Empréstimos bancários e saldo-médio: o caso de prestações

N9

113

EMPR~STIMOS

BANCÁRIOS E

, '

SALDO-M~DIO:

O CASO DE PRESTAÇOES

Clovis de Faro

1988

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Clovis de Faro

Empréstimos Bancários e Saldo-Médio: o Caso de Prestações

1. - Introdução

Via de regra, os bancos comerciais, em suas operações

de financiamento, que são de curto prazo, costumam fazer uso de

dois princípios básicos: a} cobrança de juros através o

empre-go do chamado desconto comercial ou bancário; b} exigências cOE

riqueiramente denominadas de reciprocidades. Dentre estas

Glti-mas, uma das mais comuns é a que condiciona a concessão de

em-préstimo à presença de um certo nível de saldo-médio em

conta-corrente do cliente.

Concentrando atenção no caso onde o empréstimo deva

ser resgatado por intermédio de prestações periódicas e

iguais, 1 o objetivo do presente trabalho é o de determinar o seu

custo efetivo para o cliente. Custo este que é medido em

ter-mos da taxa interna de retorno associada ao fluxo de caixa que

descreve a operação do ponto de vista do mutuário, quando se l~

va em conta o efeito de exigências de manutenção de saldo-médio.

Um aspecto que deve ser destacado é, como veremos, que

a exigência de manutenção de saldo-médio, tanto na hipótese de

prévia existência, que denominamos de caso de exigência

à

priori, como na eventualidade de que o saldo-médio mantenha-se

ao longo do prazo do empréstimo, dito caso de exigência

ã

posteriori, pode conduzir a situações onde não seja fonnalmente aplicá

-vel o conceito usual de taxa interna de retorná de um fluxo de caixa. Em

1 O caso de pagamento unlCO, com cobrança antecipada de juros, foi

tais eventualidades,que são identificadas pelo fato de que o corre~

pondente fluxo de caixa apresenta duas variações de sinal,

faz-se necessário lançar mão, como ·iremos discutir, de uma extensão

da noção de taxa interna de retorno. Para cada uma das

situa-ções possíveis, será apresentado um procedimento eficiente para

a determinação do custo efetivo do empréstimo.

O restante do trabalho organiza-se da seguinte

manei-ra. Na segunda seção, como pano de fundo, apresenta-se o

estu-do estu-do que se denominou de caso básico, que é aquele onde nao

ocorre exigência de saldo-médio. O efeito .daexigência a

priori é analisado na terceira seção. A quarta seção contem a

investigação da eventualidade em que haja uma exigência a post~

riori.Finalmente,na quinta seção, resumem-se as principais

con-clusões .

. 2. - O Caso Básico

Admita-se que um cliente solicite um empréstimo, no va

lor E, a um banco comercial que cobra a taxa periódica de juros

i, para operações deste tipo. Suponha-se também que fique aceE

tado que o financiamento deva ser resgatado por meio de n

pres-tações periódicas, constantes e iguais a p, com a primeira

ven-cendo-se I período após a data de concessão do mútuo.

Usualmen-te, para cada prestação, o cliente é obrigado a emitir uma nota

promissória, com valor nominal igual a p e vencimento coincide~

fa-

l-I

';j

I

I

zer com que o valor de p seja determinado de modo que a

3.

soma

dos valores comercialmente descontados,

à

taxa i , das n notas

promissórias, iguale o valor E do empréstimo, implica em que

(cf. de Faro +982a, pgs. 82-84):1

Logo:

n

E

=

r

p(l-j.i)

j=l

p

=

2.E/{n[2-(n+l)i]} (1)

Na ausência de taxação, o custo efetivo para o cliente

é definido como sendo a taxa interna de retorno (TIR),

denota-da por i *:,. do fluxo de caixa {aO' aI' .. '., a

n}; onde aO = - E e

a

j

=

p para j

=

l, . . . ,n. Em havendo a cobrança de um imposto so

bre operações de crédito, que é incorrido pelo tomador de

em-préstimo, e cobrado quando da sua liberação, o seu efeito pode

ser facilmente incorporado. Para tanto, denotando por T a qua~

tia paga como tributo,2 basta atentar ao fato de que o valor

~

liquidamente recebido pelo cliente ~ a diferença E-T.

Lo-que e e

go, no fluxo de caixa acima, basta fazer aO = - E + T.

Quer haja ou nao· a presença de tributo, o fluxo de cai

xa resultante define um projeto dito do tipo investimento

sim-1 Obviamente, e por 1.SS0 tais empréstimos são, em geral, de curto prazo, d!,

vemos ter n < l/i, sendo O < i < 1. .

2 Usualmente, sendo t a alíquota considerada, temos T = t.E. Caso a

alíquo-ta incida sobre o valor financiado mais juros, teremos T

=

t.n.p, com P

4.

pIes. Logo, como discutido em de Faro (1985a, pgs. 117-121), a

correspondente TIR pode ser eficientemente determinada via a

1

aplicação do algorItmo de Newton-Raphson. Ainda mais,dado que

as prestações são iguais, sugere-se que a primeira aproximação

seja a dada segundo o proposto por Karpin (1967). Isto e, como

mostrado em de Faro (1985a, pgs. 113-116), tome-se:

onde

= 2. f3 (3 + f3)

2.n.f3+3(n+1) (2a)

(2b)

A seguir, se necessário, até que seja alcançada a

pre-cisão desejada, faça-se uso da recursão

(3)

onde:

e

(5)

1 Obviamente, se n = 1 ou n = 2, deve ser diretamente resolvida,

5 •.

3. - O Caso de Exigência a Prior i

Suponha-se agora que, para fazer jus ao empréstimo de

valor E, o cliente deva satisfazer certos requisitos em ~s de

um dado valor mínimo de saldo-médio, em conta

corrente,pregres-SOe Especificamente, sendo a > O, admita-se que o saldo-médio

deva sér, no mínimo, igual a a.E, ao longo dos, pelo menos, m

períodos imediatamente antecedentes

à

data de concessão do

fi-nanciamento.

Admitindo que, com vistas

à

obtenção do empréstimo, o

cliente faça um depósito igual a a.E, m períodos antes da data

de concessão do crédito, segue-se que, observando que o

saldo-médio fica liberado concomitantemente corno valor E, o fluxo de

caixa que sintetiza a operação global é {aO,al, •.• ,a

m+n}, onde:

a.E j

=

O

O, j = I , ••• , m-l

a.

=

(6) •

)

- E ( I +a ) + T, j =m

p, j

=

m

+

I, ... ,m

+

n

Ora, tal fluxo de caixa apresenta exatamente duas

va-riações de sinal, sendo que a sorna algébrica dos fluxos é

n+m

r

j=O

a.

) = E(n+l)ij[2- (n+l)i] + T (7)

condi-"

çao n < l / i . Logo, trocando os sinais de todos os fluxos de cai

xa, o que não altera o processo de determinaçao da TIR,

segue-se que, como originalmente discutido por Jean (1968 e 1969), e~

tamos diante de uma situação onde pode ocorrer mais de uma solu

ção. Este fato implica na não aplicabilidade do conceito da

ta-xa interna de retorno, como medida do custo efetivo para o toma

dor, no caso de exigência a priori de saldo-médio.

A falência do conceito usual da TIR, para a análise da

situação em apreço, é facilmente evidenciada quando se

especia-l

liza o problema fazendo-se n = m = 1. Mais especificamente, com

o intuito de possibilitar uma imediata apresentação numérica,

façamos T = O e i = 100 (3-y'ã) % por período. Nesta eventualidade,

considerando-se um empréstimo unitário, o correspondente fluxo

de caixa é: {aO=a;a

l =- (l+a); a2

=

(1 +y2)/2}. , Portanto,

fa-zendo-se x = 1/(1 + i*), a busca da TIR é equivalente à determina

ção das raízes positivas da seguinte equação de 29 grau:

(1+V2)x2/2 - (l+a) + a = O.

Em função do valor de a, temos as seguintes

possibili-dades:

a) a = 1 +V2 ou a =

v2 -

1

Para a assumindo o menor dos dois valores acima,

tere-mos como solução x = 2

-V2,

do que decorre que o custo efetivo

para o tomador seria tomado como i* = (1 - x) / x =

Ví/2 ::

70,7107%

1 Note-se que este caso

é

análogo, mas não exatamente igual, pois que não

---7.

~

i

por per1çdo. Por outro lado, considerando-se o maior dos dois

valores, o que, obviamente, significa aumentar o custo para o

tomador do empréstimo, teremos x =

0

=> i* = (y'2-2)/2-::- 29,2893 %

por período; o que, evidentemente, é uma contradição.

b)

0 -

1 < a < 1

+

v'2

Corno nao existe raíz positiva para a equação considera

da (as raízes serão complexas), segue-se que não é definida a

TIR do fluxo de caixa.

c) a < 0 - 1 ou a > 1

+

V2

Agora, teremos duas distintas raízes positivas para a

equaçao em x, o que implica na situaçãQ ambígua da existência

simultânea de duas taxas internas de retorno.

Logo, em qualquer eventualidade, verifica-se a

inade-quabilidadeda concepção usual da TIR para a análise do caso

considerado.

3.1 - O Emprego do Conceito do Custo de Oportunidade

Contabilmente,o valor a.E depositado para fins de

fa-zer saldo-médio, é integraLmente restituído ao cliente, m perí~

do depois, quando da liberação do empréstimo. Do ponto de

vis-ta econômico, porém, houve uma perda para o mutuário. Tal perda

traduz-se no que se denomina do custo de oportunidade, e é

houvesse.sido aplicado no mercado de capitais. Isto é, sendo p

a taxa periódica de juros que vigora naquele mercado, a perda P

incorridá pelo tomador de empréstimo, no caso de exigência a

priori de saldo-médio,

é:

(8)

Para que se incorpore a perda P o que se sugere é que,

do mesmo modo que o estudado em de Faro (1985b), o custo

efeti-vo para o cliente seja tomado como a taxa interna de retorno do

seguinte fluxo de caixa consolidado:

- E{l-a-{(l+p)m- l ] +T, j=O

a. = J

p, j = l , ••. ,n ₍₉₎

Deste modo, visto que passamos a ter um projeto do

ti-po investimento simples o cálculo da corresti-pondente TIR

ser efetuado tal como sugerido para o caso básico.

deve

o

ponto a destacar é que, como se verifica facilmente,

a perda P cresce tanto com a, como com p e com m. Sendo que,

quanto maior P, maior será o valor da TIR, pois que uma mesma

sucessio de n prestaç5es iguais a p é equivalente a um

..

-9 •.

4. - O Caso de Exigência a posteriori

Uma outra possibilidade, que passaremos a analisar, ~

e

aquela onde uma proporção do valor mutuado E fica retida, escri

turalmente, na conta do cliente. Isto é, sendo agora

O

< a <

1,

a fração a.E do empréstimo solicitado é, na realidade,

indispo-nivel," durante um certo prazo, para o cliente. Mais

especifica-mente, nesta eventualidade, que denominaremos de exigência de

saldo-médio a posteriori, admitiremos que a quantia a.E só

fi-que liberada na data de pagamento da última prestação

contrata-da.

Para o caso considerado, tendo em vista a liberação do

saldo médio, segue-se que o fluxo de caixa que caracteriza a

operação, do ponto de vista do tomador do empréstimo, é:

- E ( 1 - a)

+

T, j = O·

a. =

) p , j = 1, . . . ,n - 1 (10)

p - a.E, j=n

Observando que não cabe agora a aplicação do conceito

de custo de oportunidade, pois que, efetivamente,o cliente não

efetuou nenhum desembolso para a formação do saldo-médio, inve~

tiguemos o fluxo de caixa dado por (10). Em função dos valores

de i , de n e de a, temos 3 distintas possibilidades para o

va-I

lor de a

n = p - a. E •

1 Note-se que, se n

=

1, teremos sempre p

=

E/ (1 - i) > a.E.

I

I

I

4.1. - Prestação Igual ao Saldo-Médio

Na situação em que ocorrer a igualdade p=a.E, o fluxo

de caixa (lO) define um projeto do tipo investimento simples e

com, efetivamente,n - I períodos de vida econômica. Logo, o custo

para o cliente pode ser medido via o conceito usual da TIR.

Tendo em vista o apresentado na seçao 2, sugere-se

que, sendo

y = - [ (n - 1) P + aO] /a

O (lIa)

tome-se como aproximação inicial para a taxa interna de retorno

i* o valor dado por:

2.y{3+y)

(llb) 2{n-l)y+3.n

A seguir, conforme seja necessário, use-se a recursao

expressa por (3), onde, agora, teremos:

V{i

k) = aO + p.an-ll i

k

(4 ' )

;

V' (i

k) = p { (n-l) (I + i ) -n-2 . k

-

a~

}/ik (5 ' )

- - - --

---11.

4.2. - pre"stação SUper"iOrao Saldo-Médio

Se ocorrer que p > a.E, o fluxo de caixa (10) também

define um projeto do tipo investimento simples; agora com n

pe-rIodos. Entretanto, para efeito de determinação da aproximação

inicial para i*,não mais podemos fazer uso do visto no caso

bá-sico. Isto porque os fluxos de caixa, para j

=

1, ... ,n, deixam

de ser todos iguais.

Dado que o fluxo de caixa sob exame tem alguma

seme-lhança com o que "se associa a um investimento em tItulos com

rendimentos periódicos, tais como os estudados em de Faro

(1982p),é interessante que se investigue se as fórmulas

aproxi-madas que sao pertinentes a este Gltimo, podem ser adaptadas p~

ra a situação em apreço. Com tal intuito, e buscando uma comp~

ração com, respectivamente, as primeiras aproximações dos

algo-ritmos de Newton-Raphson e de Boulding, iremos analisar

exten-sões das fórmulas de Todhunter e de Karpin.

4.2.1. - Adaptação da Fórmula de Todhounter

Buscando generalizar a análise, façamos T

=

~.E, onde

~

=

t se a alíquota t incidir somente sobre o valor mutuado, e

~

=

2. t/{2- (n+l) i}, "se a alíquota t for incidente sobre a soma

do valor do empréstimo com o total de juros contábeis. Então,

considerando-se o caso de um financiamento unitário, e

denotan-se por p o correspondente valor da prestação periódica, como d~

i

i*, deve ,ser tal que:

- . -n

(p/a) {l-(l+i*) }/i* (l+i*)-n

=

(l-a -I{J)/a _(12)"

Seguindo a exposição em Hawawini e Vora (1982),

note-se que, adicionando-note-se a unidade a ambos os membros e efetuando

algumas manipulações algébricas, a equação (12) pode ser

re-escrita como:

i* + p/a= i*{(l-I{J)/a}{l- (l+i*)-n}-l (13)

Como primeira aproximação para a determinação de i*,

(l+i*)-n será substituido por sua expansão em série de Taylor,

a partir da origem, desprezando-se os termos que envolvam potêg

cias de i* superi'Ores a 2. Ou seja, faremos:

(l+i*)-n = l-n.i* + n(n+l) (14)

Logo, substituindo em (13),podemos escrever:

n(i*+p/a)

=

{(l-I{J)/a}{l- (n+l)i*/2}-1 (15)

-1

Como segunda aproximação, substituirerros { l - (n + 1) i*/2 }

por sua expansão em série de Taylor, também a partir da origem,

desprezando-se agora os termos que envolvam potências de i*

su-periores a 1. Isto

é,

faremos:

13.

i

Deste modo, substituindo (16) em (15), decorre que o

valor da aproximação para i*, de acordo com a adaptação aqui

apresentada da chamada fórmula de Todhunter, e

..

dado por:

i*

=

2(n.p

+

I{> - 1)

(n + 1) (l-I{» - 2 • n • ex

4.2.2. - Adaptação da Fórmula de Karpin

(17)

Seguindo o trabalho original de Karpin (1967),

obser-ve-se, inicialmente, que a relação (13) pode ser reescrita

co-mo:

n (i * +

p

1

ex)

1 {

(l-I{»

1

ex}

=

n . i *

1 {

1- (1 + i *) - n } (13')

Desenvolvendo-se o segundo membro de (13') em série de

Taylor, a partir da origem, e desprezando-se os termos que

en-volvem potências de i* superiores a 2, tem-se que:

n.i*/{l- (l+i*) -n}

=

1 + (n + 1) i*/2 + (n2-1) i*2/12 (18)

Deste modo, substituindo-se (18) em (13'), e

fazendo-se:

2

a

=

(n -1)/12 (19 )

b= (n+l)/2-n.ex/(1-1{» (20)

segue-seque i* será aproximada corno a solução positiva da

se

-guinte equaçao do segundo grau:

,*2 + b '*

a . 1 .1 = C ₍₂₂₎

Em seu trabalho, ao invés de resolver diretamente a

equaçao análoga

à

dada por (22), Karpin (1967) propos que

fos-se adotado um dos dois fos-seguintes procedimentos:

a) Desprezar, inicialmente, o termo que envolve a segunda p~

*

tência de i* em (22), obtendo-se a solução auxiliar i

l

=

c/b.

Substituindo

i~

de volta, no termo em (i*)2,tern-se: c=b.i*+a(c/b)i*.

Decorre, então, que:

i*

=

b.c/(a.c+b2) (23)

b) Alternativamente, substituindo (23) no termo em (i*)2 de

(24), tem-se:

c = b.i* + a{b.c/(a.c + b2)}i *. Logo:

i* = c(a.c + b2)J{b(b2 + 2.a.c)} (24 )

4.2.3. - As Aproximaç6es Iniciais de Newton-Raphson e

de Boulding

o

que está sendo aqui implicitamente sugerido é que,

15.

(4")

e

(5")

tome-se como ponto de partida uma das fórmulas aproximadas de

Todhunter ou de Karpin. Isto

é,

sendo i* tal corno dado por (17),

(23) ou (24), faça-se i

1

=

i*, e lance-se mão da recursão dada

por (3), com V(i

k) e V' (ik) sendo respectivamente expressos

pe-las relações (4") e (5").

Alternativamente, e cabendo úma investigação numérica,

podemos tornar 11 cnro a primeira aproximação do algoritmo de

Boulding (cf. Boulding (1936) e de Faro (1983»-,ou a própria

iteração inicial do método de Newton-Raphson,quando se parte

da origem.

No caso de adoção da aproximação inicial de Boulding,

sendo

d t:: 2 (n.p - a)/{n[ (n+l) p - 2.a]} ( 25)

torne-se:

( 26)

Por outro lado, partindo-se da origem, a iteração

ini-cial do algoritmo de Newton-Raphson conduz

à

seguinte

aproxima-ção (cf. de Faro (1982a} pg. 117):

i

I

4.2.4. - Comparação Numérica

Uma vez apresentadas distintas alternativas para a

de-terminação da primeira aproximação i

l , cabe agora coteja-las.

Isto é, devemos buscar elementos que nos permitam indicar qual

I. das alternativas deve ser a utilizada na prãtica.

Para responder a indagação acima, adotaremos o

crité-rio de se~ecionar a alternativa que, como base em

investiga-çao empIrica que passamos a descrever, apresente; em valor abso

luto, o menor desvio com relação ao verdadeiro valor de i*.

Dado que as operações em estudo são de curto prazo, em

geral não superiores a 6 meses, faremos com que o número de

1

prestações periódicas, admitidas mensais, variem de 2 a 6. Qu~

to à taxa de juros i que é fixada na transação, investigaremos

o caso, que acreditamos sobrir a maioria das operaçoes

observa-das na prãtica corrente, onde a mesma varie, de 1 em I por

cen-to, de 5 a 12 por cento. Finalmente, com respeito ao coeficiente

a de retenção de saldo-médio, serão considerados, para cada

com-binação de número de prestações n e de taxa de juros i, respect!

vamente os valores 10%, 15%, 20% e, quando admissIvel, no

senti-do que se tenha ainda p - a > O, 30%. Por simplicidade, faremos

I{)

=

O.

o

Quadro I a seguir apresenta, para cada combinação dos

parâmetros n, i e a, o correspondente valor da taxa efetiva 1 .* ,

e o valor da aproximação inicial segundo, respectivamente, as re

lações (17), (23), (24), (26), (27), e como obtida tomando-se a

raIz positiva da equação dada por (22). Adicionalmente, entre

parêntesis e abaixo da respectiva aproximação, é indicado o

va-lor absoluto do erro percentual com relação a i*.

1 O caso onde n=2

~

investigado somente para que a anilise seja

completa.Ob-viamente, o procedimento recomendado ~ o de resolver diretamente a resultante

i

Parâmetros n-i(%)-a(%)

2 - 5 - 10

2 - 5 - 15

2 - 5 - 20

2 - 5 - 30

2 - 6 - 10

2 - 6 - i5

2 - 6 - 20

2 - 6 - 30

2 - 7 - 10

2 - 7 - 15

2 - 7 - 20

2 - 7 - 30

2 - 8 - 10

2 - 8 - 15

2 - 8 - 20

2 - 8 - 30

2 - 9 - 10

2 - 9 - 15

2 - 9 - 20

2 - 9 - 30

2 - 10 - 10

2 - 10 - 15

2 - 10 - 20

. 2 - 10.,. 30

i* (%) 6,1661 6,6671 7,2556 8,8028 7,5034 8,1101 8,8216 10,6878 8,8793 9,5936 10,4303 12,6193 10,2956 11,1196 12,0837 14,5997 11,7544 12,6903 13,7841 16,6316 13 ,2577 14,3079 15,5339 18,7179 17.

Quadro I

Desempenho das Aproximações Iniciais

(17) 6,2370

(1,15)

#-6,7568 (1,35) 7,3710 (1,59) 9,0090 (2,34) 7,6078 (1,39) 8,2418 (1,62) 8,9910 (1,92) 10,9890 (2,82) 9,0245 (1,64) 9,7765 (1,91) 10,6653 (2,25) 13,0354 (3,30) 10,4895 (1,88) 11,3636 (2,19) 12,3967 (2,59) 15,1515 (3,78) 12,0053 (2,13) 13,0058 (2,49) 14,1881 (2,93) 17,3410 (4,27) 13,5747 (2,39) 14,7059 (2,78) 16,0428 (3,28) 19,6078 (4,75)

Valor Percentual de i₁ Segundo a Relação

(23) 6,1631 (0,05) 6,6630 (0,06) 7,2496 (0,08) 8,7891

(O ,16) 7,4981 (0,07) 8,1026

(O ,09) 8,8110

(O ,12)

10,6635

(O ,23) 8,8705

(O ,10) 9,5814

(O ,13)

10,4129 (0,17) 12,5799

(0,31 ) 10,2821

(O ,13) 11,1008 (0,17) 12,0570 (0,22) 14,5396 (0,41) 11,7344 (0,17) 12,6627 (0,22) 13,7449 (0,28) 16,5441 (0,53) 13,2293 (0,21) 14,2687 (0,27) 15,4784 (0,36) 18,5950 (0,66) (24) 6,1639 (0,04) 6,6642 (0,04) 7,2515

(O ,06)

8,7943 (0,10) (26) 6,1337 (0,53) 6,6292

(O ,57) 7,2108 (0,62) 8,7404 (0,71) (27) 5,7034 (7,50) 6,1350 (7,98) 6,6372 (8,52) 7,9365 (9,84) (22) 6,1639 (0,04) 6,6642 (0,04) 7,2515 (0,06) 8,7942 (1,10) 7,4996 7,4555 6,8285 7,4996 (0,05) (0,64) (8,99) (0,05) 8,1049 8,0539 7,3350 8,1049 (0,06) (0,69) (9,56) (0,06) 8,8145 8,7555 7,9225 8,8144 (0,08) (0,75) (10,19) (0,08) 10,6729 10,5957 9,4340 10,6726

(0,14) (0,86) (11,73) (0,14) 8,8731 8,8123 7,9485 8,8731 (0,07) (0,75) (10,48) (0,07) 9,5852 9,5151 8,5262 9,5851 (0,09) (0,82) (11,13) (0,09) 10,4187 10,3380 9,1944 10,4186

(0,11) (0,88) (11,85) (0,11) 12,5953 12,4906 10,9034 12,5948

(0,19) (1,02) (13,60) (0,19) 10,2861 10,2057 9,0634 10,2861

(0,09) (0,87) (11,97) (0,09) 11,1068 11,0143 9,7087 11,1066

(0,12) (0,95) (12,69) (0,12) 12,0661 11,9600 10,4530 12,0658

(0,15) (1,02) (13,50) (0,15) 14,5633 14,4273 12,3457 14,5624

(O ,25) (1,18) (15,44) (O ,26)

11,7404 11,6372 10,1733 11,7403 (0,12) (1,00) (13,45) (0,12) 12,6715 12,5533 10,8827 12,6713 (0,15) (1,08) (14,24) (0,15) 13,7583 13,6233 11,6984 13,7579 (0,19) (1,17) (15,13) (0,19) 16,5791 16,4076 13,7615 16,5777

(0,32) (1,35) (17,26) (0,32) 13,2379 13,1088 11,2782 13,2377 (0,15) (1,12) (14,93) (0,15) 14,2813 14,1340 12,0482 1~,2810

(0,19) (1,22) (15,79) (0,19) 15,4976 15,3298 12,9310 15,4970 (0,23) (1,31) (16,76) (0,24) 18,6448

(0,39)

18,4339 (1,52)

15,1515 18,6425 (19,05) (0,40)

Parâmetros i*

n-i(%)-a(%) (%)

2 - 11 - 10 14,8078

2 - 11 - 15 15,9747

2 - 11 - 20 17,3355

2 - 11 - 30 20,8614

2 - 12 - 10 16,4071

2 - 12 - 15 17,6935

2 - 12 - 20 19,1918

2 - 12 - 30 23,0653

3 - 5 - 10 6,3812

3 - 5 - 15 6,9668

3 - 5 - 20 7,6670

3 - 5 - 30 9,5715

3 - 6 - 10 7,7923

3 - 6 - 15 8,7977

3 - 6 - 20 9,3434

3 - 6 - 30 11,6236

3 - 7 - 10 9,2551

3 - 7 - 15 10,0864

3 - 7 - 20 11,0750 3 - 7 - 30 13,7313

3 - 8 - 10 10,7730

3 - 8 - 15 11,7303

3 - 8 - 20 12,8658

3 8 - 30 15,8993

(17) 15,2004 (2,65) 16,4671 (3,08) 17,9641 (3,63) 21,9561 (5,25) 16,8856 (2,92) 18,2927 (3,39) 19,9557 (3,98) 24,3903 (5,74) 6,5360 (2,43) 7,1685 (2,90) 7,9365 (3,52) 10,1010 (5,53) 8,0214 (2,94) 8~4998 (3,50) 9,7403 (4,25) 12,3967 (6,65) 9,5759 (3,47) 10,5026 (4,13) 11,6279 (4,99) 14,7992 (7,78) 11,2045 (4,01) 12,2888

(4 ,76) 13,6054

(5,75) 17,3160

(8,91)

Valor Percentual de i

1 Segundo a Relação

(23) (24) (26) (27) (22)

14,7687

(0,26) 14,7806 (0,18) 14,6222 (1,25) 12,3781 (16,41) 14,7802 (0,19) 15,9209

(0,34)

15,9384 15,7583

(0,23) . (1,35) 13,2053 (17,34) 15,9379 (0,23) 17,2594

(O ,44)

17,2860 17,0818 14,1509 17,2850 (18,37) (0,29)

(O ,29) (1,46) 20,6940

(0,80)

20,7626 20,5084 16,5165 20,7590 (20,83) (0,49) (0,47) (1,69)

16,3545 (0,32)

16,3707 16,1797 13,4731 16,3702 (17,88) (0,22)

(O ,22) (1,39) 17,6212

(0,41)

17,6449 17,4284 14,3541 17,6441 (18,87) (0,28) (0,27) (1,50)

19,0899 (0,53)

19,1259 18,8812 15,3584 19,1244 (19,97) (0,35) (0,34) (1,62)

22,8426 (0,97)

22,9350 22,6336 17,8572 22,9298 (22,58) (0,59) (0,56) (1,87)

6,3726 6,3766 (0,13) (0,07) 6,9541 6,9603 (0,18) (0,09) 7,6475 7,6576 (0,25) (0,12) 9,5183 9,5501

(0,56) (0,22) 7,7768 7,7840

(O ,20) (0,11) 8,4769 8,4882 (0,27) (0,14) 9,3085 9,3268 (0,37) (0,18) 11,5304 11,5870

(0,80) (0,31) 9,2293 9,2414 (0,28) (0,15) 10,0487 10,0675

(0,37) (0,19) 11,0178 11,0483

(0,52)(0,24) 13,5811 13,6737 (1,09) (0,42) 10,7329 10,7519

(0,37) (0,20) 11,6719 11,7014 (0,50) (0,25) 12,7776 12,8251

(0,69) (0,32) 15,6714 15,8140 (1,43) (0,54)

6,3147 5,7804 6,3765 (1,04) (9,42) (O ,07) 6,8896 6,2696 6,9601

(1,11) (10,0l) (O ,10) 7,5777 6,8493 7,6573

(1,16) (10,67) (0,13) 9,4585 8,4034 9,5484 (1,18) (12,20) (0,24) 7,6931 6,9124 7,7838 (1,27) (11,29) (0,11) 8,3847 7,4813 8,4878 (1,35) (11,98) (0,14) 9,2103 8,1522 9,3261

(1,42) (12,75) (0,19) 11,4538 9,9338 11,5835

(1,46) (14,54) (0,34) 9,1151 8,0367 9,2410 (1,51) (13,16) (0,15) 9,9243 8,6795 10,0668 (1,61) (13,95) (0,19) 10,8875 9,4340 11,0468

(1,69) (14,82) (0,25) 13,4903 11,4193 13,6671

(1,76) (16,84) (O ,47) 10,5834 9,1533 10,7511 (1,76) (15,03) (0,20) 11,5109 9,8644 11,7000

(1,87) (15,91) (0,26) 12,6121 10,6952 12,8225

(1,97) (16,87) (O ,34) 15,5710 12,8617 15,8026

Parâmetros 1*

n-1(%)-a(i) (i)

3 - 9 - 10 12,3498

3 - 9 - 15 13 ,4355

3 - 9 - 20 14,7199

3 - 9 - 30 18,1328

3 - 10 - 10 13,9896

3 - 10 - 15 15,2063

3 - 10 - 20 16,6420

3 - 10 - 30 20,4372

3 - II - 10 15,6969

3 - II - 15 17,0475

3 - II - 20 18,6372

3 - II - 30 22,8184

3 - 12 - 10 17,4767

3 - 12 - 15 18,9642

3 - 12 - 20 20,7109

3 - 12 - 30 25,2831

4 - 5 - 10 6,5553

4 - 5 - 15 7,1907

4 - 5 - 20 7,9562

4 - 5 - 30 '# 10,0636

4 - 6 - 10 8,0344

4 - 6 - 15 8,8005

4 - 6 - 20 9,7193

4 - 6 - 30 12,2242

oH p-a<O

(17) 12,9125 (4,56) 14,1621 (5,41) 15,6794 (6,52) 19,9557 (10,05) 14,7059 (5,12) 16,1290 (6,07) 17,8571 (7,30) 22,7273 (ll ,21) 16,5913 (5,70) 18,1969 (6,74) 20,1465 (8,10) 25,6410 (12,37) 18,5759 (6,29) 20,3735 (7,43 ) 22,5564 (8,91) 28,7081 (13,55) 6,8027 (3,77) 7,5188 (4,56) 8,4034 (5,62) 10,9890 (9,20) 8,4043 (4,59) 9,2879 (5,54 ) 10,3806 (6,80) 13,5747 (ll,05)

Quadro I (Continuação 2)

Valor Percentual de 1

1 Segundo a Relação

(23)

12,2902

(O ,48)

13,3490 (0,64)

14,5901

(O ,88)

17,8026 (1,82)

13 ,9040 (0,61)

15,0827

(O ,81)

16,4577 (l,ll) 19,9758 (2,26) 15,5777 (0,76) 16,8760 (1,01) 18,3829 (1,36) 22,1923 (2,74) 17,3146

(O ,93)

18,7321 (1,22) 20,3686 (1,65) 24,4535 (3,28) 6,5380

(O ,26)

7,1644 (0,37) 7,9143 (0,53) 9,9388 (1,24) 8,0030

(O ,39)

8,7531 (0,54) 9,6445 (0,77) 12,0074 (1,77) (24) 12,3188

(O ,25)

13,3931 (0,32)

14,6609

(O ,40)

18,0122 (0,67) 13,9455 (0,32) 15,1465 (0,39 ) 16,5594 (0,50) 20,2729 (0,80) 15,6361

(O ,39)

16,9654

(O ,48)

18,5249 (0,60) 22,6012 (0,95) 17,3947 (0,47) 18,8545

(O ,58)

20,5620 (0,72)

25,0027 (l,ll)

6,5479

(O ,11)

7,1804

(O ,14)

7,9412

(O ,19)

10,0304

(O ,33)

8,0212

(O ,16)

8,7822

(O ,211

9,6932 (0,27) 12,1696 (0,45) (26) 12,1008 (2,02) 13,1476 (2,14) 14,3871 (2,26) 17,6997 (2,39 ) 13,6703 (2,28) 14,8374 (2,43) 16,2159 (2,56) 19,8799 (2,73) 15,2953 (2,56) 16,5839 (2,72) 18,1018 (2,87) 22,ll58 (3,08) 16,9793 (2,85) 18,3906 (3,02) 20,0490 (3,20) 24,4ll6 (3,45) 6,4523 (1,57) 7,0723 (1,65) 7,8213 (1,70) 9,9065 (1,56) 7,8797 (1,931 8,6227 (2,02) 9,5164 (2,09) ll,9823 (1,98) (27) 10,2623 (16,90) ll,0362 (17,86)

II ,9363

(18,91) 14 ,2631 (21,34) ll,3636 (18,77) 12,1951 (19,80) 13,1579 (20,94) 15,6250 (23,55) 12,4575 (20,64) 13 ,3414 (21,74) 14,3603 (22,95) 16,9492 (25,72) 13,5440 (22,50) 14,4753 (23,67) 15,5440 (24,95) 18,2371 (27,87) 5,8140 (ll,31) 6,3291 (11,98) 6,9444 (12,72) 8,6207 (14,34) 6,9444 (13,571 7,5377 (14,35) 8,2418 (15,20) 10,1351 (17,09)

"19.

(22) 12,3175 (0,26) 13,3908 (0,33) 14,6565 (0,43) 17,9935 (0,77) 13,9435 (0,33) 15,1428 (0,42) 16,5525 (0,54) 20,2436 (0,95) 15,6329 (0,41) 16,9597 (0,52) 18,5142 (0,66) 22,5572 (1,14) 17,3899 (0,50) 18,8459 (0,62) 20,5462 (0,80) 24,9388 (1,36) 6,5475 (0,12) 7,1797

(O ,15)

.~

Parâmetros n-i(%)-a(%)

4 - 7 - 10

4 - 7 - 15

4 - 7 - 20

4 - 7 - 30

4 - 8 - 10

4 - 8 - 15

4 - 8 - 20

4 - 8 - 30

4 - 9 - 10

4 - 9 - 15

4 - 9 - 20

4 - 9 - 30

4 - 10 - 10

4 - 10 - 15

4 - 10 - 20

4 - 10 - 30

4 - II - 10

4 - 11 - 15

4 - 11 - 20

4 - 11 - 30

4 - 12 - 10

4 - 12 - 15

4 - 12 - 20

4 - 12 - 30

i* (%) 9,5805 10,4791 ll,5522 14 ,45ll ll,1994 12,2326 13,4614 16,7526 12,8975 14,0679 15,4543 19,1378 14,6821 15,9926 17,5391 21,6168 16,5616 18,0155 19,7250 24,2005 18,5454 20,1466 22,0227 26,9015

(Continuação 3)

Valor Percentual de i

1 Segundo a Relação (17) (23) (24)

10,1010 9,5281 9,5589 (5,43) (0,55)(0,23) 11,1643 10,4004 10,4493 (6,54) (O,75) (O,28) 12,4777 11,4291 11,5104

(8,01) (1,07)(0,36) 16,3170 14,1042 14,3684 (12,91) (2,40). (0,57) 11,9048 11,1170 11,1659 (6,30) (0,74) (0,30) 13,1579 12,1096 12,1870

(7,56) (1,01) (0,37) 14,7059 i3,2709 13,3985

(9,24) (1,42) (0,47) 19,2308 16,2297 16,6348 (14,79) (3,12) (0,70) 13,8249 12,7737 12,8480

(7,19) (0,96) (0,38) 15,2801 13,8844 14,0012

(8,62) (1,30) (0,47) 17,0778 15,1726 15,3638

(10,51) (1,82) (0,59) 22,3325 18,3847 18,9777

(16,69) (3,94) (0,84)

(26) (27) (22)

9,3605 8,0645 9,5573 (2,30) (15,82) (0,24) 10,2263 8,7282 10,4463

(2,41) (16,71) (O,31) 11,2635 9,5109 11,5045

(2,50) (17,67) (0,41) 14,1003 11,5894 14,3398

(2,43) (19,80) (0,77) 10,8986 9,1743 11,1630

(2,69) (l8,08) (O ,33) 11,8873 9,9010 12,1816 (2,82) (19,06) (O ,42) 13,0668 10,7527 13,3880

(2,93) (20,12) (0,55) 16,2657 12,9870 16,5857 (2,91) (22,48) (1,00) 12,4986 10,2740 12,8431

(3,09) (20,34) (0,42) 13,6102 11,0565 13,9921

(3,25) (21,41) (0,54) 14,9311 11,9681 15,3462

(3,39) (22,56) (0,70) 18,4840 14,3312 18,8984

(3,42) (25,12) (1,25) 15,8730 14,5028 14,6117 14,1653 11,3636 14,6036 (8,ll) (1,22) (0,48) (3,52) (22,60) (0,53) 17,5439 15,7285 15,8987 15,4002 12,1951 15,8840

(9,70) (1,65) (0,59) (3,70) (23,75) (0,68) 19,6079 17,1371 17,4136 16,8618 13;1579 17,3854

(ll,80) (2,29) (O,72) (3,86) (24,98) (0,88) 25,6410 20,5696 21,4070 20,7615 15,6250 21,2848 (18,62) (4,84) (0,97) (3,96)(27,72) (1,54) 18,0624 16,3090 16,4641 15,9043 12,4434 16,4514 (9,06) (1,53) (0,59) (3,97) (24,87) (O,67) 19,9637 17,6461 17,8871 17,2628 13,3172 17,8642

(10,81) (2,05) (0,71) (4,18) (26,08) (0,84) 22,3124 19,1677 19,5562 18,8645 14,3229 19,5128

(13,12) (2,83) (O,86) (4,36) (27,39) (1,08) 29,1777 22,7852 23,9340 23,1047 16,8712 23,7528

(20,57) (5,85) (1,10) (4,53) (30,29) (1,85) 20,4082 18,1976 18,4136 17,7218 13,5135 18,3942 (10,04) (1,88) (O,71) (4,44) (27,13) (0,82) 22,5564 19,6416 19,9752 19,2045 14,4231 19,9405

(ll,96) (2,51) (0,85) (4,68) (28,41) (1,02) 25,2109 (14 ,48) 32,9670 (22,55) 21,2677 (3,43) 25,0321 (6,95) 21,8009 (1,01) 26,5715 (l,23) 20,9459 (4,89) 25,5212 (5,13)

Parâmetros n-i(%)-a(%)

5 - 5 - 10

5 - 5 - 15

5 - 5 - 20

5 - 5 - 30#

5 - 6 - 10

5 - 6 - 15

5 - 6 - 20

5 - 6 - 30#

5 - 7 - 10 5 - 7 - 15

5 - 7 - 20

5 - 7 - 30#

5 - 8 - 10

5 - 8 - 15

5 - 8 - 20

5 - 8 - 30#

5 - 9 - 10

5 - 9 - 15

5 - 9 - 20

5 - 9 - 30#

5 - 10 - 10

5 - 10 - 15

5 - 10 - 20

5 - 10 - 30#

1;p-a<O i* (%) 6,7108 7,3774 8,1818 10,3988 8,2578 9,0599 10,0222 12,6404 9,8897 10,8291 11,9497 14,9628 11,6157 12,6948 13,9749 17,3799 13,4466 14,6681 16,1098 19,9065 15,3948 16,7623 18,3686 22,5596 (17)

Quadro I (Continuação 4)

Valor Percentual de i₁ Segundo a Relação (23) (24) (26) (27)

21.

