desenvolvido e implementado em um DSP TMS320LF2407. Seu funcionamento foi vericado numericamente e experimental-mente.

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This work presents the development of power supply and communication systems for a rural distribution line fault detector.

For the supply system, energy extraction from the electromagnetic eld produced by the distribution line and the use of photovoltaic modules were studied as alternatives to the employ-ment of a dedicated medium voltage transformer. Electromagnetic problems were modeled by equivalent circuits and evaluated numerically, showing that the proposed solutions were imprac-ticable. As a result, a system composed of photovoltaic modules and one battery bank was sized for supplying the detector. A buck DC/DC converter was designed by taking the energy source characteristics into account, namely the power, which is limited and dependes on the operation point . A control strategy for the converter was proposed aiming the maximization of the power supplied by the photovoltaic modules and the recharge of the battery bank according to a method recommended by the manufacturer. The system's operation was veried numerically.

For the communications system, a 1200 bps FSK modem was developed and implemented in a TMS320LF2407 DSP. Its operation was veried numerically and experimentally.

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Lista de Símbolos

1 Introdução p. 17

1.1 Objetivos do trabalho . . . p. 19 1.2 Concepção do detector de faltas . . . p. 19 1.3 Metodologia do trabalho . . . p. 20 1.4 Organização do texto . . . p. 21

2 Módulo de alimentação: escolha da fonte de energia p. 23 2.1 Extração de energia do campo eletromagnético gerado pela linha . . . p. 23

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2.1.3.4 Resultados numéricos: linha 2 . . . p. 71 2.1.3.5 Resultados numéricos: linha 3 . . . p. 74 2.1.3.6 Sumário sobre a extração de energia por acoplamento capacitivo p. 77 2.2 Geração fotovoltaica de energia . . . p. 77 2.2.1 Breve introdução ao funcionamento da célula fotovoltaica . . . p. 77 2.2.2 Características de módulos fotovoltaicos de silício . . . p. 78 2.2.3 Dimensionamento do sistema fotovoltaico . . . p. 82 2.2.4 Instalação do sistema fotovoltaico . . . p. 83 2.2.5 Sumário sobre a geração fotovoltaica de energia . . . p. 85 2.3 Conclusão quanto à escolha da fonte de energia . . . p. 85

3 Módulo de alimentação: Projeto do conversor estático p. 87 3.1 Bateria de chumbo-ácido regulada por válvula . . . p. 87 3.2 Seguidor do ponto de potência máxima . . . p. 89 3.3 Dimensionamento do conversor CC/CC . . . p. 92 3.3.1 Determinação do indutor do ltro de saída L . . . p. 97 3.3.2 Determinação do capacitor do ltro de saída C . . . p. 98 3.3.3 Determinação do capacitor de entradaCin . . . p. 100

3.3.4 Determinação do indutor de entradaLin . . . p. 101

3.3.5 Escolha dos semicondutores . . . p. 103 3.3.6 Projeto do indutor do ltro de saída L . . . p. 107 3.4 Estratégia de controle do conversor . . . p. 116 3.5 Resultados de simulação . . . p. 118 3.6 Conclusão sobre o projeto do conversor estático . . . p. 123

4 Módulo de comunicação p. 125

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4.4 Transmissão assíncrona . . . p. 131 4.5 Simulação da demodulação . . . p. 134 4.6 Implementação dos ltros . . . p. 136 4.7 Resultados experimentais . . . p. 136 4.8 Conclusão sobre o módulo de comunicação . . . p. 138

5 Conclusões e propostas de continuidade p. 139

5.1 Escolha da fonte de energia . . . p. 139 5.2 Projeto e controle do conversor CC/CC . . . p. 139 5.3 Módulo de comunicação . . . p. 140 5.4 Sugestões para continuação do trabalho . . . p. 140

Referências p. 141

Apêndice A -- Ajuste do modelo para o arranjo de módulos fotovoltaicos p. 145

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Ni Número de espiras da bobinai, p. 26 ij Corrente que percorre a bobinaj, p. 27

φij Fluxo magnético produzido pela correntej e que atravessa a bobinai, p. 27 φLi Fluxo magnético de dispersão produzido pela correntei, p. 27

vij Tensão induzida na bobina i pela variação da correntej, p. 27

λij Enlace de uxo magnético da bobinaiproduzido pela correntej, p. 27

φij,1espira Fluxo magnético produzido pela correntej da bobinaj na bobinai, quando ambas

têm 1 espira, p. 27

φij,1espira Enlace de uxo magnético produzido pela correntejda bobinajna bobinai, quando

ambas têm 1 espira, p. 27

Li,1espira Indutância própria da bobinaicom 1 espira, p. 28 Li Indutância própria da bobinai, p. 28

Mij Indutância mútua entre as bobinasie j, p. 29 ρ _{Resistividade, p. 30}

~

H Vetor campo magnético, p. 30 ~

B Vetor densidade de uxo magnético, p. 32 µ0 Permeabilidade magnética do vácuo, p. 32

λx, ρ=∞ Enlace de uxo da bobina colocada próxima da linha, produzido pela corrente do

condutorx, considerando solo com resistividadeρ innita, p. 32

Mx, ρ=∞ Indutância mútua entre o condutorx da linha e a bobina colocada próxima,

con-siderando solo com resistividadeρ innita, p. 32

λx, ρ= 0 Enlace de uxo da bobina colocada próxima da linha, produzido pela corrente do

condutorx, considerando solo com resistividadeρ nula, p. 33

Mx, ρ= 0 Indutância mútua entre o condutorx da linha e a bobina colocada próxima,

con-siderando solo com resistividadeρ nula, p. 33

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δ Profundidade de penetração, p. 35 f Freqüência, p. 35

µ _{Permeabilidade magnética, p. 35} σ _{Condutividade elétrica, p. 35}

A _{Área da seção reta do condutor, p. 35} ZL Impedância de carga, p. 35

ZT h Impedância equivalente de Thévenin, p. 35 ω _{Freqüência angular da rede elétrica, p. 36} Cs Capacitância para compensação série, p. 36 Rs Resistência equivalente série, p. 36

RL Resistência de carga, p. 36

Cp Capacitância para compensação paralela, p. 36

V Fasor tensão ecaz do circuito equivalente de Thévenin, p. 36 Ix Fasor corrente ecaz da fasex, p. 36

I Corrente ecaz de cada fase, considerando sistema equilibrado, p. 36 VRL Tensão sobre a resistência de carga, p. 43

VCx Tensão sobre a capacitância de compensação série ou paralela, p. 43 ~

Etotal Vetor campo elétrico total, p. 57 ~

Eqx Vetor campo elétrico produzido pela cargaqx, p. 57 ǫ _{Permissividade elétrica, p. 58}

qx Carga elétrica do condutor_x, p. 58

[P] Matriz de coecientes de potencial, p. 61 [C] Matriz de coecientes de capacitância, p. 62

C1x Capacitância entre o condutor isolado e o condutorxda linha de distribuição, p. 63 Iph Corrente gerada por efeito fotovoltaico em uma célula, p. 79

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Tcel Temperatura da célula fotovoltaica, p. 79

Irs Corrente de saturação reversa da junção p-n, p. 79 Tr Temperatura de referência da célula fotovoltaica, p. 79

S Radiação incidente sobre as células fotovoltaicas, p. 79 Vi Tensão de entrada média, p. 93

Vo Tensão de saída média, p. 93 Ii Corrente de entrada média, p. 93 Io Corrente de saída média, p. 93

D Ciclo de trabalho do conversr buck, p. 93

L Indutância do ltro de saída do conversor buck, p. 97

∆iL Ripple na corrente do indutor do ltro de saídaL, p. 97 T Período de chaveamento do conversor buck, p. 97 ESR Resistência equivalente série de um capacitor, p. 98

C Capacitância do ltro de saída do conversor buck, p. 98

∆Vocap Ripple na tensão de saída devido à variação de carga no capacitor C, p. 98 Cin Capacitância do ltro de entrada do conversor buck, p. 100

∆Vi Ripple da tensão de entrada, p. 100

Lin Indutância do ltro de entrada do conversor buck, p. 103 fchav Freqüência de chaveamento do conversor buck, p. 103 Pcond, mosf etPotência de perdas de condução do Mosfet, p. 105

rds on Resistência dreno-fonte do Mosfet em condução, p. 105

Pchav, mosf etPotência de perdas do Mosfet devido à subida e descida dde corrente durante o

chaveamento, p. 105

Cds Capacitância dreno-fonte do Mosfet, p. 105

PCds, M osf et Potência de perdas do Mosfet devido ao descarregamento da capacitância

dreno-fonte, p. 105

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iL Corrente no indutorL, p. 107 vol Volume, p. 107

