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IFT
Instituto de F´ısica Te´oricaUniversidade Estadual Paulista
DISSERTAC¸ ˜AO DE MESTRADO IFT–M.001/13
Estruturas Geˆ
ometro-Diferenciais na Superf´ıcie da Corda Bosˆ
onica
´
Edypo Ribeiro de Melo
Orientador
Andrey Yuryevich Mikhailov
Agradecimentos
Agrade¸co ao meu orientador, Professor Dr. Andrey Yuryevich Mikhailov, pelo apoio e paciˆencia, os quais foram bastante oportunos durante os ´ultimos dois anos.
Aos meus pais, Evandro e Geovana, pela constante presen¸ca e suporte. Ao meu irm˜ao Emannuel pela companhia.
Aos demais professores e colegas de estudo, em especial, ao Kelvyn P´aterson pela amizade e in´umeras discuss˜oes acadˆemicas enriquecedoras.
Resumo
Historicamente, as superf´ıcies m´ınimas foram inicialmente estudadas por Lagrange e Euler no s´eculo XVIII. Fisicamente, uma superf´ıcie ´e m´ınima se ela n˜ao pode ser modificada sem consequente aumento de sua ´area. Tais superf´ıcies desempenham papel fundamental na moderna pesquisa em geometria diferencial. Em f´ısica relativ´ıstica e na teoria de cordas, elas s˜ao usadas a fim de descrever a formula¸c˜ao matem´atica de buracos negros e para o estudo de loops de quarks na fronteira do espa¸co Anti-de-Sitter, sendo estes denominados Wilson loops. Neste trabalho, pretendemos estudar o formalismo necess´ario para a an´alise destas superf´ıcies nos espa¸cos Euclideano, Lorentziano e Anti-de-Sitter sob `a ´otica da teoria de cordas bosˆonicas.
Palavras Chaves: Formas Fundamentais; Curvatura M´edia; Superf´ıcies M´ınimas; Espa¸co Anti-de-Sitter
´
Abstract
Sum´
ario
1 Geometria das Superf´ıcies 1
1.1 Primeira Forma Fundamental . . . 1
1.1.1 Exemplos . . . 3
1.1.2 Caracter´ısticas Importantes . . . 6
1.2 Segunda Forma Fundamental . . . 9
1.2.1 Exemplos . . . 12
1.2.2 Caracter´ısticas Importantes . . . 15
1.3 Curvatura . . . 17
1.4 Terceira Forma Fundamental . . . 23
1.5 Dependˆencia Linear das Trˆes Formas Fundamentais . . . 24
2 Superf´ıcies M´ınimas 26 2.1 Nota¸c˜ao e Conceitos . . . 26
2.2 Defini¸c˜ao de Superf´ıcie M´ınima . . . 26
2.3 Superf´ıcie M´ınima N˜ao Param´etrica . . . 28
2.4 Exemplos de Superf´ıcies N˜ao M´ınimas . . . 32
2.5 Exemplos de Superf´ıcies M´ınimas . . . 33
3 Cordas Relativ´ısticas Cl´assicas 41 3.1 A Funcional ´Area para Superf´ıcies Espaciais . . . 41
3.2 Reparametriza¸c˜ao Invariante da Funcional ´Area . . . 43
3.3 A Funcional ´Area para Superf´ıcies Espa¸co-Temporais . . . 45
3.4 A¸c˜ao de Nambu-Goto . . . 48
3.5 Equa¸c˜oes de Movimento . . . 56
4 Aspectos Geˆometro-Diferenciais das Superf´ıcies Espa¸co-Temporais 61 4.1 Helic´oide de Primeiro Tipo emSO(1,2) . . . 61
4.2 Caten´oide de Primeiro Tipo em SO(1,2) . . . 64
5 Superf´ıcie M´ınima em AdS 70
5.1 Espa¸co Anti-de-Sitter (AdS) . . . 70 5.2 Superf´ıcie Hemisf´erica emAdS . . . 71
6 Conclus˜ao 76
Cap´ıtulo 1
Geometria das Superf´ıcies
Neste cap´ıtulo apresentaremos as trˆes formas fundamentais das superf´ıcies emR3, alguns exemplos de seus usos em an´alises da geometria diferencial, consequˆencias e a rela¸c˜ao de dependˆencia linear existente entre elas [1–13].
1.1
Primeira Forma Fundamental
Defini¸c˜ao 1.1.1. Suponha que uma superf´ıcie ´e dada pela equa¸c˜ao r = r(ω, υ) = ri(ωα), n´os
denotaremos as derivadas parciais pela seguinte nota¸c˜ao
rω=
∂r
∂ω
rυ=
∂r
∂υ
rω ω=
∂2r ∂ω2
rυ υ =
∂2r ∂υ2
rα=
∂r
∂ωα
rαβ =
∂2r ∂ωα∂ωβ.
Seja ri(ωα) uma parametriza¸c˜ao local de uma superf´ıcie qualquer em R3. Assim, o produto interno no espa¸co Euclideano induz um produto interno no espa¸co dos vetores tangentes em cada ponto na superf´ıcie e a m´etrica sobre a superf´ıcie pode ser obtida da seguinte maneira [1]:
dri= ∂ri
∂ωαdω
Ent˜ao,
ds2 = δijdridrj
= δij
∂ri
∂ωα
∂rj
∂ωβdω αdωβ
= gαβdωαdωβ, (1.2)
onde
gαβ =δij
∂ri
∂ωα
∂rj
∂ωβ. (1.3)
Devido ao fato da superf´ıcie se encontrar imersa no espa¸co Euclideano tridimensional surge uma m´etrica pr´opria (1.2) que denominamos m´etrica induzida. Uma correspondente express˜ao para a m´etrica induzida pode ser obtida como segue
dr=rωdω+rυdυ. (1.4)
No entanto, sabe-se que:
ds2 = dr·dr
= (rωdω+rυdυ)·(rωdω+rυdυ)
= (rω·rω)dω2+ 2(rω·rυ)dωdυ+ (rυ·rυ)dυ2. (1.5) Ou ainda:
ds2=E(ω, υ)dω2+ 2F(ω, υ)dωdυ+G(ω, υ)dυ2, (1.6) onde
E(ω, υ) = rω·rω
F(ω, υ) = rω·rυ
= rυ·rω
G(ω, υ) = rυ·rυ.
Ou seja,
gαβ =rα·rβ. (1.7)
1.1.1
Exemplos
Exemplo 1. Esfera
r(θ, ϕ) = (bsinθcosϕ, bsinθsinϕ, bcosθ)
rθ(θ, ϕ) = (bcosθcosϕ, bcosθsinϕ,−bsinθ) rϕ(θ, ϕ) = (−bsinθsinϕ, bsinθcosϕ,0)
E(θ, ϕ) = (bcosθcosϕ, bcosθsinϕ,−bsinθ)·(bcosθcosϕ, bcosθsinϕ,−bsinθ) = b2cos2θcos2ϕ+b2cos2θsin2ϕ+b2sin2θ
= b2cos2θ(cos2ϕ+ sin2ϕ) +b2sin2θ = b2
F(θ, ϕ) = (bcosθcosϕ, bcosθsinϕ,−bsinθ)·(−bsinθsinϕ, bsinθcosϕ,0) = −b2cosθcosϕsinθsinϕ+b2cosθcosϕsinθsinϕ
= 0
G(θ, ϕ) = (−bsinθsinϕ, bsinθcosϕ,0)·(−bsinθsinϕ, bsinθcosϕ,0) = b2sin2θsin2ϕ+b2sin2θcos2ϕ
= b2sin2θ(cos2ϕ+ sin2ϕ) = b2cos2θ
ds2 = b2(dθ2+ sin2θdϕ2)
r(u, v) = ((a+bcosu) cosv,(a+bcosu) sinv, bsinu)
ru(u, v) = (−bsinucosv,−bsinusinv, bcosu)
rv(u, v) = (−(a+bcosu) sinv,(a+bcosu) cosv,0)
E(u, v) = (−bsinucosv,−bsinusinv, bcosu)·(−bsinucosv,−bsinusinv, bcosu) = b2sin2ucos2v+b2sin2usin2v+b2cos2u
= b2sin2u(cos2v+ sin2v) +b2cos2u = b2(cos2u+ sin2u)
= b2
F(u, v) = (−bsinucosv,−bsinusinv, bcosu)·(−(a+bcosu) sinv,(a+bcosu) cosv,0) = (a+bcosu)bsinusinvcosv−(a+bcosu)bsinusinvcosv
= 0
G(u, v) = (−(a+bcosu) sinv,(a+bcosu) cosv,0)·(−(a+bcosu) sinv,(a+bcosu) cosv,0) = (a+bcosu)2sin2+(a+bcosu)2cos2
= (a+bcosu)2(sin2u+ cos2v) = (a+bcosu)2
ds2 = b2du2+ (a+bcosu)2dv2
Exemplo 3. Helic´oide
r(u, v) = (ucosv, usinv, bv)
ru(u, v) = (cosv,sinv,0)
rv(u, v) = (−usinv, ucosv, b)
E(u, v) = (cosv,sinv,0)·(cosv,sinv,0) = cos2v+ sin2v
= 1
F(u, v) = (cosv,sinv,0)·(−usinv, ucosv, b) = −ucosvsinv+ucosvsinv
= 0
G(u, v) = (−usinv, ucosv, b)·(−usinv, ucosv, b) = u2sin2v+u2cos2v+b2
= u2(sin2v+ cos2v) +b2 = u2+b2
ds2 = du2+ (u2+b2)dv2
Exemplo 4. Superf´ıcie de Revolu¸c˜ao
´
analisaremos o caso geral desta situa¸c˜ao.
r(ρ, θ) = (ρcosθ, ρsinθ, f(ρ))
rρ(ρ, θ) = (cosθ,sinθ, f′(ρ)
rθ(ρ, θ) = (−ρsinθ, ρcosθ,0)
E(ρ, θ) = (cosθ,sinθ, f′(ρ)·(cosθ,sinθ, f′(ρ) = cos2θ+ sin2θ+f′(ρ)
= 1 +f′(ρ)
F(ρ, θ) = (cosθ,sinθ, f′(ρ)·(−ρsinθ, ρcosθ,0) = −ρsinθcosθ+ρsinθcosθ
= 0
G(ρ, θ) = (−ρsinθ, ρcosθ,0)·(−ρsinθ, ρcosθ,0) = ρ2(sin2θ+ cos2θ)
= ρ2
ds2 = (1 +f′(ρ))dρ2+ρ2dθ2
1.1.2
Caracter´ısticas Importantes
De acordo com (1.7) fica evidente que a primeira forma fundamental escrita em termos da baserω
erυ pode ser representada pela matriz sim´etrica [8]
E(ω, υ) F(ω, υ) F(ω, υ) G(ω, υ)
Surge agora uma quest˜ao. Por qual motivo escrevemos isto comoE(ω, υ)dω2+ 2F(ω, υ)dωdυ+ G(ω, υ)dυ2? Por enquanto n˜ao ´e preciso preocupar-se com o que precisamente ´edω2, no entanto, vamos analisar como esta forma de escrever se torna conveniente.
