UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE TECNOLOGIA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA E DE COMPUTAÇÃO
RESSOADOR RETANGULAR DE FENDA COM
QUATRO CAMADAS FOTÔNICAS
HUMBERTO DIONÍSIO DE ANDRADE
ORIENTADOR: PROF. DR. HUMBERTO CÉSAR CHAVES FERNANDES
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE TECNOLOGIA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA E DE COMPUTAÇÃO
RESSOADOR RETANGULAR DE FENDA COM
QUATRO CAMADAS FOTÔNICAS
HUMBERTO DIONÍSIO DE ANDRADE
ORIENTADOR: PROF. DR. HUMBERTO CÉSAR CHAVES FERNANDES
Natal – RN JUNHO DE 2010
Dissertação de Mestrado apresentada ao
RESSOADOR RETANGULAR DE FENDA COM
QUATRO CAMADAS FOTÔNICAS
HUMBERTO DIONÍSIO DE ANDRADE
Dissertação de mestrado defendida e aprovada dia 30 de Junho de 2010. Banca examinadora composta pelos seguintes membros:
Prof. Dr. Humberto César Chaves Fernandes (Presidente e orientador)...UFRN
Prof. Dr. Elialdo Chibério da Silva (examinador externo)...IFRN
Prof. Dr. Laércio Martins de Mendonça (examinador interno)...UFRN
Dedico
Agradecimentos
Primeiramente, agradeço a Deus por ter permitido a realização deste trabalho, por ter me dado força e esperança para a conclusão deste, e por ser sempre o mentor de todos os momentos da minha existência.
Ao professor orientador e amigo, Dr. Humberto César Chaves Fernandes por toda sua orientação, incentivo e disponibilidade para transmitir todo o conhecimento necessário.
Agradeço aos meus pais, Jose Dionísio de Andrade pelo exemplo de ética, Maria das Dores de Albuquerque de Andrade pelo exemplo de determinação, e aos meus irmãos Hyram, Luciana e Pollyanna pelo incentivo e apoio que sempre me deram durante todos os momentos da minha vida.
A Wenderly Pinto Córdula, pela paciência, compreensão e amor.
Aos Professores do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica e Computação da Universidade Federal do Rio Grande do Norte que contribuíram para minha formação durante este curso.
Aos colegas da pós-graduação, Marinaldo Sousa, Érico Cardineli, João Kleber, Roberto Ranieri, Anderson, Hugo Michel, George Dennes e Leonardo pelo companheirismo, contribuições e amizade prestados durante esta etapa da minha vida, da realização do meu Mestrado.
I
Resumo
Recentemente as antenas planares tem despertado interesses devido as suas características e vantagens que oferecem quando comparadas com os demais tipos de antenas.
Na área de comunicações móveis a necessidade de antenas desse tipo, tem se tornado cada vez mais utilizadas, devido ao intenso desenvolvimento, que necessita de antenas que operem em multifrequência e em banda larga. As antenas de microfita apresentam largura de banda estreita devido às perdas no dielétrico geradas pela irradiação. Outra limitação é a degradação do diagrama de irradiação devido à geração de ondas de superfície no substrato. Algumas técnicas estão sendo desenvolvidas para minimizar esta limitação de banda, como é o caso do estudo de materiais do tipo PBG –
Photonic Band Gap, para compor o material dielétrico.
Este trabalho tem como objetivo principal a aplicação do método LTT às estruturas ressoadoras retangulares de fenda com quatro camadas de material fotônico PBG, para a obtenção da freqüência de ressonância complexa e a eficiência de radiação dessa estrutura. As análises desenvolvidas neste trabalho foram realizadas com utilização do método LTT – Linha de Transmissão Transversa, no domínio da Transformada de Fourier que utiliza uma componente de propagação na direção y (transversa à direção real de propagação z), tratando assim as equações gerais dos campos elétricos e magnéticos em função de Eye Hy.
A teoria PBG será aplicada para a obtenção da permissividade relativa para as polarizações s e p dos substratos compostos de material fotônico.
Resultados numérico-computacionais são apresentados em forma de gráfico em duas dimensões para todas as análises realizadas para as estruturas propostas que tem como substratos, materiais fotônicos.
II
Abstract
Recently, planar antennas have attracted interest due to its characteristics as well as the advantages they offer compared to other types of antennas.
In the area of mobile communications the need for such antennas has become increasingly intense due to development, which requires antennas that operate in multifrequency and broadband. The microstrip antennas have narrow bandwidth due to losses in the dielectric caused by irradiation. Another limitation is the radiation pattern degradation due to generation of surface waves in the substrate. Some techniques are being developed to minimize this bandwidth limitation, as is the case in the study of type materials PBG - Photonic Band Gap, to compose the dielectric material.
The analysis developed in this work were performed with use of the method LTT - Transverse Transmission Line, in the field of Fourier transform that uses a component propagating in the y direction (transerve real direction of propagation z), thus treating the general equations of the fields electric and magnetic fields as a functions of Eyand Hy.
This work has as main objective the method LTT structures resonator line slot with four layers of material photonic PBG, for obtaining the complex resonant frequency and efficiency of this structure.
PBG theory is applied to obtain the relative permittivity for the substrate biases sep compounds photonic material.
Numerical-computational results in graph form in two dimensions for all the analysis are presented for the proposed structures that have photonic materials, as substrates.
Conclusions are drawn and suggestions for continuing this work.