µr permeabilidade magnética relativa, p. 107

µe Permeabilidade magnética relativa equivalente do núcleo com o gap, p. 107 Ae Área da seção reta do núcleo ferromagnético, p. 107

ln´ucleo Comprimento médio do núcleo ferromagnético, p. 107 lgap Comprimento do gap, p. 107

voln´ucleo Volume do núcleo de material ferromagnético, p. 107 ℜ Relutância magnética, p. 110

Acobre Área de cobre total do indutor, p. 110

Jmax Densidade de corrente máxima no condutor do indutor, p. 110 Pcobre Potência de perdas no cobre do indutor, p. 113

η _{Eciência esperada do conversor buck, p. 114} S(t) Sinal modulado FSK, p. 127

ωc Freqüência angular da portadora, p. 127

δω Desvio de frequência da modulação FSK, p. 127 R(t) Sinal recebido, p. 128

Dg Atraso de grupo, p. 130

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1 Introdução

A Resolução n◦ _{024, de 27 de janeiro de 2000, da Agência Nacional de Energia Elétrica,}

ANEEL, republicada em 13 de março de 2003 com alterações (1), dispõe sobre a continuidade da distribuição de energia elétrica. Notadamente, são denidos vários indicadores da qualidade do serviço, baseados na freqüência e na duração das interrupções no fornecimento de energia, e padrões para cada um deles, os quais, se forem ultrapassados, acarretam multas às concessionárias e ressarcimento aos consumidores.

A ocorrência de faltas em linhas de distribuição, como curto-circuitos e quedas de cabos, provoca interrupções no fornecimento de energia elétrica. Para o restabelecimento do serviço, é necessário, primeiramente, localizar o problema. Em geral, isso é feito por inspeção visual. Em linhas rurais, esse procedimento usualmente implica percorrer longos trechos em regiões de difícil acesso. Logo, a duração das interrupções é freqüentemente longa.

O trabalho apresentado aqui provém de uma demanda da Companhia Força e Luz Cataguases-Leopoldina (CFLCL), concessionária de uma região na Zona da Mata de Minas Gerais, e outras empresas do grupo, concessionárias de regiões nos Estados do Rio de Janeiro, Paraíba e Sergipe, que visa a melhoria nos indicadores baseados na duração das interrupções. A estratégia a ser utilizada baseia-se na colocação de detectores de faltas nas linhas de distribuição rural, possibi-litando o reconhecimento rápido do defeito e sua localização aproximada, de forma a agilizar a manutenção corretiva.

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Subestação

1 3

2

4 5

6 C

B

D

E

F A

Legenda: Detector Falta

Figura 1: Estratégia de detecção de faltas.

Em (7), propõe-se o uso de um reetômetro no domínio do tempo (TDR), que injeta um sinal de teste em uma extremidade da linha e demanda que ela esteja desconectada nas outras extremidades.

Já em (8), propõe-se a utilização de vários detectores, colocados nas várias extremidades de uma linha de distribuição ramicada, medindo apenas o campo elétrico produzido, para a detecção de faltas de alta impedância. Esse sistema distribuído se comunicaria com a central de operações através da própria linha de energia, por um sinal modulado em 20kHz. Em (9), o mesmo sistema é descrito, mas usando comunicação via rede celular GSM.

A CFLCL propôs uma estratégia de se espalhar detectores ao longo das linhas, como mostrado na gura 1, no intuito de se obter um sistema de localização simples mas ecaz, baseado em medições de campos elétrico e magnético. Por exemplo, a ocorrência de um curto-circuito permanente em algum dos pontos marcados com letras na gura 1, provocando a desconexão da linha na subestação, provocaria um padrão nos detectores conforme mostrado na tabela 1. Nos trechos percorridos pela corrente de curto-circuito, os respectivos detectores captariam um campo magnético muito alto por um período curto de tempo, indicando a corrente de curto, seguida de uma ausência de campo elétrico e de campo magnético, indicando que a linha não apresenta tensão ou corrente, ou seja, não foi religada automaticamente. Já nos trechos que não foram percorridos pela corrente de curto-circuito, os detectores indicariam simplesmente a ausência de tensão, visto que a linha não teria sido religada. Portanto, pelo padrão das indicações dos detectores, é possível limitar a busca pelo defeito aos trechos entre os detectores.

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Tabela 1: Indicações dos detectores em caso de falta do tipo curto circuito, após as tentativas de religamento automático mal sucedidas.

Falta Indicação do sensor

1 2 3 4 5 6

A Falta Sem tensão Sem tensão Sem tensão Sem tensão Sem tensão B Falta Falta Sem tensão Sem tensão Sem tensão Sem tensão C Falta Sem tensão Falta Sem tensão Sem tensão Sem tensão D Falta Sem tensão Falta Falta Sem tensão Sem tensão E Falta Sem tensão Falta Falta Falta Sem tensão F Falta Sem tensão Falta Falta Sem tensão Falta

1.1 Objetivos do trabalho

• Analisar algumas alternativas de alimentação do detector de faltas sem contato com os

condutores da linha de distribuição:

extração de energia do campo eletromagnético produzido pela linha; utilização de módulos fotovoltaicos;

• Projetar um conversor estático que alimente os demais módulos e carregue um banco de

baterias;

• Desenvolver um módulo de comunicação via rádio, compatível com o sistema SCADA

utilizado pela concessionária.

1.2 Concepção do detector de faltas

O detector de faltas foi concebido de forma modular, visando a adequação às necessidades especícas de comunicação e alimentação. Ele é formado por três módulos básicos, mostrados na gura 2.

O módulo sensor é o núcleo do sistema. Ele troca dados com o módulo de comunicação através de uma interface serial RS-232 e pode monitorar o módulo de alimentação através de um barramento CAN.

Módulo sensor

Módulo de comunicação Módulo de

alimentação

CAN RS-232

+5V +5V_+12V

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Conversor A/D Entradas digitais

Saídas digitais Interface

SCI

DSP TMS320LF2407

RS-232 line driver

Conector DB-9

Filtro passa-faixa

Sensor de campo elétrico

Leds Dip – Switch Configuração

Regulador 3,3V Módulo de comunicação

+5V

CAN bus driver

Conector DB-9 Módulo de alimentação

Interface CAN

Amplificadores

Filtro

passa-faixa Amplificadores

Sensor de campo magnético

Controle de ganho

Memória RAM

Figura 3: Diagrama em blocos do módulo do sensor de faltas.

No diagrama de blocos da gura 3, mostra-se o módulo sensor desenvolvido. Sinais advindos de sensores de campo elétrico e magnético são amplicados e lidos pelo DSP. O ganho dos amplicadores é ajustado em tempo real em função da intensidade média de campo magnético, relacionado à corrente que passa pela linha, e de campo elétrico, relacionado à tensão da linha. A rotina que roda no processador analisa a forma de onda dos sinais, procurando padrões de falta. A utilização das medições de campo permite reduzir o custo do equipamento, o que representa uma vantagem em relação a modelos comerciais baseados em medições diretas de tensão e corrente.

Os módulos de alimentação e comunicação da gura 2 são acessórios e podem ser escolhidos de acordo com a situação de uso. Por exemplo, em ambiente urbano, poderia ser usada alimentação derivada dos condutores de baixa tensão e comunicação via rede celular. Para a detecção em linhas de distribuição rurais, entretanto, visou-se o uso em locais sem baixa tensão disponível e com comunicação via radiofreqüência.

1.3 Metodologia do trabalho

(21)

respectivamente, por (10) e (11) para linhas de transmissão de alta tensão, foram estudadas para essa aplicação. A abordagem dos problemas eletromagnéticos utilizada nesse trabalho, entre-tanto, é diferente daquelas de (10) e (11) e baseia-se na determinação de circuitos equivalentes, visando simplicar a análise.

O estudo do sistema fotovoltaico baseou-se nas curvas de fabricantes de módulos e baterias combinadas a dados solarimétricos da região na qual os equipamentos serão instalados.

O projeto do conversor CC/CC levou em conta as características dos módulos fotovoltaicos, escolhidos como fonte de energia para o módulo de alimentação, os quais foram modelados por equações físicas. O controle do conversor baseou-se em uma técnica conhecida de busca de potên-cia máxima de módulos fotovoltaicos, proposta por (12), combinada com uma estratégia para respeitar o método de recarga de baterias recomendado pelo fabricante. Simulações numéricas foram feitas para demonstrar seu funcionamento.

Finalmente, foi estudado um método de demodulação FSK para o módulo de comunicação, proposto por (13), cujos parâmetros foram determinados com a ajuda de simulações numéricas. Resultados experimentais da sua implementação num DSP TMS320LF2407 são apresentados para comprovar seu funcionamento.

1.4 Organização do texto

O estudo das alternativas de alimentação do detector de faltas sem contato com os condutores da linha de distribuição, baseadas em acoplamento magnético, capacitivo ou energia fotovoltaica, é apresentado no capítulo 2.

No capítulo 3, é mostrado o método de recarga das baterias, o modelo dos módulos fo-tovoltaicos, o projeto do conversor CC/CC, a estratégia de controle e as simulações do seu funcionamento.

No capítulo 4, é apresentado o projeto de um modem FSK, as simulações que auxiliaram a determinação dos parâmetros do demodulador e os resultados experimentais obtidos da sua implementação num DSP TMS320LF2407.

As conclusões do trabalho e as propostas de continuação foram reunidas no capítulo 5. No apêndice A, é mostrada a determinação dos parâmetros do modelo dos módulos foto-voltaicos, baseada nas curvas fornecidas pelo fabricante.

(22)

(23)

2 Módulo de alimentação: escolha da fonte de

energia

Conforme mencionado no capítulo 1, não há baixa tensão disponível ao longo das linhas de distribuição rurais. É dispendioso instalar um transformador de média tensão unicamente para alimentar o detector de faltas, visto que atualmente o menor modelo disponível no mercado suporta 5 kVA e o equipamento só consome alguns watts. As perdas seriam, inclusive, maiores que a energia consumida pelo detector. Além do custo do transformador, ainda devem ser levados em conta os custos dos dispositivos de proteção, suportes e dos eletricistas necessários para a instalação.

Assim, foram analisadas a extração de energia do campo eletromagnético produzido pela própria linha, através de acoplamento magnético e capacitivo, e o uso de módulos fotovoltaicos, no intuito de se obter um sistema de alimentação mais prático, barato e simples de ser instalado.

2.1 Extração de energia do campo eletromagnético gerado pela

linha

A maneira mais prática de se alimentar equipamentos de instrumentação colocados ao longo de linhas de distribuição em que não há baixa tensão disponível seria a de retirar potência do campo eletromagnético produzido no espaço ao redor.

Em (10) encontra-se um estudo sobre como retirar energia de linhas de transmissão de alta tensão usando acoplamento magnético. Arma-se ser possível a extração de potências em torno de dezenas de kilowatt para alimentar pequenas comunidades localizadas sob linhas de trans-missão com correntes em torno de kiloampères. E que isso seria viável economicamente quando comparado à construção de subestações e de linhas de distribuição longas para se alimentar cargas relativamente pequenas.

Em (11) encontra-se um estudo similar mas usando-se acoplamento capacitivo. A conclusão também é parecida, com ressalvas a características de regulação de tensão do sistema.

(24)

0 y

x

Fase b = (1,1m ; 8,4m)

Fase c = (1,8m ; 8,4m) Fase a = (0,4m ; 8,4m)

Neutro = (0,2m ; 7,2m)

Figura 4: Linha 1.

pequena, da ordem de watts, com a restrição imposta pela concessionária de que o sistema esteja a 1m no mínimo dos condutores fase da linha de distribuição. Essa solução será comparada econômica e tecnicamente ao custo da instalação de um transformador de média tensão ou de um sistema de energia fotovoltaica.

2.1.1 A geometria das linhas de distribuição rurais da CFLCL

Três tipos de linha da CFLCL serão estudadas para a extração de potência sem contato metálico.

A primeira delas é do tipo trifásica com condutor neutro, como mostrado na gura 4. A segunda linha é mostrada na gura 5 e também é trifásica com condutor neutro. Afase b alterna entre as posições (-0,4m ; 8,4) e (0,4m ; 8,4m) em postes sucessivos. Logo, ela será considerada como estando na posição (0m; 8,4m) nos cálculos que serão apresentados.

A terceira linha é do tipo monofásica e é mostrada na gura 6.

Essas três linhas podem ser de 11,4kV ou 22kV. Na tabela 2, são mostradas correntes típicas nas linhas rurais trifásicas da CFLCL, enquanto na tabela 3 estão as das linhas monofásicas.

Uma restrição colocada pela concessionária de energia elétrica é que a altura máxima do sistema de extração de energia seja de 7,4m, ou seja, nenhuma parte pode car a menos de 1m dos condutores fase da linha de distribuição.

2.1.2 Extração de energia através de acoplamento magnético

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0 y

x

Fase b = (0,4m ; 8,4m)

Fase c = (1,1m ; 8,4m) Fase a = (-1,1m ; 8,4m)

Neutro = (0,2m ; 7,2m)

Figura 5: Linha 2.

0 y

x

Fase a = (0m ; 8,4m)

Neutro = (0,2m ; 7,2m)

Figura 6: Linha 3.

Tabela 2: Correntes médias típicas de linhas de distribuição trifásicas rurais.

Tensão Horário

de linha 6h às 17h 17h às 22h 22h às 6h

16 A 15 A 4A

16 A 14 A 4 A

22 kV 65 A 138A 15 A

35 A 92 A 4 A

69 A 140A 15 A

90 A 107A 20 A

70 A 100A 15 A

11,4kV 4A 5 A 1 A

3A 2 A 1 A

(26)

Tabela 3: Correntes médias típicas das linhas de distribuição monofásicas rurais.

Tensão(kV) Horário

de linha 6h às 17h 17h às 22h 22h às 6h

16 A 14 A 4A

22 kV 16 A 13 A 4A

7 A 4 A 1A

6 A 4 A 1A

3 A 2 A 1A

11,4 kV 3 A 2 A 1A

5 A 4 A 1A

4 A 2 A 1A

correntes que percorrem os condutores da linha deve induzir tensão nessa bobina, de acordo com a lei de Faraday. O objetivo é obter uma certa potência, para alimentar o detector de faltas, respeitando a altura máxima imposta pela concessionária e utilizando um pequeno número de espiras.

2.1.2.1 Revisão de conceitos básicos sobre acoplamentos magnéticos

Seja um sistema físico como o mostrado na gura 8, composto por duas bobinas, a primeira com N1 espiras e a segunda comN2 espiras. Assume-se que as espiras de uma mesma bobina

estejam muito próximas, de modo que o uxo que atravessa cada uma delas seja o mesmo. Além disso, supõe-se que elas estejam em um meio linear.

(27)

i₁ _i

2

φL1

φL2

φ21

φ12

v₁ _v₂

+

_ _

+

N₁ N₂

Figura 8: Problema magnético.

A bobina1é percorrida pela correntei1 e produz um uxo magnéticoφ11 tal que

φ11=φL1+φ21, (2.1)

na qual o uxo de dispersãoφL1 é aquele que atravessa somente a bobina1 e o uxo mútuoφ21

é aquele que enlaça também a bobina2.

Pela lei de Faraday, tem-se que a tensão induzida nos terminais da bobina1 pela variação do seu próprio enlace de uxo é

v11 = dλ11

dt

= N1 dφ11

dt . (2.2)

Primeiramente, faça-se N1 = 1. O uxo φ11,1espira produzido por essa espira única num

meio linear é proporcional à correntei1,

φ11,1espira =k11i1, (2.3)

na qualk11é uma constante que depende do meio e da geometria. O enlace de uxo é, portanto,

λ11,1espira = N1φ11,1espira

= k11i1. (2.4)

Aplicando em (2.2):

v11 =

dλ11,1espira dt

= k11 di1

(28)

= L1,1espira di1

dt, (2.5)

na qualL1,1espira é a indutância própria da bobina com 1 espira.

Considerando agoraN1 qualquer, o uxo total produzido pela bobina 1 é

φ11 = N1φ11,1espira

= N1k11i1. (2.6)

O enlace de uxo ca

λ11 = N1φ11

= N₁2k11i1

= N₁2λ11,1espira. (2.7)

Aplicando em (2.2):

v11 = dλ11

dt

= N₁2k11 di1

dt

= N₁2L1,1espira di1

dt

= L1 di1

dt , (2.8)

donde conclui-se que a indutância própriaL1 é proporcional aN12.

Repetindo o desenvolvimento para o uxo mútuo, obtém-se

φ21,1espira =k21i1, (2.9)

φ21 = N1φ21,1espira

= N1k21i1, (2.10)

na qualk21 é uma constante. Os enlaces de uxo se tornam

λ21,1espira = N2φ21,1espira

= k21i1, (2.11)

λ21 = N2φ21

(29)

+

_

+

_ i₁

v₁ +

_

i₂

v₂ +

_

L₁ L₂

dt di M 1 dt

di M 2

Figura 9: Circuito equivalente para o sistema de equações 2.15.

E a tensão induzida ca

v21 = dλ21

dt

= N2N1k21 di1

dt

= N2N1M21,1espira di1

dt

= M21di1

dt , (2.13)

na qualM21 é a indutância mútua entre as bobinas 1 e 2, e donde conclui-se que a indutância

mútua é proporcional aN1 e aN2.

Pode-se escrever agora o sistema de equações diferenciais que rege esse problema como

v1 =

dλ11

dt +

dλ12 dt

v2 = dλ21

dt +

dλ22

dt , (2.14)

no qual, substituindo (2.8) e (2.13), e sabendo queM12=M21=M, obtém-se

v1 = L1

di1

dt +M

di2 dt

v2 = M

di1 dt +L2

di2

dt . (2.15)

Um circuito equivalente para esse sistema de equações é mostrado na gura 9.

Como a potência a ser extraída é pequena comparada àquela transmitida pela linha, assume-se que as correntes de linha não são signicativamente afetadas pela preassume-sença do equipamento e podem ser representadas por fontes de corrente. Assim, generalizando o circuito equivalente da gura 9 para o caso de vários circuitos acoplados, obtém-se aquele usado nesse estudo (gura 10).

(30)

i₂

v₂ +

_ L₂

dt di

M a

a

+ _ + _ + _ + _

dt di

M b

b

dt di

M c

c

dt di

M n

n

Figura 10: Circuito equivalente da bobina acoplada à linha de distribuição trifásica.

2.1.2.2 Cálculo das indutâncias própria e mútua

Para o cálculo das indutâncias mútuas, assume-se que a linha de transmissão seja innita e que sua seção transversal seja constante.

Os valores das indutâncias dependem da resistividade do solo, que pode ser levada em conta pelas correções propostas por Carson (14) ou pelo método da profundidade complexa (10) (14). Entretanto, prefere-se usar dois casos extremos: solo com resistividadeρ= 0(condutor perfeito) e comρ=_∞(sem solo). O valor real dos parâmetros estará contido entre aqueles obtidos para os dois casos.

Para o casoρ = _∞, é mostrada na gura 11(a) a seção reta do problema equivalente. Os condutores fase são representados pora, b e c, o neutro, por n, e os condutors da bobina,

mostrada com uma espira apenas, pore1 e e2.

Já para o caso ρ = 0, a seção reta do problema equivalente é mostrada na gura 11(b). Com o solo condutor perfeito, usa-se o método das imagens (15), segundo o qual o campo na região y _≥0 é igual ao obtido substituindo o plano do solo por correntes "imagens" colocadas simetricamente em relação ao plano x-z.

Para se calcular o campo magnético produzido por um condutor retilíneo innito percorrido por uma correntei, como mostrado na gura 12, parte-se da lei de Ampère

I

~

H_·d~l=i (2.16)

(31)

e1

e2

e’2

e’1

a b c

n

n’

a’ b’ c’ Dae1

Dae2

Da’e1

Da’e2 De’1e2

De’1e1

De’2e1

De’2e2

De Plano de solo retirado

(plano de simetria)

e1

e2

a b

n

Dae1

Dae2

c

De

2 re

2 ra

y

x

(a) Casoρ=∞(sem solo) (b) Casoρ= 0(solo condutor perfeito) Figura 11: Seção reta dos problemas equivalentes usados no cálculo das indutâncias própria e mútuas.

D

i H

Figura 12: Cálculo do campo magnético produzido por um o retilíneo innito percorrido por uma correntei.

i B

1

2

D₂ D₁

(a) Denição das variáveis.

i B

1

2

3 l

(b) Caminho de integração.

(32)

ao condutor, chega-se a

Z 2πD

0

H dl = i

H = i

2πD [A/m]. (2.17)

que é válida na região externa do condutor.

Já o uxo por unidade de comprimento que atravessa a região entre os pontos 1 e 2, mostrada na gura 13(a), é dado por

φ =

Z ponto2

ponto1 ~ B_×d~l

=

Z ponto2

ponto1 µ0 ~

H_×d~l, (2.18)

que, usando o caminho mostrado na gura 13(b), pode ser escrita como

φ = µ0

Z ponto3

ponto1 ~

H_×d~l+µ0

Z ponto2

ponto 3 ~ H_×d~l

= 0 +µ0

Z ponto2

ponto3 H dl

= µ0

Z D2

D1 i

2πD dD

= µ0i

2π (lnD2−lnD1)

= µ0i 2π ln

D2 D1

= 2_×10−7ilnD2

D1 [Wb/m]

. (2.19)

2.1.2.3 Indutância mútua entre os condutores fase e a bobina

O condutoramostrado na gura 11, percorrido por uma correnteia, por exemplo, gera um

uxo por unidade de comprimento na região interna da bobina que pode ser escrito, conforme a equação 2.19, como

φa= 2×10−7ialn

µ_D

ae2 Dae1

¶

[Wb/m]. (2.20)

Para uma bobina comN espiras, o enlace de uxo para o caso sem solo (ρ=_∞) ca

λa, ρ=∞= 2×10−7N ialn

µ_D

ae2 Dae1

¶

[Wb.espira/m], (2.21)

e a indutância mútua, pelas equações 2.12 e 2.13,

Ma, ρ=∞= 2×10−7N ln

µ_D

ae2 Dae1

¶

[H/m]. (2.22)

(33)

ainda uma componente devido a sua imagem,

φa′ = 2×10−7i_aln

µ_D

a′_e₁ Da′_e₂

¶

[Wb/m], (2.23)

que, pela regra da mão direita, se soma aφa. Logo, o enlace de uxo ca

λa, ρ= 0 = 2×10−7N ia

·

ln

µ_D

ae2 Dae1

¶

+ln

µ_D

¶¸

[Wb.espira/m] (2.24) e a indutância mútua,

Ma, ρ= 0= 2×10−7N

·

ln

µ_D

ae2 Dae1

¶

+ln

µ_D

¶¸

[H/m]. (2.25)

As outras indutâncias mútuas, para ambos os casos, são determinadas de maneira análoga.

2.1.2.4 Indutância própria da bobina

A indutância própria da bobina será aproximada desprezando-se as contribuições dos con-dutores verticais da bobina, ou seja, assumindo que seu comprimento seja muito maior que sua altura.

O uxo magnético produzido por uma correnteie que percorre o condutore1, mostrado na

gura 11, será repartido em duas componentes: um uxo interno e outro externo.

O uxo externo que atravessa a região dentro da bobina1 _{é dado pela equação 2.19 como}

φe1, ext = 2×10

−7_i eln

µ_D

e re

¶

[Wb/m], (2.26)

na qualre é o raio do condutor.

Já o uxo interno ao condutor, calculado aproximando a distribuição de corrente no seu interior como sendo uniforme2_{, é dado por (16)}

φe1, int=ie

µ₁

2 ×10

−7¶ _[Wb/m]_. _(2.27)

De forma similar, para o condutor e2, que conduz a mesma corrente ie mas em sentido

contrário, tem-se o uxo externo dado por

φe2, ext = 2×10

−7_i eln µ_D e re ¶ [Wb/m] (2.28)

e o interno dado por

φe2, int=ie

µ₁

2 ×10

−7¶ _[Wb/m]_. _(2.29)

Todos esses uxos se somam, produzindo um uxo total para o caso sem solo (ρ = _∞),

1_{Despreza-se aqui efeitos de proximidade dos condutores.}

(34)

gerado porN espiras, igual a

φe, ρ=∞ = N(φe1, ext+φe1, int+φe2, ext+φe2, int)

= N ie

·

4_×10−7ln

µ_D

e re

¶

+ 1_×107

¸

[Wb/m]. (2.30)

O enlace de uxo ca, então,

λe, ρ=∞=N2ie

·

4_×10−7ln

µ_D

e re

¶

+ 1_×107

¸

[Wb.espira/m] (2.31) e a indutância própria, de acordo com as equações 2.7 e 2.8,

Le, ρ=∞=N2

·

4_×10−7ln

µ_D

e re

¶

+ 1_×107

¸

[H/m]. (2.32)

Já para o caso do solo condutor perfeito (ρ = 0), o uxo total produzido pela correnteie

também tem componentes devido a suas imagens. A corrente imagem eme′

1 produz um uxo

na mesma direção deφe,

φe′

1 = 2×10

−7_i e ln

Ã

De′ 1e1 De′

1e2

!

[Wb/m], (2.33)

enquanto aquela eme′

2 produz um uxo na direção contrária, φe′

2 =−2×10

−7_i e ln

Ã

De′ 2e1 De′

2e2

!

[Wb/m]. (2.34)

O uxo total para o caso do solo condutor perfeito (ρ= 0), gerado porN espiras, é igual a

φe, ρ= 0 = N

³

φe1, ext+φe1, int+φe2, ext+φe2, int+φe′₁+φe′₂

´

= N ie

"

4_×10−7ln

µ_D

e re

¶

+ 1_×107+ (2.35)

+2_×10−7ln

Ã

De′ 1e1 De′

1e2

!

−2_×10−7ln

Ã

De′ 2e1 De′

2e2

! #

[Wb/m]. (2.36)

O enlace de uxo ca, então,

λe, ρ= 0=N2ie2×10−7

" 2ln µ_D e re ¶ +1 2 +ln

Ã

D_e′ 1e1 De′

1e2

! −ln

Ã

D_e′ 2e1 De′

2e2

!#

[Wb.esp/m] (2.37)

e a indutância própria,

Le, ρ= 0 =N22×10−7

" 2ln µ_D e re ¶ +1 2 +ln

Ã

De′ 1e1 De′

1e2

! −ln

Ã

De′ 2e1 De′

2e2

!#

(35)

+

_

Le

dt di M dt di M dt di M dt di M

V n

n c c b b a

a + + +

=

Rs

Figura 14: Circuito equivalente de Thévenin.

2.1.2.5 Cálculo da potência máxima extraível

Voltando à gura 10, nota-se que o circuito equivalente está na forma de Thévenin. Entre-tanto, um parâmetro importante deve ser acrescentado: a resistência da bobina. Isso é mostrado na gura 14.

Uma observação importante que deve ser feita aqui é que o cálculo preciso da resistência da bobina, assim como o da indutância interna feito anteriormente, deveria levar em conta o efeito pelicular. Quando se aplica uma corrente alternada num condutor, essa tende a se concentrar na superfície. O cálculo da impedância interna "exata" exige a determinação de 12 funções de Kelvin, que são da família das funções de Bessel. Entretanto, para condutores nos de cobre, como é o caso aqui, cujos raios são menores que sua profundidade de penetraçãoδ a 60 Hz,

δ= √ 1

πf µσ = 10,6mm, (2.39)

os valores CC podem ser usados, sem gerar erros signicativos. Nessa equação,f é a freqüência

de interesse,µ, a permeabilidade magnética, eσ, a condutividade elétrica.

A resistência por unidade de comprimento da bobina é, então, dada por

Rs= 2N

µ_ρ

A

¶

[Ω/m], (2.40)

na qualρ é a resistividade do material do condutor eA, a área da sua seção reta. O fator2leva em conta o condutor de ida e o de retorno de cada uma dasN espiras. Essa é também uma

aproximação para bobinas cujo comprimento é muito maior que a altura. Sabe-se que a potência máxima é entregue a uma carga casada do tipo

ZL=ZT h∗ , (2.41)

(36)

mostrada na gura 15(a) ou a compensação paralela, gura 15(b).3

Para o caso da compensação série, a carga deve ser

Cs =

1

ω2_L

e (2.42)

RL = Rs, (2.43)

e para a compensação paralela,

Cp =

1

ω

ω Le R2

s+ (ω Le)2 (2.44)

RL =

R2_s+ (ω Le)2 Rs

, (2.45)

Nota-se que o capacitor é sempre menor para a compensação paralela, sendo que eles tendem ao mesmo valor quandoωLe ≫Rs. Já a resistência de carga é sempre maior para a compensação

paralela, sendo que elas tendem ao mesmo valor quandoωLe≪Rs.

Usando notação fasorial, a potência máxima na carga ca

Pmax = |

V_|2

4Rs

. (2.46)

Da gura 14, para um sistema trifásico com neutro, tem-se que

V=jω(MaIa+M_bIb+M_cIc+M_nIn). (2.47)

Assumindo um sistema equilibrado, ou seja,

Ia = I6 0◦ (2.48)

Ib = I6 120◦ (2.49)

Ic = I6 240◦ (2.50)

In = 0 (2.51)

e substituindo essas equações em (2.47), chega-se a

V=jωI(Ma6 0◦+Mb6 120◦+Mc6 240◦). (2.52)

3_{É interessante notar que a corrente de curto da bobina (prevista pela Lei de Lenz como aquela que, no caso} de resistência zero, anularia totalmente o uxo que a atravessa) não é o valor máximo possível da corrente no circuito. Quando coloca-se uma cargaZL=−jXl, obtém-se

I[ZL=−jXl]=

V Rs

> V

|Rs+jXl|

=I[ZL=0].

Como geralmenteXl>> Rs, as correntesI[ZL=0] eI[ZL=−jXl] estão defasadas de quase90

◦_{. Logo, enquanto a}

(37)

+ _

Le Rs

RL

V

Cs

(a) Compensação Série.

+ _

Le Rs

RL

V Cp

(b) Compensação Paralela.

Figura 15: Circuitos com carga casada.

Aplicando (2.25) para solo condutor perfeito,

V= 2_×10−7jω I N l

( ·

ln

µ_D

ae2 Dae1

¶

+ln

µ_D

¶¸

(16 ₀◦₎

+

·

ln

µ_D

be2 Dbe1

¶

+ln

µ_D

b′_e₁ Db′_e₂

¶¸

(16 ₁₂₀◦₎

+

·

ln

µ_D

ce2 Dce1

¶

+ln

µ_D

c′_e₁ Dc′_e₂

¶¸

(16 ₂₄₀◦₎

)

(2.53)

e (2.22) para o caso sem solo,

V= 2_×10−7jω I N l

"

ln

µ_D

ae2 Dae1

¶

(16 ₀◦_{) +}_ln

µ_D

be2 Dbe1

¶

(16 ₁₂₀◦₎

+ln

µ_D

ce2 Dce1

¶

(16 ₂₄₀◦₎

#

. (2.54)

Finalmente, substituindo (2.53) e (2.40) em (2.46), obtém-se a potência para o caso de solo condutor perfeito,

P = 0,5×10

−14_ω2_I2_{N l A} ρ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ( _· ln µ_D ae2 Dae1

¶

+ln

µ_D

¶¸

(16 ₀◦₎

+

·

ln

µ_D

be2 Dbe1

¶

+ln

µ_D

b′_e₁ Db′_e₂

¶¸

(16 ₁₂₀◦₎

+

·

ln

µ_D

ce2 Dce1

¶

+ln

µ_D

c′_e₁ Dc′_e₂

¶¸

(16 ₂₄₀◦₎

)¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2

[W],(2.55)

e, substituindo (2.53) e (2.40) em (2.46) , para o caso sem solo,

P = 0,5×10

−14_ω2_I2_{N l A} ρ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ " ln µ_D ae2 Dae1

¶

(16 ₀◦_{) +}_ln

µ_D

be2 Dbe1

¶

(16 ₁₂₀◦₎

+ln

µ_D

ce2 Dce1

¶

(16 ₂₄₀◦₎

#¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2

[W]. (2.56)

Nota-se que tanto a tensão de circuito abertoVquanto a potência máxima extraívelP são

proporcionais aN, o número de espiras, e al, o comprimento da bobina. Além disso, enquanto

V é proporcional à corrente de linhaI,P é proporcional ao seu quadrado. A potência máxima

(38)

0 y

x

Fase b = (1,1 ; 8,4)

Fase c = (1,8 ; 8,4) Fase a = (0,4; 8,4)

Neutro = (0,2; 7,2)

0 y

x

Lado espira e₁= (x ; 7,4)

Lado espira e₂= (x ; 7,4 - h) h

l

(a) Diagrama de uma espira vertical. (b) Seção reta.

Figura 16: Denição das variáveis usadas no estudo da bobina vertical.

2.1.2.6 Resultados numéricos: linha 1

Os primeiros resultados serão mostrados para a linha da gura 4. Ressalta-se, novamente, que a concessionária de energia impôs um afastamento mínimo de 1m dos condutores fase a qualquer componente do sistema. Duas congurações serão avaliadas: bobinas na vertical e na horizontal.

