Topologia de singularidades e o estudo de seus invariantes

Topologia de singularidades e o estudo de seus

invariantes.

Assinatura:

Topologia de singularidades e o estudo de seus

invariantes.

Grazielle Feliciani Barbosa

Orientador: Prof. Dr. Marcelo Jos´e Saia

Co-Orientador: Prof. Dr. Joachim Herbert Rieger

Tese apresentada ao Instituto de Ciˆencias Matem´aticas e de Computa¸c˜ao da Universidade de S˜ao Paulo, como parte dos requisitos para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Doutora em Ciˆencias

-´

Area: Matem´atica.

USP - S˜ao Carlos Mar¸co/2008

A Deus, meu eterno companheiro, que esteve ao meu lado em todos os momentos.

Agrade¸co aos professores Marcelo Jos´e Saia e Joachim Herbert Rieger pela orienta¸c˜ao, pela paciˆencia, pela dedica¸c˜ao e, principalmente, pela amizade. Agrade¸co ao professor Joachim pela acolhida e aten¸c˜ao que me dedicou quando estive em Halle. Agrade¸co `a professora Roberta pela dedica¸c˜ao, por ter ido comigo para Alemanha, por me ouvir e por acreditar em mim mesmo quando eu n˜ao acreditava. Vocˆe ser´a sempre minha orientadora. Obrigada!

Agrade¸co aos meus pais, Jos´e Louren¸co e Inˆes, por todo amor e carinho que me dedicam, por terem me ensinado o caminho a seguir e por acreditarem em mim. `A minha irm˜a Giselle, agrade¸co pela amizade e compreens˜ao. Agrade¸co `a toda minha fam´ılia, pelas ora¸c˜oes que me dispensaram e por me amarem do jeito que eu sou. Amo vocˆes!

Ao meu namorado Mauricio, agrade¸co por estar sempre ao meu lado, com muita dedica¸c˜ao, carinho e amor. Te amo cora¸c˜ao...

Agrade¸co a Deus todos os dias pelos amigos que me deu, n˜ao s˜ao muitos, nem poucos, mas s˜ao especiais para mim... e eu amo cada um de vocˆes.

A todos os professores que fizeram parte da minha vida acadˆemica e sempre me incentivaram a prosseguir em meus estudos sem desistir de meus objetivos. Agrade¸co em especial `a professora Maria Aparecida Soares Ruas.

Aos funcion´arios do ICMC por toda aten¸c˜ao dispensada e por serem pessoas t˜ao gentis. `

A Capes pelo suporte financeiro.

Enfim, a todos aqueles que colaboraram para a realiza¸c˜ao deste trabalho.

Resumo

Algumas rela¸c˜oes entreA-invariantes de germes de aplica¸c˜oes de coposto 1 equidimensionais

f : Cn_{,0 → C}n_{,0 s˜ao descritas. O principal resultado estabelece que a soma alternada de}

n´umeros de Milnor dos fechos dos conjuntosAi na fonte def ´e igual a multiplicidade local def

menos n+ 1. E existem f´ormulas correspondentes para os s-tipos est´aveis locais A(k1,...,ks). As

rela¸c˜oes nos garantem condi¸c˜oes para a A-finitude de f e para a A-trivialidade topol´ogica de deforma¸c˜oes de f. Tamb´em classificamos os germes de aplica¸c˜oes A-simples f : C2_,0→C5_,0,

Some new relations between A-invariants of equidimensional corank-1 map-germs

f : Cn_{,0 →} Cn_{,0 are described. The main local result states that the alternating sum of}

the Milnor numbers of the closures of the Ai sets in the source of f is equal to the local

multiplicity of f minus n + 1. And there are corresponding formulas for the s-local stable types A(k1,...,ks). The relations provide simplified (or weaker) conditions for the A-finiteness of

f and for the topologicalA-triviality of deformations of f. We also classify theA-simple germs

Sum´

ario

Introdu¸c˜ao iii

1 Teoria de Singularidades 1

1.1 Germes e A−equivalˆencia . . . 1

1.2 Espa¸co Tangente e Determina¸c˜ao finita . . . 3

1.3 Equivalˆencia de contato . . . 5

1.4 Desdobramentos . . . 6

2 Invariantes 9 2.1 Preliminares . . . 9

3 Rela¸c˜oes entre invariantes de germes de coposto 1 de Cn _{em C}n ₁₅ 3.1 Rela¸c˜oes entre invariantes . . . 15

4 Aplica¸c˜oes 27 4.1 Germes deCn _em Cp_{, n > p. . . 27}

4.2 Determina¸c˜ao finita e equisingularidade . . . 28

5 Classifica¸c˜ao de germes de aplica¸c˜oes de C2 _em Cn_{, n ≥5 31} 5.1 Classifica¸c˜ao de germes de aplica¸c˜oes de C2 _{em C}5 _{. . . 31}

Referˆencias Bibliogr´aficas 47

Introdu¸c˜

ao

Uma quest˜ao relevante em teoria de singularidades ´e o estudo dos invariantes associados a um germe de aplica¸c˜ao. O primeiro invariante que surgiu foi o n´umero de Milnor de um germe de uma fun¸c˜ao anal´ıtica f :Cn_,0→C_{,0. Este invariante pode ser definido de v´arias maneiras.}

Alg´ebricamente ´e definido por

µ= dimC

On

h∂f ∂x1,

∂f ∂x2, . . . ,

∂f ∂xni

Sua finitude ´e uma condi¸c˜ao necess´aria e suficiente para a determina¸c˜ao finita e, al´em disso, ele aparece associado `a geometria da singularidade em duas formas: como n´umeros de pontos cr´ıticos de Morse em uma deforma¸c˜ao est´avel e como o posto da homologia m´edia da fibra de Milnor de f. Na teoria de singularidades de germes de aplica¸c˜oes f : Cn_{,0 →} Cp_{,0, com}

p > 1, n˜ao encontramos um invariante assim t˜ao completo. Uma raz˜ao para isto est´a no fato de que, enquanto para fun¸c˜oes aparece apenas um tipo de singularidade est´avel, ou seja, a singularidade de Morse, para p >1 a complexidade da classifica¸c˜ao dos germes e multigermes est´aveis aumenta com n e p.

As singularidades de germes de aplica¸c˜oes do plano no plano foram primeiramente estudadas por H. Whitney, em 1955 e, posteriormente, por J. Mather. Os trabalhos de Whitney e Mather versam sobre singularidades est´aveis. A classifica¸c˜ao dos germes simples de coposto 1 ( caso real ou complexo ) foi obtida por J. H. Rieger em [25].

Quando um germe finitamente determinado n˜ao est´avel de f :C2_{,0 →} C2_{,0 ´e perturbado}

de modo a se tornar est´avel, um certo n´umero de c´uspides e dobras aparecem no discriminante, que ´e uma curva. Na tabela 1 em [25] alguns invariantes foram calculados para cada germe simples f, por exemplo, o n´umero de c´uspidesc(f), o n´umero de dobrasd(f), a multiplicidade local mf(0) e o n´umero de Milnor µ(Σf) do conjunto cr´ıtico. Tamb´em mostrou que alguns

desses invariantes satisfazem certas rela¸c˜oes, por exemplo, temos c(f) = µ(Σf) +mf(0)−2.

Gaffney e Mond mostraram em [11] que esta formula tamb´em vale para germes de coposto 2 ( o que havia sido conjecturado por J. Rieger, baseado em seu trabalho com M.A.S. Ruas sobre a classifica¸c˜ao de germes simples de coposto 2 no plano [29]).

geralmente, usando as equ¸c˜oes que definem o fecho do conjunto dos pontos do tipo A(k1,...,ks),

podemos obter f´ormulas para os invariantes 0-est´aveisr(k1,...,ks)(f), onde

P

iki =n, de qualquer

germe de coposto 1 equidimensional f, como em [26]. F´ormulas relacionando os invariantes 0-est´aveisr(k1,..,ks)(f), a multiplicidade def e certos n´umeros de Milnor generalizam, por

exem-plo, a f´ormulac(f) = µ(Σf)+mf(0)−2 paran= 2 ( provada para o caso semi- quase-homogˆeneo

em [27].

Nos cap´ıtulos 2 a 4 desta tese (baseados em um trabalho em conjunto com Rieger, ver [3]) provamos essas f´ormulas no caso geral (sem a hip´otese de semi-quase-homogeneidade) e aplicamos estas `a problemas de determina¸c˜ao finita e equisingularidade.

Tamb´em apresentamos neste trabalho a classifica¸c˜ao de germesA-simplesf :C2_,0→C5_,0,

para multiplicidades 1, 2 e 3, e uma conjectura de Rieger para generalizar essa classifica¸c˜ao. No cap´ıtulo 1 apresentamos algumas defini¸c˜oes e resultados da Teoria de Singularidades que s˜ao de grande importˆancia para o ´ınicio do trabalho

O objetivo do cap´ıtulo 2 ´e apresentar os invariantes v e r relacionados a um germe de aplica¸c˜ao equidimensional de coposto 1. Apresentamos tamb´em a f´ormula de Lˆe-Greuel, de grande importˆancia para obten¸c˜ao dos resultados apresentados no cap´ıtulo 3, e demonstramos um lema sobre aditividade de codimens˜oes.

No cap´ıtulo 3 apresentamos rela¸c˜oes entreA-invariantes de germes de aplica¸c˜oes de coposto 1 equidimensionais. O principal resultado estabelece que a soma alternada de n´umeros de Milnor dos fechos dos conjuntos Ai na fonte de f ´e igual a multiplicidade local de f menos

n+ 1. E existem f´ormulas correspondentes para oss-tipos est´aveis locais A(k1,...,ks).

O cap´ıtulo 4 cont´em algumas extens˜oes a germes f : Cn_{,0 → C}p_{,0, n > p e aplica¸c˜oes `a}

determina¸c˜ao finita e equisingularidade.

