dE(x,t) = dt
cuja solU9ao nos da E(x,t)=E(Xo'O) + JtJ (~)d~ o
c) Obter uma equa9ao diferencial para a varia9ao da densidade de carga ao longo de uma linha de cor -rente. Derivando p(x,t) ern rela9ao a t vem:
SR.= dt dx - + dt ~=
at
E~+
ax
Derivando (1.4) parcialmente em rela9ao a x tem-se:
E 3p + p2 + ~
=
0ax at
E ~
+ ~
= _p2, portanto ax atdp(x,t) + p2 = 0 dt
Vemos, agora, que ern principio temos 0 problema resolvido se, de alguma forma, conhecermos a corrente total J(t) pois, por integra9ao da (1.6) e apos, da (1.5) ,temos:
x(t)= Xo+E(Xo,o)t
+
ftdt'ft'J(t")dt"o 0
onde Xo caracteriza uma linha de corrente ern sua posi9ao inicial ern
t=O.
Para se obter a solu9ao do problema, consideremos os se guintes passos:
J(t)= dE -I- E dE
dt
dX
qualquer t<T, onde T
e
0 tempo de chegada da carga em urn dos eletrodios) obtemosd flEdx
+
flE
dE
dx =dt 0 0
ax
dV
o
+
[_E_....•.(1_,2....t_)_-_E_2_(_0_,_t__)1
,e 2J(t) =1:.1 E2(1,t) -E2(0,t)1 2
b) Integrando a equa9ao (1.3) para qualquer t<T ficamos com
E(l,t) - E(O,t)= Q
o onde Qo
e
a carga total. Explicitando E(O,t) e substituindo na equa9ao (1.10) teremos:USO DO MtTODO DAS CARACTER!STICAS QUANDO ~ CARGA TO-CA OS ELETRODIOS. (PARA MATERIAL COM CONDUTIVIDADE ND LA (0=0))
Admitindo simetria plana, supomos os eletredios su-jeitos
a
uma voltagem conhecida, V(t), dependente do tempo. Supomos ainda urn meio de condutividade nula (0=0), e nele urna distribui9ao de cargas em excessc, que toca urn dos eletredios inicialmente e fun9ao da posi9ao (x) e do tempo (t).Para t=O temos p(x ,0) conhecida. (Fig.2) o
'6
=0
flE(x,t)dx = Vet) o
Regiao 1- p(t=o)=p(xo'o) ---'---""--- X
X=O
SOx=1
Fig.2
So = posi9ao da frente em t=O
s = posi9ao da frente apes urn tempo t
Nao havendo mais a conserva9ao da carga, pois esta se dissipa no eletredio em x=O, torna-se dificil 0 conhecimento de J(t). Contudo, inicialmente Mantemos 0 mesmo procedimento do
proble-ma anterior e integramos J(t) de 0 a 1, resultando:
Se conseguirmos conhecer E(l,t) e E(O,t) teremos
resolvido 0 problema, uma vez que conhecemos V(t) e ?(t).
A noss~ linha de conduta, aqui, sera a de orien
-tar 0 metodo de solu9ao no sentido de obter as grandezas pertinen
-tes, num dado tempo (essencialmente E(l,t) e E(O,t)), em fun9ao de
dados conhecidos referentes a condi9ao inicial.
Para tal chamando
~£
ponto de distribuiiao em t=Oque apcs urn tempo t estara em x=O, ou seja, para x=O xo=x,vamos
pro-var que
p(O,t) E(O,t) = -p(X,O) 9 x .
dt
J(t)= p(O,t) E(O,t) + dE(O,t)
dt
t
E(x,t)= E(xo'O) + f J(t)dt e para x=O ,
o
x =x entao:
o '
E(O,t)= E(X,O) + ftJ(t') dt'. Derivando em
o
dE(O,t) =
dt
aE(X,O)
aX
9 x . + J ( t )
dt
Substituindo a equa9ao (2.4) na equa9ao (2.3) tiramos imediatamente
£ x
p(o,t)E(o,t)= -p(X,O)
dt
Ja
conhecemos a expressac da densidade de carga aolongo de uma linha de corrente (eg. (1.9))
p(xo'o)
l+p(xo,o)t
Como para x=O, xo=,)c, obtemos:
=
p(X,o)l+p(X,o)t
p ( x , o )
l+p(X,o)t
=
-p (X,o) ~dt
(2.6) E(o,t)= - [l+p(X,o)t J 9 .x
dt
Vemos agora, que 0 nosso problema fica reduzido a
resolu~ao da equa~ao diferencial, eq. (2.6), se pudermos expressar
E(o,t) ern fun~ao de X.
Nesse ponto concentrarnos nossa aten~ao.
Tendo ern vista a equa~ao (1.6a), podemos escrever:
t
E (l,t) = E(So'O) + f J(t)dt
0
t
E (o,t) = E(X,o) + f J(t)dt
0
E(o,t)= E(X,o)- E(SO'O) + E(l,t)
E(X,O)-E(SO,O)+E(l,t)= - Il+p(X,o)t
£x
dt
1 Devemos encontrar)entac/E(l,t). Da condi~ao de
f Edx=V(t),integrando por partes obtemos:
o
s
E(l,t)= V(t) + f xp(x,t) dx
o
t
s(t)= so+E(so,o)t+ J dt'
o 0
t'
f
J(t")dt"x= s+x -s +tl E{x ,o)-E(so'o) I
000
Derivando a equa~ao {2.11) ern re1a~ao a X
o e
man-tendo t constante, obtemos:
= dxo(l +
r
(xo,o)t). Usando a eq. (1.9)s
E(l,t)= V(t)+ fO p(xo,o)dxols-so-tE(So'O) I +
X
s s
+
fO xop(xo,o)dxo+ fO t.E(Xo'O) p(xo,o)dxoX
X
onde os 1imites de integra~ao foram mudados segundo as equa~oes (2.11)
e (2.12) e 1ernbrando a defini~ao da variave1 X.
A partir das equa~oes (2.12a) e (1.3), a equa~ao
(2.14) pode ser reescrita como:
E(l,t)~ V(t)-IX+E(X,o)tl IE(So,O)-E(X,o) 1 +
s
fO E(Xo,o)p(xo,o)dx
o
E(l,t)= V(t)-lx+E(x,o)tIIE(SO,O)-E(X,o) 1+
s
+
fO x p(x ,o)dx + t IE2(SO'0)- E2(x,0) Ix 0 0 0 2
X
Se chamamos f E(Xo'O) dx
o = V(X) vem:
o
s
fO xop(xo,o)dxo= SoE(so'O)- XE(X,o) +
X
Substituindo a equa~ao (2.15) na equa~ao (2.14b)
onde fizemos E(X,o)=E(X) e E(So'O)=€(so) para simplificar a nota9ao.
Substituindo E(l,t) na equa9ao (2.8), podemos
conseguir a equa9ao diferencial procurada:
+
[v
(X)-v
(so)J + t [E (X)-E (so)]2 ] (-1)2 Il+p(X,o)t
~
dt
As-ora vemos
fica reduzido apenas a resolu9ao
Vale a pena
no utilizada nao altera ern nada,
claramente, que 0 nosso problema
de uma equa9ao diferencial (eq.2.l7)).
ressaltar que a condi9ao de
contor-~ d ,
o metodo. Se usarmos
6
E dX'=Voaparece 0 primeiro termo entre chaves, igual a 1, com 0 use das unida
des reduzidas. Se usamos J'Edx=O esse termo
e
nulo. Se usamoso
J'Edx= V(t) esse termo
e
V(t).o
As equa90es obtidas sac completamente gerais e
aplicam-se a qualquer distribui9ao de carga para t=O.
Assim, podemos dizer que, conhecida p(xo'o), s~
bererros~x, t), a fOsi900 das
em qualquer t, que estavam ern
cargas ao longo das linhas de corrente (x(t))
Para a obten9ao dessas quantidades, seguimos, em g~
ral 0 processo descrito abaixo:
a) A integra9ao numerica da equa9ao diferencial
(2.17) nos da os pontos X. que em urn tempo t estarao em x=O. A con
1
-di9ao inicial para essa equa9ao
e
aada por X=O para t=O pois ,certamente que 0 ponto X=O e urn ponto de distribui9ao.
b) Substituindo os pontos X, obtidos no item a)
na expressao da frente de carga,
s= s -X+ IE (s )-E (X)i t
o 0
teremos s(t) pois E(X) pode ser conhecido a partir de p(X,o) e do
valor inicial da diferen9a de potencial.
c) Conheaido s(t), podemos obter a expressao de to
das as linhas de corrente numa dada posi9ao inicial xo' ja que a e
qua9ao (2.11) e
d) Tendo em vista que ficamos conhecendo x(t), p£
demos, para cada t=fixado, fazer variar os xo' obtendo os
( p - a ) +
o
] X +
+f?-12
S u b s t i t u i n d o E
LX)
I E ( s o ) , V ( ~ , V ( s o ) n a s e q u a c ; o e s ( 2 . 1 5 ) I ( 2 . 1 0 ) I(2.9) I ( 2 . 3 ) e ( 2 . 1 ) e n c o n t r a m o s :
~
dt
p
=
-p s + (p -a)000 0
.
4
bs
o
p