As denições das variáveis usadas para a bobina vertical são mostradas na gura 16. Na gura 17, mostra-se a tensão induzida em uma única espira vertical em função da sua posição no eixo x. O lado superior da espira, e1, se encontra a 1m dos condutores fase da linha de

distribuição e o lado inferior,e2, se encontra no nível do solo. Considera-se a corrente de neutro

nula, isto é, um sistema trifásico equilibrado. Os valores da tensão induzida são dados por unidade de comprimento da espira e por unidade de corrente na linha, para os casos extremos de solo condutor perfeito e sem solo (equações 2.53 e 2.54, respectivamente). As posições dos condutores da linha estão mostradas na gura 17 por traços verticais.

Nota-se que o valor máximo de tensão induzida ocorre quando a espira está em torno da posiçãox=₋0,1m ou da posiçãox= 2,3m, que são pontos simétricos em relação ao condutor

da fase b. O máximo para o caso de solo ideal, igual a42,2µV /(A.m), ocorre numa posição ligeiramente deslocada daquela para o caso sem solo, que é igual a41,1µV /(A.m).

A relação entre a tensão induzida e a distânciah entre os lados da espira é mostrada na

gura 18. Nesse cálculo, considera-se uma única espira vertical colocada na posição de máximo

(39)

−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 1

1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5x 10

−5

x(m)

V(V/(m.A))

fase fase fase

neutro

ρ = ∞ ρ = 0

Figura 17: Tensão induzida (por unidade de comprimento e por unidade de corrente na linha) para uma espira vertical come1= (x; 7,4)e e2= (x; 0).

Os valores são novamente dados por unidade de comprimento e por unidade de corrente na linha, para os casos extremos de solo condutor perfeito e sem solo, considerando a corrente de neutro nula.

Para o estudo com a bobina horizontal, usa-se as variáveis denidas na gura 19. Na gura 20, mostra-se um gráco da tensão induzida em uma única espira horizontal em função dexe1

e xe2, que são as posições dos lados da espira no eixox. Considera-se que ela está colocada à

distância de1mdos condutores fase, ou seja, à distância do soloy= 7,4m. Os valores da tensão

induzida são dados por unidade de comprimento da espira e por unidade de corrente na linha, para o caso de solo condutor perfeito e com corrente de neutro nula.

Nota-se que os valores máximos ocorrem para as posiçõesxe1 = −0,1m e xe2 = 2,3m ou

vice-versa (isto é, os lados da espira estariam trocados). Essas são as mesmas posições de máximo obtidas para a espira vertical.

Na gura 21, a relação entre a tensão induzida e a distânciayda espira horizontal em relação

ao solo é mostrada. Considera-se que os lados estejam emxe1 = −0,1m e xe2 = 2,3m e que

a corrente de neutro seja nula. Os valores são novamente dados por unidade de comprimento e por unidade de corrente na linha, para ambos os casos de resistividade do solo.

O máximo de tensão ocorre para a distânciay= 7,4me é de84,3µV /(A.m)para solo ideal e85,2µV /(A.m) para o caso sem solo. Essa é a distância máxima em relação ao solo permitida pela concessionária.

(40)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 0

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5x 10

−5

h(m)

V(V/(m.A))

ρ = ∞ ρ = 0

Figura 18: Tensão induzida (por unidade de comprimento e por unidade de corrente na linha) para uma espira vertical come1 = (−0,1; 7,4)e e2 = (−0,1; 7,4−h).

0 y

x

Fase b = (1,1 ; 8,4)

Fase c = (1,8 ; 8,4) Fase a = (0,4; 8,4)

Neutro = (0,2; 7,2)

0 y

x

Lado espira e₁= (x_e1; 7,4) Lado espira e₂= (x_e2; 7,4) l

(a) Diagrama de uma espira horizontal. (b) Seção reta.

(41)

−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 x_e 1 (m) xe 2 (m) 1e−005 1e−005 1e−005 1e−005 1e−005 1e−005 2e−005 2e−005 2e−005 2e−005 2e−005 2e−005 3e−005 3e−005 3e−005 3e−005 3e−005 3e−005 4e−005 4e−005 4e−005 4e−005 5e−005 5e−005 5e−005 5e−005 6e−005 6e−005 6e−005 6e−005 7e−005 7e−005 7e−005 7e−005 8e−005 8e−005 8e−005 8e−005

Figura 20: Tensão induzida (por unidade de comprimento e por unidade de corrente na linha) para uma espira horizontal come1 = (xe1; 7,4)e e2 = (xe2; 7,4), com solo condutor perfeito.

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 0.2 0.4 0.6 0.8

1x 10 −4

y(m)

V(V/(m.A))

ρ = ∞ ρ = 0

(42)

Tabela 4: Tensão induzida e potência disponível por espira e por unidade de comprimento quando a corrente na linha é de 3A.

Espira e1 e2 V [µV/(m.esp)]a P [µW/(m.esp)]a,b

Vertical 1 (₋0,1; 7,4) (₋0,1; 0,0) 126,5 (123,3) 9,14 (8,68) Vertical 2 (₋0,1; 7,4) (₋0,1; 3,4) 116,6 (115,6) 7,77 (7,63) Vertical 3 (₋0,1; 7,4) (₋0,1; 5,4) 98,0 (97,6) 5,49(5,44) Horizontal (₋0,1; 7,4) (2,3; 7,4) 253,0 (255,7) 36,5 (37,3)

a_{Valor com}_ρ_{= 0}_{(Valor com}_ρ₌_∞_).

b_{Espira de o de cobre de}₁₀_mm_{de diâmetro.}

Espira e1 e2 V [mV/(m.esp)]a P [mW/(m.esp)]a,b

Vertical 1 (₋0,1; 7,4) (₋0,1; 0,0) 3,80 (3,70) 8,23 (7,81) Vertical 2 (₋0,1; 7,4) (₋0,1; 3,4) 3,50 (3,47) 6,99 (6,87) Vertical 3 (₋0,1; 7,4) (₋0,1; 5,4) 2,94 (2,93) 4,94 (4,90) Horizontal (₋0,1; 7,4) (2,3; 7,4) 7,59 (7,67) 32,9 (33,6)

a _{Valor com}_ρ_{= 0}_{(Valor com}_ρ₌_∞_).

b _{Espira de o de cobre de}₁₀_mm_{de diâmetro.}

a potência disponível (eqs. 2.55 e 2.56) por unidade de comprimento e por espira, considerando uma corrente na linha de3Ae um diâmetro do condutor da espira de10mm. Na tabela 5, usa-se

corrente de linha de90A. Esses valores de corrente de linha são, respectivamente, o máximo e o

mínimo da coluna carga média da tabela 2.

Uma vez que a bobina alimentará um conversor estático, existe um requisito de tensão mínima nos seus terminais que deve ser atendido. Um valor mínimo razoável para essa tensão é de 3V (valor médio reticadoVret. med.= (2/π)

√

2_·3V = 2,7V), visto que o conversor AC/DC

alimentado apresentaria uma queda de tensão nos seus componentes (ponte reticadora com diodos Schottky e conversor boost) de aproximadamente1,2V.

Outro requisito de projeto a ser atendido é o da potência mínima a ser entregue à carga. A potência necessária para o equipamento, incluindo o conversor estático, foi estimada em 20W.

Além da posição, existem três parâmetros de projeto para a bobina: o comprimento, o diâmetro do condutor e o número de espiras. Quando é usada a compensação série (equações (2.42) e (2.43)), a tensão sobreRLé igual à metade da tensão de circuito abertoV (gura 15(a)).

Assim, um primeiro método de projeto seguiria os seguintes passos:

1. Escolhe-se o valor da tensão de circuito aberto; 2. Escolhe-se o comprimento da bobina;

(43)

Tabela 6: Especicação das bobinas e da capacitância para compensação série paraV = 6V, P = 20W e corrente de linha de3A.

Bobina

Vertical 1 Vertical 2 Vertical 3 Horizontal

Espiras 487 519 615 238

Diâmetro (mm) 68,8 71,0 77,3 48,0 Circuito V(V) 6,16(6,01) 6,06(6,00) 6,03(6,00) 6,02(6,08) Equivalente Le(H) 31,1(53,3) 52,8(53,6) 63,3(63,5) 11,0(11,0)

Rs(mΩ) 0,45 0,45 0,45 0,45

Cs(nF) 226 133 111 641

Compensação RL(mΩ) 0,45 0,45 0,45 0,45

Série VRL(V) 3,00 3,00 3,00 3,01

VCs(kV) 78,2 133 159 27,5

Cp(nF) 226 133 111 641

Compensação RL(MΩ) 897 906 1271 38,0

Paralela VRL(kV) 134 135 159 27,6

VCp(kV) 134 135 159 27,6

4. Calcula-se o diâmetro do condutor da espira (mudando sua resistência interna) para se obter a potência desejada (equações (2.40) e (2.46));

5. Calcula-seLe (equações (2.32) e (2.38));

6. Calcula-se o capacitor de compensação série (equação (2.42));

7. Determina-se a resistênciaRs a partir do comprimento da bobina, do número de espiras e

do diâmetro do condutor (equação (2.40));

8. Determina-se a resistência de cargaRL que absorve potência máxima (equação (2.43)). O

conversor estático conectado à saída deve apresentar o mesmo comportamento.

Mostra-se na tabela 6, para corrente de linha de 3A, e na tabela 7, para 90A, um cálculo da bobina necessária, assim como o dos capacitores de compensação, no qual se assumiu compri-mento da bobina igual a100m (valor típico do vão entre os postes) e tensão de circuito aberto

igual a6V. São mostrados ainda os valores de tensão sobre os capacitores e na carga.

Nota-se que os diâmetros do condutor calculados na tabela 6 são muito elevados. Isso sugere que esse parâmetro seja escolhido de antemão, levando a um segundo método de projeto:

1. Escolhe-se o diâmetro do condutor; 2. Escolhe-se o comprimento da bobina;

3. Calcula-se o número de espiras necessárias para fornecer a potência desejada (equações (2.22), (2.25), (2.40), (2.46) e gura 14);

(44)

Tabela 7: Especicação das bobinas e das capacitâncias de compensação paraV = 6V,P = 20W

e corrente de linha de90A.

Bobina

Espiras 17 18 21 8

Diâmetro (mm) 12,3 12,7 13,9 8,7 Circuito V(V) 6,45(6,29) 6,30(6,25) 6,18(6,15) 6,07(6,14) Equivalente Le(mH) 47,9(84,9) 85,8(8,68) 104(104) 16,8(16,8)

Rs(mΩ) 494 488 473 461

Cs(µF) 147 82,0 67,6 420

Compensação RL(mΩ) 494 488 473 461

Série VRL(V) 3,14 3,12 3,08 3,04

VCs(V) 115 207 255 41,6

Cp(F) 147 82,0 67,6 418

Compensação RL(Ω) 2073 2195 3265 87,4

Paralela VRL(V) 204 210 255 41,8

VCp(V) 204 210 255 41,8

Tabela 8: Projeto pelo 2◦ _{método para diâmetro de}₁₀_mm_,_P _{= 20}_W _{e corrente de linha de}₃_A_.

Bobina

Vertical 1 Vertical 2 Vertical 3 Horizontal Espiras 23,0_×103 ₂₆_,₂_×₁₀3 ₃₆_,₈_×₁₀3 ₅_,₄₇_×₁₀3

Diâmetro (mm) 10 10 10 10

Circuito V(V) 292(284) 306(303) 360(359) 138(140) Equivalente Le(kH) 90,2(160) 188(190) 337(337) 7,68(7,70)

Rs(kΩ) 1,01 1,15 1,61 0,240

Cs(pF) 78,0 37,4 20,9 916

Compensação RL(kΩ) 1,01 1,15 1,61 0,240

Série VRL(V) 142 151 179 69,2

VCs(M V) 9,82 18,9 28,4 1,69

Cp(pF) 78,0 37,4 20,9 916

Compensação RL(Ω) 3,62×1012 4,49×1012 10,0×1012 35,1×109

Paralela VRL(M V) 8,51 9,48 14,2 0,838

VCp(M V) 8,51 9,48 14,2 0,838

5. Calcula-se o capacitor de compensação série, pela equação (2.42), ou paralela, pela equação (2.44).

6. Determina-se a resistênciaRs a partir do comprimento da bobina, do número de espiras e

do diâmetro do condutor (equação (2.40));

7. Determina-se a resistência de cargaRL que absorve potência máxima (equação (2.43) ou

(2.45)). O conversor estático conectado à saída deve apresentar o mesmo comportamento; 8. Determina-se a tensão no terminal da carga.

(45)

Tabela 9: Projeto pelo 2◦ _{método para corrente de linha de}₉₀_A _{e diâmetro de}₁₀_mm_.

Bobina

Espiras 26 29 41 6

Circuito V(V) 9,87(9,62) 10,2(10,1) 12,1(12,0) 4,55(4,60) Equivalente Le(mH) 115(204) 2311(233) 419(420) 9,23(9,25)

Rs(Ω) 1,14 1,27 1,80 0,263

Cs(µF) 61,3 30,5 16,8 762

Compensação RL(Ω) 1,14 1,27 1,80 0,263

Série VRL(V) 4,81 5,03 6,00 2,28

VCs(V) 375 695 1060 60,9

Cp(µF) 61,2 30,5 16,8 758

Compensação RL(kΩ) 5,20 6,09 13,9 0,0465

Paralela VRL(V) 323 349 528 30,5

VCp(V) 323 349 528 30,5

Nota-se que para ambos os métodos de projeto, quando a corrente da linha é de 3A, o número de espiras necessárias é muito grande, o que inviabiliza a montagem. Os valores de tensão nos capacitores também são muito altos, representando problemas tanto técnicos quanto econômicos. Para valores tão elevados do número de espiras, algumas suposições do modelo são inclusive desrespeitadas, como aquela do cálculo das indutâncias mútua e própria da bobina, que assume que as espiras estão muito próximas no espaço.

Todavia, quando a corrente de linha é de 90A, os valores obtidos para a espira horizontal por ambos os métodos de projeto são razoáveis.

Nessa seção serão mostrados os resultados para a linha da gura 5. O desenvolvimento é análogo ao da seção anterior e as variáveis utilizadas são as mesmas mostradas na gura 16, para a bobina vertical, e na gura 19, para horizontal.

Na gura 22, mostra-se a tensão induzida em uma única espira vertical em função da sua posição x. O lado superior e1 se encontra a 1m dos condutores fase da linha de distribuição

e o lado inferiore2 se encontra no nível do solo. Os valores da tensão são dados por unidade

de comprimento e por unidade de corrente na linha, para os casos extremos de solo condutor perfeito e sem solo. Considera-se a corrente de neutro nula. A posição no eixoxdos condutores

da linha é marcada por traços verticais.

Nota-se que os valores máximos de tensão induzida ocorrem quando a espira está em torno de x = ₋1,5m ou de x = 1,5m, que são pontos simétricos em relação ao condutor da fase b.

(46)

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5x 10

−5

x(m)

V(V/(m.A))

fase fase fase

neutro

ρ = ∞ ρ = 0

Figura 22: Tensão induzida (por unidade de comprimento e por unidade de corrente na linha) para uma espira vertical come1 = (x; 7,4)e e2 = (x; 0).

Na gura 23, mostra-se a tensão induzida em uma única espira vertical em função da distância

h entre seus lados. Considera-se que ela se encontre na posição de máximox = ₋1,5m, com

o lado superiore1 a 1m de distância dos condutores fase. Os valores de tensão são novamente

dados por unidade de comprimento e por unidade de corrente na linha, para ambos os casos de solo, considerando a corrente de neutro nula.

Na gura 24, mostra-se um gráco da tensão induzida em uma única espira horizontal em função das posiçõesxe1 e xe2 dos lados da espira em relação ao eixox. Considera-se que ela se

encontre a uma distância do soloy= 7,4m e que a corrente de neutro seja nula. Os valores de

tensão são dados por unidade de comprimento e por unidade de corrente na linha, para o caso de solo condutor perfeito.

Nota-se que o valor máximo ocorre paraxe1 =−1,5m e xe2 = 1,5m ou vice-versa (ou seja,

os lados da espira estariam trocados). Essas são as mesmas posições de máximo obtidas para a espira vertical.

Mostra-se na gura 25 a tensão induzida em função da distânciay da espira horizontal em

relação ao solo. Considera-se que os lados da espira horizontal estejam nas posições de máximo

xe1 =−1,5m e xe2 = 1,5m, corrente de neutro nula e ambos os casos de resistividade do solo.

O máximo de tensão ocorre para a distância ao soloy= 7,4m e é igual a122,5µV /(A.m), para solo ideal, e a124,0µV /(A.m), para o caso sem solo. Essa é a máxima distância ao solo permitida pela concessionária.

(47)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 0

2 4 6 8x 10

−5

h(m)

V(V/(m.A))

ρ = ∞ ρ = 0

Figura 23: Tensão induzida (por unidade de comprimento e por unidade de corrente na linha) para uma espira vertical come1= (−1,5; 7,4)e e2= (−1,5; 7,4−h).

