Estudo Experimental do Momento de
Ineria de uma Plaa
(Experimentalstudyofthemomentofinertiaofaplate)
Carlos A. F. Pint~aoe Moair P. de SouzaFilho
DepartamentodeFsia,Unesp-Bauru
C.P.473,17033-360, Bauru,SP, Brasil
e-mail: fonzarf.unesp.br
Reebidoem20defevereiro, 2002. Revisadoem22deoutubro,2002. Aeitoem25deoutubro,2002.
Neste trabalho, mostra-se um aminho diferente para se estudar o momento de ineria de um
orpo em rota~ao. Desreve-se um experimento que permiteestabeleer omo aineria de uma
plaa depende desua massa e geometria, emque se determinapar^ametros omoos expoentes e
aonstantedatradiional equa~aodomomentodeineria deumaplaa, a partirdemedidasde
orrenteeletria. Paraissoesolhe-sequatroplaasdemassadiferentes,mantendo-seemduasdelas
as mesmasdimens~oes, enquanto quenasoutrasduasuma dasdimens~oese odobrodaoutra. Os
resultadosobtidosreforamaideiadequeosistemaeoproedimentodemedidautilizadopodem
serumaalternativaemrealizarestapratianoslaboratoriosdeensino.
Inthis work, adierent way to study themoment of inertia of abody inrotation is shown. It
isdesribedanexperimentthatallows toestablishhowtheinertiaof aplatedependsonitsmass
and geometry,where parameters like the exponentsand the onstant of the traditionalequation
ofthemomentofinertiaofaplatearedetermined,startingfromthemeasurementsoftheeletri
urrent. Forthispurposeitwashosenfourplatesofdierentmasses,whihtwoofthemhavethe
samedimensions,whilefortheotherpairofplatesonehasthesidetwielargerthantheotherone.
Theobtainedresultsreinforetheidea thatsuhasystem andtheproposedproedure anbean
alternativeinaomplishingthisexperimentinteahinglaboratories.
I Introdu~ao
Em umartigoreente, Pint~aoet al. [1℄ adotaramum
proedimento experimental diferente dos tradiionais
omo aqueles de Goldemberg [2℄ e Tyler [3℄ para
de-terminar o momento de ineria de um diso.
Utiliza-ram um metodo originalmente proposto por Fleming
e Clinton[4℄eBennet [5℄para amedir apait^ania e
determinaramdiretamente,apartirdeuma leitura de
orrente eletria,aveloidadeangulardo disoaposo
orpo suspenso deser de uma determinada altura h.
Conheendo-seaveloidade,obtem-seaaelera~ao
an-gular. Para que isto fosse possvel, onstruram um
iruito R C
j
, om uma have que e aionada atraves
de um sensor opto-eletr^onio (emissor e reeptor
in-fravermelho) que emite luz sobre a superfie de um
CD xo ao eixo de rota~ao e dividido em 24 setores
irulares igualmente espaados (12 superfies
espe-lhadas e 12 opaas, alternadas entre si). Atraves de
uma das duas posi~oes possveis desta have, o
apa-itor C
j
ira searregar ou desarregar. Durante este
proesso, a frequ^enia de omuta~ao desta have, f ,
pode ser expressa pela rela~ao, f
j = i
j =C
j
V em que
i
j
ea orrente medida nomedidor analogio DC
ao-pladoao iruito, eV eavoltagemapliada por uma
fonte DC no apaitorC
j
. No asodeste CD om 24
divis~oes, a frequ^enia de rota~ao do eixo e 1/12
da-quela da omuta~ao f
j
, portanto, a veloidade
angu-lar assoiada ao eixo e w
j = f
j
=6: Lembrando que
aaelera~ao,
j
, pode serdeterminadadaequa~ao de
Torrielli para ummovimento irular uniformemente
aelerado, omo w 2
j = 2
j
, e do fato que a altura
hedadaporh=r, ent~aoseonsegueexpressar
j
omoumafun~aodaorrenteaoquadrado.Outros
de-talhes do iruito utilizadopodem serenontrados na
Ref. [1℄. Comesteproedimento, eliminaram a
nees-sidade de se medir o tempo. O experimento e ent~ao
repetido, variando-se a massa do orpo suspenso. O
momentodeineria,porsuavez,edeterminadoa
par-tir da inlina~ao da reta obtida, do grao do torque
(queeonheido)versusaaelera~aoangular. A
van-tagemdometodoequen~aoepreisosepreouparom
dotorqueassoiadoasforasdeatrito,alemdesepoder
determina-lofailmente. Comoavalia~aodosistemade
medida, Pint~aoet al. [1℄determinaramomomentode
ineria de um diso e anel e ompararam esses
resul-tadosaosvaloresdesritosnaliteratura[6℄,veriando
umdesvioperentualinferiora1%. Aposestaprimeira
avalia~aoexperimental,Pint~aoetal. [7℄realizaramum
experimentodandoumnovoenfoqueaosistemade
me-dida e onseguiram estabeleer adepend^enia do
mo-mentodeineriadeumorpo(partula)emrela~aoa
suamassaedist^aniaaoeixoderota~ao. Osresultados
veriadosnestestrabalhos[1,7℄forambastante
impor-tantes narealiza~aodestasnovasmedidas. Como uma
extens~ao dos trabalhos anteriores, apresenta-se agora
umanovaalternativaexperimentalparadeterminaros
expoenteseaonstantedatradiionalequa~aodo
mo-mentodeineriadeumaplaa.
II Medida do momento de
ineria
De uma maneira geral, na medida do momento de
ineria de uma plaa, usou-se a montagem
esquema-tizadanaFig.1,ondeumadasplaasjestaxaaoeixo
dosistemarotaional. Iniialmente,adotou-seomesmo
proedimentoutilizadoporPint~aoetal. [1℄para
deter-minar aineria do eixo mais os aessorios (CD e
pa-rafusode xa~ao). Sabe-se queo torqueresultante ,
responsavel pelo movimento de rota~ao do eixo e
ex-pressoomo
=
T
ATR =I
EIXO
0
; (1)
emque
T e
ATR
s~ao,respetivamente,ostorques
as-soiados a tra~ao T apliada pelo o e as foras de
atrito; I
EIXO
e omomento de ineria do eixo om os
aessorios e
0
sua aelera~ao angular. Com base na
Ref. [1℄pode-seexpressaraaelera~aoangular deum
orporgidoqualqueremrota~aoomo
j =k
j (i
j )
2
; (2)
emqueossub-ndiesjsigniam: j=0,arota~aodo
eixo mais aessorios e,j = 1, 2, 3ou 4, arota~aodo
mesmoeixomaisasplaas1,2,3ou4,respetivamente;
k
j
euma onstante onheida (k
j =r
2
=72h(C
j V)
2
),
umavezquer;h;C
j
eV s~aograndezaspreviamente
de-terminadas. Aforaresultantesobreamassadetra~ao
m; enquanto esta aindo, e mg T = ma = m
j r,
demodoqueT =m(g
j
r). Como
T
=Tr,resulta
T
=m(g
j
r)r;que,usandoaEq. (2),podetambem
serexpressoemtermosdeorrenteomo
=mgr mk (r) 2
(i ) 2
: (3)
Figura1. Sistemarotaionalomaessorios e,plaasde
diferentesmassasMj(detalhesnavistaA).
Assim, onheendo-se as onstantes que
ompare-emnasEqs. (2)e(3),pode-sedeterminartantoa
ae-lera~ao angular omo otorque, apartir da leitura da
orrente. Variandoamassa doorposuspenso e
man-tendoonstanteasdemaisgrandezas,pode-seobterum
onjunto de valoresde
T
versus
j
. Pela Eq. (1), a
rela~aoentre essasgrandezaselineareainlina~aoda
reta fornee omomento de ineria do eixo, I
EIXO . A
partir doinstante em que a massa de tra~ao m deixa
de atuar no movimento do eixo, a Eq. (1) pode ser
expressaomo
=
ATR =I
EIXO
0
: (4)
SeadiionarmosumaplaademassaM
j
,ujomomento
deineriaeI
PLACAj
,quegirasolidariaaoeixo(verFig.
1) e repetir o proedimento anterior, no instante que
a mesma massa deixar de atuar no movimento desse
orpo,aEq. (1)podesermodiadapara
=
ATR =I
(PLACAj+EIXO)
j
; (5)
emqueI
(PLACAj+EIXO)
eomomentodeineriado
on-juntoplaaeeixo.
Considerandoqueamassapresanaextremidadedo
o e a mesma para as duas situa~oes desritas pelas
Eqs. (4)e(5),daigualdadeI
PLACAj =I
(PLACAj+EIXO)
-I
EIXO
elembrandodaEq. (2)que
j =k
j (i
j )
2
,
deduz-seuma express~aopara omomento deineriadaplaa
I
PLACAj =I
EIXO A
j
; (6)
em queA
j =[k
0 =k
j (i
0 =i
j )
2
1℄:
As grandezas i
0 e i
j
s~ao as orrentes medidas nas
duassitua~oesdesritaspelasEqs. (4)e(5). Osvalores
dek
0 ek
j
referem-seasonstantesxadaspararealizar
as medidas, semeomaadi~ao daplaaj nosistema
rotaional, respetivamente. Atraves dos valores
ex-perimentais substitudos na Eq. (6), e onheendo-se
previamenteaineriaderota~aodosistema(eixomais
aessorios),epossvelavaliaromomentodeineriado
orpo que esta girando. Como proposta deste artigo,
realizou-seumapratiaquepermiteestabeleeromoo
momentodeineriadeumaplaadependedesuamassa
M
j
,desuasdimens~oes(aeb)equantovaleaonstante
de proporionalidade(B) da tradiionalequa~ao para
oalulo daineria[6℄
I
PLACAj
=B(M
j )
X
[(a) Y
+(b) Y
℄; (7)
onde X, Y e B s~aoospar^ametrosaserem
determina-dos.
Estrategiamente,foram utilizadas 4 plaas (ujas
dimens~oes est~ao denidas navista A daFig. 1), e
es-tabeleemosasseguintesequa~oesparaalulodos
ex-poentesX eY daEq.(7):
X =[1=log(M
2 =M
1 )℄log(I
PLACA 2 =I
PLACA1
)e (8)
Y =(1=log2)[log(I
PLACA 3 =I
PLACA4
)+Xlog(M
4 =M
3 )℄:
(9)
Eimportante menionar queasEqs. (8) e(9)
sur-gemda(7), levando-seemonsidera~aoaesolha
ade-quada dedois pares deplaas, sendo todas de massas
diferentesporemomumpardeplaasdemesmas
di-mens~oeseooutroparomumaplaapossuindoumdos
lados duasvezesmaiordoqueumladoorrespondente
aoutra.
OvalordaonstanteB podeserobtidodaEq. (7),
usandooresultadodaEq. (6) (momento deineriada
plaa) para quaisquer uma das plaas, a massa (M
j ),
as dimens~oes(aeb)eos valoresdosexpoentes X eY
aluladosdasEqs. (8)e(9).
Utilizou-se ino massas de tra~ao diferentes para
apliar o torque assoiado a fora T. Isto de fato e
neessarioparaseobter omomentode ineriadoeixo
(I
EIXO
). No entanto, onheendo-seI
EIXO
, om o
sis-temademedidautilizado,n~aoepreisousartodasessas
massasparadeterminarospar^ametrosdaEq. (7). Este
ultimo proedimento pode servantajoso em asosem
quesetenhapouotempopararealizarumapratiaem
laboratorio. Emnossasmedidas, utilizou-sesempreas
ino massaspara poder apliarateoriaestatstia de
pequenasamostras[8℄naavalia~aodoserrosassoiados
III Resultados
III.1Momentodeineriadoeixoomaessorios
(I
EIXO )
NaFig. 2,utilizandoometododosmnimos
quadra-dos,representou-searetaquemelhorseajustaaos
va-loresexperimentaisdotorqueemfun~ao daaelera~ao
angular. O valor enontrado para a inlina~ao desta
retarepresentaomomentodeineriadoeixoeseu
va-lore I
EIXO
=(0;00550;0001)10 2
kgm 2
, enquanto
ooeientelinear,queorrespondeaovalordotorque
deatrito,e
ATR
=(0;0520;008)10 2
Nm.
Figura2. Curvase pontosexperimentaisdotorqueT em
fun~aodaaelera~aoangular. Ainlina~aodareta
ajus-tadapelometododosmnimosquadradosrepresentao
mo-mentodeineria doeixoomaessorios I
EIXO
e,o
oei-entelinear,otorquedeatrito
ATR .
III.2Estudodo momentode ineriada plaa
III.2.1 Depend^enia oma massa da plaa(M
j )
oualulo doexpoente X
Utilizando-seduasplaasdemesmadimens~oes(a=
b = (20;00;1)m) om massas de valores M
1 =
(461;74 0;01)geM
2
=(210;22 0;01)g,sendoumade
ao(plaa1)eoutradealumnio(plaa2),
onseguiu-semanteramesmageometriaduranteasmedidas. Na
Tabela1,enontram-seosvaloresdasmassasdetra~ao
m, intensidade das orrentes eletriasi
0 , i
1 e i
2 , eos
par^ametrosA
1 ,A
2
eX. Noalulodospar^ametrosA
1
eA
2
,est~aopresentesrela~oesomok
0 =k
1 ,k
0 =k
2 ,i
0 =i
1
ei
0 =i
2
. Sabemosquek
j =r
2
=72h(C
j V)
2
euma
ons-tante araterstia de nosso sistema [1℄, e que, antes
deefetuar qualquermedida de orrenteeletria,
deve-sexar adequadamente todas estas grandezas.
Usou-se para todas as medidas deste artigo, uma polia de
raio r = (1;250;01 m, uma fonte om voltagem
queseonsiderousoomovimentodoeixosem aplaa
j, xou-se uma apait^ania C
0
=(32,720,01)nF, um
pouomenorqueC
j
=(95,500,01)nF(j de1a4,
or-respondendoaadauma dasplaas). Comeste
proe-dimento,onseguiu-seevitarqueoponteirodomedidor
ultrapassasseofundodeesala(50Aeresist^enia
in-terna1k). Asonstantesdetempo,emborasejam
le-vementediferentesnoiruitoR C
j
destesistemade
me-dida[1℄, n~aointerferemnaleitura daorrente eletria,
poishatemposuienteparaqueoapaitorarregue
ou desarregue totalmente. Os valores de orrente e
voltagemforamdeterminadosomummesmomedidor
paraevitarerrosistemationasualeitura. Finalmente,
osvaloresX daultimaoluna,daTabela1,foram
al-uladosatravesdaEq. (8). OvalorenontradoparaX,
om umnvel de onana 1
de 95%e0,960,05.
Pe-quenasvaria~oesnageometria dasplaas(paralelismo
dasfaes, angula~aodosantosefurosentrados)
jus-tiamofato deX serlevemente diferente de1,valor
previstodeliteratura[6℄.
Tabela 1 - Valores utilizados na Eq. (8) para
deter-minar X, sendo M
2 =M 1 =0,455; k 0 =k 1 = k 0 =k 2 =9,25e I EIXO =(0,00550,0001)10 2 kgm 2 .
m(g) i0(A) i1(A) i2(A) A1 A2 X
20,29 23,0 10,0 14,0 47,9 24,0 0,881
30,29 28,5 12,0 17,5 51,2 23,5 0,987
40,29 33,5 14,0 20,5 51,9 23,7 0,998
50,29 37,5 16,0 23,0 49,8 23,6 0,950
60,29 40,5 17,5 25,5 48,5 22,3 0,987
III.2.2 Depend^enia omas dimens~oesa e bda
plaaou alulodo expoenteY
Com os valores das massas das plaas 3 e 4, isto
eM
3
=(96,290,01)geM
4
=(47,640,01)g,sendoa
di-mens~ao a=(60,00,1) m da plaa 3, odobro da
res-petiva dimens~ao daplaa 4(vervista A da Fig. 1),
foi possvel deduzir a Eq. (9), que permitiu alular
Y. Usou-se,para oalulo deY, o valorde X
enon-trado no item 3.2.1, ou seja 0,960,05. NaTabela 2,
enontram-se os valores das massas m de tra~ao,
in-tensidadedasorrentesi
0 ,i
3 ei
4
eospar^ametrosA
3 ,
A
4
e Y. Os valores de m e i
0
utilizados para a
de-termina~aodoexpoenteX (tabela1)foramosmesmos
paraesteaso(determina~aodoexpoenteY),sendo
ne-essarioesteproedimentoparaavalidadedometodo.
Os par^ametros A
3 e A
4
foram alulados levando-se
emonsidera~aoasrela~oesk
0 =k 3 ,k 0 =k 4 ,i 0 =i 3 ei 0 =i 4 .
Avaliou-se oerroassoiadoaY,omumnvelde
on-anade 95%,eenontrou-sequeovalordeY e2,1
0,1.
Tabela2-Valoresutilizados naEq. (9)para
determi-narY, sendoM
4 =M 3 =0,495; k 0 =k 3 =k 0 =k 4
=9,25;X=
0,960,05eI
EIXO =(0,00550,0001)10 2 kgm 2 .
m(g) i0(A) i3(A) i4(A) A3 A4 Y
20,29 23,0 9,5 26,0 53,2 6,24 2,1
30,29 28,5 12,0 32,0 51,2 6,34 2,04
40,29 33,5 14,0 37,5 51,9 6,38 2,05
50,29 37,5 15,5 42,0 53,1 6,37 2,09
60,29 40,5 17,0 46,0 51,5 6,17 2,09
III.2.3 Calulo do fatorB para a plaa1
ParadeterminarBrelativoaplaa1(ao),
alulou-seovalormediodeA
1
ombasenaTabela1,e
apliou-se a teoriaestatstia de pequenas amostras, om um
nvel de onana de 95%, para avaliar o seu erro.
Enontrou-se que A
1
e 502. Em seguida, oma
in-lina~aodareta,daFig. 2,determinou-semomentode
ineriadoeixo,ouseja: I
EIXO
=(0;00550;0001)10 2
kgm 2
. Substituiu-se este valor e o anterior (A
1 =
502) na Eq. (6), e determinou-se o momento de
ineriadaplaa 1,istoe: I
PLACA1
=(0;280;01)10 2
kgm 2
. Utilizando todas as grandezas relativas a
plaa 1, massa (M
1
= (461;740;01)g), dimens~oes
(a = b=(20,00,1)m), expoentes (X=0,960,05 e
Y = 2;10;1) e o respetivo valor de momento de
ineria(I
PLACA1
=(0,280,05)10 2
kgm 2
). Ent~ao,
-nalmente,substituindo-asnaEq. (7),enontrou-seque
aonstanteBe0;0830;003.Estevaloronordabem
omaprevis~aoteoria[6℄,ouseja1/12.
IV Conlus~ao
Dos resultados enontrados nos itens III.2.1, III.2.2 e
III.2.3pode-seonluirque:
a)OmomentodeineriadeumaplaademassaM
j
dependediretamentedesuamassaelevadaaoexpoente
0,960,05;
b) O momento de ineria da plaa de massa M
j
depende diretamente das suas dimens~oes a e b, mais
expliitamente da forma a Y
+b Y
, sendo que o valor
experimentaldeterminadoparaY e2;10;1;
)AonstanteB,determinadaexperimentalmente,
e0;0830;003;
d)Combaseemnossosresultadosexperimentais,a
equa~ao para alulo do momento de ineria de uma
plaa(Eq. 7),podeserexpressaomo
I =0;083M 0;96 [a 2;1 +b 2;1 ℄: (10) 1
DateoriadepequenasamostrasemEstatstia,opar^ametroX eexpressoomo:X=X
M
2;13(S= p
N 1),ondeX
M eamedia
dosinovaloresX daTabela1,onumero2,13t^emorigemnadistribui~aode\Student"(verap^endieIIIdaref. 8),onsiderandoque
existe95%deprobabilidadedeX perteneraointervalo estimado;Seodesvioquadratiomedio,istoeS= p (X M X i ) 2 =N;om
Portanto,omoonlus~aogeral,osistema
desenvol-vidopermiteestudardeumaformasimplesomoo
mo-mentodeineriadeumobjetodependedesuamassae
geometria,eemalgunsasos,omoestedaplaa,
esta-beleerumaequa~aoparaoseualulo. Logo,omeste
trabalho experimental,enontrou-seum aminho
dife-rente paraestudar omomento deineriadeumorpo
emrota~ao. Osvaloresenontradosreforamaideiade
que este sistema de medida pode seruma ferramenta
utilnoauxliodenovaspratiasdentrodoslaboratorios
didatios,prinipalmentenoqueserefereaoestudoda
din^amiaderota~ao.
Agradeimento
Gostaramos de agradeer a FUNDUNESP pelo
apoio naneiro e a todos os olegas do
Departa-mentodeFsiapeloinentivo,omentariosesugest~oes
onstrutivas, dando sempre um voto de onana e
enorajando-nos durante o andamento de nossos
tra-balhos.
Refer^enias
[1℄ PINT ~
AO,C.A.F,SOUZAFILHO,M.Pde.,
GRAN-DINI, C. R., HESSEL, R. Medida do momento de
ineriadeumdiso.Rev.Bras.Ens.Fs.23,48(2001).
[2℄ GOLDEMBERG, J. Fsia Geral e Experimental. 2 a
ed.,S~aoPaulo: CompanhiaeditoraNaional, 1970,p.
481-483,v.1
[3℄ TYLER, F. A Laboratory Manual of Physis.4 a
ed.,
London: EdwardArnold,1974,p.22-24.
[4℄ FLEMING,J. A.,CLINTON,W.C.Onthe
Measure-mentofSmallCapaitiesandIndutanes.Phil.Mag.
S.6,v.5,n.29,p.493-511,1903.
[5℄ BENNET, G. A. G. Eletriity and Modern Physis.
2 a
ed.,London: EdwardArnold,1974,p.167-168.
[6℄ HALLIDAY, D.,RESNICK, R.E WALKER,J.
Fun-damentosde Fsia: Me^ania.4 a
ed.,RiodeJaneiro:
LivrosTenioseCientos,1998, p.249.
[7℄ PINT ~
AO,C.A.F,SOUZAFILHO,M.P.de,XAVIER,
J.A. Estudo experimentaldo momento deineria de
uma partula. SBPN - Sienti Journal. V.5, n.1,
p.192-193,2001.
[8℄ SPIEGEL, M. R. Estatstia. 4 a
ed., Rio de Janeiro:
