• Nenhum resultado encontrado

Aspectos geométricos dos modelos de Toda

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2017

Share "Aspectos geométricos dos modelos de Toda"

Copied!
92
0
0

Texto

(1)
(2)

Instituto de Física Teórica Universidade Estadual Paulista

DISSERTAÇÃO DE MESTRADO IFT-D.015/05

Aspectos Geométricos dos Modelos de Toda.

Fernando David Marmolejo Schmidt

Orientador Prof. Dr. José Francisco Gomes.

(3)

i

Agradecimentos

Primeiro gostaria de agradecer a este abençoado país por ter me recebido com os braços abertos desde o primeiro dia.

Agradeço enormemente ao Prof. José Francisco Gomes, por todo seu apoio, colaboração e sobre tudo, pela liberdade na escolhia dos tópicos acadêmicos do meu interesse.

Ao professor Zimerman pela sua agudeza na hora de enxergar os problemas do trabalho, assim como por seu fino e excelente senso de humor.

Ao Oscar, Juan Pablo e Boris pela agradável companhia que são, mesmo tendo nos visto tão pouco. Também agradeço ao German, pelas boas conversas sobre todas as coisas e ao julio, pelas correções do português.

Agradeço infinitamente a Mariza por ter ficado do outro braço da balança desde o comecinho, tornando-se minha paz e equilíbrio.

Agradeço e dedico este trabalho a minha mãe que em silencio e imperceptivelmente, soube me colocar nos lugares certos e nos momentos certos.

(4)

11

Resumo

Nesta dissertação estudamos as estruturas geométricas e algébricas subjacentes aos modelos de Toda. Primeiramente, vemos como as equações de Toda são consequência da condição de curvatura nula de um certo fibrado principal holomórfico e posteriormente, introduzimos a formulação La^ grangiana dos mesmos, como perturbações integráveis de um modelo de WZW calibrado num espaço quociente. Terminamos com um estudo da dualidade própria destas teorias.

Palavras Chaves:

Física Matemática, Modelos de Toda, Sistemas Integráveis, Geometria Diferencial.

Áreas do conhecimento:

(5)

111

Abstract

In this work we study the differential geometry formulation of Toda models. Firstly showing how the Toda equations are consequence of the zero curvature condition of a given holomorfic principal bundle and later introducing the Lagrangian formulation of the Toda models as integrable perturba- tions of a gauged WZW model in a special coset. We end up with a study of the duality properties of such class of theories.

Keywords:

Mathematical Physics, Toda Models, Integrable Systems, Differential Geometry.

Knowledge areas :

(6)

Conteúdo

(7)

Conteúdo V

7 © Apêndices. 79

apítuio 1

õ) Introdução

A.s ttxjiiá.- do ca.T!!()üK oü «iodelo« em dxios dimensões- e-itao apor-fiuiemente longe da realidade física ■jcgiuido olhos oiiiíS tradicionais, tiias existem varias ra*(:>cs que jUHtiücaUi o sm^u estudo, seja desde o poaío de v4.-ía físico õn desde o fK^JUto de vista paramenfe n^at*. máik:o. O exemplo histórico mais cu?;lundcute e de uiaiíW sucesso até agora tem sido a teoria de coí^düü, a qual teuta materiaUífax o veilxo siíiilto da unificação das forças da natureza mim iuarco só. Nessa procura, a teoria tem sido radical mi sua maneira dc cfixeigax a natureza no sentido que ela envolver, uu fimdo, uma física puramente tjidiuiertóioaai ruaua como uma matemática l>«stante sofisticada. I'or outro lado, a complexidade de aíguinfA teorias de campris se simplifica sm dúuensões menores sem penier seu conteúdo físico mais relevante e é por isso, tiue os uiodeloe bidimensionais tem ^lido excelentes iaboraíórMj» para tísitar novas idéias e deaenvolver novos métodos p<«‘a construir soluções exatas í'or extuuplo, na qmmtixaçâó não perturbativa de teoiina d<? gauge, gravitação 6 a própria teoria dc ' ordus.

O interess<' nn área dos modeios exatamenuí si.4úvei:5, icva naunalinente à teoria dos sistemas iiitegráveís a qual foi introduzida iniciaímente por Liouvilíc na mecânica clássica, A t;ondiçâo de ir-teqmbiliàüde, pelo menos em teorias de campos ew duijs dimcnéõcs, é aparentemente tmí restritiva que os sistemas que a apresentam não são suscetíveis de ter uuxa aplicação física, real e náo passam de f.er um interesse matemático e estético. Porém, a presença das sistruturas integráveis na Ssica teórica 'dc piciista é cada vez uiaior a medida que .se aaaÜsani os regimes de energia mais altm de aJguraae desta? teortas, e a Jtjistificaçâo do seu estudo é furr razões cada vez mais ffaicas. Por exemplo, em itv.,rifts de super Yaug-Mills, teoria de cíirdas aão perturbatira e correspondências entre tcoriíiS de gauge e gravitação [30],[31],{32}.

(8)

Capítulo 1

® Introdução.

As teorias de campos ou modelos em duas dimensões estão aparentemente longe da realidade física segundo os olhos mais tradicionais, mas existem varias razões que justificam o seu estudo, seja desde o ponto de vista físico ou desde o ponto de vista pmramente matemático. O exemplo histórico mais contundente e de maior sucesso até agora tem sido a teoria de cordas, a qual tenta materializar o velho sonho da unificação das forças da natureza num marco só. Nessa procura, a teoria tem sido radical na sua maneira de enxergar a natureza no sentido que ela envolve, no fundo, uma física pmramente bidimensional assim como uma matemática bastante sofisticada. Por outro lado, a complexidade de algumas teorias de campos se simplifica em dimensões menores sem perder seu conteúdo físico mais relevante e é por isso, que os modelos bidimensionais tem sido excelentes laboratórios para testar novas idéias e desenvolver novos métodos para construir soluções exatas. Por exemplo, na quantização não perturbativa de teorias de gauge, gravitação e a própria teoria de cordas.

O interesse na área dos modelos exatamente solúveis, leva natmralmente à teoria dos sistemas integráveis a qual foi introduzida inicialmente por Liouville na mecânica clássica. A condição de integrabilidade, pelo menos em teorias de campos em duas dimensões, é aparentemente tão restritiva que os sistemas que a apresentam não são suscetíveis de ter uma aplicação física real e não passam de ter um interesse matemático e estético. Porém, a presença das estruturas integráveis na física teórica de ponta é cada vez maior a medida que se analisam os regimes de energia mais altos de algumas destas teorias, e a justificação do seu estudo é por razões cada vez mais físicas. Por exemplo, em teorias de super Yang-Mills, teoria de cordas não perturbativa e correspondências entre teorias de gauge e gravitação [30],[31],[32].

(9)

2

modelos anteriormente mencionados assim como as possíveis modificações que podem ser efetuadas e exploradas com o objetivo de obter novas aplicações. Por exemplo, uma generalização do modelo de sinh-Gordon dada pelo modelo de Lund-Regge serve para descrever a propagação de uma corda em presença de um biuraco negro [13] quando se elimina o potencial, ou serve também para descrever vórtices em superfiuidos [29] quando se recupera a contribuição do potencial, é dizer, a versatilidade nas aplicações é bastante grande e promissora.

Nessa dissertação, não pretendemos enfatizar nas aplicações dos modelos de Toda mas se na sua es- trutura geométrica e algébrica [1],[2] subjacente e o principal objetivo é o desenvolvimento sistemático de um mecanismo geral que permita a construção dos modelos de Toda. Primeiramente, introduzindo o principio dinâmico da curvatura nula junto com as denominadas condições de grau nos potenci- ais de gauge da curvatura associada ao problema, com o objetivo de deduzir as equações de Toda e posteriormente, nos centraremos na sua formulação Lagrangiana em termos de um modelo de WZW calibrado, fechando com um par de exemplos ilustrativos e deixando varias perguntas e problemas em aberto. A exposição pretende ser o mais autocontida possível com o objetivo de deixar a sensação de que o começo e o final estão ligados por uma linha coerente de pensamento.

Mais especificamente, o trabalho está estruturado como segue:

(10)

3

(11)

Capítulo 2

® Preliminares Geométricos.

Nesse capítulo, lembraremos rapidamente alguns fatos e resultados sobre grupos de Lie, álgebras de Lie, librados principais, cosets e variedades Flag que serão vitais sobre tudo no capitulo seguinte. O objetivo é introduzir definições, conceitos e fixar a notação que será usada exaustivamente na dedução do par de Lax dos modelos de Toda no capítulo dois e somente enfatizaremos as idéias chaves requeridas para manter uma linha lógica. A exposição é mais informativa do que autosustentada e não pretende ir além dos formalmente rigorosos, completos e belos artigos e livros existentes sobre os temas nos quais esse capitulo está baseado [1],[2],[3],[4].

2.1 Geometria dos Grupos de Lie. *

2.1.1 Grupos, Álgebras de Lie e a forma de Maurer-Cartan .

Como é sabido, os elementos num grupo de Lie são multiplicados para gerar outros elementos no mesmo grupo. Porém, um grupo de Lie pode ser visto inteiramente como uma variedade diferenciável onde seus elementos podem ser multiplicados. Vamos então introduzir a definição de grupo de Lie desse esse ponto de vista.

Definição 1 Um grupo de Lie real é uma variedade diferenciável real dotada de uma estrutura de grupo onde as seguintes operações de grupo são diferenciáveis:

i) ■ :G -* G , (a,b) —y a • b = ab-, ii) : G —y G , a —y a~^ .

O grupo G possui dois tipos de transformações G ^ G geradas pelo produto. A translação esquerda La e & translação direita Ra de g são dadas pelos mapeamentos;

La '■ G —* G , Lag = ag, (2-1) Ra : G —y G , Rag = ga, (2-2) com as propiedades:

(12)

2.1. Geometria dos Grupos de Lie. 5

Por construção, as translações La e Ra são difeomorfismos G —> G do grupo nele mesmo e os mapeamentos (2.1) e (2.2) induzem os pull-forward La* : Tg{G) —> Tag{G) e Ra* ■ Tg{G) —► Tga{G) , que são isomorfismos entre os espaços tangentes envolvidos.

A família dos campos vetoriais definidos em G é denotada por 3£(G) similarmente como no caso das variedades ordinárias. Porém, a estrutura de grupo permite a existência de uma classe especial de campos vetoriais caracterizados por uma invariância sob a ação do grupo.

Um campo vetorial invariante esquerdo X € 3£(G) satisfaz a condição:

La*Xg = Xag onde Xg = X(g), (2.4) o que significa que o vetor transformado X' E Tag(G) sob as translações esquerdas La '■ g ag coincide com o valor do campo vetorial X no ponto ag. Se o conjunto de vetores base de Tg(G) (dim Te(G) = n) é conhecido, sempre é possível encontrar n campos vetoriais linearmente independentes em todo ponto do grupo G, ou seja, um grupo de Lie e uma variedade paralelisável. Um vetor X^ £ Te{G) define um único campo vetorial invariante esquerdo em G. De fato, uma vez que as translações L e R são difeomorfismos, a seguinte relação é válida:

La* [X, Y]^ = [La*Xg, La*Yg] = [A, , (2.5) e o mapeamento Tg(G) —> Tg{G) dado por Xg —* Xg é um isomorfismo Tg(G) = Tg{G) = g, onde g denota o conjunto dos campos invariantes esquerdo definidos em G. Isto se deve ao fato de que todos os vetores nos espaços Tg{G) e Tg{G) satisfazem a condição (2.4). Além disso, (2.5) implica que os campos vetoriais em g formam uma subálgebra de Lie da álgebra de Lie dos campos vetoriais em 3t(G); isto é, se A, y G g então [X,Y] e g e só precisamos conhecer o espaço Tg{G) na identidade do grupo.

Uma base para Tg(G) dada por (Aj) (z = 1, ...,dimG) satisfaz:

[Xi,Xj]^ = C^g{e)Xgk g¥^e, (2.6) como conseqüência de (2.5), o que significa que as funções só dependem do seu valor na identidade do grupo. Elas são as constantes de estrutura do grupo de Lie e caracterizam o grupo completamente. Devido ao isomorfismo Tg(G) = Tg{G) = g , definimos sem ambigüidade g = Tg(G) e damos a g um nome mais apropriado.

Definição 2 O conjunto de campos vetoriais invariantes esquerdos g = Tg(G) com o colchete de Lie [ > ] • ' g X g —> g se denomina álgebra de Liê- real do grupo de Lie real G .

(13)

2.1. Geometria dos Grupos de Lie. 6

denotado por C G onde o mapeamento exponencial definido por exp(^ : R x g —>g(X, t) G $^(í) com g{X,t) = exp{tX) faz expficita a conexão mencionada. Por exemplo, a ciurva gexp(tX) G G é uma curva integral de X através de g G G; isto se verifica ao notar que:

^gexp{tX) |í=o= Lg^Xe = Xg. (2.7) é o mapeamento diferencial associado à translação Lg.

As translações (2.1) e (2.2) não deixam pontos invariantes em G. Porém, a conjugação jg : G G definida como jg{h) = {Lg o Rg~i)h = ghg~^ tem à identidade do grupo como único elemento invariante e além disso, é um homomorfismo no proprio grupo. Com esse homomorfismo se constrói uma representação do grupo na própria álgebra de Lie g e é portanto a representação mais confiável que pode ser construída.

Definição 3 A representação adjunta Ad : g € G Ad{g) G GL{g) do grupo de Lie G no espaço vetorial g e a representação adjunta ad : Y G g —» ad{Y) G GL{g) da álgebra de Lie g no espaço vetorial g são definidas respectivamente por:

Ad{g)X = {LgoRg-x)^X , Xeg-, (2.8) ad{Y)X = [Y,X] , X,Yeg. (2.9) A conexão entre as representações adjuntas de G e g é fornecida de novo pelo mapeamento expo- nencial, ao tomar g = exp Y E G, temos a relação:

Ad(g)X = gXg-^ = [exp(ad(y))] A, (2.10) onde ad{Y) = [y, ] , e dado que uma base de g satisfaz [Xi,Xj] = C^jXk , o elemento de GL{g) que representa a Aj G g é a matriz (dimG) x (dim G)-dimensional (M»)^ = G,^- dada pelas constantes de estrutura.

A forma de Killing K da álgebra de Lie g é a forma simétrica bilinear A" : g x g —>R na repre- sentação adjunta definida por:

K{X, Y) = Tr{ad{X)ad{Y)). (2.11) Pij = Tr{ad{Xi)ad{Xj)) — cons (2-12) K é invariante sob conjugações, ou seja, com g = exp Z G G , a forma de Killing satisfaz a relação de invaxiância K{Ad{g)X,Ad{g)Y) = K{X,Y), ou equivalentemente:

K{ad{Z)X, Y) + K{X, ad{Z)Y) = 0. (2.13) A forma de Killing define um isomorfismo u : g —y g* dado por:

(14)

2.1. Geometria dos Grupos de Lie. 7

se ela é não degenerada, ou seja, quando det Yj)] ^ 0 para qualquer Xi, Yj na base de g. Quando a representação é arbitrária, a forma simétrica bilinear B : g x g —é definida simplesmente pelo traço das matrizes M{X) , M{Y) que representam os elementos de g;

B{X, Y) = Tr {M{X)M{Y)) = YK{X, F), (2.15) onde Y é o indice de Dynkin da representação. Assumiremos sempre que B é não degenerada.

Usando as translações direitas e esquerdas pode-se definir uma 1-forma que liga os espaços tangentes Tg{G) e g.

Definição 4 A forma de Maurer-Cartan 9 de um grupo de Lie real G é uma 1-forma com valores na álgebra de Lie real g, 0 G g ® T*{G) : T{G) —► g definida por

e-.XgG Tg{G) ^ 9{Xg) = {Lg-x)^Xg - {L g)~^ Xg - G g. (2.16) Como uma definição alternativa pode-se tomar qualquer forma com valores em g que satisfaça 9{Xg) = Ae.

A forma 9 é invariante sob translações esquerdas e se transforma com Ad{g~^) sob translações direitas, ou seja:

{L*g9) = 9, (2.17) {Rl9) = Ad{g-^)o9, (2.18) onde L* e i?* são os pull-back que atuam sobre formas.

A forma 9 realmente toma valores na álgebra de Lie g. Se 0* é a base do espaço dual T*{G) satisfazendo a relação (0*, Ai) = áj V p G G temos que:

9 = Xei(8>9Í, (2.19) onde é a base de T*{G). Por exemplo, ao atuar sobre os vetores base de Tg{G) obtemos:

9(Xgj) = Xei9ÍiXgj) = Xej, o que fornece o mapeamento 9 : Tg{G) —> g requerido.

Uma 1-forma arbitraria uj : TM R sobre uma variedade M cumpre com a relação:

du{X, Y) = X [o;(y)] - Y [u;(A)] - uj{[X, Y]), (2.20) onde X, Y são campos vetoriais em M e du : TM ^TM —>Ré uma 2-forma. Considerando 9 como uma 1-forma somente, a derivada exterior da forma de Maurer-Cartan satisfaz a relação:

d9{Xg,Yg) = -9{[Xg,Yg]) = ~9{[X,Y]^) = - [A,Y], G g.

(15)

2.1. Geometria dos Grupos de Lie. 8

[e, 6] Yg) = 2 [9{Xg), 9{Yg)] = 2 [X, F], G g,

as propriedades de d9 : T{G) (8> T{G) —* 0 como 2-forma e como elemento da álgebra de Lie 0 ficam codificadas na equação de estrutura de Maurer-Cartan:

n = d9 + 9A9 = 0, (2.21) sendo um mapeamento trivial fl : T{G) <2> T{G) —> 0 . Essa propriedade será fundamental posterior- mente.

O grupo geral linear real de dimensão n denotado por GL{n,M.) é identificado com R” . As coordenadas de a G GL(n,R) são dadas pelas funções coordenadas p) i,j — 1, ...,n definidas por Çjia) = üj , (g~^)j(a) = (a~^)j e o grupo GL(n,R) é um grupo de Lie sob a multiplicação usual de matrizes. A álgebra de Lie 0 é identificada com a álgebra 0[(n, R) de GL(n, R) onde um vetor trmgente arbitrário Xi, G Tb(GL(n,R)) se escreve como Xb = Xj(b) ® ^ componentes do vetor satisfazem:

Xj{b) = (dg),Xb) = dg){Xb) = Xb{g)),

onde as formas dgj são uma base do espaço dual T^*(GL(n,R)) que obedece a relação canônica (dQj, em todo GL(n,R).

A equação (2.7) implica:

Xab — (■La^A'^) — aXbi

O que mostra explicitamente o caráter invariante esquerdo do campo vetorial. As componentes do vetor satisfazem:

(Xab)) = {LaMi = (^)>

e devido ao fato de que {La*Xb){f) = Xb{Llf) onde / G 5(G) pertence ao conjunto de funções diferenciáveis definidas em G , as funções coordenadas satisfazem a lei de transformação:

L*a9j - aÍ9j

Isto traz como conseqüência que qualquer campo vetorial Xa € Ta{GL{n,R)) cumpre com a seguinte cadeia de igualdades:

dg){X,) - Xaig}) = {La.X,)(g)) = XeiKg^ = X,{a{g^) = aiX^ig^) = ffÍ(a)Af (e),

o que implica que o mapeamento 9 : Ta{GL{n,R)) —+ 0Í(n, R) dado por [0(Aa)]J = (Ag))- é a versão matricial de (2.16) e:

9 = g-^dg, (2.22) é a forma matricial da 1-forma de Maurer-Cartan. Finalmente, com

dg~'^ = -9~^{dg)g~'^,

(16)

2.1. Geometria dos Grupos de Lie. 9

a 1-forma 9 satisfaz:

Çl = de + 9Ae = 0,

que é (2.21), e sob translações esquerdas e direitas transforma-se segundo as relações: {Lie) ^9,

(R19) = Ad{a-^)9 = a~^9a, que são (2.17) e (2.18) respectivamente.

Até agora, as variedades reais consideradas só tinham duas estruturas, uma diferenciável e outra de grupo que tornavam às variedades num grupo de Lie real. Porém, pode-se adicionar consistentemente uma estrutura complexa a uma variedade real com estrutura de grupo para se ter uma variedade complexa com a mesma estrutura de grupo, e elevar o status de grupo de Lie real ao de grupo de Lie complexo. Mas antes de defini-lo é melhor lembrar alguns fatos sobre variedades complexas.

Uma variedade complexa M de dimensão dimc = m pode ser vista como uma variedade real denominada a realificação de M . Isto se deve ao fato de que localmente numa carta podemos identificar C'" com e então dimn Mr — 2 dimc Aí - 2m . Localmente, as funções 2* = r® -f iy® , i = 1, ...,m são coordenadas na variedade complexa M e as x® , y® são coordenadas na realificação A/r . Para qualquer ponto p G A/r os vetores (^)^ e formam uma base do espaço tangente Tp{M^) de dimensão 2m.

O mapeamento M — linear : Tp(M^) —> Tp(M^) definido por:

satisfaz {J^)^ = —1 , é uma estrutura complexa em Tp{MsL) e é independente da escolha de cartas que contém o ponto p.

O espaço Tp{M^) é um espaço vetorial sob o campo R e ao estendê-lo ao campo C dos números complexos, construímos a complexificação (Tp(A/r))'^ = lf{M) do espaço vetorial real Tp{M^) onde a base de T^{M) é formada por combinações lineares complexas da base real de Tp{Mu). Ao estender como mapeamento C — linear atuando na complexificação T^{M), o espaço tangente é dividido numa soma direta de espaços vetoriais complexos e isomorfos dada por:

T^{M) = Tp(^-°)(A/) © Tp(°'i)(A/), (2.23) onde o espaços:

T^i-°)(A/) = {X G Tp(A/r) I J^X = iX} , T^°>i)(A/) = {X G Tp{Mu) I J^X = -iX} , são gerados pelos vetores (anti)-holomorficos

= 1 r A _ ■A.'] 2 V^i»

= 1ÍA. AA\ ~ 2 V^x® p

(2.24) (2.25)

(17)

2.1. Geometria dos Grupos de Lie. 10

de bigrau (1,0) e (0,1) respectivamente, e que satisfazem a equação de valores próprios: (dip)^i {dip),

{9ip) - -i {dip),

Ou seja, a decomposição (2.23) é caraoterizada pelos autoespaços Tp^’^\M) e da estrutura complexa . Dado que = Tp^’°\M) onde a barra denota conjugação complexa, temos que dimc(7^(M)) = dimR(Tp(MK)) = 2m e, segundo (2.23), qualquer vetor X € T^{M) tem uma única decomposição X — no ponto p G M®. Esta decomposição é dada pelos operadores lineares de projeção : ifiM) e : T^{M) —> definidos por:

P" ^ i (/ - iJ"), p"sl(/+iJ"), que cumprem com a relação padrão P^ + P^ — I .

A dimensão do espaço T^{M) é o dobro da dimensão de M e não é clara a relação entre o espaço tangente Tp{M) da V2iriedade complexa e a complexificação do espaço tangente da realificação Mr, ou seja T^{M). Esta conexão é dada pelos mapeamentos <f>\ : Tp{M) —> Tp^'^\M) e 4>2 : Tp{M) —» definidos como se segue: consideramos um vetor complexo X G Tp{M) como um vetor real de Tp{Msi) (ou seja, {a+ih)X —► {a+J^h)X ), depois como um vetor real da complexificação T^{M) e finalmente projetamos nos subespaços e Tp^’^\M). Esses mapeamentos, reescritos como:

</.! : A -> Ar G Tp{Mu) Ãr G ifiM) ^ P^Xu € <^2 : A ^ Ar G Tp(Mr) ^ Ãr G Tf(M) -> P^Ãr G

são isomorfismos (anti)-lineares entre Tp{M) e Tp^'^\M) , respectivamente, onde (j)2 = (j>i . Equivalentemente, são os isomorfismos : Tp{M) —> e (j>2 : Tp{M) —> Tp^'^\M) e finalmente, a complexificação T^{M) tem a seguinte decomposição:

Tf{M) ^ Tp{M) © Tp{M). (2.29) Assim, o espaço tangente Tp{M) à variedade complexa é identificado como o espaço dos vetores holomórficos Tp^’^\M) de bigrau (1,0) gerado pelos vetores (^)p , onde agora as dimensões satis- fazem dimc Tp(M) = 5dimc2^(M) = dimcTp^’°^(M) = dimc Tp*^’^^(M) = dimcM = m , que é o esperado para um isomorfismo. Notemos que com a identificação feita, as coordenadas e as derivadas satisfazem agora a relação de consistência = ú) , que é a versão complexa da identidade ■^x'’ — ôj válida nas variedade reais.

(18)

2.1. Geometria dos Grupos de Lie. 11

espaços tangentes às realificações Mr e ÍVr. Dizemos que (/? é {anti)-holomórfico se o mapeamento real associado satisfaz:

o ° ^*pi (2.30) o Jp = o (firp. (2-31) Ao estender como mapeamento C — linear (similar à extensão feita para ) nas respectivas complexificações : T^{M) —* ^(p)(Af) temos que (/?* satisfaz a condição de realidade:

(2.32) O conjunto de campos vetoriais diferenciáveis complexos definidos numa variedade complexa M é denotado como Xp{M) e tem a decomposição XP{M) — , onde e X^°’^\M) denotam os conjuntos de campos vetoriais (anti)-holomórficos respectivamente.

Agora, se M é uma variedade m—dimensional complexa e n G Z tal que 1 < n < m , a assinatura V do subespaço Vp G Tp{M) p e M é uma distribuição n—dimensional em M. A distribuição V é diferenciável se V p G M existe imi aberto U D p e um conjunto de campos vetoriais Xi, ...A„ em U, tal que V ç G Í7 o conjunto ^ é uma base de T>q . Agora, V é uma distribuição complexa em M se J^{Vp) = iDp V p G M. Um mapeamento arbitrário diferenciável (p : M —* N entre duas variedade complexas é tangente à distribuição V em N se <p*p(A') G 2^<p(p) VpGMeVAG Tp{M). De (2.29) vemos que Tp{M) = Tp^’^\M), ou seja que se T> é uma distribuição complexa em M ela é um subespaço de Tp^’^\M). Uma distribuição é holomórfica eva M se'i p Ç: M existe um aberto U D p e um conjunto de campos vetoriais holomórficos Xi, ...A„ em U tal que V g G t/ o conjunto n ® deVq. O conceito de distribuição será muito importante no seguinte capítulo. Devemos notar que qualquer variedade real de dimensão par, localmente admite um tensor que satisfaz (J^)^ — —I . Porém, pode ser definido em todas as cartas e definido globalmente somente se a variedade é complexa. Em geral, o par (M, J) onde M é diferenciável, é conhecido como variedade quase complexa e J como a estrutura quase complexa. Os conjuntos de campos anti- holomórficos e formam subálgebras de 2£p[M) sob o colchete de Lie e a divisão (2.23) só pode ser mantida globalmente quando (M, J) é uma variedade complexa. Agora, uma veiriedade é complexa se, e somente se, o tensor de Nijenhuis N : 3E^(M) x XP{M) —> 3C^(M) ou N : jE(Mr) X 3£(Mr) —> 3£(Mr) definido por:

N{X, Y) = [X, Y] + J [JX, Y] + J [X, JY] - [JX, JY] (2.33) é identicamente nulo N{X, Y) = 0. Nesse caso, J é denominaria como estrutura complexa integrável 2

Agora a definição de grupo de Lie complexo está pronta.

Definição 5 Um grupo de Lie complexo é uma variedade complexa onde o produto do grupo ■ : (a, b) —> GxG^ab = abÇ.G é um mapeamento holomórfico.

(19)

2.1. Geometria dos Grupos de Lie. 12

Dado que uma variedade complexa pode ser vista como uma variedade real, um grupo de Lie é simultaneamente um grupo de Lie real com a mesma estrutura de grupo. A realificação de G é denotada por Gr e a correspondente álgebra de Lie por 0r = Te(GR) . Por definição, o produto do grupo é um mapeamento holomóríico e portanto os seguintes mapeamentos lineares associados às translações (2.1) e (2.2) obedecem:

La*oJ^ = J^oLa*, (2.34) Ra*oJ^ = J^oRa^. (2.35) Por exemplo, se A € 0r então:

L„*(jfXe) = J^{La.Xe) = (X„) (2.36) e ao estender como mapeamento C — linear na complexificação (©r)*^ = © 0^°’^^ onde g(i.o) ^ TÍ^’°^(G) , 0^°’^) = ri°’^^(G) , a equação (2.36) com um vetor X £ (©r)*^ (anti)-holomóríico, implica que o campo vetorial invariante esquerdo gerado pelo vetor X mantém seu caráter (anti)- holomóríico globalmente no grupo G; isto é, o produto do grupo como mapeamento holomóríico é consistente com a existência de campos vetoriais invariantes esquerdo e viceversa. Além disso, como conseqüência de (2.34), (2.5) e a operação conjugação complexa, o colchete de Lie de campos (anti)- holomórficos são campos (anti)-holomórficos, os subespaço 0^°’^^ formam duas subálgebras de (Ar)'*' isomorfas e a divisão (2.23) é global. Agora, com (2.29) e Tg^’^\G) = a definição de álgebra de Lie complexa é quase óbvia.

Definição 6 O conjunto dos campos vetoriais holomórficos invariantes esquerdo © = 0^^’”) = TÍ^’°^(G) com 0 colchete de Lie [ , ] : 0 x © —> © se denomina álgebra de Lie complexa do grupo de Lie complexo G.

Esta definição é conseqüência da existência natural dos isomorfismos © = 0^^’°^ e © = 0^°’^^ os quais permitem escrever:

(ar)*^ = a © ã-

Com (2.34) e o mapeamento exponencial definido antes, temos que: Ad{g) o o Ad{g) , 5 € Gr ou 5 e G, ad{X) oJ° o ad{X) , y G ©r ou X G ©, onde = jf é & estrutura complexa de Lie que satisfa.z a relação:

[X,J°Y]^J°{[X,Y]), a qual anula identicamente o tensor de Nijenhuis (2.33).

Considerando a realificação Gr, a correspondente forma de Maurer-Cartan 0r toma valores na álgebra ©r. A equeição (2.34) com a G Gr implica:

0r(J^(A)) = 0r(X) , Xg3£(Gr)

(20)

2.1. Geometria dos Grupos de Lie. 13

Definição 7 A forma de Maurer-Cartan 6 de um grupo de Lie complexo G é uma {l,Qi)-forma com valores na álgebra de Lie complexa g, 0 G g (8) : T^{G) —> g = definida por:

e-.XgG jfiG) ^ e{Xg) = X,) = Xe G g. (2.37) As relações (2.17),(2.18) e (2.21) seguem sendo válidas e ao seguir os mesmos argumentos feitos para o grupo geral linear real GL{m, E) temos que, para o grupo geral linear complexo denotado por GL{m,C) , a forma de Maiurer Cartan é uma 1-forma matricial dada por 6 — g~^dg, onde g são as funções coordenadas definidas por g](o) = a*- e (g“^)j(a) = (a~^)*- com i,j — 1, ...,m. e a G GL{m,C). O mapeamento exponencial, a forma de Killing e as representações adjuntas do grupo e da álgebra, continuam sendo validas.

2.1.2 Sistemas de Raízes, Subálgebrcts de Borel e Z—Gradações.

Devido à relação entre grupo de Lie e álgebra de Lie providenciada pelo mapeamento exponencial, a informação mais relevante do grupo esta contida na álgebra de Lie e esta por sua vez está codificada nas constantes de estrutura do grupo. Nesta seção abandonaremos a interpretação geométrica dos grupos de Lie para nos aprofundar um pouco mais na estrutura das álgebras de Lie propriamente.

Antes de ver o que é um sistema de raízes para uma álgebra de Lie, é melhor começar pela sua definição abstrata num espaço vetorial. Isto permite ligar mais natmralmente a definição de sistema de raízes com os resultados já conhecidos para álgebras de Lie.

Num espaço vetorial V sob um campo k , uma reflexão é um mapeamento linear s : V* —» V* que satisfaz as propriedades dimlm(/ — s) = 1 e = 1 onde 7 é a identidade. Ou seja, para a ^ 0 G Im(7 — s) C V* e /? G V* , a reflexão de /? se escreve como /? — s(/3) = ‘p{P)a , onde : V* —> k é um mapeamento linear. Esse mapeamento linear permite definir (p{P) = {fl, a^) para algum G V e a condição = 1 implica (a, a'^) = 2. Por outro lado, se G V e a G V* satisfazem a condição (a, a^) = 2 , então o operador S dado por:

SM=P-{P,a'^)a, (2.38) é uma reflexão em V*. Notemos que Sa deixa invariante o hiperplano definido por {P,a^) = 0 e, ao atuar sobre = a , inverte seu sinal {Sa{ct) = —a), que é o que se esperaria de uma reflexão num espaço vetorial. Estamos assumindo o tempo todo que V e V* são isomorfos.

Definição 8 Um subconjunto A C V* onde V é um espaço vetorial sob um campo k, se denomina sistema de raizes em V*, se satisfaz as seguintes propriedades:

i) A tem dimensão finita, gera todo V* e não contém o elemento zero;

n) V o; G A, 3 G F tal que {a,a^) = 2 e a reflexão Sa deixa A invariante; Ui) {P,a^) G Z V Q!,/3 G A.

(21)

2.1. Geometria dos Grupos de Lie. 14

de automorfismos de V*, denotado por Aut{A), e W(A) C Aut{A) devido ao fato de que em geral existem transformações em A que não são reflexões mas são permutações. Similarmente, devido à dualidade entre V e V*, o conjunto A'^ formado pelos vetores com cc € A constituem um sistema de raízes em V e os grupos Aut{A) = Aut{A'^) são isomorfos.

Para um sistema de raízes A em V*, a forma bilinear (• , • ) : V x V k em V definida por: (X, Y)=J2 ^) > ^ e y, (2.39)

a€A

é simétrica, não degenerada e invariante sob Aut{A'^). A forma (• , • ) induz um isomorflsmo z/ : V —» F* entre o espaço vetorial e seu dual deflnido por:

{u{X),Y) = {X,Y). (2.40) Igualmente, a mesma forma bilinear define a forma canônica bilinear (• , • ) : V* x V* —> k no espaço V* dada por:

(a,/?) = (i/“^(a),i/“^(/3)) com a,/3&V*, (2.41) a qual é simétrica, não degenerada e invariante sob Aut{A). Isso prova o isomorflsmo entre V e V* assumido antes. Em particular, as reflexões e VT(A) C Aut{A) satisfa2;em a relação de invariância {Sai0),Sa{'y)) = iP,'y) para qualquer par de raízes e 7 , e ao fazer 7 = a , temos a relação {Sa{P),Oi) — —{P,a) que liga explicitamente os mapeamentos ( ,) e ( ,) segundo {P,a^) =

Assim, a reflexão (2.38) fica escrita só em termos de elementos de V* como:

5,(^)=/3-2^a, (2.42) {a, a)

que é a expressão usual das reflexões de Weyl e da condição Ui) (def 8) vemos que é um número inteiro. Além disso, a forma bilinear introduzida em V* é realmente uma métrica e assina um comprimento às raízes em A que discretiza os possíveis valores dos ângulos entre as raízes^.

A condição i) (def 8) sugere a introdução de uma base para o sistema de raízes A. Definição 9 O subconjunto II de um sistema de raízes A em V* é uma base de A se:

i) n é uma base de V* no sentido usual de espaço vetorial;

ii) y P E A, os coeficientes ma E Z da expansão P = são todos positivos ou são todos otÇM

negativos;

Ui) V a,/3 e n a diferença a — P ^U.

Os elementos de II são denominados mízes simples, a base de um sistema de raízes é denominado sistema de mízes simples e uma raiz a é positiva ou negativa se os números Z envolvidos na expansão

(22)

2.1. Geometria dos Grupos de Lie. 15

ii) (def 9) são ou Z“, respectivamente. Um sistema de raízes é irredutível se A não pode ser representado como á soma direta de outros sistemas de raízes, ou seja como A = Ai©,© A„ .

Consideremos agora uma base II de um sistema de raízes A de rank r dada pelos vetores {ai,ar} , escolhendo um ordem dos elementos de II, a matriz de Cartan de r x r dimensões é definida por:

Kij = {ai, a/) = ai{hj) = 2^2^ e z , hi = a/. (2.43) (aj, aj)

A matriz Kij depende da ordem escolhida para as raízes simples e com a condição Ui) (def 8) as entradas de Kij são todas números inteiros com 2 na diagonal. As matrizes de Cartan com diferentes ordens podem ser levadas uma a outra ao efetuar mudanças simultâneas de filas e colunas. Salvo essa liberdade, a matriz de Cartan é independente da escolha da base II. Devido a II ser uma base, a matriz Kij é não degenerada e qualquer sistema de raízes é determinado completamente pela sua matriz de Cartan salvo isomorfismos. Isto traz importantíssimas consequências"*.

Agora veremos a relação existente entre as álgebras de Lie e os sistemas de raízes definidos an- teriormente. As constantes de estrutura de cada álgebra de Lie determinam por completo o sistema de raízes correspondente a cada álgebra e, dado que toda a informação esta contida nas constantes de estrutura, a catalogação das álgebras de Lie se reduz a catalogação dos seus sistemas de raízes associados.

Quando a forma de Killing (2.11) é não degenerada, isto é quando det{K{Xi,Xj)) ^ 0 , a álgebra de Lie complexa g é semi-simples. Numa álgebra semi-simples, a subálgebra de Cartan f) é definida como a subálgebra maximal comutativa formada inteiramente por elementos semi-simples^. Nesse caso, a álgebra f) é abeliana e os operadores lineares ad{h) = [/i, ] , h G ^ que atuam em g, formam um conjunto de operadores semi-simples em g e são simultaneamente diagonalizáveis. Isto significa, que existe uma base do espaço vetorial g conformada somente pelos autovetores do operador ad{h). Se X é um dos autovetores, então para qualquer /i G f) temos que:

ad{h)X = [h, X] = a{h)X = {a, h) X, (2.44) onde o autovalor a{h) é um número complexo e o mapeamento a : ^ > C é um elemento do espaço dual í)*. Para a G f)*, g“ denota o espaço vetorial definido por:

g^m{X eQ\[h,X] = a{h)X V/i G f)} ■ (2-45) A identidade de Jacobi com a, P ^ 0 G t)* implica [g“,g^] C se a -I- /? G f)* , [g",g^] Cf) se a + P = 0 e [g“,g^] = 0 para qualquer outra possibilidade. Se a álgebra g é semi-simples, a não singularidade da forma de Killing implica que os autovalores do operador ad{h) são não degenerados, sempre vêm em pares (a(/i), —a{h)) , o único autovalor proporcional a a{h) é -a{h) , e o espaço g“ sempre é perpendicular a g^ a menos que P = —a . Como conseqüência disto, temos que dimg“ = dimg““ = 1 e (dimg—dimf)) G 2Z"*' (número par). As três propriedades que definem um sistema de

^Existem quatro séries clássicas de sistemas de raízes reduzidos e cinco séries excepcionais.

(23)

2.1. Geometria dos Grupos de Lie. 16

raízes são cumpridas por todos os elementos >Cde qualquer álgebra de Lie semi-simples e formam um sistema de raízes® como já é conhecido.

Qualquer par de elementos h,h' Ei) junto com (2.44) e (2.11), resulta em que a forma de Killing é dada por (Cf (2.39)):

iír(/i,/i')= 5^(a,h)<a,/i') = (h,/i'), aeA

e a restrição da forma de Killing de g na subálgebra de Cartan I) induz a forma canônica bilinear (2.41) em assim como o isomorfismo (2.14),(2.40). Seguindo a nomenclatura padrão da teoria de álgebras de Lie, o conjunto de raízes a,/3,... G I)* é um sistema de raízes A da álgebra g com respeito à subálgebra í) e a álgebra de Lie complexa semi-simples g fica decomposta numa soma de espaços de raízes (2.45) de dimensão um, dada pela conhecida decomposição de Cartan:

g = f) © n_ © f) © n^.. (2.46)

onde n.)- = © g“ , n_ = © g “ e A"^ C A denota o subconjunto das raízes positivas. aeA+ q€A+

As subálgebras n± satisfazem [n±,n±] C n± e são álgebras de Lie nilpotentes^ devido ao número de raízes positivas-negativas ser finito e as iterações de fc G comutadores devem terminar num número finito de passos devido ao número finito de raízes positivas-negativas existentes. Por exemplo, os conjuntos n±(m, k) de m x m matrizes estritamente triangulares superiores-inferiores, respectivamente, formam subálgebras nilpotentes da álgebra de Lie g[(m,k). Os correspondentes subgrupos nilpotentes N±{m,k) são formados pelas matrizes superiores-inferiores unipotentes (um na diagonal).

Se A é um sistema de raízes de g com respeito i), um subsistema de raizes P C A é fechado se para qualquer par a, /S G P tal que a+P G A, a soma a+P G P e é simétrico se a G P implica —a G P. Com um subsistema P de A simétrico e fechado e uma subálgebra t C ^ gerada pelos elementos o:'',a G P V a G P n (—P) , o subespaço:

f^t © g' aer

é uma subálgebra regular semisimples f(t, P) de g, isto é que f satisfaz [f),f] C f e é um ideal em í). Além disso, a subálgebra t é uma subálgebra de Cartan de f(t, P) e P é o sistema de raízes de f(t, P) com respeito a t. A álgebra f (t, P) é denotada simplesmente por f(P) dado que o sistema P determina completamente a álgebra f. Considerando as subálgebras regulares semisimples, se í' é um subsistema de A e [í'] denota o conjunto de elementos de A que são representados como combinações lineares dos elementos de í' com coeficientes inteiros, temos que se II é uma base de A então [II] = A . Para qualquer subsistema í' de A, o conjunto [í'] é um subsistema simétrico e fechado de A que define uma subálgebra regular semi-simples de g denotada por f( ).

Existe uma classe de subálgebras regulares não semi-simples que serão de grande importância no decorrer do trabalho.

®Na verdade, foi na catalogação das álgebras de Lie que nasceu o conceito de sistema de raízes.

’’Uma álgebra de Lie g é nilpotente se para algum número inteiro finito k, os elementos de g construídos ao tomar k comutadores são zero. Ou seja se;

(24)

2.1. Geometria dos Grupos de Lie. 17

Definição 10 Uma subálgebra de Lie b é uma subálgebra de Borel de uma álgebra de Lie Q se b é uma subálgebra maximal solúvel de g.

As subálgebras definidas por:

b± = lf)©n±, (2.47) satisfazem n± C b± C g e são subálgebras de Borel de g. Com a notação introduzida para as subálgebras regulares podemos escrever b = f(^, Aj_). Por exemplo, os conjuntos t±(m,k) de m x m matrizes triangulares superiores-inferiores respectivamente, formam subálgebras de Borel (solúveis) da álgebra de Lie gt(m, k). Os correspondentes subgrupos de Borel B±{m, k) são formados pelas matrizes superiores-inferiores.

Existem outras subálgebras de Lie de g que contém subálgebras de Borel e podem ser construídas ao adicionar a (2.47) espaços de raizes de sinal contrário. Estas são as subálgebra parabólicas de g e são as subálgebras que satisfazem b±Ç g. Ou seja:

= I) © © (2.48)

onde s C {A^ou 0} ao tomar p+ ou p_ respectivamente. Por exemplo, no caso da álgebra sl(m,k), as subálgebras parabólicas p±(m,k) estão determinadas por um conjunto fixo de números inteiros positivos {rzj} Tii € Z+ tais que m = Ef=i”i . P G Z"*" e consistem das matrizes triangulares superiores-inferiores com blocos de dimensão ni x n\^...,np x rip na diagonal. Quando n\ = ... = rip = l , p = m , o tamanho dos blocos é um e p± = b±. Os correspondentes subgrupos parabólicos P±(m,k) de 5L(m, k) são de forma similar aos elementos da álgebra. Para ilustrar, as matrizes de p+(m, k) e P+ (m, k) são da forma:

P+=

/ Xl * 0 X2

* \ =1=

Gsl(m, k) , P+=

í Xl * 0 X2

\ 0 0 • • • Xp J

onde = 0 e flLi det(Aí) = 1.

* \ *

G5L(m,k), (2.49) V 0 0 • • • Xp j

Para um subsistema í' do sistema de raízes simples ü , definimos as subálgebras: K±st = f(0,A±-[^]),

= f(f), [^]). (2.50) Quando é obvio qual é o subsistema í' especificado, escrevemos simplesmente n± e f). Com esta nova partição, a álgebra g tem a decomposição:

g = n_©^©n+, (2.51) ®Uma subálgebra de Lie 0 é solúvel se existe uma seqüencia de inclusões de subálgebras de Lie 0i onde:

(25)

2.1. Geometria dos Grupos de Lie. 18

e quando ^ = 0 temos n±0 — n± , í)0 — i) e retornamos a (2.46). Em geral, n± C n± e 1^ D fj , e é uma redistribuição dos elementos da álgebra g especificada por í', onde alguns elementos de são transferidos à subálgebra f) acrescentando-a. Similar a (2.47) definimos agora:

b±íí = (2.52) e os subgrupos de Lie correspondentes às subálgebras n±, b± e f) de g, são denotados por N±, B± e H respectivamente. Esses subgrupos introduzidos são bastante úteis para decompor os elementos de G. Se G é um grupo de Lie complexo, qualquer elemento a € G possui alguma, ou varias das seguintes três formas da decomposição de Gauss:

a - m+n-h- , a = m-n+h+ e a = k-hk+ (2.53) onde m± , n± , k± e N± e h±, h G H com fc_ = m_ , h = h+ e k+ = h1^^n+h+. Em particular, se b G B± , ele tem a seguinte decomposição:

b± = n±h. (2.54) Se a possui alguma dessas decomposições, ela é única mas não necessariamente é global.

Agora é claro que a decomposição (2.46) corresponde a ^ = 0 e a decomposição (2.51) corresponde ^ 0. Isto mostra que uma álgebra de Lie complexa semi-simples g pode ser quebrada de diversas maneiras ao escolher algum subsistema í' de II. Porém, a decomposição pode ser feita de uma outra maneira que resulta ser mais util na prática.

Definição 11 Uma X—gradação de uma álgebra de Lie g é uma decomposição de g numa soma direta de subespaços Qm, m G Z onde:

g ~ © 0m> (2.55) tmGZ

e os subespaços g„ satisfazem [gm,0n] C 0m+n-

Para qualquer álgebra de Lie semi-simples g, uma derivação D é um mapeamento linear D : g —+ g definido por DX = [Q,X] , A G g onde Q é o operador de gradação e a identidade de Jacobi garante que D efetivamente satisfaz a regra de Leibniz. Para qualquer Xm S g^ temos que:

[Q,Xm]=mXm, (2.56) é uma equação de autovalores e Q pode ser considerado como um elemento da subálgebra de Cartan f) de g. Por outro lado, introduzindo um conjunto arbitrário de números G Z+ , r = rank g , definimos o seguinte operador de gradação:

r

(26)

2.1. Geometria dos Grupos de Lie. 19

onde K ^ é a inversa da matriz de Cartan (2.43) de g. Lembrando que g pode ser decomposta como: [hi,hj^ =0 , i, j — 1,..., r,

[-^+ai)aj] ~

(2.57) onde os /li e f) e X±ctj € g^“-’ são geradores de Cartan e Chevalley respectivamente, temos que Q satisfaz:

[Q, hi] = 0,

ou seja que {ai, Q) = rii, e ao tomar X = Xa=^.aai > cj ^ ^ obtemos a relação: [Q,X] = aniX = TnX,

Ki<r O que quer dizer que o subespaço definido por:

g,„ = < X = Xc=y: ci«i e g“ I ^ Cirii = m G [ l<i<r

é a suma dos espaços de raízes g“ correspondentes a todas as raízes a = 5^i<i<r Que satisfazem a condição 53i<i<r = m . O subespaço go contém a subálgebra de Cartan f) e para qualquer raiz positiva-negativa temos que g“ C g^ com m > 0 , g~“ C Qm com m < 0 e dim gm = dimg-mi m G Z+. Para uma dada Z—gradação de g com uma subálgebra de Cartan í) e uma certa base II = {ai, ...cir} do sistema de raízes A, o subsistema de raízes definido por:

«'^{aiGni (qí,Q) = 0},

introduz naturalmente as subálgebras n±^, e , b±^ definidas por (2.50) e (2.52). Assim, as decom- posições (2.51) e (2.55) ficam expressadas em termos da Z- gradação como:

n- = © gm m<0 b— — © gm

m<0

— © õmt m>0 b-\- — © gm

m>0 f) = 00- Quando rij = 1 V i, o operador de grau toma a forma:

Q = Y,kihi , ki = Y2i^~%^ j=i

(2.58) (2.59)

(2.60) i=l

e define a gradação principal ou canônica de g. Nesse caso ít± = n±, b± = b±, a subálgebra b = b = 0o é abeliana e os subespaços g±i de grau ±1, coincidem com os geradores de Chevaley X±ai que junto aos geradores de Cartan hi reproduzem (2.57). Na mesma gradação principal, definimos os elementos:

X± — ^ ^^ 0±1) /i = 2 (^t) ^hi ^ go.

(27)

2.2. Fibrados Principais. 20

que obedecem à álgebra sl(2,C):

[h,X±]^±2X±, (2.63) [X+,X.] = h.

Dessa maneira, controlando os números inteiros nj ou definindo um outro operador de grau Q que cumpra com (2.56), é possível quebrar qualquer álgebra de Lie g de diversas formas. Devemos notar que em geral, a subálgebra f) é não abeliana e que o operador de grau Q é um elemento da própria álgebra®.

Dado que a álgebra g define todos os campos vetoriais invariantes do grupo, a divisão (2.51) existe para todo ponto de G.

Agora vamos introduzir uma construção que permite fundir os grupos de Lie com as variedades diferenciáveis ordinárias num corpo só, que será fundamental na formulação do princípio dinâmico da curvatura nula e na dedução das equações de Leznov-Saveliev.

2.2 Fibrados Principais.

2.2.1 Conexões, Curvatura e Lifts Horizontais.

Um fibrado E é um espaço topológico que localmente se ve como o produto direto {M x F) de dois espaços topológicos mas em geral, E ^ M x F globalmente. Vamos definir primeiro o que é um fibrado antes de definir o fibrado principal de nosso interés.

Definição 12 Um fibrado E ^ M diferenciável consiste dos seguintes elementos:

i) Três variedades diferenciáveis E,M e F, denominadas espaço total, espaço base e fibra ou fibra típica respectivamente;

ii) Um mapeamento surjetor rr \ E —y M denominado projeção. A pré-imagem 7r“^(p) = Fp ^ F é a fibra sobre o ponto p Ç. M\

Ui) Um grupo de Lie G denominado grupo de estrutura que atua em F pela esquerda;

iv) Um cobrimento aberto {Ua}aeA ^ difeomorfismo ipa • UaX F denom- inado trivialização local tal que tt o ip~^{p, f) = p;

v) Um difeomorfismo ipap : Fp —* F dado pelo mapeamento ipap = Prpotpa P & Ua que define as funções de transição tap E G : F —y F p E Ua r\ U^ ^ 0 dadas por ta/i = i>ap° onde

= Í’ã^{P,tai3{p)f)-

O par {Ua,ipa) é uma carta de e o conjunto {Ua,ipa}aeA ® atlas de E. A colagem entre diferentas cartas é consistente se as funções tap satisfazem as condições de consistência taa = Idp ,

— ^I3ct ^ ^Oí/3 — bcxy ® ^'y/3 i P ^ Uct D Uy ^ 0.

Se todas as funções de transição são fixadas como mapeamentos identidade ou M é coberto com uma carta Ua só, o fibrado é trivial, ou seja que globalmente o fibrado é simplesmente o produto direto do espaço base e da fibra tipica E = M x F.

(28)

2.2. Fibrados Principais. 21

Junto com a projeção n : E —* M vêm as seções. Uma seção ê um mapeamento diferenciável a : M ^ E que satisfaa a condição ttoct = Id^ , claxamente, a(p) é um elemento da fibra Fp = 7r~^(p). Para um cobrimento aberto do espaço base {Ua)aç^A > ® ^ seções locais aa, a € A dos fibrados triviais P \ua— UaX F, o conjunto {o"a}agyi é uma familia de seções locais que cobrem M. Sempre é possível encontrar uma família de seções locais que cobre o espaço base M, porém, nem todo fibrado admite a existência de seções globais^®.

O nosso interesse está particularmente centrado no caso em que a fibra típica F coincide com o grupo de estrutma G e todas as variedades envolvidas são complexas.

Definição 13 Um G-fibrado principal holomórfico P —y M é um fibrado diferenciável que satisfaz as seguintes propriedades:

i) O espaço total P, o espaço base Mea fibra típica F, são variedades complexas;

ii) A fibra típica F coincide com o grupo de estrutura G que é um grupo de Lie complexo semi- simples;

Ui) G atua sobre F = G (ele mesmo) mediante translações esquerdas : G —y G]

iv) A projeção tt : P M e a trivialização local ipa ■ ’^~^{Ua) Ua x G são mapeamentos holomórficos.

Quando as variedades e o grupo de Lie são reais temos um G-fibrado principal usual^^.

Da definição 5, a ação pela esquerda de G sobre as fibras Gp = G é um mapeamento holomórfico que corresponde à ação das funções de transição correspondentes as translações esquerdas (2.1) e seu papel corresponde a colar consistentemente as diferentes cartas que cobrem o fibrado. Já a ação pela direita, como veremos, está profundamente ligada a noção de transformação de gauge que são transformações de cada fibra nela mesma. A ação pela direita e implementada pelas translações direitas (2.2) que também são mapeamentos holomórficos e comutam com as ações pela esquerda (Cf (2.3)). Explicitamente, a ação pela direita : Gp —y Gp é definida por:

Ra (u) = ^~p oRaO tpap{u) = tpã^ip, ga(u)a) = Uã, (2.64) onde ga s PrG°V'Q • T^~^{Ua) —* G são as funções coordenadas de P em G com ga{ua) — ga{u)a. Quando p G Uaf^Up ^ 0, a, dupla ação de e R^ onde (L o R^ = R^ o L) , satisfaz:

ua = ipp^{p,gff{u)a) = ipp^{p,tpa9ai'^)a) = ip~^{p,ga{u)a) (2.65) e cada fibra Gp de P —y M é invariante com respeito as ações de R^ no sentido que:

7T o Rg = -K g G G.

^°Por exemplo, as seções dum fibrado tangente T{M) —y M são campos vetoriais em M e são elementos de X{M) que pode ou não ter elementos definidos globalmente.

(29)

2.2. Fibrados Principais. 22

A ação pela direita sobre a fibra Gp é livre e transitiva e as órbitas da sua ação coincidem com a fibra. Em particular, toda a fibra Gp é gerada ao atuar , o,^ e sobre o elemento identidade do grupo de Lie Gp. Para ver isso, se introduz-se a seção local trivial Sa ■ Ua ^ 7r“^(í/a) definida por:

Saip) ^rpã^(p,e), (2.66) onde agora, qualquer elemento u € Gp na fibra sobre p, é único e vem definido por:

u = '<l’ã^{p,a) = Sa{p)-a , a = ffa(u), (2.67) ou seja, o conjunto de seções locais define um atlas em P M com a seguinte lei de transformação:

Saip) = Sp{p)t0a{p) , P&UanUp^O. (2.68) Por definição, o fibrado P ^ M é diferenciável e possui um espaço tangente TP e deve ser cuidadosamente tratado. Para um elemento u G P —* M e uma fibra Gp sobre p = 7t(u), o espaço vertical VuP é um subespaço de TuP tangente à fibra Gp no elemento u. Se X € g e um elemento da álgebra de Lie da fibra típica G, a ação pela direita RÇ: u ^ ug dada por Rgxptx'^ ~ uexptX define uma curva na fibra Gp devido a n{u) = Tr{uexptX) = p. O vetor X"^ e VuP tangente à fibra Gp no ponto u induzido pelo elemento da álgebra A G g vem dado por:

X*f{u) = j^f{uexptX)\t=o , /:P-^Re5(P). (2.69) Assim, V u e P , A# G X(P) é um campo vetorial no fibrado gerado por X e dado que a ação ^exptx ® difeomorfismo, o mapeamento # : g —>V^P definido por X —> X^ é um isomorfismo entre espaços vetoriais que preserva a estrutura da álgebra de Lie de g, ou seja que = [A, e dim VuP — dim g . Além disso, o vetor A’^ satisfaz a propriedade:

7t*(A#) = 0 (2.70) e não tem contrapartida no espaço tangente Por outro lado, o espaço horizontal HuP u E P é definido como o complemento do espaço vertical VuP no espaço total TuP.

A existência dos espaços verticais e horizontais sugere uma divisão para TP.

Definição 14 Uma conexão 'H num G-fibrado principal P ^ M é uma única divisão do espaço tangente TP nos subespaços vertical VP e horizontal HP tal que:

i) TuP^VuP®HuP ueP-, ii) HugP^R^^HuP ,'i gEG.

Dado que o espaço VuP = q ^ u E P, é natural introduzir uma 1-forma u : TP ^ q com valores na álgebra de Lie g para materializar a divisão i) (def 14).

Definição 15 Uma 1-forma conexão uj E Q <S> T*P é uma projeção u) : TP —> VP — g com as seguintes propriedades:

i) u(X*) = A , V A G g;

(30)

2.2. Fibrados Principais. 23

Qualquer 1-forma com valores em g satisfazendo as condições da (def 15) é uma 1-forma conexão. A 1-forma u), projeta vetores tangentes à fibra na álgebra de Lie g e se um vetor não é tangente á fibra sua projeção deve ser zero. A 1-forma uj possui um kemel invaxiante sob o pull-back RÇ* segundo Cf ii) (def 15) e é então natural definir o espaço horizontal como:

HuP ^{Xg TuP I uj{X) = 0 , X € kercu} .

Essa definição implica HugP = Rg^HuP, que é a condição ii) (def 14) e para algum X G HuP, existe um único Y = Rg^X G HuP devido que ao mapeamento Rg^, ser bijetor. A 1-forma conexão u) faz explicita a divisão TuP = HuP © VuP , y u G P e é completamente equivalente à conexão H. em concordância com a definição 14.

A 1-forma u> com valores em g definida em P está relacionada com outras 1-formas com valores em g definidas no espaço base M e na fibra típica G respectivamente. A fibra típica G é um grupo de Lie e possui naturalmente a forma de Maurer-Cartan 0 G g (g) T*{G) definida em (2.16) e o espaço base M possui uma 1-forma com valores em g em cada carta Ua G1 M definida pela conexão local ou

campo de gauge:

Ac = s*^{u>) G q^ÇI\M) (2.71) onde «a é a seção trivial (2.66). Dessa maneira, 6 e Aa contribuem para definir a 1-forma conexão: Ua=U> |í/„:

ijj = u>Q = Ad{g~^) o TV*Aa +ga&, (2.72) que satisfaz as propriedades da (def 15) . Para garantir que a divisão T„P = HuP © VuP seja globalmente única, deve-se cumprir a igualdade oja — a}0 = oj em TV~^{Ua n U/3) 7^ 0, o que diz que as conexões locais {Aa}aç^y^ definidas em (Uar\Up) C M , devem satisfazer a condição de compatibilidade: Aa = Aditap) o A^ 1*^^6, (2.73) onde ta0 — ga° 9são as funções de transição do fibrado P M. O conjunto de conexões locais {-'^}a€i4 satisfazendo (2.73), permitem reconstruir uma única forma uj em P M e carregam a informação global do fibrado. O resto da informação do fibrado contida na 1-forma conexão uj, está na sua derivada exterior dpuj : TP (g) TP g que é uma 2-forma com valores na álgebra de Lie g. A ação de uj nos subespaços HP e VP ]áé conhecida e mesmo que uj{X) — 0 para X G HP, temos que em geral duj{X) ^ 0 para X,Y G HP. A 2-forma dpuj mede uma das propriedades geométricas mais importantes de qualquer G-fibrado principal P —> M.

Definição 16 A forma curvatura da conexão Ti é a 2-forma Í2 : TP®TP —► g com valores na álgebra de Lie definida por:

ü = (dpuj)^ G g (g> D^(P), (2.74) onde (dpuj)^ é a componente horizontal de dpuJ definida como:

(31)

2.2. Fibrados Principais. 24

É útil ligar a forma curvatura íí com a forma conexão a; de alguma maneira que não dependa da projeção em VP (2.74). Para ver isso, devemos considerar primeiro várias possibilidades. Como 1-forma, u> obedece a relação (2.20) dada por:

dpu{x, Y) = X [w(y)] - Y [o;(x)] - u{[x, r]), V X, r e tp.

Agora, se X, y € HP então X^ = X , Y^ = F e temos uma identidade fl(X, F) = dpu{X,Y) que pode ou não ser trivial. Para o caso que X G HP eY Ç^VP temos que Y^ = 0 e por tanto Ü{X, F) = 0 da definição (2.74). Por outro lado, devido a [X, F] G HP temos que dpoj{X,Y) = X [w(F)] , mas se F G 0 então existe um elemento A G g tal que F = e uj{Y) = A = cons G g , ou seja que dpuj{X,Y) = 0 e de novo vemos que fi(X, F) = dpu{X,Y). Por último, se X, F G VP, a definição de curvatura implica ri(X, F) = 0 e nesse caso temos que uj{X,Y) — —o;([X, F]) 7^ 0 !. Agora, o subespaço VP — g é fechado sob o colchete de Lie e devido ao mapeamento # ser um isomorfismo, existem três elementos A,B,C e g que satisfazem A* = [X,F] = [B*,= [B,C]* onde X = F = . Portanto, w([X, F]) = A G g e com ajuda da avahação [ui,u}\{X,Y) — 2 [o;(X),ai(F)] = 2[B,C] = A , onde = 2uj Au>, obtemos o resultado dpu>{X,F) + (o; A w)(X,F) = 0. O último termo não modifica os resultados anteriores e dessa maneira vemos que a 2-forma curvatura e a 1-forma conexão satisfazem a equação de estrutura de Maurer-Cartan (2.21) em P —> M:

íl = dpu + ujAu, (2-75) que só é diferente de zero quando X, F G HP em contraposição ao resultado obtido em (2.21), isto é que para (2.21) a curvatura sempre é trivial.

Agora, similar à definição da conexão local, a curvatura local ou field strength é definida por: Pa = sl{ü) G 0<8)Q2(M),

onde Pa e estão relacionados por:

fí = ÍIq = Ad{ga) o 7T*JFa. (2.76) Localmente, após usar as relações s^{dpuj) = d{s’^u) e s* (w Aw) = (s’^u>) A (s^o;) , vemos que em cada carta Ua C M do espaço base, a curvatura local e a conexão local estão relacionadas por:

Pa ~ dAa “1“ Aa A Aa (2.77) e quando Í7a n ^ 0, P transforma como:

Pa = Ad{tap) o Pp . (2.78) Por motivos práticos, consideremos G-fibrados principais sobre grupos de Lie matriciais, nesse caso a forma de Maurer-Cartan é dada por (2.22) e glfi : TP —> g é:

(32)

2.2. Fibrados Principais. 25

Até agora, a definição de curvatura introduzida carece de todo sentido geométrico e seu nome ainda não foi justificado. As curvas definidas em cada fibra pela ação direita ~ uexptX são trivialmente projetadas no espaço base e não faz diferença se são curvas abertas ou loops. A clarificação do sentido geométrico da curvatura começa pela introdução de curvas no fibrado que não sejam trivialmente projetadas no espaço base.

Definição 17 Seja P —* M um G-fibrado principal e 7 : [0,1] —* M uma curva em M. A curva 7 ; [0,1] —► P é um lift horizontal se tt= y e 0 vetor tangente à curva j{t) sempre pertence ao espaço horizontal

A definição garante que a curva sempre intercepta fibras diferentes se 7 G M não é trivial. Se Ua é um aberto que contém a curva 7 e é a seção (2.66) em Ua, podemos expressar a curva 7(í) em P como:

7(0 = Sai‘y{t))ga{t) , 9a{t) = ga{l(t)) ^ G,

com a condição 5a(0) = e, ou seja que 7(0) = Sa(7(0)) = uq. A relação entre os vetores tangente X G e X G é a seguinte:

X = Ad{g^^{t)){sa*X) + [ga^{t)dpga{t)]*

e devido a que, por definição X G o elemento do grupo ga{t) G G que define o lift horizontal é a solução da equação diferencial ordinária de grau um u{X) = 0 dada por:

— io{Sct*^)9ce\Í) •

Da definição (2.71) e do teorema fundamental das equações diferenciais ordinárias, vemos que localmente a equação:

= -Aa{X)ga{t), (2.79) possui uma única solução com a condição inicial g{t) — e que nesse caso é dada pela exponencial ordenada P na trajetória 7^^:

g^{t) = Pexp

7(<)

- í A^(7(í))dx^ , 7(0)

\

/

(2.80)

lembramos que A — € fl ® íl^(M). O lift horizontal dado por j{t) — Sai'y{t))ga{t) com 7(0) = UO) define um único lift horizontal 7(í)“ = Po (7(0) = 7(^)® com 7(0)“ = 7(0)0 = uqü sob a ação direita R^-

Ao considerar um loop 7 definido por 7(0) = 7(1) = 7r“^(u) — p £ Ua, temos que:

^^Suprimimos o subíndice a £ A por simplicidade.

(33)

2.2. Fibrados Principais. 26

define um mapeamento A —+ G dado por 'y Çj entre o espaço dos loops A em U no grupo de Lie G , a informação da trajetória 7 é carregada pela conexão local Aa (7) para formar o elemento € G. De fato, g-y G G depende de alguma área encerrada pelo loop 70a dependência é explicitada como se segue:

Uma variação funcional da curva 7 parametrizada em Ua por x'^(í) tem como resultado que a variação de (2.79) é:

^Syg{t) = -kj^ô^g{t) - õy 9(í). (2-82) onde \5y, = 0. Ao multiplicar por g{t)~^ pela esquerda de (2.82) e usar a equação análoga de (2.79) para g{t)~^ obtemos, após integração em t, a relação:

t

gity^ôygit) J dfgit-y^ôy 9Íi) 0

Com ajuda da variação Sy (A^^) = di^Af^^SyX'' + A^-^SyX^^ , integramos por partes na variável t' para eliminar o termo Am^^7 x^ , obtendo:

t

/dx^ dfg{f)~^¥n^g{f)—Syx‘', 0

onde — d^A/j, + [A^,A,/] são as componentes da cmrvatura (2.77) em M dadas por ^ —^¥fii,dxf^ A dx’' e 0 ®

Ao fechar a curva 7 num loop, ou seja quando x^(0) = x'^(l) = p com ôyX^{0) = SyX>^{l) = 0 (ponto fixo) temos:

1

/, dx>^ dtg{t) ^¥^^g{t)—SyX^. 0

O aberto Ua possui um grupo fundamental trivial 7Ti(M) = {e}, então podemos expandir continu- amente um loop infinitesimal ao redor do ponto base p até coincidir com o loop 7 e varrer uma dada área S. A deformação é parametrizada por a e vem dada pela homotopia F{t, s)0<í<l,0<í<l com F{t, 0) = p e F{t, 1) = 7(í). Agora, podemos fazer 6y = Sa-^ e obter a expressão:

1

=s(l) J *9(0- 0

que é uma equação da forma ^ = gF (Cf. (2.79)) com uma solução exponencial ordenada V na superfície E :

g-£. = V exp ^ J g~^¥yt^{x)gydx'^ A dx"^ . (2.83)

(34)

2.2. Fíbrados Principais. 27

(2.84)

O mapeamento 7 —> 57 fica então expresso em termos da curvatura local F e da alguma área S encerrada pelo loop 7. Se S = 0 , o mapeamento 7 —♦ 57 é trivial e Çy = Ida- Se S ^ 0 e F 7^ 0, dois loops diferentes 71 e 72 são mapeados em dois elementos diferentes do grupo Gi e G2. Finalmente, se E 7^ 0 e F = 0 todos os loops 7 são mapeados na identidade do grupo G. Essa última possibilidade quando dimc = 1 implica a existência de quantidades conservadas como veremos no comentário do capitulo 3.

Para terminar, consideremos o lift horizontal 7(í) = Sa{'y(t))gait) associado ao loop 7 definido por 7(0) = 7(1) = p e Ua- Vamos ter dois elementos Uq = 7(0) = Sa(p) e U\ — 7(1) = Sa(p)5a(l) = uo5a(l) onde Pa(l) vem dado por (2.83) e ui — R^{uq) estão na mesma fibra Gp sobre p. Em geral uq 7^ u\ mas 7r(iio) = 7t(ui) — p € Ua , o que significa que a imagem do loop 7 em P não é necessariamente um loop. A medida do não fechamento entre o ponto inicial uq e o ponto final u\ na mesma fibra do lift horizontal 7 em P associado ao loop 7 em U é devida à presença da curvatura F de P definida por (2.74). Se uq = ui temos duas possibilidades, o caso trivial (S = 0, F 7^ 0) ou o caso (E 7^ 0, F = 0) que é mais interessante.

2.2.2 Transformações de Gauge, Cosets e Variedades Flag.

As translações esquerdas e direitas num G-fibrado principal são implementadas com sentidos e usos diferentes. As ações pela esquerda estão relacionadas com as funções de transição e as ações pela direita junto com um certo difeomorfismo levam à introdução das transformações de gauge.

Definição 18 Uma transformação de Gauge num G-fibrado principal P M é um difeomorfismo (f : P P que satisfaz as seguintes propriedades:

i) TT o (f — TT , preserva as fibras; ii) ifoR^ = R^ o (p.

E dizer que as transformações de gauge atuam nos espaços internos definidos pelas fibras sobre cada ponto p — 7t(u) G M. A restrição do mapeamento <p e, Ua vem dada por:

‘P \Ua {u)=Í)a0^po V’ãHP.5a(u)) = {P,Pa{p)ga{u)) =Sa(p) • {p>aijp)ga{u)) , p G M, U ^ P, (2.85) onde o mapeamento : M G é definido por:

(Pa= ga°P° Sa- (2.86) Quando UaC\Ui3 7^ 0 temos g>p = Ad{tpa)Pa e o conjunto {'pa)a£A permite recuperar via (2.85). Agora, a manifestação do mapeamento <p como transformação de gauge se evidencia na sua ação sobre a conexão de P . Com a 1-forma conexão w da conexão He o mapeamento y?, podemos construir uma outra 1-forma conexão ip*0J com ajuda da relação:

(35)

2.2. Fibrados Principais. 28

onde os subíndices clarificam o ponto onde está definido. Da rela.ção (2.69) vemos que xf = e com a condição i) (def 15) obtemos:

= X G õ.

Finalmente, as propriedades ii) (def 18) e ii) (def 15) implicam a lei de transformação: Ra*i}P*^) = ‘P*(Ra*<^) = Ad{a~^) o {(p*u),

o que verifica que {ip*u!) é uma outra 1-forma conexão de P ^ M gerada pela transformação de gauge ip.

Similar à (2.71), temos localmente:

{íp*U!)a = A% = sl{ip*Uj), e com ajuda de (2.72) obtemos a lei de transformação de gauge-,

= Ad{ip-^) oAa + (fie. (2.87) Usando (p*{dpuj) = d{<p*u) e ip*{u A ui) = {g>*uj) A temos a expressão análoga da equação de estrutura de Maurer-Cartan (2.75):

{íp*Çl) = dp{(f*uj) + {(p*oj) A {(p*io), que localmente em Ua se reduz a expressão (Cf (2.77)):

PS = dA^ + A^AA%,

onde = {íp*Q,)a = s’^((p*fl), e quando Ua^U^ ^ 0 transforma como:

JF^ = Ad(y)-i)ojr^. (2.88) No caso de grupos de Lie matriciais temos:

í (2.89) e chegamos às conhecidas leis de transformação:

= ^ã^Aa^a + ^ã^dipa, (2.90) (2.91) Para terminar com as definições e resultados necessários, vamos reescrever um grupo de Lie G como um fibrado principal e terminar com a introdução das variedades Flag.

Para um subgrupo fechado^^ H de um grupo de Lie G eo espaço coset esquerdo G/H formado pela união das classes de equivalência [5] = gH = {gh \ h G H , g Ç: G}, o mapeamento : G x G/H G/H definido por:

(36)

2.2. Fibrados Principais. 29

é uma ação pela esquerda áeG eva.G/H que é transitiva, ou seja que G/H é um espaço homogêneo de G. No caso de G ser um grupo de Lie complexo, temos de (2.34) que é um mapeamento holomórfico. O seguinte teorema [4],[26] enunciado sem demonstração, será de grande utilidade no que se segue. Teorema 19 Se H C G é um subgrupo fechado de um grupo de Lie G, então o espaço homogêneo G/H admite uma única estrutura diferenciável e o mapeamento tt : G —* G/H definido por Tv{g) = [5] e uma submerção^^. No caso de G ser um grupo de Lie complexo, 0 espaço G/H possui uma única estrutura complexa e tt : G G/H é um mapeamento holomórfico.

Consideremos o coset G/H (notemos que G,H,G/H são variedades diferenciáveis e a condição i) (def 12) é satisfeita). O mapeamento n : G ^ M = G/H dado por tt : 5 —> [g] é surjetor devido a g, ga € G serem mapeados na mesma classe [5], ou seja n{g) = 7r{ga). O teorema 19 diz que 7T~^([g]) = g E G é uma projeção (Cf ii) (def 12)). O seguinte passo é a introdução de uma trivialização local. Para uma seção arbitrária CTq : G/H —> H definida em Ua C G/H e o elemento 7r“^([g]) = g , introduzimos o mapeamento '>Pa[g] ’• G H definido por:

V’a[g](5) = CTaiigiy^g- (2-93) Devido a a-a{[g]) ser uma seção em [5], ela é um elemento de G da forma ga{aeH,gGG), ou seja que <Ja{[g])~^g = a~^g~^g — G H. Assim, a trivialização local ipa • n~^{Ua) H é definida por (Cf iv) (def 12)) :

V'a(5) = {[g], i’a[g]{g)) = ([ff] .a) > aGH. (2.94) No caso de G ser um grupo complexo, a seção aa ■ G/H H é um mapeamento holomórfico. Por outro lado temos ‘ipa\g]{g^) — V’a[g](ff)í* > o Que implica:

Mga) = {[g],i>a[g]{g)a)

que é a ação pela direita (2.65) num H-fibrado principal e (Ui) (def 12)) é satisfeita devido a H atuar nele mesmo pela esquerda. Da mesma maneira que em (2.66) obtemos um atlas para G e por outro lado, a ação pela esquerda de G em G/H (2.92) e a projeção tt satisfazem:

7T o L = í' o 7T. (2.95) Finalmente, vemos que o grupo de Lie G é um ií-fibrado principal G —> G/H com espaço base G/H e fibra típica H e localmente:

G = G/HxH (2.96) No caso de G ser um grupo de Lie complexo temos do teorema 19 e (2.35),(2.34) que G é um H-fibrado principal holomórfico.

(37)

2.2. Fibrados Principais. 30

Agora consideremos a ação esquerda^® de um grupo de Lie G numa variedade diferenciável M. O mapeamento ^ : G x M —* M definido por:

$p(a) = a-p, a e G, p G M

é diferenciável e o grupo estabilizador de p definido por Gp = = {aGG\a-p = p} é um subgrupo fechado do grupo de Lie G. O teorema 19 implica que o espaço coset G/Gpé uma variedade diferenciável.

O seguinte teorema [4],[26] enunciado sem demonstração, fornece a relação entre as variedades G/Gp e M.

Teorema 20 Se a ação ^ : G x M M do grupo de Lie G na variedade M é transitiva, então o mapeamento xjj : GfGp —> M definido por ipp{aGp) = a-p é um difeomorfismo. No caso das variedades G e M serem complexas, o difeomorfismo correspondente é um mapeamento holomórfico.

O teorema é bastante forte, devido a estabelecer que qualquer espaço homogêneo M de um grupo de Lie G é difeomorfo ao coset GfGp de dois grupos de Lie. O seguinte exemplo, clarificará o teorema. Seja V um espaço vetorial n—dimensional sob um campo k e seja G*^(F) o conjunto dos subespaços /c—dimensionais de V. Para qualquer A G GL{V) eWG G^(V), o elemento AW G G^(F) , ou seja o grupo GL{V) define uma ação pela esquerda em G^(V) que é obviamente transitiva. Se {ei} é uma base de V, o subconjunto {ca} a = é invariante sob o subgrupo H C GL{V) formado pelos elementos A G GL{V) que representados na base {cj} tem a forma de bloco:

í Xi Y V 0 X2 J

onde X\ e X2 são matrizes não degeneradas de dimensão k x k e {n — k)x {n — k) respectivamente e Y é uma matriz arbitrária de dimensão k x {n — k). Então G*^(F) = GL{V)/H . Assim reconhecemos que G^(V’) é uma variedade de Grassmann de dimensão fc(n — k). No caso de F = k", denotamos Gfc(k") = kG*^’"“*^ e em particular, quando k = 1 temos que kG^’”~^ é o espaço projetivo kP" .

Depois da introdução das variedades de Grassmann vem naturalmente a definição de Flag. Definição 21 Se V é um espaço vetorial n—dimensional e ii,...,ik € são números inteiros tal que 0<zi < ... < ifc < n. A família {Vj} de subespaços de V com dimVj = ii , l — 1,...,A: e um Flag do tipo {ii, ...,ifc} em V se ela é uma sequência de espaços Vj C ... C 14 C V.

O conjunto de Flags do tipo {íi, ...,ífc} em V denotado por .»fc (V) se denomina variedade Flag. Em particular, vemos que a variedade Flag mais simples Fi{V) = G*(V) é a variedade de Grassmann do exemplo anterior. Considerando o espaço vetorial complexo V , o grupo SL{m,C) define uma ação esquerda no conjunto • ^*1 ifc (V) que é transitiva. Se {cj} i = 1,..., m é uma base de V, o flag formado pelos subespaços:

Vi = © Cct , l = l,...,k, l<i<il

(38)

2.2. Fibrados Principais. 31

com combinações lineares em C tem como grupo estabilizador às matrizes A e SL{m, C) que represen- tadas na base {e{} são da forma de bloco (2.49) que está diretamente ligada à existência da subálgebra parabólica Essa dependência entre subálgebras parabólicas e variedades Flag é o coração da for- mulação geométrica do principio da curvatura nula e dos modelos de Toda de grau superior, como veremos. Assim, o conjunto Fjj ífc(V’) é identificado com o espaço homogêneo SL{m,C)/P onde P é um subgrupo parabólico formado pelas matrizes (2.49), e do teorema 19 vemos que Fíi,...,í^{V) é uma variedade complexa. Em resumo, todos os espaços homogêneos ou cosets da forma:

F = G/P , (2.97) onde P é uma subgrupo parabólico do grupo de Lie complexo G, são variedades Flag e são complexas e compactas. A forma do Flag está determinada pela partição de p em (2.49) a qual fica expressada em termos de uma Z—gradação, como pode se-ver de (2.59).

Imagem

Tabela da Superálgebra SL(2|1).

Referências

Documentos relacionados

Resultados: Os parâmetros LMS permitiram que se fizesse uma análise bastante detalhada a respeito da distribuição da gordura subcutânea e permitiu a construção de

5 “A Teoria Pura do Direito é uma teoria do Direito positivo – do Direito positivo em geral, não de uma ordem jurídica especial” (KELSEN, Teoria pura do direito, p..

One of the main strengths in this library is that the system designer has a great flexibility to specify the controller architecture that best fits the design goals, ranging from

13) Para tal fim cada Parte deverá comunicar a outra por escrito da existência e o objeto da controvérsia, para a resolução da mesma. 14) Caso isto não aconteça em até 60

Com o objetivo de avaliar a contribuição dos estuários do Tejo, Sado, Minho e Lima, assim como da zona de afloramento costeiro adjacente ao estuário Sado para a emissão global de N

Por intermédio de autores como Bauman (2001, 2004) e Lipovetsky (2004) é possível compreender que mudanças na sociedade acarretam em perdas de referências estáveis, interferindo

Se você vai para o mundo da fantasia e não está consciente de que está lá, você está se alienando da realidade (fugindo da realidade), você não está no aqui e

O trabalho tratou-se de uma pesquisa exploratória e descritiva (GIL, 2002), realizada de fevereiro a setembro de 2010 com três grupos de catadores e catadoras de materiais