DEPARTAMENTO DE FÍSICA TEÓRICA E EXPERIMENTAL PROGRAMA DE PÓS
-GRADUAÇÃO EM FÍSICA
E
XCITAÇÕES EM
C
RISTAIS
F
OTÔNICOS
U
NIDIMENSIONAIS
C
ARLOS
A
LEXANDRE
A
MARAL
A
RAÚJO
E
XCITAÇÕES EM
C
RISTAIS
F
OTÔNICOS
U
NIDIMENSIONAIS
Tese de Doutoradoapresentada ao Programa de Pós-Graduação
em Física do Departamento de Física Teórica e Experimental da Universidade Federal do Rio Grande do Norte como requisito par-cial para a obtenção do grau dedoutorem Física.
Orientador: Prof. Dr. Manoel Silva Vasconcelos
Co-orientador: Prof. Dr. Eudenilson Lins de Albuquerque
À minha família. Especialmente ao meu pai,Luiz Carlos, e minha mãe,Antonia.
À Deus.
Aos meus pais,Luiz Carlos Tavares Costa AraújoeAntonia Amaral Araújo, pela criação, amor e carinho que sempre me deram, fazendo com que eu me transforma-se num homem digno e honesto.
À Vera Lúcia Barbosa pela amizade e carinho que tem comigo e com os meus pais.
À minha namorada, Aline Rodrigues Mendes Vieira, que me deu muito apoio, amor e carinho, além de ter tido muita paciência nos meus momentos de estresse.
Ao meu orientador, professor Dr. Manoel Silva Vasconcelos, pela orientação, discussões e, principalmente, por tudo que sempre fez por mim desde a graduação até hoje.
Ao professor Dr. Eudenilson Lins de Albuquerque, meu orientador no mestrado e co-orientador neste trabalho, pela contribuição intelectual, que adquiri nas orientações e disciplinas ministradas, pela coraboração nos trabalhos da tese e pelos conselhos.
À todos os professores do IFMA, campus São Luís - Monte Castelo, que con-tribuíram durante a minha graduação.
Aos todos os amigos que fiz no Departamento de Física Teórica e Experimental -DFTE.
À todos os professores do DFTE, especialmente aqueles que contribuíram para a minha formação durante a pós-graduação.
À todos os funcionários deste departamento, especialmente à Celina Pinheiro
pelo zelo e eficiência nos serviços prestados.
À CAPES, CNPq e FAPEMA pelo apoio financeiro.
dentro. Conhecimento vem, mas a sabedoria tarda.”
(Albert Einstein)
Neste trabalho, apresentamos um estudo teórico da propagação das ondas eletro-magnéticas em estruturas de multicamadas denominadas de Cristais Fotônicos. Para este fim, investigamos os band gaps dos polaritons de fonons em multicamadas periódicas e quasi-periódica (tipo Fibonacci), compostas por dois materiais com índices de refração positivo e negativo na região de terahertz (THZ). O comportamento dosband gaps pola-ritônicos como uma função do período da multicamada é investigado sistematicamente. Utilizamos um modelo teórico baseado no formalismo da matriz de transferência com o objetivo de simplificar a álgebra envolvida na obtenção da relação de dispersão dos po-laritons de fonons (modos de volume e superfície). Também, apresentamos uma análise quantitativa dos resultados, apontando para a distribuição das larguras das bandas pola-ritônicas permitidas para altas gerações de Fibonacci, que nos dá uma boa compreensão sobre sua localização e leis de potência. Calculamos o espectro de emitância da radi-ação eletromagnética, na frequência de THz, incidente normalmente e obliquamente (mo-dos polariza(mo-dos s e p) sobre uma estrutura unidimensional de multicamadas composta
por materiais com índices de refração positivo e negativo organizados periodicamente e quasi-periodicamente. Modelamos o material com índice de refração negativo por um meio efetivo cuja permissividade é caracterizada por uma função dielétrica dependente da frequência do polariton de fonon, enquanto para a permeabilidade magnética temos uma função tipo Drude dependente da frequência. Semelhante ao cristal fotônico unidimen-sional, este meio efetivo em camadas, chamado cristal polaritônico, nos permite o controle da propagação electromagnética, gerando regiões denominadas debang gaps polaritôni-cos. Os espectros de emitância são determinados por meio de um modelo teórico bem conhecido baseado na segunda lei de Kirchoff, juntamente com o formalismo da matriz de transferência. Nossos resultados mostram que aparecem bang gaps ominidirecionais no regime de THz, num intervalo bem definido, que são independentes da polarização no caso periódico bem como no caso quasi-periódico.
In this work, we present a theoretical study of the propagation of electromagnetic waves in multilayer structures called Photonic Crystals. For this purpose, we investigate the phonon-polariton band gaps in periodic and quasi-periodic (Fibonacci-type) multi-layers made up of both positive and negative refractive index materials in the terahertz (THz) region. The behavior of the polaritonic band gaps as a function of the multilayer period is investigated systematically. We use a theoretical model based on the formalism of transfer matrix in order to simplify the algebra involved in obtaining the dispersion re-lation of phonon-polaritons (bulk and surface modes). We also present a quantitative ana-lysis of the results, pointing out the distribution of the allowed polaritonic bandwidths for high Fibonacci generations, which gives good insight about their localization and power laws. We calculate the emittance spectrum of the electromagnetic radiation, in THZ fre-quency, normally and obliquely incident (sandppolarized modes) on a one-dimensional
multilayer structure composed of positive and negative refractive index materials orga-nized periodically and quasi-periodically. We model the negative refractive index material by a effective medium whose electric permittivity is characterized by a phonon-polariton frequency dependent dielectric function, while for the magnetic permeability we have a Drude like frequency-dependent function. Similarity to the one-dimensional photonic crystal, this layered effective medium, called polaritonic Crystals, allow us the control of the electromagnetic propagation, generating regions named polaritonic bandgap. The emittance spectra are determined by means of a well known theoretical model based on Kirchoff’s second law, together with a transfer matrix formalism. Our results shows that the omnidirectional band gaps will appear in the THz regime, in a well defined interval, that are independent of polarization in periodic case as well as in quasiperiodic case.
2.1 Cristal. . . 8
2.2 (a) Representação esquemática do experimento da difração de raios X. (b) Figura de difração. . . 9
2.3 Ilustração da lei de Bragg.. . . 10
2.4 Cristais Fotônicos Naturais. (a) Borboleta, (b) besouro e (c) peixe. . . 11
2.5 Cristal fotônico (a) unidimensional, (b) bidimensional e (c) tridimensional. . . 11
2.6 Fibra óptica com uma rede de Bragg. . . 12
2.7 Estrutura de bandas de um cristal fotônico tridimensional com rede cúbica de face centrada.. . . 14
2.8 Estrutura de bandas de um cristal fotônico tridimensional com rede diamante. . . . 15
2.9 Estrutura de bandas de um cristal fotônico com rede cúbica de face centrada inver-tida. . . 15
2.10 Cristal fotônico tridimensional com rede cúbica de face centrada invertida. . . 16
2.11 Estrutura de bandas do cristal fotônico unidimensional. . . 18
2.12 Microscópio baseado no efeito de super lente e um exemplo de imagem de alta resolução. . . 25
3.1 Representação da radiação na óptica geométrica (a) e na óptica ondulatória (b).. . . 30
4.1 Propagação esquemática da onda em materiais com índice de refração positivo e negativo. . . 43 4.2 Representação do tripletoEÑ,HÑ eSÑem materiais com índice de refração positivo e
negativo. . . 44 4.3 Espectro de frequência dogappolaritônico para super-rede periódica. . . 53
4.4 Ampliação da Figura 4.1 para a região 17.34 THz❇ω❇26.01THz e0.0❇kxdA❇0.25. 54
4.5 Espectro de frequência dogappolaritônico considerando um cristal fotônico quasi-periódico da quarta geração da sequência de Fibonacci. . . 55 4.6 Espectro do gap polaritônico contra o vetor de onda adimensional de BlochQL
para a razão das espessurasdB⑦dA 3.90, considerando a quinta geração da
super-rede polaritônica quasi-periódica de Fibonacci. . . 57 4.7 Estrutura de banda polaritônica plotada como uma função do vetor de onda no
plano reduzidoKx kxL⑦2π . . . 58 4.8 Distribuição das larguras de bandas dos polaritons de fônons, para kxdA 0.5,
como uma função do número da geraçãon. . . 59
4.9 representação log-log da largura total das regiões permitidas∆versus o número
de FibonacciFn, para três valores diferentes do vetor de onda no plano