No cap´ıtulo 5 classificamos os germes A-simples f : C2_{,0 →} C5_{,0, para multiplicidades 1,}

2 e 3, e apresentamos uma conjectura para generalizar essa classifica¸c˜ao para o caso de germes A-simples deC2_{,0 em} Cn_{,0,n ≥5.}

Cap´ıtulo 1

Teoria de Singularidades

Neste cap´ıtulo apresentamos alguns t´opicos da teoria de singularidades necess´arios para o desenvolvimento deste trabalho. A principal referˆencia ´e Gibson [12].

1.1

Germes e

A−

equivalˆ

encia

SejaS ⊂Cn_{. Consideremos o conjunto das aplica¸c˜oes anal´ıticas definidas numa vizinhan¸ca}

aberta de S em Cn _{com valores em C}p_{. Introduzimos neste conjunto a seguinte rela¸c˜ao de}

equivalˆencia: dadas f : U → Cp _{e g : V →} Cp _{em tal conjunto, dizemos que f e g s˜ao}

equivalentes se existe uma vizinhan¸ca aberta W ⊂U ∩V deS tal que f |W=g |W.

Defini¸c˜ao 1.1.1 Definimos o multigerme de uma aplica¸c˜ao holomorfa f : U → Cp_{, onde U} ´e uma vizinhan¸ca aberta de S em Cn_{, como a classe de equivalˆencia de f segundo a rela¸c˜ao}

acima. Denotamos o multigerme de f por f : Cn_{, S → C}p_{, y. Se S = {x}, esta classe de} equivalˆencia ´e chamada de germe de aplica¸c˜ao ou, simplesmente, germe.

A derivada do germe f :Cn_{, x→C}p_{, y ´e a derivada em x de qualquer um de seus}

represen-tantes.

Defini¸c˜ao 1.1.2 Dizemos que um germe f : Cn_{, x →} Cp_{, y ´e um germe de difeomorfismo se}

um de seus representantes, e portanto todos, ´e um difeomorfismo local em x.

Defini¸c˜ao 1.1.3 O posto de um germe f : Cn_{, x → C}p_{, y ´e definido como o posto da matriz} de sua derivada em x e ´e denotado como posto f. O coposto do germe f ´e definido como

Defini¸c˜ao 1.1.4 Dizemos que dois germes f1 : Cn, x1 → Cp, y1 e f2 : Cn, x2 → Cp, y2

s˜ao A-equivalentes, e denotamos por f1 ∼A f2, se existem germes de difeomorfismos

φ :Cn_{, x}

1 →Cn, x2 e ψ :Cp, y1 →Cp, y2 para os quais o diagrama: Cn_{, x}

1

f1

−→ Cp_{, y}

1

φ ↓ ↓ ψ

Cn_{, x}

2

f2

−→ Cp_{, y}

2

´e comutativo, ou seja, f2 =ψ◦f1◦φ−1.

Como consequˆencia da Defini¸c˜ao 1.1.4, todo germeCn_{, x→}Cp_{, y ´eA-equivalente a algum}

germeCn_,0→Cp_{,0. O conjunto dos germesC}n_,0→Cp_{, y´e denotado porO}

n,p. Quandop= 1,

denotamos por On. On ´e um anel local cujo ideal maximal ´eMn ={f ∈ On / f(0) = 0}. O

conjunto dos germes de difeomorfismos de On,n ´e um grupo com a opera¸c˜ao de composi¸c˜ao e ´e

denotado por Dif f(Cn_{). Definimos o grupo A=Dif f(C}n_{)×Dif f(C}p₎

Um germef ∈ On,p induz o homomorfismo de ´algebras

f∗ _:O

p −→ On

h 7−→ h◦f

Defini¸c˜ao 1.1.5 A multiplicidade local de um germe de aplica¸c˜ao f :Cn_,0→Cp_{,0 ´e}

mf(0) = dimC

On

f∗_M

p

.

Defini¸c˜ao 1.1.6 Denotamos por Jk_{(n, p) o espa¸co vetorial complexo das aplica¸c˜oes f :C}n _→

Cp _{onde cada componente fi de f ´e um polinˆomio de grau menor ou igual a k nas coordenadas}

x1, . . . , xn com termo constante nulo. Os elementos de Jk(n, p) s˜ao chamados k-jatos.

DefinimosHk_{(n, p) como o espa¸co vetorial complexo das aplica¸c˜oesf :C}n _→Cp _{onde cada}

componente fi de f ´e um polinˆomio homogˆeneo de grau k nas coordenadas x1, . . . , xn.

Para cada aplica¸c˜ao holomorfa f : U ⊂ Cn _→ Cp_{, onde U ´e um aberto de} Cn _{e a ∈ U, a}

expans˜ao em s´eries de potˆencias de f(x+a) em torno da origem ´e dada por

f(a) +daf.x+

1 2!d

2

1.2 Espa¸co Tangente e Determina¸c˜ao finita 3

Defini¸c˜ao 1.1.7 Sejam f ∈ On,p e k ∈ Z, k ≥1. O k−jato de f em a, denotado por jkf(a), ´e definido por

daf.x+

1 2!d

2

af.x2+· · ·+

1

k!d

k af.xk

isto ´e, jk_{f(a) ´e a expans˜ao em s´erie de potˆencias de f(x+a) −f(a) em torno da origem} truncada no termo de grau k.

1.2

Espa¸co Tangente e Determina¸c˜

ao finita

Defini¸c˜ao 1.2.1 Uma a¸c˜ao de um grupo G em um conjunto M ´e uma aplica¸c˜ao

ϕ :G×M →M, denotada por ϕ(g, x) =g.x, tal que para todo x∈M e g, h∈G temos: (i) 1.x=x, com 1 identidade de G;

(ii) (gh).x=g.(h.x).

Dadox∈M, o conjunto G.x={g.x∈M/g ∈G}´e chamado ´orbita de xem M. A rela¸c˜ao dada por y∼x se y∈G.x´e uma rela¸c˜ao de equivalˆencia.

Defini¸c˜ao 1.2.2 Um grupo de Lie ´e um grupo multiplicativo G que ´e uma variedade diferenci´avel e as opera¸c˜oes de multiplica¸c˜ao e invers˜ao s˜ao diferenci´aveis. Uma a¸c˜ao de grupo de Lie ´e uma a¸c˜ao de um grupo de Lie G em uma variedade diferenci´avel M que seja diferenci´avel.

Em geral, as ´orbitas de uma a¸c˜ao de grupo de Lie numa variedade n˜ao s˜ao subvariedades e sim subvariedades imersas, mas nos casos em que G.x´e variedade, vale o seguinte resultado:

Teorema 1.2.3 Seja ϕ :G×M →M uma a¸c˜ao de grupo de Lie G em uma variedade M. Se as ´orbitas s˜ao subvariedades de M, ent˜ao para todo x∈ M a aplica¸c˜ao ϕx :G→Gx dada por

ϕx(g) = g.x ´e uma submers˜ao. E mais, o espa¸co tangente `a ´orbita G.x em x ´e a imagem de

d1ϕx :T1G→TxM, isto ´e, TxG.x=d1ϕx(T1G).

Demonstra¸c˜ao:Ver [12].

No que segue definiremos uma rela¸c˜ao de equivalˆencia entre k−jatos de maneira an´aloga `a definida para germes.

Defini¸c˜ao 1.2.4 Dois k−jatos f, g ∈ Jk_{(n, p) s˜ao equivalentes se existem φ ∈ Dif f(C}n_{) e}

A rela¸c˜ao de equivalˆencia definida acima prov´em de uma a¸c˜ao do grupo de LieAk_{, que ´e o}

grupo dos k−jatos de elementos de A, na variedadeJk_{(n, p). O grupo A}k _{age em J}k_{(n, p) da}

seguinte forma:

ϕ:Ak_×Jk_{(n, p) −→ J}k_{(n, p)}

(jk_{φ(0), j}k_{ψ(0), f) 7−→ j}k_{(ψ ◦f ◦φ}−1₎₍₀₎

Definimos o grupo A1 como sendo o subgrupo de A cujos elementos tˆem o 1-jato igual a

identidade.

Proposi¸c˜ao 1.2.5 O espa¸co tangente `a ´orbita de f ∈ Jk_{(n, p) segundo a a¸c˜ao do grupo A}k_, que denotamos por TAk_{.f, ´e}

TAk

.f ={jk(

n

X

i=1

∂f ∂xi

gi)(0)/g= (g1, . . . , gn)∈Jk(n, n)}+{jk(h◦f)(0)/h∈Jk(p, p)}.

Agora consideramos a ´orbita de um germe segundo a a¸c˜ao do grupo A. Lembramos que este grupo n˜ao ´e de Lie e as ´orbitas n˜ao s˜ao subvariedades.

Defini¸c˜ao 1.2.6 Seja f ∈ On,p.

1. O espa¸co tangente `a ´orbita de f segundo a a¸c˜ao do grupoA ´e

TA.f ={

n

X

i=1

∂f ∂xi

gi/g= (g1, . . . , gn)∈ MnOn,n}+{h◦f /h∈ MpOp,p}. 2. O espa¸co tangente estendido ´e

TAe.f ={ n

X

i=1

∂f ∂xi

gi/g = (g1, . . . , gn)∈ On,n}+{h◦f /h ∈ Op,p}.

Defini¸c˜ao 1.2.7 Definimos a A-codimens˜ao def, que denotamos por A-cod f, por

dimC

MnOn,p

TA.f

e a Ae-codimens˜ao de f, que denotamos por Ae-cod f, por

dimC

On,p

TAe.f

.

1.3 Equivalˆencia de contato 5

Defini¸c˜ao 1.2.8 Um germe f ∈ On,p ´e A-k−determinado se para todo g ∈ On,p tal que

jk_{g(0) =j}k_{f(0) temos que g ´e A-equivalente a f. Dizemos que um germe f ´e A−finitamente} determinado se f ´eA-k−determinado para algum k.

Teorema 1.2.9 ( [31]) Seja f ∈ On,p. S˜ao equivalentes: (i) O germe f ´e A−finitamente determinado,

(ii) Existe um inteiro positivo k tal que Mk

nOn,p ⊂TA.f, (iii) A A-codimens˜ao de f ´e finita,

(iv) A Ae-codimens˜ao de f ´e finita.

O pr´oximo resultado ´e uma caracteriza¸c˜ao geom´etrica dos germes finitamente determinados. Teorema 1.2.10 Um germe f ∈ MnOn,p ´e finitamente determinado se, e somente se, existe uma vizinhan¸ca V da origem em Cn _{tal que para todo subconjunto finito S ⊂ V − {0}, o}

multigerme de f em S ´e est´avel.

1.3

Equivalˆ

encia de contato

Introduzimos nesta se¸c˜ao uma outra rela¸c˜ao de equivalˆencia entre germes Cn_{, x →} Cp_{, y.}

Esta rela¸c˜ao ´e chamada de equivalˆencia de contato ou K-equivalˆencia.

Defini¸c˜ao 1.3.1 Dizemos que dois germes f1 : Cn, x1 → Cp, y1 e f2 : Cn, x2 → Cp, y2 s˜ao

K-equivalentes, e denotamos por f1 ∼K f2, se existem germes de difeomorfismos h :Cn, x1 → Cn_{, x}

2 e H :Cn×Cp,(x1, y1)→Cn×Cp,(x2, y2) para os quais o diagrama: Cn_{, x}

1

i1

−→ Cn_×Cp_,(x

1, y1)

π1

−→ Cn_{, x}

1

h ↓ H ↓ ↓ h

Cn_{, x}

2

i2

−→ Cn_×Cp_,(x

2, y2)

π2

−→ Cn_{, x}

2

´e comutativo, onde ik ´e o germe em xk da inclus˜ao Cn →Cn×Cp dada por x 7→ (x, yk) e πk ´e o germe em (xk, yk) da proje¸c˜ao Cn×Cp → Cn dada por (x, y) 7→ x, k = 1,2. Em outras palavras, H ´e dado por

H(x, y) = (h(x), θ(x, y))

com θ(x, y1) =y2. Dizemos que f1 e f2 s˜ao K-equivalentes se existem h e H como acima tais

que

H(1, f1) = (1, f2)◦h

Dizemos que um germe f ∈ On,p ´e K-finitamente determinado se existe l ∈ N satisfazendo

a seguinte condi¸c˜ao: para todo g ∈ On,p tal que jlg(0) = jlf(0) temos que g ´e K-equivalente a

f.

1.4

Desdobramentos

Sejaf0 ∈ MnOn,p. Um desdobramento as−parˆametros de f0 ´e um germe de uma aplica¸c˜ao

F :Cn_×Cs_{,0 −→} Cp_×Cs_,0

(x, u) 7−→ (f(u, x), u)

satisfazendo f(0, x) = f0(x). O germe f :Cn×Cs,0→Cp,0 ´e chamado deforma¸c˜ao de f0.

Defini¸c˜ao 1.4.1 Dois desdobramentosF, G:Cn_×Cs_,0−→Cp_×Cs_{,0 de f}

0 s˜ao isomorfos se

existem germes de difeomorfismos φ:Cn_×Cs_,0−→Cn_×Cs_{,0e ψ :}Cp_×Cs_,0−→Cp_×Cs_,0,

desdobramentos a s−parˆametros dos germes das identidades em Cn _{e C}p _{respectivamente, tais} que G=ψ◦F ◦φ−1_.

SejaF um desdobramento a s−parˆametros def0 ∈ MnOn,p e h :Ct,0→ Cs,0 um germe.

Definimos h∗_{F como o desdobramento a t−parˆametros de f}

0 dado por

h∗_{F :C}n_×Ct_{,0 −→ C}p_×Ct_,0

(x, v) 7−→ (f(h(v), x), v)

SeG´e um desdobramento a t−parˆametros de f0, dizemos que G´e induzido de F se existe

um germe h :Ct_{,0 →}Cs_{,0 tal que G´e isomorfo a h}∗_{F. Em particular, se h :}Cs_,0→ Cs_{,0 ´e}

um germe de difeomorfismo, dizemos que F e Gs˜ao equivalentes.

Dizemos que F ´e um desdobramento versal de f0 se todos os desdobramentos de f0 s˜ao

induzidos de F. Quando F ´e versal com um n´umero m´ınimo de parˆametros dizemos que F ´e miniversal.

O desdobramento F ´e trivial se ´e isomorfo ao desdobramento constanteG:Cn_×Cs_,0−→ Cp_×Cs_{,0,G(x, u) = (f}

0(x), u).

Defini¸c˜ao 1.4.2 Seja f ∈ On,n um germe A−finitamente determinado. Ent˜ao existe um des-dobramento a um parˆametro de f

F :Cn_×C_{,0 −→} Cn_×C_,0

(x, t) 7−→ (ft(x, t), t)

1.4 Desdobramentos 7

Defini¸c˜ao 1.4.3 Dizemos que um germe f ∈ MnOn,p ´eA-simples se existe um n´umero finito de classes de equivalˆencia tal que se f ´e mergulhado em qualquer fam´ılia

F :Cn_{×P,(0, p}

0)→Cp,0, ent˜ao para todo (x, p) numa vizinhan¸ca suficientemente pequena de

Cap´ıtulo 2

Invariantes

2.1

Preliminares

Sejaf :Cn_,0→Cn_{,0 um germe de aplica¸c˜ao de coposto 1 dado pela pr´e-forma normal}

(x, y)7→(x, g(x, y)),

(x, y)∈Cn−1_×C _{e seja}

˜

f = ˜f1, . . . ,f˜s :Cn, S →Cn, q,

onde S = {p1, . . . , ps}, f˜(S) ={q} e ˜fi(x, y) = (x,g˜i(x, y)), i= 1, . . . , s, um s−germe

apare-cendo numa deforma¸c˜ao de f.

AsK−classes de germes equidimensionais de coposto 1 s˜ao as do tipoAk, com representantes

(x, yk+1_{), e as K−classes de s− germes s˜ao do tipoA}

(k1,...,ks), onde os s pontos pi,i= 1, . . . , s,

da fonte s˜ao singularidades do tipo Aki,i= 1, . . . , s, de ˜fi e tˆem a mesma imagem.

Os multigermes equidimensionais est´aveis de coposto 1 s˜ao aqueles que s˜ao transversais `as suas K−classes A(k1,...,ks) e as singularidades est´aveis isoladas s˜ao, entre essas, aquelas em que

Ps

i=1ki =n, ver [12, pag. 206].

Para rela¸c˜oes envolvendo multigermes tamb´em consideramos (s+l)-germes compostos por

s-germes do tipo A(k1,...,ks) e l pontos regulares ps+1, . . . , ps+l ( e todos os pi s˜ao levados no

mesmo ponto da meta), denotamos esses (s+l)-germes por A(k1,...,ks,0l).

Para germes A−finitamente determinados os fechos do conjuntos de germes do tipo

A(k1,...,ks,0l) s˜ao interse¸c˜oes completas em (C

n₎s+l _{de codimens˜ao n −} Ps

i=1ki. Para l = 0

as equa¸c˜oes que definem ¯A(k1,...,ks,0l) foram descritas em [26] e em [14]. No que segue vamos

descrevˆe-las e estendˆe-las ao casol >0.

Para (s +l)−germes de coposto 1 podemos identificar (Cn₎s+l _com Cn+s+l−1_{, com}

ei =yi+1−yi, i= 2, . . . , s+l. Um ponto (x, y, ǫ2, . . . , ǫs+l)∈Cn+s+l−1 corresponde a:

((x, y1),(x, y1+ǫ2), . . . ,(x, y1 +

s+l

X

i=2

ǫi))∈(Cn)s+l.

Seja k(s, m) = (k1, . . . , ks) uma parti¸c˜ao de m de comprimento s. Denotamos por

(k1, . . . , ks,0l) = k(s, m),0l, a parti¸c˜ao k(s, m) aumentada por uma sequˆencia de zeros de

comprimento l. Quando s, m e l s˜ao claramente identificados no contexto, vamos denotar

k(s, m),0l por σ.

Os conjuntos ¯Ak(s,m),0l ⊂C

n+s+l−1 _{s˜ao dados pelos zeros das aplica¸c˜oes}

Gk(s,m),0l = (G1, . . . , Gm+s+l−1) :C

n+s+l−1 _→Cm+s+l−1_,

cujas fun¸c˜oes componentes Gi s˜ao definidas como segue. Definimos e g( i)

1 = ∂ig/∂y1i, i ≥ 1 e

para j = 1, . . . , s+l−1

g_j(0)₊₁ := X

α≥kj+1

g_j(α)ǫα−kj−1

j+1 /α!, g (i)

j+1 :=∂ig (0)

j+1/∂ǫij+1, i≥1.

Ent˜ao as fun¸c˜oes componentes de Gk(s,m),0l s˜ao, nesta ordem, g

(i)

1 (i = 1, . . . , k1) e g(

i)

j

(i= 0, . . . , kj, j = 2, . . . , s+l). Observamos quekj ≥1 paraj = 2, . . . , s ekj = 0 para j > s.

Exemplo 2.1.1 Para um germeK-finitamente determinado de multiplicidade localmf(0) =d

com pr´e-forma normalf = (x, yd

1+P1(x)y1+. . .+Pd−2(x)y1d−2), obtemos paraj = 1, . . . , s+l−1

g(0)_j+1 =ǫd−k1−...−kj−j

j+1 +Q(x, y1, ǫ2, . . . , ǫj)ǫ

d−k1−...−kj−j−1

j+1 +. . . ,

ou seja, polinˆomios mˆonicos emǫj+1 de grau d−k1−. . .−kj−j cujos coeficientes s˜ao fun¸c˜oes

suaves em (x, y1, ǫ2, . . . , ǫj).

O seguinte resultado est´a em [26]:

Lema 2.1.2 Dado um par de germes de coposto 1 equidimensionais f e f′ os correspondentes pares de germes Gk(s,m) e G′k(s,m) s˜ao K −equivalentes.

Ou seja, K-invariantes de Gk(s,m) s˜ao A-invariantes de f e o mesmo ´e v´alido para as

aplica¸c˜oes Gk(s,m),0l (pelo mesmo argumento). Sejam µσ(f) e τσ(f) os n´umeros de Milnor e

de Tjurina de Gσ, respectivamente.

