Irreversibilidade por competição para um modelo de Glauber-Ising a partir da produção...

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Instituto de Físia

Irreversibilidade por ompetição para um modelo

de Glauber-Ising a partir da produção de entropia

Osar Alberto Barbosa Bohórquez

Orientadora: Prof a

. Dr a

.Tânia Tomé Martins de Castro

Dissertação de mestrado apresentada

aoInstituto de Físiapara a obteção

dotítulo de Mestre emiênias

Comissãoexaminadora

Prof a

.Dr a

.Tânia Tomé Martins de Castro

Prof.Dr. Wagner Figueiredo- (UFSC)

Prof a

.Dr a

.Carmen Pimentel Cintra doPrado - (IFUSP)

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FICHACATALOGRÁFICA

PreparadapeloServiçodeBibliotecaeInformação

doInstitutodeFísicadaUniversidadedeSãoPaulo

BarbosaBohórquez, Oscar Alberto

Irreversibilidade por competição para um modelo de

Glauber-Ising a partir da produção de entropia. São Paulo,2013.

Dissertação (Mestrado) – UniversidadedeSãoPaulo.

Instituto de Física, Depto. Física Geral

Orientador: Profa. Dra. Tânia Tomé Martins de Castro

Área de Concentração:Mecânica Estatística de

Não-Equilíbrio e Dinâmica Estocástica

Unitermos: 1. Mecânica estatística clássica; 2. Física teórica; 3.

Mudança de fase.

(3)

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Resumo

Trata-seumsistemairreversíveleforadoequilíbrioadotandoumadinâmia

estoás-tia, apartir de uma abordagemque visa a ompreensãodos efeitos marosópios

omo uma onsequênia das araterístias mirosópias do sistema. O estudo

enfoa-se sobre as transições de fase inétias que têm lugar pela adoção de um

modelo de rede, no intuito de desrever os estados estaionários por meio da

pro-duçãode entropia,que arateriza oomportamentodosistema eluidando assuas

ondiçõesde reversibilidade. Dessa formaonsidera-se um modelo de Ising inétio

om simetriaup-down e sob a inuênia de duas dinâmiasde Glauber em

ompe-tição. Nesse sentido onsidera-se uma rede quadradaonstituídaporduas subredes

atreladas, as quais submetem-se ao ontato de reservatórios térmios a diferentes

temperaturas. O estudo é feito mediante a adoção de uma abordagem analítia

assumindouma aproximação de ampomédio, e,domesmomodo, ombase em

re-sultadosdearáternumérioobtidosomsimulaçõesdeMonteCarlo. Osresultados

mostramumatransiçãodefasedesegundaordemnoregimedenãoequilíbrio,aqual

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Abstrat

An irreversible and out of equilibrium system is analyzed by means of a stohasti

dynamisbasedonanapproahthataimstounderstandthemarosopieetsasa

onsequeneofthemirosopiharateristis. Thestudyfousonthekinetiphase

transitions that take plae by assuming a lattie model, intended to desribe the

stationarystatesbytheentropyprodution,whihharaterizethesystembehavior,

larifying the reversibility onditions. Thus a kineti Ising model with up-down

symmetry and underthe inuene of two ompeting Glauberdynamisis analized.

Inthissenseoneonsidersasquarelattieformedbytwosublattiesinteronneted,

whih are in ontat with two heat baths at dierent temperatures. The study is

madebymeansoftheanalytialapproahofamean-eldapproximationand Monte

Carlo simulations. The results show a phase transition of the seond order in the

steady state regime, whih is evidened by a logarithmi divergene of the entropy

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Agradeimentos

E emm, eis-me aqui, nalmente aquela pessoa quem ps-se natarefa de esrever

essaspalavrastodas,esperandoreetirnessa,asualíngua,asoisasquepelaminha

abeça passavam, da mesma forma que eu, em mim próprio, faço dia trás dia,

esperando me traduzir para ada um de voês, a quem agradeço...Daqui para à

frente omeçarei fazer uma inúmera série de injustiças, dada a impratiabilidade

de nomear todas as pessoas que em maior ou menor medida aportaram para fazer

possívela esrituradesse texto,para fazerde mimaquelequem eu sou. Entretanto,

em que pese ser injusto, vejo-me fortemente impulsado a o fazer, e nomear alguns

dentre todosessesquenomomentodeesreveressaslinhasonsigo-melembrar. Em

formaespeialminhaorientadora,TâniaTomé, impresindível,paraquemteria que

fazer uma seção espeial de agradeimento a parte, devido à sua ajuda, e apoio, e

aporte a nível de onheimento. Em seguida agradeço a Mário de Oliveira pelas

frutíferas disussõessobre otema deste trabalho.

Não por mais importante, mas por ser o primeiro que atravessou a minha mente,

agradeço à EPE, formadora de pessoas. Uma pequena luz no meio desse mundo

que empenha-se em fazer peinhas para essa vasta maquinaria da qual ninguém

aabasendo beneiário. Seguindo nesse aminhoaparee obúho, formoso ampus

daU.N., e essa última em forma própria, onstituindo um onjunto que lida entre

poderosasforçasexternasparaseonservaromoumentrodeensino,depesquisas,

ede sonhos. Larga vida a ela. Tambémà USP (omo não haveria de ser?), grande

instituiçãonasuatotalidade,ofereendoumtãoprazenteiroomoótimoespaçopara

estar, brinar,sonhar,estudar, trabalhar.

Jáestandoporai,também ao IFUSPeà CPG, tantoomo entidades quantoomo

ao pessoal neles envolvido; funionários, amigos, professores, olegas, grupo que

aaba-se misturando intrinadamente e para o qual om erteza arei urto, mas

doqual,omo tinha dito,nomearei alguns: Salinas,Vera, Roberto, Carmen, Silvio,

Éber, Luis, Antonio e seu afé, Roél, Jó, Hans, aoMera, David, Mayon, Enrique,

Luas...Impresindíveis, laro está, Mario, e Áttila. Todos eles ontribuíram em

formamais oumenoslara om aelaboração desse texto eaporte a nívelde

onhe-imento. Poresse ladotambémaparee CarlosViviesas, namedidaquese alguma

oisade físiotenho (efísio tambémé pessoa), éem vasta parte devido aele. Um

enormeabraço.

Agradeço às agenia de fomento e apoio à pesquisa, espeialmente à CAPES.

En-tretanto, vale dizer, agindo assim, em forma implíita agradeço a todo aquele que

foieépartedesteenormepais(que vaibemalémdas suasfronteiras físias),dentro

da sua ânsia em ser ainda maior, e sabendo que isso somente é possível por meio

da eduação e o aprimoramento do ensino em todos os níveis. Digo isso também

esperando que agindo em aordo om todas aquelas pessoas que em ada um dos

seus países promovem esse m, a Latino Améria todaonsiga-se aordardesse

le-targo tão duradouro, e assim reivindique a sangue que nutre este anto domundo.

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mosas,emujasruastenho aprendido,pormeio de batimentose sorrisos,aser essa

pessoa quem eu sou para oresto domundo.

Como parte importante, muito importante, apareem artistas, e esritores, que

onservam-me, não sei direito, se um pouo louo ou um pouo ordo, por que

o que na realidade é neessário e manter um pouo de ada, senão, um aaba fora

deste mundo, voando no váuo. Assim seguindo a tradição do Heaviest, agradeço

a Iron Maiden e Blind Guardian, à nouvelle vague e Truaut; também a William

Ospina,a iêniação, e bom, um montea mais.

Em forma geral a amigos na Colombia e família; enormemente a La Gata a El

Negro e a Yudy Volando...A Esperanza Plazas, quem uida mais de mim do que

eu próprio; e a aquele velho que um dia da sua vida, risando o rótulo de uma

erveja om assuas longas unhas,enontrou um pedainho doque ahou era parte

deumahistoria,edeidiu-seassimaompletar,fendendorótulotrásrótuloaté que,

nalmente, aabou por lavrar no frio vidrio e om desgastadas mãos, a historia da

(8)

1 Introdução 1

1.1 Irreversibilidade . . . 2

1.2 Parêntese histório . . . 5

1.3 Modelo . . . 5

2 Transições de fase 11 2.1 Critialidade. . . 13

2.2 Esala nita . . . 15

3 Evolução temporal de uma dinâmia markoviana 19 3.1 Equação mestra . . . 21

3.2 ReversibilidadeMirosópia . . . 24

3.3 Dinâmia para um sítio. . . 25

4 A produção de entropia para a equação mestra 29 5 Modelo om dinâmias ompetitivas 35 5.1 O modelo de Ising. . . 35

5.2 Dinâmia de Glauber . . . 37

5.3 Modelo emduas subredes . . . 40

5.4 Fluxo de entropia . . . 41

5.5 Modelo unidimensional . . . 44

6 Monte Carlo 47 6.1 Monte Carlo . . . 47

6.2 Método . . . 48

6.3 Resultados: Monte Carlo . . . 49

7 Campo Médio 65 7.1 Evolução temporaldas médias . . . 65

7.2 Resultados: CampoMédio . . . 69

7.3 Estabilidade da soluçãoestaionária . . . 73

(9)

Introdução

A termodinâmiatalvez tenha hegado a ser vista, entre as teorias propostas pela

físia,omoaquelaqueeramaisgeral,abrangendoumramoenormedemodelosque,

porsua vez, onsideravamuma amplaquantidade de diferentes araterístias, fato

que aabava-se reetindo nas diversas possíveis apliações. Além disso em termos

gerais sempre foi bastante útil já que, por um lado, era até erto ponto aeitável

enquanto a sua estrutura lógia e matemátia, e por outro, partindo de prinípios

laramenteestabeleidosnas basesdateoria,ofereiadesrições tantoquantitativas

omoqualitativasdesses modelos.

Esse grupo de sistemas para os quais a termodinâmia serve omo ferramenta, vai

desdesistemasambientaiseeossistemas,até modelos eonmiosenaneiros. No

entanto, não é estranho [1℄ pensar a termodinâmia omo possuindo um aráter

mais humano do que o resto das teorias em físia, talvez por ser uma teoria que

mantém omo um dos seus guias a impossibilidade de ertos artifíios ou

elabora-çõesteórias,omoasmáquinas perpétuas,semovendo dentrodas vidasotidianas

e ganhando um erto aráter duplo devido ao reeio que em parte investiu dentro

da omunidade. Mesmo assim essa não é a únia qualidade que a faz difíil de

aolherem plena onança, por que tambémtem-se ertas araterístiasomo as

pouas oasiões nas que ondições de suiênia são ofereidasomo base, apartir

dealgumahipótesefeitaom respeito aosistema,fatoqueemgeral onsegue

sobre-por,emformaontrastante, medianteumaquantidade signiativade ondiçõesde

neessidade.

Uma outra das suas launas, que é de fato a que nos onerne, é areer de um

método geral para a abordagem de sistemas irreversíveis. Essa araterístia, que

sempre foi fonte de desonforto, não obstante tenham-se feito diversas

aproxima-çõestantofoadasemperspetivasmarosópiasquantoemmirosópiasvisando

salvara viissitude,age pormeio da imposiçãode barreirasem formade ondições

de equilíbrio sobre ossistemasemestudo,restringindo emformanão depreiável os

tiposde sistemas a serem porela onsiderados.

Nãoéabsurdopensaratermodinâmiaomoumateoriaquedesreveaevoluçãodos

(10)

faz-seevidenteenquanto onsiderararestriçãoqueimpõede reonstituirestruturas

omumaertaomplexidade,omoseresvivos,logoapósteremsofridoumaquebra.

Porém, reparando no omportamento fatualdo mundo, essa não paree ser a linha

dasua ondução. Emdeorrênia disso, desde seus postulados até seus resultados,

sempre foi alvo de inúmeras suspeitas por parte dos ientistas e lósofos mais

ri-gorosos,e ainda, suas bases foramonsideradas omo possuindo araterístiastão

metafísias,quantonenhuma outra riaçãoda iênia.

Portanto, para ompor o quadro na sua totalidade, é neessária uma teoria, tão

ompleta em si mesma quanto na sua ligação om o já estabeleido, que esta vez

relate as omponentes esseniais da riação. Aqui entra a desempenhar um papel

de extrema relevâniauma grandeza omo a produção de entropia, já que pormeio

de uxos de energia e forças generalizadas permite, segundo seu exesso, forneer

parâmetros em estreita relação tanto om a taxa de riação de estrutura, omo

também om a sua estabilidade[2℄.

Noentanto, até agora omeçou-se ontar om uma base até erta medida sólida na

desrição dos sistemas de não equilíbrio, e assim ainda é maior o ampo do

des-onheido do que o orrespondente para o onheido, portanto os detalhes desses

proessos estão longe de serem entendidos em profundidade. Logo, ontinuasendo

preisoir mais longeno estudodos modelosde sistemasirreversíveis ede não

equi-líbrio,para assim poder obter informaçãoom respeito àformanaqual aestrutura

está seformando.

1.1 Irreversibilidade

Alémdosasosobertospelateoriadeequilíbrio,tambémpodem-seonsiderar

siste-masqueapresentamumlevedistaniamentoomrespeitoaesse. Nesses

onsideram-segrandezasomogradientesdetemperatura,queenontram-seligadasauxos(de

alor, por exemplo) por meio de relações lineares. No entanto,exemplos vindos da

hidrodinâmiaoudereaçõesquímias,têm mostrado omoasformas de análiseaté

agora desenvolvidas para esses modelos, ainda não onseguem desrever ao nível

requeridoos seusobjetosde estudo. Éessa ajustiativade trabalhoparatodoum

ramoda iênia,que visa,seja introduzindo-se nonível mirosópiodosistema ou

observando-oapartirdoseuomportamentomarosópio,pesquisaranatureza de

não equilíbrio.

Quiçáomoumaprimeiraonfrontação doproblema, poderia-sepensar numa

apro-ximaçãoaqualvisa provarquetão ingenuoresulta onsiderarasténias de estudo

jádesenvolvidaspara osasosde equilíbrio,easusar omopossíveisferramentasna

análisedos que não satisfazem a ondição. Quase om erteza, depoisda obtenção

dos primeiros resultados, perebe-se que um melhor modo de agir é introduzir a

pergunta pelas ondiçõessobre as quaisserá possível fazerextensivos os métodos e

teoriajáestabeleidospara oequilíbrio,atodos osoutros nos queasaraterístias

(11)

poderá serfeito,esurge assimaneessidade deonstruir tantoumateoria

termodi-nâmiaqueabordeoproblemadesdeassuaspropriedadesmarosópiasomouma

que enfrente o mesmo a partir dos seus onstituintes mirosópios. Entretanto,

abe dizer que a únia maneira em que isso tem hane de ser feito, é por meio

de uma proposta teória feita em sua totalidade onsiderando as partiularidades

dessessistemas que apresentam um omportamentode não equilíbrio.

Prigogine[2℄disriminadoistiposdesistemas. Segundoeleossistemasemequilíbrio

abrangemtodosaquelesemquemediantetransformaçõesreversíveisnãosão riadas

mudanças que possam signiar um distaniamento relevante do estado original.

Para osoutros,troasde energiaoumatériaestão sedesenvolvendo numaformatal

quenão é mais possível onsiderar asondiçõesde equilíbrioque são impostas pela

termodinâmia. No entanto, essas troas às vezes trazem onsigo a possibilidade

de formação de novas estruturas, o qual em grande parte onstitui a sua beleza

inerente.

Vale apena dizer osasos emque ashipóteses de equilíbriotermodinâmiopodem

ser impostas sem temor de estabeleer uma ligação fraa demais entre o modelo

e a natureza própria do sistema sobre estudo, são, na realidade, muito pouos.

Isto é devido a que, independentemente da área espeia doestudo, que pode ser

naneiro, biológio, físio, soial, ou quase qualquer um para o qual for possível

matematizar algumas propriedades, esse apresentará uma tendênia bastante forte

de realizar troas de grandezas (omo energia ou partíulas nos sistemas físios e

químios) a modos de uxos que fazem-no um sistema de não equilíbrio [3, 4℄, e

portanto deixando-o fora do esopo da maioria das ferramentas mais tradiionais

dispostas pelatermodinâmia.

Assim, entende-se que no intuito de onstruir uma teoria físia mais abrangente,

é preiso prourar as ferramentas que ajam de forma análoga àquelas já usadas

no equilíbrio. Nesse regime é possível obter resultados satisfatórios a partir de

um análise do omportamento apresentado, no aso de sistemas ferromagnétios,

pela suseptibilidade e pela magnetização, onde essa última age omo parâmetro

de ordem sinalizando a sua presença ou não e dessa forma a possível transição

de fase que está aonteendo. No entanto, sendo onebidas dentro de uma outra

natureza, desde a sua denição essas grandezas não foram onstruídas levando em

onta as possíveis araterístias irreversíveis dos sistemas, portanto abe esperar

que não tenham o melhor desempenho para o estudo desses últimos. Assim, essa

araterístia terá de ser mudada no viés de ampliar a área de ação om respeito

aos sistemasque inumbem.

Quantoàs transiçõesde fase, asgrandezas estatístias queforamomentadasagem

da seguinte maneira. As transições de fase de primeira ordem são reetidas numa

desontinuidadedoparâmetrodeordem. Noentanto,senãohouverdisontinuidade,

istoé,seoparâmetrodeordemseanularemformaontínua,disse-sequeatransição

éontinuaou de segunda ordem.

Oequilíbrio num erto sistema pode ser relaionado, e ainda matematizado,

(12)

umaráter relevantesempreque seestiverdefrontando omsistemas forado

equi-líbrio. Desse modo a produção de entropia estabelee-se omo uma boa opção de

ferramentaparaaanálise,porquantonessaanaturezadenãoequilíbrioaexpliita

ainda desde a sua denição, ao levar em ontatanto a forma em que são impostas

restrições sobre o sistema produzindo de maneira ontinua uxos, assim omo as

interações internas que riam utuações om variações no tempo dos parâmetros

quedesrevem seu estado,portanto deixando-osobre ondições quenão satisfazem

mais asaraterístias doequilíbrio.

Com base nodito nas linhas anteriores,a formafunional daprodução de entropia

reete a natureza dos uxos e das troas de energia. Como resultado, ao invés da

suseptibilidade e outras grandezas araterístias intimamente ligadas às

proprie-dades estatístias dos sistemas, na produção de entropia, o aráter irreversível do

sistemaéintroduzidoemformaompletamenteexpliita,permitindopormeiodessa

fazeruma analise espeia dessa propriedade.

Deformamaispreisa,paradesreverasmudançasdaentropianotempo,i.e.,ataxa

naqual é produzida, assim omo a maneira naqual a sua riação é emparte

om-pensada,vai-seestabeleerumaperspetivasegundo aqual,ada mudançarefere-se

a um determinado volume, devendo-se tanto a troas de entropia em formade

u-xos indo do interior para o ambiente, omo aos efeitos que são aarretados devido

à irreversibilidade própria do sistema, que podem ser vistos omo uma quantidade

positivaproduzida de entropia. Deve-se levar em onta, que o ontrário não

aon-tee,eportantonunaédestruída, emaordoomasegunda leidatermodinâmia.

Além disso, para proessos reversíveis essa quantidade de entropia torna-se nula,

adotando,portanto,umpapelsegundo oqualépermitidoanalisarodistaniamento

omrespeito aoequilíbrio,eobtendo, de igualforma,uma araterização espeía

dasgrandezasrelevantesaoestudo. Desdeum outropontode vista,astransiçõesde

fase são tais que a produção de entropia apresenta um omportamento semelhante

om aderivada dafunção livre de Helmholtz.

Mais um fator de ampla importânia e relevânia dentro de uma teoria em físia

que vise a desrição dos sistemas partindo de uma perspetiva marosópia, e de

formaindependenteàssuasaraterístiasomrespeitoaoequilíbrio,éaloalidade.

Portanto, igual ao que aontee om as equações da eletrodinâmia,

prouram-se relações envolvendo um ponto no espaço e um no tempo, e, alem disso, que

desrevam o omportamento global a partir desses, o que, neste aso, impliaria

umaentropiaproduzidaapartirde umnívelmirosópioeemestreitaligaçãoom

asaraterístiasloais dosistema.

No nível mirosópio, deve-se levar em onta que todas as interações são de

a-ráter reversível, e assim, aabam sendo as nossas limitações para realizar o estudo

ompleto nesse nível de detalhe, o que faz as araterístias irreversíveis surgirem

enquanto nível de estudo passarpara esalas marosópias. Nesse sentido, ao

pas-sardonívelmirosópioparaomarosópio,queétambémondeosexperimentos

(ou os mais realizáveis dentre eles) são feitos, deveria-se ontar om a ferramenta

(13)

tare-que pensar no outro método, omo, senão o mais fatívelsim, quando menos, uma

alternativanão somente de vital importânia,mas tambémneessária.

Daí a importânia em fazer da teoria da termodinâmia fora de equilíbrio, uma

teoriatão ompleta quantofor possível,de formaquepermitaa desrição de todos

esses modelos que até agora nuna onseguiram-se estudar, ou dos quais tínhamos

umonheimentouniamente parial. Issoquer dizer,quese omundo doequilíbrio

já e fasinante e harmoso, temos um outro maior, e até quiçámais harmoso, por

desobrir.

1.2 Parêntese histório

Talvez um dosprimeirosqueprourouumadesrição quantitativados sistemasfora

doequilíbriofoiWilliamThomson[5℄. Seutrabalhodesenvolveuasduasrelaçõesque

logoapósforamhamadasrelaçõesdeThomson,numadasquaisintroduzooneito

de ontribuições reversíveis, eluidando desde o omeço a estreita relação entre a

reversibilidade e o equilíbrio. No entanto, os fundamentos dos seus resultados não

foram ompletamente onstituídos por prinípios estabeleidos em estreita ligação

om um modelo teório satisfatório, omo é sugerido pelo próprio autor. Aliás,

omodepoisfoi onheido,a pertinênia das relaçõespode ser estabeleidaapartir

de prinípios rigorosos, omo é feito em [6℄, onde mostra-se que a segunda relação

obtém-se omo resultado de fazer expliita a invariânia temporal das equações

mirosópiasde movimento.

Emmeados doséulo dezenove Clausius introduziu o oneito de non-ompensated

heat queidentia-seomaproduçãode entropiaepossibilitaestabeleerumaerta

medida da irreversibilidade inerente ao sistema. Depois essa grandeza viu-se mais

amplamente relaionada om araterístias fundamentaisdo sistema. No entanto,

deve-se levar em onta, nesse momento já se ontava om ferramentas

oneitu-ais para estudar sistemas além dos já onsiderados pela termodinâmia. Assim,

usando a segunda lei da termodinâmia e leis meânias de onservação,

posteri-ormente enontrou-se uma possível formalização da ideia intuitiva que relaiona a

irreversibilidade om araterístias menosquantiáveis omo a uniformidade dos

omponentes dosistema[5℄.

1.3 Modelo

No presente trabalho vai-se abordar um sistema fora do equilíbrio sob a inuênia

de duas dinâmias agindo emonstante ompetição. O estudo será feito adotando

uma perspetiva estoástia a nível mirosópio, para, por meio do uso de uxos

de energia [2, 5, 6, 7℄, fazer uma análise da forma funional da taxa de variação

da entropia, grandeza que nesses sistemas produz-se em forma ontínua [8, 9, 10,

(14)

aevoluçãodosistemaasondiçõesparalhedesrevermedianteumaequaçãomestra,

queemgeral serve no estudode sistemasregidos poruma dinâmiamarkovianade

tempo ontínuo.

Nesse mesmo viés, é implantado um modelo de Ising sujeito à inuenia de dois

banhos térmios apresentados omo duas dinâmias de Glauber em ompetição, o

qual é feito atrelando duas subredes quadradas, homogêneas e isotrópias, e, ao

mesmotempo,impondoumaordemnoonjuntotalquetodososprimeirosvizinhos

deum sitio

i

,pertenenteasubrede denotadapor

1

, fazemparte daoutra subrede, denotada por

2

. Cada uma das sub redes será regida por um dos reservatórios, diferentemente do que aontee em [17℄ onde a esolha do banho é feita em forma

aleatóriaparaadasítio. Esse éummodelosimplesqueapresentaumatransição de

fasenum estado estaionário de não equilíbrio,omo foi mostradosegundo álulos

numériosporGarridoet al [18℄. Essefatoapresenta-se emaordoomaonheida

onjetura de Grinstein [19℄, relaçãoque aabou-se estabeleendo lançando mão da

teoriade renormalizaçãoem[20℄, ondeapresentam-seresultadospartindode álulo

de expoentes rítios. Assim, segundo a onjetura de Grinstein, representando um

fato importante a levar em onta, é que o modelo onsiderado a seguir respeita a

simetriaup-down,a qualrepresentauma invariâniaenquantouma troade estado

realizadaem todas avariáveis, pertenendo, portanto,à lassede universalidade do

modelode Ising noequilíbrio.

O modelo onsiderado mantém ondições que têm uma semelhança om aquele no

qualé estudada a instabilidade de Benard [21℄, o qual é mantido fora do equilíbrio

pormeiodeum gradientedetemperatura. Narealidade,esserepresentaum sistema

dissipandoenergia emforma ontínua, e oqual,no estadoestaionário,apresenta a

formaçãoespontâneade estrutura omumadada organizaçãoinerente. Ogradiente

de temperatura é gerado sobre uma amada de líquido, fazendo que a sua parte

inferiorestejaemontatoomumbanhotérmioaumadadatemperaturaenquanto

asuperior émantidasobreondiçõesanálogasmas omumatemperaturadobanho

inferior. Assim, por sua vez, é riada uma instabilidade que logo após reete-se

na estrutura emergente. Ao total tem-se um uxo de alor debaixo para ima,

sendo tal que, para magnitudes pequenas do gradiente o alor é transferido por

ondução, entretanto, logoapósuma erta diferença de temperatura, as utuações

reperutem na riação de uma orrente estaionária que aelera, tanto o proesso

de transferênia, omo o geração de entropia, mostrando-se em forma tal que o

alor passa a se transferir por onveção. As estruturas ordenadas apareem num

nível marosópio, e são mantidas por meio da ompensação entre as utuações

marosópias e os interâmbios de energia produzidos para om o meio externo

[7,22,23℄.

Propondoum modeloabordadonuma perspetivaestoástiasatisfazendoregrasde

evolução markovianas, que é elaborado a partir de um nível mirosópio visando,

porém, obter uma desrição om reexos anível marosópio,onsidera-se para a

(15)

noinstante de tempo

t

aseguinteexpressão

d

dt

P

(

σ, t

) =

X

σ

′

₆

_=σ

[

W

(

σ, σ

′

)

P

(

σ

′

, t

)

₋

W

(

σ

′

, σ

)

P

(

σ, t

)]

,

(1.3.1)

onde

W

(

σ

′

_{, σ}

₎

é ataxade transição doestado

σ

para o

σ

′

,eestá sendo onsiderada

omoagindo de forma globalsobre a rede. A partir de um outro ponto de vista, se

tiver-seumaprobabilidadedetransição

T

(

σ, σ

′

₎

doestado

σ

′

parao

σ

,então

W

(

σ, σ

′

₎

éataxade variaçãonotempodurante oqualadita transiçãoaontee. Oprimeiro

termo da expressão anterior (1.3.1) pode ser onsiderado omo o orrespondente à

aquisição de probabilidade,já que esse envolve a probabilidade de atingir o estado

σ

partindodesde o estado

σ

′

, e, assim mesmo, o segundo expressa o probabilidade

de retorno, ou de perda de probabilidade.

Nessa abordagem que tem-se esboçado, a irreversibilidade relaiona-se om a não

obediêniado balaneamentodetalhado, que relata a equivalênia entre as

possibi-lidades de o sistema enontrar-se no estado

σ

e ir para

σ

′

e a de fazer o inverso,

indodesse últimoparao primeiro[15℄. Poroutrolado, seosistemaéreversível,

en-tão noregime estaionárioem que

dP

(

σ

)

/dt

= 0

vale aondição de balaneamento detalhadopara qualquer par de estados

σ, σ

′

:

W

(

σ, σ

′

)

P

(

σ

′

) =

W

(

σ

′

, σ

)

P

(

σ

)

,

(1.3.2)

impliando:

X

σ

′

[

W

(

σ, σ

′

₎

_P

₍

_σ

′

₎

−

W

(

σ

′

_{, σ}

₎

_P

₍

_σ

_{)] = 0}

_.

(1.3.3)

Numviés metodológio,leva-se osistemaarepousar sobreumarede bidimensional,

em formatal que assoia-se o subíndie

i

om um determinado sítio darede,

satis-fazendo:

i

∈ {

1 . . . , N

}

, N

=

L

×

L

, em aordo om uma rede de

N

sítios. Esse é ummodelobastante simples,mas quemesmo assim pode ser relaionado aum sem

númerode sistemasom bastantenaturalidade [24℄.

É neessário dizer que o modelo e a sua satisfatória desrição dependem, tanto da

adequada denição da entropia, omo da também adequada, ou não, desrição do

sistema por meio da produção de entropia. Isto é, segundo uma dada hipótese

para a entropia, observar se a produção de entropia que surge em sua deorrênia

é adequada ou não na desrição do sistema. Dessa forma, na esolha feita para

denir a entropia onuem as duas araterístias a serem atendidas, porquanto

sempre que for feita numa forma aertada, esse fato igualmente vai-se reetir em

que o modelo omporte-se de aordo om o sistema. Num outro modo qualquer,

a desrição obtida poderá não ter nada a ver om o que está de fato aonteendo

no sistema. No aso que onerne este texto, a esolha orresponde à entropia de

Boltzmann-Gibbs,

S

(

t

) =

₋

kB

X

σ

P

(

σ, t

) ln [

P

(

σ, t

)]

(1.3.4)

onde

kB

é a onstante de Boltzmann. A partir da equação anterior, surge a

(16)

equação:

d

dt

S

(

t

) = Π

−

Φ

,

(1.3.5)

onde

Φ

representa o uxo de entropia do sistema para o ambiente. Essa grandeza deve se anular para sistemas noequilíbrio, que é entendido omo uma propriedade

apresentada nos estadospossíveisde umsistema,emformatalqueareversibilidade

é satisfeita. Isso, por sua vez, em termos da equação mestra (1.3.1), faz om que

ada termo da soma anule-se, e assim essa age em forma idêntia omo um todo,

portanto

d

dt

P

(

t

) = 0

. Em [8℄ isso é resolvido assumindo uma produção de entropia que pode ser esrita segundo uma expressão amplamente explorada (omoem [9℄),

queé:

Π(

t

) =

kB

X

σσ

′

W

(

σ, σ

′

)

P

(

σ

′

, t

) ln

W

(

σ, σ

′

₎

_P

₍

_σ

′

_{, t}

₎

W

(

σ

′

_{, σ}

₎

_P

₍

_{σ, t}

₎

,

(1.3.6)

juntoom uma orrespondentepara o uxo

Φ(

t

) =

k

B

X

σσ

′

P

(

σ

′

_{, t}

₎

_W

₍

_{σ, σ}

′

_{) ln}

W

(

σ, σ

′

₎

W

(

σ

′

_{, σ}

₎

=

kB

*

X

σ

′

W

(

σ, σ

′

) ln

W

(

σ, σ

′

₎

W

(

σ

′

_{, σ}

₎

+

σ

.

(1.3.7)

Vale a pena dizer que a produção de entropia segundo (1.3.6) satisfaz

Π

≥

0

, e em (1.3.7) a média deve ser tomada em relação a todas as possíveis ongurações

σ

.

No estado estaionário, levando em onta que as probabilidades não vão

depen-der mais do tempo depois do transiente passar, deve-se satisfazer

Π = Φ

, sendo assim

Π =

k

B

X

σ,σ

′

W

(

σ, σ

′

₎

_P

₍

_σ

′

_{) ln}

W

(

σ, σ

′

₎

W

(

σ

′

_{, σ}

₎

.

(1.3.8)

Portanto noaso aquitratado,onde assume-se um modelo de Isinginétio

estabe-leido sobre uma rede em duas dimensões e possuindo um tamanho

N

=

L

×

L

, o estadodo sistemaserá representado pormeio de

σ

=

_{

σ1, . . . , σN

_}

(1.3.9)

onde

σi

=

1 −

1 ,

(1.3.10)

éa variávelassoiada ao

i

-ésimo sítio.

Levandoemonsideraçãoaanterior,aproduçãode entropia,assimomoasua taxa

de ambio, é alulada mediante álulos numérios forneidos por simulações de

Monte Carlo, nas que para ada passo, um sítio

i

da rede é esolhido em forma

aleatóriae,logoem seguida,é aluladaaprobabilidadede umamudançadaforma

σi

_{→ −}

σi

aonteer. Em geral, essas mudanças se traduzem nas possíveis

tran-sições entre estados que são onsideradas, sendo representada da forma

σ

→

σ

i

(17)

fazendoenfase nosítioemquestão. Ofato de aonteer ounão uma transição, será

determinadoemformaaleatóriade aordoom asprobabilidadesde transição

rela-ionadasom as taxas de transição própriasà dinâmiade Glauber para primeiros

vizinhos,ondesão onsideradostantoasvariáveisde spinmaispróximas-quantoao

estadoadotadopelamaioriaemrelaçãoao própriodosítioemonsideração-, omo

tambémàtemperaturaquefoiassumidaparaoreservatóriotérmioemontatoom

(18)

(19)

Transições de fase

Oestudo do omportamentodos materiais,sempre que estejam submetidos a

dife-rentes ondições em formatal a produzir mudanças nas suas araterístias

intrín-seas, omo abe esperar, tem sido uma tarefa de suprema importânia dentro do

onheimento geral da natureza, mas também no que respeito ao desenvolvimento

detenologiaonerne. Issoéoquedefatoaonteenastransiçõesdefase,quealém

dissoenvolvemumagrandequantidadede proessos,envolvendodiferentes áreasda

químiaedafísiasegundoinúmerassubdisiplinasquetêmsurgidoapartirdessas,

masqueemigualformaenontram umaonuênia aodefrontarproblemasomo o

aquitratado. E éque,nalmente, omose negarà maravilhaque aontee durante

a observação da água esquentar, até, logo em seguida, se onverter em vapor por

ebulição,proesso ompletamentenaturale viveniadootidianamente.

Assim,desdeadéadade 1870,quandovande Waalsdesenvolveu oestudoreferente

aos estados líquido e gasoso [25℄, as transições de fase de sistemas em equilíbrio

termodinâmio têm sido estudadas amplamente. Já a partir do séulo XX, novas

teoriasforam estabeleidas envolvendo a ritialidadedos sistemas nas vizinhanças

do ponto rítio; isto é: o omportamento do objeto de estudo, numa perspetiva

baseadanagrandezaquelogoapósfoionheidaomoparâmetrodeordem (segundo

denominaçãofeitaporLandaunadéadade1930),àmedidaqueum parâmetro

de-terminadodo sistema(por exemplo,para modelos ferromagnétios,atemperatura)

estivesse se aproximando ao valor no qual a transição de fase iria aonteer. Já,

quantoas transiçõesde faseoorrendo emsistemas ferromagnétios,estudos

ome-çaram a ser feitos no m do séulo XIX e iniio do séulo XX, om as pesquisas

feitaspor Pierre Curriee Pierre Weiss.

Talvez a araterístia essenial desses estudos baseia-se nas similitudes

apresen-tadas no omportamento de ertas grandezas em relação a diferentes sistemas nas

vizinhanças da ritialidade. Isto é, analogias que podem ser feitas envolvendo

propriedades magnétias, por exemplo, omo a magnetização, a suseptibilidade e

o alor espeío, om outras desempenhando papéis semelhantes em sistemas de

outros tipos vindo, talvez, de áreas de pesquisa ompletamente diferentes, omo

(20)

Esse omportamentoapresentado pelo sistemaem termosda abordagemesolhida,

para as proximidades do ponto rítio, foi resumido em onjuntos de expoentes

denominados expoentes rítios, que foram disriminados em diferentes lasses de

universalidade segundo distinguiam-se por ter valores diferentes entre elementos

orrespondentes. Dessa formaofereiam a possibilidade de desrever diferentes

sis-temas, fosse devido a esses serem onstituídos por diferentes materiais,ou sendo a

diferençadevidaaumamudançafeita,nomesmomodelo,dealgumadassuas

ara-terístiasfundamentaisounas suas ondiçõesde simetria,pormeio desses grupos e

apartir doomportamentojá onheidoparaoutrossistemaspertenendoàmesma

lasse. Dessa forma obtêm-se uma vasta generalização a partir de um objeto de

estudo só,ou, informaçãogeral baseada em pesquisa feitasobre sistemas formados

pelas suas mínimas propriedadesonstitutivas.

Numa transição de faseferromagnétia, um materialom apaidade de apresentar

magnetização em ausênia de ampo externo, sempre que as suas ondições forem

taisqueatemperaturaprópriadosistema

T

estiveraimadatemperaturade Curie,

perde a dita propriedade, de forma que já não apresenta mais uma magnetização

espontânea. Isso pode ser visto desde uma perspetiva na qual sejam levadas em

ontaasaraterístiasdeordemedesordem presentes emadaumdosdois estados

nosistema.

Umadasabordagenspormeiodas quaisoestudodessefenmenoéenfrentado,

om-põe o que é de fato uma generalizaçãodo modelo de Ising. Dessa forma onsidera

elementos de dois tipos (

+

,

−

) onstituindo o sistema total e oupando sítios per-tenentes a uma rede regular de

d

dimensões. Visando obter um arranjo simétrio

do sistema, se referindo tanto à sua homogeneidade omo à sua isotropia, basta

obter uma organização dos elementos em aordo om uma distribuição uniforme,

já que assim a geometria própria da rede onsegue prevaleer. Essa araterístia

orresponde a um estado paramagnétio, no qual a distribuição aleatória dos dois

estadosdas variáveisaaba negando todapossibilidadede obter uma magnetização

não nula, enquanto essa é própria de um estado ferromagnétio, onde enxerga-se

uma ordem ao se onsiderar toda a rede, i.e., as variáveisse alinharem numa dada

direção. Isso faz que uma direção ganhe um aráter privilegiado e, dessa forma, o

sistemaperderáumadas suassimetriaslogoapósatingiratemperaturarítia. Isso

seonhee omo uma quebra espontânea da simetria.

Étambémnesseontexto queoparâmetrode ordemadquireumpapelfundamental

dentrodadesriçãodastransiçõesdefase,seonvertendo numaassinaturadoponto

noqual aontee a dita quebra de simetria. Em forma espeía adquire um valor

nãonulonos estadosaraterizados pelamenorsimetria[26℄. No asoomentado, a

(21)

2.1 Critialidade

Nasvizinhanças de umpontorítio,algumasdas grandezasrelevantesnadesrição

do sistema apresentam divergênias. Uma formade entender esse omportamento

surge doestudo das orrelaçõesdas utuaçõesentre sítios que seenontram a uma

distânia

r

. Emformamaispreisa,dentrodaenormidadedosistema,queéreetida

nomodelo aooadmitiromotendodimensõesinnitas, dentrodointervalomédio

em que as utuações das variáveis apresentam orrelações,

r

, determinam-se as

grandezasestatístiasrelevantesàompreensãodosistema,asquais, portantoserão

investidasdeumaráterloal. Assim,partindodoomportamentodessasgrandezas,

estabeleem-serelaçõesomaritialidadequepermitamumadesriçãoquantitativa

equalitativadoobjetoem estudo.

Nesse intuito usa-se o fato de que longe da ritialidade é possível estabeleer um

omprimentoaraterístioque desreve ertas propriedadesdosistema que

permi-tem parametrizá-lo. Fato quenão aontee no pontoritio [25℄.

A seguirvamos denotar por [27℄

f

(

x

)

_∼

x

λ

;

x

_→

0

+

(2.1.1)

sempreque

lim

x

→

0 +

ln

f

(

x

)

ln

x

=

λ

(2.1.2)

forsatisfeito.

Nossistemas magnétios, omo no modelo originalde Ising,o parâmetro de ordem

identia-se om a magnetização

m

, e assim

m

∼

ǫ

β

, fazendo

ǫ

= (

T

−

Tc

)

/Tc

. Prosseguindoomalgumasoutrasgrandezasaraterístiasquepodem serdenidas

apartir daenergia livrede Helmholtz

f

(

T, H

)

,

m

=

₋

∂f

∂H

;

χ

=

∂m

∂H

s

=

₋

∂f

∂T

;

c

V

=

T

∂s

∂T

.

(2.1.3)

Umaoutragrandeza queapresenta umomportamentodignode menção nas

proxi-midadesdatemperaturarítia,éasuseptibilidade aamponulo, sendo

arateri-zadaporuma divergênia daforma:

χ

_{∼ |}

T

₋

Tc

_|

−

γ

.

(2.1.4)

Para o alor espeio, em forma semelhante, tem-se obtido resultados mostrando

umadivergênia desrita peloexponente

α

omo segue

c

_∼

ǫ

−

α

.

(2.1.5)

(22)

fator dependente da temperatura e nas vizinhanças da temperatura rítia

Tc

, é

possível expliaras divergênias queaonteem para asdemais grandezas tomando

um papel na araterização do sistema. Esse omprimento age omo uma medida

doalaneque podem ter as orrelaçõesentre asutuações de spins, ou, emforma

semelhante (ver [25, 28℄), relatam o tamanho médio dos grupos de spins vizinhos

que oinidem no seu estado. É assim que por meio daquele, enquanto tivesse um

valor laramente denido, é possível lhe assoiar um omprimento araterístio

ao sistema, omo já tinha menionado. Nesse sentido, as divergênias no modelo

apareeriam omo sendo onsequênia da perda da existênia de um omprimento

araterístio.

Adeniçãodoomprimentodeorrelaçãopodeserfeitausandoaformafunionalda

funçãodeorrelaçãoentredoispontos; onretamente,amaneirapelaqualeladeai

nas proximidadesdopontorítio[28℄. Isso é feitodaforma aseguir, onsiderando

aseguinteexpressão para adita grandeza

Γ

ij

=

h

(

σ

i

− h

σ

i

)(

σ

j

− h

σ

j

i

)

i

,

(2.1.6)

orrespondendo, dessa forma, om o desvio médio dos spins om respeito à média,

ou,àsutuaçõesdasvariáveisde spin. Amaneiraomoelaseomportaparavalores

datemperaturadiferentes de

Tc

, desreve-se daforma

Γ(

r

_{, H, T}

₎

_∝

_e

−

r/ξ

_,

(2.1.7)

onde

ξ

éo omprimentode orrelação, que possui omportamentodaforma:

ξ

_{∼ |}

ǫ

_|

−

ν

_,

(2.1.8)

onde

ν

é o exponente ritio assoiado a

ξ

. Para um valor da temperatura igual à

temperatura rítia, a função de orrelação passa a apresentar um omportamento

assintótio da seguintemaneira,

Γ(

r

)

_∝

1 r

2+d

−

η

;

T

=

Tc,

(2.1.9)

onde aparee o exponente rítio

η

, araterístio da função de orrelação. Esse

exponente rítio,para oaso domodelode Isingemduasdimensõesapresentaum

valorde

1 /

4

,segundoasoluçãoexatadeOnsager[6℄. Jáoexponente

ν

,nessemesmo modelo, satisfaz

ν

= 1

. As relações anteriores adquirem importânia porquanto relatamoomportamentodeumagrandezapormeiodaqualépossívelentenderuma

grandeparte doomportamentorítio apresentado nos sistemas sob estudo.

Segundo uma outraformade abstraçãodo sistemae assuas araterístias, que no

entanto visaestabeleeruma base sobrea qualapoiarosresultados apresentados, e

queemigualformaevideniaalgumasoutraspropriedades erelaçõesdas grandezas

tratadas, onsideraa energialivrede Helmholtzassumindo queaquela omporta-se

daseguinte forma

f

(

T, H

) =

ǫ

a

ϕ Hǫ

b

(23)

oqual, lembrando(2.1.3),exige àsdemais grandezas envolvidas satisfazerem

m

=

ǫ

a+b

ϕ

′

(0) ;

_→

β

=

a

+

b

(2.1.11)

χ

=

ǫ

a+2b

ϕ

′′

_{(0) ;}

→

a

+ 2

b

=

₋

γ

(2.1.12)

c

=

a

(

a

₋

1)

ǫ

a

−

2

_ϕ

_{(0) ;}

→

a

₋

2 =

₋

α,

(2.1.13)

ondeparaestabeleerasrelaçõesàdireitatem-seavaliado

ϕ

a amponulo, obtendo

dessa forma expressões por meio das quais é possível estabeleer relações entre os

diferentes exponentes rítios,o qual foifeito à direitapara alguns dos asos.

2.2 Esala nita

Na realidade, as onsequênias de estudar o omportamento rítio de um sistema

estabeleendo um modelo baseado numa rede nita, têm araterístias próprias

que ontrastam levemente om o que por enquanto foi disutido, já que é o regime

dolimitetermodinâmio,sobreo qualestabeleem-se asondiçõesneessárias para

onstruir a teoriaque analisa oomportamentodo sistema,respeito à sua

ritiali-dade etransições de fase.

Com o intuito de eluidar as partiularidades deorrentes da nitude do sistema,

queonsideramosomodenido numarede

d

-dimensionaldeomprimentolinear

L

,

agoravaiseadotarumomportamentoregidoemformageralpelaleideesala

f

(

L, T

) =

L

−

ψ

f

∗

L

θ

ǫ

,

(2.2.1)

onde

ǫ

=

T

−

Tc

.

(2.2.2)

Umavezoloadanopapelaquelabasesobreaqualassumem-seosregimentosgerais

dateoriade esalanita, vai-sevoltarpara aimportâniade

ξ

dentrodaexpliação

dada para as divergênias em algumas das grandezas de importânia, segundo o

estudoestatístioemrelaçãoaoseu omportamentorítio. Ateoriade esalanita

éo meiono qualé formuladaa hipótese segundo aqual, oomportamentosingular

dos sistemasfísiossurge omo onsequêniadas orrelações de longo alaneentre

asutuações dos spins [28℄.

De fato, o que por meio dessa é proposto, é que o omprimento de orrelação

ξ

é a únia grandeza relevante quanto ao omportamento mirosópio singular dos

sistemasfísioestatístiosonerne. Dessaformaédeterminadaaesalaaser

onsi-deradaomoresponsávelpelosurgimentodassingularidadesnasgrandezastratadas,

sendodesprezadasasesalas mínimasemada umdos sistemas,eonsiderando

pe-quenos grupos ou aglomerados. Levando em onta a equação (2.1.7), uma forma

de entendero omportamento rítiosurge aoonsiderar que longeda ritialidade

aindaé possível estabeleer um omprimento araterístionosistema [25℄.

Oomportamento

ξ

∼ |

ǫ

|

−

ν

(24)

noroldabase sobreaqualateoriadeesalanitaéestabeleida. Portanto,levando

emontaarelaçãoexistenteentre adita divergênia para

ξ

,eostamanhos

arate-rístios dos pequenos grupos alinhadosde spins, pode-se dizer que ao se afastar da

ritialidadeseu valorhaverá de ser pequenoemomparação omo tamanhotípio

das dimensões do sistema

L

, não sendo assim para qualquer outro aso, onde é de

seesperar que osdois valores sejamomparáveis. Oque é

ξ

_∼

L

_∼

ǫ

−

ν

_.

(2.2.3)

Emformasemelhanteaoasoanterior,podemser denidosexponentes rítios,que

são relaionados om grandezas igualmente relevantes no intuito de araterizar a

lasse de universalidade do modelo. Nesse sentido, medianteo exponente

β

visa-se

desrever o omportamento do parâmetro de ordem em relação à ritialidade, e

portanto

m

_{∼ |}

ǫ

_|

β

.

(2.2.4)

Vê-se assim, omo num modelo de rede a nitude passa a desempenhar um papel

importantedentrodosresultados,assimomoaressaltarasdiferençasemrelaçãoaos

sistemas no limite termodinâmio. Dessa formaintroduz-se o parâmetro

θ

(o qual

háde ser determinado),assumindo quepara ovalordatemperaturaorrespondente

om atemperaturarítia oparâmetro de ordemsatisfaz

m

∼

L

−

θ

. Assim

m

=

L

−

θ

_m

∗

₍

_Lǫ

ν

₎

_,

(2.2.5)

oqualpode ser entendido[29℄aoassumirqueé possívelesreveraprobabilidadede

teruma dadamagnetização

s

,surgidaemdeorrêniade umadeterminada

ongu-ração

σ

numa rede de tamanho

L

d

, omo

PL

(

s

) =

L

θ

P Lǫ

˜

ν

, sL

β/ν

,

(2.2.6)

onentrando a dependênia no parâmetro

L

dentro do primeiro fator,

L

θ

. No

entanto, tem-sea liberdadede impruma normalização a

PL

, eportanto

1 =

L

θ

Z

˜

P Lǫ

ν

, sL

β/ν

ds

=

L

θ

L

β/ν

Z

˜

P

(

Lǫ

ν

, y

)

dy,

(2.2.7)

emformatalque, assumindo

1 =

L

θ

−

β/ν

F

˜

(

Lǫ

ν

)

,

(2.2.8)

segue-se

θ

=

β

ν

.

(2.2.9)

Essa expressão pode ser usada na desrição de outras grandezas. Correspondendo

om ointeresseexposto neste texto, para amagnetização

m

obtêm-se:

m

=

L

β/ν

Z

s

P Lǫ

˜

ν

, sL

β/ν

ds

=

L

−

β/ν

Z

_y

_P

_˜

₍

_Lǫ

ν

_{, y}

₎

_dy,

(25)

ou,

˜

m

(

Lǫ

ν

) =

Z

y

P

˜

(

Lǫ

ν

, y

)

dy

m

=

L

−

β/ν

_mL

_˜

₍

_Lǫ

ν

₎

_.

(2.2.11)

(2.2.12)

Assim, noponto rítiotem-se

m

=

AL

−

β/ν

_,

(2.2.13)

noqualintroduziu-seaonstante

A

,aqualnãoapresentaumaráteruniversal.

Pormeiodeummétodográo,eonsiderandoaequação(2.2.13),pode-seenontrar

ovalor dos exponentes envolvidos, o qualse faz evidente aoonsiderar

ln(

m

) =

₋

β

ν

ln

L

+ ln

A.

(2.2.14)

A equação(2.2.14) éa equação de uma reta uja pendente é

−

β/ν

.

Seguindo um proedimento om as mesmas araterístias do anterior, pode ser

obtidoo omportamento assintótio de outrasgrandezas, omo por exemplo

mn

=

_h

s

n

_i

,

(2.2.15)

onde

s

=

1 L

d

X

i

σ

i

(2.2.16)

seomporta omo

mn

_∼

L

−

nβ/ν

.

(2.2.17)

Umagrandeza importantepara araterizar omodelo é asuseptibilidade, denida

por

χ

=

L

d

[

s

2

− h

s

_i

2

]

(2.2.18)

quese omporta omo

χ

_∼

L

γ/ν

(2.2.19)

onde

γ

=

dν

−

2 β

.

Uma grandeza que se apresenta omo uma ferramenta de grande utilidade é o

u-mulantede Binder, o qual pode ser esrito daforma

u

= 1

₋

h

s

4

_i

3 _h

s

2

_i

2

,

(2.2.20)

ouainda,

u

=

3 h

s

2

_i

2

_{− h}

_s

4

_i

3 _h

s

2

_i

2

,

(26)

expressão da qual pode-se pereber a sua relação om o umulante de quarta

or-dem.

Apartirdasexpressões(2.2.17)e(2.2.20),faz-seevidentequeoumulantedeBinder

paraa temperatura rítia,torna-seindependentede

L

. Isto quer dizer, queurvas

daquelepara diferentes tamanhos darede eomo funçãoda temperatura, devem se

ruzarna temperatura queorresponde om o seu valor rítio. Essa araterístia

permite por meio de métodos gráos, obter um resultado possuindo uma preisão

numériasatisfatória para ovalorda temperaturarítia.

Alémdoanteriormentedito,observa-seapartirdasexpressões(2.2.20),(2.2.21),que

paravaloresdatemperaturaorrespondentes omumestadodesordenado,sendotal

que naquele os momentos de segunda e quarta ordem satisfazem a relação

h

s

4

_{i ∼}

3 _h

s

2

_i

2

,ovalorde

u

orrespondenteseránulo, enquantoporoutrolado,para estados

relaionadosom uma fase ordenada, osmomentos assoiados apotenias pares do

(27)

Evolução temporal de uma dinâmia

markoviana

No estudo que está se desenvolvendo, a equação mestra adquire vital importânia

porquanto éuma ferramentaadaptada om grandepreisãoaos modelosque

repre-sentam os sistemas aqui analisados, e, assim mesmo, fornee informação deles que

permite a adequada desrição dos proessos observados. Isto quer dizer, que em

diversasoasiõestem-se usadosatisfatoriamenteofereendo umadesrição aertada

das transições de fase e a ritialidade em modelos de rede regidos por dinâmias

estoástiasemarkovianas,tantoparasistemasqueevoluemparaoequilíbrioomo

para estados estaionário de não-equilíbrio. Como onsequênia se faz igualmente

importante, tanto fazer uma desrição que evidenie a sua natureza desde a sua

própriaorigem, omo, emigual maneira,desenvolver emforma amplaalgumas das

suas propriedades mais araterístias. É nesse intuito que as linhas seguintes

-estabeleidas seguindo de perto o desenvolvimento feito em [26℄- adquirem a sua

razãode ser.

Dada a natureza aleatória inerente aos proessos estoástios, assim omo um

mo-delo no qual se disponha de uma variável dependente do tempo

t

,

Xt

, tomando

valoresemformasuessivaaadapassodotempoomtamanho

τ

,satisfaz-seofato

de que oproesso é araterizadonasua totalidade, para um determinadoinstante

t

=

nτ

, peladistribuição de probabilidadeonjunta,

P

(

x0, x1, . . . , xn

)

,

(3.0.1)

onde

x

i

=

X

τ

, namedida emque,dessa maneiradeixa-se apossibilidadepara ada umdosvalorestomadoseminstantesprévios,deinueniarnoresultado nal.

A distribuiçãoondiional de probabilidade

P

n+1

(

x

n+1

|

x

0

, . . . , x

n

)

(3.0.2)

é a distribuição de probabilidade de obter um erto estado

xn+1

, dada a obtenção

dos

n

anteriores

{

xi

}

n

(28)

No entanto, devido ao aráter markovianoda dinâmia imposta, vemos que a ação

da história anterior ao estado

xn+1

sobre as probabilidades, resume-se somente à

queé exerida pelo imediatamenteanterior (i.e.

x

n

−

1

), e assim, a expressão (3.0.2)

reduz-se à:

P

n+1

(

xn+1

|

xn

)

.

(3.0.3)

Porém, usando apropriedade segundo aqual dados dois estados

A

e

B

, a

probabi-lidade para o par

(

A, B

)

satisfaz

P

(

A, B

) =

P

(

A

|

B

)

P

(

B

)

, o qual, aliás, pode ser generalizadoemformareorrenteparaum número

n

deelementos. Portanto,a

pro-babilidadeparaoestado

xn+1

serealizarnoinstantedetempo

n

+1

,emonsequênia daadeia suessiva

x

0

, x

1

, . . . , x

n

, pode ser esrita omo

P

n+1

(

x

0

, x

1

, . . . , x

n

, x

n+1

) =

P

(

x

n+1

|

x

0

, . . . , x

n

)

P

(

x

0

, . . . , x

n

)

=

_P

(

xn+1

_|

xn

)

_P

(

x0

, . . . , xn

)

.

(3.0.4)

Poroutra parte,aprobabilidadede ter num dado instante

n

′

oestado

xn

′

,pode ser pensada omo a distribuição marginal de probabilidade para o estado

xn+1

obtida

a partir da distribuição esrita à esquerda na expressão (3.0.4), o qual é fatível

esquematizarda formaa seguir

Pn+1

(

xn+1

) =

X

x

n

· · ·

X

x

0

P

n+1

(

x0

, . . . , xn+1

)

=

X

x

n

· · ·

X

x

0

P

n+1

(

xn+1

|

xn

)

P

n

(

x0, . . . , xn

)

=

X

x

n

· · ·

X

x

0

P

n+1

(

x

n+1

|

x

n

)

P

n

(

x

n

|

x

n

−

1

)

P

n

−

1

(

x

0

, . . . , x

n

−

1

)

.

=

X

x

n

· · ·

X

x

0

P

n+1

(

x

n+1

|

x

n

)

. . .

P

1

(

x

1

|

x

0

)

P

0

(

x

0

)

=

X

x

n

· · ·

X

x

1

P

n+1

(

x

n+1

|

x

n

)

. . .

P

1

(

x

1

)

.

=

X

x

n

P

n+1

(

x

n+1

|

x

n

)

P

n

(

x

n

)

.

(3.0.5)

Para o qualfoi levado em ontaque

X

x

n−

1

P

n

(

x

n

|

x

n

−

1

)

P

n

−

1

(

x

n

−

1

) =

P

n

(

x

n

)

,

(3.0.6)

assimomo a normalizaçãoque devem satisfazeras probabilidades.

Assumindoprobabilidadesondiionaisindependentesdotempoépossívelfazer

(29)

fazendo ênfase no fato indiado, mas também salientando o surgimento da matriz

estoástia

T

queadquireomoelementos

(

T

)

ij

adaumdostermos

T

(

xi

|

xj

)

.

Vindo a partir de elementos que têm aráter de probabilidades, ada um dos

ele-mentos

(

T

)

ij

satisfaz, tanto o fato de ser maior que zero, omo que a soma sobre

aquele junto om os demais elementos pertenentes ao arranjo onformado pela

oluna

n

(

T

)

_ij

₀

o

(om

j0

xo), há de ser para um

j0

qualquer, sempre a mesma

onstanteigual aunidade, reetindoanormalizaçãodas probabilidadedetransição.

Oomentado pode ser expressado daforma

X

n

(

T

₎

nm

= 1

(

T

₎

nm

≥

0 ∀

n, m.

(3.0.8)

A equação anterior, na realidade expressa o fato de que, dado um estado

m

, ao

somartodasaspossíveistransiçõesparaosdemaisestadosapartirdaquele, estãose

onsiderandotodas ospossíveisaonteimentosquepodem tomarlugar, eportanto

oresultado háde ser semprea normadoonjuntode probabilidades, sem importar

aoluna emquestão.

A matriz estoástia traz mais uma opção de esrever a equação (3.0.5), na qual

essa relaçãotoma um aráter ompletamentematriial,a saber

P

_ℓ

₌

T

ℓ

P

0

,

(3.0.9)

na qual ada um dos termos referindo-se às probabilidades é pensado omo sendo

um vetoroluna. Isso pode-se esrever omo

Pℓ

(

n

) =

X

m

T

ℓ

(

n, m

)

P0

(

m

)

.

(3.0.10)

Um dos objetivos prinipais de toda essa abordagem que se tem seguido, é obter

a probabilidade estaionária, a qual, dentro desse ontexto, dene-se por meio da

seguinteexpressão

TP

₌

P

_.

(3.0.11)

3.1 Equação mestra

Por enquanto, hegou-se numa araterização da matriz estoástia

T

, onde ada

umdos seus elementos

T

(

n, m

)

orresponde aumaprobabilidadede transição entre dois estados a serem assumidos um em seguidado anterior (probabilidade

ondii-onal de um,

n

, dado o outro,

m

). Porém, e omo oisa mais nenhuma se tivesse

dito a respeito, não embora as transições sempre foram onsideradas entre estados

arbitrários, já fossem diferentes ou não (devido que na realidade, sempre que as

regrasondiionando omodelo não advertissemoontrario, étão fatíveleaertado

(30)

onsiderado), vale a pena imaginar um aso para o qual a permanênia no mesmo

estado estivesse vedada, já que, omo será visto mais adiante, dessa forma

ganha-se erta liberdade que proporiona uma ampla versatilidade operaional. Assim,

paraaproveitaroquetinhasedesenvolvidoarespeitodamatrizestoástia

T

,seria

preiso reonsiderar as equações, entretanto, tomando uidado de fazer enfase na

neessidadede serestringirao aso no qual

m

6 =

n

.

No intuito de fazer uso do espaço que surge devido à imposição omentada, os

elementospertenentes àmatriz estoástiaque são envolvidos eque onernem às

transiçõesentre um mesmoestado, vão seesrever omo:

T

(

n, n

) = 1

₋

τ

Ω(

n

)

,

(3.1.1)

onde

τ

é introduzido para levar em onta o lapso de tempo transorrido durante a

transição. Usando a normalização que ada uma das olunas de

T

a de satisfazer

(3.0.8), e separando asontribuições vindo dotermo

n

=

m

, obtêm-se

X

n

6 =m

T

(

n, m

)

₋

τ

Ω(

m

) = 0

_→

Ω(

m

) =

1 τ

X

n

6 =m

T

(

n, m

)

.

(3.1.2)

Dessaformasobressaioaráterde

Ω(

n

)

omoumataxaàqualaonteemas transi-ções,fatoqueaentua-sedenindoadaumtermosdagrandezaàdireitadaequação