Bifurcação de Poincaré-Andronov-Hopf para difeomorfismos do plano

Bifurcac¸˜ao de Poincar´e-Andronov-Hopf

para difeomorfismos do plano.

Pricila da Silva Barbosa

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Programa: Matem´atica Aplicada

Orientador: Prof. Dr. Ant ˆonio Luiz Pereira

Durante o desenvolvimento deste trabalho a autora recebeu aux´ılio financeiro do CNPq.

para difeomorfismos do plano.

Esta vers˜ao definitiva da dissertac¸˜ao cont´em as correc¸ ˜oes e alterac¸ ˜oes sugeridas pela Comiss˜ao Julgadora durante a defesa realizada por Pricila da Silva Barbosa em 18/₀₅/_2010.

Comiss˜ao Julgadora:

Prof. Dr. Ant ˆonio Luiz Pereira (orientador) - IME-USP Prof. Dr. Marcone Corrˆea Pereira - EACH-USP

AGRADECIMENTOS

Agradec¸o...

Primeiramente a minha fam´ılia, em especial `a minha m˜ae por me incentivar nos estudos e me apoiar nos momentos dif´ıceis.

Ao meu orientador Prof. Dr. Ant ˆonio Luiz Pereira, por toda a paciˆencia e dedicac¸˜ao ao passar horas e horas me ajudando para que tudo isso fosse poss´ıvel.

A todos os meus amigos do IME, em especial `a Catalina Rua e Juan Fernando Zapata, por me ajudarem durante o mestrado e de alguma forma neste trabalho.

RESUMO

O objetivo principal deste trabalho ´e apresentar uma exposic¸˜ao detalhada do Teorema de

Poincar´e-Andronov-Hopf para uma fam´ılia de transformac¸ ˜oes no plano, baseada em um trabalho de

O. Lanford [1]. Este teorema d´a condic¸ ˜oes para o aparecimento de uma curva fechada invariante para o fluxo quando o parˆametro passa por um determinado valor.

Apresentamos tamb´em uma aplicac¸˜ao a um sistema dinˆamico que modela a evoluc¸˜ao do prec¸o e excesso de demanda em um mercado constitu´ıdo por uma ´unica mercadoria.

ABSTRACT

The main purpose of this work is to present a detailed exposition of thePoincar´e-Andronov-Hopf

Theorem for a family of transformations in the plane, based on a work of O. Lanford [1]. This

theorem gives conditions for the appearance of a closed invariant curve under the flow, when the parameter crosses a certain value.

We also present an application to a dynamical system modelling the evolution of the price and the excess demand in a single asset market.

Keywords:bifurcation, normal form, closed invariant curve, stability.

SUM ´

ARIO

1. Preliminares. 3

1.1. Sistemas Dinˆamicos. . . 3

1.2. Conjuntosα-limite ew-limite de uma ´orbita. . . 5

1.3. O Teorema da Bifurcac¸˜ao de Hopf emR2_eRn_{. . . . 5}

1.4. Variedade Central. . . 6

2. Bifurcac¸˜ao de Poincar´e-Andronov-Hopf para Difeomorfismos do Plano. 9 2.1. Difeomorfismos do Plano. . . 9

2.2. Forma Can ˆonica da Aplicac¸˜aoΦ_{µ. . . 10}

2.3. Bifurcac¸˜ao de Poincar´e-Andronov-Hopf. . . 25

3. Uma Aplicac¸˜ao. 43 3.1. Introduc¸˜ao. . . 44

3.2. A Unicidade do Equil´ıbrio e Propriedades B´asicas de Estabilidade. . . 45

3.3. Bifurcac¸˜ao de Hopf e Curva Invariante Fechada. . . 52

3.4. Simulac¸˜ao Num´erica . . . 58

INTRODUC

¸ ˜

AO

O prop ´osito desse trabalho ´e discutir oTeorema de Poincar´e-Andronov-Hopfpara difeomorfismos do plano, fazer uma aplicac¸˜ao e em seguida uma simulac¸˜ao num´erica. Em 1942, Hopf estabeleceu condic¸ ˜oes para a ocorrˆencia de um tipo de bifurcac¸˜ao num sistema n-dimensional. Entretanto, esse tipo de bifurcac¸˜ao j´a havia sido sugerido por Poincar´e, em 1892, e estudado por Andronov, em 1929, para um sistema bidimensional, sendo por isto geralmente conhecida como Bifurcac¸˜ao de Poincar´e-Andronov-Hopf. Esse teorema descreve o que acontece quando um ponto de equil´ıbrio de uma equac¸˜ao diferencial dependendo de um parˆametro passa de est´avel a inst´avel, em um valor cr´ıtico do parˆametro. Um trabalho realizado por Ruelle e Takens [4] estende a teoria da bifurcac¸˜ao de Hopf para transformac¸ ˜oes. Eles estavam interessados em estudar o aparecimento de um toro invariante est´avel que, sob algumas condic¸ ˜oes, aparece nas proximidades de uma ´orbita fechada inst´avel.

A prova feita por Ruelle e Takens passa por demonstrar oTeorema de Poincar´e-Andronov-Hopf

para a transformac¸˜ao de Poincar´e. Dado um campo de vetoresX_{e uma ´orbita fechadaγdo fluxo} ψtdeX, a id´eia ´e considerar a transformac¸˜ao de Poincar´ePassociado aγ. Supondo que exista uma

circunferˆencia σque ´e invariante sobP_{, ent˜ao} ∪

t

ψt(σ) ´e um toro invariante para o fluxo deX.

SejamX_{µuma fam´ılia de campos de vetores eγµuma fam´ılia cont´ınua de ´orbitas fechadas desses}

campos. ´E poss´ıvel que exista umµ0de tal forma queγµ seja est´avel paraµ < µ0 e inst´avel para

µ > µ0, e um toro invariante est´avel se forme nesse local. Sabemos queγµ ´e est´avel se os autovalores

da derivada da transformac¸˜ao de Poincar´eP_{µ tˆem autovalores com m ´odulo menor do que 1 (e}

inst´avel se algum dos autovalores tem m ´odulo maior do que 1). O teorema de bifurcac¸˜ao de Hopf para difeomorfismos d´a condic¸ ˜oes para o aparecimento do toro, ap ´os a perda de estabilidade de

γµ.

Nossa atenc¸˜ao ser´a focalizada no trabalho de Lanford [1], onde o estudo ´e feito para difeomorfis-mos do plano em geral, e n˜ao para o caso particular da transformac¸˜ao de Poincar´e. Consideraredifeomorfis-mos neste trabalho uma fam´ılia de transformac¸ ˜oes do planoΦ_µ, de classeC4_{, a um parˆametro real, em}

uma vizinhanc¸a do zero no espac¸o de Banach Z_em Z_{, com} Φ_µ(0) = _{0 para todo µ. Queremos}

observar o que acontece quando µ varia e a origem muda de est´avel a um ponto fixo inst´avel deΦ_µ, isto ´e, algum dos autovalores do espectro de DΦ_µ(0) cruza a circunferˆencia unit´aria. Isto pode acontecer de v´arias maneiras, mas consideraremos apenas o caso de um ´unico par complexo conjugado de autovalores simples n˜ao reais; assumiremos que o restante do espectro deDΦ_{µ(0) se}

encontra estritamente dentro da circunferˆencia unit´aria, e para simplificar a notac¸˜ao, assumiremos tamb´em que isso ocorre emµ=_0.

CAP´ITULO 1

PRELIMINARES.

A teoria de Sistemas Dinˆamicos estuda o comportamento a longo prazo da evoluc¸˜ao de um sistema. A moderna teoria de sistemas dinˆamicos originou-se no final do s´eculo 19, procurando responder quest ˜oes fundamentais relativas a estabilidade e evoluc¸˜ao do sistema solar, o que levou ao desenvolvimento de um campo rico e poderoso, com aplicac¸ ˜oes a f´ısica, biologia, meteorologia, astronomia, economia e outras ´areas. Por analogia com a mecˆanica celeste, a evoluc¸˜ao de um estado particular de um sistema dinˆamico ´e referido como uma ´orbita. Um certo n ´umero de temas aparecem repetidamente no estudo de sistemas dinˆamicos: existˆencia e estabilidade de equil´ıbrios e ´orbitas peri ´odicas, comportamento assint ´otico, estabilidade por pertubac¸ ˜oes, etc.

1.1.

Sistemas Dinˆamicos.

Um sistema dinˆamico cont´ınuo consiste em um espac¸o m´etricoXe uma fam´ılia de transformac¸ ˜oes a um parˆametro{Tµ : X →X}, comµ∈ Rouµ ∈ R+₀, que forma um grupo ou semigrupo a um

parˆametro, ou seja,Tµ1+µ2 =Tµ1◦Tµ2 eT

0_{=Id. O sistema dinˆamico ´e chamado de fluxo seµvaria}

emR_{e um semi-fluxo seµvaria em}R+

0.

Definic¸˜ao 1.1 Um sub-conjunto A∈X ´e invariante para o sistema dinˆamico Tµse, para todo x∈A, Tµ(x)

est´a definido e pertence a A para todoµ∈R_.

Um sistema dinˆamico discreto consiste de um espac¸o m´etricoXe uma func¸˜aoT:X→X. Para

n ∈ N_{, a n-´esima iterac¸˜ao deT ´e a n-´esima composic¸˜ao T}n = _{T◦ · · · ◦T (n vezes) e definimos} T0 _{como a func¸˜ao identidade, denotada por Id. Se T ´e invers´ıvel, ent˜aoT}−n _{= T}−1_{◦ · · · ◦T}−1 _(n

vezes). ComoTn+m _=Tn_◦Tm_{, essas iterac¸ ˜oes formam um grupo seT´e invers´ıvel. Embora tenhamos}

definido sistemas dinˆamicos de maneira bem geral,Xtem muitas vezes uma estrutura adicional que ´e preservada pela func¸˜aoT. Por exemplo, (X,T) pode ser um espac¸o de medida e uma transformac¸˜ao que preserva medida; um espac¸o topol ´ogico e uma transformac¸˜ao cont´ınua; um espac¸o m´etrico e uma isometria, ou uma variedade diferenci´avel e uma transformac¸˜ao diferenci´avel.

Definic¸˜ao 1.2 Se T ´e uma transformac¸˜ao em X, o ponto x ´e um ponto fixo para T se T(x) = x. O ponto x ´e peri´odico de per´ıodo n se Tn(x) = _{x. O menor positivo n para cada T}n_(x) = _{x ´e chamado de primeiro} per´ıodo de x. O conjunto de todas as iterac¸˜oes de um ponto peri´odico ´e denominado uma ´orbita peri´odica.

Exemplo 1.1:Considerando o sistema dinˆamico discreto sobre a reta realR_{definido pelas iterac¸ ˜oes}

da aplicac¸˜aoT:x7−→ −x, temos que o ponto 0 ´e um ponto fixo.

Definic¸˜ao 1.3 Seja X um espac¸o m´etrico e T: X−→ X uma transformac¸˜ao. Dizemos que um ponto fixo fixo p de T ´e atrator se T(p)=_{p e T}n_{(x)−→p quando n−→ ∞, para todo x∈X.}

O resultado que segue ´e frequentemente usado para provar a existˆencia de pontos fixos.

Teorema 1.1 Seja X um espac¸o m´etrico completo. Se T :X−→ X ´e cont´ınua e, para algum m, Tm ´e uma contrac¸˜ao, ent˜ao existe um ´unico ponto fixo p para T. Mais ainda, p ´e atrator.

A demonstrac¸˜ao do Teorema 1.1 pode ser visto em [7]. O teorema seguinte ´e conhecido como M´etodo Indireto de Lyapunov.

Teorema 1.2 Seja T uma transformac¸˜ao de classe C1_{, com ponto fixo x.}

a) Se todos os autovalores da matriz Jacobiana DT(x) tˆem m´odulo menor que 1, ent˜ao o ponto fixo x ´e assintoticamente est´avel.

1.2 Conjuntosα-limite ew-limite de uma ´orbita. 5

1.2.

Conjuntos

α

-limite e

w

-limite de uma ´orbita.

SejamXum subconjunto aberto do espac¸o euclidianoRn_{, eT : X −→} Rn _{um campo vetorial}

de classeCk,k≥1. Sejaφ(t)=_{φ(t,x) a curva integral deTpassando pelo pontox, definida no seu}

intervalo m´aximoIx=_(w−(x),w+(x)). Sew+(x)=∞, define-se o conjunto

w(x)=_{q∈X;∃{tn}com tn−→ ∞eφ(tn)−→q,quando n−→ ∞}.

Analogamente, sew−(x)=−∞, define-se o conjunto

α(x)=_{q∈X; ∃{tn}com tn−→ −∞eφ(tn)−→q, quando n−→ ∞}.

Os conjuntosw(x) eα(x) s˜ao chamados, respectivamente, de conjuntow-limite e conjuntoα-limite dex.

Definic¸˜ao 1.4 O conjunto w-limite de uma ´orbitaγ, que denotaremos por w(γ), ´e o conjunto w(x), para qualquer x ∈ γ. O conjuntoα-limite de uma ´orbitaγ, que denotaremos por α(γ), ´e o conjuntoα(x), para qualquer x∈γ. E w(x)=_{w(y)se x,y∈γ.}

Observac¸˜ao 1.1:Sejamφ(t) = φ(t,x) a curva integral do campoT pelo pontox eψ(t) = ψ(t,x) a curva integral do campo−Tpelo pontox, ent˜aoψ(t,x)= φ(−t,x). Segue-se da´ı que ow-limite de

ψ(t) ´e igual aoα-limite deφ(t) e, reciprocamente, ow-limite deφ(t) ´e igual aoα-limite deψ(t). Por este motivo, para estudarmos as propriedades gerais dos conjuntosα-limite ew-limite de ´orbitas ´e suficiente nos restringirmos ao estudo do conjuntow-limite.

Definic¸˜ao 1.5 Um ponto x ´e chamado de positivamente recorrente se x ∈ w(x), e se T ´e invers´ıvel, x ´e negativamente recorrente se x∈α(x). x ´e dito recorrente se ´e positivamente e negativamente recorrente.

Exemplo 1.2:Pontos peri ´odicos s˜ao pontos recorrentes.

Observac¸˜ao 1.2:O conjuntoR_{(T) dos pontos recorrentes ´eT-invariante.}

1.3.

O Teorema da Bifurcac¸˜ao de Hopf em

R

_e

R

_.

Teorema 1.3 (da bifurcac¸˜ao de Hopf emR2_{) Seja}Ψ_µum campo de vetores de classe Ck_(k≥4)emR2_{, tal}

complexos conjugados distintos λ(µ) e λ(µ), tais que, para µ > 0 temos que Reλ(µ) > 0.Suponhamos

tamb´em que d(Reλ(µ))

dµ >0emµ=0. Ent˜ao:

a) Existe uma func¸˜aoµ: (−ϵ, ϵ)→R_{de classe C}k−2_{, tal queµ(0)}=_{0e para todo x1},_{0,(x1,0, µ(x1))}

est´a sobre uma ´orbita peri´odica fechada deΨcom raio crescente da ordem de √µe per´ıodo pr´oximo de

2π

|λ(0)|.

b) Existe uma vizinhanc¸a U de(0,0,0)emR3_{tal que qualquer ´orbita fechada em U ´e uma dessas acima.} Al´em disso, se(0,0)´e um atrator ¨ındefinido”paraΨ₀, ent˜ao:

c) µ(x1)>0para todo x1,0e as ´orbitas peri´odicas s˜ao atratoras.

Definic¸˜ao 1.6 (0,0) ´e um atrator ¨ındefinido”paraΨ_0se ∂

3_V

∂x3 1

(0,0)<0. Onde V(x1, µ)=P(x1, µ)−x1e P

´e a transformac¸˜ao do primeiro retorno do campoΨ_{em relac¸˜ao ao eixo(x1,0).}

Teorema 1.4 (da bifurcac¸˜ao de Hopf emRn_{) Seja}Ψ_µum campo de vetores emRn_{de classe C}k+1_{, com k≥4,} com todas as hip´oteses do Teorema 1.3 mantidas exceto que assumimos que o resto do espectro ´e distinto dos dois autovalores simplesλ(µ), λ(µ). Ent˜ao a conclus˜ao a) ´e verdadeira. A conclus˜ao b) ´e verdadeira se o resto do espectro permanece do lado direito do semi plano quandoµpassa pelo 0. A conclus˜ao c) ´e verdade se, em relac¸˜ao aλ(µ), λ(µ), 0 ´e um atrator ¨ındefinido”no mesmo sentido do Teorema 1.3, e se quando as coordenadas s˜ao escolhidas de modo que

DΨ₀₍₀₎=

   

0 |λ(0)| D3Ψ1(0)

−|λ(0)| 0 D3Ψ2(0)

0 0 D3Ψ3(0)

    ,

λ(0)<_σ(D3Ψ3_{(0))(espectro de D3}Ψ2_(0)).

As demonstrac¸ ˜oes dos Teoremas 1.3 e 1.4 n˜ao ser˜ao feitas neste trabalho, mas podem ser vistas em [5].

1.4.

Variedade Central.

1.4 Variedade Central. 7

dimens˜ao 2. Para os leitores interessados ´e poss´ıvel ver a demonstrac¸˜ao do mesmo no apˆendice B do artigo [1]. Antes de enunciarmos o teorema, precisamos de alguns resultados de ´Algebra Linear, que seguem adiante.

Definic¸˜ao 1.7 Seja B uma matriz complexa n×n. Seλ´e um autovalor de B, seja

Vλ={v∈Cn: (B−λI)iv=0para algum i∈N}.

Se B ´e real eγ´e um autovalor real, seja

VRγ =Rn∩Vγ={v∈Rn: (B−γI)iv=0para algum i∈N}.

Se B ´e real eλ,λ´e um par de autovalores complexos, seja

VR

λ,λ=R

n

∩(Vλ⊕V_λ).

Esses espac¸os s˜ao chamados de autoespac¸os generalizados.

Teorema 1.5 (da Variedade Central) SejaΨ_{uma aplicac¸˜ao da vizinhanc¸a do zero no espac¸o de Banach}Z

emZ_{. Suponhamos que}Ψ_{tem k}+_{1derivadas cont´ınuas, que}Ψ₍₀₎=_{0, D}Ψ_{(0)tem raio espectral 1 e que o} espectro de DΨ(0)tem uma parte contida na circunferˆencia unit´aria com um n ´umero finito de autovalores, e o restante est´a a uma distˆancia n˜ao nula da mesma. Suponhamos que Y, o auto-espac¸o generalizado de DΨ_{(0)pertencente `a parte do espectro sobre a circunferˆencia unit´aria, tem dimens˜ao d} <∞. Ent˜ao existe

uma vizinhanc¸aV_do0emZ_{e uma subvariedade}M_⊂ V_{de classe C}k _{e dimens˜ao d, contendo a origem e}

tangente a Y em0, tal que:

a) (Invariˆancia Local) Se x∈M_eΨ_(x)∈V_{, ent˜ao}Ψ_(x)∈M_.

b) (Atratividade Local) SeΨn(x)∈V_{para todo n∈}N_{, ent˜ao quando n→ ∞, a distˆancia de}Ψn(x)aM

vai a zero.

Uma variedade M _{como descrita no teorema ´e chamada de variedade central (para o ponto}

fixo 0 deΨ_{). N˜ao ´e em geral ´unica, mas porb), pelo menos cont´em todos os pontosw-limite de}

CAP´ITULO 2

BIFURCAC

¸ ˜

AO DE

POINCAR ´E-ANDRONOV-HOPF PARA

DIFEOMORFISMOS DO PLANO.

Neste cap´ıtulo trabalharemos com um difeomorfismo Φ_{µ. A utilizac¸˜ao do Teorema 1.5 nos}

permitir´a reduzir o estudo ao plano. Apresentaremos uma forma can ˆonica para o difeomorfismo e daremos condic¸ ˜oes para a existˆencia de bifurcac¸˜ao. Posteriormente mostraremos a existˆencia de uma curva fechada invariante para a aplicac¸˜aoΦ_{µ, utilizando o princ´ıpio da contrac¸˜ao.}

2.1.

Difeomorfismos do Plano.

Uma das t´ecnicas utilizadas por RuelleeTakens´e a reduc¸˜ao de um problema geral para outro em dimens˜ao 2. Eles fizeram isto utilizando o Teorema 1.5, mas a id´eia aqui ´e aplic´a-lo para a transformac¸˜ao:

Ψ_{: (x, µ)7−→(}Φ_{µ(x), µ),}

ondeΦ_µ ´e um difeomorfismo do espac¸o de BanachZ_em Z_{, que depende de um parˆametro real} µ. SeDΦ_{0tem dois autovalores complexos conjugados simples na circunferˆencia unit´aria, ent˜ao}

o auto-espac¸o generalizado deDΦ_{(0) tem dimens˜ao 3. A dimens˜ao extra encontra-se na direc¸˜ao}

deµ. O Teorema 1.5 ent˜ao garante a existˆencia de uma variedade central M _{de dimens˜ao 3. Se}

fixarmosµsuficientemente pequeno, obteremos uma sec¸˜aoM_{µ de dimens˜ao 2 de}M_{, que ´e}

local-mente invariante e atratora para Φ_{µ. Como estamos interessados no comportamento recorrente,}

podemos restringirΦ_µaM_{µ. Estamos ent˜ao reduzindo o estudo a uma fam´ılia de transformac¸ ˜oes}

suficientemente regulares (C4 _{´e suficiente) a um parˆametro real, que denotaremos ainda porΦ}

µ, de

uma vizinhanc¸a do zero emR2_sobreR2_{, com}Φ_µ(0,0)= _{(0,0) eD}Φ_{0(0,0) tendo dois autovalores}

complexos conjugados distintos, sobre a circunferˆencia unit´aria.

2.2.

Forma Can ˆonica da Aplicac¸˜ao

Φ

.

Queremos mostrar a existˆencia de uma curva fechada invariante para Φ_{µ, comµ > 0. Para}

isto ´e importante encontrar uma forma conveniente paraΦ_{µ. Assumimos que os autovalores de} DΦ_µ(0,0) passam atrav´es da circunferˆencia unit´aria com velocidade positiva quandoµpassa pelo 0. Podemos ent˜ao reparametrizar os autovalores deDΦ_{µ(0,0) de forma a obtˆe-los como (1}+_µ)eiθ(µ)

e (1+µ)e−iθ(µ), o que muda a velocidade, mas n˜ao os valores paraµ=_{0. Fazendo uma mudanc¸a}

de coordenadas suaveµ-dependente, podemos denotarDΦ_µ(0,0) por:

DΦ_µ(0,0)= ₍₁+µ)

 

 _sencosθ_θ(₍µ_µ)₎ −sen_cosθ_θ((_µµ)₎    .

Assim, a aplicac¸˜aoΦ_µpode ser denotada por:

Φ_{µ :} R2 _−→ R2

(x1,x2) 7−→ (1+µ)

 

 _sencosθ_θ(₍µ_µ)₎ −sen_cosθ_θ((_µµ)₎   

   x_x1

2

 

 + gµ(x1,x2),

(2.1)

onde gµ ´e uma func¸˜ao suave com componentes g1 e g2, tendo expans˜ao em s´erie de Taylor

iniciando-se com termos quadr´aticos, ou seja,gµ=O(||(x1,x2)||2) uniformemente emµ. Temos que

|gµ| ´e menor do que um polin ˆomio complexo com coeficientes cont´ınuos em µ, com termos de

ordem maior ou igual a 2. O pr ´oximo passo ´e fazer mais uma mudanc¸a de coordenada para levar

Φ_µa uma forma can ˆonica apropriada. A aplicac¸˜aoΦ_µpode ser escrita na forma:

2.2 Forma Can ˆonica da Aplicac¸˜aoΦ_µ. 11 Vamos escrever cada par (x1,x2) ∈ R2 como um n ´umero complexo z = x1 +i x2 e, tomando

e

Φ_µ(z)= Φ_1(x1,x2)+iΦ2(x1,x2), ondeΦµ=(Φ1,Φ2), teremos:

e

Φ_µ(z) = (1+µ)[x1cosθ(µ)−x2senθ(µ)]+i(1+µ)[x1senθ(µ)+x2cosθ(µ)]+O(|z|2)

= ₍₁+µ)[cosθ(µ)+isenθ(µ)](x1+i x2)+O(|z|2)

= ₍₁+µ)eiθ(µ)z+_O(|z|2₎.

Tomandoλ(µ)=₍₁+_µ)eiθ(µ)_{a equac¸˜ao acima toma a forma:}

e

Φ_µ(z)=λ(µ)z+_O(|z|2₎.

Ao longo desse texto ser´a comum aparecer a express˜ao O(|z|n_{) com n ∈ N. Com isto queremos}

dizer que |

e

Φ_{µ(z)−λ(µ)z|}

|z|n ≤ K, com K uma constante independente deµ, ou seja, a aproximac¸˜ao

´e uniforme emµ. De agora em diante, tamb´em para facilitar a notac¸˜ao, denotaremoseΦ_µporΦ_µ.

Lema 2.1 A aplicac¸˜aoΦ_µ(z)pode ser escrita em s´erie de Taylor centrada na origem, na forma: Φ_µ(z)=_λ(µ)z+_A2(z)+_A3(z)+_O(|z|4_),

onde

Ak(z)= k

∑

j=0

ξj(k−j)zj(z)k−j,

para k=_{2e3 e} ξj(k−j)∈C. Em particular,

ξ20 = 1

8{(g1)x1x1−(g1)x2x2+2(g2)x1x2+i[(g2)x1x1 −(g2)x2x2 −2(g1)x1x2]},

ξ11 = 1

4{(g1)x1x1+(g1)x2x2+i[(g2)x1x1 +(g2)x2x2]},

ξ02 = 1

8{(g1)x1x1−(g1)x2x2−2(g2)x1x2+i[(g2)x1x1 −(g2)x2x2 +2(g1)x1x2]}e

ξ21 = 1

16{(g1)x1x1x1 +(g1)x1x2x2 +(g2)x1x1x2 +(g2)x2x2x2+i[(g2)x1x1x1+(g2)x1x2x2−(g1)x1x1x2 −(g1)x2x2x2]}.

Demonstrac¸˜ao:Vamos reescrever os termos de ordem maior ou igual a 2 deΦ_µ(z) . J´a sabemos que

g1eg2emµ. A s´erie de Taylor degna origem ´e dada por:

g1(x1,x2) = 1

2

[

(g1)x1x1x

2

1+2(g1)x1x2x1x2+(g1)x2x2x

2 2 ] + 1 3! [

(g1)x1x1x1x

3

1+3(g1)x1x1x2x

2

1x2+3(g1)x1x2x2x1x

2

2+(g1)x2x2x2x

3 2

]

+_O(||(x1,x2)||2).

Analogamente obtemos a s´erie de Taylor para g2. Tomando gµ(z) = gµ(x1 +i x2) = g1(x1,x2)+

i g2(x1,x2), teremos:

gµ(x1+i x2) = 1

2

[

(g1)x1x1x

2

1+2(g1)x1x2x1x2+(g1)x2x2x

2 2 ] + 1 3! [

(g1)x1x1x1x

3

1+3(g1)x1x1x2x

2

1x2+3(g1)x1x2x2x1x

2

2+(g1)x2x2x2x

3 2 ] + i 2 [

(g2)x1x1x

2

1+2(g2)x1x2x1x2+(g2)x2x2x

2 2 ] + i 3! [

(g2)x1x1x1x

3

1+3(g2)x1x1x2x

2

1x2+3(g2)x1x2x2x1x

2

2+(g2)x2x2x2x

3 2

]

+O(||(x1,x2)||2).

Agora, tomandox1 = z

+_z

2 ex2 =

z−z

2i na ´ultima express˜ao, e organizando os termos, chegamos

a:

gµ(z) = 1

2

[

(g1)x1x1

4 −

i(g1)x1x2

2 −

(g1)x2x2

4 +

i(g2)x1x1

4 +

(g2)x1x2

2 −

i(g2)x2x2 4

]

z2+

1 2

[

(g1)x1x1

2 +

(g1)x2x2

2 +

i(g2)x1x1

2 +

i(g2)x2x2 2 ] zz+ 1 2 [

(g1)x1x1

4 +

i(g1)x1x2

2 −

(g1)x2x2

4 +

i(g2)x1x1

4 +

(g2)x1x2

2 −

i(g2)x2x2 4

]

z2+ _(2.2)

ξ30z3+ 1

3!

[

3(g1)x1x1x1

8 −

3i(g1)x1x1x2

8 +

3(g1)x1x2x2

8 −

3i(g1)x2x2x2

8 +

3i(g2)x1x1x1

8 +

3(g2)x1x1x2

8 +

3i(g2)x1x2x2

8 +

3(g2)x2x2x2 8

]

z2z+ξ12zz2+ξ03z3+O(|z|4).

Vale a pena observar que, no desenvolvimento de um termo de graunnas vari´aveisx1,x2s ´o

apare-cem termos de graunem (z,z). Assim ´e poss´ıvel escreverΦ_{µ(z) na forma:}

2.2 Forma Can ˆonica da Aplicac¸˜aoΦ_µ. 13

onde Ak(z) = k

∑

j=0

ξj(k−j)zj(z)k−j, para k = 2e3 e ξj(k−j) ∈ C. Em particular, da equac¸˜ao (2.2)

obtemos:

ξ20= 1

8{(g1)x1x1 −(g1)x2x2 +2(g2)x1x2+i[(g2)x1x1 −(g2)x2x2 −2(g1)x1x2]},

ξ11= 1

4{(g1)x1x1+(g1)x2x2+i[(g2)x1x1 +(g2)x2x2]}, (2.4)

ξ02= 1

8{(g1)x1x1 −(g1)x2x2 −2(g2)x1x2+i[(g2)x1x1 −(g2)x2x2 +2(g1)x1x2]}e

ξ21= 1

16{(g1)x1x1x1+(g1)x1x2x2+(g2)x1x1x2+(g2)x2x2x2+i[(g2)x1x1x1+(g2)x1x2x2−(g1)x1x1x2−(g1)x2x2x2]}. Nosso objetivo agora ´e, atrav´es de mudanc¸as de coordenadas para a aplicac¸˜ao (2.3), eliminar os termos de ordem 2, 3 e 4 da express˜ao deΦ_µ.

Lema 2.2 Seja

Φ_µ(z)=λz+_A2(z)+_A3(z)+_O(|z|4₎,

a aplicac¸˜ao definida em (2.3), com coeficientes em (2.4) e λ = _λ(µ) = ₍₁+_µ)eiθ(µ)_{. Suponhamos que} eiθ(0),_{1e e}3iθ(0),_{1. Ent˜ao}Φ_{µpode ser transformada pela mudanc¸a de coordenadas complexa}

τ : C _−→ C

z 7−→ z′=_z+γ(z),

ondeγ(z)=γµ(z)=γ2z2+γ1zz+γ0z2, comγ2= ξ20

λ−λ2,γ1=

ξ11

λ− |λ|2 eγ0=

ξ02

λ−λ2

, na aplicac¸˜ao sem

termos quadr´aticos:

e

Φ_µ(z′₎=λz′+_B3(z′₎+_O(|z′_|4₎,

com B3(z′)= 3

∑

j=0

α3_jz′j(z′₎3−j_eα3

j ∈C.

Demonstrac¸˜ao:Temos que, em uma vizinhanc¸a da origem no novo sistema de coordenadasz′,z′_,

´e poss´ıvel inverter a aplicac¸˜aoτ, obtendo:

onde grauγ′=_{2 e grauk}=_{3. Da express˜ao deτe da equac¸˜ao (2.5) teremos:}

γ′(z′)+_k(z′₎+γ(z′+γ′(z′)+_k(z′₎+_O(|z′_|4₎₎+_O(|z′_|4₎=₀. (2.6) Vamos calcularγ(z′_+γ′_(z′_)+k(z′_)+O(|z′_|4_{)). Agrupando os termos de mesma ordem e usando a}

definic¸˜ao deγ(z), obtemos:

γ(z′+γ′(z′)+k(z′)+O(|z′|4)) = γ2[z′+γ′(z′)+k(z′)+O(|z′|4)]2+

γ1[z′+γ′(z′)+k(z′)+O(|z′|4)][z′+γ′(z′)+k(z′)+O(|z′|4)]+

γ0[z′+γ′(z′)+k(z′)+O(|z′|4)]2

= _γ2[z′2+_2z′_γ′_(z′_)]+_γ1[z′_z′_+z′_γ′_(z′_)+z′_γ′_(z′_)]+

γ0[z′ 2

+_2z′_γ′_(z′_)]+_O(|z′_|4₎

= _γ(z′₎+_γ2[2z′_γ′_(z′_)]+_γ1[z′_γ′_(z′₎+_z′_γ′_(z′_)]+

γ0[2z′γ′(z′)]+O(|z′|4). (2.7)

Substituindo (2.7) em (2.6), chegamos a:

γ′(z′)+γ(z′)+k(z′)+γ2[2z′γ′(z′)]+γ1[z′γ′(z′)+z′γ′(z′)]+γ0[2z′γ′(z′)]+O(|z′|4)=0.

Comparando termos de mesma ordem, conclu´ımos que:

γ′(z′)=₋γ(z′) e k(z′)=γ2[2z′γ(z′)]+γ1[z′γ(z′)+z′γ(z′)]+γ0[2z′γ(z′)].

DenotandoeΦ_µcomo sendoΦ_µna nova coordenadaz′_{, teremos :}

e

Φ_µ(z′₎ = _(τ◦Φ_µ◦τ−1_)(z′₎ = _(τ◦Φ_µ)(z) = Φ_µ(z)+_γ(Φ_µ(z))

2.2 Forma Can ˆonica da Aplicac¸˜aoΦ_µ. 15 Vamos desenvolver a equac¸˜ao acima. Agrupando os termos de mesma ordem deΦ_µ(z′_−γ(z′₎+ k(z′)+_O(|z′_|4_{)), segue que:}

Φ_µ(z′−γ(z′)+k(z′)+O(|z′|4)) = λz′+_{−λγ(z′)+ξ20z′2+ξ11z′z′+ξ02z′ 2

}+

{λk(z′)+ξ20[−2z′γ(z′)]+ξ11[−z′γ(z′)−z′γ(z′)]+

ξ02[−2z′γ(z′)]+ξ30z′3+ξ21z′2z′+ξ12z′z′ 2

+ξ03z′ 3

}+

O(|z′|4), (2.9)

e, pela definic¸˜ao deγ(z), temos:

γ(Φ_µ(z′_−γ(z′₎+_k(z′₎+_O(|z′_|4₎₎₎ = _γ(λz′+_(−λγ(z′₎+_ξ20z′2+_ξ11z′_z′_+ξ

02z′ 2

))+_O(|z′_|4₎ = γ2{λz′+[−λγ(z′)+ξ20z′2+ξ11z′z′+ξ02z′

2

]}2+

γ1{λz′+[−λγ(z′)+ξ20z′2+ξ11z′z′+ξ02z′ 2

]} {λz′+_[−λγ(z′₎+_ξ20z′2+_ξ11z′_z′+_ξ02z′2_]}+

γ0{λz′+[−λγ(z′)+ξ20z′ 2

+_ξ11z′_z′+_ξ02z′2_]}2+_O(|z′_|4₎ = γ(λz′)+γ2{2λz′[−λγ(z′)+ξ20z′2+ξ11z′z′+ξ02z′

2

]}+

γ1{λz′(−λγ(z′)+ξ02z′2+ξ11z′z′+ξ20z′ 2

)+

λz′_(−λγ(z′_)+ξ

20z′2+ξ11z′z′+ξ02z′ 2

)}+ _(2.10)

γ0{2λz′[−λγ(z′)+ξ02z′2+ξ11z′z′+ξ20z′ 2

]}+_O(|z′_|4₎.

Usando as equac¸ ˜oes (2.8), (2.9) e (2.10) teremos:

e

Φ_µ(z′₎ = λz′+_{−λγ(z′)+ξ20z′2+ξ11z′z′+ξ02z′ 2

}+γ(λz′)+_O(|z′_|3₎ = λz′−λγ2z′2−λγ1z′z′−λγ0z′

2

+ξ20z′2+ξ11z′z′+ξ02z′ 2

+

λ2γ2z′2+λλγ1z′z′+λ 2

γ0z′ 2

+_O(|z′_|3₎

= _λz′+_[(−λγ2+_ξ20+_λ2_γ2)z′2+_(−λγ1+_ξ11+_|λ|2_γ1)z′_z′₊

(−λγ0+ξ02+λ 2

γ0)z′ 2

]+_O(|z′_|3_{). (2.11)}

Observemos que −λγ2 +ξ20+λ2γ2 (coeficiente de z′2) se anula quando tomamos γ2 = ξ20

λ−λ2.

O coeficiente dez′z′_{, −λγ}

1+ξ11+|λ|2γ1, se anula quando tomamosγ1 =

ξ11

−λγ0+ξ02 +λ 2

γ0 (coeficiente de z′ 2

) se anula quando tomamos γ0 = ξ02

λ−λ2

. Notemos que os

denominadores nas express ˜oes deγ2,γ1eγ0n˜ao se anulam, visto que|λ|=1+µ, e n˜ao h´a problema

paraµ,_{0. A mudanc¸a de coordenadas utilizada est´a bem definida quandoµ−→0, pois:}

λ−λ2 ,_{0⇐⇒ ei}θ(0),_{1 ,}

λ−1,_{0⇐⇒ ei}θ(0),_{1 ,}

λ−λ2 ,_{0⇐⇒ e}3iθ(0),_{1 .}

Portanto, utilizando a mudanc¸a de coordenadas µ-dependente para a aplicac¸˜ao Φ_{µ, anulamos}

os termos de ordem quadr´atica. Logo, substituindo os valores de γ2, γ1 eγ0 na equac¸˜ao (2.11),

obtemos a aplicac˜ao sem termos quadr´aticos:

e

Φ_µ(z′₎=λz′+_B3(z′₎+_O(|z′_|4₎, (2.12)

comB3(z′)= 3

∑

j=0

α3_jz′j(z′₎3−j_eα3

j ∈C.

Lema 2.3 Seja

Φ_µ(z)=λz+B3(z)+O(|z|4),

a aplicac¸˜ao definida em (2.12) e comλ=λ(µ)=₍₁+µ)eiθ(µ). Suponhamos que e2iθ(0),_{1e e}4iθ(0) ,_1.

Ent˜aoΦ_µ pode ser transformada pela mudanc¸a de coordenadas complexa

τ : C _−→ C

z 7−→ z′=_z+γ(z),

ondeγ(z)=_γµ(z)=_γ3z3+_γ2z2_z+_γ1zz2+_γ0z3_{, comγ3}= α

3 3

λ−λ3,γ2=0,γ1 =

α3 1

λ−λ|λ|2 eγ0 =

α3 0

λ−λ3

,

na aplicac¸˜ao com somente um termo c ´ubico:

e

Φ_µ(z′₎=_λz′+_α3

2z′2z′+C4(z′)+O(|z′|5),

com C4(z′)= 4

∑

j=0

β4_jz′j(z′₎4−j_eβ4

2.2 Forma Can ˆonica da Aplicac¸˜aoΦ_µ. 17 Demonstrac¸˜ao:Temos que, em uma vizinhanc¸a da origem no novo sistema de coordenadasz′,z′_,

´e poss´ıvel inverter a aplicac¸˜aoτ, obtendo:

z=z′−γ(z′)+O(|z′|4).

DenotandoeΦ_{µcomo sendo}Φ_{µna nova coordenadaz}′_{, teremos :}

e

Φ_µ(z′) = ₍τ◦Φ_µ◦τ−1)(z′)

= ₍τ◦Φ_µ)(z) = Φ_µ(z)+γ(Φ_µ(z))

= Φ_µ(z′_−γ(z′₎+_O(|z′_|4₎₎+_γ(Φ_µ(z′_−γ(z′₎+_O(|z′_|4_{))). (2.13)}

Vamos desenvolver a equac¸˜ao acima. Agrupando os termos de mesma ordem deΦ_µ(z′_−γ(z′₎₊

O(|z′_|4_{)), segue que:}

Φ_µ(z′₋γ(z′)+_O(|z′_|4₎₎ = λ(z′−γ(z′)+_O(|z′_|4₎₎+α3₃(z′−γ(z′)+_O(|z′_|4₎₎3+

α3₂(z′−γ(z′)+_O(|z′_|4₎₎2_(z′_−γ(z′_)+O(|z′_|4₎₎₊

α3₁(z′−γ(z′)+_O(|z′_|4_))(z′_−γ(z′₎+_O(|z′_|4₎₎2₊

α3₀(z′_−γ(z′₎+_O(|z′_|4₎₎3_+O(|z′_|4₎

= λz′−λγ(z′)+α3₃z′3+α3₂z′2z′_+α3 1z′z′

2

+α3₀z′3_+O(|z′_|4_{), (2.14)}

e pela definic¸˜ao deγ(z) temos:

γ(Φ_µ(z′_−γ(z′₎+_O(|z′_|4₎₎₎ = _γ(λz′_−λγ(z′₎+_α3

3z′3+α32z′2z′+α31z′z′ 2

+_α3

0z′ 3

+_O(|z′_|4₎₎ = γ3(λz′−λγ(z′)+α3₃z′3+α3₂z′2z′+α3₁z′z′

2

+α3₀z′3_+O(|z′_|4₎₎3₊

γ2(λz′−λγ(z′)+α3₃z′3+α3₂z′2z′+α3₁z′z′ 2

+α3₀z′3_+O(|z′_|4₎₎2_.

(λz′_−λγ(z′_)+α3 3z′

3

+α3 2z′

2

z′+α3 1z′z′

2_+α3 0z′

3_+O(|z′|4₎₎₊

γ1(λz′−λγ(z′)+α3₃z′3+α3₂z′2z′+α3₁z′z′ 2

+α3₀z′3_+O(|z′_|4_)).

(λz′_−λγ(z′_)+α3 3z′

3

+α3 2z′

2

z′+α3 1z′z′

2_+α3 0z′

3_+O

(|z′_|4₎₎2₊

γ0(λz′−λγ(z′)+α3₃z′ 3

+_α3

2z′ 2

z′+_α3

1z′z′ 2_+α3

0z′

3_+O(|z′|4₎₎3_+O(|z′_|4₎

= γ3λ3z′3+γ2λ|λ|2z′2z′+γ1λ|λ|2z′z′ 2

+γ0λ 3

Pelas equac¸ ˜oes (2.13), (2.14) e (2.15) chegamos a:

e

Φ_µ(z′₎ = λz′−λγ(z′)+α3₃z′3+α₂3z′2z′_+α3 1z′z′

2

+α3₀z′3₊

γ3λ3z′3+γ2λ|λ|2z′2z′+γ1λ|λ|2z′z′ 2

+γ0λ 3

z′3_+O(|z′_|4₎

= λz′−λγ3z′3−λγ2z′2z′−λγ1z′z′ 2

−λγ0z′ 3

+α3₃z′3+α3₂z′2z′_+α3 1z′z′

2

+

α3₀z′3_+γ3λ3_z′3_+γ

2λ|λ|2z′2z′+γ1λ|λ|2z′z′ 2

+γ0λ 3

z′3_+O(|z′_|4₎

= λz′+₍₋λγ3+λ3γ3+α3₃)z′3+(−λγ2+λ|λ|2γ2+α3₂)z′2z′+ (2.16)

(−λγ1+λ|λ|2γ1+α3₁)z′z′ 2

+_(−λγ0+_λ3_γ0+_α3

0)z′ 3

+_O(|z′_|4_).

Observemos que −λγ3 +λ3γ3+α3₃ (coeficiente de z′3) se anula quando tomamos γ3 =

α3 3

λ−λ3.

Tamb´em temos que −λγ1 +λ|λ|2γ1+α3₁ (coeficiente de z′z′ 2

) se anula quando tomamos γ1 =

α3 1

λ−λ|λ|2, e −λγ0+λ 3

γ0+α3₀(coeficiente dez′ 3

) se anula quando tomamosγ0=

α3 0

λ−λ3

. Notemos

que os denominadores nas express ˜oes deγ3,γ1eγ0 n˜ao se anulam, visto que|λ| = 1+µ, e n˜ao

h´a problema paraµ,_{0. A mudanc¸a de coordenadas utilizada est´a bem definida quandoµ−→0,} pois:

λ−λ3 ,_{0⇐⇒ e}2iθ(0),_{1 ,}

λ−λ,_{0⇐⇒ e}2iθ(0),_{1 ,}

λ−λ3 ,_{0⇐⇒ e}4iθ(0),_{1 .}

Portanto, podemos fazer uma mudanc¸a de coordenadasµ-dependente, deixando a aplicac¸˜ao com somente um termo c ´ubico. Assim, substituindo os valores de γ0, γ1, γ2eγ3 na equac¸˜ao (2.16),

obtemos:

e

Φ_µ(z′)=λz′+α3₂z′2z′_+C4(z′_)+O(|z′_|5_{), (2.17)}

comC4(z′)= 4

∑

j=0

β4_jz′j(z′₎4−j_eβ4

j ∈C.

Observemos que, na hip ´otese desse lema, se tiv´essemos trocado γ2 = 0 por γ2 =

α3 2

λ−λ|λ|2,

ent˜ao para µ , _{0 seria poss´ıvel cancelar o termoz}′2_z′ _deΦe_µ(z′_{), mas a express˜ao de γ}

2 diverge

2.2 Forma Can ˆonica da Aplicac¸˜aoΦ_µ. 19 Notemos que o coeficiente ´e o mesmo coeficiente do termo c ´ubicoz′2z′_{na equac¸˜ao (2.12).}

Lema 2.4 Seja

Φ_µ(z)=λz+α3₂z2z+_C4(z)+_O(|z|5₎,

a aplicac¸˜ao definida em (2.17) e comλ= _λ(µ) =₍₁+_µ)eiθ(µ)_{. Suponhamos que ei}θ(0) , _{1, e}3iθ(0) ,_1e

e5iθ(0) ,_{1. Ent˜ao}Φ_{µpode ser transformada pela mudanc¸a de coordenadas complexa}

τ : C _−→ C

z 7−→ z′=_z+γ(z),

onde λ = λ(µ), γ(z) = γ4z4 +γ3z3z+γ2z2z2+γ1zz3 +γ0z4, com γ4 =

β4₄

λ−λ4, γ3 =

β4₃ λ−λ2_|λ|2,

γ2=

β4₂

λ− |λ|4,γ1=

β4 1

λ−λ2|λ|2 eγ0

= β

4 0

λ−λ4

, na aplicac¸˜ao sem termos qu´articos:

e

Φ_µ(z′₎=λz′+α3₂z′2z′_+O(|z′_|5_).

Demonstrac¸˜ao:Temos que, em uma vizinhanc¸a da origem, no novo sistema de coordenadasz′,z′_,

´e poss´ıvel inverter a aplicac¸˜aoτ, obtendo:

z=z′−γ(z′)+O(|z′|5).

DenotandoeΦ_{µcomo sendo}Φ_{µna nova coordenadaz}′_{, teremos :}

e

Φ_µ(z′₎ = ₍τ◦Φ_µ◦τ−1)(z′)

= ₍τ◦Φ_µ)(z) = Φ_µ(z)+γ(Φ_µ(z))

Vamos desenvolver a equac¸˜ao (2.18). Pela definic¸˜ao deγ(z) temos:

γ(Φ_µ(z′₋γ(z′)+_O(|z′_|5₎₎₎ = γ[λz′−λγ(z′)+α3₂z′2z′_+β4

4z′4+β43z′3z′+

β4₂z′2z′2_+β4 1z′z′

3

+β4₀z′4_+O(|z′_|5_)]

= γ4[λz′−λγ(z′)+α3₂z′2z′+β4₄z′4+β43z′3z′+β42z′2z′ 2

+

β4₁z′z′3_+β4 0z′

4

+_O(|z′_|5_)]4+γ3[λz′−λγ(z′)+α3₂z′2z′+

β4₄z′4+β₃4z′3z′_+β4 2z′2z′

2

+β4₁z′z′3_+β4 0z′

4

+O(|z′|5)]3.

[λz′_−λγ(z′₎+_α3

2z′ 2

z′+_β4 4z′

4

+_β4 3z′

3

z′+_β4 2z′

2

z′2+

β4 1z′z′

3_+β4 0z′

4_+O

(|z′_|5_)]+γ

2[λz′−λγ(z′)+α3₂z′2z′+

β4₄z′4+β₃4z′3z′_+β4 2z′2z′

2

+β4₁z′z′3_+β4 0z′

4

+O(|z′|5)]2.

[λz′_−λγ(z′₎+_α3

2z′ 2

z′+_β4 4z′

4

+_β4 3z′

3

z′+_β4 2z′

2

z′2+

β4 1z′z′

3_+β4 0z′

4_+O

(|z′_|5_)]2_+γ

1[λz′−λγ(z′)+α32z′2z′+

β4₄z′4+β₃4z′3z′_+β4 2z′2z′

2

+β4₁z′z′3_+β4 0z′

4

+O(|z′|5)].

[λz′_−λγ(z′₎+_α3

2z′ 2

z′+_β4 4z′

4

+_β4 3z′

3

z′+_β4 2z′

2

z′2+

β4 1z′z′

3_+β4 0z′

4_+O

(|z′_|5_)]3_+γ

0[λz′−λγ(z′)+α3₂z′ 2

z′+

β4 4z′

4

+β4 3z′

3

z′+β4 2z′

2

z′2+β4 1z′z′

3_+β4 0z′

4_+O(

|z′_|5_)]4

= _γ4λ4_z′4+_γ3λ2_|λ|2_z′3_z′_+γ

2|λ|4z′2z′ 2

+_γ1λ2_|λ|2_z′_z′3_{+ (2.19)}

γ0λ 4

2.2 Forma Can ˆonica da Aplicac¸˜aoΦ_µ. 21 E agrupando os termos de mesma ordem deΦ_µ(z′_−γ(z′₎+_O(|z′_|5_{)), segue que:}

Φ_µ(z′₋γ(z′)+_O(|z′_|5₎₎ = λ(z′−γ(z′)+_O(|z′_|5₎₎+

α3₂(z′−γ(z′)+_O(|z′_|5₎₎2_(z′_−γ(z′_)+O(|z′_|5₎₎₊

β4₄(z′−γ(z′)+_O(|z′_|5₎₎4+

β4₃(z′−γ(z′)+_O(|z′_|5₎₎3_(z′_−γ(z′₎+_O(|z′_|5₎₎₊

β4₂(z′−γ(z′)+_O(|z′_|5₎₎2_(z′_−γ(z′₎+_O(|z′_|5₎₎2₊

β4₁(z′−γ(z′)+O(|z′|5))(z′_−γ(z′_)+O(|z′_|5₎₎3₊

β4₀(z′_−γ(z′_)+O(|z′_|5₎₎4_+O

(|z′|5)

= λz′−λγ(z′)+α3₂z′2z′_+β4

4z′4+β43z′3z′+β42z′2z′ 2

+ _(2.20)

β4₁z′z′3_+β4 0z′

4

+O(|z′|5) Pelas equac¸ ˜oes (2.18) , (2.20) e (2.19) chegamos a:

e

Φ_µ(z′₎ = λz′−λγ(z′)+α3₂z′2z′_+β4

4z′4+β43z′3z′+β42z′2z′ 2

+β4₁z′z′3_+β4 0z′

4

+

γ4λ4z′4+γ3λ2|λ|2z′3z′+γ2|λ|4z′2z′ 2

+γ1λ 2

|λ|2z′z′3_+γ0λ4_z′4_+O(|z′_|)5

= λz′+α3₂z′2z′_−γ

4λz′4−γ3λz′3z′−γ2λz′2z′ 2

−γ1λz′z′ 3

−γ0λz′ 4

+

β4₄z′4+β₃4z′3z′_+β4 2z′2z′

2

+β4₁z′z′3_+β4 0z′

4

+

γ4λ4z′4+γ3λ2|λ|2z′3z′+γ2|λ|4z′2z′ 2

+_γ1λ2_|λ|2_z′_z′3+_γ0λ4_z′4+_O(|z′_|)5 = λz′+α3₂z′2z′_{+(−γ4λ+β}4

4+γ4λ4)z′4+(−γ3λ+β34+γ3λ2|λ|2)z′3z′+ (2.21)

(−γ2λ+β4₂+γ2|λ|4)z′2z′ 2

+_(−γ1λ+_β4

1+γ1λ 2

|λ|2)z′z′3+_(−γ0λ+_β4

0+γ0λ 4

)z′4+_O(|z′_|)5_.

Observemos que−γ4λ+β4₄+γ4λ4 (coeficiente dez′4) se anula quando tomamosγ4 =

β4 4

λ−λ4. E

−γ3λ+β4₃+γ3λ2|λ|2(coeficiente dez′3z′) se anula quando tomamosγ3 =

β4₃

λ−λ2_|λ|2. A express˜ao

−γ2λ+β4₂+γ2|λ|4(coeficiente dez′2z′ 2

) se anula quando tomamosγ2 =

β4 2

λ− |λ|4. De fato,−γ1λ+

β4 1+γ1λ

2

|λ|2 (coeficiente dez′z′3_{) se anula quando tomamosγ}

1 =

β4 1

λ−λ2|λ|2. E−

(coeficiente dez′4_{) se anula quando tomamosγ0} = β

4 0

λ−λ4

. Notemos que os denominadores nas

express ˜oes deγ4,γ3,γ2,γ1eγ0n˜ao se anulam, visto que|λ|=1+µ, e n˜ao h´a problema paraµ,0.

A mudanc¸a de coordenadas utilizada est´a bem definida quandoµ−→0, pois:

λ−λ4 ,_{0⇐⇒ e}3iθ(0),_{1 ,}

λ−λ2 ,_{0⇐⇒ ei}θ(0),_{1 ,}

λ−1,_{0⇐⇒ ei}θ(0),_{1 ,}

λ−λ2 ,_{0⇐⇒ e}3iθ(0),_{1 ,}

λ−λ4 ,_{0⇐⇒ e}5iθ(0),_{1 .}

Portanto podemos fazer uma mudanc¸a de coordenadasµ-dependente, deixando a aplicac¸˜ao Φ_µ

sem termos qu´articos. Assim, substituindo os valores de γ0, γ1, γ2, γ3 e γ4 na equac¸˜ao (2.21),

obtemos:

e

Φ_µ(z′₎=_λz′+_α3

2z′2z′+O(|z′|5).

Pelos Lemas 2.2, 2.3 e 2.4 temos que, supondo ekiθ(0) , _{1, parak} = ₁,2,3,4 e 5, ´e poss´ıvel fazer

mudanc¸as de coordenadas para a aplicac¸˜aoΦ_µ(z)=_λ(µ)z+ k

∑

j=0

αk_jzj(z)k−j+_O(|z|k+1_{), de tal forma a}

deix´a-la na formaΦ_µ(z)=λ(µ)z+α3

2z2z+O(|z|5). Assim podemos enunciar e demonstrar o seguinte

teorema:

Teorema 2.1 Seja

Φ_{µ :} R2 _−→ R2

(x1,x2) 7−→ (1+µ)

 

 _sencosθ_θ(₍µ_µ)₎ −sen_cosθ_θ((_µµ)₎   

   x_x1

2

 

 + gµ(x1,x2),

uma fam´ılia de aplicac¸˜oes do plano de classe C4_{. Suponhamos queΦ}

µ(0,0)=(0,0)para todoµ, DΦµ(0,0)

tem autovalores(1+_µ)eiθ(µ)_e(1+_µ)e−iθ(µ)_{(ap´os reparametrizac¸˜ao deµ), e eki}θ(0) ,_{1para k}=_1,2,3,4 e5. Ent˜ao existe um mudanc¸a suave de coordenadasµ-dependente numa vizinhanc¸a da origem, tal que nas

novas coordenadasΦ_µtoma a forma: