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Leilão multiunidade: principais resultados e aplicação ao mercado de energia brasileiro

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Academic year: 2017

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(1)

1 Fundação Getulio Vargas

Escola de Pós-Graduação em Economia – EPGE/FGV

Leilão Multiunidade: Principais resultados

e aplicação ao mercado de energia brasileiro.

Dissertação a ser submetida à

Escola de Pós-Graduação em Economia da Fundação Getúlio Vargas como requisito para obtenção do Título de Mestre em Economia.

Aluno: Paulo Braulio de Souza Coutinho Orientador: Humberto Moreira (EPGE/FGV) Banca: André Rossi de Oliveira (UnB) Paulo Klinger Monteiro (EPGE/FGV)

(2)

2 SUMÁRIO

1. Introdução __________________________________________________________ 4

2. Leilão Uniforme _____________________________________________________ 6

2.1.Modelo Básico _________________________________________________________ 8

2.2.Overpricing. ___________________________________________________________ 10

2.3.Quantidade endógena __________________________________________________ 14

2.4.Regra de Alocação _____________________________________________________ 16

2.5.Lances discretos ______________________________________________________ 18

3. Incerteza. __________________________________________________________ 21

4. Um caso simples: Duopólio. _________________________________________ 25

5. Leilão de Vickrey ___________________________________________________ 31

6. Leilão Ascendente. _________________________________________________ 34

7. Leilão Híbrido ______________________________________________________ 38 7.1.Modelo ________________________________________________________________ 40

7.1.1. Preliminares. __________________________________________________________ 40

7.1.2. Equilíbrio no leilão selado. _____________________________________________ 44

7.1.3. Equilíbrio no Leilão Híbrido. ____________________________________________ 46

7.1.4. Multiunidade. __________________________________________________________ 47

8. Caso Brasileiro. ____________________________________________________ 51

9. Conclusão _________________________________________________________ 56

(3)

3 Resumo

O presente estudo é dividido em três partes: a primeira é um resumo dos principais resultados teóricos encontrados na literatura de Leilões Multiunidade que são úteis em leilões de geração de energia. Dentre eles, foram analisadas as características dos leilões Discriminatório, Uniforme, de Vickrey, Ascendente e Híbrido levando em consideração os critérios de eficiência e pagamento esperado. A segunda parte é uma tentativa de extensão de um modelo de leilão híbrido para o caso de uma unidade para o de multiunidade. Finalmente, a terceira parte explica como é feito o leilão de geração de energia no Brasil.

Palavras-chave: Leilão Multiunidade, Leilão Híbrido, Leilão de geração de energia

Classificação Jel: D44, D86, L50

Abstract

The present study is divided in three parts. The first one is a survey of the most important theoretic results in the literature of Multiunity auctions which are useful in energy auctions. I analyzed the Discriminatory, uniform, Vickrey, ascendant and the Hybrid Auctions taking the efficient an expected revenue criteria. The second part is a tentative to expand a model of a single unit hybrid auctions to a model of multiunit hybrid auction. Finally, the third part explain how energy is auctioned in Brazil.

(4)

4 1. Introdução

Em grande parte do mundo, a comercialização de energia elétrica é feita através de leilões. Contudo, as regras que tangem estes mecanismos diferem substancialmente até mesmo dentro de um determinado país, dependendo de qual produto está sendo comercializado. No Brasil, por exemplo, a Aneel classifica as geradoras de energia como as de energia nova ou energia velha, e utiliza leilões diferentes para comercializar a geração de energia. Ademais a permissão de transmiti-las das geradoras até as distribuidoras também é definida através de leilões que diferem dos de geração.

O resultado de um leilão está intimamente interligado com as suas regras, já que estas influenciam diretamente no comportamento estratégico dos agentes envolvidos. Dependendo dos objetivos a que se quer chegar e do objeto a ser leiloado, alguns atributos de determinados tipos de leilões geram resultados superiores a outros quando utilizamos critérios de comparação como geração de receita, eficiência e preços menores aos consumidores. Como exemplo, podemos citar os leilões de licenças da “terceira geração” de telefonia móvel ocorridos na Europa no início desta década. Objetos similares foram arrematados a preços desde 20 euros per capita na Suíça a 650 na Inglaterra1.

Acredita-se que a principal fonte causadora desta diferença de preços é exatamente as regras dos leilões nestes países. Portanto, a decisão de como fazer um leilão é decisiva quanto ao seu resultado.

Apesar de serem amplamente utilizados há bastante tempo, os economistas apenas começaram a estudar leilões recentemente. O primeiro trabalho na área foi o artigo pioneiro de Vickrey (1961), que além de ser o primeiro a reconhecer o problema como um jogo, ainda fez enorme progresso em analisá-lo. No entanto, a literatura sobre o assunto foi se desenvolver apenas no final dos anos setenta. Entre vários importantes autores, podemos destacar as contribuições seminais de Paul Milgrom, em trabalhos solo, ou em parceria com Weber, as de Riley, em artigos com Maskin e com Samuelson, e finalmente as de Myerson.

(5)

5 Enquanto, a literatura de leilão de apenas um objeto já está relativamente avançada, a questão de como leiloar mais de um objeto, ou um objeto divisível, é um pouco mais delicada. Energia elétrica, como é um bem divisível, se enquadra neste tipo estudo. Portanto, a dissertação dará maior ênfase a este tipo de leilão. Os tipos de leilão de múltiplos objetos mais comumente utilizados são os de preço uniforme, em que todas as unidades são vendidas ao preço do maior lance perdedor, e o leilão discriminatório, em que os ganhadores pagam exatamente o lance que foi dado.

Alguns economistas, ao fazerem falsas analogias com leilão de primeiro e segundo preço de apenas uma unidade, manifestaram opiniões mais favoráveis ao primeiro tipo de leilão. Contudo, alguns estudos sugerem que a performance relativa entre eles é ambígua. Ausubel e Cramton (2002), por exemplo, mostram que sob condições sobre os tipos dos agentes, o resultado tanto em relação a eficiência, como a de geração de receita o leilão discriminatório é superior ao uniforme. Contudo, sob condições diferentes, igualmente razoáveis, o resultado é contrário ao anterior. Fabra et ali (2006) mostram que, na ausência de incerteza sobre a demanda e no caso de um duopólio, leilões uniformes geram preços mais favoráveis em média do que leilão discriminatório.

O fato é que pequenas mudanças nas regras do leilão uniforme podem afetar profundamente o seu resultado de equilíbrio. Back e Zender (2001) mostram que se a quantidade a ser vendida no leilão for escolhida endogenamente, ou seja, o leiloeiro, em posse dos lances dados, escolher o quanto irá vender, o equilíbrio será o que gera maior renda ao leiloeiro. Kremer e Nyborg (2004a) mostram que se pode tornar o leilão uniforme arbitrariamente eficiente impondo apenas que os lances sejam discretos. Kremer e Nyborg (2004b) mostram que se a regra de alocação do leilão uniforme mudar apenas em relação as quantidades marginais, o equilíbrio também será eficiente.

(6)

6 Até aqui, tratamos apenas de leilões estáticos, ou seja, há apenas um lance por participante e de posse desses lances, o leiloeiro decide o resultado de acordo com algum dos critérios citados acima. Fazendo analogia ao caso de leilão de apenas um bem, estaríamos excluindo, por exemplo, o tradicional leilão inglês, em que os participantes dão lances até o momento em que apenas um deles dá um lance e nenhum outro se manifesta. Os leilões em que os participantes dão lances ao longo do tempo são chamados de leilões dinâmicos. Paul Milgrom sugeriu ao FCC2 que os espectros de

telecomunicação fossem leiloados através de leilões simultâneos ascendentes. Nele, os objetos eram leiloados simultaneamente e o lance ganhador era determinado tal como no leilão inglês. A diferença era que o leilão terminava apenas quando todas as unidades fossem vendidas impossibilitando assim que unidades iguais fossem vendidas a preços diferentes. Ele formalizou a sua idéia em Milgrom (2000). Ausubel (2004), por sua vez, propôs um leilão simultâneo ascendente como o de Milgrom, com a diferença que o ganhador pagaria para cada unidade adquirida o seu custo de oportunidade, tal como no leilão estático de Vickrey. Ele mostrou que este tipo de leilão é superior ao de Vickrey tanto no critério de eficiência como no de geração de receita.

Os artigos citados baseiam-se na hipótese de que os agentes se comportam de forma competitiva, excluindo assim, comportamentos de conluio entre os participantes do leilão, o que é comumente observado na vida real. Este comportamento pode acarretar em ineficiências alocativas dos bens a serem leiloados bem como redução da receita gerada pelo leilão. Klemperer (2000, 2002) sugere que leilões dinâmicos sejam mais propensos comportamentos anti-competitivos, já que a punição pode vir no momento seguinte ao desvio do combinado, ainda com o leilão em andamento. Ele sugere um leilão híbrido, com uma parte sendo dinâmica e outra estática. Levin e Ye (2008) estudam este tipo de leilão para o caso unitário. Sob suas hipóteses, eles mostram que o leilão híbrido gera uma receita esperada superior aos dois tipos de leilão quando realizados sozinhos.

2. Leilão Uniforme

(7)

7 Vamos aprofundar um pouco mais no estudo sobre o leilão uniforme. Este tipo de mecanismo é amplamente utilizado em mercados de commodities e financeiro para vender bens idênticos para vários compradores. Neste leilão estático, os participantes competem submetendo vários lances ou curvas de demanda (oferta). O preço que equilibra o mercado, ou seja, em que a demanda (oferta) iguala a oferta (demanda) é chamado de “stop-out price”. Todos os participantes pagam o mesmo preço (stop-out price) por todas as unidades que venham a receber (vender). A demanda (oferta) acima (abaixo) deste preço é totalmente entregue aos vencedores, enquanto a demanda (oferta) marginal no “stop-out price” é dividida de maneira pro - rata na margem.

Acreditava-se que a performance deste leilão era superior a do discriminatório. Alguns autores exaltavam o leilão uniforme baseado em argumentos informais fazendo analogias a comparação do leilão de segundo preço com o de primeiro preço quando se leiloa apenas um bem indivisível. Defendiam, por exemplo, que neste tipo de mecanismo a prática de conluio era menor que no discriminatório. O argumento é que o último desencorajava a participação de participantes menos informados relativamente porque o “winner’s curse” seria maior para estes. Desta maneira o número de participantes do leilão ficaria reduzido, o que tornaria mais fácil a formação de coalizões (Friedman (1960)). Outro argumento baseado na analogia com leilão unitário de segundo preço é de que o leilão uniforme geraria maior receita do que o discriminatório. Devido ao winner’s curse, em um ambiente de neutralidade ao risco, o leilão de segundo preço gera uma receita maior que o de primeiro preço. Ver, por exemplo, McAfee e McMillan (1987) e Milgrom (1989, p.3).

(8)

8 Contudo, o problema de "underpricing"3 do leilão uniforme não é tão sério quanto o

proposto pelo modelo básico de Back e Zender. Particularmente, Kremer e Nyborg em dois artigos mostram que o “underpricing”, a diferença entre a valoração do participante e o valor que ele realmente paga pelo bem, não é tão grande quando os lances são discretos e que uma pequena mudança na regra de alocação das unidades marginais pode alterar drasticamente o resultado de equilíbrio. Até mesmo Back e Zender (2001) mostram que o underpricing pode sumir quando o leiloeiro escolhe estrategicamente a quantidade a ser vendida no leilão.

A análise formal destes resultados será descrita a seguir em um modelo que segue o de Back e Zender (1993) com uma pequena adaptação para o caso de leilão de energia. No modelo deles, o leiloeiro estava vendendo instrumentos financeiros e cada participante ofertava uma curva de demanda que refletia o quanto estavam dispostos a comprar para cada preço de venda. O caso de energia é um pouco diferente já que é um leilão de compra, e não de venda. Cada participante irá definir uma curva de oferta estipulando o quanto está disposto a produzir de energia para cada preço que lhe for oferecido.

2.1. Modelo Básico

Nesta seção, analisaremos o modelo básico presente em Back e Zender (1993) para analisar um leilão de venda de títulos públicos. Contudo, como nosso foco é em energia elétrica, em que normalmente se têm leilões de compra, iremos adaptar os resultados para esse tipo de leilão.

O leiloeiro quer comprar uma quantidade Q perfeitamente divisível de energia de um

número n>1 de participantes neutros ao risco. O custo marginal de se prover energia c.

Antes do leilão, cada participante observa um sinal si que é correlacionado com c. Seja

(

1,..., n

)

s= s s e denote um valor genérico de s por s. A distribuição conjunta de

( )

c s, é de conhecimento comum entre os participantes. Seja Si o suporte de si. Assuma que

(9)

9 existam números L

c e H

c tal que 0 L H

c c c

≤ ≤ ≤ com probabilidade 1. Podemos encarar

c como o custo marginal de produção da energia.

O leiloeiro impõe um preço de reserva pH. Uma estratégia para o participante

i é a

escolha de uma curva de oferta para cada siSi. Uma curva de oferta é uma função

contínua pela esquerda e não-decrescente q: 0,pH

[

0,Q

]

. Denote a curva de oferta do agente i por qi

( )

si . A curva de oferta agregada é

( )

( )

1

n

A i i

i

q s q s

=

⋅ ≡ ⋅ .

Todos os lances abaixo do “stop-out price” são aceitos. O “stop-out price”, que denotaremos por pe

( )

s , é definido como o menor preço em que a oferta iguala ou supera a demanda ou é o preço de reserva no caso em que há excesso de demanda para todos os preços:

( )

min

{

(

,

)

}

se

{

(

,

)

}

caso contrário.

H H

A A

e

H

p p q p s Q p p q p s Q

p s

p

≤ ≥ ≤ ≥ ≠ ∅

=

No caso de empate no “stop-out price”, as unidades marginais são divididas de uma maneira pro - rata na margem. Isto quer dizer que se há um excesso de oferta no “stop-out price”, apenas as unidades marginais serão racionadas. O “flat” na curva de oferta individual é dado por ∆qi

(

p si

)

=qi

(

p si

)

−limp′↑pqi

(

p si

)

. Da mesma forma, o flat na

demanda agregada é dado por ∆qA

(

p si

)

=qA

(

p si

)

−limp′↑pqA

(

p si

)

. Formalmente, a

regra de alocação é dada por:

( )

( )

(

)

(

( )

(

)

)

( )

(

)

( )

(

)

lim e lim e

e

i i

e

i p p s i i p p s a i e

A i

q p s s

q s q p s Q q p s

q p s s

′↑ ′↑

′ ′

= + −

(10)

10

( ) ( )

e e

i i

P =p s q s

No gráfico acima, a linha vertical representa a demanda por energia, e a curva crescente representa a oferta agregada. A quantidade que seria racionada é representada pela parte em negrito da curva de oferta agregada.

2.2. Overpricing.

Sob essas hipóteses, podemos encontrar equilíbrios no leilão uniforme com preços elevados, o que é extremamente negativo para o leiloeiro. Na realidade, podemos encontrar um equilíbrio simétrico em estratégias puras, que independe do sinal de cada participante, em que o preço de equilíbrio é dado por um * H, H

pc p arbitrário. O que

sustenta esses equilíbrios é o fato de que a parte da curva de oferta relativa as unidades que não são marginais não é relevante. Desse modo, os participantes oferecem curvas de oferta bastante inclinadas fazendo com que o custo de oportunidade da unidade marginal fique muito alto. A seguir, o resultado acima é demonstrado:

Teorema 1 (Back e Zender (1993) adaptado): Assuma que pH cH. Para

cadap* cH,pH , existe um equilíbrio simétrico em estratégias puras do leilão uniforme P

(11)

11 em que p se

( )

=p*em todo estado s e que a curva de oferta de cada participante não varia com seus próprios sinais. A curva de oferta de equilíbrio é

(1.1)

( )

(

)

(

)

0 se '

se *

* '

se *, 1

i

p p

p p

q p Q p p p

p p n p p

Q p p n ′ < −

= < ≤

− + −

> −

em que p′ =

(

n1

)

cL n+p* n. Cada participante recebe a quantidadeQ n em todo estado s.

Dem. Vamos mostrar que se todos os participantes ji escolhem esta curva de oferta

como lance, então a melhor resposta para o agente i também será escolhê-la. O agente idefronta-se com a seguinte curva de demanda residual:

( )

se ' *

se ' *

0, se * 0 se *.

L

L

Q p p

Q p c

p p p

n p c

x p Q p p n p p < − ≤ < − = = >

O participante i, defrontando-se com esta curva de demanda residual escolhe o “stop-out

price” que maximiza a sua receita. Os outros participantes demandam toda a oferta ao preço p*, portanto, nenhum lance acima de p* pode ser vencedor. Como se pode observar, a demanda residual possui uma descontinuidade em p*. Sendo assim, ao escolher este preço como “stop-out price”, i receberá uma quantia q* 0,Q

n

(12)

12 tanto, basta escolher uma curva de oferta q p

( )

que satisfaça limp p *q p

( )

=q*. Haverá racionamento no caso em que limp p*q p

( )

Q

n

↑ < .

Se o participante i escolher p*como o “stop-out price”, então ele ofertará a maior quantidade possível, logo q* Q

n

= . Não faz sentido escolher p<p′, pois se

escolherp=p′este preço ele já vende a quantidade Q, e diminuir o preço apenas

diminuiria a receita. Portanto, a escolha ótima do “stop-out price” está no intervalo

[

p p′, *

]

. Se ele escolher qualquer preço no interior deste intervalo, obterá a

demanda residual

( )

* L

L

Q p c

x p

n p c

− =

− . Contudo, temos que:

(

) ( )

(

)(

)

(

)

[

]

*

0, ', * .

L L

L

Q p c c c

d

p c x p p p p

dp n p c

− −

− = ≥ ∀ ∈

Portanto, a receita do participante i aumenta quanto maior for o “stop-out price” neste

intervalo. Note que i não pode melhorar escolhendo uma curva de oferta descontínua em

nenhum ponto, já que não haveria racionamento fora de p*.

Portanto, o melhor que i pode fazer é escolher p=p* e vender a quantidade q* Q

n

= .

Para tanto, basta escolher uma curva de oferta que satisfaça limp p*q p

( )

Q n

↑ = . Note que

a curva de oferta (1.1) satisfaz essa condição. Dado que esta curva de oferta é ótima para qualquer realização possível de c, ela será ótima condicional a qualquer sinal si.

(13)

13 bastante inclinadas de modo a inibir um comportamento mais agressivo dos seus oponentes. Se os outros participantes submeterem a curva de oferta (1.1) então a porção inclinada da oferta de um participante qualquer não irá lhe custar nada, já que estes preços nunca serão atingidos.

No leilão uniforme, para um determinado participante ganhar uma quantidade um pouco maior, o preço diminuirá para todas as suas unidades, não só aquela marginal. Quando os agentes escolhem curvas de oferta bastante inclinadas eles fazem com que este “efeito preço” seja mais importante que o “efeito quantidade” no ponto p*, eliminando assim, o incentivo de outros participantes aumentarem a quantidade ofertada.

Isso possibilita equilíbrios com preços arbitrariamente altos e ineficientes, já que a oferta será racionada igualmente para todos os participantes independendo de seus custos de produção de energia. Portanto, a intuição de que o leilão uniforme era o análogo ao leilão de segundo preço não estava correta. A razão pelo qual o leilão de segundo preço é eficiente é que nele, o agente vencedor paga o custo de oportunidade da unidade que recebe. No leilão uniforme, o vencedor paga por todas as unidades o custo de oportunidade da unidade marginal, e não o custo de oportunidade de cada unidade vencida. Analisaremos o leilão de Vickrey multiunidade, em que a propriedade do pagamento ser igual ao custo de oportunidade mais adiante.

Q n

p

1

Q

n

*

(14)

14 Contudo, nem tudo está perdido para o leilão uniforme! Mudanças nas suas regras podem ter um profundo impacto sobre a eliminação de equilíbrios indesejáveis. Aqui, vamos estudar três delas. A primeira, analizada por Back e Zender (2001), mostra que se o leiloeiro escolher estrategicamente a quantidade demandada no leilão, então não haverá “overpricing”. A segunda propõe pequenas mudanças na regra de alocação, sobretudo, do modo como é feito o racionamento das unidades marginais. Por último, se os participantes estiverem restritos a dar lances discretos, isto é, se os participantes submeterem múltiplos pares quantidade-preço ao invés de curvas, o “overpricing” não será tão severo. Os últimos dois resultados foram derivados por Kremer e Nyborg (2004a, 2004b).

2.3. Quantidade endógena

Vamos aqui mostrar, sob o mesmo arcabouço do modelo anterior, que se o leiloeiro determinar a quantidade transacionada no leilão de forma estratégica depois de observar os lances dos participantes, os equilíbrios com preços arbitrariamente indesejados pelo leiloeiro podem ser evitados. Como visto anteriormente, esses resultados podiam ser sustentados porque os participantes só se preocupam com um único ponto em sua curva de oferta, aquele correspondente ao “stop-out price”. O resto da oferta não tem efeito sobre o resultado do leilão, e é utilizado somente para inibir comportamentos agressivos de outros participantes.

O leiloeiro acha vantajoso diminuir a demanda quando os participantes oferecem curvas de oferta bastante inclinadas, pois, uma pequena redução na quantidade altera o “stop-out price” significativamente. Essa possibilidade inibe comportamentos anti-competitivos dos participantes. O resultado final deste jogo é que em equilíbrio, o leiloeiro transaciona toda a quantidade que deseja e os participantes pagam a sua valoração real pelo bem.

Vamos seguir o modelo de Back e Zender visto acima, com exceção de que agora não há incerteza sobre o custo marginal da produção de energia c. Novamente, há um número

1

(15)

15 as regras do leilão uniforme (inclusive as de racionamento em caso de lances empatados).

Cada participante i submete uma curva de oferta q: 0,pH 0,Q . Denote por i

q a

curva de oferta do indivíduo i. Depois de observadas todas as curvas de oferta q1,...,qn,

o leiloeiro escolhe a quantidade Q que irá comprar.

Com esta pequena alteração, chegamos ao seguinte resultado:

Teorema 2 (Back e Zender (2001) adaptado): Assuma que o vendedor possa escolher

QQ depois de observar os lances dos participantes. Em qualquer equilíbrio, o

vendedor escolhe Q=Q e o “stop-out price” é ao menos (n−1)c n.

Dem. Suprimida.

Note que, o leiloeiro acaba não utilizando o direito que possui de determinar ex post a quantidade transacionada no leilão. Contudo, apenas a possibilidade de utilizá-lo inibe os participantes de escolherem curvas de oferta inclinadas de modo a inibir comportamentos mais agressivos dos outros participantes. Além disso, o Teorema 2 mostra que um aumento no número de participantes melhora o resultado do leilão, o que não era verdade no Teorema 1. Lá, os equilíbrios com “stop-out prices” relativamente baixos independiam do número de participantes.

(16)

16 2.4. Regra de Alocação

Ilan Kremer e Kjell Nyborg (2004a) argumentam que não é o fato do bem ser divisível que possibilita uma gama de equilíbrios com “stop-out prices” arbitrariamente baixos, mas sim a maneira como estes são divididos. Eles mostram que, com uma pequena mudança na regra de alocação, os equilíbrios ruins para o leiloeiro são eliminados.

Essa pequena mudança será feita na regra de racionamento da demanda, no caso em que a oferta supera a demanda no “stop-out price”. Vimos que, parte das curvas de oferta que estavam acima desse preço era garantidas para os participantes, enquanto a parte relativa ao “stop-out price” era dividida de forma pro - rata.

Acreditava-se que esta regra incentivava os participantes serem mais agressivos, já que ele seria recompensado por dar lances com preços mais baixos. Contudo, essa regra propicia os comportamentos anti-competitivos vistos acima. Na verdade, essa regra possui o mesmo efeito de que se restringíssemos os participantes a submeterem curvas de oferta contínuas. Essa restrição resulta em equilíbrios com receita baixa, como é mostrado por Wilson (1979).

A intuição por detrás da mudança da regra de alocação é análoga a comparação entre as competições de Bertrand e Cournot. No primeiro, quando um agente desvia um pouco o preço para baixo, ele captura o mercado inteiro. Em Cournot, uma pequena mudança no preço é associado a apenas uma pequena elevação na quantidade suprida por um agente. Bertrand leva ao resultado competitivo, pois sua regra de alocação favorece uma recompensa substancial mesmo para um pequeno desvio no preço ofertado.

(17)

17 Definição 1. Uma regra de alocação satisfaz a propriedade majoritária se um participante cuja oferta é maior que 50% da oferta agregada vende uma quantidade acima de .5Q. Ou

seja, para todo

α

>.5 existe

β

>.5 tal que q pi

( )

* =

α

q p

( )

* implica que qi>

β

Q.

Um exemplo de alocação que respeita a propriedade majoritária é a chamada pro rata. Nela, cada participante vende uma quantidade proporcional a sua oferta no “stop-out price”:

( )

( )

* * i i

q p

q q p

=

De posse dessa definição, podemos enunciar o seguinte resultado:

Teorema 3. (Kremer e Nyborg (2004) adaptado). Se a regra de alocação satisfaz a propriedade majoritária, então o único “stop-out price” de equilíbrio é p*=c.

Dem. Denote o “stop-out price” de equilíbrio por p*. Note que p*≥c, já que se p<c,

qualquer participante poderia aumentar seu lucro (diminuir o prejuízo) ofertando zero para este preço. Assuma que p*>c. Vamos mostrar, primeiramente, que isso é uma

contradição no caso em que há mais de dois participantes. Nesse caso, há pelo menos um participantejtal que qj <.5Q, pois 1

n i

i=q =Q. Considere o seguinte desvio para o participante j:

se * 0 caso contrário. j

Q p p

q′ = ≥ −

ε

Para

ε

suficientemente pequeno, o participantejiria se beneficiar com este desvio. Note

que, se j adotasse essa estratégia, o novo “stop-out price” seria p*−

ε

. Como p*era o “stop-out price” anteriormente, tínhamos que 1

(

)

*

qp − <

ε

Q. Pela regra majoritária, j

venderia com o desvio uma quantidade superior a .5Q. O seu lucro esperado nesse caso

(18)

18

(

)

(

)

.5Q p*− −

ε

c >qj p*−c

Ou seja, o desvio é lucrativo. Vamos analisar o caso em que há apenas dois participantes, 1 e 2. Se no equilíbrio qi<.5Q, então argumento análogo ao utilizado no caso de mais de dois participantes. Se q1=q2=.5Q então temos que q p1

(

*− +

ε

)

q2

(

p*− <

ε

)

Q para

todo

ε

>0. Isso implica que q pi

(

*− <

ε

)

.5Q para algum i=1, 2. Neste caso, o participante ji pode fazer o mesmo desvio que no caso anterior, a saber,

se * 0 caso contrário. j

Q p p

q′ = ≥ −

ε

Pela propriedade majoritária, ele vende uma quantia

β

Q>.5Q e obtém um lucro igual a

(

*

)

Q p c

β

− −

ε

. Para

ε

suficientemente pequeno,

β

Q p

(

*− −

ε

c

)

>.5Q p

(

*−c

)

, logo o desvio é lucrativo. Temos então, que no equilíbrio, p*=c.

Esse resultado exemplifica como uma pequena mudança na regra do leilão pode alterar significativamente o seu resultado. Talvez, muito dos resultados insatisfatórios do leilão uniforme devam-se apenas a uma simples regra de desempate. Isso serve como um sinal de alerta para quem desenha os mecanismos de leilão ao redor do mundo. Como veremos, o leilão de geração de energia possui uma quantidade considerável de regras peculiares que nunca foram objeto de um estudo formal.

2.5. Lances discretos

Na prática, muitas vezes os participantes devem submeter um número finito de lances relacionando preço e quantidade ao invés de uma curva de oferta propriamente dita. Outras vezes, esse número pode até ser infinito, mas devem seguir incrementos discretos (“tick sizes”), ou serem múltiplos de algum número. Kremer e Nyborg (2004b) mostram que nesses casos, o “overpricing” pode ser reduzido arbitrariamente.

(19)

19 quantidade que irá vender. Mostramos, que no modelo padrão, ao jogarem curvas de oferta bastante inclinadas, os participantes inibiam comportamentos mais agressivos, de modo a sustentar preços arbitrariamente altos no equilíbrio.

Quando os agentes são obrigados a submeterem lances discretos é que a oferta residual nos pontos de descontinuidade nunca é negligenciável. Nesses pontos, o “efeito quantidade” pode superar o “efeito preço”, estimulando a agressividade dos participantes. Eles podem ter um incremento em sua quantidade vendida com apenas uma diminuição de preço irrisória.

Vamos mostrar aqui os resultados encontrados em Kremer e Nyborg (2004b) que estabelecem que quando não há “tick size” para o movimento dos preços, então essa competição de preços marginais irá diminuir o “stop-out price” até o “overpricing” ser eliminado. Quando há “tick size” o “overpricing” será limitado e este limite é positivamente relacionado com o tamanho do leilão e negativamente com o número de participantes e quanto maior for o múltiplo das quantidades. Intuitivamente, o “overpricing” é reduzido quando a margem se torna relativamente maior, o que a torna mais atrativa para os participantes.

Primeiramente, vamos ver o caso em que os participantes estão restritos a submeter um número finito de lance. Cada um desses lances representa um par preço-quantidade representando a demanda marginal para um determinado preço. Nesse caso, o participante i submete o seguinte conjunto de lances:

(

)

{

, ,

}

1

, Ti i i n i n

n

b p q

=

= .

Em que Ti< ∞é o número de lances desse participante. Note que não restringimos o

valor de Ti, esse pode ser escolhido por cada jogador, desde que seja finito. A coleção de

(20)

20

( )

, ,

1 i T

i i n i n

n

q p q I p p

=

= ≥

Nesse caso, restringir os participantes a submeterem um número finito de lances é o mesmo que restringi-los a submeterem curvas de oferta do tipo acima. Se este for o caso, chegamos ao seguinte resultado:

Teorema 4. (Kremer e Nyborg (2004b) adaptado). Suponha que cada participante pode submeter apenas um número finito de lances. Então o stop-out price de equilíbrio é

*

p =c.

Dem. Se os participantes estão restrito a dar um número finito de lances, então a curva de oferta residual para cada um deles também será discreta. Suponha por contradição que haja um equilíbrio em que p*>c. Vamos mostrar que é vantajoso para algum

participante e para algum

ε

arbitrariamente pequeno, um desvio da forma:

se * 0 caso contrário. j

Q p p

q′ = ≥ −

ε

Estamos supondo que p*>c. Como há apenas um número finito de lances podemos

encontrar um Ε tal que não haja nenhum lance entre p*e p*+Ε. Isso implica que para cada participante j há uma constante

α

j* tal que qj

( )

p =

α

j* se p

(

p*+Ε, *p

)

. Além disso, temos que se algum participante demandar uma quantidade q<Q ao

preçop*, ele poderá aumentar a quantidade que irá vender escolhendo um lance em que a oferta é Q ao preço p*. Portanto, no equilíbrio, todos os participantes devem ofertar Q

ao preço p*. Sendo assim, temos que haverá racionamento a este preço. Pela regra pro - rata na margem, todos os participantes iriam ofertar a quantidade Q N.

Pegue um participante j qualquer. Se ele der um lance igual ao desvio proposto acima,

(21)

21 Em muitos leilões, os participantes são obrigados a dar lances discretos. O resultado acima mostra que, nesse caso, o leilão uniforme não apresenta equilíbrios tão desfavoráveis ao leiloeiro como foi argumentado por Back e Zender (1993).

Note que, em todos os resultados que chegamos acima, foi utilizada a hipótese de valoração privada do bem pelos participantes, bem como informação completa. Ou seja, os participantes conheciam a sua valoração e a valoração que os outros tinham pelo bem. Em um ambiente de incerteza, os resultados acima podem não ser verdadeiros. Ausubel e Cramton (2002) mostram alguns resultados quando este é o caso. Em particular, mostram que tanto no critério de geração de receita, como no de eficiência, o ranking entre os leilões uniforme e discriminatório é ambíguo.

No ambiente descrito nessa seção, o leilão discriminatório também levaria a resultados ótimos. Para ver isso, basta perceber que, como não há incerteza, uma competição a lá Bertrand ocorreria o que implicaria em preços de equilíbrios iguais as verdadeiras valorações.

O que aprendemos com essa seção foi que a performance do leilão uniforme depende muitas vezes de pequenos detalhes de sua regra. Portanto, é preciso estar atento quando se propõem algumas mudanças nas regras de um leilão, seja ele uniforme, ou não. Isso indica que o leilão brasileiro de geração de energia deve ser olhado com maior cuidado, já que possui regras peculiares que não foram submetidas a estudos mais profundos. A criação de novas regras pode ter um profundo impacto sobre os seus resultados.

3. Incerteza.

(22)

22 simetria, não se consegue atingir equilíbrios eficientes tanto em leilões uniformes como em discriminatórios.

O modelo que utilizaremos será análogo ao utilizado em seções anteriores com algumas exceções. Vamos considerar que os custos marginais de todos os participantes são independentes e seguem uma distribuição ex ante conhecida por eles, ci~F

[ ]

0,1 . Além disso, cada um possui uma restrição de capacidade

λ

i. Note que agora a função oferta que os participantes estão sujeitos a fazer dependerá do seu custo marginal. Uma estratégia será uma curva de oferta inversa para cada realização do seu custo marginal,

(

)

[ ] [

]

, , : 0,1 0,

i i i

c b q c

λ

. A regra de alocação é a de um leilão convencional que implica

que o critério de desempate é o pro - rata na margem. A seguir, enunciaremos um resultado importante para caracterizarmos algumas propriedades de cada tipo de leilão. Trata-se de uma condição necessária sobre os lances dos participantes para que se atinja um equilíbrio eficiente em um leilão convencional.

Lema 1. (Ausubel e Cramton, 2002). Em um leilão convencional com custos marginais independentes, eficiência ex post implica que os participantes devem oferecer curvas oferta simétricas e constantes para quase - todo c b q ci:

(

, i

)

=

φ

( )

ci para q

[

0,

λ

i

]

. Além disso,

φ

: 0,1

[ ] [ ]

→ 0,1 é estritamente crescente quase - sempre.

Dem. Suprimida.

O que esse Lema nos diz é que para um leilão convencional alocar eficientemente, é necessário que os participantes dêem lances constantes e que esses dependam de forma estritamente crescente dos seus custos marginais. Se os lances não fossem constantes, haveria um intervalo do preço em que, com probabilidade positiva um participante com um custo marginal superior estaria vendendo uma quantidade positiva de energia que outro com custo marginal menor poderia estar provendo.

(23)

23 de ineficiência. A seguir, vamos enunciar o resultado contido em Ausubel e Milgrom (2002) que mostra que o leilão uniforme não será eficiente se algumas condições não forem atendidas.

Teorema 5. (Ausubel e Cramton, 2002). Considere um modelo com custos marginais constantes e independentes. A menos que

λ

i =

λ

para todo i e que 1

λ

seja um inteiro, não existe um equilíbrio eficiente ex post para o leilão uniforme.

Dem. Suprimida.

Como dito anteriormente, se um participante possui uma probabilidade positiva de influenciar o preço na situação que ganha uma quantidade positiva, ele possui incentivo a esconder o seu lance. O ganho marginal de esconder o verdadeiro custo é dado pela multiplicação entre a quantidade que um participante ganha no caso em que é pivotal e a probabilidade de isso ocorrer.

Quando

λ

i=

λ

para todos i e 1

λ

é inteiro, o resultado não é aplicável. Isso ocorre porque a quantidade que um participante ganha quando se torna pivotal é igual a zero. Nesse caso, ele só altera o preço quando ganha uma quantidade nula, logo terá incentivos a ofertar toda a sua quantidade ao seu verdadeiro custo marginal.

Vamos mostrar agora que, sob algumas hipóteses razoáveis em que eficiência não podia ser atingida no leilão uniforme, ela é atingida via leilão discriminatório. Seja c( )k a

estatística de ordem inversa dos custos marginais dos participantes com exceção do produtor i. Ou seja, c(1) <c( 2)< <... c(N−1). Além disso, denote por m o maior inteiro positivo

tal que m

λ

<1. Eficiência requer que seja auferida uma quantidade

λ

do bem para o participante i se ci<c( )mi , 1−m

λ

unidades se c( )m <ci <c(m+1) e nenhuma unidade se

(m1) i

c + <c. Sendo assim, a quantidade esperada que o participante i irá receber se o leilão for eficiente é dada por:

( )

1 ( )

( ) (

1

)

{

1 ( )

( )

1 ( 1)

( )

}

i i i

i i m i m i m i

(24)

24 Vamos encontrar um equilíbrio simétrico eficiente do leilão de primeiro preço. Veremos que ele é bem similar ao caso de leilão de uma unidade. Começaremos lembrando que a restrição de incentivo usual implica que o pagamento recebido por um participante com custo marginal ci tem que obedecer:

( )

1

( )

i

i c i

P c = Q x dx

Suponha que exista um equilíbrio eficiente do leilão discriminatório. Pelo Lema 1, as curvas de ofertas dadas pelos participantes devem ser constantes. Supondo que tal equilíbrio exista, uma segunda maneira de calcular o pagamento esperado para o participante i é dada por:

( )

i i

( ) ( )

i i i i

P c =Q c

φ

cc

Combinando as duas equações, chegamos em:

(1.2)

( )

( )

( )

1

i i c

i i i

i i

Q x dx

c c

Q c

φ

= +

Podemos enunciar o seguinte resultado:

Teorema 5. (Ausubel e Cramton, 2002). Se os custos marginais dos participantes são i.i.d e suas capacidades,

λ

i são idênticas, então a equação (1.2) fornece um equilíbrio eficiente ex post do leilão discriminatório.

Dem. Vimos que uma condição necessária para um equilíbrio ex post eficiente é obedecer a equação (1.2). Se todos os participantes são simétricos, ou seja, se ci e cjserem i.i.d

i

λ

=

λ

, então Qi

( )

⋅ =Qj

( )

⋅ e

φ

i

( )

⋅ =

φ

i

( )

⋅ ≡

φ

( )

⋅ . Além disso, temos que

φ

( )

⋅ é estritamente crescente, logo gera alocações eficientes. Cada participante utilizando

φ

( )

(25)

25 Ao contrário do leilão uniforme, esse resultado não depende de nenhuma restrição sobre o valor de 1

λ

para que o leilão discriminatório seja eficiente. Encontramos então um conjunto de situações em que o leilão discriminatório é superior ao uniforme.

Contudo, é importante notar que o resultado anterior depende da simetria entre os participantes. É possível mostrar que se qualquer hipótese sobre simetria não for satisfeita, então não irá existir equilíbrios eficientes no leilão discriminatório. Basta notar que a função melhor resposta encontrada no Teorema anterior

φ

i

( )

⋅ não será a mesma para todos os participantes em conjuntos com probabilidade positiva, abrindo margem para resultados ineficientes.

Portanto não podemos chegar a nenhuma conclusão sobre o ranking em termos de eficiência do leilão uniforme e o discriminatório. Sob algumas hipóteses razoáveis, o discriminatório apresenta equilíbrios eficientes enquanto o uniforme não. Porém, sob outras, também razoáveis, o contrário é válido.

4. Um caso simples: Duopólio.

Em toda a nossa análise sobre leilão multiunidade, supomos que os participantes não tinham restrição sob a quantidade que pretendiam ofertar. Ou, analogamente, podia até ter essa restrição, mas essa não era ativa. Fabra et all (2006) comparam os leilões uniforme e discreto em um caso simples em que há dois participantes com restrição de capacidade e custos marginais assimétricos sob uma variedade de hipóteses.

No artigo a conclusão que se chega é que os leilões com preço uniforme resultam em preços, em média, maiores que o leilão discriminatório, mas o ranking em termos de eficiência alocativa é ambíguo.

(26)

26 A análise começa com um modelo simples de duopólio em que dois ofertantes “single units” com capacidades e custos marginais assimétricos defrontam-se com uma curva de demanda perfeitamente inelástica e conhecida. Por “single-unit”, os autores querem dizer que cada ofertante deve submeter apenas um preço de oferta para a sua capacidade inteira. A demanda é perfeitamente inelástica e estocástica. Contudo, ao fazer seus lances, os participantes já conhecem a realização da demanda no período.

Os equilíbrios dos leilões irão depender fundamentalmente da realização da demanda. Se esta for baixa, os lances do único equilíbrio são iguais ao custo marginal do agente mais ineficiente e apenas o mais eficiente despachará a energia. Deste modo, o resultado nos dois leilões serão o competitivo no sentido de que os preços são restritos ao custo marginal do agente ineficiente e o custo total da produção de energia é minimizado.

Há apenas dois agente, 1 e 2. Os dois participantes possuem custos marginais constantes ci≥0 e restrições de capacidadeki>0, i=1, 2. Os custos marginais são indexados de forma que 0=c1c2=c.. O nível de demanda em qualquer período é uma

variável aleatória

θ

~

θ θ

, ⊆

(

0,k1+k2

)

independente do preço do mercado e

perfeitamente inelástica. Existe um preço de reserva máximo P que restringe o pagamento aos participantes. O primeiro resultado que os autores chegam é enunciado a seguir:

Resultado 1. (Fabra et all, 2006). Existe um

θ θ

ˆ= ˆ

(

c k k P, ,1 2

)

tal que:

(demanda baixa) Se

θ θ

ˆ, no único equilíbrio em estratégias puras o “stop-out price” é c (demanda alta) Se

θ θ

ˆ, todos os ofertantes recebem preços que excedem c. Um equilíbrio em estratégias puras existe no leilão uniforme, com o “stop-out price” igual a P, mas não existe no leilão discriminatório.

(27)

27 como lance. Diferentemente do que acontecia anteriormente, o participante com menor custo não será necessariamente o vencedor do leilão. De fato, o equilíbrio será eficiente ou não dependendo dos parâmetros de cada agente e da realização da demanda.

No leilão discriminatório não existe equilíbrio em estratégias puras em estados em que a demanda é alta. Em particular, existe apenas um equilíbrio em estratégias mistas em que os dois agentes mixam em um suporte comum, e este está acima do custo marginal do agente ineficiente e que possui o preço de reserva de mercado. O equilíbrio não é necessariamente eficiente, já que com probabilidade positiva, o agente com maior custo é o ganhador do leilão.

As probabilidades de realizações dos estados em que a demanda é alta ou baixa depende fundamentalmente da estrutura da indústria e da diferença entre o preço de reserva e o custo do agente ineficiente. Primeiramente, os autores concluem que dado uma razão entre as capacidades dos ofertantes, a incidência de estados de demanda baixa aumenta quanto maior for a capacidade agregada. Além disso, a incidência de estados com demanda baixa é maior quanto mais os agentes forem simétricos em relação à capacidade e assimétrico quanto aos custos de produção, já que a perda no lucro do agente eficiente quando dá um lance igual ao custo marginal do ineficiente relativamente a servir a demanda residual é menor quanto maior for o custo do último. Por último, a incidência de demanda baixa depende do preço de reserva. Como o lucro de desviar do comportamento competitivo estará determinado pelo preço de reserva, quanto maior for este, maior o incentivo a este comportamento. Dessa forma, um preço de reserva menor melhora a performance do mercado não apenas diminuindo o poder de mercado, como também diminuindo a incidência de estados com demanda alta.

O artigo também compara os dois tipos de leilão. Para o formato do leilão f =u d, , denote por f

R e Cf a receita e o custo totais esperados pelo leilão do tipo f , respectivamente. Os autores chegam ao seguinte resultado:

Resultado 2. (Fabra et all). Performance do mercado:

ˆ ˆ

se e se

d u d u

(28)

28 ˆ

se

d u

C =C

θ θ

≤ . No caso em que

θ θ

> ˆ, o ranking dependerá dos parâmetros e de quais dos equilíbrios irão ocorrer.

A primeira conclusão chegada é a de que o leilão discriminatório é fracamente superior ao uniforme quando se compara receita esperada. Já vimos que quando o estado da demanda é baixo, os dois leilões geram o mesmo resultado. Quando a demanda é alta, o preço de mercado está em seu máximo (o preço de reserva) no leilão uniforme, enquanto que com probabilidade positiva, ele está abaixo desse nível no leilão discriminatório. Quanto à eficiência, o resultado é ambíguo. Vimos que existem dois tipos de equilíbrio no leilão uniforme, sendo que em um deles os custos totais são minimizados enquanto no outro, são maximizados. A probabilidade de que os custos envolvidos no equilíbrio do leilão discriminatório fique entre esses dois níveis é 1. Portanto, o ranking dependerá dos parâmetros e da realização da demanda.

Pode-se generalizar o resultado acima para o caso em que os participantes podem dar um número discreto de lances, combinando quantidades e preços. A primeira conclusão que chegam nesse cenário é que em equilíbrio, a alocação da produção de energia é independente do número de lances possíveis. É sempre ótimo para os participantes darem lances constantes, portanto a restrição imposta anteriormente não altera os resultados do leilão.

(29)

29 A segunda extensão faz uma análise dos leilões permitindo que a demanda por energia seja elástica. O resultado obtido anteriormente sobre a existência de um único “threshold” que determina se a demanda é alta ou baixa é estendido para esse caso. Contudo, o “threshold” dependerá da elasticidade da demanda, a saber:

Resultado 3. (Fabra et all, 2006).

Os preços de equilíbrio são não decrescente com a elasticidade da demanda. O threshold crítico

θ

ˆ é não decrescente na elasticidade da demanda.

A elasticidade preço da demanda afeta o mercado de duas maneiras. Primeiro, a distorção devido ao exercício do poder de mercado é menor com uma demanda mais elástica. Segundo, a incidência de estados em que a demanda é do tipo alta é reduzida também será menor quanto maior for a elasticidade.

A performance dos tipos de leilão com demanda elásticas também é essencialmente a mesma com duas observações: Como o preço no leilão discriminatório normalmente são mais baixos, há um ganho na eficiência alocativa correspondendo ao aumento no consumo.

A variação seguinte feita pelos autores possibilita um número maior de participantes do leilão. Primeiramente, supõe-se que os agentes sejam assimétricos, ou seja, cada um possui o seu determinado custo marginal de produção de energia e uma restrição de capacidade.

(30)

30 Como no caso de duopólio, há uma dicotomia em relação ao ranking dos dois tipos de leilão. Isso ocorre porque o leilão discriminatório não possui nenhum equilíbrio em estratégias puras e depende de qual equilíbrio será jogado no leilão uniforme, já que este pode ou não ser eficiente.

Por fim, os autores consideram a relação entre estrutura e performance do mercado. Para tanto, consideram um modelo em que as capacidades sejam simétricas entre os agentes. A conclusão que chegam é que a estrutura do mercado afeta o equilíbrio diferentemente nos dois tipos de leilão. Em ambos os formatos, o threshold que determina se a demanda é alta ou baixa é crescente em relação ao número de ofertantes4. Contudo, no leilão

discriminatório, a estrutura de mercado também afeta a estratégia dos participantes quando a realização da demanda é alta.

A última extensão do modelo assume que a demanda é estocástica ou variante no tempo, de forma a não ser conhecida pelos participantes. Essa hipótese é de particular importância quando os participantes fazem lances que permanecem válidos por mais de um período, ou mesmo quando há alguma regra peculiar do leilão que faça com que a demanda não seja conhecida pelos participantes, como no caso brasileiro.

Nesse caso, a incerteza sobre a demanda impossibilita qualquer equilíbrio em estratégias puras nos dois tipos de leilão. A boa notícia é que ambos os tipos possuem equilíbrios em estratégias mistas únicos. Nesses equilíbrios os ofertantes submetem lances superiores ao custo marginal do agente menos eficiente.

Em um equilíbrio em estratégias mistas em qualquer tipo de leilão os participantes defronta-se com dois efeitos opostos, a saber: uma oferta de preço alto tende a resultar em equilíbrios com preços mais altos, contudo, ofertas com preços mais elevados diminuem a quantidade vendida esperada. O primeiro efeito é mais fraco no leilão uniforme, logo há uma tendência dos participantes serem mais agressivos no leilão discriminatório comparado ao leilão uniforme. Seja f e f

l s

E R E R o pagamento

(31)

31 esperado total aos participantes no caso de lances com vida curta e com vida longa, respectivamente, os autores confirmam esta intuição para o caso simétrico em que os custos marginais e as capacidades são idênticas entre os participantes no seguinte resultado:

Resultado 3. (Fabra et all, 2006). No duopólio com capacidades simétricas, e

u u d d

l s l s

E R <E R E R =E R .

Os resultados encontrados nesse caso especial só corroboram com a ambigüidade do ranking entre leilão uniforme e discriminatório. No caso específico de duopólio em que não há incerteza sobre os parâmetros dos agentes, vimos que o leilão uniforme é fracamente preferível ao discriminatório. Contudo, vimos anteriormente que em alguns casos razoáveis, o leilão discriminatório gera resultados superiores quando implementamos incerteza no modelo.

5. Leilão de Vickrey

O leilão de Vickrey para o caso de apenas uma unidade possui a propriedade de que dar o lance igual a sua valoração é estratégia fracamente dominante. Uma pergunta que surge é se isso ocorre quando o generalizamos para o caso multiunidade. Antes disso, devemos definir as suas regras de forma correta. O princípio do leilão de Vickrey é que um participante que seja o ganhador de certa quantidade em um leilão de mais de um bem (ou um bem divisível) pague por ela o seu custo de oportunidade para o leiloeiro. Isso significa que ele paga por cada unidade o maior lance perdedor referente a ela. Por exemplo, no caso com M objetos indivisíveis, um participante que ganhe K objetos paga pela k-ésima unidade que ganha, o k-ésimo maior lance dos outros participantes.

(32)

32 Formalizando, sendo q pi

( )

o lance do agente i, defina qi

( )

p como a oferta residual dos outros participantes, ou seja, i

( )

j

( )

j i

q p q p

= . Lembrando quepHé o preço de

reserva do leiloeiro, vamos definir o “stop-out price” desse leilão como função do lance do participante i:

( )

(

)

min

( )

( )

se

( )

( )

caso contrário.

H H

j i j i

s

j i j i

i

H

p p q p q p Q p p q p q p Q

p q p

p

≠ ≠

≤ + ≥ ≤ + ≥ ≠ ∅

=

Denote pi como o “stop-out price” no caso em que o agente i não participa do leilão, ou

seja, i min

{

( )

}

i

p− = p q pQ . As regras do leilão de Vickrey estipulam que o

participante i receba uma quantidade qi

( )

p , e que pague por isso: H

p

Q

( )

i

q

p

( )

i

q

p

(33)

33

( )

( )

0 i q p

s i

P= p x dx

Teorema 6. Lances sinceros por parte dos participantes (a sua verdadeira demanda) são estratégias fracamente dominantes para o leilão de Vickrey no nosso ambiente de custos marginais privados.

Dem. Note que, se os participantes são obrigados a darem lances monótonos, a única coisa que importa no lance deles é quantidade que ele irá vender. O formato da curva de oferta até esse ponto não altera o resultado. Portanto, uma estratégia de um participante é apenas a escolha de um quantidade que maximize o seu lucro esperado. O lucro esperado de um participante i qualquer será dado por:

( )

( )

0

q

s

i

q p x dx c q q Q

π

= − ≤

Analisando a expressão acima, podemos perceber que o lance sincero:

( )

0 se

Q se i i

i

p c

q p

p c

≤ =

>

maximiza o lucro esperado acima, independentemente do lance dos outros participantes (contanto que sejam monótonos). Sendo assim, lance sincero é uma estratégia fracamente dominante para o nosso leilão de Vickrey.

O resultado acima mostra que esse leilão alocará de forma eficiente a produção de energia. Duas considerações devem ser feitas sobre o resultado acima. A primeira delas é que o nosso resultado depende da hipótese de custos marginais serem privados. Ausubel e Cramton (2004b) estudam esse leilão para o caso de leilão de venda. Eles mostram que se a valoração dos bens não forem privadas, então lance sincero pode não ser estratégia fracamente dominante.

(34)

34 dito anteriormente, os preços nesse leilão são determinados pelo custo de oportunidade de vencer, isto é, um ganhador recebe pela sua produção de energia o menor valor cujo leiloeiro poderia comprar a energia no caso em que esse participante não estivesse no leilão. Se a quantidade que um participante vende é maior do que o excesso de oferta nesse leilão quando ele é removido, então o preço que ele receberá por todas as unidades vencidas será o preço de reserva.

Um exemplo clássico desse problema do leilão de Vickrey aconteceu na venda de licenças de espectro da Nova Zelândia em 1990. O leilão era um leilão de venda, e não de compra como o estudado aqui, portanto, o risco era de que o pagamento recebido pelo leiloeiro fosse muito baixo ao implantar esse mecanismo. E isso realmente aconteceu. Em um caso, o lance vencedor foi de $100.000, mas pagou-se apenas $6, e em outro, o lance vencedor foi de $7.000.000, mas pagou-se apenas $5.000.

6. Leilão Ascendente.

Até agora, todos os leilões que estudamos são classificados como estáticos. Nesses tipos de leilão, cada participante da apenas um lance, e de posse desses lances, o leiloeiro estabelece a quantidade que cada um irá produzir e o quanto deverá receber por isso. No caso de leilão unitário, exemplos de leilões estáticos são leilão selado de primeiro preço, leilão de Vickrey, leilão all-pay entre outros.

Vamos ver agora leilões que possuem vários estágios até que se determine o resultado final. Nestes tipos de leilão, os participantes recebem informação sobre o verdadeiro valor do bem ao longo do leilão. Essa informação é transmitida para um participante qualquer através do conhecimento dos lances dados por seus oponentes na medida em que os estágios ocorrem.

(35)

35 Nesse exemplo, quando o leilão é estático e assumindo que no equilíbrio, os lances são monótonos em relação ao sinal, então o participante com o maior sinal irá ser o vencedor. Contudo ele irá levar em conta que se ele for o ganhador, o seu sinal será o maior. Condicional a isso, a probabilidade de ele receber um sinal que superestime o verdadeiro valor é positiva. Isso faz com que ele seja mais cauteloso na escolha de seu lance.

Em um leilão dinâmico, por sua vez, os lances em cada estágio revelam informações sobre o sinal dos participantes, diminuindo assim a incerteza sobre o valor do bem ao longo do leilão. Dessa maneira, os participantes podem agir mais agressivamente, aumentando assim a receita esperada do leiloeiro. Esse é a grande vantagem dos leilões dinâmicos. No caso unitário, pode-se demonstrar que o leilão inglês, que é dinâmico supera, em termos de receita esperada os leilões de primeiro e de segundo preço quando há valorização comum5.

Vamos estudar aqui alguns casos de leilões dinâmicos para o caso de leilão multiunidade. Leilões ascendentes simultâneos para múltiplos bens foram propostos pela primeira vez por Paul Milgrom para a venda de espectros de telecomunicação nos Estados Unidos6. O

autor defendia que realizar leilões de vários bens simultaneamente resolve o problema que muitos leilões seqüenciais apresentavam que era a falha da lei de preço único. Ou seja, duas mercadorias homogêneas apresentavam preços diferentes quando leiloadas separadamente.

Ausubel e Cramton (2004) tratam de leilões simultâneos ascendentes de bens divisíveis. São chamados de “simultaneous clock auctions”. Neles os preços dos bens começam em um nível arbitrariamente alto e vão diminuindo de modo contínuo e os participantes dão suas ofertas para todos os bens simultaneamente para cada conjunto de preços. O leilão termina quando a oferta agregada dos participantes se iguala a demanda agregada. Cada participante recebe a quantidade de cada bem que ofertou no equilíbrio e a regra de preço é a uniforme, ou seja, o leiloeiro paga o preço de equilíbrio por todas as unidades infinitesimais ofertadas pelos participantes.

Referências

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