UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS
Instituto de Ciˆ
encias Exatas
Departamento de Matem´atica
Tese de Doutorado
Desigualdades homogˆ
eneas do tipo Sobolev ´
otimas sobre
variedades Riemannianas compactas e aplica¸
c˜
oes
Jurandir Ceccon
02 de junho de 2005
Banca examinadora composta pelos Professores(a):
Emerson Alves Mendon¸ca de ABREU UFMG
Examinador
Paulo C´esar CARRI ˜
AO
UFMG
Examinador
Susana Cˆandida FORNARI
UFMG
Examinadora
Orlando Francisco LOPES
UNICAMP Examinador
´
Indice
Agradecimentos 2
Nota¸c˜oes 3
Introdu¸c˜ao 4
1 Desigualdade homogˆenea de Gagliardo-Nirenberg ´otima Euclidiana 14
1.1 Introdu¸c˜ao . . . 14
1.2 Desigualdade de Gagliardo-Nirenberg . . . 15
1.3 Exemplo . . . 19
2 Desigualdade homogˆenea de Sobolev ´otima Riemanniana 26 2.1 Introdu¸c˜ao . . . 26
2.2 Desigualdade de Sobolev comǫ . . . 27
2.3 Validade da desigualdade de Sobolev . . . 35
2.4 N˜ao-validade da desigualdade de Sobolev . . . 46
3 Desigualdade homogˆenea de Gagliardo-Nirenberg ´otima Riemanniana 54 3.1 Introdu¸c˜ao . . . 54
3.2 Desigualdade de Gagliardo-Nirenberg com ǫ . . . 55
3.3 Desigualdade de Gagliardo-Nirenberg para q≥p . . . 59
3.4 Desigualdade de Gagliardo-Nirenberg para q < p . . . 77
4 Desigualdade homogˆenea logar´ıtmica de Sobolev ´otima Riemanniana 93 4.1 Introdu¸c˜ao . . . 93
4.2 Desigualdade logar´ıtmica de Sobolev . . . 94
4.3 Aplica¸c˜oes . . . 101
Apˆendice 104
Agradecimentos
Primeiramente, agrade¸co ao Marcos Montenegro por ter me orientado. Sua dedica¸c˜ao ao longo destes anos, seu entusiasmo em todos os momentos e as discuss˜oes sempre muito instrutivas e esclarecedoras. Al´em de tudo um grande amigo.
`
A minha fam´ılia, que sempre foi um ponto de referˆencia importante. `A L´eia pelo “pontap´e”inicial a quem devo muito. Ao R´ubens pelos carneiros deliciosos que ele cria. `A Isolete e Ivanete pelos bons momentos. Em especial aos meus pais, Arlindo Ceccon (in memoriam) e Santina Ceccon, pessoas simples, por´em dois exemplos de vida que sempre zelaram pela fam´ılia. Muita saudade e admira¸c˜ao.
`
A Rosana, pelo seu apoio constante e compreens˜ao. `A sua fam´ılia, pessoas encantadoras. Seus pais Ana e M´ario. Seus irm˜aos, Marcinho pelas dicas em m´usica cl´assica e ao Marcelo amigo de muitos anos e “buscador”de artigos no Impa.
`
A professora Suzana Fornari e aos professores Emerson de Abreu, Paulo Carri˜ao e Orlando Lopes, por aceitarem fazer parte desta banca. Em especial ao Prof. Carri˜ao que leu cuidadosamente os manuscritos e contribuiu com sugest˜oes que ajudaram a tornar o texto mais claro.
Ao CNPq, pelo financiamento que tornou poss´ıvel esta tese.
Ao departamento de Matem´atica da UFMG como um todo, pelo suporte constante.
Nota¸
c˜
oes
•A(p) - (2)
• A(p, q, r) - (5)
• A(p, q, r, f) - (8)
• A(p, f) =A(p,p(nn−−p1),p(qp−−11), f)
• A0(p, q, r, F) - (16)
• A0(p, F) =A0(p,p(nn−−p1),p(qp−−11), F)
• A(p, F) - (2.15)
• A(p, q, F) =A(p, q,p(qp−−11), F)
• A(p, q, r, x) - (3.1)
• A(p, q, r, F) - (3.2)
• A(p, F) eB(p, F) - Teorema 4.2.1
• B(p, q, F) =B(p, q,p(qp−−11), F)
• B(p, q, r, F) - (4.5)
• D1,p(IRn) - completamento de C0∞(IRn) sob a norma||∇||p
• Dp,q(IRn) - completamento de C0∞(IRn) sob a norma|| ||q+||∇||p
• Dp,q(M) - completamento deC0∞(M) sob a norma|| ||q+||∇g||p
• F - Defini¸c˜ao 2.2.1
• Fx - (2.13)
• Γ - fun¸c˜ao gama
• H1,p(M) - completamento de C0∞(M) sob a norma || ||p+||∇g||p
• Ip,q,r(A, B, F) - (4.4)
• Ip,q(A, B, F) =Ip,q,p(q−1)
p−1
(A, B, F)
• | · |- (2.5)
• ∇g - (2.6)
• i(M) - (2.8)
• ∂vF - (2.7)
• sistema normal de coordenadas - (2.9)
Introdu¸
c˜
ao
Melhores constantes para desigualdades do tipo Sobolev tˆem sido objeto de extensa investiga¸c˜ao nas ´
ultimas d´ecadas. Particularmente, o estudo de desigualdades de Sobolev ´otimas em variedades Riemanni-anas. Estas tˆem sua origem em importantes problemas da matem´atica como, por exemplo, o problema de Yamabe.
Desigualdades de Sobolev ´otimas s˜ao casos particulares de desigualdades de Gagliardo-Nirenberg ´otimas. Por outro lado, estas ´ultimas nos levam `a uma desigualdade de Sobolev logar´ıtmica ´otima, que possui in-teressantes aplica¸c˜oes em estimativas a prioride solu¸c˜oes de alguns problemas de evolu¸c˜ao.
Para 1≤p < n, Sobolev [29] em 1938 mostrou a existˆencia de uma constante A∈IR tal que
Z
IRn|
u|p∗dx
p1∗
≤A
Z
IRn|∇
u|pdx
1p
(1)
para toda fun¸c˜aou∈D1,p(IRn), onde p∗ = nnp−p ´e o expoente cr´ıtico de Sobolev. Diremos que (1) ´e v´alida se (1) ocorrer para toda fun¸c˜aou∈D1,p(IRn). O menor n´umero realA tal que (1) ´e v´alida ser´a chamado de constante ´otima, tal n´umero ´e dado por
A(p)−1= inf u∈D1,p(IRn)
||u||p∗= 1
||∇u||p.
Duas quest˜oes relevantes associadas `a desigualdade (1) s˜ao: (i) Qual o valor exato da constante ´otima A(p)?
(ii) Existe uma fun¸c˜ao u∈D1,p(IRn) que verifica a igualdade||u||p∗ =A(p)||∇u||
p? Chamaremos defun¸c˜ao extremalqualquer fun¸c˜ao que verifique a igualdade em (ii).
Estas quest˜oes foram estudadas e respondidas de modo independente em 1976 por Aubin [3] e Talenti [30]. O valor da constante ´otima ´e
A(p) =
p−1 n−p
n−p n(p−1)
1p
Γ(n+1) Γ(np)Γ(n+1−np)ωn−1
n1
para 1< p < n
1 n
n ωn−1
n1
para p= 1,
(2)
ondeωn−1 ´e o volume da esfera unit´aria de IRn.
As fun¸c˜oes extremais, para 1 < p < n, s˜ao precisamente dadas por u(x) = αw˜(β(x−x0)) para α ∈ IR,
β 6= 0 ex0∈IRn, onde
˜
w(x) =σ+|x|p−p1
−pn∗
sendo σ >0 escolhido tal que ||w˜||p∗ = 1.
A desigualdade de Gagliardo-Nirenberg, obtida em 1958 por Gagliardo [18] e refinada em 1966 por Nirenberg [25], ´e dada por
Z
IRn|
u|rdx
1r
≤A
Z
IRn|∇
u|pdx
θpZ
IRn|
u|qdx
1−qθ
(4)
para u ∈ Dp,q(IRn), onde p ≤r ≤p∗, 1 ≤q ≤r e θ = r(q(pnp(r−n)+np)−q) . Como o caso θ = 0 ´e trivial, vamos considerar θ >0. Denotaremos por A(p, q, r) a constante ´otima associada `a desigualdade (4), que ´e dada por
A(p, q, r)−1 = inf u∈Dp,q(IRn)
||u||r= 1
||∇u||θp||u||1q−θ. (5)
Em 2003, Del Pino e Dolbeault [12] estudaram a desigualdade (4). Eles encontraram as fun¸c˜oes ex-tremais e calcularam as constantes ´otimas para uma classe destas desigualdades. De maneira precisa, considere 1< p < ne r= p(qp−−11). Para esta fam´ılia de desigualdades a constante ´otima ´e
A(p, q,p(q−1) p−1 ) =
q−p p√π
θ
pq n(q−p)
θp
np−q(n−p)
pq
1r
Γ(q(pq−−p1))Γ(n2 + 1)
Γ(p−p1np−qq(n−p−p))Γ(n(pp−1) + 1)
θ n
, (6)
ondep < q ≤ p(nn−−p1) e θ= (q−1)(q(pn(q−−p)n)+np).
As fun¸c˜oes extremais s˜ao da formau(x) =αw˜(β(x−x0)), onde α∈IR,β6= 0, x0 ∈IRn e
˜
w(x) =
σ+q−p
p−1|x|
p p−1
−p
−1
q−p
,
sendo σ >0 escolhido tal que ||w˜||r = 1.
Em particular, quandoq = p(nn−−p1) temos θ= 1 e r= nnp−p que ´e o expoente cr´ıtico de Sobolev.
No trabalho do Del Pino e Dolbeault, foram utilizadas t´ecnicas de c´alculo variacional e resultados de unicidade para solu¸c˜ao n˜ao-negativa e radialmente sim´etrica de um problema envolvendo o p-Laplaciano.
Em 2004, Cordero-Erausquin, Nazaret e Villani [11] reobtiveram as fun¸c˜oes extremais e as constantes ´
otimas para a mesma fam´ılia de desigualdades de Gagliardo-Nirenberg obtida em [12], utilizando uma nova t´ecnica que envolve a teoria de transporte de massa.
Inspirados neste ´ultimo trabalho, realizamos o estudo de melhores constantes para desigualdades ho-mogˆeneas de Gagliardo-Nirenberg. Precisamente, consideramos a melhor constante A tal que a desigual-dade
Z
IRn|
u|rdx
1r
≤A
Z
IRn
f(∇u)dx
pθZ
IRn|
u|qdx
1
−θ
q
(7)
para todau∈Dp,q(IRn), ondef :IRn→IR´e uma fun¸c˜aop - homogˆenea, convexa, positiva e par. Esta melhor constante ´e dada por
A(p, q, r, f)−1= inf u∈Dp,q(IRn)
||u||r= 1
||f(∇u)||
θ p
Designaremos porA(p, q, r, f) a constante ´otima associada `a desigualdade (7). Quando f =| · |p, a desigualdade (7) se reduz `a (4).
Considerandor= p(qp−−11), encontramos as fun¸c˜oes extremais e calculamos as constantes ´otimas da desigual-dade (7). De maneira precisa, considef∗ a transformada de Legendre da fun¸c˜aof, isto ´e,
f∗(x) = sup
y∈IRn{x·y−f(y)}.
Ent˜ao, as fun¸c˜oes extremais de (8) s˜ao da forma u(x) =αw(β(x−x0)), onde α∈IR,β 6= 0,x0∈IRn e
w(x) =
σ+q−p
p−1f
∗(x)
−pq−−p1
(9)
sendo σ >0 escolhido tal que ||w||r = 1, onde 1< p < n ep < q ≤ p(nn−−p1). A constante ´otima ´e
A(p, q,p(q−1) p−1 , f)
−1=||f(∇w)||θp
1||w||1q−θ, (10)
ondeθ= (q−1)(q(pn(q−−p)n)+np).
Em particular, quandoq= p(nn−−p1) temosθ= 1 er=p∗. Neste caso, obtemos adesigualdade homogˆenea de Sobolev ´otima
Z
IRn|
u|pdx
pp∗
≤A(p, f)p
Z
IRn
f(∇u)dx, (11)
onde
A(p, f) =A(p,p(n−1) n−p ,
p(q−1)
p−1 , f).
Outra desigualdade Euclidiana relevante ´e a desigualdade de Sobolev logar´ıtmica ´otima. Utilizando uma fam´ılia de desigualdades de Gagliardo-Nirenberg ´otimas, Del Pino e Dolbeault [12] obtiveram como caso limite, fazendoq→p+, a desigualdade logar´ıtmica ´otima
Z
IRn|
u|plog|u|pdx≤ n p log
A(p)
Z
IRn|∇
u|pdx
para todau∈W1,p(IRn) tal que||u||p = 1, onde 1< p < n. A constante ´otima ´e
A(p) = p
n
p−1
e
p−1
π−p2
Γ(n2 + 1)
Γ(n(pp−1) + 1)
p n
. (12)
As fun¸c˜oes extremais s˜ao dadas por
u(x) =πn2σ−
n(p−1)
p Γ(
n 2 + 1) Γ(n(pp−1) + 1)e
−σ1|x−x0|
p p−1
,
ondex0 ∈IRn e σ >0.
Em 2003, Gentil [19] generalizou este resultado. Parap >1 e f uma fun¸c˜aop - homogˆenea, convexa e par, obteve a desigualdade ´otima
Z
IRn|
u|plog|u|pdx≤ n plog
A(p, f)
Z
IRn
f(∇u)dx
parau∈W1,p(IRn) com||u||p= 1. A constante ´otima ´e dada por
A(p, f) = p p+1
nep−1
Z
IRn
e−f∗(x)dx
−np
,
onde f∗ ´e a transformada de Legendre da fun¸c˜ao f. As fun¸c˜oes extremais encontradas s˜ao da forma
u(x) =αexp(−βf∗(x−x0)), sendo
α−p =
Z
IRn
exp(−pβf∗(x−x0))dx,
com β >0 e x0 ∈IRn.
Nosso principal interesse nesta tese ´e estudar estas desigualdades ´otimas em variedades Riemannianas. Significativos avan¸cos tˆem sido obtidos neste sentido, para uma exposi¸c˜ao geral e outras referˆencias sobre este assunto citamos [16] e [20]. Seja (M, g) uma variedade Riemanniana compacta n - dimensional. A desigualdade (7) nos motivou a considerar adesigualdade homogˆenea de Gagliardo-Nirenberg Riemanniana
Z
M|
u|rdvg
rθp
≤
A
Z
M
F(∇gu)dvg+B
Z
M|
u|pdvg
Z
M|
u|qdvg
p(1
−θ)
θq
(14)
para u∈ Dp,q(M), onde q ≤r ≤p∗, θ= r(q(pnp(r−n)+np)−q) e F :T M → IR uma fun¸c˜ao p - homogˆeneaem um certo sentido a ser definido e satisfazendo algumas condi¸c˜oes a serem explicitadas no Cap´ıtulo 2.
A nova constante B que aparece em (14) ´e natural, pois Dp,q(M) cont´em as fun¸c˜oes constantes. Diremos que a desigualdade (14) ´e v´alida, se (14) ocorrer para toda fun¸c˜ao u ∈ Dp,q(M). Argumentando por parti¸c˜ao da unidade e expans˜ao da m´etrica, podemos facilmente encontrar constantes reais A eB tais que a desigualdade (14) ´e v´alida.
Como caso particular, fazendo r = nnp−p e q = p(nn−−p1), obtemos a desigualdade homogˆenea de Sobolev Riemanniana
Z
M|
u|p∗dvg
pp∗
≤A
Z
M
F(∇gu)dvg+B
Z
M|
u|pdvg. (15)
Para a desigualdade de Gagliardo-Nirenberg Riemanniana tamb´em podemos considerar a no¸c˜ao de melhores constantes. A primeira melhor constanteassociada `a desigualdade (14) ´e
A0(p, q, r, F) = inf{A∈IR; existe B ∈IR tal que (14) ´e v´alida}. (16) A segunda melhor constante´e definida por
B0(p, q, r, F) = inf{B ∈IR; existe A∈IR tal que (14) ´e v´alida}. Assim, podemos considerar as seguintes desigualdades ´otimas:
Z
M|
u|rdvg
rθp
≤
A0(p, q, r, F)
Z
M
F(∇gu)dvg+B
Z
M|
u|pdvg
Z
M|
u|qdvg
p(1
−θ)
θq
(17)
Z
M|
u|rdvg
rθp
≤
A
Z
M
F(∇gu)dvg+B0(p, q, r, F)
Z
M|
u|pdvg
Z
M|
u|qdvg
p(1
−θ)
θq
. (18) Trˆes quest˜oes naturais neste contexto s˜ao:
(i) Existe alguma dependˆencia das melhores constantes em rela¸c˜ao a geometria da variedade M? (ii) As desigualdades ´otimas (17) e (18) s˜ao v´alidas?
(iii) Qual o valor exato de A0(p, q, r, F)? Em paralelo, qual o valor exato deB0(p, q, r, F)?
Para um apanhado geral e v´arias outras referˆencias sobre o estudo da desigualdade (18) citamos [16]. O caso cl´assico, isto ´eF([x, i, v]) =|[x, i, v]|p, est´a inserido nas desigualdades acima. O estudo da primeira melhor constante (16) ´e mais delicado. No que segue e durante o desenvolvimento desta tese usaremos a express˜ao constante ´otima para nos referir a primeira melhor constante. No caso cl´assico, uma das primeiras contribui¸c˜oes para investigar a desigualdade (17) foi dado em 1976 por Aubin [3]. Neste trabalho, foi provado que a desigualdade de Sobolev ´otima Riemanniana sobre a esfera n- dimensional,
Z
Sn|
u|p∗dvg
pp∗
≤A(p)p
Z
Sn|∇g
u|pdvg+ω−
p n
n
Z
Sn|
u|pdvg,
´e v´alida para toda fun¸c˜ao u ∈D1,p(Sn), onde 1< p ≤2, A(p) ´e a melhor constante Euclidiana dada em (2) e ωn ´e o volume Euclidiano de Sn. Neste caso, devido a geometria simples da variedade, as fun¸c˜oes extremais foram explicitadas por Aubin. ´E interessante observar que para uma variedade Riemanniana qualquer, as fun¸c˜oes extremais s˜ao desconhecidas.
O caso p = 2 e M uma variedade Riemanniana compacta, foi tratado em 1996 por Hebey e Vaugon [21]. Eles mostraram que a desigualdade de Sobolev ´otima
Z
M|
u|2dvg
22∗
≤A(2)2
Z
M|∇
gu|2dvg+B
Z
M|
u|2dvg, (19) ´e v´alida para toda fun¸c˜ao u∈D1,2(M).
Em 1999, a desigualdade de Sobolev ´otima
Z
M|
u|pdvg
pp∗
≤A(p)p
Z
M|∇g
u|pdvg+B
Z
M|
u|pdvg, (20) foi provada para 1< p≤2 de forma independente por Aubin e Li [5] e Druet [14].
O caso p= 1 foi estudado por Druet [15] em 2002 e a t´ecnica empregada ´e distinta da utilizada em [5] e [14]. Neste caso, a desigualdade de Sobolev ´otima ´e equivalente `a desigualdade isoperim´etrica sobreM.
Como j´a citado, o estudo de melhores constantes tem motiva¸c˜ao, por exemplo, no problema de Yamabe [35] nos anos 60. O objetivo era provar que, a menos de mudan¸ca conforme da m´etrica, sempre existe uma m´etrica de curvatura escalar constante. De forma precisa, considere (M, g) uma variedade Riemanniana suave, compacta de dimens˜aon≥3 e seja [g] uma classe conforme de g, definida por
[g] ={˜g=un−42g;u∈C∞(M), u >0}.
Sendog e ˜g=un−42g m´etricas conformes, a curvatura escalarSg e S˜g satisfazem a rela¸c˜ao
−4(nn−1)
−2 ∆gu+Sgu=Sg˜u 2∗
onde ∆gu= divg(∇gu) ´e o Laplaciano deu com respeito a m´etrica g.
Uma reformula¸c˜ao equivalente do problema de Yamabe ´e provar que para qualquer variedade Riemanniana (M, g) de dimens˜aon≥3, existeu∈C∞(M),u >0 e λ∈IR tais que
−∆gu+
n−2
4(n−1)Sgu=λu 2∗
−1. (21)
Ent˜ao, a melhor constante A(2) da desigualdade (19) est´a relacionada com a existˆencia de solu¸c˜ao da equa¸c˜ao (21) e a constanteB(2) est´a relacionada com a multiplicidade de solu¸c˜oes da equa¸c˜ao (21), onde
B(2) ´e a segunda melhor constante, dada a melhor constante A(2), ou seja
B(2) = inf{B ∈IR; (19) ´e v´alida}. (22)
No estudo das desigualdades ´otimas Riemannianas, novos fenˆomenos interessantes surgem. A validade da desigualdade de Sobolev ´otima sobre variedades Riemannianas depende da geometria da variedade, este fato foi provado em 1998 por Druet [13]. Considere 2< p < n+23 e suponha que a variedadeM possui pelo menos um ponto onde a curvatura escalar ´e positiva, ent˜ao para qualquerB ∈IR existeuB ∈D1,p(M) tal que
Z
M|
uB|p
∗
dvg
pp∗
> A(p)p
Z
M|∇
guB|pdvg+B
Z
M|
uB|pdvg.
A desigualdade de Gagliardo-Nirenberg ´otima Riemanniana, foi estudada por Brouttelande [9] em 2003. Ele provou que
Z
M|
u|rdvg
rθ2
≤
A(q, r)2θ
Z
M|∇
gu|2dvg+B
Z
M|
u|2dvg
Z
M|
u|qdvg
2(1
−θ)
θq
(23)
´e v´alida para todau∈D2,q(M), onde 1≤q≤2≤r <2 +2qn e A(q, r) ´e a constante ´otima. A constante
A(q, r) para esta classe de desigualdades n˜ao ´e conhecida. A desigualdade logar´ıtmica de Sobolev ´otima Riemanniana
Z
M|
u|2log(|u|2)dvg ≤
n
2log
A(2)
Z
M|∇g
u|2dvg+B(2)
(24)
foi provada em [9], onde a fun¸c˜ao u ∈ H1,2(M) ´e tal que ||u||2 = 1, A(2) foi definido em (12) e B(2) = limq→2−B(q,2), sendo
B(q,2) = inf{B ∈IR; (23) ´e v´alida com r= 2}.
Nossa tese pode ser dividida em trˆes etapas:
1a
Etapa
Compreende o Cap´ıtulo 1.
Se¸c˜ao 1.2
Nesta se¸c˜ao generalizamos a desigualdade de Gagliardo-Nirenberg ´otima Euclidiana, obtida em [11]. Provamos que para 1< p < n,
Z
IRn|
u|rdx
rθp
≤A(p, q,p(q−1) p−1 , f)
p θ
Z
IRn
f(∇u)dx
Z
IRn|
u|qdx
p(1
−θ)
´e v´alida para toda fun¸c˜ao u∈Dp,q(IRn), onde p≤q ≤ p(nn−−p1),θ = (q−1)(q(pn(q−−p)n)+np) e f :IRn → IR ´e uma fun¸c˜aop- homogˆenea, convexa, positiva e par. Para este fim, usamos um resultado da teoria de transporte de massa provado por McCann [23] e resultados de an´alise convexa.
Se¸c˜ao 1.3
Aqui fornecemos uma aplica¸c˜ao dos resultados provados na se¸c˜ao 1.2, calculando as melhores constantes para uma fam´ılia de normas. Essencialmente s˜ao longos c´alculos combinados com a fun¸c˜ao gama.
2a
Etapa
Compreende os Cap´ıtulos 2 e 3. Poder´ıamos dizer que nesta etapa reside a alma desta tese. Aqui, fizemos algumas generaliza¸c˜oes e obtivemos novas desigualdades ´otimas. Tamb´em ´e desta etapa que decorre as aplica¸c˜oes do Cap´ıtulo 4.
Cap´ıtulo 2 Se¸c˜ao 2.2
Nesta se¸c˜ao reunimos alguns resultados de topologia diferencial geral e geometria Riemanniana. Prova-mos alguns lemas para fazer a liga¸c˜ao entre as desigualdades de Sobolev Euclidiana e Riemanniana. Tamb´em provamos a validade da desigualdade de Sobolev com uma perturba¸c˜ao de ǫ, esta desigualdade tem um papel central na prova da desigualdade de Sobolev ´otima.
Se¸c˜ao 2.3
Aqui generalizamos a desigualdade cl´assica de Sobolev ´otima provada em [14]. Ou seja, mostramos que
Z
M|
u|p∗dvg
pp∗
≤A(p, F)p
Z
M
F(∇gu)dvg+B
Z
M|
u|pdvg
´e v´alida para toda u ∈ D1,p(M), onde 1 < p ≤ 2 e A(p, F) ´e definida em (2.15). Nossa argumenta¸c˜ao se baseia no trabalho do Druet [14]. O ponto mais relevante em nossa prova ´e uma simplifica¸c˜ao feita no argumento original. Consiste em eliminar todo o estudo de concentra¸c˜ao pontual desenvolvido em [14]. Olhando de modo isolado, esta simplifica¸c˜ao n˜ao tem grande vantagem. Por´em, ao tratarmos da desigualdade homogˆenea de Gagliardo-Nirenberg ´otima, no Cap´ıtulo 3, veremos que este fato foi essencial em nossa prova.
Se¸c˜ao 2.4
´
E nesta se¸c˜ao que fica evidente a influˆencia da geometria da variedade Riemanniana na validade da desigualdade ´otima. Nossa argumenta¸c˜ao tamb´em se baseia em um trabalho feito por Druet [13]. A prova desenvolvida por Druet leva em considera¸c˜ao uma fun¸c˜ao extremal ˜w, definida em (3), associada `a desigualdade de Sobolev ´otima
Z
IRn|
u|p∗dx
pp∗
≤A(p)p
Z
IRn|∇
u|pdx.
Neste caso a fun¸c˜ao ˜w´e radial. Ent˜ao, Druet conseguiu transferir o problema deIRnparaIR. Nossa prova, do Teorema 2.4.1, tamb´em leva em considera¸c˜ao uma fun¸c˜ao extremal
w(x) = σ+Fx∗0(x)−pn∗
,
associada `a desigualdade homogˆenea de Sobolev ´otima
Z
IRn|
u|p∗dx
pp∗
≤A(p, Fx0)
pZ IRn
ondeFx0 ´e definida em (2.13) ex0 ∈M ´e tal que
Z
IRn
wp0∗(y)Ricx0(y, y)dy >0.
Neste caso Fx0 n˜ao ´e radial, em geral. A falta de simetria da fun¸c˜ao Fx0 foi uma dificuldade importante,
que foi superada ao fazermos uso do m´etodo variacional e elementos de an´alise convexa.
Devemos notar que o nosso m´etodo, d´a uma prova alternativa para o caso cl´assico (F([x, i, v]) =|[x, i, v]|p) tratado por Druet. Tamb´em observamos que a nossa prova ´e intrinseca, no sentido que todos os c´alculos se passam no espa¸coTx0M =IRn.
Cap´ıtulo 3
A desigualdade de Gagliardo-Nirenberg ´otima sobre variedades Riemannianas foi estudada por Brout-telande [9]. Foi provado que
Z
M|
u|rdvg
rθ2
≤
A(q, r)2θ
Z
M|∇g
u|2dvg+B
Z
M|
u|2dvg
Z
M|
u|qdvg
2(1
−θ)
θq
(25)
´e v´alida para toda fun¸c˜ao u ∈D2,q(M), onde 1≤q ≤2 ≤r ≤2 + 2qn, θ= r(n(22n(r−q)+2q)−q) < 2r e A(q, r) ´e a constante ´otima de (25). Para esta classe de desigualdades n˜ao foi calculado o valor da constante ´otima
A(q, r).
Se¸c˜ao 3.2
Nesta se¸c˜ao provamos para 1< p≤2 que a desigualdade homogˆenea de Gagliardo-Nirenberg ´otima
Z
M|
u|rdvg
rθp
≤
A(p, q, r, F)pθ
Z
M
F(∇gu)dvg+B
Z
M|
u|pdvg
Z
M|
u|qdvg
p(1
−θ)
θq
(26)
´e v´alida para toda u ∈Dp,q(M), onde p≤q < r < p∗ e θ= r(q(pnp(r−n)+np)−q) . Esta fam´ılia ´e distinta daquela obtida em [9], pois quandop= 2 temosq ≥2. Quandor = p(qp−−11), calculamos a melhor constante de (26). A prova do Teorema 3.3.1 ´e inspirada em parte no trabalho [9] e em parte no Teorema 2.3.1 do Cap´ıtulo 2. Nossa argumenta¸c˜ao passa pelo m´etodo variacional, para conseguirmos obter uma seq¨uˆencia especial
(uα)α ⊂Dp,q(M) e t´ecnicas finas de an´alise que envolve o estudo de concentra¸c˜ao da seq¨uˆencia (uα)α em um ponto. Usando itera¸c˜ao de Moser e um resultado, devido a Tolksdorf, sobre regularidade, provamos que a seq¨uˆencia (uα)α ´e de classe C1,λ para algum λ∈ (0,1). Esta regularidade ´e a melhor poss´ıvel pois 1 < p ≤ 2. Este ´e um ponto em nossa prova que difere daquela apresentada em [9] pois naquele caso
p = 2 e portanto a seq¨uˆencia (uα)α ´e de classe C2. Isto nos obrigou a refinar algumas estimativas de [9] e obter outras novas. Outro ponto relevante ´e a hip´otese q ≥ p, que difere da hip´otese usada em [9]
q ≤ 2. Novamente precisamos refinar algumas estimativas e fazer um novo estudo de concentra¸c˜ao de massa para a seq¨uˆencia (uα)α. A argumenta¸c˜ao final ´e baseada no Teorema 2.3.1, que ´e essencialmente a jun¸c˜ao entre a desigualdade homogˆenea de Gagliardo-Nirenberg ´otima Euclidiana e a equa¸c˜ao satisfeita por
uα na variedade RiemannianaM. Naturalmente, novas estimativas s˜ao necess´arias, pois a desigualdade de Gagliardo-Nirenberg ´e mais geral do que a desigualdade de Sobolev tratada no Teorema 2.3.1.
Aqui, provamos para 1< p≤2, a desigualdade ´otima
Z
M|
u|pdvg
1θ
≤
A(p, q, p, F)pθ
Z
M
F(∇gu)dvg+B
Z
M|
u|pdvg
Z
M|
u|qdvg
p(1
−θ)
θq
(27)
para u ∈Dp,q(M), onde 1 < q < p e θ = q(pn(p−n)+np−q) . Esta classe de desigualdades ´e distinta da anterior poisq < p. Em particular (27) generaliza (25) quandor = 2. A id´eia, da prova da validade de (27), segue em linhas gerais, a mesma argumenta¸c˜ao usada na prova da validade de (26). Com exce¸c˜ao do arremate da prova, onde fizemos uso da desigualdade de interpola¸c˜ao.
Embora, para esta fam´ılia de desigualdades n˜ao tenhamos calculado a constante ´otima A(p, q, p, F). Deve-mos ressaltar que a obten¸c˜ao da desigualdade homogˆenea logar´ıtmica ´otima do Cap´ıtulo 4, s´o foi poss´ıvel devido a esta ´ultima desigualdade.
3a
Etapa
´
E o fechamento da tese. Provamos a desigualdade ´otima
Z
M|
u|plog(|u|p)dvg ≤
n plog
A(p, F)
Z
M
F(∇gu)dvg+B(p, F)
(28)
parau∈H1,p(M) com ||u||p = 1, onde 1< p≤2. No caso cl´assico ep= 2, esta desigualdade foi provada por Brouttelande [9], isto ´e, foi provada a validade de (24).
Para a prova da validade de (28), nos baseamos no trabalho do Del Pino e Dolbeault [12] que trata o caso Euclidiano. A id´eia ´e fazer q→p+ na desigualdade ´otima
Z
M|
u|rdvg
rθp
≤
A(p, q, r, F)pθ
Z
M
F(∇gu)dvg+B(p, q, r, F)
Z
M|
u|pdvg
Z
M|
u|qdvg
p(1
−θ)
θq
,
onde
B(p, q, r, F) = inf{B ∈IR; (26) ´e v´alida}
e r = p(qp−−11). Por´em, em princ´ıpio, n˜ao sabemos qual o comportamento de B(p, q, r, F) quando q → p+. Inspirados em [9] mostramos queB(p, q, r, F) ´e mon´otona n˜ao-crescente emq. Quandoq <2, que ´e o caso tratado em [9], a convergˆenciaB(q,2)→B0 ∈IRquando q→2− ´e trivial, pois obter uma cota por baixo, neste caso, ´e simples. Em nosso caso poderia ocorrer queB(p, q, r, F)→ ∞ quando q→p+. Mas, devido ao Teorema 3.4.1, conseguimos mostrar queB(p, q, r, F) possui uma cota superior uniforme emq. A prova de que
A(p, F) = p p+1
nep−1
Z
IRn
e−Fx∗0(x)dx
−pn
(29)
n˜ao foi poss´ıvel atrav´es de c´alculo direto como feito em [12], pois neste caso a f´ormula de co-´area n˜ao fornece uma express˜ao simples. Ent˜ao, utilizamos um m´etodo indireto, ou seja, associamos ao espa¸co tangente
Tx0M uma classe de desigualdades homogˆeneas de Gagliardo-Nirenberg ´otimas
Z
IRn|
u|rdx
rθp
≤A(p, q, r, Fx0)
p θ
Z
IRn
Fx0(∇u)dx
Z
IRn|
u|qdx
p(1
−θ)
que ´e v´alida devido ao Teorema 1.2.2 do Cap´ıtulo 1. Desta fam´ılia, derivamos a desigualdade logar´ıtmica ´
otima Euclidiana Z
IRn|
u|plog(|u|p)dx≤ n plog
A(p, Fx0)
Z
IRn
Fx0(∇u)dx
parau∈W1,p(IRn) com||u||p= 1. Desta desigualdade juntamente com o Teorema 1.1 de [19], conclu´ımos (29).
Cap´ıtulo 1
Desigualdade homogˆ
enea de
Gagliardo-Nirenberg ´
otima Euclidiana
1.1
Introdu¸
c˜
ao
No espa¸co Euclidiano, a desigualdade de Gagliardo-Nirenberg ´otima
Z
IRn|
u|rdx
rθp
≤A(p, q,p(q−1) p−1 )
p θ
Z
IRn|∇
u|pdx
Z
IRn|
u|qdx
p(1
−θ)
θq
foi estudada por Del Pino e Dolbeault [12] no caso em que
r= p(q−1)
p−1 , 1< p≤q≤
p(n−1)
n−p e θ=
n(q−p)
(np−(n−p)q)(q−1), (1.1) onde a constante ´otimaA(p, q,p(qp−−11)) ´e dada em (6).
As fun¸c˜oes extremais foram obtidas em [12] atrav´es do m´etodo variacional, resultado de simetria para um problema envolvendo o p- Laplaciano e unicidade para este mesmo problema.
Nosso objetivo neste cap´ıtulo, ser´a provar a validade da desigualdade homogˆenea de Gagliardo-Nirenberg ´
otima
Z
IRn|
u|rdx
rθp
≤A(p, q,p(q−1) p−1 , f)
p θ
Z
IRn
f(∇u)dx
Z
IRn|
u|qdx
p(1
−θ)
θq
, (1.2)
onde a constante ´otimaA(p, q,p(qp−−11), f) ´e dada em (10),p, q er s˜ao coforme (1.1) e a fun¸c˜ao f :IRn→IR
´ep- homogˆenea, convexa, par e positiva.
Para encontrarmos as fun¸c˜oes extremais para esta fam´ılia de desigualdades, n˜ao podemos usar o m´etodo empregado em [12], pois nossa fun¸c˜aof, em geral, n˜ao ´e radial. Esta nova dificuldade foi superada atrav´es do uso de elementos da teoria de transporte de massa.
A t´ecnica de transporte de massa, foi empregada pela primeira vez no estudo da desigualdade de Gagliardo-Nirenberg ´otima por Cordero-Erausquin, Nazaret e Villani [11]. Eles provaram a desigualdade ´otima (1.2) considerando a norma dual f(x) = ||x||p∗ = sup||y||≤1x·y, onde x ∈(IRn)∗, x·y =
Pn
Nossa argumenta¸c˜ao, ser´a baseada em um resultado de transporte de massa devido a Brenier [7] e posteriormente refinado por McCann [23], tamb´em usaremos resultados de an´alise convexa.
Encerraremos o cap´ıtulo, calculando as constantes ´otimas para uma fam´ılia de normas emIRn.
1.2
Desigualdade de Gagliardo-Nirenberg
Vamos iniciar esta se¸c˜ao, listando alguns elementos da teoria de transporte de massa.
Defini¸c˜ao 1.2.1. Sejam µ e ν duas medidas de Borel n˜ao-negativas em IRn com mesma massa total. Ent˜ao uma aplica¸c˜ao T :IRn→IRn transporta µ emν se para todo Boreliano B⊂IRn tivermos
ν[B] =µ[T−1(B)].
Ou de forma equivalente, para toda fun¸c˜ao de Borel n˜ao-negativab:IRn→IR, Z
IRn
b(y)dν(y) =
Z
IRn
b(T(x))dµ(x). (1.3)
O principal ingrediente para provarmos a desigualdade de Gagliardo-Nirenberg ´e o seguinte resultado obtido por McCann [23]
Teorema 1.2.1. Sejam µ e ν duas medidas de probabilidade em IRn e µ absolutamente cont´ınua com respeito a medidade de Lebesgue. Ent˜ao existe uma fun¸c˜ao convexa ϕ:IRn→IR tal que ∇ϕ transporta µ
em ν. Al´em disso, ∇ϕ´e unicamente determinada µ−q.t.p..
O transporte ∇ϕ´e conhecido como aplica¸c˜ao de Brenier. Para nosso prop´osito, estaremos usando as seguintes medidas: dµ(x) =F(x)dxe dν(x) =G(x)dx, sendo F, Gfun¸c˜oes tais que
Z
IRn
G(x)dx=
Z
IRn
F(x)dx= 1.
Para toda fun¸c˜ao de Borel n˜ao-negativa b:IRn→IR, podemos reescrever a igualdade (1.3) e encontramos
Z
IRn
b(y)G(y)dy=
Z
IRn
b(∇ϕ(x))F(x)dx. (1.4)
A identidade (1.4) mostra que ϕresolve a seguinte equa¸c˜ao de Monge-Amper`e
F(x) =G(∇ϕ(x))detD2ϕ(x), (1.5)
ondeD2ϕ´e a matriz Hessiana deϕe esta igualdade deve ser interpretado no sentido de Aleksandrov, isto ´e, como a parte absolutamente cont´ınua da Hessiana distribucional da fun¸c˜ao convexa ϕ, os detalhes a respeito de (1.5) poder˜ao ser encontrados em [24].
Defini¸c˜ao 1.2.2. O Laplaciano distribucional deϕ´e definido por
∆Dϕ[φ] =
Z
IRn
ϕ(x)∆φ(x)dx,
O pr´oximo lema foi provado em [11].
Lema 1.2.1. Sejam u, v ∈C0∞(IRn), u, v >0, ||u||r =||v||r = 1 e p, q, r satisfazendo (1.1). Considere a
aplica¸c˜ao de Brenierϕ que transporta a medida urdx na medida vrdx. Ent˜ao
p(q−1)
q−p
Z
IRn
vqdx≤ −q
Z
IRn
uq−1∇u∇ϕdx+p(q−1)−n(q−p)
q−p
Z
IRn
uqdx.
Prova:
Considere F =ur e G=vr. Da equa¸c˜ao de Monge-Amp`ere (1.5),
G(∇ϕ(x)) p
−q
p(q−1) =F(x)
p−q
p(q−1)(det(D2ϕ(x)))− (p−q)
p(q−1), (1.6)
esta igualdade deve ser entendida no sentidoq.t.p.. No conjunto das matrizes sim´etricasn×nn˜ao-negativas, a aplica¸c˜ao M 7→(detM)− p
−q
p(q−1) ´e cˆoncava, pois 0≤ q−p
p(q−1) ≤ 1n uma vez queθ≤1. Da´ı,
−pp−q
(q−1)
−1
(detM)− p
−q
p(q−1) =
−pp−q
(q−1)
−1
(det(I+ (M−I)))− p
−q
p(q−1)
≤
−pp−q
(q−1)
−1
+ tr(M−I) =
−pp−q
(q−1)
−1
1−n
−pp−q
(q−1)
+ tr(M).
Substituindo esta desigualdade em (1.6), encontramos
−pp−q
(q−1)
−1
G(∇ϕ) p
−q
p(q−1) ≤ p(q−1)−n(q−p)
q−p F
p−q
p(q−1) +F
p−q
p(q−1)∆ϕ.
Integrando em rela¸c˜ao `a medida F(x)dx e usando o transporte de massa (1.4) comb=G p
−q
p(q−1), temos
p(q−1)
q−p
Z
IRn
G
q(p−1)
p(q−1)dx
≤ p(q−1)q−n(q−p) −p
Z
IRn
F
q(p−1)
p(q−1)dx+
Z
IRn
F
q(p−1)
p(q−1)∆ϕdx. (1.7)
Por [17], segue que ∆ϕ ≤ ∆Dϕ no sentido das distribui¸c˜oes. Por outro lado, como u, v tˆem suporte
compacto, a aplica¸c˜ao ∇ϕ ´e limitada no conjunto supp(u), pois ∇ϕ(supp(u)) ⊂ supp(v) ver [34], onde “supp”denota o suporte. Integrando por partes, encontramos
Z
IRn
F
q(p−1)
p(q−1)∆ϕdx≤
Z
IRn
F
q(p−1)
p(q−1)∆
Dϕdx=−
Z
IRn∇
(F
q(p−1)
p(q−1))∇ϕdx. (1.8)
Substituindo as fun¸c˜oes F e G pelas suas defini¸c˜oes e lembrando que r = p(qp−−11), temos, ap´os substituir (1.8) em (1.7),
p(q−1)
q−p
Z
IRn
vqdx≤ −q
Z
IRn
uq−1∇u∇ϕdx+p(q−1)−n(q−p)
q−p
Z
IRn
uqdx.
Considere f :IRn→IR uma fun¸c˜ao satisfazendo as seguintes propriedades:
para todoλ≥0,
f((1 +µ)x+µy)≤(1 +µ)f(x) +µf(y) (convexidade) (P.2) para todox, y∈IRn, µ∈[0,1],
f(x) =f(−x) (simetria) (P.3)
para todox∈IRn,
f(x)>0 (positividade) (P.4)
para todox6= 0.
Denotaremos por f∗ a transformada de Legendre da fun¸c˜ao f, cuja defini¸c˜ao ´e
f∗(x) = sup
y∈IRn{x·y−f(y)}.
´
E f´acil verificar que a transformada de Legendre satisfaz as propriedades (P.2), (P.3) e (P.4), al´em disso ´e
p′ - homogˆenea, onde 1p +p1′ = 1.
O pr´oximo lema, estabelece uma rela¸c˜ao entre a fun¸c˜ao f e sua transformada de Legendre f∗. Esta rela¸c˜ao, embora simples, ser´a de grande utilidade neste e no pr´oximo cap´ıtulo.
Lema 1.2.2. Sejam f uma fun¸c˜ao satisfazendo (P.1), (P.2) e(P.4) e 1< p <∞. Ent˜ao
(p−1)f(∇f∗(x)) =f∗(x),
no sentido q.t.p..
Prova:
Pela convexidade da fun¸c˜aof, temosf∗∗=f, este ´e um resultado cl´assico de an´alise convexa que pode ser encontrado, por exemplo, em [8] Teorema 1.10. Logo,
f(x) = sup
y∈IRn{x·y−f
∗(y)}.
A convexidade da fun¸c˜aof∗ implica que∇f∗(x) existeq.t.p.e que ∇f∗(x)·x−f∗(x)≥ ∇f∗(x)·y−f∗(y) para todo y ∈ IRn e q.t.p. em x. Como esta desigualdade ´e v´alida para todo y ∈ IRn, pela defini¸c˜ao da transformada de Legendre, temos
f(∇f∗(x))≤ ∇f∗(x)·x−f∗(x).
Pela defini¸c˜ao da fun¸c˜aof∗, verificamos que
f∗(x)≥ ∇f∗(x)·x−f(∇f∗(x)).
Portanto,
no sentidoq.t.p.. Por outro lado, ap′-homogeneidade def∗ implica que∇f∗(x)·x=p′f∗(x). Substituindo esta igualdade na anterior, obtemos
f(∇f∗(x)) = (p′−1)f∗(x).
Agora vamos estabelecer a desigualdade homogˆenea de Gagliardo-Nirenberg ´otima Euclidiana, este ´e o principal resultado desta se¸c˜ao.
Teorema 1.2.2. Sejam 1< p < n ef satisfazendo as propriedades de (P.1), (P.2), (P.3) e (P.4). Ent˜ao para toda fun¸c˜ao u∈Dp,q(IRn), temos
||u||r ≤A(p, q,
p(q−1)
p−1 , f)||f(∇u)||
θ p
1||u||1q−θ (1.9)
onde p, q, r eθ s˜ao como em (1.1). Al´em disso, todas as fun¸c˜oes extremais de(1.9) s˜ao dadas poru(x) =
αw(β(x−x0)), sendo α∈IR, β 6= 0, x0 ∈IRn e w´e dada em(9).
Prova:
Seja u ∈ Dp,q(IRn). Podemos assumir que u tem suporte compacto (por densidade), ´e n˜ao-negativa (pois ∇|u|=±∇u q.t.p.) e ||u||r = 1 (por homogeneidade).
Defina F = ur e G = wr em IRn, onde a fun¸c˜ao w ´e conforme o enunciado do teorema. Seja ∇ϕ
a aplica¸c˜ao de Brenier que transporta F(x)dx `a G(x)dx. Utilizando a desigualdade de Fenchel x·y ≤ f(x) +f∗(y), comx=−∇uey=uq−1∇ϕ, e as hip´oteses quef ´e par e r= p(qp−−11) no Lema 1.2.1, obtemos
p(q−1)
q(q−p)
Z
IRn
wqdx≤
Z
IRn
f(∇u)dx+
Z
IRn
urf∗(∇ϕ)dx+p(q−1)−n(q−p)
q(q−p)
Z
IRn
uqdx. (1.10)
Agora, usando f∗ no lugar de bem (1.4), substituindo uλ(x) =λ
n(p−1)
p(q−1)u(λx) no lugar deu e sendoλ >0,
K1≤λn(p
−q)+p(q−1)
q−1 ||f(∇u)||
1+K2λ
n(p−q)
p(q−1)||u||q
q, (1.11)
onde
K1 =
p(q−1)
q(q−p)
Z
IRn
wqdx−
Z
IRn
f∗(x)wrdx
e
K2=
p(q−1)−n(q−p)
q(q−p) ≥0.
Minimizando em λ, segue a desigualdade homogˆenea de Gagliardo-Nirenberg. Os c´alculos a seguir s˜ao independentes de (1.11), em particular, eles nos mostram queK1 >0.
Agora, vamos mostrar que w ´e uma fun¸c˜ao extremal para esta desigualdade. Para isto ´e suficiente checarmos que a desigualdade (1.10) torna-se igualdade quando u = w. De fato, igualdade em (1.10) implica igualdade em (1.11) com λ = 1. Logo, o ´ınfimo em (1.11) ´e atingido. Isto mostra que w ´e uma fun¸c˜ao extremal para (1.9).
Utilizando integra¸c˜ao por partes e a propriedade∇f∗(x)·x= p−p1f∗(x), a qual segue dap′- homogeneidade de f∗, temos
Z
IRn
wqdx= 1
n
Z
IRn
(σ+q−p
p−1f
∗(x))−q(p−1)
q−p div(x)dx
= q
n
Z
IRn
(σ+q−p
p−1f
∗(x))−p(q−1)
q−p ∇f∗(x)·xdx= pq
n(p−1)
Z
IRn
(σ+q−p
p−1f
∗(x))−p(q−1)
q−p f∗(x)dx
= pq
n(p−1)
Z
IRn
f∗(x)wp(q
−1)
p−1 dx.
Do Lema 1.2.2,
Z
IRn
f(∇w)dx=
Z
IRn
f((σ+q−p
p−1f
∗(x))−q−1
q−p∇f∗(x))dx
= 1
p−1
Z
IRn
(σ+q−p
p−1f
∗(x))−p(q−1)
q−p f∗(x)dx= 1
p−1
Z
IRn
f∗(x)wp(q
−1)
p−1 dx.
Substituindo estas igualdades em (1.10) e usando f∗ no lugar de b em (1.4), encontramos a igualdade procurada.
Para mostrar que todas as fun¸c˜oes extremais s˜ao da forma u(x) =αw(β(x−x0), basta seguir a prova do Teorema 5 de [11], fazendo pequenas modifica¸c˜oes ´obvias.
Com isto, conclu´ımos o teorema.
No teorema anterior, tomandoq= p(nn−−p1) temosθ= 1 er=p∗. Ent˜ao, obtemos a seguinte desigualdade homogˆenea de Sobolev ´otima Euclidiana
Teorema 1.2.3. Sejam 1< p < n e f satisfazendo as propriedades de (P.1), (P.2), (P.3) e(P.4). Ent˜ao, para toda fun¸c˜ao u∈D1,p(IRn), temos
||u||p∗ ≤A(p, f)||f(∇u)||
1
p
1 (1.12)
onde A(p, f) =A(p,p(nn−−p1),p(qp−−11), f). Al´em disto, todas as fun¸c˜oes extremais para a desigualdade (1.12)
s˜ao da formau(x) =αw(β(x−x0))paraα∈IR, β= 06 ,x0∈IRn ew´e definida em(9)usandoq = p(nn−−p1).
1.3
Exemplo
Como uma aplica¸c˜ao dos resultados anteriores, vamos calcular as constantes ´otimas das desigualdades de Gagliardo-Nirenberg e Sobolev para uma fam´ılia de normas.
Denote por fµ:IRn→IR a norma µ, ou seja,fµ(x) = 1p|x|pµ, onde|x|µ= (Pni=1|xi|µ)
1
µ para 1≤µ <∞ e
|x|∞= max{|xi|;i= 1,· · · , n}.
Para calcular as constantes ´otimas, necessitaremos da transformada de Legendre da fun¸c˜aofµ. Vamos registrar esse fato no seguinte lema:
Lema 1.3.1. Seja fµ como acima. Ent˜ao a transformada de Legendre de fµ ´e dada por fµ∗(x) = p1′|x|
p′
ν,
onde 1p +p1′ = 1 e 1
µ+ 1ν = 1. Como caso limite temos f1∗(x) = p1′|x|
p′
∞ ef∞∗ (x) = p1′|x|
p′
Prova:
Suponha 1 < µ < ∞. Note que, pela defini¸c˜ao da transformada de Legendre, fµ∗ ´e p′ - homogˆenea e satisfaz as condi¸c˜oes (P.2), (P.3) e (P.4).
Pelo Lema 1.2.2, trocandofµ∗ porfµ e comofµ∗∗=fµ, temos (p′−1)fµ∗(∇fµ(x)) =fµ(x).
Substituindo∇fµ(x) =|x|pµ−µ(|x1|µ−2x1,· · ·,|xn|µ−2xn) na igualdade acima, decorre que
p−1
p |x|
p
µ=fµ∗(∇fµ(x)) =fµ∗(|x|pµ−µ(|x1|µ−2x1,· · · ,|xn|µ−2xn)) =|x|µp′(p−µ)fµ∗((|x1|µ−2x1,· · ·,|xn|µ−2xn)),
pois 1p +p1′ = 1.
Usando o fato queν ´e o conjugado deµ, segue da igualdade anterior que
fµ∗((|x1|µν−1x1,· · ·,|xn| µ
ν−1xn)) = 1
p′|x|
p′µ
ν
µ .
Fazendo a mudan¸ca de vari´avelyi =|xi|
µ
ν−1xi, vemos que a transformada de Legendre defµ ´e dada por
fµ∗(y) = 1
p′|y|
p′
ν.
Como caso limite desta desigualdade, deduzimos que f1∗(y) = p1′|y|
p′
∞ ef∞∗ (y) = p1′|y|
p′
1.
Teorema 1.3.1. Seja 1≤µ≤ ∞. Ent˜ao as constantes ´otimas das desigualdades de Sobolev e Gagliardo-Nirenberg s˜ao dadas, respectivamente, por
A(p, f1) =p1p
√π
2Γ(n2 + 1)n1
A(p),
A(p, fµ) =p1p Γ(
1 2 + 1) Γ(1ν + 1)
!
Γ(nν + 1) Γ(n2 + 1)
n1
A(p),
A(p, q, f1) =pθp
√π
2Γ(n2 + 1)n1
!θ
A(p, q,p(q−1) p−1 ),
e
A(p, q, fµ) =p
θ p Γ(
1 2 + 1) Γ(1ν + 1)
!θ
Γ(nν + 1) Γ(n2 + 1)
nθ
A(p, q,p(q−1) p−1 ),
Prova:
Suponha 1< µ≤ ∞. Durante a prova, necessitaremos da identidade
Z
Sn−1
n
Y
i=1
|yi|
2−ν
ν dS(y) = 2nΓ(
1 ν)n
νΓ(nν + 1), (1.13)
ondeSn−1 denota a esfera emIRn de raio 1 e Γ ´e a fun¸c˜ao gama. Para provar esta igualdade, tome a carta
ψ : Dn−1 ⊂ IRn−1 → Sn−1 definida por ψ(y1,· · ·, yn−1) = (y1,· · ·, yn−1,(1−(y21 +· · ·+y2n−1))
1
2), onde
Dn−1 denota o disco unit´ario em IRn−1. Denotando por g a m´etrica Riemanniana de Sn−1 induzida de
IRn, temos que detg= 1−(y2 1
1+···+y2n−1) na carta ψ. Da´ı,
Z
Sn−1
n
Y
i=1
|yi|
2−ν
ν dS(y) = 2
Z
Dn−1
|y1|
2−ν
ν × · · · × |yn−1|2
−ν
ν ×(1−(y2
1+· · ·+yn2−1))
2−ν
2ν
(1−(y2
1+· · ·+y2n−1))
1 2
dy
= 2
Z
Dn−1|
y1|
2−ν
2 × · · · × |yn−1| 2−ν
ν ×(1−(y2
1 +· · ·+yn2−1))
1−ν ν dy
= 2
Z 1
0
Z
Sn−2|
y1|
2−ν
ν × · · · × |yn−1|
2−ν
ν ×(1−r2)
1−ν ν ×r
(2−ν)(n−1)
ν +n−2dS(y)dr
= 2
Z 1
0
(1−r2)1−ννr
2(n−1)
ν −1dr
Z
Sn−2|
y1|
2−ν
ν × · · · × |yn−1|
2−ν ν dS(y).
Usando indu¸c˜ao sobren, obtemos
Z
Sn−1
n
Y
i=1
|yi|2−ννdS(y) = 2n
n−1
Y
i=1
Z 1
0
(1−r2)1−ννr
2(n−i)
ν −1dr. (1.14)
Por mudan¸ca de vari´avel, segue que
Z 1
0
(1−r2)1ν−1r
2(n−i)
ν −1dr= 1
2
Z 1
0
(1−t)ν1−1tn
−i
ν −1dt.
Reescrevendo a integral acima, usando a fun¸c˜ao gama, ou seja, da propriedade
Z 1
0
tx−1(1−t)y−1dt= Γ(x)Γ(y) Γ(x+y), ondex, y >0, este fato pode ser encontrado em [2],
temos
1 2
Z 1
0
(1−t)1ν−1t n−i
ν −1dt= 1
2
Γ(nν−i)Γ(ν1) Γ(n−νi+1) .
Finalmente, substituindo esta igualdade em (1.14) e usando a propriedade Γ(x+ 1) = xΓ(x), obtemos (1.13).
Para calcular a constante ´otimaA(p, q, fµ), basta considerar qualquer fun¸c˜ao minimizadora do Teorema 1.2.2 com rela¸c˜ao `a fun¸c˜ao fµ, pois (8) ´e invariante por homotetia, transla¸c˜ao e dilata¸c˜ao.
Ent˜ao, passaremos a calcular as integrais da seguinte igualdade:
A(p, q, fµ) = ||wµ||r||wµ|| 1−θ q
||fµ(∇wµ)||
θ p
1
onde wµ ´e uma fun¸c˜ao extremal de (1.9), que iremos tomar como sendo wµ(x) = 1 +fµ∗(x)
−pq−−p1
. Apli-cando o Lema 1.3.1 nessa igualdade, temos
wµ(x) =
1 + 1
p′|x|
p′
ν
pp−−1q
.
A primeira integral de (1.15) a ser calculada ´e
||fµ(∇wµ)||1. Como∇wµ= pp−−1q(1 +p1′|x|
p′
ν)
q−1
p−q|x|p ′
−ν
ν xνi−1 e sendoν = (ν−1)µ, temos
fµ(∇wµ) = 1
p
p−1
q−p
p
(1 + 1
p′|x|
p′
ν)
p(q−1)
p−q |x|p ′
ν . Fazendo a mudan¸ca de vari´avel
xi=p′p1′
|yi|2−ννyi,
encontramos
Z
IRn
fµ(∇wµ)dx=
p′ pp
′pn′
2
ν
n
p−1
q−p
pZ
IRn
(1 +|y|2p
′
ν ) p(q−1)
p−q |y|2p
′
ν
n
Y
i=1
|yi|
2−ν
ν dy
= p
′
pp
′pn′
2
ν
n
p−1
q−p
pZ ∞
0
r2(p
′
+n)
ν −1
(1 +r2p
′
ν ) p(q−1)
q−p
dr
Z
Sn−1
n
Y
i=1
|yi|
2−ν ν dS(y).
Fazendo outra mudan¸ca de vari´avelt=r2p
′
ν , temos
Z
IRn
fµ(∇wµ)dx= 1
pp
′pn′
2 ν n ν 2
p−1
q−p
pZ ∞
0
tpn′
(1 +t)p(q
−1)
q−p
dt
Z
Sn−1
n
Y
i=1
|yi|
2−ν ν dS(y).
Aplicando a propriedade da fun¸c˜ao gama
Z ∞
0
tx−1
(1 +t)x+ydt=
Γ(x)Γ(y)
Γ(x+y) (1.16)
juntamente com a identidade (1.13) na igualdade acima, obtemos
Z
IRn
fµ(∇wµ)dx= p
′pn′
p n
2
ν
n
p−1
q−p
p Γ(n
p′ + 1)Γ(
p(q−1)
q−p −pn′ −1)
Γ(p(qq−−p1))
Γ(1ν)n Γ(nν + 1). Como
p(q−1)
q−p − n p′ −1 =
p−1
p
pq−nq+np q−p
e
Γ(p(q−1)
q−p ) =
q(p−1)
q−p Γ(
q(p−1)
ent˜ao
Z
IRn
fµ(∇wµ)dx=
p′pn′
pq n
2
ν
n
q−p p−1
p−1
q−p
p Γ(n(p−1)
p + 1)Γ( p−1
p
pq−nq+np q−p ) Γ(q(pq−−p1))
Γ(1ν)n
Γ(nν + 1), (1.17)
onde tamb´em usamos o fato que 1p +p1′ = 1.
Assim, conclu´ımos a primeira etapa. A pr´oxima integral a ser calculada ´e
||wµ||qq.
Usando a mudan¸ca de vari´avel
xi=p′
1
p′
|yi|
2−ν ν yi,
temos
Z
IRn
wµqdx=
Z
IRn
(1 + 1
p′|x|
p′
ν)
q(p−1)
p−q dx=p′ n p′ 2 ν nZ IRn
(1 +|y|
2p′
ν
2 )
q(p−1)
p−q
n
Y
i=1
|yi|
2−ν ν dy
=p′pn′
2
ν
nZ ∞
0
r2nν−ν
(1 +r2p
′
ν ) q(p−1)
q−p
dr
Z
Sn−1
n
Y
i=1
|yi|
2−ν ν dS(y).
Com uma outra mudan¸ca de vari´avelt=r2p
′
ν , encontramos
Z
IRn
wµqdx=p′pn′
2
ν
n
ν
2p′
Z ∞
0
tpn′−1
(1 +t)q(p
−1)
q−p
dt
Z
Sn−1
n
Y
i=1
|yi|
2−ν ν dS(y).
Usando a propriedade (1.16) e a igualdade (1.13), deduzimos
Z
IRn
wµqdx=p′pn′
2 ν n n p′
Γ(pn′)Γ(
q(p−1) q−p −
n p′)
Γ(q(pq−−p1))
Γ(1ν)n Γ(nν + 1). Como
q(p−1)
q−p − n p′ =
p(q−1)
q−p − n p′ −1 =
p−1
p
pq−nq+np q−p
e tamb´em usando a propriedade Γ(pn′) =
p′
nΓ(pn′ + 1), ficamos com a identidade
Z
wqµdx=p′pn′
2
ν
nΓ(n(p−1)
p + 1)Γ( p−1
p
pq−nq+np q−p ) Γ(q(pq−−p1))
Γ(1ν)n
Γ(nν + 1). (1.18)
E fica encerrado o c´alculo da segunda integral. A ´ultima integral a ser calculada ´e
||wµ||rr. Novamente usando a mudan¸ca de vari´avel
xi =p′
1
p′
|yi|
segue
Z
IRn
wµrdx=
Z
IRn
(1 + 1
p′|x|
p′
ν)
p(q−1)
p−q dx=p′ n p′ 2 ν nZ IRn
(1 +|y|
2p′
ν
2 )
p(q−1)
p−q
n
Y
i=1
|yi|
2−ν ν dy
=p′pn′
2
ν
nZ ∞
0
r2nν−ν
(1 +r2p
′
ν ) p(q−1)
q−p
dr
Z
Sn−1
n
Y
i=1
|yi|2−ννdS(y).
Ainda, fazendo a mudan¸ca de vari´avelt=r2p
′
ν , obtemos
Z
IRn
wµrdx=p′pn′
2
ν
n
ν
2p′
Z ∞
0
tpn′−1
(1 +t)p(q
−1)
q−p
dt
Z
Sn−1
n
Y
i=1
|yi|2−ννdS(y).
Da propriedade da fun¸c˜ao gama (1.16) e da igualdade (1.13), temos
Z
IRn
wµrdx=p′pn′
2 ν n n p′
Γ(pn′)Γ(
p(q−1) q−p −pn′)
Γ(p(qq−−p1))
Γ(1ν)n
Γ(nν + 1). (1.19)
Como
p(q−1)
q−p − n p′ =
q(p−1)
q−p − n p′ + 1 =
p−1
p
pq−nq+np q−p + 1,
usando as propriedades Γ(pn′) =
p′
nΓ(pn′ + 1) e
Γ(p(q−1)
q−p − n p′) =
p−1
p
pq−nq+np q−p Γ(
p−1
p
pq−nq+np q−p )
e substituindo em (1.19), nos d´a
Z
IRn
wµrdx=p′pn′
2
ν
n
pq−nq+np pq
Γ(n(pp−1) + 1)Γ(p−p1pq−qnq+np−p )
Γ(q(pq−−p1))
Γ(1ν)n
Γ(nν + 1). (1.20) E assim, conclu´ımos o c´alculo da ´ultima integral.
Como θ= (np−(nn(q−−p)q)(qp) −1) er = p(qp−−11), segue, por alguns c´alculos simples,
θ p +
1−θ q −
1
r = θ n.
Desse fato, mais (1.17), (1.18) e (1.20) substitu´ıdos em (1.15), deduzimos
A(p, q, fµ) =
p′pn′ 2
ν
n pq−nq+np
pq
1r
p′pn′ 2
ν
n
1−θ q
p′
n p′
pq n ν2
n q−p
p−1
p−1 q−p
p
θ p
(Λ)nθ Γ(
n ν + 1) Γ(1ν)n
!nθ
,
onde
Λ = Γ(
q(p−1) q−p )
Como (p1′)
θ p′
= (p−p1)θ(p−p1)−θp, Γ(1
2) =π
1
2 e por 6, obtemos
A(p, q, fµ) =ppθA(p, q,p(q−1)
p−1 )
Γ(12 + 1) Γ(1ν + 1)
!θ
Γ(nν + 1) Γ(n2 + 1)
θn
.
Fazendo µ→1, encontramos
A(p, q, f1) =pθpA(p, q,p(q−1)
p−1 )
π12
2Γ(n2 + 1)n1
!θ
.
Cap´ıtulo 2
Desigualdade homogˆ
enea de Sobolev
´
otima Riemanniana
2.1
Introdu¸
c˜
ao
Seja (M, g) uma variedade Riemanniana compacta de dimens˜ao n. Considere F : T M → IR com
F ∈ F. ´E f´acil obter constantesA, B∈IR tais que a desigualdade homogˆenea de Sobolev Riemanniana
Z
M|
u|p∗dvg
pp∗
≤A
Z
M
F(∇gu)dvg+B
Z
M|
u|pdvg (2.1)
´e v´alida para toda fun¸c˜ao u∈H1,p(M). Diremos que
A0(p, F) = inf{A∈IR; existe B ∈IR tal que (2.1) ´e v´alida}. (2.2) ´e aconstante ´otima.
Neste cap´ıtulo, estudaremos a validade e n˜ao-validade da desigualdade homogˆenea de Sobolev ´otima
Z
M|
u|p∗dvg
pp∗
≤A0(p, F)
Z
M
F(∇gu)dvg+B
Z
M|
u|pdvg. (2.3)
Nossa primeira meta ser´a estabelecer resultados que nos permitam transitar entre as desigualdades Eu-clidiana e Riemanniana. Isto permitir´a encontrar uma rela¸c˜ao entre as constantes ´otimas Euclidiana e Riemanniana. No caso cl´assico (F([x, i, v]) =|[x, i, v]|p), a desigualdade ´otima foi provada para 1< p≤2 em 1999, de forma independe, por Aubin e Li [5] e por Druet [14].
A n˜ao-validade, para 2< p < n+23 , da desigualdade ´otima (2.3), foi provada em 1998 por Druet [13] no caso cl´assico.
2.2
Desigualdade de Sobolev com
ǫ
Iniciaremos o cap´ıtulo listando defini¸c˜oes e resultados de topologia diferencial, que servir´a como re-ferˆencia ao longo do texto.
Seja (M, g) uma variedade Riemanniana de dimens˜ao n. Ofibrado tangente de M ´e definido por:
T M ={[x, i, v];x∈M, i∈Λ, v∈IRn},
onde Λ ´e um conjunto de ´ındices. A classe de equivalˆencia ´e definida da seguinte forma: sejamϕi eϕj dois sistemas de coordenadas, x, y∈M e v, w∈IRn, ent˜ao [x, i, v] = [y, j, w] se:
1)x=y
2)D(ϕjϕ−i 1)(ϕi(x))v=w, ondeDdenota a derivada de uma aplica¸c˜ao deIRn emIRn.
Seja p :T M → M uma aplica¸c˜ao definida por [x, i, v] 7→ x. ´E f´acil ver que esta aplica¸c˜ao est´a bem definida.
Para U ⊂ M um aberto, denotaremos por T U = p−1(U); e o espa¸co tangente num ponto x ∈ M por
TxM =p−1(x). Dada uma carta (ϕi, Ui) a aplica¸c˜ao
Tϕi : T Ui→ϕi(Ui)×IRn⊂IRn×IRn
[x, i, v]7−→(ϕi(x), v), (2.4)
est´a bem definida e ´e bijetora. Destas observa¸c˜oes verificamos que a aplica¸c˜ao
(Tϕj)(Tϕi)
−1: ϕi(U
i∩Uj)×IRn→ϕj(Ui∩Uj)×IRn (y, v)7−→(ϕjϕ−i 1(y), D(ϕjϕ−i 1)(y)v),
´e um homeomorfismo. Ent˜ao,T M tem uma topologia que faz cadaTϕi um homeomorfismo e esta topologia
´e ´unica. Como ϕjϕ−i 1 ´e suave, segue que Tϕj(Tϕi)−1 tamb´em ´e suave. Logo, T M ´e uma variedade suave
de dimens˜ao 2n, cujas cartas naturais s˜ao dadas por (Tϕi, T Ui).
O espa¸co vetorial dual do espa¸co tangente TxM, ´e chamado espa¸co cotangente de M em x, denotaremos tal espa¸co porTx∗M.
O fibrado vetorial sobreM cuja fibra no pontox´eTx∗M, ser´a denotado porT∗M e chamaremos defibrado cotangente.
Vamos escrever, de modo gen´erico, < ·,· >g para denotar o produto interno dado pela m´etrica g em espa¸co tangente, ou seja, <[x, i, v],[x, i, w]>g=g(x)([x, i, v],[x, i, w]) com [x, i, v],[x, i, w]∈TxM.
Estaremos denotando por
| · |=<·,·>
1 2
g, (2.5)
a norma que prov´em da m´etricag. Tamb´em estaremos denotando por|·|a norma Euclidiana, por´em ficar´a claro no contexto `a qual norma estaremos nos referindo.
Sejam (αi)i=1,···,n uma base paraTxM e (βj)j=1,···,n uma base paraTx∗M, suponha αi = ∂x∂i,βj =dxj em coordenadas locais, ent˜ao temos que a m´etrica no fibrado cotangente, nestas coordenadas locais, ´e dada por << ω, η >>g= gij(x)ωiηj, onde ω = ωidxi, η = ηidxi ∈ Tx∗M e (gij) ´e a matriz inversa da m´etrica (gij). Aqui, e no que segue, estaremos usando a conven¸c˜ao de Einstein para soma, isto ´e, ηidxi ´e uma abrevia¸c˜ao para Pn
i=1ηidxi egij(x)wiηj paraPni=1
Pn