adimen-sionalkxdA. . . 60
5.1 Representação esquemática geométrica da estrutura de multicamadas. As camadas
AeB têm espessurasdAedB, respectivamente, enquantoLé o tamanho de toda
a estrutura crescida sobre o substrato absorvente de espessuradS. O meioC
rep-resenta o vácuo. (a) Estrutura periódica. (b) Estrutura quasi-periódica de Fibonacci. 64 5.2 Propagação esquemática da onda em materiais com índice de refração positivo e
negativo. . . 68 5.3 Modo TE (ondas eletromagnéticas com polarização s) do espectro de emitância
como uma função da frequênciaω (em THz) e do ângulo de incidênciaθ numa
estrutura periódica. . . 69
tura quasi-periódica de Fibonacci (nona geração). . . 70 5.5 Ampliação da Figura 5.4 na região de frequência0❅ω❅90THz. . . 71
5.6 Modo TM (ondas eletromagnéticas com polarizaçãop) do espectro de emitância
como uma função da frequênciaω (em THz) e do ângulo de incidênciaθ numa
estrutura periódica. . . 72 5.7 Modo TM (ondas eletromagnéticas com polarizaçãop) do espectro de emitância
como uma função da frequênciaω (em THz) e do ângulo de incidênciaθna
estru-tura quasi-periódica de Fibonacci (nona geração). . . 73 5.8 Ampliação da Figura 5.7 na região de frequência0❅ω❅90THz. . . 74
1 Introdução 1
2 Cristais Fotônicos 7
2.1 Cristal . . . 7
2.2 Cristal Fotônico . . . 10
2.3 Evolução Histórica no Estudo dos Cristais Fotônicos . . . 13
2.4 Propriedades dos Cristais Fotônicos . . . 16
2.5 Algumas Aplicações dos Cristais Fotônicos . . . 19
2.5.1 Fibras de Cristais Fotônicos . . . 19
2.5.2 Circuitos Fotônicos Integrados . . . 20
2.5.3 Modificação da Emissão Espontânea . . . 21
2.5.4 Isoladores Ópticos . . . 21
2.5.5 Elementos Não-Lineares . . . 22
2.5.6 Dispersão . . . 23
2.5.7 Efeito de Luz Lenta . . . 25
3 Fundamentos de Óptica Ondulatória 27 3.1 Meio Óptico . . . 28
3.4 Ondas em Meios Dielétricos . . . 36
3.4.1 Índice de Refração do Meio Dielétrico . . . 37
3.4.2 Meio Dielétrico com Perdas . . . 38
3.5 Velocidade de Grupo . . . 40
4 Polaritons de Fônons em Cristais Fotônicos na Faixa de Frequência de Terahertz 42 4.1 Introdução . . . 43
4.2 Teoria Geral . . . 47
4.3 Resultados Numéricos . . . 52
5 Band Gaps Omnidirecionais na Faixa de Terahertz em Cristais Polaritônicos Quasi-periódicos 61 5.1 Introdução . . . 61
5.2 Teoria Geral . . . 65
5.3 Resultados Numéricos . . . 67
6 Considerações Finais e Perspectivas 75
Referências bibliográficas 79
Apêndice 98
INTRODUÇÃO
“A imaginação da natureza é muito, muito maior do que a imaginação do homem."
Richard P. Feynman
As principais conquistas da ciência na obtenção de novas tecnologias resultaram de uma compreensão detalhada das propriedades que os recursos naturais disponíveis no planeta possuem. A evolução do homem durante a Pré-História, desde a idade da pedra lascada (período Paleolítico), passando pela idade da pedra polida (período Neolítico) e pela idade do bronze, até chegar a idade do ferro, é em grande parte uma história de cres-cente reconhecimento das técnicas e utensílios desenvolvidos pelo homem em cada uma dessas épocas, associados, também, à novas formas de produção. Nossos antepassados construíam suas ferramentas a partir dos conhecimentos que tinham acerca dos materi-ais encontrados na natureza, como, por exemplo, a durabilidade que a pedra possuia e a dureza que o ferro apresentava. Em cada caso, eles aprenderam a extrair os materiais da Terra para transformá-los em objetos capazes de melhorar as suas condições de vida.
Muito tempo depois, os cientistas começaram a fazer mais do que simplesmente melhorar o que a Terra nos fornece na forma bruta. Ao mexer com os materiais existentes, eles produziam substâncias com propriedades ainda mais desejáveis, evoluindo do brilho das primeiras ligas de bronze para a confiabilidade do aço e do concreto moderno. Hoje,
contamos com uma coleção de materiais totalmente artificiais com uma gama enorme de propriedades mecânicas, graças aos avanços em pesquisas científicas que refletiram melhoras substanciais em vários ramos da indústria, onde podemos destacar a metalurgia e a cerâmica [1].
Desde o século XX, o nosso controle sobre os materiais aumentou tanto que já podemos manipular suas propriedades elétricas. Os avanços na física de semicondutores nos permitiram adequar as propriedades de condução de certos materiais, dando início a revolução do transistor na eletrônica. A partir da utilização de novas ligas e cerâmicas, cientistas têm desenvolvido, por exemplo, materiais supercondutores a altas temperaturas e outros materiais exóticos que poderão servir como base para futuras tecnologias.
Nas últimas décadas, surgiu um novo desafio para a ciência: controlar as pro-priedades ópticas dos materiais. Vários dispositivos tecnológicos, vistos apenas em filmes de ficção, se tornariam realidade se conseguíssemos desenvolver materiais que respon-dessem às ondas de luz da seguinte maneira: refletindo-a perfeitamente, em alguns inter-valos de frequências, ou confinando-a dentro de um determinado volume. Atualmente, os cabos de fibra óptica, que simplesmente guiam a luz, estão revolucionando a indústria de telecomunicações. Além disso, com o desenvolvimento de novos materiais ópticos, teríamos muitos avanços na fabricação de lasers, na computação de alta velocidade e no campo da espectroscopia, só para citar alguns exemplos de áreas que seriam diretamente beneficiadas.
A discussão feita até aqui suscita o seguinte questionamento: que tipo de material pode nos proporcionar o controle completo sobre a propagação da luz? A resposta dessa pergunta é o objeto de estudo desta tese. Faremos uma abordagem teórica de um disposi-tivo óptico capaz de controlar a propagação da radiação eletromagnética. Esse disposito é conhecido na literatura como Cristal Fotônico. Ele tem o comportamento análogo ao controle que o cristal eletrônico impõem ao movimento dos elétrons. O cristal fotônico é uma estrutura que apresenta uma periodicidade bem definida no índice de refração, podendo ser unidimensional, bidimensional e tridimensional. De modo análogo ao que ocorre num semicondutor é formada uma estrutura de bandas devido à periodicidade do índice de refração.
Ele consiste em dois ou mais materiais dielétricos dispostos num padrão quasi-periódico com simetria não cristalográfica [2]. Recentemente, tem sido demonstrado que estruturas qiasi-cristalinas são promissoras na construção de materiais que possuemband gaps fotôni-cos [3–6].
Um quasi-cristal é um material que exibe ordem de longo alcance num exper-imento de difração, mas não tem periodicidade translacional. Os quasi-cristais foram descobertos por Dan Shechtman em 1984 [7], que ganhou o Prêmio Nobel em Química de 2011 por esse trabalho. O pressuposto de que um cristal deve ser periódico nas três dimensões já tinha sido contestada pela descoberta de estruturas moduladas incomensu-ráveis. Elas são estruturas cristalinas sujeitas a distorções periódicas com um período que é incompatível com o da rede subjacente. Ao contrário de quasi-cristais, estas estruturas podem, no entanto, ser consideradas como distorções de estruturas periódicas, e o seu grupo de pontos de simetria permitir periodicidade nas três dimensões. Em vez de pe-riodicidade translacional, quasi-cristais exibem outra propriedade de simetria intrigante, isto é, similaridade por escala. Em quasi-cristais icosaédricos e decagonais, a auto-similaridade está relacionada com as propriedades de escala da razão áureaτ ❼➸5✔1➁⑦2. Nosso modelo de quasi-cristal fotônico é obtido a partir da justaposição de dois meios ópticos, com índices de refração diferentes, seguindo a sequência quasi-periódica de Fibonacci que é gerada a partir de regras substitucionais. Ela tem sido estudada em várias áreas, incluindo-se a Matemática, Ciência da Computação, Criptografia e, mais re-centemente, na Física. A sequência de Fibonacci é talvez a mais antiga de todos que con-hecemos. Ela foi formulada em 1202 pelo italiano Leonardo de Pisa (que era conhecido como Fibonacci, que em latin significa “filho de Bonacci ”) [8], para descrever o cresci-mento de uma população de coelhos. Está sequência dá origem a uma série infinita de números que obedecem uma certa relação de recorrência, e cuja razão, entre um número da série e seu antecessor, conduz à mesma razão áurea verificada nos quasi-cristais.
A estrutura de Fibonacci, que utilizamos nas simulações numéricas, pode ser crescida experimentalmente pela superposição de dois blocos de construção A e B, de
modo que on-ésimo estágio da super-redeSn é dado iterativamente pela regra de recor-rênciaSn Sn✏1Sn✏2, sendon❈2, comS0 B eS1 A. A estrutura de Fibonacci também
é invariante sob as transformaçõesA AB eB A. As gerações da super-rede de
S0 B✆, S1 A✆, S2 AB✆, S3 ABA✆, etc. (1.1)
O número de blocos de construção desta estrutura aumenta de acordo com o número de Fibonacci, cuja relação de recorrência é:
Fl Fl✏1✔Fl✏2, (1.2)
com F0 F1 1. A razão entre o número de blocos de construção A, e o número de
blocos de construçãoB, tende para o chamadogolden mean number(razão áurea), quando o número de gerações tende para o infinito. Isto pode ser provado facilmente da seguinte maneira: seja
τl
Fl✏1
Fl✏2
, (1.3)
a razão entre o número de blocos A e B, na l-ésima geração da sequência de blocos.
Fazendol l✏1na Eq. (1.2), e substituindo na Eq. (1.3), teremos:
τl 1✔
Fl✏3
Fl✏2
, (1.4)
comoτl✏1 Fl✏2⑦Fl✏3, temos que
τl 1✔ 1
τl✏1
, (1.5)
Tomando o limite del ➟na Eq. (1.5) (que equivale a fazerτl τl✏1 τ), encontraremos
a seguinte equação,
τ 1✔τ✏1
(1.6)
que tem como uma das soluções τ 1 2❼1✔
➸
nosso modelo de quasi-cristal fotônico. Daqui pra frente, vamos utilizar o termocristal fotônicotanto para as estruturas periódicas quanto para as estruturas quasi-periódicas de Fibonacci.
Esta tese está estruturada em seis capítulos. Este primeiro buscou apresentar, brevemente, a evolução histórica das ações humanas no que diz respeito à manipulação dos recursos naturais, desde a pré-história até os dias atuais, com o objetivo de atender suas necessidades em cada período histórico. Também, fizemos uma breve descrição so-bre os cristais fotônicos, os quasi-cristais e a sequência quasi-periódica de Fibonacci. No segundo capítulo, apresentamos um estudo comparativo entre o cristal eletrônico, que possui uma teoria bem consolidada, e o cristal fotônico. Em seguida, apresentaremos a evolução histórica no estudo dos cristais fotônicos, suas propriedades e algumas apli-cações tecnológicas.
Também, apresentaremos, no terceiro capítulo, os fundamentos da Óptica Ondu-latória que norteia a propagação da luz no vácuo e em meios materiais. Aqui, definiremos o que é um meio óptico, apresentaremos as equações de Maxwell, que descrevem o com-portamento dos campos eletromagnéticos na propagação da luz.
No quarto capítulo, investigaremos os band gaps dos polaritons de fonons em multicamadas periódicas e quasi-periódicas (tipo Fibonacci) compostas por materiais com índice de refração positivo (SiO2) e índice de refração negativo (metamaterial) na região
de terahertz (THz). O comportamento dosband gapspolaritônicos como uma função do período da multicamada será investigado sistematicamente. Utilizaremos um modelo teórico baseado no formalismo da matriz-transferência com o objetivo de simplificar a ál-gebra envolvida na determinação da relação de dispersão dos polaritons de fonons (mo-dos de volume e superfície). Também, apresentaremos uma análise quantitativa (mo-dos re-sultados, apontando para a distribuição das larguras de bandas polaritônicas de energia permitida para altas gerações de Fibonacci, que nos dará uma boa noção sobre sua local-ização e leis de potência.
No quinto capítulo, iremos calcular o espectro de emitância da radiação eletro-magnética, na frequência de THz, que incidirá normalmente e obliquamente (com polar-izaçõess ep) sobre uma estrutura unidimensional de multicamadas, composta por
ma-teriais com índice de refração positivo (SiO2) e índice de refração negativo (metamaterial
polaritônico LiTaO3), organizada periodicamente e quasi-periodicamente tipo Fibonacci.
permissividade elétrica ǫ❼ω➁ é caracterizada por uma função dielétrica dependente das
frequências dos polaritons de fonons, enquanto para a permeabilidade magnética µ❼ω➁
CRISTAIS FOTÔNICOS
“Os primeiros cristais fotônicos não foram projetados nem fabricados num laboratório, eles evoluíram durante milhões de anos na natureza."
Stefan F. Preble
Nas últimas décadas, a Física procura encontrar uma resposta para a seguinte questão: que tipo de material pode proporcionar o controle completo sobre a propagação da luz? Para solucionar esse problema vários pesquisadores têm feito analogias com os estudos, bem sucedidos, sobre os materiais eletrônicos. Esses estudos descrevem o com-portamento dos elétrons dentro dos sólidos cristalinos. Porém, antes de entender essa dinâmica deve-se compreender o que é um cristal.
2.1 Cristal
Cristal é um material cujos componentes que o compõem (átomos, íons ou molécu-las) são arranjados em um padrão que repete-se periodicamente (Figura 2.1), estendendo-se em uma, duas ou três dimensões. O padrão da repetição dos constituintes do cristal
no espaço é denominado de rede cristalina. A primeira indicação da periodicidade dos cristais foi descoberta pelos mineralogistas no final do século XIX. Eles identificaram que os índices que definem as orientações das faces de um cristal são números inteiros [9]. Esta conclusão foi confirmada, posteriormente, pela descoberta da difração de raios X pelos cristais.
Figura 2.1: Cristal.
No início do século XX, os estudos e pesquisas da Física do Estado Sólido (pos-teriormente denominada de Física da Matéria Condensada) foram impulsionados pela formulação de uma teoria, que explicava a difração de raios X por uma arranjo periódico (Figura 2.2), pelo físico alemão Max von Laue (1879 – 1960). As primeiras experiências dessa teoria foram realizadas por dois alunos de Laue, Walter Friedrich (1883-1968) e Paul Knipping (1883-1935).
Logo depois, o britânico Willian Henry Bragg (1862-1942) e seu filho William Lawrence Bragg (1890-1971), nascido na Austrália, demonstraram uma relação matemática que estabelece a condição para que ocorra interferência construtiva entre as ondas espa-lhadas pelos pontos da rede cristalina. Essa relação passou a ser conhecida como lei de Bragg, fundamental para o estudo de estruturas cristalinas com o uso da difração de raios X.
Os raios X são apropriados para o estudo da difração em cristais, porque pos-suem um comprimento de onda da mesma ordem que a distância entre os átomos de um cristal. Também, pode-se estudar difração na rede cristalina de um material com feixes de nêutrons e elétrons, porém os seus resultados são mais complicados de interpretar em comparação com a difração de raios X, além de serem mais difíceis de executar.
(a) (b)
Figura 2.2: (a) Representação esquemática do experimento da difração de raios X. (b) Figura de difração.
(Figura 2.3), a diferença de percurso entre os raios refletidos por planos vizinhos é2dsinθ,
onde θ é o ângulo de incidência. Os raios refletidos pelos diferentes planos interferem
construtivamente quando a diferença de percurso é igual a um número inteironde
com-primentos de ondaλ, ou seja, quando
2dsinθ nλ. (2.1)
A lei de Bragg é satisfeita apenas para comprimentos de ondaλ❇2d. Embora a reflexão
de cada plano seja especular, apenas para alguns valores de θ as reflexões de todos os
planos paralelos se somam em fase para formar um feixe difratado intenso. Essa lei é consequência da periodicidade da rede cristalina.
O cristal apresenta um potencial periódico que impõem restrições a propagação do elétron através dele. Assim, os constituintes do cristal e a geometria da rede determi-nam as propriedades de condução do cristal.
Figura 2.3: Ilustração da lei de Bragg.
potencial periódico da rede sem sofrer dispersão (embora eles sejam espalhados por de-feitos e impurezas).
No entanto, a rede também pode proibir a propagação de certas ondas. Pode haver gaps na estrutura de bandas de energia do cristal, o que significa que os elétrons estão proibidos de se propagar com certas energias em determinadas direções. Se o po-tencial da rede é suficientemente forte, ogappode estender-se cobrindo todas as direções possíveis de propagação, resultando em umgapcompleto na banda. Semicondutores são exemplos de materiais que apresentam um gap completo entre a banda de valência e a banda de condução. O análogo óptico é o cristal fotônico, no qual os átomos ou moléculas são substituídos por meios macroscópicos com diferentes constantes dielétricasǫ.
2.2 Cristal Fotônico
Cristal fotônico é uma estrutura formada por materiais organizados periodica-mente com diferentes constantes dielétricas, conduzindo a diferentes índices de refração
η ➸ǫµ, ondeµé a permissividade magnética do meio. Os primeiros cristais fotônicos não
a microscopia eletrônica [11]. Suas imagens revelam que as asas dessa borboleta con-têm uma intricada estrutura nanométrica de cristais fotônicos naturais. Uma variedade surpreendente de estruturas fotônicas naturais estão sendo descobertas não apenas nas borboletas, mas também em outros insetos, pássaros e peixes (Figura 2.4).
(a) (b) (c)
Figura 2.4: Cristais Fotônicos Naturais. (a) Borboleta, (b) besouro e (c) peixe.
Cristais Fotônicos representam uma nova classe de meios ópticos, representados por estruturas naturais e artificiais com modulação periódica do índice de refração. Esses meios ópticos têm algumas propriedades peculiares que proporcionam inúmeras apli-cações tecnológicas. Dependendo da geometria da estrutura, os cristais fotônicos podem ser divididos em três grandes categorias: unidimensionais, bidimensionais e tridimensio-nais (Figura 2.5).
Figura 2.5: Cristal fotônico (a) unidimensional, (b) bidimensional e (c) tridimensional.
refletida corresponde as ondas que têm comprimento de onda correspondente ao com-primento de onda da rede de Bragg. Além disso, essas estruturas podem ser utilizadas para diminuir drasticamente a reflectância de superfícies, visando melhorar a qualidade de lentes [13], prismas [14] e outros dispositivos ópticos.
Figura 2.6: Fibra óptica com uma rede de Bragg.
Cristais fotônicos bidimensionais podem ter, comparativamente com os unidi-mensionais, grande variedade de configurações, porque possuem periodicidade da per-missividade ao longo de duas direções, enquanto a terceira direção do meio é uniforme. Um bom exemplo de cristal fotônico bidimensional é o silício poroso, com poros peri-odicamente organizados, que é representado por um substrato de silício perfurado. Outro exemplo é um sistema de hastes dielétricas organizados periodicamente no ar. Também, podemos encontrar exemplos de cristais fotônicos bidimensionais na natureza. O padrão na asa da borboleta e seu jogo de arco-íris são causados pela reflexão da luz da microestru-tura bidimensional sobre a asa.
2.3 Evolução Histórica no Estudo dos Cristais Fotônicos
Apesar dos cristais fotônicos terem chamado atenção apenas nas últimas décadas do século XX, o primeiro estudo relacionado a possibilidade de controlar a propagação da luz, utilizando uma estrutura periódica, foi publicado em 1887 [15]. Nesse trabalho, Lord Rayleigh (1842 – 1919) investigou a propagação de ondas eletromagnéticas num mineral cristalino que possui planos periódicos. Esses planos organizam-se numa estrutura unidi-mensional, que proíbem a propagação das ondas, causando um estreitogapna estrutura de bandas (band gaps). Esse gap depende do ângulo devido à diferentes periodicidades experimentadas pela luz em uma incidência não-normal. Isso resulta numa variedade de cores refletida pelo material, uma para cada ângulo de incidência. Um efeito similar é responsável pelas cores iridescentes que aparecem na natureza.
Quase cem anos depois, em 1972, Bykov [16] publicou um artigo descrevendo a possibilidade de utilizar estruturas periódicas para o controle da emissão espontânea. No entanto, os primeiros trabalhos que contribuíram efetivamente para o progresso das pesquisas em cristais fotônicos foram os de Yablonovitch [17] e John [18] em 1987. Esses trabalhos dedicaram-se as possibilidades de modificação da emissão espontânea e con-trole da propagação da radiação usando estruturas periódicas bidimensionais e tridimen-sionais. Esta generalização que inspirou o nome Cristal Fotônico. Eles foram os pioneiros na utilização de ferramentas do Eletromagnetismo Clássico e da Física do Estado Sólido no estudo dessas estruturas. Após a publicação desses artigos, o número de trabalhos dedicados a física e tecnologia dos cristais fotônicos aumentou consideravelmente.
Em 1990, Ho, Chan e Soukoulis [19] obtiveram a estrutura de bandas de um cristal fotônico com rede cúbica de face centrada (estrutura opala), que consistia de es-feras dielétricas com alto índice de refração colocadas no ar. Exemplo da estrutura de bandas desse cristal fotônico, calculada pelo método de expansão de ondas planas (Plane Wave Expansion-PWE), é mostrada na Figura 2.7.
Como pode ser visto a partir da Figura 2.7, a primeira banda encontra-se dentro da faixa de frequência relativa de0✏0.8 (em unidades de 2πc/a, ondea é o parâmetro
de rede do cristal ec é a velocidade da luz). A segunda coincide com a primeira banda
nas seções do vetor de ondaΓ✏LeΓ✏X, nos intervalos de frequência0✏0.7e0✏0.79,
menos um auto-estado contribuindo para a inexistência degapsfotônicos completos. Por exemplo, no pontoΓa auto-frequência é igual a zero. Na faixa do vetor de ondaΓ✏La
auto-frequência cresce suavemente de0✏0.8.
A existência de auto-estados em cada ponto dessa faixa de frequência confirma a ausência degapfotônico completo. Além disso, parece que os cristais fotônicos com esse tipo de rede não apresentamgapcompleto para quaisquer valores dos índices de refração. Entretanto, considerando a estrutura de bandas, pode-se concluir que estes cristais fotôni-cos têm gapsparciais em algumas direções de propagação (por exemplo, no ponto L no
intervalo de0.7✏0.77não há auto-frequências). Isso significa que a luz com frequência nessa faixa e propagando-se nessa direção será refletida. Essa propriedade é responsável pelo efeito óptico típico de todas as opalas naturais e artificiais.
Figura 2.7: Estrutura de bandas de um cristal fotônico tridimensional com rede cúbica de face centrada.
No mesmo trabalho, foi apresentado o resultado do cálculo da estrutura de banda para o cristal fotônico com rede diamante, feito de esferas dielétrica dispostas no ar. Como resultado, foi encontrada um gap fotônico completo na estrutura de bandas entre a se-gunda e terceira banda (veja Figura 2.8).
Figura 2.8: Estrutura de bandas de um cristal fotônico tridimensional com rede diamante.
Figura 2.9:Estrutura de bandas de um cristal fotônico com rede cúbica de face centrada invertida.
O surgimento de gapsfotônicos completos em cristais fotônicos com rede cúbica de face centrada invertida atraiu um interesse especial, porque essas estruturas possibili-tariam a produção de cristais fotônicos em larga escala.
Em 1998, a opala invertida artificial foi obtida experimentalmente [21]. O diâmetro das esferas tinha aproximadamente1µm, e a distância que as separa muito irrisória fazendo
com que elas quase se toquem. Do ponto de vista tecnológico, é muito mais fácil crescer a estrutura com esses parâmetros do que com grandes distâncias. Assim, suas posições po-dem ser facilmente bloqueadas. O índice de refração do material entre as esferas (TiO2) é
2.8, que é muito pequeno para formargapfotônico completo. No entanto, quando a Sílica é usada, há possibilidade degapfotônico completo para alguns parâmetros geométricos.
Figura 2.10: Cristal fotônico tridimensional com rede cúbica de face centrada invertida.
Desde 1987 e até 2005 mais de dez mil obras impressas (livros, artigos, etc) dedi-cadas aos cristais fotônicos e dispositivos baseados em cristais fotônicos foram publidedi-cadas. No entanto, boa parte desses trabalhos dedicaram-se ao estudo de fibras microestrutu-radas que possuem propriedades únicas, com a possibilidade de modificar parâmetros e características dentro de uma larga faixa de frequência, e cristais fotônicos unidimensio-nais produzidos na forma de lasers com refletores de Bragg distribuídos ou na forma de fibras com rede (ou grade) de Bragg.
Apesar da tecnologia atual não dispor de muitas técnicas para a produção de cristais fotônico bidimensionais e tridimensionais, existem muitas possibilidades de apli-cações tecnológicas dessas estruturas. Dentre elas destacam-se a modificação da emissão espontânea, os isoladores ópticos, elementos não-lineares e fibras microestruturadas.
2.4 Propriedades dos Cristais Fotônicos
As propriedades ópticas dos cristais fotônicos são determinadas pela existência da modulação periódica da permissividade ou do índice de refração do meio. Por isso, os efeitos observados têm forte analogia com os do estado sólido, isto é, a estrutura fotônica arranjada periodicamente assemelha-se a dos átomos numa rede cristalina. Tal semel-hança possibilita fazer uso das propriedades e métodos de cálculos que aplicam-se na física do estado sólido.
• Modulação periódica do índice de refração em um cristal fotônico forma uma rede semelhante a rede atômica do estado sólido.
• Comportamento dos fótons nos cristais fotônicos é semelhante ao comportamento do par elétron-buraco numa rede atômica.
• A periodicidade da rede de ambos provoca o aparecimento de umgapna estrutura de bandas (band gaps), ou seja, intervalo de energia inacessível à partícula dentro da estrutura.
• Do ponto de vista teórico, a determinação das auto-funções num cristal fotônico é muito semelhante ao cálculo da função de onda de uma partícula no estado sólido. Essa similaridade é usada para obter a estrutura de bandas fotônica.
No entanto, além da forte similaridade, existem algumas diferenças essenciais. Uma das principais diferença é a distribuição da energia das partículas. Elétrons obe-decem a distribuição de Fermi-Dirac e fótons obeobe-decem a distribuição de Bose-Einstein. Além disso, elétrons são afetados pelo campo intra-cristalino, que necessariamente deve ser levado em conta nos cálculos. A forma deste campo intra-cristalino é desconhecida. Por isso, utilizam-se métodos aproximativos como o método k-p. Fótons não são afetados pelo campo intra-cristalino. Por esse motivo, o cálculo da distribuição do campo óptico ou estrutura de bandas fotônica é essencialmente simplificado.
A propriedade mais importante, que determina a aplicação prática dos cristais fotônicos, é a presença do gapfotônico (photonic band gaps). Essegap fotônico refere-se a energia ou intervalo de frequência proibida para a propagação da luz dentro da estrutura. Quando a radiação incide, com frequência pertencente ao intervalo de valores proibidos pela estrutura, é completamente refletida. No entanto, se for introduzido um defeito na estrutura fotônica periódica, temos como resultado um efeito parecido ao apresentado pelos semicondutores que tem um defeito na sua estrutura cristalina. Isto significa que novos auto-estados aparecem dentro da região proibida com energias correspondentes as auto-frequências do defeito. Assim, a radiação irá se propagar dentro da frequência do defeito, possibilitando sua propagação dentro da estrutura numa região anteriormente proibida. Quando introduz-se múltiplos defeitos na estrutura a propagação da radiação é conduzida como um guia de ondas.
A estrutura de bandas do cristal fotônico é a característica que fornece mais infor-mações acerca de suas propriedades. Ela é representada por um número de auto-estados ou auto-frequências de uma estrutura periódica infinita.
Auto-frequência também é chamada de frequência de ressonância da estrutura. Uma vez que o cristal fotônico é uma estrutura periódica infinita, uma série de reflexões de Fresnel aparecem nas interfaces. Interferência construtiva e destrutiva das ondas provoca uma transmissão ou reflexão da radiação.
Cada conjunto de auto-estado corresponde a um valor específico do vetor de onda da radiação. Independente da dimensionalidade do cristal fotônico, a estrutura de bandas é representada por um gráfico bidimensional. O exemplo de uma estrutura de bandas para o cristal fotônico unidimensional é dado na Figura 2.11.
Figura 2.11: Estrutura de bandas do cristal fotônico unidimensional.
O significado físico da estrutura de bandas é conectar as propriedades da radiação com as propriedades do meio óptico onde ocorre a propagação da mesma. Na Figura 2.11 o eixo horizontal corresponde ao vetor de onda da radiação e o eixo vertical representa as frequências de ressonância do meio. Vamos considerar o caso quando a radiação com frequência ω1 incide no cristal fotônico. Depois que a radiação penetra na estrutura, ela
possui um valor para o vetor de onda permitido pela estrutura. O valor de cada vetor de onda pode ser facilmente encontrado a partir da estrutura de bandas. Verifica-se a partir da Figura 2.11 que o vetor de onda com valork1corresponde à frequência da radiaçãoω1.
Possuindo esse vetor de onda, a radiação propaga-se dentro da estrutura.
onda correspondente não pertence ao intervalo cujos valores são reais. Ela possui um vetor de onda imaginário k2. A parte imaginária do vetor de onda corresponde a uma
atenuação da radiação ou o seu aumento. No caso da figura Figura 2.11,k2corresponde a
uma atenuação. A radiação com frequência pertencente a este intervalo será refletida pela estrutura. No entanto, uma vez que a atenuação tem uma valor finito, antes de sofrer a reflexão a radiação penetra um pouco na estrutura.
Esses dois casos contêm princípios básicos da análise da estrutura de bandas fotônica, ou seja, o meio periódico em questão apresenta intervalos de frequência per-mitidos e proibidos. A radiação propaga-se dentro da estrutura apenas para valores de frequência pertencente ao intervalo permitido. Caso contrário, será refletida. As faixas de frequência proibidas são usualmente denominadas degapsfotônicos. Se a radiação possui frequência permitida, ela assume valor do vetor de onda que pode ser encontrado a partir da estrutura de bandas.
2.5 Algumas Aplicações dos Cristais Fotônicos
Os cristais fotônicos são ferramentas poderosas para a manipulação de ondas eletromagnéticas. Dentre suas aplicações tecnológicas destacam-se: as fibras de cristais fotônicos, os circuitos fotônicos integrados, a modificação da emissão espontânea, os iso-ladores ópticos, os elementos não-lineares, a dispersão e efeito de luz lenta (slow light effect).
2.5.1 Fibras de Cristais Fotônicos
como na fibra óptica convencional, e é constituída de uma estrutura dielétrica periódica bidimensional perpendicular ao seu eixo. Essas fibras podem ser divididas em dois tipos. Uma delas é a fibra microestruturada com índice guiado relatada pela primeira vez por Knight, et al [23]. Fibras de cristal fotônico com índice guiado são similares as fibras ópticas convencionais porque o índice de refração efetivo do núcleo é maior do que o índice de refração efetivo do revestimento. Elas podem ter uma constante dielétrica entre o núcleo e o revestimento muito maior que nas fibras ópticas convencionais levando a uma grande força de confinamento óptico. Também, são úteis para reforçar efeitos não-lineares criando fenômenos de dispersão incomuns [1]. Além disso, é importante que essas fibras permaneçam com modo único para comprimentos de fibra suficientemente grandes. Essa capacidade é conhecida como modo infinitamente único [24].
O outro tipo são as fibras comgapfotônico relatadas por Knight [25] e Cregan [26]. Elas são diferentes das fibras ópticas tradicionais. O núcleo é preenchido pelo ar e o índice de refração efetivo do revestimento é maior do que o do ar. Assim, a orientação da luz é explicada pelos fenômenos associados aogapfotônico em detrimento da reflexão interna total. Isso minimiza os efeitos de perda, as não-linearidades indesejadas e quaisquer out-ras propriedades indesejáveis do material [1].
Fibras de cristais fotônicos podem ser superiores às fibras clássicas porque elas podem ter menos atenuação, transmitir a luz com potência óptica muito maior, terem menores perdas e podem ser usadas em um número crescente de aplicações em diversas áreas [27].
2.5.2 Circuitos Fotônicos Integrados
Mekis [28] e experimentalmente por Lin [29]. Uma vez que as linhas de transmissão têm ramos (ou divisores) nos circuitos integrados, os guias de ondas também terão ramos nos circuitos fotônicos integrados. Um ramo para esse tipo de circuito foi simulado por Fan [30] e outro foi realizado experimentalmente por Lin [31].
O segundo problema no caminho de uma realização prática é desenvolver transis-tores ópticos (ou fotônicos). Um transistor completamente óptico foi demonstrado teorica-mente por Yanik [32] com cristais fotônicos não-lineares. Um interruptor óptico biestável, equivalente à ação de um transistor óptico, foi demonstrado experimentalmente por No-tomi [33]. No entanto, a combinação de tudo isso com baixo consumo de energia e alta velocidade ainda é difícil para os circuitos fotônicos integrados.
2.5.3 Modificação da Emissão Espontânea
A modificação da emissão espontânea foi a primeira aplicação dos cristais fotôni-cos [17–22]. Por isso, ela está diretamente relacionada a origem desse cristal e desempenha papel importante no desenvolvimento de fontes de luz. Por exemplo, cristais fotônicos podem ser usados para aumentar a eficiência e diminuir o atual limite dos lasers semicon-dutores. Eles, também, podem desempenhar uma função de refletor distribuído [34–38].
A segunda maneira de utilizar o cristal fotônico, como elemento para a modi-ficação de radiação espontânea, é na concepção de novas fontes de radiação, principal-mente. Em tais fontes, tanto cristais fotônicos puros quanto com defeitos, que formam ressonadores de alta qualidade e provocam forte localização da radiação dentro do de-feito, podem ser usados para modificar a radiação espontânea e melhorar as caracterís-ticas dos lasers [39–45]. Dependendo do tipo de cristal fotônico a ser utilizado (com ou sem defeito), a fonte pode ser monocromática ou policromática, ou seja, laser ou diodos emissores de luz [46–55].
2.5.4 Isoladores Ópticos
da estrutura periódica. Com isso, o comprimento de onda da radiação deve situar-se dentro do gap fotônico da estrutura. Os principais dispositivos que podem ser desen-volvidos com tal propriedade são as microcavidades [56–59], os guias de ondas [60–66], os divisores [67–71], os engates [72–78] e os combinadores [79–81]. A principal função dos microressonadores é baseada na possibilidade do cristal fotônico localizar a radiação no interior da área com defeito da estrutura periódica. De fato, o defeito pode ser represen-tado pela mudança, variação de parâmetros ou ausência de alguns elementos ou grupo de elementos.
Guias de ondas de cristais fotônicos são representados pelos chamados defeitos lineares da estrutura periódica. Tais defeitos, possuem propriedades de guiamento dentro de um vasto intervalo de comprimento de onda. Uma das propriedades únicas desses guias de ondas é a possibilidade de formar curvas muito acentuadas sob ângulos de até 90❳ [82–86] e ainda maiores [87–89]. Diferente do guia de onda planar, cujo princípio se baseia na reflexão interna total, o guia de onda de cristal fotônico localiza a luz devido à presença degapsfotônicos completos. Assim, guia de onda com base no defeito linear da estrutura tem uma maior eficiência e é mais compacto que o guia de onda planar.
Divisores representam uma classe de dispositivos ópticos que permitem a divisão da potência óptica na proporção determinada ou dividindo-a em feixes polarizados [90– 93]. O divisor baseado em cristal fotônico pode ser representado por um número de guias de ondas ópticos conectados em um único ponto. Neste caso, a potência passando do guia de onda de entrada é divida no ponto de conexão. Outro tipo de divisor baseia-se no acoplamento de guias de ondas paralelas com a distância entre guias reduzida [94–96]. A radiação de um guia de ondas move-se suavemente do guia de ondas de entrada para o de saída. Variando parâmetros do guia de ondas, pode-se facilmente variar uma porção da potência a ser transmitida pelo guia de ondas de saída.
2.5.5 Elementos Não-Lineares
carac-terísticas dos dispositivos baseados em estruturas não-lineares. Essas possibilidades dão origem a uma nova classe de dispositivos ópticos, tais como elementos de armazenamento de informações óptico [103–107], elementos lógicos [108–111] e limitadores de potência óptica [112–114]. Solitons ópticos discretos [115–117] dentro do cristal fotônico não-linear podem ser utilizados para armazenar informação. Esses solitons, controlados pela radi-ação, permitem implementar a informação escrita e a leitura. Um princípio do elemento lógico óptico está baseado no fato que a potência de um único sinal óptico não é sufi-ciente para mudar, essencialmente, as propriedades da estrutura. Porém, quando dois sinais incidem na estrutura não-linear, a variação no índice de refração aparece tal que as propriedades ópticas do cristal fotônico como um todo são alteradas, bem como a trans-mitância e a reflectância, particularmente.
Limitadores de potência óptico podem ser usados para evitar danos em sensores ópticos devido à radiação de alta intensidade. Também, são utilizados na normalização da intensidade de fontes na entrada de circuitos ópticos. O seu princípio consiste no crescimento da reflectância da estrutura de cristal fotônico não-linear com a intensidade da radiação. Com isso, a intensidade de saída permanece constante.
2.5.6 Dispersão
A inusitada propriedade de dispersão dos cristais fotônicos [118,119] permite que eles sejam utilizados como super-primas [120–124], super-lentes [125–129], multiplexado-res e desmultiplexadomultiplexado-res [130–134].
A luz policromática quando incide na superfície de um prisma, formando um ân-gulo com a normal à superfície, é dispersada por ele, isto é, raios de luz de comprimentos de onda diferentes propagam-se em diferentes ângulos dentro do prisma. A divisão da luz por um prismas convencional baseia-se na dispersão do material. Tendo em vista que as mudanças do índice de refração com comprimento de onda são muito fracas em ma-teriais transparentes, a possibilidade de dispersão em revestimento de multicamadas é limitada. Os cristais fotônicos podem ser usados para obter uma dispersão espacial muito maior. Em determinadas condições, eles exibem uma dispersão maior que o material de um prisma convencional.
dispersão cromática causada pela variação gradual do índice de refração aparente, de-vido a curvatura da banda fotônica. Isso pode ser interpretado como efeito prisma, isto é, como uma mudança no diâmetro das linhas de iso-frequência dentro da estrutura de bandas. Se os contornos da iso-frequência mudar sua forma com a frequência, a dis-persão pode aumentar sua magnitude consideravelmente. Essa propriedade dispersiva ultra-forte, chamada de efeito super prisma, permite a construção de filtros ópticos com-pactos que são altamente atraentes para aplicações em multiplexadores, utilizados como divisores de comprimentos de onda.
A construção de uma lente perfeita, que produzisse uma imagem, igualmente, perfeita foi o sonho dos fabricantes de lentes durante muitos séculos. Em 1873, Ernst Abbe (1840–1905), físico e matemático alemão, descobriu um limite de difração fundamental na óptica. Sempre que um objeto é fotografado por um sistema óptico, tal como a lente de uma câmera, traços finos (menores que a metade do comprimento de onda da luz) são perdidos na imagem. A perda de informação acontece porque a luz que é proveniente dos traços finos do objeto carrega componentes com alta frequência espacial, ou seja, ondas evanescentes que decaem exponencialmente, resultando em uma imagem imperfeita. O ‘tesouro perdido ’, como os detalhes do subcomprimento de onda poderia ser chamado, é a razão fundamental para o limite de difração de Abbe, que determina o menor recurso que se pode ver através das lentes [135]. Em termos práticos, isso limita a resolução de todos os sistemas de imagem, dificultando, por exemplo, pesquisas na Biologia moderna e na Eletrônica.
A luz emitida ou espalhada por um objeto não inclui apenas ondas de propa-gação, mas também as ondas evanescentes, que carregam os subcomprimentos de onda dos detalhes do objeto. As ondas evanescentes decaem em qualquer meio com índice de refração positivo, de modo que elas não podem ser coletadas no plano da imagem por uma lente convencional, resultando numa imagem de difração limitada. Uma solução é utilizar lentes fabricadas com metamateriais que têm índice de refração negativo. As primeiras ideias sobre a possibilidade de um meio com índice de refração negativo surgi-ram a partir do trabalho teórico de Veselago [136] em 1967. Porém, os metamateriais só foram efetivamente construídos no inicio deste século [137, 183].
lente com refração e frente de fase reversa ambas negativa, levando a mudança de fase zero no plano da imagem. Ao recuperar completamente tanto as ondas de propagação quanto as evanescentes em fase e amplitude, uma perfeita imagem é criada. Um esquema representando a suposta imagem de uma super lente é mostrada na Figura 2.12.
Figura 2.12: Microscópio baseado no efeito de super lente e um exemplo de imagem de alta resolução.
Nas comunicações de fibra óptica, multiplexação por divisão de comprimento de onda é uma tecnologia que permite a transmissão de múltiplos sinais ópticos em uma mesma fibra óptica, simultaneamente. Os dispositivos tecnológicos utilizam comprimen-tos de onda diferentes da luz do laser para transmitir sinais diferentes, através de uma única fibra óptica. Isto leva a uma multiplicação da capacidade de comunicação. Nesta tecnologia multiplexadores são utilizados para unir os sinais juntos e os desmultiplexa-dores são utilizados para dividir os sinais separados.
Usando um cristal fotônico exibindo o efeito super-prisma, desmultiplexadores foram, teoricamente, demonstrados por Chung [140] em 2002 e realizado experimen-talmente em 2006 por Momeni [141]. Multiplexadores e desmultiplexadores baseados em guia de ondas de cristal fotônico foram, também, demonstrados teoricamente por Chien [142].
2.5.7 Efeito de Luz Lenta
Ela emprega a capacidade que os cristais fotônicos possuem de ter uma velocidade de grupo ultra-baixa para comprimentos de onda específicos. Os dispositivos baseados no efeito de luz lenta podem ser utilizados como roteadores fotônicos em redes ópticas trans-parentes, microlaser com baixo volume modal, linhas ópticas de atraso, etc.
FUNDAMENTOS DE ÓPTICA ONDULATÓRIA
“Do gênio de Young e Fresnell, a teoria ondulatória da luz foi estabelecida de modo tão forte que a partir de en-tão a hipótese corpuscular não era mais capaz de recrutar qualquer novo adepto entre os jovens."
Edmund Whittaker
Até a primeira metade do século XVIII, muitos cientista imaginavam que a luz fosse constituída por um feixe de minúsculas partículas (chamada de corpúsculos) emi-tidas pelas fontes de luz. Essa ideia vem dos atomistas. Eles acreditavam na natureza corpuscular das imagens que chegavam aos olhos, imaginando que estas se formavam a partir de um feixe de partículas do ar, existente entre o objeto e o observador, que atingia a retina.
Por volta de 1665, surgiram as primeiras evidências das propriedades ondulatórias da luz. Entretanto, apenas no início do século XIX a evidência de que a luz é uma onda cresceu de modo muito convincente. Em 1873, James Clerk Maxwell (1831-1879) fez a previsão da existência de ondas eletromagnéticas e calculou a velocidade de propagação dessas ondas. Esse desenvolvimento, juntamente com o trabalho experimental de Hein-rich Hertz (1857-1894) iniciado em 1887, mostrou de maneira irrefutável que a luz é efeti-vamente uma onda eletromagnética.
Contudo, a natureza ondulatória da luz não é suficiente para explicar tudo. Di-versos efeitos associados com a emissão e com a absorção da luz revelam a sua natureza corpuscular, no sentido que a energia transportada pela onda luminosa é concentrada em pacotes discretos conhecidos como fótons. Os aspectos ondulatórios e corpusculares da luz aparentemente contraditórios foram conciliados desde 1930 com o desenvolvimento da eletrodinâmica quântica, uma teoria que explica simultaneamente esses dois aspectos. Porém, a propagação da luz pode ser descrita melhor usando-se um modelo ondulatório.
3.1 Meio Óptico
A interação entre o campo eletromagnético e o meio é a principal questão para a compreensão dos fundamentos da propagação de ondas em guias de ondas e da operação de muitos outros dispositivos ópticos passivos e ativos.
Na discussão dos fundamentos da óptica ondulatória deve-se entender: o que é um meio óptico, quais as suas propriedades, de que maneira esse meio influencia no campo eletromagnético, e, por fim, como descrever o campo eletromagnético e suas inter-ações com o meio óptico. Para resolver o problema da interação do campo com o meio, caracteriza-se o campo dentro e fora do meio, levando em conta as alterações impostas pela interface entre o meio externo e o meio óptico.
As distâncias entre átomos, que compõem o meio, são um dos pontos chaves na caracterização do meio quando interage com a luz. Em dispositivos ópticos e estruturas ópticas a espessura das camadas, no caso das estruturas organizadas em camadas, ou o tamanho dos elementos, no caso dos cristais fotônicos, podem ser comparáveis com o comprimento de onda da radiação. Nesses casos, a interação da luz com o meio pode ter efeitos diferentes, como a transparência, reflexões total ou parcial, refração. Em meios ópticos usados na tecnologia das ondas de luz, a distância entre os átomos é da ordem de 1nm que é pequeno comparado ao comprimento de onda da luz usada nas comunicações ópticas (esses comprimentos variam de 0.8 a 1.6 µm). Assim, o meio óptico pode ser
Em casos especiais, um meio óptico tem resposta não-linear para uma influência externa. Efeitos não-lineares tipo geração de segundo harmônico, efeito Kerr, solitons e formação de vórtices, etc., desempenham um papel mais importante na optoeletrônica avançada e nos cristais fotônicos.
Quandoǫ,µeσsão definidos para um material, a solução das equações de Maxwell
é o começo para analise da propagação da luz, também conhecida como óptica ondu-latória. A óptica ondulatória fornece, particularmente, a solução do problema da propa-gação das ondas eletromagnéticas em guias de ondas ópticos, isto é, determinação das amplitudes das componentes elétrica e magnética dos campos ópticos, bem como suas fases e distribuição de amplitudes no espaço. Se a espessura do núcleo do guia de onda óptico é da mesma ordem do comprimento de onda, então a propagação pode ser descrita com poucos modos que são funções dos parâmetros do guia de onda óptico e do com-primento de onda da luz. Se, por outro lado, o raio do núcleo é grande comparado ao comprimento de onda, então muitos modos de propagação aparecem. Nesse caso, será mais eficaz resolver o problema por meio da óptica geométrica.
Quando as dimensões do objeto são grandes comparadas com o comprimento de onda da luz, um método aproximativo pode ser usado para estudo da propagação da luz. A óptica geométrica ou raios ópticos utilizam os métodos da geometria a fim de formular as leis da óptica. Na óptica geométrica a concepção dos raios de luz é introduzida com o escopo de descrever os fenômenos ópticos. Os caminhos percorridos pelos raios de luz em meios heterogêneos e compostos são derivados a partir da chamada equação eikonal [149]. A Figura 3.1 mostra, esquematicamente, a representação das ondas de luz na con-cepção da óptica geométrica e da óptica ondulatória. A luz irradiada de uma fonte pun-tiforme S pode ser representada como um raio (feixe de luz mostrado na Figura 3.1a) direcionado angularmente a partir da fonte que forma um ângulo θ com o eixo óptico
disposto na direçãoz. Este ânguloθ corresponde-se com o vetor de propagação da onda,
rotulado porβ, que tem o mesmo ângulo com o eixo óptico (veja Figura 3.1b). O vetor de
Figura 3.1: Representação da radiação na óptica geométrica (a) e na óptica ondulatória (b).
3.2 Propagação das Ondas: Equações de Maxwell
A luz consiste de um campo elétrico e um campo magnético que oscilam em taxas muito elevadas, da ordem de 1014 THz. Essa propagação dos campos é descrita
por funções periódicas. A Transferência de energia das ondas eletromagnéticas através do espaço vazio é realizada por campos elétricos e magnéticos que trocam energias obe-decendo às leis de Ampère e Faraday. A variação do campo magnético é perpendicular a do campo elétrico. Uma única frequência de ondas eletromagnéticas exibe variação har-mônica de campos elétricos e magnéticos no espaço. Em qualquer local fixo, a amplitude do campo varia com a frequência óptica. A magnitude do campo se repete depois de um período de oscilação. A onda se repete no espaço, depois de percorrer uma distânciaλ,
chamada de comprimento de onda, que é na verdade o período espacial da onda.
Baseando-se principalmente nas ideias de Faraday sobre um éter cheio de linhas de força, que transmitiria as ações eletromagnéticas, Maxwell, realizou uma das sínteses mais fundamentais na história da Física, publicada em 1865, ao mostrar que todos os fenômenos elétricos, magnéticos e ópticos podem ser descritos, unificadamente, a partir de um conjunto de quatro equações diferenciais, conhecidas como asequações de Maxwell, que podem ser escritas utilizando-se a notação vetorial. Albert Einstein descreveu esse trabalho de Maxwell como ”a mais profunda e mais frutífera contribuição que a física recebeu desde o tempo de Newton“.
Antes de discutir a propagação da luz em estruturas ópticas complexas, como os cristais fotônicos, faz-se necessária a sua compreensão no espaço livre. Para um meio que possui cargas livres e correntes, as equações de Maxwell, no Sistema Internacional de Unidades (SI), são dadas por:
Ñ➞ ✕ ÑE ✏∂BÑ
Ñ➞ ✕ ÑH JÑ✔∂DÑ
∂t , (3.2)
Ñ➞ ÑD ρ, (3.3)
Ñ➞ ÑB 0, (3.4)
ondetrepresenta o tempo e Ñ➞é o operador nabla, que em coordenadas cartesianas é dado
por
Ñ➞ xˆ∂x∂ ✔yˆ∂y∂ ✔zˆ∂z∂ ,
ondexˆ, yˆezˆsão vetores unitários. Os vetoresEÑ eHÑ denotam os campos elétrico e
mag-nético, respectivamente.DÑ eBÑ são o deslocamento elétrico e a indução magnética.
Essas equações ilustram a lei de Faraday, a lei de Ampère-Maxwell, a lei de Gauss para os campos elétricos e a lei de Gauss para os campos magnéticos, respectivamente. A lei de Faraday informa que a variação de um campo magnético produz um campo elétrico que se traduz pela força eletromotriz (fem) induzida em transformadores e indutores. A lei de Ampère, incluindo o termo da corrente de deslocamento, descoberta por Maxwell, mostra que um campo elétrico variável é uma fonte de campo magnético. A lei de Gauss para o campo elétrico é uma alternativa à lei de Coulomb para expressar a relação entre carga elétrica e campo elétrico. A lei de Gauss para o campo magnético, mostra a ausência de monopolos magnéticos.
As fontes do campo eletromagnético são a densidade de cargaρe a densidade de
correnteJÑ. Elas são conectadas pela equação de continuidade
Ñ➞ ÑJ ✏∂ρ∂t,
que é encontrada aplicando o divergente em (3.2), substituindo (3.3) no resultado do di-vergente, além de utilizar a relação
Ñ➞ ➞ ✕ ÑH 0.
No caso de meios não condutores como a sílica ou outro material utilizado para guiar ondas em dispositivos passivos, tais como fibras ópticas ou guias de ondas planares,
Ñ
J 0 eρ 0. As densidades de fluxo estão relacionadas aos vetores dos campos pelas relações:
Ñ
Ñ
B µ0HÑ ✔ ÑM , (3.6)
onde ǫ0 (☎ 8.854187817✕10✏12 C2/N m2) é a permissividade elétrica no vácuo e µ0 (
4π✕10✏7Wb/A m) é a permeabilidade magnética no vácuo, Ñ
P é a polarização elétrica do
meio, induzida pelo campo elétricoEÑ, eMÑ é a polarização magnética do meio. Para fibras
ópticas MÑ 0 por causa da natureza não magnética do vidro de sílica. O produto das constantesǫ0 eµ0 é igual a
ǫ0 µ0 1⑦c 2
, (3.7)
onde c ( 2.99792458✕108 m/s) é a velocidade da luz no vácuo. A resposta de cargas
elétricas individuais a um campo elétrico pode ser descrita pelas leis de Newton. O com-portamento de muitos sólidos em resposta a um campo elétrico pode ser bem descrito com o mesmo tipo de aproximações que geralmente são feitas para o estresse e para a deformação. Considerando o estresse como uma perturbação aplicada em uma amostra e a deformação como uma resposta da amostra à perturbação. Portanto, pode-se dizer que nesse modelo a resposta é proporcional à perturbação. A resposta de muitos sóli-dos comuns a um campo elétrico aplicado é tal que o campo elétrico dentro da amostra é menor que o campo elétrico aplicado. Isso é similar ao sólido ter produzido sua própria distribuição de carga, isto é, tornar-se polarizado, produzindo um campo elétrico oposto ao campo elétrico aplicado. Os materiais que possuem essa propriedade são chamados de dielétricos.
Nesse caso, considera-se a polarização como uma resposta do material. Acontece que em muitas situações úteis a polarização é proporcional ao campo elétrico aplicado. Porém, precisa-se definir a polarização de modo que se permita medir o seu valor.
A avaliação da polarizaçãoPÑ requer uma abordagem da mecânica quântica.
Em-bora essa abordagem seja essencial quando a frequência óptica está próxima de uma ressonância com o meio, uma relação fenomenológica entreEÑePÑpode ser utilizada
dis-tante da ressonância com o meio. Esse é o caso para as fibras ópticas na região de com-primento de onda compreendida entre0.5 µm e2µm. Tal intervalo abrange a região de
baixa perda das fibras ópticas, sendo muito interessante para os sistemas de comunicação por fibra óptica. Nos meios lineares homogêneos e dielétricos isotrópicos, a polarização está alinhada com o campo elétricoEÑ, além de ser proporcional a ele. Em um material
anisotrópico, a polarização e o campo não estão necessariamente na mesma direção. Em geral, a relação entreEÑ ePÑ pode ser não-linear. Embora os efeitos não-lineares dos guias
em algumas descrições dos modos de fibras ópticas.
As ondas eletromagnéticas transportam energia à medida que viajam através do espaço vazio. Há uma densidade de energia associada com os campos elétricos e mag-néticos. A quantidade de energia transportada por unidade de área é descrita pelo vetor
Ñ
S 1 µ0
Ñ
E✕ ÑB, (3.8)
que é chamado de vetor de Poynting. Essa expressão é um produto vetorial, e desde que o campo magnético é perpendicular ao campo elétrico,SÑserá perpendicular aEÑ, ao plano
deBÑe coincidirá com a direção de propagação da onda.
3.3 Equação da Onda no Vácuo
No vácuo, não existe meio. Como um resultado, não existe polarização induzida ou corrente. Em outras palavras,PÑeJÑsão iguais a zero. Portanto, as equações de Maxwell
se reduzem a
Ñ➞ ✕ ÑE ✏∂BÑ
∂t , (3.9)
Ñ➞ ✕ ÑH ∂DÑ
∂t , (3.10)
Ñ➞ ÑD 0, (3.11)
Ñ➞ ÑB 0. (3.12)
As quatro equações (3.1)-(3.4) descrevem a interdependência entre EÑ e HÑ. Para
resolver o conjunto de equações (3.9)-(3.12) pode-se eliminar HÑ e derivar uma equação
paraEÑapenas. Tomando o rotacional de (3.9) e empregando a equação (3.6), temos
Ñ➞ ✕ Ñ➞ ✕ ÑE Ñ➞ ✕ ❼✏∂BÑ
∂t➁ ✏ǫ0µ0 ∂2
∂t2E,Ñ (3.13)
onde
Ñ➞ ✕ ❼✏∂BÑ ∂t➁ ✏
∂
∂t❼Ñ➞ ✕µ0HÑ➁ ✏µ0 ∂
∂t❼Ñ➞ ✕ ÑH➁ ✏ǫ0µ0 ∂2
O cálculo vetorial fornece a identidade
Ñ➞ ✕ Ñ➞ ✕ ÑE Ñ➞❼Ñ➞ ÑE➁ ✏ ➞2EÑ ➞2E.Ñ (3.14)
Aqui,
➞2 ∂2
∂x2 ✔
∂2
∂y2 ✔
∂2
∂z2
é o operador Laplaciano e (3.5) foi usada para conduzir ao resultado Ñ➞ ÑE Ñ➞ ❼ǫ0DÑ➁ ǫ0Ñ➞ ÑD 0.
Portanto, a equação da onda para o campo elétrico no vácuo é
➞2Ñ
E✏ 1 c2
∂2
∂t2EÑ 0. (3.15)
Resultado semelhante a (3.15) pode ser encontrado para a componente magnética eliminandoEÑ nas equações (3.9) e (3.10). A forma geral da solução para a equação (3.15)
é dada por:
E❼x, y, z, t➁ a✔E✔❼Ñk rÑ✏ωt➁ ✔a✏E✏❼Ñk rÑ✔ωt➁, (3.16)
onde rÑ ❼x, y, z➁ é o vetor coordenada, kÑ ❼kx, ky, kz➁ é o vetor de onda, ω 2π⑦λ é a frequência angular e λ é o comprimento de onda. As funções E✔ e E✏ descrevem o
comportamento ondulatório no espaço (argumentoÑk rÑ) e no tempo (argumentoωt), já os
termosE✔eE✏são coeficientes de amplitude dependentes das condições de contorno.
O vetor de onda é um vetor que especifica o número de onda e a direção de propa-gação da onda. A magnitude do vetor de onda indica o número de onda. A orientação do vetor de onda mostra a direção de propagação da onda. O número de onda denota o número de oscilações dos vetores elétricos e magnéticos por unidade do espaço e é me-dida em m✏1. As componentes do vetor de onda correspondem ao número de ondas nas
direçõesx,yez da seguinte maneira ω2
c2 k 2
x✔k
2
y✔k
2
z. (3.17)
kzz✏ωt kz❼z✏kωzt➁.
Isso significa que a onda E✔ é uma onda propagando-se na direção positiva de Ñk com
velocidade ω
kz. Da mesma forma,E
✏representa uma onda propagando-se na direção
ne-gativa dekÑ. Em geral, quando todos os componentes do vetor de onda são diferentes de
zero, a onda propaga-se na direção deÑkcom a velocidade da luz. O caso especial é
impor-tante para a compreensão da propagação das ondas e para aplicações práticas da solução da equação de onda (3.15) quando o campo tem apenas um componente. Essa solução é chamada de ondas planas. Esse caso é descrito como
Ñ
E❼x, y, z, t➁ Eei❼ωt✏kzz➁x.ˆ (3.18)
Aqui, o campo elétrico tem apenas um componente na direção x e propaga-se
na direçãoz. A Figura 3.2 mostra uma onda plana senoidal em duas dimensões. A seta
representa o vetor de onda, que define a direção de propagação da onda através da sua orientação perpendicular às frentes de onda. A evolução temporal das ondas é definida pelo termo (ωt). Para uma onda plana senoidal, a fórmula (3.18) é transformada para
E❼x, y, z, t➁ E❼Ñk rÑ✏ωt➁ sin❼kxx✔kyy✔kzz✔ωt➁.
Figura 3.2: Onda plana senoidal.
onda, então essas frentes de ondas são linhas ou superfícies de fase constante, definidas, simplesmente, pela equaçãoÑk rÑ constante. Para a propagação da luz em uma dimensão,
ao longo da direçãox, o número de ondas escalar é dado por
kx
ω c
2π
λ . (3.19)
Substituindo a equação do campo elétrico (3.18) em (3.9) e integrando sobre o tempo, obtém-se
Ñ
H ✏ kz µ0ω
Eei❼ωt✏kzz➁yˆ ✏
➽
ǫ0
µ0
Eei❼ωt✏kz➁y.ˆ (3.20)
Assim, pode-se observar que os campos elétricos e magnéticos são perpendicu-lares entre si e, também, perpendicuperpendicu-lares à direção de propagação da onda, que coincide com a direção deÑk.
3.4 Ondas em Meios Dielétricos
Em meios dielétricos, uma polarização PÑ não-nula é induzida por um campo
elétricoEÑ. Para compreender o significado físico dePÑ considera-se um meio constituído
de cargas positivas e negativas (por exemplo, prótons e elétrons). Quando um campo elétrico está presente, ele separa as cargas positivas das cargas negativas. Essa sepa-ração de cargas resulta em um campo elétrico adicional. Esse campo elétrico adicional é chamado de polarização induzida. Vários meios respondem diferentemente a um dado campo elétrico externo. Quando o meio é linear e isotrópico,PÑé linearmente proporcional
aEÑ podendo ser expressado da seguinte forma
Ñ
P ǫ0 χE,Ñ (3.21)
ondeχé a chamada susceptibilidade elétrica. Essa quantidade é o coeficiente de
propor-cionalidade entre a polarização e o campo externo.
