Uma aplicação da lógica Fuzzy

(1)

Campus de Rio Claro

Uma Apliação da Lógia Fuzzy

Cristina Helena Bovo Batista Dias

Dissertação apresentada ao Programa de

Pós-Graduação Mestrado Prossional em

Matemátia Universitária do Departamento

de Matemátia omorequisito parialparaa

obtenção do grau de Mestre

Orientador

Prof. Dr. Henrique Lazari

(2)

Dias-RioClaro: [s.n.℄,2010.

83f.,il.,gs.,gráfs.,tab.

Dissertação (mestrado)- Universidade Estadual Paulista,

Insti-tutodeGeoiêniaseCiêniasExatas.

Orientador: HenriqueLazari

1. LógiaSimbóliaeMatemátia. 2. EntropiaFuzzy. 3.

Fuzzi-ness. 4. Geometria dosConjuntosFuzzy. 5. Hiperubo Fuzzy. I.

Título

FihaCatalográaelaboradapelaSTATI-BiblioteadaUNESP

(3)

Cristina Helena Bovo Batista Dias

Uma Apliação da Lógia Fuzzy

Dissertação aprovada omo requisito parialpara a obtenção do grau de

Mestre no Curso de Pós-Graduação MestradoProssional emMatemátia

UniversitáriadoInstitutodeGeoiêniaseCiêniasExatasdaUniversidade

Estadual PaulistaJúliode Mesquita Filho,pelaseguintebana

examina-dora:

Prof. Dr. Henrique Lazari

Orientador

Prof. Dr. Adilson José VieiraBrandão

Universidade Federalde São Carlos -Campus Soroaba

Prof. Dr. Wlademir Seixas

Universidade Federalde São Carlos -Campus Soroaba

(4)

(5)

(6)

Primeiramente, agradeço aDeuspelavida. Aseguir, aomeu orientador,aos

mem-bros da bana e, de modo geral, a todos os doentes e funionários do Departamento

de Matemátia doIGCE,RioClaro, porsua valiosa olaboraçãoe apoio,sem osquais

este trabalhonão teria sido realizado.

Agradeço, ainda, aos funionários da UNESP, em espeial, os que trabalham na

Bibliotea,noRestauranteUniversitárioenaCantina que,dosbastidores, dãosuporte

para quetrabalhos omoeste sejamproduzidos. Finalmente, agradeço ameuspais, ao

(7)

e requereralguma espéie de rença.

(8)

Desdeedoentramosemontatoomasimpliaçõeslógias. Obinmio

verdadeiro-falsoestásemprepresenteemnossasvidasenósnosaostumamosaaeitarqueasoisas

ousão verdadeiras ousão falsas. Divertimo-nos quandoalguém nos onta histórias

in-teressantes envolvendológiaequeterminamemontradições,taisomo,porexemplo,

a dobarbeiro que pode e não pode barbear a si mesmo, ou omo a do advogado que

onsegueganhareperderamesmaausa. Apreiamostaisparadoxossemnos

apere-bermos queportrás deles existe todauma teoriamatemátia,ahamada lógiafuzzy.

Essa dissertaçãotemporobjetivoapresentarum resumodestateoria,mostrandoomo

ela trata a existênia de tais paradoxos e dar detalhes sobre uma visão ompata dos

onjuntos fuzzy, a saber, utilizando uma representação geométria. A análise de

al-guns resultadossobretaisonjuntosusandoesta representaçãolevaaumajustiativa

para o estudo da lógia fuzzy, a saber, a diferença entre fuzziness e probabilidade,

inluindouma demonstração de que fuzziness,de fato,existe.

Palavras-have: LógiaSimbólia eMatemátia, EntropiaFuzzy, Fuzziness,

(9)

Early on we got in touh with the logial impliations. The binomial true-false is

always present in our livesand we have ome toaept that things are either true or

false. We have fun when somebody tellsinteresting stories involving logi and ending

withontraditions,suhas,forexample,thebarberwhoanandannotshavehimself,

orasthelawyerwho anwinandlose thesameause. Weappreiatesuhparadoxes

withoutrealizingthat behind them thereis awholemathematialtheory, alledfuzzy

logi. This dissertation aims to present a summary of this theory, showing how it

deals with the existene of suh paradoxes and give details about a ompat view of

fuzzysets, namely,using ageometrialrepresentation. Theanalysis ofsome resultson

suh sets using this representation leads to a justiationfor the study of fuzzy logi,

namely the dierene between fuzziness and probability, inluding a demonstration

that fuzziness, infat, exists.

Keywords: Symboli Logi and Mathematis, Fuzzy Entropy, Fuzziness, Fuzzy Sets'

(10)

1.1 Exemplos de representações gráas de Conjuntos ujos elementos

po-dem ser onsiderados próximosde

6

. . . 15

1.2 GráodoConjuntoFuzzydenidopelaFunçãodePertinêniado Exem-plo1.3 . . . 18

1.3 Conjunto Fuzzy

A

representado omoPonto . . . 21

1.4 Conjunto Potênia

F

(2

B

₎

omo Hiperretângulo noHiperuboFuzzy . . 24

1.5 Partição doQuadrado Fuzzy . . . 25

1.6 Exemplo noQuadrado Fuzzy partiionado . . . 26

1.7 Partição doCubo Fuzzy . . . 27

2.1 GráodoConjuntoFuzzydenidopelaFunçãodePertinêniado Exem-plo2.1 . . . 31

2.2 Gráo doConjunto Fuzzy do Exemplo 2.4. . . 37

3.1 Número Fuzzy triangular . . . 46

3.2 Número Fuzzy trapezoidal . . . 46

3.3 Exemplo de um NúmeroFuzzy emformade sino. . . 47

4.1 Simetriaem relação aoPontoMédio . . . 58

4.2 Simetriaemrelação aoPontoMédio om

ϕ

(

xi

)

<

1

2 ,

∀

i

. . . 59

4.3 Medida M doConjuntoFuzzy A . . . 61

5.1 Interpretação Geométria daMedida de Entropia Fuzzy . . . 64

5.2 Geometria doTeoremadaEntropia Fuzzy . . . 65

5.3 Simplexo

S

2

no Quadrado

I

2

. . . 69

5.4 Simplexo

S

3

no Cubo

I

3

. . . 69

5.5 Dependênia daInlusão emrelação aoContador M(A) . . . 74

5.6 Ilustração doTeoremada Inlusão. . . 77

(11)

1.1 Comparaçãoentre Redes Neurais e SistemasFuzzy . . . 20

(12)

I Resumo da Teoria 12

1 Coneitos Preliminares 13

1.1 Introdução . . . 13

1.1.1 Organização daDissertação . . . 13

1.2 Um pouo de história . . . 14

1.3 Subonjuntos Fuzzy . . . 16

1.4 Representaçõesde Conjuntos Fuzzy . . . 16

1.4.1 Função de Pertinênia . . . 16

1.4.2 ConjuntoClássio de Pares Ordenados . . . 18

1.4.3 Notação

ϕ

A

(

x

i

)

x

i

. . . 19

1.4.4 Notação Hiperubo . . . 19

1.5 Apliaçãoem Redes Neurais . . . 19

1.5.1 Conjuntosomo Pontos . . . 21

1.5.2 Grau de Inlusão . . . 22

1.6 Entropia e Informação . . . 27

1.6.1 Teoria da Informação . . . 27

1.6.2 Distribuição de Probabilidade . . . 28

1.6.3 Entropia . . . 28

1.7 Simplexos . . . 30

2 Aritmétiae Lógia Fuzzy 31 2.1 Suporte de um ConjuntoFuzzy . . . 31

2.2 Operações om Conjuntos Fuzzy . . . 32

2.3 Ooneito de

α

-nível . . . 37

2.4 Lógia Fuzzy . . . 40

2.4.1 Conetivos daLógia Clássia . . . 40

2.4.2 Conetivos Básiosda LógiaFuzzy . . . 40

2.4.3 ImpliaçõesFuzzy . . . 43

(13)

3.2.2 Operaçõesom Números Fuzzy . . . 49

II Apliação: Representação Geométria dos Conjuntos Fuzzy 52 4 Fuzziness e Probabilidade 53 4.1 Conjuntos Fuzzy e Aleatoriedade . . . 53

4.1.1 Fuzziness eProbabilidade . . . 53

4.1.2 A Diferença entre SEe QUANTO . . . 54

4.2 Retomando aVisão de Conjuntos omo Pontos. . . 56

4.2.1 Operando om aRepresentação Geométria . . . 56

4.3 OPontoMédio do Quadrado Fuzzy . . . 57

4.4 OContador Sigma . . . 61

5 Teoremas sobre Conjuntos Fuzzy 63 5.1 Teorema daEntropia Fuzzy . . . 63

5.1.1 Entropia e Conjuntos Fuzzy . . . 63

5.1.2 Consequênias . . . 67

5.1.3 Apliação . . . 68

5.1.4 Apliação emuma Distribuiçãode Probabilidades . . . 69

5.2 OTeoremada Inlusão . . . 71

5.2.1 Dedução Algébriada Medida doGrau de Inlusão . . . 71

5.2.2 Dedução Geométria daMedida do Graude Inlusão . . . 73

5.3 OTeoremada Entropia-Inlusão. . . 79

5.3.1 PrinipalConsequênia . . . 79

6 Conlusão 81

(14)

(15)

1.1 Introdução

Nessa dissertação será apresentado um resumo daLógia Fuzzy, omo base para a

ompreensão de um tema muito interessante, o entrodeste trabalho, a saber, a visão

geométria dos onjuntos fuzzy. Adiionalmente será analisada a questão: Será que

fuzziness existe? Ou será que a probabilidade e a lógia bivalente onseguem lidar

omtodososproblemasligadosàinerteza? Mas,iniialmente,oquesigniamfuzzy

e fuzziness?

Fuzzy é uma palavra da língua inglesa, que signia nebuloso, difuso, inerto,

impreiso, subjetivo, et.... No entanto, omo a palavra original tem um signiado

muito mais amplodoque odestas traduções, namaioriados asos prefere-seutilizá-la

ao invésde traduzí-la. Quando traduzido otermo geralmenteusado é nebuloso.

A melhor maneira de se ter uma ideia geral do que seja fuzziness é ompará-la

om a teoria da probabilidade. O objetivo de fuzziness é medir o QUANTO um

evento oorre enquanto que a teoria daprobabilidade desreve a aleatoriedadede um

evento. SE ele oorre ou não. Se a oorrênia de um evento envolver omponentes

INCERTOS, envolverá a probabilidade de um evento fuzzy. Portanto, fuzziness,

assim omo probabilidade,é uma formade medir a inerteza.

1.1.1 Organização da Dissertação

Coneitos Preliminares

Esseapítuloapresentaumabreveintroduçãohistóriaseguidade algunsoneitos

preliminares. Entre estes mereem destaque o de subonjunto fuzzy, o de função de

pertinêniaeodegraude inlusão. Naonlusão, introduzarepresentaçãogeométria

dos onjuntos fuzzynitos por meio de um hiperubo,base da dissertação.

Aritmétia e Lógia Fuzzy

Oobjetivo do Capítulo2 é dar uma ideia de omo operar om os onjuntos fuzzy

(16)

de um onjunto fuzzy e sobre oshamados

α

-níveis.

Números Fuzzy

Para

X

=

R

existe uma família de onjuntos fuzzy bastante utilizada em apli-ações. Osonjuntos fuzzyquefazem partedessafamíliasãohamadosnúmerosfuzzy.

Costuma-serepresentarosnúmerosfuzzyatravésdográodesua funçãode

pertinên-ia. Maiores detalhes sobre eles serão analisados noCapítulo3.

Fuzziness e Probabilidade

A partir do Capítulo 4 iniia-se a disussão da questão prinipal apresentando

algumasdiferençasbásiasentre fuzziness eprobabilidade,retomandoeampliando a

visão geométriados onjuntos fuzzye destaando opontomédio dohiperubo fuzzy.

O apítulo terminaom a denição do ontador sigma de Zadeh, queserá utilizado a

seguir namedição dafuzziness de um onjunto.

