Universidade Federal de Minas Gerais
Instituto de Ciˆ
encias Exatas
Departamento de Mat´
ematica
Disserta¸c˜ao de Mestrado
O M´
etodo da M´
edia
para equa¸
c˜
oes diferenciais n˜
ao autˆ
onomas
Eduardo Carlos Cabrera Z´u˜niga
Orientadoras:
Sˆonia Pinto de Carvalho e Sylvie Marie Oliffson Kamphorst Leal da Silva
O M´
etodo da M´
edia
para equa¸
c˜
oes diferenciais n˜
ao autˆ
onomas
Banca examinadora:
Prof. Antˆonio Augusto Gaspar Ruas.
Prof. C´esar de Souza Eschenazi.
Prof. Sˆonia Pinto de Carvalho.
Prof. Sylvie Marie Oliffson Kamphorst Leal da Silva.
Este exemplar corresponde `a reda¸c˜ao
final da disserta¸c˜ao defendida por
Eduardo Carlos Cabrera Z´u˜niga.
Belo Horizonte, 23 de Fevereiro de 2010.
Profs. Sˆonia Pinto de Carvalho e
Sylvie Marie Oliffson Kamphorst Leal da Silva. Orientadoras
Disserta¸c˜ao apresentada ao Instituto de
Ao Deus. `
A minha fam´ılia,
em especial a minha irm˜a Nora,
Agradecimentos
`
As minhas orientadoras Sˆonia e Sylvie, por acreditar em mim e especialmente pelo apoio
e orienta¸c˜ao nos momentos mais complicados e por compartilhar a alegria a cada avance.
Aos prezados professores Alberto, Adrian, Aniura, Carlos, C´esar, Gaspar, Viktor,
Loretta, Emilio e Sergio.
Aos queridos funcion´arios Andr´ea e Valdney.
Aos meus amigos das moradias I e II, em especial ao Juscelino, Gladston, Ezio, Jose,
Mirlene, Morgana, Traquis, Alexandra, Vivian e Mariane.
Aos colegas da p´os-gradua¸c˜ao, em especial ao Heleno e ao Reginaldo Braz.
`
A Narjara, por dar felicidade e amor ao meu cora¸c˜ao.
`
A Nora, minha irm˜a e melhor amiga, muito obrigado pelo carinho, apoio, compreens˜ao e
Conjetura:
Se sempre plantarmos o melhor da vida,
recolheremos ainda na dor,
alegria, afeito e vida verdadeira.
Resumo
Baseados nos trabalhosGeodesics on vibrating surfaces and curvature of the normal
fam-ily, de Mark Levi e Qiran Ren, e Geometry and physics of averaging with applications,
de Mark Levi, apresentamos o m´etodo da m´edia. Com este, ´e poss´ıvel estudar equa¸c˜oes
diferenciais ordin´arias n˜ao-autˆonomas e peri´odicas no tempo, via equa¸c˜oes autonˆomas a
menos de um erro que pode ser controlado segundo uma precisˆao desejada.
Seguindo as ideias de Mark Levi e Qiran Ren em Geodesics on vibrating surfaces and
curvature of the normal family, usamos o m´etodo da m´edia para demonstrar que uma
vibra¸c˜ao normal e peri´odica de uma superf´ıcie induz em uma massa pontual que se
movi-menta livremente sobre ela uma acelera¸c˜ao tangencial `a superf´ıcie que ´e proporcional `a
Abstract
Based on the papers Geodesics on vibrating surfaces and curvature of the normal family,
by Mark Levi and Qiran Ren, andGeometry and physics of averaging with applications,
by Mark Levi, we present the averaging method. This allow to study time periodic
non-autonomus ordinay differential equations using autonomous differential equations with
errors that can be controled at given precision.
Following the ideas of Mark Levi and Qiran Ren in Geodesics on vibrating surfaces and
curvature of the normal family, we use the averaging method to prove that a normal and
periodic vibration of a surface induces on a mass moving freely on it, a tangencial
accel-eration to the surface. This accelaccel-eration is proportional to the curvature of the normal
Sum´
ario
1 O m´etodo da m´edia para EDO´S 10
1.1 Preliminares . . . 10
1.2 Primeira mudan¸ca de coordenadas . . . 14
1.3 Segunda mudan¸ca de coordenadas . . . 16
1.4 Mudan¸cas sucessivas at´e ordem k . . . 17
2 Aplica¸c˜ao do m´etodo em superf´ıcies vibrando com o tempo 21 2.1 Preliminares . . . 21
2.2 Superf´ıcies vibrando com o tempo . . . 29
Introdu¸
c˜
ao
O enfoque central deste trabalho ´e o estudo de equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias
n˜ao-autˆonomas, peri´odicas no tempo. Seu conte´udo est´a baseado nos trabalhos Geodesics
on vibrating surfaces and curvature of the normal family, de Mark Levi e Qiran Rei, [5] e
Geometry and physics of averaging with applications, de Mark Levi, [6].
No cap´ıtulo 1, expomos o m´etodo da m´edia. Ele nos fornece mudan¸cas de coordenadas
que transformam equa¸c˜oes da forma
Z′ =δF(Z, τ)
onde Z ∈ R6, τ ∈ R, δ ´e um parˆametro fixo, F : R6 ×R → R6 ´e limitada, C∞ com
derivadas de todas as ordens limitadas, peri´odica de per´ıodoT emτ e com m´ediaF (z) =
1
T
RT
0 F (z, τ)dτ em equa¸c˜oes da forma
zk′ =δF(zk) +δ2F1(zk) +...+δkFk−1(zk) +O δk+1
.
Essa transforma¸c˜ao nos permite estudar o sistema original como um sistema autˆonomo
mais um erro que pode ser controlado segundo uma precis˜ao desejada. Al´em disso, as
solu¸c˜oes da nova equa¸c˜ao e as solu¸c˜oes da mesma equa¸c˜ao desprezando-se os termos
O δk+1 est˜ao pr´oximas num tempo finito, desde que as respectivas condi¸c˜oes iniciais satisfa¸cam condi¸c˜oes de proximidade que estabeleceremos no corpo do trabalho.
Na se¸c˜ao 2.1, aplicamos o m´etodo do cap´ıtulo 1 ao sistema
X′ = δY
Y′ = δ[g(X, Y) +A(τ)f(X)]
Na se¸c˜ao 2.2, abordamos o problema tratado no artigo Geodesics on Vibrating Surfaces
and Curvature of the Normal Family, de Mark Levi e Qiran Ren, [5]. Consideramos uma
superf´ıcie vibrando periodicamente e uma massa pontual livre na superf´ıcie. A vibra¸c˜ao
da superf´ıcie gera uma acelera¸c˜ao na massa na dire¸c˜ao normal `a superf´ıcie. Nosso objetivo
´e entender porque essa acelera¸c˜ao normal pode produzir trajet´orias n˜ao normais.
Obtemos a superf´ıcie vibrante considerando uma fun¸c˜ao ϕ : R3 → R com ∇ϕ 6= 0,
tal queϕ´e limitada, C∞com derivadas de todas as ordens limitadas e uma fun¸c˜ao real s
que ´eC2, limitada, peri´odica de per´ıodoε, de m´edia nula, tal ques(0) = 0 e cuja imagem est´a contida no conjunto de valores regulares de ϕ. A equa¸c˜ao ϕ(x) = s(t) define a superf´ıcie vibrante tal que para cadat∈R ela ´e uma superf´ıcie diferenci´avel.
Aplicamos os resultados da se¸c˜ao 2.1 `a equa¸c˜ao diferencial que descreve o movimento
de uma massa pontual na superf´ıcie vibrante e a equa¸c˜ao obtida revela que de fato h´a
uma acelera¸c˜ao tangente `a superf´ıcie, al´em da acelera¸c˜ao normal produzida pela geometria
da superf´ıcie (no texto faremos uma compara¸c˜ao com o caso est´atico onde as trajet´orias
s˜ao as geod´esicas).
A interpreta¸c˜ao geom´etrica do problema ´e enriquecida observando-se que a vibra¸c˜ao
pro-duz uma fam´ılia de curvas normais `a fam´ılia de superf´ıcies e que a acelera¸c˜ao tangencial ´e
Cap´ıtulo 1
O m´
etodo da m´
edia para EDO´S
Consideremos o sistema
Z′ =δF(Z(τ), τ) (1.1)
ondeδ ´e um parˆametro fixado com 0< δ <1 e F :R6×R→R6, com (Z, τ) 7→F(Z, τ)
uma fun¸c˜ao de per´ıodo 1 emτ, limitada,C∞, com derivadas de todas as ordens limitadas.
Estas condi¸c˜oes garantem, pelo teorema de Picard, solu¸c˜oes ´unicas para cada condi¸c˜ao
inicial dada (veja [1]).
Neste cap´ıtulo mostraremos que podemos aplicar sucessivas mudan¸cas de coordenadas
no sistema (1.1) para obter um novo sistema m´edio.
1.1
Preliminares
Nesta se¸c˜ao apresentaremos resultados b´asicos que permitem transformar o sistema (1.1)
num sistema chamado sistema m´edio.
Defini¸c˜ao 1.1. A m´edia em τ de uma aplica¸c˜ao F : (Ω ⊂ Rn)×R → Rn cont´ınua e
peri´odica em τ, de per´ıodo T, ´e denotada por F (z) e ´e dada por
F (z) = 1
T
Z T
0
F (z, τ)dτ
Lema 1.1. SejaF : (Ω⊂Rn)×R→Rn, cont´ınua, limitada, peri´odica emτ, Lipschitz em
z, com constante de Lipschitz igual aK, e F(z) = T1 RT
0 F (z, τ)dτ sua m´edia temporal.
Demonstra¸c˜ao. SeK ´e a constante de Lipschitz deF, em rela¸c˜ao `a vari´avelz, temos que
|F(z1, σ)−F(z2, σ)|6K|z1−z2| e, portanto,
F(z1)−F (z2) = 1 T Z T 0
F (z1, σ)dσ−
1
T
Z T
0
F (z2, σ)dσ
= 1 T Z T 0
[F (z1, σ)−F (z2, σ)]dσ
6 1 T Z T 0 max
06σ6T|F(z1, σ)−F (z2, σ)|dσ 6 1
T
Z T
0
K|z1−z2|dσ=K|z1−z2|
Lema 1.2. Se F : (Ω⊂Rn)×R→Rn ´e limitada, peri´odica em τ, C∞ com derivadas de
todas as ordens limitadas, ent˜aoF (z)´eC∞ e tem derivadas de todas as ordens limitadas.
Demonstra¸c˜ao. ComoF ´eC∞, pela regra de Leibniz, temos queDnF (z) = 1
T
RT
0 ∂znF (z, τ)dτ,
ou seja,F tem derivadas de todas as ordens. Al´em disso, comoF tem derivadas limitadas, qualquer T1 RT
0 ∂znF (z, τ)dτ tamb´em ´e limitada, o que prova queF (z) tem derivadas
limitadas.
Lema 1.3. Seja f :R→R uma fun¸c˜ao cont´ınua e peri´odica, com per´ıodo T, tal que
f = T1 RT
0 f(σ)dσ = 0 (f tem m´edia nula) e seja G : Rn → Rn tal que a aplica¸c˜ao
E : Rn×R → Rn definida por E(z, τ) = f(τ)G(z) satisfaz as hip´oteses do lema 1.2.
Ent˜ao, existe τ0 ∈[0, T] tal que
Z τ
0
E(z, σ)dσ−E(z) =
Z τ
τ0
f(σ)dσ
G(z)
onde Rτ
τ0f(σ)dσ tem m´edia,
Rτ
τ0f(σ)dσ, nula.
Demonstra¸c˜ao. E suficiente provar o lema para´ τ ∈ [0, T] pois Rτ
0 f(σ)dσ ´e uma fun¸c˜ao
peri´odica de per´ıodoT. Isto segue do seguinte fato: Se considerarmosRτ+T
τ f(σ)dσ, temos que d dτ
Rτ+T
τ f(σ)dσ =f(τ +T). d(τ+T)
dτ −f(τ) =
0, isto ´e, Rτ+T
τ f(σ)dσ =
RT
0 f(σ)dσ = 0. Assim,
Rτ+T
0 f(σ)dσ =
Rτ
0 f(σ)dσ +
Rτ+T
τ f(σ)dσ =
Rτ
0 f(σ)dσ+ 0 =
Rτ
0 f(σ)dσ.
ComoRτ
0 f(σ)dσ ´e cont´ınua em [0, T], pelo teorema do valor m´edio para integrais, existe
τ0 ∈[0, T], tal que
Rτ0
0 f(σ)dσ =
Rτ
Assim,
Rτ
0 E(z, σ)dσ−E(z) =
Rτ
0 f(σ)dσ
G(z)−hRτ
0 f(σ)dσ
i
G(z) =hRτ
τ0f(σ)dσ
i
G(z).
Resta mostrar queRτ
τ0f(σ)dσ = 0. Notemos que
Rτ
τ0f(σ)dσ =
Rτ
0 f(σ)dσ−
Rτ0
0 f(σ)dσ =
Rτ
0 f(σ)dσ−
Rτ
0 f(σ)dσ. Logo
Rτ
τ0f(σ)dσ =
Rτ
0 f(σ)dσ−
Rτ
0 f(σ)dσ = 0.
Lema 1.4. SejamF :R6×R→R6, uma fun¸c˜ao limitada, de per´ıodo1na ´ultima vari´avel,
C∞, com derivadas de todas as ordens limitadas e h
1 definida por
h1(z, τ) =
Z τ
0
F(z, σ)−F (z)
dσ−
Z τ
0
F(z, σ)−F (z)
dσ (1.2)
Ent˜ao, a fun¸c˜ao h1 ´e peri´odica de per´ıodo 1 em τ, limitada, C∞ com derivadas de todas
as ordens limitadas e h1(z) = 0.
Demonstra¸c˜ao. Se definirmos G(z, τ) porG(z, τ) =Rτ
0 F (z, σ)−F (z)
dσ, ent˜aoG(z, τ) ´e peri´odica de per´ıodo 1 em τ, pois
G(z, τ + 1) =
Z τ+1
0
F(z, σ)−F (z)
dσ
=
Z τ
0
F (z, σ)−F (z)
dσ+
Z τ+1
τ
F (z, σ)−F (z)
dσ
= G(z, τ) +
Z 1
0
F (z, σ)−F (z)
dσ=G(z, τ) +
Z 1
0
F(z, σ)dσ−
Z 1
0
F (z)dσ
= G(z, τ) +F (z)−F (z) =G(z, τ).
Observamos que a m´edia de G, denotada por G(z) =R1
0 G(z, τ)dτ ´e uma aplica¸c˜ao que
s´o depende dez.
Portanto, h1(z, τ) = G(z, τ)−G(z) est´a bem definida e ´e peri´odica de per´ıodo 1 em
τ.
h1 tem m´edia nula, pois h1(z) =
R1
0 h1(z, τ)dτ =G(z)−G(z) = 0.
Para mostrar queh1 ´e limitada, observamos primeiro que
|G(z, τ)| 6
Z 1
0
max
06τ61
F (z, τ)−F (z)
dτ 6 max
06τ61
F (z, τ)−F (z)
G(z)
6 max
06τ61
F (z, τ)−F (z)
|h1(z, τ)| 6 |G(z, τ)|+
G(z)
62 max
06τ6T
Portanto, G(z, τ), G(z) e h1 s˜ao limitadas, porqueF e F s˜ao limitadas.
Resta mostrar que h1 ´e C∞ com derivadas de todas as ordens limitadas.
Para mostrar que as derivadas de h1 s˜ao limitadas, observamos que para todo k ∈ N
tem-se
∂zkF (z) = D(k)F (z) =R1
0 ∂
k
zF (z, σ)dσ =∂zkF (z) ´e cont´ınua (Leibniz) e limitada. Ent˜ao, ∂k
zG(z, τ) =
Rτ
0 ∂zk
F (z, σ)−F (z)
dσ =Rτ
0
h
∂k
zF (z, σ)−∂zkF (z)
i
dσ´e limitada e cont´ınua e
∂k
zG(z) = D(k)G(z) =
R1
0 ∂zk
Rτ
0
F(z, σ)−F (z)
dσdτ = ∂k
zG(z) tamb´em ´e limitada e
cont´ınua.
∂τkG(z) = 0.
∂τG(z, τ) =F (z, τ)−F (z) ´e limitada, C∞ com derivadas de todas as ordens limitadas.
Segue-se que ∂τkG(z, τ) ´e limitada,C∞ com derivadas de todas as ordens limitadas.
∂τkh1(z, τ) =∂τk−1
F (z, τ)−F (z)
´e limitada e cont´ınua.
∂k
zh1(z, τ) =
Rτ
0
h
∂k
zF(z, σ)−∂zkF (z)
i
dσ−∂k
zG(z) ´e limitada e cont´ınua.
Para k = 1, temos que ∂zh1(z, τ) e ∂τh1(z, τ) s˜ao limitadas e cont´ınuas, logo h1 ´e C1.
Al´em disso, |Dh1|6|∂zh1|+|∂τh1|, ou seja, Dh1 ´e limitada.
Parak = 2, provar queh1´eC2, ´e o mesmo que provar que Dh1 ´eC1. Ent˜ao, sabendo que
∂2
zh1(z, τ), ∂τ2h1(z, τ) e∂z∂τh1(z, τ) =∂τ∂zh1(z, τ) =∂z
F(z, τ)−F (z)
s˜ao limitadas
e cont´ınuas, derivando a igualdade Dh1(z, τ).( , ) = ∂zh1(z, τ).( ) + ∂τh1(z, τ).( ),
temos que as derivadas parciais de Dh1 s˜ao limitadas e cont´ınuas. Os mesmos
argumen-tos usados para o caso k= 1, mostram que h1 ´eC2. D(2)h1 ´e limitada, pois as derivadas
parciais deDh1 s˜ao limitadas.
Para demonstrar que para qualquer k ∈ N, D(k)h1 ´e limitada e cont´ınua, basta aplicar
recursivamente o mesmo processo realizado nos dois casos anteriores, pois as derivadas
parciais deD(k−1)h
Lema 1.5. Sejam h1 como no lema 1.4 e H1 :R6×R→R6×R definida por
(Z, τ) =H1(z, τ) = (z+δh1(z, τ), τ). (1.3)
Se 0< δ < sup|1∂
zh1|, ent˜ao H1 ´e uma mudan¸ca de coordenadas.
Demonstra¸c˜ao. A derivada de H1
DH1(z, τ) =
I6×6+δ∂zh1 δ∂τh1
01×6 1
7×7
´e invers´ıvel para todo (z, τ)∈ R6×R, se o determinante da matriz I6×6 +δ∂zh1(z, τ) ´e
n˜ao nulo. Assim, seδ < sup|1∂
zh1|, existe [I6×6+δ∂zh1(z, τ)]
−1
e, pelo Teorema da Fun¸c˜ao
Inversa,H1 ´e um difeomorfismo local C∞.
Para provar que H1 ´e um difeomorfismo global provaremos, inicialmente, que H1 ´e um
homeomorfismo global. PondoH1 = (z, τ) +δ(h1(z, τ),0) s´o precisamos analisar os
pon-tos do dom´ınio de H1 onde podemos perder a injetividade, ou seja, pontos do dom´ınio
tais que H1(za, τa) =H1(zb, τb), isto ´e, τa =τb. Isso implica que s´o precisamos analisar
nos pontos que tˆem z, a primeira vari´avel, diferente. Como o intervalo [0,1] ´e compacto eh1 ´e peri´odica em τ, ent˜ao para todo τ ∈R, existe τM ∈[0,1], tal que
|δ(h1(zb, τ),0)−δ(h1(za, τ),0)| 6 |δh1(zb, τM)−δh1(za, τM)| 6 δsup|∂zh1| |(za, τ)−(zb, τ)|.
Portanto, se 0 < δsup|∂zh1| < 1, δ(h1(z, τ),0) ser´a contra¸c˜ao e, pelo Teorema da
Perturba¸c˜ao da Identidade [3], H1 ser´a um homeomorfismo global. Assim, temos que
se 0 < δ < sup|∂1
zh1|, ent˜ao H1 ´e um difeomorfismo global, ou seja, uma mudan¸ca de
coordenadas.
Defini¸c˜ao 1.2. Dizemos que uma aplica¸c˜aoG(z, τ, δ)´e da ordemδi, e denotamosG(z, τ, δ) =
O(δi),δ >0,i>0, se existem constantesδ∗ eM > 0tais que, para todo(z, τ)no dom´ınio da aplica¸c˜ao e para cada0< δ 6δ∗, |G(z, τ, δ)|6M δi.
1.2
Primeira mudan¸
ca de coordenadas
Nesta se¸c˜ao e nas que se seguem aplicaremos os resultados da se¸c˜ao 1.1 a sistemas da
Proposi¸c˜ao 1.1. Sejamh1 :R6×R→R6a fun¸c˜ao obtida no lema 1.4 eH1 :R6×R→R6
a mudan¸ca de coordenadas obtida no lema 1.5. Nessas coordenadas, o sistema
Z′ =δF(Z, τ) se transforma na equa¸c˜ao
z′1 =δF (z1) +δ2F1(z1, τ) +O δ3
(1.4)
onde F1(z1, τ) =
∂zF (z1, τ).h1(z1, τ)−∂zh1(z1, τ)F (z1)
´e limitada, peri´odica em τ, C∞ com derivadas de todas as ordens limitadas, e ´e Lipschitz.
Demonstra¸c˜ao. Usando a mudan¸ca de coordenadasH1na equa¸c˜ao diferencialZ′ =δF(Z, τ),
temos
d
dτ [z1+δh1(z1, τ)] =δF (z1+δh1(z1, τ), τ),
de onde
[I+δ∂zh1(z1, τ)]z′1 = δF(z1+δh1(z1, τ), τ)−δ∂τh1(z1, τ)
z′1 = [I+δ∂zh1(z1, τ)]−1[δF(z1+δh1(z1, τ), τ)−δ∂τh1(z1, τ)],
onde
[I +δ∂zh1(z1, τ)]−1 =
I−δ∂zh1(z1, τ) + (δ∂zh1(z1, τ))2−(δ∂zh1(z1, τ))3+...
.
Usando o desenvolvimento de Taylor paraF (z1+δh1(z1, τ), τ), temos
[δF(z1+δh1(z1, τ), τ)−δ∂τh1(z1, τ)] =
δF(z1) +δ2∂zF(z1, τ).h1(z1, τ) + ...
.
Portanto,
z1′ =δF(z1) +O δ2
. (1.5)
Mais especificamente,
z′1 =δF (z1) +δ2F1(z1, τ) +O δ3
, (1.6)
onde F1(z1, τ) =
∂zF (z1, τ).h1(z1, τ)−∂zh1(z1, τ)F (z1)
.
Pelas condi¸c˜oes de diferenciabilidade de F, F eh1, temos queF1 ´e limitada, peri´odica de
per´ıodo 1 em τ, C∞ com derivadas de todas as ordens limitadas. Como a desigualdade
do valor m´edio se cumpre nos dom´ınios convexos e a derivada ´e limitada, teremos queF1
1.3
Segunda mudan¸
ca de coordenadas
Podemos repetir o procedimento da se¸c˜ao anterior para obter, atrav´es de uma nova
mu-dan¸ca de coordenadas, outra equa¸c˜ao equivalente `a original em que F1 seja substitu´ıdo
porF1.
As fun¸c˜oes h2 eH2 definidas por
h2(z, τ) =
Z τ
0
F1(z, σ)−F1(z)
dσ−
Z τ
0
F1(z, σ)−F1(z)
dσ (1.7)
e
H2(z2, τ) = z2+δ2h2(z2, τ), τ
= (z1, τ), (1.8)
tˆem as mesmas propriedades das fun¸c˜oes obtidas nos lemas 1.4 e 1.5, quando 0 < δ <
min
1 sup|∂zh1|;
1
√
sup|∂zh2|
.
Lema 1.6. Consideremos a mudan¸ca de coordenadas (z1, τ) =H2(z2, τ). Nessas
coorde-nadas, a equa¸c˜ao z′
1 =δF(z1) +δ2F1(z1, τ) +O(δ3) se transforma na equa¸c˜ao
z2′ =δF(z2) +δ2F1(z2) +δ3F2(z2, τ) +O δ4, (1.9)
onde F2(z2, τ) = ∂z2F (z2, τ).[h1(z2, τ), h1(z2, τ)]−∂zh1(z2, τ)∂zF (z2, τ).h1(z2, τ)
+ (∂zh1(z2, τ))2F (z2) +DF (z2)h2(z2, τ)−∂zh2(z2, τ)F (z2)
´e limitada, peri´odica de per´ıodo 1 em τ, C∞ com derivadas de todas as ordens limitadas, e ´e Lipschitz.
Demonstra¸c˜ao. A prova de que F1 ´e C∞ com derivadas limitadas ´e an´aloga `a prova do
lema 1.2. Aplicando a mudan¸ca de coordenadas H2 na equa¸c˜ao (1.4), temos que
d dτ
z2+δ2h2(z2, τ)
=δF z2+δ2h2(z2, τ)
+δ2F1 z2+δ2h2(z2, τ), τ
+O δ3 z2′ +δ2∂zh2(z2, τ)z2′ =δF(z2) +δ2F1(z2, τ)−δ2∂τh2(z2, τ) +O δ3
.
Dessa maneira,
z2′ +δ2∂zh2(z2, τ)z′2 =δF (z2) +δ2F1(z2) +O δ3
. (1.10)
[I+δ2∂zh2(z2, τ)] para δ suficientemente pequeno, obtendo
z2′ =
I−δ2∂zh2(z2, τ) +O δ4 δF(z2) +δ2F1(z2) +O δ3
= δF (z2) +δ2F1(z2) +O δ3
−δ3∂zh2(z2, τ)F (z2)−δ4∂zh2(z2, τ)F1(z2) +O δ5
= δF (z2) +δ2F1(z2) +δ3F2(z2, τ) +O δ4
(1.11)
onde, se considerarmos as partes do processo em que aparecem somente termosδ3, temos que
F2(z2, τ) = ∂z2F(z2, τ).[h1(z2, τ), h1(z2, τ)]−∂zh1(z2, τ)∂zF (z2, τ).h1(z2, τ)
+ (∂zh1(z2, τ))2F (z2) +DF (z2)h2(z2, τ)−∂zh2(z2, τ)F (z2).
Pelas condi¸c˜oes de diferenciabilidade deF,F,h1 eh2, temos que F2 ´e limitada, peri´odica
de per´ıodo 1 emτ, C∞ com derivadas de todas as ordens limitadas, e ´e Lipschitz.
1.4
Mudan¸
cas sucessivas at´
e ordem
k
Fazendo sucessivas mudan¸cas de coordenadas, podemos mostrar que ´e poss´ıvel
transfor-mar a equa¸c˜ao
Z′ =δF (Z, τ) em
zk′ =δF(zk) +δ2F1(zk) +...+δkFk−1(zk) +O δk+1
. (1.12)
Para cadai, de i= 1 at´e k, a mudan¸ca de coordenadas ´e dada por
Hi(zi, τ) = (zi−1, τ) = zi+δihi(zi, τ), τ
,
onde hi(zi, τ) = Rτ
0
Fi−1(zi, σ)−Fi−1(zi)
dσ−R0τFi−1(zi, σ)−Fi−1(zi)
dσ.
Podemos mostrar, como o fizemos anteriormente, que:
CadaFi−1(z) ´eC∞, tem derivadas limitadas e portanto ´e Lipschitz.
Cada hi ´e limitada, tem per´ıodo 1 em τ, C∞ com derivadas limitadas e tem m´edia nula
em τ.
Se 0< δ < δi = min
1≤j≤i
1
j
√
sup|∂zhj|
Para cadai, encontramos um novo sistema equivalente ao inicial, e repetimos o processo at´e obtermos
zk′ =δF(zk) +δ2F1(zk) +...+δkFk−1(zk) +O δk+1
.
As mudan¸cas ser˜ao compostas em uma ´unica mudan¸ca, considerando que 0< δ < δ∗ onde
δ∗ = min
1≤j≤k
1
j
√
sup|∂zhj|
.
A partir de agora, denominaremos a equa¸c˜ao (1.12) de sistema m´edio.
Para facilitar os c´alculos, usamos
Lema 1.7. Seja zi = (xi, yi)∈R6 em cada mudan¸ca de coordenadas Hi, com
zi−1 =zi+δihi(zi, τ),
16i6k, onde k ´e o n´umero de mudan¸cas feitas. Ent˜ao z′
i, x′i e yi′ s˜ao da ordem δ.
Demonstra¸c˜ao. Das hip´oteses consideradas e das equa¸c˜oes equivalentes achadas nas proposi¸c˜oes
1.1 e 1.6, temos que z′1 e z2′ s˜ao da ordem δ. Recursivamente, se zi′−1 ´e da ordem δ ao efetuar k mudan¸cas, ent˜ao cada zi′ ser´a da ordem δ, pois
zi′−1 =zi′+δi∂zhi(zi, τ)z′i+δi∂τhi(zi, τ)
I+δi∂zhi(zi, τ)
z′i = O(δ)−δi∂τhi(zi, τ) z′i =
I+δi∂zhi(zi, τ)
−1
O(δ)−δi∂τhi(zi, τ)
.
Levando em conta a restri¸c˜ao j´a mencionada para inverter a matriz em cada mudan¸ca,
temos que
zi′ =
I +O δi O(δ)−δi∂τhi(zi, τ)
.
Portanto, zi′ ´e da ordem δ e, em consequˆencia, x′i e y′i tamb´em s˜ao da ordem δ.
Para comparar a diferen¸ca das solu¸c˜oes entre o sistema m´edio e seu correspondente
sistema m´edio truncado, isto ´e, o sistema m´edio sem os termosO δk+1
, temos o seguinte
resultado
Teorema 1.1. Sejam zk e ξk, respectivamente, solu¸c˜oes das equa¸c˜oes
zk′ = δF(zk) +δ2F1(zk) +...+δkFk−1(zk) +O δk+1
(1.13)
tais que |zk(τ0)−ξk(τ0)|6 O δk
, 0 < δ < δ∗ = min
1≤j≤k
1
j
√
sup|∂zhj|
, onde F e cada Fi,
16i6k, s˜ao Lipschitz. Ent˜ao, existe Kk >0 tal que
|zk(τ)−ξk(τ)|6O δk
para 06τ −τ0 6
1
δKk .
Demonstra¸c˜ao. Primeiro, j´a que F e cada Fi tˆem constantes de Lipschitz, podemos con-siderarF +δF1 +...+δk−1Fk−1 como uma aplica¸c˜ao com constante de Lipschitz
Kk =K0+ (δ∗)K1+...+ (δ∗)k−1Kk−1, pois
F +δF1+...+δk−1Fk−1
(zk)−
F +δF1+...+δk−1Fk−1
(ξk)
6 F (zk)−F (ξk)
+δ
F1(zk)−F1(ξk)
+...+δk−1|Fk−1(zk)−Fk−1(ξk)|
= K0|zk−ξk|+δK1|zk−ξk|+...+δk−1Kk−1|zk−ξk|
6
h
K0+ (δ∗)K1+...+ (δ∗)k−1Kk−1
i
|zk−ξk|.
Assim, a existˆencia e unicidade de solu¸c˜oes da equa¸c˜ao m´edia truncada (1.14) est´a
asse-gurada.
Escrevemos o resto, que ´e da ordem δk+1, comoδk+1Rk(zk, τ;δ), onde |Rk|6Mk zk′−ξk′ =δ F +δF1+...+δk−1Fk−1
(zk)− F +δF1+...+δk−1Fk−1
(ξk)
+δk+1Rk(zk, τ;δ).
Integrando desdeτ0 at´eτ, obtemos
zk(τ)−ξk(τ) =zk(τ0)−ξk(τ0)
+
Z τ
τ0
δ
F +δF1+...+δk−1Fk−1
(zk)− F +δF1+...+δk−1Fk−1
(ξk)
dσ
+
Z τ
τ0
δk+1Rk(zk, σ;δ)dσ
de onde
|zk(τ)−ξk(τ)|6|zk(τ0)−ξk(τ0)|
+ Z τ τ0
δ F +δF1+...+δk−1Fk−1
(zk)− F +δF1+...+δk−1Fk−1
(ξk)
dσ + Z τ τ0
δk+1Rk(zk, σ;δ)dσ
Aplicando o lema de Gronwall, temos:
|zk(τ)−ξk(τ)|6
δk+1Mk δKk
+|zk(τ0)−ξk(τ0)|
eδKk(τ−τ0)−δ
k+1M
k δKk
e, portanto,
|zk(τ)−ξk(τ)|6|zk(τ0)−ξk(τ0)|eδKk(τ−τ0)+
δkMk Kk
eδKk(τ−τ0)−1
ou seja, desde que|zk(τ0)−ξk(τ0)|6O δk
, nossa aproxima¸c˜ao ser´a da ordem δk, para
06τ −τ0 6 δK1
k.
Observa¸c˜oes
1. A constante de Lipschitz paraF +δF1+...+δk−1Fk−1 estabelece o tempo de validade
da aproxima¸c˜ao. Se Kk for muito grande, o tempo de validade pode ser pequeno.
2. Nem sempre poderemos aplicar o processo um n´umero ilimitado de vezes para obter
uma aproxima¸c˜ao t˜ao perto quanto quisermos da solu¸c˜ao do sistema equivalente, porque
depois de aplicarmos o processo, δk Mk
Kk ou e
δKk(τ−τ0)−1 podem tender a infinito. Dessa
forma, n˜ao poder´ıamos definir um m´aximo δ∗ para os δ, ou a diferen¸ca entre as solu¸c˜oes dos sistemas m´edio e m´edio truncado n˜ao estaria limitada.
Cap´ıtulo 2
Aplica¸
c˜
ao do m´
etodo em superf´ıcies
vibrando com o tempo
2.1
Preliminares
Nesta se¸c˜ao aplicaremos o m´etodo da m´edia a sistemas do tipo
X′ = δY
Y′ = δ[g(X, Y) +A(τ)f(X)] (2.1)
com X, Y ∈ R3, A : R → R fun¸c˜ao C∞, peri´odica de per´ıodo 1, f : R3 → R3 e g : R3 ×R3 → R3 aplica¸c˜oes limitadas, C∞ com derivadas de todas as ordens limitadas e
δ >0 um parˆametro fixo suficientemente pequeno. Lembramos que, no sistema 2.1, X =X(τ) e Y =Y (τ).
Teorema 2.1. Nas condi¸c˜oes acima, o sistema (2.1) ´e equivalente ao sistema
x′ = δy+O δ5
y′ = δg(x, y) +δAf (x) + 1 2δ
3V2∂2
yg(x, y) [f(x), f(x)]−δ3V2Df(x)f(x) +O δ4
,
onde A = R1
0 A(τ)dτ e V2 =
R1
0 V2(τ)dτ, com V (τ) =
Rτ
τ01 A(σ)−A
dσ e τ01 ´e tal
queV = 0.
Demonstra¸c˜ao. Definimos
F :R3×R3×R→R6
F (X, Y, τ) =
Y
e, se considerarmos Z = X Y
e Z′ =
X′
Y′
em R6, temos que o sistema (2.1) pode ser
escrito como
Z′ =δF(X, Y, τ). (2.3)
Notamos que F ´e peri´odica de per´ıodo 1 em τ, limitada, C∞ com derivadas de todas as
ordens limitadas. Dessa forma, podemos aplicar o m´etodo da m´edia ao sistema (2.3).
Assim, do sistema (2.1) e sabendo que F (z) = R1
0 F (z, σ)dσ ´e a m´edia do campo F
com per´ıodo 1 emτ, temos (usaremos momentaneamente z, x e y no lugar dez1,x1, y1)
Z τ
0
F (z, σ)−F (z)
dσ =
0
Rτ
0 A(τ)−A
dσf(x)
.
Se definirmos
h1(z, τ) =
0
Rτ
0 A(τ)−A
dσf(x)
− 0 Rτ
0 A(τ)−A
dσ f(x)
,
pelo lema (1.3), existe realτ0A tal que
h1(z, τ) =
0
V (τ)f(x)
, ondeV (τ) = Z τ
τ0A
A(τ)−A
dσ e V = 0. (2.4)
Para fazer a primeira mudan¸ca de vari´aveis, usamos o difeomorfismo (Z, τ) = (z+δh1(z, τ), τ).
Se considerarmosz =
x y
, nas novas coordenadas, Z se escreve como
Z =
x
y+δV (τ)f(x)
. (2.5)
Assim, o sistema 2.1 se transforma no sistema
X′ =x′ =δY =δ(y+δV (τ)f(x))
Y′ =y′+δV′(τ)f(x) +δV (τ) (Df(x).x′) =δg(x, y +δV (τ)f(x)) +δA(τ)f(x).
(2.6)
Usando a expans˜ao de Taylor para g,
g(x, y+δV (τ)f(x)) = g(x, y) +∂yg(x, y) (δV (τ)f(x))
+ 1
2∂
2
yg(x, y) [δV (τ)f(x), δV (τ)f(x)] +O δ3
e comoV′ =A(τ)−A ex′ =δy+δ2V (τ)f(x), na segunda equa¸c˜ao de 2.6, temos que, ap´os a primeira mudan¸ca de coordenadas, o sistema 2.1 se transforma no sistema
x′1 =δy1+δ2V (τ)f(x1)
y1′ =δg(x1, y1) +δAf(x1) +δ2V (τ)∂yg(x1, y1) (f(x1))−δ2V (τ)Df(x1)y1
+1 2δ
3V2(τ)∂2
yg(x1, y1) [f(x1), f(x1)]−δ3V2(τ)Df(x1)f(x1) +O δ4
,
(2.7)
onde voltamos a usar x1,y1, z1 no lugar dex, y, z.
Comparando a equa¸c˜ao de nossa primeira mudan¸ca z′
1 = δF(z1) +δ2F1(z1, τ) +O(δ3)
com a equa¸c˜ao (2.7), podemos reconhecer que:
F(z1) =
y1
g(x1, y1) +Af(x1)
e F1(z1, τ) =
V (τ)f(x1)
V (τ) [∂yg(x1, y1) (f(x1))−Df(x1)y1]
.
Pelo lema 1.5, a mudan¸ca de vari´aveis somente ´e v´alida se 0< δ < sup|1∂
zh1|, onde
∂zh1(z, τ) =
0 0
V (τ)Df(x) 0
.
Para referˆencias futuras, denominaremos a desigualdade 0< δ < sup|1∂
zh1| de condi¸c˜ao 1.
A m´edia de F1(z, τ), denotada por F1, ´e zero, pois a m´edia de V ´e zero.
Para fazer a segunda mudan¸ca de coordenadas H2(z2, τ) = (z2+δ2h2(z2, τ), τ) no
sis-tema (2.7), momentaneamente renomeamosz2, x2 e y2 por z, xe y, e temos que
z1 =z+δ2h2(z, τ). (2.8)
Pelo lema 1.3, existe τ0S real, tal que a equa¸c˜ao (1.7) fica
h2(z, τ) = S(τ)
f(x)
∂yg(x, y) (f(x))−Df(x)y
, (2.9)
com S(τ) =Rτ
τ0S V (σ)−V
dσ =Rτ
τ0S V (σ)dσ , poisV = 0 e, al´em disso, S = 0. Mais detalhadamente, (2.8) ´e:
x1 =x+δ2S(τ)f(x)
y =y+δ2S(τ) [∂yg(x, y) (f(x))−Df(x)y].
Assim, por um lado, derivando (2.10):
x′1 = x′+δ2V (τ)f(x) +δ2S(τ)Df(x)x′
y1′ = y′+δ2V (τ)∂yg(x, y) (f(x)) +δ2S(τ)∂xyg(x, y) [x′, f(x)]
+δ2S(τ)∂y2g(x, y) [y′, f(x)] +δ2S(τ)∂yg(x, y) (Df(x) (x′))−δ2V (τ)Df(x)y
−δ2S(τ)D2f(x) [x′, y]−δ2S(τ)Df(x)y′.
Por outro lado, com 2.7 e 2.10, temos:
x′1 = δ y+δ2S(τ) [∂yg(x, y) (f(x))−Df(x)y]
+δ2V (τ)f x+δ2S(τ)f(x)
= δy+δ3S(τ)∂yg(x, y) (f(x))−δ3S(τ)Df(x)y
+δ2V (τ)
f(x) +Df(x) δ2S(τ)f(x)
+O δ3
y′1 = δg x+δ2S(τ)f(x), y+δ2S(τ) [∂yg(x, y) (f(x))−Df(x)y]
+δAf x+δ2S(τ)f(x)
+δ2V (τ)
∂yg x+δ2S(τ)f(x), y+δ2S(τ) [∂yg(x, y) (f(x))−Df(x)y]
f x+δ2S(τ)f(x) −δ2V (τ)Df x+δ2S(τ)f(x)
y+δ2S(τ) [∂yg(x, y) (f(x))−Df(x)y]
+1 2δ
3V2(τ)∂2
yg x+δ2S(τ)f(x), y+δ2S(τ) [∂yg(x, y) (f(x))−Df(x)y]
f x+δ2S(τ)f(x)
, f x+δ2S(τ)f(x) −δ3V2(τ)Df x+δ2S(τ)f(x)
f x+δ2S(τ)f(x)
+O δ4
= δg(x, y) +δgx(x, y) δ2S(τ)f(x)
+δ∂yg(x, y) δ2S(τ) [∂yg(x, y) (f(x))−Df(x)y]
+O δ5
+δAf(x) +Df(x) δ2S(τ)f(x)
+O δ3+δ2V (τ)∂yg(x, y) (f(x))
−δ2V (τ)Df(x) (y) + 1 2δ
3V2(τ)∂2
yg(x, y) [f(x), f(x)]−δ3V2(τ)Df(x)f(x) +O δ4
Juntando as igualdades correspondentes ax′1 e y′1, obtemos:
x′ = δy−δ2S(τ)Df(x)x′+δ3S(τ)∂yg(x, y) (f(x))−δ3S(τ)Df(x)y
+δ4V (τ)S(τ)Df(x) (f(x)) +O δ5
e
y′ = δg(x, y) +δAf(x)−δ2S(τ)∂xyg(x, y) [x′, f(x)]−δ2S(τ)∂y2g(x, y) [y′, f(x)]
−δ2S(τ)∂yg(x, y) (Df(x) (x′)) +δ2S(τ)D2f(x) [x′, y] +δ2S(τ)Df(x)y′
+δ3S(τ)gx(x, y) (f(x)) +δ3S(τ)∂yg(x, y)∂yg(x, y) (f(x))
−δ3S(τ)∂yg(x, y) (Df(x)y) +
1 2δ
3V2(τ)∂2
yg(x, y) [f(x), f(x)]
+δ3S(τ)ADf(x) (f(x))−δ3V2(τ)Df(x)f(x) +O δ4
.
Da express˜ao de x′ acima,
I +δ2S(τ)Df(x)
x′ = δy+δ3S(τ)∂yg(x, y) (f(x))−δ3S(τ)Df(x)y
+δ4V (τ)S(τ)Df(x) (f(x)) +O δ5.
Como [I+δ2S(τ)Df(x)]−1 =I−δ2S(τ)Df(x) +O(δ4),
x′ =
I−δ2S(τ)Df(x) +O δ4.
δy+δ3S(τ)∂yg(x, y) (f(x))−δ3S(τ)Df(x)y+δ4V (τ)S(τ)Df(x) (f(x)) +O δ5
= δy−2δ3S(τ)Df(x)y+δ3S(τ)∂yg(x, y) (f(x)) +δ4V (τ)S(τ)Df(x) (f(x)) +O δ5,
de ondex′ =δy+O(δ3). Al´em disso, considerando o lema 1.7, temosx′ =O(δ),y′ =O(δ) e
−δ2S(τ)∂xyg(x, y) [x′, f(x)] = O δ3
−δ2S(τ)∂y2g(x, y) [y′, f(x)] = O δ3 −δ2S(τ)∂yg(x, y) (Df(x) (x′)) = O δ3
δ2S(τ)D2f(x) [x′, y] = O δ3
δ2S(τ)Df(x)y′ = O δ3
.
Portanto,
y′ =δg(x, y) +δAf(x) +O δ3
Agora podemos substituir adequadamente, na equa¸c˜ao de y′, as aproxima¸c˜oes de x′ e y′, obtendo (e escrevendo o resultado na mudan¸ca correspondente)
x′2 = δy2 −2δ3S(τ)Df(x2) (y2) +δ3S(τ)∂yg(x2, y2) (f(x2))
+δ4V (τ)S(τ)Df(x2) (f(x2)) +O δ5
e
y′2 = δg(x2, y2) +δAf(x2)−δ3S(τ)∂xyg(x2, y2) [y2, f(x2)]
−δ3S(τ)∂y2g(x2, y2)
g(x2, y2) +Af(x2), f(x2)
−δ3S(τ)∂yg(x2, y2) (Df(x2) (y2)) +δ3S(τ)D2f(x2) [y2, y2]
+δ3S(τ)Df(x2) g(x2, y2) +Af(x2)
+δ3S(τ)gx(x2, y2) (f(x2)) +δ3S(τ)∂yg(x2, y2)∂yg(x2, y2) (f(x2))
−δ3S(τ)∂yg(x2, y2) (Df(x2)y2) +
1 2δ
3V2(τ)∂2
yg(x2, y2) [f(x2), f(x2)]
+δ3S(τ)ADf(x2) (f(x2))−δ3V2(τ)Df(x2)f(x2) +O δ4
.
Al´em da condi¸c˜ao 1,δ deve satisfazer a desigualdade 0< δ < √ 1
sup|∂zh2|, onde
∂zh2(z, τ) = S(τ)
Df(x) 0
∂xyg(x, y)f(x) +∂yg(x, y)Df(x)−D2f(x)y ∂y2g(x, y)f(x)−Df(x)
.
Assim, tomamos 0< δ <min{sup|∂1 zh1|,
1
√
sup|∂zh2|}.
Fazemos a terceira mudan¸ca de coordenadas, usando o difeomorfismoH3 = (z3+δ3h3(z3, τ), τ),
para obter uma nova equa¸c˜ao equivalente. Momentaneamente escrevemosz,xeyno lugar dez3, x3 e y3 e, assim,z2 =z+δ3h3(z, τ) e, para acharh3, temos que
F2(z, τ) =
−2S(τ)Df(x) (y) +S(τ)∂yg(x, y) (f(x))
−S(τ)∂xyg(x, y) [y, f(x)]−S(τ)∂y2g(x, y)
g(x, y) +Af(x), f(x) −S(τ)∂yg(x, y) (Df(x) (y)) +S(τ)D2f(x) [y, y]
+S(τ)Df(x) g(x, y) +Af(x)
+S(τ)∂xg(x, y) (f(x)) +S(τ)∂yg(x, y)∂yg(x, y) (f(x))−S(τ)∂yg(x, y) (Df(x)y)
+12V2(τ)∂y2g(x, y) [f(x), f(x)] +S(τ)ADf(x) (f(x))
−V2(τ)Df(x)f(x)
,
F2(z) =
0
1
2V2∂y2g(x, y) [f(x), f(x)]−V2Df(x)f(x)
e, j´a queh3(z, τ) =
Rτ
0 F2(z, σ)−F2(z)
dσ−Rτ
0 F2(z, σ)−F2(z)
dσ e aplicando nos c´alculos o lema 1.3, pelo qual existem τ0S e τ0W tais que podemos definir
U(τ) =
Z τ
τ0S
S(σ)dσ e W(τ) =
Z τ
τ0W
V2(σ)−V2dσ
onde U e W tˆem m´edia nula, temos quez2 =z+δ3h3(z, τ) ´e
x2 y2 = x y
+δ3
−2U(τ)Df(x) (y) +U(τ)∂yg(x, y) (f(x))
−U(τ)∂xyg(x, y) [y, f(x)]−U(τ)∂y2g(x, y)
g(x, y) +Af(x), f(x) −U(τ)∂yg(x, y) (Df(x) (y)) +U(τ)D2f(x) [y, y]
+U(τ)Df(x) g(x, y) +Af(x)
+U(τ)gx(x, y) (f(x)) +U(τ)∂yg(x, y)∂yg(x, y) (f(x))−U(τ)∂yg(x, y) (Df(x)y)
+1
2W(τ)∂ 2
yg(x, y) [f(x), f(x)] +U(τ)ADf(x) (f(x))
−W(τ)Df(x)f(x)
. (2.11)
Derivando a igualdade de x2:
x′2 = x′−2δ3S(τ)Df(x) (y) +δ3S(τ)∂yg(x, y) (f(x))−2δ3U(τ)D2f(x) [x′, y]
+δ3U(τ)∂xyg(x, y) [x′, f(x)] +δ3U(τ)∂y2g(x, y) [y′, f(x)]
−2δ3U(τ)Df(x) (y′) +δ3U(τ)∂yg(x, y) (Df(x)x′).
Derivando a igualdade de y2:
y′2 = y′−δ3S(τ)∂xyg(x, y) [y, f(x)]−δ3S(τ)∂y2g(x, y)
g(x, y) +Af(x), f(x) −δ3S(τ)∂yg(x, y) (Df(x) (y)) +δ3S(τ)D2f(x) [y, y]
+δ3S(τ)Df(x) g(x, y) +Af(x)
+δ3S(τ)gx(x, y) (f(x)) +δ3S(τ)∂yg(x, y)∂yg(x, y) (f(x))−δ3S(τ)∂yg(x, y) (Df(x)y) +1
2δ
3V2
−V2(τ)∂2
yg(x, y) [f(x), f(x)] +δ3S(τ)ADf(x) (f(x))
−δ3V2−V2(τ)Df(x)f(x) +O δ4
.
A express˜ao O(δ4) ´e consequˆencia de y′ = O(δ) e, portanto, as express˜oes com x′ ouy′
de Taylor na equa¸c˜ao de y2′, na mudan¸ca anterior, se expressa nas novas vari´aveis como
y′2 = δg(x, y) +δAf(x)−δ3S(τ)∂xyg(x, y) [y, f(x)]
−δ3S(τ)∂y2g(x, y)
g(x, y) +Af(x), f(x)
−δ3S(τ)∂yg(x, y) (Df(x) (y)) +δ3S(τ)D2f(x) [y, y] +δ3S(τ)Df(x) g(x, y) +Af(x)
+δ3S(τ)gx(x, y) (f(x)) +δ3S(τ)∂yg(x, y)∂yg(x, y) (f(x))
−δ3S(τ)∂yg(x, y) (Df(x)y) +
1 2δ
3V2(τ)∂2
yg(x, y) [f(x), f(x)]
+δ3S(τ)ADf(x) (f(x))−δ3V2(τ)Df(x)f(x) +O δ4
e a equa¸c˜ao dex′
2 fica (deixando um y2 sem substituir):
x′2 = δy2−2δ3S(τ)Df(x) (y) +δ3S(τ)∂yg(x, y) (f(x))
+δ4V (τ)S(τ)Df(x) (f(x)) +O δ5
.
Igualando as equa¸c˜oes de y2′, temos que:
y′ = δg(x, y) +δAf(x) + 1 2δ
3V2∂2
yg(x, y) [f(x), f(x)]−δ3V2Df(x)f(x) +O δ4
e parax′2, obtemos:
x′ = δ(y2) + 2δ3U(τ)D2f(x) [x′, y]−δ3U(τ)∂xyg(x, y) [x′, f(x)]
−δ3U(τ)∂y2g(x, y) [y′, f(x)] + 2δ3U(τ)Df(x) (y′)−δ3U(τ)∂yg(x, y) (Df(x)x′) +δ4V (τ)S(τ)Df(x) (f(x)) +O δ5.
A f´ormula de x′ ´e muito longa, mas s´o precisamos usar que x′ = δy +O(δ3) e que
y′ =δg(x, y) +δAf (x) +O(δ3):
x′ = δ(y2) + 2δ3U(τ)D2f(x)
δ(y) +O δ3, y−δ3U(τ)∂xyg(x, y)
δ(y) +O δ3, f(x) −δ3U(τ)∂y2g(x, y)
δg(x, y) +δAf(x) +O δ3, f(x)
+2δ3U(τ)Df(x) δg(x, y) +δAf(x) +O δ3
−δ3U(τ)∂yg(x, y) Df(x) δ(y) +O δ3+δ4V (τ)S(τ)Df(x) (f(x)) +O δ5.
Se substituirmos y2 pela sua express˜ao (ver equa¸c˜ao 2.11), considerando que x3 ≡ x e
y3 ≡y, temos que
x′3 = δy3 + Θ (x3, y3, τ, δ) +O δ5
y′3 = δg(x3, y3) +δAf(x3) +
1 2δ
3V2(τ)∂2
yg(x3, y3) [f(x3), f(x3)]
−δ3V2(τ)Df(x
3)f(x3) +O δ4
onde Θ (x3, y3, τ, δ) ´e tal que Θ (x3, y3, τ, δ) = 0 , pois S = 0 e U = 0, W = 0 e V S = 0,
j´a que
V S =
Z τ0+1
τ0
(V S) (σ)dσ =
Z τ0+1
τ0
S′(σ)S(σ)dσ =
Z τ0+1
τ0
dS2(σ)
2dσ dσ = S2(τ
0+ 1)−S2(τ0)
2 = 0.
Portanto, com a mudan¸caH4, obtemos finalmente
x′4 = δ(y4) +O δ5
y′4 = δg(x4, y4) +δAf(x4) +
1 2δ
3V2(τ)∂2
yg(x4, y4) [f(x4), f(x4)]
−δ3V2(τ)Df(x
4)f(x4) +O δ4
.
Lembramos que devemos considerar a restri¸c˜ao para δ mencionada na se¸c˜ao 1.4 e tomar o menor valor das condi¸c˜oes para δ em cada mudan¸ca.
2.2
Superf´ıcies vibrando com o tempo
Sejamϕ :R3 →Ruma fun¸c˜ao limitada, C∞ com derivadas de todas as ordens limitadas,
com ∇ϕ 6= 0 e s : R → R uma fun¸c˜ao C2, limitada, peri´odica de per´ıodo ε, de m´edia
nula, tal ques(0) = 0, cuja imagem est´a contida no conjunto de valores regulares de ϕ. Ent˜ao, para cada t∈R, a equa¸c˜ao ϕ(x) =s(t) define uma superf´ıcie.
Queremos descrever o movimento de uma massa pontual em uma superf´ıcie que est´a
vibrando periodicamente com o tempo, com a condi¸c˜ao de que n˜ao existe atrito e n˜ao
at-uam for¸cas externas al´em da deforma¸c˜ao da superf´ıcie em cada instante t, isto ´e, a ´unica for¸ca que atua na massa est´a na dire¸c˜ao da normal `a superf´ıcie. Assim, seX(t)∈R3 ´e a
posi¸c˜ao da massa, temos que
¨
X =λ∇Xϕ
Como a massa est´a sempre na superf´ıcie, temos que ϕ(X) =s(t) e, portanto,
˙
s(t) = Dϕ(X).X˙ =D∇Xϕ,X˙
E
e DHessXϕ
˙
X,X˙E+D∇Xϕ,X¨
E
= ¨s(t), (2.12)
onde HessXϕ ´e a matriz hessiana da fun¸c˜ao ϕ em rela¸c˜ao `a vari´avel X. Logo
λ=−
D
HessXϕ
˙
X,X˙E−s¨(t)
Obtemos assim a equa¸c˜ao de movimento
¨
X =−DHessXϕ
˙
X,X˙E ∇Xϕ
|∇Xϕ|
2 + ¨s(t)
∇Xϕ
|∇Xϕ|
2. (2.13)
Observamos que ses(t) = s0 ´e constante, a equa¸c˜ao acima se reduz a
¨
X=−DHessXϕ
˙
X,X˙E ∇Xϕ
|∇Xϕ|
2
que ´e a equa¸c˜ao de uma geod´esica na superf´ıcieϕ(X) = s0.
Paraw∈R3, denotamos w⊥ =w−proj
∇xϕw.
Teorema 2.2. Seja s1 :R → R uma fun¸c˜ao C2, peri´odica de per´ıodo 1, de m´edia nula,
tal ques(t) =εs1 εt
e sejaX a trajet´oria da massa pontual. Existe uma transforma¸c˜ao que decomp˜oe o movimento da massa emX =x+ ∆, onde ∆ =O ε1/2
e x satisfaz
¨
x=− hHessxϕ( ˙x),x˙i
∇xϕ
|∇xϕ|
2 −v2
Hessxϕ
∇xϕ
|∇xϕ|
2
⊥
+O ε1/2
, (2.14)
onde v = |∇s˙(t) xϕ|.
Demonstra¸c˜ao. Para facilitar os c´alculos, faremos uma mudan¸ca de escala no tempo,
τ = t ε,
˙
X = X
′
ε e ¨X = d dt X′ ε = 1 ε. dX′ dτ . dτ dt = X′′
ε2 , (2.15)
onde X′ indica derivada com respeito a τ. A equa¸c˜ao (2.13) se escreve como
X′′ =− hHessXϕ(X′), X′i ∇Xϕ
|∇Xϕ|
2 +εs
′′
1(τ)
∇Xϕ
|∇Xϕ|
2.
DefinindoX′ =ε1/2Y, obtemos o sistema
X′ =ε1/2Y Y′ =ε1/2
− hHessXϕ(Y), Yi
∇Xϕ
|∇Xϕ|
2 +s
′′
1(τ) ∇
Xϕ
|∇Xϕ|
2
. (2.16)
Observamos que, tomando-se δ = ε1/2, g(X, Y) = − hHessXϕ(Y), Yi ∇Xϕ
|∇Xϕ|2, A(τ) = s′′1(τ),f(X) = ∇Xϕ
|∇Xϕ|2, o sistema 2.16 satisfaz as hip´oteses do teorema 2.1. Como
1 2∂
2
yg(x, y).[f(x), f(x)] =−
Hessxϕ
∇xϕ
|∇xϕ|
2
, ∇xϕ
|∇xϕ|
2
∇xϕ
|∇xϕ|
2,
A= 0, pois s′′
1(τ) = εs¨(t) = 0 e, como
V2 = (s′
1(τ)) 2
obtemos o sistema equivalente
x′ = ε1/2y+O ε5/2
y′ = −ε1/2hHessxϕ(y), yi
∇xϕ
|∇xϕ|
2
−ε3/2 s
′2
|∇xϕ|
2
Hessxϕ
∇xϕ
|∇xϕ|
2
, ∇xϕ
|∇xϕ|
2
∇xϕ
−ε3/2 s
′2
|∇xϕ|
2D
∇xϕ
|∇xϕ|
2
(∇xϕ) +O ε
2
,
de onde y=ε−1/2x′+O(ε2), x′′ =ε1/2y′ +O ε5/2, e
x′′ = −ε
Hessxϕ ε−1/2x′ +O ε2
, ε−1/2x′+O ε2 ∇xϕ
|∇xϕ|
2
−ε2 s
′2
|∇xϕ|
2
Hessxϕ
∇xϕ
|∇xϕ|
2
, ∇xϕ
|∇xϕ|
2
∇xϕ
−ε2 s
′2
|∇xϕ|
2D
∇xϕ
|∇xϕ|
2
(∇xϕ) +O ε
5/2
.
Usando (2.15) para restabelecer a escala de tempo original, temos
¨
x = − hHessxϕ( ˙x),x˙i
∇xϕ
|∇xϕ|
2 (2.17)
−v2
Hessxϕ
∇xϕ
|∇xϕ|
2
, ∇xϕ
|∇xϕ|
2
∇xϕ+D
∇xϕ
|∇xϕ|
2
(∇xϕ)
+O ε1/2.
Por outro lado,
D |∇xϕ|
2
(u) = D(h∇xϕ,∇xϕi) (u) = 2hHessxϕ(u),∇xϕi,
D
∇xϕ
|∇xϕ|
2
(u) = |∇xϕ|
2
Hessxϕ(u)−D |∇xϕ|
2
(u) ∇xϕ
|∇xϕ|
4
e
D
∇xϕ
|∇xϕ|
2
(∇xϕ) =
Hessxϕ(∇xϕ)
|∇xϕ|
2 −
2hHessxϕ(∇xϕ),∇xϕi ∇xϕ
|∇xϕ|
4 .
Portanto, (2.17) se transforma em
¨
x = − hHessxϕ( ˙x),( ˙x)i ∇xϕ
|∇xϕ|
2 (2.18)
−v2
Hessxϕ(∇xϕ)
|∇xϕ|
2 −
hHessxϕ(∇xϕ),∇xϕi ∇xϕ
|∇xϕ|
4
+O ε1/2
Defini¸c˜ao 2.1. Seja r(t) uma curva regular em R3. Diremos que r(t) ´e uma curva
normal `a fam´ılia de superf´ıcies St = {x∈R3, ϕ(x) =s(t)}, se ϕ(r(t)) = s(t) e drdt ´e paralelo ao ∇r(t)ϕ, para todo t em R.
Lema 2.1. Sejam x solu¸c˜ao de (2.14), t0 tal que s˙(t0)6= 0 e x0 =x(t0), ent˜ao
Hessx0ϕ
∇x0ϕ
∇x
0ϕ
2
!!⊥
=k ~N ,
onde k e N~ s˜ao, respectivamente, a curvatura e o vetor normal unit´ario `a curva normal em x0. ( N~ ´e tangente `a superf´ıcie)
Demonstra¸c˜ao. Se parametrizarmos a curva normal pelo comprimento de arcoσ, ou seja,
d dσr =
∇rϕ
|∇rϕ|, ent˜ao, por defini¸c˜ao,
k ~N = d
2r
dσ2 =
d dσ
∇rϕ
|∇rϕ|
= 1
|∇rϕ|
2
d
dσ (∇rϕ)|∇rϕ| − ∇rϕ
d
dσ (|∇rϕ|)
.
Como d|∇dσϕ| = d
dσh∇rϕ,∇rϕi
1/2
= hHessrϕ(drdσ),∇rϕi
|∇rϕ| =
hHessrϕ(∇rϕ),∇rϕi
|∇rϕ|2 , ent˜ao
k ~N = Hessrϕ(∇rϕ)
|∇rϕ|
2 −
hHessrϕ(∇rϕ),∇rϕi ∇rϕ
|∇rϕ|
4 .
Portanto, quando ˙s(t)6= 0, podemos escrever a equa¸c˜ao (2.14) como
¨
x=− hHessxϕ( ˙x),x˙i ∇xϕ
|∇xϕ|
2 −kv2N~ +O ε 1/2
, (2.19)
ou seja, nas novas coordenadas, fica em evidˆencia que a acelera¸c˜ao instantˆanea da massa
pontual ´e resultado de uma acelera¸c˜ao produzida pela geometria da superf´ıcie por onde
ela est´a passando (acelera¸c˜ao geod´esica) e de uma acelera¸c˜ao tangente `a superf´ıcie igual
Referˆ
encias Bibliogr´
aficas
[1] Jorge Sotomayor.Li¸c˜oes de Equa¸c˜oes Diferenciais Ordin´arias. Projeto Euclides. IMPA, Rio de Janeiro, 1979.
[2] Elon Lages Lima. Curso de An´alise, Volume 2. Projeto Euclides. IMPA, Rio de Janeiro, 1981.
[3] Elon Lages Lima. An´alise no Espa¸co Rn. Projeto Euclides. IMPA, Rio de Janeiro,
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