Um enfoque didático às equações de Maxwell.

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Revista Brasileira de Ensino de F´ısica,v. 37, n. 2, 2301 (2015) www.sbfisica.org.br

DOI: http://dx.doi.org/10.1590/S1806-11173721674

Artigos Gerais

Um enfoque did´

atico `

as equa¸c˜

oes de Maxwell

(A pedagogical approach to Maxwell’s Equations)

G.F. Leal Ferreira

Instituto de F´ısica de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos, SP, Brazil

Recebido em 4/9/2014; Aceito em 2/2/2015; Publicado em 30/6/2015

Mostra-se como encarar as equa¸cõe de Maxwell, tanto para fenômenos periódicos, reunindo emissão e o campo de radia¸cão, como para o caso geral, mais interessante, dos aperiódicos, com as equa¸cões dependentes do tempo, e, em especial, sobre o significado daquelas independentes do tempo. Comenta-se a diferen¸ca do enfoque propi-ciado pela aproxima¸cão de estados quase-permanentes, em que as fontes, cargas e correntes atuais determinam completamente os campos, e o das equa¸cões exatas, em que isto, “stricto sensu”, já ocorre.

Palavras-chave:equa¸cões de Maxwell, estados quase-permanentes, fenômenos periódicos, fenômenos aperiódicos.

It is shown how to regard Maxwell’s equations for both periodic, putting together emission and radiation fields, and non-periodic phenomena, discussing both the time dependent equations as well as the role played by the time-independent ones. The difference in approach resulting from the quasi-permanent approximation, in which the sources feed the fields, and that of the exact equations, in which, strictly speaking, that is no longer true, is commented.

Keywords: Maxwell’s equation, quasi-permanent states, periodic phenomena, aperiodic phenomena.

1. Introdu¸

c˜

ao

No ensino do eletromagnetismo, grande parte do tempo é dedicada aos aspectos estáticos, tanto na eletrostática e como na magnetostática: isso permite ao aluno familiarizar-se com os entes, campo elétrico e campo magnético [1] (um bi-vetor na compacta linguagem da álgebra geométrica [2]). Os fenômenos dependen-tes do tempo aparecem na lei da indu¸cão de Faraday, abordando-se então, usualmente, os fenômenos quase-permanentes de indu¸cão e mesmo os de carga de con-densadores, estes envolvendo correntes ’abertas’. Mas estas abordagens são realizadas na linguagem de circui-tos elétricos e fluxos magnéticos e não na de campos. Quando retornamos a estes, verifica-se, como Maxwell fez, que para se obter compatibilidade entre as equa¸cões dos campos, e a equa¸cão da continuidade (conserva¸cão da carga elétrica), deve-se introduzir na equa¸cão do ro-tacional do campo magnético, ao lado das correntes re-ais, a corrente de deslocamento, alcan¸cando-se assim o sistema completo das equa¸cões de Maxwell. Mas neste ponto, não há usualmente a preocupa¸cão de se procurar estabelecer o conjunto de equa¸cões que cobrem aqueles importantes estados quase-permanentes antes estuda-dos. Relembraremos aqui (ver Se¸cão 5) que nesta apro-xima¸cão, constru´ıda a partir de emenda às equa¸cões

estáticas, a corrente de deslocamento envolve o campo eletrostático e não o campo elétrico total [3]. Isto cinge as solu¸cões à região próxima das cargas, omitindo a descri¸cão de emissão de ondas eletromagnéticas. Neste trabalho, trataremos de alguns pontos relativos à apre-senta¸cão didática das equa¸cões de Maxwell. De posse do seu arcabou¸co completo, a primeira abordagem é feita num caso muito particular, o das ondas eletro-magnéticas livres, em que as fontes são ignoradas. Em-bora cubra o aspecto importante da transmissão, gos-tar´ıamos de mostrar que nesse tipo de problema, en-volvendo solu¸cões periódicas no tempo, as fontes po-dem ser mantidas sem onerar de forma significativa o cálculo, permitindo expor, em princ´ıpio, não só a trans-missão como a cria¸cão de ondas eletromagnéticas pelas suas fontes. A nossa análise irá adiante, abordando o caso geral não-periódico — certamente o mais interes-sante —, onde, seguindo L. Jánossy [4], verificar-se-á na Se¸cão 4 que duas são efetivamente as equa¸cões de Maxwell — somente aquelas envolvendo o tempo —, as outras duas sendo apenas equa¸cões acessórias, de de-fini¸cão de grandezas. A´ı veremos que os campos elétrico e magnético são determinados a partir de seus valores iniciais e da densidade de corrente como fonte e gozam em rela¸cão a esta última de uma certa autonomia que viola a estreita correla¸cão entre fontes e campos

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mida da conceitua¸cão vinda da apresenta¸cão inicial da estática. Mas aquela correla¸cão de fato existe na apro-xima¸cão dos estados quase-permanentes quando cargas e correntes determinam os campos, como será exami-nado na Se¸cão 5.

2. As equa¸

c˜

oes de Maxwell

Tomaremos as equa¸cões de Maxwell no CGS gaussiano, comca velocidade da luz. Elas são, no vácuo,

∇·E= 4πρ, (1)

∇×E=−1

c ∂B

∂t, (2)

∇·B= 0, (3)

∇×B= 4πJ c +

1 c

∂E

∂t, (4) em queE eBsão os campos elétrico e magnético, ρe

J, as densidades de carga e de corrente de condu¸cão, todas as grandezas em princ´ıpio fun¸cões da posi¸cãoxe do tempot.

Notemos que se achamos a divergˆencia da Eq. (4), obtemos a equa¸c˜ao da continuidade

∇·J+∂ρ

∂t = 0, (5) que não necessita ser considerada como integrante do sistema das equa¸cões de Maxwell, mas que desempe-nhará seu papel na aproxima¸cão dos estados quase-permanentes.

3. Fenˆ

omenos peri´

odicos

No caso de fenômenos periódicos, de frequência angular ω, a dependência no tempo é do tipoeiωt

, e as Eqs. (1)-(4) tornam-se em

∇·E= 4πρ, (6)

∇×E=−iω

c B, (7)

∇·B= 0, (8)

∇×B= 4πJ c +

iω

c E, (9) e

∇·J =−iω

c ρ, (10) em que, por economia de s´ımbolos, mantivemos as de-signa¸cões das grandezas embora elas agora só depen-dam da posi¸cãox.

Substituindo o valor de B em fun¸c˜ao de E pela Eq. (7) e desenvolvendo o termo∇×∇×Ena Eq. (9), vem

∇∇·E− ∇2E=−iω

c

(

4πJ c +

iω c E

)

. (11)

Usando agora a equa¸c˜ao de Poisson, Eq. (5), e subs-tituindoρem fun¸c˜ao deJna Eq. (18), vem

∇2E+ω 2 c2E=

4πi ω

(_ω2

c2J+∇∇·J

)

, (12)

equa¸cão que exibirá explicitamente as fontes do campo elétrico ao separarmos J em uma corrente longitudi-nal JL e outra transversal JT, tais que∇×JL = 0 e

∇·JT = 0.

A corrente longitudinal (irrotacional) contribui em ambos os termos entre parênteses no lado direito da Eq. (12), termo temporal e termo espacial, enquanto que a transversal (solenoidal), apenas no termo tempo-ral, dependente de ω. Pela Eq. (7), Bé proporcional ao rotacional deE. Logo, se aplicarmos o rotacional a ambos os membros da Eq. (12), obteremos uma rela¸cão mais simples — na verdade uma simples equa¸cão de onda inomogênea —, tendo em vista que o rotacional de um gradiente é nulo. Tem-se então

∇2B+ω 2 c2B=−

4π

c ∇×JT, (13) mostrando que as fontes do campo magn´etico oscilante s˜ao exclusivamente as correntes transversais.

No caso de fontes localizadas, como no caso de um fio retil´ıneo com corrente,Btem origem na descontinui-dade transversal da corrente, gerando correntes super-ficiais azimutais na sua superf´ıcie. Levado esse caso ao limite do dipolo oscilante, este fato mostra que o campo magnético irradiado pelo dipolo oscilante faz formal-mente papel semelhante ao do potencial vetor no tra-tamento usual, e é também exclusivamente azimutal.

4. Equa¸

c˜

oes de Maxwell,

fenˆ

omenos

aperi´

odicos

Como gerar solu¸cão de sistema de equa¸cões envolvendo o tempo é construir o futuro, dadas as fontes e con-dicões iniciais adequadas em t = 0 [4], vemos que as equa¸cões importantes no sistema da Se¸cão 2 são as Eqs. (2) e (4), envolvendo o tempo, tendo a densidade de corrente J(x, t) como fonte. Mas que papel têm as Eqs. (1) e (3)? Elas são equa¸cões acessórias, de de-fini¸cão a Eq. (1), e de condi¸cão inicial a Eq. (3). De fato, dados E(x,0) e B(x,0), este satisfazendo a condi¸cão

∇·B(x,0) = 0, a Eq. (1) define a densidade inicial de carga, e as Eqs. (2) e (4) geramB(x,∆t) eE(x,∆t) no tempo ∆t.

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correntes, e que manter-se-á na aproxima¸cão dos esta-dos quase-permanentes, que analisaremos na próxima se¸cão.

Concluindo, vê-se que os campos ganham autono-mia em rela¸cão às fontes atuais, já que não é poss´ıvel inferi-los diretamente das fontes a partir de um instante inicial: o conhecimento deρ(x,0) não permite o cálculo deE(x,0). E haverá uma dinâmica mesmo queJ(x, t) seja nulo parat≥0, devido ao campo eletromagnético livre, agora abrangido na solu¸cão (o que não ocorrerá com as equa¸cões aproximadas). Note-se também que poder´ıamos transformar as duas equa¸cões, Eqs. (2) e (4), em uma única, de ordem superior, em termos de um dos campos, porém com perda de visão da mecânica da solu¸cão.

5. Aproxima¸

c˜

ao de estados

quase-per-manentes

Na Eletrostática aprendemos a calcular o campo ele-trostático h(x) e o campo magnetostático solenoidal

B(x) a partir de sua fontes, cargas e correntes. Com a Lei da Indu¸cão, os fenômenos e os campos agora depen-dem do tempo e adicionamos ao campo elétrico a com-ponente solenoidal, S(x, t), regidos, esta e h(x), pelas equa¸cões

∇·h= 4πρ, ∇×h= 0,

∇·S= 0, ∇×S=−∂B

∂t , (14)

E=h+S, (15)

∇·B= 0, ∇×B= 4πJ c +

1 c

∂h

∂t, (16)

∇·J+∂ρ

∂t = 0, (17)

que formam um sistema consistente com a equa¸cão da continuidade, Eq. (5), como pode ser visto tomando-se a divergência dos dois lados da segunda das Eqs. (16). A equa¸cão da continuidade, Eq. (17), deve agora ser incorporada ao sistema, o que se justifica pela presen¸ca do campo adicional, S. O sistema difere do exato pela presen¸ca, no lado direito da segunda das Eqs. (16), do campo eletrostático h no lugar do campo elétrico to-tal E, Eq. (4). Isto confina as solu¸cões do sistema, Eqs. (14)-(17), à região próxima às fontes, excluindo a radia¸cão. Mais exatamente, pode-se mostrar que o sistema é correto para velocidade v das cargas tal que v2_/c2 _≪ _{1, acelera¸cão} _a _{até distâncias} _r _{tais que} ar/c2_≪_{1 [3].}

Vamos ver como a densidade de carga inicial, ρ(x,0), e a densidade de corrente,J(x, t), determinam os campos h(x, t), S(x, t) e B(x, t). Admite-se que, do conhecimento da densidade de carga, o campo ele-trostático fica determinado, ainda que, num procedi-mento numérico, tal prática introduzisse infindáveis

in-tegra¸cões espaciais. Com isto, como temos incorporado a equa¸cão da continuidade, Eq. (5), podemos calcular ρ(x,∆t) no instante ∆te da´ı determinarh(x,∆t), em princ´ıpio, pelas primeiras das Eqs. (14). Como conhece-mosh(x,0) isto permite conhecermos também∂h/∂t, e com isto,B(x,0) fica determinado pelas Eqs. (16). Re-petindo o procedimento para os tempos ∆t e 2∆t, de-terminamosB(x,∆t), permitindo obter-seS(x,0) pelas ´

ultimas das Eqs. (14) e o campo elétrico E(x,0) pela Eq. (15), e assim para os ∆t’s seguintes. Vê-se que são os campos solenoidalSe elétricoE(x, t) que vêm agora a reboque do cálculo. E assim, podemos afirmar que as fontes atuais determinam os campos.

Por outro lado, é fácil de se ver que, para fenômenos periódicos, em lugar da Eq. (13), obtém-se

∇2B=−4π

c ∇×JL. (18)

6. Considera¸

c˜

oes finais

Acreditamos ter apresentado aqui uma forma mais didática de encarar as equa¸cões de Maxwell: no caso periódico, reunindo transmissão e cria¸cão; no aperiódico, discriminando o papel das equa¸cões, e no caso dos quase-permanentes, mostrando sua correla¸cão com a visão estática de vincula¸cão estreita entre fontes e campos.

Agradecimentos

Agradecemos a Luiz Nunes de Oliveira pela leitura cr´ıtica e sugest˜oes incorporadas ao texto.

Nota do Editor

Esse artigo já estava praticamente aceito quando rece-bemos a not´ıcia do falecimento do autor, ocorrido em São Calos, no última dia 10 de janeiro desse ano. Las-timamos a perda do professor Guilherme Fontes Leal Ferreira, que era um colaborador pioneiro e muito cons-tante das publica¸cões da SBF.

Referˆ

encias

[1] J.B. Marion, Classical Eletromagnetic Radiation

(Academic Press, New York, 1965).

[2] J. Vaz, Revista Brasileira de Ensino de F´ısica19, 234 (1997).

[3] G.F. Leal Ferreira, Revista Brasileira de Ensino de F´ısica23, 395 (2001).