Determinação numérica da taxa interna de retorno: confronto entre algorítimos de Boulding e de Wild

DETERMINAÇAO 1\'UMnRlCA DA TAXA INTERNA DE RETORNJ: CONFRONTO f}mU~ os ALmRrIMJS DE BOOLDING E DE wrLD

CLOVIS DE FARO

1

CONFRON'rO ENTRE OS .ALGORITMOS DE BOULDING E DE WIL01

2 Clovis de Faro

Maio de 1983

1/ Agradece-se ao patrocinio do PNPE

CONFRONTO ENTRE OS ALGORIT?-10S DE BOULDING E DE WILD

1 - Introdução

Considere-se um projeto c~r~cterizado pela se-qt1ência, com ao menos uma variação de sinal, de fluxos de cai xa lIquidos {aO,al/ ... ,a

n}, onde, sem perda de generalidade, aO<O e an~O. S0ndo i >-1 uma taxa de juros cujo perIodo co-incida com o intervalo de tempo entre fluxos de caixa consecu tivos, defina-se a funç~o valor atual associada ao projeto:

n

V(i):::

r

j:..:O

a. (l+i)-j

J (1)

Para a avaliação econ5mica do projeto conside rado, um dos crittrjos lnais populares é o da chamada taxa in-terna de retorno. Por este critério, sendo i* uma taxa de

-

*

juros que anule a funçao atual, i.é. V(i )=0, taxa esta cha mada de eficiência marginal do capital ou taxa interna de

re-torno, e sendo r uma certa taxa de juros icrnaca para compara çao, o projeto será considerado como economicamente viável se

i *> r.

unicidade de

A par de certos requisitos de existência e de

.*

1. I bem como de consistência com o chamado

méto-do méto-do valor atual, como discutiméto-dos em de Faro e Mello e Souza (1975) e de Faro e Soa~es (1976), a implementação do critério da taxa interna de retorno resume-se, então, ao problema da

-1

determinaç~o de i* 0 equivalente â busca ~a5 raizes positivas

do polinômio

n

F(x) =: l:

j·::O

(2)

um problema que, em ge1_.',31, para 11> 4 , 50 pode ser resolvido rXJr

métodos iterativos. Dcmtre estes, além do cónfiável, mas le!!

to, m&todo da bisscç5~vide de Garros Santos (1982) ,pgs.46-48, destaca-se o chamado algoritmo d(! Nowton--Raphson, c. f. de Bar

ros Santos (1982, pgs. 62-74) e Henri.ci(l964, pgs. 77~86) .Est.e último, embora eficiente, nem sempre é apl icável, pois que sua convergência exige certas condjções de monotonicidade e de

aus5ncia de mudança de concavidade de F(x) no intervalo rel~­

vante.!/

As deficiências dos métodos C'Jássicos tem leva-do a que, para a finalidade prec!pua de dElerminaç~o nurn~rica

de i*, tenham sido propostos vários méb)(;()~:; ':speclf:lcos. Den,· tre estes, além de fórmulas aproximadas pdr,--:; cc':'tos casos pa,!: ticulares,como as discutidas em de Faro (1981 e 1982) e

Hawawini e Vara (1982), salientam-se os algoritmos respectiv~

mente propostos por Boulding (1936) e por '\'!i ld (1976).

o

propósito do presente trabalho

é

o de oonfron

t _{ar os} d_01S · _{a gorI mos} 1 ~t _esp0cl.1COS .. +" • _{c ta os. Assim, na} i d _segun d _a

seção ~ apresentado o algorItmo de Boulding. O algoritmo de Wild

é

descrito na terceira sf:'ção, que contém também uma com paração entre os dois procedimentos. A quarta seção aprese.!!

11

No contexto de detcrminaç~o de taxa interna de retorno, o uso do algori.!=. no de Newt.on-Raphson parece ter sido ori.gina1Irente sugerido fOr Fisher

ta algumas considerações teóricas. Os resultados de uma inves t.igação Cllpírica constituCffi a qu.inta sf'Ção. Fir:al rn("nte , na sexta se-çâo são resumidas as principais conclus6cs do estudo efetuado.

2 - 2._.A~~<?Eí~~~_ Bo_~~]~~!.~

Há ma.i.s de quarenta anos atrás, Boulding (1936) desenvolveu o conceito de centro temporal,

a

partir do qual construiu um procendimento, dito ser geral, para a determina-çio num&rica da taxa interna de retorno i* associada

ã

um da do projeto. Entretanto, apesar de interessantes caracterlstl cas, tal procE-~dimento parece ter sido quase que completamente negligenciado pelos estudiosos do assunto. Assim, a não ser na literatura alemã, no trabalho Witten e Zimmermann (1977), não encontramos nenhuma referência moderna sobre o assunto que fa ça menção ao algorItmo de Boulding.

2.1 - O conceito de ~entr~~~oral

Dado

o

projeto {aO' aI'." otan}' defina-se as seqü~ncias de beneficios {b

O' bl, •.• ,b

n

} e

de custo

{cO' c1,···,c_n}, a ele associadas, de tal forma que:

e

c.

=

)

se a. )

>

°oJ

se a. <

J

j

=

O,I, •••

,n

{-a

j , se a j < O

1

j

=

\ O ,

se a.>

O

J-0,1, . . . ,n

(3 )

(4 )

Então, observando-se que a.=b.-c.,j=O,l, •.. ,n, ) J )

projeto em causa se for verific3da a seguinte igualdade:

n

V

b (1*).:: _j~O t b. ) (1+i*)-j c. (l+i*)-j _J

- V

e (i*) (5)

Por outro lado, denotando-se por T

b e por Te os respectivamente chamados centros temporais de benefícios

e

de custos, tem-se, por definição, que devem ser tais que:

T

(l+i*)

b

Vb(l*) -

Vb(O) (6)

e

T

(l+i*) c Vc(i*).:: Vc(O) (7)

Dividindo-se (6) por (7) e tendo em vi.sta (~),

decorre que:

(l+i*)Tb - Tc

=

Vb(O)

(8)

V c (O)

ou

l!{T -T )

i*

=

(Vb(O)!Vc(O» b c - 1 (8' )

Isto ~, a expressa0 (8') indica que, se forem conhecidos os centros temporais de benefIcios e de custos, P.Q demos determinar a taxa interna i*. Porém, em principio, is-so não parece ser de grande ajuda, pois que T

b e Tc só podem ser determinados se conhecermos i*.

2.2 - Justi.ficativ.~_hc~lrística do a1gorItmq

o

princIpio do procedimento consiste em determi nar aproximações para T

b e Tc ' Isto posto, o emprego de (8') fornece uma aproximação para i*.

Tomando a taxa i corno variável, defina a função

I

T - j

H. (1) -_{] . J j \ . - r} J- '] 1) b

cuja derivada com respeito a i

5:

T --

j-l

Hj (1) ::::: (T

b -j) bj (1+i) b

(9)

(10)

En t2io, dado que H. (O) ::: b. e ll! (O) ::::: (T

b- j) b. ,

J J J )

segue-se que, desenvolvendo-se H. (1)

J em s6rie de Maclaurin e desprezando-se os tLrmos do s~gundo grau,0m i,cm diante, pode-mos escrever;

(111

Lego tcncs eIn vista a (6), segue-se que, em ter mos aproxim.3dos:

n n

E b .

r

( l + (T. -. j ) i

*

J -- }:

j:.::O J " D j'-"O

b.

J (12)

Por conseguinte, desde que i*1 O, podemos dedu-zir de (12) a seguinte aproximaç~o inictal T

_b

para o centro

l

t 1 d t. [ . . . 1

empora e Den(~ 1.elOS:

n n

I:

ib./

j=O - J

I:

j=O

b. J

Similarmente, temos tamb6m a .3proximaçio:

---_ ..

_--n jc./ l: c.

J j=O )

(13 )

(14 )

1/ O caso onde i* ::::: O é trivial, p:>is que ent.-3o o valor exato da taxa inter

- na

é

sinalizado pelo f0to de que n

A partir de (13) e de (14), e fazendo uso (8 1

) , determina-se então uma primeira aproximação il para

de

'*

1 •

Se IVb(i

1)- Vc (i1 )

I

<6, onde 6>0, e tão pequeno quanto sequei ra,

õ

a toler~ncia prê-fixada para o valor atual, i

1 serã to

mada como aproximação final. Caos contrãrio, Boulding (1936) sugere que, partind0 de 11' se obtenha uma nova aproximação i ₂" Para tanto, fazendo-se uso respectivamente de (6) e de

(7), defina as aproximaç6es T

b ₂ e T _c2 de forma que:

e

T

(l+i

1) c 2 Vc (11) =Vc(O)~> T_C2

=

log(V_b (O)/V_b (i₁»

10g (l+i 1)

=

log(V_c (O)/V_c {i₁»

109 (1+i 1)

(15)

(16)

A seguir, entrando com as novas aproximaçoes em (8'), determina-se a segunda aproximação 1₂ pa ra a taxa interna i*. _{Se necessârio, repita-se, partindo de 1 2 ,}

°

procedimento; e assim por diante.