Por exemplo, a fim de calcular o comprimento de uma curva sobre uma superf´ıcie dada por ω(t), υ(t), n´os calculamos
E(ω, υ)
dω dt
2
+ 2F(ω, υ)dω dt
dυ
dt +G(ω, υ)
dυ dt
2
dt.
Se n´os mudarmos a parametriza¸c˜ao da superf´ıcie usandoω(x, y) eυ(x, y) e quisermos calcular o comprimento da curvax(t), y(t) podemos simplesmente utilizar
dω = ωxdx+ωydy
dυ = υxdx+υydy
e substituir emE(ω, υ)dω2+2F(ω, υ)dωdυ+G(ω, υ)dυ2para encontrarE′(x, y)dx2+2F′(x, y)dxdy+ G′(x, y)dy2, isto ´e:
E(ω, υ)dω2+ 2F(ω, υ)(dωdυ) +G(ω, υ)dυ2 = E(ω, υ)(ωxdx+ωydy)2
+ 2F(ω, υ)(ωxdx+ωydy)(υxdx+υydy)
+ G(ω, υ)(υxdx+υydy)2
= E(ω, υ)(ωx2dx2+ 2ωxωydxdy+ωy2dy2)
+ 2F(ω, υ)(ωxυxdx2+ωxυydxdy+ωyυxdxdy+
+ ωyυydy2) +G(ω, υ)(υx2dx2+ 2υxυydxdy+
+ υy2dy2)
= E′(x, y)dx2+ 2F′(x, y)dxdy+G′(x, y)dy2. Portanto,
E′(x, y) = E(ω, υ)ω
x2+ 2F(ω, υ)ωxυx+G(ω, υ)υx2
F′(x, y) = E(ω, υ)ω
xωy+F(ω, υ)ωxυy+F(ω, υ)ωyυx+G(ω, υ)υxυy
G′(x, y) = E(ω, υ)ω
y2+ 2F(ω, υ)ωyυy+G(ω, υ)υy2.
Exemplo 5. Plano
Para o plano, temos:
r = (x, y)
rx = (1,0)
Ent˜ao,
E(x, y) = 1, F(x, y) = 0 e G(x, y) = 1. E a primeira forma fundamental para o plano ´e simplesmente:
dx2+dy2.
Realizando a mudan¸ca para coordenadas polares,x=rcosθey=rsinθ, obt´em-se: dx = cosθdr−rsinθdθ
dy = sinθdr+rcosθdθ e
dx2+dy2 = (cosθdr−rsinθdθ)2+ (sinθdr+rcosθdθ)2 = dr2cos2θ−2rcosθsinθdrdθ+r2sin2θdθ2+ + dr2sin2θ+ 2rcosθsinθdrdθ+r2cos2θdθ2 = dr2(cos2θ+ sin2θ) +r2dθ2(cos2θ+ sin2θ) = dr2+r2dθ2.
Neste exemplo efetuamos a mudan¸ca de vari´aveis (x, y)→(r, θ) e seguindo a prescri¸c˜ao anterior, encontramos que
E′(r, θ) = 1, F′(r, θ) = 0 e G′(r, θ) =r2.
Defini¸c˜ao 1.1.2. Suponha que duas curvasr1er2 se interceptem sobre uma superf´ıcie, ent˜ao, o
ˆ
anguloθ entre elas ´e dado por
cosθ= r′1·r′2
No entanto,r′
i=rωω′i+rυυi′, da´ı r′
1·r′2 = (rωω′1+rυυ1′)(rωω′2+rυυ′2) = (rω·rω)ω′
1ω′2+ (rω·rυ)ω1′υ′2+ (rυ·rω)υ′1ω′2+ (rυ·rυ)υ′1υ′2 = E(ω, υ)ω′
1ω′2+F(ω, υ)(ω1′υ′2+υ′1ω′2) +G(ω, υ)υ1′υ′2.
e podemos escrever o ˆangulo entre as duas curvas em termos deE(ω, υ), F(ω, υ) eG(ω, υ). Uma outra aplica¸c˜ao para a primeira forma fundamental consiste em us´a-la para definir a ´area de uma regi˜ao numa superf´ıcie emR3:
Defini¸c˜ao 1.1.3. Dado um dom´ınior(M)⊂R3 numa superf´ıcie, a ´area ´e dada por
M
rω×rυdωdυ=
M
E(ω, υ)G(ω, υ)−F2(ω, υ)dωdυ.
Isto pode ser facilmente verificado mediante o uso da identidade
(A×B)·(C×D) = A·C A·D
B·C B·D , (1.8)
tal que
rω×rυ2 = (rω×rυ)·(rω×rυ)
= det
rω·rω rω·rυ rυ·rω rυ·rυ
= (rω·rω)(rυ·rυ)−(rυ·rω)(rω·rυ) = (rω·rω)(rυ·rυ)−(rω·rυ)2
= E(ω, υ)G(ω, υ)−F2(ω, υ). (1.9)
Estes casos ilustram o fato de que apesar de termos introduzido a primeira forma fundamental com o intuito de calcular o comprimento de curvas sobre uma superf´ıcie existem outras aplica¸c˜oes interessantes.
1.2
Segunda Forma Fundamental
Sejar=r(ωα) uma parametriza¸c˜ao local sobre uma superf´ıcieS emR3. Desde que r
ω erυ s˜ao
ambos tangentes `a superf´ıcie, n´os podemos definir um vetor unit´ario normal n `a superf´ıcie da seguinte maneira:
n= rω×rυ
Suponha agora que existe uma curva sobre a superf´ıcie S dada por ωα = ωα(t), onde t ´e o
parˆametro que a caracteriza. Assim, o vetor unit´ario tangenteT`a curva ´e
T= dr dt =
dr
dωα
dωα
dt =rα dωα
dt . (1.11)
Claramente o vetor unit´ario tangente `a curva tamb´em ´e tangente `a S, uma vez que a curva localiza-se sobre a superf´ıcie. Todavia, em geral, esta propriedade n˜ao est´a presente emT′=dT/dt. ´
E por este motivo que dividimosT′ em suas componentes tangencial e normal, como segue:
T′ = K
n+Kg
= κnn+κgnt. (1.12)
O escalarκn ´e denominadocurvatura normalda curva,Kg´e chamado devetor de curva-tura geod´esica, κg corresponde `acurvatura geod´esica ent=n×T.
Defini¸c˜ao 1.2.1. A curvatura geod´esica κg de uma curva suave emS ´e dada por
κg=T′·(n×T). (1.13)
Desta forma, multiplicando (1.12) porn:
T′·n = κnn·n+κ
g(n×T)·n
= κn.
Ou seja,
κn=
dT
dt ·n. (1.14)
Desde que (A×B)·A= 0 en·n= 1. Logo, a fim de encontrar a express˜ao para a curvatura normalκn explicitamente, devemos diferenciar (1.11)
T′ = dT dt
= d dt
rα
dωα
dt
= rαd
2ωα
dt2 + d dt(rα)
dωα
dt
= rαd
2ωα
dt2 +
d
rα
dωβ
dωβ
dt
dωα
dt
= rαd
2ωα
dt2 +rαβ dωα
dt dωβ
dt . (1.15)
Realizando o produto interno entre (1.15) e o vetor unit´ario normal n e considerando que
T′·n = (rα·n)d 2ωα
dt2 + (rαβ·n) dωα
dt dωβ
dt
= (rαβ·n)dω
α
dt dωβ
dt . (1.16)
Lembremos quet´e o comprimento de arco que parametriza a curva sobre a superf´ıcie, portanto, o denominador em (1.16) corresponde `a primeira forma fundamental que agora chamaremos por I, ou seja:
I=dt2=E(ω, υ)dω2+ 2F(ω, υ)dωdυ+G(ω, υ)dυ2. (1.17)
O numerador de (1.16) ´e a segunda forma fundamental da superf´ıcie S. Similarmente, denotaremos a segunda forma fundamental porII
II =hαβdωαdωβ, (1.18)
onde
hαβ= (rαβ·n). (1.19)
Observando (1.19) ´e f´acil notar que II ´e sim´etrica, j´a que hαβ =hβ αdevido `a rαβ =rβ α. Os
coeficientes da segunda forma fundamental ser˜ao dados por:
L(ω, υ) = hαα=rαα·n
M(ω, υ) = hαβ =rαβ·n
= hβ α=rβ α·n
N(ω, υ) = hβ β=rβ β·n.
Ent˜ao, considerando (1.18) e (1.19), podemos escreverII de maneira an´aloga `a I
II =L(ω, υ)dω2+ 2M(ω, υ)dωdυ+N(ω, υ)dυ2 (1.20) e o escalarκn
κn=
II I =
L(ω, υ)dω2+ 2M(ω, υ)dωdυ+N(ω, υ)dυ2
E(ω, υ)dω2+ 2F(ω, υ)dωdυ+G(ω, υ)dυ2 (1.21) ´e a express˜ao expl´ıcita para a curvatura normal. Cabe aqui ressaltar que assim como a primeira forma fundamental pode ser dada por
I=dr·dr, (1.22)
II=−(dr·dn). (1.23) Para visualizar isto, n´os devemos diferenciar (rα·n) como segue:
(rα·n)α = rαα·n+rα·nα
(rα·n)β = rαβ·n+rα·nβ
(rβ·n)α = rβ α·n+rβ·nα
(rβ·n)β = rβ β·n+rβ·nβ.
Como n´e mutuamente perpendicular `a rα e rβ, as derivadas acima s˜ao todas iguais a zero. Finalmente, isto implica em
rαβ·n=−(rα·nβ). (1.24)
Assim,
(dr·dn) = (rαdωα·nβdωβ)
= (rα·nβ)dωαdωβ
= −(rαβ·n)dωαdωβ
= −II. ´
E instrutivo observar o que cada uma das duas primeiras formas fundamentais descreve. A primeira forma fundamentalI corresponde `a m´etrica sobre a superf´ıcie, deste modo, descreve pro-priedades de car´ater intr´ınseco desta superf´ıcie, tais como a ´area, ˆangulos e comprimento de curvas. Por outro lado, a segunda forma fundamentalII, descreve como a superf´ıcie est´a “condicionada” emR3.
1.2.1
Exemplos
Exemplo 6. Esfera
r(θ, ϕ) = (bsinθcosϕ, bsinθsinϕ, bcosθ)
rθ(θ, ϕ) = (bcosθcosϕ, bcosθsinϕ,−bsinθ) rθ θ(θ, ϕ) = (−bsinθcosϕ,−bsinθsinϕ,−bcosθ)
rϕ(θ, ϕ) = (−bsinθsinϕ, bsinθcosϕ,0) rϕϕ(θ, ϕ) = (−bsinθcosϕ,−bsinθsinϕ,0)
Vamos agora calcular o vetor unit´ario normaln, a fim de obter os coeficientes da segunda forma fundamental:
rθ×rϕ =
i j k
bcosθcosϕ bcosθsinϕ −bsinθ
−bsinθsinϕ bsinθcosϕ 0
= i[(bcosθsinϕ)(0)−(bsinθcosϕ)(−bsinθ)]
− j[(bcosθcosϕ)(0)−(−bsinθsinϕ)(−bsinθ)]
+ k[(bcosθcosϕ)(bsinθcosϕ)−(−bsinθsinϕ)(bcosθsinϕ)]
= (b2sin2θcosϕ)i+ (b2sin2θsinϕ)j+ (b2sinθcosθ(cos2ϕ+ sin2ϕ))k
= (b2sin2θcosϕ)i+ (b2sin2θsinϕ)j+ (b2sinθcosθ)k, da´ı
rθ×rϕ =
b4sin4θcos2ϕ+b4sin4θsin2ϕ+b4sin2θcos2θ =
b4sin4θ(cos2ϕ+ sin2ϕ) +b4sin2θ(1−sin2θ) = b4sin4θ+b4sin2θ
−b4sin4θ = b2sinθ.
Usando estes resultados,
n = 1
b2sinθ[(b
2sin2θcosϕ)
i+ (b2sin2θsinϕ)
j+ (b2sinθcosθ)k] = (sinθcosϕ)i+ (sinθsinϕ)j+ (cosθ)k
e
L(θ, ϕ) = (−bsinθcosϕ,−bsinθsinϕ,−bcosθ)·(sinθcosϕ,sinθsinϕ,cosθ) = −bsin2θcos2ϕ−bsin2θsin2ϕ−bcos2θ
= −bsin2θ(cos2ϕ+ sin2ϕ)−bcos2θ = −b(sin2θ+ cos2θ)
= −b
M(θ, ϕ) = (−bcosθsinϕ, bcosθcosϕ,0)·(sinθcosϕ,sinθsinϕ,cosθ) = −bsinθcosθsinϕcosϕ+bsinθcosθsinϕcosϕ
= 0
N(θ, ϕ) = (−bsinθcosϕ,−bsinθsinϕ,0)·(sinθcosϕ,sinθsinϕ,cosθ) = −bsin2θcos2ϕ−bsin2θsin2ϕ
Por fim, a segunda forma fundamentalII para a esfera ´e
II=−bdθ2−bsin2θdϕ2.
Exemplo 7. Plano
Suponha um plano parametrizado pela seguinte equa¸c˜ao,
r(x, y) =i+xj+yk, portanto,
rx(x, y) =j e ry(x, y) =k rxx=rxy=ry x=ry y= 0.
No caso em que a superf´ıcie ´e plana, a segunda forma fundamental se escreve
II = 0.
Exemplo 8. Toro ou Tor´oide
r(u, v) = ((a+bcosu) cosv,(a+bcosu) sinv, bsinu)
ru(u, v) = (−bsinucosv,−bsinusinv, bcosu)
ruu(u, v) = (−bcosucosv,−bcosusinv,−bsinu)
rv(u, v) = (−(a+bcosu) sinv,(a+bcosu) cosv,0)
rv v(u, v) = ((a+bcosv)(−cosv),(a+bcosv)(−sinu),0)
ruv(u, v) = rv u(u, v) = (bsinusinv,−bsinucosv,0). Logo, temos que
ru×rv =
i j k
−bsinucosv −bsinusinv bcosu (a+bcosu)(−sinv) (a+bcosu)(−cosv) 0 = i[(−bsinusinv)(0)−((a+bcosu)(−cosv))(bcosu)]
− j[(−bsinucosv)(0)−((a+bcosu)(−sinv))(bcosu)]
+ k[(−bsinucosv)((a+bcosu)(−cosv))−((a+bcosu)(−sinv))(−bsinusinv)] = [−b(a+bcosu) cosucosv]i+ [−b(a+bcosu) cosusinv]j
+ [−b(a+bcosu) sinu(cos2v+ sin2v)]k
e
ru×rv =
b2(a+bcosu)2(cos2ucos2v+ cos2usin2v+ sin2u) =
b2(a+bcosu)2cos2u(cos2v+ sin2v) +b2(a+bcosu)2sin2u = b2(a+bcosu)2(cos2u+sin2u)
= b(a+bcosu).
Assim,
n(u, v) = ru×rv
ru×rv
= −(cosucosv,cosusinv,sinu).
Lembremos que rαβ ·n = −(rα·nβ). Ent˜ao, ao inv´es de calcular pelo modo realizado no exemplo da esfera, podemos tomar para melhor ilustrar os resultados
nu(u, v) = (sinucosv,sinusinv,−cosu)
nv(u, v) = (cosusinv,−cosucosv,0)
e calcular os coeficientes da segunda forma fundamental da seguinte maneira:
L(u, v) = −nu·ru
= b(sin2u(cos2v+ sin2v) + cos2u) = b
M(u, v) = −nv·ru=−nu·rv
= (−bcosucosvsinusinv+bcosucosvsinusinv) = 0
N(u, v) = −nv·rv
= (a+bcosu) cosu(sin2v+ cos2v) = (a+bcosu) cosu.
Com estes coeficientes, a segunda forma fundamental para o toro ´e dada por
II =bdu2+ (a+bcosu) cosudv2.
1.2.2
Caracter´ısticas Importantes
Proposi¸c˜ao 1. Se numa dada regi˜ao de uma superf´ıcie, a segunda forma fundamental II = 0, ent˜ao tal regi˜ao ser´a um plano.
ru·nu=rv·nv=ru·nv=rv·nu= 0.
E desde quenu env s˜ao combina¸c˜oes lineares deru rv, j´a que tamb´em s˜ao perpendiculares `a n,
nu=nv = 0.
No entanto, isso implica quen´e constante e por este motivo obtemos
(r·n)u=ru·n= 0 e (r·n)v =rv·n= 0,
onde
r·n=constante e corresponde a equa¸c˜ao do plano no espa¸co Euclideano.
Considere agora uma superf´ıcie parametrizada como segue
r(u, v) =ui+vj+z(u, v)k. Da´ı
ru=i+zu(u, v)k,rv=j+zv(u, v)k
e
ruu=zuu(u, v)k,rv v =zv v(u, v)k e ruv=zuv(u, v)k.
Desta maneira, a segunda forma fundamentalII´e a matriz Hessiana da fun¸c˜aoz(u, v) no ponto cr´ıtico, ou seja:
H =
L(u, v) M(u, v) M(u, v) N(u, v)
=
zuu zuv
zuv zv v
.
Exemplo 9. Matriz Hessiana - Toro
Foi mostrado anteriormente que os coeficientes da segunda forma fundamental para o toro s˜ao L(u, v) =b,M(u, v) = 0 eN(u, v) = (a+bcosu) cosu. Portanto, a matriz HessianaH para o toro ´e
H =
b 0
0 (a+bcosu) cosu
.
´
det(H) =b(a+bcosu) cosu ´e
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
<0, se π
2 < u < 3π
2 = 0, se u=π
2 ou u=−π2 >0, se −π
2 < u <
π
2
Um aspecto importante da matriz Hessiana ´e que podemos us´a-la para entender o comporta-mento da segunda forma fundamentalII sobre a superf´ıcie em quest˜ao. Tal an´alise pode ser feita atrav´es da teoria de pontos cr´ıticos de fun¸c˜oes de duas vari´aveis.
1.3
Curvatura
O conceito de curvatura desempenha papel fundamental na F´ısica Moderna. Caso seu estudo n˜ao fosse exaustivamente realizado ao longo dos s´eculos, certamente, Einstein n˜ao teria desenvolvido a teoria da relatividade geral de forma t˜ao elegante, nem seus desdobramentos mais intrigantes poderiam estar no escrut´ınio de uma vasta gama de pesquisadores atuais. Na geometria diferencial, a id´eia de curvatura evoca todos os resultados que apresentamos at´e este ponto. Por sua vez, ´e largamente compreendido que o estudo da curvatura em superf´ıcies constitui um objeto de estudo de extrema relevˆancia tanto na geometria quanto na moderna pesquisa de corpos gravitacionais.
Defini¸c˜ao 1.3.1. Sejam U e N um campo vetorial sobre uma superf´ıcie S em R3 e o campo vetorial unit´ario normal, respectivamente. Dessa forma, o mapa de Weingarten W ´e escrito como
W U =−∇EUN. (1.25)
O ´ındiceEem (1.25) serve para denotar que o operador a ele associado n˜ao pertence `a superf´ıcie, mas ao espa¸co externo a ela.
Defini¸c˜ao 1.3.2. Obracket de Lierelativo `a dois campos vetoriaisU eV sobre uma superf´ıcie
S emR3 ´e dado por
[U, V] =U V −V U. (1.26)
Proposi¸c˜ao 2. O bracket de Lie de dois campos vetoriaisU eV pertencentes a T(S), onde T(S)
corresponde ao espa¸co tangente `aS, se constitui num outro campo vetorial de T(S).
[U, V](f g) = (U V −V U)(f g) = (U V(f g)−V U(f g))
= U(V(f)g+f V(g))−V(U(f)g+f U(g))
= U(g)V(f) +gU(V(f)) +U(f)V(g) +f U(V(g))−V(g)U(f)
− gV(U(f))−V(f)U(g)−f V(U(g))
= f(U(V(g))−V(U(g))) +g(U(V(f))−V(U(f))) = f(U V −V U)g+g(U V −V U)f
= f[U, V]g+g[U, V]f e
[U, V](f+g) = (U V −V U)(f +g) = U V(f+g)−V U(f +g)
= U(V(f) +V(g))−V(U(f) +U(g)) = U V(f)−V U(f) +U V(g)−V U(g) = (U V −V U)(f) + (U V −V U)(g) = [U, V](f) + [U, V](g).
Proposi¸c˜ao 3. O mapa de Weingarten W corresponde a uma transforma¸c˜ao linear emT(S).
Demonstra¸c˜ao. A linearidade deW adv´em da linearidade do operador∇E
U, portanto, basta mostrar
queW U ´e um campo vetorial pertencente aT(S) desde queU ´e um campo vetorial que pertence aT(S). Desde quencorresponde ao campo vetorial unit´ario normal `a superf´ıcie, temosn·n= 1 e qualquer derivada deste produto interno desaparece. Considerando que a conex˜ao∇E
U e a m´etrica
s˜ao compat´ıveis, obtemos
∇EU(N·N) = ∇UEN·N+N· ∇EUN
= 2(∇EUN·N)
= −2(W U ·N) = 0. Logo,W U ´e perpendicular a N e por isso pertence aT(S).
Defini¸c˜ao 1.3.3. A segunda forma fundamental pode ser expressa pelo mapa bilinear
II(U, V) = W U·V. (1.27)
´
E f´acil perceber que (1.27) equivale a (1.23). Se escolhermos queU eV tenham componentes
vαevβ respectivamente, as componentes deW U ser˜ao−nα, devido `a (1.25). Assim,II(U, V) =
Defini¸c˜ao 1.3.4. A tors˜ao de uma conex˜ao ∇E
U ´e definida como sendo o operadorT(U, V), tal
que
T(U, V) = ∇E
UV − ∇EVU−[U, V]. (1.28)
Se T(U, V) = 0, a conex˜ao ´e ditalivre de tors˜ao. Neste caso, temos
[U, V] = ∇EUV − ∇EVU. (1.29)
Como exemplo podemos citar a teoria da relatividade geral, onde a tors˜ao ´e escolhida ser nula. Por outro lado, existem tamb´em pesquisas em gravita¸c˜ao que assumem um valor n˜ao nulo para a tors˜ao, tal ´area de estudo ´e conhecida como gravita¸c˜ao teleparalela.
Teorema 1.3.1. O mapa de Weingarten corresponde a um operador auto-adjunto sobreT(S).
Demonstra¸c˜ao. Um operadorW atuando sobre um espa¸co linear ´e auto-adjunto se satisfaz W U·
V =U·W V, ent˜ao, usando (1.27) e (1.25) podemos calcular a diferen¸ca
II(U, V)−II(V, U) = W U·V −W V ·U = ∇E
VN·U− ∇EUN·V. (1.30)
J´a foi visto queU·N =V ·N = 0, logo
∇E
Q(N·X) = ∇EQN·X+N· ∇EQX
= 0 e portanto,
∇EQN·X = −N· ∇EQX, (1.31)
ondeQeX s˜ao dois campos vetoriais quaisquer em T(S). Utilizando o resultado (1.31) em (1.30), encontramos
II(U, V)−II(V, U) = N· ∇EUV −N· ∇EVU
= (N· ∇EUV − ∇EVU)
= (N·[U, V]) = 0,
desde queU eV perten¸cam aT(S).
Vamos analisar agora os poss´ıveis autovalores do operador auto-adjuntoW. Em ´Algebra Linear, um importante resultado diz que se deve considerar a equa¸c˜ao de autovalores
E assim, autovetores correspondentes `a autovalores distintos ser˜ao sempre perpendiculares entre si e os autovalores ser˜ao sempre reais. No caso estudado, o espa¸co vetorial consiste no espa¸co tangente `a superf´ıcie emR3e por isso bidimensional. Desta forma,
W U1 = κ1U1 (1.33)
W U2 = κ2U2. (1.34)
Defini¸c˜ao 1.3.5. Os autovalores de(1.33) e(1.34) s˜ao denominadoscurvaturas principaise os autovetores correspondentes s˜ao denominados dire¸c˜oes principais.
Os autovalores de (1.33) e (1.34) podem ser classificados em cada pontopsobre a superf´ıcie de diversas formas diferentes. S˜ao elas:
1. Seκ1(p) =κ2(p)= 0, p´e denominado ponto umb´ılico. Em contrapartida, seκ1(p) =κ2(p) = 0,
p´e denominado ponto planar.
2. Seκ1(p)=κ2(p), e os autovalores s˜ao positivos,p´e denominado ponto el´ıptico 3. Seκ1(p)κ2(p) = 0,p´e denominado ponto parab´olico.
4. Seκ1(p)κ2(p)<0,p´e denominado ponto hiperb´olico.
Defini¸c˜ao 1.3.6. As rela¸c˜oes
H =1
2T r(W) e K=det(W) (1.35)
s˜ao denominadascurvatura m´ediaecurvatura gaussianadeS, respectivamente [1]. Todavia,
W ´e um operador auto-adjunto e sabemos da ´Algebra Linear que operadores auto-adjuntos s˜ao dia-gonaliz´aveis. Escrevendo a matriz que representa o operadorW em termos de uma base diagonal, temos
W =
κ1 0 0 κ2
.
Dessa forma, as express˜oes em(1.35)podem ser escritas como segue
H =1
2(κ1+κ2) e K=κ1κ2. (1.36)
Proposi¸c˜ao 4. SejamU eV dois campos vetoriais em T(S). Da´ı:
W U×W V = K(U×V) (1.37)
(W U×V) + (U×W V) = 2H(U×V). (1.38)
W U = a1U+c1V W V = a2U+c2V e calculando o produto vetorial (1.37),
W U×W V = (a1U +c1V)×(a2U+c2V)
= (a1U +c1V)×(a2U) + (a1U +c1V)×(c2V)
= a1a2(U×U) +c1a2(V ×U) +a1c2(U×V) +c1c2(V ×V) = c1a2(V ×U) +a1c2(U×V)
= (a1c2−a2c1)(U×V) = det(W)(U×V). Para (1.38), encontramos
(W U×V) + (U×W V) = [(a1U+c1V)×V] + [U×(a2U+c2V)]
= a1(U×V) +c1(V ×V) +a2(U×U) +c2(U×V) = (a1+c2)(U×V)
= T r(W)(U×V) = 2H(U ×V).
Proposi¸c˜ao 5. Podemos ainda definir a curvatura gaussianaKe a curvatura m´ediaH em termos dos coeficientes da primeira e segunda formas fundamentais da seguinte maneira:
H = 1 2
EN−2F M+LG
EG−F2 (1.39)
K = LN−M 2
EG−F2. (1.40)
Demonstra¸c˜ao. Multipliquemos (1.37) por (U×V) em ambos os lados, ent˜ao
(W U×W V)(U×V) = K(U×V)(U×V), (1.41) da´ı, utilizando (1.8) no lado direito, obt´em-se
(U×V)(U×V) = U·U U ·V V ·U V ·V
(W U ×W V)(U ×V) = W U ·U W U ·V W V ·U W V ·V .
Como determinantes s˜ao n´umeros, podemos escrever
K =
W U·U W U ·V W V ·U W V ·V
U·U U ·V V ·U V ·V
. (1.42)
AdotandoU =rα eV =rβ, (1.42) se torna:
K =
Wrα·rα Wrα·rβ
Wrβ·rα Wrβ·rβ rα·rα rα·rβ rβ·rα rβ·rβ
=
−nα·rα −nα·rβ
−nβ·rα −nβ·rβ rα·rα rα·rβ rβ·rα rβ·rβ
= (−nα·rα)(−nβ·rβ)−(−nα·rβ)(−nβ·rα) (rα·rα)(rβ·rβ)−(rα·rβ)(rβ·rα) = LN−M
2 EG−F2.
Fazendo uso do mesmo procedimento com (1.38),
((W U ×V) + (U ×W V))(U×V) = 2H(U ×V)(U×V) (1.43)
e
(W U×V)(U×V) + (U×W V)(U×V) = W U ·U W U·V V ·U V ·V +
U·U U·V W V ·U W V ·V .
Portanto
2H =
W U ·U W U·V V ·U V ·V +
U·U U·V W V ·U W V ·V U ·U U·V
V ·U V ·V
. (1.44)
2H =
Wrα·rα Wrα·rβ rβ·rα rβ·rβ +
rα·rα rα·rβ
Wrβ·rα Wrβ·rβ rα·rα rα·rβ
rβ·rα rβ·rβ
=
−nα·rα −nα·rβ rβ·rα rβ·rβ +
rα·rα rα·rβ
−nβ·rα −nβ·rβ rα·rα rα·rβ
rβ·rα rβ·rβ
= (−nα·rα)(rβ·rβ)−(rβ·rα)(−nα·rβ) + (rα·rα)(−nβ·rβ)−(−nβ·rα)(rα·rβ) (rα·rα)(rβ·rβ)−(rα·rβ)(rβ·rα)
= EN−2F M+LG EG−F2 .
1.4
Terceira Forma Fundamental
Na se¸c˜ao anterior definimos a segunda forma fundamental comoII(U, V) =W U ·V, sendo U e V dois campos vetoriais pertencentes `aT(S). Entretanto, utilizando o conceito do operador auto-adjunto de Weingarten, podemos definir ainda uma outra forma fundamental da superf´ıcie, cuja dependˆencia linear com as duas formas fundamentais anteriormente apresentadas ser´a mostrada no fim deste cap´ıtulo.
Defini¸c˜ao 1.4.1. Aterceira forma fundamentalIII(U,V), pode ser definida da seguinte forma:
III(U, V) = W U·W V, (1.45)
ondeU eV pertencem `aT(S).
´
E instrutivo observar que se tomarmosU =rαeV =rβ em (1.45),
III(rα,rβ) = Wrα·Wrβ
= nα·nβ. (1.46)
As equa¸c˜oes (1.45) e (1.46) sugerem que assim como a primeira e segunda formas fundamentais, a terceira forma fundamental ´e uma forma quadr´atica que pode ser escrita similarmente a (1.6) e (1.20), isto ´e
X(ω, υ) = nω·nω
Y(ω, υ) = nω·nυ
= nυ·nω
Z(ω, υ) = nυ·nυ.
1.5
Dependˆ
encia Linear das Trˆ
es Formas Fundamentais
Proposi¸c˜ao 6. Em cada ponto sobre uma superf´ıcie S em R3, a igualdade a seguir ´e v´alida:
IK−II2H+III = 0, (1.48)
ondeK ´e a curvatura gaussiana e H ´e a curvatura m´edia.
Demonstra¸c˜ao. Adotando U1=rαeU2=rβ, (1.33) e (1.34) nos d˜ao:
κ1rα = −nα (1.49)
κ2rβ = −nβ. (1.50)
No entanto, sabe-se que na equa¸c˜ao de autovalores do operador de WeingartenW, autovetores associados a autovalores distintos s˜ao ortogonais entre si. Neste caso,
rα·rβ = 0. (1.51)
Isso implica que F = 0. Desde que podemos escrever a terceira forma fundamental III como (1.45) e fazendo uso de (1.25), (1.49) e (1.50), temos
III(rα,rα) = Wrα·Wrα
= (−nα)·(−nα) = κ21(rα·rα)
= κ21E (1.52)
e
III(rβ,rβ) = Wrβ·Wrβ
= (−nβ)·(−nβ)
= κ22(rβ·rβ)
= κ22G. (1.53)
Utilizando procedimento an´alogo para (1.27), obt´em -se: II(rα,rα) = Wrα·rα
= (−nα)·(rα) = κ1(rα·rα)
e
II(rβ,rβ) = Wrβ·rβ
= (−nβ)·(rβ)
= κ2(rβ·rβ)
= κ2G. (1.55)
Agora, vamos adotar a nota¸c˜ao “antiga” para as formas fundamentais exibida em (1.6), (1.20) e (1.47). Nesta nota¸c˜ao,
I(ω, υ) = E(ω, υ)dω2+G(ω, υ)dυ2. (1.56) Assim, os resultados de (1.52) a (1.55) s˜ao interpretados como segue
II(ω, υ) = κ1E(ω, υ)dω2+κ2G(ω, υ)dυ2 (1.57)
e
III(ω, υ) = κ21E(ω, υ)dω2+κ22G(ω, υ)dυ2. (1.58)
Finalmente, substituindo (1.36), (1.56), (1.57) e (1.58) em (1.48),
IK−II2H+III = (E(ω, υ)dω2+G(ω, υ)dυ2)κ1κ2
− (κ1E(ω, υ)dω2+κ2G(ω, υ)dυ2)(κ1+κ2) + κ21E(ω, υ)dω2+κ22G(ω, υ)dυ2
= E(ω, υ)κ1κ2dω2+G(ω, υ)κ1κ2dυ2−E(ω, υ)κ21dω2
− G(ω, υ)κ1κ2dυ2−E(ω, υ)κ1κ2dω2−G(ω, υ)κ22dυ2 + E(ω, υ)κ21sω2+G(ω, υ)κ22dυ2
= 0.
Cap´ıtulo 2
Superf´ıcies M´ınimas
No decorrer deste cap´ıtulo abordaremos a defini¸c˜ao de superf´ıcies m´ınimas e sua rela¸c˜ao com a curvatura m´edia H definida no cap´ıtulo precedente [14, 15]. Al´em da an´alise de superf´ıcies parametrizadas por alguma fun¸c˜aor(ω, υ) conforme temos feito at´e aqui, trataremos tamb´em de superf´ıcies m´ınimas n˜ao param´etricas. Por fim, ilustraremos os resultados apresentados com alguns exemplos cl´assicos.
2.1
Nota¸c˜
ao e Conceitos
Os discos fechado e aberto s˜ao representados por ¯ded, respectivamente. O c´ırculo ´e representado porS1.
C0significa continuidade eCn indica a quantidade de derivadas cont´ınuas existentes.
Consideraremos que superf´ıcies tipo disco s˜ao no m´ınimoC1 na fronteira eC3emd.
Uma curva de Jordan ´e uma mapa cont´ınuoJ um a um do c´ırculoS1emR3. Um caracter´ıstica importante da curva de Jordan ´e que uma reparametriza¸c˜ao deJ leva em outra curva de Jordan J◦Φ, onde Φ corresponde a um mapa um a um deS1 emS1 [14].
2.2
Defini¸c˜
ao de Superf´ıcie M´ınima
Assim como a curva de Jordan, as superf´ıciesrtamb´em podem ser reparametrizadas. Definamos φtal quer◦φcorresponde a uma reparametriza¸c˜ao da superf´ıcie.
Defini¸c˜ao 2.2.1. Seja A a funcional denominada ´area. Ent˜ao, um ponto cr´ıtico de A corresponde a uma superf´ıciertal que a primeira varia¸c˜ao da ´area ´e nula.
Defini¸c˜ao 2.2.2. A primeira varia¸c˜ao da ´areaA na dire¸c˜ao φ´e dada por:
DA[r](φ) = d dλA[r
λ]|
onderλ=r−λφN. N corresponde ao campo vetorial normal e λ´e uma parˆametro.
Teorema 2.2.1. Seja r uma superf´ıcie emR3. Tal superf´ıcie ser´a um ponto cr´ıtico da funcional ´
areaAse e apenas se sua curvatura m´edia H for igual a zero.
Demonstra¸c˜ao. SejaC3 emdeφ= 0 em S1. Considere
r′=r−λφN. (2.2)
Lembremos que vimos que a ´area pode ser calculada em termos dos coeficientes da primeira forma fundamental em (1.9), de sorte que
A[r′] =
d
E′(ω, υ)G′(ω, υ)−F′2(ω, υ)dωdυ. (2.3)
Agora, calculando os coeficientes de (2.3) e descartando os termos de segunda ordem em λ2:
E′(ω, υ) = r′
ω·r′ω
= (rω−λφωN−λφNω)·(rω−λφωN−λφNω)
= r2ω−rωλφωN−rωλφNω−λφωNrω−λφNωrω+O(λ2)
= r2ω−2λφNωrω
= r2ω+ 2λφhω ω. (2.4)
Note que usamosrω·N = 0 ehω ω =rω ω·N =−rω·Nω. De maneira an´aloga
G′(ω, υ) = r′
υ·r′υ
= r2υ+ 2λφhυ υ (2.5)
e
F′(ω, υ) = r′
ω·r′υ
= (rω−λφωN−λφNω)·(rυ−λφυN−λφNυ)
= rωrυ−rωλφυN−rωλφNυ−λφωNrυ−λφNωrυ+O(λ2)
= rωrυ−λφ(rωNυ+Nωrυ)
= rωrυ+λφ(hω υ+hυ ω). (2.6)
Desta forma,
E′(ω, υ)G′(ω, υ) = (r2
ω+ 2λφhω ω)(r2υ+ 2λφhυ υ)
= E(ω, υ)G(ω, υ) + 2r2ωλφhυ υ+ 2λφhω ωr2υ+O(λ
2)
ondegω ω =rω·rω egυ υ=rυ·rυ. Da´ı,
F′2(ω, υ) = (
rωrυ+λφ(hω υ+hυ ω))(rωrυ+λφ(hω υ+hυ ω))
= F2(ω, υ) +rωrυλφ(hω υ+hυ ω) +λφ(hω υ+hυ ω)rωrυ+O(λ2)
= F2(ω, υ) + 2λφ(gω υhω υ+gυ ωhυ ω). (2.8)
Utilizando (2.7) e (2.8) no radicando em (2.3), obtemos:
E′(ω, υ)G′(ω, υ)−F′2(ω, υ) = E(ω, υ)G(ω, υ)
−F2(ω, υ) + 2λφ(gω ωhυ υ+gυ υhω ω)
− 2λφ(gω υhω υ+gυ ωhυ ω)
= E(ω, υ)G(ω, υ)−F2(ω, υ) + 2λφ(gω ωhυ υ+gυ υhω ω
− gω υhω υ−gυ ωhυ ω). (2.9)
Finalmente, usando a equa¸c˜ao (1.39), podemos escrever (2.9) de um jeito mais simples,
E′(ω, υ)G′(ω, υ)−F′2(ω, υ) = E(ω, υ)G(ω, υ)
−F2(ω, υ)
+ 4λφH(E(ω, υ)G(ω, υ)−F2(ω, υ))
= Q2(ω, υ)(1 + 4λφH), (2.10) onde adotamosQ2(ω, υ) = E(ω, υ)G(ω, υ)−F2(ω, υ). A integral (2.3) pode ent˜ao ser calculada como segue
A[r′] =
d
Q2(ω, υ)(1 + 4λφH)dωdυ
=
d
Q(ω, υ)(1 + 2λφH)dωdυ
=
d
Q(ω, υ)dωdυ+ 2λ
d
Q(ω, υ)φHdωdυ, (2.11)
onde foi utilizado a expans˜ao binomial. A segunda integral em (2.11) ´e a primeira varia¸c˜ao da ´
area, ou seja
DA[r](φ) = 2λ
d
Q(ω, υ)φHdωdυ (2.12)
e o teorema est´a provado.
Defini¸c˜ao 2.2.3. Se uma superf´ıciertem curvatura m´edia H = 0, ela ´e denominada superf´ıcie m´ınima.
As superf´ıcies dadas por uma fun¸c˜ao r de parˆametros ω e υ conforme temos tratado s˜ao de-nominadas superf´ıcies param´etricas. Todavia, se uma superf´ıcie ´e definida por uma fun¸c˜ao y =h(ω, υ), ela ´e denominadasuperf´ıcie n˜ao param´etrica. Tais superf´ıcies n˜ao param´etricas podem ser definidas parametricamente assim como mostramos na p´agina 16, isto ´e, em termos de uma fun¸c˜ao (ω, υ, h(ω, υ)).
Vamos ent˜ao calcular a curvatura m´ediaHpara uma superf´ıcie parametrizada por (ω, υ, h(ω, υ)) usando a express˜ao (1.39) como realizado abaixo:
Primeiramente, calculemos as derivadas de primeira e segunda ordem emωeυe os coeficientes da primeira e segunda formas fundamentais para esta parametriza¸c˜ao . Assim,
rω(ω, υ) = (1,0, hω(ω, υ)) rω ω(ω, υ) = (0,0, hω ω(ω, υ))
rυ(ω, υ) = (0,1, hυ(ω, υ)) rυ υ(ω, υ) = (0,0, hυ υ(ω, υ)) rω υ(ω, υ) = rυ ω(ω, υ)
= (0,0, hω υ(ω, υ))
e
E(ω, υ) = (1,0, hω(ω, υ))·(1,0, hω(ω, υ))
= 1 +h2ω(ω, υ)
F(ω, υ) = (1,0, hω(ω, υ))·(0,1, hυ(ω, υ))
= hω(ω, υ)hυ(ω, υ)
G(ω, υ) = (0,1, hυ(ω, υ))·(0,1, hυ(ω, υ))
= 1 +h2υ(ω, υ).
A fim de obter os coeficientes da segunda forma fundamental precisamos obter o vetor unit´ario normal, portanto
rω×rυ =
i j k
1 0 hω(ω, υ)
0 1 hυ(ω, υ)
= i[(0)(hυ(ω, υ))−(1)(hω(ω, υ))]−j[(1)(hυ(ω, υ))−(0)(hω(ω, υ))]
+ k[(1)(1)−(0)(0)]
= i[−hω(ω, υ)] +j[−hυ(ω, υ)] +k
e
rω×rυ = (i[−hω(ω, υ)] +j[−hυ(ω, υ)] +k)·(i[−hω(ω, υ)] +j[−hυ(ω, υ)] +k)
= 1 +h2
Logo,
n = 1
1 +h2
ω(ω, υ) +h2υ(ω, υ)
(i[−hω(ω, υ)] +j[−hυ(ω, υ)] +k).
Desta forma, os coeficientes da segunda forma fundamental ser˜ao
L(ω, υ) = 1
1 +h2
ω(ω, υ) +h2υ(ω, υ)
(−hω(ω, υ),−hυ(ω, υ),1)·(0,0, hω ω(ω, υ))
= hω ω(ω, υ)
1 +h2
ω(ω, υ) +h2υ(ω, υ)
M(ω, υ) = 1
1 +h2
ω(ω, υ) +h2υ(ω, υ)
(−hω(ω, υ),−hυ(ω, υ),1)·(0,0, hω υ(ω, υ))
= hω υ(ω, υ)
1 +h2
ω(ω, υ) +h2υ(ω, υ)
N(ω, υ) = 1
1 +h2
ω(ω, υ) +h2υ(ω, υ)
(−hω(ω, υ),−hυ(ω, υ),1)·(0,0, hυ υ(ω, υ))
= hυ υ(ω, υ) 1 +h2
ω(ω, υ) +h2υ(ω, υ)
.
Observemos ainda que
E(ω, υ)G(ω, υ)−F2(ω, υ) = (1 +h2
ω(ω, υ))(1 +h2υ(ω, υ))−(hω(ω, υ)hυ(ω, υ))2
= 1 +h2
ω(ω, υ) +h2υ(ω, υ) +h2ω(ω, υ)h2υ(ω, υ)−h2ω(ω, υ)h2υ(ω, υ)
= 1 +h2
ω(ω, υ) +h2υ(ω, υ).
Por fim, mediante estes resultados, a equa¸c˜ao (1.39) nos fornece
2H(ω, υ) = (1 +h 2
ω(ω, υ))hυ υ(ω, υ)−2hω(ω, υ)hυ(ω, υ)hω υ(ω, υ) + (1 +h2υ(ω, υ))hω ω(ω, υ)
(1 +h2
ω(ω, υ) +h2υ(ω, υ))
3 2
.
Para que tenhamos superf´ıcie m´ınima ´e preciso H = 0. Sendo assim, devido a equa¸c˜ao acima, a condi¸c˜ao para que uma superf´ıcie n˜ao param´etrica seja m´ınima ´e
(1 +h2ω(ω, υ))hυ υ(ω, υ)−2hω(ω, υ)hυ(ω, υ)hω υ(ω, υ) + (1 +h2υ(ω, υ))hω ω(ω, υ) = 0. (2.13)
Devido ao grau de complexidade que pode apresentar a fun¸c˜ao h(ω, υ), n˜ao ´e sempre que conseguiremos resolver (2.13) facilmente. Na verdade, normalmente se torna bastante complicado. Entretanto, se a fun¸c˜aoh(ω, υ) ´e separ´avel em outras duas fun¸c˜oes tal que cada uma dessas fun¸c˜oes dependa somente deωouυ, n´os podemos resolvˆe-la sem muitas complica¸c˜oes. Al´em da facilidade de resolu¸c˜ao, o caso em que esta separa¸c˜ao de vari´aveis pode ser efetuada ´e importante porque aparece em alguns modelos f´ısicos interessantes. Em virtude dessas raz˜oes, ilustraremos a seguir o m´etodo de resolu¸c˜ao.
Suponha que
ent˜ao,
hω(ω, υ) = fω(ω), hω ω(ω, υ) = fω ω(ω) (2.15)
hυ(ω, υ) = gυ(υ), hυ υ(ω, υ) = fυ υ(ω) (2.16)
hω υ(ω, υ) = hυ ω(ω, υ) = 0. (2.17)
Agora, substituindo (2.15), (2.16) e (2.17) em (2.13)
fω ω(ω)(1 +gυ2(υ))−2fω(ω)gυ(υ)(0) +gυ υ(υ)(1 +fω2(ω)) = fω ω(ω)(1 +gυ2(υ))
+ gυ υ(υ)(1 +fω2(ω))
= 0, ou ainda
1 +g2
υ(υ)
gυ υ(υ)
= −1 +f
2
ω(ω)
fω ω(ω)
. (2.18)
A express˜ao (2.18) implica que se mantivermos υ fixo enquanto variamos ω, o lado esquerdo permanece o mesmo seja qual for o valor queω possa assumir. Da mesma forma, se fixarmosωe variarmosυ, o lado direito de (2.18) ser´a o mesmo para qualquer valor poss´ıvel deυ. Ou seja, os lados direito e esquerdo s˜ao iguais a uma mesma constanteb, tal que
1 +gυ2(υ) = bgυ υ(υ). (2.19)
Para calcularmos (2.19) adotaremosϕ(υ) =gυ(υ). Assim, (2.19) se torna
1 +ϕ2(υ) = bdϕ(υ) dυ , de modo que podemos escrever
dυ = b
dϕ
1 +ϕ2
= btan−1(ϕ) +C, (2.20)
ondeC ´e uma constante de integra¸c˜ao. Rearranjando (2.20) e tomando a tangente em ambos os lados da equa¸c˜ao, obtemos
ϕ(υ) = tan
υ−C b
. (2.21)
Adotando, por simplicidade,C= 0 eb= 1, (2.21) se reduz a
ϕ(υ) = tan(υ). (2.22)
Contudo, definimos queϕ(υ) =gυ(υ), portanto
dg(υ) =
ϕ(υ)dυ
=
tan(υ)dυ
ondeC′ ´e uma constante de integra¸c˜ao que novamente consideraremos como sendo igual a zero. Realizando procedimento an´alogo para o lado direito de (2.18), encontraremos
f(ω) = ln|cos(ω)|. (2.24)
E, usando estes resultados em (2.14)
h(ω, υ) = ln|cos(ω)| −ln|cos(υ)|
= ln
cos(ω)
cos(υ)
. (2.25)
A equa¸c˜ao (2.25) corresponde a equa¸c˜ao para a superf´ıcie duplamente peri´odica de Scherks.
2.4
Exemplos de Superf´ıcies N˜
ao M´ınimas
Exemplo 10. Esfera
No cap´ıtulo anterior calculamos os coeficientes da primeira e segunda formas fundamentais para a esfera como sendo
E(θ, ϕ) = b2, F(θ, ϕ) = 0 e G(θ, ϕ) = b2cos2θ e
L(θ, ϕ) = −b, M(θ, ϕ) = 0 e N(θ, ϕ) = −bsin2θ. Da´ı,
H = 1 2
EN−2F M+LG EG−F2 = 1
2
b2(−bsin2θ)
−2(0)(0) + (−b)(b2cos2θ) b2(b2cos2θ)−(0)2
= −b
3(sin2θ+ cos2θ) 2(b4cos2θ)
= −2bcos1 2θ (2.26)
e comoH = 0, conclu´ımos que a esfera n˜ao ´e uma superf´ıcie m´ınima.
Exemplo 11. Toro
N´os tamb´em j´a mostramos que os coeficientes das duas primeiras formas fundamentais para o toro s˜ao dadas por
E(u, v) = b2, F(u, v) = 0 e G(u, v) = (a+bcosu)2 e
Logo,
H = 1 2
EN−2F M+LG EG−F2 = 1
2
b2(a+bcosu) cosu−2(0)(0) +b(a+bcosu)2 b2(a+bcosu)2−(0)2
= 1 2
cosu a+bcosu+
1 b
. (2.27)
Devido aH = 0 em (2.27), o toro n˜ao pode ser uma superf´ıcie m´ınima.
2.5
Exemplos de Superf´ıcies M´ınimas
Exemplo 12. Plano
Vimos no cap´ıtulo 1 que todos os coeficientes da segunda forma fundamental para o plano s˜ao nulos, desta forma
H = 1 2
EN−2F M +LG EG−F2 = 1
2
E(0)−2F(0) + (0)G EG−F2
= 0 (2.28)
e o plano ´e uma superf´ıcie m´ınima, como j´a era esperado.
Exemplo 13. Helic´oide
Foi calculado na p´agina 5 que os coeficientes da primeira forma fundamental para esta superf´ıcie s˜ao
E(u, v) = 1, F(u, v) = 0 e G(u, v) = u2+b2.
Vamos ent˜ao obter os coeficientes da segunda forma fundamental para podermos aplicar (1.39) como segue:
Para o helic´oide, temos
r(u, v) = (ucosv, usinv, bv)
ru(u, v) = (cosv,sinv,0)
ruu(u, v) = (0,0,0)
rv(u, v) = (−usinv, ucosv, b) rv v(u, v) = (−ucosv,−usinv,0) ruv(u, v) = rv u(u, v)
Portanto,
ru×rv =
i j k
cosv sinv 0
−usinv ucosv b
= i[(sinv)(b)−(ucosv)(0)]−j[(cosv)(b)−(−usinv)(0)] + k[(cosv)(ucosv)−(−usinv)(sinv)]
= i[bsinv] +j[−bcosv] +k[u(cos2v+ sin2v)] = i[bsinv] +j[−bcosv] +k[u]
e
ru×rv = b2sin2v+b2cos2v+u2 =
b2(cos2v+ sin2v) +u2 = b2+u2.
Assim, o vetor unit´ario normal ´e
n = √ 1
b2+u2(i[bsinv] +j[−bcosv] +k[u]) e os coeficientes da segunda forma fundamental ser˜ao escritos como
L(u, v) = √ 1
b2+u2(bsinv,−bcosv, u)·(0,0,0) = 0
M(u, v) = √ 1
b2+u2(bsinv,−bcosv, u)·(−sinv,cosv,0) = −b(sin
2v+ cos2v)
√
b2+u2 = √ −b
b2+u2 N(u, v) = √ 1
b2+u2(bsinv,−bcosv, u)·(−ucosv,−usinv,0) = −bucosvsin√ v+bucosvsinv
b2+u2 = 0.
Enfim,
H = 1 2
EN−2F M+LG EG−F2 = 1
2
(1)(0)−2(0)(−b/√b2+u2) + (0)(u2+b2) (1)(u2+b2)−(0)2
= 0. (2.29)
Exemplo 14. Caten´oide
Para o caten´oide a parametriza¸c˜ao e suas derivadas s˜ao
r(u, v) = (bcoshvcosu, bcoshvsinu, bv)
ru(u, v) = (−bcoshvsinu, bcoshvcosu,0) ruu(u, v) = (−bcoshvcosu,−bcoshvsinu,0)
rv(u, v) = (bsinhvcosu, bsinhvsinu, b) rv v(u, v) = (bcoshvcosu, bcoshvsinu,0) ruv(u, v) = rv u(u, v)
= (−bsinhvsinu, bsinhvcosu,0). Ent˜ao,
E(u, v) = (−bcoshvsinu, bcoshvcosu,0)·(−bcoshvsinu, bcoshvcosu,0) = b2cosh2vsin2u+b2cosh2vcos2u
= b2cosh2v(sin2u+ cos2u) = b2cosh2v
F(u, v) = (−bcoshvsinu, bcoshvcosu,0)·(bsinhvcosu, bsinhvsinu, b) = −b2sinhvcoshvsinucosu+b2sinhvcoshvsinucosu
= 0
G(u, v) = (bsinhvcosu, bsinhvsinu, b)·(bsinhvcosu, bsinhvsinu, b) = b2sinh2vcos2u+b2sinh2vsin2u+b2
= b2sinh2v(cos2u+ sin2u) +b2 = b2(1 + sinh2v)
= b2cosh2v.
Precisamos calcular o vetor unit´ario normal para encontrarmos os coeficientes da segunda forma fundamental, da´ı
ru×rv =
i j k
−bcoshvsinu bcoshvcosu 0 bsinhvcosu bsinhvsinu b
= i[(bcoshvcosu)(b)−(bsinhvsinu)(0)]−j[(−bcoshvsinu)(b)−(bsinhvcosu)(0)] + k[(−bcoshvsinu)(bsinhvsinu)−(bsinhvcosu)(bcoshvcosu)]
= i[b2coshvcosu] +j[b2coshvsinu] +k[−b2coshvsinhv(cos2v+ sin2v)] = i[b2coshvcosu] +j[b2coshvsinu] +k[−b2coshvsinhv]
ru×rv = b4cosh2vcos2u+b4cosh2vsin2u+b4cosh2vsinh2v =
b4cosh2v(cos2u+ sin2u) +b4cosh2vsinh2v = b4cosh2v+b4cosh2vsinh2v
=
b4cosh2v(1 + sinh2v) = b2cosh2v,
podemos escrever
n = 1
b2cosh2v(i[b
2coshvcosu] +j[b2coshvsinu] +k[−b2coshvsinhv])
= i cosu coshv +j sinu coshv +k
−coshsinhvv
.
Usando os resultados precedentes, obt´em-se:
L(u, v) =
cosu
coshv, sinu coshv,−
sinhv coshv
·(−bcoshvcosu,−bcoshvsinu,0)
= −bcoshvcos
2u coshv −
bcoshvsin2u coshv = −b(cos2u+ sin2u)
= −b M(u, v) =
cosu
coshv, sinu coshv,−
sinhv coshv
·(−bsinhvsinu, bsinhvcosu,0)
= −bsinhcoshvsinvucosu+bsinhvsinucosu coshv = 0
N(u, v) =
cosu
coshv, sinu coshv,−
sinhv coshv
·(bcoshvcosu, bcoshvsinu,0)
= bcoshvcos 2u coshv +
bcoshvsin2u coshv = b(cos2u+ sin2u)
= b.
Em posse dos coeficientes das duas primeiras formas fundamentais, a curvatura m´edia H ´e dada por
H = 1 2
EN−2F M+LG EG−F2 = 1
2
(b2cosh2v)(b)
−2(0)(0) + (−b)(b2cosh2v) (b2cosh2v)2−(0)2
= 0. (2.30)
Exemplo 15. Superf´ıcie de Enneper
Para esta superf´ıcie,
r(u, v) = (u−u
3 3 +uv
2, v
−v
3 3 +vu
2, u2
−v2)
ru(u, v) = (1−u2+v2,2vu,2u)
ruu(u, v) = (−2u,2v,2)
rv(u, v) = (2uv,1−v2+u2,−2v)
rv v(u, v) = (2u,−2v,−2)
ruv(u, v) = rv u(u, v) = (2v,2u,0).
Agora, calculando os coeficientes da primeira forma fundamental encontramos E(u, v) = (1−u2+v2,2vu,2u)·(1−u2+v2,2vu,2u)
= (1−u2+v2)(1−u2+v2) + 4u2v2+ 4u2
= 1−u2+v2−u2+u4−u2v2+v2−u2v2+v4+ 4u2v2+ 4u2 = 1−2u2+ 2v2+u4+v4−2u2v2+ 4u2v2+ 4u2
= 1 + 2u2+ 2v2+ 2u2v2+u4+v4
F(u, v) = (1−u2+v2,2vu,2u)·(2uv,1−v2+u2,−2v) = 2uv−2u3v+ 2uv3+ 2uv−2uv3+ 2u3v−4uv = 0
G(u, v) = (2uv,1−v2+u2,−2v)·(2uv,1−v2+u2,−2v) = 4u2v2+ (1−v2+u2)(1−v2+u2) + 4v2
= 4u2v2+ 1−v2+u2−v2+v4−u2v2+u2−u2v2+u4+ 4v2 = 2u2v2+ 1 +u4+v4−2v2+ 2u2+ 4v2
= 1 + 2u2+ 2v2+ 2u2v2+u4+v4.
Calculemos agora o vetor unit´ario normal usando o mesmo procedimento dos exemplos anteri-ores, isto ´e
ru×rv =
i j k
1−u2+v2 2uv 2u 2uv 1−v2+u2 −2v
= i[(2uv)(−2v)−(1−v2+u2)(2u)]−j[(1−u2+v2)(−2v)−(2uv)(2u)] + k[(1−u2+v2)(1−v2+u2)−(2uv)(2uv)]
= i[−4uv2−2u+ 2uv2−2u3] +j[2v−2u2v+ 2v3+ 4u2v] + k[1−v2+u2−u2+u2v2−u4+v2−v4+u2v2]
e
ru×rv = (4u2v4+ 4u2v2+ 4u4v2+ 4u2v2+ 4u2+ 4u4+ 4u4v2+ 4u4+ 4u6+ 4u4v2 + 4u2v2+ 4u2v4+ 4u2v2+ 4v2+ 4v4+ 4u2v4+ 4v4+ 4v6)12
= (12u2v4+ 16u2v2+ 12u4v2+ 4u2+ 4v2+ 8u4+ 8v4+ 4u6+ 4v6)12. (2.31)
Por conveniˆencia chamaremos (2.31) deA. Usando esta nota¸c˜ao, obtemos
n = 1
A(−2uv 2
−2u−2u3,2u2v+ 2v+ 2v3,1 + 2u2v2−u4−v4) e os coeficientes da segunda forma fundamental s˜ao
L(u, v) = 1 A(−2uv
2
−2u−2u3,2u2v+ 2v+ 2v3,1 + 2u2v2−u4−v4)·(−2u,2v,2)
= (−2u)(−2uv
2−2u−2u3) + (2v)(2u2v+ 2v+ 2v3) + (2)(1 + 2u2v2−u4−v4) A
= 4u
2v2+ 4u2+ 4u4+ 4u2v2+ 4v2+ 4v4+ 2 + 4u2v2−2u4−2v4 A
= 2 + 12u
2v2+ 4u2+ 4v2+ 2u4+ 2v4 A
M(u, v) = 1 A(−2uv
2
−2u−2u3,2u2v+ 2v+ 2v3,1 + 2u2v2−u4−v4)·(2v,2u,0)
= (2v)(−2uv
2−2u−2u3) + (2u)(2u2v+ 2v+ 2v3) + (0)(1 + 2u2v2−u4−v4) A
= −4uv 3
−4uv−4u3v+ 4u3v+ 4uv+ 4uv3 A
= 0 N(u, v) = 1
A(−2uv 2
−2u−2u3,2u2v+ 2v+ 2v3,1 + 2u2v2−u4−v4)·(2u,−2v,−2)
= (2u)(−2uv
2−2u−2u3) + (−2v)(2u2v+ 2v+ 2v3) + (−2)(1 + 2u2v2−u4−v4) A
= −4u 2v2
−4u2−4u4−4u2v2−4v2−4v4−2−4u2v2+ 2u4+ 2v4 A
= −2 + 12u
2v2+ 4u2+ 4v2+ 2u4+ 2v4
A .
Observando-se os resultados obtidos conclu´ımos que E=GeL=−N. Para que a curvatura m´ediaH seja igual a zero ´e necess´ario que
EN−2F M +LG = 0. Logo,
EN−2F M+LG = −EL−2(0)(0) +LE
= 0. (2.32)
Ou seja, a superf´ıcie de Enneper ´e uma superf´ıcie m´ınima, desde que apresentaH = 0.
Neste caso,
r(u, v) =
u, v, ln
cosu
cosv
ru(u, v) = (1,0,−tanu)
ruu(u, v) = (0,0,−sec2u)
rv(u, v) = (0,1,tanv)
rv v(u, v) = (0,0,sec2v)
ruv(u, v) = rv u(u, v) = (0,0,0).
Desta maneira, os coeficientes da primeira forma fundamental podem ser escritos como segue
E(u, v) = (1,0,−tanu)·(1,0,−tanu) = 1 + tan2u
= sec2u
F(u, v) = (1,0,−tanu)·(0,1,tanv) = −tanutanv
G(u, v) = (0,1,tanv)·(0,1,tanv) = 1 + tan2v
= sec2v. Temos ainda que
ru×rv =
i j k
1 0 −tanu 0 1 tanv
= i[(0)(tanv)−(1)(−tanu)]−j[(1)(tanv)−(0)(−tanu)] +k[(1)(1)−(0)(0)] = i[tanu] +j[−tanv] +k[1]
e
ru×rv =
tan2u+ tan2v+ 1. (2.33) Vamos nomear (2.33) porB para simplificar a an´alise. Ent˜ao, o vetor normal unit´ario ´e
n = 1
B(tanu,−tanv,1) e os coeficientes da segunda forma fundamental s˜ao dados por
L(u, v) = 1
B(tanu,−tanv,1)·(0,0,−sec 2u)
M(u, v) = 1
B(tanu,−tanv,1)·(0,0,0) = 0
N(u, v) = 1
B(tanu,−tanv,1)·(0,0,sec 2v)
= sec 2v B .
Por fim,
EN−2F M+LG = sec
2usec2v
B −2(−tanutanv)(0)−
sec2usec2v B
= 0. (2.34)
Cap´ıtulo 3
Cordas Relativ´ısticas Cl´
assicas
Neste cap´ıtulo introduziremos a id´eia de cordas relativ´ısticas cl´assicas [16–24], isto ´e, abordaremos o estudo da corda no espa¸co-tempo sem quantiz´a-la. Dedicaremos especial aten¸c˜ao `a superf´ıcie gerada pelo movimento da corda no espa¸co-tempo. A ´area pr´opria desta superf´ıcie ser´a utilizada como a a¸c˜ao que ´e conhecida por a¸c˜ao de Nambu-Goto. Assim, poderemos tamb´em efetuar um paralelo com os resultados expostos ao longo dos dois cap´ıtulos anteriores, nos quais tratamos de alguns aspectos da geometria de superf´ıcies e como definir e entender o que ´e uma superf´ıcie m´ınima. Tal conex˜ao de id´eias e resultados mostrar-se-´a bastante fortuita, principalmente, por fornecer um melhor entendimento das caracter´ısticas geometro-diferenciais da superf´ıcie tra¸cada pela corda.
3.1
A Funcional ´
Area para Superf´ıcies Espaciais
Em Relatividade Especial, uma part´ıcula movendo-se no espa¸co tempo tra¸ca uma linha denomi-nadalinha de mundo da part´ıcula. Similarmente, cordas movendo-se no espa¸co-tempo formam uma superf´ıcie chamadafolha de mundoda corda.
Sabemos ainda que no caso de uma part´ıcula relativ´ıstica, o tempo pr´oprio multiplicado pela velocidade da luzccorresponde ao “comprimento pr´oprio”dsinvariante de Lorentz relativo `a linha de mundo. Seguindo este racioc´ınio, definiremos a “´area pr´opria” da folha de mundo da corda que tamb´em ser´a um invariante de Lorentz. E ser´a na an´alise desta folha de mundo que explicitaremos algumas das principais caracter´ısticas geom´etricas estudadas nos cap´ıtulos 1 e 2, como por exem-plo, as duas primeiras formas fundamentais e as curvaturas gaussiana e m´edia. Sendo a curvatura m´ediaH o que mostra se uma dada superf´ıcie ´e ou n˜ao ´e uma superf´ıcie m´ınima emR3. A a¸c˜ao de Nambu-Goto ser´a, portanto, uma a¸c˜ao para a corda relativ´ıstica cl´assica que estar´a relacionada a esta ´area pr´opria.
No entanto, a fim de possibilitar um melhor entendimento das etapas que antecedem a for-mula¸c˜ao da a¸c˜ao de Nambu-Goto iremos considerar numa primeira an´alise que a superf´ıcie descrita pela movimenta¸c˜ao da corda estende-se por apenas duas dimens˜oes espaciais.
parˆametro; de fato, uma superf´ıcie nestas condi¸c˜oes requer dois parˆametros que denotaremos por χ1 eχ2. Ent˜ao, uma vez que tenhamos uma superf´ıcie parametrizada por esses dois parˆametros, podemos “revestir” a superf´ıcie como uma grade com linhas χ1 eχ2 constantes. ´E conveniente aqui a realiza¸c˜ao de algumas defini¸c˜oes, a saber:
Defini¸c˜ao 3.1.1. O espa¸co no qual a superf´ıcie bidimensional “habita” ser´a denominadoespa¸co alvo.
Defini¸c˜ao 3.1.2. Em termos deχ1 e χ2, a superf´ıcie parametrizada ´e dada por
r(χ1, χ2) = (r1(χ1, χ2), r2(χ1, χ2), r3(χ1, χ2)), (3.1)
onde oespa¸co dos parˆametros´e determinado pelo dom´ınio ao qual pertenceχ1 eχ2.
´
E importante perceber tamb´em que ao menos localmenteχ1 eχ2 podem ser entendidos como coordenadas sobre a superf´ıcie f´ısica, isto ´e, a superf´ıcie que se localiza no espa¸co alvo.
Para calcularmos a ´area de um elemento infinitesimal de uma superf´ıcie no espa¸co alvo vamos denotar os lados de um paralelogramo pordu1edu2que s˜ao a imagem sob o mapa (3.1) de (dχ1,0) e (0, dχ2) que est˜ao no espa¸co dos parˆametros. Assim,
du1 = ∂r
∂χ1dχ
1 e d
u2 = ∂r
∂χ2dχ
2. (3.2)
Dessa forma, temos
dA = du1 du2 |sinθ| = du1 du2
sin2θ = du1 du2
1−cos2θ =
du12du22− du12du22cos2θ
=
(du1·du1)(du2·du2)−(du1·du2)2, (3.3) ondeθ corresponde ao ˆangulo entredu1edu2. Agora, substituindo (3.2) em (3.3),
dA =
∂
r
∂χ1 · ∂r
∂χ1
∂
r
∂χ2 · ∂r
∂χ2
(dχ1)2(dχ2)2−
∂
r
∂χ1· ∂r
∂χ2
2
(dχ1)2(dχ2)2
=
∂r
∂χ1 · ∂r
∂χ1
∂r
∂χ2 · ∂r ∂χ2 − ∂r
∂χ1 · ∂r
∂χ2
2
((dχ1)2(dχ2)2)
= dχ1dχ2
∂
r
∂χ1· ∂r
∂χ1
∂
r
∂χ2 · ∂r ∂χ2 − ∂ r
∂χ1 · ∂r
∂χ2
2
. (3.4)
Integrando (3.4), obt´em-se
A =
dχ1dχ2
∂
r
∂χ1 · ∂r
∂χ1
∂
r
∂χ2 · ∂r ∂χ2 − ∂ r
∂χ1 · ∂r
∂χ2
2
, (3.5)
3.2
Reparametriza¸
c˜
ao Invariante da Funcional ´
Area
A ´area de qualquer regi˜ao da superf´ıcie ou mesmo de toda a superf´ıcie deve ser invariante por reparametriza¸c˜ao, ou seja, deve ser independente da parametriza¸c˜ao adotada para efetuar-se o c´alculo. Deste modo, n´os podemos adotar uma parametriza¸c˜ao adequada para uma determinada situa¸c˜ao sem perda de conte´udo f´ısico.
Neste ´ınterim, nossa pr´oxima tarefa consiste em mostrar que a funcional ´area expressa por (3.5) ´e realmente invariante por reparametriza¸c˜ao. Faremos isso como segue:
De forma geral, precisamos mostrar que (3.5) permanece o mesmo se ao inv´es de χ1 e χ2 utilizarmosχ′1(χ1, χ2) eχ′2(χ1, χ2). Contudo, para tornarmos esta caracter´ıstica evidente teremos que escrever (3.5) de um modo distinto.
Existe um teorema do c´alculo que nos informa que para realizarmos uma mudan¸ca de vari´aveis ´e necess´ario calcular o m´odulo do determinante do Jacobiano da transforma¸c˜ao, como exibido abaixo
dχ′1dχ′2 = det∂χ′j ∂χk dχ
1dχ2
= |detN|dχ1dχ2, (3.6)
ondeN corresponde a matriz dada porNj k=∂χ′j/∂χk. Analogamente, temos
dχ1dχ2 = det
∂χj
∂χ′k dχ′
1dχ′2
= |detN′|dχ′1dχ′2, (3.7) ondeN′ corresponde a matriz dada porN′
j k=∂χj/∂χ′k. Substituindo (3.7) em (3.6),
dχ′1dχ′2 =
|detN|(|detN′|dχ′1dχ′2), ou ainda,
|detN| |detN′| = 1. (3.8) Consideremos agora um superf´ıcie S no espa¸co alvo parametrizada por r(χ1, χ2). Ent˜ao, to-mando umdr tangente `a superf´ıcie obtemos queds2 =dr·dr assim como (1.22). No cap´ıtulo 1 vimos tamb´em que podemos escrever dr como (1.1), onde usamos a conven¸c˜ao de soma. Desta maneira, tamb´em encontramos uma m´etrica induzida,
gj k = ∂r ∂χj ·
∂r
∂χk
que pode ser escrita como a matriz sim´etrica dos coeficientes da primeira forma fundamental ex-posta anteriormente. Em suma, at´e o presente momento, ao analisarmos a superf´ıcie bidimensional espacial tra¸cada pelo movimento da corda apenas encontramos a primeira forma fundamental, isto ´e, encontramos a m´etrica sobre a superf´ıcie tal que assim como antes, n´os podemos definir ´area, comprimentos e ˆangulos entre curvas na superf´ıcie em quest˜ao.
Logo, denotando o determinante da forma matricial para gj k por g, ou seja, g = det(gj k), escrevemos (3.5) como
A =
dχ1dχ2√g. (3.9)
´
E conveniente expressar (3.9) como acima, pois, conforme veremos neste cap´ıtulo, a a¸c˜ao de Nambu-Goto assume uma forma analogamente elegante o que facilita sua compreens˜ao.
Mediante (3.9) podemos analisar a invariˆancia por reparametriza¸c˜ao da funcional ´area desde que sabemos queds2´e um invariante e por este motivo n˜ao depende da parametriza¸c˜ao escolhida. Tendo em vista este fato, a rela¸c˜ao abaixo deve ser sempre verdadeira:
gj k(χ)dχjdχk = g′
lm(χ′)dχ′ldχ′m. (3.10)
Assim,
gj k(χ)dχjdχk = g′
lm(χ′)
∂χ′l
∂χj
∂χ′m
∂χk dχ
jdχk. (3.11)
A express˜ao (3.11), por sua vez, implica em
gj k(χ) = g′
lm(χ′)
∂χ′l
∂χj
∂χ′m
∂χk . (3.12)
Usando a nota¸c˜ao apresentada em (3.6) em (3.12), gj k(χ) = g′
lm(χ′)NljNmk
= (NT)
j lglm′ (χ′)Nmk, (3.13)
onde o sobrescritoT na equa¸c˜ao precedente significamatriz transposta. Tomando o determinante em ambos os lados de (3.13),
det(gj k(χ)) = det((NT)j lglm′ (χ′)Nmk)
= det((NT)j l) det(g′lm(χ′)) det(Nmk),
isto ´e,
g = det(NT)g′det(N)
= g′(det(N))2. (3.14)
Ent˜ao, substituindo (3.14) em (3.9)
A =
dχ1dχ2
g′(det(N))2
=
dχ1dχ2g′|det(N)|. (3.15)
