Um problema de extensão relacionado a raiz quadrada do Laplaciano com condição de...

(1)

Um problema de extens˜

ao relacionado

a raiz quadrada do Laplaciano

com condi¸

c˜

ao de fronteira de Neumann

Michele de Oliveira Alves

Tese apresentada

ao

Instituto de Matem´

atica e Estat´ıstica

da

Universidade de S˜

ao Paulo

para

obtenc

¸˜

ao do t´ıtulo

de

Doutor em Matem´

atica Aplicada

Programa: Matem´atica Aplicada

Orientador: Prof. Dr. S´ergio Muniz Oliva Filho

Durante o desenvolvimento deste trabalho o autor recebeu aux´ılio financeiro da CAPES

(2)

a raiz quadrada do Laplaciano

com condi¸

c˜

ao de fronteira de Neumann

Esta versão definitiva da tese contém as corre¸cões e altera¸cões sugeridas pela Comissão Julgadora durante a defesa realizada por Michele de Oliveira Alves em 15/12/2010.

Comiss˜ao Julgadora:

• Prof. Dr. S´ergio Muniz Oliva Filho (orientador) - IME-USP

• Prof. Dr. Orlando Francisco Lopes - IME-USP

• Prof. Dr. Pl´acido Zoega T´aboas - ICMC-USP

• Prof. Dr. S´ergio Henrique Monari Soares - ICMC-USP

(3)

(4)

(5)

Agradecimentos

Ao final deste trabalho quero primeiramente agradecer `a Deus por acreditar em mim e por me dar a gra¸ca de concluir mais uma etapa de minha vida. Pelo apoio e sustento sempre concedido nos momentos mais dif´ıceis.

`

A minha fam´ılia por ser minha base, dando-me apoio, alegria, amor e por compreender minha ausˆencia em muitos momentos. Ela com certeza ´e parte fundamental desta conquista.

Ao meu noivo Emerson pela paciˆencia, amor e carinho, pelas in´umeras vezes que me incentivou a continuar e a acreditar mais em mim. Obrigada pela sua presen¸ca, ela foi meu combust´ıvel para prosseguir sempre.

Ao professor Sérgio por todos os ensinamentos, paciência, amizade, disponibilidade para me aten-der, esclarecer dúvidas, etc... com ele obtive um grande crescimento matemático.

Aos meus amigos de pós-gradua¸cão pela amizade. Em particular, Fernanda e Anderson (Super!) pela maravilhosa convivência não só no IME mas também em casa. Vocês com certeza acompanharam de perto toda esta minha trajetória. Obrigada pelas conversas e inúmeras risadas que tivemos ao longo deste per´ıodo.

`

A minha amiga Gleiciane pelo conv´ıvio iniciado na gradua¸cão, pelos estudos durante o per´ıodo de disciplinas, seminários e por várias vezes sanar minhas dúvidas.

Agrade¸co tamb´em aos amigos da Par´oquia Nossa Senhora dos Pobres que me acolheram com tanto amor e carinho.

Aos professores do departamento e funcionários do IME. Também aos professores Orlando Fran-cisco Lopes, Plácido Zoega Táboas, Sérgio Henrique Monari Soares e Joana Isabel Afonso Mourão Terra pelas corre¸cões e importantes sugestões.

`

(6)

(7)

Resumo

Neste trabalho definimos o operador não local, raiz quadrada do Laplaciano com condi¸cão de fronteira de Neumann, através do método de extensão harmônica. O estudo foi feito com o aux´ılio das séries de Fourier em dom´ınios limitados, como sendo o intervalo, o quadrado e a bola. Posteri-ormente, aplicamos nosso estudo, à problemas el´ıpticos não lineares envolvendo o operador não local raiz quadrada do Laplaciano com condi¸cão de fronteira de Neumann.

(8)

(9)

Abstract

In this work we define the non-local operator, square root of the Laplacian with Neumann boundary condition, using the method of harmonic extension. The study was done with the aid of Fourier series in bounded domains, as the interval, the square and the ball. Subsequently, we apply our study, the nonlinear elliptic problems involving non-local operator square root of the Laplacian with Neumann boundary condition.

(10)

(11)

Sum´

ario

Lista de S´ımbolos xi

1 Introdu¸c˜ao 1

2 Preliminares 9

2.1 Espa¸cos de Sobolev, Slobodeckij e H¨older . . . 10

2.1.1 Imers˜oes Cont´ınuas e Compactas . . . 12

2.1.2 Teorema do Tra¸co e Desigualdade de Poincar´e . . . 13

2.2 Espa¸cos de Sobolev das fun¸c˜oes peri´odicas . . . 15

2.2.1 Teorema do Tra¸co para as fun¸c˜oes peri´odicas . . . 19

3 C´alculo Funcional 21 3.1 Estudo do Operador ₋∆N . . . 21

3.2 Raiz Quadrada do operador₋∆N . . . 26

4 O Operador 35 4.1 Caso Ωi = (0, π) . . . 36

4.2 Caso Ωq= (0, π)×(0, π) . . . 43

4.3 Caso Ωb =B(0, π) . . . 54

5 Aplica¸c˜ao 81 5.0.1 Solu¸c˜ao fraca no intervalo . . . 82

5.0.2 Solu¸c˜ao fraca no quadrado . . . 84

5.0.3 Existˆencia de Solu¸c˜ao Fraca . . . 86

A Apˆendice 99 A.1 Fun¸c˜oes Especiais . . . 99

A.2 Operadores . . . 102

A.3 Teorema do Multiplicador de Lagrange . . . 103

Referˆencias Bibliogr´aficas 105

´_{Indice Remissivo} ₁₀₉

(12)

(13)

Lista de S´ımbolos

∆N Operador Laplaciano com condi¸c˜ao de fronteira de Neumann

Ct₍_Rn₎ _{Espa¸co de H¨}_{older sobre}_Rn

Ct(U) Espa¸co de H¨older sobreU

C_per∞(Rn₎ _{Conjunto das fun¸c˜oes infinitamente diferenci´}_{aveis que s˜ao 2}_π

−peri´odicas

C_per∞(Rn+1

+ ) Conjunto das fun¸cões infinitamente diferenciáveis que são 2π−periódicas emx∈Rn

L2(U) Espa¸co de Lebesgue em U

L2(U;r) Espa¸co de LebesgueL2(U) com pesor

Hs₍_U₎ _{Espa¸co de Sobolev se} _s

∈Z₊ _{e Espa¸co de Slobodeckij se} _{s >}_{0 n˜}_{ao inteiro} Hs

per(Rn) Espa¸co de Sobolev peri´odico na vari´avelx∈Rn

H_pers (Rn+1₎ _{Espa¸co de Sobolev peri´odico na vari´avel}_x_∈_Rn_{, para todo (}_{x, z}₎_∈_Rn+1 +

Jp Fun¸c˜ao de Bessel de primeiro tipo de ordem p∈R

Yp Fun¸c˜ao de Bessel de segundo tipo de ordemp∈Rfracion´ario

֒_→ Imers˜ao Cont´ınua

c

֒_→ Imers˜ao Compacta

Rn+1

+ = {(x, z)∈Rn+1 | x∈Rne z >0} Ωi = (0, π)

Ωb = B(0, π)

Ωq = (0, π)_×(0, π)

I = N∗ _{em Ω}

i

I = (N_×N₎_\{₍₀_,₀₎_}_{em Ω}_q

I = (N∗_×N₎_\{₍₁_,₀₎_}_{em Ω}_b

X =

u_∈L2(Ω)

Z

Ω

u(x)dx= 0

(14)

Qn ₌

{x_∈Rn

| |xj| ≤π,∀j= 1,· · ·, n}

u_Ω =

Z

Ω

u(x)dx

< u, v > =

Z

Ω

u(x)v(x)dx

(˜v(_·,_·, z))Ω = Z

Ω ˜

(15)

Cap´ıtulo 1

Introdu¸

c˜

ao

As potências fracionárias do Laplaciano são geradores infinitesimais do processo de difusão estável chamado de processo de Lévy e aparecem nas dinâmicas populacionais, rea¸cões qu´ımicas em l´ıquidos, entre outros assuntos do cotidiano.

Neste trabalho, estudamos a raiz quadrada do operador Laplaciano com condi¸c˜ao de fronteira de Neumann, (₋∆N)

1

2, em três tipos de dom´ınios, utilizando técnicas de extensão harmônica.

Posterior-mente, aplicamos `a problemas el´ıpticos n˜ao lineares.

As potências fracionárias do operador Laplaciano, podem ser interpretadas de algumas formas. Considere uma fun¸cãou:Rn_−→_R_{suficientemente regular. Utilizando a Transformada de Fourier,}

temos

\

(₋∆)s_u₍_ξ_{) =}_|_ξ_|2s b

u(ξ),

e ainda, através da Fórmula da Derivada Fracionária de Riesz,

(₋∆)su(x) =Cn,s Z

Rn

u(x)₋u(y)

|x₋y_|n+2sdy,

ondeCn,s´e alguma constante de normaliza¸c˜ao e s∈(0,1).

As potˆencias negativas s˜ao dadas por

(₋∆)α= 1 2πi

Z

γ

(₋λ)α(λI₋∆)−1dλ,

ondeγ ´e qualquer curva simples suave por partes satisfazendo algumas propriedades e Re(α)<0. Para s= 1

2, podemos ainda considerar (−∆)

1

2 como sendo um operador positivo tal que

(₋∆)12 ◦(−∆) 1

2u=−∆u,

para qualqueru_∈D(₋∆u).

O método de definir o operador (₋∆)12 por meio de técnicas extensão harmônica, consiste em

considerar o operador T dado por

(16)

ondeu:Rn

−→R_{´e uma fun¸c˜}_{ao suave limitada e}_v_:Rn+1

+ −→Ré a única solu¸cão do problema (

∆v(x, z) = 0 em Rn+1

+ =Rn×(0,∞)

v(x,0) = u(x) em Rn . (1.1)

Observe que

1. Se colocarmos₋vz(x,0) como condi¸c˜ao de Dirichlet no problema (1.1), verificamos que−vz(x, z)

é solu¸cão deste novo problema, logo pela defini¸cão do operadorT, temos que

T(T(u))(x) =T(₋vz(x,0)) =vzz(x,0) =−∆xv(x,0),

Ent˜ao,

(T _◦T)(u))(x) =₋∆xu(x).

2. Usando o M´etodo de Integra¸c˜ao por Partes, vemos que

Z

Rn

u(x)T(u)(x)dx = ₋

Z

Rn

v(x,0)vz(x,0)dx

= ₋

Z

Rn+1

+

v(x, z)∆v(x, z)dxdz+

Z

Rn+1

+

|∇v(x, z)_|2dxdz

=

Z

Rn+1

+

|∇v(x, z)_|2dxdz_≥0,

logo, o operador T ´e positivo.

Portanto, o operadorT que mapeia a condi¸c˜ao de Dirichlet u na condi¸c˜ao de Neumann ₋vz(·,0)

´e de fato o operador (₋∆)12.

O artigo [8] generalizou este método com o objetivo de definir um problema de extensão seme-lhante para cada potência fracionária do Laplaciano. Para uma fun¸cão u :Rn _−→_R _{suave limitada,}

considerou-se o seguinte problema

(

∆xv(x, z) +

a

zvz(x, z) +vzz(x, z) = 0 em R

n+1 +

v(x,0) = u(x) em Rn ,

tal quea= 1₋2s.

Com isso, mostrou-se que

(₋∆)su(x) =₋vz(x,0),

onde s _∈ (0,1) e a potência fracionária do operador Laplaciano foi expressada pela Fórmula da Derivada Fracionária de Riesz.

Outro trabalho baseado nesta idéia de extensão harmônica é o artigo de [7], onde estudou-se a raiz quadrada do operador Laplaciano com condi¸cão de fronteira de Dirichlet (₋∆D)

1

2, em um dom´ınio

Ω _⊂ Rn _{limitado, suave. Tal operador foi definido via método de extensão harmônica no cilindro}

(17)

3

Por meio de algumas pesquisas, observamos que não se têm na literatura, um estudo das potências fracionárias do operador Laplaciano com condi¸cão de fronteira de Neumann, via método de extensão harmônica e ainda usando séries de Fourier.

Nosso trabalho foi definir a raiz quadrada do operador Laplaciano com condi¸c˜ao de fronteira de Neumann (₋∆N)

1

2, usando o método de extensão harmônica e o aux´ılio das séries de Fourier em três

tipos de dom´ınios, o intervalo Ωi= (0, π), o quadrado Ωq = (0, π)×(0, π) e bola Ωb=B(0, π).

Para definir o operador (₋∆N)

1

2, consideramos os seguintes problemas de extens˜ao

                

∆˜v(x, y, z) = 0 em R3 + ˜

v(x, y,0) = ˜u(x, y) em R2 lim

z→∞kv˜(·,·, z)kL2(Ω) = 0

lim

z→∞kv˜z(·,·, z)kL2(Ω) = 0

(˜v(_·,_·, z))Ω = 0 ∀z≥0

,

quando o dom´ınio for Ωq ou Ωb, onde

(˜v(_·,_·, z))Ω= Z

Ω ˜

v(x, y, z)dxdy,

para qualquerz_≥0 e _

               

∆˜v(x, z) = 0 em R2

+ ˜

v(x,0) = ˜u(x) em R

lim

z→∞k˜v(·, z)kL2(Ωi) = 0

lim

z→∞k˜vz(·, z)kL2(Ωi) = 0

(˜v(_·, z))Ωi = 0 ∀z≥0

,

quando o dom´ınio for Ωi, onde

(˜v(_·, z))Ωi =

Z

Ωi

˜

v(x, z)dx,

para qualquerz_≥0.

O estudo foi feito com o aux´ılio das s´eries de Fourier, onde definimos o operador (₋∆N)

1 2 como

sendo uma s´erie das autofun¸c˜oes e autovalores de₋∆N, ou seja,

(₋∆N)

1 2u=

∞

X

i∈I λ

1 2

i < u, ϕi > ϕi,

ondeϕi e λi s˜ao as autofun¸c˜oes e os autovalores de −∆N, respectivamente.

Verificamos que o operador (₋∆N)

1

2 ´e de fato a raiz quadrada do Laplaciano com condi¸c˜ao de

fronteira de Neumann, pois,

(₋∆N)

1

2 ◦(−∆_N)12u=

∞

X

i∈I

λi < u, ϕi > ϕi=−∆Nu,

para qualqueru_∈D(₋∆N).

(18)

fazer todas as contas e verificar quais eram de fato as solu¸c˜oes dos problemas de extens˜ao, bem como para definir o operador (₋∆N)

1 2.

Como uma aplica¸cão, estudamos a existência de solu¸cões fracas não nulas de problemas el´ıpticos não lineares envolvendo o operador não local (₋∆N)

1

2 nos dom´ınios Ω_i e Ω_q. Ou seja, estudamos o

seguinte problema el´ıptico n˜ao linear

(₋∆N)

1

2u=up, (1.2)

onde p= 2 + 1

s, coms >1 ´ımpar, quando o dom´ınio for Ωq, e p=p+

1

s, comp par e s≥1 ´ımpar,

quando o dom´ınio for Ωi.

Como sabemos, o operador (₋∆N)

1

2 ´e n˜ao local. Assim uma das vantagens de definirmos este

operador por meio de técnicas de extensão harmônica é que resolver o problema el´ıptico não local (1.2), se resume em resolver o seguinte problema el´ıptico local

                

∆˜v(x, y, z) = 0 em R3 + ˜

vz(x, y,0) =−u˜p(x, y) em R2

lim

z→∞k˜v(·,·, z)kL2(Ωq) = 0

lim

z→∞k˜vz(·,·, z)kL2(Ωq) = 0

(˜v(_·,_·, z))Ωq = 0 ∀z≥0

,

tal que ˜v é par, periódica nas variáveisx e y, ˜u é a extensão par, periódica de uà R2_. Quando o dom´ınio for Ωi, o problema el´ıptico local correspondente é

                

∆˜v(x, z) = 0 em R2

+ ˜

vz(x,0) =−u˜p(x) em R

lim

z→∞kv˜(·, z)kL2(Ωi) = 0

lim

z→∞kv˜z(·, z)kL2(Ωi) = 0

(˜v(_·, z))Ωi = 0 ∀z≥0

,

onde ˜v é par, periódica na variávelx, ˜ué uma extensão par, 2π-periódica de u à R_.

O trabalho est´a organizado da seguinte maneira. No Cap´ıtulo 3, fizemos um estudo do operador local Laplaciano com condi¸c˜ao de fronteira de Neumann,

−∆N :D(−∆N)⊂X −→ X

u _{7−→ −}∆(u),

onde

D(₋∆N) = n

u_∈H2(Ω) ∂u

∂n

_∂

Ω= 0 e (u)Ω= 0 o

,

para verificarmos que faz sentido considerar a potˆencia fracion´aria deste operador.

Com isso, usamos a teoria de C´alculo Funcional de [15] e [27], para escrevermos o operador

(₋∆N)

1

(19)

5

como sendo uma s´erie envolvendo as autofun¸c˜oes e os autovalores, do operador₋∆N, ou seja,

(₋∆N)

1 2u=

∞ X i∈I λ 1 2

i < u, ϕi > ϕi,

onde ϕi são as autofun¸cões de −∆N, nos dom´ınios citados anteriormente, λi são os correspondentes

autovalores e

D((₋∆N)

1 2) =

u_∈L2(Ω) (u)Ω= 0 e

∞

X

i∈I

λi|< u, ϕi >|2 <∞

.

No Cap´ıtulo 4, definimos o operador A1

2 :D(A12)⊂X −→X tal que

A1

2u=−(˜vz(·,0))|Ω,

onde

D(A1 2) =

n

u_∈Hs(Ω) ∂u

∂n

∂Ω = 0 e (u)Ω = 0 o

,

coms >2 para Ωq e Ωb,s >

3

2 para Ωi, e ˜v é a única solu¸cão clássica de

                

∆˜v(x, y, z) = 0 em R3 + ˜

v(x, y,0) = ˜u(x, y) em R2 lim

z→∞kv˜(·,·, z)kL2(Ω) = 0

lim

z→∞kv˜z(·,·, z)kL2(Ω) = 0

(˜v(_·,_·, z))Ω = 0 ∀z≥0

,

quando o dom´ınio for Ωq ou Ωb, ou solu¸c˜ao cl´assica de                 

∆˜v(x, z) = 0 em R2

+ ˜

v(x,0) = ˜u(x) em R

lim

z→∞k˜v(·, z)kL2(Ωi) = 0

lim

z→∞k˜vz(·, z)kL2(Ωi) = 0

(˜v(_·, z))Ωi = 0 ∀z≥0

,

quando o dom´ınio for Ωi.

A partir desta defini¸c˜ao, consideramos uma extens˜ao deA1

2 definida da seguinte maneira

B1

2 :Y ⊂X −→ X

u _7−→ ∞ X i∈I λ 1 2

i < u, ϕi > ϕi

,

onde

Y =

u_∈L2(Ω) (u)Ω= 0 e

∞

X

i∈I

λi|< u, ϕi >|2<∞

(20)

Com isso, provamos o seguinte teorema.

Teorema 1. O operador B1

2 coincide com o operador (−∆N) 1

2, ou seja,

< u, B1

2u >≥0,

para qualquer u_∈D(B1 2) e

B1 2 ◦B

1

2u=−∆Nu,

para qualquer u_∈D(₋∆N).

No Cap´ıtulo 5, verificamos a existência de solu¸cão fraca não nula do problema não linear (1.2), com o aux´ılio do Teorema do Multiplicador de Lagrange em espa¸cos lineares topológicos para os dom´ınios Ωi e Ωq.

Para isto, consideramos as seguintes condi¸c˜oes

1. Se o dom´ınio for Ωi

(a) ˜v(₋x, z) = ˜v(x, z), quase sempre emx_∈R_{, para qualquer} _z_≥_0,

(b) ˜v(x+π,0) =₋˜v(x,0), quase sempre em x_∈R_,

(c) (˜v(_·, z))Ωi = 0, para qualquer z≥0.

2. Se o dom´ınio for Ωq

(a) ˜v(₋x, y, z) = ˜v(x,₋y, z) = ˜v(x, y, z), quase sempre em (x, y)_∈R2_{, para qualquer} _z_≥_0, (b) ˜v(x+π, y,0) =₋v˜(x, y,0), quase sempre em (x, y)_∈R2_,

(c) (˜v(_·,_·, z))Ωq = 0, para qualquerz≥0.

Sejam as aplica¸c˜oes

Ii :Hi −→ R

˜

v _7−→ 1

2

Z ∞

0 Z

Ωi

|∇v˜(x, z)_|2dxdz,

onde

Hi= n

˜

v _∈H_per1 (R2 +)

˜v satisfaz 1. e lim

T→∞kv˜(·, T)kL2(Ωi)= limT→∞k˜vz(·, T)kL2(Ωi)= 0

o

,

e

Iq:Hq −→ R

˜

v _7−→ 1

2

Z ∞

0 Z

Ωq

|∇v˜(x, y, z)_|2dxdydz,

onde

Hq = n

˜

v _∈H_per1 (R3

+)

˜v satisfaz 2. e lim

T→∞kv˜(·,·, T)kL2(Ωq)= limT→∞kv˜z(·,·, T)kL2(Ωq)= 0

o

(21)

7

Para algum a >0 fixo, verificamos a existˆencia de m´ınimo dos funcionaisIi eIq, respectivamente,

sobre os conjuntos

Hi,a =

˜

v _∈Hi

Z

Ωi

(˜v(x,0))p+1dx=a

,

Hq,a =

˜

v_∈Hq

Z

Ωq

(˜v(x, y,0))p+1dxdy=a

.

Através deste m´ınimo, mostramos a existência de solu¸cão fraca não nula do problema não linear (1.2) nos dom´ınios Ωi e Ωq, utilizando o Teorema do Multiplicador de Lagrange em espa¸cos lineares

(22)

(23)

Cap´ıtulo 2

Preliminares

Vejamos as nota¸cões e alguns resultados importantes sobre espa¸cos de fun¸cões que utilizaremos durante nosso trabalho. O estudo sobre os espa¸cos de fun¸cões foi baseado em [33] e para o caso de espa¸cos de fun¸cões periódicas nos baseamos em [20].

Para n_∈Z₊∗, consideremos

Rn+1

+ ={(x, z)∈Rn+1 |x∈Rne z >0}

Seja U subconjunto aberto de Rn_{. Denotaremos por} _L2₍_U_{) o espa¸co de Banach das fun¸c˜}_oes

f :U _−→R_{, Lebesgue mensur´}_{aveis, satisfazendo}

kf_k_L2₍_U₎=

Z

U|

f_|2dx

1 2

<_∞.

Consideremos tamb´em, o espa¸co de Hilbert

X =

u_∈L2(Ω)

Z

Ω

u(x)dx= 0

,

onde o dom´ınio Ω ser´a o intervalo, o quadrado ou a bola, com as seguintes nota¸c˜oes

Ωi = (0, π)

Ωq = (0, π)×(0, π)

Ωb = B(0, π).

O produto interno e a norma do espa¸co de fun¸c˜oesX s˜ao dados, respctivamente, por

< u, v >=

Z

Ω

u(x)v(x)dx e _ku_k=√< u, u >,

para qualqueru, v_∈X.

Denotaremos por Kh, o cone de alurah, definido como

Kh ={(x ′

, xn)∈Rn | 0< xn< h, |x ′

|< axn},

(24)

Defini¸c˜ao 1. ( [33]) Um dom´ınio U _⊂Rn _{limitado ´e um dom´ınio do tipo cone se existem dom´ınios}

U1,· · ·, UM e cones C1,· · ·, CM, que podem ser obtidos por rota¸c˜oes sobre o cone Kh, tais que M

[

j=1

Uj ⊂∂U e (Uj∩U) +Cj ⊂U

para qualquer j= 1,_{· · ·}, M.

Exemplo 1. Ωq = (−π, π)×(−π, π)´e um dom´ınio do tipo cone.

2.1 Espa¸cos de Sobolev, Slobodeckij e H¨older

SejaU _⊂Rn _{aberto. Durante nosso estudo usaremos frequentemente os espa¸cos}

Hs(U) =H₂s(U),

coms_∈Z₊_ou_{s >}_{0 n˜}_{ao inteiro. Por isso, nesta se¸c˜}_{ao, definiremos estes espa¸cos de fun¸c˜oes e veremos}

algumas de suas propriedades.

Consideremos S=S(Rn_{) o conjunto das fun¸c˜oes} _f _:_Rn

−→C_{tais que} _f _∈_C∞₍_Rn_{) e satisfazem}

sup

x∈Rn|

xα∂βf(x)_|<_∞,

para quaisquer multi-´ındices α, β _∈Nn_{. O conjunto}_S _{´e chamado Espa¸co de Schwartz. Denotaremos}

o dual de S porS′ =S′(Rn_{) que ´e o espa¸co das distribui¸c˜}_{oes temperadas.}

Defini¸c˜ao 2. 1. Se s_∈Z₊_{, os espa¸cos} _Hs₍_Rn₎ _s˜_{ao os Espa¸cos de Sobolev definidos como}

Hs(Rn_{) =}

{f _∈S′(Rn₎

| kf_k_Hs₍Rn₎ <∞},

onde

kf_k_Hs₍Rn₎=

X

|α|≤s

kDαf_k2_L2₍Rn₎

1 2

,

para qualquer f _∈Hs(Rn_).

2. Se s >0 n˜ao inteiro, os espa¸cos Hs₍_Rn₎ _s˜_{ao os Espa¸cos de Slobodeckij dados por}

Hs(Rn_{) =}_{_f _∈_S′₍Rn₎ _{| k}_f_k_Hs₍Rn₎ <∞},

onde

kf_k_Hs₍Rn₎=k(1 +|x|2) s

2F fk_L2₍Rn₎,

para qualquer f _∈Hs(Rn_{), onde} _F _{´e a Transformada de Fourier em}_Rn_.

Tendo definido os espa¸cos Hs(Rn_{) para} _{s >} _{0, podemos, ent˜ao definir os espa¸cos} _Hs₍_U_{) como}

sendo a restri¸c˜ao dos espa¸cos Hs₍_Rn_).

(25)

2.1. ESPAC¸ OS DE SOBOLEV, SLOBODECKIJ E H ¨OLDER 11

1. Se s_∈Z₊_{, os Espa¸cos de Sobolev} _Hs₍_U₎ _s˜_{ao definidos como}

Hs(U) =_{f _∈L2(U) _{| ∃}g_∈Hs(Rn₎ _com _g₍_x_{) =}_f₍_x₎_,_∀_x_∈_U_}_,

com a norma

kf_k_Hs₍_U₎ = inf g|_U=f g∈Hs(Rn₎

kg_k_Hs₍Rn₎,

para qualquerf _∈Hs₍_U_).

2. Se s >0 n˜ao inteiro, os Espa¸cos de Slobodeckij Hs₍_U₎ _s˜_{ao definidos como}

Hs(U) =_{f _∈L2(U) _{| ∃}g_∈Hs(Rn₎ _com _g₍_x_{) =}_f₍_x₎_,_∀_x_∈_U_}_,

com a norma

kf_k_Hs₍_U₎ = inf g|U=f g∈Hs(Rn)

kg_k_Hs₍Rn₎,

para qualquerf _∈Hs₍_U_).

Quando o dom´ınio U tem certas propriedades, os espa¸cos Hs(U) podem ser caracterizados com normas definidas emU. Para isso, consideraremos

D(U) =C∞

0 (U) ={f :U −→R |f ∈C∞(U) com suporte compacto}, e D′(U) o dual de D(U).

Lema 1. Seja U _⊂Rn _{um dom´ınio n˜}_{ao limitado do tipo cone, limitado do tipo cone ou}_C∞_-limitado.

1. Se s_∈Z₊_{, ent˜}_ao

Hs(U) =_{f _∈D′(U) _{| k}f_k_Hs₍_U₎<∞},

onde

kf_kHs₍_U₎=

kf_k2_L2₍_U₎+

X

|α|=s

kDαf_k2_L2₍_U₎

1 2

,

para qualquerf _∈Hs(U).

2. Se s >0 n˜ao inteiro, ent˜ao

Hs(U) =_{f _∈D′(U) _{| k}f_k_Hs₍_U₎<∞},

onde

kf_k_Hs₍_U₎=

kf_k2_L2₍_U₎+

X

|α|=[s] Z

U×U

|Dαf(x)₋Dαf(y)_|2

|x₋y_|n+2{s} dxdy

1 2

,

para qualquerf _∈Hs(U), onde s= [s] +_{s_} com [s] inteiro e_{s_{} ∈}[0,1).

(26)

Defini¸c˜ao 4. Seja t _≥ 0, os Espa¸cos de H¨older, denotados por Ct(Rn_{), s˜}_{ao definidos da seguinte}

maneira

1. Se t_∈Z₊_{, ent˜}_ao _Ct₍_Rn₎ _{denota o completamento de} _S₍_Rn₎ _{na norma}

kf_kCt₍Rn₎=

X

|α|≤t

sup

x∈Rn|

Dαf(x)_|.

2. Se 0< t= [t] +_{t_}, ent˜ao

Ct(Rn_{) =}_{_f _∈_C[t]₍Rn₎ _{| k}_f_k_Ct₍Rn₎<∞},

onde

kf_kCt₍Rn₎=kfk_C[t]₍Rn₎+

X

|α|=[t] sup

x6=y

|Dαf(x)₋Dαf(y)_|

|x₋y_|{t} .

Analogamente aos espa¸cos de Sobolev e Slobodeckij, podemos definir os espa¸cos de H¨older sobre

U atrav´es da restri¸c˜ao dos espa¸cosCt(Rn_).

Defini¸c˜ao 5. Seja U _⊂Rn _{um dom´ınio} _C∞_{-limitado. Ent˜}_{ao, o Espa¸co de H¨}_{older sobre} _U_{, denotado}

por Ct(U), ´e dado por

Ct(U) =_{f _{| ∃}g_∈Ct(Rn₎ _com _g₍_x_{) =}_f₍_x₎_,

∀x_∈U_},

com a norma

kf_k_Ct

(U) = ginf|_U=f g∈Ct(Rn₎

kg_kCt₍Rn₎.

2.1.1 Imers˜oes Cont´ınuas e Compactas

Durante nosso trabalho as imersões cont´ınuas e compactas são de muita utilidade. Por isso, enunciaremos tais imersões para os espa¸cos de Sobolev, Slobodeckij e Hölder.

As nota¸cões utilizadas para imersão cont´ınua e compacta, são dadas, respectivamente, por ֒_→ e

c

֒_→.

Proposi¸c˜ao 1. (Imers˜oes Cont´ınuas) Seja U _⊂Rn _{um dom´ınio arbitr´}_ario.

1. Se _−∞< t_≤s <_∞ , ent˜ao

Hs(U)֒_→Ht(U).

2. Se t_≥0, s > t+n

2, ent˜ao

Hs(U)֒_→Ct(U).

3. Se 2_≤q <_∞, s >0 e

s_≥n1

2− 1

q

,

ent˜ao

(27)

2.1. ESPAC¸ OS DE SOBOLEV, SLOBODECKIJ E H ¨OLDER 13

Proposi¸c˜ao 2. (Imers˜oes Compactas em dom´ınios do tipo cone) Seja U _⊂Rn _{um dom´ınio limitado}

do tipo cone.

1. Se 0< s < 1

2 e s < t <∞ e , ent˜ao

Ht(U)֒_→c Hs(U)

2. No caso em que s= 0, temos

Ht(U)֒_→c L2(U).

3. Se 2_≤q <_∞, s >0 e

s > n1

2 − 1

q

,

ent˜ao

Hs(U)֒_→c Lq(U).

Proposi¸c˜ao 3. (Imers˜oes Compactas em dom´ınios limitados suaves) SejaU _⊂Rn _{um dom´ınio}_C∞

-limitado. Se _−∞< s < t <_∞, ent˜ao

Ht(U)֒_→c Hs(U).

Tamb´em, se s >0 e

s > n1

2− 1

q

,

ent˜ao

Hs(U)֒_→c Lq(U).

2.1.2 Teorema do Tra¸co e Desigualdade de Poincar´e

Enunciaremos nesta subse¸c˜ao, o teorema do tra¸co emRn_{e em}_U _⊂_Rn_dom´ınio_C∞_{-limitado. Estes}

teoremas podem ser encontrados em [33]. Nosso objetivo, é provar que faz sentido considerarmos o tra¸co de uma fun¸cão deHs(Ω_×(0,_∞)), onde Ω_⊂Rn_{é um aberto arbitrário e}_s_{= 1}_,₂_.

· · ·. Também enunciaremos a Desigualdade de Poincaré para um dom´ınioU limitado em uma dire¸cão.

Teorema 2. (Teorema do Tra¸co em Rn_{) Sejam} _s _{= 1}_,₂_,_{· · ·} _e _x _{= (}_x

1,· · · , xn−1) ∈ Rn−1. Ent˜ao, existe uma aplica¸c˜ao linear, cont´ınua,

γ : Hs(Rn₎ _−→ s_Y−1

j=0

Hs−j−12(Rn−1)

f _7−→ γ(f) =

f(x,0), ∂f ∂xn

(x,0),_{· · ·},∂

s−1_f

∂xsn−1

(x,0)

.

Observa¸cão 1. O teorema anterior é válido para s > 0 não necessariamente inteiro, desde que

s₋j₋1

(28)

Teorema 3. (Teorema do Tra¸co em U) Sejam U _⊂ Rn _{um dom´ınio} _C∞_{-limitado e} 1

2 < s < ∞. Ent˜ao, existe uma aplica¸c˜ao linear, cont´ınua,

γ : Hs(U) _−→

[s−1₂]− Y

j=0

Hs−j−12(∂U)

f _7−→ γ(f) =

f

∂U,

∂f ∂ν

∂U,· · ·,

∂[s−12]−f

∂ν[s−12]−

∂U

,

onde ν é o vetor normal exterior em rela¸cão ao ∂U e[s₋ 1₂]− é inteiro.

Com isso, temos o pr´oximo lema sobre o tra¸co das fun¸c˜oes emHs(Ω_×(0,_∞)), paras= 1,2._{· · ·}.

Lema 2. Seja u_∈Hs_(Ω_×₍₀_,_∞_{)), onde} _Ω_⊂_Rn _{aberto e} _s_{= 1}_,₂_._{· · ·}_{. Ent˜}_ao,

γ(u) =u(x,0)_∈Hs−12(Ω× {0})

e existe C >0 tal que

kγ(u)_k

Hs−12(Ω×{0})≤CkukHs(Ω×(0,∞)).

Demonstra¸c˜ao. Sejau_∈Hs_(Ω_×₍₀_,_∞_{)), ent˜ao} _u_∈_L2_(Ω_×₍₀_,_∞_{)) e existe} _g_∈_Hs₍_Rn+1_{) tal que}

g(x, z) =u(x, z),

para qualquer (x, z)_∈Ω_×(0,_∞).

Pelo Teorema 2.,γ(g) :=g(x,0)_∈Hs−12(Rn) e existe C >0 tal que

kγ(g)_k

Hs−12(Rn₎ ≤CkgkHs(Rn+1).

Temos, ainda que

Hs−12(Rn)֒→L2(Rn),

logo,γ(g)_∈L2(Rn_{), em particular}_γ₍_g₎

Ω×{0}∈L

2_(Ω_{× {}₀_}_). Como Ω_{× {}0_{} ⊂}Rn_{, temos que}

γ(g) =g(x,0) =u(x,0) :=γ(u),

para qualquer (x,0)_∈Ω_{× {}0_}. Ent˜ao,

γ(u) :=γ(g)_Ω_×{₀_}_∈Hs−12(Ω× {0})_.

Ainda,

kγ(u)_k

Hs−12(Ω×{0}) = inf

F∈Hs−12 (Rn₎ F|_Ω_×{₀_}=γ(u)

kF_k

Hs−12(Rn₎ (2.1)

≤ kγ(g)_k

Hs−12(Rn₎

(29)

2.2. ESPAÇ OS DE SOBOLEV DAS FUNÇ ÕES PERI ÓDICAS 15

Observe que todas as contas que fizemos anteriormente para a fun¸cão g, continuam valendo para uma fun¸cãoh que tenha as mesmas propriedades da fun¸cão g, ou seja, h_∈Hs(Rn+1_{) tal que}

h(x, z) =u(x, z),

para qualquer (x, z)_∈Ω_×(0,_∞). Logo, em (2.1), segue que

kγ(u)_k

Hs−12(Ω×{0}) ≤ C h∈Hs(infRn+1)

h|_Ω_×_(0,_∞₎₌u

kh_k_Hs₍Rn+1₎

= C_ku_kHs_(Ω_×₍₀_,_∞₎₎.

Portanto, existeC >0 tal que

kγ(u)_k

Hs−12(Ω×{0})≤CkukHs(Ω×(0,∞)), para qualqueru_∈Hs_(Ω_×₍₀_,_∞_)).

A próxima proposi¸cão nos fornece a Desigualdade de Poincaré, a qual será muito útil na verifica¸cão de existência do m´ınimo de um funcional, que é uma das hipóteses do Teorema do Multiplicador de Lagrange.

Proposi¸c˜ao 4. (Desigualdade de Poincar´e) Seja U _⊂ Rn _{limitado em uma dire¸c˜}_{ao. Ent˜}_{ao, existe}

C >0 tal que

Z

U|

˜

v(x)_|2dx_≤C

Z

U

˜

v(x)dx

2 +C

Z

U|∇

˜

v(x)_|2dx,

para qualquerv˜_∈H1(U).

2.2 Espa¸cos de Sobolev das fun¸c˜oes peri´odicas

Denotaremos por C_per∞(Rn_{), o conjunto de todas as fun¸c˜oes infinitamente diferenci´aveis que s˜}_ao

2π₋peri´odicas, isto ´e,

˜

v(x+ 2π_·t) = ˜v(x),

para qualquerx_∈Rn _e_t_{= (}_t

1,· · ·, tn)∈Zn.

As fun¸c˜oes do conjuntoC_per∞(Rn_{), ficam unicamente determinadas no cubo}

Qn=_{x_∈Rn _{| |}_x_j_{| ≤}_π,_∀_j_{= 1}_,_{· · ·}_{, n}_}_.

Defini¸c˜ao 6. Sejas_∈R_{. Definimos}_Hs

per(Rn)como sendo o fecho deCper∞(Rn), com respeito a norma

ku_k_Hs

per(Rn)=

X

k∈Zn

(1 +_|k_|2)s_|u_b(k)_|2

1 2

(30)

onde bu(k) s˜ao os coeficientes de Fourier de u dados por

b

u(k) = (2π)−n2

Z

Qn

e−ik·xu(x)dx,

e k_·x=kix1+· · ·+knxn.

Em particular,L2_per(Rn_{) =}_H0

per(Rn) ´e um espa¸co de Hilbert com o produto escalar

< u, v >Qn=

Z

Qn

u(x)v(x)dx= X

k∈Zn

b

u(k)vb(k).

Estes espa¸cos de Sobolev das fun¸cões periódicas, tem uma rela¸cão com os espa¸cos de Sobolev e Slobodeckij emQn.

Para a demonstra¸c˜ao do pr´oximo lema, usaremos um resultado de [17], que nos diz que dados

a, b_∈[0,_∞) es_≥0, existem constantes positivasms e Ms dependendo somente des, tais que

ms(as+bs)≤(a+b)s≤Ms(as+bs). (2.2)

Lema 3. Seja Qn_⊂_Rn_{. Temos}

1. Se s_∈Z₊_{, ent˜}_ao _Hs

per(Rn)⊂Hs(Qn) e suas normas s˜ao equivalentes.

2. Se 0< s <1, ent˜ao H_pers (Rn₎_⊂_Hs₍_Qn₎ _{e suas normas s˜}_{ao equivalentes.}

Demonstra¸c˜ao. 1. Seja u_∈H_pers (Rn_{), temos que}_u_∈_C∞

per(Rn). Por outro lado, temos que

C∞(Qn)_⊂Hs(Qn),

ent˜ao

C∞₍_Qn₎_⊂_Hs₍_Qn₎_,

com a norma de Hs(Qn). Como C∞

per(Rn)⊂C∞(Qn), segue queu∈Hs(Qn).

Temos ainda, usando (2.2), que

X

k∈Zn

(1 +_|k_|2)s_|ud(k)_|2 = X

k∈Zn

(1 +_|i_|k_||2)s_|ud(k)_|2

≤ Ms X

k∈Zn

|ud(k)_|2+Ms X

k∈Zn

|(i_|k_|)sud(k)_|2

= Ms X

k∈Zn

|ud(k)_|2+Ms X

k∈Zn

|D\s₍_k₎_|2

= Ms Z

Qn|

u(x)_|2dx+

Z

Qn|

Dsu(x)_|2dx

.

Comos_∈Z₊_{, sabemos que}

|Dsu(x)_|2= X

|α|=s

(31)

Logo,

X

k∈Zn

(1 +_|k_|2)s_|ud(k)_|2 _≤ Ms

ku_k2_L2₍_Qn₎+

X

|α|=s

kDαu_k2_L2₍_Qn₎

= Mskuk2Hs₍_Qn₎,

ou seja,

ku_kHs

per(Rn)≤

p

MskukHs₍_Qn₎.

Por outro lado, usando (2.2), tamb´em temos que

X

k∈Zn

(1 +_|k_|2)s_|ud(k)_|2 = X

k∈Zn

(1 +_|i_|k_||2)s_|ud(k)_|2

≥ ms X

k∈Zn

|ud(k)_|2+ms X

k∈Zn

|(i_|k_|)sud(k)_|2

= ms

ku_k2_L2₍_Qn₎+

X

|α|=s

kDαu_k2_L2₍_Qn₎

,

ou seja,

ku_kHs

per(Rn)≥

√_m

skukHs₍_Qn₎.

Portanto,H_pers (Rn₎_⊂_Hs₍_Qn_{) e suas normas s˜}_{ao equivalentes.}

2. O fato deH_pers (Rn₎_⊂_Hs₍_Qn_{), para 0}_{< s <}_{1, segue pelo mesmo racioc´ınio usado no item 1.}

Sejau_∈Hs

per(Rn), usando propriedades de convolu¸c˜ao e m´odulo, temos que Z

Qn

Z

Qn

|u(x)₋u(y)_|2

|x₋y_|n+2s dxdy = Z

Qn

Z

Qn

|u(y₋x)₋u(y)_|2

|x_|n+2s dxdy (2.3)

=

Z

Qn

1

|x_|n+2s Z

Qn|

u(y₋x)₋u(y)_|2dy

dx.

Considere, para cadax_∈Qn_{, a fun¸c˜}_ao

gx(y) =u(y−x)−u(y),

e observe que

b

gx(k) = (2π)−

n 2

Z

Qn

e−ik·zgx(z)dz (2.4)

= (2π)−n2

Z

Qn

e−ik·zu(z₋x)dz₋(2π)−n2

Z

Qn

e−ik·zu(z)dz

= (2π)−n2

Z

Qn

e−ik·(z−x)u(z)dz₋u_b(k)

(32)

Assim, por (2.4) e pela Identidade de Parseval, segue em (2.3) que

Z

Qn

Z

Qn

|u(x)₋u(y)_|2

|x₋y_|n+2s dxdy = Z

Qn

1

|x_|n+2s Z

Qn

gx(y)gx(y)dy

dx

=

Z

Qn

1

|x_|n+2s X

k∈Zn

|gbx(k)|2

dx

= X

k∈Zn

|ub(k)_|2

Z

Qn

|eik·x₋1_|2

|x_|n+2s

dx.

Observe que se _|k_|= 0, ent˜ao

Z

Qn

Z

Qn

|u(x)₋u(y)_|2

|x₋y_|n+2s dxdy= 0,

e assim

ku_k_Hs₍_Qn₎ =kuk_L2₍_Qn₎=kuk_Hs per(Rn).

Caso contr´ario, fazemos a mudan¸ca de vari´avelx= t

|k_|, logo

Z

Qn

|eik·x₋₁_|2

|x_|n+2s dx=|k| 2s

Z

Qn

|eik·|kt| ₋₁_|2

|t_|n+2s dt=As|k| 2s_.

Sendo assim, _Z

Qn

Z

Qn

|u(x)₋u(y)_|2

|x₋y_|n+2s dxdy=As X

k∈Zn

|k_|2s_|_bu(k)_|2.

Ent˜ao, usando (2.2), segue que

ku_k2_Hs

per(Rn) ≥ mskuk

2 L2

per(Rn)+ms

X

k∈Zn

|k_|2s_|u_b(k)_|2

= mskuk2_L2₍_Qn₎+

ms

As Z

Qn

Z

Qn

|u(x)₋u(y)_|2

|x₋y_|n+2s dxdy

≥ cskuk2Hs₍_Qn₎.

Analogamente, existe Cs>0, tal que

ku_k2_Hs

per(Rn)≤Cskuk

2 Hs₍_Qn₎.

Portanto,H_pers (Rn₎_⊂_Hs₍_Qn_{) e suas normas s˜}_{ao equivalentes.}

O lema anterior é importante, pois as imersões válidas para os espa¸cosHs₍_Qn_{), também s˜}_{ao v´}_alidas

para os espa¸cos de Sobolev das fun¸c˜oes peri´odicas H_pers (Rn_{), para qualquer}_s

(33)

Consideremos também, o conjunto de todas as fun¸cões infinitamente diferenciáveis que são 2π -periódicas com respeito a variável x, isto é,

˜

v(x+ 2π_·t, z) = ˜v(x, z),

para qualquer (x, z)_∈Rn+1

+ e t= (t1,· · · , tn)∈Zn. Este conjunto ser´a denotado porCper∞(Rn++1)

Defini¸c˜ao 7. Definimos H_pers (Rn+1

+ ) como sendo o fecho deCper∞(Rn++1) com respeito a norma

ku˜_k_Hs

per(Rn+1+ )=

Z ∞

0 s X

j=0

kDj_zu˜(_·, z)_k2_Hs−j per(Rn)dz

1 2

para qualqueru˜_∈H_pers (Rn+1

+ ). Em particular,L2_per(Rn+1

+ ) =Hper0 (Rn++1) ´e um espa¸co de Hilbert, com o produto interno dado por

<˜v,w >˜ Qn_×₍₀_,_∞₎=

Z ∞

0 Z

Qn

˜

u(x, z) ˜w(x, z)dxdz,

para todo ˜u,w˜_∈L2_per(Rn+1

+ ).

Analogamente, aos espa¸cos H_pers (Rn_{), temos que} _Hs

per(Rn++1) ⊂ Hs(Qn×(0,∞)), para qualquer

s_≥0.

Em particular, para s= 1, temos que

ku_k2_H₁

per(Rn+1+ ) =

Z ∞

0 1 X

j=0

kDj_zu(_·, z)_k2_H1−j per(Rn)dz

=

Z ∞

0 Z

Qn|

u(x, z)_|2dxdz+

Z ∞

0 Z

Qn

n X

j=1 _∂x∂u

j

(x, z)

2dxdz+

Z ∞

0 Z

Qn|

uz(x, z)|2dxdz

=

Z ∞

0 Z

Qn|

u(x, z)_|2dxdz+

Z ∞

0 Z

Qn|∇

u(x, z)_|2dxdz

= _ku_k2_H1₍_Qn_×₍₀_,_∞₎₎.

2.2.1 Teorema do Tra¸co para as fun¸c˜oes peri´odicas

Analogamente aos espa¸cos de Sobolev e Slobodeckij, temos para os espa¸cos de Sobolev das fun¸c˜oes peri´odicas, o tra¸co bem definido, como enunciaremos a seguir.

Lema 4. ( [20])Considere o operador tra¸coγµ sobre Cper∞(Rn++1) dado por

˜

u_7−→u˜(x,0),(Dzu˜)(x,0),· · · ,(Dµz−1u˜)(x,0)

,

Ent˜ao, ses_≥µ, o operadorγµ pode ser estendido continuamente a uma fun¸c˜ao limitada tal que

γµ:Hpers (Rn++1)−→ µ Y

j=1

Hs−j+

1 2

(34)

(35)

Cap´ıtulo 3

C´

alculo Funcional

Neste cap´ıtulo, estudaremos o operador Laplaciano com condi¸c˜ao de fronteira de Neumann, deno-tado por ₋∆N, nos dom´ınios Ωi, Ωq e Ωb.

Para facilitar a nota¸cão, quando o estudo independer do dom´ınio, denotaremos o dom´ınio somente por Ω, quando necessário faremos a distin¸cão.

Veremos algumas propriedades deste operador, com o objetivo de concluir que₋∆N ´e um operador

positivo e por isso faz sentido calcularmos sua raiz quadrada. Tamb´em veremos que o operador (₋∆N)

1

2 é dado como uma Série de Fourier, isto é,

(₋∆N)

1

2 :_D((−∆_N)12)⊂_X −→ _X (3.1)

u _7−→ (₋∆N)

1 2u=

∞

X

i∈I λ

1 2

i < u, ϕi> ϕi,

onde _I = N∗ _{em Ω}

i, I = (N×N)\{(0,0)} em Ωq e I = (N∗ ×N)\{(1,0)} em Ωb, {ϕi}i∈I forma

um sistema ortogonal completo de autofun¸c˜oes do operador₋∆N em cada dom´ınio Ω,{λi}i∈I s˜ao os

correspondentes autovalores e

D((₋∆N)

1 2) =

u_∈X

∞

X

i∈I

λi< u, ϕi >2<∞

.

Este cap´ıtulo será dividido em duas se¸cões. Na primeira se¸cão, estudaremos algumas propriedades do operador ₋∆N e concluiremos que este operador é um operador positivo. Na segunda se¸cão,

definiremos o operador (₋∆N)

1

2 como uma S´erie de Fourier, envolvendo as autofun¸c˜oes e os autovalores

do operador₋∆N nos dom´ınios Ω e tamb´em daremos uma caracteriza¸c˜ao do D((−∆N)

1 2).

3.1 Estudo do Operador ₋∆N

Considere o operador

−∆N :D(−∆N)⊂X −→ X

u _{7−→ −}∆u ,

onde, paransendo o vetor normal, unit´ario, exterior ao ∂Ω, temos que

D(₋∆N) = n

u_∈H2(Ω) ∂u

∂n

_∂

Ω = 0 e Z

Ω

(36)

Durante o texto, usaremos frequentemente a nota¸c˜aouΩ, tal que

uΩ= Z

Ω

u(x)dx,

para qualquer dom´ınio Ω.

Lema 5. O operador ₋∆N é monótono, simétrico e satisfaz R(I−∆N) =X.

Demonstra¸c˜ao. Primeiramente, observemos que o operador ₋∆N ´e densamente definido.

Sejau_∈X_∈L2(Ω), logo como C₀∞(Ω) =L2(Ω), segue que existe _{un} ∈C₀∞(Ω) tal que

kun−ukL2_(Ω)

n→∞ −→0,

ondeC₀∞(Ω) é o conjunto das fun¸cões infinitamente diferenciáveis com suporte compacto em Ω. Considere a fun¸cão

vn(x) =un(x)−

(un)Ω

m(Ω), e observe que

1. vn∈C∞(Ω)⊂H2(Ω), para qualquern∈N.

2. (vn)Ω = 0, para qualquern∈N.

3.

∂vn

∂n

∂Ω =

∂un

∂n

∂Ω= 0, poisun tem suporte compacto em Ω, para qualquern∈N.

Ent˜ao, de 1., 2. e 3. segue que_{vn} ⊂D(−∆N) e ainda

ku₋vnk ≤ ku−unkL2_(Ω)+

_mu_(Ω)Ω −(_mu_(Ω)n)Ω L2_(Ω)

≤ 2_ku₋unkL2_(Ω)

n→∞ −→0,

logo, temos que X =D(₋∆N).

Por outro lado, sejam u, v _∈ D(₋∆N). Temos usando Integra¸c˜ao por Partes para Ωi e Ωq, e as

F´ormulas de Green para Ωb, que

<₋∆Nu, u > = Z

Ω|∇

u(x)_|2dx_≥0,

<₋∆Nu, v > = Z

Ω∇

u(x)_∇v(x)dx

= < u,₋∆Nv >,

(37)

3.1. ESTUDO DO OPERADOR ₋∆N 23

Sejag _∈X, queremos encontraru_∈D(₋∆N) tal que (I−∆N)u =g, isto ´e, queremos encontrar

u_∈H2(Ω) tal que

      

−∆u+u=g em Ω

∂u ∂n

∂Ω= 0

uΩ = 0

.

Considere a: Ξ_×Ξ_−→R _{tal que}

a(u, v) =

Z

Ω∇

u(x)_∇v(x)dx+

Z

Ω

u(x)v(x)dx,

onde Ξ =_{u_∈H1(Ω) _| uΩ = 0} ´e um Espa¸co de Hilbert.

A fun¸cãoaé bilinear e usando a Desigualdade de Hölder, para qualqueru, v_∈Ξ vale que

1.

|a(u, v)_{| ≤}

Z

Ω|∇

u(x)_∇v(x)_|dx+

Z

Ω|

u(x)v(x)_|dx ≤ 2_ku_k_H1_(Ω)kvk_H1_(Ω).

2.

|a(u, u)_| =

Z

Ω|∇

u(x)_|2dx+

Z

Ω|

u(x)_|2dx

= _ku_k2_H1_(Ω).

Ent˜ao, tomandoF : Ξ_−→R_{tal que}

F(v) =

Z

Ω

g(x)v(x)dx

para qualquerv _∈Ξ, temos que F _∈Ξ′ e pelo Teorema de Lax-Milgran, segue que existe uma ´

unicau_∈Ξ tal que

Z

Ω∇

u(x)_∇v(x)dx+

Z

Ω

u(x)v(x)dx=

Z

Ω

g(x)v(x)dx, (3.2)

para qualquerv_∈Ξ e em particular para qualquer v_∈H1(Ω).

Então, por [6], temos que u _∈H2(Ω) e ainda usando o Método de Integra¸cão por Partes para Ωi e Ωq, e as Fórmulas de Green para Ωb, em (3.2) segue que

Z

Ω

[∆u(x)₋u(x) +g(x)]v(x)dx=

Z

∂Ω

∂u

∂n(x)v(x)dσ, (3.3)

(38)

Em particular, para v_∈C₀∞(Ω)_⊂H1(Ω), segue em (3.3) que

Z

Ω

[∆u(x)₋u(x) +g(x)]v(x)dx= 0 =_{⇒ −}∆u+u=g quase sempre.

Voltando `a (3.3), temos que _Z

∂Ω

∂u

∂n(x)v(x)dx= 0

para qualquer v_∈H1(Ω). Em particular, para

v= ∂u

∂n ∈H

1_(Ω)_,

segue que _Z

∂Ω

∂u_∂n(x)2dx= 0 =_⇒ ∂u

∂n

_∂

Ω= 0 quase sempre.

Portanto,u satisfaz _

     

−∆u+u=g em Ω

∂u ∂n

_∂

Ω= 0

u_Ω = 0

,

ou seja, R(I₋∆N) =X.

Pelo lema anterior, temos a seguinte proposi¸c˜ao.

Proposi¸c˜ao 5. O operador₋∆N ´e um operador auto-adjunto.

Demonstra¸cão. A demonstra¸cão segue do Lema 5. e de [26], página 20.

Proposi¸cão 6. O operador₋∆N é limitado inferiormente, isto é, existem∈Rtal que para qualquer

u_∈D(₋∆N), vale

<₋∆Nu, u >≥mkuk2.

Demonstra¸cão. Seja u _∈ D(₋∆N), usando o Método de Integra¸cão por Partes para Ωi e Ωq, e as

F´ormulas de Green para Ωb, temos que

<₋∆Nu, u > = − Z

Ω

∆u(x)u(x)dx

=

Z

Ω|∇

u(x)_|2dx. (3.4)

Para concluirmos a demonstra¸c˜ao, usaremos a Desigualdade de Poincar´e Generalizada em cada caso de Ω.

1. Se Ω = Ωi, considerando ˜u como sendo a extensão par, 2π-periódica de u, temos que ˜u(0,2π) = 0 e ˜u_∈H1(0,2π), então pela Desigualdade de Wirtinger, segue que

Z 2π

0 | ˜

u(x)_|2dx_≤

Z 2π

0 | ˜

(39)

3.1. ESTUDO DO OPERADOR ₋∆N 25

para qualquer ˜u_∈H1(0,2π), logo, tomandom= 1 e usando a periodicidade de ˜u, temos que

m

Z

Ωi

|u(x)_|2 _≤

Z

Ωi

|∇u(x)_|2dx.

2. Se Ω = Ωb, temos por [11], que existe M >0, tal que

u₋ 1

m(Ωb)

uΩb

L2_(Ω b)

≤M_k∇u_k_L2_(Ω

b)=⇒ kukL2(Ωb) ≤

1

m(Ωb)k

uΩbkL2(Ωb)+Mk∇ukL2(Ωb)

ComouΩb= 0, tomando m= min

n

1, 1 M2

o

, segue que

m

Z

Ωb

|u(x, y)_|2dxdy _≤

Z

Ωb

|∇u(x, y)_|2dxdy.

3. Se Ω = Ωq, temos por [22], que existe N >0, tal que

ku_k2_H1_(Ω q)≤N

2_k∇_u_k2 L2_(Ω

q)+

Z

Ωq

u(x, y)dxdy

2=_{⇒ k}u_k2_H1_(Ω q)≤N

2_k∇_u_k2 L2_(Ω

q).

Como, _ku_k2_L2_(Ω_q₎ ≤ kuk2_H1_(Ω_q₎, segue param= min

n

1, 1 N2

o

, que

m

Z

Ωq

|u(x, y)_|2dxdy _≤

Z

Ωq

|∇u(x, y)_|2dxdy.

Portanto, em cada caso de Ω, existe m >0 tal que em (3.4) vale

<₋∆Nu, u >≥mkuk2L2_(Ω).

Com isso, temos o seguinte teorema.

Teorema 4. O operador ₋∆N ´e um operador positivo.

Demonstra¸cão. Pelas Proposi¸cões 5., 6., e o Teorema 14., temos que₋∆N é um operador setorial tal

que

Re(σ(₋∆N))≥m.

Temos tamb´em, por [9], que σ(₋∆N)⊂ h

m,+_∞, logo,

σ(∆N)⊂(−∞,−m] =⇒[0,+∞)⊂ρ(∆N).

Por defini¸c˜ao de Operador Setorial, temos que o operador₋∆N ´e fechado, densamente definido e

para algum 0< φ < π

2,M ≥1, vale que

(40)

e

k(λI+ ∆N)−1k ≤

M |λ₋m_|,

para qualquer λ_∈Sm,φ.

Assim, dados_∈R₊ _{temos, pelo fato de}_{m >}_{0, que}_λ₌₋_s_∈R₋_⊂_S_m,φ_{, logo,}

k(sI₋∆N)−1k ≤

M |s+m_|.

Ent˜ao,

(1 +s)_k(sI₋∆N)−1k ≤ M

1

|s+m_|+ s |s+m_|

≤ M

1

m + 1

,

para qualquer s_∈R₊_{, ou seja, existe} _Mf_≥_{1, onde}

f

M = (1 +m)

m M

tal que

(1 +s)_k(sI₋∆N)−1k ≤M ,f

para qualquer s_∈R₊_.

Portanto,₋∆N ´e um operador positivo.

3.2 Raiz Quadrada do operador ₋∆N

Como vimos na se¸c˜ao anterior, o operador₋∆N ´e um operador positivo, logo, conclu´ımos que faz

sentido considerarmos a raiz quadrada de ₋∆N, ou seja, o operador

(₋∆N)

1

2 :D((−∆_N) 1

2)⊂X −→X,

est´a bem definido.

Para escrevermos (₋∆N)

1

2 como uma S´erie de Fourier e caracterizarmos oD((−∆_N)12), usaremos

a teoria de C´alculo Funcional de [15] e [27].

Sabemos que o operador₋∆N ´e setorial eRe(σ(−∆N))>0, ent˜ao por [15] temos que

(₋∆N)−

1

2 :X−→X,

´e um operador linear, limitado tal que

(₋∆N)−

1 2 = 1

π

Z ∞

0

λ−12(λI−∆_N)−1dλ.

Como nosso objetivo ´e usar a teoria espectral, vamos inicialmente, exibir um sistema ortogonal completo para X, formado pelas autofun¸c˜oes do operador₋∆N e os respectivos autovalores, em cada

(41)

3.2. RAIZ QUADRADA DO OPERADOR₋∆N 27

Proposi¸c˜ao 7. Considere o operador ₋∆N em Ω.

1. Se Ω = Ωi, então suas autofun¸cões ortonormais ϕj e seus respectivos autovalores λj são dados

por

ϕj(x) = r

2

πcos(jx) e λj =j

2_,

para qualquerj _≥1.

2. SeΩ = Ωq, então suas autofun¸cões ortonormaisϕjk e seus respectivos autovaloresλjk são dados

por

ϕjk(x, y) =βjkcos(jx) cos(ky) e λjk =j2+k2,

onde

βjk =         

√

2

π se k= 0 ou j= 0

2

π se k, j≥1

,

para qualquer(j, k)_∈(N_×N₎_\{₍₀_,₀₎_}_.

3. Se Ω = Ωb, então suas autofun¸cões ortonormais ϕjk são dadas por

ϕj0(x, y) =wj0(r, θ) =Aj0J0 _µ_j₀_r

π

,

onde

Aj0 = 1

π32|J₀(µ_j₀)|

,

para qualquerj _≥2,

ϕjk(x, y) =wjk(r, θ) =       

AjkJk _µ_jk_r

π

cos(kθ)

BjkJk _µ_jk_r

π

sin(kθ)

,

para qualquerj, k_≥1, onde

Ajk =Bjk =

√

2µjk

π32(µ2

jk−k2)

1

2|J_k(µ_jk)|

e seus respectivos autovaloresλjk s˜ao dados por

λjk = _µ_jk

π

2

,

para qualquer(j, k)_∈(N∗_×_N₎_\{₍₁_,₀₎_}_{, onde} _µ

jk s˜ao os zeros estritamente positivos de J ′ k.

(42)

Demonstra¸cão. O caso em que o dom´ınio é Ωi é facilmente verificado, pois sabemos que as fun¸cões

senos, cossenos e constantes formam um sistema ortogonal completo para L2(₋π, π). Sendo assim, como qualquer fun¸cão de X pode ser estendida par em (₋π, π), e usando o fato desta fun¸cão ter média nula, verificamos que os coeficientes de Fourier desta fun¸cão, que envolvem as fun¸cões senos e constantes se anulam, logo _{ϕj}j≥1 forma um sistema ortogonal completo paraX no caso Ωi.

Por outro lado, temos em [14] que as autofun¸c˜oes e os respectivos autovalores do operador ₋∆N

são dados desta forma em Ωq e Ωb, considerando que estamos estudando as autofun¸cões com média

nula.

Vamos, então verificar que estas autofun¸cões formam um sistema ortogonal completo para X, ou seja, mostrar que elas formam um conjunto completo em X, já que a ortonormalidade é fácil de se verificar. A demonstra¸cão será feita para cada caso de Ω.

1. Ω = Ωq.

Temos por [32], que vale a Identidade de Parseval em L2(Q2), isto ´e,

1

π2kfk 2

L2₍_Q2₎=

∞

X

j,k≥0

δjk(a2jk+b2jk+c2jk+d2jk),

para qualquer f _∈L2(Q2), onde

ajk =

1

π2 Z

Q2

f(x, y) cos(jx) cos(ky)dxdy,

bjk =

1

π2 Z

Q2

f(x, y) sin(jx) cos(ky)dxdy,

cjk =

1

π2 Z

Q2

f(x, y) cos(jx) sin(ky)dxdy,

djk =

1

π2 Z

Q2

f(x, y) sin(jx) sin(ky)dxdy,

para todoj, k_≥0 e

δjk =                   

1

4 se j=k= 0

1

2 se j >0, k= 0 ou j= 0, k >0

1 se j >0, k >0

.

Sejag_∈X, tome sua extensão par nas variáveisxe y, isto é,

f(x, y) =

          

g(x, y) se (x, y)_∈ [0, π] _× [0, π]

g(₋x, y) se (x, y)_∈ [₋π,0] _× [0, π]

g(x,₋y) se (x, y)_∈ [0, π] _× [₋π,0]

g(₋x,₋y) se (x, y)_∈ [₋π,0] _× [₋π,0]

(43)

Comof ´e par emx e y, temos quebjk =cjk =djk = 0, para todoj, k≥0, e pelo fato de g ter

média nula, temos também quea00= 0. Então,

4

π2kgk 2 L2_(Ω

q)=

∞

X

(j,k)∈I

δjka2jk,

onde

ajk =

4

π2 Z

Ωq

g(x, y) cos(jx) cos(ky)dxdy.

Portanto,

kg_k2_L2_(Ω q)=

∞

X

(j,k)∈I

|< g, ϕjk >|2,

isto ´e, vale a Identidade de Parseval em X, logo, _{ϕjk}(j,k)∈I forma um sistema ortogonal

completo paraX em Ωq.

2. Ω = Ωb.

Sejau_∈X tal que< u, ϕjk >= 0, para qualquer (j, k)∈ I. Logo, Z 2π

0 Z π

0

rU(r, θ)wjk(r, θ)drdθ= 0,

para qualquer (j, k)_{∈ I}. Sabemos, parap_∈R_{, que}

n

Jp _µ_jp

π ·

o∞

j=1,

forma um sistema ortogonal completo paraL2((0, π);r), ondeL2((0, π);r) ´e o espa¸co L2((0, π)) com pesor.

Assim,

(a) sek= 0 e j_≥2, ent˜ao _Z

π

0

rh(r)J₀µj0 π r

dr= 0,

para qualquerj _≥2, onde

h(r) =

Z 2π

0

U(r, θ)dθ.

Comoµ10= 0, temos queJ0 _µ₁₀

π r

= 1 e

Z π

0

rh(r)J0 _µ₁₀

π r

dr=

Z 2π

0 Z π

0

rU(r, θ)drdθ= 0,

poisuΩb = 0.

Ent˜ao, _D

h, J0 _µ_j₀

π ·

E

(44)

para qualquer j_≥1, logo _Z 2π

0

U(r, θ)dθ = 0,

para qualquer r_∈(0, π). (b) se

wjk =Jk _µ_jk

π r

cos(kθ),

ent˜ao usando a mesma id´eia do caso anterior, segue que

Z 2π

0

U(r, θ) cos(kθ)dθ= 0,

para qualquer r_∈(0, π), k_≥1. (c) se

wjk =Jk _µ_jk

π r

sin(kθ),

temos que _Z

2π

0

U(r, θ) sin(kθ)dθ= 0,

para qualquer r_∈(0, π), k_≥1.

Usando o fato de que 1

√

2π,

cosθ √

π ,

sinθ √

π ,

cos(2θ)

√ π ,

sin(2θ)

√

π ,· · ·

,

forma um sistema ortogonal completo para L2([₋π, π]), temos que U(r, θ) = 0 para qualquer (r, θ)_∈(0, π)_×(0,2π). Portanto, as autofun¸c˜oes do operador₋∆N formam um sistema ortogonal

completo paraX em Ωb.

A próxima proposi¸cão descreverá o operador (₋∆N)−

1

2, como uma S´erie de Fourier formada pelas

autofun¸c˜oes e respectivos autovalores do operador₋∆N.

Proposi¸c˜ao 8. Para qualquer u_∈X, temos que

(₋∆N)−

1 2u=

∞

X

i∈I λ−

1 2

i < u, ϕi > ϕi,

onde _{ϕi}i∈I ´e um sistema ortogonal completo de X, formado por autofun¸c˜oes do operador −∆N e

{λi}i∈I s˜ao os respectivos autovalores.

Demonstra¸c˜ao. Sejaϕi autofun¸c˜ao do operador−∆N, para qualquer i∈ I. Como ϕi∈X, temos que

(₋∆N)−

1

2ϕ_i = 1

π

Z ∞

0

λ−12(λI−∆_N)−1ϕ_idλ.

Mas,

(45)

para qualqueri_{∈ I} e comoλ_∈[0,_∞)_⊂ρ(∆N), temos que

(λI₋∆N)−1ϕi=

1

λ+λi

ϕi,

para qualqueri_{∈ I}. Ent˜ao,

(₋∆N)−

1

2ϕ_i= ϕi

π

Z ∞

0

λ−12

λ+λi

dλ=λ−

1 2

i ϕi,

para qualqueri_{∈ I}. Sejau_∈X, logo

u=

∞

X

i∈I

< u, ϕi> ϕi.

Assim, considerando a soma parcial

sm = m X

i∈I

< u, ϕi> ϕi,

temos que

(₋∆N)−

1 2u−

m X i∈I λ− 1 2

i < u, ϕi> ϕi

=(₋∆N)−

1

2u−(−∆_N)− 1 2s_m

≤K_ku₋smkm−→→∞0.

Portanto,

(₋∆N)−

1 2u=

∞ X i∈I λ− 1 2

i < u, ϕi > ϕi.

Observa¸c˜ao 2. Para qualquer u_∈D((₋∆N)

1

2), temos que (−∆_N)− 1

2u∈D((−∆_N) 1 2).

De fato, por defini¸c˜ao temos que

D((₋∆N)

1

2) ={_u∈_X | (−∆_N)12_u∈_X}_.

Obviamente, (₋∆N)−

1

2u∈X, para qualquer u∈X, e por defini¸c˜ao

(₋∆N)−

1

2 = ((−∆_N) 1 2)−1,

noD((₋∆N)

1 2), logo

(₋∆N)

1

2((−∆_N)− 1

2u) =u∈X,

para qualqueru_∈D((₋∆N)

1

2). Portanto,(−∆_N)− 1

2u∈D((−∆_N) 1

2), para qualquer u∈D((−∆_N) 1 2).

Sendo assim, comoλi 6= 0, para qualqueri∈ I, temos por [27], que

(₋∆N)

1 2u=

∞ X i∈I λ 1 2