Teoria quântica de campos em três dimensões: renormalizabilidade e termo de Cher...

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UNIVERSIDADE DE  SAO  PAULO 

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INSTITUTO  DE FISICA 

SBI·IFIISP 

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TEORIA QUANTICA DE CAMPOS EM TRÊS  

-DIMENSOES; RENORMALIZABILIDADE E  

TERMO DE CHERN­SIMONS  

Farnezio Moreira de Carvalho Filho 

-

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•

Orientador:  Prof.  Dr.  Elcio Abdalla 

Tese  de  Doutoramento  apresentada  no  Instituto  de Física da Universidade  de São  Paulo. 

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FICHA  CATALOGRÁFICA  

Preparada  pelo  Serviço  de  Biblioteca  e  Informação   do  Instituto  de  Física  da  Universidade  de  são  Paulo  

Carvalho Filho. Famezio Moreira de 

Teoria quântica de  carpos em  três ､Ｑｴｲ･ｦＧｬＮｓￕ･ｳＺｾ＠

re-nonnallzabilidade  e  terno de Chern­Sim::t1S.  são  Pau-lo.  1990_ 

Tese ＨｉｬｯｵｴｯｾＩ＠ - Universidade  de sã:, Pwlo. 

Inst1tuto de Fis1ca. Departarento de Fisica 

Matemáti-ca. 

Área de Ca'lCentração:  Física de Partlculas Elemm 

tares

Orientador:  Prof1!  Dr.  Élcio Abdal1a 

UniteIm)S: l*Mode:los  sigma;  2.Cordas  em catpO$ de  fU:ndo;  3.Renonnallzab11idade;  4.SUpers1netrla.; 

5.Mem-branas; fi ｾ Teorias de gauge tr1d1nens1onais  can  temo 

de  CherrrS:Iloons;  7.Expansão  l/N do modelo  CPN­l 

USl'/IJ.>/ssI ­ W/90 

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AGRADECIMENTOS

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Ao  Eleio  Abdalla, pela orientação  e amizade.  Sou  grato também, pela 

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leitura' crítica do manuscrito. 

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,

­ A  todos  meus  colegas  e  amigos da Universidade  de  São  Paulo,  espe-,

.

' cialmente  ao  Bacta,  Brunelli,  Eduardo  Resek,  Ricardo Viana,  Rubens 

i Freire,  Maurícío Baldan, Ângela e Bianor. 

)  _{­ Aos  amigos da EFEI Agenor Pina e Seb Fernandes.}  

)   _{­ À Escola  Federal  de  Engenharia  de  Itajubá,  por  ter­me  liberado  das} 

)  _{atividades didáticas durante a elaboração deste  trabalho.}   ) 

- À CAPES­EFEI, pelo apoio financeiro.  

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"Nada seria mais pervertido do que querer esperar o que a ciência um dia es-tabelecerá definitivamente sobre as coisas primeiras e últimas e enquanto isso pensar

(e  especialmente acreditar!) da maneira

tradicional-como tantas vezes se acon-selha. "

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RESUMO

Modelos sigma não­lineares bidimensionais têm sido utilizados  no  esta-belecimento de um programa consistente para se extrair a física de baixas energias de teorias de cordas. Quando definidos sobre variedades Riemannia-nas e em três dimensões, também, têm se mostrado relevantes em conexões com teorias de membranas. Neste trabalho nós mostramos, realizando cál-culos perturbativos até ordem de dois '!loops", via método de campo de fundo e expansão em coordenadas normais, que tais modelos são não-renormali-záveis, mesmo quando estendemos a supersimetria.

Em um outro contexto, o de teorias em três dimensões com termo

topológico, nós estudamos o modelo CpN-l na presença de um termo de

Chern-Simons. Através da expansão lfN, verificamos o conteúdo de

partí-culas da teoria em suas duas fases, Na fase nâo-quebrada o campo de gauge adqnire massa e os "partons", inicialmente confinados se liberam, passando a interagir por uma força de curto alcance. Na fase quebrada, há um deslo-camento do pólo do propagado!'.

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ABSTRACT

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() 

,) N on linear sigma mode!s in two dinÍensions have been used to establish a  consistent program for obtaining the low energy physícs of the string theories. 

; ＧＬＨｾ

I)

When defined on Ríemannian  manifolds and in three dimensions,  they have 

,

,

been relevant  in  connection with  membrane  theories,  In  this work we  have 

,'j shown,  by means of perturbative calculations in the order of two loops,  via  background field method anel normal coordinate expansion, that such models 

)

are not rcnormalizable, evcn when we enlarge supersymmetry. 

, )

") In tllc contcxt af threc dimensional  thcndes witll  topological  terms,  wc 

I) have  studied  the CpN-l model  in  tlle  presence  of a  Chern­Simons  termo  ,) Through  the l/N expansion,  we  have  verified  the  particle  coutont  of  the 

theory  in  its  two  phases.  In  the  unbroken  phase  the  gauge  field  acquires  mass and the "partons", initially confined are liberated, beginning to interact  )  through  a  short  range  force.  In  tho  broken  phase,  there  is  a  shift  of the  ')  propagator pole. 

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INDICE

-INTRODUÇAO ., ... 1

•

CAPITULO 1 ... H . . . 6 MODELOS SIGMA NÃO­LINEARES  EM  

DUAS E  TRÊS  DIMENSÕES RELACIONADOS   COM  (SUPER)CORDAS  E  (SUPER)MEMBRANAS  

l.l-Introdução ... , ... , ... 6

1.2­0  Modelo Sigma Não­Linear  Generalizado ,..,..,.,.,.,. .... ,.,.,."." 7  1.3­Alguns Modelos Sigma  Relacionados com (Super)Cordas .. , 10  1.3,1­0 Modelo  Sigma Não­Linear e a Teoria de Cordas Fechadas ... 10 

(a)

O

Modelo Bosônico ... , .... , ... , ... 10

(b)  O Modelo Bosônico com Termo de Wess­Zumino ." ... """ .. 12   (e)  Teoria de  Cordas  Bosônicas Fechadas" ... " ... 13   (d)  Cordas Bosônicas  em  Campos de  Fundo "".""... 15   1.3.2­0  Modelo  Sigma Não­Linear Supersimétrico  (1,1) ... 18   1.3.3­0 Modelo Sigma Não­Linear sobre uma Variedade de  Kãhler ... 21   1.4­Teorias de  (Super)Membranas ... ., ... 24  

IA. l­Membranas de Dirac, Howe­Tucker e Supersimetrização ... 24  

1.4.2-(Super) p-Branas ... H . . . 27

•

CAPITULO 2 ... , .... 30 MODELOS SIGMA NÃO­LINEARES  BOSÔNICO E  

SUPERSIMÉTRICOS  EM TRÊS  DIMENSÕES:   DIVERGÊNCIAS  ULTRAVIOLETA E  

RENORMALIZABILIDADE  

2.1-Introdução , ... 30

I,)

, _{2.2­0 Método do  Campo de Fundo  e  a}  

") Expansão em Coordenadas  Normais ... 31  

ｾｬ＠ 2.2.2­0 Modelo Sigma Não­Línear e a Expansão   ) 2.2.1­0 Modelo ",4  em Quatro Dimensões ... 32  

,

_{em Coordenadas Normais ... 35} 

,)  2.3­Divergências Ultravioleta do  Modelo 

,

_{Sigma Não­Linear Bosônico ... 40}  

2.3.1-Cálculos de um uloopll ... 43

'i _{2.3.2­Cálculos de  dois  "Ioops" ... 47}  

2.4­Divergências Ultravioleta do  Modelo   Sigma Não­Linear Supersimétrico 

N

= 1 ... 54  

2.4.1-CálculO$ de um "loop" ... 57

. }  2.4.2­Cálculos de dois  "loops" ... 59  

2.S­Cálculos no Modelo Supersimétrico 

N

= 

2... 61  

" • ) CAPITULO 3 ... 65

. .

TEORIAS DE CAMPOS COM TERMO   DE CHERN­SIMONS 

I

) S.l­Introdução ... 65  

··1

I ' ) .3.2­Teorias de  Gauge com Termo Topológico ... 66  

·'I . ,

_{3.2.1­TeorÍas de  Gauge Abelianas ... 67} 

I ' 3.2.2­Teorias de  Ya.ng­Mills ... 70 

I )

_{3.3­Alguns  Comentários  Gerais... 72}  

I

I

I

CAPÍTULO 4 ... 74  

O  MODELO CpN-1 COM FÉRMIONS E   O  TERMO  DE CHERN­SIMONS  4.1-Introdução .,,, ... , ... , ... , .. 74

· 1 

_{) 4.2­0 Modelo ... 75}  

4.3­A  Expansão l/N e  a  Estrutura de Fases ... 76 

-'

4.4­As  Regras de  Feynman e  o  Conteúdo de Partículas ... , .. , .... 80  

4.4.1­Fase  "Não­Quebrada": SU(N) ... , ... 80  

4.4.2­Fase  "Quebrada": SU(N - 1)... 88  

CONCLUSAO ...« . . . 93

, • \  APENDICE A ...O# • • • • • H • • • • • • n • • • • •H U • • • • H . . . . 96

,  ALGUMAS RELAÇÕES TENSORIAIS   •  l APENDICE B ... , ... H • • • • • • • • • • H . . . . 98

CAMPOS  DE "VIELBEIN"  PARA O  MODELO O(N)

.

\  REFERENCIAS ... 101

1 

-INTRODUÇAO

Nos últimos anos  o estudo de modelos em Teoria Quâ.ntica de Campos  em dimensões mais baixas que as  quatro do  espaço­tempo  tem apresentado  notáveis resultados no sentido de aprofundar o nosso conhecimento e intuição  dos fenômenos físicos  ocorrendo na "arena"  quadridimensionai.  Os modelos  sigma não­lineares,  por exemplo,  desde  que  foram  introduzidos  na década  de 60,  por Gell­Mann  e Lévy  na descriçiio  de  plons  [I],  naquela época  im-pondo vínculos sobre uma teoria linear mais simples, vêm se apresentando como modelos ricos em propriedades importantes e, portanto, fundamentais à teoria de campos. Quando descritos em um espaço-tempo bidimensional, tais modelos recuperam a renormaiizabilidade perdida em quatro dimensões e se tornam ótimos simuladores ou "laboratórios teóricos" de teorias mais

rea.iistas como a teoria de Yang-Mills (D = 4) [2]. Dessa forma,

procura-se explorar as anaiogias existentes, tais como: estrutura de renormaiização, liberdade assintótica, existência de cargas topológicas, geração dinâmica de

massa, etc .. Mostrou-se [3], ademais, que o modelo D( N) em duas dimensões,

aiém das propriedades anteriores possui também infinitas leis locais e não-locais mesmo no caso quâ.ntico, o que permite a construção de uma matriz

S exata fatorizável e a proibição de produção de partículas [4].

É importante ressaitar que os modelos sigma voltaram a ser de interesse,

novamente em D = 4, quando utilizados na descrição do setor de spin zero

da Supergravidade estendida [5].

Recentemente, as propriedades quâ.nticas dos modelos sigma

não-linea-res bidimensionais definidos sobre uma variedade-alvo Riemanniana

[6)

tem

recebido considerável atenção, por causa da marcante relação entre esses

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ＨｾＩ＠ promissoras candidatas a  uma teoria unificada de  todas as interações fun-()  _{damentais,  incluindo  a  gravitação.  A  idéia básica é  o  estabelecimento  de} 

.,

_,

_{um programa consistente  para se extrair a  física  de  baixas energias  [8],  ou} 

'y _{seja,  uma  "receita"  para se  estudar a  propagação  de  cordas  em campos de} 

,':I fundo.  Em particular, a propagação em campos gravitaciona.is de fundo pode 

' "   .c  " 

!'  ,  ser obtida acoplando a  corda aos  campos de grAviton gij e do dílaton iJ?  A 

') 

equivalência entre as condições de invariância conforme e as funçÕe5­,8 do cor-\ respondente modelo sigma é então usada para se descrever a  dinâmica dos 

" campos de fundo:  ,8i; = O 

dá as equações de movimento do campo gravita-') donal (setor de  massa zerO  da corda),  enquanto ,8i/>  fornece  a  Lagrangeana 

efetiva  da corda  da qual  as  equações  podem  ser  obtidas.  Assim,  cálculos  "  perturbativos  são  de  suma importância para o  conhecimento da finitude  e  renormalizabilidade dos diversos modelos envolvidos.  Cálculos explícitos das  funções­,8  até a  ordem de vários loops  têm sido realizados  e  sabe­se,  hoje,  que  os  modelos  sigma não­lineares  supersimétricos 

N'

= 1  e 

N'

'"

2  são  finitos  até  três  "loops"  para variedades Ricci­flat  [9, lO].  No  entanto, para  ')  o caso 

N'

'"

2,  relevante  para a  compatificação  de  supercordas heteróticas  [U]  foi  encontrado um contratermo em quatro  "loops"  [12],  resultado esse,  confirmado de  teoria de cordas [13]. 

)   Na  formulação  tridimensional,  os  modelos  sigma  não­lineares  genera-lizados  têm apresentado  também aspectos  reveladores no  contexto de teo-ria quântica de  campos.  Eles são  especialmente importantes em teorias  de _{, ,} membranas, que a exemplo da de cordas, é uma teoria de objetos estendidos,  podendo vir a  desempenhar  também um papel de  destaque como  teoria de 

,

_{unificação.  Entretanto, do ponto de vista da teoria de campos desses objetos} 

(membranas), a invariância de Weyl (ou conforme) não tem o mesmo caráter  daquela de teoria de cordas, ou seja, o grupo conforme é de dimensão finita  e  o estabelecimento  de critérios para a  consistência quântica torna­se  uma 

tarefa difícil.  Em outras palavras, além de duas dimensões, ainda não é uma 

3 

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;

rj questão  compreendida  o  análogo  do  cancelamento  da  anomalia  conforme 

;')  na dimensão  crítica,  para teorias  de  membranas.  Porém,  acreditamos que,  "  na medida que  estas  questões  forem  resolvidas,  torna­se­á fundamental,  a  .' )  exemplo do que acontece em teoria de cordas, conhecer detalhamente as 

pro-priedades ultravioleta e renormalizabilidade dos modelos sigma não-lineares

) tridimensionais à elas relacionados. Em conseqüência, esperamos encontrar

) . também para membranas, um programa consistente de obtenção da teoria

efetiva. Contudo, ao contrário dos modelos sigma não-lineares descrevendo cordas, os modelos sigma de membranas são não-renormalizáveis, por con-tagem de potências. Embora sendo um resultado não desejável, a situação

) não é desesperadora como pode sugerir a primeira vista. Sabe-se [14], por

exemplo, que interessantes cancelamentos acontecem quando os modelos

O(N) e CpN-l são tratados via expansão

l/N

tornando-os renormalizáveis.

Além disso, podemos, perturbativamente isolar de uma maneira sistemática todas as divergências e introduzir contratermos locais. Num outro contexto, mas também em três dimensões, resultados importantes são obtidos, quando se formula modelos em teorias de campos cOm termo de Chern-Simons. Em

" particular, campos de gauge vetoriais se tornam massivos (uma única

ex-citação de spin 1) e o conteúdo de partículas difere significamente daquele de uma teoria de gauge massiva convencional (dois graus de liberdade de

spin 1) [15]. Outro interessante resultado é que a gravitação de Einstein,

trivial e sem propagação em três dimensões, torna-se uma teoria dinâmica [15] com a introdução do termo topológico.

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I

No presente trabalho, investigamos dois aspectos relacionados aos temas  de física  tridimensional acima comentados. 

O  sucesso  dos  modelos  sigma. não­lineares  em  teorias de  cordas  como  instrumento de obtenção da física de balxas energias e conseqüentemente a  importância do conhecimento das propriedades quânticas dos mesmos serviu  de  motivação  para  o  trabalho· desenvolvido  na primeira  parte  desta  tese.  Utilizando o método do  campo de fundo  e a  expansão em coordenadas nor·  mals, realizamos cálculos perturbativos dos contratermos até ordem de dois  "loops"  para modelos sigma não­lineares em três dimensões, definidos sobre  uma variedade­alvo  Rlemanniana arbitrária.  Estudamos extensivamente as  propriedades de renormalização  ultravioleta dos  modelos bosônico  e super·  simétrico 

(N

= 1 e 

N

= 2).  Verificamos também, o que ocorre quando certas  particularizações são feitas.  Estudamos  os  casos  de  variedades Rlcci·fiat e  loca.imente simétricas (modelo OtN)).

Na segunda parte do  nosso  trabalho, inspirados nos  promissores  resul-tados de modelos tridimensionais com termo de Chem-SimoDS, nós

consi-deramos o modelo çpN-l acoplado minima!mente a férmions (induzem o

termo de Chern-Simons). Através da expansão l/N encontramos as regras

de Feynman e estudamos o conteúdo de partículas nas duas fases existentes

nessa teoria.

Nós organizamos nosso trabalho como se segue: No capítulo I! nós apre-sentamos os vários modelos relevantes às teorias de cordas e membranas. Exemplificamos, em alguns casos, a importância do coDÍlecimento do com-portamento ultravioleta e funções-,B dos mesmos para o estudo da propaga-ção de cordas em campos de fundo. Esta, como já dissemos, a motivapropaga-ção maior do nosso trabalho. No capítulo 2, estão todos os nossos resultados relativos a primeira parte. Usamos a seção 2.2 para apresentar o método

do campo de fundo e a expansão em coordenadas normais, que são os

in-gredientes básicos para os cálculos. Nas seções seguintes apresentamos os

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ｾ＠ "1

)   5 

ｾ＠ .'j

')  cálculos dos contratermos para os diversos casos e discutimos a renormaliza-')  bilidade.  No  capítulo 3, nós procuramos evidenciar a importância do  termo 

í  de Chern­Simons em teoria de campos tridimensional e apresentamos, como  .­)  preparação para o capítulo seguinte, alguns resultados relevantes  do  ponto  "  de vista de partículas elementares,  No  capítulo 4,  nós apresentamos nossos  " ")   resultadas relativos  ao modelo CpN-l com termo de Chern­Simons. 

A ex-pansão  1/N, as  regras de Feynman e discussões são  também apresentadas.  As  conclusões sobre o trabalho são deixadas para o final. 

..

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CAPITULO 1

MODELOS SIGMA NÃO-LINEARES EM

DUAS E TRÊS DIMENSÕES RELACIONADOS

COM (SUPER)CORDAS E (SUPER)MEMBRANAS

1.1-INTRODUÇÃO

As  propriedades  quânticas de modelos  sigma não­lineares,  bosônÍcos  e  supersimétricos,  em  duas dimensões,  têm apresentado aspectos  reveladores  no  contexto das proTIÚssoras teorias de  supercordas  [7].  Os cálculos  pertur-bativos, em várias ordens de "loops" [9,10,12,18], têm permitido verificar, em alguns casos, a equivalência entre as condições de invariância conforme e a função-i3 do grupo de renormalização do correspondente modelo sigma.

Uma outra questão importante em estudo atualmente, é a possibilidade de

se formular teorias consistentes de outros objetos estendidos, as membranas. Estas, podendo vir a desempenhar, também, um papel importante em teo-rias de unifica.;ão. Neste caso, modelos sigma não-lineares, agora definidos

em três dimensôes, é que são relevantes.

Com o propósito de introduzir

°

assunto, servindo como uma prepara.;ão

para O que discutiremos no capítulo 2, nós apresentaremos nas seções

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" ') .­\ 

7 

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"

I 1.2­0 MODELO SIGMA NAO­LINEAR GENERALIZADO  )

Nesta seção  definiremos O modelo' sigma não­linear  mais geral  para o

';

")  nosso interesse e mostraremos como alguns dos modelos sigma usuais podem  ) ser obtidos como casos particulares. 

..

_• O  modelo  sigma não­linear  geral  pode  ser  definido  como  uma  teoria  consistindo  de  campos  escalares 

q, 

sobre um espaço­base  E  (Minkowski  ou  Euclideano)  cujos  valores q,(x) encontram·se  numa variedade diferenciável  )   de  dimensão finita. M e uma ação da forma: 

)

)

S[q,] =

ｾ＠

J

dxgij(q,(X)) í;)pq,iô"q,§ (1.1) 

q,:E-->M

onde gij é uma métrica Riemanniana sobre M, chamada acoplamento  mé-trico  [6].  Neste sentido dizemos que o modelo possui campos definidos sobre  um espaço­base  e  tomando  valores  num  espaço­alvo  que  é  uma variedade  Riemanniana arbitrária. 

Os  modelos  sigma não· lineares  usuais  são  casos  especiais  nos  quais  a  variedade M é um  espeço  "coset"  (GjH) de  um  grupo  de  Lie  G  por  um  subgrupo  compacto H. Nestes  casos gij é alguma métrica  Riemanniana  sobre M, invariante  sob  G;  que  age  como  um  grupo  de  simetria  interna  global.  Em outras palavras o grupo G age sobre os  campos 

q, 

de acordo com  a  lei de transformação: 

q,'(x) = gq,(x), 9EG

(1.2) 

uma ação para tais campos, invariante sob  (1.2)  é: 

í

!  ₈  " )

) onde 

op,p(x)

é o vetor tangente àcurvap(t) =

,p(x+tep)

em 

G/H

comp(O) =

')

,p(x), ep

um vetor unitário na direção I' e 

(o",p, o",p)

denota o quadrado do 

,

comprimento de 

01'4>

com respeito à métrica escolhida sobre G / 

H.

') _{Dependendo  da  escolha  que  se  faça  para} 

_G 

_{e H pode­se  obter casos} 

')  _{especiais úteis.  Como exemplos temos:} 

,)' ) ")

)  (a) O Modelo OtN)

.")

Aqui G = OtN), H = OtN - 1) e então M = SN-l = ｯｦｽＯＡＮＮｾＩＮ＠ A ação 

s

= 

ｾ＠

J

dx g;j(<P) O,,<pi(x) o,,<pj(x) (1.4) 

onde  

1 _gij

₌ 

_{Uij ,} 

₊

_{( 1 - <p k ")-1 <P  iJ'k-l N (1.5)}

'Pi'Pj,

"

- "

..

,

é a métrica da (N - l)­esfcm SN-I,

Além disso,  

r

k k

ij = I{) gij (1.6) 

R;jk/

=

gikgj/ - gi/gik (1.7a)

Rij = (N - 2)gij (1.7b)

(h) O Modelo CpN-l

)

Neste  caso,  G 

= 

SU(N), H = S (U(l) x U(N ­I})  e  agora M =

J{JJNl)

= CpN-I é o espaço  complexo projetivo (N - I)­dimensionai, isto 

)

­, 

"'

9 

)

) (Zh"" ZN)

#

O onde dois vetores 

z

é 

z'

são equivalentes se 

z'

= ÀZ, À E C. 

) O grupo SU(N) age sobre o CpN-l por: 

) 

ｾＩ＠ 9 o [z} = [gz}, (gz). = ga.Z., 9 E SU(N). (1.8) 

I

)  ­i 

Para se construir uma ação para este modelo, é prática. comum.  simpli-ficar convenientemente a notação introduzindo-se campos de vetores

com-plexos unitários (Zl(X)"",ZN(X»,

IzI

2

=

IZl12

+ ... +

_IZNI2

=

_{1, no lugar}

---j

dos campos

[z](x)

e, ademais, considerar como campos equivalentes aqueles

)

relacionados por uma transformação de gauge, isto é,

ｺｾＨｸＩ＠ = ･ｩａＨｾＩ＠

za(x)

(1.9)

Dessa forma, pode-se definir um campo composto

i - i

Ap

=

"2

Z' 8pz

=

2[Za8

"Za -

(8"za)z.]

(1.10)

se transformando sob (1.9) como um campo de gauge abeliano Ｈａｾ＠ = Ap

-â"A).

Com tudo isso, uma ação invariante de gauge, descrevendo bem o

mo-delo tratado, é escrita como:

S=

J

dxD"z. D"z, _D" = â"

+

iA" (1.11)

o

modelo CpN-l voltará a aparecer mais adiante (capítulo 4) no

con-texto da teoria quãntica de campos em três dimensões com termos topológi-cos (termo de Chern-Simons). Naquele capítulo será tema de nosso estudo

e daremos, portanto, uma atenção maior às suas propriedades.

)

­j 

)

-j

)  ) .,  _)  )  )  )  ) 

10

1.3­ALGUNS MODELOS  SIGMA RELACIONADOS  RELACIONADOS  COM (SUPER)CORDAS 

Discutiremos agora alguns modelos sigma não­lineares bidimensionaís e 

suas  correspondentes  teorias de  (super)cordas.  O  objetivo é ilustrar a 

im-portante conexão existente entre tais modelos e (super)cordas se propagando em campos de fundo, que permite, como veremos nos exemplos seguintes, a obtenção de uma física de baixas energias e o encanúnhamento de soluções relativas a problemas de compatificações.

Por questão de brevidade, descreveremos aqui apenas os casos de mo-delos bosôllÍcos e aqueles com supersímetrías (1,1) e (2,2) que são suficien-temente ilustrativos e de interesse para o capítulo seguinte onde os discu-tiremos no contexto de teorias tridimensionais. Omidiscu-tiremos também, nesse ponto, os cálculos perturbativos das funções-,B do grupo de renormalização associadas a cada caso e necessários à compreensão da referida conexão, já que mais tarde (capítulo

2)

apresentaremos cálculos similares ao fazermos renormalização utilizando o método do campo de fundo, tornando-os assim mais transparentes.

. !

1.3.1-0 MODELO SIGMA-NÃO LINEAR E A TEORIA DE CORDAS FECHADAS

(1;\) O Modelo Bosõnico

Como já vimos a ação de um modelo sigma não-linear bosôllÍco bidimen-sienal é dada por (1.1), isto é

1

J

..

S[.p]

=

2

dXgij(.p(1;» 8"q,'8"qY. i = 1, ... , N (1.12)

)

"

11 

)

,  ) 

ｾＩ＠

Esta ação apresenta algumas simetrias (clássicas)  tais como invariància  por reparametrização,  isometrias da métrica,  invariància de escala rígida e  invariància conforme local.  VaIl?­0s  falar um pouco sobre estas duas últimas. 

":1 

",

I '

,

­, 

,

Sejam 

X

-+x

1P =

ax

P

q,(x) -q,'(x')

=

q,(x)

(U3a) 

(1.13b)

I

'I

"a"

é um parãmetro constante e a simetria chamada de invariància de escala  rígida. 

Redefinindo  as coordenadas do espaço­tempo por 

x:!: _{= ,j2(xO}1

_±

_{xl) (Coordenadas do cone­de­Iuz)} 

1 

a  invariància  de  escala  rígida  se  torna  um  subconjunto  da simetria  local 

x:!: ­> x':!: (x ±) chamada pseudo­conforme.  Quando efetuamos a  rotação de 

Wick  da teoria obtendo  um espaço  Euclideano D = 2,  as coordenadas  do 

cone­de­luz, x:!:, passam a  ser variáveis  complexas z,

z

e o grupo conforme, 

O grupo das transformações analíticas (anti­analíticas)  de coordenadas. 

Em geral, estas simetrias do espaço­tempo são quebradas por correções 

quàntíca.s.  Em particular renorma!i,;ações da constante de acoplamento 

que-bram a invariância de escala

(/3

f

O). Fazendo-se cálculos perturbativos encontrarse /3ij ｾ J1.

Z",gt},

relacionada à renormalização da métrica

g,j,

dada port [6J.

/3ij(q,)

= -

t:

R;j(q,)

-

!7r:R;klm R/Im

+

0(16)

(1.14)

,

t

r

aparecendo em (1.14) é urna consta.nte de acoplamento introduzida pa.ra fins de

cálculo perturbativo. Mais tarde a índentificar-emos com (!hra'), sendo (a')-l & tensão

12 

,

, > 

ｾ＠

1  ­­} 

ｾ＠

')  .) 

l

•

.

"

1

·­1  .1 

I

(b)  O  Modelo Bosônico com Termo de Wess­Zumino 

Um outro  importante  modelo  pode  ser  obtido  quando  adicionamos à. 

ação (1.1)  um termo de interação, consistente com as invariâncias por  repa-rametrizações e escalas rígidas, chamado "termo de Wess-Zumino":

Swz = !J,pXEI'"Bij(<I»8I'<I>i8v<l>i

_{2 '}

(1.15)

com

EOl "" _ElO""

+1

Eoo=ell=O

O objeto Bi;(<1» é um tensor de segunda ordem ou bi-forma. Para se

enteuder o seu significado geométrico escrevemos a ação S = S"

+

Sw z em

coordenadas do cone-de-luz

s""

J dx+ dx- [9ij(<I» - Bi;(if»] 8+<I>i8_if>Í (1.16)

As equações de Euler-Lagrange dessa teoria são

8+8_if>i

+

｛ｲｾＮＨ＼ｉﾻ＠

+

H).(<I»]

8+<I>i 8_<1>" =

,-.. . " . . . .

=

D+ IL<I>' = D_ 8+<1>' "" O (1.17)

onde ｲｾｫＨ if» é o símbolo de Christoffel usual e

H·'.("') _{l] li"}

=-

₂ 1 (B' _lJ, k

+

B·.. _Jt;;,t .

+

B.' _.t3 ,)

(1.18)

ＨｄＫＩｾ＠

］ＸＫ￳ｾ＠

+

Ｈｲｾｫ＠

+

Hj.)

Ihif>Í = 8+óí

+

ｲｾｪＮ＠

8+if>Í

Ｈｄ｟Ｉｾ＠ ］Ｘ｟￳ｾ＠

+

Ｈｲｾｫ＠

-

H)k)

8_if>Í = 8_<51

+

_{ｦｾｪＮ＠} tLif>Í

Vemos, portanto, que

Df;

contêm as conexões afim

_.

.

.

• _• 1

",

­., 

13 

Podemos dizer então que, geometricamente, o rotacional da bi­forma de  ) 

) Wess­Zumino  dá a  torção  sobre a  variedade, Hijk, que é  um tensor 

total-mente anti­simétrico.  

­)  _A função 

Ih;

_{para esse modelo é [19]:}  

ｾｬ＠

')

1

2  _ｾ＠

r

':  \ (3ij(_cf»  = - 21r Ri; (q,) - 6,,2 RmkU(q,) Rpl)m(q,)

+

0(f6) (1.20) 

\_•

\   onde 

ｾ｜＠

 

R,,"

=

R""

­

H"p"Hv/W

)

(c) Teoria de  Cordas Bosônicas Fechadas 

Consideremos agora uma teoria de cordas bosônicas fechadas em sua for-mulação primeiro­quantizada.  A construção dessa teoria é feita tomando um  espaço­tempo  D­dimensional 

M

com  coordenadas 

X"(p.

= O,l, ... ,D ­ 1)  e métrica 9p.v(X). A posição de  uma corda  em M é  dada por uma curva 

)   X"(O') parametrizada por 0'. Esta corda quando  se propaga varre 

urna su-perfície bidimensional,  a  "folha­mundo", X"(O', T)

==

X"({), parametrizada  por O' e T (ou {a, a = O, 1; 

çO

= T,

e 

= 17).

É

natural então, definir a  seguinte ação para essa teoria: 

s

=

4;a

_l

J

d2{ ..n-r.bgpv aaX"abXv (1.21 ) 

onde -r_b({) é a  métrica da folha­mundo  e ai é  um parâmetro dimensional  relacionado com a  tensão da corda,  chamado declividade de Regge.  A ação  (1.21) pode ser interpretada como uma teoria de campos bidimensional com  campos escalares X"(Ç) tomando  valores sobre a variedade M, ou seja, um  modelo sigma. não­linear com espaço­alvo M.

14

,

':  ­ }

) 

,.. )

"

_,

,

,

-1

" 

;

, ,

I

,I

\

"

)

"

.

,

Um  passo  além  pode  ser  dado  nesse  ponto  observando  que (1.21)  é  invariante sob  transformações  gerais  de  coordenadas  (invariância por  repa-rametrizações)

Ç" -; {'a({)

, ,

7ab{O -+ 7a.(1; ) = ôCa ôE".7.d(O ô{C ôf!

(1.22)

e de Weyl local sobre a folha-mundo

7ab(E,) -+ eÀW 7••

{O

(1.23)

onde .x{ç) é uma função arbi trária local. Assim, com a liberdade por

re-paremetrizações na folha-mundo oferecida pelo modelo, pode-se escolher um gauge no qual a métrica 7 •• seja chata e portanto (omitiremos detalhes) M=M2xLsendo

M2 -+ espaço de Minkowski bidimensional com coordenadas X*,

L -+ espaço curvo com coordenadas Xi (i = 1,2, .. ,,24).

Finalmente, é possível então, encontrar a seguinte ação no gauge de cone-de-luz:

1

J

"

SLC = 41!'a' dll dr9ij(X) Ô+X'Ô_X3 (1.24)

que descreve um modelo sigma não-linear cujo espaço-alvo é O espaço

"trans-verso L" com métrica definida positiva 9ij. Essa ação é agora manifestamente

invariante sob o grupo de Lorentz 80(24) que gera as rotações entre os 24

X"s. Entretanto, o grupo completo SO(25, 1), pode ainda ser construído e a álgebra se fecha.

Fazendo expansão em modos obtém-se que o espectro dessa. teoria de cordas contém uma torre infinita de estados massivos e um setor de massa

zero. Este último, consistindo de grávitons sem massa 9ij (X) (tensor de

2J!. ordem simétrico), campo de gauge B,j(X) (tensor de 2J!. ordem anti·

simétrico) e um campo escalar chamado dílatou.

15 

,,

\

)

(d)  Cordas Bosônicas em Campos de  Fundo  '1

") A  descrição  de  uma  única  corda se  propagando  em campos  de fundo 

"

(variedade  do  espaço­tempo  e  os  campos  de  matéria)  é  feita  supondo  que 

,

_{, os  campos tenham valores  esperados no  vácuo  dados por g"v(X), B",,(X),}

'. ­­)  <I>(X) e C(X) (para o táquion),  A ação  (1.24)  é então modificada para: 

5 = 4:af

J

cl

2

_t;

..n

_{[1'obg"v(X) 8.X"8hX"}

₊

_{,"h Bp,,(X) 8.X"8}

óX"

)

+<I>(X) Rb)

+

C(X)] (1.25)

)

,oh é o  tensor  de  Lévi­Ci vi ta  e Rb) é  a  curvatura  escalar  relacionada à  métrica 1'oh. O  termo Sdil = 1/47ra'

J

d2

_f.

vFf 

_{1>(X) ｒＨｾＩＬ＠ introduzido por} 

Fradkin  e  Tseytlin  [20],  embora  não  seja  invariante  de  Weyl,  garante  a _, renormalizabilidade  da  teoria.  E  interessante  agora,  por  questão  de 

sim-plicidade, considerar como campos de fundo apenas O campo gravitacional

g",,(X) e o campo tensorial anti-simétrico Bp,,(X); com isso a ação (1.25),

escrita num "gauge conforme" (goh = ･ｾ＠ .5•• ), fica

5gB =

2:'"

J

d2 t; [g",,(X) - B,,,,(X)] ihX"8_X" (1.26)

que como podemos observar, com as devidas modificações na notação, é equivalente a ação (1.16) de um modelo sigma não-linear com termo de 'Vess-Zumino.

Voltemos agora a um ponto importante: sabe,se

[7]

que ao quantizar

a teoria, a liberdade de reparametrizações permite a fixação de um gauge

ia. = ･ｾ＠ Ii.b, chamado gauge conforme. Sabe-se também que no caso em

consideração a invariância de Weyl faz com que o modo conforme >'(1',) se

desacople clássica e quanticamente somente em D = 26. A questão que surge

agora é a de se saber quando o modo conforme desacopla-se quanticamente

)

)

16 

)

" na presença de  campos  de  fundo,  A  resposta é que  isso  ocorrerá (21]  se  e 

somente se a simetria de Wey! for  mantida no nível quântico.  Porém, como 

,:j

sabemos, o grupo de Weyl tem como subgrupo a invariância de escala 

'J

')_,

l'ab(O ­  a')'ab({)

)

Esse grupo,  como já dissemos  antes, é quebrado  pelas  funções­,8  do  grupo  de renormalização,  Então,  uma condição  necessária para que se ter a  pro-pagação  consistente  de  cordas  em campos  de  fundo  é  que  as funções­,13  do 

1

modelo sigma se anulem [8J.  Isso nos permite, então, encontrar ações efetivas  e conseqüentemente física a baixas energias.  Olhemos os seguintes exemplos: 

(i) Tomemos o caso mais simples: 9pu descrevendo uma variedade curva

sem torção (B"v = O).  Nesse caso observamos que, em ordem de  um

Ioop (ver (1.14)),  a condição para o anulamento de,8 é Rp.v = O. 

Pois bem,  sabemos  que  ao  considerarmos a  gravitação de  Einstem em  26  dimensões, a ação da teoria é 

S!i_n

=

J

d?6

x ,;9R(x) (1.27) 

cujas equações clássicas de movimento são: 

, i 1 

Rp.u ­

2'

gp.uR = O

na ausência de matéria Rp.v

=

O. 

Vemos entào, que nessa ordem, a condiçào para o anulamento da função-,8 é, claramente, a equação clássica de movimento para o campo que descreve  o modo  do  gráviton da corda.  Esse resultado, colocado  de outra forma,  diz  que a baixas energias, a gravitação de  Einstein descreve a corda, fato esse já 

conhecido de outros cálculos  (amplitudes de  cordas).  Se formos  agora para 

ｾ＠ )!

I

ｾＬ＠

"

, )1

I

17 

"

)j

I.  _{ordens superiores em loops  (ver novamente (1.14))  no modelo sigma}

perce-I (­1! 

i beremos que a  condição de anulamento de 

fJ

possuí correções em potências 

ｾＩｩ＠

, de 

cr' 

(2?ra' +-+ j2). Dessa. maneira se deduz que a  ação  de baixas energias, 

'J 

_{S',;_}

_{H' recebe  também correções em (a') da forma:} 

)

I

'.'  )

D/

J

d26

x..;g

R""paR'wpu (1.28) 

implicando correções às equações de Einsteiu. 

: ')

! ') (ii) Quando a variedade admite torção (B""

i'

O)  temos uma teoria de

Einstein-Cartan, cuja ação é:

.,

S" =

J

d26

X f;;g (R ­

!

H H""p) (1.29)

E_JI V Y 3  j1Vp

Também  nesse  caso  a  condição  de  anulamento  para  a  função­fJ  (em 

.  "  ordem de um loop) 

R,,"

= Oé equivalente às equações de movimento obtidas 

de  (1.29). 

(íii)  No caso em q'ue a ação é dada por (1.25) (sem o termo C(X»), Callan

et ai.

[8] 

uS(L1!do teoria de perturbação de campo de fundo encontraram

03 seguintes resultados:

ＯＳｾｶ＠

= Rp.v ­

ｾｈＯＧＢ

H",;" ­ 'i7p 'i7v'"

+

OCa')

B 1  À 1  À ,

/3"" 

=

2' 

'i7  HÀ'fV

+

2' 

'i7  iflHÀJtv

+

OCa

) 

/3"" 

= -R

+ 112H2

+

2'i72if!

+

('i7...)2 

+

O(e,')

18 

·' 

)

')

)

)

)

J 

.')

.­;

,

)

.

) "

, "J

) '.

J

,)

" , ) , )

)

,) 

)

! 

. ｾ＠

A ação efetiva.,  da qual as equações podem ser obtidas são  

sfr-

hada ₌

J

d

D _{x Vii}

ei/>

[R

-

112

H'

-

(V.;p)' ­ 2V2 .;p] 

= -

J

dDa; Viiei/> f3i/>

onde D  é  a  dimensão  do  espaço­tempo. 

Esses  exemplos noS  dão  uma ótima ilustração de  como o procedimento  apresentado pode ser útil na obtenção de ações efetivas de teorias de campos  para.  modos  de  cordas.  O  estudo  das  soluções  das  equações  advindas  daí  podem levar a  resultados interessantes em programas de  compatificações de  cordas [22]. 

1.3.2­0 MODELO  SIGMA  NA O­LINEAR 

SUPERSIMÉTRICO (1,1) 

A ação (1.1) pode ser estendida para se incluir férmions  (espinores) em 

sua descrição.  Em duas  dimensões  (1 

+

1),  pode­se provar  a  existência de 

espinores de Weyl,  Majorana e  Majorana­Weyl.  Ademais,  nessa dimensão,  a  representação espinorial irredutível tem uma componente (representa um  espinor de Majorana­Weyl)  e os  "boosts"  de Lorentz que  agem da seguinte  forma 

â±<pi _{­+ e±p(x) â±<p}i

(1.30)

ＧￍＧｾ＠ ­ t  e±iP(x)

IÍ'±

onde ＬｰｾＬ＠

,p'.. 

representam espinores das duas qulralidades distintas . 

Uma maneira de  se fazer a  extensão supersimétríca é  tomar N campos 

esculares <pi ( a;), 2N campos espinoriais ＨＬｰｾＬ＠

,p'..

l,

constmir um supercampo e 

19 

,

, "

,

)

I

,

"

")

"'

.

I

,

_• 

",

)

)

")

.)

em seguida, a  existência de uma única carga supersimétrica de cada 

quirall-dade, Q:l:, tal que

Q

2 P .

â

'8

+ = + = -,âx+

== -,

+

Q:'

==

p_

=

-ia

â

_x-

==

-i8_

{Q+, Q_}

==

O (1.31)

Estas cargas podem ser realizadas por operadores diferenciais agindo

sobre o superespaço consistindo de coordenadas x:l: e e:l: (variáveis de

Grass-mann), isto é,

Q:l:

==

i

ＸｾＧｦ＠

- B'f8:l: (1.32)

Um supercampo escalar (de Lorentz) real, pode ser escrito como:

iI>(x:l:,e:l:l

=

<p(x)

+

il1_1/J+(X) +iO+1/J_(x) +iO+B_F(x) (1.33)

o

supermultipleto é formado por <p, 1/J+ e

1/J-,

sendo F(x) um campo

escalar auxiliar que pode ser eliminado já que não possui dinâmica, isto

é, satisfaz uma equação de movimento algébrica. A ação para o modelo

sigma não-linear supersimétrico é então obtida, tomando no superespaço

uma medida dx+ dx- dB+de_, N supercampos q;(x, e) e um operador

covari-antemente supersimétrieo

- 8

D:l: ;: i

ae'f

+

f)'f8:l: (1.34)

satisfazendo as relações {D:l:, Q:J:}

==

O.

Dessa forma temos:

1 

Ｚｾ＠ 20 

")

) Essa ação  descreve o modelo  conhecido  como modelo sigma não­linear  ") supersimétrico  (1,1)  já que  possui  uma supercarga  de  cada  quiralidade

t.

I

(, 

Para se  escrever  (1.35)  em  termos  do  campos  componentes  devemos plesmente inserir a expansão dos supercampos, realizar as integrações Ih e

sim-'; eliminar os campos auxiliares pi(x) através de suas equações de movimento,

1 assim encontramos

I

ｓｾＢﾻ＠

=

J

dx+ dx- [9ii(<p) â+q,iô_,pi

+

i..p+D_..p+

+

ｨＯｊｾｄＫＮＮｰｾ

+

)

)

Ｋｾ

R.bcd(</> ),p+ ,pt..p:

Ｌｰｾ

1

(1.36)

")

Aqui os espinores foram referidos ao espaço tangente com a ajuda dos "vielbein"

\

ea .(1))eaj(4>) = gij(q,)

)

.1.'

1f'± -_ eO , t .I,i 'f/±

Robcd

=

e i• ei b Rijcd

=

tensor de curvatura

Rijcd

=

8iWjcd - ÔjiN'ícd

+

[W",Wj]cd

wi·óé a conexão de spin dos sistemas, aparecendo também em

" ",

D±,p·

=

fh,p°

+

W±.b..pb onde W±ab ;: wiabô±4>i

'"

Este modelo possui também urna função (3ij(4» útil na correspondência

" • com supercordas, e é perturbativamente dada por [12]

\

(3ij(4»

1

2

=

-21f R'j

[8«3) _

- 3(41f)4 T(;n(4» (1.37)

)

t Em D = 2 as. supercargas q+. Q_ de quiralidade positiva e negativa. definem uma.

supersimetria. (p,q) de acordo com HulI e Witten.

21 

j

)

.

,

_,

) .

,

J

M'j

"

,

.,-,

} 

)

"

.,

)

1 

,

_,

,

,

J 

,

_,

)

)

onde R;j é  o tensor de  Ricci e Tij contém uma soma finita de  produtos de 

tensores de Riemann e derivadas covariantes atuando sobre os mesmos,  que  não  explicitaremos aqui. 

Pode­se mostrar que  a  teoria de  supercordas fechadas  (tipo II)  é  a  re-levante nesse caso. Observando a expressão (1.37) dada acima notamos que não há contribuições das ordens de dois e três loops, isto significa que

estão ausentes na ação de Einstein correções de 0(0"2) e 0(0"3) embora

esteja presente 0(0"4) [23]. Novamente esses resultados se apresentam como

importantes para o estudo de compatificações [24].

1.3.3-0 MODELO SIGMA NAO-LINEAR SOBRE UMA VARIEDADE DE KÃHLER

Vamos apresentar agora uma breve discussão do modelo sigma não-linear supersimétrico (2,2).

Sob certas condições, o modelo sigma supersimétrico

N

=

1 pode ser

estendido e se tornar um modelo

N

=

2. Zumino [25] provou que existirá

um novo par de supersimetrias se e somente se o modelo (1,1) for definido sobre uma variedade de Kiihler. Para melhor entender isso, é útil fazer uma breve revisão da geometria de variedades complexas e geometria de Kãhler.

Uma variedade complexa n-dimensional pode sempre ser olhada como

urna variedade de Riemaon real com coordenadas

q,A,

A percorrendo os n

índices holomórficos, í

=

1,2, ... , n e os n índices anti-holomórficos ｾ＠

=

-i ';

1,2, ... ,n. Temos também'" =

q,'.

Um vetor VA possui, portanto, 2n componentes V;, Vi; e todas as

defini-ções da geometria Riemanniana tais como conexão, curvatura, etc. ainda são

"

22 

existe um elemento de linha real  tomando a  forma 

, "

) _ds2 _{= 9ABdif>Adif>B com} 

9AB

=

9BA (1.38) 

)

,

!  A realidade é assegurada pelas condições  1 

) 9ij =

ih)

e  9iJ=9ji (1.39) 

1 

) _{Fazendo­se  agora uma restrição  sobre  a  a  variedade complexa do  tipo} 

)

9ij = {lij

=

O,  o elemento ds2 toma a  forma  Hermitiana ds2 = 29;Jdif>i d4>i

e nós dizemos que a  variedade é Hermitiana.  Uma restrição adicional pode 

) _{ser feita impondo à métl'ica as  seguintes condições} 

!

fh9il(<!>' <1»

= 

l)i9ki(<!>' 4» (1.40a) 

I)k9;;(<I>, <1»

=

I)J9i7;(<!>' <1» (1.40b)

chamadas de  condições de  I<ãhler.  Nesse caso dizemos ter uma variedade de  Kâhler.  Nessa geometria ocorrem importantes simplificações.  Damos abaixo  alguns exemplos: 

(i)

ｲｾ｣＠

tem todas as componentes nulas exceto aquelas da forma 

r

ｾ

k .

(ii)

o 

tensor de curvatura RABCD é tal que: 

Rikji

=

8j 8i 9ik ­ 9mii8j9ai8i9mk (1.41 ) 

chamado  de  curvatura de  Kãhler,  que  tem  como  únicas  componentes  não­nulas Ri lkl' Ri}kl' Rijk! e Rijk

(iii) As identidades cíclicas  e de  Bianchi se reduzem a 

(1.42a)

Ri;k!

= 

RkJiI

(1.42h)

Ri lkl = Ri/k}

DmR;Jkl

= 

DiRmlkl (1.43a)

DmR(jki = DI Rimkl (1.43b)

23 

.

,

"

)

.-)

"

,

,..

,

_,

:)

,

)

(,'I)) Um "tensor de Kãhler", é um tensor simétrico Hermitiano tal que Tij =

Tr; = O, satisfazendo 

8,T

k

I'

o,T'-k'

OkT;"j

= ｯｲＺｔＮｾ＠ _{N i )} = _{J J} (1.44)

. -j

Esse tensor define uma bi­forma T = T,-;d</>' li d</> e é localmente 

de-rivável de um potencial escalar S, isto é, T(i = 8,ojS(</>, </» 

('1)) O tensor de Ricci é um tensor de Kãhler, ou seja, 

Rij

=

Ri] = O  e 

Ri}

=

/k R

_ikJ/ =

0;0,

ln(9mn)  (1.45) 

A  conexão  entre  geometria  de  Kiihler  c  supersimetria  foi  então  estudada  por Zumino  que  encontrou  a  seguinte  Lagrangeana no  superespaço  para o 

modelo sigma não­linear supersimétrico em 

N

= 

2 

c

=

J

d2_8d2 _{(j J(q;iq;i) (1.46)} 

onde J( é o chamado potencial de  Kiihler, 

Decompondo­se 

w,

expandindo­se J(q;iq;i) e  elirrtinando  os  campos 

auxiliares,  obtém­se  (1.46)  em termos de campos componentes; deixaremos  para apresentá­Ia mais tarde numa forma conveniente ao problema tratado,  Modelos descritos por (1.46) 

têm surgido em acoplamentos com super-gravitação 

N

= 1,2 [26,27] 

24 

)

1.4­TEORIAS DE (SUPER)MEMBRANAS

) 

Nos  últimos três anos uma extensiva discussão tem se realizado no 

sen-ｾＩ＠

tido de se obter teorias de objetos estendidos, consistentes com a Mecânica

r')

Quântica, e que, além do mais, generalizem a teoria de cordas, ou que pelo

,1

menos desempenhe um papel importante na. aplicação de tais teorias para

a física de partículas, usando por exemplo, a supercorda tipo II [7) como )

um multipleto de grávitons e a (super )membrana como o setor de matéria

)

[28J.

Porém o atrativo maior para se estudar esses objetos estendidos foi

\

a descoberta [29,30J de se poder formular uma teoria supersimétrica de

membranas (2-br/lllas) que as descrevesse quando se propagando em uma.

supergravitação de fundo ll-dimensional. Em outras palavras, descobriu-se que a ação de Green-Schwarz para a supercorda lO-dimensional podia ser

generalizada de tal forma a incluir a supergravitação em onze dimensões.

1.4.1-MEMBRANAS DE DlRAC, HOWE-TUCKER E SUPERSIMETRIZAÇÃO

Historicamente, foi Dirac [31J em 1962, o primeiro a propor uma

teo-ria envolvendo objetos estendidos. A idéia era considerar os elétrons como

tais objetos e se ter uma teoria capaz de descrevê-los. Dirac propôs, então, uma ação de uma membrana relativística, isto é, uma ação para uma su-perfície bidimensional movendo-se no tempo. Contudo, nessa descrição, o spin intrínsico do elétron estendido não foi considerado, e a dinâmica era por-tanto, a de uma membrana bosônica obtida minimizando o volume-mundo varrido por ela

In = -

J

d3t; Vdet(&,X"ÔjXv'1J<v) (1.47)

25 

j

"

,

)

) " J

,

)

,)

" ,

) 

j

J 

,

)

(r parametriza a  evolução  temporal)  e os campos ｘｾ＠ (p, = 0,1,2,3)  dão  a 

Sua localização no espaço­tempo de MinkowskL 

A experiência adquirida com a  teoria de cordas sugere a  existência de 

duas  maneiras  de  se  introduzir  supersimetria  em  teorias  de  membranas: 

qua.ndo  a  supersimetria é definida  no  espaço­tempo  mas  não  no 

volume-mundo  obtém­se as  chamadas  "supermembranas",  procedendo­se  de  outra 

forma,  isto é,  introduzindo  a  supersimetria no  volume­mundo mas não no 

espaço­tempo  obtém­se  as  chamadas  "membranas  com  spin"  ("spinning 

mernbrane").  É importante  dizer  que  para  partículas  e  cordas  ambas  as  

extensões supersimétricas já foram realizadas e sabe­se, além disso, que sob  

certas  condições  a  "corda  com  spin"  (spinning  string)  e a  supercorda  se  

. tomam  formulações  equivalentes  da  mesma  teoria.  Essas  construções  e  a   possível  equivalência  no  contexto  de  membranas  mnda é  uma questão  em   aberto. 

A primeira tentativa de se construir uma membrana com  spin foi  feita 

por Howe  e  Tucker 

[32J. 

Eles primeiramente reeSCreVeram  a  ação  de  Dirac 

(1.47) na forma: 

[Hr = -

ｾ＠

j

d3

e

[v' 

9 gij

｡ｩｘｾ＠

ajXV

ｔ｝ｾｶ＠

­

v' 

9

1 

ou 

[Nr =

Ｍｾ＠

j

d3

e

v' 

g(tr(A) ­ 1)  (1.48) 

aqui gij é  a  métrica do  volume­mundo  e  aparece  como  campos  auxiliares 

(independentes) , 

9 = det(gii)  e 

A}

= gik 8kXP _{Ｘｪｘｾ＠ Ｇｬｾｶ＠} (1.49)

A ação (1.48) é 

26 

:) 

, ｾＭ .j

)

')

,) 

"

)

ｾｬ＠

'y-)

)

)

"

l '

)

)

Ao  fazerem  a  extensão  supersimétrica,  Howe  e  Thcker  notaram  que  os  campos  da supergravitação  apareciam  satisfazendo  certas  equações  de  vínculo  diferenciais,  com gij deixando  de  ser uma variável  auxiliar e 

con-seqüentemente tornando (1.48) inequiva.lente a (1.47). Por outro lado, ao

liberarem os vínculos dos campos de supergravitação, a supersimetrização

requeria a inclusão de um termo cosmológico"; gR fazendo com que a parte

bosônica da ação se tornasse inequivalente a (1.47).

Oinsucesso acima relatado, levou muitos pesquisadores na área a

procu-rarem outros modelos de membranas com spin que fossem equlvalentes a Iv

após a eliminação dos campos auxiliares. Como exemplos, vale apenas citar

as ações propostas por Dolan-Tchre.kian

[33]

e Inami-Yahikozawa

[34]

IDT =

Ｍｾ

J

d3

e

Fg [tr(A) -

ｾ＠

tr(A2 )

+

ｾＨｴｲＨａﾻＲ｝＠

(1.50)

hy

""

J

é{ Fg(tr(A))3 /2 (1.51)

Modelos descritos por (1.50) e (1.51) admitem soluções da equação de

gij que conduzem a Iv.

Em resumo pode-se estabelecer a seguinte definição: Urna ação é dita

ser uma ação de membranas com spin ("spinning membranes") se:

(i) possuir uma supersímetria local no volume-mundo realizada linearmen-te.

e

ii) após a eliminação de todos os campos auxiliares e fazendo os férIDÍons

irem a zero se reduzir a I D.

Utilizando-se destes critérios Bergshoeff et alo [35J provaram que a

su-persimetrização de qualquer ação bosôniCa equivalente a ID implica. na

exis-tência de uma supersimetrização de I HT e que, apenas com o cálculo

tenso-rial usual em três dimensões, esta ação (IHT) não admite uma extensão do

,

" _.

27 

')

f") cosmológico  que  não  pernúte  a  supersimetrização  no  sentido  da definição 

t-") _, dada,

_""')  Apesar dos  resultados acima,  agora com  "status"  de  "teorema no­go" 

<, 

_{[35],  Lindstrom  e  Rodík  [36]  conseguiram  construir  uma  "membrana com} 

spin"  supersimetrizando  a  ação  conformalmente  invariante  (1.51).  Entre-\ ')   tanto,  deve­se  ressaltar  que estas transformações são 

terrivelmente compli-cadas e fora do formalismo do  cálculo tensorial usual. 

ｾＧ＠

1

"

,

,

,

1.4.2­(SUPER) P­BRANAS 

As ações (1.47), (1.48) podem ser generalizadas para objetos estendidos  d­dimensionais:  1 tempo e p = (d­l) dimensões espacials movendo­se em um 

\

espaço­tempo com 1 tempo e (D - 1) dimensões espacials que por enquanto  consideraremos como de Minkowski de métrica '11'1" diag(­, 

+, ... , +). 

Esses  objetos são agora chamados de "p­branas"  ou simplesmente  "membranas"  e  varrem um volume­mundo  com coordenadas 

çi 

(i 

= 1, ... , d).

A ação I D torna­se 

IDNG = -T

J

dd

ç /­

det(8iXI'8jX1' 

1/1''') 

(1.52) 

A  constante T, introduzida aqui,  caracteriza a  tensão  da p­brana  e  deixa 

IDNG adirnensional.  Em d = 3  obtemos  a  ação  de  uma membrana,  e,  em 

d = 2, a ação  de Nambu­Goto para uma corda. 

A ação de Howe­Tucker (1.48) agora para p­branas tem a forma: 

ｉｈｔｐ］Ｍｾｔ

J

ddE, [hgii8iX"8jX"'11'v-(d-2)Rl (1.53) 

28

",,

campos X", Assim tcmos: 

') 

"

r")

ｾｆｙ

gi; gkl (JkX" (JIX"

'fi,,"

-

J

2  "1 

,

,

, _{tomando­se o traço, obtém­se (d}

_# 

_O) 

9 (Jk X " (JIXv gik gil =

1 "

= -(d-2)J gg" (1.54)

2

gkl &kX" alxv ＧｦｉｾＢ＠ = d

=>

gi; = &iX" ajX" 'fIP" =

= métrica induzida sobre o Vl)lume  mundo  (1.55) 

, :)

também 

ai(

J

9 gij ajX" 7Jl'") = O  (1.56) 

Quando d = 2,  o  termo  cosmológico  desaparece,  e  (1.53)  possui  uma  simetria conforme fundamental em teorias de cordas mas ainda não satisfa-toriamente entendida em teorias de membranas, 

Para finalizar,  devemos dizer  que  se  pode substituir 'IpI' por G",,(X),

introduzir além disso,  um tensor anti­simétrico ｂｾｶ ...p(X) de ordem d,

aco-.. 1 pIando­se via termo  de Wess­Zumino  e assim generalizar (1.53)  para: 

. '  

1 [  " 

I =

-'j?

J

dd

ç 

J

_{9g" aiX" ajX}V _{Gpv(X) -} (d ­

2)FY+

+

.!

_d! ,i,i,... &. X'" a· Xl" .. ,a· X"d B (X)] _(1.57)

ç t} ｉｾ＠ td J1.1fJ..···Pd

que permite uma passagem mais direta para supermembranas [30J, 

29 

. ) 

" de Neveu­Ramon­Schwarz e as supercordas de Green­Schwarz e também a 

" ) possibilidade de supermembranas D = 11  vir a  ser uma teoria que abrigue a 

.,

gravitação quãntica.  Porém, existem no nosso entender, duas outras questões  cruciais a se resolver.  Uma delas se refere a falta de uma malhor compreensão  () 

"

• do  que  é,  e,  qual  é,  o  papel de  uma invariãncia conforme  sobre  o 

volume-\ Ｌｾ＠ 1 mundo (d

>

3, o grupo conforme é de dimensão finita) e até que ponto

é lícito usar tal invariância para se obter, por exemplo, dimensões críticas

.

,

e físicas de baixas energias. O outro, é o problema relativo à sua

não-renormalizabilidade. Este último será objeto de nosso estudo no capítulo

\ 

)   seguinte onde apresentaremos cálculos perturbativos realizados em modelos

sigma não-lineares tridimensionais.