Introdu~ao a Teoria Qu^antia de Campos:
do Osilador Harm^onio ao Campo Esalar Livre
RodrigoGonalves Pereira e EduardoMiranda
Institutode FsiaGlebWataghin,Uniamp, C.P.6165, CEP13083-970 -Campinas,SP
Reebidoem8maro,2002. Aeitoem8demaio,2002.
As teorias qu^antiasde ampo s~ao fundamentais em teoria de Materia Condensada e Fsia de
AltasEnergias. Nesseartigomostramosomoumformalismotpiodeteoriasdeampospodeser
introduzidodidatiamente,generalizandoasolu~aodoosiladorharm^onioparaumgrandenumero
degrausdeliberdade. No limiteontnuo, essemetodonoslevaaquantiza~aodoampodeuma
ordaestiadavibranteeaexist^eniadosf^ononsomoexita~oeselementares(\partulas")desse
ampo.Oproedimentopodeserusadoomointrodu~aoelementarasteoriasqu^antiasdeampo
atravesdeferramentasensinadasemumursodegradua~aodeMe^aniaQu^antia.
Quantumeld theoriesare entral to both Condensed Matterand High-Energy Physis. Inthis
artile, we show how a typial eld theoretial formalism an be pedagogially onstruted by
generalizing thesolutionofaharmoniosillator toalargenumberof degreesof freedom. Inthe
ontinuumlimit,this methodleadsto thequantizationof theeldofavibratingstrethedstring
as well as to the existene of phonons as elementary exitations (\partiles") of this eld. The
proedure anbe used as anelementary introdution toquantumeld theoryby means oftools
taughtatanundergraduateourseinQuantumMehanis.
I Introdu~ao
Entendemosporampouma fun~aodenida emtodos
os pontos do espao. Porser denido sobre um
on-junto ontnuo de pontos, um unio ampo inorpora
um numeroinnito de grausdeliberdade. Oexemplo
maisfamiliareoampoeletromagnetio,queeoentro
dasaten~oesdetodooEletromagnetismo[1℄.
A proposta da Teoria Qu^antia de Campos e
quantizar esses objetos matematios, assim omo a
Me^ania Qu^antia trata de quantizar as grandezas
fsiasrelaionadasaomovimentodeumnumeronito
de partulas. A forma de fazer isso e esrever os
observaveis em termos de operadores que aumentam
ou diminuem o numero de ertas quantidades
disre-tas no sistema,onheidos omo quanta de exita~ao.
Taisquantidadess~aoent~aoidentiadasompartulas
elementares ujas propriedades (omo massa, arga
eletriaespin)sereetem naspropriedadesdoampo.
Por exemplo, as partulas que resultam da
quan-tiza~aodoampoeletromagnetio(maispropriamente,
do quadripotenial A
) s~ao os fotons, que t^em massa
earga nulasespin1. Como todaainforma~aosobre
o numero e estado das partulas pode ser resumida
nadesri~aodoestadodoampo,oformalismode
teo-ria de ampos e onveniente para tratar sistemas de
muitaspartulas. Maisdoqueisso: numateoria
rela-tivstia,ompossibilidadederia~aoeaniquila~aode
partulas, a fun~ao de onda de uma partula perde
o signiado, e o formalismo de ampose essenial e
inevitavel[2,3℄.
O objetivo deste artigo e mostrar omo
quanti-zar um ampo unidimensional, orrespondente a uma
orda vibrante, da maneira mais pedagogia possvel.
Esse proedimento torna-se bastante simples quando
omeamostratandoumsistemadisretodeosiladores
aoplados. Porisso, na se~ao II,revisamos a solu~ao
qu^antia do osiladorharm^onio. Nase~aoIII,
trata-mosoproblemadedoisosiladoresaoplados.Nase~ao
IV,generalizamosasolu~aoparaN osiladores
aopla-dos,diagonalizandooHamiltonianoatravesdosmodos
normaisdevibra~ao. Porm,na se~aoV, tomamoso
limite ontnuo(par^ametro de redeindo a zero)e
en-ontramosoespetrodoHamiltonianodanossateoria
deampo.
II Osilador harm^onio
O osilador harm^onio unidimensional de massa m e
onstante demolaCeregidopelaLagrangiana[4℄
L(x;x )_ = 1
mx_ 2
1
Cx 2
ondexeaposi~aodapartula. Omomento
anonia-menteonjugadoaxe
p= L
x_
=mx:_ (2)
OHamiltoniano,quedeveseresritoomofun~aodex
ep,e
H(x;p)=px_ L= p
2
2m +
1
2 Cx
2
: (3)
A quantiza~ao do movimento da partula e feita
assoiando-seax epoperadoresHermitianosque
sat-isfazemarela~aodeomuta~aoan^onia
[x;p℄=i~: (4)
Um estado qualquer da partula e desrito por um
ket generio j i. Na base de autoestados de posi~ao
fjxig, j i e representado por uma fun~ao de onda
(x)=hxj i,talquej (x)j 2
=
(x) (x)representa
adensidade deprobabilidade deenontrar apartula
entre x e x+dx. Queremosenontrar assolu~oesda
equa~aodeShrodingerindependente dotempo
Hj i=Ej i; (5)
ondeosvaloresdeE s~aoasenergiaspermitidasdo
sis-tema. Paraisso, denem-se osoperadores
adimensio-nais
x =
r
m!
~
x; (6)
p =
1
p
m~!
p; (7)
onde!= q
C
m
,quesatisfazem
[x;p℄ =i: (8)
OHamiltonianoaent~ao
H = 1
2 ~! p
2
+x 2
: (9)
Denem-seosoperadoresaea y
naforma
a = 1
p
2
(x+ip) ; (10)
a y
= 1
p
2
(x ip) : (11)
Invertendoessasrela~oes,obtemos
x =
1
p
2 a+a
y
; (12)
p =
i
p
2 a a
y
: (13)
DaEq. (8),temos
a;a y
=1: (14)
SubstituindoxepnaEq. (9), obtemosH naforma
H =~!
N+ 1
2
; (15)
ondeNa y
aehamadodeoperadornumero. De(14),
temosasrela~oesdeomuta~aoentreH eosoperadores
aea y
[H;a℄ = ~!a; (16)
H;a y
= ~!a y
: (17)
DeorredasEq. (16)e(17)que,sej ieumautovetor
deH omenergiaE,ent~aoa y
j ieaj is~aoautovetores
deH omenergiasE+~! eE ~!,respetivamente,
pois
H;a y
j i=~!a y
j i ) Ha y
j i=(E+~!)a y
j i; (18)
[H;a℄j i= ~!aj i ) Haj i=( E ~!)aj i: (19)
d
Logo, a aniquilaum quantum de energia~! ea y
ria
omesmo quantum. Porisso,osoperadoresae a y
s~ao
onheidosomooperadordeaniquila~ao eoperadorde
ria~ao.
Oespetrode N eformado por inteirosn~ao
nega-tivosn=0;1;2;:::[4℄. Consequentemente,osnveisde
energias~aodisretosedadospor
E
n =~!
n+ 1
(n=0;1;2;:::): (20)
A menor energia permitida e a hamada energia de
pontozero
E
0 =
1
2
~!: (21)
Oestadofundamental,denotadoporj0i,etalque
aj0i=0; (22)
pois o operador a n~ao pode riar nveis om energia
menor do que E
0
. O n-esimoestado exitadoe
operadorderia~aonvezessobreoestadofundamental jni= 1 p n! a y n
j0i; (23)
onde 1/ p
n! e a onstante de normaliza~ao, tal
que hnjni = 1. A atua~ao dos operadores de
ria~aoeaniquila~aosobreosauto-estadosdoosilador
harm^onioedadapor
ajni = p
njn 1i; (24)
a y
jni = p
n+1jn+1i: (25)
Pode-sedemonstrarqueafun~aodeondadoestadojni
e
n
(x)=hxjni=H
n (x)e 1 2 m! ~ x 2 ; (26) ondeH n
(x)eopolin^omiodeHermitedeordemn.
III Dois osiladores aoplados
Podemostratarproblemasqueenvolvemmaisdeuma
partula usando a equa~ao de Shrodinger
indepen-dentedotempo(5),onde eagoraumafun~aodasN
oordenadasqueinformamaposi~aodeadapartula
eEeaenergiadosistema. Denotaremosessasposi~oes
por u
1 ;u
2 ;:::;u
N
; assim, = (u
1 ;u
2 ;:::;u
N )
(u
j
). Paraquantizaressesistema,preisamos
onhe-eroHamiltonianolassioemfun~aodasquantidades
anoniamenteonjugadas eent~aoassoiaroperadores
a essas quantidades. Se a energia potenial depender
apenasdas oordenadas, aLagrangianaseradada por
[5℄
L[u
j ;u_
j ℄= N X j=1 1 2 m j : u 2 j V (u 1 ;:::;u
N
): (27)
Se p j = L= : u j = mu_
j
eo momento anoniamente
onjugadoau
j
,oHamiltonianolassiosera
H[u j ;p j ℄= N X j=1 p j _ u j L= N X j=1 p 2 j 2m j +V(u
1 ;:::;u
N ):
(28)
Assoiam-seasvariaveisan^oniaslassiasoperadores
deposi~aou
i
emomento p
i quesatisfazem [u i ;u j
℄ = [p
i ;p
j
℄=0; (29)
[u
i ;p
j
℄ = i~Æ
ij
: (30)
Comeamos om o problema simples de duas
partulas, de massas m
1 e m
2
, ligadas pela energia
potenial
V( u
1 ;u 2 )= 1 C(u 2 u 1 ) 2 ; (31)
que orrespondeao problema lassio de duas massas
aopladasporuma moladeonstanteC :O
Hamiltoni-anodosistemae
H = p 2 1 2m 1 + p 2 2 2m 2 + 1 2 C(u 2 u 1 ) 2 : (32)
EonvenientereesreveraEq. (32)emtermosdas
no-vasoordenadas
v = u
2 u 1 ; (33) w = m 1 u 1 +m 2 u 2 M ; (34)
ondeM m
1 +m
2
: As oordenadasv e w s~ao
fail-mente reonheidas omo a oordenada relativa entre
m
1 e m
2
e a oordenada do entro de massa do
sis-tema,respetivamente. Osmomentosonjugadosave
ws~ao
p v = m 1 p 2 m 2 p 1 M ; (35) p w = p 1 +p 2 : (36)
Comessatransforma~ao,obtem-se
H = p 2 v 2 + 1 2 Cv 2 + p 2 w 2M ; (37)
onde m
1 m 2 =(m 1 +m 2
) e a massa reduzida. O
Hamiltoniano(37)eseparavelnasvariaveisv ew;isso
signiaque afun~aode ondaeaenergiadosestados
estaionariospodem seresritasnaforma
(v;w) = '(v)(w); (38)
E = E
v +E
w
: (39)
Aequa~aoemwe
p 2
w
2M
(w)=E
w
(w); (40)
eorrespondeaomovimentodeuma partulalivrede
massaM omenergia inetiaE
w
. Denindo-se ktal
que E w = ~ 2 k 2 2M ; (41)
asolu~aoeumaondaplanadotipo
(w)=e ik w
: (42)
Jaaequa~aoemv e
p 2 v 2 + 1 2 Cv 2
'(v)=E
v
'(v): (43)
Comparando-seom(3),v^e-sequeessaeaequa~aode
Shrodinger de um osilador harm^onio om massa
efrequ^enia ! = p
nveisdeenergias~aoquantizadosomoem(20)e'
n (v)
edadapor(26). Logo,aenergiatotale
E= ~
2
k 2
2M +~!
n+ 1
2
: (44)
O metodo empregado aima sugere uma
generali-za~ao que permite trataroaso de N orpos. O fato
fundamental eque aequa~ao de Shrodinger
indepen-dente do tempo torna-se separavel quando se esolhe
um sistema de oordenadas onveniente. Noaso
on-siderado, aoordenadav orrespondeaumaformade
movimentoemquetantom
1
quantom
2
vibravamom
afrequ^enia!;porsuavez,worrespondeatransla~ao
onjunta dem
1 e m
2
{oque pode serenaradoomo
umavibra~aoomfrequ^enia!=0:Cada uma dessas
formas de movimento, em que todas as partulas
vi-bramomamesmafreq u^enia,ehamadade ummodo
normaldo sistema.
Temos,ent~ao,umaestrategiapararesolvero
proble-maqu^antio deN osiladoresaoplados: enontraros
modosnormaisdosistema pelamesmatenia
empre-gadanoasolassio,separaraequa~aodeShrodinger
nas oordenadas dos modos normais e reduzir o
pro-blema a N equa~oes de osiladores harm^onios
sim-ples, ujasolu~ao jaonheemos. Essaestrategiasera
seguidanaproximaSe~ao.
IV N osiladores aoplados
IV.1 Diagonaliza~ao do Hamiltoniano
Vamos onsiderar agora o problema de N massas
aopladas por N molas (Fig. 1). Por simpliidade,
assumimos que todas as massas s~ao iguais (m
i = m)
e todas as molas t^em a mesma onstante C. Assim,
a ada mola esta assoiada uma energia potenial da
forma
V
j =
1
2 C(u
j+1 u
j )
2
: (45)
Alemdisso,impomosondi~oesperiodias deontorno
u
j+N (t)=u
j
(t): (46)
A rela~ao(46)pode servisualizadaomoaonstru~ao
deumaadeiadeN partulasaopladaspormolasem
queseligaaultima delasaprimeiraporoutramola,
for-mandoumrulofehadoomN molas. Asondi~oes
deperiodiasdeontorno,emboran~aoesseniaisao
de-senvolvimento quesesegue, failitam sobremaneiraos
alulos.
j = 1
j = 2
j = 3
j = N
j = 1
...
Figura1. Nosiladores harm^oniosaopladosomondi~oesperiodiasdeontorno.
A Lagrangianadosistemae
L[u
j ;u_
j ℄ =
N
X
j=1
1
2 mu_
2
j 1
2 C(u
j+1 u
j )
2
(47)
= 1
2 m
N
X
j=1
_ u 2
j C
m u
2
j+1 2u
j u
j+1 +u
2
j
: (48)
d
OHamiltonianoe
H[u
j ;p
j ℄=
N
X
j=1 "
p 2
j
2m 1
2 C(u
j+1 u
j )
2 #
; (49)
onde
p
j =
L
q_ =mu_
j:
(50)
Otermodaenergiapotenialpodesersimpliado
no-tandoqueadau 2
j
apareeduasvezesnasoma. Temos,
ent~ao,
L[u
j ;u_
j ℄=
1
2 m
N
X
j=1
_ u 2
j C
m 2u
2
j 2u
j u
j+1
Denindoovetordeoordenadas
u= 0
B
B
B
u
1
u
2
.
.
.
u
N 1
C
C
C
A
; (52)
podemosesreverL[u
j ;u_
j
℄naformadeumprodutode
matrizes
L= 1
2 m
_ u t
_ u
C
m u
t
Au
(53)
ondeAeamatriz NN dosoeientesa
ij deu
i u
j
A= 0
B
B
B
B
B
B
2 1 0 1
1 2 1
0 1 2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1 2
1
C
C
C
C
C
C
A
; (54)
eosuperndiet denotaatransposi~aodamatriz.
Como Aesimetria,existe umamudana de
oor-denadasdadaporuma matriz ortogonalGque
diago-nalizaA;istoe
u=Gq; (55)
omGtalque
G t
= G 1
; (56)
G t
AG = D; (57)
d
ij
=
2
i Æ
ij
; (58)
onded
ij
s~aooselementosdamatrizD. Osautovalores
2
i
deA s~ao todos n~aonegativosporque u=0e uma
ongura~ao de equilbrio estavel do sistema.
Substi-tuindo(55)naEq. (53)eusando(57),obtemos
L[q
j ;q_
j ℄=
1
2 m
_ q t
_ q
C
m q
t
Dq
= N
X
j=1
1
2 mq_
2
j 1
2 C
2
j q
2
j
: (59)
d
OHamiltonianoassoiadoe
H[q
j ;
j ℄=
N
X
j=1 "
2
j
2m +
1
2 C
2
j q
2
j #
; (60)
onde
j = mq_
j
. A transforma~ao ortogonal assegura
queq
j e
j
s~aotambemanoniamenteonjugados,isto
e,
[q
i ;
j ℄=i~Æ
ij
: (61)
Notamos que oHamiltoniano (60) e separavel nas
variaveis q
j
, que desrevem os modos normais de
vi-bra~aodosistema. Cadamodo possuiuma frequ^enia
assoiada
!
j =
j r
C
m
: (62)
Logo, a equa~ao de Shrodinger admite solu~oes da
forma
=Q n
1
1 (q
1 )Q
n
2
2 (q
2 ):::Q
n
N
N (q
n
); (63)
ondeadaQ n
j
j
edadapor (26),omautovalor
E
j =~!
j
n
j +
1
2
: (64)
Portanto, a energia total do sistema e quantizada em
termosdas freq u^enias dos modosnormais
E= N
X
j=1 E
j =
N
X
j=1 ~!
j
n
j +
1
2
: (65)
Aenergiadepontozeroe
E
0 =
N
X
j=1 1
2 ~!
j
: (66)
IV.2 A rela~ao de dispers~ao
As frequ^enias !
j
, das quais dependem os nveis
de energia do sistema om N osiladores, s~ao as
frequ^enias lassias dos modos normais de vibra~ao.
Para enontra-las, onsideramosas equa~oesde
movi-mentoderivadasdasequa~oesdeEuler-Lagrange[5℄
d
dt
L
:
u
j
L
u
j
=0; (67)
quenoslevama
m ::
u
j =C(u
j+1 u
j
) C(u
j u
j 1
): (68)
NaEq. (68), adau
j
seaoplaomos doisprimeiros
vizinhos. Quando o sistema esta num modo normal,
Alem disso, a invari^ania da Lagrangiana por uma
transla~aodej!j+1asseguraqueexistaumasolu~ao
dotipoondaplana(usandonota~aoomplexapor
on-veni^enia)
u
j (t)=a
j e
i(k jh !t)
; (69)
onde a
j
euma amplitude omplexa de vibra~ao, k =
2=eonumerodeondaeheasepara~aodeequilbrio
entredoisstiosvizinhos (par^ametroderede). Logo,a
posi~ao de equilbrio damassa dendie j ex
j =jh.
Substituindo(69)em(68),enontramosasfrequ^enias
normaisdeosila~ao,tambemonheidaomoarela~ao
dedispers~aodosistemadeNosiladoresaoplados
!(k)= r
4C
m
sin
kh
2
: (70)
DeEq.(70),podemosverquequalquerintervalode
khdeamplitude2eapazdeforneertodososvalores
de!possveis.
Eostumeesolherointervalosimetrio
h
k
h
; (71)
onheido omo primeira zona de Brillouin [6℄.
Ob-servequeaexist^eniade umk maximoestaligadaao
fato da separa~ao entre as massas ser nita (h > 0).
Alem disso,aEq. (70)implia quehauma frequ^enia
maximaqueoorrejustamenteparajkj==heedada
por
!
M =
r
4C
m
: (72)
Arela~aodedispers~ao(70)emostradanaFig.2.
−1
−0.5
0
0.5
1
kh/
π
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
ω
(k)/
ω
M
Figura2. Rela~aodedispers~aodeNosiladores
harm^oniosaoplados.
A veloidadede fasedaondaomvetor deondak
edadapor
v(k)= !(k)
= !
M
sin
kh
: (73)
Para kh 1 (omprimentos de onda muito maiores
queopar^ametroderede),aveloidadedefasee
aproxi-madamenteonstante
! ' !
M jkjh
2
(74)
)v ' h
r
C
m
: (75)
As frequ^enias dos N modos normais surgem
quando exigimos que a solu~ao (69) satisfaa as
ondi~oesperiodiasdeontorno,oqueoorrese
e ik jh
=e
ik h(j+N)
: (76)
Issoreduzosvaloresdek aqueles,talque
k
j =
2j
Nh =j
2
L
; (77)
onde j = 0;1;2;::: e L = Nh e o omprimento
total da rede. Os k
j
s~ao separados pela quantidade
k = k
j+1 k
j
= 2=L: Se quisermos limitar os
va-lores de k a primeira zona deBrillouin (71), devemos
tomar
j =
N
2
+1;;0;; N
2
Npar;
N+1
2
;;0;; N 1
2
Nimpar:
(78)
As frequ^enias !
j
s~ao nalmente obtidas
substituindo-sek
j
narela~aodedispers~ao
!
j =!
M
sin
j
N
: (79)
V^e-se queasfrequ^enias dosmodosnormaiss~ao
dege-neradas, pois!
j =!
j
: Defato,assolu~oesomk
j e
k
j = k
j
orrespondemaondasdemesmafrequ^enia
que se propagam pela rede em sentidos opostos. O
mododefrequ^enia!=0eomododetransla~aolivre
dosistema,omodisutimosnase~aoIII.
V O limite ontnuo
V.1 Lagrangiana e Hamiltoniano da
orda
Umsistema ontnuopode serenarado omoo
li-mitedeumsistema departulasquandoonumerode
graus de liberdade tende a innito. Toma-se, ent~ao,
o uidado de fazer a orrespond^enia orreta entre as
grandezas araterstias do sistema disreto e suas
analogas no ontnuo. No aso que temos tratado, o
problema de N partulasligadas pormolas reduz-se,
quando N ! 1 e h ! 0 (mantendo L = Nh xo),
aoproblemadeumaordaontnuaquevibra
longitu-dinalmente. A din^amia da orda depende da
a suaelastiidade. Ondie j emu
j
(t) devetornar-se
ontnuoerelaionado aoordenada xdo pontosobre
aorda
u
j
(t)!u(x=jh;t): (80)
A grandezau(x;t) dene, ent~ao, uma fun~ao ontnua
no domnio 0 x L, ou seja, u(x;t) e um ampo
esalar unidimensional, que desreve o desloamento
de ada ponto da orda em rela~ao a sua posi~ao de
equibrio.
Apropriedadedeineriadaordaedadapela
den-sidadelineardemassa
= lim
h!0 m
h =
M
L
; (81)
onde M e amassa total da orda. A energia inetia
dosistemadisretoem(48)podeserreesritanaforma
T[u_
j ℄=
X
j h
1
2 m
h _ u
2
j
(82)
Nolimiteontnuo,substitumos P
j hpor
R
dxem=h
por, obtendo
T[u_( x)℄= Z
dx
1
2 u_
2
(x)
: (83)
ondea integrale aluladano intervalo L=2 x
L=2.
Jaaenergiapotenialem(48)a
V [u_
j ℄=
X
j h
1
2 Ch
u
j+1 u
j
h
2
: (84)
Identiando
Ch ! ; (85)
u
j+1 u
j
h
! lim
h!0
u(x+h) u(x)
h
=
x
u(x);(86)
enontramosqueaenergiapotenialdaordae
V [
x
u(x) ℄= Z
dx
1
2 (
x u(x))
2
: (87)
ALagrangianadosistemaontnuoe,ent~ao,
L[u(x);u_(x);
x
u(x) ℄ = Z
dx
1
2 u_
2
(x) 1
2 (
x u(x))
2
(88)
= Z
dxL(x); (89)
d
onde
L(x)= 1
2 u_
2
(x) 1
2 (
x u(x))
2
(90)
ehamada de densidade de Lagrangiana. Note que a
Lagrangiana, que era uma fun~ao de varias variaveis
noasodisreto,torna-seagoraumfunionalde u(x) ,
_
u( x) e
x
u(x) , ou seja, um novotipode fun~ao que,
nesse aso,levafun~oesreaispertenentesaoonjunto
F aoonjuntodosreais
L[u(x);u_(x);
x
u(x) ℄:F!R: (91)
Omomento onjugadoau(x)edadopeladerivada
parial[5℄
(x)= L(x)
u(x)_
=u(x);_ (92)
que e oanalogo ontnuode (50). OHamiltonianoe,
ent~ao,
H[u;℄= Z
dx
2
(x)
2 +
1
2 (
x u(x))
2
: (93)
O analogo da equa~ao de movimento (68) para a
orda ontnua e a equa~ao de onda, que deorre da
equa~aodeEuler-Lagrangeparavariaveisontnuas[5℄
t
L
t u(x)
+
x
L
x u(x)
L
u(x)
=0: (94)
Note a presena de um novo termo, devido a
de-pend^eniadeLom
x
u. Obtemos, ent~ao,
2
x u(x;t)
1
2
2
t
u(x;t)=0; (95)
onde = p
= e a veloidade da onda, que e
ons-tante. Esseeexatamenteolimiteh!0narela~aode
dispers~ao(70),quesereduza
!
j =!(k
j )=jk
j
j: (96)
V.2 Diagonaliza~ao do Hamiltoniano da
orda
Nolimiteontnuo,afun~ao deondadeN
oorde-nadas (u
j
) e substituda por um funional de onda
solu~ao da equa~ao de Shrodinger om o
Hamiltoni-anodadopor(93). ParaquantizaroHamiltonianoem
analogiaomoasodisretodaEq. (30),imp~oe-seque
osoperadoresu(x)e(x)satisfazemasrela~oesde
o-muta~aoan^onias
[ u(x);u(x 0
)℄ = [(x);(x 0
)℄=0; (97)
[u(x);(x 0
)℄ = i~Æ(x x 0
); (98)
ondeÆ(x)e afun~aodelta de Dira, quepodeser
en-aradaomolimiteontnuododeltadeKronekerem
(30).
Como no aso disreto, a estrategia e esrever H
em termos das oordenadas dos modos normais para
obter umonjunto de osiladoresharm^oniosde
ener-gia quantizada. Introduzimos q
j
omo aamplitudedo
mododenumerodeondak
j
u(x)= X
j e
ikjx
q
j
; (99)
onde osk
j
permitidoss~ao k
j
=j2=L. Multipliando
osdoisladosdaEq. (99)pore iklx
eintegrandosobre
oomprimentodaorda,obtemosarela~aoinversa
q
j =
1
L Z
dxe ikjx
u(x): (100)
Como u(x) e real, segue da Eq. (100) que q
n e, em
geral,omplexoeq
n =q
n
: De(99),temos que
Z
dx[u(x)℄_ 2
= X
j X
l _ q
j _ q
l Z
dxe
i(kj+kl)x
(101)
= L X
j X
l _ q
j _ q
l Æ
j; l =L
X
j _ q
j _ q
j
: (102)
d
Domesmomodo,
Z
dx(
x u(x))
2
=L X
j k
2
j q
j q
j
(103)
eaLagrangianapodeseresrita
L= X
j
1
2 Mq_
j _ q
j 1
2 M!
2
j _ q
j _ q
j
; (104)
ondesubstitumosM=Lek 2
j =!
2
j .
Omomentoonjugadoaq
j e
j =
L
q_
j =Mq_
j
; (105)
lembrandoqueadaq
j
apareeduasvezesnosomatorio
em (104).
E fail ver que
j
se relaiona om (x)
denido naEq. (92)atravesdasrela~oes
(x) = 1
L X
j e
ikjx
j
; (106)
j =
Z
dxe ik
j x
(x): (107)
Comonoasodeq
j
;temosque
j =
j
porque(x)
ereal. A rela~aode omuta~aoentre osoperadoresq
j
e
j
pode serobtida a partirda rela~ao entre u(x)e
(x 0
)edastransforma~oes(100)e(107)
[q
i ;
j ℄=
1
L Z
dx Z
dx 0
[u(x);(x 0
)℄e
i(kj ki)x
=i~Æ
ij ;
(108)
quetemtambemumaformaan^onia(poremdisreta).
OHamiltonianoedadopor
H= X
j
j
j
2M +
1
2 M!
2
j q
j q
j
: (109)
Vamosonsiderarolimite daordainnitaL!1
(asvezestambem hamadode limite termodin^amio).
Uma vez que a separa~ao entre os k
j
permitidos e
k = 2=L, o limite L ! 1 faz k ! 0, isto e,
o onjunto de k's permitidos torna-seontnuo,assim
omoavariavelx. Porisso,denotamosadamodopor
q(k),k2R. EsrevendoaEq. (99)naforma
u(x)= 1
p
2 X
j ke
ikjx q
j
p
2=L
; (110)
esupondoque,nolimitek!0,aseguinteexpress~ao
onvirja
q
j L
p
2
!q(k); (111)
obtemosarela~ao
u(x)= 1
p
2 Z
+1
1 dke
ik x
q(k): (112)
Logo, q(k) e a transformada de Fourier de u(x).
Analogamente,omomento(k)etalque
(x)= 1
p Z
dke ik x
earela~aodeomuta~aoparaosoperadoresomndie
ontnuoe
[q(k);(k 0
)℄=i~Æ(k k 0
): (114)
ALagrangianaeoHamiltonianoemfun~aodeq(k)
-am
L = Z
dk
1
2
q(k)_ q(_ k) 1
2 !
2
(k)q(k)q( k)
; (115)
H =
Z
dk
(k)( k)
2 +
1
2 !
2
(k)q(k)q( k)
; (116)
d
om!(k)=jkj.
V.3 F^onons
BastaompararomaEq. (60)para pereberque
oHamiltonianodaEq. (116)eumsomasobretodosos
modos k de operadores n~ao-Hermitianos q(k) e (k).
Logo, oespetrode H deve ser dadopelo numero de
exita~oes em ada modo de frequ^enia !(k). Para
mostrarisso,introduzem-seosoperadores
^ q(k) =
r
!(k)
~
q(k); (117)
^
(k) =
1
p
~!(k)
(k); (118)
quesatisfazemarela~aodeomuta~ao
h
^ q(k);
^
(k 0
) i
=iÆ(k k 0
): (119)
Emanalogiaom(10)e(11),denimos
a(k) = 1
p
2
^ q(k)+i
^
( k)
; (120)
a y
(k) = 1
p
2
^
q( k) i ^
(k)
; (121)
que,porsuavez,satisfazem
a(k);a y
(k 0
)
=Æ(k k 0
): (122)
OHamiltonianodaordapodeseroloadonaforma
H = Z
dk~!(k)
a y
(k)a(k)+ 1
2 Æ(0)
: (123)
Veria-seent~aoque
[H;a(k)℄ = ~!(k)a(k); (124)
H;a y
(k)
= ~!(k)a y
(k): (125)
A interpreta~aoeaesperada: osestadosexitados
s~ao produzidos pela a~ao de operadores de ria~ao e
destrui~aode umnumerointeirode quanta deenergia
~!(k). A diferena e que, neste aso, o espetro de
frequ^enias!(k)eontnuo. Oestadofundamentalj0i
eobtidodaondi~ao
a(k)j0i=0; (126)
quedeveservalidaparatodok: DeaordoomaEq.
(123),aenergiadoestadofundamentaldaordainnita
e
E
0 =
Z
dk 1
2
~!(k)Æ(0): (127)
Adiverg^eniana energiado estadofundamental e
o-mum numa teoria de ampos (que lida om innitos
graus de liberdade) e aparee aqui por dois motivos.
Emprimeirolugar,aintegralefeitasobretodosos
mo-dosomkde 1a+1e,omoadamodopossui
en-ergiadepontozeronita,oresultadodeveserinnito.
Essa diverg^enia pode ser orrigida introduzindo-se
umadist^aniamnimanosistema(omoumpar^ametro
de rede), que estabelee um k maximo; tal
proedi-mentoeonheido omo regulariza~ao do ultravioleta,
porque lidaompequenosomprimentos deonda. Em
segundolugar,osmodosdevibra~aodaordainnita
s~ao ontnuos; da a origem do fator Æ(0) em E
0 . A
solu~aoparaesseproblemaejustamenteintroduzirum
tamanhonitoLparaaorda,oquedisretizaeimp~oe
umvalormnimoparaosk's. Essaeumaregulariza~ao
do infravermelho (grandesomprimentos deonda). A
interpreta~ao fsia dessas diverg^enias e lara: elas
representam a energia neessaria para a ria~ao do
numeroinnitodegrausdeliberdadedosistema
(ener-giaderia~aodaorda). Mesmosemqualquer
regular-iza~ao, o que realmente interessa s~ao asdiferenas de
energiaentre os nveis, n~ao a energiatotal de ria~ao
dosistema. Essasenergiasdeexita~aos~aodadaspelos
quanta ~!(k)e s~aonitas. O Hamiltonianoassoiado
aenergiamedidaapartirdoestadofundamentalpode,
ent~ao,seresrito
H = Z
dk~jkja y
Osestadosexitadosomn
r
exita~oesdemomento
k
r , n
s
exita~oesde momento k
s
, et, s~ao onstrudos
pelaa~aodosoperadoresa y
j n
r n
s :::n
u i=
a y
r
nr
a y
s
ns
::: a y
u
nu
p
n
r !n
s !:::n
u !
j0i : (129)
Esse resultado mostra que e possvel desrever o
estado do sistema, que e vinulado ao ampo esalar
u(x), atravesda ria~ao edestrui~aode quanta de
vi-bra~ao da orda. As transi~oes entre estados
exita-dos aonteem quando ha absor~aoou emiss~ao dessas
quantidadesdisretasdeenergiaporparte dosistema.
Podemoslevaressainterpreta~aoumpouomaislonge
e identiar esses quanta om partulas, usualmente
hamadas f^onons, que s~ao araterizadas pela energia
E(k)=~!(k)e pelo momento p(k)=~k (segundo as
rela~oes deEinstein-DeBroglie). Para queum estado
exitadoque bem araterizado,esuienteinformar
onumerodef^ononsdeadamodonormalriadossobre
oestadofundamental. Essesnumeross~aojustamenteo
queseobtemapliando-seosoperadoresnumeroN(k)
a y
(k)a(k) sobre osautovetoresde H. Desse ponto
de vista, o estado fundamental j0i e um estado que
n~aoontemnenhumf^onone,porisso,efrequentemente
hamadodevauo. Alemdeenergiaemomento,
pode-selevaradianteaanalogiaomumapartulamaterial
eseperguntarseumf^onontemumamassaderepouso
assoiada. Dado queE =~jkj=jpj; se
onsiderar-mosaexpress~aorelativstiaparaaenergiatotal
E= p
(m
0
2
) 2
+(p) 2
(130)
onluiremosquem
0
=0,ouseja,umf^onontemmassa
derepousonula.
VI Conlus~oes
Oproblema de quantiza~ao daorda ontnuamostra
queeviavel introduzir uma teoriaqu^antia deampo
usando-seumsistemame^aniofamiliareintuitivopara
alunosdegradua~ao. Alinhaseguidafoiade
generali-zar,passoapasso,asolu~aodoosiladorharm^oniode
1paraN edeN parainnitosgrausdeliberdade.
Vi-mosque,nasoordenadasdosmodosnormais,aorda
equivale aumonjunto deosiladoresdesaopladosde
energiaquantizada. Osquantadevibra~ao,aosquaisse
atribui identidadedepartulas,s~ao osf^onons
estuda-dosnosursosdeEstadoSolido. Ateoriadeampo
de-senvolvidaeumateoriadeampoesalarlivre,poisos
modos(ouf^onons) s~aon~aointeragentes. Asintera~oes
s~aointroduzidasatravesdetermosn~aoquadratiosnos
amposnaexpress~aodaLagrangianaouda
Hamiltoni-ana.
Alemdisso,esseproblemailustraumproedimento
omum a outras teorias de ampo que presindem de
analogiame^ania. Emtais asos,onstroi-seuma
La-grangiana que fornee a equa~ao apropriada { o que
signiainorporaraspropriedadesdaspartulasnas
simetrias do ampo { para ent~ao quantizar o sistema
impondorela~oesdeomuta~aoentreosoperadores.
OsautoresagradeemaFAPESPpelo apoio
nan-eiro(00/05413-1).
Refer^enias
[1℄ L.LandaueE.Lifshitz,TheClassialTheoryofFields,
Addison-Wesley,Reading,Mass(1951).
[2℄ M. E. Peskin e D. V. Shroeder, An Introdution to
QuantumFieldTheory,AddisonWesley,Reading,Mass
(1995).
[3℄ N. N. Bogoliubov, Quantum Fields, Benjamin/
Cum-ming,Reading,Mass.(1983).
[4℄ Cohen-Tannoudji,QuantumMehanis,VolumeI,John
Wiley&Sons,NewYork(1977).ChapterV.
[5℄ H. Goldstein, Classial Mehanis, Seond edition,
Addison-Wesley,Reading,Mass(1980).
[6℄ C. Kittel, Introdution to SolidState Physis, Seventh
edition, John Wiley & Sons, New York(1996).
