Desigualdade de Jensen aplicada à probabilidade de fusão nuclear

(1)

FICHA CATALOGRÁFICA

Preparada pelo Serviço de Biblioteca e Informação

do Instituto de Física da Universidade de São Paulo

Andrade, Débora Machado

Desigualdade de Jensen aplicada à probabilidade de

fusão nuclear - São Paulo, 2009.

Dissertação (Mestrado) – Universidade de São Paulo.

Instituto de Física, Departamento de Física Matemática

Orientador: Prof. Dr. Mahir Saleh Hussein

Área de Concentração: Física Nuclear

Unitermos: 1. Física Nuclear; 2. Reações Nucleares;

3. Fusão Nuclear; 4. Análise Matemática;

5. Desigualdades

(2)

Universidade de São Paulo

Instituto de Física

Desigualdade de Jensen Aplicada à Probabilidade

de Fusão Nuclear

Débora Machado Andrade

Orientador: Prof. Dr. Mahir Saleh Hussein

Banca examinadora:

(IF-USP) Mahir Saleh Hussein

(IF-USP) Luiz Carlos Chamon

(ITA) Manuel Máximo Bastos

Malheiro de Oliveira

Dissertação de mestrado apresentada ao Instituto

de Física para a obtenção do título de Mestre em

Ciências

(3)

(4)

Agradecimentos

Ao professor Mahir Saleh Hussein, por ter sido meu orientador e exemplo de tantas coisas na vida. Por ter sido um verdadeiro mestre e ter me dado a honra de ser sua aluna.

Aos professores Emerson Passos, João Carlos Barata, Josif Frenkel e Ashok Das, por serem exce-lentes professores e físicos. Por inspirarem a busca pela ciência e ensino de qualidade.

A Amélia Ferrari e a Simone Shinomiya por serem as melhores secretárias do mundo.

A Wei Liang Qian, Rone Andrade, Ruben Pampa e Alexandr Pinzul, pela amizade e coleguismo que zeram meu dia-a-dia no Instituto de Física ser sempre bastante agradável.

A Arsen Melikyan, por ter me encorajado e inspirado incansavelmente na física.

Aos amigos Danilo Dias, Danilo Nunes, Fabrício Resende e Marco Antônio Sampaio, por terem partilhado comigo toda esta experiência de estudar na USP. Por terem se tornado parte da minha família.

Por m, aos meus pais, sem os quais nada faria sentido. Espero algum dia poder tornar concretas as idéias nobres e generosas que eles me inspiram.

(5)

Resumo

(6)

Abstract

We discuss the quantum tunneling problem in physical systems involving many degrees of free-dom. We apply the Jensen inequality to the semi-classical analytical probability of fusion between two nuclei, where we considered intrinsic degrees of freedom. We employed different tunneling potential barriers and analytically worked on each of them. We have mathematically proven then the validity of a general inequality which relates the tunneling probability for a sub-system of the many-degrees-of-freedom system when compared to the sub-system alone (with the coupling to the reservoir being averaged). Such inequality is already empirically well-known through numerical calculations for different models, and has a particular relevance in the problem of heavy ion fusion at sub-barrier energies. We have shown that an inequality derived by R. Johnson and C. Goebel, which involves the re ection over a potential barrier and was used to estimate the breakup effect on the elastic scattering of halo nuclei, is but an immediate consequence of the Jensen inequality. A generalization of the ideas contained in the refered work of Johnson and Goebel, which was made possible by using the Jensen inequality, enriches the comprehension towards upper and lower boundaries for tunneling probabilities in systems with many degrees of freedom.

(7)

Sumário

1 Introdução 1

2 Tunelamento em Um Grau de Liberdade 4

3 Tunelamento em Sistemas Complexos e Efeito do Meio Externo 12

4 Desigualdade de Jensen para Probabilidades de Tunelamento 18

4.1 Desigualdade de Jensen Aplicada à Análise do Efeito de Breakup no Espalhamento Elástico de Núcleos Halo . . . 22 4.2 Desigualdade de Jensen Aplicada à Probabilidade de Tunelamento Através de

Bar-reira Retangular . . . 24 4.3 Desigualdade de Jensen Aplicada à Probabilidade de Tunelamento Através de

Bar-reira de Potencial Isocrônico . . . 25 4.4 Desigualdade de Jensen Aplicada à Probabilidade de Tunelamento Através de

Bar-reira de Potencial Coulombiano . . . 30 4.5 Desigualdade de Jensen Aplicada à Probabilidade de Tunelamento Através de

(8)

SUMÁRIO

4.6 Desigualdades Envolvendo um Fator de Forma Variante . . . 43

5 Conclusões 46

6 APÊNDICE 49

Referências Bibliográ cas 52

(9)

CAPÍTULO1

Introdução

(10)

CAPÍTULO1: INTRODUÇÃO

os graus de liberdade intrínsecos são tomados em média. Este é o principal objetivo deste trabalho. Para tanto, nos valemos de um teorema em análise matemática conhecido como teorema de Jensen. A desigualdade de Jensen, enunciada pela primeira vez pelo matemático dinamarquês J.L. Jensen no nal do século XIX, pode ser enunciada concisamente da seguinte forma: "a transformação convexa da média de uma distribuição é menor ou igual que a média dos valores assumidos por tal transformação convexa daquela distribuição". De nições precisas e especí cas desta desigualdade, a qual pode ser enunciada de várias formas, a depender da complexidade das transformações e distribuições envolvidas, serão dadas posteriormente neste trabalho.

A desigualdade de Jensen, sendo uma desigualdade fundamental da análise matemática, foi demon-strada através de argumentos baseados na teoria termodinâmica por A.R. Plastino, A. Plastino e G.H. Miller, num artigo denominado “Thermodynamic paths to Jensen's inequality” [19]. Nesse artigo, os autores veri cam empiricamente a desigualdade de Jensen através de experiências hipotéticas de nivelação isotérmica de um uido incompressível num sistema de vasos comunicantes, e também através da equilibração térmica de um sistema de muitos corpos.

A desigualdade de Jensen parece ter sido primeiramente aplicada na física estatística por R. Peierls [20] em 1938, visando à obtenção da seguinte desigualdade envolvendo a função de partição canônica

Z( ):

Z( ) =T r[exp [ H]]>exp [ T r[H]] (1.0.1)

Também R. Feynman [10] utilizou a desigualdade de Jensen em seu livro “Quantum Mechanics and Path Integrals”, para enunciar o seguinte princípio variacional:

F0 6F00

1

S S0 (1.0.2)

em queF0 é a energia livre do sistema e S é o análogo quântico da ação clássica correspondente

àquela energia. Essa desigualdade mostra que se calcularmosF0

0 1hS S0ipara várias “ações”

S´, então o cálculo que fornecer o menor valor estará o mais próximo possível da energia livre real

F0.

(11)

CAPÍTULO1: INTRODUÇÃO

Tendo esta desigualdade uma ampla gama de aplicações, recentemente tem sido utilizada em diver-sos campos da física aplicada, de procesdiver-sos estocásticos na biofísica à teoria de informação. Com efeito, como foi pontuado por J. Ruel e M. Ayres em seu artigo intitulado “Jensen's inequality pre-dicts effects of environmental variations” [21], a desigualdade de Jensen tem relevância em todo campo da biologia que inclui processos não lineares. Por envolver comparações entre médias es-tatísticas, a desigualdade de Jensen tem larga aplicação em todas as ciências em que um tratamento estatístico das variáveis a serem consideradas se faz necessário.

(12)

CAPÍTULO2

Tunelamento em Um Grau de Liberdade

Quando projetada sobre ondas parciais, a hamiltoniana de energia cinética no espaço de con g-uração se torna uma soma de sua parte diferencial radial mais um termo de potencial repulsivo centrífugo,

~2

2 r

2 ₌ ~2

2 1

r2 d

dr r

2 d

dr +

~2_l₍_l_{+ 1)}

2 r2 (2.0.1)

O termo centrífugo é então combinado com o potencial de tunelamentoVt(r)para de nir o potencial

efetivo, dependente do número quânticolda onda parcial correspondente, dado por

Vl(r) =Vt(r) +

~2_l₍_l_{+ 1)}

2 r2 (2.0.2)

Utilizando a formulação de [22] para a probabilidade de transmissão abaixo da barreira, que garante uma transmissão de 1/2 no topo de uma barreira simétrica [23], e leva em consideração re exões múltiplas de todas as ordens dentro da barreira de tunelamento, se a aproximação uniforme for usada numa fomulação do tunelamento através de integrais de trajetória [12], a probabilidade de tunelamento associada ao sub-sistema isolado tem a forma

Tl[E; Vl(r)] =

1

1 + exp(gl[E; Vl(r)])

(13)

CAPÍTULO2: TUNELAMENTO EMUMGRAU DELIBERDADE

onde a açãogl[E; Vl(r)]é dada por

gl[E; Vl(r)] = r

8

~2

Z r2(l;E)

r1(l;E)

drpVl(r) E (2.0.4)

e onder1(l; E)er2(l; E)são os pontos de retorno clássicos.

Uma maneira de obter uma forma fechada para a probabilidade de tunelamento acima é seguir o procedimento de Hill-Wheeler [24], que consiste em aproximar o potencial efetivo de tunelamento por uma parábola invertida, expandindo o potencial efetivo em torno da coordenada Rl onde o

potencial assume seu valor máximo, e mantendo apenas os termos de ordem mais baixa (quadrática). Com efeito, expandindo o potencialVl(r)em torno deRl, obtemos:

Vl(r) =Vl(Rl) + (r Rl)

dVl(r)

dr _r₌_R

l

+ 1

2(r Rl)

2 d2Vl(r)

dr2

r=Rl

+O r3 (2.0.5)

Ora, como o pontoRlrepresenta a coordenada do ponto de máximo da função, temos que h_dV_l(_r₎

dr i

r=Rl

=

0e hd2_drVl(2r)

i

r=Rl

< 0:Descartando os termos de ordem 3 ou superior em r;chegamos à aproxi-mação de Hill-Wheeler para a barreira de potencial de tunelamento:

VHWl(r) Vl(Rl)

1 2 !

2

l(r Rl)2 (2.0.6)

onde!lé proporcional à segunda derivada deVl(r)calculada no pontoRl:

!l= s

1 d2_V

l(r)

dr2

r=Rl

(2.0.7)

A partir da aproximação parabólica para o potencial, a açãogl[E; Vl(r)]tem a forma

gl[E; Vl(r)] = r

8

~2

Z r2(l;E)

r1(l;E)

dr

r

Vl(Rl)

1 2 !

2

l(r Rl)2 E (2.0.8)

a qual, após algumas mudanças de variáveis, pode ser reescrita na forma

gl[E; Vl(r)] =

4

~_!_l(Bl E)

Z ₂

2

(14)

g(l; E) = 2

~_!_l(Bl E) (2.0.10)

ondeBl =Vl(Rl).

Em aplicações à ssão e fusão nuclear, a aproximação acima para a ação permite o cálculo de observáveis de forma fechada.

Em ssão nuclear ou no decaimento de partículas muito carregadas, a taxa temporal de ocorrência dos eventos é calculada multiplicando a transmissão l = 0 pelo número do fator de assaltos, ou seja, o número de vezes por segundo que o fragmento bate na barreira pelo lado de dentro antes de escapar:

R=Ppre

v

2R

1

1 + exp 2~_!(B E)

(2.0.11) onde B = V0(R0); Ppre é a probabilidade de o fragmento emitido ser pré-formado no estado

fundamental do núcleo que sofre decaimento; o fator ₂v_R é o já mencionado número de assaltos, comv sendo a velocidade do fragmento dentro do núcleo E+V0= 1₂ v2 e Ré o raio nuclear

paral= 0, onde o subíndice foi omitido por simplicidade. No caso da aplicação real à radioatividade alfa, a aproximação parabólica não é adequada visto que a energia da partícula alfa dentro do núcleo que sofre decaimento é muito menor que a altura da barreira. Para tais energias, é preciso calcular a ação de maneira exata, utilizando uma forma esquemática para a barreira de tunelamento. Uma boa aproximação para o cálculo da ação neste caso é aproximar a barreira de tunelamento para uma barreira coulombiana simples Vt(r) = Z1Z2e

2

4 "or para distancias maiores que o raio nuclear e

considerar um poço quadrado(Vt(r) = V0)pararmenor que o raio nuclear, ondeV0é o potencial

nuclear que liga a partícula ao núcleo emissor. Para esta forma da hamiltoniana de tunelamento, a ação de tunelamento g(l; E) =

q

8

~2

Rr2(l;E)

r1(l;E) dr

p

Vl(r) E pode ser calculada numa forma

fechada, utilizando a integral

Z r0

R

dx

r

r0

x 1 =r0

(15)

onder0 é o ponto de retorno mais externo, dado porr0 = Z1Z2e

2

E+V0 . Visto quer0 R, fazemos a

aproximaçãocos 1(x) ₂ x;e a integral acima torna-se

Z r0

R

dx

r

r0

x 1 2r0

p

r0R R (2.0.12)

Com isso, obtemos a conhecida expressão de Gamow para a taxa de tunelamento [25],

R=Ppre

v

2R exp

"

2 +

p

32Z1Z2 Re2

~

#

(2.0.13)

onde é o parâmetro de Somerfeld dado por = Z1Z2e2

~_v , comv2 = 1₂ (E+V0). É costumeiro associar a energiaE+V0 à energia liberada com a emissão alfa, a quantidadeQ . Isto é

simples-mente a diferença entre a massa do núcleo pai e a soma da massa da partícula alfa com a massa do núcleo lho. A famosa equação de Geiger-Nutall é então obtida,

ln(R) =A pB

Q (2.0.14)

comAeBidenti cados com os parâmetros físicos que aparecem na Eq. (2.0.13).

A inclusão do acoplamento com outros graus de liberdade no decaimento por emissão de partículas carregadas se tornou importante com a descoberta da emissão natural de14C por233Ra [26, 27]. Tal radioatividade seria proibida de acordo com o modelo de penetração em barreira unidimensional de Gamow, o qual se provou tão bem-sucedido no caso da radioatividade alfa. A inclusão de outros graus de liberdade levaria em consideração a hamiltoniana do reservoir e do acoplamentoHR( ) +

Hint(r; )em conjunção com o cálculo de tunelamento. Retornaremos a esse ponto mais além.

No contexto da fusão nuclear, um assunto de grande importância no campo da nucleossíntese estelar e na produção de elementos químicos pesados, o cálculo da probabilidade de tunelamento para um dado valor do momento angular aparece na expressão da seção de choque de fusão da seguinte maneira:

F(E) =

k2

1

X

l=0

(16)

ondeké o valor assintótico do número de onda de movimento relativoE = ~₂2k2.

Com a forma de Hill-Wheeler para Tl(E), uma expressão analítica pode ser obtida para a seção

de choque de fusão F(E), seRle!l são tomados como independentes do momento angular, i.e.

Rl RB e!l !. Esse é o procedimento seguido por C. Y. Wong [28], que fez a aproximação

adicional de substituir a soma em lpor uma integral, após introduzir a substituição semi-clássica

l(l+ 1) = (l+ 1=2)2 = 2[29]. De fato, combinando as Eqs. (2.0.3), (2.0.10) e (2.0.15), obtemos, para a seção de choque de fusão:

F(E) =

k2

1

X

l=0

(2l+ 1) 1 + exp ~2!(Bl E)

(2.0.16)

onde Bl = Vl(RB);em que Vl é de nido pela Eq. (2.0.2). Fazendo as aproximações descritas

acima, atribuídas a C. Y. Wong, temos

F(E) =

~2

E

1

Z

0

dl(l+ 1₂)

1 +K2exp

K1~2(l+1₂)2

2 R2

B

(2.0.17)

em queK1= ~2_! eK2 = exp

2

~_!(Vt(RB) E) :Fazendo uma substituição de variáveis, obtem-se

F(E) =R2B

~_!

2E

exp K1~2

8 R2_B +K2

Z

K2

dy

y (2.0.18)

Calculando a integral acima, temos

F(E) =R2B

~_!

2Eln

(

1 + exp

"

2

~_!(E Vt(RB)

~2 _{0 +}1

2 2

2 R2_B )

#)

(2.0.19)

de onde, então, Wong obteve a seguinte expressão simpli cada para a seção de choque de fusão:

W ong

F (E) =R

2

B

~_!

2Eln 1 + exp

2

~_!(E B) (2.0.20)

em queB =V0(RB):

(17)

barreira tal aproximação é falha, visto que normalmente o potencialVl(r)não é simétrico. Não

ob-stante, a fórmula de Wong serve como guia para comparações com resultados mais exatos baseados no método do funcional de in uência, ou de canais acoplados.

Correções advindas da re exão podem ser feitas na aproximação JWKB simples, utilizando o chamado potencial quântico, o qual foi pela primeira vez considerado por Langer [29]. Em uma di-mensão, esse potencial aparece quando se utiliza o ansatz JWKB para a função de onda J W KB(x) =

1

q

dB(x)

dx

exp( iB(x)), que resulta na seguinte forma para a equação de Schrödinger em uma dimen-são [29],

d2 J W KB(x)

drx +

"

dB(x)

dx 2

+2m

~2 Vq(x)

#

J W KB(x) = 0 (2.0.21)

onde dB_dx(x) 2 = 2~m2[E V(x)]é o número de onda local, e o potencial quântico Vq(x)é dado

por

Vq(x) =

~2

2m

2

6 4

3 d2_dxB(2x)

2

4 dB_dx(x) 2

d3_B₍_x₎

dx3

2dB_dx(x)

3

7

5 (2.0.22)

Por construção, a solução da Eq. (2.0.21) é simplesmente a função de onda JWKB. Para energias acima da altura da barreira, tal função de onda não leva à re exão e resulta em um fator unitário para a transmissão (tunelamento). É possível obter re exão a essas energias se for utilizado o poten-cial quântico em cálculos perturbativos com J W KB(x) usado como uma base "não-perturbada".

Quando as derivadas deB(x)são calculadas em termos daquelas do potencial, o potencial quântico torna-se

Vq(x) = ~2 "

5 32m

V0(x)

E V(x)

2

+ V

00₍_x₎

8m[E V(x)]

#

(18)

VJ W KB(x) =V(x) +Vq(x) (2.0.24)

Por outro lado, a equação de onda para a função de onda exata, (r); que descreve a re exão quântica é

d2 ₍_x₎

dx2 +

2m

~2 [E V(x)] (x) = 0 (2.0.25)

que pode ser reescrita como

d2 ₍_x₎

dx2 +

2m

~2 [E VJ W KB(x)] (x) =

2m

~2 Vq(x) (x) (2.0.26)

Então, obtém-se a interessante equação de Lippmann-Schwinger:

j (+)i=_j _{J W KB}(+) _i+G(+)_{J W KB}2m ~2 Vqj

(+)_i _(2.0.27)

ondeG(+)_{J W KB}(x; x0)é a função de Green JWKB unidimensional.

A equação acima pode ser usada para calcular, perturbativamente, a re exão quântica dentro da aproximação JWKB. O elemento de matriz que descreve exatamente a re exão quântica (amplitude de re exão) é dado por

T = 2m

~2 h

( )

J W KBjVqj (+)i (2.0.28)

O termo frequentemente calculado é o de primeira ordem [30]

T(1) =_h _{J W KB}( ) _j2m

~2 Vqj

(+)

J W KBi (2.0.29)

onde +(-) representa as soluções JWKB das ondas incidente e transmitida (os sinais da exponencial em J W KB). A probabilidade de re exão é então dada pelo quadrado do módulo da amplitude de

(19)

R(E) = 2

~

2

jT(1)(E)_j2=

~

2

jh J W KB( ) jVqj

(+)

J W KBij

2 _(2.0.30)

(20)

CAPÍTULO3

Tunelamento em Sistemas Complexos e

Efeito do Meio Externo

O ponto de discussão inicial do tunelamento em sistemas complexos é o operador hamiltoniano do sistema completo (sub-sistema + reservoir),

H(r; ) =HS(r) +HR( ) +Hint(r; ) (3.0.1)

ondeHS(r)é o hamiltoniano do sub-sistema que sofre tunelamento, composto da parte de energia

cinética somada ao potencial de tunelamento,Vt(r), tomado como sendo esfericamente simétrico:

HS(r) =

~2

2 r

2₊_V

t(r) (3.0.2)

onde é o parâmetro de massa. Duas abordagens são comumente seguidas no tratamento do hamil-toniano da Eq. (3.0.1). Pode-se introduzir a matriz densidade total do sistema

(r; ) =j (r; )i h (r; )j (3.0.3)

(21)

CAPÍTULO3: TUNELAMENTO EMSISTEMASCOMPLEXOS EEFEITO DOMEIO EXTERNO

^(r) =T r( ) (r; ) (3.0.4)

O cálculo da matriz densidade reduzida remete à de nição do funcional de in uência. Esse proced-imento foi seguido por [6–8], assim como por outros no campo da física nuclear [31–33].

O procedimento amplamente utilizado para calcular o tunelamento de acordo com o hamiltoniano da Eq. (3.0.1), baseia-se na expansão da função de onda total do sistema_j (r; )iem termos dos

autoestados do hamiltoniano do reservoir,_j n( )i. Projeções sobre as funções de onda

correspon-dentes do sub-sistema resultam nas equações de canais acoplados,

[E n HS] n(r) =

X

m

h njHintj mi m(r) (3.0.5)

onde a equação de Schrödinger para o reservoirHRj n( )i= nj n( )ifoi usada.

As equações de canais acoplados acima são numericamente solucionadas utilizando-se condições de contorno apropriadas para as ondas transmitidas em todos os canais não-elásticos e uma soma das ondas transmitidas e incidentes nos canais de entrada. A forma geral da seção de choque de fusão, tomada como sendo a única absorção inerente ao sistema por todos os canais, é dada por [14, 15]

F(E) = X

i r

E i

E

i

F(E i) (3.0.6)

onde o canalida seção de choque de fusão é calculado com a função de onda exata naquele canal (solução das equações acopladas acima; consideramos que os canais contém o parâmetro de massa). A expressão acima possivelmente implica um aumento na fusão, ou tunelamento, quando muitos canais são acoplados, ou seja F(E) _FHint=0(E), porém a natureza detalhada desses canais irá

de nir a validade ou não desta desigualdade (e.g., i<0).

(22)

movimento para o valor esperado da coordenada de tunelamentoqdo sub-sistema com parâmetro de massaM, sob in uência de uma força conservativa é

Mq•+ _q = dV

dq (3.0.7)

Após escrever a seguinte expressão para a lagrangiana euclidiana,

LE =

1 2Mq_

2₊_V₍_q_{) +} 1

2

X

m x_ 2+1 2

X

m !2x2 +qXc x (3.0.8) e usando técnicas de integral de trajetória, esses autores obtiveram a expressão abaixo para a prob-abilidade de tunelamento:

T( ) =T( = 0) exp A ( q)

2

~ (3.0.9)

onde q é a largura da barreira, eA é uma constante numérica da ordem da unidade. O coe ciente de fricção obedece aqui à relaçãoP ₂_{m !}c2 = Rd!, onde está subentendido que uma integração sobre as frequências é seguida.

Está claro que o acoplamento com o meio externo diminuirá a probabilidade de tunelamento. Perguntase, então, se este efeito seria de natureza geral. Na verdade, um tratamento mais re -nado do problema, dado por [31, 32], mostrou que além do fator de atenuação exph A (~q)2

i

, existe uma correção do potencial de tunelamento interiorT( = 0), que aumenta o tunelamento, especialmente a energias bem abaixo da barreira.

No caso de acoplamento a um meio externo representado por um oscilador harmônico, o trata-mento de canais acoplados com frequência zero (aproximação súbita) torna possível o cálculo da probabilidade de transmissão como uma média simples [33],

hTl(E)i Z

(23)

ondeTl[E; Vl(r) +Hint(r; )]é a probabilidade de transmissão calculada a energiaEcom

poten-cial efetivoVl(r)+Hint(r; );em queHint(r; )é o termo do potencial devido ao acoplamento com

o reservoir. A função de onda 0( )denota a função de onda no estado fundamental relacionada ao

acoplamento com o reservoir. Claramente, funções de onda para estados excitados do acoplamento ao reservoir considerado poderiam ser utilizadas ao invés da função de onda do estado fundamental. A equação acima refere-se ao limite no qual as energias intrínsecas são pequenas quando compara-das à interação de acoplamento, de modo que o hamiltoniano do reservoir é tomado como sendo zero. Neste trabalho consideraremos apenas o caso em que o potencial de acoplamentoHint(r; )

está xado na posição do máximo da barreiraVl(r), i.e. Hint(r; ) = Hint(Rl; ). Embora essa

seja uma aproximação muito grosseira, é um primeiro passo no sentido de analisar analiticamente os efeitos da contribuição do potencial de acoplamento no coe ciente de transmissão.

A probabilidade de tunelamento representada pela Eq. (2.0.3), pode, então, ser reescrita para o potencial efetivoVl(r) +Hint(Rl; ) :

Tl[E; Vl(r) +Hint(Rl; )] =

1

1 +exp_fgl[E; Vl(r) +Hint(Rl; )]g

; (3.0.11) comgl[E; Vl(r) +Hint(Rl; )]dado por:

gl[E; Vl(r) +Hint(Rl; )] = r

8

~2

Z r2(l; )

r1(l; )

drpVl(r) +Hint(Rl; ) E (3.0.12)

onder1(l; )er2(l; )são os pontos de retorno clássicos.

A probabilidade de transmissão dada pela Eq.(3:0:11)é simplesmente uma probabilidade de trans-missão unidimensional, embora dependa do parâmetro , que representa a coordenada intrínseca devido ao acoplamento com o meio externo.

Para a probabilidade de transmissão acima da barreira, uma discussão detalhada foi dada, por ex-emplo, em [34], que mostra queTl[E; Vl(r) +Hint(Rl; )]pode ser escrita exatamente da mesma

(24)

É importante comentar sobre a maneira pela qual os pontos de retorno se movem no plano-r com-plexo à medida que a energia é aumentada gradualmente, passando da região sob o topo da barreira para a região sobre o topo da barreira. Abaixo da barreira, existem dois pontos de retorno, um exte-rior,r2;e um interior,r1:À medida que a energia é aumentada, esses pontos de retorno tornam-se

cada vez mais próximos e eventualmente "colidem"quando a energia atinge o valor correspondente ao topo da barreira, passando daí a se distanciarem entre si no plano complexo, tornando-se com-plexo conjugados um do outro para energias acima da barreira. Isso é mostrado na Figura 4 de [34]. O cálculo da ação de tunelamento, que aqui tem a notação deg=2;é feito ao longo do ramo que garante que tal ação seja real tanto abaixo quanto acima da barreira.

Guiados por Brink e Takigawa [34], Kemble [22], e Miller e Good [23], adaptamos a seguinte prescrição prática para o cálculo numérico da probabilidade de transmissão para energias acima da barreira de potencial:

Tl[E; Vl(r) +Hint(Rl; )] =

1 1 +exp ga

l [E; Vl(r) +Hint(Rl; )]

; (3.0.13)

comga

l [E; Vl(r) +Hint(Rl; )]dado por

g_la[E; Vl(r) +Hint(Rl; )] = r

8

~2

Z jz2(l; )j

jz1(l; )j

drpVl(r) +Hint(Rl; ) E (3.0.14)

ondez1(l; ) ez2(l; ) são as raízes complexo-conjugadas(z1 =z2 =Rl i (l; ))da equação

Vl(r) +Hint(Rl; ) E = 0, assumindo, como o faz Kemble, uma forma parabólica paraVl(r);

no processo de determinação dos pontos de retorno.

A Eq. (3:0:10)resulta em um aumento deTl(E), quando comparado ao caso de acoplamento zero

(25)

nor-CAPÍTULO3: TUNELAMENTO EMSISTEMASCOMPLEXOS EEFEITO DOMEIO EXTERNO

malmente ligados em baixíssimas energias também parece mostrar um apreciável grau de atenuação na taxa de fusão [36, 37].

(26)

CAPÍTULO4

Desigualdade de Jensen para

Probabilidades de Tunelamento

O propósito deste trabalho é encontrar desigualdades gerais envolvendo probabilidades de tunela-mento que comparam o sub-sistema de um sistema com muitos graus de liberdade com relação ao mesmo sistema quando o acoplamento ao meio externo é tomado como uma média. Especi ca-mente, queremos comparar_hTl[E; Vl(r) +Hint(Rl; )]i eTl

h

E; Vl(r) +hHint(Rl; )i i

para o caso geral de reações de fusão.

Para tanto, fazemos uso da desigualdade de Jensen [38], que assegura que para todo funcional

F(f( ))de uma funçãof, a seguinte relação é válida

Rb

ad ( )F(f( )) Rb

ad ( )

F

" Rb

ad ( )f( ) Rb

ad ( ) #

(27)

CAPÍTULO4: DESIGUALDADE DEJENSEN PARAPROBABILIDADES DETUNELAMENTO

intervalo físico de interesse. O que resta a ser determinado é a concavidade do funcional, aqui sendo a probabilidade de tunelamento, como função do potencial de acoplamentoHint(r; ).

Trazendo agora a desigualdade de Jensen ao contexto de probabilidade de fusão nuclear, pode-se a rmar que

hTl(E)i Tl h

(4.0.2) se e somente se T[E; Vl(r) +Hint(Rl; )]é um funcional convexo de Hint(Rl; ) no intervalo

[a; b]. Então, faz-se necessário determinar se a probabilidade de transmissão é um funcional côncavo ou convexo deHint(Rl; )(ondeHint(Rl; )é considerado uma variável simples), de modo a fazer

uma comparação do tipo da desigualdade (4.0.2). O intervalo[a; b]deve abranger todos os possíveis valores que a coordenada relacionada ao reservoir, ;pode assumir.

Vamos introduzir a função w( ) = E Hint(Rl; );que será usada em nossos cálculos com a

nalidade de tornar a compreensão física mais clara, ou seja, w( )representará a energia efetiva. Podemos, então, reescrever a Eq. (3.0.11) na forma

Tl[w( ); Vl(r)] =

1

1 +exp_fgl[w( ); Vl(r)]g

; (4.0.3)

ondew( )representa a "energia efetiva",Vl(r)representa o "potencial efetivo"para a onda parcial

de número quânticol, e a funçãoglestá de nida como na Eq. (3:0:12).

Porquew( )é uma função linear deHint(Rl; );o sinal da derivada segunda da probabilidade de

tunelamentoTl[w( ); Vl(r)], descrita pela equação acima, com relação à funçãow( )determinará

seTlé um funcional côncavo ou convexo deHint(Rl; ):

@2Tl

@w2 =

exp [hl(w)]

(1 + exp [hl(w)])3

(exp [hl(w)] 1) (fl(w))2+ (exp [hl(w)] + 1)

@fl(w)

@w

(4.0.4) em quehl(w)

q

8

~2

Rr2(l;w)

r1(l;w) dr

p

Vl(r) wefl(w) q

2

~2

Rr2(l;w)

r1(l;w)

dr p_V

l(r) w:

(28)

virtude dos limites de integração na funçãofl(w)serem exatamente as raízes da equaçãoVl(r)

w= 0:

@ @w

(Z r2(l;w)

r1(l;w)

dr

p

Vl(r) w )

= 1 2

Z r2(l;w)

r1(l;w)

dr

(Vl(r) w)

3 2

+ (4.0.5)

+ @r2(l; w)

@w

"

1

p

Vl(r) w #

r=r2(l;w)

@r1(l; w) @w

"

1

p

Vl(r) w #

r=r1(l;w)

No entanto, tal derivada tem um signi cado físico muito claro, como será discutido mais adiante, e como tal ela não pode ser divergente. Em nosso caso, isso também pode ser veri cado numeri-camente através de grá cos da probabilidade de transmissão, como de nida pela Eq. (4.0.3), como função da variávelw;os quais são todos suaves para os diferentes potenciais que usamos (Figuras [3-4];[6-16]). A aparente natureza singular da derivada da funçãofl(w) é devida à inadequada

escolha de variáveis.

Não obstante, podemos tirar vantagem da simetria entre a funçãofl(w)e a função período de nida

para movimento nito unidimensional em mecânica clássica:

(E) =p2m

Z r2(E)

r1(E)

dr

p

E V (r) (4.0.6)

ondemé a massa do corpo que descreve o movimento oscilatório eE é sua energia, que é suposta como sendo maior ou igual ao potencialV(r). Os limites da integral aqui também são os pontos de retorno.

A funçãofl(w)não pode ser sempre analiticamente de nida para qualquer função V(r):A

vantagem acima mencionada em considerar a simetria entre fl(w) e (E) está, então, na vasta

(29)

5 6 7 8 9 10

0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30

r₂(E) r1(E)

V

(r)

(M

eV

)

r (fm)

V(r) E

Figura 1:Representação geral deV(r)eEpara o movimento clássico oscilatório unidimensional.

5 6 7 8 9 10

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

r₁(w) r2(w)

V

(r)

(M

eV

)

r (fm)

V(r) w

Figura 2:Representação geral deV(r)e dewno caso de tunelamento quântico.

A partir das Figuras (1) e (2), evidenciam-se as semelhanças entre o problema de que tratamos no contexto de tunelamento e o movimento clássico em uma dimensão. Fazendo-se uma rotação e uma translação no grá co do poço de potencial de um sistema clássico, chegamos ao nosso análogo quântico.

(30)

resultam em funções período isocrônicas (independentes do valor da energia), ou funções período monotonicamente crescentes ou decrescentes.

4.1 Desigualdade de Jensen Aplicada à Análise do Efeito de Breakup

no Espalhamento Elástico de Núcleos Halo

Usando o teorema de Peierls anteriormente aludido [20], R. Johnson e C. Goebel derivaram uma desigualdade envolvendo a re exão acima da barreira de potencial para avaliar o efeito de breakup no espalhamento elástico de núcleos halo [40]. Tal desigualdade clari cou o porquê da seção de choque de reação calculada através do modelo de Glauber ser apreciavelmente menor que aquela calculada usando o limite ótico do modelo, resultando em raios maiores para os núcleos halo, [41]. O resultado de Johnson e Goebel [40] pode ser considerado como uma consequência da desigual-dade de Jensen. O caso da fusão de deutérios dentro de um meio metálico pode ser discutido do mesmo modo acima descrito, e encontra-se um aumento na taxa de fusão ( sicamente isto pode ser atribuído à blindagem eletrônica, que resulta em uma diminuição da barreira de potencial).

Em seu trabalho acima citado, Johnson e Goebel consideraram a matriz S exponencial

Sl(E; ) = exp[2i l(E; )] = exp[f] (4.1.1)

onde a diferença de fase l, na aproximação JWKB é dada por,

l(E; ) = lim r!1

Z r

r0

dr0(kl(r0; ) Z r

r(0)₀

dr0k(0)_l (r0)) (4.1.2) Acima,kl(r; )é o número de onda local dado por

kl(r; ) = r

2

~2 [E Vl(r) Hint(r; )] (4.1.3) k(0)_l (r)é o número de onda da partícula livre,r0é o ponto de retorno clássico de nido porkl(r0; ) =

(31)

l(E; ) = Z 1

r0

drkl(r; ) kr0+ (l+ 1

2) (4.1.4)

Para altas energias, pode-se, na Eq. (4.1.2), expandir o número de onda local em potências de

Vl(r)+Hint(r; )

E e reter apenas o termo principal. Isto constitui a aproximação Eikonal considerada

por Johnson e Goebel [40]. A essa aproximação corresponde a seguinte diferença de fase,

Eikonal(E; b; ) = _~₂

k

Z 1

b

rdrVl(r) +_p Hint(r; )

r2 _b2 (4.1.5)

onde o parâmetro de impactob = (l+ 1₂)=k. A expressão acima pode ser escrita de forma mais conveniente quando o potencial de acoplamentoHint(r; )é escrito na forma separávelF(r)G( )

e são usadas coordenadas cilíndricas(z; b), tais quer =pz2₊_b2_,

Eikonal(E; b; ) =

~2_k

Z 1 1

dz[Vl(r) +Fl(r)G( )] (4.1.6)

Consideramos aqui o caso em que o potencial, como também o fator de forma, é puramente ab-sortivo V(r) = iW(r)eFl(r) = dV_drl(r) . Então, a diferença de fase Eikonaltorna-se um

imag-inário puro ef real. A partir da desigualdade de Jensen e do fato de que Eikonal(E; b; )é uma

função linear deG( );obtemos a desigualdade

hSl(E; )i >exp[ 2j h Eikonal(E; b; )i j] (4.1.7)

(32)

4.2 Desigualdade de Jensen Aplicada à Probabilidade de Tunelamento

Através de Barreira Retangular

Para uma barreira de tunelamento retangular, os pontos de retorno não dependem dew:O potencial, aqui, é uma constante positivaV0entre os pontos de retornor1er2, e 0 fora desse intervalo:

@f(w)

@w =

@ @w

Z r2

r1

dr

p

V0 w

= (r2 r1) 2 (V0 w)

3 2

>0 (4.2.1)

Então, para tal potencial, a derivada segunda da probabilidade de transmissão com relação aw é positiva para todos os possíveis valores dew:Então, usando a desigualdade de Jensen, podemos a rmar o seguinte:

hT[w( ); V0]i T

h

hw( )_i ; V0

i

(4.2.2) donde

hT[E; V0+Hint(Rl; )]i T h

E; V0+hHint(Rl; )i i

(4.2.3)

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 T( w )

w (MeV)

1 H+1 H 2 H+2 H 3 H+3 H

Figura 3:Probabilidade de tunelamento através de uma barreira retangular para os isótopos do hidrogênio. Foi considerada uma barreira retangular de altura0:2M eV estendida de4a20f ma

(33)

4.3 Desigualdade de Jensen Aplicada à Probabilidade de Tunelamento

Através de Barreira de Potencial Isocrônico

Em mecânica clássica, sistemas isocrônicos são sistemas descritos pelo Hamiltoniano

H = 1

2p

2₊_V₍_q₎

tais que admitem uma família de soluções oscilatórias com mesmo período ; onde é de nido pela Eq. (4.0.6). Há inúmeros sistemas isocrônicos na natureza [42]. Aqui, iremos nos limitar aos potenciais isocrônicos racionais. Pode ser provado [43] que, a menos de translações nos eixosxe

y, todos os potenciais isocrônicos racionais tem a forma:

V(r) =Ar2 (4.3.1)

ou

V(r) =Br2+C

2

r2 (4.3.2)

ondeC é uma constante não-nula,A = 222,B = 2

2 2 e é o período de oscilação. Da primeira

classe de potenciais isocrônicos racionais, representada pela Eq. (4.3.1), vê-se que a barreira parabólica, um importante potencial para problemas de tunelamento quântico, é um potencial isocrônico. Diversos trabalhos em tunelamento quântico envolvendo energias próximas à barreira utilizam a aproximação parabólica para o potencial nuclear [44]. Com efeito, para energias altas, o potencial de tunelamento efetivo experimentado pela partícula pode ser aproximado com grande acurácia por uma parábola invertida, como na Eq. (2.0.6),

VHWl(r) Vl(Rl)

1 2 !

2

l(r Rl)2 (4.3.3)

Pelo termo "isocrônicos", entendemos sistemas que atendem à condição:

@ (E)

@E = @ @E ( p 2m

Z r2(E)

r1(E)

dr

p

E V (r)

)

= 0 (4.3.4)

de onde, por argumentos de simetria, obtemos

@f(w)

@w = @ @w (r 2 2

Z r2(w) _dr

p

)

(34)

ondeV0 é uma constante positiva eV (r)é um potencial isocrônico.

Com efeito, usando o potencial parabólico, a funçãofl(w)torna-se

fl(w) = r

2

~2

Z r2(l;w)

r1(l;w)

dr

q

Vl(Rl) 1₂ !2_l (r Rl)2 w

(4.3.6)

Visto quer1(l; w)er2(l; w)são raízes da equaçãoVl(Rl) 1₂ !2l (r Rl)2 w= 0;as funções

fl(w)ehl(w)podem ser reescritas como

fl(w) =

2

~_!_l

Z r2(l;w)

r1(l;w)

dr

p

(r r1(l; w)) (r2(l; w) r)

= 2

~_!_l (4.3.7)

e

hl(w) = r

8

~2

Z r2(l;w)

r1(l;w)

dr

r

Vl(Rl)

1 2 !

2

l(r Rl)2 w=

2

~_!_l[Vl(Rl) w]

Da Eq. (4.3.7), temos

@fl(w)

@w = 0 (4.3.8)

Este resultado é, então, combinado com a Eq. (4.0.4):

@2_T

l

@w2 =

exp [hl(w)]

(1 + exp [hl(w)])3

(exp [hl(w)] 1) (fl(w))2>0 (4.3.9)

e, portanto,

hTl[w( ); VHWl(r)]i Tl

h

hw( )_i ; VHWl(r)

i

(4.3.10) ou

Tl E; Vl(Rl)

1 2 !

2

l (r Rl)2+Hint(Rl; ) (4.3.11)

Tl E; Vl(Rl)

1 2 !

2

l (r Rl)2+hHint(Rl; )i

(35)

unidimensional, na qual o potencial de acoplamentoHint(Rl; )é tomado como uma contribuição

média.

À luz deste resultado, podemos discutir como a desigualdade de Jensen clari ca a compreensão do resultado obtido por C. H. Dasso, S. Landowne e A. Winther, em [16]. Neste trabalho, os autores consideram a aproximação em que os N graus de liberdade adicionais de um sistema podem ser degenerados, para ns de diagonalização das equações de Schrödinger acopladas, em apenas um grau de liberdade extra, resultando em duas equações acopladas cuja diagonalização é trivial. Neste processo, o tunelamento através da barreira é sistematizado de forma que a barreira de potencial original,Vef f₍_r₎_{é bipartida em duas barreiras, a saber}_Vef f₍_r₎ p_{N V}cpl₍_r₎_;_{ou seja, uma das}

barreiras oriundas do processo de acoplamento do grau de liberdade extra tem seu topo mais alto que a original, enquanto a outra é mais baixa que a original. Considerando o potencial de acoplamento

Vcpl _{como sendo independente de}_r;_{que é a aproximação que fazemos neste trabalho, temos que}

as duas barreiras resultantes do processo de bipartição serão idênticas à original em forma, apenas deslocadas para cima e para baixo no eixo-y:Ora, isso é análogo a considerar que a barreira original permanece a mesma, enquanto que a energia com a qual o processo de tunelamento ocorrerá é equipartida em duas, uma maior do que a energia original por uma quantidadepN Vcpl_;_{e outra}

menor que a original pela mesma quantidade. Os autores então mostram que a probabilidade de transmissão total, dada pela média aritmética das transmissões calculadas nos sistemas oriundos da bipartição da barreira de potencial, é maior ou igual à probabilidade de tunelamento original :

Ttot

1

2[T++T ]>T (4.3.12) onde a probabilidade de tunelamentoT é calculada com a barreira de potencial original,Vef f(r);

eT+,T são calculadas com a s barreiras de potencialVef f(r) +

p

N Vcpl_e_Vef f₍_r₎ p_{N V}cpl_;

respectivamente. Com efeito, considerando a probabilidade de tunelamento como uma função con-vexa da "energia efetiva"E = E0

p

N Vcpl₍_E

0 sendo a energia original na qual o processo de

(36)

hT(E)_i>T(_hE_i):Ora, se a média considerada é a média aritmética (discreta) e tomamos apenas dois pontos na curva deT(E), chegamos trivialmente ao resultado representado pela Eq. (4.3.12). Calculando a derivada segunda da probabilidade de transmissão representada pelas Eqs. (3.0.13) e (3.0.14) e seguindo o mesmo procedimento descrito acima, encontra-se que

hTl[E; VHW l(r) +Hint(Rl; )]i 6Tl h

E; VHW l(r) +hHint(Rl; )i i

(4.3.13) para energias acima da barreira de potencial. Disto infere-se que para a aproximação parabólica para o potencial, todos os sistemas mostram transmissão reduzida para energias acima da barreira.

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

T(

w

)

w (MeV)

1

H+1

H

2

H+2

H

3

H+3

H

Figura 4: Probabilidade de tunelamento através de uma barreira parabólica para os isótopos do hidrogênio. A barreira considerada, cuja altura era0:25M eV, foiV(r) = 0:005r2+ 0:071r

para06r614f me 0 fora desse intervalo. Todas as curvas são convexas, como esperado

analiticamente.

(37)

0 5 10 15 20 25

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30

V(

r

)

(M

eV)

r_(fm)

Figura 5:Exemplo de potencial isocrônico da formaV(r) =V0 Br2 C

2

r2. Neste exemplo,

V0=0.275,B=0.0005 eC2=0.3125.

Procedendo de maneira análoga ao caso da barreira parabólica, podemos a rmar que

T E; V0 Br2

C2

r2 +Hint(Rl; ) T E; V0 Br

2 C2

r2 +hHint(Rl; )i

(4.3.14) A inequação (4.3.14) implica que as curvas da probabilidade de transmissão com relação à função

w = E Hint(R; ) devem ser convexas independentemente da massa reduzida do sistema, ou

seja, independentemente do par de átomos que sofrerá fusão atrvés de tal potencial. Isso pode ser con rmado na gura que se segue:

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

T(

w

)

w (MeV)

1

H+1

H

2

H+2

H

3

H+3

(38)

Figura 6:Probabilidade de tunelamento através da barreira mostrada na Figura 5 para os isótopos do hidrogênio.

4.4 Desigualdade de Jensen Aplicada à Probabilidade de Tunelamento

Através de Barreira de Potencial Coulombiano

Em problemas de fusão nuclear, especialmente em baixas energias, a barreira de tunelamento muito frequentemente é aproximada pela barreira coulombiana acompanhada de um poço retangu-lar abrupto que representa a região efetiva de matéria nuclear. Tal potencial pode ser representado analiticamente da seguinte maneira:

V(r) = V0 (r0 r) + C1

r (r r0)

ondeV0 é uma constante positiva,r0 é o raio nuclear efetivo e C1 = Z1Z2e

2

4 0 ;em queeé a carga

elétrica fundamental. Para tal potencial, temos quer1(w) =r0 :

f(w)

r

2

~2

Z r2(w)

r0

dr

q C1

r w

Então, computando a derivada da funçãof(w)com relação aw, temos:

@f(w)

@w =

3C1 w52

ArcT an 8 > < > : v u u u t q C1

wr0 1

q C1

wr0 + 1

9 > = > ; r0

2w32

4C1

wr0 1

q C1

wr0 1

(4.4.1)

Visto que0< w < C1

r0;temos que

C1

wr0 >1;de modo que o lado direito da Eq. (4.4.1) resulta em um

valor negativo para qualquer valor permitido dewe qualquer valor admitido der0(r0 >0):Usando

esse resultado de maneira qualitativa (apenas usando o fato de que, para o potencial coulombiano,

@f(w)

@w <0)na Eq. (4.0.4), vemos que o sinal da derivada segunda da probabilidade de transmissão

(39)

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

T(

w

)

w (MeV)

1

H+1

H

2

H+2

H

3

H+3

H

Figura 7:Probabilidade de tunelamento através da barreira coulombiana para os isótopos do hidrogênio. É notada a mudança de concavidade nas curvas à medida quewcresce. Aqui

utilizamosr0 = 6f me e

2

4 "0 = 1:44M eV f m:

86 88 90 92 94

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

64

Ni+64

Ni

T(

w

)

w_(MeV)

Figura 8:Probabilidade de tunelamento através da barreira coulombiana para dois núcleos de

64_{Ni. Note-se que a região onde a curva é convexa é proporcionalmente maior em comparação}

com a Figura7. Aqui utilizamosr0 = 12f me e

2

(40)

4.5 Desigualdade de Jensen Aplicada à Probabilidade de Tunelamento

Através de Barreira de Potenciais Nuclear, Coulombiano e

Cen-trífugo Combinados

4.5.1 Desigualdades Para Fusão em Baixas Energias

Abordaremos agora a aplicação da desigualdade de Jensen para o caso de baixas energias. Por "baixas energias"entendemos pequenos valores da função w( ) = E F(Rl)G( ): A

aproxi-mação parabólica para a barreira de potencial não é adequada para este caso, no qual usaremos uma interação efetiva íon-íon da forma:

Vl(r) VN(r) +

Z1Z2e2

4 "0r

+~

2_l₍_l_{+ 1)}

2 r2 (4.5.1)

em queVN(r)é o potencial nuclear.

Agora, para valores pequenos dew( );fazemos a aproximação:

exp

"r

8

~2

Z r2(l;w)

r1(l;w)

drpVl(r) w # 1 ! exp "r 8 ~2

Z r2(l;w)

r1(l;w)

drpVl(r) w # + 1 ! exp "r 8 ~2

Z r2(l;w)

r1(l;w)

drpVl(r) w #

de modo que, para tais valores dew( );é possível aproximar a Eq. (4.0.4) da seguinte maneira:

@2Tl

@w2

exp [2hl(w)]

(1 + exp [hl(w)])3

(fl(w))2+

@fl(w)

@w (4.5.2)

em quefl(w)ehl(w)estão de nidos na Eq. (4.0.4). A partir da equação acima, vemos que o sinal

de @2Tl

@w2 dependerá exclusivamente do sinal do termo

n

(fl(w))2+ @f_@wl(w) o

:Mostraremos que tal termo, considerando a barreira de potencial para reação de fusão com a qual estamos lidando (Eq. (4.5.1)), é sempre positivo quandow( )tende a zero. Para fazer isso, assumimos primeiramente a seguinte hipótese nula:n(fl(w))2+ @f_@wl(w)

o

w!0 60:Então,

lim

w!0 d dw

1

f(w) 6 1)1>wlim!0fwf(w)g )1>wlim!0

(r

2

~2w

Z r2(l;w)

r1(l;w)

dr

p

(41)

Agora, fazemos

Z r2(l;w)

r1(l;w)

dr

p

Vl(r) w

=

Z r

r1(l;w)

dr

p

Vl(r) w

+

Z r2(l;w)

r

dr

p

Vl(r) w

em quer1(l; w) < r < r2(l; w):Aqui,r é escolhido como sendo su cientemente maior do que

o raio nuclear efetivo para reação de fusão, de modo que a uma tal distância, o potencial nuclear atrativo,VN(r);seja desprezível. Então,

1> lim

w!0

(r

2

~2wI1

)

+ lim

w!0

(r

2

~2wI2

)

(4.5.3)

ondeI1 Rrr1(l;w)

dr p

Vl(r) w e I2

Rr2(l;w)

r

dr p

Vl(r) w:Claramente a integral I1 é limitada para

w_!0;e, portanto,limw!0

q

2

~2wI1 = 0:Isto nos deixa com a desigualdade:

1> lim

w!0

(r

2

~2wI2

)

(4.5.4)

Fazendo uma mudança de variáveis, a saber,y=Vl(r) w;obtemos, paraI2:

I2=

Z 0

V(r ) w

dy

p_ydV

1

l (y+w)

dy

Visto que r é tomado como sendo muito maior que o raio nuclear efetivo, a contribuição para o potencial total Vl(r) do potencial atrativo de Woods-Saxon pode ser desprezada no intervalo

(r ; r2(l; w)). Tendo isto em conta, no cálculo deI2fazemos a seguinte aproximação:

V_l(r) C1

r +

C2l

r2 (4.5.5)

em queC1 = Z1Z2e

2

4 0 eC2l =

~2l(l+1)

2 :Claramente,C1 eC2lsão ambas não-negativas.

Assumire-mos primeiro quel ₆= 0;ou seja, que C2lé uma constante estritamente positiva. Da Eq. (4.5.5),

temos

r= C1+

p

(42)

donde

I2 =

Z 0

C₁ r +

C₂_l r 2 w

dy

2

4 C2l

(y+w)qy C₁2+ 4 (y+w)C2l

C1+

p

C2

1 + 4 (y+w)C2l

2py(y+w)2

3

5

(4.5.6) Como nosso objetivo aqui é a veri cação da desigualdade (4.5.4), não nos ateremos aqui ao cálculo exato da integral representada pela Eq. (4.5.6). Ao invés disso, usaremos um atalho matemático fundamentado na seguinte desigualdade, que obtem-se derivando parcialmente a integral I2 com

relação à constanteC1;ondeC1aqui é tomada como uma variável: @I2

@C1

>0 (4.5.7)

Uma consequência direta desse fato é que limC1!0fI2(C1)g 6 I2(C1);já que C1 é positiva.

Logo,

lim

C1!0f

I2(C1)g=

p

C2l

2

Z C₂_l r 2 w 0

dy

p_y₍_y₊_w₎3 2

6I2

) p

C2l

w

s

1 w(r )

2

C2l

6I2

Multiplicando ambos os lados da inequação acima porwe tomando o limitew_!0;obtemos

p

C2l6 lim

w!0fwI2(w)g

Combinando o último resultado com a inequação (4.5.4), 1>

r

2

~2 wlim!0fwI2(w)g>

r

2

~2C2l

o que nos leva ao resultado absurdo de quepl(l+ 1) 6 1;já queC2l =

~2_l₍_l₊₁₎

2 :Por hipótese, l₆= 0;de modo que o valor mínimo para o termopl(l+ 1)ép2. Isto nos leva a uma contradição, signi cando que nossa hipótese nula inicial,n(fl(w))2+ @f_@wl(w)

o

w!060é falsa.

Examinemos agora o casol= 0;caso em que o potencialVl(r)usado emI2será apenas o potencial

de Coulomb:

V0(r)

(43)

Com o potencial acima, a integralI2torna-se, paraw!0:

I2 = r

p_w r

C1

wr 1 +

2C1 w32

arctan ( exp " arccosh r C1 wr !#) C1

2w32

(4.5.8)

Multiplicando ambos os lados da Eq. (4.5.8) porwe tomando o limitew _! 0, encontramos que limw!0fwI2(w)g = 1;de forma que novamente a desigualdade (4.5.4) não pode ser satisfeita

para o caso da onda parcial coml= 0;rati cando o fato de que a hipótese nulan(fl(w))2+ @f_@wl(w) o

w!06

0é falsa. Retomando a Eq. (4.5.2), temos

lim

w!0 @2Tl

@w2 = lim_w_!₀

exp [2hl(w)]

(1 + exp [hl(w)])3

(fl(w))2+

@fl(w)

@w >0

o que implica na seguinte desigualdade de Jensen:

hTl[E; Vl(r) +Hint(Rl; )]i 6Tl h

(4.5.9)

para_fE Hint(Rl; )g !0e ondeVl(r)é dado pela Eq. (4.5.1).

Este resultado bastante geral implica que qualquer que seja a forma analítica do potencial nuclear adotado, o grá co da probabilidade de transmissão versusw( ), ondew( ) = E F(Rl)G( ),

é convexo para valores su cientemente pequenos dew, acarretando num aumento no tunelamento para tais valores.

Até aqui, nos concentramos no coe ciente de transmissão para a onda parcial de número quântico

l. Os dados experimentais para fusão ocorrendo via processo de tunelamento quântico, por outro lado, são representados pela seção de choque de fusão de nida por:

F(E) =

~2

2 E

1

X

l=0

(2l+ 1)Tl(E) =

1

X

l=0

l(E) (4.5.10)

A partir da Eq. (4.5.10), vemos que a dependência de F(E)com relação ao acoplamentoHint(Rl; )

está apenas nos termosTl(E):Então, se for possível a rmar que, por exemplo, Tl(E) é um

fun-cional convexo deHint(Rl; )para todos os valores do número quânticol, então também se poderá

(44)

aumento na seção de choque de fusão quando o acoplamento aos graus de liberdade do reservoir são levados em consideração, ou seja,

h F(w( ))i F(hw( )i ) (4.5.11)

para o processo de fusão ocorrendo via tunelamento através de uma barreira de potencial.

Com efeito, para energias muito abaixo do topo da barreira, o coe ciente de transmissão, ou prob-abilidade de tunelamento, pode ser aproximado por uma exponencial, visto que a ação na aproxi-mação uniforme para o coe ciente de transmissão é pequena:

F(E) =

~2

2 ET0(E) = ~2

2 E exp [ g0(E; V(r) +Hint(Rl; ))] (4.5.12)

De maneira análoga ao que foi demonstrado no início desta subseção, mostra-se que F(E);como

de nida na Eq. (4.5.12) é convexa emHint(Rl; ) para w( ) ! 0, e logo sua média sobre é

maior ou igual que F(E)calculada comhHint(Rl; )i . Portanto, podemos a rmar que

hexp [ g0(E; V(r) +Hint(Rl; ))]i exp [ g0(E; V(r) +hHint(Rl; )i )] (4.5.13)

que representa a versão de tunelamento, num limite de baixas, da desigualdade de Johnson e Goebel concernente ao elemento da matriz-S eikonal do espalhamento elástico de núcleos halo.

Atualmente, é bem sabido que um grande aumento em F;com relação ao limite de não-acoplamento,

tem sido observado para a maioria dos sistemas de fusão de íons pesados a energias próximas do limite da barreira [45]. Recentemente, foi reportado que a energias muito baixas, este au-mento é reduzido [36] (infelizmente, este efeito tem sido amplamente chamado de "diminuição do tunelamento", que não deve ser confundido com o que chamamos de diminuição da probabili-dade de tunelamento neste trabalho, que seria um comportamento côncavoTl(w( ))como função

(45)

4.5.2 Desigualdades Para Todo o Espectro de Energia

De acordo com a discussão da seção anterior, esperamos que, no contexto das aproximações acerca das quais ponderamos neste trabalho, todos os grá cos da probabilidade de tunelamento em função dewmostrem uma curva convexa ao menos para pequenos valores dew:Por outro lado, remontando à discussão da seção (3:3), toda vez que a barreira de tunelamento puder bem ser aproximada por uma parábola, então também um comportamento convexo da curva da probabilidade de transmissão é esperado para energias abaixo do topo da barreira de potencial, enquanto que um comportamento côncavo de tal curva é esperado para energias acima do topo da barreira de potencial.

Visando à veri cação da acurácia dos resultados analíticos que obtivemos até agora, plotamos a probabilidade de fusão, Tl; como de nida pelas Eqs. (3.0.11), (3.0.12) e pelas Eqs. (3.0.13),

(3.0.14); respectivamente para valores de w abaixo e acima do topo da barreira. O modo como foram feitos os cálculos envolvendo os pontos de retorno complexos presentes na Eq. (3.0.14) está descrito em detalhe no Apêndice. A barreira de potencial aqui utilizada foi a interação efetiva íon-íon representada abaixo, onde a interação nuclear foi tida como do tipo Woods-Saxon:

Vl(r) =

V0

1 + exp r R0

p

+Z1Z2e

2

4 "0r

+~

2_l₍_l_{+ 1)}

2 r2 (4.5.14)

onde a difusividadeap foi tomada como sendo 0.65fm, o raio nuclear efetivo do sistema foi

cal-culado comoR0 = 1:31 p3A1+p3A2 1:68f m;ondeA1 eA2 são os números de massa dos

núcleos envolvidos na reação de fusão, e o parâmetro V0 foi escolhido de modo que o potencial

Woods-Saxon e o potencial de São Paulo coincidissem na coordenada correspondente à superfície nuclear efetiva [46, 47].

Nas Figuras (9) e (10) temos a probabilidade de tunelamento para os sistemas64Ni+64_{Ni e}16_O₊150_Sm_;

(46)

90 92 94 96 98 100 102

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

64

Ni+64

Ni

T(

w

)

w (MeV)

Figura 9:Probabilidade de transmissão versus a funçãow( )para o sistema64N i+64N i;para

l= 0:Na região classicamente proibida, i.e. quando06T(w)60:5;a curva mostra uma

dependência convexa do funcional probabilidade de tunelamento com relação à funçãow( );

enquanto que na região classicamente permitida, a curva torna-se côncava. Desde que a

concavidade muda, a desigualdade de Jensen é revertida quando se passa da primeira para a

segunda região, e como consequência o aumento na probabilidade de transmissão se torna uma

diminuição.

56 58 60 62 64 66

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

16

O+150

Sm

w (MeV)

T(

w

)

Figura 10:Probabilidade de transmissão versus a funçãow( )para o sistema16O+150Sm;

(47)

probabilidade de tunelamento com relação à funçãow( );enquanto que na região classicamente

permitida, a curva torna-se côncava.

Essa propriedade geral de convexidade da probabilidade de tunelamento paraTl(w) 60:5implica

um aumento no tunelamento (fusão), com relação a uma comparação com um modelo unidimen-sional, em conformidade com o que os dados experimentais parecem claramente apontar [45]. No caso da concavidade da curva da probabilidade de transmissão não ser a mesma para todos os possíveis valores dew, que é o caso das curvas mostradas acima, a desigualdade de Jensen poderá ser usada se !( ) _h!( )_i < K, ondeKé um limite superior para os desvios da distribuição

w( ). Em outras palavras, se os desvios de todos os possíveis valores da distribuiçãow( )com relação ao valor médio_hw( )_i forem su cientemente pequenos de modo que a distribuiçãow( ) que totalmente contida em um dos intervalos nos quais a concavidade não muda, então podemos enunciar:

hT0[E; VN0(r) +F(Rl)G( )]i T0

h

E; VN0(r) +F(Rl)hG( )i

i

(4.5.15)

se a distribuiçãow( )está contida no intervalo em que o grá co é convexo, ou

hT0[E; VN0(r) +F(Rl)G( )]i T0

h

E; VN0(r) +F(Rl)hG( )i

i

(4.5.16)

se a distribuição está contida no intervalo em que o grá co é côncavo. Se a distribuiçãow( )for tão dispersa a ponto de não poder ser restrita a um destes intervalos, a desigualdade de Jensen não pode ser utilizada. No entanto, façamos aqui uma ressalva a essa questão. No caso do acoplamento ao meio externo ser representado por um oscilador harmônico, a energia potencial relacionada a esse oscilador poderia assumir in nitos valores, não permitindo então, a princípio, que a distribuição

w( )seja restrita a um intervalo especí co. No entanto, interpretando sicamente a distribuição

(48)

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Região Côncava Região

Convexa

T(

w

)

w (MeV)

Figura 11:Exemplo de grá co de probabilidade de tunelamento em função dew( ), onde a concavidade da curva não é constante. Separando o grá co em duas regiões de concavidades

distintas, pode-se aplicar a desigualdade de Jensen, desde que a distribuiçãow( )esteja

completamente contida em uma delas.

Entretanto, grá cos da probabilidade de transmissão como função dew( ) para sistemas de íons muito leves mostram um comportamento diferente no que concerne à concavidade das curvas, como mostrado nas Figuras (12), (13) e (14). Os grá cos seguintes foram obtidos usando o mesmo método descrito anteriormente i.e. a probabilidade de transmissão foi de nida pelas Eqs. (3.0.11), (3.0.12) e pelas Eqs. (3.0.13), (3.0.14); respectivamente para valores dewabaixo e acima do topo da barreira. A barreira de potencial utilizada foi também dada pela Eq. (4.5.14), onde a interação nuclear tem a forma Woods-Saxon. Para tais íons leves, as curvas deTl versusw( ) apresentam três pontos

(49)

a este propósito, mas o tratamento analítico neste caso torna-se deveras mais complicado. Em verdade, o caráter assimétrico de tal barreira de potencial limita até mesmo a validade da forma analítica para a probabilidade de transmissão representada pelas Eqs. (3.0.11), (3.0.12), que são derivadas, através da teoria de aproximação uniforme, a partir do pressuposto de que a barreira de potencial é localmente parabólica.

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

2_H+2_H

T(

w

)

w (MeV)

Figura 12:Probabilidade de transmissão versus a funçãow( ), para o sistema2H+2_H_,_l_{= 0}_.

A curva mostra pontos de in exão extra quando comparada às curvas correspondentes para

sistemas mais pesados, o que se deve ao caráter mais assimétrico da curva de interação íon-íon

para esses sistemas.

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

2

H+2

H

T(

w

)

(50)

Figura 13:Probabilidade de transmissão versus a funçãow( ), para o sistema2H+2H,l= 1. A curva apresenta uma atenuação evidente em sua excentricidade, quando comparada à curva

paral= 0do mesmo sistema.

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

T(

w

)

w (MeV)

1

H+1

H

2

H+2

H

3

H+3

H

3

He+3

He

4

He+4

He

Figura 14:Probabilidade de tunelamento em função dewpara diversos pares de íons leves, para a onda parcial l=0. Em todas as curvas, é notada uma mudança de concavidade à medida quew

cresce.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 0.0

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

T(

w

)

w (MeV)

6

Li+6

Li

7

Li+7

Li

(51)

1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

T(

w

)

w (MeV)

11_Be+11_Be 9

Be+9

Be

7

Be+7

Be

11

B+11

B

10

B+10

B

Figura 16: Probabilidade de tunelamento em funcão dew( )para isótopos do berílio e do boro, para a onda parcial l=0.

Estes resultados relacionados a íons leves indicam que a aproximação parabólica para a barreira efetiva de potencial não é adequada para tais casos. A aproximação parabólica é a primeira aprox-imação cabível do potencial real em uma série polinomial. A barreira de potencial para íons muito leves tem um caráter bastante assimétrico, de modo que um polinômio de grau três ou superior seria requerido para bem representar tal barreira. Para íons pesados, por outro lado, a aproxi-mação parabólica proporciona resultados sicamente interessantes, e ela foi, de fato, utilizada em muitos trabalhos envolvendo graus de liberdade extra na fusão a energias próximas da altura da barreira [44].

4.6 Desigualdades Envolvendo um Fator de Forma Variante

Discutiremos agora o caso mais geral em que o fator de forma,F(r);não é uma constante. Re-tomando a Eq. (3.0.12):

g[E; Vl(r) +F(r)G( )] = r

8

~2

Z r2(l;E)

r1(l;E)

(52)

Suponhamos, primeiramente, queF(r)<0para todor. O casoF(r) >0é análogo. Reescreve-mos a Eq. (4.6.1) na forma

g[E; Vl(r) +F(r)G( )] = r

8

~2

Z r2(l;E)

r1(l;E)

drp F(r)

s

Vl(r) E

( F(r)) G( ) (4.6.2) Fazemos então uma mudança de medida na integral:

dy=drp F(r) =₎y(r) =

r Z

0

drp F(r) (4.6.3)

De nimos a função

s(r)

r Z

0

drp F(r) (4.6.4)

tal quey(r) =s(r). Então, introduzindo a função inversa, escrevemosr=s 1₍_y₎_{, e a Eq. (4.6.1)}

torna-se

g[E; Vl(r) +F(r)G( )] = r

8

~2

Z y2

y1

dy

s

Vl(s 1(y)) E

( F(s 1₍_y₎₎₎ G( ) (4.6.5)

=

r

8

~2

Z y2

y1

dy

q

Vef f(y) Eef f

ondeVef f(y) Vl(s

1₍_y₎₎ _E

( F(s 1₍_y₎₎₎ eEef f G( ):Neste caso,Eef f varia deVef fminaVef fmax, onde Vef fmin é de nido como sendo o valor mínimo da energia requerido para que a probabilidade de

tunelamento seja nita, enquanto que Vef fmax é a energia correspondente ao topo da barreira de

potencial efetiva.

Os limites de integração na Eq. (4.6.5) podem ser encontrados através da Eq. (4.6.3):

y1=

r1_Z(l; )

0

drp F(r)

e

y2=

r2_Z(l; )

0

drp F(r)

(53)

(54)

CAPÍTULO5