Simetrias contínuas e correlações para modelos bidimensionais em mecânica estatí...

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO INSTITUTO DE FlsICA

"SIMETRIAS CONTINUAS E CORRSLAÇOES PARA MODELOS BI-DIMENSIONAIS EM MECÂNICA ESTATlsTlCA"

CEZAR AUGUSTO BONATO

Tese apresentada ao In~ tituto de Física para a obtenção do Titulo de Doutor em Ciências.

FICHA CATALOGRAFICA

Preparada pe~a Biblioteca do

Instit"ul:o de Física da Universidade de São Paulo,

Bonato,' Cesar AugustO.

'Simetrias contínuas e correlações para mo delos Bidimensionais em mecânica estat!stícã

são Paulo, 1983.

Tese (Doutoramento) - Universi.dade de são

Paulo. Instituto de F-Ísica. Departanento de

'Física Matemática. " .

Area de Concentracão: Física.de Particu-las Elementares. ~

Orientador: José Fernando Perez

Onitermos: I.Ausência de quebra ~spontã-.

nea de simetrias·contínuas. 2.Teorema'de"Mer mi-Wagner, "decaimento de correlações.' 3. PO-' sitividade 'por reflexão, gas de Bose. ,

ao Prof.

J.

Fernando Perez pelo constante apoio e estí-mulo, assim como ~elas valiosas discussões~ fundamentais para a 'realização deste trabalho;

- aos colegas do Departamento de Física Matemática do

IFUSP, pelo companheirismo e frutífera troca de idéias~

- ao Pedro e ao- l.ligue! pela ajuda na revisão dos originais;

- ao Ernesto, pelas figuras.

Ao Sr. Américo e D. Maria, meus pais;

À Chris, minha es~osa e companheíra ~

We give outimal conditions concerning the range of interactíons for the absence of spontaneous breakdown of continuous syrnmetries for one and two di -mensional  quantum  and  classical  lattice  and  continuum 

systems~ For  a  class  of  models  verifying  infrared  bounds  our  conditions  are  necess3ry  and  sufficient. 

Using  the  same  techniques  we  obtain  "a  !iriorit i bounds  on  clus tering  for  systems  wi th  continuous 

symmetry~ Improved  bounds  are  obtained  for  certain  sueci  fie  quantum  models  (  quantum 

x-r.

quantum  rotator.  latt!  ce  gauge  theories). 

,

RESUMO

Analisa­se  o  fenômeno  da  ausência de quebra  espontânea  de  simetrias  contínuas  para  modelos  clássicos  e  quânticos  numa  rede.  assim  como  em  sistemas  no  contínuo,  em  uma  e  duas  dimensões ..  'São  formuladas  condições  ôtimas 

quan-to ao alcance das interações para a ausência de quebra es ~

pontânea de simetrias contínuas. Essas condições são neces~

sárias e suficientes para uma classe de modelos que satisfa zero estimativas infra vermelhas ("infrared bounds t l

) .

São tambem obtidas estimativas "a priori"p~

ra o decaimento de funções de correlação de modelos com si-metria contínua, dependentes apenas do alcance da interação.

Para modelos específicos (x - y quântico.r~

ter quântico I teorias de "gaugel1 na rede) são obtidas es-timativas melhoradas. para o decaimento de funções de corre

lação~ em relação às mencionadas acima.

• •

• • •

•

• INDICE 

1  ­ Introdução  e  resultados  •  •  . 

. .

~

.

2

2  ­ Ausência  de  quebra  espontânea  de  simetria  contínua  

em  sistemas  uni  e  bidimensionais  8  

Apêndice  B  ­ Cálculo  da  função  geratriz  100  

3  ­ Decaimento  de  correlações  .  32  

4  ­ Sistemas  no  contínuo  • • • •   45  

5  ­ Decaimento  de  correlações  para  sistemas  quânticos  52   6  ­ Positividade  por  reflexão  para  um  gás  de  Bose  livre  76   Apêndice  A  ­ Desigualdade  de  Bogoliubov  .  ,  •  •  .  ~ 94  

•

Apêndice  C  ­ 105 

z.  

CAPITULO  1  

INTRODUÇAO  E  RESULTADOS  

o 

problema  da  ocorrência  ou  ausência  de  quebra  espo~

tânea  de  simetrias,  em  Mecânica  Estatística  e  Teoria  Quântica  de  Campos,  para  sistemas  que  possuem  uma  simetria  contínua  e  global,  tem  ocupado  o  interesse  de  vários  pesquisadores  nas  úl  timas  décadas. 

Argumentos  heurísticos.  baseados  em  considerações  roi  croscópicas  ou  ao  nível  termodinâmico,  já há  algum  tempo  indi-cavam  que  sistemas  a  temperatura  diferente  de  zero.  com  inte-rações  de  curto  alcance,  em  uma  e  duas  dimensões.  não  poderiam  exibir  ordenamento  (correlação  de  longo  alcance)  que  implicas-sem  na  quebra  espontânea  de  simetria  contínua  (Q.E~S.C.) [1.2J. 

Na  dêcada  de  60  surgiram  vários  trabalhos  provando  a  ausência  de  ordem  associada a  uma 

Q.B.S.C. 

em  diversos  mode  los  [3­7J.  Estes  trabalhos  utilizavam  uma  desigualdade,  de-vida  a 

N.N. 

Bogoliubov 

[8 

t

9]. 

cujo  uso  para  esta  finalidade 

foi  indicada  pela  primeira vez  por  P~C. Hohenberg 

[31 

,em  seu  estudo  sobre o  gás  de  Bose~ Os  trabalhos  pioneiros  em  (4  5] t

fi

zeram  com  que  as  nomes  de  Mermin  e  Wagner  ficassem  intimamente  ligados  a  esse  tipo  de  fenômeno 

[20]. 

Mais  recentemente,  uma  quantidade  respeitâvel  de  tra  balhos  tem  surgido  neste assunto  (por  "xemplo:  [10­2:0).  No 

contexto  de  Teoria  Quântica  de  Campos  Relativísticos  resulta  -dos  deste  tipo  estão  contidos  implicitamente  em  [22J  e  em 

(1:s).

Tais  trabalhos  representam  desenvolvimentos  em  várias 

direções:  formulações  matemáticas  mais  gerais  e  abstratas  que 

estendem  os  resultados  para  classes  maiores  de  sistemas  e  sime-trias  [10­17.  20)  ;  demonstrações  de  ausência  de  Q.E.S.C.  ao  invés  de  somente  ausência  de  ordenamento  (magnetização  espontâ-nea)  [10,  11,  12,  15,  16,  17,  20J  ;  extensões  quanto  ao  alcance  da  interação  [16,  11,  18,  20]  i generalizações  para  sistemas  sem 

I

invariança  translacional 

\)0. 

15,  20)  ;  utilização  de  outros  mê 

! 

t.odos (que  não  a  desigualdade  de  Bogoliubov  )  (16,  11.  18J  com 

I

o  uso  de  argumentos  mais  próximos  dos  fundamentos  da 

Termodinâ-!

mica. 

I

No  Capítulo  Z  do  presente  trabalho  obtemos  os  melho 

-I

res  resultados  gerais  possíveis,  quanto  ao  alcance  das 

intera-I

ções,  para  a  ausência  de  Q.E.S.C.  em  uma  e  duas  dimensões.  De 

,

acordo  com  o  Teorema  2.1,  do  Capítulo  2,  a  condição  suficiente 

I

para  a  ausência  de  Q.E.S.C.  é 

"

\ 

,

Jr

(1.1)

I

5 

E(1)

"""

Ifl

a 

! <

onde  E(p)  é  uma  função  conveniente~ associada  univocamente  a  cada modelo  considerado  e  que  depende  do  alcance  da  interação. 

Para  uma  classe  de  modelos  que  satisfazem  estimativas  infra­vermelhas  (Uinfl'ared  bounds")  e  regras  de  soma,  a  condi  -ç.o 

f

l

s 

­E­'­I­r­:; 

l'

<

cD  

4. 

Portanto,  para  tais si$temas~ nossa  condição  (1.1)  ê  necessâ  -ria e suficiente.

Nosso resultado principal (Teorema 2.1), contido no Capítulo 2, demonstra a inval'iança dos estados de - equil!brio

por transformaç6es de simetria, o que é mais geral do que a simples inexistência de magnetização espontânea (ou correIa -ção de longo alcance) que envolvesse uma quebra de simetria, e aplica-se igualmente para sistemas clássicos ou quânticos.POT outro lado, noss? método não exige a invariança translacional do estado nem da Hamiltoniana do sistema, prestando-se, por isso. a aplicações, como por exemplo. em sistemas aleatórios

(vidros de "spinfl ) .

No Capítulo 3 mostramos que t usando o mesmo tipo de

técnica do Capítulo

Z.

é possível obter-se estimativas para a taxa de decaimento de certas funções de correlação, relaciona-das com os geradores da transformação de simetria. Essas esti~

mativas, contidas no Teorema 3.2, são do tipo:

, <

Alo)

'iH"J)

I'

~

de.

(

~

- eM 1· "'_

lI' 

J-1.

(1.2)

[

j

_E(1)

para A (ou

Dl

da forma A=

[J,c} ,

para algum C local e onde J é um gerador infinitesimal do grupo de simetria. A estimati-va (1.2) representa uma simplificação e uma melhoria de resul-tados mais específicos obtidos anteriormente por Jasnow e Fisher [35.36).

o

Teorema 3*2 fornece. por assim dizer. estimativas

!ta priol'if t

, poiS a taxa de decaimento das funções de correIa

-ção ê independente do modelo particular considerado e da temp!

ratura. 

E 

claro  que  para  modelos  específicos,  melhores  estima-tivas  são  possíveis  (38J. 

No  Capítulo" 4  comentamos  de  maneira  sucinta.  sem  te~

tar  entrar  em  maiores  detalhamentos  matemáticos.  como  os  rasu!  tados  dos  ·Capítulos  2  e  3,  que  foram  formulados  numa  rede, 

po-IR

v

dem  ser  estendidos  para  sistemas  definidos  no  contínuo  •

Para  o  decaimento  de  funções  de  correlação.  no  Capí-tulo  5  fazemos  uma  extensão  dos  métodos  de  Spencer  e  Me  Bryan  (38) para  alguns  modelos  quânticos,  obtendo  taxas  de  decaimen  to  melhoradas,  em  relação  às  obtidas  no  Capítulo  3.  Tais  resu!  tados  foram_  antevistos  na  literatura  (16]  ?  porém  não  havia  si 

do  fornecida  uma  demonstração.  São  tratados,  no  Capítulo  5,  os  modelos  X­Y  (ou  Heisenberg)  quânticos  e  um  tipo 

de 

rotOT  quân~

tico. 

Também  no  Capítulo  5,  o  mesmo  tipo  de  método  nos  pe~

míte  obter  o  confinamento  logaritmico  permanente  de  "quarks11

estáticos  para  a  Teoria  Hamiltoniana  de  "Gauge: H 

puro  U  (1)  na  rede,  em  3  dimensões  (2  espaciais  +  1  temporal)~ inclusive 

pa-ra  tempo  contínuo  (espaçamento  da  rede  na  direção  temporal  gual  a  zero).  O sistema é  tratado ã  temperatura  T e  os  resul  tados  passam  para  o  limite  T­+o. 

Para 

T 

= 

o  este  mesmo  resultado  (com  tempo  discreto)  foi  anteriormente  obtido  por  Glimm  e  Jaffe 

[551 

e  existe  o  re-sultado,  mais  forte,  de  Gtlpfert  e  Mack  [56J(com  tempo 

discre-to)~ que  fornece  confinamento  permanente  linear  (ao  invés  de  logarítmico).  Nosso  procedimento.  no  entanto,  parece  ser  mais  simples  do  que  o  de  [55]  (e  certamento  do  que  o  de  [56J  )  e  tem  a  vantagem  de,  ao  que  tudo  indicai  poder  ser  estendido  para  teo  rias  de  tígauge"  não  abelianas  que  tenham  U(l)  como  subgrupo  de  invariança  (por  exemplo  SU  (n)  (trabalho  em  preparação),  ~ pr! 

6.  

livre  definido  rede  (os  resultados  são  tambêm  vâlidos  P!  ciso  notar  que  não  existe  nenhum  resultado  rigoroso  para  o  con  finamento  permanente  em  teorías  SU(2)  em  2+1  dimensões~

Finalmente,  no  Capítulo  6,  incluímos  um  estudo  da  propriedade  de  positividade  por  reflexão  para  um  gás  de  Bese 

v

na  ~

.

~

ra  o  cont1nuo ~ ). 

A positividade  por  reflexão  (P.R.l.  que  surgiu  pri  -meiramente  no  contexto  de  Teoria  Quântica  de  Campos,  na  região 

Euclideana~ com  o  nome  de  positividade  de  Osterwalder­Schrader  (49).  tem  desempenhado  um  papel  destacado  como  base  de  técni  -cas  para  se  demonstrar  transições  de  fase  em  Mecânica  Estatís-tica  (vide.  por  exemplo  [30,  31,  33J).  Assim.  ela  serviu  como  ingrediente  importante  na  formulação  rigorosa  do  argumento  de  Peierls  (via  nchessboard  estimates")  ou  na  obtenção  de  estim!  tivas  infra­vermelhas  C"infrared  bounds").  Este  último  método  propiciou  a  primeira  prova  rigorosa  de  transição  de  fase  para  sistemas  com simetria  contínua  [30]. 

As  demonstraçõessdisponíveis  na  literaturaJda  F.R.,  para  modelos  específicos.  empregam  um  esquema  perturbativo  e  aparentemente  exigem  um  compromisso  entre  comutar  ou  não,  ser  real  ou  não,  e  ser  ferTomagnético  ou  não,  para  as  grandezas  e  a  interação  que  aparecem  nos  modelos. 

Um  modelo  importante,  o  modelo  de  Heisenberg  quânti-co  ferromagnético,  é  um  exemplo  onde  este  compromisso  nâo  se  realiza  e  as  tentativas  de  estabelecer­se  ou  não  P.R.  para  ele  tem  frustrado  os  esforços  de  vários  pesquisadores  (em 

Um  outro  modelo  importante,  para  o  qual  não  se  apli-cam as técnicas perturbativas acima mencionadas t e pelas

mes-mas razões do modelo de Heisenberg. é o gás de Base livre. Nes te modelo existe uma transição de fase (em dimensões ~ ~3) e pode-se calcular explicitamente funções de correlação~

E interessante notar que o gás de Bose livre consti-tui-se no protótipo de modelo exibindo transição de fase (lli:'- 3)

devido a um processo de condensação de "partícula.s·' no estado

de momento p = o. que é exatamente o mecanismo geral que rege as transições de fase em modelos que obedecem regras de soma e estimativas infravermelhas [571 • como ê expl!cito nos métodos

de [30, 31, 33]. Além disso o gás de Bose (com interação) e!

tâ relacionado com o modelo de Heisenberg ferromagnêtico [58, 59, 60],

Nosso trabalho. no Capítulo 6, consiste em se inves-tigar diretamente, através de câlculo explícito. a existência ou não de P.R. para o gás de Base livre definido numa rede.

8.  

CAP!TULO  2 

AusBNCIA  DE  QUEBRA  ESPONTÂNEA  DE  SIMETRIAS  CONTINUAS  EM  srSTE  MAS  UNI  E  BIDIMENSIONAIS. 

2~1 ­ Argumentos  heurísticos 

Nesta  seção  procuraremos  mostrar.  de  um  ponto  de 

vista  completamente  informal,  razões  físicas  que  impedem,  em  sistemas  de  baixa  dimensional idade,  o  aparecimento  de  um  orde  namento  que  implique  numa  quebra  (espontânea)  de  uma  simetria  contínua  possuída  pela  interação  entre  os  componentes  do  si~

tema.  Procuraremos  também  mostrar  como  a  desigualdade  de  Bog2  liubov  surge  naturalmente  neste  contexto  como  uma  ferramenta  para  a  formulação  de  argumentos  rigorosos  (Teoremas),  exclui~

do  a  quebra  de  simetrias  contínuas  em  uma  e  duas  dimensões. 

Para  colocar  em  marcha  o  argumento  heurístico  vamos  nos  ater  a  sistemas  de  '1 sp ins"  numa  rede  (21.  se  bem  que 

ele  possa  ser  formulado  para  outras  classes  de  sistemas 

[241. 

Consideremos  então  um  sistema  de  "s­oins"_. <r:.

.

que  são  vetores  de  comprimento  unitário,  colocados  em  cada  ponto 

i da  rede  quadrada ~~ A interação  entre  eles  ê  dada  pela  Hamiltoniana: 

(2.1)

H "

L 

<1'':.  "j'

li~ii~1

onde  Gí.<>j  Significa o  produto  escalar  do  vetor  no  ponto 

i pelo  vetor  no  ponto  j da  rede. 

A Hamiltoniana  (2.1)  é  invariante  pela  rotação  simul  tânea  de  todos  oS  "spi'nsw _{· de  um  mesmo  ângulo,  o  que  implica} 

que  o  valor  médio.  no  estado  de  Gibbs.  de  cada  "spfn~t"

é 

nulo. 

Se t  agora,  de  alguma  forma,  impusermos  a  mesma  orien 

tação  para  todos  os  'lspinsll  (por  ex.  através  de  um  campo  ex 

-terno forte) então o valor médio de cada Itspinfl _{não seri mais} nulo e não teremos a simetria de rotação. Se. ao "desligarmos" o agente causador do alinhamento, o valor médio dos Hspins"co!!. tinuar sendo não nulo, diremos que houve uma quebra espontâ ~

nea da simetria de rotação.

E claro que flutuações térmicas tendem a desorgani -zar o sistema. destruindo o alinhamento, desde que isto não custe muita energia, pois a probabilidade do surgimento de uma flutuação (configuração) depende da energia da configuração.

De rato. para sistemas com simetria contínua em uma e duas dimensões. o surgimento de uma grande Hilha" de "spins

com alinhamento na direção oposta pode ser feito com um custo energético baixo (se o alcance da intêração não for muito gra~

de)? resultando que o valor médio dos ' l Ispins" seja nulo. evi-tando a quebra espontânea da simetria contínua.

L  10.  

de)  e  portanto  o  custo  total  energético  será  da 

ord~m

de 

L~-2t

que  é  desprez{vel  para ~=1 J  independente  do  tamanho  da  lIilha  .. 

para ~.2 e  crescente  para  ).Í lo­ 3. 

Se  a  simetTia  fosse  discreta  (por  ex.  se  os  Hspinsn

só  pudessem  apontar  "para  cima"  ou  "para  baixo")  este 

custo 

energético  seria  independente  de  L 

em 

~·1 e  proporcional  a  em 

V=2.

o  que  permite  a  queora  de  simetria  em 

v=2

(mas  não  em  V=l).  Na  verdade  este ê  o conteúdo  do  chamado  argumento  de  Pcierls,  o  qual  permite  mostrar  a  quebra  da  simetria  discreta  no  modelo  de  Ising  em  v=2  [25]. 

Para  tornar  um  pouco  mais  precisas  as  considerações  acima,  vamos  agora  nos  fixar  no  modelo  de  Heisenberg,  (quinti 

-co).  ou  seja 1 os  I'spins"  G"l.  em  (2.1)  são  operadores  de:·uspin" 

(

.

.

.. 

)

Oi:: (fi  , (f"~ 1 f${

A 

transformação  unitária 

U", 

e

• :r(~)

onde 

.1('1)

=

z::.

,

~4

"7

produz  uma  rotação  de  um  ângulo 

q;,

em  torno  do  eixo  z,  e~.

cada  "spin"  ff'i.

o 

custo  em  energia numa  tal  transformação 

é: 

SE  '" 

<e':st~l.,!

{Ml) -

<'

~

>

onde  o  valor  esperado  <.A)  é  dado  por: 

li.. A

l~

<A)= ~

1'11 

TI'-

é

com  [3= l~ J 

!

constante  de  BoI tzmann  e  T temperatura  absolu 

Se  ~~ for  constante~ devido  a  simetria  da  Hamilto  niana  temos  [H,  J«I.  ",.)] = O e  então  liE  = o.  Note  que  se 

qi não  for  constante,  H  não  é  invariante  pela  transformação 

;. j(1/)

e

_•

Se,  por  outro  lado,  ~i variar  lentamente.  como  o  ex  posto  mais  acima,  podemos  estimar  SE  expandindo  a  transfor-mação  U  em  série  de  potências  e  considerando  os  primeiros ter  mos  da  expansão! 

SE 

=

~

(C 

:rm,H1)

+

~

Ü[

:rNl,

~J,

JmJ) 

+ ...

o 

termo  linear  em  J(~) ê  nulo,  devido  ã  invariança  do  traço  por  uma  transformação  unitária,  e  então  obtemos: 

SE 

c.:

l 

<[[

Jlq),

Hl,:r(If)J) 

Então  se  J(If) for  tal  que  produza  uma  modifica  -çao  macroscópica  na  configuração  dos  tlspins"  mas,  por  outro  lado,  seu  duplo  comutador  com  H  for  pequeno 1 teremos  uma 

ten-dência  a  uma  desorganização  do  sistema. 

Na  realidade  escolhas  convenientes  de  J(~) que  tenham  as  propriedades  acima.  constituem  a  base  de  todas  as  demonstrações  de  ausência  de  quebra  de  simetria  que  utilizem  a  desigualdade  de  Bogoliubov,  que  em  sua  forma  mais  conhecida.  pode  ser  assim  formulada:  dados  dois  operadores  A  e  C  quais  -quer,  então 

z

­­­

12. 

No  Apêndice  A damos  uma  dedução  de  (Z.2l.  assim  como  de  outras  versões. 

Nas  seções  seguintes  desenvolveremos  demonstrações  ex  cluindo  a  quebra  espontânea  de  simetria  contínua  para  uma  elas  se  extensa  de  sistemas  em  1  e  2  dimensões,  utilizando  a  desi  -gualdade de Bogoliubov) formulada de uma

maneira

mais

conveni-,j

ente.

2.2 - Ausência de quaDra de simetria para sistemas

-numa rede.

Nesta seção enunciaremos e demonstraremos resultados gerais sobre a invariança de estados de equilíbrio por trans -formações de simetria, deixando para as próximas seções a dis-cussão sobre classes de sistemas que se enquadram nessaS proP2 sições gerais~

Utilizaremos a formulação algébrica da Mecânica Esta tística, que é bastante abrangente para não precisarmos nos fi xar em sistemas particulares, e trabalharemos diretamente numa situação de volume infinito. Para simplificar o desenvolvimen-to vamos supor que o espaço de configuração do siste~a é a

~

"I

rede

Z ,

com \J = 1 ou 2.

Como é usual (vide por exemplo [26. 27J ) a cada su]: conjunto AC'2

"

está associada uma álgebra C

.

de observáveis

OC" . Nosso sistema é descrito pela álgebra C

*

oc=

U 

IXh

I\C7..v

onde a união ê tomada sobre todos os conjuntos limitados de ~~ e a barra indica fechamento na norma, sen~o ainda que

[A,B)~ o se

_Aé

_OlA" BE IY!A

,

_com A.

n

11, "" Õ(

A  simetria  contínua ê  dada  por  um  grupo  de  automor  -fismos

[6"!J

_t SE. iR-

J

de

ar. .

tal que

m.

ot,.'l:lf...

e assumimos que o

grupo de simetria é localmente implementado, isto é,dado Ae O(A existe

.J;.

li ~ tal que

; is:rA _L$J"",

cr.A=e A ..

são os geradores locais do grupo. J_A

Um estado na álgebra

ot

é um funcional linear contí-nuo e positivo

w(.).

com W~)=f,onde ~ é a identidade da ál-gebra.

o

estado w(.) é invariante sob o grupo de simetria

se "'(OSA). wIA),'1 Aeor.,Yse 11'. • Pela propriedade de grupo isto é equivalente a:

d

w(<r.A)1

Y A f.()t

"

"

15.

S1:<Q

Em termos de geradores locais

(2.3)

i­: 

W(O'sA)

I '"

i.

w(U"

AJ)

oS SrD ~,

para todo AE. <:!(.,., , e a invariança do estado pode ser

escri-ta como:

14.  

Para  cada  x  E z.~ seja 0$ (x)  a  ação  do  grupo  de 

si-metria  no  ponto x,  ou  seja  0$ (xl  =

o;, 1  orlo) 

,  de  tal  forma

que 

a; 

=

®  ",(O<) 

Tá.J:'"

Dada  uma  função  real ~:

Z...

IR  definimos 

(2.5)

OSU)" 

®  a;,(~,1"')

~,2)1 ~

G"'s Cf) define um automorfismo na álgebra

m.

que I em termos dos geradores locais de GS é dado por:

;..:rll)  ... :Ul)  _(2.6)

a;ll) A '"

e 

A 

e.  f'A&IJ(AJ '( Ac.2

•

com 

(2.7)

J{~)'"

L, 

#I",)JI«)  ",.2" 

e  onde  J (x)  " 

Ji"'l 

A ferramenta central que usaremos é a desigualdade de Bogoliubov , formulada da seguinte maneira:

d 

w(<r,I/lAl/  \ \  13 

W(lA+AA·)

w(K)  (2.8)

as

5"'0 1 7.

\ 

onde

[2.9) l<." 

A.

J  0'.(1) 

G:i 

til 

H

I

J

rJS

1f

$~~

.. " 

H 

é  a Hamiltoniana do sistema I

I

i.

constante de

P=iT

Usando  a  definição  de  <rs(f).  (2.8)  ê  idêntico  a 

z 

\ w( 

[:l(tl,AJ)\ 

~

f

W(f{At/jÃ) 

w(c.cJ1{J,Il),J"lm) 

que  corresponde  exatamente  a  rorma usual  (2.2). 

A desigualdade  (2.S)  vale  para estados  de  equilíbrio  sob  condições  muito  gerais  (13,  28 t  29,  33J  e  é  a  unica pro  -priedade  do  estado tV (~) que  assumiremos  (Vide  Apêndice  A). 

A expressão W(K)  pode  ser  reescrita  como: 

w(!<.\  =

L

4

1"') 

f't1)

j(<<,1)  (2.10)

'lr.,.

fi.;r'

onde  (2.11)

fl""'''fl 

=

1.1. 

W(o;l")~tlj)

tI)j

45 r#:  s:otu 

ou  ainda,  em  termo  de  geradores  locais: 

tl~'1J

= -

W([:j("J, 

[:r111, KJ"))

Assumiremos  propriedades  para  f(x)  e  H que  garantam  uma  boa  definição  de  K  (Vide  seção  2.3  deste  Capítulo). 

Com  as  definições  acima,  estamos  em  condições  de  enunciar: 

Teorema  2.1:  Suponha que t(x,y) satisfaça áS  se 

-guintes  propriedades: 

.

.

(i)  f(x,y) ~ ~(y.x)

,

(U)  t(x,.) .. i(?,)  •

'L 

t«<·~)=,),

... Z 

" 

16_:>" 

(iii)  existe  uma  função 

_tI<

t17.")  tal que 

16.  

Seja  a  função  E  (1)),  p.  B" ,onde  BV • (-1f ,1'f]

"

.  de 

finida por:

(2.12)

Ell"" 

L  (, -

':"1' ... ) 

'tI") 

1(~2"

Se 

5  

d"X 

"a:>

(2.13)

Hl'l 

11'1~.

para todo &,)0, então o estado w(.) satisfazendo a desigualdade de Bogoliubov (2~g) é invariante pelo grupo de simetria

OS

.OU

seja,  W(<r, A)  = W(Al,  'fAGot,

Demonstração:

Pela continuidade de w(.) basta mostrar que

I

!  W«fsAl ~ W(A), 'f Ali (X" l Y À C 

7/, 

1\ fini to.

Seja Ae. 0("" para algum AC1;l1 íinito~ Sem perda de

I

I

I generalidade podemos supor que

oe

f\.

Então:

! 

1 

d

w(o:;A) \ ~ I

.!L

w(OSCIlA) 

I

;rs

,=. 

_~Iol ds S&O

v

para  qualquer  f:2 _ iR , tal  que  f(x)= i(O) 

t-

o 

A desigualdade de Bogoliubov torna-se: 4

í

I

lw(cr,A)!

I

~ ~

W(A'A 

+Rt) 

w{l'­l 

dó

s=. 

7. 

1

t(o)I'

Usando  (i),  (ii)  e  (iii),  temos:

I

\

! 

\w(K)1

~

..'-

L

[fi"'l­

f(~)J'1

fl'l<'1d

~

I

2. ~.,6ll"

(2.14) 

Y 'X6 A. 

(2.15) 

(2.16) 

J.

~

..L

L

U(.)-.et~l

J 

%I..

­,l 

: 5 

Ai

17r1Jjzf(f)

(.Ir)' 2.  "1":1'" 

I

com  a  transformada  de  Fourier  f(p)  definida  por: 

f'(p) •

L,,":"'"

1'''') 

_{e  l3}

"

_{" C-7f, 7f}

_J

"

«62'"

Vamos assumir provisoriamente que existem l',)c e '&>0

tais que

E(p) '?- õ\p/'" para

_I'TI

_~

_S

_(2.17) 

Seja 

E.. (p) • E(p) se 

₁₁₁

$ fi 

(2.18) 

E.. (p)  •  M,x{E{t),~~'1 se  _\1'\>. 

Dado ê":lo escolhemos f(x) COmo sendo

4, 

I")"  C.I,,)';' 

J.., 

I"')  (2.19)  onde

C. 

r",l  '" 

5

.d

e,r.,J, . ." (2.20) 

8" (!I.lt)" fi, (~J. ~

C '0)-C, I.)  " 

~

A 

1-"'R·"  se. _1<6" 

e 

l '

' 

h.f")  =

,

.1 _{, O}

5" 

,

Çom  esta  escolha  de  he  onde

f

C

_e

(o)  •

S

A 

I,u)' 0,!1) H 

.'

(2.21) 

-x4/\

teremos  fe(x)  • Cerol.  '{"'"A. 

(2.Z2) (.%Ir)'

."

!E,.!l.) +€

Valem as seguintes estimativas:

1

!l.(t)I'~

\

c,ltl..

J.IC.11)llr~(1JI"

Ir~lt)l·

(2.23)  e

I

,....

18. 

onde Q(A)

ê 

uma  constante  dependente  de  1\ ,  porém  independe~

te  de  E  •  De  fato,  da  definição  (2.23),  vem: 

I

tl'l'!

I"

L 

I

5

A

1- ,.".'[

I

i

f

L!.!!')  (

A

jl.I'

1(E-1\,

s.

(4tW E.(,U + t:.

l

:t""A 4:

J

(.21r)1f

E+fl.J

8' 

e,  por  causa  de  (2,17), 

I .  

r

J'l 

lJ,f 

_{<.  '"} 

­ J ( ..

'lr)~ E.I!,) 

rf

e  então  (2,24)  segue,  com 

Q(A) '"  I 

r:

1'%1' 

~6h

"2 

Por outro lado

~

C. (1) •

f

E.(1) + (

e  usando  (2.16),  (2.23)  e  (2.24)  segue  que: 

I

\WIK) 

I

~

~A

~

.:z 

QIA) + G.(A{

í

li.

E1t} -($11)'

(Ali)'  f.lfl +f.

8'  S' 

(2.25) 

C. 

(o)  .. bOI)

"

com 

D(h) '" 

~

6[(A) l'

Q(fI)~

J

h-

Ht) <: <I>

.'

(,1,,)Y

Então,  de  (2.15)  e  (2.25)  vem: 

1.

",(er.A) 

I

\~ ~

f

W(!\A+/lÁ) _C,lo)  ... bOJ  (2.26)

1

às  s~o _CiO)'l. 

Como:

,

lím c~ (o) • lím

j

Ji

_{= o::>}

~.,o ê ~o _(JIlr)V 

E+lfl + E.  11" 

(2.27) 

é='» 

)

A

"a> 

E1r] 11'1 <5

temos que

.i.w(tr,IlJI

= 0 (2.28) 

c/s $ •• 

o  que implica em ",{<r.A] '" w(A) .

Para concluir a demonstração resta estabelecer(2.17).

De fato,  como  E(p)=

z:.. 

'ã{x) (1- w..p.x), com  Or",) '> o) 

"%4-]4' 'li

vemos  que  para  \1=1,  se  "o 

F 

o  é  tal  que  t(x.)

>

o.  então  .2 

f'''­) 

, 

•

Er1') >,. 'f(?:'] (i ­ ""7· 'X,) >, 7('  111,1  (11 

para 

IpI 

~

*, .

l! claro  que  se  %(x) =0, Y"'é;;t» então  automatica-mente (2.28) é verificado. Para Y=2, suponha que existam

Xc!!

C

x"

' 

x.

' )  

e Yó:=

­C'

YtI Y.

• 

)  com 

x: 

r

o  • Y.

.. 

I  o (x_o 

po-de  ser  igual  a  y,,),  tais  que 

'i' 

ex.) 

lo e 

'à' 

(Y.)  "  o.  f

Neste caso

E(f) 

~ ,!,(~,I('-"'f·",)+~I\.){H"'T·I·J "  c.+e.I1'I~

em alguma vizinhança de p = o. Se não existirem x₆ e yq com

as propriedades acima, então estaremos reduzidos ao CaSo ~= 1 

e  o resultado segue igualmente.

20.  

Observações: 

O  Teorema  2.1  estabelece,  de  uma  maneira  geral,  a  conexão  entre  a  existência  de  umã  singularidade  (infra­verme-lha)  não  integrável  na  função  E(p)­t  e  a  proibição  de  quebra  espontânea  de  simetria  contínua.  b  um  resultado  tipicamente vá  lido  para  dimensões  baixas  (~~l ou  Z).  já  que t  de  acordo  com 

(2.17)  (que  ê  verdadeiro  para  qualquer  dimensão) 

y?,. 3

S 

d~

l 

5 

A 

<'"  se 

flf) 

r

171'  

111~6 111 ~ ..  

e ,  neste  caso.  o  Teorema  2.1,  torna­se  vazio. 

A  função  E(p)  ê  a  transformada  de  Fourier de ~{x;-y) • 

. 

um  limitante  para  }(x₁Y).  que  pode  ser  considerado Como  uma  medida  da  interação  entre  os  pontos  X  e  y.  Se  a  interação'  de-crescer  lentamente 1  quando  {x­y 

1-;:.

tD,  a  singularidade de  E(prt, 

em  p  =  0,  pôde  ser  integrável,  mesmo  em  y=l  ou  2,  e  neste  ca 

50  o  Teorema  2.1 

é 

vazio  (na  realidade t  é  falso!).  De  fato.p~

ra  uma  classe  de  sistemas  que  obedeçam  regras  de  SOma  e  esti-mativas  infra­vermelhas  tinfrared  bounds")  a  condição 

( 

­" 

,)  1:(/) "1< '"  implica  na  quebra  espontânea da  simetria  contí  nua  em  )l=1  ou  2  [30.31)  . 

Deve­se  notar  também  que  o  Teorema  2.1  nâo  supõe  invariança  translacional  da  Hamiltoniana  H  nem  do  estado  ClJ!·).

2.3  ­ Aplicações 

A  cada  região  finita 

AC. 

71 ~ associamos  a  interação 

H  (ME 

Ot."  , 

que  é  uma  interação  de  I AI  corpos  (IAI.  cardina-lidade  de 

1\)

tal  que  para  cada  X€7.»  temos 

L 

IM " HIAlI! <ev

A_ 

Pode­se  tambêm  tratar  o  caso  de  operadores  não  limitados.  o  que  não  faremos  aqui  para  evitar  um  tratamento  técnico  mais  com 

pUcado. 

A  Hamiltoniana  ê  definida  pela  expressão  (formal) 

\ 

_H,,­

L 

_fi 

_{(1\)  (2.29)}

! 

M.? 

Mais  rigorosamente.  supomos  que  para  todo 

Aé-tJ(r

I rcÕ'~

1 

! 

a  expressão 

\ 

[fI,A1 

~

L 

[/l(Al/A1 

(2.30) 

rllJl=à 

define  uma  série  convergente  na  norma  de bt j  ou  " seja.~. que [11, A') 

e. 

/)t  .  Note  que  se  o  alcance  da  interação  for  finito  a 

soma  (2.30)  torna­se  uma  soma  finita. 

Examinemos  agora  as  condições  (il,  (ii)  e  Ciii)  im-postas  pelo  Teorema  2.1  sobTe  a  função  tCX,y),  que  é  dada  por 

I 

,tl?"ll" 

L 

i. 

W (<l;I"') ,,­,li) 

fi)J 

(2.31) 

~ rJs  JI: $;.~"-"

\ 

que,  em  termos  dos  geradores  locais  J(x)  do  grupo  <1~ •  ê  o  mesmo  que: 

;t(x,y) 

. ­ L 

w([jl,,)}[;n~)/IIMJJ)

A.a'1,~

I 

A  propriedade  (i)  ê  conseql1ência  de  [6$1,,), a;1~JJ~" ,  que  ê  equivalente  a  ["l{"JI;'),  :n~}J co pois  então 

I 

~("',~l

'"  ­ [. 

w(:;(,):rl~IH-:rI<l»1(,)-j"JH:r ..)+ij:n.)n'<))  ~ 4  1\&7<1f 

= _ 

z:.. 

w(;n~):rI~)H ­ Jf~)ftJI ..)-::r'~)ft;n").HJ(,,);rI~)) =  i(~,")

A~~~

22. 

A  primeira  parte  de  (ii)  segue  da  estimativa 

If~~Ji

{,  lj  

1111"111 

1I:r1~1I1

L 

11 

HChlll 

(2. 32) 

"'"''  

.  ~

pOl­S  entao 

\ltl1<,.l!lj  '" 

r.. 

\il".~i1

~

ee..t.IIJI .. 

JI! 

L 

I~I

NIi(A)1I 

<  co 

i'1~   It.;l?c

onde  supomos  que 

Á.WP 

II:J'I,,) 

11 <: cc>

e

L 

IAIIIII(A)11  <<<I 

~67-; "  31<

,i   _{para  cada  x  6" 7i) .  Em  particular.  se  a  interação  for  nó  máximo  de} 

N corpos~ isto  é t  se  H (Ã) 

= 

o  paTa  111\ > N  então. 

,  ,  

"i

1«, .) 

li, 

~

"",t, 

L, 

U

IU"lll  <:  "" 

"

"'"  

A  segunda  pa.rte  de  (fi),  é  a  condição  de  invariança  de  H U\)  pelo  grupo  O"'s  ~ o  que  o  define  como  simetria  do  sistema I  ou 

seja: 

(),  H

Ih) ~ IHA) 

, 

para  todo  1\ C 

71

" 

i 

Isto  implica  em 

I 

i 

L

~("í~)

'"  ­

r. 

W  ([:fl«), 

fs.<r. 

l1cA

JJ)1 

o 

1';2"  • ""  S  'S. .  

A  condição  (iil)  será  satisfeita  se  tivermos  a 

limita-ção  uniforme 

I

ic'X,\

d 

~

I{ 

I1J171!1  11 

J1

"-,ill

L 

Jf 

1/

(A) /I 

~ ~

ã )  

(2.33) 

A3'X11(~}

para  quaisquer  x,YG71v  ~ onde 

r= 

x­y,  e  para  tanto  ê  suficien-te  que 

t

ft 

:,,~)n

n:rr",-~ill

L.. 

l'liMI/l < co para  todo 

à " 

.lv

..%.f 

AD'%/?i'~l

No  caso  em  que  llJ (x)1I  =  llJ(o)U  I  para  todo <;t&J:'"  , 

e  H(A)  ê  invariante  por  translação,  a  função  tcx­y)  pode  ser  escolhida  como 

~(x-y) =  lj 

n/.H!' 

L 

/I 

H(I\)II  (2.34) 

A'1lo} "l('w.~

No  caso  geral.  a  condição  (2.33)  não  exige  invarian-ça  translacional  nem  da  Hamiltoniana,  nem  do  estado  UJ(.).  o  que  é  conveniente  para.  por  exemplo,  acomodar  sistemas  aleató-rios  (vidros  de  "spin") 

[13J. 

Para  discutirmos  o  papel  do  aLcance  da  interação  na  ausência  de  quebra  espontânea  de  simetria  contínua.  vamos  nos  ater  ao  modelo  de  Heisenberg.  A  cada  Xê~ correspondem  oper~

dores  de  "spin1 

s, 

(x) •  S" (x)  e  S, (x),  com  as  relações  de

• 

comutação  usuais: 

[s;

(,<I, 5j 

1\»)  " 

~ ~"''I:

é'ik f;.lx)  (2.35) 

onde 

á",'I­

é  a  função 

b 

de  KToneck ar  e  G4ilt é  o  tensor  totalmente  antissim.êtri:co­,Ç:om  _~i~lt::: 1  Além  disso,temos

t

5~

I,J" $IS+I). 

t"l;,l 

A  Harniltoniana  de  Heisenberg  é  dada  (formalmente)por: 

i 

I 

J.l 

= 

L 

r

J.,')'"l 

[5,ro)

5',1,) 

+5.(~}s.r,)1

... 

':t, 

(""~)S,f,,JS',I~)}

(2.36)

I 

~1E

_2," 

I 

onde  nos  restringimos  a  interação  de  dois  corpos,  ou  seja.  em  termos  de  (2.29) 

i1 

(r . ..,

I )  '" 

:r

r~'1)

[5,1.)5",) .,. S,I,,} 

S.I~J]

.,. 

1,(

"'~

J

S. 

('l() 

S, 

r,) 

•

24.  

­ ­

" 

A  álgebra  de  observáveis 

ot 

e  a  algebra  C  gerada 

v

pelos  Si (x) ,  i=l,2,3,  'x 6­ 2.  • 

O estado  W ê  definido  como  o  limite  de  estados  de  Gibbs  de  volume  finito t  ou  seja 

_('11. 

W(A) '"  ~ ,;, A 

e

Aft 2)'  T... 

i/tiA

onde  1\  pode  ser  U1Il  cubo  e 

H.  '" 

L 

I-l((?:,~l)

 

"" 

."  

Poderíamos  também  definir ~(.) colocando  uma  condi  çao  de  contorno  diferente  em  H_A  ou  um  campo  externo  no  plano

Cx,y).  que  tende  a  zero  após  A

t 

3," _• 

o 

grupo  de  simetria  consiste  em  rotações  em  torno  do  eixo  3.  cujo  gerador  local  é 

Jex)  =  ~(x) e2.37) 

Um  cálculo  direto  mostra  que:  fex,y)  =  [TI"'.1) + li,.,,)] W(S,I')S.I,) 

+S.I'tIS.I,J)-­ L 

[I{l.'!') + :rl"1)

J

w( S,IIl $,(~l + 

>< 

(,I S.C,l )  Ó'l,'} 

lE":J,v 

Observe­se  que  ..i(x,y)  =  "(y.x)  e 

r:.­

­i(x,y)  =  o 

~. (J  'fó]t.v ~

satisfazendo  as  condições  (i)  e  (ii)  do  Teorema  2.1. 

Assumindo  que  II(x,y)1 

= 

:r.

CIx­y/)  e  usando 

VJ (5,c.) S,f~)

1

f  US,I'III  US,IIIII  "  S·  1 

obtemos: 

11

1_"1.') 

_I 

~

q 

s' 

f

:r.(I'X-~1)

+ 

L 

I.(131) Ó••, 

J '" 

~I,,-~)

(2.38)

ã"2" 

Então.  teremos: 

f 

(1') 

" L  (,­

~r.""){<lS:r.CI,,t)

+  [  I.fl}1) dOI' 

1 

_(2.39)

­i,.

A divergência ou não de

S

E(,) 

u'l'

vai  depender  do  r 

alcance  de  1.  ['xl}.  ou  seja,  da  rapidez  com  que  lo  Uxl)  ten 

da a zero quando tx 1-+ OD • No c"aso em que

(2.40)

L.

I'XI" 

I.(,..,) '" 

oi.  <."" 

'X&2~

usando

4­ Wr.'" 

~ I1lvl~l' 'Ô =  1.2, temos!

"t.  li "1  "  (2.41)

ElfJ 

_~

:. 

5 

Ir 

I  L.., 

I'XI 

r,C/'>"')  ~ .2 c< 

s'111' 

"'(,;l'

Desta forma

para Y = 1 ou 2,

lim 

S..4 ­

m

f 1,0  E(')

e' 

, 

sendo a divergência linear em v=l e logaritmica em ~=2.

Caso O momento }J de

t

(x) não seja finito porém te ..

nha divergência logarítmica podemos demonstrar uma condição su

s  ,, "  

ficiente  para 

Eftl 

Q

1" 

a>. 

ProEosição  2.2: 

Seja E(p)  = 

L 

0'''''7'''')11..) 

'X6':;rl' com  ~(xl ~ O  e 

seja K(N)  = 

L 

_Ix 

I V 't(x) 

'X6-A_k

onde

Ali  "  {­ "'. ­/11+1,  " ' ,  

N( 

C 

4.

y 

Se 

K(N)

sup 

<co

li 

_k 

N 

.e... '"  ", 

.l..j..

IV 

para  algum 

!"t 

(onde ~N

=

1!..(t..{ ", (1.. N).,)))  então  para  lplsuficientemente pequeno

11 -1 _t

­,

26.'  

Demonstração:

A 

demonstração segue as linhas gerais do Teorema 5.S da  referência  [3i)  . 

Como  1  ­ cos  p.x  ~

i 

ltl']1t)'  e  l­cosp.x,; trl~1

E('(I)  '" 

r:. 

U­""1'.1( 

)~r"'J

+ 

L. 

(I­CO'(.,,) "  ...) 

~

'Kf-AN _"Xf:/tC

• 

s

\­rl" 

L 

I'XI"

~I,,)

+ 

.2

L 

~("')

?fE--I\N 'XfG..I\~

Para  M)N 

.. 

1,,-,11 J

L

~I~):

t 

z:. 

~~I1<J

~L

L. 

I'XJ"~I.,..)

(2.42)

-r,s1 ?:~aA~

4I;~ UH

X"'A"~A,,, ,-':.#... , 'l';;,3A"

pois  Ix]V '>  n"  para 'X" ilA~ (ê!A~ =  fronteira  de 

A..  ). 

Agora: 

L 

hl"

~(x)

=  K(n)  ­ K (n­l) 

'X"'(lII.,  

e  portanto  (2.42)  é  limitado  por  

'" 

L 

~I

..) 

~

L 

­7 

[K(~)

­

K("­'J 

J  " 

"'bA~-AN

L:~"+!

.., 

_, 

_,..,  

_  ­

I 

1<1_)+ 

...!­­

~I"') _  UIN) ~

[ 

_{~v (.ti ..,.;))' ....}

"-:;~+l M" (tt+I)V

"'­,  

~

L  I  kll'l) 

+ 

3 

L 

K(~l

jl.\V  1'l= /II+! /)1"'+1

(2.43)  Mas 

K(n) 

~

Je 

J... '" 

J... 

'h  .•. 

J!M.. '" 

(2.44) 

e então

K(M)

lim =  o  (2.45)

"'

....

'" 

M

Tomando  o  limite M~~ em  (2.43)  e  usando  (2.44)  e  [2.45)  obtemos: 

., 

_"" 

L 

~[?')

~

3d­", 

L

.f,... 

J...

~

.. ' 

L.~ _{"­ 3.} 

_ck. 

í 

j..1< 1... '"  ... 

.t.,.,

J1(

< 

."'''-11

l1v +f 

J 

_",v+f 

~6AIl _N

Integração  por partes  fornece:

., 

(

r

..e.. '" 

.t..." .. ,

~

d" "" 

( 

_J.. 

_{N  .t...N ."  J.,~ N} 

• 

y

J 

'){$+1  /.Iy 

~

S

., 

+ 

~

(.t..,.", ." 

k."

+ 

.&..""  .., 

~'"

<f  ". + 

f) 

q')( 

" 

~"tt

" 

Se  N  é  suficientemente  grande 

1.... 

N  ~

1.., 

N  ;.  ...  :;..  1..~ N  > Z 

o  que  conduz  a 

'" 

_I

r

..e.,.?: 

J..." .. .

..&....: 

J"  _:::.  !1  _{.&.N  ).,.N  ."}  J..~ _N

1(VI'­'1

j 

.2.­1  _NV

iJ 

Escolhendo  N~

(11' 

rI 

J 

obtemos  a  tese 

. 

c.q.d • 

I 

Pelo  fato  de 

I 

. 

( 

11'1" k 

I1r' 

.h,

I1'r' . .. 

.e... 

}l'r' 

não  ser  integrável  na  origem  para V=l ou  2t  temos  então  uma

28.  

_o( 

No  caso  particular  que  lo  (Ixl)  =  Ix1  ex 

f 

o)

­, 

~  

teremos,  para )1  =  1, 

S

E '1) 

"1' 

infinita  para  C(~ 2  e  fini  

B'

ta  para  OI! 

<

2.  Em "J=2  a  integral  será  finita  para  ol<4 e  infi 

nita  para ,,~4

[31J. 

_cC 

Os  casos  limites,  para  lo  (Ixl)  do  tipo  IXI  cor­

respondem  a  divergência  logar!tmica  do  momento  Y  de 

lo  (IX ,)  ,sendo  cobertos  pela  Proposição  2.2. 

Toda  a  discussão  feita  até  aqui  pode  ser  facilmente  adaptada  para  sistemas  clássicos.  sendo  que  a  estimativa  (2.33)  pode  ser  feita  diretamente  em  (2.31),  como  uma  estimativa  na  segunda  derivada  mista  de 

\5,1,,) ~(~) !­lO.) 

sem  necessidade  de  introduzir­se  geradores  J  (x). I 

I  

Sistemas  aleatórios  (vidros  de  "spin1t _{)também  são  t1'a} 

táveis  pelos  mesmos  métodos  até  aqui  expostos.  Para  fixar idéias,  \ 

consideremos  o  modelo  dado  pela  Hamiltoniana  (2.36Jt  onde  agora  tI (x,y).  I3  (X~Y)}~,6'~ são  variáveis  aleatórias  num  espaço  de 

probabilidade.n.."  Gomo  é  usual,  no  tratamento  de  sistemas  alea-tórios  ~21 J  pode­se  considerar  dois  tipos  de  médias  estatís-ticas  para  tais  sistemas: 

1  ­ médias  temperadas  C'quenched'1 ) 

<: 

A

/* 

'E. 

<

W(A)~

T.... 

11  ./'

>l  ) 

­ ~It

T.

\  "  e  _..n.. 

2  ­ médias  recozidas  (nannealed") 

_pH  " 

T... A 

e 

/../1.

':'A)..  "  

< 

<~

;J"

>..a. 

onde (~significa o  valor  médio  tomado  no  espaço de  probabilida 

Para  sistemas  recozidos  as  manipulações  seguemo·"ipsis 

literis" 

,

as  do  Teorema  2.1,  com  o  resultado: 

<(T.A>~

'" 

<

A).. 

Para  sistemas  temperados,  basta  notar  que 

2­

2-<.

I

fs 

W(IT.

lIl

l,., 

I 

~

~

r 

<

d$ LW(<5'. Al

l  "  \

S:::. ~

pela desiguldade de Schwartz (pois ~1)""= 1), para obter-se

<. 

Gi 

A

>t

=. .(

A 

>",

Em ambos os casos a hipótese (iii) do Teorema 2.1 é substituida por

no caso temperado, ou

<

I

_{fl~,~iI~" ~I",-,)}

I 

I 

! 

no caso recozido.

<

Ld..cr;,I~J~(~)HI

\  \ 

* 

~1",-'d)

I 

,  _{ds.  It.}  s':t~.l..

No· caso particular considerado (Hamiltoniana (2.36)) I 

a expressão(2,,38) fica substituída por:

45'­« 

1:r.(I"-~I)I).n."

'[<I:r.(I)I)I) 

"Ç..

,~)"

Q{"­1)

}  "'­ d 

e exigindo que I" (Ix­ri  )  €  L' C.n.),  recaimos no casa de um

sistema não aleatório.

Com algumas hipóteses adicionais, os resultados

con-tidos no Teorema 2.1 podem ser facilmente estendidos para

515-temas de dimensional idade restrita, ou seja, sistemas tridimen 5ionais (ou dimensões maiores) que tenham tamanho finito em uma

ou duas (ou mais) direções.o

30. 

1  ­ dimensionalidade  restrita ~=1: o  sistema  pode 

ser  totalmente  contido  num  cilindro Cc. Il.' •  de  comprimento  in  fini to  e  secção  circular  de  raio  L<. te  •  O  espaço  de  configura 

ção  deste  sistema  será,  então,  1\= C 

f\T 

2  ­ dimensionalidade  restrita ~=2: o  sistema  pode  ser  totalmente  contido  numa  chapa  plana  inflni ta  S c. 

ri 

de 

espessura  uni forme  L <: (O  •  Neste  caso  o  espaço  de  configuração é  f'.:Sfl2' 

Em  ambos  os  casos  podemos  decompor  qualquer  ponto 

x  ~ A  em  x  =  (x~. Xq)~ onde  x_q são  as  coordenadas  de  x  ao  longo  das  direções  de  comprimento  infinito  e  x~ são  as 

co-ordenadas  restantes* 

Para  incluir  estes  sistemas  no  domínio  de  validade 

do  Teorema  2.1.  substituímos  a  hipótese  (tii)  por  (iii T

) :   e 

, 

xiste  uma  função  ~G .t(1\)  tal  que  para  cada  ". \ . "   .  e 

fi-xados  xlJ  t .  YIJ 

sup 

I 

f(1<,~)

I 

~ ~ (?:II  ­ 'j­.)  (2.47) 

"X,L/lL~ 11. 

A  demonstração  do  Teorema  2.1.  neste  caso,  é  intei-ramente  análoga,  bastando  as  seguintes  modificações: 

a­)  escolhermos 

4e 

(x)  = 

1a 

ex 

It  )  exatamente  como  em 

(2.19)  ­ (2.21),  apenas  substituindo  x  por  x• •   ou  seja {.(x)  ê  constante  em  x~.

b­)  a  estimativa  (2.16)  ê  modificada  paTa: 

I

Ú)(~)

\ 

~

.!.. 

L 

-I1~.d

P1' 

I

fI'>, 

1) 

I

"'.h 

Ur"'n) ­ 

'tJ , ~J..

~

;L 

1I't.1... 

~

1. 

L 

UI')!,) _ 

fl~.n'

~/?:II-

~,,)

~

N 

r 

li.. 

J 

frrl!'

E1t}

:l.  ...  

j 

_{{jarl'  '} 

onde N ê o número de pontos de A contidos numa secção reta do

cilindro  C  (caso  1)  ou  na  direção  da  espessura  da  chapa  S  (ca 

32.  

CAPITULO  3 

DECAUIENTO  DE  CORRELAÇOES 

3.1  ­ Resul~ados Gerais 

e 

um  fato  bem  conhecido  em  Mecânica  Estatística  que  transições­'de  fase  (com  ou  sem  quebra  de  simetria)  estão 

inti-mamente  ligadas  ao  surgimento  de  correlações  de  longo  alcance  entre  cert«lS  observáveis  do  sistema. 

Assim,  para  uma  classe  grande  de  sistemas  clássicos  e  quânticos  numa  rede  a  existência  de  correlações  de  longo  al-cance  implica  em  magnetização  espontânea  (correlações  e  magne-tizações  convenientemente  definidas),  o  que,  muitas  vezes,  es-tã  associado  a  urna  quebra  espontânea  de  simetria  [32].  Um  exemplo  disto é  o  modelo  de  Heisenberg  quãntico  (antiferromag-nético)  e  o  modelo  X­Y  quântico  em  3  dimensões  [33J.  Nestes 

, ! 

modelos  a  existência  de  correlação  de  longo  alcance  implica  na  quebra  espontânea  de  simetria  contínua. 

Por  outro  lado  existem  modelos  em  que  certos  observá  veis  apresentam  correlação  de  longo  alcance  e  exibem  simetria 

I 

contínua  que  não  é,(não  pode  ser)  quebrada 

[341  . 

Neste  modelo

I 

[341,  bidimensional.  existe  uma  simetria  discreta  além  da  si-metria  contínua.  A  sisi-metria  discreta· é  quebrada  provocando  o 

surgimento  de  correlação  de  longa  alcance  entre  certos  observá  veis  convenientemente  definidos. 

Neste  capítulo  mostraremos,  usando  os  métodos  do 

Ca-! 

pítulo 

Z,

que  a  ausência  de  quebra  de  simetria  implica  na 

ine-! 

observáveis t  que  estão  relacionados  com  o  grupo  de  simetria. 

Ao  mesmo  tempo  obtemos  estimativas  para  a  taxa  de  decaimento  das  correlações.  independentes  de  modelo  e  da  temperatura,  e 

('  ., J '  

que  está  ­relacionada com o  grau  de  divergência  de  '\, E(t) 

'7. 

Nossas  estimativas  representam  uma  melhoria  e  uma  generalização  de  resultados  anteriores  de  Fisher  e  Jasnow  [35,  36]  ~ pois  além  de  valerem  para  toda  urna  classe  de  modelos  e  de  observáveis,  são  locais,  dependem  apenas  do  alcance  da  in-teração e incluem interações de muitos corpos.

Recentemente Ito [3~ reobteve nossos resultados,com

pequenas melhorias quanto a taxa de decaimento, porém com Te! trições mais rigorosas quanto ã classe de modelos e observá ~

vais.

o

argumento heurístico, no qual se baseia nosso méto

do, pode ser assim colocado: se tivermos um observável A(o) • colocado em x ~ 0. e outro B  (R)  colocado no ponto x

=

R~

pe-lo Teorema 2.1~ teremos

J 

W(<Ss 

Ato,l!(~)ll

" O (3.1)

E 

s~,

I 

Porém se, na expressão (3.1). em lugar de ~

co-·1  locarmos ~(~) , definido em (2.5) e (2.6), com f  (x) do

se-guinte tipo:

I 

a­)  f(x)  D 1 numa pequena região em torno de x ~ o;

b-) f(x) decai lentamente para zero numa distância da ordem de IRI;

c-) f(x) • O pau Ixl>.- IRI J 

então (3.1) não será mais zero, porém deve ser pequena, pois

34.  

Por outro lado

1.

w

(<Ssrp

Aro) 

8rftl)

I  \ 

= 

,I  w  ( I>l.) B(P­)) 

I 

ia  F(f/.)

Js 

;­.

\  

onde 11(0)  :: [3"(4) J I!!on ~ L31'l,AI,)]  porque

[:rw

J B{ltl] = <:> 

pais  f(R)  =  o' e  levando  em  conta  (2.3). 

Se, agora. fizermos

'Rl-+ct.I.

conservando as carac-terísticas  acima  descritas  de  f(x),  vemos  que  f(x)~l e  F(R)  deve tender a zero por causa de (3.1), resultando na ausência de  correlação  de  longo  alcance  entre  D(o)  (do  tipo [:rrq),Aro))  }  e  B (R) • 

Nossa trabalho consiste em estimar a rapidez com que

F (R)  IR, ...,_!lo o 

_ã 

_{medida  que}  f(~) _IRI..."'> 

_t.

Passemos pois à formulação deste argumento de uma maneira mais precisa. O contexto matemático, assim como a

no-tação~ serã o mesmo exposto no início da seção 2.2. do Cap{t~

lo  2. 

Consideremos duas regiões ~oe A~ com _11. () A. 

= 

₁₁₍  e três observáveis A) D é Ó(;l\c ) _{BR ~ {fI,A.  J}  tais que

(3.2) 

A  = 

.E!. 

IJ_s l> 

I 

Q5  s­o 

Sem perda de generalidade suporemos que O '"' 1\(1 (e

!1.f A~, Il  um vetor em 2

•

).

Em termos de geradores locais (3.2) é equivalente a

A~ i, [3(."DJ  (3.3) 

quais valem nossas estimativas, ou seja, elementos da álgebra

~ que  provém de um comutador de algum observável com os ger~

dores da simetria.

Seja  f  (x)  uma  função 

f:~--+

~

tal  que 

tIO)  "" 

o  para X& 1\0

(3.4) f(x)  = 

o 

para  x 

e 

Ap. 

Definindo  eisef)  como  em  (2.5)  (ou  (Z.6)),podemos  es-crever!

.{ W{\f,rnll B.. ) 

1<  i.W(c::rI~J,~B .. 

J) :: 

d~ .:,  

~

;..  L 

~(",)w([:JI"J,bB~J)

"  

'j;47J!

=

<­

L 

.(1..

J{c';(!:31>"ÕJ\3..

1+w(DCJ""'J,90.J) 

•  ~lol W(~B ... ) 

1<Q! 

" 

pois 

[:H"J, ,,] ". 

s«  _1> '" 

_{/lA.  •} 

_?( 

ti.

_A. 

Então ternos:

I

W(lls..

1", 

~

_1.

_W(

_"'/1)

_{D13,.  )}

I 

(3.5)

",­FIo)  riS $"<'

A  identidade  (3.5),  com  f(,,)  escolhido convenienteme~

te  (satisfazendo  (3.4)).  juntamente  com  a  desigualdade  de  Bo-goliubov  (2.15).  serão  nosso  ponto  de  partida. 

A  função  f(x)  é  definida  por  

1 

36.  

onde 

CR(X)  = 

I A  

_11..')(  ­

e.­, b. ('I<.~ _•..l

j 

(.>1TJ' 

6" 

E.(V 

·~'4í1.

.: k. '" 

J

J'I.. 

1 ­ e.  _{e.  (3.7)}

" 

~l' E.r(6.) 

-com  E. (.()  definida  por  (2.18)  e 

CIl(o)  .  C.Jx) se  x  e 1\0 

ht ex)  =  _{{  •  CIl} (x)  _{se 1( "  A..}  (3.8)

o  caso  contrário. 

Com  esta  definição  de  f~ex) a  condição  (3.4)  é  satis  feita,  valendo  portanto  a  identidade  (3.5). 

No  que  se  segue  necessitàremos  de  uma  estimativa  pa-ra 

'" 

h R (p) ~ a  transformada  de  Fourier  de  hl<. (x) . 

Lema  .  3.1: 

(3.9)

I

h~!t}1

~

G1(A ••  A.. ) 

C

fOJ

9

•

R

onde  Q  (1\•• !lt.).{fl)  é  uma  constante  dependente  dos  tamanhos  de  Ao  A~, mas  independente  de  R. 

Demonstraç~o:

Da  definição  de  h .. : 

~ _~i~.Il){ i 

b.",')

J,~!,)

'" 

L 

e-

.êp 

i

_

ti 

{I­

e 1­ e .

(JI.1r)'

~'f\o

­ "".Qt

í 

J"k

",,11. '" ­

1!n~,('X-"_1

L 

e 

?fé A~

J~1TJ'

E+ff,.) 

'B" 

A identidade cos a - cos b • 2 sen a+b sen b-a

­­r 

­Z 

juntamente com a desigualdade de Schwartz nos dá;

'h.

I

'J;R 

11')  \ 

f. 

.:i. 

L.  [ 

r 

JV~

1­ e.,/l 

Lltl

q,. 

[5

J.1 

_{/­""8·'I<·l+}

,,"A. 

J 

(:"r)'   _E,tAJ

S' 

~I"l

6'<''''1'

­t 

J. 

L 

5

tl.. 

J,u... 

lI.r",. 

p.}  .I.J.­

4.~

I 

'X..A.. !I" (~}' E.IJ,) 

Usando a identidade 1 - cos a :::::  2  se~ ~ e  a desigual dade  Isena 

r  , 

I_a~ temos: 

I

h.,ltl 

I, 

5: 

~Ioíh.

(L. 

l?rl  )  Xl}., 

4-~bA.

($.10)

+ 

.t 

(Sã

.1U! ... 

'.1(1) ( C 

I~-~I)

~. (\111)' E.f')  ~~A~ onde

I  =   \ 

1l. 

J.lt­

<. U>  por  causa  de  (2.17). 

~ l~JI')' E.I'1  B 

Aplicando  novamente  a  desigualdade  de  Schwartz  para  o  segundo  termo  de  (3.10),  resulta: 

I'" 

"R(ti 

Il; 

li' 

4,(0)

1\.(

~

1'11 

1

:r'

'f 

_.. 

Ir 

_C,,1o)

/It(

r.. 

₁

_",­.<t I

)

r

'I> 

:t1F/;fl.