Defini¸c˜ao 2.1.3 (i) Sejam Mm+s+l−1 o ideal maximal de Om+s+l−1 e Aσ o conjunto dos zeros do ideal G∗

σMm+s+l−1. Definimos I(Aσ) = G∗σMm+s+l−1.

(ii) Seja J(Gσ) o ideal gerado pelos determinantes das maiores submatrizes de dGσ(x, y, ǫ) ent˜ao

vσ(f) = dimC

On+s+l−1

I(Aσ) +J(Gσ)

2.1 Preliminares 11

Teorema 2.1.4 ( [31],Teorema 4.5.1) (i) Para um germe quase-homogˆeneo f e m < n, temos que

µσ(f) =vσ(f), (ii) Para m=n temos que

vσ(f) = µσ(f) =mGσ(0)−1

Defini¸c˜ao 2.1.5 O n´umero de Aσ-pontos isolados aparecendo em uma perturba¸c˜ao est´avel de

f ´e dado por

rσ(f) = c−1·mGσ(0) =c

−1_(v

σ+ 1) =c−1(µσ+ 1),

onde c denota o n´umero de permuta¸c˜oes dos s+l pontos na fonte que preservam σ. Ent˜ao, para

σ = (k1, . . . , k1

| {z }, . . . , k|r, . . . , k{z }r,0l), b1k1+. . .+brkr+ = n, Pk

i=1bi =s

b1vezes bkvezes temos c=l!Qr_i=1(bi!).

Este fator c ´e igual ao grau da aplica¸c˜ao fs+l _{: ¯A}

σ → Cn, que ´e dado pela restri¸c˜ao da

aplica¸c˜ao Cn+s+l−1 _→(Cn₎l+s_{, definida por}

(x, y, ǫ2, . . . , ǫs+l)7→(f(x, y), f(x, y+ǫ2), . . . , f(x, y+

s+l

X

i=2

ǫi)),

`a interse¸c˜ao da diagonal principal na meta com o extrato Aσ do discriminante de f.

Teorema 2.1.6 ( [26],Teorema 2.6) Seja f : Cn_{,0→ C}n_{,0, um germe de aplica¸c˜ao de} co-posto 1.

(i) S˜ao equivalentes:

(a) f ´e A−finitamente determinado.

(b) vk(s,m)(f)<∞ para todas as parti¸c˜oes k(s, m), 2≤m≤n e m+s≤mf(0).

(c) vk(s,m)(f) < ∞ para todas as parti¸c˜oes de m = 2, . . . , n com parcelas ki ∈ {1,2} e

m+s≤mf(0).

Conclu´ımos este cap´ıtulo com algumas observa¸c˜oes sobre os invariantes definidos acima: em 2.1.1 descrevemos algumas rela¸c˜oes entre os invariantes e a A-finitude de f. Observamos que os n´umeros de Milnor dos conjuntos Aσ s˜ao A-invariantes topol´ogicos de f, e no Lema 2.1.8

descrevemos algumas propriedades alg´ebricas desses n´umeros de Milnor (um tipo de aditividade de codimens˜oes). E 2.1.12 cont´em uma observa¸c˜ao sobre a semi-quasi-homogeneidade de f e as aplica¸c˜oes associadas Gσ.

Observa¸c˜oes 2.1.1 S˜ao equivalentes:

1. Aσ ´e uma ICIS.

2. A aplica¸c˜aoGσ ´eK-finitamente determinada.

3. vσ(f) <∞ (de fato, vσ(f) ´e a codimens˜ao do ideal cujos zeros est˜ao no conjunto dos

K-pontos inst´aveis de Gσ na fonte, e a codimens˜ao ´e finita se, e somente se, 0 ´e umK-ponto

inst´avel). 4. µσ(f)<∞.

Segue do Teorema acima que: f ´eA-finitamente determinado se, e somente se, as aplica¸c˜oes associadas Gσ s˜ao K-finitamente determinadas para toda parti¸c˜ao σ = (k1, . . . , ks) de

m = 2, . . . , n com parcelaski ∈ {1,2}.

Agora vamos discutir uma propriedade alg´ebrica dos invariantes µσ(f) e vσ(f). Seja

R = On+s+l−1 e col(I) = dimCR/I denota a codimens˜ao de um ideal I no anel local R.

Sejam h0 a ´ultima fun¸c˜ao componente da aplica¸c˜ao Gσ, z a ´ultima coordenada em Cn+s+l−1

(que ´e dada por y ou ǫs+l) e h = ∂h0/∂z. Al´em disso, seja A := I(Aσ), e B e C denotam os

ideais gerados pelos determinantes das maiores submatrizes de dGσ sem a ´ultima coluna (para

B) e sem a ´ultima linha e a ´ultima coluna (para C). Quando o n´umero de linhas excede o n´umero de colunas de dGσ, consideraremos B e C como ideais nulos. Ent˜ao

vσ(f) = col(A+J(Gσ)) = col(A+B+hC).

O pr´oximo Teorema ´e de grande importˆancia para demonstrar o principal resultado deste trabalho:

Teorema 2.1.7 (Lˆe [19],Greuel [15])

Seja X uma ICIS com singularidade na origem, X′ _{uma ICIS definida em X por f}

k = 0, e sejam f1, . . . , fk−1 os geradores do ideal que define X. Ent˜ao:

µ(X,0) +µ(X′,0) = dimC

On

2.1 Preliminares 13

O teorema acima ´e, na verdade, somente um lema usado para calcular n´umeros de Milnor de ICIS. E uma boa referˆencia para tal tamb´em ´e encontrada em Looijenga [20].

Para os n´umeros de Milnor µσ(f) = µ(Gσ) e µσ(f′) = µ((x1, Gσ)) temos, pela f´ormula de

Lˆe e Greuel que

µσ(f) +µσ(f′) = col(A+J(G′σ)) = col(A+B

′_+hC′_),

ondeheAs˜ao como acima eB′ _eC′ _{denotam os ideais gerados pelos determinantes das maiores}

submatrizes de dGσ sem a primeira e a ´ultima coluna (para B′) e sem a primeira coluna, a

´

ultima linha e a ´ultima coluna (para C′_).

Lema 2.1.8 Sejam R um dom´ınio, a ∈R e I, J e J′ _{ideais em R, com J ⊂J}′_{. Ent˜ao existe}

um inteiro n˜ao negativo δ tal que

col(I+J+aJ′) = col(I+J+ (a)) + col(I+J′)−δ.

Demonstra¸c˜ao:

Consideramos a sequˆencia exata:

0−→R/(I+J) :a+J′ −→R/I +J +aJ′ −→R/I+J+ (a)−→0.

A terceira aplica¸c˜ao ´e o epimorfismo cujo n´ucleo ´e gerado pelas classes deam´oduloI+J+

aJ′_{. Este n´ucleo ´e isomorfo a (a)/(a)∩(I+J+aJ}′_{), que ´e igual a}

(a)/(I+J)∩(a) +aJ′ ∼= (a)/a((I+J) :a+J′) (usando a lei modular e a f´ormula a(I :a) =I ∩(a)). A aplica¸c˜ao

R/(I+J) :a+J′ _{→(a)/a((I+J) :a+J}′_),

dada por multiplica¸c˜ao por a, ´e um isomorfismo. Ent˜ao:

col(I+J+aJ′) = col(I+J+ (a)) + col((I+J) :a+J′) Como I+J′ _{⊂(I+J) :a+J}′ _{segue que existe δ ∈N tal que}

col(I+J+aJ′) = col(I+J+ (a)) + col(I+J′)−δ.

Corol´ario 2.1.9 Tomando I =A, J =B′_{, J}′ _=C′ _{e a=h, temos}

Demonstra¸c˜ao:

Lembramos o seguinte fato sobre ideais determinantais em um anel Cohen-Macaulay R

(veja, por exemplo, [5]). Seja Ir o ideal gerado pelos maiores menores de uma matriz r por

t (r ≤ t) com entradas em R. O ideal Ir tem codimens˜ao no m´aximo t−r + 1, e R/Ir ´e

Cohen-Macaulay se Ir tem codimens˜ao exatamente t −r+ 1. No caso µσ as dimens˜oes de

R/A+B,R/A+B+hC eR/A+B+(h) s˜ao pelo menos 1, 0 e 0, e da finitude deµσ(f)+µσ(f′)

vemos que essas dimens˜oes s˜ao de fato iguais a esses n´umeros.

Neste caso, R/A+B′ _{´e Cohen-Macaulay de dimens˜ao 1 e A+B}′_{+ (h) tem comprimento}

finito, logo h n˜ao ´e um divisor de zero em A + B′_{,ou seja, n˜ao ´e um divisor de zero em}

(A+B′_{) :h=A+B}′_{. Mas A+B}′_+C′ _=A+C′_{, portanto δ= 0.}

Observa¸c˜ao 2.1.10 No caso vσ temos (para vσ(f)<∞) queA+B tem comprimento finito,

e o comprimento de A+B+ (h) ´e em geral n˜ao nulo. Portanto (A+B) :h6=A+B, em geral. Em muitos casos temos (A+B) :h+C =A+C, tal queδσ = 0, mas aqui segue um exemplo

simples onde isto n˜ao ocorre. Considerev(2)(f) paraf :C2,0→C2,0 dado porf = (x, y4+x2y).

Ent˜ao A = (4y3_+x2_{, y}2_{), B = 0, C = (x) e h = (y). Portanto col(A+B +hC) = 3, mas}

col(A+B + (h)) = 2 = col(A+C), e δ(2) = col(A+C)−col((A+B) :h+C) = 1.

Defini¸c˜ao 2.1.11 Um germe f ´e semi-quase-homogˆeneo (em rela¸c˜ao `a A− equivalˆencia) se

f =f0+f+, onde a parte inicial f0 ´e quase homogˆenea e A-finitamente determinada e f+ tem

grau pesado mais alto do que f0.

Observa¸c˜ao 2.1.12 As aplica¸c˜oes associadas Gk(s,m),0l ent˜ao ser˜ao semi-quase homogˆeneas

em rela¸c˜ao `a K−equivalˆencia (com os pesos de xi e y iguais para f0 e grau(ǫi) = grau(y),

j = 2, . . . , s+l) – observamos que as partes iniciais das aplica¸c˜oes Gk(s,m),0l, correspondentes

a f0, s˜ao K-finitamente determinadas, porque f0 ´e A-finitamente determinada. Para f com

parte inicial n˜ao A-finitamente determinada, as partes iniciais de Gk(s,m),0l ainda podem ser

Cap´ıtulo 3

Rela¸c˜

oes entre invariantes de germes

de coposto 1 de

C

n

_em

C

n

Lembramos que as rela¸c˜oes aqui apresentadas generalizam os resultados de Gaffney e Mond para o n´umeros de c´uspides e o n´umero de pontos duplos presentes numa deforma¸c˜ao est´avel de germes de C2 _em C2_{, ver [11].}

3.1

Rela¸c˜

oes entre invariantes

Proposi¸c˜ao 3.1.1 (Proposi¸c˜ao 5.12, [20]) Seja f : Cn_,0→Cn_{,0, um germe de aplica¸c˜ao}

de coposto 1, que define uma ICIS X com singularidade na origem. Ent˜ao

µ(X,0) =mf(0)−1, onde mf(0) = dimC _(f On

1,...,fn).

Como o germef tem coposto 1,f(x, y)7→(x, g(x, y)),sua multiplicidade se reduz ao menor expoente de um monˆomio puro em y, encontrado em g(x, y).

As f´ormulas a seguir relacionam n´umeros de Milnor de certas aplica¸c˜oes e a multiplicidade local de um germe de coposto 1. Este teorema ´e o principal resultado do nosso trabalho e usam fortemente as f´ormulas obtidas por Lˆe e Greuel.

Teorema 3.1.2 ( [3]) Seja f : Cn_{,0 →} Cn_{,0, n ≥ 1, um germe de aplica¸c˜ao de coposto}

1 e multiplicidade local mf(0) = r, seja k(s, n) uma parti¸c˜ao de n como anteriormente. Suponhamos que µ(k(s,n)) < ∞, ou seja, todos os invariantes que aparecem nas f´ormulas s˜ao

finitos. Ent˜ao

(i) Se s= 1 e r≥n+ 1 temos:

(ii) Se s = 1 e r≤n temos:

µ(r−1)(f)−µ(r−2)(f) +. . .+ (−1)rµ(1)(f) = 0. [Fn(r)] (iii) Se s >1, k1+. . .+ks=n, ki ≥1 (para i < s) e ks ≥0, e r≥n+s temos:

µ(k1,...,ks)(f)−µ(k1,...,ks−1)(f) +. . .+ (−1)

ks_µ

(k1,...,ks−1,0)(f)

+(−1)ks+1 _m

f(0)− s−1

X

i=1

(ki+ 1)

µ(k1,...,ks−1)(f) = mf(0)−n−s [F(k1,...,ks)(r)]

(iv) Suponhamos r < n+s. Seja

t =

r−(k1+. . .+ks−1+s) se r > k1+. . .+ks−1+s

0 caso contr´ario ent˜ao

µ(k1,...,ks−1,t)(f)−µ(k1,...,ks−1,t−1)(f) +. . .+ (−1)

t

µ(k1,...,ks−1,0)(f)

+(−1)t+1_{(t+ 1)µ}

(k1,...,ks−1)(f) = 0 [F(k1,...,ks)(r)]

Demonstra¸c˜ao:

(i) A demonstra¸c˜ao ´e por indu¸c˜ao sobre n. Para n = 1 a afirma¸c˜ao segue da Proposi¸c˜ao 3.1.1, portanto consideremos n ≥ 2 e suponhamos que F(n−1)(r) vale. A condi¸c˜ao de

que todos os invariantes presentes em F(n)(r) s˜ao finitos nos garante que r < ∞ e que

cada conjunto ¯A(i) n˜ao vazio ´e uma interse¸c˜ao completa com um ponto singular

iso-lado na origem (no m´ınimo). Escolhendo coordenadas (x1, . . . , xn−1, y) na fonte tal que

f = (x1, . . . , xn−1, g(x1, . . . , xn−1, y)), onde g(x, y) = yr +P1(x)y +. . .+Pr−2(x)yr−2,

Pi ∈ Mn−1, e x1 = 0 ´e um hiperplano gen´erico para a sequˆencia encaixante de

subcon-juntos

¯

A(n−1) ⊂A¯(n−2) ⊂. . .⊂A¯(1) = Σf ⊂Cn,0.

(Note que a propriedade “ ¯A(i) ´e uma ICIS implica ¯A(i) ∩ {x1 = 0} ´e uma ICIS”,

i = 1, . . . , n− 1, ´e suficientemente “gen´erica”). Segue da hip´otese de indu¸c˜ao que a f´ormula F(n−1)(r) vale para f′ := f|{x1=0}, pois os invariantes de f

′ _{em F}

(n−1)(r) s˜ao

finitos. Sejam G(i) e G₍′i) as aplica¸c˜oes como em 2.1 relativas a f e f′, respectivamente,

3.1 Rela¸c˜oes entre invariantes 17

Sejam I(M(i)) e I( ˜M(i)) os ideais gerados pelos determinantes das maiores submatrizes

do Jacobiano de G(i), omitindo a primeira e a ´ultima coluna de dG(i) no caso I(M(i)) e

somente a primeira coluna no caso I( ˜M(i)) (observamos que a primeira e a ´ultima coluna

correspondem a ∂/∂x1 e ∂/∂y, respectivamente).

Seja I(A(i)) o ideal em On definido pelas fun¸c˜oes componentes da aplica¸c˜ao G(i). Se

col(I) denota o comprimento do ideal I em On, ou seja, col(I) = dimCOn/I. Segue de

2.1.7 que

µ(i)+µ′(i)= col(I(A(i)) +I( ˜M(i)))

para i= 1, . . . , n−1. A soma dos n´umeros de Milnor µ(i)+µ′(i) no lado esquerdo dessa

f´ormula ´e finito, portanto o comprimento no lado direito da f´ormula tamb´em ´e finito. Para i= 2, . . . , n−2 isto implica que

µ(i)+µ′(i) = col(I(A(i+1)) +I(M(i))) + col(I(A(i)) +I(M(i−1))). [(1)]

Observamos que, m´odulo I(A(i)), podemos escrever I( ˜M(i)) = gi+1I(M(i−1)) +I(M(i)).

Podemos ent˜ao aplicar o Lema 2.1.8 para R = On, A = I(A(i)), B = I(M(i)),

C =I(M(i−1)) e h=gi+1.

Para i=n−1 temos I( ˜M(n−1)) =gnI(M(n−2)) m´odulo I(A(n−1)), portanto

µ(n−1)+µ(′n−1) =µ(n)+ 1 + col(I(A(n−1)) +I(M(n−2))). [(2)]

(Aqui col(I(A(n))) =µ(n)+ 1 e, na nota¸c˜ao do Lema 2.1.8, J ´e o ideal nulo.)

Para i= 1 temos

µ(1)+µ′(1) = col(I(A(2)) +I(M(1))). [(3)]

Considerando as somas alternadas de (1),(2) e (3) parai=n−1, n−2, . . . ,1 e aplicando

F(n−1)(r) paraf′ obtemos a f´ormulaF(n)(r).

Com o intuito de facilitar o entendimento faremos o caso n=3. Devemos mostrar ent˜ao que:

µ(3)(f)−µ(2)(f) +µ(1)(f) =mf(0)−3−1. [F3(r)]

Escolhendo coordenadas (x1, x2, y) na fonte tal que f = (x1, x2, g(x1, x2, y)), ent˜ao

f′ _{= f|}

{x1=0}(x2, y) = (x2, g(0, x2, y)). Observe que as multiplicidades locais de f e f′ _{s˜ao iguais. Por hip´otese de indu¸c˜ao o Teorema vale para f}′ _{e temos:}

µ(2)(f′)−µ(1)(f′) =mf′(0)−2−1 =m_f(0)−3. [F₂(r)]

onde µ(2)(f′) = µ(x1, G(2)) = µ(x1, gy, gyy) e µ(1)(f′) = µ(x1, G(1)) = µ(x1, gy). Segue do

µ(2)(f) +µ(2)(f′) = µ(G(2)) +µ(x1, G(2)) = col(G(2), J(x1, G(2)))

onde

J(x1, G(2)) =

1 0 0

gyx1 gyx2 gyy gyyx1 gyyx2 gyyy

=gyx2gyyy−gyygyyx2.

Ent˜ao

µ(2)(f) +µ(2)(f′) = col(gy, gyy, gyx2gyyy−gyygyyx2) = col(gy, gyy, gyx2gyyy) =

= col(G(3)) + col(G(2), gyx2) = µ(3)(f) + 1 + col(G(2), gyx2) [(1)]

Segue do Teorema 2.1.7 que:

µ(1)(f) +µ(1)(f′) = µ(G(1)) +µ(x1, G(1)) = col(G(1), J(x1, G(1))) [(2)]

onde J(x1, G(1)) = (gyx2, gyy).

De (1) e (2) temos:

µ(3)(f) + 1 =µ(2)(f)−µ(1)(f) +µ(2)(f′)−µ(1)(f′)

e usando a hip´otese de indu¸c˜ao

µ(3)(f)−µ(2)(f) +µ(1)(f) = mf(0)−3−1.

(iii) A prova ´e novamente por indu¸c˜ao sobre n. Vamos supor que a f´ormula vale para n−ks e

vamos mostrar que vale paran. Os dois ´ultimos n´umeros de Milnor na soma alternada do lado esquerdo de F(k1,...,ks)(r) s˜ao n´umeros de Milnor de interse¸c˜oes completas que est˜ao

contidos em espa¸cos de diferentes dimens˜oes. Estes n´umeros de Milnor s˜ao relacionados como segue. Consideramos para k1+. . .+ks−1 as multiplicidades locais das aplica¸c˜oes

equidimensionais:

mG₍k_1,...,ks−1,0)(0) = mf(0)−

s−1

X

i=1

(ki+ 1)

mG₍k_{1,...,ks−1)}(0).

Para os correspondentes n´umeros de Milnor segue da Proposi¸c˜ao 3.1.1 que

µ(k1,...,ks−1,0) = mf(0)−

s−1

X

i=1

(ki+ 1)

µ(k1,...,ks−1)+mf(0)−

s−1

X

i=1

3.1 Rela¸c˜oes entre invariantes 19

onde Ps_i=1−1(ki+ 1) + 1 = k1+. . .+ks−1+s. Suponhamos ks≥1. O passo de indu¸c˜ao ´e

ent˜ao an´alogo ao casos= 1, porque os n´umeros de Milnor no lado esquerdo deF(k1,...,ks)(r)

– exceto o primeiro e o ´ultimo – s˜ao aqueles das interse¸c˜oes completas da sequˆencia encaixante

¯

A(k1,...,ks−1,ks−1) ⊂A¯(k1,...,ks−1,ks−2) ⊂. . .⊂A¯(k1,...,ks−1,0) ⊂C

n+s−1_,0.

O primeiro e o segundo n´umero de Milnor emF(k1,...,ks)(r) s˜ao relacionados por

µ(k1,...,ks−1)+µ

′

(k1,...,ks−1) =

µ(k1,...,ks)+ 1 + col(I(A(k1,...,ks−1)) +I(M(k1,...,ks−2))),

Para i= 1, . . . , ks−2 temos

µ(k1,...,ks−1,i)+µ

′

(k1,...,ks−1,i) = col(I(A(k1,...,ks−1,i+1)) +I(M(k1,...,ks−1,i)))

+col(I(A(k1,...,ks−1,i)) +I(M(k1,...,ks−1,i−1))).

Os dois ´ultimos n´umeros de Milnor em F(k1,...,ks)(r) s˜ao relacionados como segue

µ(k1,...,ks−1,0)+µ

′

(k1,...,ks−1,0) = col(I(A(k1,...,ks−1,1)) +I(M(k1,...,ks−1,0)))

+ mf(0)− s−1

X

i=1

(ki+ 1)

µ(k1,...,ks−1)+µ

′

(k1,...,ks−1)

.

Tomando a soma alternada das f´ormulas acima e trocando a soma alternada resultante dos µ′ _porm

f(0)−(n−1)−s(usando a f´ormulaF(k1,...,ks−1)(r) em dimens˜aon−1) temos

a f´ormula F(k1,...,ks)(r).

(ii) e (iv) Aqui temos as sequˆencias encaixantes de inclus˜oes para s= 1

∅= ¯A(r)⊂A¯(r−1) 6=∅ ⊂. . .⊂A¯(1) = Σf ⊂Cn,0

e para s >1

∅= ¯A(k1,...,ks−1,t+1) ⊂A¯(k1,...,ks−1,t) 6=∅ ⊂. . .⊂A¯(k1,...,ks−1,0) ⊂C

n+s−1_,0.

As f´ormulas seguem por indu¸c˜ao sobre n ≥r−s. Segue da Proposi¸c˜ao 2.1.7 que

µ(r−1)+µ′(r−1) = 0 + col(I(A(r−1)) +I(M(r−2)))

ou, para s >1,

µ(k1,...,ks−1,t)+µ

′

Fazendo a soma alternada das f´ormulas acima o lado direito da express˜ao resultante ´e zero e o lado esquerdo ´e igual a soma do lado esquerdo da f´ormula desejada e uma express˜ao identica onde µ′ _{substituiµ, mas a express˜ao em µ}′ _{´e zero pela hip´otese de indu¸c˜ao.}

Observa¸c˜ao 3.1.3 O que acontece com as f´ormulas do Teorema anterior quando um dos in-variantes ´e infinito? Se mf(0) = ∞ ent˜ao o eixo dos y corresponde a uma reta de pontos do

tipoA(n) ( respectivamenteA(k1,...,ks)), logo o invarianteµ(n)(f) ( respectivamente µ(k1,...,ks)(f))

´e infinito. Portanto as f´ormulas valem. Observe que sen= 1 temos µ(1)(f) = ∞se, e somente

se, mf(0) = ∞. Suponhamos que mf(0) < ∞ e n > 1. Seja Xi = ¯A(i), para s = 1, ou

¯

A(k1,...,ks−1,i), para s >1, e X

′

i =Xi∩ {x1 = 0}. Consideramos as sequˆencias de inclus˜oes

. . .⊂Xi+1 ⊂Xi ⊂Xi−1 ⊂. . .

Se µ(Xi) = ∞ segue que µ(Xi−1) = µ(Xi+1) = ∞. Logo mf(0) = ∞. Portanto se mf(0) for

finita todos os n´umero de Milnor s˜ao finitos.

O teorema estabelece as seguintes f´ormulas para os invariantes 0-est´aveis de germes de aplica¸c˜oes equidimensionais de coposto 1 (por exemplo, paran= 2 es = 1 obtemos a conhecida f´ormulac(f) = µ(Σf) +mf(0)−2 que relaciona o n´umero de c´uspides, o n´umero de Milnor do

conjunto cr´ıtico e a multiplicidade local de um germe f do plano no plano, ver [11]). Como

mG(k₁,...,ks)(0) =µ(k1,...,ks)(f) + 1 e mG(k₁,...,ks)(0) =c·r(k1,...,ks)(f) temos o seguinte:

Corol´ario 3.1.4 Seja f : Cn_{,0 → C}n_{,0, n ≥ 1, um germe de aplica¸c˜ao de coposto 1 com} multiplicidade local mf(0) =r. Ent˜ao

(i) Se s = 1 e r≥n+ 1 temos

r(n)(f) = µ(n−1)(f)−µ(n−2)(f) +. . .+ (−1)nµ(1)(f) +mf(0)−n. (ii) Se s = 1 e r < n+ 1 temos r(n)(f) = 0.

(iii) Se s >1 e r≥n+s temos

r(k1,...,ks)(f) =

1

c

µ(k1,...,ks−1)(f)−µ(k1,...,ks−2)(f) +. . .+ (−1)

ks+1_µ

(k1,...,ks−1,0)(f)

+(−1)ks _m

f(0)− s−1

X

i=1

(ki+ 1)

µ(k1,...,ks−1)(f) +mf(0)−n−s+ 1

.

3.1 Rela¸c˜oes entre invariantes 21

(iv) Se s >1 e r < n+s temos r(k1,...,ks)(f) = 0.

Observa¸c˜ao 3.1.5 Para germes de aplica¸c˜oes quase homogˆeneas f podemos substituir os n´umeros de Milnor µnas f´ormulas acima pelos correspondentes n´umeros de Tjurina τ ou pelos invariantes v, poisµ, τ e v coincidem no caso de ICIS de dimens˜ao positiva.

O pr´oximo corol´ario ´e importante para obtermos as aplica¸c˜oes da pr´oxima se¸c˜ao.

Corol´ario 3.1.6 Seja ft uma deforma¸c˜ao de um germe de aplica¸c˜ao de coposto 1

f : Cn_,0→ Cn_{,0, n≥ 2, de multiplicidade local constante mf}

t(0) =mf(0). Se os n´umeros de

Milnor µσ,0(ft) s˜ao constantes para todas as parti¸c˜oesσ den−1, n−3, . . . , r (r= 1 paran par e r = 2 paran ´ımpar) ent˜ao os n´umeros de Milnor µσ(ft) e µσ,0(ft) s˜ao constantes para todas as parti¸c˜oes σ de m ≤ n( em particular, os n´umeros de Milnor de todos os tipos est´aveis s˜ao constantes).

Demonstra¸c˜ao:

Vamos fazer a demonstra¸c˜ao paramf(0)≥2n( o casomf(0)<2n´e an´alogo). Considerando

n = 2loun= 2l+1, a prova ´e por indu¸c˜ao sobrel. Usando as f´ormulas do Teorema 3.1.2 temos que para n = 2 a constˆancia deµ(1,0) implica na constˆancia dos outros invariantes e paran = 3

a constˆancia de µ(2,0) e de µ(1,1,0) implica a constˆancia dos outros invariantes. Consideremos

n ≥ 4 e suponhamos que a afirma¸c˜ao vale para dimens˜oes menores. Seja k1 +. . .+ks = n

reescrevemos as f´ormulas F(k1,...,ks)(r) de modo que em cada lado da igualdades s´o aparecem

termos positivos e ignoramos a constante mf(0)−n−s.

Das f´ormulas F(k1,...,ks−1,1) temos que a constˆancia de µ(k1,...,ks−1,0) implica na constˆancia de µ(k1,...,ks−1,1)(f) e µ(k1,...,ks−1)(f).

Para ks ≥ 2 a f´ormula F(k1,...,ks) est´a relacionada com a f´ormula F(k1,...,ks−2) em dimens˜ao

n−2 da seguinte maneira:

µ(k1,...,ks)(f) +µ(k1,...,ks−2)(f)· · ·=µ(k1,...,ks−1)(f) +· · ·

Da hip´otese de indu¸c˜ao temos que a constˆancia dos µσ,0 para todas as parti¸c˜oes σ de

n −3, n − 5, . . . implica (para n − 2) na constˆancia de todos os termos da f´ormula. Este

fato mais a constˆancia dos µ(k1,...,ks−1) (que segue da constˆancia de µ(k1,...,ks−1,0)) isto implica

que todos os n´umeros de Milnor em dimens˜aon s˜ao constantes.

Observa¸c˜ao 3.1.7 O corol´ario anterior ainda ´e v´alido se considerarmos os invariantes de f e substituirmos “constante” por “finito”.

Similarmente `a demonstra¸c˜ao do Teorema 3.1.2 obtemos a seguinte f´ormula para os inva-riantes v(i)(f) =v(G(i))

onde κ ´e um “termo de corre¸c˜ao” definido como segue.

Considere, na nota¸c˜ao do Lema 2.1.8, o caso vσ, R = On+s+l−1, A = I(A(k1,...,ks,0l)),

B = I( ¯M(k1,...,ks,0l)), l = 0,1, C = I( ¯M(k1,...,ks−1), l = 0, ou C = J(G(k1,...,ks)), l = 1, e h

a derivada da ´ultima componente de G(k1,...,ks,0l) com rela¸c˜ao `a ´ultima vari´avel, e δ(k1,...,ks,0l) =

col(A+C)−col((A+B) :h+C). Ent˜ao, para s = 1, o “termo de corre¸c˜ao” citado acima ´e dado por

κ=δ(k1)−δ(k1−1)+. . .+ (−1)

k1_δ

(2),

e para s >1,

κ=δ(k1,...,ks)−δ(k1,...,ks−1)+. . .+ (−1)

ks_δ

(k1,...,ks−1,0).

Proposi¸c˜ao 3.1.8 Seja f : Cn_{,0 → C}n_{,0, n ≥ 1, um germe de aplica¸c˜ao de coposto 1 e} assuma que para cada vk(s,m),0l(f) aparecendo nas f´ormulas acima o correspondente conjunto

¯

Ak(s,m),0l ´e n˜ao vazio e ´e uma ICIS. Suponhamos quev(k(s,n)) <∞, ou seja, todos os invariantes

que aparecem nas f´ormulas s˜ao finitos. Ent˜ao, para qualquer s >1, ks>0

v(k1,...,ks)(f)−v(k1,...,ks−1)(f) +. . .+ (−1)

ks_v

(k1,...,ks−1,0)(f) +κ+

(−1)ks+1_(m

f − s−1

X

i=1

(ki+ 1))v(k1,...,ks−1)(f) = col(I(A(k1,...,ks+1)) +I

′₎

e para s = 1, k1 >0 temos

v(k1)(f)−v(k1−1)(f) +. . .+ (−1)

k1+1_v

(1)(f) +κ= col(I(A(k1+1)) +I

′_),

onde I′ _{= 0, para} Ps

i=1ki =n, e I′ =I( ¯M(k1,...,ks)), para

Ps

i=1ki < n.

Demonstra¸c˜ao:

Esta demonstra¸c˜ao ´e similar `a do Teorema 3.1.2. Seja I( ¯M(k1,...,ks)) o ideal gerado pelos

determinantes das maiores submatrizes de dG(k1,...,ks) com a ´ultima coluna, a coluna ∂/∂ǫs

(para s >1) ou a coluna ∂/∂y (para s= 1), omitida (para Ps_i=1ki < n).

Sejam vk(s,m) := vk(s,m)(f) e h a ´ultima fun¸c˜ao componente de G(k1,...,ks+1). Para ks > 0 e

P

iki = 2, . . . , n−1 temos

v(k1,...,ks)= col(I(A(k1,...,ks)) +hI( ¯M(k1,...,ks−1)) +I( ¯M(k1,...,ks)))

= col(I(A(k1,...,ks+1)) +I( ¯M(k1,...,ks)))

+col(I(A(k1,...,ks)) +I( ¯M(k1,...,ks−1)))−δ(k1,...,ks).

Paraks >0 e P_iki =n temos

3.1 Rela¸c˜oes entre invariantes 23

col(I(A(k1,...,ks+1))) + col(I(A(k1,...,ks)) +I( ¯M(k1,...,ks−1)))−δ(k1,...,ks),

e para s= 1 e k1 = 1 obtemosv(1) = col(I(A(2)) +I( ¯M(1))).

Finalmente, para ks = 0, s > 1, os invariantes v(k1,...,ks−1,0), v(k1,...,ks−1,1) e v(k1,...,ks−1) s˜ao

relacionados como segue:

v(k1,...,ks−1,0) = col(I(A(k1,...,ks−1,1)) +I( ¯M(k1,...,ks−1,0)))

+col(I(A(k1,...,ks−1,0)) +J(G(k1,...,ks−1)))−δ(k1,...,ks−1,0),

onde J(G(k1,...,ks−1))) ´e o ideal dos maiores menores de dG(k1,...,ks−1).

O segundo termo no lado direito ´e o comprimento de um ideal em On+s−1, que ´e da forma

I(A(k1,...,ks−1)) +J(G(k1,...,ks−1)) + (h),

onde h´e um polinˆomio mˆonico em ǫs de graumf −

Ps−1

i=1(ki+ 1) e as duas primeiras parcelas

definem um ideal em On+s−2 de comprimento finito, de fato de comprimentov(k1,...,ks−1) < ∞.

Portanto,

col(I(A(k1,...,ks−1,0)) +J(G(k1,...,ks−1))) = (mf −

s−1

X

i=1

(ki+ 1))v(k1,...,ks−1),

e logo

v(k1,...,ks−1,1)−v(k1,...,ks−1,0)+ (mf −

s−1

X

i=1

(ki+ 1))v(k1,...,ks−1)

= col(I(A(k1,...,ks−1,2)) +I( ¯M(k1,...,ks−1,1)))−δ(k1,...,ks−1,0).

Agora, tomando somas alternadas:

v(k1,...,ks−1,ks)−v(k1,...,ks−1,ks−1)+. . .+ (−1)

ks+1_(m

f − s−1

X

i=1

(ki+ 1))v(k1,...,ks−1)

temos a f´ormula para s >1. Finalmente, para s = 1 temos v(k1)−v(k1−1)+. . .+ (−1)

k1+1_v

(1).

Observa¸c˜ao 3.1.9 (i) Apesar dos termos de corre¸c˜ao, as f´ormulas acima relacionando os in-variantes v implicam a finitude de certos invariantes. Por exemplo, para n = 3 a finitude de

v(1,1)(f) e dev(3)(f) implica a finitude dev(1,2)(f). SejaB(k1,k2)= col(I(A(k1,k2))+I( ¯M(k1,k2−1))).

Ent˜ao v(1,1)(f)<∞ e

v(1,1)(f) =B(1,2)+B(1,1)−δ(1,1)

implica B(1,2) <∞. Comov(3)(f)<∞, obtemos col(I(A(1,3)))<∞. Agora

implica v(1,2)(f) < ∞, como quer´ıamos. (Por outro lado, a f´ormula F(3) para os n´umeros de

Milnor vale paraf K-finitamente determinado quev(3)(f) e v(1)(f) s˜ao finitos sev(2)(f) ´e finito.

Isto ´e dif´ıcil de mostrar para v diretamente, mas ´e claro que v(i)(f) ´e finito se, e somente se,

µ(i)(f) ´e finito.)

(ii) Consideramos os conjuntos ¯A(k1,...,ks−1,0) ⊂C

n+s−1 _{consistindo des−1 pontos singulares}

pi (do tipo A≥ki) e um ponto regular ps tendo a mesma imagem por f. Se

I =I(A(k1,...,ks−1,0)) +J(G(k1,...,ks−1,0))

(o comprimento de I ´e v(k1,...,ks−1,0)(f)) temos pela sequˆencia exata

0−→ On+s−1/(I :ǫs)−→ On+s−1/I −→ On+s−1/(I+ (ǫs))−→0

que v(k1,...,ks−1,0)(f) =v(k1,...,ks−1+1)(f) + col(I :ǫs).

Portanto o invariantev(k1,...,ks−1,0)(f) tem uma diagonal e uma contribui¸c˜ao fora da diagonal.

De modo geral, tomando

I =I(A(k1,...,ks−1,ks)) +J(G(k1,...,ks−1,ks))

(com ks ≥0) obtemos da mesma forma v(k1,...,ks−1,ks)(f) =v(k1,...,ks−1+ks+1)(f) + col(I :ǫs).

Para germes de aplica¸c˜oes semi-quasehomogˆeneas temos o seguinte resultado.

Proposi¸c˜ao 3.1.10 Seja f : Cn_{,0 →} Cn_{,0 um germe de aplica¸c˜ao semi quase homogˆenea e}

seja c o fator gerado pelas permuta¸c˜oes que fixam uma dada parti¸c˜ao k(s, n) de comprimento

s≥2, ent˜ao:

rk(s,n)(f) = c−1

n+s−1

Y

i=n+1

(mf(0)−i)r(n)(f)

=c−1

n+s−1

Y

i=n+1

(mf(0)−i)

mf(0) + n−1

X

j=1

(−1)j+1_µ

(n−j)(f)−n

.

(Mais geralmente, sef tem uma decomposi¸c˜aof =f0+f+ com f0 e os correspondentesGk(s,m),

parak(s, m) aparecendo em ambos os lados das f´ormulas,K-finitamente determinados ent˜ao as f´ormulas ainda s˜ao v´alidas.)

Demonstra¸c˜ao: Uma deforma¸c˜ao de uma germe semi-quase-homogˆeneo f = f0 +f+ para

f0 induz deforma¸c˜oes simultaneas das aplica¸c˜oes Gk(s,m) as suas partes iniciais K-finitamente

determinados, que s˜ao topologicamente triviais por um resultado de Damon [6]. (Alterna-tivamente, isto segue diretamente do fato das partes iniciais de Gk(s,m) serem K-finitamente

3.1 Rela¸c˜oes entre invariantes 25

na f´ormula s˜ao invariantes topol´ogicos. Isto ´e ent˜ao suficiente para provar a f´ormula no caso semi-quase-homogˆeneo.

Consideremos a pr´e-forma normal para um germe quase-homogˆeneo equidimensional de coposto 1

f :Cn_,0→Cn_{,0, (x, y)7→(x, g(x, y)) = (x, y}k_{+P1(x)y+. . .+Pk−2(x)y}k−2_),

com pesos w1, . . . , wn−1,1 para x1, . . . , xn−1, y e graus pesados δ1 =w1, . . . , δn−1 =wn−1, δn =

mf(0). Usando os mesmos pesos wi, parai = 1, . . . , n, como para f, e colocando nas vari´aveis

adicionais ǫj peso 1 as aplica¸c˜oes

Gk(s,n) = (G1, . . . , Gn+s−1) :Cn+s−1,0→Cn+s−1

tem graus pesados

mf(0)−1, mf(0)−2, . . . , mf(0)−(n+s−1).

A primeira igualdade na proposi¸c˜ao segue quando expressamos as multiplicidades locais nas f´ormulas rk(s,n)(f) = c−1mGk(s,n)(0) e r(n)(f) = mG(n)(0) por pesos e graus pesados (usando a

f´ormula de Bezout generalizada) e comparando as express˜oes resultantes.

Observa¸c˜ao 3.1.11 A hip´otese de semi-quase-homogeneidade de f na Proposi¸c˜ao 3.1.10 ´e necess´aria: os germes fk = (x, xy2 +y4 +xky) n˜ao s˜ao semi-quase-homogˆeneos para k ≥ 2 e

Cap´ıtulo 4

Aplica¸c˜

oes

4.1

Germes de

C

_em

C

_,

_{n > p}

_.

Para germes de coposto 1 deCn _{em C}p _{com n < p as dimens˜oes dos conjuntos ¯A}

(i−1) e ¯A(i)

diferem por mais do que 1 (na verdade, por p−n + 1). Portanto ´e improv´avel que existam f´ormulas como somas alternadas de n´umeros de Milnor como as que encontramos no Teorema 3.1.2. Para germes de coposto n−p+ 1 ( isto ´e, min´ımo ) em dimens˜oes (n, p), onde n≥p, as f´ormulas no Teorema 3.1.2 provavelmente se generalizam.

As f´ormulas para germes de coposto 1 equidimensionais tamb´em s˜ao v´alidas para germes A-simplesf :Cn _→Cp_{,n > p, de postop−1 se trocamos a mulplicidade localm}

f(0) porµ(f)+1,

pois observamos que um tal germe f ´e dado pela pr´e-forma normal (x, g(x, y) +Pn_i=1−pz2

i), onde

(x, g(x, y)) define um germeA-simples equidimensionalCp _→Cp _{de coposto 1, ver [30], Lema}

4.1. As f´ormulas que valem para (x, g(x, y)) s˜ao as mesmas para (x, g(x, y) +Pn_i=1−pz2

i), pois os

conjuntos ¯A(i) n˜ao se alteram.

A condi¸c˜ao extra do germe serA-simples provavelmente n˜ao ´e necess´aria, por exemplo para

p= 2 e s= 1, temos a seguinte:

Proposi¸c˜ao 4.1.1 Seja f :Cn_,0→C2_{,0, n ≥2, um germe de posto 1. Ent˜ao}

µ(2)(f)−µ(1)(f) =µ(f)−2, r(2)(f) =µ(f) +µ(1)(f)−1.

Observamos que para n = 2 temos µ(f) = mf(0)−1, ent˜ao reestabelecemos as f´ormulas do Teorema 3.1.2 e Corol´ario 3.1.4 no caso n =p= 2, s = 1.

Demonstra¸c˜ao:

Consideramos um germe f : Cn_{,0 → C}2_{,0 de posto 1 dado pela pr´e-forma normal}

f = (x, g(x, y1, . . . , yn−1)) e sejam gi = _∂y∂g

i egij =

∂2g

∂yi∂yj. Ent˜ao

µ(1)(f) +µ′(1)(f) = col((g1, . . . , gn−1,det(gij)1≤i,j≤n−1)) =r(2)(f) =µ(2)(f) + 1.

Al´em disso, µ′

(1)(f) = col((x, g1, . . . , gn−1))−1, onde

(note que f ´eK-equivalente a uma suspens˜ao de g(0, y1, . . . , yn−1)).

Exemplo 4.1.2 Considere a s´erie de germes A-unimodais na classifica¸c˜ao de Rieger em [28] dada por

fk = (x, xy+y3+z3+ykz), k≥3.

Os fk est˜ao na K-´orbita de D4, portanto µ(fk) = 4, e µ(1)(fk) = k−1. Portanto conclu´ımos

da segunda f´ormula que r(2)(fk) =k+ 2, o que confere com o n´umero de c´uspides calculado em

[28].

4.2

Determina¸c˜

ao finita e equisingularidade

Agora consideramos aplica¸c˜oes das f´ormulas na Se¸c˜ao 3.1 para a determina¸c˜ao finita. Lem-bramos que ¯Aσ, onde σ ´e uma parti¸c˜ao de m ≤ n, ´e uma ICIS se, e somente se, µσ(f) < ∞

( ou equivalentemente, vσ(f)<∞ ).

De [26] sabemos que um germe K-finitamente determinado f : Cn_{,0 →} Cn_{,0 de coposto}

1 ´e A-finitamente determinado se, e somente se, vσ(f) < ∞ para todas as parti¸c˜oes σ de

m = 2, . . . , n com parcelas em{1,2}. Como consequˆencia imediata do Corol´ario 3.1.6 temos o seguinte resultado.

Proposi¸c˜ao 4.2.1 Seja f :Cn_{,0→ C}n_{,0 um germe de coposto 1 K-finitamente determinado} de multiplicidade local mf(0) ≥ 2n. Ent˜ao f ´e A-finitamente determinado se, e somente se, os conjuntos A¯σ,0 s˜ao interse¸c˜oes completas com (pelo menos) a origem como ponto singular

isolado para todas as parti¸c˜oes σ de n−1, n−3, . . . , r (r= 1 paran par e r= 2 paran´ımpar).

Observamos que o crit´erio paraA-finitude def em [26] envolve somente o conjunto de pontos m´ultiplos ¯Aσ na fonte, e n˜ao envolve os conjuntos de pontos m´ulitplos ¯Aσ,0 correspondentes aos

pontos regulares e singulares. Usando as f´ormulas do Teorema 3.1.2 (ou alternativamente as f´ormulas da Proposi¸c˜ao 3.1.8, veja Observa¸c˜ao 3.1.9, parte (i)) tamb´em podemos simplificar o crit´erio em [26]. Por exemplo, para n= 3 podemos eliminar a condi¸c˜ao de finitude emv(1,2)(f)

em [26] e obter o seguinte resultado.

Proposi¸c˜ao 4.2.2 Seja f :C3_,0→ C3_{,0 um germe de coposto 1 K-finitamente determinado.}

Ent˜ao f ´e A-finitamente determinado se, e somente se, os conjuntos A¯(2), A¯(1,1) e A¯(1,1,1) s˜ao

interse¸c˜oes completas com (pelo menos) a origem como ponto singular isolado ou s˜ao vazios.

Demonstra¸c˜ao:

Usando as f´ormulas F(3)(r) e F(1,2)(r) do Teorema 3.1.2 para um germe de aplica¸c˜ao f de

multiplicidade local finita r vemos que a hip´otese da proposi¸c˜ao implica que µ(1,2)(f) < ∞, e

4.2 Determina¸c˜ao finita e equisingularidade 29

Outro crit´erio para f ser A-finitamente determinado ´e dado a seguir.

Proposi¸c˜ao 4.2.3 Seja f : Cn_{,0 →} Cn_{,0 um germe de coposto 1 de multiplicidade local}

mf(0). Ent˜ao f ´eA-finitamente determinado se, e somente se, paral= 2, . . . ,min(mf(0),2n), os conjuntos A¯0l s˜ao interse¸c˜oes completas com (pelo menos) a origem como ponto singular

isolado.

Demonstra¸c˜ao:

As condi¸c˜oes no conjunto ¯A0l implicam que eles s˜ao n˜ao vazios e que v0l(f)< ∞. Usando

a parte (ii) da Observa¸c˜ao 3.1.9, temos que vσ(f) < ∞ para todas as parti¸c˜oes σ de m ≤ n

correspondentes a conjuntos n˜ao vazios ¯Aσ, e isto ´e equivalente ao fato de f ser A-finitamente

determinado.

Reciprocamente, para mf(0) >2n podemos obter vσ(f)<∞ para todas as parti¸c˜oes σ de

m ≤n para v0l(f)<∞, l= 2, . . . ,2n.

As aplica¸c˜oes mais interessantes do Teorema 3.1.2 s˜ao as que envolvem trivialidade topol´ogica e equisingularidade de fam´ılias de germes de coposto 1 de Cn _{em C}n_.

Observe, por exemplo, que o Corol´ario 3.1.6 tamb´em implica a excelˆencia da deforma¸c˜aoft

no sentido de [10]. Para n = 2 temos:

Proposi¸c˜ao 4.2.4 Seja ft uma deforma¸c˜ao de um germe f : C2,0→ C2,0 de coposto 1 com multiplicidade constante mft(0) =mf(0), ent˜ao temos o seguinte:

(i) A constˆancia de µ(1,0)(ft) implica na constˆancia dos n´umeros de Milnor de todos os tipos est´aveis (isto ´e, µσ(ft)´e constante para todas as parti¸c˜oes σ de m= 1,2).

(ii) µ(1,0)(ft) ´e constante se, e somente se, ft ´e Whitney equisingular (ao longo do eixo de parˆametros). E a Whitney equisingularidade de ft implica a trivialidade topol´ogica.

Demonstra¸c˜ao:

(i) Segue do Corol´ario 3.1.6 e do fato de germes de multiplicidade menor ou igual a 2 serem dobras ou difeomorfismos.

(ii) Segue de (i) e da equivalˆencia entre a Whitney equisingularidade de ft e a constˆancia de

c(ft) =r(2)(ft) e d(ft) = r(1,1)(ft), ver [11].

Observa¸c˜ao 4.2.5 Em [7] Damon e Mond definem o n´umero de Milnor do discriminante,

µ∆(f), de um germef :Cn,0→Cp,0,n≥p, como o n´umero de (p−1)-esferas no discriminante

de uma estabiliza¸c˜ao de f.

Para um germef :C2_,0→C2_{,0 temos de [7](usando a nota¸c˜ao da tese) que}

µ∆(f) =µ(1)(f) +r(1,1)(f)

e para n= 3 segue de [17] que

µ∆(f) = µ(1)(f) +

1

2(µ(1,1)(f) +µ(3)(f)) +r(1,1,1)(f).

Portanto, suponhamos queft´e uma deforma¸c˜ao def satisfazendo as condi¸c˜oes do Corol´ario

3.1.6, ent˜aoµ∆(ft) ´e constante. Por outro lado, paran= 2 e 3, a constˆancia deµ∆(ft) emft(0)

implicam µσ(ft) constante para todos os tipos est´aveis σ (isto segue das f´ormulas para µ∆(f)