Raízes de aplicações próprias via o número de
raízes de Nielsen
Raízes de aplicações próprias via o número de raízes de
Nielsen
Jean Cerqueira Berni
Orientador: Prof. Dr. Oziride Manzoli Neto
Dissertação apresentada ao Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação - ICMC-USP, como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Ciências - Matemática . VERSÃO REVISADA
USP – São Carlos Março de 2014
SERVIÇO DE PÓS-GRADUAÇÃO DO ICMC-USP
Data de Depósito:
com os dados fornecidos pelo(a) autor(a)
C528
Cerqueira Berni, Jean
/ Jean Cerqueira Berni; orientador Oziride Manzoli Neto. -- São Carlos, 2014.
157 p.
Tese (Doutorado - Programa de Pós-Graduação em Matemática) -- Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação, Universidade de São Paulo, 2014.
Agradeço a todos que, direta ou indiretamente, contribuíram para a concretização e a elaboração desta dissertação. Agradeço imensamente a Deus, meu Pai do Céu, por
ter me preparado o caminho a fim de que eu pudesse chegar a estudar no ICMC - USP. Agradedeço a Nossa Mãe do Céu, Maria, e a Santa Rita de Cássia por terem passado à
minha frente me defendendo de todo mal e toda injustiça, e a São Jorge por ter me aberto os caminhos que me pareciam intransitáveis.
Agradeço ao meu pai, Sidival Aparecido Berni, por seu apoio em muitos sentidos, por seu exemplo de bondade, honestidade, perdão e humildade. A bênção, meu pai, para
seguir adiante. Agradeço à minha mãe, Geni Cerqueira Trindade Berni, por seu apoio e exemplo, que me ensinou a encarar a vida com bom humor e a não levá-la tão a sério
- afinal não vou sair vivo dela - e por ser a rocha, o esteio, o amparo e a luz de minha vida.
Agradeço ao meu orientador, Prof. Dr. Oziride Manzoli Neto, por ter me acolhido
neste projeto, por ter me dado autonomia na elaboração desta dissertação e por ter me compreendido tantas vezes, por ter me ajudado e ter sido um exemplo de humildade,
hu-manidade, trabalho e competência acadêmica. Suas cãs e sua sabedoria - tanto acadêmica quanto de vida - me deram a segurança para a execução dos estudos para a elaboração
bem-humorado Vinicius Brasilio Canale, ao leal amigo e ajudador Alex Melges Barbosa,
ao meu querido, compreensivo e genial amigo Pablo Gonzales Pagoto, ao querido Giva-nildo Melo, ao meu amigo otimista e brilhante, Lucas Caritá, ao meu brilhante amigo e
irmão de coração, Glalco Silva Costa - que me ensinou muitas coisas importantíssimas, a minha querida amiga Renata Barbetta, a minha plácida e cândida amiga e torcedora
Raphaela Cândido, a bem-humorada e sorridente super alto astral Carolina Arná Nobre, a sempre bem-humorada e realista Amanda Queirós Moura, a minha justa, verdadeira,
fiel e querida amiga, Amanda Cristina Estevam, à minha doce e fiel amiga Priscila Picelo, aos meus amigos e companheiros nas aulas de Topologia Algébrica do Prof. Dr. João
Peres Vieira, na Unesp em 2010, Ariadne Oliveira e Murilo de Freitas, e a minha amiga e irmã de coração, Maria Carolina Stefani Mesquita Macena por tantas vezes que me
ajudou, socorreu, apoiou e me tranquilizou em momentos difíceis.
Aos meus amigos da pós-graduação, os queridos amigos desde os tempos do Verão
do ICMC, o sempre fiel e querido amigo Renan Maneli Mezzabarba e o sempre justo e fiel amigo Balbino Farias, ao amigo Lito Bocanegra, à querida amiga Sabrina Graciela
Calcina. Aos amigos que fiz enquanto escrevia este trabalho, Priscila Gutierres, Alis-son Almeida Bueno e Hugo Catarucci Botós. Ao eficientíssimo e amissíssimo pessoal da
biblioteca Prof. Dr. Achille Bassi, a querida Gláucia Cristianini por seus conselhos
ex-celentes e conversas edificantes, a Ivani Bragatto por sempre me receber com um sorriso, pela prestatividade e pela boa vontade em me escutar, a Inês Veronese, a Maria Lima, á
querida amiga Regina Célia Vidal Medeiros, a amiga do coração Beatriz Sousa Caneviva Deiroz e a querida Adriana Bueno Balsani. Agradeço à Ana Carolina Venere Murata
pelas alvíssaras dadas sempre com alegria e entusiasmo! À Verinha que talvez não saiba quantas vezes o seu simples "bom dia"me animou.
Agradeço ao professor João Peres Vieira por suas excelentes aulas, por seu exemplo de profissional e ser humano, por seu entusiasmo contagiante e por ter oferecido em 2010
corri-para a qualidade da redação final. Agradeço á Profa
. Dra
Alice Kimie Miwa Libardi por
haver me introduzido ao mundo dos Espaços Métricos de modoex professo, por meio de
suas excelentes aulas em 2008 e 2009 e à Profa
Elíris Cristina Rizziolli, por ter me
intro-duzido ao mundo da Topologia Diferencial. Agradeço ao Prof. Dr. Daniel Vendrúscolo por suas inestimáveis contribuições à qualidade deste trabalho e por participar de minha
banca com suas valorosas correções e preciosas sugestões. Agradeço, em especial, à Profa
Dra
Denise de Mattos, cuja ajuda e cujas aulas foram condiçõessine quibus non para meu
aprendizado em Topologia Algébrica, para me familiarizar com o ritmo das disciplinas do doutorado e, principalmente por seu apoio e por suas palavras que sempre foram um
bál-samo para mim em muitos momentos, e pela pura amizade valiosíssima para mim!
Finalmente agradeço à minha melhor amiga, à abençoada e iluminada professora Marta Cilene Gadotti, que Maria Santíssima colocou em minha vida. Obrigado por seu exemplo
de ser humano, por ter me dado o ombro para chorar nos momentos difíceis, por ter me escutado pacientemente e me animado em cada visita que lhe fiz ao longo do curso.
Obri-gado por me impelir a seguir minhas metas. A senhora foi condição sine qua non para a
concretização deste trabalho. Agradeço à minha amiga Suzete Maria Afonso pelos
conse-lhos inestimáveis ao longo dos momentos mais difíceis que passei durante o mestrado, e à
querida amiga Suzi Marconatto, pelo incentivo e boa acolhida no curso de Matemática em
2008 e à Profa
Miriam Penteado pela dedicação, prestatividade e conversas edificantes.
Agradeço finalmente ao Prof. Dr. Sérgio Roberto Nobre, por ter sido um esteio e um exemplo para mim, e por ter me recebido sempre que precisei. O senhor é uma pessoa
muito especial para mim, e eu o admiro demais.
O objetivo principal deste trabalho é estudar a Teoria de Raízes de Nielsen para
aplicações próprias, analisando resultados conernentes ao número de Nielsen próprio e ao grau absoluto de uma apliação própria em um ponto do contradomínio. Apresentamos
The stated goal of this work is to study Nielsen Root Theory for proper maps, analyzing
results on erning the Nielsen proper number and the absolute degree of a proper map at a point of its odomain. We present a detailed proof of the main theorems given by R.
Introdução 3
1 Conceitos e Resultados Preliminares 7
1.1 A topologia compacto-aberta . . . 7
1.2 Aplicações Próprias . . . 12
1.3 Transversalidade, Homeomorfismos Locais e Raízes Isoladas . . . 20
1.4 Orientação e Homologia . . . 27
2 Alguns Resultados da Teoria de Raízes de Nielsen Elementar 43 2.1 Definições e Resultados . . . 44
2.2 Revestimentos e Levantamentos de Hopf . . . 50
2.3 Pares Admissíveis . . . 56
2.4 Índices de Raízes . . . 58
3 Teoria de Raízes de Nielsen elementar para Aplicações Próprias 63 3.1 Classes de Raízes Próprias e o Número Próprio de Raízes de Nielsen . . . . 63
3.2 Pares Propriamente Admissíveis . . . 65
3.3 Índice de Raízes Próprio . . . 67
3.4 Classes de Nielsen na Variedade de Orientação . . . 84
3.5 Multiplicidade e o Grau Absoluto . . . 90
3.6 Isolando Raízes . . . 99
4 Combinando Raízes Isoladas 109
4.1 Construções de Aplicações e Demonstração dos Teoremas 1.1 e 1.2 . . . . 109
4.2 Um exemplo. . . 135
A Teoria de Raízes de Nielsen clássica trata, essencialmente, de calcular um
limi-tante inferior para o número de raízes de uma aplicaçãof :Xn→Ynemy
0 ∈Y, ondeXn
é uma variedade topológica compacta e orientável de dimensão n e Yn é uma variedade
topológica fechada de mesma dimensão, válido para uma classe de homotopia de f. As raízes são particionadas em classes de equivalência, e definimos um critério para decidir
quando uma classe de raízes de Nielsen é essencial. O número de Nielsen, que será deno-tado porN(f, y0), conta o número de classes essenciais, e é um invariante por homotopias.
Estando o conceito número de raízes de Nielsen bem definido, podemos destacar duas linhas principais de investigação. Uma delas é o desenvolvimento de técnicas para
compu-tarN(f, y0). Por exemplo, algumas classes de espaços permitem um cálculo direto para o
número de Nielsen, como por exemplo aquele em queY é um grupo de Lie. A outra linha de investigação concerne a se N(f, y0)é um limitante inferior estrito, ou seja, se existem
aplicações na classe de homotopia de f que têm exatamente N(f, y0)raízes.
Seguindo [20], vamos “despir"Xn das hipóteses de ser orientável e compacta e Yn da
hipótese de ser uma variedade fechada. Lançaremos mão apenas das propriedades mais essenciais de Y, que serão as hipóteses deY ser um espaço topológico de Hausdorff bem-conexo (ou seja, bem-conexo, localmente bem-conexo por caminhos e semilocalmente simplesmente conexo), ey0 admitir uma vizinhança homeomorfa a Rn. A fim de abranger alguns
- ou seja, vamos substituir uma hipótese sobre a topologia de Xnpor uma hipótese sobre
f : Xn → Y. A fim de abarcar variedades topológicas não orientáveis, introduziremos o
revestimento de orientação de Xn, e
p: Xe → Xn e, utilizando o fato de Xe ser orientável,
recuperaremos resultados da teoria clássica paraf ao analisar f ◦pe:Xe →Y.
Uma vez que estaremos trabalhando no contexto de aplicações próprias, convém de-finirmos o número de Nielsen próprio para f : Xn → Y em y
0, P NR(f, y0) como um
limitante inferior para o número de raízes de aplicações propriamente homotópicas a f. Assim comoN(f, y0)é invariante por homotopias, P NR(f, y0)será invariante por
homo-topias próprias. Outras ferramentas ainda mais poderosas - embora nem sempre fáceis de computar - são definidas, como o grau absoluto, A(f, y0), que será um limitante
in-ferior mais fino para o número de raízes de uma aplicação que, além de propriamente homotópica a f também é transversal a y0, ou seja, tal que y0 admite uma vizinhança
uniformemente revestida por f. Para aplicações entre variedades topológicas compactas orientadas, o grau absoluto coincide, em módulo, com o grau de Brouwer, de modo a ser
desnecessária sua introdução. Na teoria apresentada por Brooks em [20], o grau absoluto será uma espécie de extensão do conceito de grau de Brouwer para o caso em queXn não
é uma variedade fechada e Yn não é uma variedade conexa.
Um dos nossos objetivos será, seguindo [20], apresentar condições suficientes para que
exista uma aplicação g : Xn → Y que tenha exatamente A(f, y
0) raízes, levando em
consideração, entre outras coisas, a dimensão da variedade topológica Xn, usando para
isto as propriedades de contratibilidade de laços na bola Bn.
A nossa meta principal é apresentar uma demonstração detalhada de dois teoremas da Teoria de Raízes de Nielsen para aplicações próprias, com base em [20]. O primeiro destes
teoremas, oTeorema 1.1, versa sobre o grau absoluto de uma aplicaçãof :Xn→Y em
y0 ∈Y transversal a este ponto como limitante inferior para o número de raízes de
ay0. Enunciamos este teorema a seguir:
Teorema 1.1 SejamXnuman−variedade topológica conexa,Y um espaço topológico
de Hausdorff bem-conexo e f : Xn → Y uma aplicação própria. Se y
0 ∈ Y admite uma vizinhança homeomorfa ao espaço euclidiano Rn, então toda aplicação propriamente
ho-motópica a f :Xn →Y que também é transversal a y
0 tem, no mínimo, A(f, y0) raízes. Além disso, se n > 2, existe uma aplicação propriamente homotópica a f : Xn → Y e
transversal ay0 que admite exatamente A(f, y0) raízes em y0.
O segundo teorema,Teorema 1.2, caracteriza a essencialidade de classes de raízes de
uma aplicação f :Xn→Y em y
0 por meio da multiplicidade destas.
Teorema 1.2 SejamXn uman−variedade topológica conexa,Y um espaço topológico
de Hausdorff bem-conexo e f : Xn → Y uma aplicação própria. Se y
0 ∈ Y admite uma vizinhança homeomorfa ao espaço euclidiano Rn, então toda aplicação propriamente
ho-motópica af e transversal ay0 admite, no mínimo, PNR(f, y0)raízes emy0, e toda classe de raízes de Nielsen de f em y0 com multiplicidade diferente de zero é propriamente es-sencial. Ademais, se n > 2, então existe uma aplicação propriamente homotópica a
f : Xn → Y que tem exatamente PNR(f, y
0) raízes em y0, e uma classe de raízes de
f :Xn→Y é propriamente essencial apenas quando tiver multiplicidade não zero.
Para o caso de ser a dimensão da variedade topológica Xn maior que 2 (i.e., n >2),
temos propriedades conhecidas como "propriedades do tipo Wecken"para o grau absoluto
e para o número de raízes de Nielsen próprio. Estes resultados garantem a existência de aplicações que realizam estas propriedades.
Para a construção das aplicações cuja existência asseveramos nos teoremas acima, fa-remos forte uso da Teoria de Homologia Simplicial1
, e das propriedades topológicas
da variedadeXn, como, por exemplo, sua paracompacidade.
Daremos, noExemplo 120 , uma aplicaçãof :Xn →Y que satifaz às condições dos
teoremas acima e que ilustra que, contrariamente ao que é verdadeiro quando Y é uma variedade topológica de dimensãon,f tem classes de raízes de Nielsen com multiplicida-des e essencialidamultiplicida-des diferentes, e o número de Reidemeister de suas raízes é estritamente
maior que o número de raízes de Nielsen, mesmo quando este não é nulo.
Esta dissertação está organizada como segue: nas primeiras seções estabelecemos o embasamento preliminar e as notações da linguagem da topologia que vamos utilizar. Na
segunda seção fornecemos as definições e os teoremas essenciais da Teoria de Nielsen ele-mentar.
No capítulo 2 apresentamos sucintamente a teoria clássica para depois estendê-la.
No Capítulo 3 apresentamos a Teoria de Nielsen para Aplicações Próprias e,
1
Conceitos e Resultados Preliminares
Neste capítulo apresentaremos as ferramentas essenciais da Topologia Algébrica que iremos utilizar a fim de estabelecer os resultados da Teoria de Nielsen Clássica. Na
seção 1.1 apresenta-se um modo usual de dotar o espaço de aplicações entre dois espaços topológicos de uma topologia. A seção 1.2 tratará de um dos protagonistas desta teoria,
o conceito de aplicação própria. Na seção 1.3 apresentamos uma extensão do conceito de transversalidade para aplicações ( não necessariamente diferenciáveis) em um ponto do
contradomínio que admite uma vizinhança homeomorfa aRn. Finalmente, na seção 1.4,
apresentamos uma maneira conveniente de definir orientação para uma variedade
topoló-gica, maneira esta que nos permitirá estender os resultados da teoria clássica para o caso em queXn é não-orientável.
1.1 A topologia compacto-aberta
Esta seção é necessária devido à Proposição 5, que nos permitirá provar certas propriedades do objeto que definiremos na próxima seção, a saber, o índice. A teoria
aqui apresentada se encontra em [17]. Ao longo desta dissertação, a fim de simplicidade de notação, sempre que nos referirmos a espaços topológicos arbitrários omitiremos sua
escreveremos "seja X um espaço topológico".
Sendo X e Y espaços topológicos, Map (X, Y) denotará o conjunto de todas as apli-cações deX em Y. Por aplicação entenderemos, ao longo desta dissertação, uma função contínua.
Existem vários modos de dotar Map (X, Y) de uma topologia, mas para nossos pro-pósitos a topologia mais útil será atopologia compacto-aberta, também chamada de
k−topologia.
Para quaisquer dois conjuntos K ⊂ X e W ⊂ Y, seja M(K, W) o subconjunto de
Map (X, Y)definido por:
M(K, W) :={f ∈Map (X, Y)|f(K)⊂W}.
M(K, W) será chamado de conjunto sub-básico de Map (X, Y) sempre que K for compacto e W for aberto. A topologia compacto-aberta de Map (X, Y) é a topologia gerada pela sub-base:
S={M(K, W)|K ⊂X é compacto e W ⊂Y é aberto}.
De acordo com a nossa definição de sub-base, um conjunto será aberto emMap (X, Y)
se for reunião de interseções finitas de conjuntos sub-básicos.
Sejam X um espaço topológico de Hausdorff, Y um espaço topológico qualquer e
U={U} uma sub-base para a topologiaσ deY. O lema a seguir nos permitirá construir
uma sub-base para a topologia compacto-aberta de Map (X, Y) a partir da sub-base U.
Lema 1. Se X é um espaço de Hausdorff e U={U} é uma sub-base para os conjuntos
{M(K, U)|K ⊂Xé compacto e U ∈U}
constitui uma sub-base para a topologia compacto-aberta de Map (X, Y).
Demonstração. Basta mostrar que se K é um subconjunto compacto de X, W é um subconjunto aberto de Y, e se f ∈ M(K, W), então existem subconjuntos compactos
K1, K2,· · · , Km deX e U1,· · ·, Um ∈U tais que:
f ∈M(K1, U1)∩ · · · ∩M(Km, Um)⊂M(K, W).
Seja x ∈K. Como f(x) ∈ W, existe um número finito de conjuntos em U, digamos,
Ux
1,· · · , Unx(x), tais que:
f(x)∈Ux
1 ∩ · · · ∩Unx(x) ⊂W.
Como f é contínua, existe uma vizinhança Gx dex em X tal que:
f(Gx)⊂U1x∩ · · · ∩Unx(x).
ComoK é um espaço de Hausdorff compacto,K é regular. Assim, existe uma vizinhança aberta Hx dex em K tal que o fecho Kx = Cl. Hx está contido em Gx.
A coleção {Hx : x ∈ K} é uma cobertura aberta do espaço compacto K, e por
conseguinte existe um número finito de pontos emK, digamos x1,· · · , xq, tais que:
K =Hx1 ∪ · · · ∪Hxq.
Agora, os conjuntosKx1,· · ·, Kxq são compactos. Ademais,
f(Kxj)⊂f(Gxj)⊂U
xj
x1 ∩ · · · ∩U xj
xnj ⊂W, (j = 1,· · · , q).
Portanto nós temos:
f ∈
q \
j=1 "nj
\
i=1
M(Kxj, U
xj
i ) #
Suponha que g ∈ Map (X, Y) pertença ao conjunto do membro direito da expressão (1.1.1). Sex∈K, então x pertence a algum Hxj, e portanto está em Kxj. Assim,
g(x)∈Uxj
1 ∩ · · · ∩U xj
nj ⊂W.
Por conseguinte, g ∈M(K, W), de modo que:
q \
j=1 "\nj
i=1
M(Kxj, U
xj
i ) #
⊂M(K, W).
Definição 2. Dados X e Y espaços topológicos e x∈X, a função:
ϑx : Map (X, Y) → Y
f 7→ ϑx(f) =f(x)
é chamada afunção de evaluação de um produto cartesiano Map (X, Y).
Proposição 3. Se X é um espaço topológico regular e localmente compacto, então a função evaluação ϑ de Map (X, Y) é contínua.
Demonstração. Sejam f ∈ Map (X, Y), x ∈ X. Seja W um aberto arbitrário de Y tal queW ∋f(x). Mostremos que existe um aberto Z ⊂Map (X, Y)×X tal que ϑ(Z)⊂W.
Como f é uma aplicação contínua, a pré-imagem de W, f⊣(W), é um subconjunto
aberto deX que contém x. Uma vez queX é regular e localmente compacto, existe uma vizinhança aberta dex,V, tal queCl. V é compacto eCl. V ⊂f⊣(W). EntãoM(Cl. V, W)
é um conjunto aberto sub-básico de Map (X, Y) que contém f. Deste modo, tomando
Definição 4. Sejam X e Y espaços topológicos e F : X ×[0,1] → Y uma aplicação contínua. A aplicação:
θ(F) : [0,1] → Map (X, Y)
t 7→ θ(F)(t) : X → Y
x 7→ F(x, t)
é chamada a função associada de F.
A seguir enunciamos a proposição mais importante desta seção.
Proposição 5. A função associada θ(F) de F :X×[0,1]→Y é contínua.
Demonstração. Seja M(K, W) um aberto sub-básico arbitrário de Map (X, Y). Basta provarmos que θ(F)⊣(M(K, W)) é um subconjunto aberto de [0,1]. Considere, t
0 ∈
θ(F)⊣(M(K, W)). Por definição, temos:
K× {t0} ⊂F⊣(W).
Desde que W é aberto, a continuidade de F implica que F⊣(W) é um subconjunto
aberto de X ×[0,1]. Por conseguinte, F⊣(W) é reunião de uma coleção de conjuntos
abertos da forma Gµ ×Hµ, onde Gµ e Hµ são subconjuntos abertos de X e de [0,1],
respectivamente. Uma vez que K é compacto, K × {t0} está contido na reunião de um
número finito destes conjuntos abertos, digamos:
G1×H1, G2×H2,· · · , Gn×Hn
com t0 ∈Hi para cada i= 1,2,· · · , n. Então:
é um subconjunto aberto de[0,1] contendot0 que está contido em θ(F)⊣(M(K, W)), de
maneira queθ(F)⊣(M(K, W)) é um subconjunto aberto de [0,1]. Logo,θ(F)é contínua,
como desejado.
1.2 Aplicações Próprias
Nesta seção apresentaremos outro conceito ubíquo nesta teoria, o conceito de
apli-cação própria. Veremos nesta seção que podemos preservar muitos resultados concernentes à topologia das pré-imagens de subconjuntos deY porf quando substituímos a hipótese deX ser um espaço topológico compacto pela hipótese de ser f :X →Y uma aplicação própria.
Definição 6. Sejam (X, τ) e (Y, σ) espaços topológicos. Uma aplicação f : X → Y é umaaplicação própria se para todo C ⊂Y compacto, f⊣(C) é compacto.
Definição 7. Sejam X e Y espaços topológicos normais. Uma aplicação f : X → Y é fechada se, para todo F ⊂X fechado, tem-se f(F)⊂Y fechado.
O resultado a seguir caracteriza aplicações fechadas em termos de abertos e de pontos.
Proposição 8. Sejam X e Y espaços topológicos. Uma aplicação f : X → Y é fechada se, e somente se, dadosy∈Y qualquer e um aberto U ⊂X comf⊣({y})⊂U, existir um
aberto V ⊂Y tal que y∈V e f⊣({y})⊂f⊣(V)⊂U.
Demonstração. Sef :X →Y é uma aplicação fechada, sendoX\U fechado,f(X\U)⊂Y
é um conjunto fechado. Pela normalidade de Y, como y /∈ f(X \U), existe um aberto
V ∈σtal que{y} ⊂V eV∩f(X\U) =∅. Mas isto quer dizer quef⊣({y})⊂f⊣(V)⊂U,
o que prova uma das implicações.
Suponha agora que, dados y∈Y qualquer e U ⊂X aberto com f⊣({y})⊂U, exista
uma aplicação fechada.
Para tanto, seja F ⊂ X fechado. Se y /∈ f(F), mostraremos que existe um aberto
V ∈ σ tal que y ∈ V ⊂ X \f(F), ou seja, provaremos que o complementar de f(F) é aberto.
Comoy /∈f(F), entãoF∩f⊣({y}) =∅, de modo que o aberto X\F contémf⊣({y}),
i.e.,
f⊣({y})⊂X\F.
Por hipótese, existe V ⊂ Y aberto tal que f⊣(V) ⊂ X \F. Mas isto quer dizer que
V ∩f(F) =∅, ou seja, queY \f(F)é aberto e, por conseguinte, quef(F)é fechado.
Teorema 9. Sejam X e Y espaços topológicos normais. Uma aplicação f : X → Y é própria se, e somente se, for fechada e para todo y∈Y, f⊣({y}) é compacto.
Demonstração. Suponha que f : X → Y seja fechada e tal que ∀y ∈ Y, f⊣({y}) é
compacto. Dado K ⊂ Y, mostremos que f⊣(K) é compacto. Para tanto, seja U uma
cobertura aberta de f⊣(K) por abertos U de X. Para y ∈ K, podemos extrair uma
subcoleção finita {U1y, U y
2,· · · , Unyy} ⊂ U que ainda cobre o compacto f
⊣({y}), i.e.,
f⊣({y})⊂
ny
[
i=1
Uiy.
Pela Proposição 8, como f é fechada e Sny
i=1U y
i é aberto, existe um aberto Vy ∋ y,
Vy ∈σ tal que:
f⊣(Vy)⊂U y 1 ∪U
y
2 ∪ · · · ∪U y ny.
Pela compacidade de K, também podemos encontrar pontos y1,· · · , yk ∈ K tais que
K ⊂Vy1 ∪Vy2 ∪ · · · ∪Vyk. Então:
f⊣(K)⊂
k [
j=1 nyj [
i=1
Uyj
Esta é, portanto, uma subcobertura finita de f⊣(K). Assim, f⊣(K) é compacto, e
portanto f é uma aplicação própria.
Supondo quef :X →Y é uma aplicação própria, como∀y∈Y,{y} ⊂Y é compacto,
f⊣({y})⊂X é compacto.
SejaF ⊂X um fechado. Mostraremos que f(F) intersectado com cada compacto de
Y é compacto. Disto seguirá que f(F) é fechado.
Para todo compactoK ⊂Y, temosf⊣(K)compacto (devido ao fato def ser própria),
e portanto,F∩f⊣(K)é compacto. Por causa disto, f(F∩f⊣(K)) =f(F)∩K é compacto.
Desta maneira,f(F)intersecta cada compactoK ⊂Y num compacto, de modo que f(F)
é fechado.
Definição 10. Uma homotopia ft : X → Y, t ∈ [0,1] é uma homotopia própria se a
aplicação:
H : X×[0,1] → Y
(x, t) 7→ ft(x)
for própria.
A seguir, alguns resultados elementares a respeito de aplicações e homotopias próprias.
Teorema 11. Uma homotopia ft:X →Y, t∈[0,1] é própria se, e somente se, [
t∈[0,1]
ft⊣(C)⊂X
é compacto sempre que C ⊂Y é compacto.
Demonstração. Suponha que H : X ×[0,1] → Y seja uma homotopia própria. Então, dado C ⊂ Y compacto, segue que H⊣(C) é compacto em X ×[0,1]. Utilizando-nos do
fato de que a projeçãop1:
p1 : X×[0,1] → X
que faz o diagrama abaixo comutar:
X×[0,1]H //
pt
Y
X
ft
:
:
✉ ✉ ✉ ✉ ✉ ✉ ✉ ✉ ✉ ✉ ✉
é contínua, segue-se quep1(H⊣(C)) é compacto, de modo que, como
p1(H⊣(C)) = [
t∈[0,1]
ft⊣(C),
então St∈[0,1]f⊣
t (C)é compacto.
Suponha que sempre queC ⊂Y for compacto,St∈If⊣
t(C)seja compacto. Então, pelo
Teorema de Tychonoff,
[
t∈[0,1]
ft⊣(C)
×[0,1]
também é compacto.
Agora, como C é compacto e portanto fechado em Y, sendo H : X ×[0,1] → Y
contínua, segue que H⊣(C) é fechado. Uma vez que H⊣(C) ⊂ S
t∈[0,1]ft⊣(C)×[0,1], do
fato de H⊣(C) ser fechado num conjunto compacto, segue que H⊣(C) é compacto, de
modo que a homotopia é própria, como desejado.
Definição 12. Seja ft:X →Y, t∈[0,1]uma homotopia com f0 =f e A ⊂X qualquer. A homotopia é constante igual a f fora de A quando ∀x∈X\A, ft(x) =f(x).
Teorema 13. Sejam f : X → Y uma aplicação própria, ft : X → Y, t ∈ [0,1] uma
homotopia com f0 =f e K ⊂X compacto. Se ft :X →Y, t ∈ [0,1] é constante fora de
Demonstração. SejaC ⊂Y compacto e suponha que ft :X →Y, t ∈[0,1]seja constante
com relação a t fora de K, digamos, H(x, t) = κ ,∀x∈X\K. Note que:
[
t∈[0,1]
ft⊣(C) =
[
t∈[0,1] ft K ⊣
(C)
∪ft
⊣
X\K
(C).
De fato, a inclusão não trivial é:
[
t∈[0,1]
ft⊣(C)⊆
[
t∈[0,1] ft K ⊣
(C)
∪f⊣(C).
Dadox∈St∈[0,1]f⊣
t(C)⊂X, temos duas possibilidades:
(i) x∈K∩St∈[0,1]f⊣ t(C)
.
Dadox∈K comx∈St∈[0,1]f⊣
t(C), existet0 ∈[0,1]tal queft0(x)∈C. Neste caso,
x∈
ft0 K
⊣
(C), e portanto, x∈ St∈[0,1]
ft K ⊣
(C)
!
∪f⊣(C).
(ii) x∈X\K com x∈(X\K)∩St∈[0,1]f⊣ t (C)
.
Então ft(x) = κ, ∀t ∈ [0,1]. Se κ ∈ C, x∈ St∈[0,1] ft X \K !⊣
(C). Entretanto, se
κ ∈ Y \C, então ft(x) = f(x) = κ, uma vez que a homotopia é constante fora de
K.
SendoK compacto, a homotopia ft|K :K →Y, t ∈[0,1] é própria, de modo que pelo
Teorema 11,
[
t∈[0,1] ft K ⊣
(C)
é compacta. Sendo f própria,f⊣(C) é compacto. Logo, a reunião: [
t∈[0,1]
é compacta, de modo que pelo Teorema 11, a homotopia ft : X → Y, t ∈ [0,1] é
própria.
O teorema a seguir relaciona f e seu levantamento por um revestimento q : Y → Y, que não precisa ser próprio.
Teorema 14. Seja f : X → Y um levantamento da aplicação f : X → Y pelo revesti-mento q:Y →Y. Então f é própria se, e somente se, f é própria.
Demonstração. Suponha quef :X→Y é uma aplicação própria. SejaC ⊂Y compacto. Entãoq(C) é compacto. Comof é, por hipótese, própria, f⊣(C) =f⊣(q(C))é compacto,
de modo que f é própria.
Suponha quef : X →Y é uma aplicação própria. Seja C ⊂Y compacto. Para cada
y∈Y, existe uma vizinhança Vy ⊂Y tal que:
q⊣(Vy) = G
k∈N
f
Vk y
e
q :Vfk
y →Vy é um homeomorfismo.
Para caday ∈C, considere Vy∩C. O conjunto:
K′ ={V
y∩C;y∈C}
é uma cobertura por abertos (relativos) para C, que por ser compacto, admite uma subcobertura finita, que designaremos porK′′. Considere:
K={Cl. A;A∈ K′′},
Para cada K ∈ K, seja K um conjunto que é aplicado homeomorficamente sobre K
porq, ou seja, tal que:
q:K →K
é um homeomorfismo. Estamos, portanto, tomando os compactos correspondentes no revestimento.
Cada um destes Ks é compacto por ser homeomorfo a um conjunto compacto, e como
f é própria, f⊣(K) também é compacto. Assim,
[
K∈K
f⊣(K)
é uma reunião finita de conjuntos compactos e é, portanto, compacto. Segue-se quef⊣(C),
por ser subconjunto fechado do compacto SK∈Kf⊣(K), é compacto. Logo, f é própria,
como prometido.
Como uma homotopia própria ft : X → Y, t ∈ [0,1] é, em particular, uma aplicação
própriaH :X×[0,1]→Y, segue o corolário abaixo.
Corolário 15. Se ft :X →Y , t∈[0,1] é um levantamento de uma homotopia ft:X →
Y, t ∈ [0,1] pelo revestimento q : Y → Y. Então ft : X → Y, t ∈ [0,1] é própria se,
e somente se, ft : X → Y , t ∈ [0,1] é própria. Assim, uma homotopia é própria se, e somente se o seu levantamento o for.
Teorema 16. Seja Ym uma variedade topológica. Uma aplicação de revestimento de Ym
é própria se, e somente se, tiver um número finito de folhas. A composição de aplicações próprias é própria.
Demonstração. A ideia da demonstração da primeira asserção retiramos de [13].
SejaYm →q Ym uma aplicação de revestimento. Suponha, primeiramente, queq tenha
um número finito de folhas, digamosn, i.e., para cada y∈Ym
Sejam y∈Ym e A aberto tais que A⊃q⊣({y}). Podemos escrever:
{x1, x2,· · · , xn}=q⊣({y}).
Como Ym é um espaço de Hausdorff (devido ao fato de ser Ym uma variedade, e
consequentemente, Ym ser espaço de Hausdorff), existem abertos W
1, W2,· · · , Wn com
W1 ∋x1, W2 ∋x2,· · · , Wn ∋xn, Wi∩Wj =∅se i6=j,∀i, j ∈ {1,2,· · ·, n}eW1∪W2∪
· · · ∪Wn⊂A. Então:
V =
n \
i=1
q(Wi)
é uma vizinhança aberta de y. Como q é contínua, para cadai= 1,2,· · ·, n,
Ui =Wi∩q⊣(V)
é aberto. Pondo U =Sni=1Ui, tem-se:
U ⊂q⊣(V).
Afirmamos que q⊣(V)⊂U.
De fato, se w ∈ q⊣(V), então q(w) = v ∈ V = Tn
i=1q(Wi), de modo que existem
w1 ∈ W1,· · · , wn ∈ Wn tais que q(wi) = v, ∀i = 1,2,· · · , n. Como v ∈ Ym, q⊣({v})
tem n elementos, e os Wi’s são dois a dois disjuntos, deve-se ter w = wi para um certo
i= 1,2,· · ·, n. Logo w∈q⊣(V)∩W
i =Ui ⊂U.
Observe que q é uma aplicação fechada. Com efeito, se F ⊂ Ym é fechado e y ∈
Ym \q(F) ⊂ Ym é tal que Ym \F ⊃ q⊣({y}), existe V ⊂ Ym aberto com y ∈ V e
q⊣(V) ⊂ Ym \F. Assim, V ⊂ Ym \q(F), de modo que Ym \q(F) ⊂ Ym é aberto e,
consequentemente, q(F)⊂Ym é fechado.
Assim, q⊣(V) = U, de modo que q⊣(V) = U ⊂ Sn
i=1Wi ⊂ A Como Ym e Ym são
discreto), q é própria.
Suponha agora queq:Ym →Ym seja uma aplicação própria. Dadoy ∈Ym qualquer,
como {y} ⊂ Ym é compacto, q⊣({y}) é compacto. Uma vez que este conjunto é discreto
(devido ao fato de q ser uma aplicação de revestimento), segue que q⊣({y}) é finito, ou
seja, a aplicação de revestimento tem um número finito de folhas.
Sejam f :Xℓ →Ym, g :Ym →Zk aplicações próprias:
Xℓ f→Ym →g Zk.
Mostremos que a composição g◦f :Xℓ →Zk é própria.
SejaK ⊂Zkum compacto. Sendog uma aplicação própria, g⊣(K)⊂Ym é compacto,
de modo que, como f é própria, f⊣[g⊣(K)] ⊂ Xℓ é compacto, ou seja, (g ◦f)⊣(K) é
compacto, de maneira que g◦f é própria.
Na próxima seção apresentaremos o conceito de transversalidade estendido para aplica-ções contínuas e variedades topológicas, e suas propriedades para posterior uso na Teoria
de Raízes para aplicações próprias.
1.3 Transversalidade, Homeomorfismos Locais e Raízes
Isoladas
Uma propriedade importante que uma raiz de uma aplicação própria pode ter é a de ser uma raiz isolada. A grosso modo, uma raiz de uma aplicação é isolada quando
Definição 17. Sejam X e Y espaços topológicos, f : X → Y uma aplicação e y0 ∈ Y. Um ponto x ∈ X tal que f(x) = y0 é uma raiz de f em y0. A raiz x é isolada se admitir uma vizinhançaV tal que f não tem nenhuma outra raiz de y0 em V.
Observação 18. Se todas as raízes def em y0 forem isoladas, então f⊣({y0})é discreto, de modo que, se f for própria, f⊣({y
0}) é compacto, e portanto, finito.
Definição 19. Sejam X e Y espaços topológicos e x0 ∈ X. A aplicação f : X → Y é um homeomorfismo local em x0 ∈ X quando x0 admite uma vizinhança V que é aplicada homeomorficamente sobre uma vizinhança W de f(x0). Claramente, como homeomorfismos são aplicações injetoras, sef for um homeomorfismo local em uma raiz
x0, então x0 é isolada.
A seguir damos uma definição de transversalidade no contexto topológico. Mais
adi-ante veremos que esta generalização é feita a partir das propriedades que o Teorema da Função Inversa impõe para aplicações diferenciáveis.
Definição 20. Sejam X e Y espaços topológicos. Uma aplicação f : X → Y é trans-versal a y0 ∈Y quando y0 admite uma vizinhançaV para a qual existe uma família:
{Vx ⊂X|x∈f⊣({y0})}
de subconjuntos mutuamente disjuntos tal que:
f⊣(V) = G
x∈f⊣({y0})
Vx,
onde cada Vx é uma vizinhança de x aplicada homeomorficamente por f sobre V.
Em Topologia Diferencial o conceito de transversalidade é recorrente. A seguir
Definição 21. Sejam Xn e Yn variedades suaves, Zm ⊂Yn uma subvariedade de Yn e
f : Xn → Yn uma aplicação suave. A aplicação f : Xn → Yn é transversal a Zm, e
escrevemosf ⋔Zm, se ∀x∈f⊣(Zm), tivermos:
Dfx(TxXn) +Tf(x)Zm =Tf(x)Yn.
Observação 22. No caso em que Zm ={y
0}, f ⋔y0 se, e somente se ∀x ∈f⊣({y0}):
Dfx(TxXn) +Ty0{y0}=Ty0Y n,
ou seja:
Dfx(TxXn) =Ty0Y n
.
Isto nos motiva a dar a seguinte definição.
Definição 23. Sejam Xn e Yn variedades suaves e f : Xn → Yn uma aplicação suave.
Dado y0 ∈ Yn, f é transversal a y0, e escrevemos f ⋔ y0, se y0 é um valor regular da aplicação f, ou seja, se para todo x ∈ f⊣({y
0}) a aplicação Dfx : TxXn → Ty0Y n é
sobrejetora.
Note que ao longo da demonstração do teorema a seguir, utilizamos fortemente o
Te-orema da Função Inversa.
Teorema 24. (Stack of Records ou Pilha de Cópias)SejamXneYnduas variedades
de mesma dimensão com Xn compacta, f : Xn → Yn suave e y
0 ∈ Yn. Suponha que
f ⋔y0. Então f⊣({y0}) é finito e existe uma vizinhança V ∋y0 em Yn tal que:
f⊣(V) =
k G
i=1
Ui,
com cada Ui aberto e aplicado difeomorficamente sobre V por f|Ui.
Demonstração. Como y0 é valor regular, pelo Teorema da Pré-Imagem [veja, por
exemplo, p. 21 de [26] ], f⊣({y
a dimXn−dimYn = n−n = 0. Como Xn é compacta, e portanto limitada, f⊣({y 0})
deve ser finito, pois de outro modo conteria um ponto de acumulação, o que contrariaria
seu status como variedade de dimensão 0.
DoTeorema do Núcleo e da Imagem, como cadax∈f⊣({y
0})é ponto regular de
f,
n= dim kerDfx+ dim ImDfx = dim kerDfx+n ⇐⇒ dim kerDfx = 0
eDfx é um isomorfismo para cadax nesta pré-imagem.
Nestas condições, peloTeorema da Função Inversa, para cadax∈f⊣({y
0}), existe
uma vizinhança Wx ∋x para a qual f :Wx →f(Wx) é um difeomorfismo.
Observe que cada Wx contém apenas um elemento da pré-imagem de y0, uma vez que
f restrita a Wx é uma bijeção (e, em particular, uma injeção).
Agora, a reunião dosWx’s constitui uma cobertura aberta para o conjuntof⊣({y0})⊂
Xn, com Xn compacto.
A compacidade de f⊣({y
0}) (pois todo subconjunto fechado de um conjunto
com-pacto é também comcom-pacto) garante que esta cobertura contém uma subcobertura
fi-nita. Pela observação acima, podemos denotar os elementos desta subcobertura finita por
Wx1,· · · , Wxn.
ComoXn é, por definição, um espaço topológico de Hausdorff, podemos associar para
cada Wxi um aberto Wi de tal forma que W1,· · · , Wn ainda compõem uma cobertura finita para f⊣({y
0}) e Wi ∩Wj =∅ para i =6 j. Para cada i, denote Vi =f(Wi), e note
Defina:
V =
n [
j=1
Vj
e:
Ui =f⊣(V)∩Wi.
Como os Wi’s são disjuntos, a fortiori, os Ui’s o são.
Assim, temos:
n G
i=1
Ui = n G
i=1
f⊣(V)∩Wi =f⊣(V)∩
=f⊣({y0}) z }| {
n G
i=1
Wi y0∈V
= f⊣(V)
Observe que desta maneira, como f|Wi :Wi →Vi é difeomorfismo, segue que:
f|Ui :Ui →V
também o é.
Observação 25. Pelo Teorema 24, a Definição 20 se apropria naturalmente ao
con-texto da Topologia Diferencial.
Observação 26. O caso em que f⊣({y
0}) = ∅ exige uma classificação particular. Se
y0 ∈/ Cl. f(X), então y0 admite uma vizinhança V tal que f⊣(V) = ∅, e portanto é a reunião de uma família vazia de conjuntos. Como os membros de uma família vazia têm (por vacuidade) qualquer propriedade que quisermos, incluindo ser homeomorfa aV, neste caso convém dizer que f é transversal a y0.
Por outro lado, se y0 ∈/ f(X) mas y0 ∈ ∂f(X), então f⊣(V) é não vazio para toda vizinhança V de y0, mas nenhum subconjunto de f⊣(V) é aplicado sobrejetivamente por
f, de modo que f não pode ser transversal a y0.
Naturalmente, se f é transversal a y0, então f é um homeomorfismo local em cada
Observação 27. A recíproca da asserção acima é falsa. Considere o seguinte
homeomor-fismo local:
f : ]−2π,2π[ → S1
t 7→eit .
Observe, todavia, que f não é transversal a y0 = 1 ∈ S1. O Teorema 28 nos apresenta as ressalvas que precisamos fazer sobre f a fim de recuperar, embora parcialmente, esta recíproca.
Teorema 28. Sejam f : X → Y uma aplicação própria entre espaços de Hausdorff e
y0 ∈Y um ponto que admite uma vizinhança compactaK ⊂Y. Sef é um homeomorfismo local em cada x∈f⊣({y
0}), então f é transversal a y0.
Demonstração. ComoK é compacto ef é própria,f⊣(K)é compacto e f⊣({y
0})é finito.
Como f é homeomorfismo local em cada x ∈ f⊣({y
0}), para cada um destes x existem
abertosUx ⊂X e Vxy0 ⊂K tais que:
f
U
x
:Ux →Vxy0
é um homeomorfismo. Como f⊣({y
0}) é finito, o conjunto:
U = \
x∈f⊣({y0})
Vy0 x
é um aberto que contémy0. Defina:
f
Ux =
f
U
x
⊣
(U).
Nestas condições, U ⊂K é uma vizinhança aberta de y0 e {Ufx|x ∈f⊣({y0})} é uma
família de conjuntos mutuamente disjuntos tais que as restrições de f aplicam cada Ufx
Vale sempre a inclusão a seguir:
G
x f
Ux ⊂f⊣(U),
no entanto, geralmente tem-se:
G
x f
Ux6=f⊣(U).
A fim de "remediar" isto, sejaC a família de todas as vizinhanças fechadas, C⊂U de
y0. Como K é compacto e de Hausdorff, não é difícil provar queC 6=∅e TC∈CC ={y0}.
Assim, uma vez que:
z ∈f⊣({y0})⊂ G
x f
Ux,
existemUz ⊂X e Vzy0 ⊂K tais que:
f Uz
:Uz →Vzy0
é homeomorfismo e f
U
z
(z) =y0 ∈V, de modo que z ∈f ⊣ Uz
(U) =Ufz, e temos:
\
C∈C
f⊣(C)\G
x f
Ux !
=f⊣({y0})\ G
x f
Ux =f⊣ \ C∈C C ! \G x f
Ux =∅.
Como f⊣(K)é compacto, isto mostra que a família:
{f⊣(C)\G
x f
Ux|C ∈ C}
não pode ter a propriedade da interseção finita (vide, e.g., oTeorema 26.9 de [12]), de
modo que deve existir uma subfamíliaC′ ⊂ C tal que:
\
C∈C′ "
f⊣(C)\G
x f
Ux #
=∅,
e portantof⊣(∩
Segue-se queTC∈C′Cé uma vizinhança dey0tal quef⊣(∩C∈C′C) =⊔x(Ufx∩f⊣(∩C∈C′C))
e, para cadax∈f⊣({y
0})a restrição de f aplica a vizinhança fUx∩f⊣(∩C∈C′C) de x
ho-meomorficamente sobre a vizinhança∩C∈C′C de y0. Logo,f é transversal a y0.
Uma noção fundamental sobre a qual jaz esta teoria é a de variedade topológica. Estes
entes matemáticos são importantes por se assemelharem localmente com espaços euclidia-nos, além de terem boas propriedades concernentes à topologia e portanto, aos invariantes
algébricos que a ela associamos. Na seção a seguir expressamos de maneira mais rigorosa o que queremos dizer com "se assemelhar localmente com um espaço euclidiano", bem
como ser "orientável".
1.4 Orientação e Homologia
Quando estamos tratando de variedades diferenciáveis, a noção de orientação num
ponto é expressa por meio da orientação do espaço vetorial que lhe é tangente. A fim de, quando possível, introduzir uma noção global de orientação em variedades diferenciáveis,
usamos as seções do fibrado tangente. No entanto, em se tratando de variedades topo-lógicas, não dispomos do aparato fornecido pela estrutura diferenciável, e contamos tão
somente com homemorfismos locais com espaços euclidianos. Neste caso, poderemos asso-ciar a cada ponto, ao invés de um espaço vetorial, uma estrutura algébrica um pouco mais
simples, um Z−módulo, e usando geradores deste definir orientação. Também daremos
uma definição apropriada a esta teoria de quando uma aplicação f : Xn → Y preserva
orientação.
Analogamente ao procedimento adotado em Topologia Diferencial, definiremos
pri-meiramente orientação pontual de uma variedade topológica, fazendo para tanto uso dos geradores de seus Z−módulos de homologia relativa. Depois vamos estendê-la para uma
orientação local e, finalmente, criaremos um revestimento que, dependendo de admitir seções globais ou não, nos dará importantes informações a respeito da orientabilidade
apresentada nesta seção.
A seguir, definimos quando um espaço se assemelha localmente a Rn. Esta será uma
das condições que toda variedade topológica satisfará. A bibliografia na qual baseamos
esta seção é [4], pp. 251-253.
Definição 29. Um espaço topológico X é localmente n-euclidiano em x0 se existirem uma vizinhançaE ∋x0 e um homeomorfismo:
ϕ :E →Rn.
Observemos que propriedades locais de Rn são emprestadas à n−variedades, como a
conexidade por caminhos, a conexidade local por caminhos e a propriedade de ser semi-localmente simplesmente conexo.
Finalmente, na próxima definição apresentamos o conceito de variedade topológica,
segundo podemos encontrar na p. 39 de [10].
Definição 30. Uma n−variedade topológica Xn é um espaço topológicoX, de
Haus-dorff, com base enumerável que é n−euclidiano em cada um de seus pontos.
No contexto da Topologia Algébrica, uma orientação de uma n−variedade topológica
Xnnum pontoxé, a grosso modo, um gerador don−ésimoZ−módulo de homologia
rela-tivaHn(Xn, Xn\ {x};Z). A fim de definirmos orientação no ponto deveremos, portanto,
garantir que Hn(Xn, Xn\ {x};Z) é cíclico. É isto que o teorema a seguir faz.
unidade. Então:
Hi(X, X \ {x0};R) =
R, se i=n; {0}, se i6=n
Por ser um teorema clássico, omitimos sua demonstração.
Em vista deste teorema, seX é localmente n−euclidiano emx0, então:
Hp(X, X\ {x0};Z)≃Hp(U, U \ {x0};Z),
que é trivial sempre quep6=n, e cíclico de ordem infinita se p=n. Em particular, seXn
é uma variedade, Hn(Xn, Xn\ {x};Z) ≃ Z, de modo que podemos enunciar a seguinte
definição.
Definição 32. Seja (X, τ) um espaço topológico localmente n−euclidiano em x0 ∈ X. Uma Z-orientação local de X em x0 (ou simplesmente um orientação local de X
em x0)é um gerador do n−ésimo módulo de homologia relativa,Hn(X, X \ {x0};Z).
Uma Z−orientação global de uma n−variedade Xn é, a grosso modo, uma escolha
contínua deZ−orientações locais em cada pontox∈Xn. A fim de defini-la, precisaremos
relacionar classes de homologia em diferentes pontos que "estão próximos" entre si. Para
tornar a definição de proximidade precisa, utilizaremos o conceito de "fibrado de orienta-ção".
Dada uman−variedade topológicaXn, nosso próximo passo é construir um espaço de
revestimento para esta. Vamos construir um espaço total que também possua estrutura de variedade topológica. Considere o conjunto:
[
x∈Xn
Este conjunto, munido de uma topologia conveniente, será denotado por OB(Xn).
Queremos construir uma aplicação p : OB(Xn) → Xn tal que p⊣({x}) = H
n(Xn, Xn\
{x};Z), para x ∈ Xn, a fim de que possamos a cada ponto associar um gerador deste
R−módulo.
O lema abaixo servir-nos-á para estender a noção de orientação de uma variedade em um ponto x para uma vizinhança deste, fornecendo-nos uma noção de orientação "lo-cal"na variedade.
No que segue, R denota um anel comutativo com unidade e Sm(Xn;R) denota o
R−módulo livre das n−cadeias sobre Xn, ou seja, gerado pelas funções contínuas do
m−ésimo simplexo padrão ∆m em Xn, σ: ∆m →Xn,
· · ·→∂ Sn(Xn;R) ∂
→Sn−1(Xn;R) ∂
→Sn−2(Xn;R) ∂
→ · · ·
é um complexo de cadeias onde∂ é o operador face,Zn(Xn;R) = ker∂ eBn(Xn;R) =
im∂
Lema 33. Sejam Xn uma n−variedade topológica e z ∈ Z
n(Xn, Xn\ {x};R), ou seja
z ∈ Sn(Xn;R) é tal que ∂z ∈Sn−1(Xn\ {x};R). Existe uma vizinhança V de x tal que
z∈Zn(Xn, Xn\ {y};R) para todoy∈V, isto é, ∂z ∈Sn−1(Xn\ {y};R)para todoy∈V.
Demonstração. Como∂z ∈Sn−1(Xn\ {x};R), então podemos escrever:
∂z =
r X
i=1
αiσi,
ondeσi : ∆n−1 →X\ {x} para i= 1,· · · , r.
Como ∆n−1 é compacto e cada σi é contínua, imσi ⊂X\ {x} é compacto para cada
i= 1,· · · , r. Fixado i∈ {1,· · · , r},imσi é compacto em Xn ex /∈ imσi, comoXn é um
espaço de Hausdorff, existe Vσi ⊂X
n vizinhança de x tal que imσ
Tome o aberto:
V =
r \
i=1
Vσi,
que é vizinhança aberta dex. Para caday∈V, portanto,∂z : ∆n−1 →Xn\V ⊂Xn\{y}.
Assim, podemos considerar que ∂z : ∆n−1 → Xn \ {y} para qualquer y ∈ V. Logo
∂z ∈Sn−1(Xn\ {y};Z)para todo y∈V, de modo quez é um n−ciclo móduloXn\ {y},
ou seja,z ∈Zn(Xn, Xn\ {y};R).
Lema 34. Sejam Xn uman−variedade topológica e z, z′ ∈Z
n(Xn, Xn\ {x};R) tais que
z+Bn(Xn, Xn\ {x};R) = z′ +Bn(Xn, Xn\ {x};R). Nestas condições, existe V ⊂ Xn
vizinhança aberta dextal que para todoy ∈V,z+Bn(Xn, Xn\{y};R) =z′+Bn(Xn, Xn\
{y};R), ou seja, z, z′ ∈Z
n(Xn, Xn\V;R).
Demonstração. Como z +Bn(Xn, Xn\ {x};R) = z′ +Bn(Xn, Xn \ {x};R), z −z′ ∈
Bn(Xn, Xn \ {x};R) ⊂ Sn(Xn, Xn \ {x};R). Desta maneira, existe uma cadeia c ∈
Sn+1(Xn, Xn\{x};R)tais quez−z′ =∂c∈Sn(Xn, Xn\{x};R). Logo,∂c∈Zn(Xn, Xn\
{x};R), de modo que pelo lema anterior existe uma vizinhança aberta V de x tal que
∂c ∈ Zn(Xn, Xn \ {y};R) para todo y ∈ V, ou seja z +Bn(Xn, Xn\ {y};R) = z′ +
Bn(Xn, Xn\ {y};R)para todoy ∈V.
O teorema a seguir nos dá uma base para a topologia deOB(Xn), ou seja, os abertos
deOB(Xn) serão reuniões arbitrárias dos elementos básicos apresentados a seguir.
Teorema 35. Dada uma n−variedade topológicaXn, sejaOB(Xn) =S
x∈XHn(X
n, Xn\
{x};R). Considere os pares(V, z)ondeV ⊂Xn é um subconjunto aberto ez ∈Z
n(X, X\
V;R) é um ciclo módulo X\V. Defina:
Vz ={[z]x ∈Hn(Xn, Xn\ {x}|R) :x∈V},
onde[z] denota a classe de homologia dez. O conjunto de todos tais Vz é uma base para
aplicação:
p: OB(Xn) → Xn
ξ 7→ x|ξ ∈Hn(Xn, Xn\ {x};R)
é uma aplicação de revestimento.
Demonstração. Mostremos primeiramente que:
B={Vz|V ⊂Xné aberto ez ∈Zn(Xn, Xn\V;R)}
é base de uma topologia. Para tal, vamos usar a definição da página 78 de [12].
1) Dado [u]∈ OB(Xn), existe z ∈Z
n(Xn, Xn\ {x};R) tal que [u]∈Vz.
De fato, como [u] ∈ OB(Xn), existe x ∈ Xn tal que [u] ∈ H
n(Xn, Xn \ {x};R).
Seja z ∈ Zn(Xn, Xn \ {x};R) tal que [u] = z +Bn(Xn, Xn\ {x};R). Pelo Lema 33,
existe uma vizinhança aberta V de x tal que z ∈ Zn(Xn, Xn\V;R). Logo [u] ∈ {[z] ∈
Hn(Xn, Xn\ {y};R)|y∈V}=Vz.
2)Dado [u]∈V′
z′ ∩Vz′′′′, existe Vz ∈B tal que [u]∈Vz ⊂Vz′′ ∩Vz′′′′.
Com efeito, se[u]∈V′
z′∩Vz′′′′, então existe x∈V′∩V′′ tal que sez′, z′′ ∈Zn(Xn, Xn\
(V′ ∩V′′);R)então:
[u] =z′+Bn(Xn, Xn\ {x};R) =z′′+Bn(Xn, Xn\ {x};R).
Pelo Lema 34, existe uma vizinhança aberta V dex tal que para todo y∈V,
z′+Bn(Xn, Xn\ {y};R) =z′′+Bn(Xn, Xn\ {y};R),
isto é,
Desta forma, existe c∈ Sn+1(Xn, Xn\ {y};Z) tal que z′−z′′ =∂c. Escolhamos z =∂c
eV ⊂V′∩V′′ aberto tais que z ∈ B
n(Xn, Xn\ {y};R) para todo y∈ V.
Consequente-mente, [u]∈Vz ⊂ Vz′′ ∩Vz′′′′. Isto prova que o conjunto de todos os Vz’s é base para uma
topologia deOB(Xn).
Assim, os abertos da topologia da qual dotamosOB(Xn)são caracterizados por serem
reuniões arbitrárias de elementos de B.
Mostremos quep é um homeomorfismo local. Claramentepaplica Vz de maneira
biu-nívoca sobre V, de modo a ser aberta e localmente bijetora. Resta-nos apenas mostrar a continuidade.
Seja W uma vizinhança aberta de x = p(ξ), onde ξ ∈ Hn(Xn, Xn \ {x};R) é um
gerador. Como já sabemos pela primeira propriedade de base que provamos,ξ ∈Vz para
algum z, portanto (V ∩W)z é uma vizinhança de ξ que é aplicada em V ∩W ⊂ W, de
modo que fica provada a continuidade dep.
Comop é uma aplicação contínua, aberta e localmente bijetora, pé uma aplicação de revestimento.
No caso em que R = Z, para cada x ∈ Xn, pelo Teorema 31, o Z−módulo
Hn(Xn, Xn \ {x};Z) admite dois possíveis geradores. Com base neste fato, definimos
a variedade de orientação de Xn:
Definição 36. Seja Xn uma n−variedade topológica. O subespaçoXe de OB(Xn):
e
X = [
x∈Xn
{±ξ;ξgera Hn(Xn, Xn\ {x};Z)},
com a topologia induzida é a variedade de orientação de Xn.
Chamamos a atenção para o fato de toda variedade topológica ser orientável sobre o
oZ2−módulo de homologia relativa, que é 1.
A variedade de orientação de uma variedade topológica Xn, tomada sobre R=Z,
de-terminará se esta é ou nãoZ−orientável. A seguir, uma importante ferramenta no estudo
da orientabilidade de variedades.
Teorema 37. Seja Xn uma variedade topológica e Xe sua variedade de orientação. Seja e
p : Xe → Xn a restrição de p a Xe. Nestas condições, p˜: Xe → Xn é um revestimento
duplo de Xn, chamado revestimento de orientação de Xn.
Demonstração. Comop:OB(Xn)→Xn é uma aplicação de revestimento, sua restrição,
˜
p: ˜X →Xn também é uma aplicação de revestimento. Além disso, tal revestimento tem
duas folhas por definição, pois para cada x ∈ X, p⊣({x}) = {ξ,−ξ}, onde ξ é um dos
geradores deHn(Xn, Xn\ {x};Z).
O teorema a seguir nos mostra que Xe admite uma estrutura de variedade topológica, sendo um objeto extremamente tratável do nosso ponto de vista. A demonstração de que a topologia deXe tem base enumerável é baseada no Lema 23.3 de [9]
Teorema 38. Sob as hipóteses do Teorema 37, Xe é uma n−variedade.
Demonstração. Dado x˜ ∈ Xe, seja p(˜x) = x ∈ Xn. Como Xn é uma n−variedade,
existe uma vizinhança U1 de x que é homeomorfa a Rn, digamos pelo homeomorfismo
φ: Rn →U
1. Também, como p é uma aplicação de revestimento, existe uma vizinhança
U2 de x que é uniformemente revestida por p. Seja U˜2 = p⊣(U2) o aberto em X˜ tal que
˜
x ∈ U˜2. Considere U˜ = p⊣(U1 ∩U2) ⊂ fU2, que é aberto pelo fato de p ser contínua.
Observe que:
φ−1◦p
U˜: ˜U →Rn
Agora, sendo pum revestimento duplo, como Xn é um espaço de Hausdorff, também e
X o é. Para mostrarmos isto, usaremos o fato da aplicação p ser aberta.
Sejam x˜1,x˜2 ∈ X˜. Se p( ˜x1) 6= p( ˜x2), como Xn é um espaço de Hausdorff, existem
abertos U1 e U2 tais que U1 ∋ p( ˜x1) e U2 ∋ p( ˜x2) e U1 ∩U2 = ∅. Bastar-nos-á tomar
˜
U1 = p⊣(U1) ∋ x˜1 e U˜2 =p⊣(U2) ∋ x˜2, que são tais que U˜1∩U˜2 = ∅. Se p( ˜x1) = p( ˜x2),
então tome uma vizinhança aberta V ∋ p( ˜x1) = p( ˜x2) que seja uniformemente revestida
por p, ou seja, tal que p⊣(V) = ˜V
1 ⊔V˜2 com p|V˜i : ˜Vi → V homeomorfismo para i= 1,2. Comop|V˜i é uma bijeção, temos que x˜1 ∈V˜i e x˜2 ∈V˜j i 6=j, i, j ∈ {1,2}. Logo,X˜ é um
espaço de Haudorff.
Mostremos agora que a topologia de Xe tem base enumerável.
Sendo Xn uma variedade topológica, sua topologia admite uma base enumerável, U.
Tome, para base da topologia deXe, a coleção:
B={V ⊂p⊣(U)|U ∈U, V é componente conexa dep⊣(U)}.
Note que este conjunto é enumerável pois tem, no máximo, o dobro da cardinalidade
deU, o qual é enumerável.
Mostremos que B é uma base, segundo [12].
SendoXn uma variedade topológica, podemos considerar Bcomposta de abertos
co-nexos. Sex˜∈Xe,p(˜x) =x∈Xn. Seja B ∈Bum aberto uniformemente revestido por p,
ou seja, p⊣(B) = Uf
1 ⊔fU2, com Uf1,Uf2 ⊂ Xe abertos com p|Uf1 : fU1 → B e p|Uf2 : Uf2 → B
homeomorfismos. ComoB é aberto e conexo,Uf1,Uf2 ⊂p⊣(B)são as componentes conexas
dep⊣(B). Como x∈B, então x˜∈fU
Suponhamos x˜ ∈ Ue ∩Ve, onde U ,e Ve ∈ U. Como Ue e Ve são ambos abertos, Ue ∩Ve
também é aberto da topologia de Xe. Assim sendo, Ue∩Ve contém uma vizinhança aberta
f
W′dex˜que podemos supor conexa (basta tomar a componente conexa deWf′ que contém
˜
x). Certamente x=p(˜x)∈B para algum B ∈B. Tomemos então Wf=Wf′∩p⊣(B), que
sendo interseção de abertos, é aberto e por ser interseção de conexos com um elemento em comum é conexo. Deste modo,Wf∈Ucom Wf ⊂Ue∩Ve.
Definição 39. Seja Xn uma variedade topológica. Uma seção global da aplicação de
revestimento p:Xe →Xn é uma aplicação s
Xn :Xn→Xe tal que:
p◦sXn = idXn.
Definição 40. Seja Xn uma n−variedade. Uma orientação de Xn é uma seção global
sXn :Xn →Xe de p.
Proposição 41. SejaXn uman−variedade conexa. EntãoXn é orientável se, e somente
se, a sua variedade de orientação,Xe, for desconexa.
Demonstração. A demonstração se baseia em [19].
Suponha, ab absurdo, que Xn seja orientável e simultaneamente que Xe seja conexo.
ComoXe é uma variedade topológica conexa, é portanto um espaço conexo por caminhos. Dado x ∈ Xn, sabemos que s
Xn(x) = ξ é um gerador de Hn(Xn, Xn \ {x};Z) ≃ Z; denotaremos por−ξo outro gerador deHn(Xn, Xn\{x};Z). Existe portanto um caminho:
e
A: [0,1] → Xe t 7→ Ae(t)
tal que Ae(0) =ξ e Ae(1) =−ξ.
Temos então que a imagem de A = p◦Ae : [0,1] → Xn é um laço com ponto base
em x = p(ξ) = p(−ξ). Ademais, como a composição p◦sXn : Xn → Xn é a identi-dade em Xn, segue que o caminho s