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

x_e

1

(m)

xe

2

(m)

2e−005

2e−005 2e−005

2e−005

4e−005

4e−005 4e−005

4e−005

6e−005

8e−005

8e−005 0.0001

0.0001

0.00012

(48)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 0

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4x 10

−4

y(m)

V(V/(m.A))

ρ = ∞ ρ = 0

Figura 25: Tensão induzida (por unidade de comprimento e por unidade de corrente na linha) para uma espira horizontal come1= (−0,1; y)e e2= (2,3; y).

Espira e1 e2 V [mV/(m.esp)]a P [µW/(m.esp)]a,b

Vertical 1 (₋1,5; 7,4) (₋1,5; 0,0) 184 (178) 19,3 (18,0) Vertical 2 (₋1,5; 7,4) (₋1,5; 3,4) 166 (164) 15,7 (15,3) Vertical 3 (₋1,5; 7,4) (₋1,5; 5,4) 135 (134) 10,4 (10,3) Horizontal (₋1,5; 7,4) (1,5; 7,4) 367 (372) 77,0 (79,1)

a_{Valor com}_ρ_{= 0}_{(Valor com}_ρ₌_∞_).

disponível por unidade de comprimento e por espira, considerando uma corrente na linha de3A

e um diâmetro do condutor da espira de10mm. Na tabela 11, usa-se corrente de linha de90A.

Mostra-se na tabela 12, para corrente de linha de 3A, e na tabela 13, para 90A, um cálculo da bobina necessária, assim como o dos capacitores de compensação, usando o primeiro método de projeto. Assumiu-se novamente um comprimento da bobina igual a100m. São mostrados

ainda os valores de tensão sobre os capacitores e na carga.

Os resultados para o segundo método de projeto, escolhendo-se um comprimento de 100m e um diâmetro de 10mm, são mostrados na tabela 14, para corrente de linha de 3A, e na tabela 15, para corrente de linha de 90A.

(49)

Espira e1 e2 V [mV/(m.esp)]a P [mW/(m.esp)]a,b

Vertical 1 (₋1,5; 7,4) (₋1,5; 0,0) 5,52 (5,33) 17,4 (16,2) Vertical 2 (₋1,5; 7,4) (₋1,5; 3,4) 4,97 (4,92) 14,1 (13,8) Vertical 3 (₋1,5; 7,4) (₋1,5; 5,4) 4,04 (4,02) 9,33 (9,23) Horizontal (₋1,5; 7,4) (1,5; 7,4) 11,0 (11,2) 69,3 (71,2)

a_{Valor com}_ρ_{= 0} _{(Valor com}_ρ₌_∞_).

Bobina

Espiras 338 367 448 164

Diâmetro (mm) 57,3 59,6 66,0 39,8 Circuito V(V) 6,21(6,01) 6,09(6,01) 6,04(6,00) 6,02(6,11) Equivalente Le(H) 15,4(26,5) 27,3(27,7) 34,9(35,0) 5,64(5,66)

Rs(mΩ) 451 452 451 453

Cs(µF) 0,456 0,257 0,202 1,25

Série VRL(V) 3,00 3,01 3,00 3,01

VCs(kV) 38,7 68,6 87,6 14,1

Cp(µF) 0,456 0,257 0,202 1,25

Compensação RL(MΩ) 222 242 385 10,1

Paralela VRL(kV) 66,6 69,6 87,8 14,2

VCp(kV) 66,6 69,6 87,8 14,2

Bobina

Espiras 12 13 15 6

Diâmetro (mm) 10,1 10,6 12,0 6,94 Circuito V(V) 6,62(6,40) 6,47(6,39) 6,06(6,03) 6,61(6,70) Equivalente Le(mH) 24,4(43,4) 46,0(46,5) 54,4(54,5) 10,1(10,1)

Rs(mΩ) 512 511 455 546

Cs(µF) 288 153 129 699

Série VRL(V) 3,20 3,20 3,01 3,30

VCs(V) 57,6 10,9 13,6 23,0

Cp(µF) 287 153 129 685

Compensação RL(Ω) 524 603 930 27,1

Paralela VRL(V) 102 110 136 23,3

(50)

Tabela 14: Projeto pelo 2◦ _{método para diâmetro de}₁₀_mm_, _P _{= 20}_W _{e corrente de linha de}

3A.

Bobina

Vertical 1 Vertical 2 Vertical 3 Horizontal Espiras 11,1_×103 13,1_×103 19,5_×103 2,60_×103

Circuito V(V) 204(197) 216(214) 263(261) 95,4(96,8) Equivalente Le(kH) 20,9(37,2) 46,7(47,2) 94,8(95,0) 1,79(1,80)

Rs(mΩ) 486 572 854 114

Cs(nF) 0,337 0,151 0,0742 3,93

Compensação RL(Ω) 486 572 854 114

Série VRL(V) 98,6 107 131 47,7

VCs(MV) 3,31 6,67 11,0 0,574

Cp(nF) 0,337 0,151 0,0742 3,93

Compensação RL(Ω) 4,04×1011 5,55×1011 1,50×1012 4,03×109

Paralela VRL(MV) 2,84 3,33 5,48 0,284

VCp(MV) 2,84 3,33 5,48 0,284

Tabela 15: Projeto pelo 2◦ _{método para corrente de linha de}₉₀_A _{e diâmetro de}₁₀_mm_.

Bobina

Espiras 13 15 22 3

Circuito V(V) 7,17(6,93) 7,46(7,37) 8,90(8,85) 3,30(3,35) Equivalente Le(mH) 28,7(51,0) 61,7(62,4) 121(121) 2,39(2,39)

Rs(mΩ) 569 657 964 132

Cs(µF) 245 114 58,3 2949

Série VRL(V) 3,47 3,69 4,42 1,65

VCs(V) 136 264 420 22,9

Cp(mF) 0,244 0,114 0,0583 2,89

Compensação RL(Ω) 651 843 2155 6,3

Paralela VRL(V) 114 130 208 11,2

(51)

assim como os valores de tensão nos capacitores, o que signica diculdades tanto técnicas quanto econômicas. Para valores tão elevados do número de espiras, novamente desrespeita-se a suposição de que as espiras estejam muito próximas no espaço.

Entretanto, novamente obtém-se valores razoáveis para a espira horizontal quando a corrente de linha é de 90A.

Nessa seção serão mostrados os resultados para a linha da gura 6. O desenvolvimento é análogo ao das seções anteriores e as variáveis utilizadas são as mesmas mostradas na gura 16 e na gura 19.

Na gura 26, mostra-se a tensão induzida em uma única espira vertical em função da sua posiçãox. O lado superior se encontra a1m do condutor fase e o lado inferior se encontra no

nível do solo. Os valores de tensão são dados por unidade de comprimento e por unidade de corrente na linha, para os casos extremos de solo condutor perfeito e sem solo. Há corrente no neutro nesse caso, com sentido inverso ao da corrente na fase. As posiçõesx dos condutores da

linha são marcadas por traços verticais.

Nota-se que o valor máximo ocorre quando a espira está na posiçãox = ₋0,2m, ou seja,

alinhada verticalmente com a posição do neutro. Ele é igual a aproximadamente117µV /(m.A), para solo ideal, e112µV /(m.A), para o caso sem solo.

Na gura 27, mostra-se a tensão induzida em uma única espira vertical em função da distância entre seus dois ladosh. Considera-se que ela esteja colocada emx= 0,19m (a 1 cm da posição

de máximo, para evitar problemas numéricos), com o lado superiore1 a 1m dos condutores

fase. Os valores novamente são dados por unidade de comprimento e por unidade de corrente na linha, para os casos extremos de solo condutor perfeito e sem solo. Existe um máximo igual a 239µV /(m.A)emh= 0,2, isto é, com o condutore2 passando à altura do neutro. Esse resultado

era esperado, uma vez que ele representa a posição na qual um dos lados da espira ca o mais próximo possível de um dos condutores.

Logo, xando o lado da espira e1 nesse ponto de máximo (xe1 = 0,19m e ye1 = 7,2m),

mostra-se na gura 28 a tensão induzida em função da posição do outro lado, para o caso de solo condutor perfeito. Nota-se, que o máximo ocorre com o condutore2 à altura do solo.

Na gura 29, mostra-se a tensão induzida em função da posiçãoxe2 do condutore2, quando

ele está à altura do solo (ye2 = 0). Nota-se que, no caso de solo condutor perfeito, o máximo é

(52)

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2x 10

−4

x(m)

V(V/(m.A))

fase

neutro

ρ = ∞ ρ = 0

Figura 26: Tensão induzida (por unidade de comprimento e por unidade de corrente na linha) para uma espira vertical come1 = (x; 7,4)e e2 = (x; 0).