PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA EM REDE
NACIONAL
–
PROFMAT
ELEMENTOS DE GEOMETRIA ANALÍTICA: USO DO
APLICATIVO
GRAFEQ
NA REPRODUÇÃO DE
OBRAS DE ARTE
DISSERTAÇÃO DE MESTRADO
Joseane Fiegenbaum
Santa Maria, RS, Brasil
ELEMENTOS DE GEOMETRIA ANALÍTICA: USO DO
APLICATIVO
GRAFEQ
NA REPRODUÇÃO
DE OBRAS DE ARTE
Joseane Fiegenbaum
Dissertação apresentada ao curso de Mestrado do Programa de
Pós-Graduação em Matemática em Rede Nacional
–
PROFMAT, da
Universidade Federal de Santa Maria (UFSM, RS), como requisito
parcial para a obtenção do grau de
Mestre em Matemática
Orientadora: Professora Dra. Carmen Vieira Mathias
Santa Maria, RS, Brasil
Fiegenbaum, Joseane
Elementos de Geometria Analítica: Uso do aplicativo GrafEq na reprodução de obras de arte / Joseane
Fiegenbaum.-2015. 141 p.; 30cm
Orientadora: Carmen Vieira Mathias
Dissertação (mestrado) - Universidade Federal de Santa Maria, Centro de Ciências Naturais e Exatas, Programa de Pós-Graduação em Matemática, RS, 2015
Agradeço primeiramente a Deus pela força e sabedoria nos momentos mais difíceis. Aos meus pais, pelo apoio incondicional, pelo carinho e pela compreensão. Pela preocupação com cada longa viagem para as aulas em Santa Maria e pelos almoços
nos domingos de estudos.
Às minhas irmãs, pelo incentivo e torcida em cada etapa enfrentada. Às meninas Luisa e Amanda, pela luz e alívio de seus abraços.
Ao Márcio, pelo amor e carinho nessa etapa final.
Aos amigos que estiveram por perto nesses últimos anos, me apoiando e incentivando, e que compreenderam minha ausência em muitos momentos. Aos colegas professores nesses anos de docência, da Escola Estadual Madre Benícia e da Escola Estadual Dom Pedro I, de Novo Hamburgo e do Instituto de Educação Cenecista General Canabarro, de Teutônia. As aprendizagens e desafios
do caminho da docência foram motivação para essa busca.
Aos amigos e colegas da Escola Municipal D. Pedro II de Lajeado, pelo apoio, compreensão, trocas de horários, incentivos e abraços.
A todos professores da UFSM que fizeram parte desses anos de PROFMAT, e nos auxiliaram muito nessa caminhada.
Agradeço em especial à professora Carmen Vieira Mathias, pela orientação, dedicação, apoio e paciência. Também pela excelente coordenação do curso
durante os anos de 2013 e 2014.
Agradeço aos colegas da turma de 2013, em especial aos colegas Gustavo e Adilson, pelo companheirismo, conversas, caronas e momentos de estudos e trocas.
À direção do IFRS – Instituto Federal do Rio Grande do Sul – Campus Ibirubá, pela concessão de horário e incentivo à capacitação.
Aos colegas do Campus Ibirubá, principalmente aos professores da sala da Matemática, pelas ajudas, aprendizagens e pela compreensão.
Aos alunos dos terceiros anos do Ensino Médio de 2015 do IFRS – Campus Ibirubá, pela participação e dedicação nesse trabalho.
RESUMO
Dissertação de Mestrado
Programa de Pós-Graduação em Matemática em Rede Nacional – PROFMAT
ELEMENTOS DE GEOMETRIA ANALÍTICA: USO DO APLICATIVO
GRAFEQ
NA REPRODUÇÃO DE OBRAS DE ARTE
AUTORA: Joseane Fiegenbaum
ORIENTADORA: Carmen Vieira Mathias.
Data e local da defesa: Santa Maria, 16 de Julho de 2015.
Este estudo aborda o uso das tecnologias no ensino da Matemática, mais especificamente, o software GrafEq para desenvolver atividades de Geometria
Analítica. Para tal, foram aplicadas atividades ao longo de 5 semanas a duas turmas do terceiro ano do Ensino Médio do Instituto Federal Rio Grande do Sul, Campus Ibirubá. A análise qualitativa dos dados foi obtida relacionando-se o relato de experiência das atividades realizadas referentes aos conteúdos matemáticos com os registros apresentados pelos alunos no desenvolvimento de uma atividade final que envolvia a reprodução de uma obra de arte. Os resultados apresentados apontam que o uso das tecnologias pode contribuir no processo de ensino-aprendizagem de Matemática. Além disso, esta pesquisa deixa a disposição as atividades elaboradas sobre o conteúdo de Geometria Analítica, para que possam ser utilizadas, modificadas ou servir de inspiração a outros professores.
ABSTRACT
Master´s Essay
Post Graduation Program in Mathematic in National Network - PROFMAT
ANALYTICAL GEOMETRY ELEMENTS: APPLICATION GRAFEQ USE
IN WORKS OF ART REPRODUCTION
AUTHOR: Joseane Fiegenbaum
INSTRUCTOR: Carmen Vieira Mathias.
Date and defense site: Santa Maria, July 16, 2015.
This study addresses the use of technologies in the teaching of mathematics, more specifically, the GrafEq software in order to develop analytic geometry
activities. For this purpose, activities have been applied for five weeks to two classes of the third year of high school at the Federal Institute of Rio Grande do Sul, Ibirubá Campus. The qualitative analysis of the data was obtained relating the experience report of the activities related to mathematical content to the records presented by the students in the development of a final activity that involved the reproduction of a work of art. The results presented show that the use of technology can contribute to the mathematics teaching-learning process. In addition, this research makes the elaborate activities on the content of analytical geometry available, so they can be used, modified, or serve as inspiration to other teachers.
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO
... 81 REFERENCIAIS TEÓRICOS
... 121.1 Uso de tecnologias e software GrafEq ... 12
1.2 Trabalhos acadêmicos relacionados ao tema ... 16
1.3 Geometria Analítica ... 20
1.3.1 Conceitos iniciais ... 20
1.3.2 Estudo de retas ... 23
1.3.3 Condição de paralelismo e perpendicularismo ... 27
1.3.4 Circunferência e elipse ... 28
2 METODOLOGIA
... 322.1 Introdução ... 32
2.2 Sobre as turmas ... 32
2.3 Acompanhamento das atividades realizadas pelos alunos ... 33
3 PROPOSTA DE ABORDAGEM E RELATO DE EXPERIÊNCIA
... 343.1 Introdução ... 34
3.2 Primeiras atividades... 34
3.4 Estudo de retas no plano ... 43
3.5 Sobre a equação reduzida da reta, paralelismo e perpendicularismo ... 51
3.6 Equação da circunferência e da elipse ... 58
3.7 Atividade final ... 65
4 ANÁLISE DOS RESULTADOS
... 704.1 Observações gerais ... 70
4.2 Obras de Rubem Valentim ... 71
4.3 Obras de Auguste Herbin ... 84
4.4 Obras de Alexander Calder ... 94
4.5 Obra de Kandinsky e finalização... 103
CONCLUSÃO
... 108REFERÊNCIAS
... 112INTRODUÇÃO
A elaboração dessa dissertação busca apresentar uma proposta de ensino-aprendizagem de elementos da Geometria Analítica usando um software que permite a construção de elementos geométricos, associando o estudo de Matemática e Artes, oportunizando aos alunos um olhar diferente para esses conteúdos e ampliando sua percepção sobre a matemática presente no nosso cotidiano.
No constante trabalho em sala de aula percebemos a dificuldade que alguns alunos possuem para se adaptar ao uso de ferramentas de aprendizagem que ainda hoje prevalecem em nossas salas de aula, como o quadro e o giz, ou o seu caderno e o lápis. Além disso, num momento de extrema modernidade, com uso de tecnologias cada vez mais avançadas, em geral, os laboratórios de informática não funcionam adequadamente ou os alunos não têm acesso com frequência ao mesmo, ou ainda não há disposição para levar material multimídia para a sala de aula.
Mas é realidade que nossos alunos estão constantemente conectados. Por conta disso são crescentes as ideias e propostas que envolvem as tecnologias no ensino. Proporcionar aos alunos trabalhos que os desafiem e que estejam interligados com uso de tecnologias, proporciona um maior interesse e permite a construção do seu próprio conhecimento.
A ideia de unir Matemática e Artes é proveniente do período em que realizei o curso de graduação de Licenciatura em Matemática, no qual atuei como monitora da disciplina de Educação Matemática e Tecnologia Informática. A graduação foi realizada na Universidade Federal do Rio Grande do Sul, entre os anos de 2003 e 2007. Esta monitoria, que ocorreu durante o ano de 2007, foi a primeira experiência com o uso de softwares e desenvolvimento de propostas para ensino-aprendizagem de Matemática que fizessem uso de tecnologia. Foi praticamente um ano de atividades junto com a orientadora, onde a atividade que mais exploramos foi uma proposta de releitura de obras de arte usando o software GrafEq.
concomitantemente com uma escola da rede privada de Teutônia por 2 anos e meio. E recentemente, venho atuando com turmas de Ensino Médio e com turmas de Ensino Superior, especificamente, do curso de Licenciatura em Matemática do Instituto Federal Rio Grande do Sul, Campus Ibirubá. Nesses anos que trabalhei com Ensino Fundamental da rede pública, em nenhum momento foi desenvolvida uma proposta de atividade que envolvesse o uso de laboratório de informática, pela precariedade das salas ou pelo número excessivo de alunos na turma. Apenas foi feito uso desses recursos e de softwares enquanto trabalhei na escola particular, principalmente para construção de gráficos no estudo de Funções e de curvas no estudo de Geometria Analítica.
A proposta de explorar o software GrafEq com os alunos, explorando
conteúdos de Geometria Analítica e motivando-os ao final a reproduzirem obras de arte, foi escolhida não somente pelo constante debate sobre tecnologias na escola, como também por apresentar um outro ponto de vista aos conteúdos estudados, em que os alunos precisam descobrir as relações que irão fazer uso.
Pensando nisso tudo, são apresentadas algumas questões: Como as tecnologias podem auxiliar na proposta de ensino-aprendizagem de matemática? O software é adequado para o ensino desses conteúdos? A proposta desafiante serviu de motivação aos alunos? Quais foram as principais dificuldades durante o desenvolvimento da atividade?
E a partir disso, a motivação foi a questão central que direciona esse trabalho: É proveitoso fazer uso do software GrafEq ao aplicar essa proposta no Ensino
Médio, visando uma nova abordagem para a compreensão de alguns elementos de estudos da Geometria Analítica?
Guiado por esses questionamentos, o trabalho aqui desenvolvido é apresentado da seguinte forma: No primeiro capítulo, são vistas algumas informações sobre o uso das tecnologias na educação e o uso do software GrafEq,
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No segundo capítulo, são apresentados de forma breve o contexto de aplicação das atividades e a metodologia utilizada no desenvolvimento da pesquisa. No terceiro capítulo, a proposta criada para abordar conteúdos de Geometria Analítica fazendo uso do software GrafEq é apresentada, assim como sugestões
1 REFERENCIAIS TEÓRICOS
1.1 Uso de tecnologias e software GrafEq
Remetendo-nos ao estudo da evolução do uso de tecnologias relacionadas à educação, é importante ressaltar, que a forma como a sociedade tem se desenvolvido nos últimos anos exige que a educação se reinvente, se adapte às novas tecnologias muito presentes e acessíveis a toda população. São inúmeras situações de conflito perceptíveis no contexto escolar em virtude da dificuldade dos alunos se desligarem de seus aparelhos eletrônicos, onde muitas vezes estão conectados virtualmente e se comunicando com outras pessoas, para reservarem atenção suficiente para a fala do professor em uma sala de aula. Podemos perceber algumas evoluções surgidas com o desenvolvimento da informática, quando refletimos sobre o texto de Tajra,
Podemos verificar que nos últimos anos surgiram, de forma nunca vista antes, inclusive nos aspectos quantitativo e qualitativo, grandes mudanças tecnológicas, principalmente no campo da microeletrônica e das telecomunicações, as quais proporcionaram o desenvolvimento em diversas áreas: economia – inclusive na vasta expansão do capitalismo; industrial – com a gama de processos que passaram a ser automatizados e robotizados; engenharia – possibilitando cada vez mais segurança à construção de máquinas e edificações complexas; telecomunicações – a possibilidade de nos comunicarmos com celulares; medicina – com a precisão dos resultados dos diagnósticos de doenças antes não detectadas em tempo hábil; aeroespacial – a criação do ônibus espacial, possibilitando levar as pessoas à órbita da Terra e seu devido retorno. Todas essas evoluções científicas foram também favorecidas pela informática, que possibilita o embasamento e aprimoramento dos processos de produções e pesquisas. (TAJRA, 2013, p.24)
Hoje, a variedade de recursos que temos a nossa disposição permite o avanço na discussão que trata de inserir a escola na cultura do virtual. A
tecnologia digital coloca à nossa disposição ferramentas interativas que incorporam sistemas dinâmicos de representação na forma de objetos concreto-abstratos. São concretos porque existem na tela do computador e
podem ser manipulados, e abstratos porque respondem às nossas elaborações e construções mentais. (GRAVINA, BASSO, 2012, p.14)
A disponibilidade de recursos presente na fala dos autores citados nos faz perceber que uma das necessidades na educação é rever algumas práticas em sala de aula, buscando aprimorar o currículo, aproximando-o da realidade dos alunos. Segundo Pais (2010, p.29) “No plano didático, o uso da informática traz também desafios de diferentes ordens, envolvendo a necessidade de rever princípios, conteúdos, metodologias e práticas compatíveis com a potência dos instrumentos
digitais.”.
Encontramos aqui, um dos pontos de conflito na ação de inserção das novas tecnologias nos processos de ensino-aprendizagem: os desafios dos professores de aprenderem, adaptarem e utilizarem as novas tecnologias em sua prática em sala de aula. Professores estes, que tiveram praticamente todas suas experiências educacionais de forma tradicional, num sistema educacional no qual todo esse processo encontra-se enraizado há muitos anos. Para agora, terem que se adaptar a um sistema que se encontra sempre em mudanças e aperfeiçoamentos, onde a cada momento é possível inserir um novo conhecimento, uma nova variável, uma outra dificuldade.
A rapidez das inovações tecnológicas nem sempre correspondem à capacitação dos professores para a sua utilização e aplicação, o que muitas vezes, resulta no uso inadequado ou na falta de criação diante dos recursos tecnológicos disponíveis, mas não tendo mais o monopólio da transmissão de conhecimentos, exige-se à escola e ao professor, em particular, a função social de orientar os percursos individuais no saber e contribuir para o desenvolvimento de competências, habilidades e cidadania. (SERAFIM, SOUZA, 2011, p. 24)
Percebemos uma necessidade de rever a atuação do professor, na qual ele aparece com uma nova função, de administrar o processo de ensino-aprendizagem do aluno, diante das inúmeras informações que chegam até ele pelos diferentes meios tecnológicos. Nesse contexto, Pais também destaca que
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Destacamos esse aspecto em virtude dos recursos digitais, tal como a Internet, se constituírem em um importante meio para a obtenção de informações, sendo estas entendidas como matéria prima para a elaboração do conhecimento. (PAIS, 2010, p.20)
Pais (2010) ainda fala sobre a necessidade do docente de trabalhar com as informações à disposição, e de ter a competência de pesquisar, associar e aplicar essas informações às situações de interesse do aluno. Diante dessas colocações, ao planejarmos a atividade, na proposta aqui apresentada, certamente buscamos refletir sobre os interesses dos alunos em cada item a ser desenvolvido. E o fato de fazer uso das tecnologias vem para aproximar o processo de ensino-aprendizagem de sua realidade, pelas diferentes possibilidades que esse processo permite, como colocam Gravina e Basso,
A tecnologia digital coloca à nossa disposição diferentes ferramentas interativas que descortinam na tela do computador objetos dinâmicos e manipuláveis. E isso vem mostrando interessantes reflexos nas pesquisas em Educação Matemática, especialmente naquelas que têm foco nos imbricados processos de aprendizagem e de desenvolvimento cognitivo nos quais aspectos individuais e sociais se fazem presentes. (GRAVINA, BASSO, 2012, p.13)
Para facilitar essa ligação entre o uso da informática no processo de ensino-aprendizagem da Matemática, muitos softwares educacionais foram desenvolvidos. Dentre eles, na área da Matemática, podemos citar Geogebra, Winplot, Régua e
Compasso, S-Logo e GrafEq. O último foi o utilizado para a atividade proposta.
A escolha do software GrafEq se deve a dois motivos: primeiramente, ao fato
da nossa experiência no uso desse software, no sentido de conhecermos suas funções e possibilidades. Além disso, acreditamos que as atividades que iremos desenvolver se enquadram de diversas formas nas possibilidades citadas acima, como para ensinar, aprender e estimular a criatividade. Destacamos ainda, o que Gravina e Basso apresentam sobre o GrafEq:
Para trabalhar com funções de uma variável real, com equações de geometria plana e com conjuntos de pontos que satisfazem desigualdades no plano, temos o software GrafEq. A sua interface de
trabalho é bastante simples e tem recursos de cores que produzem efeitos interessantes. Com esse software podemos, por exemplo, desenhar
paisagens e essa atividade exige associar “formas” a relações matemáticas.
reflexões, dilatações, contrações – de modo a obter a “forma” desejada. (GRAVINA, BASSO, 2012, p.25).
Apesar de usarmos a ferramenta de forma um pouco diferenciada do que propõem os autores acima, uma vez em que utilizamos do ponto de vista da Geometria Analítica, e não a partir de funções, concordamos que este software apresenta uma interface simples e seus recursos de cores permitem, por exemplo, a reprodução das obras de arte.
Sobre o uso de softwares, destacamos inicialmente, segundo Tajra que
A utilização de um software está diretamente relacionada à capacidade de percepção do professor em relacionar a tecnologia à sua proposta educacional. Por meio dos softwares podemos ensinar, aprender, simular, estimular a curiosidade ou, simplesmente, produzir trabalhos com qualidade. (TAJRA, 2013, p. 65)
Dentro do contexto da proposta que vamos apresentar, cabe destacar ainda a opção por trabalhar com obras de arte. Frequentemente encontramos nas escolas um incentivo a desenvolver atividades interdisciplinares. E sabemos que muitos conteúdos matemáticos dificultam essa interação. Nesse sentido, realizar o estudo de elementos da Geometria Analítica a partir de obras de arte pode apresentar muitas possibilidades, podendo-se inclusive ampliar o contexto da abordagem, integrando estudos históricos e filosóficos a partir das obras estudadas. Percebemos essa possibilidade no texto de Fainguelernt e Nunes,
A matemática e a arte nunca estiveram em campos antagônicos, pois desde sempre caminharam juntas, aliando razão e sensibilidade. Na verdade, podemos observar a influência mútua de uma sobre a outra desde os primeiros registros históricos que temos de ambas. Essas duas áreas sempre tiveram intimamente ligadas, desde as civilizações mais antigas, e são inúmeros os exemplos de sua interação. Muitos povos utilizaram elementos matemáticos na confecção de suas obras: os egípcios com suas monumentais pirâmides e gigantescas estátuas; os gregos com o famoso Parthenon e com seus belíssimos mosaicos, os romanos com suas inúmeras construções em formas circulares, entre elas o Coliseu. (FAINGUELERNT, NUNES, 2007, p.18).
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1.2 Trabalhos acadêmicos relacionados ao tema
Na busca por trabalhos referentes ao tema, realizamos inicialmente uma pesquisa nas dissertações defendidas por discentes do Mestrado Profissional em Rede Nacional – PROFMAT. Pesquisando por trabalhos que envolvem obras de arte, encontramos a dissertação de Segura (2013). As demais, que de alguma forma envolveram arte, tratavam de origamis, do número de ouro, ou outros, não possuindo relações com nossa proposta.
Em seu trabalho, Segura (2013), desenvolveu atividades relacionadas à Geometria Analítica fazendo uso do software Geogebra, guiando suas atividades,
para ao final ter obtido a releitura de uma obra Kandinsky. Na oportunidade, a autora abordou temas sobre o Ensino de Matemática, o uso de tecnologias e do Geogebra,
Abstracionismo e Releituras de Obras de Arte, método convencional do ensino de Geometria Analítica, e trouxe propostas para uma nova abordagem usando o software Geogebra. De forma muito interessante em seu trabalho, a autora buscou
não apenas usar o software para mostrar as propriedades da Geometria Analítica, mas também usar algumas de suas ferramentas para fazer um estudo mais aprofundado dessas propriedades, além de trazer fortemente a ideia da interdisciplinaridade.
Ao encerrar sua pesquisa, Segura apresenta numa de suas conclusões, em relação ao uso de tecnologias para desenvolver sua aula, a seguinte consideração:
Considerando a aceitação por parte dos alunos, não restam dúvidas de que o ensino da Matemática com a utilização da tecnologia não apenas desperta um maior interesse pela aprendizagem, mas possibilita a aquisição da aprendizagem de forma mais efetiva, uma vez que o aluno não é apenas ouvinte, ou mero reprodutor do conhecimento, mas tem participação ativa, questionando, conjecturando, criando, pensando nos conceitos de maneira mais ampla e construindo seu conhecimento. (SEGURA, 2013, p.83)
Geometria Analítica com formas geométricas que essas obras apresentam, permitindo que eles criem autonomia e consigam reproduzir outras obras de arte.
Ainda investigando os trabalhos recentemente publicados pelos discentes do PROFMAT, buscamos por aqueles que tratavam do uso das tecnologias no Ensino da Matemática. Muitos trabalhos abordam esse tema, mostrando como temos possibilidades de trabalhar com as tecnologias atualmente. Um deles é o trabalho de Oliveira (2014), que criou propostas de ensino de alguns conteúdos de Geometria Analítica fazendo uso do software Geogebra. O autor traz inicialmente uma
abordagem histórica sobre a Geometria Analítica, e menciona os Parâmetros Curriculares Nacionais ao discutir o uso de softwares na Educação Matemática. O trabalho possui uma seção especialmente dedicada ao software Geogebra, onde
explora suas funcionalidades, e em seguida, apresenta as propostas de atividades. Percebemos aqui, que as propostas são basicamente construções, seguidas de questionamentos que induzem as tradicionais explicações sobre Geometria Analítica.
Acreditamos, que ao introduzirmos as reproduções de obras de arte em nossa proposta, e não apenas trabalhar os conceitos em algum software adequado, como na proposta de Oliveira (2014), estamos motivando os alunos a utilizarem sua criatividade na aprendizagem dos conteúdos.
Na perspectiva de fazer uso das tecnologias, destacamos o trabalho de Navarro (2013) que trouxe uma proposta para o ensino de Ponto e Reta (na perspectiva da Geometria Analítica) fazendo uso do software Geogebra. Ele
inicialmente traz uma breve discussão sobre o Ensino da Matemática e o uso de tecnologias, além de uma pesquisa com professores sobre sua formação e sobre hábitos no processo de ensino-aprendizagem (quanto ao uso ou não de laboratório de informática, softwares e livros didáticos).
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Além dos trabalhos citados, provenientes de dissertações do PROFMAT, ampliamos nossa busca por trabalhos que envolvessem arte, uso de recursos tecnológicos e/ou o ensino de Matemática. Um dos trabalhos que encontramos foi a dissertação de mestrado de Antoniazzi (2005), que mostra em seu trabalho que é possível uma associação entre a Matemática e a Arte. Segundo a autora
Através da história, percebe-se que Matemática e Arte andaram juntas e, no decorrer dos tempos, essa união se apresentou de tal forma que, muitas vezes, estão implícitos conceitos matemáticos nas experiências artísticas e vice-versa. (ANTONIAZZI, 2005, p.24)
A autora aborda em seu texto, críticas ao sistema convencional de ensino, onde as disciplinas que geralmente são vistas como importantes são aquelas mais exigentes e maçantes, enquanto que disciplinas como Artes que envolvem outro tipo
de formação do ser humano, ficam “exprimidas” entre as demais, e muitas vezes são consideradas sem relevância. Desenvolveu com alunos do Ensino Fundamental, atividades utilizando o Tangram (quebra-cabeça a partir de um quadrado), ao longo do ano letivo em que foi realizada a aplicação. De fato, existem muitas possibilidades de inserir atividades interessantes no ensino da Matemática, como a utilização do Tangram. O que percebemos, é que a autora não trabalhou nenhum conteúdo específico com os alunos. Acreditamos que o que difere nosso trabalho do de Antoniazzi (2005) , é que pretendemos mostrar que essa associação entre Arte e Matemática pode sim ser trabalhada em sala de aula (e no nosso caso, no laboratório de informática) incrementando os conteúdos.
Ainda em trabalhos provenientes da conclusão de mestrado, encontramos o trabalho de Santos (2008), que utiliza o GrafEq para desenvolver atividades sobre
Geometria Analítica. Para desenvolver seu trabalho, o autor trouxe alguns exemplos de demonstrações relacionando ao estudo de Geometria com o estudo da Álgebra, mostrando, dessa forma, a relevância da Geometria Analítica que permite essa conexão. Além disso, o autor traz o estudo das relações entre as tecnologias digitais e a educação Matemática, citando em seu texto características importantes sobre o software GrafEq, que também utilizamos em nosso trabalho. Segundo Santos,
A diferença entre o GrafEq e outros softwares existentes no mercado para
As atividades desenvolvidas pelo autor não foram aplicadas aos alunos como conteúdo previsto na grade curricular, mas sim, para uma turma de Ensino Médio que ainda não havia tido contato com a Geometria Analítica. As atividades foram desenvolvidas de forma que os conteúdos aparecessem para resolver os desafios que os problemas apresentavam, e nesse momento o professor intermediava com os conceitos matemáticos.
Consideramos a forma como a proposta anterior foi desenvolvida muito interessante, e comparamos com a proposta que desenvolvemos. Em alguns momentos elas se tornam parecidas, pois as atividades são propostas para que os alunos percebam os conceitos. Diferenciamos em nossas atividades o fato de que procuramos formalizar o conceito matemático envolvido logo que ele era percebido pelos alunos.
Finalizando, consideramos ainda o trabalho de Goulart (2009), cuja proposta foi muito próxima do trabalho que estamos desenvolvendo. Inicialmente, Goulart (2009) traz em seu texto um pouco das relações entre as tecnologias digitais e o ensino de Matemática, após, traz as demonstrações dos conteúdos matemáticos sobre Geometria Analítica envolvidos na proposta que irá apresentar. Por fim a proposta de atividades, onde trabalha os conteúdos a partir de obras de arte escolhidas para esse fim.
Uma das diferenças entre o trabalho de Goulart (2009) e a proposta que desenvolvemos, é referente a alguns conteúdos. Nessa dissertação foram abordados os conteúdos de plano cartesiano, equação reduzida da reta, condições de paralelismo e perpendicularismo. Em nosso trabalho, além dessas abordagens, buscamos incentivar os alunos a descobrirem a equação da reta (geral ou reduzida), através das informações provenientes da representação dessa obra no plano cartesiano. Além disso, a autora aborda com detalhes o estudo das cônicas, conteúdo que não abordamos em nossa proposta, por não constar na grade curricular das turmas onde foi realizada a aplicação das atividades.
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1.3 Geometria Analítica
Nessa seção, realizaremos uma apreciação da forma como são trabalhados alguns conteúdos de Geometria Analítica em três diferentes livros didáticos disponíveis para o Ensino Médio, além de trazer explicações sobre os principais itens a serem abordados nas propostas de atividades aos alunos. Serão consideradas três obras: Conexões com a Matemática, organizado por Juliane Matsubara Barroso (Barroso, 2013), Matemática: contexto e aplicações, de Luiz Roberto Dante (Dante, 2010) e Matemática: ciências e aplicações, de Gelson Iezzi e outros (Iezzi,2013).
1.3.1 Conceitos iniciais
Os itens abordados nesta seção foram trabalhados com os alunos em sala de aula, antes de iniciarem a proposta de ensino-aprendizagem que apresentamos em nosso trabalho. Consideramos importante trazer um pouco desse contexto, para que tenhamos um embasamento aos demais conteúdos de Geometria Analítica.
A introdução ao conteúdo de Geometria Analítica nos livros didáticos aparece de duas formas diferentes. Em Barroso (2010), foi usada uma situação problema para contextualizar o plano cartesiano e a distância entre dois pontos. Já nos demais livros foi usada uma introdução histórica, mencionando contribuições de René Descartes e Pierre de Fermat para a Matemática. Em comum, todos eles apresentam em suas primeiras falas a organização no sistema de coordenadas cartesianas, seguido de exercícios de localização e identificação de pontos, distribuição em quadrantes e deduções lógicas quanto à posição dos pontos.
Figura 1.1: Dedução de fórmula de distância entre dois pontos.
Fonte: Dante, 2013, p.52
No material de Iezzi (2013) e Dante (2013), observamos que os autores atentam para a distância entre dois pontos localizados sobre uma reta paralela aos eixos coordenados, onde não se faz necessário o uso da fórmula para calcular a distância. Nos exercícios, são apresentadas situações para cálculo de distâncias, problemas onde se deve descobrir alguma coordenada do ponto, conhecendo-se a distância, e problemas para identificação dos triângulos formados a partir de três pontos.
Após essa abordagem inicial, é apresentado o conceito de coordenadas do ponto médio de um segmento de reta. Todos os autores optam por mostrar a situação para pontos A e B quaisquer, deduzir as fórmulas e apresentar exemplos. Na figura 1.2 observamos a forma como Barroso (2010) apresenta o item citado.
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Figura 1.2: Abordagem para compreensão das coordenadas do ponto médio.
Fonte: Barroso, 2010, p.90
Ainda na parte inicial, sobre pontos, é apresentado um item denominado condição de alinhamento de três pontos. Esse conteúdo é explorado usando semelhança de triângulos, comparando com o resultado do cálculo do determinante de uma matriz, para dessa forma apresentar um “método fácil” de calcular e decidir se três determinados pontos estão alinhados. Podemos observar a sequência acima na figura 1.3, de Iezzi (2013).
Figura 1.3: Condição de alinhamento de 3 pontos.
Os conteúdos apresentados a partir desse ponto serão abordados na sequência didática proposta aos alunos, que mostraremos no capítulo 3.
1.3.2 Estudo de retas
Sobre o estudo de retas, os autores percorrem caminhos diferentes para conduzir o conteúdo. Barroso (2010) inicia construindo a equação geral da reta, usando a relação com determinantes, anteriormente abordada na condição de alinhamento de 3 pontos. Em seguida, faz o estudo da inclinação e coeficiente angular da reta, estudo das equações reduzida, segmentária e paramétrica, e ainda traz uma proposta para posição relativa entre duas retas no plano, analisando condições de paralelismo e perpendicularismo. O autor finaliza a seção trabalhando com distância entre ponto e reta, inequações de primeiro grau e área de superfícies triangulares no plano.
Iezzi (2013) inicia da mesma forma que Barroso (2010), mas apresenta em seguida uma seção sobre interseção de retas, resolvendo sistemas de equações. Em seguida, apresenta a definição de inclinação de uma reta, a equação reduzida, conceitos de paralelismo, perpendicularidade, equações segmentárias e paramétricas. Encerra a seção conceituando distância entre ponto e reta, área de triângulos, inequações do 1º grau e ângulo entre retas.
Dante (2013) inicia com os conceitos de inclinação de uma reta e coeficiente angular. Em seguida apresenta as equações reduzidas, geral e segmentária da reta, posições relativas entre duas retas no plano (retas paralelas e concorrentes), intersecção de duas retas, perpendicularidade, distância de um ponto a uma reta, ângulo entre duas retas e área de uma região triangular.
Percebemos que os conteúdos trabalhados em todos os livros didáticos considerados são muito parecidos, inclusive na forma como são abordados.
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Figura 1.4: Abordagem para encontrar equação reduzida a partir de dois pontos.
Fonte: Barroso, 2010, p.95
Em nossa proposta de ensino-aprendizagem, abordaremos a equação geral da reta da mesma forma que nos apresentou Barroso (2010). Após trabalharmos a equação geral da reta, iremos sugerir a equação reduzida como outra forma de escrever a equação geral, apenas isolando a variável . Essa abordagem não está presente em nenhuma das bibliografias consideradas. Porém, pela nossa experiência, acreditamos que nessa sequência, os alunos conseguirão compreender a relação entre essas duas formas de identificar uma reta mais facilmente. Mostraremos, que a partir da equação geral , isolando a variável y,
encontramos , que é a reta escrita na forma reduzida. Como essa
transformação será feita apenas numericamente, não nos prenderemos aos formalismos e nomenclaturas diferentes que os livros abordam. Consideramos a equação geral da reta como tendo a forma , e a equação reduzida como , sendo m o coeficiente angular e n o coeficiente linear.
Figura 1.5: Fórmula da equação reduzida da reta.
Fonte: Iezzi, 2013, p.35
Na abordagem dos conteúdos, iremos explicar do que tratam os coeficientes angular e linear presente na equação reduzida da reta, desenvolvendo atividades diferenciadas para que sejam compreendidos. A definição seguinte a ser compreendida pelos alunos é relacionada ao coeficiente angular das retas. Na figura 1.6 podemos observar como Iezzi (2013) apresenta essa definição.
Figura 1.6: Formas para encontrar o coeficiente angular da reta.
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Em nossa proposta didática, faremos uso dessa abordagem de Iezzi, 2013. Mostrando que o coeficiente angular pode ser determinado calculando-se a tangente do ângulo de inclinação da reta.
Na sequência dos conteúdos que trabalharemos com os alunos, encontramos uma abordagem para determinar a equação da reta quando conhecido apenas um ponto e o coeficiente angular da reta. Para essa seção, consideramos interessante a forma como Dante (2013) introduziu o assunto. A figura 1.7 apresenta essa abordagem.
Figura 1.7: Fórmula para encontrar equação reduzida quando conhecido um ponto e a declividade.
Fonte: Dante, 2013, p.60
1.3.3 Condição de paralelismo e perpendicularismo
Dentro do estudo de retas, pensando na proposta de ensino-aprendizagem que elaboramos, consideramos relevante que o aluno compreenda quando duas retas são paralelas ou perpendiculares, e qual a relação desse fato com o coeficiente angular na equação reduzida da reta. Novamente, ressaltamos que as abordagens dos livros didáticos considerados são muito parecidas. Escolhemos para que possamos compreender esse assunto, a abordagem de Barroso (2010), conforme a figura 1.8. Barroso destaca que quando, além do coeficiente angular, os coeficientes lineares também forem iguais, então teremos retas coincidentes.
Figura 1.8: Paralelismo de duas retas.
Fonte: Barroso, 2010, p.108
Na sequência didática que iremos propor, serão oferecidas atividades para que os alunos percebam a condição descrita acima.
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Figura 1.9: Condição de perpendicularismo.
Fonte: Barroso, 2010, p.108
Comparando o que abordamos na sequência didática que iremos propor com as expostas nos livros considerados, reforçamos que alguns conteúdos não foram abordados, como a distância entre reta e ponto, ângulo formado entre duas retas, estudo da área do triângulo conhecidos seus três vértices e a equação paramétrica da reta. Dentre esses conteúdos, aqueles que estavam presentes na grade curricular das turmas, foram trabalhados posteriormente.
1.3.4 Circunferência e elipse
Ainda, dentro do estudo de Geometria Analítica, temos a abordagem realizada para os conceitos, propriedades de circunferências e de cônicas. Os livros didáticos analisados expõem as sequências que detalhamos a seguir.
Dante (2013) apresenta, no capítulo sobre estudo de circunferências, o conceito (definição) e equação reduzida e geral. Após, trabalha a ideia de posições relativas entre reta e circunferência, problemas de tangência, posições relativas de duas circunferências e aplicações à Geometria Plana.
fim, Iezzi (2013), apresenta a mesma sequência que Barroso (2010), porém inclui uma seção do inequações de 2º grau com duas incógnitas.
No estudo de cônicas percebemos que os três autores apresentam uma mesma abordagem, começando com uma introdução mostrando todas as cônicas, e em seguida trabalhando cada uma delas em seções individuais. Nas atividades que propomos, iremos fazer uso principalmente da equação reduzida e geral da circunferência e da equação da elipse. Sobre a equação reduzida da circunferência, apresentaremos a abordagem de Barroso (2010), mostrando segundo a definição de circunferência, que são todos os pontos equidistantes do centro. Na figura 1.10 podemos observar a abordagem dessa autora:
Figura 1.10: Dedução da equação geral da circunferência.
Fonte: Barroso, 2010, p. 66
Na figura 1.11 podemos observar a abordagem dessa mesma autora para tratar a equação geral da reta. Ela também apresenta as duas maneiras para transformar a equação geral em equação reduzida, completando quadrados ou comparando coeficientes.
Assim como no estudo de retas, o estudo da circunferência no âmbito das atividades elaboradas utilizando o software GrafEq é reduzida. Não propomos
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Figura 1.11: Equação geral da circunferência
Fonte: Barroso, 2010, p. 69.
A figura 1.12 apresenta um recorte de Dante (2013), que traz as equações das elipses de centro qualquer.
Figura 1.12: Fórmula das elipses
Fonte: Dante, 2013, p. 116
2 METODOLOGIA
2.1 Introdução
Para o desenvolvimento das atividades propostas usaremos aulas expositivas sobre alguns conteúdos de Geometria Analítica, mas principalmente atividades sugestivas, desenvolvidas no laboratório de informática, que levem o aluno a intuitivamente deduzir alguns conceitos utilizando experimento com o software
GrafEquation (GrafEq). Previamente, os alunos já deverão ter estudado conteúdos
sobre plano cartesiano, distância entre dois pontos, ponto médio de um segmento e condições de alinhamento de três pontos. E, como não abordaremos todos os tópicos de Geometria Analítica, será necessário complementar posteriormente, com o estudo de alguns itens como distância entre ponto e reta e posições relativas entre reta e circunferência. As atividades sugeridas no capítulo 3 estão disponíveis no anexo, para os professores que desejarem aplicar a sequência. Tais questões foram aplicadas em duas turmas do 3º ano do Ensino Médio Integrado do Instituto Federal do Rio Grande do Sul, Campus Ibirubá.
2.2 Sobre as turmas
A segunda turma em que propomos as atividades para o estudo de Geometria Analítica foi a turma do Curso Técnico em Mecânica, identificada nesse trabalho por turma B. Por se tratar de uma turma com apenas 15 alunos, destacamos principalmente a tranquilidade nos momentos de aplicação das tarefas, e o fato de todos alunos terem trabalhado individualmente e se ajudarem quando encontravam dificuldades relacionadas à operacionalidade dos aplicativos ou aos conteúdos trabalhados.
2.3 Acompanhamento das atividades realizadas pelos alunos
As atividades foram propostas ao longo de 5 semanas, com 3 períodos semanais, de 50 minutos cada um. Como as atividades realizadas tratavam de um conteúdo presente nos programas disciplinares do 3º ano do Ensino Médio, as atividades desenvolvidas pelos alunos formaram parte de suas avaliações do semestre.
Para um controle de realização das atividades e para a avaliação dos alunos, eles receberam as atividades impressas, com instruções para que salvassem em um único arquivo as imagens dos gráficos que plotaram no GrafEq, e o enviassem
posteriormente via e-mail para a professora. Assim como, também entregassem a atividade impressa com as respostas que elaboraram. As atividades foram avaliadas levando em conta o desenvolvimento de todos os itens, entrega das atividades, participação, questionamentos durante a aplicação e a realização da atividade final.
3 PROPOSTA DE ABORDAGEM E RELATO DE EXPERIÊNCIA
3.1 Introdução
Nesse capítulo, apresentaremos as atividades desenvolvidas pelos alunos, acompanhadas de seus objetivos, de uma sugestão para seu desenvolvimento e do relato da experiência nas turmas onde foram aplicadas. Conforme descrito no capítulo 1, as atividades serão desenvolvidas a partir dos conceitos apresentados por Barroso (2013), Dante (2010) e Iezzi (2013).
Todas as figuras contidas nesse capítulo, cuja fonte não foi apresentada, são da autora.
3.2 Primeiras atividades
Nesta seção, abordaremos as três primeiras atividades, que podem ser trabalhadas na sequência, e levam em torno de 2 períodos.
Atividade 1:
a) Abra o software GrafEq, e digite uma equação de duas variáveis de sua
escolha.
b) Após discussão em grupo, registre a equação que você escolheu, e reproduza o gráfico no plano cartesiano da figura 3.1.
Objetivos: Conhecer algumas funções do software GrafEq, especialmente as
Figura 3.1: Plano cartesiano para desenvolver algumas das atividades.
Tempo esperado: Deverá contemplar em torno de 30 minutos.
Sugestões de aplicação: Para abordar essa atividade, sugerimos inicialmente que o professor realize uma introdução a cerca do conteúdo que será trabalhado (equações), principalmente equações de duas variáveis. Realizada essa conversa, o professor deve incentivar os alunos na plotagem de gráficos de relações, conforme o item a) da atividade 1. A partir das equações escolhidas pelos alunos, o professor poderá selecionar algumas e plotar em um mesmo gráfico, utilizando projetor multimídia.
Tomando como ponto de partida os diferentes gráficos que surgirem, o professor pode gerar uma discussão sobre as equações e as formas desenhadas. Alguns questionamentos possíveis são:
a) Quais foram as formas geométricas que apareceram?
b) Se aparecerem apenas retas, o professor pode questionar se outras formas são possíveis de serem desenhadas usando equações.
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Relato da aplicação: Percebemos na turma A um grande entusiasmo de acordo com as diferentes figuras que eles descobriram. Previamente, discutimos que uma relação deveria estar apresentando uma igualdade, e como poderíamos colocar as variáveis nessa relação. Como esperávamos, alguns alunos optaram por equações simples, que acabaram gerando uma reta. Na figura 3.2, apresentamos o resultado das equações escolhidas por dois alunos, onde um deles encontrou uma reta, e o outro uma diferente forma geométrica.
Figura 3.2: Atividade desenvolvida pelos alunos da turma A.
Para que todos pudessem visualizar os diferentes resultados de acordo com cada equação, utilizamos o projetor multimídia, para plotar todas as equações em um plano cartesiano. A partir dessa plotagem questionamos os alunos como são as equações das retas. Numa resposta inicial, apareceu que são aquelas equações que não são elevadas ao quadrado ou ao cubo, que não possuem raiz de qualquer ordem nas equações que eles haviam plotado. Por fim, todos criaram uma diferente equação de reta e concluíram a atividade.
No desenvolvimento da atividade 1 com a turma B, percebemos que os alunos tiveram uma certa resistência em escrever relações matemáticas no GrafEq.
Solicitamos que ela explicasse, e ela acabou dizendo que deveriam ser sem potências. Os demais colegas concordaram, e a partir disso concluíram a atividade plotando, cada um, uma reta diferente. Na figura 3.3 podemos visualizar retas que dois alunos da turma B, escolheram e desenharam nas folhas de orientações das atividades, após terem plotado seu gráfico no GrafEq.
Figura 3.3: Atividade desenvolvida pelos alunos da turma B
Atividade 2:
a) Plote o gráfico da equação: . Qual o gráfico obtido?
b) Plote o gráfico da inequação . Qual a diferença entre esse e o anterior?
c) Você consegue imaginar o que irá acontecer ao plotar os gráficos e ? Desenhe no plano cartesiano (figura 3.1) e após verifique plotando os gráficos no GrafEq.
d) Embasado nas ideias anteriores descubra quais devem ser as inequações usadas para representar o retângulo abaixo (figura 3.4):
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Figura 3.4: Imagem para resolver o item d) da atividade 2.
Tempo esperado: Essa atividade pode ser realizada na sequência da atividade 1, e deve levar em torno de 20 minutos.
Sugestões de aplicação: O professor pode permitir que os alunos realizem a atividade individualmente, e apenas auxilie quando eles apresentarem dúvidas. Ao final, o professor pode fazer algumas observações, sugerindo aos alunos algumas formas para facilitar o seu trabalho. Por exemplo, pode observar que a atividade será realizada de forma mais simples, se fizer uso das relações que aparecem na figura 3.5, ou então usar inequações compostas, como e .
Figura 3.5: Uma possível solução para o item d da atividade 2.
-9 9
-9 9
Relato da aplicação: Ao trabalhar essa atividade com a turma A, percebemos que os alunos conseguiram compreender e explicar facilmente o uso das desigualdades. Além disso, verificamos que eles compreenderam como fazer uso de inequações compostas (conceito necessário para realizar o item d). A figura 3.6, apresenta a resposta dada por um aluno aos questionamentos iniciais.
Figura 3.6: Resposta de um aluno aos itens a) e b).
Na turma B, nos deparamos com a dificuldade dos alunos para explicar o que acontecia no uso da desigualdade. Mas logo que alguns alunos falaram sobre pintar
“tudo”, os demais conseguiram compreender, e após as demais atividades foram desenvolvidas de forma muito tranquila. Na figura 3.7 podemos observar o desenvolvimento de um aluno desta turma para os itens c) e d).
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Atividade 3:
Realizando algumas pesquisas na rede mundial de computadores (internet), podemos encontrar muitas obras de artes que apresentam elementos como os que acabamos de desenhar. Um exemplo são algumas obras de Piet Cornelis Mondrian, um pintor neerlandês modernista. A figura 3.8, apresenta uma de suas obras. Perceba que ela é formada apenas por retas!
Figura 3.8: Obra de Piet Mondrian
Fonte: CAVALCANTI, 2013.
Uma pergunta que surge é a seguinte: Será que conseguimos reproduzir essa obra utilizando o aplicativo GrafEq?
a) Registre no plano cartesiano (figura 3.1) um esboço da obra de arte acima para construí-la posteriormente usando o GrafEq.
b) Quais são as relações que possibilitam construir a obra no GrafEq?
Objetivo: Introduzir a relação de obras de arte com elementos geométricos e possíveis desenhos a serem realizados no GrafEq.
Tempo previsto: Esta atividade está planejada para levar em torno de 50 minutos.
realizem a atividade do item a) e reproduzam a obra inicialmente no plano cartesiano, para que tenham uma aproximação nas medidas utilizadas. Ainda, pode sugerir as dimensões da obra de arte, e a partir disso permitir que cada um desenvolva sua atividade.
Relato da aplicação: Essa atividade nos proporcionou iniciar as relações de obras de arte com o estudo de retas no âmbito da Geometria Analítica. A obra de arte de Mondrian foi escolhida, pois possui apenas retângulos e prevíamos que isso seria fácil, visto que os alunos tinham pouca prática no GrafEq. Além disso, essa obra
possui elementos cujas relações são simples de compreender.
Ao realizar a atividade com a turma A, muitos alunos não acharam importante ou não realizaram o desenho no plano cartesiano, e conseguiram boas réplicas usando diretamente o GrafEq. Para que os alunos reproduzissem a obra de
Mondrian, foi proposto que usassem um fundo preto e após desenhassem os demais retângulos sobre esse fundo. Ainda, foram sugeridos limites, para que eles pensassem em como fazer o desenho naquele espaço. Nem todos os alunos seguiram esta sugestão, alguns ampliaram o espaço de visualização e realizaram a atividade de forma mais independente. A figura 3.9 apresenta a construção dessa atividade por um aluno da turma A.
Figura 3.9: Atividade desenvolvida pelos alunos da turma A.
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animaram gradativamente conforme iam concretizando aquela obra de arte no
GrafEq. Em torno de 50% dos alunos concluíram a atividade em aula. Os demais,
concluíram a atividade e enviaram posteriormente. A figura 3.10 apresenta o esboço que um aluno construiu antes da construção no GrafEq e as relações que utilizou, e
a figura 3.11 apresenta a obra de arte reproduzida.
Figura 3.10: Esboço da obra de arte desenhado por um aluno da turma B.
3.4 Estudo de retas no plano
O conjunto de atividades seguintes visa o estudo de retas no plano e principalmente compreender a equação reduzida e a equação geral da reta.
Atividade 4:
Além de Piet Cornelis Mondrian, outro artista que contribui na nossa proposta, por apresentar em suas obras elementos geométricos é Rubem Valentim. Um baiano que foi pintor, escultor, gravador e professor, além de ser considerado um dos grandes pintores construtivistas brasileiros. A obra na figura 3.12 é desse artista. A proposta dessa atividade é representar essa obra, utilizando o aplicativo GrafEq.
Figura 3.12: Obra de Rubem Valentim
Fonte: VALENTIM (2008a)
a) Como realizado anteriormente, em um primeiro momento, reproduza a obra no plano cartesiano (figura 3.1).
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Objetivo: Provocar os alunos para avançar no estudo e identificação de retas no plano. As atividades anteriores trabalharam a ideia das desigualdades, retas verticais e horizontais. Aqui, teremos que nos aprofundar no estudo de retas diversas para sanar os desafios propostos.
Tempo esperado: A proposta pode ser desenvolvida em duas etapas: a primeira, que levará em torno de 50 minutos, onde os alunos irão conhecer a obra de arte escolhida, e serão estimulados a reproduzí-la primeiramente no plano cartesiano, e após no GrafEq. Com essa atividade, aguçamos a curiosidade e criatividade dos
alunos.
Sugestão de aplicação: Pensamos que a maneira natural é que os alunos utilizem a ideia de tentar encontrar intuitivamente as retas, visto que a atividade 1 abordou isso. Pode-se conduzir essa atividade trabalhando em conjunto, reproduzindo a obra no quadro, aproveitando as ideias lançadas pelos alunos. Caso eles não busquem as informações da atividade 1, podemos questioná-los, sobre a forma que terá a equação de uma reta. Partindo das dificuldades que acreditamos que os alunos irão enfrentar, pode-se “suspender” temporariamente a atividade 4 e trabalhar com as atividades seguintes. A ideia ao fazer isso é motivarmos os alunos, mostrando-lhes algumas aplicações interessantes de equações.
Relato da aplicação: Em um primeiro momento, na turma A, a atividade 4 foi conduzida na sala de aula, e não no laboratório de informática como pensado inicialmente. Dessa forma, aproveitamos para conversar sobre a obra de arte de Rubem Valentim de uma forma mais geral, e não foi possível permitirmos aos alunos um início da reprodução com suas ideias. Devido a isso, os alunos concluíram a atividade em tempo inferior ao previsto, e dessa forma aproveitamos para concluir atividades pendentes de aulas anteriores.
pensassem se conseguiriam fazer, relembrando que nas primeiras atividades já havíamos desenhado retas. Encerramos esse momento conversando e decidimos que partiríamos dessa obra para fazer o estudo de retas no encontro seguinte.
Ao realizar a atividade na turma A, conseguimos explorar os elementos, visto que os alunos mostraram interesse em saber como poderiam desenhar aquela reta, e perguntaram se testando valores eles chegariam nas equações esperadas. Desafiamos os alunos a testarem, até a próxima aula, observando que iríamos aprender uma forma de encontrar a equação adequada com elementos disponíveis, como alguns pontos que passam pela reta, por exemplo. A figura 3.13 apresenta o esboço da obra de arte segundo um dos alunos.
Figura 3.13: Esboço da obra de Rubem Valentim construída por um aluno da turma A.
A segunda etapa dessa atividade foi posterior ao desenvolvimento das atividades 5 e 6, quando esperamos que eles já tenham compreendido a equação da reta, e estejam prontos para reproduzir a obra de arte no GrafEq. Assim, após
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e equação reduzida da reta. Dessa forma, o relato da aplicação, aparece após as considerações sobre a atividade 6.
Atividade 5
Utilizando o aplicativo GrafEq, plote as seguintes retas:
a)
b)
c) Responda: Por que e quando é fácil usar a equação geral da reta?
Objetivo: Fazer com que os alunos entendam e saibam determinar a equação geral da reta.
Tempo esperado: Essa atividade deve levar em torno de 50 minutos, visto que deveremos retomar a condição de alinhamento de três pontos e mostrar como encontrar a equação geral da reta que passa por dois pontos dados, usando o determinante.
Sugestões de aplicação: Para abordar essa atividade, sugerimos que inicialmente seja retomada a importância da equação geral da reta relacionando-a com a reprodução da obra de arte do artista Rubem Valentim. Após, sugere-se retomar a explicação da condição de alinhamento de três pontos, e a partir dela explicar como é possível obter a equação geral da reta. Também é importante ressaltar que as equações plotadas nos itens a) e b) representam retas e já estão escritas na forma da equação geral da reta, bem como destacar que uma reta na forma geral sempre terá a forma , onde a, b e c são números reais.
Atividade 6
1. Desenhe no GrafEq as seguintes equações:
2. Plote no GrafEq as seguintes retas, num mesmo sistema de eixos
cartesianos:
, , , , .
3. Responda as seguintes perguntas:
a) O que acontece quando mudamos na equação reduzida o valor de m?
b) Plote no GrafEq as retas para valores de
. O valor de m está
aumentando ou diminuindo? O que aconteceu com a reta?
c) Plote no GrafEq as retas para valores de . O que
aconteceu para valores de m negativos?
4. Plote no GrafEq as seguintes retas, num mesmo sistema de eixos
cartesianos:
, , , , .
5. Responda: O que você observa ter acontecido ao variarmos o valor de n da equação reduzida nas retas plotadas no exercício anterior?
Objetivo: Fazer com que os alunos entendam e saibam determinar a equação reduzida da reta e compreender o significado dos coeficientes angular e linear da reta.
Tempo previsto: A atividade 6 deve levar em torno de 50 minutos.
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forma , e levante uma discussão sobre a diferença entre o coeficiente angular e o coeficiente linear, de forma que possam identifica-los corretamente.
Relato da aplicação das atividades 5 e 6: As atividades foram aplicadas em dois períodos de 50 minutos consecutivos, conforme estava previsto, e após, foi realizado o encaminhamento para que os alunos concluíssem a atividade 4.
Na turma A, inicialmente retomamos o que conversamos no período anterior em aula, sobre a obra de arte que possui retas com inclinações. A partir disso, mostramos como determinar a equação geral quando conhecidos dois pontos dessa reta, fazendo o uso da condição de alinhamento de 3 pontos através do cálculo com determinantes. Na figura 3.14 podemos observar os registros dessa explicação por parte de um aluno.
Figura 3.14: Registros de um aluno da turma A sobre equação geral da reta.
Distribuímos então as atividades 5 e 6, para que os alunos trabalhassem um pouco as ideias de equação geral e equação reduzida da reta. Nesse encontro, solicitamos que os alunos enviassem todas as construções do GrafEq realizadas até
Figura 3.15: Respostas dadas por um aluno da turma A na atividade 6.
Na turma B, organizamos a partir da imagem da obra que iremos reconstruir no GrafEq a ideia de equação geral da reta e equação reduzida da reta. Explicamos,
assim como na turma anterior, a forma para eles encontrarem a equação geral. No desenvolvimento dessas atividades, percebemos que eles muitas vezes não conseguiam explicar os questionamentos que estavam nas atividades, então, tentamos fazer com que eles explicassem e partindo de suas falas completávamos as ideias, que então eles registravam. Todos os alunos concluíram as atividades 5 e 6. E no final do período foi solicitado que eles concluíssem a atividade 4, ou seja, a construção da obra de arte de Rubem Valentim no GrafEq.
Na figura 3.16, observamos os gráficos plotados no GrafEq, referentes aos
itens 2 e 4 da atividade 6.
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Figura 3.16: Gráficos plotados pelos alunos da turma B para a atividade 6.
Destacamos, na figura 3.17 a atividade de um aluno da turma A, que utilizou as relações testando valores, a partir do cálculo de apenas uma parte. Esse aluno percebeu que havia simetria e relação entre os coeficientes angulares e deduziu boa parte das relações.
Figura 3.17: Atividade 4 concluída por um aluno da turma A.
3.5 Sobre a equação reduzida da reta, paralelismo e perpendicularismo
As atividades seguintes, que inicialmente não serão realizadas no laboratório de informática, visam que o aluno consiga determinar o coeficiente angular da reta, a equação reduzida da reta quando conhecido o coeficiente angular e um ponto da referida reta. Além de trabalhar com as condições de paralelismo e perpendicularismo.
Assim como nas atividades 5 e 6, as atividades 7 e 8 foram propostas em um mesmo momento e por isso, iremos apresentar primeiramente as atividades com seus objetivos e uma sugestão de abordagem, e após o relato da aplicação contemplando as duas atividades.
Atividade 7
Na obra de arte da figura 3.18, de Luiz Roberto Lopreto, podemos identificar diferentes retas. Entre elas, algumas que são paralelas, ou seja, que possuem a mesma inclinação.
a) Faça um esboço da obra de arte acima no plano cartesiano da figura 3.1. b) Identifique usando duas cores diferentes, na representação da obra de arte acima, pelo menos dois pares de retas paralelas.
c) Determine a equação reduzida das retas que você identificou na atividade anterior.
d) Quando você analisa os pares de retas acima, e suas equações reduzidas, o que você pode perceber?
e) Identifique, usando a fórmula
, o coeficiente angular de todas as
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Figura 3.18: Obra de arte de Luiz Roberto Lopreto
Fonte: MIZRAHI, 2001
Objetivos: Permitir que o aluno perceba as diferentes maneiras de determinar o coeficiente angular, usando a equação reduzida e as relações entre retas paralelas, a partir da obra do pintor Luiz Roberto Lopreto.
Tempo previsto: A atividade 7 deve levar em torno de um período de 50 minutos, e não faz uso do GrafEq. Por isso, pode ser realizada na sala se aula sem uso de
laboratório de informática.
Sugestão de aplicação: Para a proposta de abordagem dessa atividade, inicialmente o professor pode construir em grupo o esboço da obra de arte no plano cartesiano, e a partir disso explicar as duas formas de encontrar o valor do coeficiente angular. Levando em conta as conclusões dos alunos frente aos itens de a) a d), o professor poderá introduzir a definição de retas paralelas na perspectiva da Geometria Analítica (duas retas são paralelas quando possuem o mesmo coeficiente angular, ou seja, , sendo o coeficiente angular de uma das retas e o da outra). Da mesma forma, pode abordar que uma das maneiras de encontrar o coeficiente angular é utilizando a fórmula , onde é o ângulo formado entre a reta em questão e o eixo x e que outra forma possível é encontrar o coeficiente angular a partir de dois pontos dessa reta. Suponhamos conhecidos os pontos A ( ) e B ( ) da reta. Então, para encontrar o coeficiente angular, podemos usar a fórmula . Ao abordar essa explicação, o professor pode fazer a demonstração de
Atividade 8
Uma condição muito especial de retas ocorre quando elas são perpendiculares, ou seja, quando formam entre si um ângulo de 90º.
a) Você reconhece na obra de arte da atividade anterior, retas perpendiculares? Identifique na obra de arte (figura 3.18) os pares de retas perpendiculares que você encontrou.
b) Verifique se a condição apresentada pela professora se satisfaz nos pares de retas perpendiculares que você encontrou no item anterior.
Objetivos: Explicar a condição de perpendicularidade e reconhecer duas retas perpendiculares.
Tempo previsto: A atividade 8 pode ser realizada num período de 50 minutos, e assim como a atividade anterior, não precisa do laboratório de informática.
Sugestão de aplicação: Essa atividade o professor poderá resolver junto aos alunos. Inicialmente, pode deixar eles sugerirem os pares de retas que consideram perpendiculares, e somente depois explicar e demonstrar a condição de perpendicularidade, segundo a qual, tem-se que se duas retas r e s são perpendiculares entre si, então (onde e são respectivamente os coeficientes angulares das retas r e s). Certamente, alguns alunos podem sugerir pares de retas que na obra acima parecem, mas não são perpendiculares. Como os alunos terão calculado todos os coeficientes angulares pela atividade 7, ficará fácil para o professor convencê-los quais pares são de fato perpendiculares.
Relato da aplicação das atividades 7 e 8: Sobre a aplicação dessas atividades, destacamos inicialmente que elas foram realizadas dentro do tempo previsto em todas as turmas, e foram realizadas em sala de aula com auxílio do projetor multimídia.
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dessa forma poderiam conferir seus cálculos com os colegas. Inicialmente, solicitamos aos alunos que fizessem o esboço da obra de arte da atividade 7 no plano cartesiano, e após, as demais atividades até o item d), para então explicarmos as formas de como encontrar o coeficiente angular, de quando as retas serão de fato paralelas e a condição de perpendicularismo, para posteriormente eles resolveram o item e) e a atividade 8.
Na turma A, os alunos conseguiram compreender facilmente o desenvolvimento das atividades 7 e 8. Destacamos que ao realizar o item e) da atividade 7, muitos alunos não queriam fazer todos os cálculos, visto que retas paralelas possuem o mesmo coeficiente angular. Foi então sugerido que eles fizessem as contas em alguns casos, para se certificarem que essas retas seriam realmente paralelas. A figura 3.19 apresenta o desenvolvimento de parte da atividade 7, realizada por uma aluno da turma A.
Figura 3.19: Atividade 7 desenvolvida por um aluno da turma A.
mostra o desenvolvimento do item e) da atividade 7 desenvolvida por um aluno da turma B.
Figura 3.20: Atividade 7, item e), desenvolvido por um aluno da turma B.
Na aplicação da atividade 8, em ambas turmas vimos que muitos alunos indicaram pares de retas que não eram perpendiculares (mas que na obra acima, pareciam ser). Ao realizarem o item b) da atividade, alguns alunos se pronunciaram afirmando que então aquelas retas que eles haviam escolhido não eram perpendiculares. Afirmamos que para se certificar, bastaria verificar a condição de perpendicularidade. A partir disso, eles arrumaram suas atividades para que estivessem com a escolha correta das retas perpendiculares. A figura 3.21 apresenta o desenvolvimento de um aluno da turma B para a atividade 8.
Apresentamos em seguida, a atividade 9, ainda sobre a obra de arte de Luis Roberto Lopreto.