2.3 - Procedimento iterativo

Sumariando, uma vez conhecido i

1, e sendo 1k a

aproximaç~o obtida na k-~sima iteração, o algoritmo faz uso da seguinte recursão, para k

=

1,2, . . . :

- T )

c_k+₁ - 1 (17)

onde

T - T

=

3 - AlgorItmo de Wi1d

Em um artigo publicado há nao mui to tempo atrás, no qual nao consta referência ao trabalho de Boulding, Wild

(1976) apresentou corno novo um procedimento para a determina çao da taxa interna de retorno. Tal procedimento, que também faz uso do conceito de centro temporal, completa-se em até 3 passos.

De acordo com Wild {l976~ o primeiro passo, que coincide com a iteração inicial do algoritmo de Bou1ding, for nece resultados no intervalo compreendido entre 69,3% e 99,95% do verdadeiro valor, sendo que em média chega-se a 91,4%. ~

também alegado que o segundo passo apresenta uma acuidade nédia de 99,1%, e que o terceiro e último passo provê uma acuidade média de 99,999%. Nada é dito quanto a existência de casos on de o procedimento não funcione.

Designando por

lk

a aproximação associada ao

~-ésirno passo, tem-se: 19 passo:

1

_{=(V (O)/V (O» l/(Tb -Tc ) -1}

1 b c 1 1

29 passo:

tome:

Sendo

(l

=

1

-k

10g N_b (i_k) /Va(~»

log(Vb(O)/Vc(O»

(19)

(20\

39 passo:

Determine

e tome como aproximação final

1*

(i

2

-1

1) 2

21 2-1

1

-1 3

(22)

(23)

3.1 - Interpretação do algoritmo de Wild corno caso particular

do de Boulding

Corno iremos aqui evidenciar, a aproximação

fi-nal sugerida por Wild nada mais

é do que urna média,

provave~­

mente sugerida por alguma forma não-linear de interpolação,

dos resultados respectivamente obtidos nas 3 primeiras itera

ções do algorItmo de Boulding_

Como

já

apontado, ternos que

1

₁

=

i

_l

- Por outro

lado, de (17) e (18) decorre que:

log(l+i

k

)

= { }

_{log (Vb (O)}

/VC

(O»

log(Vb(O)/ Vb(ik

» -

_{log(Vc(O)/Vc(i k}

»

- ---'k

= 1,2, ... (24)

log(Vb(O)/vc(O»

E de

(20),~ (21),

ou

(22),

tem-se:

( 25)

Logo, comparando-se (24) e (25), decorre ime diatamente que lk=i_k também para k=2,3.Por conseguinte, o algoritmo de Wild não é realmente novo. Não só as aproxima-ções obtidas nos dois primeiros passos coincidem como as res pectivamente obtidas nas duas primeiras iterações do procedi-mento de Boulding, como a aproximação final de Wild

é

média dos resultados das três primeiras aproximações de Boulding.

4. Desempenh~ dos Algoritmos

A análise ef(=:tuada na seçao anterior permite-nos concluir que, do ponto de vista teórico, só cabe efetivamente um estudo do algoritmo de Boulding. Entrct~nto, quanto ao aspecto computacional, é interessante que se inclua na inves tigação a aproximação final de Wild, pois que o uso desta p~ de, eventualmente, vir a acelerar o processo de convergência do procedimento devido a Boulding.

Deste modo, segue-se que sua aplicação nao deve ser feita

maneira indiscriminada, mas sim somente para projetos que aten dam a certos requisitos relativos ao crnpre~o do crit~rio da la xa interna, tais como discutidos em de Fa'~o e Soares (1976).

Assim, por exemplo, para o projeto {-lO,lS,-ti}, a aplicação do algúrjtmo de Boulding produzirá a seguinte ab-surda seqüência de aproximações: i

l=-O,2275, i2=-0,4033 e 10

i

3>2,7xl0 • Tal ~bsurdo é deVido ao f~to de que, para o pr~ jeto considerado, como se verifica facilmente, as raIzes refe rentes ao polinômio do segundo grau, definido por (2), são nú-meros complexos. Ou seja, no caso, inexiste a taxa intern3. \:~e

retorno.

Por outro lado, do ponto de vista prático, est~

mos usualmente interessados tão somente no campo das taxas de juros positivas. Isto acarreta um pos2tveJ ~roblema, pOis,por exemplo, se o proj eto considerado for do (tLlC _'namaremos do

"tipo Jean", i.e. com exatamente duas qüência de fluxos de caixa liquidos

variaçêcs de n e tal que E

j=O

sinal na se a. > O,

sabe-J se que, cf. Jean (19G8), existitrá exatamente urna solução

i* > O e outra em (0,-1). Deste modo,

é

possIvel que o algS! rItmo de Boulding venha a convergir para a raiz negativa, que não

é

a que nos interessaria. Tal

é

o caso do projeto

{-I, 5, -3}, cujas taxas interna negativa e positiva são, res pectivamente, i*l~ - 30,28% e i*2 ~ 330,28%. Para esteo

:p r

2

aproximaç~o i

1

= -

36,00, indicando assim converg~ncia para a t . 1

raiz nega lva

Para projetos tais corno o do exemplo acima,uma possivel linha de aç~o ~ a de, fazendo uso do teorema de

Vincent, como discutido em de Faro (1983), delimitar inicial mente, com alguma precis~o, um intervalo que contenha a taxa positiva. ' A seguir, tomando-se como aproximaç~o inicial o ponto médio do intervalo, faz-se uso do algorItmo de

Boulding. No caso do exemplo considerado, dado que i*e(3,5), temos que tomando-se 1

1=4 o algoritmo de Boulding produziri a aproximaç~o 1₂

=

1,91; indicando ,-ússivel convergência para a raíz positiva desejada. Esta estratégia será comentada na seçao que relata nossa investigação empírica.

4.1 - Análise Teórica

Do ponto de vista teórico, só cabe analisarfo! malmenle & converg~ncia do algoritmo de Boulding uma vez

as-segurada a existência e unicidade da tax,:'\ interna de retorno em todo o campo de significação econômica (definido por

i > - 1). Ora a priori, sem que se aponham condições adicio-nais, somente a classe dos projetos ditos convencioadicio-nais, que são aquc::l.e3 que apresentam uma única variação de sinal na seqfiência de fluxos de caixa líquidos, satisfaz os necessári-os requis.ttnecessári-os. Concentrando atenção à esta classe, propried~

des do a]g0Litmo de Eoulding serao apresentadas para dois ca sos particulares • .

1 Na realidad2, [XX1.e-se verificar que, já na terceira iteração, a apro~

a) a~

=

O, j == 1,2, . . . , n-l e a > O

J

n

Para este caso,

é

imediato que o valor exato da taxa interna de retorno é dada por:

1 _{(26 )}

Por outro lado, observando-se que T

=

'n e

T

=

O,

b

_l

c

_l

segue-se de (81

) que a primeira iteração do procedimento de Boulding produzirá exatamente o valor procurado i* dado por

(26) .

b) a. ~

O,

J j =: 1,2; ... , n

Temos agora a classe dos projetos ditos de in-vestimenta simples. Para e~ta classe,

é

mostrado formalmente no Apêndice A, de autoria de Paulo Klinger, que o algoritmo de Boulding produz uma seqüência de aproximações que converge para o verdadeiro valor i*.

Para o caso geral de projetos convencionais I nao dispomos de resultados formais. Porém sendo corroborado por investigaç6cs empiricas efetuadas pelo nutor,

conjectura-... - 1

se que tambem existe convergencia.

Entretanto, ao menos quando se requer unicida-de da taxa interna unicida-de retorno somente no campo das taxas de

juros não-negativas,2 que costuma ser o caso de real interesse 1 A propósito, vejam-se os casos dos projetos P23,P24,P25,P26,

P58 P59,P60,P61,P62, P63,P64,P65,P66,P67,P68,P69, _{I .. • _}

e

P70,li~

tados no Quadro I da proxlma seçao.

prâtico, nem sempre o algorItmo de Boulding seri aplicivel • Isto

é,

podem ocorrer situações onde as expressões matemáti-cas que sao utilizadas não sejam definidas. De fato, ten do presente (13), (14) e (19), um caso de colapso formal do algorItmo de Boulding ocorre quando

n

i: jb.

j=O

J

jc. J

. --_._~-- .:.:

----_._._--n L b.

j==O

J

n L

j==O

c.