Teoremas sobre Conjuntos Fuzzy

Finalmente, o Capítulo5, apresenta alguns resultados importantes utilizadospara

responder à questão sobre se fuzziness é de fato uma medida de inerteza diferente

da probabilidade.

1.2 Um pouo de história

Em 1920, Jan Lukasiewiz esreveu o artigo On Three-valued Logi 1

, onde

apre-sentou pela primeira vez, o oneito de lógias multivalentes, que estende os valores

verdade das proposições aonjuntosmais omplexos que

{

0 ,

1 }

.

Em 1965, Lot Asker Zadeh [4℄ apresentou a Teoria dos Conjuntos Fuzzy omo

maneirade tratarde formamatemátiatermos linguístiossubjetivosomo emtorno

de e aproximadamente. A ideia era onseguir tratar de forma omputaional

on-eitos vagos, damesmaformaqueum ser humanoonsegue fazer. A m de formalizar

este oneito, Zadehestendeu ooneito de funçãoaraterístia de umonjunto

lás-sio, ou seja, de um onjunto tradiional (também hamado risp na lógia fuzzy), a

saber:

Denição 1.1. Sejam

X

um onjunto e

A

um subonjunto de

X

. A função

χ

_A

:

X

_{→ {}

0 ,

1 _}

dada por:

χ

_A

(

x

) =

(

1 se x

_∈

A

0 se x /

_∈

A

,

1

(17)

é hamadafunção araterístia de

A

.

Observação 1.1. Sejam

℘

(

X

)

o onjunto das partes de

X

e

ℑ

(

X,

{

0 ,

1 }

)

o onjunto das funçõesde

X

em

{

0 ,

1 }

. Fixadoum onjunto

X

6 =

∅

, existe uma bijeção:

χ

:

℘

(

X

)

_{→ ℑ}

(

X,

_{

0 ,

1 _}

)

dada por

A

7→

χ

A

,

que faz orresponder a ada subonjunto

A

de

X

a sua função araterístia. Pode-se dizer então, por um abuso de linguagem, onforme a

onveniênia, que

χ

A

:

X

→ {

0 ,

1 }

é um subonjunto em

X

.

Observação 1.2. Afunção daDenição1.1desreveplenamenteoonjuntoestudado

assumindo o valor

1

, se o elemento

x

pertene ao onjunto e

0

, se ele não pertene. Quando esta desrição simples não orresponde à ideia que se quer expressar

mate-matiamenteproura-se denirfunções quefaçamisto de maneiramais apropriada.

Exemplo 1.1. Exempliando o que foi dito na observação anterior onsidere o

on-junto

A

=

{

x

∈

R

:

x está próximo de 6}

⊆

R

. Que elementospertenem a

A

?

9

3

1

8

5

4

6

7

3

4

5

6

7

8

9 0,75

0,50

0,25

1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0

2

4

6

8

10

12 %e

-

(0.12*(x-6)

2 )

x

3

4

5

6

7

8

9 0,75

0,50

0,25

1

Figura 1.1: Exemplos de representaçõesgráas de Conjuntosujos elementos podem

ser onsideradospróximosde

6

Note que a resposta a esta pergunta depende do ontexto no qual ela foi

(18)

distantedemaisde 0,6mm. Emoutrosontextosomo,porexemplo,senossoonjunto

universo foro onjunto

Z

(

x

∈

Z

),estar próximo de

6

pode signiar ser igual a

6

. AFigura1.1apresenta ográode diversas funçõesquepodem ser esolhidaspara

representaro onjuntodos pontos

x

próximosde

6

, assumindo valores maioresdo que zero.

1.3 Subonjuntos Fuzzy

ParatratarasosomoodoExemplo1.1, Zadeh[4℄propsumateoriaqueinluiua

deniçãodesubonjuntofuzzyFomosendoumsubonjunto

F

em

X

araterizado por uma função

ϕ

F

:

X

−→

[0

,

1]

,

pré-xada, hamadade função de pertinêniado subonjunto

F

. O valor

ϕ

F

(

x

)

∈

[0

,

1]

india o grau om que o elemento

x

de

X

pertene ao sub-onjuntofuzzy

F

.

ϕ

F

(

x

) = 0

e

ϕ

F

(

x

) = 1

indiam,respetivamente, anão pertinênia e apertinênia total de

x

a

F

.

Observação 1.3. Nem sempreoonjuntouniverso

X

, noqualum subonjuntofuzzy érefereniado,será menionado. Deaordoomisso,aoseitarumsubonjuntofuzzy

em

X

, tantoaexpressão subonjuntofuzzy omo aexpressãoonjuntofuzzy serão utilizadas, dependendo de seoonjuntouniverso

X

está expliitamenteitadoounão.

1.4 Representações de Conjuntos Fuzzy

Observe que a maneira de representar um onjunto fuzzy está relaionadaao

on-texto. Neste tópio, serão apresentadas algumas das representações mais utilizadas

para onjuntosfuzzy.

1.4.1 Função de Pertinênia

A função de pertinênia de um onjunto fuzzy é obtida ampliando-se o

ontra-domínio da função araterístia

{

0 ,

1 }

para o intervalo

[0

,

1]

. Portanto, um onjunto lássio é um aso partiular de onjunto fuzzy, uja função de pertinênia

ϕ

F

é tal

que

Im ϕ

F

=

{

0 ,

1 }

.

(19)

ϕ

:

℘

(

X

)

_{→ ℑ}

(

X,

[0

,

1])

F

_7→

ϕ

_F

.

Tendo issoem mente pode-se denir,formalmente, subonjunto fuzzy em

X

omo abaixo.

Denição 1.2. Um subonjunto fuzzy

ϕ

F

em

X

[5℄ é uma função do onjunto de referênia

X

no intervalo unitário, ou seja,

ϕ

F

:

X

→

[0

,

1]

.

Ainda, levando em onta que a função de pertinênia é uma extensão da função

araterístia e que, para o omplementar

F

c

de um onjunto

F

⊆

X

tem-se que

χ

F c

= 1

−

χ

F

, dene-se:

Denição1.3. Oomplementar

F

c

deum subonjunto fuzzy

F

em

X

éafunção

ϕ

F c

= 1

−

ϕ

F

:

X

→

[0

,

1]

.

