Discretude de grupos triangulares ultraparalelos em geometria hiperbólica complexa

(1)

Instituto de Ciˆ

encias Exatas

Departamento de Matem´

atica

Tese de Doutorado

Discretude de Grupos Triangulares Ultraparalelos

em Geometria Hiperb´

olica Complexa

S´

ergio Guilherme de Assis Vasconcelos

Orientador: Nikolai Alexandrovitch Goussevskii

(2)

Discretude de Grupos Triangulares Ultraparalelos

em Geometria Hiperb´

olica Complexa

Tese de Doutorado

Tese apresentada ao Programa de Pós-gradua¸cão em Matemática do Departamento de Matemática da Universidade Federal de Minas Gerais como parte dos requisitos necessários para a obten¸cão do grau de Doutor em Matemática

Orientador: Nikolai Alexandrovitch Goussevskii

(3)

(4)

Ao Professor Nikolai Goussevskii que com grande generosidade e paciˆencia me ori-entou neste trabalho.

Aos Professores Mário Jorge Carneiro, Sasha Anan’in, Francisco Dutenhefner e Cláudio Gorodski pela participa¸cão na banca examinadora.

`

A minha esposa e amiga Flaviana e aos meus amigos Francisco e Seme pelo grande apoio e contribui¸c˜ao neste trabalho.

`

A nossa mãe Geralda, pela dedica¸cão desmedida, e aos amigos Luciana, Murilo, Patr´ıcia e Tânia pelo carinho e apoio.

Aos meus pais, pelo exemplo, e a todos os meus familiares pelo incentivo e torcida.

A todos os professores, colegas e funcion´arios do Departamento de Matem´atica que me conduziram nesta jornada de doze anos na UFMG.

Aos colegas do Departamento de Matemática da UFJF pela colabora¸cão no nosso Projeto de Capacita¸cão.

`

(5)

O objetivo deste trabalho ´e investigar a discretude de grupos triangulares ultra-paralelos no grupo P U(2,1) de isometrias holomorfas de H2

C, o espa¸co hiperb´olico

com-plexo de dimens˜ao 2.

Um grupo triangular Γ = Γ(C1, C2, C3) em P U(2,1) é o subgrupo gerado pelas inversões nos lados de um triângulo hiperbólico complexo (C1, C2, C3). Quando (C1, C2, C3) é um triângulo ultraparalelo, isto é, seus lados são dois a dois ultraparalelos, o grupo Γ correspondente é chamado de grupo triangular ultraparalelo.

Um triângulo ultraparalelo (C1, C2, C3) é determinado unicamente, a menos de isometrias, por quatro parâmetros reais (r1, r2, r3, σ). Neste trabalho, sob determinada condi¸cão no espa¸co de parâmetros, encontramos uma posi¸cão canônica para um triângulo ultraparalelo (C1, C2, C3) em H2

C. Nesta posi¸c˜ao, definimos um determinado poliedro P

e usamos uma versão do Teorema dos Poliedros de Poincaré para isometrias de P U(2,1) para garantirmos que_P seja um poliedro fundamental para o grupo Γ(C1, C2, C3). Esta-belecemos assim um critério de discretude, ou mais precisamente, uma condi¸cão suficiente para que um grupo triangular ultraparalelo seja discreto.

Posteriormente, concentramos nossos estudos nos grupos triangulares ultraparale-los regulares, aqueles correspondentes a triânguultraparale-los ultraparaleultraparale-los (C1, C2, C3) tais que as distâncias entre os lados são iguais. Esta fam´ılia de triângulos é descrita por dois parâmetros (r, σ). Usando o critério de discretude estabelecido anteriormente, mostramos que, para valores suficientemente grandes de r, os grupos triangulares ultraparalelos re-gulares Γ(r, σ) são sempre discretos. Ao final, usamos uma versão da desigualdade de Jorgensen para P U(2,1) para obtermos uma região do dom´ınio dos parâmetros (r, σ) onde estes grupos são não discretos.

Palavras-chave:

(6)

The aim of this work is to investigate the discreteness of ultraparallel triangle groups in the group P U(2,1) of holomorphic isometries of the two-dimensional complex hyperbolic spaceH2

C.

A triangle group Γ = Γ(C1, C2, C3) in P U(2,1) is the subgroup generated by in-versions in the sides of a complex hyperbolic triangle (C1, C2, C3). When (C1, C2, C3) is a ultraparallel triangle (i.e. their sides are pairwise ultraparallel) the corresponding group Γ is called ultraparallel triangle group.

An ultraparallel triangle (C1, C2, C3) is determined uniquely, up to isometry, by four real parameters (r1, r2, r3, σ). In this work, under certain condition in the parameters space, we found a canonical position for an ultraparallel triangle (C1, C2, C3) in H2

C. At

this position, we define a polyhedron P and we use a version of Poincar´e’s Polyhedron Theorem for isometries of P U(2,1) to guarantee that P is a fundamental polyhedron for the group Γ(C1, C2, C3). Thus, we establish a discreteness criterion, or more exactly, a sufficient condition to an ultraparallel triangle group to be discrete.

Later, we concentrate our studies in the regular ultraparallel triangle groups, which correspond to ultraparallel triangles (C1, C2, C3) such that the distances between the sides are equal. This family of triangles is described by two parameters (r, σ). Using the discreteness criterion established before, we show that, forr sufficiently large, the regular ultraparallel triangle groups Γ(r, σ) are always discrete. At last, we use a version of Jorgensen’s inequality for P U(2,1) to obtain a region in the domain of parameters (r, σ) where these groups are not discrete.

Keywords:

(7)

Introdu¸c˜ao 1

1 Preliminares 4

1.1 O espa¸co hiperb´olico complexo . . . 4

1.2 Isometrias de H2 C . . . 6

1.3 Classifica¸c˜ao das isometrias . . . 7

1.4 Subespa¸cos de H2 C . . . 10

1.5 O Espa¸co de Heisenberg . . . 14

1.6 Bissetores e esferas espinais . . . 19

1.7 Teorema dos Poliedros de Poincar´e . . . 21

2 Grupos Triangulares Ultraparalelos 24 2.1 Ternos de retas ultraparalelas . . . 24

2.1.1 Forma normal . . . 24

2.1.2 A condi¸c˜ao de ultraparalelismo . . . 26

2.1.3 Condi¸c˜oes especiais . . . 28

2.2 Grupos triangulares ultraparalelos . . . 30

2.2.1 Trˆes elementos el´ıticos de ordem 2 no plano hiperb´olico . . . 30

2.2.2 Uma posi¸c˜ao canˆonica emH2 C . . . 34

2.2.3 Parametrizando a constru¸c˜ao . . . 37

2.2.4 Construindo um poliedro fundamental . . . 44

(8)

2.2.5 O triˆangulo is´osceles: r1 =r2 . . . 49

2.2.6 Parametriza¸c˜ao da esferaB3 . . . 50

3 Triˆangulos ultraparalelos regulares 53 3.1 Tra¸cos dos elementos ı1ı2ı3 e ı1ı3ı2ı3 . . . 53

3.2 Casos extremais . . . 56

3.3 Parˆametros da forma canˆonica . . . 58

3.4 Uma classifica¸c˜ao dos triˆangulos regulares . . . 60

3.5 Triˆangulos regulares do tipo II . . . 63

3.6 Triˆangulos regulares do tipo III . . . 65

3.7 Triˆangulos regulares do tipo I . . . 67

3.8 Existˆencia de grupos n˜ao discretos . . . 72

(9)

O objetivo deste trabalho ´e investigar a discretude de grupos triangulares ultraparalelos no grupo P U(2,1) de isometrias holomorfas de H2

C, o espa¸co hiperb´olico complexo de

dimens˜ao 2.

Na variedade RiemannianaH2

Cas subvariedades totalmente geod´esicas de dimens˜ao

real 2 são de dois tipos: as chamadas geodésicas complexas, projetiviza¸cão de um subespa¸co linear polar a um vetor em C2,1_{, e os espa¸cos totalmente reais, chamados} R_{-planos. Um}

triângulo hiperbólico complexo é uma terna (C1, C2, C3) de geodésicas complexas em H2

C,

chamadas de lados do triângulo. Se seus lados são dois a dois ultraparalelos, isto é, não se intersectam no fecho H2

C, n´os o chamamos triˆangulo ultraparalelo. Um grupo

triangular Γ = Γ(C1, C2, C3) em P U(2,1) é o subgrupo gerado pelas inversões nos lados de um triângulo hiperbólico complexo (C1, C2, C3). Quando (C1, C2, C3) for um triângulo ultraparalelo o grupo Γ será chamado de grupo triangular ultraparalelo.

O estudo dos grupos triangulares em P U(2,1) teve in´ıcio com Goldman e Parker em [GoPa]. Neste trabalho eles estudaram os grupos triangulares ideais, aqueles em que os lados do triângulo são dois a dois assintóticos. O espa¸co destes grupos tem dimensão real 1 e pode ser parametrizado, por exemplo, pelo invariante de formaσ definido por Brehm em [Br], com−1≤σ≤1. O estudo destes grupos foi completado por Schwartz em [S01]. Schwartz mostrou que um grupo triangular ideal Γ(σ) é discreto se, e somente se,σ_≤ 61

64. A estes trabalhos iniciais, seguiu-se outros a cerca de grupos triangulares não-ideais cujos lados do triângulo são concorrentes em H2

C. Dentre estes destacamos [W], [D], [Af],

[Pa03].

Em [W], usando técnicas do trabalho de Schwartz, Wyss-Gallifent estudou gru-pos triangulares ultraparalelos. Mais especificamente, grugru-pos triangulares ultraparalelos isósceles, aqueles em que são iguais as distâncias de um dos lados do triângulo aos ou-tros dois lados. Ele obteve uma região do espa¸co de parâmeou-tros em que estes grupos são discretos.

Um triângulo ultraparalelo (C1, C2, C3) é determinado unicamente, a menos de isometrias, por quatro parâmetros reais (r1, r2, r3, σ). Os parâmetrosr1, r2, r3 são definidos pelas distâncias entre os lados do triângulo. Especificamente, rk = cosh(lk

2) onde lk é a distância entre os lados Ck₋1 e Ck+1 (k tomado módulo 3). O quarto parâmetro é o

(10)

invariante de forma σ aplicado aos três vetores polares aos lados do triângulo. Em [Pr], Pratoussevitch mostrou que a varia¸cão deste parâmetro para que uma quadra (r1, r2, r3, σ) corresponda a um triângulo ultraparalelo é:

−r1r2r3 ≤σ ≤min

r2

1 +r22+r32−1

2 , r1r2r3

.

Este nosso trabalho é constituido por três cap´ıtulos. No cap´ıtulo 1 apresentamos as defini¸cões e os resultados básicos sobre o espa¸co hiperbólico complexo H2

C. Na ´ultima

se¸cão enunciamos uma versão do Teorema dos Poliedros de Poincaré para subgrupos de P U(2,1), ferramenta principal usada neste trabalho para mostrarmos a discretude destes subgrupos. Como emH2

Cnão existem subvariedades totalmente geodésicas de codimensão

real 1, os poliedros s˜ao definidos como conjuntos delimitados por bissetores. Um bissetor ´e a hipersuperf´ıcie equidistante de dois pontos emH2

C. Todo bissetor possui uma folhea¸c˜ao

por geod´esicas complexas que s˜ao chamadas as suas fatias.

No cap´ıtulo 2, iniciamos, baseados em [Pr], descrevendo um triˆangulo ultraparalelo em H2

C em termos dos parˆametros (r1, r2, r3, σ). Em seguida, obtemos uma posi¸c˜ao

canônica para os lados de um triângulo ultraparalelo (C1, C2, C3): dois lados, C1 e C2, fatias de um bissetor _B simétrico em rela¸cão a um dado R_–plano _L₁_{, enquanto o outro}

lado, C3, é ortogonal a este mesmo R_{–plano. Mostramos que esta posi¸cão canônica é}

poss´ıvel para todo triˆangulo ultraparalelo (C1, C2, C3) com parˆametros (r1, r2, r3, σ) satis-fazendo:

−r1r2r3 _≤σ _≤min

T1, T2,r 2

1 +r22+r32−1

2 , r1r2r3

onde

T1 = (2r 2

1r32−r21+r22)(r3+

p

r2

3−1)2−(2r22r32+r21−r22) 2[(r3+pr2

3−1)2−1]

e

T2 = (2r 2

2r32+r21−r22)(r3+

p

r2

3−1)2−(2r12r32−r12+r22) 2[(r3+pr2

3−1)2−1]

.

Chamamos a inequa¸cão acima de Condi¸cão PC, condi¸cão para a posi¸cão canônica. A partir desta posi¸cão canônica, definimos um bissetorB2que temC3como fatia e bissetoresB3 eB4 que intersectam o bissetor_B ao longo de fatias simétricas em rela¸cão àL1 e cuja distância entre elas é o dobro da distância de C1 aC2. Quando B2 não intersectaB ∪ B3∪ B4 estes bissetores delimitam um poliedro para o qual vale o Teorema de Poincaré. Mostramos, então, o teorema:

Teorema 2.6. Seja (C1, C2, C3) um triângulo ultraparalelo com parâmetros (r1, r2, r3, σ) para o qual vale a Condi¸cão PC. Se B2 não intersecta B ∪ B3 ∪ B4 então o poliedro P em H2

C limitado pelos bissetores B,B2,B3 e B4 ´e um poliedro fundamental para o grupo

triangular Γ = Γ(C1, C2, C3) e este grupo ´e discreto.

(11)

fam´ılia de triângulos é então descrita por dois parâmetros (r, σ) variando no dom´ınio:

−r3 _≤σ_≤ 3r 2₋₁

2 , r >1.

Para estes triângulos a Condi¸cão PC é sempre válida. Usamos então a constru¸cão do cap´ıtulo 2 em uma sequência de resultados e chegamos ao seguinte teorema:

Teorema 3.9. Seja (C1, C2, C3) um triˆangulo ultraparalelo regular com parˆametros (r, σ) no dom´ınio r >1 e ₋r3 _≤ _σ _≤ 3r2−1

2 . Ent˜ao, para valores suficientemente grandes de r, o grupo triangular Γ = Γ(C1, C2, C3) ´e sempre discreto.

Ao final, usamos uma versão da desigualdade de Jorgensen paraP U(2,1) enunciada em [JKPa] para obtermos uma região do dom´ınio dos parâmetros (r, σ) onde estes grupos são não discretos. Mostramos:

Teorema 3.11. Se(C1, C2, C3)é um triângulo ultraparalelo regular com parâmetros(r, σ) tal que r > 1 e 4r(2r

3₊_r2₋₁₎₋√_r2₋₁

8 ≤ σ ≤

3r2₋₁

(12)

Preliminares

Neste cap´ıtulo, vamos apresentar os conceitos e resultados básicos sobre o espa¸co hiperbólico complexo e o seu grupo de isometrias. As principais referências para o mate-rial aqui apresentado são [Go] e [Pa01]. Outras referências são [CGr], [D] e [E]. Ao final, enunciamos o Teorema dos Poliedros de Poincaré em geometria hiperbólica complexa, a principal ferramenta que usamos neste trabalho para estabelecer a discretude de subgrupos de isometrias.

1.1 O espa¸co hiperb´

olico complexo

SejaC2,1 _{o espa¸co vetorial complexo}C3 _{munido da forma Hermitiana}_h·_,_·i _{indefinida, n˜ao}

degenerada, de assinatura (2,1), definida por:

hZ, Wi=z1w1¯ +z2w2¯ −z3w3¯

onde Z =

 

z1 z2 z3



e W =  

w1 w2 w3

 .

Para qualquerZ _∈C2,1_{, vemos que}_h_{Z, Z}_{i ∈}R_{. Ent˜ao podemos definir os conjuntos}

de vetores negativos, nulose positivos, a saber:

V₋ =_{Z _∈C2,1 _{| h}_{Z, Z}_i_<₀_}_,

V0 =_{Z _∈C2,1_{\ {}₀_{} | h}_{Z, Z}_i_{= 0}_}_,

V+ ={Z ∈C2,1 | hZ, Zi>0}.

ComohλZ, λZi=|λ|2_h_{Z, Z}_i_{então, para todo}_λ_∈_C_\{₀_}_,_λZ_{é negativo (nulo ou positivo)} se, e somente se,Z o é. Assim, faz sentido falarmos em retas negativas, nulas ou positivas.

(13)

Consideremos o espa¸co projetivo complexo CP2 _{com a proje¸c˜ao natural} P_:C2,1_\{₀_{} 7−→}CP2_.

O espa¸co hiperb´olico complexo de dimens˜ao 2, denotadoH2

C, em seumodelo

proje-tivo, é o conjunto de retas negativas em C2,1_{, isto é,} _H_C2 ₌P_(V₋_{). A fronteira de}_H_C2 _{é o}

conjunto de retas nulas, ∂H2

C =P(V0).

Agora, consideremos a bola aberta unit´aria emC2_:

B₌

z1 z2

∈C2 _{| |}_z_1|2₊_|_z_2|2 _<₁

. Como: Z =   z1 z2 z3 

∈V₋ ⇐⇒ hZ, Zi=|z1|2+|z2|2− |z3|2 <0,

vemos que Z ∈V₋ somente se z3 6= 0. Podemos ent˜ao normalizar o vetor Z para termos z3 = 1, de forma que:

Z =   z1 z2 1 

∈V₋ ⇐⇒ |z1|2+|z2|2 −1<0 ⇐⇒

z1 z2

∈B_.

Assim, H2

C pode ser identificado com B que ´e ent˜ao chamada o modelo da bola do

espa¸co hiperb´olico complexo. Neste modelo, a fronteira∂H2

C´e identificada com a fronteira

deB_{, a esfera:}

S3 =

z1 z2

∈C2 _{| |}_z1_|2₊_|_z2_|2 _{= 1}

.

O vetor ˜z =

  z1 z2 1 

∈C2,1´e chamado delevantamento padr˜aodo elementoz =

z1 z2

∈B_.

A m´etrica deH2

C, chamadamétrica de Bergman, é dada pela distância ρentre dois

pontosz, w _∈H2

C, definida pela f´ormula:

cosh2

ρ(z, w) 2

= hZ, Wi hW, Zi hZ, Z_{i h}W, W_i

(14)

1.2 Isometrias de

H

C2

Seja GL(C2,1_{) o grupo de matrizes 3}_× _{3, invers´ıveis, com entradas complexas, agindo}

em C2,1_{. O} _{grupo de transforma¸cões unitárias} _U_(2,_{1) é o subgrupo que age em} C2,1

preservando a forma Hermitiana h·,·i, isto ´e:

U(2,1) =

A_∈GL(C2,1₎_{| h}_{AZ, AW}_i₌_h_{Z, W}_i_, _∀_{Z, W} _∈C2,1 _.

´

E claro queU(2,1) age em C2,1 _{preservando os conjuntos} _V₋_,_V0 _e_V+.

SejaI a matriz identidade de GL(C2,1_{) e considere o subgrupo:}

U(1) =

eiθI _|0_≤θ < 2π _⊂U(2,1).

Cada elemento deU(1) age emC2,1_{aplicando cada reta pela origem nela pr´opria e portanto}

age como a identidade em H2

C. Assim, dois elementos A, B ∈ U(2,1) que diferem pela

multiplica¸cão de um elemento de U(1), isto é, A = eiθ_{B, definem a mesma a¸cão em} _H2

C.

Ent˜ao, definimos o grupo unit´ario projetivoP U(2,1) agindo em H2

C por:

P U(2,1) = U(2,1) U(1) .

Algumas vezes ser´a ´util restringirmos os representantes dos elementos de P U(2,1) ao subgrupo de matrizes com determinante 1:

SU(2,1) =_{A_∈U(2,1)_|det(A) = 1_}.

Neste caso, teremos um recobrimento triplo de P U(2,1) dado por:

P U(2,1) = SU(2,1) {I, ωI, ω2_I_}

onde ω= −1+i₂√3 ´e uma ra´ız c´ubica da unidade.

Como a métrica de Bergman é dada em termos da forma Hermitiana _h·,_·i, é claro que cada A ∈ U(2,1) age isometricamente no modelo projetivo de H2

C. Logo, P U(2,1) ´e

um subgrupo do grupo de isometrias deH2

C.

Existem isometrias de H2

C fora de P U(2,1). Por exemplo, é fácil ver da fórmula

para a distˆanciaρ que a conjuga¸c˜ao complexa:

J : C2,1 _−→ C2,1

Z _7−→ Z¯

age isometricamente emH2

C.

O teorema seguinte estabelece queP U(2,1) ´e o grupo de isometrias holomorfas de H2

C e que o grupo completo de isometrias de HC2 ´e gerado por P U(2,1) e pela conjuga¸c˜ao

(15)

Teorema 1.1. Toda isometria de H2

C ´e holomorfa ou anti-holomorfa. Cada isometria

holomorfa de H2

C ´e dada por um elemento de P U(2,1) e cada isometria anti-holomorfa ´e

dada por um elemento de P U(2,1) composta com a conjuga¸c˜ao complexa J.

O teorema seguinte estabelece que P U(2,1) age transitivamente no espa¸co hiper-b´olico complexo e duplamente transitivamente na sua fronteira.

Teorema 1.2. (i) Para quaisquer pontos z, w _∈H2

C existe um elemento g ∈P U(2,1) tal

queg(z) = w.

(ii) Para quaisquer pares de pontos p1, q1 e p2, q2 em ∂HC2 existe elemento g ∈ P U(2,1)

tal que g(p1) =p2 e g(q1) = q2.

1.3 Classifica¸c˜

ao das isometrias

Pelo teorema do ponto fixo de Brower, todo automorfismo de H2

C possui pelo menos um

ponto fixo em H2

C = HC2 ∪∂HC2, o fecho do espa¸co hiperb´olico complexo. Classificamos

os elementos de P U(2,1), as isometrias holomorfas de H2

C, em trˆes categorias b´asicas, de

acordo com o n´umero e a localiza¸c˜ao dos ponto fixos.

Defini¸c˜ao 1.1. Dizemos que um elementog ∈P U(2,1) ´e:

• loxodrˆomico se g possui exatamente dois pontos fixos e estes ficam em∂H2

C;

• parab´olico seg possui exatamente um ponto fixo e este fica em ∂H2

C;

• el´ıtico seg possui pelo menos um ponto fixo em H2

C.

Dadog _∈P U(2,1), seja ˜g uma matriz representante de g em U(2,1). Diremos que ˜

g é loxodrômica, parabólica ou el´ıtica se g o é. É fácil ver que autovetores de ˜g em V₋, V0 eV+, correspondem a pontos fixos deg em HC2,∂HC2 eP(V+), respectivamente. O teorema seguinte, onde o representante ˜g é tomado em SU(2,1), mostra que a classifica¸cão acima é uma tricotomia que abrange todas as possibilidades para g.

Teorema 1.3. Seja g˜ _∈ SU(2,1). Sejam λ1, λ2, λ3 os autovalores de ˜g, de modo que λ1λ2λ3 = 1. Sejam U, V, W autovetores correspondentes a λ1, λ2, λ3, respectivamente. Ent˜ao, a menos de renomea¸c˜ao dos autovalores, uma das seguintes possibilidades acontece:

1. λ1 = reiθ_, _λ2 ₌ 1 re

iθ _e _λ3 ₌ _e−2iθ_{, onde} _{r >}₁_{. Os autovetores} _U _e _V _{são nulos e o} autovetor W é positivo. Logo, g é loxodrômico.

2. λ1 = eiθ1

, λ2 = eiθ2

e λ3 = e−i(θ1+θ2)

(16)

3. λ1 =λ2 =eiθ _e _λ3 ₌_e−2iθ_{, onde} _θ ₆_{= 0}_.

(a) O autovetor W é negativo e o autoespa¸co do autovalor repetido eiθ _é bidimen-sional gerado por vetores positivos; g é el´ıtico.

(b) O autovetor W é positivo e o autoespa¸co do autovalor repetido eiθ _é bidimen-sional e indefinido, isto é, possui vetores positivos, negativos e nulos;g é el´ıtico. (c) O autovetor W é positivo e o autoespa¸co do autovalor repetido eiθ _é

unidimen-sional gerado por um vetor nulo; g ´e parab´olico.

4. λ1 =λ2 =λ3 =eiθ_.

(a) O autoespa¸co deeiθ _{é unidimensional gerado por um vetor nulo;} _g _{é parabólico.} (b) O autoespa¸co de eiθ _{é tridimensional;} _˜_g _{é m´}_{ultiplo da identidade.}

No caso loxodrˆomico (1), os autovetores nulos U e V de ˜g correspondem a pontos fixos deg em ∂H2

C, sendo um repulsor e o outro atrator. O subespa¸co linear gerado por U

eV e polar ao autovetorW é invariante por ˜g. Quando o autovalor unitário e−2iθ _{é uma} ra´ız cúbica da unidade (θ = 0 ouθ =_±π₃),g é dito hiperbólico.

Nos casos (3.c) e (4.a) g é parabólico. O autoespa¸co correspondente ao autovalor eiθ_{é unidimensional e é gerado por um autovetor nulo que corresponde ao ´}_{unico ponto fixo} deg em ∂H2

C. No caso (3.c) o autovetor W correspondente ao autovalor e−2iθ ´e positivo.

O subespa¸co linear polar aW ´e invariante porg, que age como transla¸c˜ao neste subespa¸co e gira H2

C em torno dele. Neste caso g ´e ditoparab´olico el´ıtico. No caso (4.a) o elemento

g possui um levantamento no qual todos os autovalores são iguais a 1; g é dito parabólico puro.

Finalmente, g ´e el´ıtico nos casos (2), (3.a) e (3.b). No caso (3.b) a matriz ˜g tem um autovalor repetido cujo autoespa¸co ´e bidimensional e indefinido. Este autoespa¸co corresponde a um subespa¸co linear L em que g age como a identidade. Os pontos onde L intersecta V0 correspondem a pontos fixos de g em ∂H2

C. Neste caso, g ´e dito el´ıtico

especial. Como g fixa L e gira H2

C em torno dele, g ´e uma reflex˜ao complexa em L. Nos

casos (2) e (3.a) a matriz ˜gtem um único autoespa¸co unidimensional gerado pelo autovetor negativo U que corresponde ao único ponto fixo ude g. No caso (3.a) a matriz ˜g tem um autovalor repetido com autoespa¸co gerado por dois autovetores positivos. Neste caso g gira HC2 em torno de u e portanto é uma reflexão complexa emu. No caso (2) a matriz ˜g

tem trˆes autovalores distintos e o elemento g ´e dito el´ıtico regular.

Dados elementosf, g ∈P U(2,1) é fácil ver que se F é o conjunto de pontos fixos deg então f(F) é o conjunto de pontos fixos do elemento conjugado f gf−1_{. Da´ı decorre} que todos elementos numa mesma classe de conjuga¸cão de P U(2,1) são do mesmo tipo. Em [Go, pg 204] Goldman definiu uma fun¸cão discriminantef :C_−→R_{dada por:}

(17)

que permite determinar o tipo da classe de conjuga¸cão de um elemento de SU(2,1) em termos do seu tra¸co. DenotandoC3 ={1, ω, ω2_}_{o conjunto das ra´ızes c´}_{ubicas da unidade,} consideremos o conjunto 3C3 = {3,3ω,3ω2}. Também, consideremos no plano complexo o conjunto de raios R3 =R_∪ωR_∪ω2_R _onde _R _{é o raio real (3,}_∞₎_⊂_C_.

Teorema 1.4. A aplica¸c˜ao τ : SU(2,1) −→ C _{que associa a cada matriz o seu tra¸co ´e}

sobrejetiva. Se A1, A2 ∈SU(2,1) satisfazem τ(A1) =τ(A2)∈C−f−1(0), então elas são conjugadas. Se A_∈SU(2,1) então:

1. A ´e hiperb´olico se, e somente se, τ(A)∈R3.

2. A é loxodrômico não hiperbólico se, e somente se, f(τ(A))>0 e τ(A)_∈/R3.

3. A ´e el´ıtico regular se, e somente se, f(τ(A))<0.

4. A é uma reflexão complexa (em torno de um ponto ou de uma linha complexa) se, e somente se, A é el´ıtico e τ(A)_∈f−1₍₀₎₋_3C3_.

5. A é parabólico el´ıtico se, e somente se, A não é el´ıtico e τ(A)∈f−1₍₀₎₋_3C3_.

6. A ´e parab´olico puro se, e somente se, τ(A)_∈3C3.

–4 –2 0 2 4

–3 –2 –1 1 2 3 4

Figura 1.1: Triˆangulo de Goldman

(18)

conjuga¸cão de elementos el´ıticos regulares. Pontos no exterior correspondem a classes de conjuga¸cão de elementos loxodrômicos, sendo hiperbólicos se estiverem sobre os raios R, ωR ou ω2_{R. Elementos parabólicos puros têm o tra¸co em um dos vértices do deltóide} e elementos parabólicos el´ıticos ou reflexões complexas têm o tra¸co em um dos lados do deltóide.

1.4 Subespa¸cos de

H

C2

O espa¸co hiperb´olico complexoH2

C´e uma variedade Riemanniana completa com curvatura

seccional n˜ao positiva. Isto implica que dados dois pontos distintos emH2

Cexiste uma ´unica

geod´esica que os conecta. Esta propriedade pode ser extendida para a fronteira. Portanto, dadosp, q ∈H2

C existe uma ´unica geod´esicaσ =σ(p, q) tal que p, q ∈σ.

No modelo da bola B_{, seja} _O ₌

0 0

a origem. As geod´esicas que passam por O

são os diâmetros Euclideanos. Por exemplo, a geodésica que passa pelos pontosO e

1 0

´e o segmento:

s=

t 0

∈C2 _|_t_∈R_,₋₁_≤_t_≤₁

⊂B_.

Os extremos desta geod´esica s˜ao os pontos

−1 0

e

1 0

∈∂B_{. Sendo isometrias de}_H_C2_,

os elementos de P U(2,1) aplicam geodésicas em geodésicas. Além disto, como P U(2,1) age duplamente transitivamente em∂H2

C, dados dois pontosp, q ∈∂HC2 a geod´esicaσ(p, q)

´eP U(2,1)–equivalente a s, isto ´e, existe g ∈P U(2,1) tal queg(s) = σ(p, q).

Consideremos um subespa¸co linear ˜L de dimens˜ao complexa 2 em C2,1 _{e seja}

L = P_{( ˜}_{L) sua projetiviza¸c˜ao em} C_P2_{. Suponhamos que ˜}_L _intersecta _V₋ _{de modo que}

L∩H2

C6=∅. Temos o fato seguinte.

Teorema 1.5. L_∩H2

C é um subespa¸co totalmente geodésico de HC2 isométrico ao plano

hiperb´olico real ∆ ={z ∈C_{| |}_z_|_<₁_}_.

Defini¸c˜ao 1.2. O subespa¸co Σ =L_∩H2

C´e chamado uma geod´esica complexa de HC2.

A fronteira de Σ em H2

C, que é a projetiviza¸cão da interse¸cão de ˜L com V0, é uma curva em∂H2

C, denotada ∂Σ, homeomorfa `a circunferˆencia.

Defini¸c˜ao 1.3. ∂Σ ´e chamada uma cadeiaem ∂H2

C.

O complementar ortogonal de ˜L ´e uma reta positiva, isto ´e, existe vetor P ∈ V+ tal que:

˜

(19)

Reciprocamente, cada vetor positivoP _∈V+determina um subespa¸co linear bidimensional ˜

L= P⊥ _{que ´e indefinido, isto ´e, tal que ˜}_L_∩_V

− 6= ∅. Este subespa¸co corresponde a uma

´

unica geod´esica complexa Σ =P_{( ˜}_L)_∩_H_C2_.

Defini¸cão 1.4. Cada vetor P ∈L˜⊥_{\ {}₀_}_{é chamado um} _{vetor polar}_{à geodésica complexa}

Σ.

Dois vetores linearmente independentes em V0 ∪V₋ define um ´unico subespa¸co linear bidimensional indefinido em C2,1_{. Isto equivale a dizer que dois pontos distintos}

em H2

C definem uma única geodésica complexa Σ cujo fecho Σ = Σ∪∂Σ os contém. Em

particular, dois pontos distintos em ∂HC2 definem uma ´unica geod´esica complexa Σ cuja

cadeia correspondente∂Σ os cont´em.

Por exemplo, consideremos os pontos p, q ∈ ∂H2

C representados em C2,1,

respecti-vamente, por: ˜ p=   −1 0 1 

 e q˜=   1 0 1  .

O subespa¸co gerado por ˜p e ˜q ´e:

˜

L(p, q) =

    

−α+β 0 α+β



∈C2,1 |α, β ∈C   

que, intersectando comV₋ e normalizando para z3 = 1, dá origem à geodésica complexa:

Z1 = Σ(p, q) = ∆_{× {}0_}=

z1 0

∈C2 _{| |}_z1_|_<₁

⊂B_.

A restri¸cão da métrica de Bergman àZ1 é a métrica de Poincaré de curvatura constante −1. Um vetor polar aZ1 é:

P =   0 1 0  .

Claramente, elementos de P U(2,1) aplicam geodésicas complexas em geodésicas complexas. Além disto, como P U(2,1) age duplamente transitivamente em ∂H2

C, ent˜ao

P U(2,1) age transitivamente no conjunto de geod´esicas complexas deH2

C. Em particular,

dada qualquer geod´esica complexa Σ_⊂H2

C existe g ∈P U(2,1) tal queg(Z1) = Σ, isto ´e,

Σ é uma cópia isométrica deZ1 em H2

C.

Como dissemos acima, dois pontos distintos em H2

C determinam uma ´unica

geodésica complexa. Isto implica que os fechos de duas geodésicas complexas distintas ou são disjuntos ou se intersectam em um único ponto emH2

C. Este fato nos permite dar a

seguinte classifica¸c˜ao para pares de geod´esicas complexas emH2

C, de acordo com a posi¸c˜ao

(20)

Defini¸c˜ao 1.5. Duas geod´esicas complexas distintas Σ1,Σ2 _⊂H2

C s˜ao ditas:

• concorrentes se Σ1 e Σ2 se intersectam em um ´unico ponto que est´a em HC2;

• assintóticas se Σ1 e Σ2 se intersectam em um único ponto que está em ∂HC2;

• ultraparalelas se Σ1 e Σ2 s˜ao disjuntos.

Defini¸c˜ao 1.6. Sejam Σ1 e Σ2 duas geod´esicas complexas em H2

C concorrentes em um

ponto z _∈ H2

C. O ângulo ∠(Σ1,Σ2) entre Σ1 e Σ2 é definido como o menor ângulo Rie-manniano entre duas quaisquer geodésicas γ1 _⊂Σ1 e γ2 _⊂Σ2 que passam por z.

Segue direto da defini¸c˜ao que 0 ≤ ∠_(Σ1,_Σ2₎ _≤ π

2 sendo que ∠(Σ1,Σ2) = 0 se, e somente se, Σ1 = Σ2. Se ∠_(Σ1,_{Σ2) =} π

2 dizemos que Σ1 e Σ2 s˜ao ortogonais.

Dadas duas godésicas complexas ultraparalelas Σ1 e Σ2, existe uma única geodésica complexa Σ12 ortogonal comum a Σ1 e Σ2.

Defini¸cão 1.7. A distânciaρ(Σ1,Σ2) entre duas godésicas complexas ultraparalelas Σ1 e Σ2 ⊂H2

C é a distância, na métrica de Bergman, entre os pontos onde Σ1 e Σ2 encontram

a ortogonal comum Σ12, isto ´e, ρ(Σ1,Σ2) = ρ(Σ1∩Σ12,Σ2∩Σ12).

Dados dois vetores em C2,1 _{podemos definir um produto semelhante ao produto}

vetorial do espa¸co EuclideanoR3_.

Defini¸c˜ao 1.8. Oproduto vetorial Hermitiano ⊠_:C2,1_×C2,1 _−→C2,1 _{´e definido por:}

Z⊠_W ₌

 

z1 z2 z3

 ⊠

 

w1 w2 w3

 =

 

z3w2−z2w3 z1w3₋z3w1 z1w2−z2w1

 .

´

E f´acil ver que:

hZ, Z ⊠_W_i₌_h_{W, Z} ⊠_W_i_{= 0,}

ou seja, o produto vetorial Hermitiano de dois vetores ´e ortogonal aos vetores originais. Assim, dados dois pontos z, w _∈ H2

C, um vetor polar à geodésica complexa Σ(z, w) é o

vetorZ ⊠_W _onde_{Z, W} _{s˜ao quaisquer levantamentos de}_z _e _{w, respectivamente.}

Em [Go, pg 100] foi apresentada uma maneira de se determinar a posi¸cão relativa, o ângulo e a distância entre duas geodésicas complexas, em fun¸cão de vetores polares a elas.

Teorema 1.6. Sejam Σ1 e Σ2 duas geod´esicas complexas em H2

C com respectivos vetores

polares P1 e P2, normalizados de modo que hP1, P1i=hP2, P2i= 1. Temos que:

(21)

2. se _{| h}P1, P2_{i |}= 1 então Σ1 e Σ2 são assintóticas; neste caso P1⊠_P2 _{é um vetor nulo} que representa o ponto Σ1 ∩Σ2 ∈∂H2

C;

3. se _{| h}P1, P2_{i |} > 1 então Σ1 e Σ2 são ultraparalelas e _{| h}P1, P2_{i |} = coshρ(Σ1,Σ2) 2 ; neste caso P1⊠_P2 _{é um vetor positivo que é polar à geodésica complexa}_Σ12 _ortogonal comum à Σ1 e Σ2.

Dados uma geod´esica complexa Σ e um pontoz ∈ H2

C existe uma ´unica geod´esica

complexa, digamos Σz, ortogonal `a Σ passando por z. Isto permite definir a proje¸c˜ao ortogonaldeH2

C sobre Σ por:

ΠΣ : HC2 −→ Σ

z _7−→ Σz_∩Σ.

SeP é um vetor polar de Σ, a expressão de ΠΣ no levantamento C2,1 _é:

ΠΣ(Z) =Z− h Z, P_i hP, PiP.

Vamos definir agora a invers˜ao ıΣ : H2

C −→ HC2 em torno da geod´esica complexa

Σ. Dadoz ∈H2

C tomemos a sua proje¸c˜ao ortogonal ΠΣ(z). DefinimosıΣ(z) como o ponto

simétrico a z em rela¸cão a Σ, isto é, o único ponto z′ na geodésica σ(z,ΠΣ(z)) diferente dez e tal queρ(ΠΣ(z), z) =ρ(ΠΣ(z), z′_{). Se} _P _{é um vetor polar de Σ, a expressão de ΠΣ}

no levantamento C2,1 _´e:

ıΣ(Z) =₋Z+ 2hZ, Pi

hP, P_iP. (1.2)

A invers˜ao ıΣ ´e uma isometria holomorfa de H2

C, isto ´e, ıΣ ∈ P U(2,1). Ela ´e um

elemento el´ıtico especial e é o único elemento de P U(2,1) de ordem 2 cujo conjunto de pontos fixos é a geodésica complexa Σ.

Sejam Σ1 e Σ2 duas geodésicas complexas com inversões ı1 e ı2, respectivamente. Temos as seguintes possibilidades para a composi¸cãoh=ı1◦ı2:

1. Σ1 e Σ2 s˜ao concorrentes e, neste caso, h ´e el´ıtica tendo como ponto fixo o ponto Σ1_∩Σ2 _∈H2

C.

2. Σ1 e Σ2 são assintóticas e, neste caso, hé parabólica tendo como ponto fixo o ponto Σ1_∩Σ2 _∈∂H2

C.

3. Σ1 e Σ2 são ultraparalelas e, neste caso, h é hiperbólica tendo como pontos fixos os extremos da geodésica que passa pelos pontos de interse¸cão de Σ1 e Σ2 com a ortogonal comum a elas.

(22)

Teorema 1.7. Sejam Σ1 e Σ2 duas geodésicas complexas com inversões ı1 e ı2, respecti-vamente. São equivalentes as afirma¸cões:

i) Σ1 e Σ2 s˜ao ortogonais; ii) ı1(Σ2) = Σ2;

iii) ı2(Σ1) = Σ1; iv) ı1ı2 =ı2ı1.

O outro tipo de subespa¸co totalmente geod´esico de H2

C s˜ao os R–planos.

Conside-remos no modelo da bola B_{o subespa¸co totalmente real definido por:}

HR2 =

x1 x2

∈C2 _|_{x1, x2} _∈R_{, x}2

1+x22 <1

⊂B

que chamaremos de R_{–plano canônico. A restri¸cão da métrica de Bergman à} _H_R2 _{é a}

m´etrica de Klein-Beltrami de curvatura constante ₋1₄. Defini¸c˜ao 1.9. Um R_–plano _R _em _H2

C ´e um subespa¸co P U(2,1)–equivalente a HR2, isto

´e, tal que existe g _∈ P U(2,1) com g(H2

R) = R. A fronteira ∂R ⊂ ∂HC2 do R–plano R ´e

chamada de R_{–c´ırculo}_.

A conjuga¸c˜ao complexa J ´e uma isometria anti-holomorfa de ordem 2 de H2

C que

tem como conjunto de pontos fixos o R_{–plano canˆonico} _H_R2_{. Chamamos} _J _a _invers˜ao

em H2

R. Dado um R–plano R qualquer, seja g ∈ P U(2,1) tal que g(HR2) = R. Ent˜ao,

definimos ainvers˜ao em R como a aplica¸c˜aoıR=g◦J◦g−1_.

1.5 O Espa¸co de Heisenberg

Consideremos os conjuntos _H = C_×R _{e a sua compactifica¸c˜ao} _H ₌ C_×R_{∪ {∞}}_{. A}

fronteira ∂H2

C do espa¸co hiperb´olico complexo pode ser identificada com H atrav´es da

transforma¸cão de Cayley ψ, que é a bije¸cão dada por:

ψ : ∂H2

C ←→ H

 

z1 z2 1



 ←→ (ζ, v) =

z1

z2+ 1, Im( z2−1 z2+ 1)

∈ H

 

0 −1

1



 ←→ ∞

(1.3)

(23)

O subconjuntoV₌_{_{(ζ, v)}_{∈ H |}_ζ _{= 0}_} _{será chamado}_{eixo vertical}_de_H _{e o plano} C_{× {}₀_} ₌_{_{(ζ, v)}_{∈ H |} _v _{= 0}_} _o _{plano horizontal} _de_H_{. A proje¸cão Π}V(ζ, v) = (ζ,0) é a

proje¸c˜ao verticalde_H sobreC_{× {}₀_}_.

Vamos agora destacar o subgrupo de P U(2,1) que fixa o ponto no infinito de _H, as chamadas similaridades de Heisenberg.

Fixado um ponto (ζ0, v0)_{∈ H} a transla¸cão de Heisenberg por (ζ0, v0) é a aplica¸cão T(ζ0,v0)∈P U(2,1) representada pela matriz unitária:

T(ζ0,v0)=

 

1 ζ0 ζ0

−ζ0¯ 1₋ 1 2(|ζ0|

2₋_iv0) ₋1 2(|ζ0|

2₋_iv0) ¯

ζ0 1₂(|ζ0|2₋_iv0₎ _{1 +} 1

2(|ζ0|2−iv0)

 .

Esta aplica¸cão é um elemento parabólico puro de P U(2,1) que fixa o ponto _∞. Sua a¸cão em _H é dada por:

T(ζ0,v0)(ζ, v) = (ζ+ζ0, v+v0+ 2Im(¯ζζ0)).

A transla¸c˜ao de Heisenberg T(ζ0,v0) aplica a reta vertical por (ζ,0) na reta vertical por

(ζ+ζ0,0) e aplica o plano horizontal pela origem_{(ζ,0)_{∈ H}} no plano por (ζ0, v0) dado por (ζ +ζ0, v0+ 2Im(¯ζζ0)). Este plano é chamado plano de contato em (ζ0, v0). Quando ζ0 = 0, T(0,v0) é a transla¸cão vertical (ζ, v)7−→(ζ, v+v0).

Adilata¸cão de Heisenbergde fator k >0 é a aplica¸cãoDk∈P U(2,1) representada pela matriz unitária:

Dk=

    

1 0 0

0 1 +k 2

2k

1₋k2 2k 0 1−k

2

2k

1 +k2 2k

    

.

Parak ₆= 1 esta aplica¸cão é um elemento hiperbólico deP U(2,1) que fixa os pontos (0,0) e_∞ em _H. Sua a¸cão em _Hé dada por:

Dk(ζ, v) = (kζ, k2v).

A dilata¸c˜ao de Heisenberg Dk deixa invariante o eixo vertical V e o plano horizontal

C_{× {}₀_}_.

A rota¸cão de Heisenberg de ângulo θ ∈ [0,2π) em torno do eixo vertical V _{é a}

aplica¸c˜ao Rθ ∈P U(2,1) representada pela matriz unit´aria:

Rθ =

 

eiθ _{0 0} 0 1 0 0 0 1

 .

Para θ 6= 0 esta aplica¸cão é um elemento el´ıtico especial de P U(2,1). Sua a¸cão em H é dada por:

(24)

A rota¸c˜ao de Heisenberg Rθ fixa ponto a ponto o eixo vertical V _{e deixa invariante cada}

plano horizontal C_{× {}_v_}_.

O grupo de similaridades de Heisenberg é gerado por transla¸cões, dilata¸cões e rota¸cões de Heisenberg. Um elemento neste grupo é chamado uma dilata¸cão complexa se é o produto de uma dilata¸cãoDk e uma rota¸cão Rθ. Sua expressão em H é:

(ζ, v)7−→(λζ,|λ|2_{v) onde} _λ ₌_keiθ_. O número complexo λ é chamadofator de dilata¸cão deste elemento.

Todo elemento loxodrômico é conjugado a uma única dilata¸cão complexa com ponto fixo atrator em _∞ e repulsor em (0,0), isto é, uma dilata¸cão complexa com _|λ_| > 1. Este fator de dilata¸cãoλ é também chamado fator de dilata¸cão do elemento loxodrômico correspondente.

Na se¸c˜ao anterior, definimos uma cadeia em∂H2

Ccomo a fronteira de uma geod´esica

complexa. Vamos agora descrever os objetos que representam cadeias no espa¸co de Heisen-berg_H.

Cadeias passando por _∞ são retas verticais definidas por: _{(ζ, v)_{∈ H |}ζ =ζ0_}. Estas cadeias são chamadas cadeias verticais. As cadeias que não passam por ∞ são chamadascadeias finitas. Uma cadeia finita corresponde a uma elipse em_H cuja proje¸cão vertical é uma circunferência em C_{× {}₀_}_{. Duas cadeias finitas que se projetam sobre a}

mesma circunferˆencia emC_{× {}₀_} _{diferem por uma transla¸c˜ao vertical.}

O exemplo canônico de cadeia vertical em _H é o eixo vertical V_{. Esta cadeia é a}

fronteira da geod´esica complexa:

Z2 ={0} ×∆ =

0 z2

∈C2 _{| |}_z_2|_<₁

⊂B

que tem vetor polar

 

1 0 0

 .

A cadeia vertical ζ = ζ0 ´e a imagem de V pela transla¸c˜ao de Heisenberg T(ζ0,0).

Logo, ´e fronteira da geod´esica complexaT(ζ0,0)(Z2) que tem vetor polar

 

1 −ζ¯0

¯ ζ0

 .

Defini¸cão 1.10. Ocentro de uma cadeia finitac_{∈ H}é o centro da elipse que a representa em H e o raio de cé o raio da circunferência ΠV(c) em C× {0}, sobre a qual esta elipse

se projeta.

O exemplo canônico de cadeia finita em_H é a circunferência unitária centrada na origem no planoC_{× {}₀_}_{. Esta cadeia é a fronteira da geodésica complexa:}

Z1 = ∆× {0}=

z1 0

∈C2 _{| |}_z1|_<₁

(25)

que tem vetor polar   0 1 0  .

A cadeia finita com centro (ζ0, v0) _{∈ H} e raio R0 > 0 é a imagem de ∂Z1 pela dilata¸cão de Heisenberg DR0 seguida pela transla¸cão de Heisenberg T(ζ0,v0). Logo, ela é

fronteira da geod´esica complexaT(ζ0,0)◦DR0(Z1) que tem vetor polar:

       ζ0 R0 1 +R2

0− |ζ0|2+iv0 2R0

1 +R2

0+|ζ0|2 −iv0 2R0        . (1.4)

Reciprocamente, o centro (ζ0, v0) e o raio R0 de uma cadeia finita que tem vetor

polarP =

  z1 z2 z3 

 podem ser encontrados por:

ζ0 = z1 z2+z3

, v0 =Im

2z2 z2+z3

e (1.5)

R0 =

"

Re

2z2 z2+z3

−1 +

z1 z2+z3

2#12

.

Como vimos na se¸c˜ao (1.4), por dois pontos distintos em ∂H2

C passa uma ´unica

cadeia, e da´ı, duas cadeias distintas são disjuntas ou se intersectam em um único ponto. Duas cadeias disjuntas em _H podem ser entrela¸cadas ou não-entrela¸cadas. Existe uma rela¸cão direta entre a posi¸cão de duas cadeias em H e a posi¸cão relativa das geodésicas complexas correspondentes emH2

C.

Teorema 1.8. Sejam Σ1 e Σ2 duas geod´esicas complexas distintas em H2

C e sejam ∂Σ1 e

∂Σ2 as cadeias correspondentes. Temos que:

1. Σ1 e Σ2 s˜ao concorrentes se, e somente se, ∂Σ1 e ∂Σ2 s˜ao disjuntas e entrela¸cadas;

2. Σ1 e Σ2 s˜ao assint´oticas se, e somente se, ∂Σ1 e ∂Σ2 se intersectam em um ponto;

3. Σ1 e Σ2 são ultraparalelas se, e somente se, ∂Σ1 e ∂Σ2 são disjuntas e não-entrela¸cadas.

Definimos R_{–c´ırculos em} _∂H_C2 _{como a fronteira de} R_{–planos em} _H_C2_{. Assim como}

as cadeias, umR_{–c´ırculo em}_H _{´e chamado}_infinito _{se passa pelo ponto}_∞ _e_finito _{no caso}

(26)

OR_{–c´ırculo correspondente ao} R_{–plano canˆonico:}

HR2 =

x1 x2

∈B_|_{x1, x2} _∈R

´e o eixo real_{(x,0)_{∈ H |} x_∈R_}_{. Qualquer outro}R_{–c´ırculo infinito passando pela origem}

´e obtido a partir deste aplicando uma rota¸c˜ao de Heisenberg Rθ em torno de V_{, ou seja,}

´e uma reta pela origem no planoC_{× {}₀_}_{. Os}R_{–c´ırculos infinitos passando por um ponto}

(ζ0, v0)∈ H s˜ao obtidos a partir destes aplicando a transla¸c˜ao de HeisenbergT(ζ0,v0).

UmR_{–c´ırculo finito em} _H _{é uma curva fechada cuja proje¸cão vertical é uma}

lem-niscata no planoC_{× {}₀_}_.

Em_H definimos a norma de Heisenberg:

|(ζ, v)|0 =||ζ|2₋_iv_|1

2 =p4 |ζ|4+v2

que dá origem à chamadamétrica de Cygan:

ρ0((ζ1, v1),(ζ2, v2)) =_|(ζ1₋ζ2, v1₋v2+ 2Im(ζ1ζ2))¯ _|0. (1.6)

Uma esfera de Heisenberg de centro z0 = (ζ0, v0) _{∈ H} e raio R > 0 ´e a esfera na m´etrica de Cygan:

E(z0, R) ={z = (ζ, v)∈ H | ρ0(z, z0) =R}

Por exemplo, a esfera de HeisenbergE1 de centro z0 = (0,0) e raio 1 ´e dada pela equa¸c˜ao:

ρ0((0,0),(ζ, v)) = p4

|ζ|4₊_v2 _{= 1} _{⇐⇒ |}_ζ_|4₊_v2 _{= 1.}

Esta esfera de Heisenberg é o ovóide mostrado na figura (1.2a). O seu equador é a cadeia de centro (0,0) e raio 1.

–1 –0.5 0.5 1

–1

0.5 1 –1

1

(a) Esfera unit´ariaE1

–10 –5 5 10

1 2 ₃

4 1

2 3 4

(b) Outra esfera

Figura 1.2: Exemplos de esferas de Heisenberg

A esfera de HeisenbergE(z0, R) é a imagem deE1 pela dilata¸cão de HeisenbergDR seguida pela transla¸cão de HeisenbergT(ζ0,v0). O seu equador é a cadeia de mesmo centro

(27)

1.6 Bissetores e esferas espinais

Em H2

C não existem hipersuperf´ıcies reais (isto é, subvariedades de codimensão real 1)

totalmente geodésicas. As hipersuperf´ıcies que mais se aproximam disto são as hiper-superf´ıcies equidistantes de dois pontos, os chamados bissetores. Os bissetores não são totalmente geodésicos mas possuem duas decomposi¸cões naturais em subvariedades total-mente geodésicas.

Defini¸c˜ao 1.11. Sejam z1, z2 ∈ H2

C dois pontos distintos. O bissetor de z1 e z2 ´e a

hipersuperf´ıcie equidistante dez1 e z2 definida por:

B=_B(z1, z2) =

z_∈HC2 |ρ(z, z1) = ρ(z, z2) .

A geodésica complexa Σ = Σ(z1, z2) determinada porz1 ez2 é chamadaespinha complexa de _B. Em Σ, o conjunto de pontos equidistantes de z1 e z2 é a geodésica σ que passa pelo ponto médio de z1 e z2 e é ortogonal à geodésica que passa por estes pontos. Esta geodésicaσ é chamada espinha real deB. Resumindo:

σ =_{z_∈Σ_|ρ(z, z1) =ρ(z, z2)_}=_{B ∩}Σ.

Quaisquer dois pontos em Σ simétricos com rela¸cão àσ definem o mesmo bissetor B. Porém, σ determina unicamente o bissetor _B, isto é, _B é o único bissetor que tem σ como espinha real. Assim, existe uma correspondência biun´ıvoca entre geodésicas e bissetores emH2

C.

Todo bissetor possui uma decomposi¸cão em geodésicas complexas, chamada de decomposi¸cão em fatias de Mostow.

Teorema 1.9. Seja B um bissetor com espinha complexa Σ e espinha real σ. Seja ΠΣ : H2

C−→Σ a proje¸c˜ao ortogonal sobre Σ. Ent˜ao:

B= Π−_Σ1(σ) =_∪s∈σΠ−Σ1(s).

Defini¸cão 1.12. Para cada s∈σ, Π−_Σ1(s) é a geodésica complexa ortogonal à Σ em s e é chamada umafatia de_B.

Um bissetor ´e uma hipersuperf´ıcie real em H2

C difeomorfa a R3 e sua fronteira ´e

uma hipersuperf´ıcie real em ∂H2

C difeomorfa `a esfera S2.

Defini¸c˜ao 1.13. A fronteira ∂_B de um bissetor_B em ∂H2

C ´e chamada aesfera espinal de

B. A esfera espinal ∂B é a união das cadeias que são fronteiras das fatias de B. Estas cadeias são também chamadasfatiasde ∂_B.

Defini¸c˜ao 1.14. Seja _B um bissetor com espinha real σ. Os extremos v1 e v2 de σ em ∂H2

(28)

Como dois pontos v1, v2 _∈ ∂H2

C determinam uma ´unica geod´esica em HC2, eles

também determinam um único bissetor. DenotamosB(v1, v2) o bissetor de vértices v1, v2. Assim, existe uma rela¸cão biun´ıvoca entre bissetores em H2

C e pares de pontos em ∂HC2.

Como P U(2,1) age duplamente transitivamente em ∂H2

C ent˜ao P U(2,1) age

transitiva-mente no conjunto de bissetores deH2

C.

Todo bissetor possui tamb´em uma decomposi¸c˜ao emR_{–planos, chamada de}

decom-posi¸c˜ao em meridianos de Goldman.

Teorema 1.10. Se B é um bissetor com espinha real σ então B é a união dos R_–planos

que contˆem σ.

Defini¸c˜ao 1.15. Cada R_{–plano contendo a espinha real} _σ _{do bissetor} _B _{´e chamado um}

meridiano de B. A esfera espinal ∂B é a união dos R_{–c´ırculos que são as fronteiras dos}

meridianos de _B. Estes R_{–c´ırculos s˜ao tamb´em chamados} _meridianos_de _∂_B_.

O teorema seguinte caracteriza as fatias e os meridianos de um dado bissetor.

Teorema 1.11. Sejam dados um bissetor_B(v1, v2)de v´erticesv1, v2 ∈∂HC2, uma geod´esica

complexa C com inversão ıC e um R_–plano _R _{com inversão} _ıR_{. Então:}

1. C é uma fatia de B(v1, v2) se, e somente se, ıC permuta os vértices v1, v2, isto é, ıC(v1) = v2 e ıC(v2) = v1.

2. R é um meridiano de _B(v1, v2) se, e somente se, ıR fixa os vértices v1, v2, isto é, ıR(v1) =v1 e ıR(v2) =v2.

Dados duas geod´esicas complexas ultraparalelas C1 e C2 em H2

C existe um ´unico

bissetor que temC1 eC2como fatias. Este bissetor tem como espinha complexa a geod´esica complexaC12 ortogonal comum aC1 eC2 e como espinha real a geod´esica que passa pelos pontosC12_∩C1 eC12_∩C2.

Sejam p0 ep_∞_∈∂H2

C pontos com representantes:

˜ p0 =

 

0 −1

1



 e p˜_∞ =  

0 1 1

 ,

que correspondem aos pontos (0,0) e _∞ em _H. O bissetor _B(p0, p_∞) tem como espinha complexa a geod´esica complexaZ2 =_{0_{} ×}∆ cuja cadeia correspondente ´e a reta vertical

V_{, e como espinha real a geod´esica:}

0 t

∈C2 _|_t_∈R_,₋₁_{< t <}₁

.

A esfera espinal de B ´e o plano horizontal C_{× {}₀_} _{e as suas fatias s˜ao as cadeias neste}

(29)

Um bissetor que tem como vértices o ponto_∞e outro ponto (ζ0, v0)_{∈ H}qualquer, é obtido a partir do anterior através da transla¸cão de HeisenbergT(ζ0,v0). Sua esfera espinal

´e um plano por (ζ0, v0), o plano de contato neste ponto.

Sejam p₋ e p+_∈∂H2

C pontos com representantes:

˜ p₋ =

 

0 −i

1



 e p+˜ =  

0 i 1

 ,

que correspondem aos pontos (0,−1) e (0,1) em H. O bissetor B(p₋, p+) tem como espinha complexa a geod´esica complexa Z2 = {0} ×∆ cuja cadeia ´e a reta vertical V_{, e}

como espinha real a geod´esica:

0 ti

∈C2 _|_t_∈R_,₋₁_{< t <}₁

.

A esfera espinal deB ´e a esfera de Heisenberg unit´aria de centro (0,0):

E1 =

(ζ, z)∈ H | |ζ|4₊_v2 _{= 1} _.

Um bissetor cujos vértices estão em uma mesma cadeia vertical, ou seja, v1 = (ζ0, v1) ev2 = (ζ0, v2), é ditovertical. A esfera espinal deste bissetor é a esfera de Heisenberg

de centro (ζ0, v0 = v1+v2

2 ) e raio R0 =

r

|v1−v2|

2 . Ela é obtida da esfera de Heisenberg unitáriaE1 através da dilata¸cão de Heisenberg DR0 seguida da transla¸cão de Heisenberg

T(ζ0,v0).

1.7 Teorema dos Poliedros de Poincar´

e

Nesta se¸cão vamos enunciar o Teorema dos Poliedros de Poincaré para subgrupos de P U(2,1). A versão aqui enunciada se encontra em [Pa02]. Outras referências são [D], [GuPa] e [AnGrGu].

Umsemi-espa¸coemH2

C´e uma componente conexa do complementar de um bissetor

em H2

C. Um subconjunto P ⊂ HC2 ´e um poliedro se for a interse¸c˜ao de uma quantidade

finita ou enumer´avel de semi-espa¸cos em H2

C. A fronteira deP possui uma decomposi¸c˜ao

em células dada pelas interse¸cões dos bissetores que definemP. As células de codimensão um são chamadasladosdeP, e as células de codimensão dois são chamadas arestasdeP. Cada aresta está contida na interse¸cão de exatamente dois lados deP.

Defini¸c˜ao 1.16. Seja Γ um subgrupo discreto de P U(2,1). Um poliedro P ´e um poliedro fundamental para Γ em H2

C se satisfizer as seguintes condi¸c˜oes:

(30)

2. Para todo z _∈H2

C, existe g ∈Γ tal queg(z)∈P.

3. Os lados deP s˜ao, dois a dois, identificados por elementos de Γ; isto ´e, para cada lado s existem um lado s′ _{e um elemento} _g

s ∈Γ com gs(s) =s′. Esta identifica¸cão deve satisfazer: gs′ = g_s−1 e (s′)′ = s. Cada elemento gs é chamado uma transforma¸cão identificadora de lado.

4. P ´e localmente finito, isto ´e, qualquer subconjunto compacto de H2

C intersecta

so-mente uma quantidade finita de imagens de P por elementos de Γ.

Seja dado um poliedro P em H2

C cujos lados est˜ao identificados por elementos de

P U(2,1). O Teorema dos Poliedros de Poincar´e estabelece condi¸c˜oes que garantem que o subgrupo Γ gerado por estes elementos identificadores de lados deP seja discreto e que P seja um poliedro fundamental para Γ.

Come¸camos enunciando condi¸cões sobre os lados e suas identifica¸cões. Seja _{s_} o conjunto de lados de P e _{gs_}s _⊂ P U(2,1) o conjunto de transforma¸cões identificadoras de lados. As condi¸cões de identifica¸cão de ladossão:

(L.1) Para cada lados existe um lado s′ _{tal que} _{gs(s) =}_s′_.

(L.2) gs′ = g_s−1; em particular, se s = s′ entãog2_s = 1. Neste caso, gs é chamada rela¸cão

de reflex˜ao.

(L.3) gs(P)_∩P =_∅.

(L.4) gs(P)∩P =s′_.

(L.5) P possui uma quantidade finita de lados e cada lado possui uma quantidade finita de arestas.

(L.6) Existe um número δ > 0 tal que cada par de lados disjuntos estão separados por uma distância maior ou igual a δ.

Em seguida, enunciamos condi¸cões sobre as arestas de P. Seja e1 uma aresta na fronteira de um lados1 de P. Então,e2 =gs1(e1) é uma aresta na fronteira de s′1. Como

cada aresta est´a contida em exatamente dois lados de P, seja s2 o lado distinto de s′

1 contendo e2. Ent˜ao e3 =gs2(e2) = gs2 ◦gs1(e1) ´e uma aresta na fronteira de s′2; seja s3 o

lado distinto de s′2 contendo e3. Continuando desta maneira, obtemos uma sequência de arestas_{e1, e2,_{· · ·}}, uma sequência de lados_{s1, s2,_{· · ·}}e uma sequência de transforma¸cões identificadoras de lados{gs1, gs2,· · ·}. ComoP tem finitos lados e arestas, estas sequências

devem ser periódicas. Seja k o menor inteiro tal que as três sequências tem per´ıodo k. Temos então que gsk ◦ · · · ◦gs2 ◦gs1(e1) =e1. A transforma¸cão h =gsk ◦ · · · ◦gs2 ◦gs1 é

(31)

Dada uma transforma¸c˜ao de ciclo h =gsk ◦ · · · ◦gs2 ◦gs1 e um inteiro positivo m,

definamos a seguinte sequˆencia demk transforma¸c˜oes h0, h1,· · · , hmk₋1 de Γ:

h0 = 1, h1 =gs1, h2 =gs2 ◦gs1, · · · hk−1 =gsk−1 ◦ · · · ◦gs2 ◦gs1,

hk=h, hk+1 =gs1 ◦h, · · · h2k−1 =gsk−1 ◦ · · · ◦gs2 ◦gs1 ◦h,

... ... ...

hmk₋k=hm−1, hmk−k+1 =gs1 ◦h

m−1_, _{· · ·} _hmk

−1 =gsk−1 ◦ · · · ◦gs2 ◦gs1 ◦h

m−1_.

SejaFm

h a seguinte fam´ılia de poliedros:

F_hm =

P , h−₁1(P),· · · , h−_mk1₋₁(P) .

Então, ascondi¸cões de arestas são:

(A.1) Cada aresta ´e uma subvariedade deH2

C homeomorfa a um disco aberto.

(A.2) Para cada arestaecom transforma¸cão de ciclohexiste um inteiroltal que a restri¸cão de hl _a_e _{é a identidade.}

(A.3) Existe tamb´em um inteiro m tal que hlm _{´e a identidade em} _H2

C. Os poliedros da

fam´ılia Flm

h cobrem, sem auto-interse¸c˜ao, uma vizinhan¸ca da aresta e.

As rela¸cõeshlm _{= 1 dadas pela condi¸cão (A.2) são chamadas} _{rela¸cões de ciclo}_.

(32)

Grupos Triangulares Ultraparalelos

Um triângulo hiperbólico complexo é um terno (C1, C2, C3) de geodésicas complexas em H2

C. As geodésicas complexas Ck, k = 1,2,3, são os ladosdo triângulo. Se os lados de um

triângulo hiperbólico complexo (C1, C2, C3) são dois a dois ultraparalelos nós o chamamos triângulo ultraparalelo.

Umgrupo triangular´e um subgrupo do grupoP U(2,1) de isometrias holomorfas de H2

C, gerado por inversões nos lados de um triângulo hiperbólico complexo. Assim, sendoık

a inversão no ladoCkde um triângulo hiperbólico complexo (C1, C2, C3), o grupo triangular correspondente é o subgrupo Γ = Γ(C1, C2, C3) = _hı1, ı2, ı3_i. Quando o triângulo for um triângulo ultraparalelo, o grupo triangular correspondente será chamadogrupo triangular ultraparalelo.

Ao aplicarmos uma isometriag deH2

C nos lados do triˆangulo hiperb´olico complexo

(C1, C2, C3), obtemos um novo triângulo cujas inversões nos seus lados são os elementos conjugados gıkg−1_, _k _{= 1,}_2,_{3. O grupo triangular correspondente ao novo triângulo é} o grupo conjugado gΓg−1_{, que é isomorfo a Γ. Por isto, consideramos equivalentes os} triângulos hiperbólicos complexos que diferem por uma isometria deH2

C.

2.1 Ternos de retas ultraparalelas

Nesta se¸c˜ao vamos descrever ternos (C1, C2, C3) de geod´esicas complexas emH2

Cem fun¸c˜ao

de quatro parˆametros reais. O material desta se¸c˜ao aparece em [Pr].

2.1.1 Forma normal

Vamos encontrar uma forma normal para os vetores polares de trˆes geod´esicas complexas ultraparalelas em H2

C. Sejam C1, C2, C3 trˆes geod´esicas complexas ultraparalelas emHC2

(33)

com vetores polares c1, c2 e c3, respectivamente, normalizados de modo que _hck, ck_i = 1, k= 1,2,3.

No modelo da bola B_{, a menos de uma isometria de} _H_C2_{, podemos supor que a}

ortogonal comum aC1 eC2 ´e a geod´esica complexa:

Z1 = ∆× {0}=

z1 0

∈C2_;_|_z1|_<₁

.

Um vetor em C2,1 _{polar a} _Z1 _´e _P1 ₌

  0 1 0 

. Em Z1, a menos de uma transla¸c˜ao e uma

rota¸cão em torno da origem, podemos supor que os pontos de interse¸cão comC1 eC2 são, respectivamente, a origem deB _{e um ponto no segmento de geodésica:}

t 0

∈B_;_t_∈R_,₀_{< t <}₁

.

Desta forma, usando o teorema (1.6), obtemos que os vetores polares aC1 eC2 podem ser escritos na forma:

c1 =

  1 0 0 

 e c₂ =   x 0 y 

 onde x, y >0 e x2−y2 = 1.

Agora, escrevamosc3 =

  u v z 

, com |u|2+|v|2−|z|2 = 1. Consideremos o elemento

g _∈P U(2,1) representado por:

˜ g =

 

eiθ ₀ ₀ 0 eiφ ₀ 0 0 eiθ



 onde θ, φ∈[0,2π].

Claramente,g fixa os vetores polaresc1 ec2 como elementos de C_P2 _{e, aplicado a}_{c3, fica:}

˜ g(c3) =

 

eiθ_u eiφ_v eiθ_z

 .

Podemos escolher θ e φ tais que eiθ_u _e _eiφ_v _{s˜ao reais n˜ao negativos. Assim, encontramos} a forma normal:

c1 =   1 0 0 

, c2 =   x 0 y 

, c3 =   u v z 

, (2.1)

com z _∈ C_, _{x, y, u >} _{0 e} _v _≥ _{0. Notemos que} _u ₆_{= 0 pois, caso contr´ario,} _C1 _e _C3 _seriam

(34)

2.1.2 A condi¸c˜

ao de ultraparalelismo

Vamos, agora, escrever a forma normal (2.1) em fun¸cão de parâmetros intr´ınsecos ao terno (C1, C2, C3), isto é, parâmetros invariantes por isometrias deH2

C. Usaremos os parˆametros

dados pelas distˆancias entre estas geod´esicas complexas e mais um invariante (angular ou de forma) que definiremos adiante.

Seja lk > 0 a distância entre as geodésicas complexas Ck₋1 e Ck+1 (onde o ´ındice k é tomado módulo 3). Estando os vetores polares normalizados, sabemos do ´ıtem (3) do teorema (1.6) que coshlk

2 =| hck−1, ck+1i |. Por isto é mais conveniente trabalharmos com o cosseno hiperbólico da distância. Denotemos então:

rk= cosh( lk

2) = | hck−1, ck+1i | e sk= senh ( lk

2).

Das propriedades das fun¸c˜oes hiperb´olicas, segue ques2

k =r2k−1, rk>1 e sk >0.

Consideremos o produto triplo Hermitiano do terno de vetores polares (c1, c2, c3) definido por:

hc1, c2, c3_i=_hc1, c2_{i h}c2, c3_{i h}c3, c1_i. Este produto ´e invariante por elementos do grupoP U(2,1).

Defini¸cão 2.1. Sejam C1, C2, C3 três geodésicas complexas ultraparalelas em H2

C com

vetores polares c1, c2 e c3, respectivamente, normalizados de modo que _hck, ck_i = 1, k= 1,2,3. O invariante de forma (ou invariante de Brehm) do triˆangulo (C1, C2, C3) ´e definido por:

σ =σ(c1, c2, c3) = Re_hc1, c2, c3_i. Oinvariante angular do triˆangulo (C1, C2, C3) ´e definido por:

α=α(c1, c2, c3) =arg_hc1, c2, c3_i.

Escrevendo hc1, c2, c3i =| hc1, c2, c3i |eiarghc1,c2,c3i

=r1r2r3eiα _{encontramos a rela¸c˜ao} entre os invariantesσ e α:

σ=Re(r1r2r3eiα) ⇒ σ =r1r2r3cosα. (2.2)

Os ternos com invariante angular α e 2π₋α s˜ao conjugadas por uma isometria anti-holomorfa de H2

C. Ent˜ao, podemos considerar α ∈ [0, π]. Notemos que, enquanto

0≤α ≤π o invariante de forma σ varia no intervalo −r1r2r3 ≤σ ≤r1r2r3.

Voltando à forma normal (2.1) da se¸cão anterior, os produtos Hermitianos entre os vetores polares são:

(35)

Logo:

r3 =| hc1, c2i | ⇒ x=r3, r2 =_{| h}c3, c1_{i | ⇒} u=r2, r1 =| hc2, c3i | ⇒ |xu−y¯z|=r1. Al´em disto: