RENATO CÉSAR DOS SANTOS
EXTRAÇÃO DE FEIÇÕES RETAS E CÁLCULO DE
RENATO CÉSAR DOS SANTOS
EXTRAÇÃO DE FEIÇÕES RETAS E CÁLCULO DE
ENTIDADES PONTUAIS A PARTIR DE DADOS LASER PARA
O AJUSTAMENTO RELATIVO DE FAIXAS
Dissertação apresentada ao PPGCC - Programa de Pós Graduação em Ciências Cartográficas da FCT - Faculdade de Ciências e Tecnologia da UNESP - Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, Campus de Presidente Prudente, como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Ciências Cartográficas.
Santos, Renato César dos.
S238e Extração de feições retas e cálculo de entidades pontuais a partir de dados LASER para o ajustamento relativo de faixas / Renato César dos Santos. - Presidente Prudente : [s.n.], 2015
129 f.
Orientador: Mauricio Galo
Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual Paulista, Faculdade de Ciências e Tecnologia
Inclui bibliografia
DEDICATÓRIA
AGRADECIMENTOS
A realização deste trabalho teve a colaboração direta e indireta de diversas pessoas, as quais expresso meus sinceros agradecimentos.
A Deus, pelo dom da vida, da sabedoria, pela graça e força para atingir meus objetivos.
Aos meus pais, Aparecido e Vera, e minha irmã Viviane, por serem a minha base familiar, me auxiliando em todas as etapas já percorridas e alcançadas durante minha vida.
Ao meu orientador, Prof. Dr. Maurício Galo, por sua dedicada e atenciosa orientação, constate empenho, sua paciência e conselhos valiosos.
À minha atenciosa, companheira e amada namorada Gisely Duarte.
Aos meus amigos da graduação que me apoiaram e contribuíram até aqui: Gilmar Renan, Priscila, Carla e Graziela.
Aos meus irmãos de repúblicas pelas risadas, conselhos e companheirismo: Tiago, Pedro, Flávio, Willian, Fabiano, Lucas, Leomar, Bruno, Luis Fernando, Aruane e Viviane.
Às professoras do meu ensino fundamental e médio, que me transmitiram o conhecimento necessário para iniciar a minha trajetória acadêmica. Em especial às professoras: Márcia, Eutália, Nelma, Rosinei, Leonice e Sueli, que sempre me incentivaram.
A todos os meus amigos e familiares que contribuíram direta ou indiretamente nessa caminhada. Em especial agradeço: as minhas primas Márcia, Gislaine, Ana Paula e Simone; e ao meu tio Marco.
A todos os professores do Departamento de Cartografia e do PPGCC-Programa de Pós-Graduação em Ciências Cartográficas, que sempre estiveram dispostos a auxiliar os alunos e transmitirem seus amplos conhecimentos.
Aos meus colegas de pós-graduação, pois sempre estão prontificados a ajudar resolver problemas tanto de caráter científico quanto pessoal.
À banca de qualificação e da defesa final, pelas sugestões que contribuíram para a versão final deste trabalho.
À empresa Sensormap Geotecnologia que forneceu os dados de varredura a LASER utilizados nos experimentos.
“Aprendi que vai demorar muito para me transformar na pessoa que quero ser, e devo ter paciência. Mas, aprendi também, que posso ir além dos limites que eu próprio coloquei”.
RESUMO
Essa dissertação tem por objetivo principal propor uma metodologia para obtenção de entidades pontuais a partir da intersecção de retas concorrentes extraídas a partir de dados LiDAR (Light Detection And Ranging) obtidos por sistemas de varredura LASER (Light Amplification by Estimulated Emission of Radiation), e utilização dos pontos extraídos no
ajustamento relativo de faixas LASER. Para tal propósito, será apresentada uma revisão de conceitos relativos à classificação de pontos 3D, extração de segmentos de retas e entidades pontuais, e os modelos matemáticos utilizados para minimizar as discrepâncias entre faixas LASER. O procedimento apresentado nesse trabalho pode ser dividido em três principais fases: extração das feições de interesse, determinação das feições correspondentes e estimação dos parâmetros que modelam as discrepâncias. As entidades pontuais são obtidas a partir da intersecção de segmentos de retas concorrentes, extraídos sobre o conjunto de dados LASER por meio do conceito da análise de componentes principais e do método dos mínimos quadrados (MMQ). A correspondência entre as entidades pontuais é estabelecida por meio do método ICP (Iterative Closest Point), ao passo que os parâmetros são estimados utilizando o
MMQ. Para avaliação do procedimento proposto e implementado, utilizou-se um conjunto de dados LASER referente ao município de Presidente Prudente/SP, cuja densidade aproximada é de 8 pontos/m2. Os resultados obtidos mostram que o procedimento de ajustamento relativo utilizando entidades pontuais, apresentado neste trabalho, conseguiu minimizar as discrepâncias sistemáticas. No melhor caso, o valor da raiz do erro médio quadrático (REMQ) resultante diminuiu de 22 cm para 10 cm, após aplicar o processo de ajuste.
ABSTRACT
The main objective of this dissertation is to propose a methodology to obtaining point entities from the intersection of concurrent lines, and use of these points at the relative adjustment of LASER strips. For such purpose, it will be presented a review of concepts about 3D point classification, extraction of line segments and point entities, and the mathematical models used to minimize the discrepancies between LASER strips. The procedure presented in this work can be divided into three main stages: extraction of features of interest, determining the corresponding features and estimation of the parameters that model the discrepancies. The point entities are derived from the intersection of concurrent lines segments, which are extracted from LASER data set through the concept of principal component analysis (PCA) and least squares method (LSM). The correspondence among the point entities is established by the ICP method (Iterative Closest Point), while the parameters are estimated using the LSM. To evaluate the proposed approach it was used a data set obtained by airborne LASER scanning of the city of Presidente Prudente/SP, with approximate density of 8 dots/m2. The results show that the relative adjustment procedure using point entities, as presented in this work, enabled to minimize systematic discrepancies. In the best case, the resulting value of the root mean square error (RMSE) decreased from 22 cm to 10 cm, after applying the adjustment process.
LISTA DE TABELAS
LISTA DE FIGURAS
Figura 2.17 - Projeção dos pontos sobre a reta g (a). Valores da componente μ1
relacionada a cada ponto c e em destaque os pontos que não contíguos. ... 29
Figura 2.18 - Verificação da descontinuidade dos pontos (a) e ajuste de um segmento de reta ao conjunto GPs (b). ... 30
Figura 2.19 - Ilustração dos pontos de quinas obtidos pela intersecção entre dois segmentos de retas. ... 31
Figura 2.20 - Posição relativa entre retas. Retas reversas (a), paralelas (b) e concorrentes (c). ... 32
Figura 2.21 - Perfil com as faixas LASER antes (a) e após (b) a minimização das discrepâncias entre as faixas. ... 42
Figura 3.1 - Sistema de referência terrestre e trajetória da aeronave (a). Sinal do ângulo de varredura para direções de voo opostas (b). Altura de voo (H) e distância lateral (y) (c). ... 44
Figura 3.2 - Efeito dos sistemáticos introduzidos nos parâmetros de translação (∆X, ∆Y, ∆Z). ... 46
Figura 3.3 - Efeito dos erros sistemáticos introduzidos no ângulo de desalinhamento Δφ. ... 47
Figura 3.4 - Efeito dos erros sistemáticos introduzidos no ângulo de desalinhamento Δω. ... 47
Figura 3.5 - Efeito dos erros sistemáticos introduzidos no ângulo de desalinhamento Δκ. ... 48
Figura 3.6 - Efeito dos erros sistemáticos introduzidos na medida de distância (ρ). ... 49
Figura 3.7 - Efeito dos erros sistemáticos introduzidos na medida do ângulo de varredura (β). ... 49
Figura 3.8 - Efeito dos erros sistemáticos introduzidos nas coordenadas do sensor. ... 50
Figura 3.9 - Representação gráfica da diferença entre as coordenadas afetadas por erros aleatórios dos pontos conjugados, localizados sobre as faixas LASER adjacentes. ... 54
Figura 4.1 - Sistema de varredura da marca RIEGL modelo LMS – Q680i. ... 55
Figura 4.2 - Grau de detalhamento dos dados LASER. ... 56
Figura 4.3 - Valores de similaridade relacionados ao ponto j. ... 59
Figura 4.5 - Pontos classificados nas estruturas de dimensão unitária (a) e os segmentos de retas extraídos a partir do método proposto por Gross e Thoennessen (2006). ... 61 Figura 4.6 - Ilustração do método de extração de retas após o acréscimo do limar angular. Seleção do ponto de disparo (a), configuração após a primeira iteração (b) e quando o critério de parada foi atingido (c). ... 62 Figura 4.7 - Segmentos de retas extraídos por meio do método proposto por Gross e Thoennessen (2006) após a incorporação do limar angular. ... 63 Figura 4.8 - Ilustração do procedimento de extração dos pontos de quinas. ... 65 Figura 4.9 - Fluxograma com as etapas envolvidas no procedimento do ajuste relativo entre duas faixas LASER, baseado em pontos de quinas conjugados extraídos sobre a região de sobreposição das faixas. ... 68 Figura 5.1 - Retângulos desenhados sobre a imagem de satélite do Google Earth (esquerda) e conjuntos de pontos LASER recortados (direita). ... 70 Figura 5.2 - Resultado da classificação utilizando a função Lasground para Área 1. Pontos classificados como pontos de terreno (b) e não terreno (c). 71 Figura 5.3 - Resultado da classificação utilizando a função Lasground para Área 2. Pontos classificados como pontos de terreno (b) e não terreno (c). ... 72 Figura 5.4 - Resultado da classificação utilizando a função Lasground para Área 3. Pontos classificados como pontos de terreno (b) e não terreno (c). ... 72 Figura 5.5 - Conjunto de pontos de não terreno referente à Área 1 (a); e resultados obtidos após executar a classificação sem (b) e com o acréscimo do fator de não
ambiguidade (c). 73
LISTA DE SIGLAS
ACP Análise de Componentes Principais
ASPRS American Society for Photogrammetry and Remote Sensing
CNPq Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico CCD Charge Coupled Device
REMQ Raiz do Erro Médio Quadrático
FCT/UNESP Faculdade de Ciências e Tecnologia/ Universidade Estadual Paulista FNA Fator de Não Ambiguidade
FOV Field Of View
GNSS Global Navigation Satellite System
INS Inertial Navigation System
ICP Iterative Closest Point
IFOV Instantaneous Field Of View
LADAR LASER Detection And Ranging
LAS1 ASPRS LIDAR Exchange Format
LASER Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation
LIDAR Light Detection And Ranging
LMS Laser Measurement System
MMQ Método dos Mínimos Quadrados MVC Matriz de Variâncias e Covariâncias POS Position and Orientation System
PPGCC Programa de Pós Graduação em Ciências Cartográficas SVD Singular Value Decomposition
SVLA Sistema de varredura a LASER aerotransportado TOF Time Of Flight
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO E OBJETIVOS... 1
1.1 Objetivos... 4
1.2 Estrutura do trabalho... 4
2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA... 6
2.1 Sistemas de varredura a LASER... 6
2.1.1 Componentes do sistema de varredura a LASER aerotransportado... 7
2.1.2 Elementos associados à geometria de aquisição... 9
2.1.3 Modelo Matemático... 13
2.1.4 Estrutura do formato LAS (LIDAR Exchange Format)... 15
2.1.5 Erros que afetam a qualidade dos pontos LASER... 17
2.2 Análise de componentes principais e classificação de pontos 3D... 18
2.2.1 Análise de componentes principais... 18
2.2.2 Classificação de pontos 3D utilizando o conceito de análise de componentes principais... 21
2.2.2.1 Análise discriminante... 22
2.2.2.2 Determinação do raio da esfera que delimita a vizinhança ótima... 24
2.3 Extração de feições sobre conjuntos de pontos 3D... 26
2.3.1 Extração de segmentos de retas... 26
2.3.2 Extração de entidades pontuais... 31
2.4 Método ICP... 34
2.5 Modelos matemáticos utilizados para minimizar as discrepâncias sistemáticas entre as faixas LASER... 37
2.6 Avaliação da qualidade... 41
3 INFLUÊNCIA DOS ERROS SISTEMÁTICOS E ALEATÓRIOS NA AQUISIÇÃO DE DADOS LASER... 43
3.1 Influência dos erros sistemáticos na determinação das coordenadas no sistema terrestre... 43
3.1.1 Componentes de translação... 45
3.1.2 Ângulos de desalinhamento... 46
3.1.3 Distância e ângulo de varredura... 48
3.1.4 Posição e orientação da plataforma... 49
3.1.5 Combinação dos erros sistemáticos... 50
3.2 Influência dos erros sistemáticos na sobreposição de faixas LASER... 51
3.3 Influência dos erros aleatórios na determinação das coordenadas no sistema terrestre... 51
3.3.1 Posição e orientação do sensor... 53
3.3.2 Distância e ângulo de varredura... 53
3.3.3 Combinação dos erros aleatórios... 54
3.4 Influência dos erros aleatórios na sobreposição de faixas LASER... 54
4 MATERIAL E MÉTODO... 55
4.1 Materiais... 55
4.2 Extração de feições sobre o conjunto de pontos LASER e ajustamento relativo de faixas LASER... 57
4.2.3 Extração de pontos de quinas a partir da intersecção de segmentos de retas 63
4.2.4 Método de ajuste entre faixas LASER baseado nos pontos de quinas... 65
5 DISCUSSÃO DOS RESULTADOS... 69
5.1 Resultados das etapas envolvidas no processo de extração... 69
5.1.1 Eliminação dos pontos de terreno... 71
5.1.2 Classificação do conjunto de pontos 3D utilizando o conceito de análise de componentes principais e o fator de não ambiguidade... 73
5.1.3 Extração de segmentos de retas sobre o conjunto de pontos 3D... 77
5.1.4 Extração dos pontos de quinas... 78
5.2 Correspondência entre entidades pontuais por meio do método ICP... 81
5.2.1 Experimento 1: variação do número de feições extraídas em cada faixa e diferentes magnitudes de rotações e translações... 82
5.2.2 Experimento 2: Influência do número de pontos, distribuição espacial e magnitude dos parâmetros de transformação... 85
5.3 Ajustamento relativo de faixas LASER por meio de entidades pontuais... 87
6 CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES... 93
REFERÊNCIAS... 96
APÊNDICES... 103
1 INTRODUÇÃO E OBJETIVOS
O sistema de varredura a LASER aerotransportado (SVLA) é composto basicamente por quatro tecnologias: emissor e receptor LASER (Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation – Amplificação da Luz por Emissão Estimulada de Radiação), o
sistema de varredura, o GNSS (Global Navigation Satellite System – Sistema Global de
Navegação por Satélite) e o INS (Inertial Navigation System - Sistema de Navegação
Inercial), que integrados permitem a geração de densas nuvens de pontos tridimensionais (EL-SHEIMY et al., 2005).
Segundo Baltsavias (1999), o sistema de varredura a LASER se constituiu em um dos desenvolvimentos tecnológicos mais importantes do final do século passado, tendo sido introduzido na comunidade de Fotogrametria e Sensoriamento Remoto por meio das atividades de pesquisa do Instituto de Fotogrametria, da Universidade de Stuttgart, em 1988. De acordo com Wang et al. (2011), a utilização dessa tecnologia na coleta dados 3D possui algumas vantagens em relação à fotogrametria convencional, as quais são: alta velocidade de aquisição, alta densidade de pontos, alta precisão na componente vertical e baixo custo.
Habib et al. (2008) destaca que no processo de varredura a LASER, muitas vezes torna-se impossível capturar ou varrer certos objetos ou regiões de interesse, utilizando uma única estação de exposição, no caso terrestre, ou realizando um único sobrevoo, no caso aéreo. Dessa forma, do mesmo modo que na aquisição de imagens aéreas são utilizadas diferentes faixas, neste caso é necessária a varredura em faixas contíguas, com sobreposição, como mostra a Figura 1.1a.
Na Figura 1.1a é apresentado um exemplo onde são necessárias várias faixas LASER para recobrir a região de interesse. Nas Figuras 1.1b e 1.1c é mostrado o perfil de uma edificação antes e após executar o processo de minimização das discrepâncias entre as faixas LASER.
Figura 1.1 - Recobrimento da região de interesse por três faixas LASER (a). Perfil com as faixas LASER antes (b) e após (c) a minimização das discrepâncias entre as faixas.
Fonte: Adaptado de Habib et al. (2008).
Uma forma de minimizar as discrepâncias entre as faixas LASER é por meio do processo do ajustamento relativo das faixas, o qual consiste na sobreposição das faixas contíguas, de modo que haja coincidência dos elementos comuns às faixas consideradas. Alguns autores denominam esse processo como, ajustamento entre faixas ou ajustamento das discrepâncias entre faixas (LEE et al.; 2007; HABIB et al., 2008). No presente trabalho será utilizado o termo ajustamento relativo de faixas LASER.
Dentro do contexto das aplicações cartográficas, a extração de feições é fundamental para a aquisição e/ou atualização de informações espaciais relacionadas aos objetos antrópicos (como por exemplo, rodovias, edificações) e naturais (como por exemplo, árvores, rios). Na literatura é possível encontrar inúmeros trabalhos que tratam da extração de feições a partir de dados LASER. Apesar de ser um tema recorrente, o desejo de automação e algumas limitações inerentes à complexidade na manipulação dos dados, estimulam a produção de novos trabalhos na área de extração de feições sobre dados LASER.
O processamento de feições a partir dos dados LASER permite a extração de pontos, retas, polígonos e planos, os quais também podem ser utilizados para realizar o ajustamento relativo das faixas LASER. Alguns pesquisadores têm trabalhado nessa linha de pesquisa, visando a automação na extração de feições. Entre eles citam-se os resultados obtidos por Rentsch e Krzystek (2012), na extração de feições pontuais. Já Vosselman (2002); Lee et al., (2007); Habib et al. (2008) e Habib et al. (2010) desenvolveram metodologias para a extração e emprego de feições retas. Vosselman (1999); Lee e Schenk (2001) e Sanhueza (2007) trabalharam com a extração de superfícies planas, mas estas não foram empregadas no contexto do ajustamento relativo de faixas.
Como alternativa aos autores citados no contexto do ajustamento relativo de faixas LASER e extração de feições retas e planas, pode-se dizer que estas mesmas feições podem ser usadas a fim de gerar entidades pontuais, as quais podem ser empregadas como pontos de enlace no ajustamento relativo ou pontos de verificação na etapa da análise de qualidade. A grande vantagem de utilizar entidades pontuais está na possibilidade de empregar modelos matemáticos mais simples quando comparados com feições retas e planas.
1.1 Objetivos
1.1.1 Objetivo Geral
Esse trabalho tem como principal objetivo realizar a obtenção de entidades pontuais a partir da intersecção de segmentos de retas concorrentes, e utilizar os pontos extraídos para executar o ajustamento relativo de faixas LASER e análise de qualidade do processo de ajuste.
1.1.2 Objetivos específicos
Os objetivos específicos deste trabalho são:
•Incorporar o fator de não ambiguidade (FNA) ao método de classificação de pontos 3D baseado no conceito da análise de componentes principais, e testar a influência desse fator sobre os resultados;
•Implementar e avaliar a metodologia proposta para a extração de entidades pontuais e o ajustamento relativo das faixas LASER;
•Executar o processo de ajustamento sobre os dados reais considerando duas transformações: transformação afim e transformação de corpo rígido; e verificar qual transformação produziu melhores resultados.
1.2 Estrutura do trabalho
Essa dissertação segue uma estrutura composta por seis capítulos, as referências, os apêndices e anexos. O primeiro fornece uma introdução do conteúdo abordado no projeto, a justificativa do trabalho, bem como os objetivos: geral e específicos.
O capítulo 2 apresenta a fundamentação teórica utilizada no desenvolvimento do trabalho, onde são abordados os seguintes tópicos: sistema de varredura a LASER aerotransportado, análise de componentes principais e classificação de pontos 3D, extração de feições sobre conjunto de pontos 3D, o método ICP, modelos matemáticos utilizados para minimizar as discrepâncias sistemáticas entre as faixas LASER e por fim é apresentada a forma de como será executada a análise de qualidade.
No capítulo 4 são descritos os materiais utilizados, assim como suas características técnicas, bem como os softwares utilizados. Ainda nesse capítulo são apresentadas as etapas envolvidas no processo de ajustamento relativo de faixas LASER, baseado nas entidades pontuais extraídas.
O capítulo 5 apresenta a discussão e os resultados obtidos. Esses resultados englobam a classificação dos pontos LASER em pontos de terreno e não terreno, a classificação do conjunto de pontos 3D utilizando o conceito da análise de componentes principais; a extração dos segmentos de retas e pontos de quinas, o estabelecimento da correspondência de entidades pontuais por meio do método ICP e o ajustamento relativo de faixas LASER utilizando feições pontuais.
2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Nessa seção é apresentada a fundamentação teórica utilizada no desenvolvimento do presente trabalho.
2.1 Sistemas de varredura a LASER
Segundo Wehr e Lohr (1999) existem algumas abreviaturas que são comumente usadas para designar os sistemas de varredura a LASER, as quais são: LADAR (LASER
Detection And Ranging) e LIDAR (Light Detection And Ranging). O termo LIDAR é o mais
utilizado pelos autores no Brasil, apesar da maioria dos sistemas utilizarem como fonte de energia o LASER.
Dentro do contexto de sistema de varredura a LASER têm-se dois tipos de sistemas, os sistemas estáticos e dinâmicos.
Os sistemas de varredura LASER estáticos, também conhecidos como sistemas terrestres fixo, podem ser classificados em três grupos, em função do princípio de medição utilizado para determinar a distância entre o sensor e objeto (WUTKE, 2006). Os princípios de medição de distâncias são: o que se baseia no intervalo de tempo decorrido desde o instante da emissão do pulso até o instante do retorno do mesmo (Time Of Flight - TOF), o
método da diferença de fase, onde a distância é calculada a partir da diferença de fase da onda modulada (WEHR e LOHR, 1999), e o baseado na triangulação (BOEHLER et al., 2002).
Os sistemas dinâmicos, assim como os sistemas estáticos, utilizam um feixe óptico de alta potência e bem direcionado, com coerência no espaço e no tempo, garantindo assim a qualidade na medição da distância. Os sistemas dinâmicos variam de acordo com a plataforma móvel onde o sistema de varredura LASER é instalado: terrestre, aérea ou orbital. No caso específico deste trabalho, são utilizados dados provenientes do sistema de varredura LASER instalado em uma plataforma aérea. Esse tipo de configuração é denominado por alguns autores (CENTENO e MITISHITA, 2007) como sistema de varredura a LASER aerotransportado (SVLA).
entre o sensor e objeto, considerando que o pulso LASER se propaga à velocidade da luz (BALTSAVIAS, 1999).
No processo de determinação da posição tridimensional dos pontos no terreno o SVLA conta com um sistema de posicionamento e orientação (Position and Orientation System –
POS), que é composto a partir da integração entre os sistemas GNSS e INS (WEHR e LOHR, 1999).
2.1.1 Componentes do sistema de varredura a LASER aerotransportado
O sistema de varredura a LASER aerotransportado é composto por alguns subsistemas essenciais, que devem ser referenciados entre si e sincronizados corretamente, a fim de possibilitar a geração de dados tridimensionais com alta qualidade (OLIVEIRA, 2013).
O principal componente do sensor LASER é o gerador de pulsos, o qual é responsável pelo estímulo do cristal, realizado através de um diodo semicondutor que provê a energia necessária para a emissão de um raio LASER de alta energia (WEHR e LOHR, 1999). O pulso gerado é dirigido para a chamada cavidade óptica até um espelho móvel na parte final do sensor. O conjunto óptico de lentes e espelhos orienta os pulsos LASER emitindo-os para os objetos. Na Figura 2.2 são apresentados alguns exemplos de espelhos de varredura, bem como o padrão de varredura dos mesmos.
Figura 2.2 - Sistema de varredura do espelho (a). Configuração da varredura em relação ao tipo de espelho (b).
Fonte: Adaptado de Wehr e Lohr (1999); e Dalmolin e Santos (2004).
O sinal de retorno é dirigido à parte eletrônica do sensor e por meio de um conversor A/D o sinal analógico é transformado em digital. O sinal digital da radiação refletida pelo alvo passa por um filtro de interferência (controlador de ruído) onde é feita a comparação da intensidade do sinal emitido e recebido, que pode variar, dependendo de diferentes fatores como distância e material do alvo (WEHR e LOHR, 1999).
O Medidor de Intervalo de Tempo (Time Interval Meter - TIM) é o módulo
responsável pela medida do tempo transcorrido entre a emissão do pulso LASER e o seu retorno ao sistema. Essencialmente, ele é um contador que inicia quando o pulso LASER é disparado e para quando o último pulso correspondente retorna.
possibilitar o armazenamento de todas as informações (posições, orientações, distâncias); e monitorar/controlar o sistema de varredura.
A posição (Xo(t), Yo(t), Zo(t)) e a orientação (κ(t), φ(t), ω(t)) da plataforma durante o deslocamento são determinadas pela integração do GNSS e o INS. Segundo El-Sheimy e Niu (2007) as informações do GNSS (posicionamento, velocidade e tempo) permanecem estáveis por longos períodos, e quando o sinal de recepção é interrompido e/ou a geometria dos satélites não está dentro de limites aceitáveis, o sistema de navegação inercial pode prover informações para navegação. Em função do problema de deriva, inerente aos sistemas inerciais, as posições e velocidades obtidas pelo sistema GNSS podem ser usadas como medidas externas e utilizadas para atualizar a informação gerada pelo INS, melhorando sua estabilidade e precisão ao longo o tempo. Por esta razão os sistemas GNSS e INS são considerados complementares.
Figura 2.3 - Ângulos de atitude (ω – entorno do eixo x ; φ – entorno do eixo y; κ – entorno do eixo z) da aeronave.
Fonte: Adaptado de Brito e Coelho (2002).
As coordenadas obtidas por observações GNSS dificilmente são correspondentes aos instantes em que foram emitidos/recebidos os pulsos LASER, assim como as observações do sistema inercial que também dificilmente remetem a estes instantes. Por esse motivo é fundamental que seja estabelecido o sincronismo entre estes sistemas, para que todos os pontos amostrados possuam coordenadas e valores de atitudes relativos à sua real posição no instante de coleta. No trabalho desenvolvido por Reis (2009) são apresentados os fatores essenciais à realização deste sincronismo.
2.1.2 Elementos associados à geometria de aquisição
algum mecanismo de deflexão. Na Figura 2.4 são ilustradas as direções de deslocamento do feixe LASER.
Figura 2.4 - Deslocamento do feixe LASER nas direções longitudinal e transversal. Os elementos geométricos envolvidos na varredura de uma dada seção são ilustrados na Figura 2.5. A projeção do feixe LASER no terreno ou footprint (D) depende do ângulo de
divergência do pulso LASER (γ), da altura de voo (H), do ângulo de varredura instantâneo (β), bem como da inclinação local do terreno, como mostra a Figura 2.5a. Enquanto isso, a largura da faixa de varredura no terreno (Sw) é função da altura de voo média (Hm) e do ângulo de abertura máximo (θ) também conhecido como FOV (Field Of View) (Figura 2.5b).
Figura 2.5 - Representação de alguns elementos relacionados à geometria de aquisição dos dados LASER. Elementos envolvidos na projeção do feixe LASER no terreno (a) e na largura
da faixa de varredura (b). Fonte: Adaptado de Galo (2012).
Os valores aproximados para o diâmetro (D) do footprint (Figura 2.5a) e a largura da
LOHR, 1999). Para obter essas equações deve-se considerar algumas simplificações, tais como: terreno plano e ângulo de divergência do pulso muito pequeno.
D = H
cos2β γ (2.1) SW = 2 Hm tg θ⁄ 2 (2.2)
As grandezas como número de pontos por linha de varredura (NLIN), distância entre os pontos amostrados ao longo da linha de voo (dL Voo) e transversal à linha de voo (dT), podem ser determinadas a partir das seguintes equações (BALTSAVIAS, 1999):
NLIN = F
fsc (2.3)
dL Voo = v
fsc (2.4)
dT = SW
NLIN 2.5 onde:
F – Frequência de repetição dos pulsos ou taxa de repetição dos pulsos; Fsc – Frequência de varredura (número de linhas escaneadas por segundo); v – Velocidade da aeronave.
Figura 2.6 - Situações que ocorrem múltiplos retornos (múltiplos ecos).
No planejamento da aquisição dos dados deve-se levar em consideração em qual aplicação os mesmos serão utilizados. No caso do presente trabalho a aplicação se restringe as áreas urbanas. Desta forma, alguns fatores devem ser levados em conta, como a influência de altas edificações na aquisição dos pontos na superfície.
As altas edificações podem causar oclusões, gerando regiões sem informações (Figura 2.7a). Essas regiões podem ser minimizadas, como por exemplo, com o aumento da altura de voo e/ou da sobreposição entre as faixas. É importante destacar que nem sempre este problema pode ser eliminado por completo, mas sim minimizado, pois se houver duas edificações muito próximas uma da outra o problema pode continuar mesmo considerando uma grande sobreposição (Figura 2.7b). Para mais detalhes sobre o efeito da oclusão sugere-se consultar Oliveira (2013).
O nível de detalhamento da superfície levantada por um sistema de varredura a LASER está diretamente relacionado com a densidade de pontos. Essa grandeza corresponde à quantidade de pontos amostrados por unidade de área, sendo expresso usualmente em pontos/m2. Segundo Ackermann (1999), a densidade de pontos depende de alguns elementos, tais como: altura de voo (H), velocidade da aeronave (v), ângulo de varredura (θ), taxa de repetição do pulso LASER (F), frequência de varredura (Fsc), direção do voo e tipo de terreno levantado.
2.1.3 Modelo Matemático
As coordenadas dos pontos amostrados por um sistema de varredura aerotransportado são determinadas combinando as medidas derivadas de cada componente do sistema e os parâmetros que os relacionam.
A Figura 2.8 apresenta a relação entre os sistemas associados ao GNSS, unidade inercial (INS), sensor LASER e o ponto no terreno. Nessa ilustração considera-se, para efeito de simplificação, que o centro de fase da antena do receptor GNSS coincide com a origem do sistema de coordenadas do INS. Essa simplificação é possível uma vez que o vetor que liga a origem do sistema de coordenadas do INS e o sistema de coordenadas do receptor GNNS seja conhecido e determinado a priori com alta precisão. Com isso, o SVLA passa a envolver
quatro sistemas de coordenada, os quais são (EL – SHEIMY et al., 2005): 1) Sistema de coordenadas terrestre;
2) Sistema de coordenadas GNSS/INS: origem no centro do sistema de coordenadas do INS;
3) Sistema de coordenadas da unidade LASER: origem no ponto de disparo do LASER. O eixo-x pode ser definido como coincidente com a direção do voo enquanto que o eixo-z aponta para o zênite;
Figura 2.8 - Componentes de um sistema LASER e suas relações geométricas. Adaptado de Habib et al. (2008).
A partir da Figura 2.8 observa-se que a posição de um ponto genérico i (XiT), pode ser obtida a partir da somatória de três vetores (Xo, PG e ρ) após aplicar as rotações apropriadas: Rκ, φ, ω,R∆κ, ∆φ,∆ω e Rα,β (HABIB et al., 2008).
XiT = Xo(t) + Rκ, φ, ω t . PG + Rκ, φ, ω t . R∆κ, ∆φ,∆ω(t) . Rα, β(t)
0 0
-ρi (2.6)
onde:
XiT - Coordenadas de um ponto genérico i no sistema de coordenadas terrestre;
Xo - Coordenadas da origem do sistema de coordenadas do INS, no sistema de coordenadas terrestre;
Rκ, φ, ω - Matriz de rotação entre o sistema de coordenadas GNSS/INS e o sistema de coordenadas terrestre;
R∆κ, ∆φ,∆ω - Matriz de rotação entre o sistema de coordenadas GNSS/INS e o sistema de
coordenadas da unidade LASER. Os ângulos de rotação que compõem essa matriz são conhecidos como ângulos de desalinhamento (do inglês boresight angles);
PG – Vetor translação entre a origem do sistema de coordenadas GNSS/INS e a origem do sistema de coordenadas da unidade LASER. Esse vetor translação também é conhecido como
Rα,β - Matriz de rotação entre o sistema de coordenadas da unidade LASER e o sistema de
coordenadas do raio LASER. Os ângulos que compõem essa matriz são conhecidos como ângulos de varredura;
ρi - Medida de distância entre a origem do sistema de coordenadas da unidade LASER e o ponto objeto i no terreno;
t – Instante de recepção do pulso LASER.
As quantidades envolvidas na equação do ponto LASER (Equação 2.6) são todas obtidas durante o processo de aquisição, exceto as componentes de translação (PG) e desalinhamento angular (∆κ, ∆φ,∆ω) (conhecidas como parâmetros de montagem), as quais normalmente são determinadas a partir do processo de calibração do sistema (HABIB et al., 2008).
Conforme mostra a Equação 2.6, as coordenadas tridimensionais medidas por um SVLA podem ser influenciadas por várias fontes de erros (EL-SHEIMY et. al, 2005):
• Erros nas posições e orientações da plataforma, determinadas pela integração das unidades GNSS e INS;
• Erros nos parâmetros de translação e desalinhamento angular (parâmetros de montagem) entre os vários componentes dos sistemas;
• Erros na medição da distância LASER;
• Erros na medição dos ângulos de varredura que relacionam os sistemas de coordenadas da unidade LASER e do raio LASER.
2.1.4 Estrutura do formato LAS (LIDAR Exchange Format)
O SVLA possibilita amostrar um conjunto de pontos tridimensionais sobre a área de interesse, o qual pode ser expresso em diversos formatos. Com o intuito de padronizar a estrutura desses dados e permitir o intercambio de dados obtidos por sistemas desta natureza a ASPRS (American Society for Photogrammetry and Remote Sensing) criou um formato
Figura 2.9 - Elementos do formato “.LAS”, versão 1.1. Fonte: Adaptado de Samberg (2007).
Segundo Oliveira (2013) a maioria dos softwares que tratam de dados do sistema de varredura a LASER utilizam esse formato como padrão, pois tanto desenvolvedores de sistemas quanto os usuários têm utilizado essa padronização.
Como visto na Figura 2.9, o formato “.LAS” apresenta informações de metadados (informação sobre o sistema, número total de pontos e valores extremos - máximo e mínimo), informações relacionadas ao armazenamento e informações sobre os pontos (coordenadas tridimensionais, intensidade do retorno, tonalidades (caso haja sensor CCD – Charge Coupled Device) e classificação). O campo classificação representa a classe na qual o ponto foi
classificado, como por exemplo, edificação, terreno, vegetação baixa etc. Para cada classe existe um número correspondente, por exemplo, se um ponto não foi classificado este é associado ao número zero. Para maiores detalhes sugere-se consultar o arquivo com as especificações do formato “.LAS”, disponibilizado na página oficial da ASPRS (ASPRS, 2013).
De acordo com Centeno et al. (2000) alguns sistemas podem medir diferentes ecos do sinal emitido, refletido por diferentes objetos dentro da projeção do feixe LASER no terreno. Nos dias atuais existem sistemas que conseguem fornecer um perfil dos objetos encontrados ao longo da trajetória do sinal, os quais são conhecidos como sistemas que armazenam a forma completa da onda (do inglês fullwave systems), como pode ser visto em Koch (2010).
Apesar dos avanços tecnológicos a maioria dos sistemas comerciais medem apenas o primeiro e o último eco do pulso (first/last pulse).
Cabeçalho Público
Quantidade de Armazenamento
Dados - Pontos
Informação sobre o sistema Número total de pontos Valores máximos e mínimos
Definição do desenvolvedor
X . Y . Z . intensidade R. G. B
2.1.5 Erros que afetam a qualidade dos pontos LASER
De acordo com Huising e Pereira (1998) e Habib et al. (2008), a qualidade da posição de cada ponto amostrado pelo SVLA é influenciada por erros aleatórios e sistemáticos presentes nas observações e nos parâmetros do sistema. Segundo Huising e Pereira (1998) as fontes que causam esses erros podem estar relacionadas com o sistema LASER, isto é, o conjunto formado pelo instrumento LASER bem como o INS e GNSS; as condições ambientais que se processam as medições e a superfície do alvo.
Na sequência são apresentadas algumas das principais fontes de erros que afetam a qualidade dos dados de varredura a LASER (MAAS, 2003):
a) A distância inclinada correspondente a cada pulso emitido e recebido é influenciada pela qualidade dos sistemas de medição de tempo e ou dos sistemas medidores da fase da onda portadora, bem como do material e inclinação da superfície que reflete o pulso laser;
b) Erros decorrentes ao funcionamento dos sistemas mecânicos, que controlam o espelho (controlador do feixe de varredura), vibrações e oscilações dos componentes do sistema SVLA;
c) As posições da aeronave e do sistema de varredura são determinadas por técnicas de posicionamento GNSS, portanto dependente da constelação GNSS, bem como do efeito provocado pela ionosfera e troposfera;
d) Os erros de desalinhamento entre os componentes do SVLA, e falhas de sincronização entre estes, conduzem a erros sistemáticos no posicionamento por SVLA;
e) Erros devidos à transformação de coordenadas entre sistemas, desde os sistemas internos até o final do usuário, geodésico ou não;
f) Desalinhamento e deriva do giroscópio do INS provoca erros sistemáticos. Para Habib et al. (2008) a magnitude dos erros aleatórios, que afetam as coordenadas dos pontos amostrados pelo sistema LASER, dependem da precisão das medidas do sistema varredura LASER, as quais englobam as medidas de posição e orientação determinadas pelo conjunto GNSS/INS, o ângulo de varredura, e a distância entre sensor e objeto. Em contrapartida a magnitude dos erros sistemáticos é causada principalmente por tendências (bias) presentes nos parâmetros de montagem do sistema e nas medidas do SVLA (distância,
Na Seção 3 é apresentado um estudo detalhado da influência dos erros aleatórios e sistemáticos, na determinação das coordenadas no sistema de referência terrestre e na sobreposição de faixas adjacentes.
2.2 Análise de componentes principais e classificação de pontos 3D
Nesta subseção são apresentados os fundamentos da análise de componentes principais, bem como os princípios da classificação de estruturas (quinas, bordas, planos, etc) presentes em nuvens de pontos tridimensionais, gerados por diferentes técnicas, dentre elas por sistemas LASER aerotransportados.
2.2.1 Análise de componentes principais
A análise de componentes principais (ACP) (do inglês Principal Component Analysis
- PCA) foi introduzida por Karl Pearson em 1901 e esta fundamentada no artigo de Hottelling de 1933 (MINGOTI, 2005). Essa técnica é amplamente utilizada em muitas aplicações, sendo os principais propósitos a redução dos dados e a sua interpretação. Em outras palavras, como apresentado em Johnson e Wichern (1999), e Mingoti (2005), pode-se considerar que a ideia central é obter um número reduzido de variáveis a partir da MVC (Matriz de Variâncias e Covariâncias) dos dados originais.
Na análise de componentes principais um conjunto de n variáveis originais é transformado em um conjunto com um número equivalente de variáveis não correlacionadas. As variáveis obtidas são denominadas de componentes principais. Esse processo de transformação ocorre com a menor perca de informação possível, sendo que esta também busca eliminar algumas variáveis originais que tenham pouca informação (MINGOTI, 2005).
Segundo Mingoti (2005) existem duas maneiras de explicar a análise de componentes principais: algebricamente e geometricamente. Algebricamente, componentes principais são combinações lineares de n variáveis aleatórias (X1, X2,...., Xn). Geometricamente, essas combinações lineares representam a seleção de um novo sistema de coordenadas (CP1, CP2,...., CPn) obtido por rotação do sistema original (X1, X2,...., Xn) na direção de variabilidade máxima dos dados, gerando uma descrição mais simples da estrutura de covariância (MINGOTI, 2005), como mostra a Figura 2.10.
eixos das componentes principais. Os elementos de cada autovetor são fatores de ponderação que definem a contribuição de cada variável original para gerar uma componente principal, numa combinação aditiva e linear (Equação 2.7) (MINGOTI, 2005).
Figura 2.10 - Representação geométrica das componentes principias no espaço bidimensional (a) e tridimensional (b).
Fonte: Adaptado de PANERO (2007).
Seja Σ a matriz de variâncias e covariâncias associada ao vetor das variáveis originais
XT = [X1, X2,...., Xn], e (λ1, e1), (λ2, e2), ..., (λn, en), os pares de autovalores e autovetores ortogonais padronizados e associados a Σ, ordenados de modo que λ1 ≥ λ2 ≥ . . . λn ≥ 0, a
i-ésima componente principal é dada por (MINGOTI, 2005):
CPi= ei T X = ei1 X1+ ei2 X2+ … + ein Xn, i=1, 2, …, n. (2.7) Desta forma:
Var(CPi) = ei T Σ ei = λi (2.8)
Uma forma de determinar os autovalores e autovetores da MVC é por meio da decomposição em valores singulares (Singular Value Decomposition - SVD) descrito em
Press et al. (1992) (ANEXO A).
As restrições utilizadas para obter as componentes principais garantem que estas não sejam correlacionadas e que a soma das variâncias das componentes principais seja igual à soma das variâncias das variáveis originais. A magnitude de eik mede a importância da k-ésima variável para a i-k-ésima componente principal (JOHNSON e WICHERN, 1999).
Considerando uma nuvem com M pontos, cujas coordenadas tridimensionais são conhecidas em um dado sistema de referência, a matriz de variâncias e covariâncias (MVC) de cada ponto pode ser obtida levando em consideração um conjunto de P pontos vizinhos (onde P ≤ M). Esse conjunto de pontos deve ser selecionado por meio de algum critério, como por exemplo, selecionar os P pontos vizinhos mais próximos do ponto de interesse, ou selecionar os pontos que estão no interior de uma esfera de raio R centrada no ponto de interesse.
A Figura 2.11a mostra uma nuvem de pontos em um referencial 3D (X, Y, Z) e a Figura 2.11b ilustra a seleção de um conjunto de P pontos localizados no interior de uma esfera de raio R ( ) centrada no ponto de interesse p ( ).
Figura 2.11 - Nuvem de pontos em um referencial 3D (a) e seleção do conjunto de pontos (b). A partir do conjunto de P pontos, contido no interior da esfera (Figura 2.11) de raio R, pode-se determinar a matriz de variâncias e covariâncias (ΣX) por (GONZALEZ e WOODS,
2000):
mX = 1
P Xj P
j=1
(2.10)
ΣX = 1
P Xj P
j=1
Xj T
onde mXrepresenta os valores médios, correspondentes ao centro de gravidade dos P pontos, que tornam os valores da MVC invariantes à translação. As coordenadas tridimensionais dos P pontos são representadas pelo vetor XT = [X Y Z].
2.2.2 Classificação de pontos 3D utilizando o conceito de análise de componentes principais A classificação da nuvem de pontos 3D pode ser realizada de diversos modos, sendo uma das possibilidades a partir do conceito da análise de componentes principais, uma vez que o tamanho do autovalor e a direção do autovetor podem indicar o tipo de primitiva (BELTON e LICHTI, 2006). Esse tipo de classificação tem sido explorada por vários autores (GROSS e THOENNESSEN, 2006; BELTON e LICHTI, 2006; JUTZI e GROSS, 2009; e DEMANTKE et al.,2011).
Na Figura 2.12 são apresentadas as relações entre os autovalores para diferentes primitivas geométricas ou estruturas, apresentadas em Demantke et al. (2011) e Yang e Dong (2013).
estruturas típicas de objetos de interesse, com os respectivos autovalores teóricos e as dimensões correspondentes. Em Jutzi e Gross (2009) pode-se ver como estes valores são determinados.
Tabela 2.1 -Autovalores e dimensão associados a algumas estruturas (JUTZI e GROSS, 2009).
Autovalores Dimensão
Estrutura λ1 λ2 λ3 0 1 2
Ponto isolado 0 0 0 Final de linha 1/12 0 0
Linha 1/3 0 0
Meio plano 1/4 0 0
Plano 1/4 1/4 0
Quarto de plano 0,09 0 0 Dois planos 1/4 1/8 0,03 Três Planos 0,11 0,11 0,03
Deste modo, a partir dos valores teóricos (Tabela 2.1) e dos valores dos autovalores obtidos a partir de dados reais, é possível realizar a classificação dos pontos nas diferentes estruturas consideradas.
Na sequência são apresentados os princípios utilizados na classificação da nuvem de pontos 3D em relação algumas estruturas (quinas, bordas, planos, etc), tomando os valores determinados por Jutzi e Gross (2009) como referência. Os princípios envolvem técnicas exploratórias de dados da análise multivariada tais como a análise de componentes principais, já descrita na subseção 2.2.1, e a análise discriminante, bem como o método que possibilita determinar o conjunto de pontos (vizinhança ótima) utilizado no cálculo da matriz de variâncias e covariâncias.
2.2.2.1 Análise discriminante
conjunto de regras que são usadas para alocar novos objetos (JOHNSON e WICHERN, 1999).
Para classificar um indivíduo em um grupo já existente pode-se utilizar a função de densidade probabilidade, como regra de classificação, ou então utilizar distâncias como medidas de similaridade, como por exemplo, a distância euclidiana ou a distância de mahalanobis. Para maiores detalhes sobre esse assunto sugere-se Mingoti (2005).
Tomando os autovalores apresentados na Tabela 2.1 como referência, o processo de classificação do conjunto de pontos 3D pode ser executado utilizando como medida de similaridade a distância euclidiana no espaço tridimensional dos autovalores (JUTZI e GROSS, 2009), como mostra a Equação 2.12.
Dji λ1j, λj2, λ3j = λ1j- λ1i 2 + λ2j- λ2i 2+ λ3j- λ3i 2 (2.12)
onde Dji é distância entre o ponto j (i =1, 2,..., m)e a estrutura i (i = 1, 2,...,8) (Tabela 2.1); sendo λ1j, λ2j e λ3j os autovalores obtidos a partir da MVC do ponto j; e λ1i, λ2i e λ3i os autovalores esperados para a estrutura i, conforme Tabela 2.1.
Para refinar o processo de classificação pode-se realizar a ponderação das distâncias. Essa ponderação consiste em pré multiplicar o valor da distância (Equação 2.12) por um dado valor de peso ou fator de ponderação. Jutzi e Gross (2009) definiram empiricamente fatores de ponderação para o cálculo da distância entre o ponto a ser classificado e as diferentes estruturas (i). O fator de ponderação p(i) leva em consideração a dimensão de cada estrutura (dim(i)) (Tabela 2.1), como pode ser visto na Equação 2.13:
p i = 1
1+ dim i (2.13)
Desta forma, o processo de classificação consiste em calcular para cada ponto a distância euclidiana ponderada, no espaço dos autovalores, que separa o ponto a ser classificado a cada uma das estruturas (Tabela 2.1). A menor distância indica a estrutura na qual o ponto pertence. Desta forma, o ponto j é classificado como pertencente à estrutura i, tal que:
2.2.2.2 Determinação do raio da esfera que delimita a vizinhança ótima
A classificação do conjunto de pontos tridimensionais baseada nos autovalores depende diretamente da matriz de variâncias e covariâncias. Desta forma, a escolha do raio da esfera que delimita a “vizinhança ótima”, utilizada no cálculo da MVC, está relacionada com a qualidade do processo de classificação.
Existem diferentes maneiras de determinar o valor do raio da esfera. Em Jutzi e Gross (2009) o raio é determinado considerando um número fixo de pontos. Já em Demantke et al. (2011) e Yang e Dong (2013) o raio é selecionado com base no conceito de entropia.
Na linguagem da termodinâmica entropia é uma medida de desordem de um sistema, sendo entropia baixa associada a pouca desordem e entropia alta a muita desordem (ATKINS e JONES, 2006).
Para selecionar o raio da esfera utilizando o conceito de entropia, deve-se adotar como critério o menor valor de entropia (DEMANTKE et al., 2011; e YANG e DONG, 2013). Para tanto, varia-se o valor do raio, dentro de um intervalo pré-estabelecido, e calcula-se para cada valor de raio a respectiva medida de entropia. O raio relacionado à menor medida de entropia é adotado como raio ótimo, sendo este utilizado para selecionar o conjunto de pontos usado no cálculo da MVC.
Figura 2.13 - Nuvem de pontos 3D colorida de acordo com a altura (a), e nuvem de pontos 3D colorida de acordo com o valor de entropia calculado (Ef) para um único ponto de interesse
(ponto rosa).
Fonte: Adaptado de Demantke et al. (2011).
Uma maneira de determinar o valor de entropia (Ef) é a partir dos autovalores, como apresentado em Demantke et al. (2011):
Ef=- a1ln a1 - a2ln a2 - a3ln a3 , (2.15) onde:
a1= λ1- λ2
μ , a2=
λ2- λ3
μ , a3= λ3
μ ;
– Fator de normalização dos coeficientes a1, a2 e a3 ( = ).
Os coeficientes a1, a2 e a3 são indicadores utilizados para descrever o comportamento da dispersão linear, planar e volumétrica respectivamente, dentro de uma vizinhança VpR onde R está relacionado ao raio da esfera e p ao ponto do centro da esfera.
Esses coeficientes podem ser utilizados para classificar a vizinhança de acordo com a sua dimensionalidade, dada por d* VpR (Equação 2.16), ou seja, linear (1D), planar (2D) ou volumétrica (3D).
Uma vez que a vizinhança é delimitada por uma esfera de raio R e centrada no ponto p, deve-se variar o valor do raio entre dois valores extremos (Rmin até Rmax) de forma a determinar a menor entropia. Assim, o comprimento de raio relacionado ao menor valor de entropia (Ef min) corresponde ao raio ótimo (Rótimo), como ilustrado na Figura 2.14. A região delimitada pela esfera de Rótimo é denominada de “vizinhança ótima”. Esse processo deve ser executado para todos os pontos.
Figura 2.14 - Representação das entropias calculadas entre o raio Rmin até Rmax, com variação de ∆r para o raio. O menor valor de entropia é destacado (Ef min).
2.3 Extração de feições sobre conjuntos de pontos 3D
A extração de feições de interesse sobre faixas LASER tem sido tratada em vários trabalhos (VOSSELMAN, 1999; LEE e SCHENK, 2001; ALHARTHY, 2003; GROSS e THOENNESSEN, 2006; LEE et al., 2007; SANHUEZA, 2007; LU et al., 2008). Essas feições podem ser pontos (quinas, alvos, centros de alvos circulares), feições retas, contornos, polígonos, regiões, etc.
Nas subseções seguintes são apresentados os métodos de extração de segmentos de retas e entidades pontuais, sobre conjuntos de pontos tridimensionais.
2.3.1 Extração de segmentos de retas
Na literatura encontra-se vários métodos de extração de segmentos de retas sobre o conjunto de pontos 3D, dentre os quais tem-se: o método incremental, RANSAC (RANdom SAmple Consensus) e transformada de hough no espaço 3D, mencionados por Alshawa
No presente trabalho a extração dos segmentos de retas é realizada por meio do método apresentado por Gross e Thoennessen (2006). Esse método utiliza como dados de entrada as coordenadas e os autovetores dos pontos classificados como bordas.
Tomando Cl como o conjunto de todos os pontos classificados como pontos de bordas, o processo é inicializado com qualquer ponto p є Cl e adotando o autovetor e1p como característica. Este ponto é denominado ponto de disparo.
O conjunto de pontos (C) que possuem o primeiro autovetor com a mesma direção em relação ao ponto de disparo é obtido por:
C= c є Cl | |e1p ⃘ e1c | > LPI} (2.17)
onde LPI corresponde a um limiar para o módulo do produto interno dos vetores |e1p ⃘ e1c| e c um ponto pertencente ao conjunto de pontos de bordas.
A reta que contém o ponto de disparo (p) e possuiu a mesma direção do primeiro autovetor do ponto de disparo, pode ser escrita pela seguinte expressão:
g = p + μ e1p (2.18) As componentes escalares, para um dado ponto c є Cl, relacionado aos autovetores são calculadas por:
μi c , p = c - p ⃘ eip (2.19)
As componentes da Equação 2.19 descrevem a distância ao longo de cada direção. Desta forma, a distância entre o ponto c e a reta g que contêm o ponto de disparo, é dada por:
d c , p = μ22 c , p + μ32 c , p (2.20)
Figura 2.15 - Plano π contendo um ponto da reta g e o ponto c (a). Cálculo da distância entre o ponto c e a reta g, a partir das componentes μ2 e μ3 (b).
O conjunto de pontos localizados dentro do cilindro determinado pela reta g e com raio max_d é obtido pela seguinte expressão:
D = c є Cl | d(c , p) ≤ max_d } (2.21) Com isso, a intersecção GP = C∩D inclui todos os pontos de bordas com aproximadamente o mesmo autovetor (o primeiro) do ponto de disparo e não muito longe da linha reta obtida pela Equação 2.18, como pode ser visto na Figura 2.16c.
Figura 2.16 - Representação dos pontos classificados como borda (a). Pontos com o primeiro autovetor paralelo ao do ponto de disparo (setas pretas) (b). Cilindro gerado a partir da reta g
e o raio max_d (c).
μs c, p uma lista ordenada de μ1 c, p . Uma vez que μs p, p = 0, deve-se procurar por “buracos” (gaps) definidos por um valor aceitável max_gap do lado direito e esquerdo do
zero. μsL ≤ 0 é o limite a esquerda e μsR ≥ 0 é o limite a direita se:
μsL-1+ max_gap < μsL ⋀ μsR+ max_gap < μsR+1 (2.22)
O conjunto de pontos ao longo da linha e sem grande descontinuidade é dado por:
GPs= !c є GP | μsL ≤ μs c , p ≤ μsR} (2.23)
Com o intuito de exemplificar o processo que examina a contiguidade dos pontos, na Figura 2.17a é ilustrada a projeção dos pontos sobre a reta g. Na Figura 2.17b são apresentados os valores da componente μ1 relacionados a cada ponto e destacados os pontos que não satisfazem a Equação 2.23, ou seja, não são contíguos.
Figura 2.17 - Projeção dos pontos sobre a reta g (a). Valores da componente μ1 relacionada a cada ponto c e em destaque os pontos que não contíguos.
A partir do conjunto de pontos GPs pode-se ajustar uma reta, ou seja, estimar os parâmetros que modelam a reta.
O ponto que pertence a reta é obtido a partir do vetor dos valores médios cm = n-1 ∑ c
elementos dessa matriz são calculados a partir da seguinte expressão (GROSS e THOENNESSEN, 2006):
ΣMVC = 1
n Xj
n
j=1
XjT- cm cm T (2.24)
onde Xj = (Xj, Yj, Zj) e cm = ( X#, Y#, Z#), sendo que cm corresponde ao centro de massa dos n pontos.
Desta forma, o segmento de reta é descrito por xl = cm + μ e1, sendo que os pontos de início (xi) e fim (xf) são obtidos por:
xi = cm + min(c ⃘ e1) e1 e xf = cm + max(c ⃘ e1) e1; c є GPs (2.25) onde min(c ⃘ e1) e max(c ⃘ e1) correspondem aos valores das constantes relacionadas aos pontos projetados sobre as extremidades (início e fim) do segmento de reta ajustado.
Na Figura 2.18a é exemplificada a etapa de verificação da descontinuidade entre os pontos do conjunto GP, enquanto que a Figura 2.18b ilustra o segmento de reta extraído a partir dos pontos do conjunto GPs, e os pontos de início e fim.
2.3.2 Extração de entidades pontuais
Os segmentos de retas extraídos sobre o conjunto de pontos obtidos pelo SVLA geralmente representam as bordas dos objetos, os quais podem ser: prédios, casas, viadutos etc. Sendo assim, uma forma de determinar as entidades pontuais é a partir do conceito de intersecção de retas concorrentes no espaço tridimensional. Essas entidades pontuais podem ser consideradas como pontos de quinas. Sanhueza (2007) utiliza uma ideia parecida para determinar o ponto de interesse, no entanto, é considerada a intersecção de três ou mais planos concorrentes.
No caso de segmentos de retas, o ponto de intersecção entre dois segmentos de retas concorrentes pode ser considerado como provável ponto quina, como mostra a Figura 2.19.
Figura 2.19 - Ilustração dos pontos de quinas obtidos pela intersecção entre dois segmentos de retas.
Figura 2.20 - Posição relativa entre retas. Retas reversas (a), paralelas (b) e concorrentes (c). Nas Equações 2.26 e 2.27 são apresentadas as equações de duas retas r1 e r2 na forma paramétrica:
r1 :$
X = X1 + α r11 Y = Y1 + α r12 Z = Z1 + α r13
(2.26)
r2:$
X= X2+ μ r21 Y= Y2+ μ r21 Z= Z2+ μ r21
(2.27)
onde:
X, Y, Z – Coordenadas de um ponto qualquer da reta; Xi, Yi, Zi – Coordenadas de um ponto da reta i; α, μ – Valores constantes;
r1= (r11, r12, r13) e r2 = (r21, r22, r23) – Vetores diretores das retas r1 e r2, respectivamente.
Considerando que as retas r1 e r2 não sejam paralelas, uma forma de verificar se as retas são concorrentes ou reversas é resolvendo o sistema de equações obtido ao igualar as Equações 2.26 e 2.27.
$
X1+ α r11 = X2+ μ r21 Y1+ α r12 = Y2+ μ r22
Z1+ α r13 = Z
2+ μ r23
Existem várias maneiras de determinar as incógnitas α e μ. Uma delas é resolvendo o sistema formado pelas duas primeiras equações do sistema de Equações 2.28. Nesse caso as constantes são calculadas a partir das seguintes equações:
α= X1-X2 r2 2- Y
1-Y2 r22 (r21r
1 2- r
2 2r
1
1) (2.29)
μ= Y1-Y2 + r1 2 α
r22 (2.30)
O processo de determinação das constantes α e μ utilizando apenas as duas primeiras equações equivale a determinar a intersecção das retas no espaço bidimensional (X, Y). Nesse caso, a terceira equação pode ser usada para verificar se as retas interceptam no espaço tridimensional, ou seja, verificar se elas são coplanares, como mostra a Equação 2.31.
(Zi + α ri3) – ( Z
j + μ rj3) =0 (2.31)
Se a igualdade da Equação 2.31 for satisfeita, existe um ponto comum entre as retas, logo as retas são concorrentes. Caso contrário, não existe nenhum ponto comum entre as retas, com isso as retas são ditas reversas.
No entanto, em uma situação real, como por exemplo, quando duas retas concorrentes são extraídas sobre nuvens de pontos LASER, dificilmente o valor obtido pela a Equação 2.31 será exatamente nulo. Por esse motivo deve-se adotar uma tolerância de distância (LZ), como mostra a Equação 2.32.
|(Zi + α ri3) – ( Zj + μ rj3)| ≤LZ (2.32)
Com isso, duas retas são consideradas concorrentes caso a Equação 2.32 seja satisfeita, caso contrário, elas são reversas.
2.4 Método ICP
Nessa seção será feita uma descrição do método ICP (Iterative Closest Point), o qual
foi proposto por Besl e Mckay (1992). Nesse trabalho é apresentada a abordagem original do método, a qual se baseia no conceito de quatérnios.
Segundo Besl e Mckay (1992) ICP é um algoritmo que tem como objetivo estimar as transformações que minimizam as discrepâncias entre um conjunto de dados considerado de referência e um conjunto de dados a ser ajustado. O conceito utilizado consiste em encontrar, a cada iteração, parâmetros de rotação e translação que de forma global alinhem ou façam um registro entre o conjunto de referência e o conjunto de dados a ser ajustado. Este método pode ser aplicado considerando diferentes formas geométricas, tais como conjuntos de pontos, segmentos de linhas, triângulos, curvas implícitas e paramétricas; e superfícies implícitas e paramétricas.
Tendo como dados de entrada dois conjunto de pontos S e P, com Ns e Np pontos respectivamente, o intuito deste é estimar os parâmetros de transformação, de forma a alinhar o conjunto P de dados, a serem ajustados, ao conjunto referência S, ambos com pontos definidos em R3. Deve-se primeiramente determinar pontos correspondentes entre os dois conjuntos de dados. Para tal, utiliza-se a distância euclidiana como medida de similaridade. Para cada ponto p є P, define-se como ponto correspondente o ponto s є Sde menor distância euclidiana. A função de distância é dada por:
d p, S = minp∈P 'p - s' (2.33)
Os pontos pertencentes ao conjunto S e que satisfazem a Equação 2.33 geram um novo conjunto denotado por Y, como pode ser visto na Equação 2.34 onde C representa o operador
de ponto mais próximo.
Y=C P, S (2.34)
Pode-se notar que para cada ponto pi є P existe um ponto correspondente ri є Y. Desta forma, ambos os conjuntos possuem o mesmo número Np de elementos.
No próximo passo utiliza-se o conceito de quaternions (ou quatérnios). Os quatérnios
considerar: como um vetor de dimensão quatro, um número complexo com três unidades imaginárias, ou um número hipercomplexo (YAGLOM2, 1968 apud GALO e TOZZI, 2001).
O quatérnio unitário pode ser representado pela seguinte quádrupla (BELS e MCKAY, 1992):
qr= ( q0 q1 q2 q3 )T, q0≥0 e q02+ q12+q22 +q32=1 (2.35)
A partir da Equação 2.35 e considerando um vetor qt=( q4 q5 q6 )T de translação, o vetor completo de registro é dado por:
q= ( qr | qt)T (2.36)
Para obter o vetor de registro deve-se realizar a operação de mínimos quadrados (Q)
descrita como:
q, dms =Q P, Y (2.37)
onde dms representa a média do erro quadrático de correspondência dos pontos. Este valor é calculado por:
dms = 1
Np * ri,k - pi,k+1*2 Np
i=1
(2.38)
A variável k representa o número da iteração. Com isso, no cálculo da média utiliza-se a diferença entre os pontos Y e seus correspondentes já transformados, pertencentes ao conjunto P.
Para se chegar ao operador Q, primeiramente são definidos os centróides μp de P e μy
de Y.
μp = 1 Np
pi Np
i=1
e μy = 1 Np
ri Np
i=1
Com os centróides definidos, calcula-se a matriz de covariância cruzada de P e Ydada por:
∑py = 1
Np (pi Np
i=1
rit) -+μpμyt, (2.40)
A partir da Equação 2.40 pode-se obter a matriz A = ∑-.- ∑-.T. Os componentes cíclicos desta matriz são usados para compor o vetor ∆ = [A23 A31 A12]T. Outra informação necessária é o valor do traço da matriz de covariância obtido por:
tr(∑py) = ∑11+∑22+∑33 (2.41)
Por meio das Equações 2.40 e 2.41 é possível montar a matriz Q(∑/0 :
Q(∑py) = 1tr(∑py) Δ T
Δ ∑py+ ∑pyT- tr(∑py)I32 (2.42)
onde I3 é a matriz identidade 3 x 3.
A partir da matriz Q(∑/0 é possível obter o quatérnio qr. Este vetor é descrito por meio do autovetor associado ao maior autovalor de Q(∑py). A partir do quatérnio qr, pode-se obter a matriz de rotação:
R qr =3 q02+q
1 2-q 2 2-q 3 2 2(q
1q2-q0q3) 2(q1q3+q0q2) 2(q1q2+q0q3) q02+q
2 2-q 1 2-q 3 2 2(q
2q3-q0q1) 2(q1q3-q0q2) 2(q2q3+q0q1) q02+q
3 2-q 1 2-q 2 2
4 (2.43)
Como apresentado em Galo e Tozzi (2001) os quatérnios podem ser utilizados como uma representação alternativa às matrizes de rotação. Dentre algumas vantagens dessa abordagem destacadas por Galo e Tozzi (2001), têm-se: o menor custo computacional; a geração de sistemas bem condicionados na solução de problemas de orientação; a não existência de funções trigonométricas; e a simplicidade das derivadas parciais em relação aos parâmetros.
Os centróides e a matriz R qr são utilizados no cálculo do vetor de translação.