Exemplo 1.2. Seja

C

o onjunto lássio dos números naturais ímpares uja função araterístia édada por

χ

C

(

n

) =

(

1 se n f or impar

0 se n f or par

.

Observa-se então que, tomando

ϕ

C

(

n

) =

χ

C

(

n

)

, podemos onsiderar todo on-juntolássioomoum onjuntofuzzy,denindo-sea funçãode pertinênia damesma

maneira quea função araterístia.

Exemplo 1.3. Seja

F

oonjunto fuzzy dos números reais próximosde

0

, ouseja,

F

=

_{

x

_∈

R

:

x

e pr

´

oximo de

´

0 _}

.

Pode-se, então, esolher de maneira oerente om o oneito usual de próximo

uma função de pertinênia para este onjunto. Por exemplo, ela pode ser denida

omo:

ϕ

_F

(

x

) =







1 x

2 se

|

x

| ≥

1

1 se

_|

x

_|

<

1 ,

ujo gráoenontra-se naFigura1.2.

Tem-se,então, que

ϕ

F

araterizaum onjuntofuzzy

F

, um subonjuntofuzzy em

(20)

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2 -4

-2

0

2

4 min(1,1/x

2 )

x

Figura1.2: GráodoConjuntoFuzzydenidopelaFunçãodePertinêniadoExemplo

1.3

ϕ

F

(1) = 1

,

ϕ

F

(0

.

1) = 1

,

ϕ

_F

(3) =

1

9 ,

ϕ

_F

(7) =

1

49 ,

ϕ

_F

(999) =

1 998001

.

Note,porém,queaesolhade

ϕF

foiarbitrária,umavezqueoutrasfunçõestambém podemrepresentarbemooneitodeestarpróximo. Portanto,nãoexisteumabijeção

entre aexpressão estar próximo e a desrição doonjunto.

Estessãoexemplossimples. Emgeral,adeniçãodafunçãodepertinêniadepende

de um estudo detalhado do problema analisado. Os onjuntos fuzzy serão estudados

emmaiores detalhes no Capítulo2

1.4.2 Conjunto Clássio de Pares Ordenados

Um subonjunto fuzzy

F

em

X

também pode ser representado por um onjunto lássio de pares ordenados, a saber,

F

=

{

(

x, ϕ

F

(

x

)) :

x

∈

X

}

. Exemplo 1.4. Seja

X

=

{

x

1 , x

2 , x

3 , x

4 , x

5 }

.

(21)

1.4.3 Notação

ϕ

A

(

x

i

)

x

i

Umadas representaçõesparaum onjuntofuzzy

A

nitousa aseguintesimbologia:

n

X

i

=1

ϕ

_A

(

x

_i

)

x

i

,

_∀

xi

_∈

X.

Pereba que a notação

ϕ

_A

(

x

_i

)

x

i

não é utilizada nosentido usual, mas apenas omo

uma maneirade visualizar o elemento

x

i

e seu respetivo grau de pertinênia

ϕ

A

(

x

i

)

. O mesmose apliaaosímbolo

+

e aosímbolo

P

, quesão usados apenas para ligaros

elementos nanotação.

Exemplo 1.5. Sejam

X

=

{

1 ,

3 ,

7 ,

8 ,

12 } ⊂

R

e

A

um subonjunto fuzzy em

X

representado por:

A

=

n

X

i

=1

ϕ

_A

(

x

_i

)

x

i

=

0

1 +

0 ,

2

3 +

0 ,

3

5 +

0 ,

25

7 +

0 ,

7

8 +

1

12 .

Então seu omplementarpode ser representado por:

A

c

=

n

X

i

=1

ϕ

A

(

x

i

)

x

i

=

1

1 +

0 ,

8

3 +

0 ,

7

5 +

0 ,

75

7 +

0 ,

3

8 +

0

12 .

1.4.4 Notação Hiperubo

Outra maneira de representar onjuntos fuzzy nitos é onsiderá-los omo pontos

num hiperubo. Esta forma de representação é a base dessa dissertação. Sendo

as-sim, serão destaadas, no próximo tópio, essa representação bem omo uma de suas

apliações.

1.5 Apliação em Redes Neurais

Em engenharia e iênia, sistemas físios são geralmente desritos por modelos

matemátios. São exemplos as equações difereniais, os proessos probabilístios e

o modelo de relaionamento entre entidades na teoria dos sistemas de bases de

da-dos. Umadiuldadenormalmenteenontrada quandosetentaonstruir ummodeloé

que simpliaçõesfrequentemente são neessáriaspara dar aum problema um modelo

matemátioadequado. Oavançodatenologiadeomputadores tornoupossívela

ma-nipulação de sistemas ada vez mais omplexos, é verdade, mas tambémaumentou a

demanda porsoftwares mais simples. Ummétodopara simpliarsistemas omplexos

é tolerar um grau razoável de impreisão, indistinção e inerteza durante a fase da

(22)

semostrousatisfatórioduranteaonstruçãodemodelos,quando,nafasede

desenvolvi-mento de sistemas baseados em onheimento,a impreisão dos sistemas espeialistas

preisa ser levada em onta.

Um sistema fuzzy é um tipo de modelo matemátio para um problema no qual se

utilizamonjuntoserelaçõesfuzzy. 2

Nestetipodemodelo,oobjetivoétirarvantagem

da menoromplexidade queé onseguida pelouso riteriosodainformaçãoimpreisa.

É laro que não são desonsiderados aspetos relevantes do mundo real, pois senão o

modelo onstruído poderia não orresponder à realidade. Por outro lado, a qualidade

de um modelo não deve ser medida apenas pelograu de preisão dainformação, mas

tambémpelaonsideraçãoderitériosomoorreção, ompletude,adequabilidade,

e-iênia e onveniênia de uso. Assim, não surpreende que um modelo fuzzy; que

reduza grandemente a omplexidade da desrição do sistema estudado, apenas pela

inlusão de algumainformaçãoimpreisa, mas que leve emonta osritérios de

quali-dade; possa ser onsiderado melhordoqueum modelo que,apenas porexigiro uso de

informaçõestotalmentepreisas, seja mais difíilde manusear. O uso de tais sistemas

temapresentadoexpressivosuesso, espeialmentenoampodaengenhariadeontrole

e dainteligêniaartiial.

Dentro da teoria dos sistemas, onheer a assim hamada fuzziness de um

on-junto,ou seja, o quanto ele é fuzzy, permite a onstrução de hips de omputadores e

de sistemasque,de maneirainteligente ontrolamtrensmetropolitanos,sistemas

au-tomotivos,numerosos aparelhos eletrnios euma série de outros instrumentos. Nesse

níveloproessamentofuzzyémuitosimilaraoomportamentode redesneurais,omo

mostrado na Tabela1.1.

Redes Neurais SistemasFuzzy

Proessam InformaçõesImpreisas. ProessamInformaçõesImpreisas.

Reonheem padrões mal-denidos Estimamfunções eontrolam sistemas

sem preisarde um onjunto de regras. om uma desrição parialdo

omportamentodeles.

Usam um onjunto de

n

neurnios. Usamuma famíliade onjuntos fuzzy ontínuos

n

-dimensionais.

Emitem sinais quevãode um valormínimo Assumemvaloresreais entre

0

e

1

.

a um valormáximo (digamosde

0

a

1

).

Tabela1.1: Comparação entre Redes Neurais e SistemasFuzzy

Observando-seatabela, surgenaturalmenteaideiadeassoiaraadasinaldesaída

de um neurnio da rede um número entre

0

e

1

. Por analogia ao oneito de bit em

Informátia hama-se t (fuzzyunit), o valor produzido por esse sinal de saída. Num

(23)

a um vetor t, um vetor-linha de

n

elementos, onde ada um representa o grau de pertinênia de um elemento a um onjunto fuzzy

n

-dimensional. A ideia de omo é feita esta assoiaçãoserá dada aseguir.

1.5.1 Conjuntos omo Pontos

Como já visto, ada onjunto fuzzy pode ser assoiado a uma função de

per-tinênia de um domínio

X

no onjunto

[0

,

1]

. Quando se onsidera um onjunto omo ponto, omo na representação de onjuntos fuzzy nitos, utiliza-se o domínio

X

=

_{

x

1 , x

2 , ..., xn

}

eo ontra-domínio

[0

,

1]

da função

ϕ

A

:

X

→

[0

,

1]

.

00

11

0

1

0

1

1 000000000000000000000000000000000000000000000

111111111111111111111111111111111111111111111

000000000000000000000000000000000000000000000

111111111111111111111111111111111111111111111

0

1

1 000000000000000

111111111111111

01

00

11 0000

1111

A

3

1

3

2 {x

₂

} = (0 1)

{x

₁

} = (1 0)

X = (1 1)

{} = (0 0)

Figura1.3: ConjuntoFuzzy

A

representado omo Ponto

Tomando, por exemplo, o onjunto de dois elementos

X

=

{

x

1 , x

2}

, onsidera-se todos os subonjuntos

A

desse onjunto. Tem-se dessa maneira, o onjunto-potênia lássio

2 X

de

X

, que é dado por

{

∅

, X,

{

x

1 }

,

{

x

2}}

. Tendo em mente que, nesta notação, aordememqueoselementos doonjunto

2 X

sãotomadoséimportante,estes

quatro onjuntos podem ser representados, respetivamente, pelos vetores-linha

(0 0)

,

(1 1)

,

(1 0)

e

(0 1)

orrespondendo aos quatro vérties de um quadrado. Os1s e os 0s

indiamapresença ouaausênia doi-ésimoelemento

x

i

,respetivamente,noonjunto

A

onsiderado. Deformamaisabstrata, assoia-seuniamenteadaonjunto

A

auma das funções que tomam os valores

{

0 ,

1 }

. Tais onjuntos podem ser posiionados no retiulado

B

2

(ouainda em

Z

2 ×

Z

2

)numaomparação doonjuntolássio

2 X

om o

quadrado booleano

B

2

. Como preenher o interior doquadrado?

(24)

entende por onjunto fuzzy não-lássio.

Denição1.4. Chamam-seonjuntos fuzzy não-lássiosouonjuntos

propria-mente fuzzy aqueles subonjuntos fuzzy

F

em algum onjunto

X

tais que

ϕF

não é uma funçãoaraterístia, ou seja, quenão podemseraraterizados por subonjuntos

(no sentido usual) de

X

.

Observação 1.4. Os subonjuntos fuzzy não-lássios preenhem o interior do

qua-drado produzindo um quadrado sólido

I

2

. Denota-se por

F

(2

X

₎

o onjunto ujos

elementos são todos os subonjuntos fuzzy (lássiose não lássios)em

X

.

F

(2

X

₎

é

denominado onjunto potênia fuzzy de

X

e pode ser representado por um hiper-ubo sólido (no exemplo,um quadrado).

Segundo a denição lássia de Zadeh, um onjunto fuzzy

A

é assoiado a uma função de pertinênia ontínua e multivalorada dada por

ϕ

A

:

X

→

[0

,

1]

. Suponha, porexemplo,que umelemento

x

1

pertença aoonjunto

A

omum graude pertinênia igual a

1

3

e um elemento

x

2

om um grau de pertinênia

2

3

. Então, o vetor-linha

1

3

2

3

pode ser utilizado para representar o onjunto fuzzy

A

. A imagem

ϕ

A

(

xi

)

é representada pela i-ésima oluna do vetor. A visão geométria dos onjuntos omo

pontos representa o onjunto

A

omo um ponto em

I

2

, o quadrado unitário, omo

na Figura 1.3. Os valores t

1

3

e

2

3

medem, dessa forma, a pertinênia parial de

x

1

e

x

2

a

A

, respetivamente. O onjunto potênia fuzzy

F

(2

X

₎

, que ontém todos os

subonjuntosfuzzy em

X

orresponde, omo já menionado,a um quadrado unitário.

1.5.2 Grau de Inlusão

Conjuntos ontêm subonjuntos.

A

será um subonjunto lássio de

B

, denotado por

A

⊂

B

se, esomentese, todoelementode

A

éelementode

B

. Oonjuntopotênia

2 B

ontém todos os subonjuntos lássiosde

B

. Então,

A

_⊂

B se, e somente se, A

_∈

2 B

_.

Umaimpliação, na lógia lássia, somente será falsa quando seu anteedente for

verdadeiro e seu onsequente falso, ou seja, quando algoverdadeiro impliar em algo

falso.

Omesmovaleparasubonjuntos. Pode-serepresentararelaçãoinlusãoporfunções

do tipo

ϕI

:

X

→ {

0 ,

1 }

. Assim, no aso lássio,

A

será um subonjunto de

B

se, e somentese, não existeelemento

x

pertenentea

A

, masquenão pertençaa

B

,ouseja, onde

ϕA

(

x

) = 1

om

ϕB

(

x

) = 0

. Essa denição pode ser reesrita, a m de estender o ontradomínio de

ϕI

para

[0

,

1]

daseguinteforma

(25)

Zadehpropsqueestaformadarelaçãoaimafosseusadaparaonjuntosfuzzy. Por

analogia,esta relaçãoentre onjuntosfuzzy tambémfoi hamadade inlusão. Pode-se

então onsiderar,tendo essa inlusão emmente, a seguinte denição:

Denição1.5. Sejam

A

e

B

doissubonjuntosfuzzyem

X

, omfunçõesdepertinênia indiadas por

ϕ

A

e

ϕ

B

, respetivamente. Diz-seque

A

é subonjunto fuzzy de B, e india-se

A

⊂

B

, se

ϕ

A

(

x

)

≤

ϕ

B

(

x

)

,

∀

x

∈

X

.

Observação 1.5. É importanteressaltar, ontudo, que esta relaçãode inlusão nãoé

fuzzy.

Observação 1.6. O onjunto vazio (

∅

) tem função de pertinênia

ϕ

∅

(

x

) = 0

, para todo

x

∈

X

,enquantoqueoonjuntouniverso(

X

)temfunção depertinênia

ϕ

X

(

x

) =

1

,para todo

x

∈

X

. Portanto,

∅

⊂

A

e

A

⊂

X,

paratodosubonjuntofuzzy

A

em

X

. Desta maneira,a Denição1.5 estende a denição de subonjunto fuzzyem

X

. Exemplo 1.6. Sejam

A

= (0

,

5 0

,

2 0

,

4)

e

B

= (0

,

8 0

,

7 0

,

6)

, dois subonjuntos fuzzy em

X

=

{

x

1 , x

2 , x

3}

. Então, usando a denição de inlusão de Zadeh,

A

será subonjunto fuzzyde

B

, mas

B

não será subonjunto fuzzy de

A

. Ou seja, de aordo om esta relação,umonjuntofuzzy

A

é,ounão é,um subonjunto doonjuntofuzzy

B

. Portanto,arelaçãode inlusãode Zadehnão éfuzzy,poissua imageméoonjunto

{

0 ,

1 _}

.

F

(2

B

₎

é um onjunto lássio

Lembrando do pontode vistaonjuntos-omo-pontospode-se perguntar quala

re-presentação geométria dos subonjuntos fuzzy de

B

. Isto é, om o que o onjunto potênia fuzzy de

B

se paree? A inlusãoimplia que

F

(2

B

₎

, oonjunto de todos os

subonjuntosfuzzyde

B

,dene nohiperubounitário,umhiperretânguloqueinlui a origem eujos lados têm omprimentode aordoom os valores

ϕB

(

xi

)

. A Figura1.4 mostra o onjunto potêniafuzzy do onjunto fuzzy

B

=

1

4

2

3

.

Observação 1.7.

F

(2

B

₎

temardinalidadeinnitaquando

B

nãoévazio. Noentanto, quandosetratadehiperubosde dimensãonita,épossívelmedirotamanhode

F

(2

B

₎

omo o volume

V

(

B

) =

n

Y

i

=1

ϕB

(

xi

)

.

ComomostraFigura1.4,

F

(2

B

₎

éumonjuntolássio. Cadaponto

A

dohiperubo está ou não está no hiperretângulo

F

(2

B

₎

. No entanto, diferentes pontos

A

fora do hiperretângulo

F

(2

B

₎

podem ser onsideradosomosubonjuntosde

B

om diferentes graus de pertinênia, ou seja, podem ser onsiderados elementos de

F

(2

B

₎

(26)

00

11

0

1

0

1

1 000000000000000000000000000000000000000000000

111111111111111111111111111111111111111111111

0

1

1 000000000000

111111111111

01

00

11 0000

1111

000000

111111

4

1

3

2 {x

₂

} = (0 1)

{x

₁

} = (1 0)

X = (1 1)

{} = (0 0)

B

F(2

B

)

Figura1.4: Conjunto Potênia

F

(2

B

₎

omo Hiperretângulo noHiperuboFuzzy

erto grau de pertinênia. A denição bivalente de inlusão não leva este fato em

onta.

Aseguintegeneralizaçãoé naturaledene ossubonjuntos fuzzyde

B

: Conjuntos

A

distintos pertenerão a

F

(2

B

₎

om diferentes graus de pertinênia. Desta forma, a

função de pertinênia

ϕ

F

(2

B

)

(

A

)

pode assumir qualquer valor no intervalo

[0

,

1]

. Isso dene o hamadograu de inlusão,ujadenição formalédada a seguir.

Denição 1.6. O grau de pertinênia om que

A

é um subonjunto de

B

pode ser denido omo

S

(

A, B

) =

Grau

(

A

_⊂

B

) =

ϕ

_F

₍₂

_B

₎

(

A

) =

F

(2

B

)(

A

)

,

onde

S

(

A, B

)

, hamadode grau de inlusão, assume valores no intervalo

[0

,

1]

.

Hiperretângulos Puros e Mistos

Sejam

X

=

{

x

1 , x

2 , . . . , xn

}

um onjunto nito,

A

e

B

subonjuntos fuzzy em

X

. Considere

B

∗

tal que

B

∗

seja o subonjunto de

B

mais próximo de

A

no hiperubo fuzzy gerado por

F

(2

X

₎

. É fáil loalizar talonjuntono hiperubo geométrio. Se

A

éum subonjuntode

B

,istoé,estánohiperretângulo

F

(2

B

₎

,então

B

∗

₌

_A

. Supondo,

então, que

A

não seja um subonjunto de

B

, ele se enontra fora do hiperretângulo

F

(2

B

₎

.

Divide-se o hiperubo unitário

I

n

em

2 n

hiperretângulos por estender os lados de

F

(2

B

₎

(27)

00

11

0

1

1 000000000000000000000000000000000000000000000

111111111111111111111111111111111111111111111

01

00

11

0

1

1 000000000000000000000000000000000000000000000

111111111111111111111111111111111111111111111

000000

111111

0

1

1 {x

₂

} = (0 1)

{x

₁

} = (1 0)

X = (1 1)

{} = (0 0)

Figura1.5: Partição doQuadrado Fuzzy

(ortogonalmente). Um dos hiperretângulos é o próprio

F

(2

B

₎

. Para

B

xo e

A

qual-quer, oshiperretângulos interiores orresponderão aos

2 n

asos se

ϕA

(

xi

)

< ϕB

(

xi

)

ou

ϕA

(

xi

)

> ϕB

(

xi

)

. As interseções dos hiperplanos orrespondem ao lugar geométrio dos pontos onde

ϕA

(

xi

) =

ϕB

(

xi

)

.

Os

2 n

hiperretânguloslassiam-se,emrelaçãoainlusão,deaordoomonúmero

de violações da inlusão. Dado

A

no interior de um hiperretângulo lassia-se o hiperretângulo omo

•

puro se

ϕA

(

xi

)

< ϕB

(

xi

)

ou ϕA

(

xi

)

> ϕB

(

xi

)

,

_∀

xi

_∈

X

;

•

mistose

ϕA

(

xi

)

< ϕB

(

xi

)

para alguns xi

_∈

X

e

ϕA

(

xi

)

> ϕB

(

xi

)

para os demais.

Sendo assim, existem apenas duas inlusões de hiperretângulos puros, a saber, o

hiperretângulo que orresponde ao onjunto dos subonjuntos próprios de

F

(2

B

₎

, que

inlui o onjunto vazio, e o hiperretângulo que orresponde ao onjunto dos

super-onjuntos próprios de

F

(2

B

₎

, isto é, ao onjunto de todos os subonjuntos de

X

que ontém propriamente

F

(2

B

₎

e que,evidentemente, inlui

X

.

Exemplo 1.7. A Figura 1.6 ilustra omo o onjunto potênia fuzzy

F

(2

B

₎

de

B

=

1

4

2

3

estendido linearmente partiiona o quadrado unitário em

2

retângulos. Os

onjuntos

A

1

,

A

2

e

A

3

que não pertenem a

F

(2

B

₎

(28)

00

11

00

11 ₀₀

₁₁

00

11

00

11

00

11

0

1

0

1

1 000000000000000000000000000000000000000000000

111111111111111111111111111111111111111111111

0

1

1 000000000000

111111111111

01

00

11 0000

1111

000000

111111

0

1

1 00000000000000000

11111111111111111

00000000000

11111111111

0000000000000

1111111111111

4

1

3

2 {x

₂

} = (0 1)

{x

₁

} = (1 0)

X = (1 1)

{} = (0 0)

F(2

B

)

A

B = B*

A

1 B*

₁

2

3

3 B*

Figura 1.6: Exemplo noQuadrado Fuzzy partiionado

quadrantes noroeste e sudeste denem retângulos de inlusões mistas e osquadrantes

nordeste esudoeste denem retângulosde inlusões puras.

Devidoà onvexidade de

F

(2

B

₎

, no superonjunto hiperretângulopuro o onjunto

B

∗

mais próximo de

A

2

é o onjunto

B

. Para enontrar o onjunto mais próximo

B

∗

no aso misto basta desenhar um segmento perpendiular (ortogonal) de

A

a

F

(2

B

₎

.

NaFigura1.6asretasperpendiularespartindode

A

1

ede

A

3

intersetamoretângulo

F

(2

B

₎

nos segmentos gerados pelas oordenadas de

B

nohiperubo.

Partiionando em Três Dimensões

Essaondição de ortogonalidade valetambémparadimensõesmaiores. Veja,por

exemplo, quando

n

= 3

na Figura 1.7. Para failitar a visualização, imagine que a salaonde seenontrasejao ubounitário. Enostando um diionárionum dos quatro

antos do piso, ao qual se faz orresponder à origem, o ponto

B

equivalerá ao ponto do diionáriomais distante daorigem. Estendendo as três faes visíveisdo diionário

a salaa partiionadaem oitootantes. O diionáriooupa um otante. Coneta-se

pontos dos outros sete otantes aos pontosmais próximos dodiionário por desenhar

linhas que intersetem perpendiularmenteas três faes visíveisdele.

A visão geométria dos onjuntos fuzzy e suas impliações serão analisadas em

(29)

000000000000000000000000000000000000000000000

111111111111111111111111111111111111111111111

000000000000000000000000000000000000000000000

1111111111111111111111111111111111111111111110

0

1

0

1

0

1

1 1000000000000000000000000000000000000000000000

111111111111111111111111111111111111111111111

0

1

1 (0

,

0 ,

1)

(0

,

1 ,

1)

(0

,

1 ,

0)

(1

,

1 ,

0)

(1

,

0 ,

0)

(1

,

0 ,

1)

₍₁

_,

₁

_,

₁₎

(0

,

0 ,

0)

B

Figura1.7: Partiçãodo Cubo Fuzzy

1.6 Entropia e Informação

Outro oneito menionado nesse trabalho é o de entropia. Por isso, essa seção

apresentará umapequena introdução àteoria dainformação.

1.6.1 Teoria da Informação

Teoria da informação é um ramo da matemátia vinulado à teoria das

probabi-lidades e à estatístia que lida om sistemas de omuniação, transmissão de dados,

riptograa, odiação, teoria do ruído, orreção de erros, ompressão de dados, et.

ClaudeE. Shannon(1916-2001),onheido omoopaidateoria dainformação,foi o

primeiroa onsideraromuniação omoum problema matemátio rigorosamente

em-basado naestatístia e adar aos engenheirosdaomuniação ummodode determinar

a apaidade de um anal de omuniação em termos de bits, ou seja, de unidades de

informaçãobinária (binary digits, eminglês).

Informação é a remoção de uma inerteza. O termo passou a ser utilizado de

formamaisamplaapartir dadéadade 1950. Informaçãopode ter váriossigniados,

(30)

omuniação, ontrole, dados, forma, instrução, onheimento, signiado, estímulo,

padrão, perepção e representação de onheimento. A quantidade de informação

de umamensageméentendida, nateoriadainformação,omoomenornúmerodebits,

neessários para onter todos osvaloresou signiados desta mensagem.

1.6.2 Distribuição de Probabilidade

Observação 1.8. Em geral, utiliza-se a palavra vetor assoiada a uma tabela om

umaúniaolunaeváriaslinhas. Nesse trabalho,omoobjetivode failitaranotação,

vetores

n

×

1

serão representados omo vetores-linha, ouseja,

1 ×

n

.

Denição 1.7. Um vetor de probabilidadesou vetor estoástio é umvetor

om-posto de entradas positivas, uja soma é um. Ou seja,

p

= (

p

1 p

2 . . . pn

)

,

onde

n

X

i

=1

pi

= 1

.

Cada vetor de probabilidade representa uma determinada distribuição de

pro-babilidaderegistrada em um fenmeno que se deseja estudar.

Exemplo 1.8. São exemplos de vetores de probabilidades

p

1 = (0

,

20 0

,

50 0

,

30)

e

p

2 = (0

,

40 0

,

10 0

,

30 0

,

20)

.

As posições (índies) em um vetor de probabilidades representam os possíveis

va-lores de uma variávelqualquer, disreta e é uma maneira padrão de araterizar uma

distribuição de probabilidadesdisreta.

Exemplo 1.9. Oexemplolássionateoriadasprobabilidadesbaseada emfrequênia

relativaéumamoeda jogadapara ima. Temos

50%

de hane de sairara e

50%

de

hane de sairoroa. Essa distribuição de probabilidade pode ser representada pelo

vetor

(0

,

5 0

,

5)

.

Denição 1.8. Uma distribuição de probabilidade é dita uniforme quando todos os

valores de seu vetor de probabilidadessão iguais.

1.6.3 Entropia

A visão da informação omo remoção de uma inerteza surgiu om a publiação,

em 1948, do artigo de Claude Shannon, A Mathematial Theory of Communiation

(31)

foi o primeiro a denir de forma preisa os oneitos de entropia e de informação.

Ele partiu do pressuposto de que uma mensagem transmitida e enviada ao reeptor

pode ser reebida om ruídos, isto é, quando uma informaçãopassa por um anal de

omuniação pode sofrer perturbações (ruídos).

Se odispositivo emissoré igualmenteapazde enviar qualquer um dentre um

on-junto de

N

mensagens, então a medida preferida da informação produzida quando uma mensageméesolhida doonjunto éologaritmodabase doisde

N

(esta medida é hamada entropia). Emseu artigo,Shannon arma:

A esolhade uma base logarítmiaorresponde aesolha de uma

unidade para medir ainformação. Se abase

2

é usada, asunidades

resultantes podem ser hamadas dígitosbinários,ou mais resumidamente,

bits, uma palavrasugerida porJ. W. Tukey. Um dispositivoom duas

posições estáveis, taisomo um relé ou um iruitoip-op,pode

armazenar um bitde informação.

N

de taisdispositivospodemarmazenar

N

bits...

A informação média de uma mensagem é medida pelo que se hama de entropia

da mensagem, a qual também mede a inerteza que essa mensagem remove. No

proesso de desenvolvimento de uma teoria da omuniação que pudesse ser apliada

porengenheiroseletriistasparaprojetarsistemasdeteleomuniação,Shannondeniu

a entropiade uma fonte de informaçãooudistribuiçãode probabilidadede

X

, para

X

nito, omo

H

(

X

) =

₋

X

x∈X

p

(

x

) log

2 p

(

x

)

,

que determina a inerteza média que pode ser removida pelo onheimento de

X

e é usada para denir oque se entendeporapaidade doanal.

A entropiade Shannon passou aser onsideradaomo uma medidada informação

ontida numa mensagem. A entropia aumentaquando a erteza diminui e vie-versa.

Ou seja, se tudo é onheido a respeito de uma determinada mensagem a entropia

dela é zero. Por outro lado, se pouo se sabe sobre ela sua entropia é máxima. A

distribuição uniforme maximiza, de modo únio, a entropia, ou seja, se

n

X

i

=1

p

(

xi

) = 1

para

X

=

{

x

1 , x

2 , . . . , xn

}

e

p

(

xi

) =

1 n

então

H

(

X

)

é máxima. Na segunda parte dessa dissertação será analisada uma distribuição de probabilidade no hipeubo

I

n

relaionadaàmaximizaçãodaentropia fuzzy,e quemostraaassoiação entreentropia

(32)

1.7 Simplexos

Outro oneito a ser menionado nesse trabalho é o de simplexo, assoiado a uma

partiular distribuição de probabilidade. Em geometria, hama-se simplexo a uma

generalizaçãodanoçãodetriânguloparaumadimensãoarbitrária. Apresenta-seabaixo

a denição formal.

Denição 1.9. Um

n

-simplexo, indiado por

S

n

, é um poliedro

n

-dimensional om

n

+ 1

vérties.

Exemplo 1.10. Ossimplexos mais onheidos são:

•

Triângulo: um 2-simplexo.

•

Tetraedro: um 3-simplexo.

•

Ponto: um 0-simplexo.

•

Segmento de reta: um 1-simplexo.

Observação 1.9. De modo geral, hama-se de simplexo ao menor onjunto onvexo

ontendo todos os vértiesdados.

Observação 1.10. Note, ainda que nas dimensões menores os simplexos são

degene-rados, uma vez que um ponto e um segmento não somente podem ser omparados a