(22) 7,0588 6,6815 6,7007 6,5691 5,8252 6,6997

(5,19) (0,44) (0,15) (2,11) (13,20) (0,17) 7,8431 7,3320 7,3633 7,2153 6,3492 7,3614 (6,31) (0,62) (0,19) (2,20) (13,94) (0,22) 8,8235 8,1081 8,1618 7,9990 6,9767 8,1580 (7,84) (O ,90) (O ,24) (2,23) (14,73) (O ,29) 11,7647 10,1695 10,3600 10,1968 8,6957 10,3394

(13,13) (2,21) (0,37) (1,94) (16,38) (0,57) 8,7805 8,2042 8,2397 8,0429 6,9498 8,2376

(6,33) (0,65) (0,22) (2,60) (15,84) (0,24) 9,7561 8,9776 9,0351 8,8142 7,5472 9,0311

(7,68) (0,91) (0,27) (2,71) (16,70) (0,32) 10,9756 9,8901 9,9878 9,7443 8,2569 9,9797

(9,51) (1,32) (0,34) (2,77) (17,61) (0,42) 14,6342 12,2449 12,5802 12,3214 10,1695 12,5381

(15,77) (3,13) (0,48) (2,52) (19,55) (0,81) 10,6329 9,7993 9,8599 9,5811 8,0614 9,8558

·(7,51) (0,91) (0,30) (3,12) (18,49) (0,34) 11,8144 10,6916 10,7890 10,4765 8,7227 10,7812 (9,10) (1,27) (0,37) (3,26) (19,45) (0,44) 13,2911 11,7318 11,8956 11,5501 9,5023 11,8798

(11,23) (1,82) (0,45) (3,34) (20,48) (0,58) 17,7215 14,3345 14,8780 14,4906 11,5703 14,8007 (18,44) (4,20) (0,57) (3,16) (22,67) (1,08) 12,6316 11,4723 11,5697 11,1897 9,1603 11,5621

(8,75) (1,23) (0,40) (3,67) (21,14) (0,46) 14,0351 12,4783 12,6338 12,2083 9,8765 12,6195 (10,56) (1,71) (0,48) (3,83) (22,20) (0,59) 15,7895 13,6364 13,8947 13,4229 10,7143 13,8666 (12,98) (2,42) (0,57) (3,95) (23,33) (0,77) 21,0526 16,4384 17,2679 16,7123 12,9032 17,1370

(21,13) (5,42) (0,64) (3,84) (25,76) (1,40) 14,7945 13,2288 13,3787 12,8755 10,2467 13,3655

(10,02) (1,62) (0,50) (4,25) (23,80) (0,60) 16,4384 14,3426 14,5796 14,0164 11,0092 14,5552 (12,07) (2,22) (0,60) (4,44) (24,94) (0,77) 18,4932 15,6069 15,9966 15,3697 11,8943 15,9493

(14,79) (3,12) (0,70) (4,59) (26,17) (1,00) 24,6575 18,5567 19,7668 18,9952 14,1732 19,5576 (23,87) (6,78) (0,70) (4,58) (28,80) (1,75) 17,1429 (11,36) 19,0476 (13,63) 21,4286 (16,66) 28,5714 (26,65) 15,0754 (2,07) 16,2896 (2,82) 17,6471 (3,93) 20,6897 (8,29)

15,2979 14,6461 11,3208 (0,63) (4,86) (26,46) 16,6384 15,9089 12,1212

(0,74) (5,09) (27,69) 18,2143 17,3989 13,0435 (0,84) (5,28) (28,99)

22,39~8 21,3490 15,3846 (0,73) (5,37) (31,80)

Parâmetros i* n-i(%)-a(%) (%)

5 - 11 - 10 17,4749

5 - 11 15 18,9926

5 - 11 - 20 20,7674

5 - 11 - 30# 25,3584

5 - 12 - 10 19,7040

5 - 12 - 15 21,3772

5 - 12 - 20 23,3254

5 - 12 - 30 28,3256

6 - 5 - 10 6,8582

6 - 5 - 15 7,5449

6 - 5 - 20 8,3724

6 - 5 - 30# 10,-6426 6 - 6 - 10 8,4756

6 - 6 - 15 9,3006

6 6 20 10,2876

6 - 6 - 30# 12,2539

6 - 7 - 10 10,1993

6 - 7 - 15 11,1644

6 - 7 - 20 12,3115

6 - 7 - 30# 15,3665

6 - 8 - 10 12,0434

6 - 8 - 15 13,1514

6 - 8 - 20 14,4594

6 - 8 - 30# 17,9009

>li j;-a<O

Valor Percentual de i₁ Segundo a Relação (17) 19,7015 (12,74) 21,8906 (15,26) (23) 17,0191 (2,61) 18,3249 (3,52) 24,6269 19,7605 (18,58) (4,85) 32,8358 22,8374 (29,49) (9,94) 22,5000 19,0678 (14,19) (3,23) 25,0000 20,4546 (16,95) (4,32) 28,1250 21,9512 (20,58) (5,84) 37,5000 (32,39) 7,3145 (6,65) 8,1585 (8,13) 9,2227 (10,16) 12,4777

(17 ,24) 9,1663 (8,15) 10,2240 (9,93) 11,5571 (12,34) 15;6366 (20,71) 11,1898 (9,71) 12,4809 (11,79) 14,1088

(14 ,60) 19,0884 (24,22) 25,0000 (11,74) 6,8133 (0,65) 7,4744 (0,93) 8,2570 (1,38) 10,2775 (3,43) 8,3926 (0,98) 9,1720 (1,38 ) 10,0801

(O ,02)

12,3291 (4,82) 10,0579 (1,39) 10,9481 (1,94) 11 ,9676 (2,79) 14,3793 (6,42) 13,4100 11,8163

(11,35) (1,89) 14,9573 12,8082

(13,73) (2,61) 16,9082 13,9229 (16,94) (3,71) 22,8758 16,4284 (27,79) (8,23)

(24) (26) (27) 17,3405 16,5106 12,3827

(0,77) (5,52) (29,14) 18,8243 17,8948 13,2132

(0,89) (5,78) (30,43) 20,5634 19,5197 14,1631 (0,98) (6,01) (31,80) 25,1712 23,7843 16,5414

(0,74) (6,21) (34,77) 19,5221 18,4790 13,4328 (0,92) (6,22) (31,83) 21,1539 19,9845 14,2857 (1,04) (6,51) (33,17) 23,0625 21,7429 15,2542

(1,13) (6,78) (34,60) 28,1250 _ 26,3133 17,6471

(0,71) (7,10) (37,70) 6,8454 (0,19) 7,5274 (0,23) 8,3485 (0,29)

6,6749 5,8236 (2,67) (15,09) 7,3361 6,3463

(2,77) (15,89) 8,13836,9721

(2,80) (16,73) 10,6073 10,3900, 8,6849 (0,33) (2,37) (18,39) 8,4528

(O ,27) 9,2701

(0,33) 10,2476

(O ,39)

8,1950 6,9399 (3,31) (18,12) 8,9811 7,5296 (3,44) (19,04) 9,9280 8,2288

(3,50) (20,01) 12,9065 12,5464 10;1059

(9,37) (3,15) (21,99) 10,1618 9,7922 8,0407

(0,37) (3,99) (21,16) 11,1157 10,7011 8,6864 (0,44) (4,15) (22,20) 12,2498 11,7885 9,4449

(0,50) (4,25) (23,28) 15,3111 14,7523 11 ,4433 (0,36) (4,00) (25,53) 11,9856 11,4751 9,1265

(0,48) (4,72) (24,22) 13,0782 12,5051 9,8177 (0,56) (4,91) (25,35) 14,3709 13,7289 .0,6222

(0,61) (5,05) :26,54) 17,8459 17,0191 2,7042

(O ,31) (4,93) 29,03)

(22) 17,3056

(O ,97) 18,7617 (1,22) 20,4463 (1,55) 24,7008 (2,59) 19,4680 (1,20) 21,0582 (1,49) 22,8869 (1,88) 27,4519 (3,08) 6,8435 (0,21) 7,5235 (0,28) 8,3405 (0,38) 10,5633 (0,75) 8,4484 (0,32) 9,2617 (0,42) 10,2303 (0,56) 12,8178 (1,05) 10,1530 (0,45) 11,0990

(O ,59) 12,2163 (0,77) 15,1504 (1,41 ) 11,9691 (0,62) 13,0475 . (0,79)

Parâmetros 1*

n-1(%)-a(%) (%)"

(17)

6 - 9 - 10 14,0251 15,8570

(13,06)

6 - 9 - 15 15,2794 17,6867

(15,76)

6 - 9 - 20 16,7514 19,9937

(19,36)

6 - 9 - 30#' 20,5806 27,0502

(31,44)

6 - 10- 10 16,1647 18,5676 _(14,87)

6 - 10- 15 17,5701 20,7108 _(17,88)

6 - 10- 20 19,2102 23,4ll4

(21,87)

6 - 10- 30#' 23,4331 31,6742

(35,17)

6 - l l - 10 18,4873 21,5868

(16,77)

6 - l l - 15 20,0498 24,0776 _(20,09)

6 - II - 20 21,8637 27,2181

(24,49)

6 - l l - 30 # 26,4910 36,8245 _(42,97)

6 - 12 - 10 21,0235 24,9703 _(18,77)

6 - 12 - 15 22,7507 27,8515

(22,42)

6 - 12 - 20 24,7463 31,4843

(27,23)

6 - 12 - 30#' 29,7942 42,5963

(42,97)

-H p - a < O

Quadro I (Continuação 6)

Valor Percentual

(23) (24)

13,6760 13,9397

(2,49) (0,61 )

14,7585 15,1744

(3,41) (0,69)

15,9497 16,6300

(4,79) (0,72)

18,4757 20,5395

(10,23) (0,20)

15,6459 16,0431

(3,21) (0,75)

16,8057 17,4250

(4,35) (0,83)

18,0520 19,0504

(6,03) (O ,83)

20,5220 23,4261

(12,42) (O ,03)

17,7361 18,3190

(4,06) (0,91)

18,9572 19,8551

(5,45) (O ,97)

20,2341 21,6603

(7,45) (0,93)

22,5769 26,5464

(17,40) (0,52)

19,9581 20,7960

(5,07 (1,08)

21,2212 22,4961

(6,72) (1,12)

22,5007 24,4950

(9,07) (1,02)

24,6105 29,9502

(17,40) (0,52)

1 1

23.

Segundo a Relação

(26) (27) (22)

13,2540 10,1975 13,9108

(5,50) (27,29) (0,81)

14,4033 10,9242 15,1216

(5,73) (28,50) (1,03)

15,7600 ll,7625 16,5290

(5,92) (29,78) (1,33)

19,3599 13,8950 20,llll

(5,93) (32,49) (2,28)

15,1404 ll,2540 15,9947

(6,34) (30,38) (1,05)

16,4077 12,0069 17,3379

(6,62) (31,66) (1,32)

16,4077 12,0069 18,8875

(14,59) (37,50) (1,68)

21,7890 15,0215 22,7750

(7,02) (35,90) (2,81)

17,1484 12,2964 18,2405

(7,24) (33,49) (1,33)

18,5325 13,0664 19,7166

(7,57) (34,83) (1,66)

20,1460 13,9392 21,4069

(7,86) (36,75) (2,09)

24,3229 16,0886 25,5997

(9,44) (42,60) (4,07)

19,2947 13,3249 20,6723

(0,22) (36,62) (1,67)

20,7949 14 ,1034 22,2819

(8,60) (38,01) (2,06)

22,5330 14,9786 24,ll17

(8,94) (39,47) (2,56)

26,98ll 17,1010 28,5812

A análise realizada indica que a relação (24)

apresen-ta sempre a melhor aproximação para o valor i

l " Em termos

mé-dios,l esta relação apresentou um erro de aproximação da ordem

de 0,45%. A segunda aproximação mais acurada é obtida

tomando-se a raíz positiva da equação definida pela relação (22), cujo

erro médio observado foi da ordem de 0,62%. As demais

aproxi-maçoes deixaram, em geral, muito a desejar.

Deste modo, com base na investigação empírica

apresen-tada, pode-se concluir·que a estratégia que deve ser adotada p~

ra a determinação da taxa efetiva i* é a que consiste em, via

aplicação do algorítmo de Newton-Raphson, refinar a

aproxima-ção inicial fornecida pela versao adaptada da fórmula de Karpin,

corno expressa pela relação (24). Portanto, sendo i

l igual ao

valor derivado de (24), deve ser feito uso, se necessário,da re

cursão dada por (3), com V{i

p) corno dado por (4") e Vi (ik) como

dado por (5").

Concluindo a análise do caso onde, havendo exigência

de saldo-médio a posteriori, temos

p -

a > O, deve-se observar

que a investigação empírica apresentada confirma, como indicado

pelo bom senso, que a taxa efetiva i* é crescente tanto com a

taxa i quanto com o fator de retenção a. Ainda mais, mantidos

fixos i e a, vemos também que i* cresce com o número de

presta-çoes n.

25.

14.3 - Prestação Inferior ao Saldo-Médio

Consideremos agora, por fim, a situação onde o

saldo-médio excede o valor da prestação. Em tal eventualidade, o fl~

xo de caixa (10) caracteriza-se pelo fato de apresentar

exata-mente duas variações de sinais, já que a

n

=

p - a.E sera

nega-tivo. Adernais, procedendo-se

à

sorna algébrica dos fluxos,

te-mos que:

n

r

j=O

a.

=

E(n+l)i/[2-(n+l)i] + T

J ( 28)

relação que, urna vez satisfeita a condição necessária n < l / i ,

com O < i < 1, e posi t i va mesmo que não haja tributação (T

=

O) .

Deste modo, em função do trabalho de Jean (1968 e 1969),

sabe-mos que a tal fluxo cor respondem exatamente duas taxas internas

de retorno: urna sendo positiva, e a outra sendo negativa. Logo,

formalmente, ternos o colapso do conceito da TIR, visto não

ha-ver unicidade.

Para a determinação do custo efetivo para o tomador,

ternos as seguintes duas alternativas: a) considerar somente a

taxa interna positiva; b) usar o conceito de taxa de retorno

sobre o capital investido (ou taxa interna de retorno

4.3.1. - ConS~deraç~o da Taxa Interna de Retorno Posi-tiva

Uma possivel linha de açao, é a de desprezar a taxa i~ terna de retorno negativa e definir o custo efetivo para o toma dor como sendo igual

ã

taxa interna do retorno positiva do flu-xo de caixa dado por (20). Para que tal alternativa seja aceit~

vel, é preciso que os resultados dela d~rivados n~o contradigam o bom senso. Isto é, ela deve ser tal que o custo efetivo i* continue sendo uma função crescente tanto do coeficiente a, co-mo da taxa i e do número de prestações n. Cabe agora,

portan-to, realizar uma investigaç~o a esse respeito.

Na investigação empirica efetuada no item 4.2.4, verificou-se que, para certas combinações dos parâmetros n e i, e a

=

30%, ocorreram alguns casos onde p - a < O. Para tais casos, que ap~

recem identificados no Quadro I, constata-se que: a) o valor derivado da relaç~o (24) prevê uma excelente aproximação para a respectiva taxa interna de retorno, positiva, i*; b) O valor de i* cresce com a. Buscando verificar a robustez de tais infe-rências, a análise numérica foi estendida de modo a incluir o caso onde a

=

40%. Assim, no Quadro 11, para os valores de n e

1 - d

de i tais que, para a

=

0,4, tem-se p - a < O, sao apresenta os os correspondentes valores da taxa interna de retorno positiva,

i*,

e da aproximação inicial i

l obtida através da relaç~o (24) . Os resultados apresentados no Quadro 11 d~o margem seguintes conclusões: a) o valor da taxa interna positiva i*

...

as

1 Observe-se que isto nunca acontece, para os valores de i·

quando n = 2.

Quadro II 27·.

~doção de i* >

°

com p - a <

°

Parâmetros i* i ₁ Parâmetros i* i

1

n - i (%9' (%) (%) n - i (%) (%) (%)

-

_12,5836#

3 - 5 12,6384 _(0,43)/ 5 - 7 19,6370 19,7329

(0,49)

3 - 6 15,2482 15,1599 _(0,58) 5 - 8 22,5605 22,7662

(0,91)

3 - 7 17,9029 17,7721 5 - 9 25,5841 25,9517

(0,73) (1,44)

3 - 8 20,6098 2·0,4275 5 - 10 28,7312 29,3233

(0,88) (2,06)

4 - 5 13,5070 13,4445 _(0,46) 5 - 11 32,0267 32,9183

(2,78)

4 - 6 16,2365 16,1509 _(0,53) 5 - 12 35,4990 36,7789

(3,61)

4 - 7 19,0120 18,9064 6 - 5 14,2826 14,4089

(0,56) (0,88)

4 - 8 21,8473 21,7286 6 - 6 17,1090 17,3788

(0,54 ) (1,58)

4 - 9 24,7562 24,6357 6 - 7 20,0129 20,5020

(O ,49) (2,44)

4 - 10 27,7530 27,6463 6 - 8 23,0254 63,8256

(0,38) (3,48)

4 - 11 30,8526 30,7806 6 - 9 26,1787 27,4001

(0,23) (4,67)

4 - 12 34,0715 34,0601 6 - 10 29,5085 31,2821

(0,03) (6,01)

5 - 5 14,0035 13,9960 6 - 11 33,0557 35,5373

(0,05) (7,51)

5 - 6 16,7919 16,8198 6 - 12 36,8685 40,2445

(0,17) (9,16)

~

Valores entre parênteses denotam o valor absoluto do erro relativo

per-centual.

I

oi

cresce com n, com n e com i; b} a qualidade da aproximação ini cial i

l derivada da aplicação da relação (24) deteriora-se

à

d 'd 1 d d ' 1

me 1 a que crescem os va ores e n e e 1. Consequentemente, parece ser válida a alternativa que consiste em tomar como o custo efetivo do empréstimo, no caso de saldo-médio a posterio-ri com p - n < O, a taxa interna de retorno positiva do resul-tante fluxo de caixa (tal como dado por (10».

A adequabilidade do emprego da taxa interna de retorno positiva como medida do custo efetivo i* para o tomador do fi-nanciamento, é facilmente-justificada quando se concentra aten ção no caso onde n

=

2. Nesta eventualidade, supondo-se um em-préstimo unitário e tendo em vista o fluxo de caixa dado por

(10), segue-se que, resolvendo-se a resultante equaçao do 29 grau, que se faz presente se

p

I

n, o valor de i* é dado por:2

i*= (3p-2n- ]l):/(]l--p) (29' )

onde

2

]l - P

+

4(p-n)(1-n-l{) (29")

Fixando-se i

=

10% por período, o que implica em que

p

=

0,588235, I{)

=

O -e lançando-se mão de (29'), o comportamento

de i* em função de n é sumariado no Quadro III.

IEm particular, para certos casos onde n = 6, tal aproximasão é menos acura-da que a obtiacura-da considerando-se a raíz positiva acura-da equaçao acura-daacura-da por (22),

29.

Quadro 111

Comportamento de i* em.Função de a

a (%) i* (%) a (%) i* (%)

-30 18,7179 a = p 42,8571

40 23,4520 59 43,1714

50 31,1071 60 45,0309

55 36,9244 65 56,8137

58 41,4423 70 74,7608

Como se verifica, corroborando o resultado da análise

numérica anterior, independentemente do sinal da diferença ~-a,

o valor de i* cresce com a proporção do saldo-médio a.

Resta ainda, entretanto, a questão relativa

à

determi-naçao numérica da taxa de retorno positiva. A rigor, a

aplica-bilidade do algoritmo de Newton-Raphson não é assegurada. Isto

porque, para a classe de projetos caracterizada por duas

varia-ções de sinais na seqüência de seus fluxos de caixa, a função

valor atual não só não é monotona como muda de concavidade.

En-tretanto, dada a robustez do método (cf. Santos (1982, pgs,

62-78», sugerimos que, partindo da aproximação inicial i l como d~

da pela relação (24), o algoritmo de Newton-Raphson seja

utili

-zado da mesma forma que no caso onde p-a > O. Se, porventura,

alterna-tivos, tais como o algorítmo de Boulding ouo método da

bisse-çao. Para tanto, veja-se de Faro (1985a, pgs. 133-151).

4.3.2 - Uso da Taxa Interna de Retorno Generalizada

Especificamente com vistas a casos de projetos com

mais de uma taxa interna de retorno, foi desenvolvida uma

meto-dologia alternativa que também faz uso explícito da taxa de

ju-ros p que vigora no mercado de capitais, embora em um sentido

diferente do empregado no conceito da perda P que discutimos na

seção 3.1. Esta metodologia, originalmente sugeridapor Duguid

e Laski (1964) e Teichroew, Robichek e Montalbano (1965a, b) ,

gera, como proposto por Mao (1969), a chamada taxa. de retorno

sobre o capital investido, ou taxa interna de retorno general

i-zada (TIRG).

A TIRG goza da propriedade de existir sempre e ser úni

ca; sendo, pois·, livre de ambigüidades. 1 Des'te modo,

parece-nos apropriado investigar a aplicação da TIRG como medida do

custo efetivo para o tomador de empréstimo, no caso onde a

exi-gência de saldo-médio a posteriori

é

tal que p - a < O.

Para tanto, supondo que 2p - a > O, o que se afigura

como uma imposição bastante razoável, far.emos uso do

apresenta-do em de Faro (1987).

Denotando aTIRG por

l,

temos que, na situação

.consi-derada, ela será definida como a taxa interna de retorno, no

sentido usual, do fluxo de caixa seguinte,que contém

exatamen-te n - 1 períodos:

.0('

- - - ---~

31.

- ( l - a - I P ) , j = O

a. =

J p, j = 1, ... ,n-2 (30)

p +

(p -

a) (l+p) -1 , j = n - 1

Como o fluxo de caixa acima, para p > O, o que é o

ca-so de interesse prático, apresenta uma única variação de sinal,

segue-se que

i

existe sempre e é única, sendo tal que:l

-Para que a taxa interna de retorno generalizada i

pos-sa ser tomada como o custo de empréstimo, é necessário que seu

valor seja crescente tanto com a, n e i , como também com p.

Co-mo, em geral, não dispomos de solução analítica para i*, iremos

concentrar atenção no caso de somente duas prestações, quando

tal é possível.

-Para n = 2, decorre imediatamente de (31) que a TIRG i

pode ser explicitada de tal modo que:

I.

=

{p

+

(p -

a) (1

+

p)-l}/(l-a-IP) - 1 (32)

...

t,

pois, de conclusão imediata que ai/ap > O , que

ai/aa >

O

e que ai/ap >

O.

Por outro lado,

observand~

que, como

decorre de (1), ap/ai > O, segue-se que, tendo em vista a regra

da derivação em cadeia, que também ai/ai>

o.

Deste modo, fica

comprovada a adequabilidade do conceito da TIRG como medida do

custo efetivo para o tomador do emprés~imo.

Para o caso onde n

=

3, uma solução analítica para a

-TIRG i

é

também possível. Basta tomar a raiz positiva da

equa

-ção do segundo grau em i que decorre de (31). Para n > 3,

de-ve-se usar o algoritmo de Newton-Raphson, fazendo-se uso da

re-cursa0 dada por (3), sendo agora:

( 33) e

- -n-l

= p{(n-l) (l+i

k) - a

_n-ll

l/ik+

i _k

- -1 -n

+ (l-n) (p - a) (l+p) (l+i

33.

Quanto a obtenção de uma aproximação inicial,

observe-se que, fazendo-observe-se:

lo

R = p (1

+

p) /

(p -

ex) ( 35)

\I = ( 1 - ex - I{J) (1

+

p)/(ex -

p)

(36)

e

h = n - l (37)

a relação (31) pode ser reescrita como:

R {I - ( 1

+

i)

-h}

li -

(1

+

!)

-h

=

\I (31' )

que

é

análoga

à

relação (12).

Segue-se, então, que podemos fazer uso do mesmo

proce-dimento utilizado para obter-se a aproximação inicial discutida

no item 4.2. Deste modo, sendo agora

a = (38)

b = (h

+

1) /2 -

hl

(1

+

\I) (39)

c

=

h.

RI

(1

+

\I) - 1 ( 40)

-segue-se que a aproximação inicial para i será dada pela aplica

5. - Conclusão

Estudamos aqui o problema da determinação do custo efe tivo de um empréstimo bancário, com exigência de reciprocida-de explicitada em termos reciprocida-de saldo-médio, na hipótese reciprocida-de que o mesmo deva ser resgatado por intermédio de prestações periódi-cas.

No caso dito de exigência a priori, constata-se a fa-lência da metodologia c~ássica baseada no conceito da taxa in-terna de retorno. Em tal eventualidade, deve ser utilizada a idéia do custo de oportunidade para o cliente, imputando-se ex-plicitamente a perda incorrida com a obrigatoriedade do depósi-to prévio.

Em havendo exigência

à

posteriori, pode-se dizer que, formalmente, no sentido de não ser satisfeito o requesito de unicidade de solução, pode ou não haver a falência da metodolo-gia da taxa interna de retorno. No caso em que '0 resultante

fluxo de caixa mantiver uma única variação de sinal, garante-se a unicidade da solução. Sendo que tal solução pode ser eficie~

al-I.

I

I·

•

(

35 •

ternativa é considerar somente a taxa interna de retorno

posi-tiva, que também é aproximada pela adaptação da fórmula de

Kar-pino Um~ outra possibilidade é o" emprego do conceito da _taxa.

interna de retorno generalizada, que, do mesmo modo que no caso

de exigência a priori,leva também em conta a taxa de juros

vi-gente no mercado de capitais. Como indicado, esta taxa

genera-lizada pode, por sua vêz, ser aproximada pela adaptação da

i

i.

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