J

(27)

Tal possibilidade

é

exemplificada pelo projeto cuja seqÜ~ncia de fluxos de caixa lIquidas

é

{-1,5,5,11.

Fa-•

zendo uso de (3) e de (4) I

é

ficil verificar que a relação'

(27) é satisfeita. Assi~cmbora se trate de um projeto do t i po Jean, com a única taxa interna positiva sendo aproximada-mente igual a 482,84% por período (com a taxa negativa de cer ca de-82,84% por perIodo), o algorItmo de Boulding não

é

apl! cável, pois que

o

valor numérico da primeira iteração fica in definido.

Embora menos provável de ~contecer na pritica, devido a erros de aproximação, um outro caso de colapso de aI goritmo de Baulding ocorre quando, tendo em vista (20) ~

v

(O)

c

Conquanto seja um exemplo artificial, o

do projeto {-lO,20,40,-32}, também do tipo Jean (com

caso

ir

=

-34,44% e i; =198,16%), ilustra tal possibilidade.Basta

tomar i_k

=

1.

5 - Investigação Empírica

Tendo presente o apresentado em de Faro(1978),

excluiremos de nossa análise empIrica, para evitar duplicação',.

o caso dos projetos ditos de investimento simples. Para esta

classe, embora considerando somente as 3 primeiras iterações

do algorItmo de Boulding, e mais a interpolação de Wild, con~

tatou-se que, em média, e com menos esforço computacional, são

obtidas aproximações mais precisas do que via o emprego do

mesmo número de iterações do procedimento de Newton-Raphson.

Para fins de avaliação geral do desempenho do

algorItmo de Boulding, consideraram-se 86 diferentes projetos,

que são listados no Quadro I. Neste Quadro l i para cada pro

jeto, caracterizado por sua respectiva seqüência de fluxos de

caixa lIquidos, sao apresentadas suas distintas taxas inter-I"

nas de retorno, bem como suas multiplicidades.

No Quadro 11, para cada um desses 86 projetos,

sao fornecidos os valores numéricos obtidos nas 3 primeiras

iterações do algorItmo de Boulding e na interpolação de Wild,

bem como os respectivos erros percentuais com relação

à

úni-ca taxa interna positiva (ou com relação

à

taxa única, mesmo

1 Devido ao fato Irencionado de que, do ponto de vista prátioo,

só

interes sam as taxas internas positivas, os projetos cx:nsiderados, à exceção -dos do tipo convencional, satisfazem senpre a corrliçãO n O

E a. > •

N9 Pl P2 P3 P4 P5 P6 P7

P8

P9 PIO Pll P12 P13 P14 P15 P16 P17

Pl8

P19 P20 P21 P22 P23 P24 P25 P26 p27

CARACTERIZAÇÃO DOS PROJETOS

Projeto

Fluxo de Caixa {-2,2,2,-4,-4, 5,5,-6,-6,7,71 {-300,500,400,O,-300} {-300,500,400,-300,1001 {-300,0,400,-800,lOOO} {-300,900,-1200,O,3000} {-100,50,-50,100,-50,1501 {-lOO,-150,200,-lOO,2001 {-220,550,-320,10} {-lOOO,3010,-3030,102581 {-lOOO,1900,-2000,4400} {-10,60,-120,80} {-100,50,50,SO,-10,601 {-10,30,-10,SO} {-60,70,-20,240} {-80,40,-10,40,40,-101 {-450,-200,700,-60,2000,-501 {-100,-300,800,-300} {-500,250,1020,-lOOO,3920} {-200,400,-100} {-200,1200,-2400,1600} {-90,230,-100} {-100,50,200,-200,800} {-10,-20,-30,O,50,100,20,O,O,O,100} {-100,O,O,-200,500,O,O,O,O,O,O,IOO, 0,0,0,100,lOO,100,100,100,100} {-1000,-2000,-3000,0,o,-10000,500,SOO, 500,.500,500} {-100,-500,O,O,100,4001 {-2560,9600,-12640,7400,-3000,1250}

Taxa(s) interna(s)1 (%)

19,05 -29,49 e 118,15

110,95 19,68 114,72 20,34 8,04

-96,69;-15,19

e

61,88 210,00

100,00 . 100,00(3)

32,00 218,00 100,00 -79,21

e

9,57 -97,50 e 58,43 -52,86

e

32,63

100,00 -70,71

e

70,71

100,00(3) -44,44

e

100,00

N9 P28 P29 P3"0 P31 P32 P33 P34 P35 P36 P37 P38 P39 p40 P41 P42 P43 p44 P45 p46 p47 p48 P49 P50 P51 P52 P53 P54 P55

QUADRO I (Continuação 1)

Projeto Fluxo de Caixa

{-640,1120,1160,-2350,-500,12501 {-100,400,-500,300,-700,500,21001 {-100,500,-700,300,-1000,600,24001 {-100,250,-200,300} {-300,350,-lOO,350,-100} {-800,400,-100,400,400,-lOO} {-110,40,40,40,-20,40,-lOl {-300,150,160,-20,100,-10} {-lOO,50,50,50,-20,601 {-100,70,60,-10,601 {-30,10,10,10,lO,-20,801 {-100,200,100,-300,1000} {-100,40,40,40,-10,50,-101 {-200,100,100,-10,100,-101 {-200,110,80,-10,100,-101

{-720,140, 140, 140,140,140,30,-20, 140,-20} {-720,140,140,140,140,140,30,-20, 140,140} {-500,1000,-4001 {-800,300,300,300,-200,300,-1001 {-1000,800,210,-20,830,-201 {-200,800,-900,7001 {-300,800,-1600,800,32001 {-300,-1800,2400,4000,-3200,-9600, 384001 {-150,240,-50,801 {-600,1300,-6001 {-200,600,-500,2001 {-100,600,-1300,1400,-1200,8001 {-800,600,2000,-800,16001

P56 {-40,130,-100,100,O,O,0,O,O,O,0,0,0, O,0,0,O,0,0,0,1000}

Taxa(s) interna(s) (%)

25,00(3) 132,84 126,25 120,94

-70,86

e

40,17 -79,21

e

9,57 -73,87 e 7,69 -89,97

e

13,02

29,98 34,08 33,33 153,93

-79,98

e

17,98 -90,01

e

17,32 -89,99

e

15,51

-85,53

e

4,00

7,70 -44,72

e

-64,37

e

-97,59

e

185,26 100,00 100,00 60,00 44,72 5,82 31,06

-33,33 e 50,00 100,00

100,00(3) 100,00

(Cc'nt j lll1dção 2)

----_._---_._.

__

._

... _ - - - -

_ . _

-Projeto

-- _ _ o _ _ _ _ _ _

~--N9 Fluxos de Caixa

{-1;5,-3} {-I,-1,O,O,-lO,O,0/O,O,5,S} {-I,-1,-I,-1,l,l,l,l,5} {-5,O,O,O,-5,-5,-5,-S,30} f-l,O,O,O,O,O,O,O,O,-l,lO} {-5,-5,10,10,10,lO} {-S,-5,lO,10,lO,lO,lO,lO,10, } {-5,-S,-5,lO,lO,lO,10,10,lO,} {-5,-5,-5,-5,lO,lC,lO,lO,lO,} {-5,-5/-5,-5,-5,lO,lO,lO,10,} {-5,-5,-S,-5,-5,-5,10,10,20 } {-5,-5,-5,-5,-5,-5,-5,lO,10} {-5,-5,-5,-5,-5,-5,-5,-5,lO} {-1,-1,5} {-l,2,-4,8J {-1,-2,3,O,-8,S6} {-4,q-8,3} {-1,3,-4,2,-16,40} {-S,16,-·64,29} {-20,lO,-2,-2120} {-2,5,-2}

Taxa(s) Interna(s) (%)

-30,28 e 330,28 2,96 16,49 4,99 24,23 65,29 71,90 39,80 23,02 10,91 6,16 -12,32 -32,34 79,13 100,00 100,00 -50,00 100,00 -50,00 9,22

-50,00 e 100,00 P57 P58 P59 P60 P61 P62 ?63 P6~ P65 p66 P67 P68 P69 p70 P71 P72 P73 P74 P75 P76 P77 P78 p79 p80 P81 P82 ~)83 {-4,12,-9,2} {-5,8,4,4,-8}

-50,00 (2) e 100,00

P84 285 r86 {-l,l,-1,-1,14} {-1,11,90,-lOO,l} {-1,-3,8,-3} {-2,18,-54,54} {-200,400,100,-800,696} {-16,72,-108,54}

___ f

-~.:,~_~_2,

4

O_~

-

~_~~O~~.30~

2_~_~_-_~~

______

L

-18,77 e 100,00 100,00

-0,93 e 1518,05 -52,85

e

32,63

---r--- ---~

N9 do Aproximação (%) / erro (%) 1 N9 da ---~----I iteração

fina12

projeto _la. 3a. ~ü1d

Observação 2a. ---~-

---4---P1 P2 p3 p4 P5 P6 p7 p8 P9

PIO

Pl1 P12 p13 P14 16,66 (-12,55) -51,80 1.186,01 (968,96) 21,34 ( 8,43) 74,99

(-34,63)

20,58 (1,18)

8,10

( 0,75) -21,59 18,73 (-1,73) 68,73 (-38,05) 19,55 (-0,66) 100,54 (-12,36) 20,34 (-0-) 8,04 (-0-) 19,01 (--0,21) 146,42 (3l,97) 19,69 (0,05) 109,81 (-4,28)

213,60 210,03 210,00

(-0-)

(1,71) (0,01)

100,90

{ O, 90}

28,37 (-71,63) 29,61 (- 7,47) 203,14 (- 6,82) 93,73 (- 6,27) 100,00 (-0-) 41,47 (-58,63) 31,81 (-O,59) 49,41 (-50,59) 31,98 (-0,06)

216,79 217,90

(-0,56) (-0,05)

9:J9,41 99,94

(-0.59)

(-O~O~)

'

-19,05

(-O -)

141,37 (27,42) 19,68 (-0-) 115,08 0,31) 61,58 (-38,42) 32,00 (-0-) 218,00 (-0-) 100,00 (-o-) 3 (4 ) 16 (l6) 3 (4) 10 (9) (2) (2 ) (3) (2) >203

( >203)

3 (4 ) 3 (4) 3 (4 )

convergiu para a taxa negativa

convergiu p:rra a taxa

-15,19%

não convergiu após 203 iterações

1/

Com relação

à

taxa inteITld única, se existir, ou cem relação

à

taxa positiva.

.19. (continuação 1)

- _{- .- ,}

-.

. pr

N9 60 Aproximação (%)/ erro(%) N9 da

f----

---1---

_iteração

Observação

o~~to _la. 2a. 3a. Wild final

- - - -I--- --- --- --- - - - -_{I--- - - -}

-PLS 9,71 9,57

---( 1,46) (-0-)

_---

---P16 61,27 58,45 58,43

---

---( 4,86) (0,03) (-0-) I

_---

(3)

P17 59,58 25,50 35,74 33,37 8

(82,59 (-21,85) ( 9,53) ( 2,27) (10) PL8 133,68 97,43 100,29 100,08 5

(33,68) (- 2,27) ( 0,29) ( 0,08) (5) P19 137,04 57,99 75,26 72,17 8

(93,81) (-17,99) ( 6,43) ( 2,06) (9)

P20 28,37 41,47 49,41 61,58 >203 não convergiu após 203 (-71,63) (-58,53) {-50, 59) (-38,42) (>203) iterações

P21 -97,35

--

---

---

---

convergiu para a taxa

---

---

---

---

---

negativa

P22 133,65 97,48 100,28 100,08 5 ( 33,65) (- 2,52) ( 0,28) ( 0,08) (5)

P23 32,07 37,54 38,25 38,35 4

(-16,35) (- 2,09) (- 0,23) ( 0,03) ( 5)

P24 16,01 23,32 26,74 29,74 9

(-45,23) (-20,22) (- 8,52) ( 1,74) (12)

P25 -34,58 -35,57

---

---(-2,78) (-0-)

---

(2)

p26 - 4,49

---

---(-0-)

---

(1)

p27 7,79 11,22 13,24 16,13 >203 não a:>nverg iu após (-68,84) (-55,12) (-47,04) (-35,48) (>203) 203 i teraçães P28 7,79 11,21 13,22 16,09 >203 não convergiu após

(-68,84) ( -55,16) (-47,12) (-35,64) (>203) 203 iterações P29 57,64 82,04 97,70 125,73 22

.20.

(continuaç.ão 2)

- - - -

---

---~---~----,'o

"

.

do Aproximação (%) / erro (%) Nr; da

- - -

--- 2 a. --,---

~~~

. - - iteração

i)rojeto _{la. WJ1d final} Observação

-- - -- ---- --- -.. --- ----_.---,--- ---~- --~.- - ---_._- ._----~

---_ ---_ ---_ ---_ o

----_ ...

P30 46,77 65,20

I

76,69 95,72 69

(-62,95) (-48,36) (-39,26) (-24,18) (72)

P31 122,58 120,83 120,94

( 1,36) ( O f 09) (-O- ) (3)

P32 52,29 38,82 40,35 40,16 5

( 30,17) (- 3,36) 0,45) (- 0,02) (5)

P33 9,71 9,57

1,46) ( -O- ) ₍₂₎

234 7,92 7,68 7,69

2,99) (- 0,13) -0- ) (3)

P35 12,90 13,02

(- 0,92) ( -O- ) ₍₂₎

P36 29,11 29,94 29,98

(- 2,90) (- 0,13) ( -0-) (3)

P37 31,60 33,91 34,07 34,08 3

(- 7,28) (- 0,50) (- 0,03) ( - O -) (4)

P38 36,20 33,35 33,33

( 8,61) ( 0,06) ( -O- ) (3)

p39 182,59 153,96 ] 53,93

( 18,62) 0,02) ( -0-) (3)

P40 18,53 17,98

3,06)

-o- )

(2)

p41 17,05 17,31 17,32

(- 1,56) (- 0,06)

(-O-

) (3)

P42 15,25 15,51

(- 1,68)

( -o-

) (2)

:'43 3,95 4,00

(- 1,25)

( -o-

) ₍₂₎

1'44 7,28 7,67 7,70

(- 5,45) (- 0,39) ( -0- ) ₍₂₎

TÚUOVARGAS

FUNDAÇÁO.

G~enr\Que

Simonsen

',y do ~rojeto P45 r46 P47 p48 p49 P50 P51 P52 P53 P54 P55 P56 P57 P58 P59

_12~::~~~C'~nl'~o_ ~io

__

~l~SIorj t~o

____

d~ __ ~o,=,_l ~ i 0g .21.

(Cbntinuação 3)

---~--- - - - - -~---- ---- --- -,-- --- -- - - - r - - - _

Aproximação {%}/ erro(%) N9 da

~~~~~:-{-~-~2-"

: __

---Ja---:-

~I~---

; :;Çã_O_--t-__

O_b_s. __

e_r_v_aç_ã_o_

158,12 23,47 64,03 54,62 1G

(253,58) (-47,52) (43,18) 22,18} (18) G,07

( 4,30

27,97 (- 9,95) 184,17 (- 0,59) 75,41 (-24,59) 130,75

( 30,75)

60,00 (-0- ) 548,47 (448,47) 28,37 (-71,63) 136,89 ( 36,89)

103,05 (-38,06) -36,00 - 2,95 (- 0,34) 16,24 (- 1,52) 5,81 (- 0,17) 30,75 (- 1,00) 185,95

( O,3?)

93,70 (- 6,3C) 96,46 {- 3,54} 29,90 (-70,10) 41,47 (-58,53) 96,82 (- 3,18) 115,42 (-30,63) - 2,96

( -o- )

16,48 (- 0,06) 5,82 (-O- ) 31,02 (- 0,13) 184,83 (- 0,23) 98,40 (- 1,60) 100,54 ( 0,54)

3,.n,40

(201,40)

49,41

(-50, 59}

100,38

( 0,38)

126,53

(-23,95)

16,49 (-O- )

31,06 ( -0- )

185,26 ( -O- )

100,03

0,03)

100,11

( 0,11)

208,10 (108,10)

-61,58

(-38,42)

100,09

( O ,09)

(3) 3 (6) 3 (11) 5 (8) 5 (6) (1) >203 (>203) >203 (>203) (5) (G) (28) (2) (3)

o

algoritmo ficou indefinido

convergência lenta e

oscilante

não

oonvergiu apSs 203 iterações

tanarrlo 90% caro ap~

xinaçaõ inicial

convergiu para a taxa-negativa

-pc:

:::~.!.!lpc-.!:!.!o __ ~.!? ___ A 1~5J ~L~J!!O ____ d.~ __ 1?ou

1.9

ing .22. (continuação 4)

--- ~----

- - -

- --- - --- --._-

---t·'o

..

do Al?roxirnação (%)/ erro(%) N9 da

---_.---"- ._---_ ..

_._----

----"-

_i Ll:rLi~·ão

Observação

in-ojeto _{la. 2a. 3a. Ni1d final}

- ---- ---- -_.- - --.-- _.- -_.-._--- _{--- -- - - - - ----~---}

---P60 5,19 4,98 4,99

( 4,01) (- 0,20)

( -O-

) (3)

P61 33,99 22,70 24,55) 24,29 6

40,28) (- 6,31) 1,32) 0,25) (6)

P62 58,74 64,75 65,25 65,29 3

(-10,03) (- 0,83) (- 0,06)

(-O-

) (4)

P63 54,10 68,07 71,11 71,96 5

(-24,76) (- 5,33) (- 1,10) 0,08) (7)

P64 36,08 39,49 39,77 39,80 3

(- 9,35) (- 0,78) (- 0,08) (

-O-

(5)

P65 22,58 23,01 23,02

(- 1,91) (- 0,04) (

-o- )

(3)

P66 11,01 10,91

0,92) ( -0- ) (2)

P67 6,24 6,15 6,16

1,30) (- 0,16) -0-) (3)

P68 -11,69 -12,29 -12,32

(- 5,11) (- 0,24) -0-) (3)

P69 -26,51 -31,05 -32,04 -32,33 4

(-18,03) (- 3,99) (- 0,93) (- 0,03) (6)

P70 84,20 78,91 79,14 79,13 3

( 6,41) (- 0,28) ( 0,01) ( -0- ) (4)

P71 100,00

(-O-

) (1)

P72 160,18 93,39 101,39 100,54 6

( 60,18) (- 6,61) ( 1,39) ( 0,54) (7)

P73 -57,81 -47,17 -50,93 -49,95 6

( 15,62 (- 5,66) ( 1,86) (- 0,10) (8)

P74 87,17 96,98 99,27 99,97 5

.23. (continuação 5)

--- - - - -- -

---

---

-"

, -:J

'" ào Aproximação (%) / erro(%) N9 da

"t

-- --

I -crac;ao

Observação ,_ rojeto _{la. 2a. 3a. \o1i1d final}

" -

.

--- --- --- - - - -- -- ---_{t - -}

-P75 -60,13 -47,93 -50,43 -50,00 3 ( 20,26) (- 4,14) . ( 0,86)

( -o-

) (5)

P76 9,02 9,21 9,22

---

---(- 2,17) (- 0,11) ( -O- )

---

(3)

P77

--

o algorítrro ficou

---

indefinido

P78 -52,73 oonvergiu, pobrerrente~

---

para a taxa negativa

P79 -25,31 oonvergiu para a taxa i

--

negativa :

P80 112,64 100,39 100,01 100,00 3 i

i

( 12,64) ( 0,39) ( 0,01) ( -0- ) (4) :

p81 -0,93 oorwergiu para a

taxa:

I

negativa 1

--j

p82 59,58 25,50 35,74 33,37 8 :

( 82,59) (-21,85) ( 9,53) ( 2,27) (lO) , _,

p83 55,24 80,60 96,07 120,25 >203 não convergiu apSs (-72,38) (-59,70) (-51,97) (-39,88) (>203) 203 iterações

P84 51,71 60,66 59,88 59,94 4

(-13,74) ( 1,18) (- 0,12) (- 0,02) (8)

p85 14,90 21,63 25,65 31,60 >203 não oonvergiu após (-70,20) (-56,74) (-48,70) (-36,80) (>203) 203 iteraçé5es

p86 23,25 35,93 40,23 42,44 7

que negativa, no caso de projetos do tipo convencional? Adi cionalmente, al6m de uma coluna de übservaç~cs, sâo tamb~m a presentados no Quadro l I a s números de iterações necessárias para que, tanto fazendo uso da interpolaçâo de Wild, corno nâo ~ntre parêntesis}, fosse alcançada uma aproximação com precl

sâo até a segunda casa decimal da taxa percentual.

Com relação ao caso geral dos projetos do tipo convencional, os resultados obtidos indicam um excelente de-sempenho para o algoritmo de Boulding. Assjm,

em

média, nao mais do que 4 iterações, fazendo uso da interpolaçâo de Wild, foram necessárias para a obtenção de aproximaçâo com erro nao superior a 1%. Mesmo nos casos de convergência mais lenta, como em P24, os erros já eram bastante pequenos na quarta ite ração (que, na realidade, corresponde

à

primeira iteraçâo adi cional

à

partir da interpolação de Wild) .

Para as demais classes de projetos, os resulta dos nem sempre são satisfatórios.Em especial, como evidencia-do pelos projetos P52 e P77, que foram aleatoriamente geraevidencia-dos, o algoritmo de Boulding entrou em colapso, pois que foi sa-tisfeita a igualdade dada por (27).

Tivemos também um fraco desempenho, no sentido de uma convergência muito lenta (mais de 203 iterações), para os projetos em que a respectiva taxa intcrn~ embora única no campo geral, apresentava multiplicidade maior do que um. Tal

2 Para obtenção desses resultados fizCIroS uso do programa, escrito em

foi o caso dos projetos Pll,P20,P27,P28,P54,P83 e P85.

Para os demais casos de taxa interna finica no campo gera~ã exceção do caso do projeto P53, os resultados foram, via de regra, 'Jastante satisfatórios. Já para P53, a convergência revelou-se extremamente lenta, e oscilante. Na iteraçio de ordem 202 a aproximaç~o foi igual a 90,88%, assu mindo o valor 110,07 na iteração seguinte;l ao passo que '0

valor exato é i*

=

100%.

Quanto aos casos de finica taxa interna positi-va, havendo porém também taxa negatipositi-va, os resultados foram de caráter misto. Além dos casos já apontados de colapso for mal, o algoritmo, por diversas vezes, corno anteriormente dis cutido, convergiu para a indesejada taxa negativa. Isso ocor reu para os projetos P2,P8,P21,P57,P78, P79 e p81. Por outro lado, para certos casos bastante semelhantes, como para os projetos P15,PI6,PI7,PI9,P32,P33,P34,P35,P40,P41,P42,P43,P45, P46, P47,P52,P82 e P86, o algoritmo convergiu para a taxa

P2

sitiva de interesse.

Quanto a estratégia de, no evento de convergig cia para a taxa negativa indesejada, tomar como ponto de par~

tida uma taxa positiva, infelizmente obtivemos resultados que a desaconselham. Assi~no caso de P57, tomando como ponto de partida i

l=4, obtivemos i 2=1,91 e i3

= -

0,99; convergindo a seguir, novamente, para a taxa negativa -0,3028. Fato

lhante ocorreu quando foi feito i

1

=

3,5.

seme

Pior resultado ainda ocorreu com o projeto P2. Tanto tomando-se i₁=l, como i1~1,2, o algoritmo entrou em um ciclo infinito; repetindo sempre o par (0,554903; 8,667192).

6 - Conclusão

Evidenciou-se aqui que o procedimento sugerido por Wild (1976) nada mais

é

do que uma versão estritamente f! nita do algorItmo originalmente proposto por Boulding(1936). Especificamente, o procedimento de Wi1d consiste tão somente em tornar como aproximação final uma média das aproximaçõesre~

pectivamente obtidas nas tr~s primeiras iteraç6es do algorit-mo de Boulding. De outro lado, a aplicac,~0u ~;~::trita do método de Boulding requer que sejam efetuadas tcnL~s ~terações qua~

to as que forem necessârias para que seja alcilnçada a preci-são desejada.

Do Donto de vista teórico, concluiu-se, formal _~

-mente, que o algorItmo de BouJding, para o caso de projetos do tipo investimento simples, gera uma seqüência de aproxi-mações que converge para o verdadeiro valor da taxa interna de retorno. Conquanto seja conjeturado que tal resultado es tenda-se ao caso geral dos projetos do tipo convencional, ve-rificou-se que o mesmo nem sempre acontece para a classe dos projetos do tipo não-convencional. Em particular, foram iden

ti ficados casos de colapso formal do algoritmo.

a aproximação da méd~a sugerida por Wild. Entretanto, decte tou-se não só a existência de casos de convergência excessiv~

mente lenta, corno também a possibilidade de, independentemen-te da especificação da teração inicial, obter-se sempre uma indesejada solução negativa.

Urna interessante indagação, que ser& objeto de um outro estudo, é a que diz respeito a urna comparação com o método de Newton-Raphson. Em especial, para as classes de projetos não-convencionais em que este último seja aplic&vel, qual seria o algoritmo mais eficiente?

Referências

- Boulding, K. E. 1936. "Time and Investment", Economica ,

Vol,3, Np. 10 (maio), 196-200.

- de Barros Santo~ Vitoriano Ruas. 1982 Curso de cálculo Numérico, 4a. Ed., Livros Técnicos e Científicos,

Rio de Janeiro.

- de Faro, Clovis. 1976. nO Critério da Taxa Interna de Re torno e o Caso dos Projetos do Tipo Investimento Pu

ro", Revista de Administração de Empresas,Vol. 16

No. 5 (set./out.), 57-63.

1978. Determinação da Taxa de Juros

Implí-cita em Esquemas Genéricos de Financiamento:

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sileiro de Economia da Fundação Getúlio Vargas, Rio

de Janeiro.

1981. "Closed-Form Expressions for the

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to the Geometric Sequence of Payments Case", The

Engineering Economist, Vol. 27, No. 1 (falI), 80-89.

1982. "Determinação da Taxa de Rentabilidade

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AP~NDICE A

Convergênci~

do Algoritmo de Boulding

Paulo

Kling~r

Será aqui formalmente evidenciado que, para

a

classe de p}ojetos ditos do tipo investimento simples,

o

a1go-r[tmo de

Bo~lding

produz uma seqüência de aproximações que

con-verge para

O

verdadeiro valor da Gnica taxa interna de

retor-no

i*.

1 -

Resv1taàos auxiliares

---Defina-se a função

<1>:

(O

,oo)-+- lR,

monótona e

contI-nua, tal que:

a) <I> (x) ==

O

~ x

=

1;

b)

existe um único

f

>

O para o qual

$

Cf)

= 1.

Então,

~endo

A

=

(O,oo)-{l} e f:

A~(O,oo)

definida corno

f(x)

=

x:t/cfJ(x)

segue-se que f

é

contInua em A

L

ema

l

•

A imagem de A pela função

f

está contida

em

A.

Demonst:caçao

Se xEA

e

f(x)

== 1,

tem-se que log (f(x»

=

O.

Logo,

109 x/<J>(x)

~

O

~

loq x

==

O

~

x

==

1.

O

que

é

uma contradição

com lSlA.

e

,Teorema 1.

Se x E A então { x<;r"'f(x»x

x ;;;, r ~ f (x)

<

x

se {4l

é

não-decrescente

~

4l

é

não-crescente ~

f(A)C(l,oo)

f(A)C(O,1)

Demonstração

a) Supondo que 4l seja não-decrescente

Temos que f>1, pois 4l (f) = 1 >«1> (1)

=

O. Por outro lado,

tem-se que:

1) Se 0<x<1, tem-se 4l(x)<O'" 1/4l(x)<0 e, portanto,

f(x)

=

x 1/«1> (x»1 >x. Ou seja, nesse caso f(x»1 e f(x»x.

ii) Se l<x~r, teremos 0<<<1> (x)~1. Logo 1/4l(x»1 e,

portan-to, f (x) ~ x >1.

Assim, de i e ii, decorre que se x <;

r

-f(x) >x e f(x) >1.

iil) Se x >f, segue-se que cf>(x»l, logo 0< 1/4l(x)<1, e, POE.

tan·to~

1 <f (x)

=

x l/«I>(x)<x •

Deste modo, conclui-se que f (A) C (1,00) e que x <

r ...

f (x) >x e x~r~f (x) .;; x.

b) Supondo que cf> seja não-crescente

Nesse caso teremos r <1, pois cf>

(r )

=

1

>

cf> (1) =

o

1) Se O < x ~

r,

segue-se que «I> (x) ~ 1

"*

11

<I>(x) < 1 e,

portanto, x

<:

f (x) = x l/cf> ex) <1

li) Se

r

<:

x < 1, tem-se O<cf> (x)<; 1 ~l/«I>(x»l e, portanto,

iii) Se x >1, tem-se 4(x)< O ~ l/q)(x)<

o.

Logo, teremos

f (x) = xli $ (x)

<

1

<

x.

Por conseguinte, sendo $ não-crescente, ter-se-á sempre f(x)

<

1 se

x

EA. Adicionalmente,

x

<

r ..

f(x) ~ x e

x ;;>

r ...

f (x)

"x.

c.q.d.

Teorema 2.

Sendo s;?J;O, seja

Xo

EA e defina-se x

s+l= f(xs).Então, para (x_s ) s;<!: O I que está bem definida pois que f (A) C A, são válidas

as seguintes propriedades:

1) Se existe sO~ O tal que x ::::

r,

então x =

r

para .todo

So

s

2) Se xs~

r

para todo s ~ SI' para algum SI> O, então existe

x

=

lim x e

x

=

r.

s

s'" 00

3) Se xs~r para todo s~s2' para algum s2>0, então existe

x

=

1im x e

i

=

r

s

Demonstração

1) A prova será efetuada por indução em s, s> So

Por hipótese, x

s

=

r

para s ~ so. Logo, por definição,

tem-:

tl/~

(f):

t.

Por conseguinte, x

2) Suponha que x

s;;;' ~ para todo s

>

sI. Então I pelo Teorema 1, segue-se que x +1

=

f(x )

<

x o Logo,

s s s monótona

e limitada e, por conseguinte, existe o limite

i

~ lim

5 .... 00

do mais I x

>

r ,

pois que Xs ;;;.

r

para todo 5 ;;;;r, 5

10

x .

s

Além

Observe-se que, se ~

>

1, teremos

x

>

1.

Por outro lado, se

r

<

1, caso em que ~

é

não-crescente com f{A) C CO,l), segue-se

que

x

~ x

1

<

1.

sI +

Portanto, em qualquer caso, x

>

O e x

=1=1.

Assim,

x

=

1im - 1im f(x )

s-~ 00 s

== f (x). Ou 5 e j a:

s -+ 00

=> ]og x :.::

Logo, x

=

r

J

~g -~~ ,.. tP (x)

=

<1' (xi

1, pois x

'*

1.

3) Prova anS10ga a da segunda propriedade

Exemolo

---~

n

Seja e(x)

= -

1 +

~

a.x-j j=l J

c.q.d

com a.>O, j -= 1, ... n-l e an>O

e ,

tal que 6(1) =1=0.

J

Observ.e-sF que

1im 8 (x) -- - 1 e 1im +6 (x)

=

+

00

x-+ oo x-+O

Então, CODO G(x)

é

contínua para x E(O,oo) e estritamente

que

t*

1. Da monotonicidade de

e

(x), tem-se também que: r>1 ~ 6(1»0

t<1 ~ 8(1)<0

n .

Note-se ainda que, como 8(t)=0, vem que L a.r- J

=

1.

j==l

J

Defina-se agora a função:

cfl(x)

=

1 _ 10g (6 (x) + l}

log (e (1) + 1)

A função cf>

n

I X

>

o

está bem definida, pois que

- j

0<

e

(1)+1*1 e 6(x)+1 == L a.x

>

O. Tem-se as seguintes pro-J

j=1 priedades:

a) cf> ~

estritamente crescente

e se, e

.

b) 4> e estritamente decrescente se, pois que

e

e ... estritamente decrescente

c) 4> (1) . -

O .

d)

(»

<t )

==

1 e <Jl e ... contínua, pois

Lema 2

Se r> 1, então x ~

r

~ f (x) ~ r Se r<1, então x ~ ~~ f(x) ~t

Demonstração

Considere-se as funções

e

a(X)

=

l~

+

).09 (8(x)+1) , x>O 10g

t

10g (6 (1)

+

1)

e

somente se, 8(1»0 e somente se,

e

(1)

<

o

n

e

(1) +1= L a.> O. j=l )

e

(3 (x) =:. _~~_" 100 ..t. ____ . _ x 10g

r

n _--.

~ . . ; , (- _i 109

(r /

x)

+ .

.J._~l)~~;.

______ . ___ _ n

loq (2: a.) - j:::ol J

, x

>

O

CerrlO 10g x e ccnCC1Và,

-

1 e a.~O,

J j=l, . . . ,n, tem--se que:

n

x -j) n a. ~

.

n ;a· (1) 10g L a. 10g ,~ _1. ( ___ )J)

~

,

~:.l 109

cr

Ix)

- .:.

...

J -~J. J j=l j x j::: i

r

j

t

Observe-se que, podemos tamb&m escrever:

(3 (x) --- 100 - -, .. ' ----.---x ~. ~

] og

S

=

1-?.sL3 _____ _

n } ocr ( :.: a )

-1;'" 1 J

10g

t

-leq x

n ja3 )

f-

1

x

I

--._--L.

10g

r

1 n

- - - L

n j=l

10g ( L a.) j=l J

Particul~riZrtndo-se (1) rara o caso onde x - 1, tem-se:

n n _{. --i}

log

( r

a,) L

.,

~

S

J 10g J- ~ O

JCi..;, ~ ~-

.

j=l J ·'1=1 J

n

Ainda mais, cono log

r.

log

( r

a,)

>

O , j á que j=l J

n

r

a,

>1 =>r>l

e j=l J

ser escrita como:

1

10g ~

TI

:: a,

<

1 -~ ~ <" 1, a expressão acir.a

j-=l )

1

n 10g (

r

a,)

j=l J

n

'<'

L J3_>. j

j=l

- . - - O

pode

Por conseguinte, dado que a primeira parcela na expressa0 de f3 (x)

é

uma constante e que log x é crescente, con

c1ui-se que

f3

(x) é creSCI."nte. 1<'90, se x ~

r

teremos f3 (x) ;;:

P

<r)

=1.

Se x

C;;t,

ent.ão f3 (x) <. 1 •

n

Caso

t ...

l,o que o<x>rre se e sarente se í: a,>l,se x ~r

,

j=l J

usando-se a propriedade de côncavidade da função logaritmo, vem que:

o(x)

n .

10q (

r

a. x-J )

. '-1 J

--~---_ ..

_---n 10g (

r

a.)

j=l

J

n '

L ja.r-J log(t/x)

~ _l~x + j==1 J _________ ==

10g

r

log{

~

a.)

j=1 J

f3 (x)~ 1

n

Caso

r

<1,0 f.TUC cx:x.rrr! se e sarente 51? L a,<l,sex";

r

j=l J

Final:Tlente I suponha- se

r>}

c " :;?;

r.

Nesse caso,

tendo presente a definição de f (x), te:, - -,.

f(x)

>r

Como cluimdo

t

>1 se x :;?;

r

tr~mos a (x) ~ 1, decorre então que f(x) ~r.

Suponha-se agora

r<

1 e x ~

r .

Nesse caso, vem:

1~ 1()~

-f (x) ~

r

<---~

10g

r

~ 10g

r

?c--=* íc~~q

r

~ q>(x) <=* a (x)~ 1 .

Portanto, como quando

r<

1 se x ~

r

temos a(x) ~] I conclui-se que f(x)

<

t.

c.q.d

'1'eorema 3

Para sEJNU {O} , seja a sequencia liA (x

s) como defini

da no Teorema 2. Então, 1im

S .+ 00

Demonstração

a) Caso onde

r

>

1.

x _s

=

t.

Se

x

~

r

para todo

s,

pelo item 3 do Teorema 2 s

tem-se que x .~

r .

Por outro

S lado, se existir algum sO~O tal

que x

>t,

fazendo-se uso do Lema 2 e de indução finita obtem-50

b) Gaso onde

r

<

1 •

A prova

6 an§loga.

c.q.d.

Teorema

4

Nas hipóteses do Exemplo

Se

{

r

>1

e

Xo

~

r

então Xs

1-

r

r

<

1 e

X

_o

~

r

então Xs

t

r

Demonstração.

a) Caso onde

r>

1

e x

O ~

r .

De acordo com o Lema

2, c

aplicando indução

fini-ta, teremos

xs~

t

para

todo

s

~ O.

De outro lado, pelo Teorema

1,

tem-se que x

_s

+

_l

~ Xs

para todo

s~~

b)

Caso onde

t<

1

e Xo

~

r

A demonstração

é

análoga

c.q.d.

2 -

Aplicação: Convergência do Algoritmo de

Bould~

n ,

- -J

Seja a funçao valor atual

V(i)= :I:

a,(1+i)

, para

j=O J

o caso de

um

projeto dito do tipo investimento simples; isto

é,

No caso não-trivia1 de taxa interna de retorno n

diferente de zero, caracterizado pelo fato de que t a.*O, j=ü J

dividindo-se V(i) por laol>O, podemos sempre recair no caso especial em que aO =-1. Este será o caso considerado.

Defina-se, como no Exemplo, a função n

9 (x)

=

-1

+

r

a.., x - j , x

=

1

+

i, x > O (ou i> -1) e

j=l J

tome-se

cf> (x)

=

1

-n

log( t

a. x-

j }

j:::;l J

n log (t a.)

j=l J

Considere-se Xo > O , xOI= J . Por exemplo, como no passo inicial do algoritmo de Bou1ding, tOifte-Se

n

_. ( r a . )

j=1 J

n n

t

a.1

r

ja.

j=l J

j=l

J

Recursivamente, considere-se

l/rJJ(x ) s

, sElNU {O}

Então, se

r

=1 + i

*

,onde i

*

é

tal que V (i*)~, do Teorema 3 decorre que x ~r

.

Ainda mais, se, para o projeto inicial,

ti-s

vermos ter-se-ã x ...

t.

AP~NDICE B

Programa Usado na Investigaç~o Empfrica

P ROGR AM rJ D:<lJD

C C O 11 P A fUI C (1 O E N T R E El O U L O I N G E W I L D

DIMENSION AJ(101),BJC101),CJC101).APRX(2) FLOGeX1,X2)

=

ALOG10(X1/X2)

T O L '1 .:: O" () f) 0'1 TOL2 :::;: (). 00000'1

MENT ;:: 1 MSAI ::: 2 '1 W R I TE ('1 , 'H )

40

11 FORMAT('i',' NOME

-1/)

N _{TAXAl',/,' :::===~===i} i iffffffffff',

READeMENT,2) CNOME,CONT,N,TAXAI

C

N

E' O

No. DE PERIODO

DE VIDA

DO PROJETO

c:

TAXfH, SE DIFERENTE DE lERO POR CENTO, SERA TOMADA COMO PONTO

C

DE

PARTIDA

2 FORMAT(2A4,I3,F10.0) lF(N.LE.O) GO TO 1000

NF :::: N + '1

WRITE(MSAI,5) CNOME,CONT,TAXAI

\

5 FORMAT( '-1' 1'l~JX. 'PROJETO • .2A'f7 7 COM TAXA INICIAL

= '

,F·10.'t,' POR C

iENTO POR PERIODO'.//) ElIERO··O.O

CZERO ::: 0.0 BBAR

=

O.D

CBAR :: 0.0

TAXA I - TAXAI/i00.

W R I T E (-1 , 2 2 )

22 FORMAT(9X,'fffF10.0ff') DO 40 1<:;:: -1,NF

I=I<-1

W R I TE (1 , 33) I

33 FORMAT(' AJ(',I3,')::') REAOeMENT,10) AJ<I<)

'1 O F O R MA T ( F '1 O _ O )

WRITE(MSAI,15) I,AJ(K)

15 FORMAT(10X,'AJ(',13,') :: ·,F10.2) IF(AJ(K).LT.O.O) 00 TO 20

B J ( 1<) ::: A.J ( K ) CJ<I<) == 0.0

GO TO 3D

20 BJ(K)

=

0.0 C.J( K) == -AJ <10

30 BZERO == BZERO + BJCK)

CZERO == CLERO + CJ(K)

BBAR ~ 8BAR +

I

*

BJ(K)

40 CBAR

=

CBAR +

I

*

CJ(K)

CONST == FLOG<8ZERO,CZERO)

KCOtH == O

IF(TAXAl.NE.O.O) GO TO 100 ALFA ~ 8BAR/BZERO - C8AR/ClERO

45 FORMAT(/,10X,'DEU ALFA IGUAL A ZERO')

GO TO

1

48

TAXA1

=

(BZERO/CZERO)

**

(1./ALFA) - 1.

V

= 1./(1.

+ TAXA1)

CALL VALOReV,BJ,CJ,NF,VB,VC)

TAXAP

=

100.

*

TAXA1

WRITECHSAI,50)

50 FORMATC/,10X,'PRIHEIRAS

3

ITERACOES ATE WILD',/)

ITER

=

1

WRITE(HSAI,60) ITER,TAXAP

60 FORMATC/,5X,'ITERACAO

=

',I1,5X,'TAXA PERCENTUAL

=

',F10.6)

DO 80 L

=

1,2

BETA

=

1. - FLOB(VB,VC)/CONST

TAXA =(1. + TAXAP/100.)**(1./BETA) - 1.

V

=

1./(1. + TAXA)

CALL VALOR(V,BJ,CJ,NF,VB,VC)

TAXAP

=

100.

*

TAXA

ITER

=

ITER + 1

WRITE(MSAI,60)

ITER~TAXAP

APRX(L)

=

TAXA

80 CONTINUE

TAXAW

=

TAXA1 + (APRXC1)-TAXA1)**2/(2.*APRX(1)-TAXA1-APRX(2»

TAXAP

=

100.

*

TAXAW

WRITECHSAI,90) TAXAP

90 FORMAT(10X,'APROXIMACAO PERCENTUAL DE WILD

=

',F10.6)

VaOULD

=

VB - VC

BETAa

=

1. - FLOO(VB,VC)/CONST

V

=

1./(1.+TAXAW)

CALL VALOR(V,8J,CJ,NF,VB,VC)

BETAW

=

1. - FLOO(VB,VC)/CONST

VWILD

=

VB - VC

WRITECMSAI,95) VBOULD,VWILD

95 FORMAT(5X,'VBOULD

=

',F15.6,1,5X,'VWILD

=

',F15.6)

IF(ABSeVBOULO).LE.TOL1 .OR.ABS(VWILD).LE.TOL1) 00 TO 1

TAXAB

=

APRX(2)

c:

ITERACOES ADICIONAIS

100 MAX

=

200

IF(TAXAI .EG. 0.0) GO TO 110

TAXAB

=

TAXAI

V

=

1./(1.+TAXAH)

CALL VALOR (V,BJ,CJ,NF,VB,VC)

BETAB

=

1.-FLOO(VB,VC)/CONST

TnXAW

=

TAXAr

V

=

1./(1.+TAXAW)

CALL VALOR(V,BJ,CJ,NF,VB,VC)

BETAW

=

1.- FLOGCVB,VC)/CONST

110 KCONT

=

KCONT

+

1

IF(KCONT .OT. MAX) GO TO 1

TAXA8P

=

100.* TAXAB

TAXAWP

=

100.* TAXAW

TAXAD

=

(1.+ TAXAB>**(1./BETAB) - 1.

DTAXAB =TAXAB - TAXABP/100.

V

=

1./(1.+ TAXAB)

CALL VALORCVrBJ,CJ,NF,VB,VC)

VBOULO = VB - VC

TAXAW

=

(1.+ TAXAW>**<1./BETAW) - 1.

DTAXAW

=

TAXAW - TAXAWP/100.

V

=

1./(1.+ TAXAW)

CALL VALOR(V,BJ,CJ,NF,VB,VC)

VWILO

=

VB - VC

BETAW

= 1. -

FLOGeVB,VC)/CONST

TAXB

=

100.* TAXAS

TAXW

=

100.* TAXAW

WRITEeMSAI,120) KCONT,TAXB,TAXW

42

120

FORHATC/,5X,'ITERACAO

=

',I3,5X,'TAXAB

=

',F10.6,5X,'TAXAW

= '

1F10.6)

WRITE(MSAI,95) VBOULD,VWILD

IF(ABS(VBOULO).LE.TOL1 .OR. ABS(VWILD).LE.TOL1)

00

TO

1

IF(ABS(OTAXAB).LE.TOL2 .OR. ABSCDTAXAW).LE.TOL2) GO TO

1

00

TO 110

1000 WRITE(MSAI,1001)

1001 FORMAT(///,15X,'FIM DE PAPO')

STOP

A>

END

SUBROUTINE VALORCV,B,C,N,V8,VC)

OIMENSION B(N),C(N>

VB

=

a(N)

VC

=

C(N)

N1

=

N - 1

00

50 K=1,N1

J

=

N - K

VB

=

V*VB

+

aeJ)

50 VC

=

V*VC

+

C(J)

DE INDUSTRIALIZAÇ~O - td~ar Bacha - 1970 (ESGOTADO)

2. ANALISE ErCNOM~íRICA DO MERCADO iNTERNACiONAL DO CAF~ E DA pOlTTICA BRASILEIRA DE PREÇOS - Edmar LI sboü Bacha - 1970 (ESGOTADO)

30

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ECONOMICO - Carlos Geraldo Langonl - 1972 (ESGOTADO)

5. A EVOLUçAO DO ENSINO DE ECONOMIA NO BRASIL - Luiz de F;-(:;ta::: Bueno - 1972

6.

POLTTICA ANTI-INFLACIONARIA - A CONT~!BUIÇAO BRASILEIRA - Mario Henrique Simonsen 1973 (ESGOTADO)

7.

ANALISE DE S~RIES DE TEMPO E MODELO DE FORMAÇAo DE EXPECTATIVAS - José Luiz Carva

valho - 1973 (ESGOTADO)

-8.

DISTRIBUIÇAo DA RENDA E DESENVOLVIMENTO ECONOMICO DO BRASIL: UMA REAFIRMAÇAO -Carlos Geraldo Langoni - 1973 (ESGOTADO)

9.

UMA NOTA SOBRE A POPULAÇ~O aTIMA DO BRAS!L - Edy Luiz Kogut -

1973

10. ASPECTOS DO PROBLEMA DA ABSORÇAO DE MAo-DE-OBRA: SUGESTÕES PARA PESQUISAS - José

Luiz

Carvalho -

1974

(ESGOTADO)

li. A FORÇA DO TRABALHO NO BRASIL - r1ario Henrique Simonsen - 1974 (ESGOTADO)

12. O SISTEMA BRASILEIRO DE INCENTIVOS FISCAIS - Mario Henrique Slmonsen -

1974

(ESGOTADO)

130 MOEDA - Antonio Maria da Silvei ra - i974 (ESGOTADO)

14.

CRESCIMENTO DO PRODUTO REAL BRASILEIRO -

1900/1974 -

Claudio Luiz Haddad

1974

(ESGOTADO)

15. UMA NOTA SOBRE NOMEROS rNOICES - José Luiz Carvalho - 1974 (ESGOTADO)

16. ANALISE DE CUqOS E BENEFTCIOS SOCIAIS I - Edy Luiz Kogut - 1974 (ESGOTADO) 17. DISTRIBUIÇAO DE RENDA: RESUMO DA EVIDtNCIA - Carlos Geraldo Langoni -

1974

(ESGOTADO)

18. O MODELO ECONOM~rRICO DE sr. LOUIS APLICADO NO BRASIL: RESULTADOS PRELIMINARES Antonio Carlos Lemgruber - 1975

19.

OS MODELOS CLASSICOS E NEOCLAsSICOS

DE

DALE

W.

JORGENSON - Eliseu

R.

de Andrade Alves -

1975

200 DIVID: UM PROGRAMA FLEXTvEL PARA CONSTRUCAo DO QUADRO DE EVOLUçAo DO ESTUDO DE UMA OTVIDA - Clóvis de Faro - 1974 •

1975

23" PESQUISA QUANTITATIVA NA ECONOMIA - Luiz de Freitas Bueno -

1978

24.

UMA ANALISE EM CROSS-SECTION DOS GASTOS FAMILIARES EM CONEXAo COM NUTRIÇAo, SAOOE, FECUNDIDADE E CAPACIDADE DE GERAR RENDA - José Luiz Carvalho -

1978

25.

DETERMINAÇAO DA TAXA DE JUROS IMPLTclTA

EM

ESQUEt1AS GEN~RICOS

DE

FINANCIAMENTO: COMPARAÇAo ENTRE OS ALGORrTIMOS DE wJLD E DE NEWTONRAPHSON Cldvis de Faro

-1978

26. A URBANIZAÇAO E O CTRCULO VICIOSO DA POBREZA: O CASO DA CRIANÇA URBANA NO BRASIL José Luiz Carvalho e Uriel de Magalhães - 1979

27. MICROECONOMIA - Parte I - FUNDAMENTOS DA TEORIA DOS PREÇOS - Mario Henrique Simon sen - 1979

28.

ANALISE DE CUSTOS E BENEFrCIOS SOCIAIS II - Edy Luiz Kogut - 1979

29.

CONTRADIÇAo APARENTE - Oct~vio Gouv~a de Bulh5es - 1979

30" MICROECONOMIA - Parte 2 - FUNDAMENTOS DA TEORIA DOS PREÇOS - Mario Henrique Simon sen - 1980 (Em fase de impressão)

31. A CORREÇ~O MONETARIA NA JURISPRUoENCIA BRASILEIRA - Arnol Wald - 1980

32. MICROECONOMIA - Parte A - TEORIA DA DETERMINAÇ~O DA R[~DA E DO NTvEL DE PREÇOS José Jul io Senna - 2 Volumes - 1980

330

ANALISE

DE

CUSTOS

E BENEFTclOS

SOCIAIS

I I

I - Edy Luiz Kogut - 1980

34"

MEDIDAS

DE

CONCENTRAÇAO - Fernando de Holanda Barbosa -

1981

35.

CRtOITO RURAL: PROBLEMAS ECONOMICOS

E

SUGESrOES DE MUDANÇAS - Antonio Salazar Pes soa Brandão e Urie1 de Magalhães - J982

36. DETERMINAÇAO NUMtRICA DA TAXA INTERNA DE RETORNO: CONFRONTO ENTRE ALGORTTIMOS DE BOULDING E DE WILD - Clovis de Faro - 1983

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FUNDA~ GETUlIO VARGAS

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