III
Sumário
Lista de Figuras ... V Lista de Abreviaturas e Siglas ... IV
CAPÍTULO 1 ... 1
Introdução ... 1
CAPÍTULO 2 ... 5
Estrutura PBG ... 5
2.1 – Introdução ... 5
2.2 – Teoria ... 9
2.2.1 – Estrutura PBG Bidimensional ... 12
2.2.2 – Caracterização da Banda Proibida ... 13
2.2.3 – Determinação da Constante Dielétrica Efetiva de uma Estrtutura PBG 2D ... 14
2.3 – Conclusões ... 16
CAPÍTULO 3 ... 17
Método da Linha de Transmissão Transversa ... 17
3.1 – Introdução ... 17
3.2 – O Método da Linha de Transmissão Transversa - LTT... 17
3.3 – Conclusões ... 25
CAPÍTULO 4 ... 26
Campos Eletromagnéticos no Ressoador Retangular de Fenda de Quatro Camadas ... 26
4.1 – Introdução ... 26
4.2 – Determinação das Equações dos Campos Eletromagnéticos no Ressoador Retangular de Fenda de Quatro Camadas... 27
IV
4.4 – Expansão dos Campos Elétricos e Magnéticos em Termos de Funções de Base... 33
4.5 – Equação Característica e Cálculo da Frequência de Ressonância Complexa ... 35
4.6 – Determinação da Eficiência de Radiação ... 36
4.7 – Conclusões ... 38
CAPÍTULO 5 ... 39
Resultados ... 39
5.1 – Introdução ... 39
5.2 – Resultados da Frequência de Ressonância Complexa ... 39
5.2.1 – Ressoador Retangular de Fenda com quatro camadas... 39
5.3 – Resultados da Eficiência de Radiação ... 48
5.3.1 – Ressoador Retangular de Fenda com quatro camadas... 53
CAPÍTULO 6 ... 54
Conclusões ... 54
V
Lista de Figuras
Figura 1.1 - Linha de Microfita...2
Figura 1.2 - Linha de Fenda...2
Figura 1.3 - Linha de Lâmina...3
Figura 1.4 - Patch triangular de Microfita...3
Figura 2.1 - (a) Borboleta com estrutura fotônica nas asas, (b) Estrutura fotônica ampliada...6
Figura 2.2 – Estruturas PBG, representações reais e recíprocas: (a) unidimensional, (b) bidimensional e (c) tridimensional...7
Figura 2.3 - Cristal finito com simetria hexagonal...8
Figura 2.4 - Estrutura PBG...12
Figura 2.5 - Cristal PBG bidimensional homogeneizado...15
Figura 4.2 - Vista em perspectiva do Ressoador Retangular de Fenda...32
Figura 4.2 - Vista lateral da estrutura...33
Figura 4.3 - Vista superior da estrutura...33
Figura 5.1 - Freqüência de ressonância em função do comprimento da fenda para material PBG 2D com polarizações s e p, para σ1= σ2= σ3= 1,0 S/m e σ4 = 0,0 S/m...40
Figura 5.2 - Freqüência de ressonância em função do comprimento da fenda para material PBG 2D com polarizações s e p, para σ1= σ2= σ3= 0,5 S/m e σ4 = 0,0 S/m...41
Figura 5.3 - Freqüência de ressonância em função do comprimento da fenda para material PBG 2D com polarizações s e p, para σ1= σ2= σ3= 0,0 S/m e σ4 = 0,0 S/m...41
Figura 5.4 - Freqüência de ressonância em função do comprimento da fenda para material PBG 2D com polarização s...42
Figura 5.5 - Freqüência de ressonância em função do comprimento da fenda para material PBG 2D com polarização p...43
VI Figura 5.7 - Freqüência de ressonância em função da largura da fenda para material
PBG 2D com polarizações s e p, para σ1= σ2= σ3= 0,5 S/m e σ4 = 0,0 S/m...45
Figura 5.8 - Freqüência de ressonância em função da largura da fenda para material
PBG 2D com polarizações s e p, para σ1= σ2= σ3= 0,0 S/m e σ4 = 0,0 S/m...45
Figura 5.9 Freqüência de ressonância em função da largura da fenda para material PBG
2D com polarização s...46
Figura 5.10 - Freqüência de ressonância em função da largura da fenda para material
PBG 2D com polarização p...47
Figura 5.11 - Eficiência de radiação em função da freqüência de ressonância para polarização s, considerando a altura do substrato da segunda camada h2 =3,302 mm....48
Figura 5.12 - Eficiência de radiação em função da freqüência de ressonância para polarização s, considerando a altura do substrato da segunda camada, h2=5,842 mm...49
Figura 5.13 - Eficiência de radiação em função da freqüência de ressonância para polarização s, considerando diferentes espessuras de substrato para a segunda camada...49 Figura 5.14 – Eficiência de radiação em função da freqüência de ressonância para polarização p, considerando a altura do substrato da segunda camada h2=3,302 mm....50
Figura 5.15 – Eficiência de radiação em função da freqüência de ressonância para polarização p, considerando a altura do substrato da segunda camada h2=5,842 mm...51
Figura 5.16 – Eficiência de radiação em função da freqüência de ressonância para polarização p, considerando diferentes espessuras de substrato para a segunda camada...51 Figura 5.17 – Eficiência de radiação em função da freqüência de ressonância para polarização s, considerando diferentes espessuras de substrato para a segunda camada. (h2 = 2,540 mm, h2 = 3,302 mm e h2 = 5,842 mm)...52
VII
Lista de Abreviaturas e Siglas
Ângulo de Polarização
Condutividade
L Comprimento da fita metálica
DA Comprimento total da microfita r
Constante dielétrica a Constante de rede
Constante de propagação complexa i
Constante de propagação na direção y
Constante de propagação complexa em z, j
W Densidade de energia
EBG Electromagnetic Band Gap p
f Fator de preenchimento
f Função de base
F Freqüência
Freqüência angular complexa W Largura da fita metálica
DB Largura total da microfita
Y Matriz admitância
Z Matriz impedância
K Matriz característica
LTT Método da Linha de Transmissão Transversa i
k Número de onda da enésima região dielétrica
j Numero imaginário unitário, j = (-1)1/2
0
Permeabilidade no espaço livre
i
Permissividade elétrica do material na enésima região
0
VIII
ri
Permissividade elétrica relativa do material com perdas na enésima região
0
Permissividade no espaço livre
eff
Permissividade elétrica efetiva PBG Photonic Band Gap
s, p Polarizações das ondas no material fotônico r Raio do cilindro de ar
cu
Resistividade do cobre
n
Variável espectral na direção x
k
Variável espectral na direção z
E Vetor Campo elétrico
H Vetor Campo magnético
J Vetor densidade de corrente
xˆ Vetor direção x
yˆ Vetor direção y
zˆ Vetor direção z T
E Vetor campo elétrico tangencial T
H Vetor campo magnético tangencial Vetor densidade campo magnético Operador nabla
t Componente tangencial do operador nabla
1
Capítulo 1
Introdução
No presente trabalho serão tratados os conceitos de teoria eletromagnética aplicados juntamente com o desenvolvimento teórico para a determinação da freqüência complexa de ressonância e da eficiência, para ressoadores retangular de quatro camadas, sendo o substrato utilizado do tipo PBG – Photonic Band Gap, para compor o material dielétrico.
O método utilizado na analise das estruturas em estudo e o Método da Linha de Transmissão Transversa – LTT, que é um método de análise rigorosa no domínio espectral. Este consiste em se obter as componentes dos campos elétricos e magnéticos em função das componentes transversais no domínio da transformada de Fourier- DTF, com a aplicação das condições de contorno adequada a cada estrutura.
Os ressoadores retangulares de fenda são estruturas planares comumente usadas em microondas [1]-[2], e suas aplicações podem ser estendidas para as freqüências de ondas milimétricas. Esta estrutura consiste de uma estreita fenda no revestimento condutor em um só lado de um substrato dielétrico. Se a permissividade do substrato é suficiente alta, com r da ordem de 10 a 30, o comprimento da onda no modo da fenda poderá se muito menor que o comprimento da onda no espaço livre, e o campo será confinado perto da fenda. A linha de fenda tem sido proposta como uma linha de transmissão alternativa para circuitos integradores de microondas, podendo ser aplicada para obtenção de pequenos dispositivos de microondas como filtros, acopladores, circuitos contendo elementos semicondutores, e outros, bem como um completo circuito de microondas. Além disso, a linha de fenda pode ser combinada com a linha de microfita no lado oposto do substrato.
2 multicamadas dielétricas e patches empilhados as quais podem fornecer tais características.
Com a sobrecarga do espectro e com a utilização de altas freqüências, que são sensivelmente afetadas pelos fatores ambientais, o uso dos meios guiados foi se tornando cada vez mais freqüente e necessário, e, então, foram surgindo os diversos tipos de guias de ondas e linhas de transmissão que hoje são conhecidos.
Alguns dispositivos utilizados nas faixas de microondas e ondas milimétricas, são apresentados abaixo. Nas figuras 1.1 e 1.2 são mostradas uma linha de microfita e uma linha de fenda, respectivamente.
Figura 1.1 – Linha de Microfita.
Figura. 1.2 – Linha de Fenda.
3 Figura 1.3 – Linha de lamina.
Existem outras linhas e dispositivos criados para determinadas aplicações que são obtidas a partir de variações apresentadas anteriormente. Na figura 1.4, a seguir, é apresentado um ressoador de microfita triangular.
Figura 1.4 – Patch triangular de microfita.
Dentre alguns dispositivos que se pode citar estão os acopladores direcionais, os circuladores, os misturadores, as antenas, os ressoadores, os filtros, os moduladores, os isoladores, os detectores, os osciladores e os transformadores de impedância [6]-[7].
Neste trabalho estão apresentadas as ferramentas de modelos de análise bem como resultados numérico-computacionais do ressoador retangular de fenda com quatro camadas fotônicas.
4 expressões, será calculada a permissividade efetiva para as polarizações s e p das ondas incidentes no dielétrico.
O Capítulo 3, apresenta o método LTT em combinação com o método de Galerkin [8] que é utilizado para analisar a estrutura ressoadora em estudo no que diz respeito a representação físicas das distribuições de corrente na fita condutora. O modelo da Linha de Transmissão [9] será utilizado para obtenção das equações dos campos eletromagnéticos da estrutura do dispositivo de microondas em estudo.
No capítulo 4 será descrito o desenvolvimento teórico para a determinação da freqüência de ressonância complexa do ressoador de linha de fenda, e o cálculo para determinação da eficiência de radiação dessa estrutura em estudo, em conjunto com o desenvolvimento do estudo geral sobre os campos eletromagnéticos que serão aplicados nas estruturas [11].
O capítulo 5 da presente dissertação apresenta os resultados numérico-computacionais referentes à estrutura estudada, onde se utilizou programas elaborados nas linguagens Fortran PowerStation e Matlab7.0.
5
Capítulo 2
Estrutura PBG
2.1 Introdução
A tecnologia PBG surgiu em 1987 a partir de estudos publicados que introduziram os conceitos de banda proibida fotônica para controlar a emissão espontânea e estimulada da luz.
A aplicação de estruturas PBG na faixa de microondas, ou seja, utilizar um cristal fotônico como substrato para uma antena, proporciona vantagens consideráveis. As bandas proibidas existentes no cristal fotônico impedem a penetração de radiação, desta forma, a energia a ser irradiada pela antena nesta direção não será perdida, aumentando a emissão de energia na direção desejada [12].
As estruturas unidimensionais proporcionam gaps em uma determinada direção de propagação da onda eletromagnética. Em estruturas bidimensionais, a onda eletromagnética incidente será refletida em qualquer direção do plano bidimensional [12]. Entretanto na estrutura tridimensional, a onda eletromagnética, cuja freqüência está dentro do band gap, é bloqueada em qualquer ângulo de incidência.
Muitos animais apresentam microestruturas complexas, e algumas dessas estruturas são fotônicas, como por exemplo, o azul brilhante de algumas borboletas de regiões tropicais, que é o resultado da luz refratada de arranjos periódicos compostos de buracos encontrados nas asas das borboletas. Esse brilho colorido que se assemelha ao das pedras preciosas acontece devido a uma suave banda fotônica proibida ou PBG, já que a luz ainda se propaga em algumas direções. Esse PBG natural é causado pela junção de esferas de sílica espalhadas por uma extensão de uma fração de milímetro nas
asas das borboletas. Inicialmente essa característica foi chamada de “super opal” ou
6 Fonte: www.sciencebase.com/mar03_iss.html
Figura 2.1 – (a) Borboleta com estrutura fotônica nas asas, (b) estrutura fotônica ampliada.
O PBG é uma estrutura dielétrica periódica que pode exibir uma banda proibida de freqüências (band gap) na sua relação de dispersão eletromagnética w versus k, na qual o sinal será bloqueado. Inúmeros estudos relacionados a cristais fotônicos foram desenvolvidos durante as décadas de 1970 e 1980 até que a primeira realização de uma
band gap em uma estrutura tridimensional de um cristal fotônico foi feita em 1989 [14].
O avanço de novas tecnologias em fotônica está intimamente ligado ao desenvolvimento e aprimoramento de materiais ópticos que permitem novos caminhos para o controle da dinâmica de fótons. Nesse contexto os cristais fotônicos figuram como uma nova classe de materiais que são caracterizados por uma modulação periódica espacial do índice de refração.
Esses materiais se assemelham à estrutura periódica dos semicondutores comuns, por apresentarem uma lacuna na estrutura energética para a passagem de fótons (em vez de elétrons no caso dos semicondutores). Este gap fotônico vem aproximadamente de um arranjo periódico de cilindros imersos no ar, com diâmetros e espaçamento entre os cilindros de menos que um comprimento de onda [15-16], a Figura 2.2 mostra estruturas PBG e suas respectivas representações circulares.
7 Figura 2.2 – Estruturas PBG, representações reais e recíprocas: (a) unidimensional,
(b) bidimensionale e (c) tridimensional.
Quanto às dimensões da periodicidade nos cristais, podemos classificar as estruturas PBG em unidimensionais, bidimensionais e tridimensionais. As estruturas com periodicidade unidimensional proporcionam gaps em uma determinada direção de propagação do sinal eletromagnético. Nas estruturas com periodicidade bidimensional, a onda eletromagnética incidente será refletida em qualquer direção do plano E bidimensional. Já na estrutura com periodicidade tridimensional, a onda eletromagnética cuja freqüência estiver dentro da banda proibida é bloqueada em qualquer ângulo de incidência.
Sistemas periódicos com cilindros que se intercalam ao material dielétrico podem, em determinadas freqüências, provocar a retenção do sinal eletromagnético na estrutura, caracterizando assim a Banda Proibida [15]. A estrutura PBG utilizada neste estudo é de periodicidade bidimensional, ou seja, o material dielétrico é intercalado por cilindros que se distribuem na estrutura segundo os eixos x e y. A largura do band gap depende de fatores como nível de desordem do sistema, fator de preenchimento e relação entre as constantes dielétricas entre os dois meios.
8 Para ondas eletromagnéticas que se propagam no plano xy, as ondas apresentam campo E paralelo ao eixo z possuem polarizações s e as que tem campo E perpendicular ao eixo z possuem polarizações p.
O cristal descrito na Figura 2.3 é iluminado por vários ângulos de polarização
0
e por uma onda plana incidente à normal 0 0 90
. O caso da polarização s é definido pelos parâmetros 0
0 90
e 0
0 90
. Da mesma forma, para a polarização p 0
0 90
e 0
0 0
. Isto corresponde ao caso no qual a única componente não zero do campo elétrico para a polarização s é E~z e do campo magnético para a polarização p é
z
H~ [17].
Figura 2.3. Cristal finito com simetria hexagonal.
Como os cristais fotônicos não são encontrados na natureza, estruturas PBG podem ser obtidas a partir da construção de uma estrutura com padrões repetitivos, ou seja, uma estrutura que é repetida continuamente em intervalos regulares. Esta estrutura é construída de um material dielétrico, um tipo de material que é semicondutor ou isolante, ou capaz de manter uma determinada carga elétrica a um longo tempo com um mínimo de perda. Assim é criada uma matriz de lacunas que proíbe a propagação de ondas de superfícies pelo substrato dielétrico em uma faixa específica de freqüências previamente determinada, em outras palavras é formada uma banda proibida.
Os materiais e estruturas PBG‟s são aplicados a vários dispositivos não só na
faixa óptica, mas também na faixa de microondas e ondas milimétricas onde estes
também são denominados EBG‟s – Electromagnetic Band Gap, dentre estas aplicações
9 das características que tornam esses cristais de grande valia para aplicações em microondas, ondas milimétricas e ópticas, são o controle e ou a total supressão de emissões espontâneas de fótons e elétrons de ondas de superfície. Dentre as várias aplicações de cristais PBG em estruturas planares da literatura pode citar:
Inibição da emissão espontânea – A supressão de certos modos eletromagnéticos faz com que não haja modos disponíveis para a emissão de fótons, não ocorrendo, portanto emissão radioativa o que reduz significativamente a corrente de limiar e, portanto o ruído em lasers semicondutores.
Guias de onda ópticos – Em circuitos integrados ópticos a fabricação de guias de ondas de baixas perdas e com grandes curvaturas. Cristais PBG com baixas perdas agem como espelhos perfeitos para faixas de freqüências proibidas.
Filtros – Baseado no princípio PBG pode-se projetar uma estrutura na qual, os sinais de determinadas freqüências são impedidos de se propagar. Combinando-se vários destes dispositivos, como em filtros passa faixa, rejeita faixa, passa alta ou passa baixa.
Substratos de antenas planares – Em antenas planares, o sinal é irradiado para o ar mas também através do substrato. Substratos em material PBG podem ser usados para otimizar a irradiação pelo ar, reduzindo assim a ocorrência de ondas superficiais e a conseqüente difração de borda responsável pela degradação do diagrama de irradiação[14] .
2.2 Teoria
10 Bandas eletrônicas proibidas podem ser alteradas adicionando-se “defeitos” ao cristal, tais como a adição de um átomo diferente. Desta maneira é possível manipular a maneira, de como e para onde os elétrons se movem. De forma análoga, essa teoria pode ser aplicada aos cristais fotônicos, porém, neste caso fótons em vez de elétrons serão manipulados.
As propriedades ópticas de materiais semicondutores, utilizados na fabricação de cristais PBG, podem ser analisadas partindo das equações de Maxwell [15] para os campos elétricos E e magnéticos H, assim como para suas respectivas induções correspondentes D = εE e B = μH, temos que:
1
0
B E
c t
(2.1)
1 D 4
H J
c t c
(2.2)
4
D
(2.3)
0
B
(2.4)
Para o desenvolvimento das equações é conveniente introduzir potenciais na forma de um escalar e de um vetor A, assim:
E 1 A c t
(2.5)
B A (2.6)
Dessa forma pode-se ir ao encontro da primeira e da última equação de Maxwell. Podemos ainda substituir estes potenciais por outros,
(2.7) (2.8)
sem que os campos físicos E e B sejam alterados. Para muitos casos a chamada medida de Lorentz é conveniente, neste caso temos,
'
A A x
1
' x
c t
11 (2.9)
As equações de Maxwell podem ser reescritas da seguinte forma:
(2.10) 2 2 2 2 1 4 c t
(2.11)
Quando J=0 assume-se que A'0, ' 0, assim é obtida a seguinte solução,
(2.12)
com os campos definidos como,
(2.13) (2.14)
O vetor de Poynting (fluxo de potência) é
(2.15)
Com sua média de tempo definida como
(2.16)
Como c1/ é a velocidade da luz, e k é o vetor de onda da luz. A densidade de energia é,
1 ' 0 A c t 2 2 2 2
1 A 4
A J
c t c
, 0
exp
. .
A r t A i krt c c
0
2 / sen
-E x A kr t
0
2 sen
B k A krt
2 2 2 0 1 ˆ sen 4 c ckS E H k A kr t
2 2 0 2 ˆ 2 c
S k A
c
12 (2.17)
Isto pode ser expresso em termos de Nω, fótons em um volume V de acordo com a seguinte relação:
(2.18)
Deste modo, a relação entre a amplitude da onda e a densidade dos fótons é dada por:
(2.19)
2.2.1 Estrutura PBG Bidimensional
As estruturas PBG 2D são dielétricos perfurados periodicamente, de forma tal que seja possível confinar o sinal previamente projetado de acordo com a periodicidade dos orifícios. A geometria desses cristais fotônicos é mostrada na Figura 2.4.
Figura 2.4 – Estrutura PBG
Um dos processos de fabricação do PBG 2D consiste em se criar uma matriz de cristais fotônicos artificiais que podem ser construídos com precisão de escala nanométrica a partir de um bombardeamento com raios-X. Inicialmente é preparada uma máscara de ouro com perfurações e espaçamentos entre elas, de forma que as dimensões desta estrutura sejam determinadas para a fabricação de um cristal PBG em
2 2 0 2
2
S
W A
c c
N W
V
2 2
0
2 c N
A
V
13 uma faixa de freqüência específica, portanto, por baixo desta estrutura é colocado um material polimérico que servira de base para a construção.
O processo de fabricação consiste em aplicar raios-X que irão passar através de uma máscara de ouro com uma série de buracos, removendo porções do polímero colado por baixo da máscara. A seguir, deposita-se vidro para preencher os buracos da máscara de ouro até o interior do polímero perfurado, o restante deste material sintético é destruído com calor. Em seguida deposita-se o material semicondutor nas regiões vazias do vidro. Finalmente, o vidro é removido com a utilização de produtos químicos apropriados, deixando como resultado uma rede de cristais semicondutores puros.
A teoria de propagação em PBG‟s é baseada no principio da localização, ou seja,
o sinal óptico ao ser introduzido no dielétrico é retido no mesmo, não se propagando. Este fenômeno ocorre quando a periodicidade da estrutura, distância entre os elementos dos cilindros de ar, for equivalente ao comprimento da onda eletromagnética em questão [13].
A banda proibida da estrutura é determinada pela constante de rede, que é a relação entre o raio dos orifícios e a distância entre os mesmos. Sistemas periódicos dotados de cilindros intercalados ao material dielétrico, em determinadas freqüências, podem provocar a retenção do sinal eletromagnético na estrutura. Assim é determinada a banda fotônica proibida [9].
2.2.2 Caracterização da Banda Proibida
A estrutura PBG abordada nesta dissertação é dotada de uma periodicidade bidimensional. A largura da banda proibida depende de fatores como nível de desordem do sistema, fator de preenchimento, relação entre as constantes dielétricas dos meios envolvidos no sistema e periodicidade do sistema.
Para ondas eletromagnéticas se propagando no plano x,y , as ondas com polarização p (campo E perpendicular ao eixo z) e s (campo E paralelo ao eixo z) podem ser descritas por duas equações de onda desacopladas. A equação para a onda com polarização p é [17]:
(2.20)
2
2
0
H
H
c
14 onde H = Hz; = r é a constante dielétrica, é a freqüência, e c é a velocidade da luz
no vácuo. Já a equação para a polarização s é:
(2.21)
onde E = Ez. Deve-se salientar que a constante dielétrica em estruturas periódicas é
agora dependente da posição r no material. As estruturas PBG são analisadas a partir da constante dielétrica e do fator de preenchimento, fator este que é dado por:
(2.22)
onde r é o raio do cilindro de ar intercalando o dielétrico e a é a constante de rede.
2.2.3 Determinação da constante dielétrica efetiva de uma estrutura
PBG 2D
Um dos problemas que surgem quando lidamos com materiais fotônicos é a determinação da constante dielétrica efetiva, já que estes cristais são estruturas não homogêneas e que submetem o sinal incidente ao processo de espalhamento múltiplo. Uma solução para este impasse pode ser obtida através de um processo numérico chamado de homogeneização [17].
Este princípio se norteia na teoria relacionada à difração de uma onda eletromagnética plana incidente, imposta pela presença de cilindros de ar imersos em um material homogêneo [17].
É escolhido neste caso um sistema cartesiano de eixos (O, x,y,z). Consideremos primeiramente um cilindro com permissividade relativa r, com seção transversal no
plano xy. Seja uma onda plana monocromática de vetor de onda k0 [k0= k0=2/
dependente do tempo por ejt] que ilumina o cilindro.
A partir desta consideração pode-se elaborar um modelo capaz de determinar a constante dielétrica equivalente de um sistema não homogêneo. Por este processo a
2 2
2
0
E
E
c
2
2
3
p
r
f
a
15 estrutura bidimensional é fatiada em camadas cuja espessura é igual ao diâmetro do cilindro, sendo realizado o processo de homogeneização em cada uma destas fatias. Neste processo, os cilindros de permissividade 1 imersos em um meio com
permissividade 2 são substituídos por camadas cuja permissividade é igual a q e que se
intercalam com camadas de permissividade 2 formando assim uma estrutura
unidimensional. O procedimento consiste em dividir a estrutura em uma superposição de camadas homogeneizadas, Figura 2.5.
Figura. 2.5 – Cristal PBG bidimensional homogeneizado.
De acordo com a teoria da homogeneização a permissividade relativa depende da polarização [17], e os valores das permissividades equivalentes para cada polarização são
Para a polarização s:
(2.23)
Para a polarização p:
(2.24)
onde,
(2.25)
1 2
2eq
10/3 14/3
1 1 2
1 1 3
1
eq A A O
1 2
1
1 2
2 / 1/
1/ 1/
A
16 (2.26)
onde β é a relação da área dos cilindros sobre a da célula, ε1e ε2 são as permissividades mo meio 1 e no meio 2 respectivamente, α é uma constante igual a 0,523 e O representa
o a origem do sistema considerado.
2.3 Conclusões
Neste capítulo foram analisadas estruturas com periodicidade bidimensional, nas quais orifícios são perfurados em substratos semicondutores formando assim estruturas periódicas compostas de material semicondutor e ar. Desta forma proporcionando o contraste necessário na constante dielétrica para caracterizar um material PBG.
As características físicas do material foram descritas assim como as teorias necessárias para determinação das características dielétricas do material, o que tornara possível a sua utilização como substrato nas estruturas propostas nos capítulos seguintes.
1 2
2
1 2
1/ 1/
4 / 3 1/
A
17
Capítulo 3
Método da Linha de Transmissão
Transversa
3.1 Introdução
No estudo dos circuitos, dispositivos e linhas de transmissão, faz-se necessário a análise dos campos eletromagnéticos principalmente quando esses elementos são de uso efetivo em altas freqüências.
Sendo assim, foram desenvolvidos os métodos de análise quase-estáticas ou aproximados e os métodos de análise dinâmica ou de onda completa. Os métodos aproximados têm como vantagem a simplificação no desenvolvimento das equações que descrevem o funcionamento do dispositivo bem como uma boa aproximação nos resultados obtidos através da análise quando comparados com os resultados reais, porém muitas vezes torna-se necessário a obtenção de resultados mais precisos sem falar que a partir de certos valores elevados de freqüência (10 GHz) os métodos quase-estáticos tornam-se completamente obsoletos já que os erros apresentados nos resultados são cada vez mais inconcebíveis.
Todos os dispositivos estudados e apresentados nesta dissertação foram analisados dinamicamente através do método da Linha de Transmissão Transversa –
LTT [9] que se utiliza de um termo de propagação na direção “y” transversa à direção real de propagação “z” e trata as equações gerais dos campos elétricos e magnéticos como funções de suas componentes Ey e Hy
3.2 O Método da Linha de Transmissão Transversa
–
LTT
18 da Linha de Transmissão Transversa. – LTT [9], [5]. Vários métodos que utilizam o recurso matemático de mudança do domínio do tempo passando para o domínio espectral como uma boa maneira de simplificar e facilitar a análise da estrutura.
Todas as estruturas estudadas e apresentadas neste trabalho foram analisadas dinamicamente através do método da Linha de Transmissão Transversa – LTT que se
utiliza de um termo de propagação na direção “y” transversa à direção real de
propagação “z” e trata as equações gerais dos campos elétricos e magnéticos como
funções de suas componentes Ey e Hy . De uma forma breve será descrito este método.
A partir das equações de Maxwell [4]:
(3.1)
(3.2)
onde 0 é a permeabilidade, e 0r* é a permissividade na região considerada,
os termos de índice “0”( 0,0) representando os valores do espaço livre e o termo *
r
representando a permissividade relativa de uma região com perdas e é a freqüência complexa angular.
Separando os termos transversais (direções x e z) dos termos que se propagam na direção y e manipulando-se algebricamente as quatro equações de Maxwell, obtêm-se as equações gerais para os campos eletromagnéticos para linhas de microfita e de fenda de uma região arbitrária, conforme é apresentado na equação (3.5).
(3.3)
onde o índice „T‟ representa as componentes na direção transversal (x, z),
z E x E
ETi xiˆ ziˆ
, HTi Hxixˆ Hzizˆ
e z
z x x z x z x
T ˆ ˆ ˆ ˆ
.
Os vetores campo elétrico e magnético no método LTT são decompostos nas suas três componentes,
E jH
H jE
2 2
1
1 yi yi
Ti
T T
i i
Ti yi yi
H E
E
j
k y
H E H
19 (3.4) (3.5) (3.6) (3.7) Onde,
Ht HxHz - campo magnético na direção transversa (3.8)
Et ExEz - campo elétrico na direção transversa (3.9)
j - constante de propagação (3.10)
Neste método supõe-se uma propagação na direção y, resultando no aparecimento da constante de propagação nessa direção ( i). Será considerado que os
campos eletromagnéticos são harmônicos no tempo.
Como o ressoador retangular de fenda é limitado em seu comprimento, as equações devem ser amostradas no domínio espectral nas direções x e z.
Substituindo as equações (3.4) e (3.6) na equação (3.2)
(3.11)
(3.12)
Separando os componentes transversais x e z de (3.12), teremos:
ˆ
ˆ 0
ˆ ˆ
y x z y x xx z zz
H z H z H x H x j E E
x y y z
(3.13)
0ˆ
0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0 0 ˆ
ˆ
0 0
xx x
x y z yy y
zz z
E x
x y z H x H y H z j E y
x y z
E z
ˆ ˆ ˆ
y t x y z
HH H H xH yH z
ˆ ˆ ˆ
y t x y z
EE E E xE yE z
ˆ ˆ ˆ ˆ
y t t y x y z
y x y z
ˆ ˆ ˆ ˆ
t x z x z
x z x
0ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
y z x z x y
x xx y yy z zz
H z H y H z H x H y H x
x x y y z z
j E E E
20 Reescrevendo, (3.14) como, (3.15) (3.16) então, (3.17) assim, (3.18) e (3.19)
Substituindo as equações (3.4) e (3.6) na equação (3.1)
0ˆ
0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0 0 . ˆ
ˆ
0 0
xx x
x y z yy y
zz z
H x x y z E x E y E z j H y x y z
H z (3.20)
0ˆ ˆ ˆ ˆ
z x y y x xx z zz
H x H z H z H x j E E
y y x z
ˆ ˆ ˆ
z x t
H x H z y H
y y y
ˆ ˆ
y y t y
H z H x H
x z 0 1 xx
Ex Hz Hy j y z
0
ˆ t t y x xx z zz
y H H j E E
y
0 1 zz
Ez Hy Hx j x y
21
(3.21)
Separando as componentes transversais x e z na equação (3.21), teremos:
ˆ
ˆ 0
ˆ ˆ
y x z y x xx z zz
E z E z E x E x j H H
x y y z
(3.22)
Reescrevendo,
0
ˆ ˆ
ˆ ˆ
y y z x x xx z zz
E z E x E x E z j H H
x z y y
(3.23)
como, (3.24) e (3.25) então (3.26) assim,
(
3.27)
0
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
y z x z x y
x xx y yy z zz
E z E y E z E x E y E x
x x y y z z
j H H H
ˆ ˆ ˆ
z x t
E x E z y E
y y y
ˆ ˆ
y y t y
E z E x E
x z
0
ˆ t t t x xx z zz
y E E j H H
y
0 xx j
22 e
(
3.28)
Aplicando a equação (3.19) na equação (3.28) temos:
(3.29)
(3.30)
E assim,
(3.31)
Agora, aplicando a equação (3.28) na equação (3.18), temos:
(3.32)
(3.33)
Manipulando as equações (3.19) e (3.27), temos:
(3.34)
(3.35)
Por final, aplicando a equação (3.27) na equação (3.19), temos:
0 zz
j
Hz Ey Ex x y 0 0 1 zz xx j
Hz Ey Hz Hy
W x y y z
2 0 2 2 0 1 n xx zz xx
Hz Ey Hy
Ky K y z
2 0 2 2 0 1 n xx zz xx
Hz Ey Hy
Ky K y z
0 0 1 xx zz j
Ex Ey Ex Hy
j y x y z
2 0 2 2 0 1 k zz xx zz
Ex Ey Hy
Ky K y x
0 0 1 xx zz j
Hx Hy Hx Ey
y j x y z
2 0 2 2 0 1 k zz zz xx
Hx Hy Ey
Ky K y x
23 (3.36) (3.37) Onde, (3.38) 2 2
n k Ki
(3.39)
(3.40)
(3.41)
Assim, temos as equações de campo elétrico e magnético:
(3.42) (3.43) (3.44) (3.45) 0 0 1 zz xx j
Ez Hy Ez Ey
j x y y z
2 0 2 2 0 1 n xx zz xx
Ez Ey Hy
Ky K y z
2
2 2
2 ky
y n j x k j z 2 0 2 2 0 1 k zz
y xx zz
Ex Ey Hy
K K y x
2 0 2 2 0 1 n xx
y zz xx
Ez Ey Hy
K K y z
2 0 2 2 0 1 k zz
y zz xx
Hx Hy Ey
K K y x
2 0 2 2 0 1 n xx zz xx
Hz Ey Hy
Ky K y z
24 Aplicando a transformada de Fourier à equação (3.11):
~f( n,y, k)
f(x,y,z) ej nx ej kzdxdz (3.46)
onde né a variável espectral na direção “x” e k a variável espectral na direção “z”.
Então, passando para o domínio da transformada as equações (3.42) a (3.45), os campos eletromagnéticos para i-ésima região são:
n yi k yi
2 i 2 i
xi E~ H~
y j k 1
E~ (3.47)
k yi n yi
2 i 2 i
zi E~ H~
y j k 1 E ~ (3.48)
n yi k yi
2 i 2 i
xi H~ E~
y j k 1
H~ (3.49)
k yi n yi
2 i 2 i
zi H~ E~
y j k 1
H~ (3.50)
Onde:
i = 1, 2, 3 e 4 - representa as quatro regiões dielétricas da estrutura;
2 i 2 k 2 n 2
i k
- constante de propagação na direção y;
n
- variável espectral na direção “x”;
k
- variável espectral na direção “z”; ri 2 0 2 2 i k
k - número de onda da i-ésima região dielétrica;
0 i ri
ri j
- permissividade elétrica relativa do material com perdas;
= r + ji - freqüência angular complexa;
0 ri i
25
3.3 Conclusões
As equações gerais dos campos elétricos e magnéticos (3.42) a (3.45) são equações no domínio espectral que podem ser aplicadas a qualquer dispositivo ou estrutura de transmissão de microondas, inclusive antenas, ou estruturas de ondas milimétricas independente de suas peculiaridades [18].
Nos capítulos seguintes constantes da presente dissertação serão apresentadas as análises e resultados de estruturas em que são aplicadas as referidas equações e desenvolvidas de acordo com as exigências das mesmas.
Durante a análise efetiva de cada estrutura observar-se-ão as indubitáveis vantagens oferecidas pelo método da Linha de Transmissão Transversa, sobretudo no que diz respeito à simplificação e redução nos cálculos.
26
Capítulo 4
Campos Eletromagnéticos no Ressoador
Retangular de Fenda de quatro camadas
4.1
–
Introdução
O interesse na utilização de multicamadas dielétricas em antenas planares tem aumentado devido as vantagens que estas estruturas proporcionam, tais como: variações na faixa de operação, aumento na largura de banda e também pelo fato dos dispositivos em multicamadas ocuparem menos espaço físicos que as convencionais de mesma funcionalidade, sendo esta principal característica ,apreciada, devido a falta de espaço ser um fator limitante.
A estrutura em estudo é ilustrada na Figura 4.1, consiste em um ressoador de linha de fenda com quatro camadas, onde a fenda ressonante é constituída de material metálico. Com relação aos elementos estruturantes, a fenda é envolvida por camadas dielétricas sobrepostas. Na estrutura em estudo a fenda foi depositada entre duas camadas inferiores e duas camadas superiores conforme Figura 4.2. A Figura 4.3 representa a vista superior da estrutura.
27 Figura. 4.2 – Vista lateral da estrutura
Figura. 4.3 – Vista superior da estrutura
4.2 Determinação das Equações dos Campos Eletromagnéticos no
Ressoador de Fenda de quatro camadas
28 Partindo das equações do método LTT no domínio espectral para os campos elétricos e magnéticos, temos as equações (3.47) à (3.50):
n yi k yi
i i
xi E H
y j k
E~ 1 ~ ~
2
2
(4.1)
k yi n yi
i i
zi E H
y j k
E~ 1 ~ ~
2
2
(4.2)
n yi k yi
i i
xi H E
y j k
H~ 1 ~ ~
2
2
(4.3)
k yi n yii i
zi
H
E
y
j
k
H
~
1
~
~
2
2
(4.4)onde:
i = 1, 2, 3 e 4 - representa as três regiões dielétricas da estrutura;
2 i 2 k 2 n 2
i k
- constante de propagação na direção y;
n
- variável espectral na direção “x”;
k
- variável espectral na direção “z”; ri 2 0 2 2 i k
k - número de onda da enésima região dielétrica;
0 i ri
ri j
- permissividade elétrica relativa do material com perdas;
σi - condutividade do material
ω - 2πf - freqüência angular
ε0 - permissividade no espaço livre
Os campos Ey e Hy das equações 4.1 a 4.4 apresentam uma solução através das
seguintes equações de onda de Helmoltz no domínio espectral [10], [19]-[20]:
2 2 2 0
y Ey
29 2 2 2 0
y Hy
~ (4.6)
A solução para estrutura em estudo é dado, por exemplo, para as região 2, com segue nas equações (4.7) e (4.8):
Para região 2:
Ey2 A2e senh 2y B2e cosh 2y
~
(4.7)
Hy2 A2h senh 2y B2h cosh 2y
~
(4.8)
Para a região 4:
4
4 4
y
y e
E A e (4.9)
Hy4 A4he4y (4.10)
Onde h, corresponde a altura para o campo distante da região 3.
Substituindo as componentes acima nas equações de campo (4.1) e (4.4), obtemos as novas componentes eletromagnéticas. Abaixo segue as equações finais para a região 2:
(4.11)
(4.12)
Para a determinação das constantes desconhecidas nas equações (4.11) e (4.12), aplicam-se as seguintes condições de contorno: Para as regiões 1 e 2 a interface ocorre em 2; y = h1, logo temos a condição dielétrico-dielétrico.
~
2 0 21 2 22 ( 2 ) 0 22 2 21 2
2 2
2 2
Ex j (j kB n A ) cosh y (j kB n A ) senh( y)
k
2 2 2 2 21 2 22 2 2 22 2 21 2
2 2
[( ) cosh( ) ( ) ( )]
x k n k n
j
H j A B y j A B senh y
k
30
E~x1 = ~Ex2 (4.13)
E~z1 = E~z2 (4.14)
H~x1 = H~x2 (4.15)
~
Hz1 = H~z2 (4.16)
Para as regiões 2 e 3 g = h1+ h2, temos uma interface dielétrico-metal, para esta situação
usamos as condições de contorno, as equações (4.17) e (4.18)
~
Ex2 = E~x3 = E (4.17) xg
~Ez2 = ~Ez3 = E (4.18) zg
Em seguida encontram-se as constantes para as regiões a partir das equações (4.19) à (4.20) (4.19) ~ ~ 1 2 22 1
2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2
2
senh( )
( )
senh( )cosh( ) cosh( )senh( )
n xg k zg
y
A j E E
g g g g
(4.20) 1 1 21 1 1
0 1 1 2 2 1 1 2 2
2
~ ~
senh( )
senh( ) cosh( ) cosh( )senh( )
xg n zg
g
B E E
g g g g
(4.21)
1 1 1
22 1
1 2
0 1 1 2 2 1 1 2 2
2
~ ~
cosh( )
senh( ) cosh( ) cosh( )senh( )
xg n zg
g
B E E
g g g g
(4.22) ~ ~ 1 2 21 1
2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2
2
cosh( )
( )
senh( )cosh( ) cosh( )senh( )
n xg k zg
y
A j E E
g g g g
31
2 . 2 2. 2 2 2 2.
2 2 3 3
2 2 0 3
0( 2 2 )
xx j k E k n F j n k E k D
k
Y
2.
2. 2.2 3 3
2 2 2 2
2 3 3
0 2 0 3
j
A k B k C D
k k
n k n k
xz
Y
As equações dos campos eletromagnéticos são obtidas em função das componentes dos campos tangenciais no ressoador. Para a estrutura em estudo a interface dielétrica condutor ocorre para y = h1+ h2, logo temos a densidade de corrente
neste limiar:
Hx2 Hx3 Jz (4.23)
Hz2 Hz3 Jx (4.24)
Após substituir as equações (4.1) e (4.3) na equação (4.23), temos:
Yxx~ExgYxzE~zg ~Jzg (4.25)
Substituindo as equações em (4.2) e (4.4) na equação (4.24)
YzxE~xgYzzE~zg ~Jxg (4.26)
Abaixo temos a representação matricial para a equação (4.25) e (4.26)
xg zg zg xg J ~ J ~ E ~ E ~ Y zz zx xz xx Y Y Y (4.27)
Os termos de matriz admitância acima são funções diádicas de Green para a estrutura em análise, e são dadas por:
(4.28)
(4.29)
2 2 2 2
2. 2. 2. . .
2 3 3
2 2 2 2
2 2 3
0 0 3 3
zz j n A k k j n C k D
k k k
