Atratores pullback para equações parabólicas semilineares em domínios não cilíndricos

(1)

Heraclio Ledgar L´

opez L´

azaro

Atratores pullback para equa¸

c˜

oes parab´

olicas

semilineares em dom´ınios n˜

ao cil´ındricos

(2)

Atratores pullback para equa¸cões parabólicas semilineares em dom´ınios não cil´ındricos

Disserta¸cão apresentada para obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Matemática, área de Equa¸cões Diferenciais Parciais, junto ao Programa de Pós Gradua¸cão em Matemática do Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas da Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, Campus São José do Rio Preto.

Orientador: Prof. Dr. Ricardo Parreira da Silva

(3)

L´opez L´azaro, Heraclio Ledgar.

Atratores pullback para equa¸cões parabólicas semilineares em dom´ınios não cil´ındricos / Heraclio Ledgar López Lázaro. - São José do Rio Preto, 2016.

82 f. : il.

Orientador: Ricardo Parreira da Silva

Disserta¸cão (mestrado) - Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas

1. Matemática. 2. Equa¸cões diferencias parabólicas. 3. Equa¸cão de calor. 4. Atratores (Matemática) I. Silva, Ricardo Parreira da. II. Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”. Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas. III. T´ıtulo.

CDU - 517.911

(4)

Atratores pullback para equa¸cões parabólicas semilineares em dom´ınios não cil´ındricos

Disserta¸cão apresentada para obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Matemática, área de Equa¸cões Diferenciais Parciais, junto ao Programa de Pós Gradua¸cão em Matemática do Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas da Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, Campus São José do Rio Preto.

BANCA EXAMINADORA

Prof. Dr. German Lozada Cruz Professor Adjunto

UNESP - S˜ao Jos´e do Rio Preto Co-Orientador

Profa. Dra. Andr´ea Cristina Prokopczyk Arita Professora Assistente Doutora

UNESP - S˜ao Jos´e do Rio Preto

Prof. Dr. Ma To Fu Livre Docente USP - S˜ao Carlos

(5)

`

(6)

Agradecimentos

Agrade¸co a Deus, a minha fam´ılia e a minha namorada Jackeline del Carmen Huaccha Neyra, pela for¸ca, apoio e compromisso para com a minha pessoa, respectivamente.

Aos Professores Dr. Ricardo Parreira da Silva e Dr. German Lozada Cruz por aceitarem me orientar neste trabalho, pela paciência durante os seminários, por toda dedica¸cão, ajuda e amizade ao longo deste percurso.

Aos professores Dra. Andr´ea e Dr. Ma To Fu por aceitarem compor a banca examinadora.

(7)

“O único homem que está isento de erros, é aquele que não arrisca acertar.”

(8)

Resumo

O problema que vamos estudar neste trabalho é motivado pela dinâmica de equa¸cões diferenciais não autônomas. Vamos estabelecer a existência e unicidade de solu¸cão para uma classe de equa¸cões parabólicas semilineares com condi¸cão de fronteira de Dirichlet, em uma fam´ılia de dom´ınios que varia com o tempo.

Além disso, sob certas hipóteses sobre a não linearidade, mostraremos a existência de uma fam´ılia de atratores pullback.

(9)

Abstract

The problem that we are going to study in this work, is motivated by the dynamics of

differential equations nonautonomous. We will establish the existence and uniqueness of

solution for a class of parabolic semilineares equations with Dirichlet boundary condition,

in a family of domains that varies with time.

In addition, certain hypotheses about the non-linearity, we will show the existence of a

family of attractors pullback.

(10)

Sum´

ario

Introdu¸c˜ao 10

1 Preliminares 13

1.1 Resultados importantes . . . 13 1.2 Distribui¸c˜oes e Espa¸cos Funcionais . . . 20 1.3 D_{-Atractor Pullback . . . .} ₄₄

2 Equa¸cão do calor semilinear em dom´ınios que variam com o tempo 52 2.1 Existência e unicidade de solu¸cão . . . 52 2.1.1 Existência de solu¸cão fraca do problema (EFMA) quandouτ ∈Lp(Oτ)∩H01(Oτ) 57

2.1.2 Regularidade de solu¸c˜ao para o problema (EFMA) quandouτ ∈Lp(Oτ)∩H01(Oτ) 66

2.1.3 Existˆencia de solu¸c˜ao fraca para o problema (EFMA) quandouτ ∈L2(Oτ) . . 68

2.2 Gera¸cão do processo U(t, τ) pelas solu¸cões fracas . . . 71 2.2.1 Existência de solu¸cão fraca para o problema (EFM) quandouτ ∈L2(Oτ) . . . 71

2.2.2 Gera¸c˜ao do processoU(t, τ) . . . 71

3 Atratores Pullback 74

3.1 D_λ1_{- Atrator pullback . . . .} ₇₄

3.1.1 ConjuntoD_λ1_{-absorvente pullback . . . .} ₇₅

3.1.2 D_λ1_-assint´_{oticamente compacto pullback . . . .} ₇₇

(11)

Introdu¸c˜

ao

Problemas onde dom´ınios variam com o tempo vem sendo estudados a bastante tempo, como, por exemplo, o problema de Stefan, que pode ser interpretado como um problema de propaga¸cão do calor, movimento de átomos, estudo de combustão, etc. Em [14], o autor estuda a equa¸cão do calor unidimensional onde o dom´ınio da variável espacial varia no tempo. Por exemplo, podemos pensar na propaga¸cão do calor sobre um iceberg, onde queremos estudar a temperatura em cada um de seus pontos. Neste caso, temos que levar em conta que, dependendo da temperatura exterior, o iceberg vai mudando sua estrutura ao longo do tempo. Matematicamente podemos entender o iceberg como sendo o dom´ınio que varia ao longo do tempo e a equa¸cão como sendo o modelo matemático que explica a varia¸cão da temperatura em cada ponto do iceberg. Podemos citar trabalhos recentes relacionados com equa¸cões diferenciais parciais sobre dom´ınios não cil´ındricos, como por exemplo [9, 11].

Este trabalho é composto de três cap´ıtulos. No Cap´ıtulo 1, colocamos os conceitos básicos que usaremos para o desenvolvimento desta disserta¸cão. Os resultados mais importantes deste cap´ıtulo são os Teoremas de compacidade fraca-∗de Alouglu (Teorema 1.15), Teorema de Imersão de Sobolev (Teorema 1.39), Teorema de regularidade para equa¸cões el´ıpticas (Teorema 1.42) e o Teorema de existência de atratores pullback (Teorema 1.79). Adaptamos também os resultados de P. Kloeden [9] para mostrarmos a existência de uma fam´ılia de atratores pullback. Também citamos os seguintes trabalhos [4, 8, 15, 10], onde os autores abordam o estudo da existência de atratores pullback.

Grosso modo, o atrator de um sistema dinâmico é um objeto que descreve completamente sua dinâmica assintótica.

Nas últimas décadas, o conceito de atrator para um sistema dinâmico autônomo tem sido consolidado e desenvolveu-se uma teoria geral bastante completa, por exemplo veja [15]. Nesta disserta¸cão estudaremos a existência de atratores para um sistema dinâmico não autônomo (os atratores pullback).

Um dos motivos do estudo do atrator pullback é que este tem propriedades semelhantes ao atrator global para problemas autônomos (ver [8]). A ideia fundamental do estudo dos atratores pullback é

(12)

associá-los a um processo U(_·,_·) de evolu¸cão para entender o comportamento assintótico do processo U(·,·) no “passado”. Esta análise fica mais fácil se todas as solu¸cões ficarem em uma fam´ılia de subconjuntos limitados do espa¸co de fase. Para a existência de um atrator pullback (ou um atrator em geral) há que garantir três condi¸cões: Primeiro é que o atrator tem que atrair todas as solu¸cões (a atra¸cão esta relacionada com as distâncias que tem as solu¸cões até o atrator ao longo do tempo). Uma vez atra´ıdas as solu¸cões, a ideia é que elas entrem no atrator. Segundo, o atrator tem ser um conjunto compacto. A condi¸cão de compacidade garante que as solu¸cões caiam no atrator e, uma vez dentro do atrator, que as solu¸cões permane¸cam a´ı. Terceiro, o atrator tem que ser invariante. Além dessas três condi¸cões, existe uma quarta condi¸cão que é que o atrator tem que ser minimal no sentido da primeira condi¸cão, esta condi¸cão garante a unicidade do atrator. Quando estudamos a existência e unicidade de atratores globais para semigrupos (problemas autônomos), esta quarta condi¸cão é uma consequência direta das outras três.

No cap´ıtulo 2 esta um dos resultados mais importantes de nosso trabalho, que é o Teorema de existência e unicidade de solu¸cão para o problema

            

∂u

∂t −∆u+g(u) =f(t, x) emQτ,

u= 0, sobre Στ,

u(τ, x) =uτ(x), x∈ Oτ,

(EFM)

ondeQτ ´e um dom´ınio n˜ao cil´ındrico.

Mais precisamente, neste cap´ıtulo apresentamos três teoremas de existência e unicidade de solu¸cão para o problema (EFM). O primeiro teorema mostra a existência de solu¸cão fraca quando f ∈ L2(τ, T;L2(Ot)), o dado inicial uτ ∈ Lp(Oτ)∩H01(Oτ) e o dom´ınio não cil´ındrico é “cortado”

em qualquer tempo T _≥ t _≥ τ fixado (Teorema 2.8). Além disso, com as condi¸cões de contorno neste primeiro teorema, mostramos a regularidade de solu¸cão (Teorema 2.9). O segundo Teorema de existência é praticamente um corolário do Teorema 2.8, pois usamos a densidade deLp(_Oτ)∩H01(Oτ)

e L2(τ, T;L2(Ot)) em L2(Oτ) e L2(τ, T;H−1(Ot)) respectivamente. O terceiro teorema mostra a

existência de solu¸cão fraca para o problema (EFM). Mas o primeiro teorema de existência não é demonstrado diretamente para o problema (EFM), pois não contamos com muita teoria para equa¸cões diferenciais com dom´ınios que variam no tempo, então para poder mostrar este teorema fazemos uma mudan¸ca de variável transformando o dom´ınio não cil´ındrico em um dom´ınio cil´ındrico. Sobre o novo dom´ınio cil´ındrico, definimos um novo problema de evolu¸cão, que por meio da mudan¸ca de variável é equivalente ao problema (EFM).

(13)

12

Primeiro mostramos que o processo U(_·,_·) possui uma fam´ılia de conjuntos D_λ1_{-absorvente pullback}

(Lema 3.1) e que o processo U(·,·) ´e D_λ1_{-assint´oticamente compacto pullback (Lema 3.2). Con isto}

provamos a existência de uma fam´ılia D_λ1_{- pullback atrator para o processo} _U₍_·_,_·_{) é consequência}

(14)

1 Preliminares

Neste primeiro cap´ıtulo apresentaremos os resultados importantes da análise matemática que usaremos para o desenvolvimento deste trabalho. Como por exemplo o Teorema de compacidade fraca-_∗ de Alouglu (Teorema 1.15), Teorema de Imersão de Sobolev (Teorema 1.39), Teorema de regularidade para equa¸cões el´ıpticas (Teorema 1.42) e o Teorema de existência de atratores pullback (Teorema 1.79).

1.1 Resultados importantes

Sejam N, k_∈N_{, Ω}_⊂RN _{aberto e limitado e denotemos por}_∂_{Ω a fronteira de Ω.}

Defini¸c˜ao 1.1. Dizemos que ∂Ω ´e de classe Ck _{se para cada} _x

0 ∈ ∂Ω existe r > 0 e uma fun¸c˜ao

γ :RN−1 _→R_{de classe} _Ck _{tal que}

Ω_∩B(x0, r) ={x∈B(x0, r) :xN > γ(x1, ..., xN−1)}.

Analogamente, ∂Ω ´e de classe C∞ se ∂Ω´e de classe Ck para k= 1,2, ....

Agora vamos considerar Ω_⊂RN _{aberto, limitado e}_∂_{Ω ´e de classe}_C1_.

Teorema 1.2. (Formulas de Green) Sejam u, v∈C2(Ω). Ent˜ao

(i) R_Ω∆udx=R_∂_Ω ∂u_∂νdσ,

(ii) R_ΩDvDudx=−R_Ωu∆vdx+R_∂_Ω∂v_∂νudσ,

(iii) R_Ωu∆v−v∆udx=R_∂_Ωu∂v_∂ν−v∂u_∂νdσ.

(15)

1.1 Resultados importantes 14

Figura 1.1: A fronteira de Ω

Demonstra¸c˜ao. Ver [7, Teorema 3, p´ag. 628].

Teorema 1.3. (Existˆencia local) Suponha que f :R_×RN _→RN _{´e cont´ınua e satisfaz}

|f(t, x)₋f(t, y)_{| ≤}L(B)_|x₋y_|

para x,y em conjuntos limitados B ⊂RN _{e a constante de Lipschitz} _L₍_B₎ _n˜_{ao depende de} _{t. Ent˜}_ao, para todo x0 ∈RN, existeT =T(x0) tal que a equa¸c˜ao

  

x′ =f(t, x) , x(0) =x0 ,

(1.1)

tem uma ´unica solu¸c˜ao sobre[0, T].

Demonstra¸c˜ao. Ver [15, Teorema 2.3, p´ag. 45].

Lema 1.4. Uma solu¸cãox(t) da equa¸cão (1.1) tem um intervalo finito maximal de existência [0, T∗) se e só se _|x(t)_{| → ∞} quandot_→T∗_.

Demonstra¸c˜ao. Ver [15, Lema 2.4, p´ag. 48].

Teorema 1.5. (Teorema de Representa¸cão de Riesz)Seja H um espa¸co de Hilbert eT :H→R um funcional linear cont´ınuo. Então existe um único w_∈H tal que

(16)

Além disso, a fun¸cão τ :H _{→ L}(H,R₎ _{dada por} _{τ w}₌_T_w _{é um isomorfismo linear e uma isometria.}

Espectro do Operador Laplaciano

Nesta se¸cão faremos um estudo do espectro de operadores lineares compactos e simétricos que aparecem em vários problemas de valor de contorno. O resultado básico é o Teorema de Courant-Fischer, que fornece uma caracteriza¸cão dos autovalores de tais operadores. Usaremos estes resultados para o operador (₋∆)−1 (inversa de₋∆ com condi¸cão de fronteira de Dirichlet).

Teorema 1.6. (Courant-Fischer)Sejam X um espa¸co de Hilbert eT :X _→X um operador linear compacto e simétrico. Então qualquer valor próprio positivo de T pode ser caracterizado por:

µn= sup Fn

inf

kuk=1,u∈Fnh

T u, ui,

onde o supremo ´e tomado sobre todos os subespa¸cosn-dimensionaisFn. Analogamente, qualquer valor

pr´oprio negativo de T pode ser obtido como:

µ−n= inf Fn

sup

kuk=1,u∈Fn

hT u, u_i.

Autovalores do Laplaciano. Seja Ω um conjunto limitado em RN_{. Consideremos o seguinte}

problema de auto valor: _

 

−∆u=λu em Ω, u= 0, sobre∂Ω,

(1.2)

isto ´e, queremos encontrar todas as auto fun¸c˜oesu: Ω→R_,_u₆_{= 0, e auto valores} _λ_∈R_satisfazendo

(1.2). Na formula¸c˜ao fraca do problema (1.2) procuramos u_∈H1

0(Ω), u6= 0, tal que

hu, v_i_H1 0 =λ

Z

Ω

uvdx, _∀v_∈H₀1(Ω), (1.3)

ondehu, viH1

0 =

R

Ω∇u∇vdx´e um produto escalar padr˜ao sobre o espa¸co de HilbertX=H01(Ω).

Seja u _∈ H₀1(Ω) fixo. Então a aplica¸cão v _7→ R_Ωuvdx é um funcional linear limitado definido sobre H₀1(Ω). De fato: usando a desigualdade de Cauchy e H₀1(Ω) ֒→ L2(Ω), temos que hu, viL2 ≤

(17)

Agora, usando o teorema de representa¸c˜ao de Riesz para funcionais lineares cont´ınuos definidos sobre um espa¸co de Hilbert, obtemos que existe um elementoT u∈H₀1(Ω) tal que

hT u, v_i_H1 0 =

Z

Ω

uvdx _∀v_∈H₀1(Ω).

Observe que: O elemento T u pode ser visto formalmente como w:= (₋∆)−1u, j´a que_hw, v_i_H1

0 =

R

Ω∇w∇vdx=

R

Ω(−∆w)vdx=

R

Ωuvdx=hT u, viH1

0 para todo v∈H

1

0(Ω). Esta ´e a raz˜ao pela qual o

operador T ´e as vezes escrito como T = (₋∆)−1 e chamado de operador solu¸c˜ao associado a ₋∆.

Teorema 1.7. SejaΩ⊂RN _{aberto e limitado. O operador}₋_∆_{com condi¸c˜}_{ao zero na fronteira possui} uma sequˆencia de valores pr´oprios_{λk}, k≤1 e

0< λ1 ≤λ2≤λ3...

cuja caracteriza¸c˜ao variacional ´e dada por

1 λk

= sup

Fk

inf

kuk_H1

0=1u∈Fk

Z

Ω

u2(x)dx,

onde Fk são subespa¸cos k-dimensionais de H01(Ω). A sequência {λk} tem um ponto de acumula¸cão

em _∞; i.e., limk→∞λk =∞.

Observa¸cão: Se k = 1 então todo subespa¸co unidimensional F1 é gerado por um vetor u 6= 0, de

modo que o Teorema 1.7 implica:

1 λ1

= sup

u∈H1 0(Ω)u6=0

R

Ωu2dx

R

Ω|∇u|2dx

, i.e. 1 λ1 ≥

ku_k2

L2

ku_k2

H1 0

.

Assim, obtemos a seguinte vers˜ao da desigualdade de Poincar´e:

Proposi¸c˜ao 1.8. Seja Ω_⊂RN _{um dom´ınio limitado. Ent˜}_ao

λ1kuk2L2 ≤ kuk2_H1

0,∀u∈H

1 0(Ω),

onde λ1 >0 é a melhor constante poss´ıvel, já que para u =φ1 obtemos a desigualdade, onde φ1 é a

fun¸cão própria associada ao valor próprio λ1.

(18)

Topologia fraca σ(X, X′)

Sejam X um espa¸co de Banach, X′ _{seu espa¸co dual e} _f _∈_X′_{. Denota-se por}_φ

f :X→R a aplica¸c˜ao

dada porφf(x) =hf, xi. Quandof percorreX′ obtemos uma fam´ılia (φf)f∈X′ de aplica¸c˜oes deX em

R_.

Defini¸cão 1.9. A topologia fraca σ(X, X′) sobre X é a topologia menos fina sobre X que torna cont´ınuas todas as aplica¸cões(φf)f∈X′.

Nota¸cão: Dada uma sequência{xn} em X, denota-se por xn ⇀ x a convergência de xn a x na

topologia fraca σ(X, X′).

Proposi¸cão 1.10. Seja _{xn} uma sequência em X, então:

(i) xn⇀ x em σ(X, X′) ⇔ hf, xni → hf, xi, ∀f ∈X′.

(ii) Se xn→x fortemente, ent˜ao xn⇀ x fracamente em σ(X, X′).

(iii) Se xn⇀ x fracamente em σ(X, X′), ent˜ao kxnk ´e limitada e kxk ≤lim infkxnk.

(iv) Sexn⇀ x fracamente em σ(X, X′) e sefn→f fortemente emX′, ent˜ao hfn, xni → hf, xi.

Demonstra¸cão. Ver [1, Proposi¸cão III.5, pág. 35].

Proposi¸cão 1.11. Quando X é de dimensão finita, a topologia fraca σ(X, X′) e a topologia usual coincidem. Em particular, uma sequência {xn} converge fracamente se, e somente se, converge

fortemente.

Topologia fraca ∗ σ(X′, X)

Vamos definir outra topologia sobre X′_{: a topologia fraca} _∗ _{que vamos denotar por} _σ₍_X′_{, X}_{). Para}

cada x _∈ X considere a aplica¸c˜ao φx :X′ → R definida por φx(f) = hf, xi. Quando x percorre X

obtemos uma fam´ılia de aplica¸c˜oes_{φx}x∈X de X′ emR.

Defini¸cão 1.12. A topologia fraca_∗, designada também porσ(X′_{, X}₎_{, é a topologia menos fina sobre}

(19)

Nota¸cão: Dada uma sequência _{fn} emX′, denota-se por fn⇀∗ f a convergência na topologia

fraca∗,σ(X′, X).

Proposi¸cão 1.13. Seja {fn} uma sequência em X′, então:

(i) fn⇀∗ f emσ(X′, X) ⇔ hfn, xi → hf, xi, ∀x∈X.

(ii) Se fn → f fortemente, ent˜ao fn ⇀ f fracamente em σ(X′, X′′). Se fn ⇀ f fracamente em

σ(X′, X′′), ent˜ao fn⇀∗ f emσ(X′, X).

(iii) Se fn⇀∗ f emσ(X′, X), ent˜ao kfnk ´e limitada e kfk ≤lim infkfnk.

(iv) Sefn⇀∗ f em σ(X′, X) e sexn→x fortemente em X, ent˜ao hfn, xni → hf, xi.

Teorema 1.14. (Banach-Alaoglu-Bourbaki). O conjunto BX′ = {f ∈ X′;kfk ≤1} ´e compacto

na topologia fraca _∗, σ(X′_{, X}₎_.

Demonstra¸c˜ao. Ver [1, Teorema III.15, p´ag. 42].

Teoremas de Compacidade

Teorema 1.15. (Teorema de compacidade fraca _∗ de Alouglu) Seja X um espa¸co de Banach separável, e seja {fn} uma sequência limitada em X′, então {fn} tem uma subsequência fraca ∗

convergente.

Demonstra¸c˜ao. Seja_{xk} uma sequˆencia densa em X. Notar que se {fn(xk)} converge para cada

xk, ent˜ao {fn(x)} converge para todox ∈ X. De fato: como {fn} ´e limitada, existe M >0 tal que

kfnkX′ ≤M. Logo, dado ε >0 e x∈X , escolhemos k tal que kx_k−xk< ε

3M, ent˜ao temos que

|fn(x)−fm(x)| ≤ |fn(xk)−fn(x)|+|fn(xk)−fm(xk)|+|fm(x)−fm(xk)|

< ε/3 +_|fn(xk)−fm(xk)|+ε/3.

O restante da demonstra¸c˜ao segue por um argumento de diagonal.

Corolário 1.16. (Compacidade fraca reflexiva)SejaX um espa¸co de Banach reflexivo e suponha que a sequência _{uk}∞k=1 ⊂ X é limitada. Então existem uma subsequência {ukj}

∞

j=1 ⊂ {uk}∞k=1 e

u∈X tais que

(20)

Demonstra¸c˜ao. Basta definirGk :X′ →Rcomo sendo Gk(f) =hf, ukie depois aplicar o Teorema

1.15.

Corolário 1.17. Seja H espa¸co de Hilbert então toda sequência limitada em H possui uma subsequência fracamente convergente emH.

Demonstra¸c˜ao. Basta usar o Corol´ario 1.16.

M´etodo de Faedo-Galerkin

Este método foi idealizado para procurar solu¸cões de problemas de evolu¸cão. Este foi desenvolvido por Sandro Faedo, trinta anos depois do método de Galerkin. Para ilustrar isto, consideremos o problema de evolu¸cão:

Au(t) =f(t), (1.4)

Ω_×[0,_∞]_∋(x, t) _7−→ u(x, t) _∈R_{, onde} _x _{= (}_x₁_{, ..., x}_N_{). A fun¸c˜ao} _u₍_x₁_{, ..., x}_n_{, t}_{) normalmente tem}

que satisfazer os dados iniciais

dku

dtk(x,0) =u k

0(x), k= 0,1,2, ..., m−1 (1.5)

(ondeuk₀ são fun¸cões conhecidas em≥1 é o ordem da equa¸cão de evolu¸cão) e a condi¸cão de contorno, por exemplo,

u|Σ = 0, (1.6)

onde Σ ´e a fronteira lateral do cilindro Ω×(0, T).

Dado um sistema completo de fun¸c˜oes _{wj} ortonormalizadas, wj : Ω → R e satisfazendo (1.6),

queremos aproximar a solu¸c˜ao de (1.4) - (1.6) por

uN(x, t) =

N

X

j=1

gj(t)wj(x), (1.7)

onde as fun¸cõesgj(t) são solu¸cões do sistema de equa¸cões diferenciais ordinárias

Z

Ω{

(21)

com condi¸c˜oes iniciais

dkgj

dtk (0) =

Z

Ω

uk₀wjdx, k= 0,1,2, ..., m−1.

Se o sistema (1.8) é da forma normal, então as gj(t) estão bem definidas pelo menos localmente no

tempo, e a solu¸c˜ao u(x, t) ´e obtida tomando limite em (1.7) quando N _{→ ∞}.

1.2 Distribui¸c˜oes e Espa¸cos Funcionais

No estudo de equa¸cões diferenciais parciais cujos dados iniciais não são regulares (que possuem derivada no sentido clássico) faz-se necessária a introdu¸cão de um novo conceito de derivada.

Para entendermos tal conceito necessitamos de algumas defini¸c˜oes:

1. Espa¸cos das fun¸c˜oes testes

Dados α = (α1, ..., αN) ∈ NN e x = (x1, ..., xN) ∈ RN, representaremos por Dα o operador

deriva¸c˜ao de ordemα definido por

Dα= ∂

|α|

∂xα1₁ ∂xα2₂ ...∂xαN

N

onde_|α_|=PN_i₌₁αi. Se α= (0,0, ...,0), define-se Dαu=u.

Seja Ω um aberto de RN_{. Denotamos por} _C_c∞_{(Ω) o conjunto das fun¸c˜}_oes _φ _{: Ω} _→ K _(onde K₌R_ou K₌C_{) que s˜}_{ao infinitamente diferenci´}_{aveis em Ω e que tem suporte compacto, onde}

suporte deφ´e o fecho do conjunto _{x_∈Ω;φ(x)₆= 0_} emRN_.

Introduzimos a seguinte no¸cão de convergência. Uma sequência _{φn} ⊂Cc∞(Ω) converge para

zero e denotamosφn→0 se, e somente se, existe um subconjunto compacto K de Ω, tal que:

i) supp(φn)⊂K,∀n∈N;

ii) Dα_φ

n→0 uniformemente sobre K,∀α∈NN,∀n∈N.

Dizemos que uma sequˆencia {φn} ⊂ Cc∞(Ω) converge para φ ⊂ Cc∞(Ω) quando a sequˆencia

{φn−φ} converge para zero no sentido dei) e ii) acima.

O espa¸coC∞

c (Ω), munido desta no¸cão de convergência, é denominado espa¸co das fun¸cões teste,

e denotado porD(Ω).

2. Distribui¸c˜oes sobre um aberto Ω⊂RN

(22)

espa¸co das distribui¸cões sobre Ω, munido da seguinte no¸cão de convergência: Seja _{Tn} uma

sequˆencia em D′_{(Ω) e} _T _{∈ D}′_{(Ω). Dizemos que} _T

n → T em D′(Ω) se a sequˆencia num´erica

{hTn, φi}converge para hT, φi emR,∀φ∈ D(Ω).

3. Denotaremos porL1

loc(Ω) o espa¸co (das classes de) de fun¸cõesu: Ω→Ktais que|u|é integrável

no sentido de Lebesgue sobre cada compacto K de Ω.

Destas defini¸cões estamos aptos a entender este novo conceito de derivada. S. Sobolev introduziu, em meados de 1936, uma no¸cão global de derivada a qual denominou-se derivada fraca, cuja constru¸cão dar-se-á a seguir:

Sejam u, v definidas num aberto limitado Ω deRN_{, cuja fronteira}_∂_{Ω ´e regular. Suponhamos que} u e v possuam derivadas parciais cont´ınuas em Ω = Ω∪∂Ω. Seu e v se anulam sobre ∂Ω obtemos, do lema de Gauss, que

Z

Ω

u ∂v ∂xk

dx=− Z

Ω

v ∂u ∂xk

dx.

A expressão anterior motivou a derivada fraca dada por Sobolev: Uma fun¸cãou∈L1_loc(Ω) é derivável no sentido fraco em Ω quando existe uma fun¸cão v_∈L1_loc(Ω) tal que

Z

Ω

u(x)∂φ(x) ∂xk

dx=₋ Z

Ω

v(x)φ(x)dx, _∀φ_{∈ D}(Ω).

Embora, tal conceito de derivada tenha sido um marco na evolu¸cão do conceito de solu¸cão de uma equa¸cão diferencial, ele apresenta uma grave imperfei¸cão no fato que nem toda fun¸cão deL1_loc(Ω) possui derivada neste sentido. No intuito de sanar este tipo de problema, Laurent Schwartz, em meados de 1945, introduziu a no¸cão de derivada no sentido das distribui¸cões, a qual generaliza a no¸cão de derivada formulada po Sobolev, como segue:

Seja T uma distribui¸c˜ao sobre Ω e α _∈ NN_{. A derivada de ordem} _α _de _T_{, no sentido das}

distribui¸c˜oes, ´e definida por:

hDαT, φ_i= (₋1)|α|_hT, Dαφ_i, _∀φ_{∈ D}(Ω).

Verifica-se queDαT é ainda uma distribui¸cão e que o operadorDα :_D′(Ω)_{→ D}′(Ω), tal que a cada T associa-se DαT, é linear e cont´ınuo.

Espa¸cos Lp(Ω)

(23)

1.2 Distribui¸c˜oes e Espa¸cos Funcionais 22

Defini¸cão 1.18. Seja p_∈R_,₁_≤_{p <}_∞_{. Definimos o espa¸co} _Lp_(Ω)_{, como o espa¸co das (classes de)} fun¸cões f : Ω→R_mensur´_{aveis em}_Ω _{e tais que} _|_f_|p _{é integr´}_{avel segundo Lebesgue em} _Ω_{, isto é,}

Lp(Ω) =_{f : Ω_→R_; _{f mensuravel e} Z

Ω|

f_|pdx <_∞}.

O n´umero

kf kLp_(Ω)= (

Z

Ω|

f(x)|pdx)1/p

denomina-se norma do elemento f ∈Lp(Ω).

Defini¸cão 1.19. O espa¸co L∞(Ω), denomina-se espa¸co das (classes de) fun¸cões mensuráveis e essencialmente limitadas e é dado por

L∞(Ω) =_{f : Ω_→R_; _{f mensuravel e}_∃_{C tal que}_|_f₍_x₎_{| ≤}_{C q.s. em}_Ω_}_,

com norma definida por

kf _k_L∞_(Ω)=esssup_x_∈_Ω|f(x)|= min{M ≥0 :|f| ≤M q.s. emΩ},

onde q.s. significa: para quase todo ponto x∈Ω.

Teorema 1.20. (Teorema da Convergˆencia Dominada de Lebesgue)Seja{un})uma sequˆencia

de fun¸cões, integráveis num abertoΩ_⊂RN_{, que converge quase sempre para uma fun¸c˜}_ao_{u. Se existir} uma fun¸cãou0∈L1(Ω)tal que |un| ≤u0 quase sempre, ∀n∈N, entãou é integrável e tem-se

Z

Ω

u= lim

n→∞

Z

Ω

un.

Demonstra¸c˜ao. Ver [1, Teorema IV.2, p´ag. 54].

Proposi¸c˜ao 1.21. (Desigualdade de H¨older) Sejam f _∈ Lp_(Ω) _e _g _∈ _Lq_(Ω)_{, com} ₁ _≤_p _{≤ ∞} _e

1

p +1q = 1. Ent˜ao f g∈L1(Ω) e temos a desigualdade

Z

Ω|

f g| ≤ kfkLp_(Ω)kgk_Lq_(Ω).

(24)

Proposi¸c˜ao 1.22. (Desigualdade de Minkowski) Sejam 1_≤p_{≤ ∞}e f, g em Lp_(Ω)_{, ent˜}_ao

kf +g_k_Lp_(Ω)≤ kfk_Lp_(Ω)+kgk_Lp_(Ω).

O espa¸co Lp(Ω) foi definido para todo 1≤p≤ ∞. Pelas Proposi¸c˜oes 1.22 e 1.21 k · kLp_(Ω) ´e uma

norma no espa¸co Lp(Ω) para todo 1 _≤p _{≤ ∞}, e pelo Teorema 1.20 o espa¸co Lp(Ω) ´e um espa¸co de Banach.

No caso particular p= 2, L2(Ω) ´e um espa¸co de Hilbert.

Corolário 1.23. (Desigualdade de Hölder generalizada) Sejam f1, f2, ..., fk fun¸cões tais que

fi ∈Lpi(Ω), pi≥1, 1≤i≤k onde _p11 +...+_p1_k = 1_p e 1_p ≤1. Ent˜ao o produto f =f1f2...fk ∈Lp(Ω)

e temos a desigualdade

kf_k_Lp_(Ω)≤ kf₁k_Lp₁_(Ω)kf₂k_Lp₂_(Ω)...kf_kk_L_pk_(Ω).

Demonstra¸cão. Consequência do Teorema 1.21 (Desigualdade de Hölder).

Proposi¸cão 1.24. (Desigualdade de Interpola¸cão) Se u ∈ Lp(Ω)∩Lq(Ω) com 1≤ p < q ≤ ∞ então u_∈Lr_(Ω)_{para todo} _r_∈_[_{p, q}_]_{e tem-se a desigualdade}

ku_k_Lr_(Ω)≤ kukθ_Lp_(Ω)kuk1_L−q_(Ω)θ ,

onde θ∈[0,1] verifica 1_r = θ_p+ 1−_qθ.

Demonstra¸cão. Consequência do Teorema 1.21 (Desigualdade de Hölder).

Al´em dos resultados acima, temos que:

Proposi¸c˜ao 1.25. i) Lp_(Ω)_{´e reflexivo para todo} ₁_{< p <}₊_∞_.

ii) Lp_(Ω)_{´e separ´}_{avel para todo} ₁_≤_{p <}₊_∞_.

iii) _D(Ω) tem uma imers˜ao cont´ınua e densa emLp_(Ω) _{para todo}₁_≤_{p <}₊_∞_.

iv) Se_{fn}é uma sequência em Lp(Ω)ef ∈Lp(Ω)são tais quekfn−fkLp_(Ω)→0, então existe uma

(25)

Demonstra¸c˜ao. Ver [1, Teoremas IV.8, IV.9, IV.10, IV.12 e IV.13, p´ag. 57-62].

Proposi¸c˜ao 1.26. (Teorema de Representa¸c˜ao de Riesz) Sejam p, q∈(1,+∞), com 1_p+1_q = 1, φ_∈(Lp_(Ω))′_{. Ent˜}_{ao existe uma ´}_unica _u_∈_Lq_(Ω)_{, tal que}

hφ, v_i= Z

Ω

u(x)v(x)dx,

para todo v∈Lp(Ω) ekukLq_(Ω)=kφk₍_Lp_(Ω))′

Quando p=∞, temos:

Proposi¸cão 1.27. Seja φ∈(L1(Ω))′. Então existe uma única u∈L∞(Ω)tal que

hφ, vi= Z

Ω

u(x)v(x)dx,

para todo v_∈L1(Ω) e_ku_k_L∞_(Ω) =kφk₍_L1_(Ω))′

As Proposi¸c˜oes 1.26 e 1.27 s˜ao muito importantes, pois expressam que toda forma bilinear continua sobre Lp_{(Ω), com 1}_≤ _{p <}_∞_{, pode ser representada por uma fun¸c˜}_{ao em} _Lq_{(Ω), com} 1

p +1q = 1. A

aplica¸c˜ao φ _→ u ´e uma isometria linear e sobrejetiva que permite identificar o dual de Lp(Ω) com Lq_{(Ω), com} 1

p +1q = 1.

Proposi¸c˜ao 1.28. (Lema de Du Bois Raymond) Seja u ∈L1_loc(Ω), ent˜ao Tu = 0 se, e somente

se, u= 0 q.t.p. em Ω, onde Tu ´e a distribui¸c˜ao definida por

hTu, φi=

Z

Ω

u(x)φ(x)dx, _∀φ_{∈ D}(Ω).

Desta proposi¸cão tem-se que Tu é univocamente determinado por u ∈ L1_loc(Ω), isto é, se u, v ∈

L1_loc(Ω), ent˜ao Tu=Tv, se, e somente se, u=v q.s. em Ω.

Proposi¸c˜ao 1.29. Seja {un} ⊂ Lploc(Ω), 1≤p < +∞, tal que un→ u em L1loc(Ω), ent˜ao Tun →Tu

(26)

Demonstra¸c˜ao. Consequˆencia do Lema de Du Bois Raymond.

Espa¸cos de Sobolev

Seja Ω um subconjunto do RN_{, 1}_≤_p_≤₊_∞ _e _m_∈N_{. Se} _u_∈_Lp_{(Ω) sabemos que}_u _{possui derivadas}

de todas as ordens no sentido das distribui¸cões. Porém, não é verdade em geral, que Dα_u _{seja uma}

distribui¸cão definida por uma fun¸cão de Lp(Ω). Quando Dαu é definida por uma fun¸cão de Lp(Ω) define-se um novo espa¸co denominado espa¸co de Sobolev que definiremos a seguir:

Defini¸c˜ao 1.30. Sejam n_∈N_e _p_∈_[1_,₊_∞_]_{, o espa¸co de Sobolev} _Wn,p_(Ω)_{define-se por}

Wn,p(Ω) =_{u_∈Lp(Ω); Dαu_∈Lp(Ω)para0_{≤ |}α_{| ≤}n_},

onde Dα_u _{´e a derivada fraca.}

No espa¸co Wn,p_{(Ω) define-se a norma:}

Se p∈[1,∞)

ku_k_Wn,p_(Ω)= (

X

0≤|α|≤n

kDαu_kp_Lp_(Ω))1/p

Se p=∞

ku_k_Wn,∞_(Ω)=

X

0≤|α|≤n

kDαu_k_L∞_(Ω).

Defini¸c˜ao 1.31. Seja p∈[1,∞], W₀n,p(Ω)´e o fecho de C_c∞(Ω) com a norma de Wn,p(Ω).

Dizemos que um →u em Wn,p(Ω) se, e somente se, limm→∞kum−ukWn,p_(Ω)= 0, e que u_m →u

emW_locn,p(Ω) se, e somente se um →u emWn,p(Ω

′

) para todo Ω′ _⊂⊂Ω. A nota¸c˜ao_⊂⊂ indica que ¯Ω′ ´e compacto e ¯Ω′ ⊂Ω.

Observa¸c˜oes:

1. W0,p(Ω) =Lp.

2. u_∈W₀n,p(Ω), ent˜ao _∃{um} ⊂Cc∞(Ω) tal que um →uem Wn,p(Ω).

3. Assim como em Lp(Ω), em Wn,p(Ω) identificamos fun¸c˜oes iguais q.t.p..

4. Usa-se a nota¸c˜ao Hk(Ω) =Wk,2(Ω) e H₀k(Ω) =W₀k,2(Ω).

(27)

Demonstra¸c˜ao. Temos que Wn,p_{(Ω) ´e um espa¸co vetorial e que}_kk

Wn,p_(Ω) ´e uma norma. Seja{u_m}

uma sequência de Cauchy emWn,p(Ω), então{Dαum},|α| ≤né uma sequência de Cauchy emLp(Ω).

ComoLp_{(Ω) ´e Banach, existem fun¸c˜}_oes_u

α∈Lp(Ω) tais queDαum→uα emLp(Ω).

Vamos demonstrar que Dαu=uα de fato: Sejaφ∈Cc∞(Ω), assim

Z

Ω

uDαφdx= lim

m→∞

Z

Ω

umDαφdx= lim m→∞(−1)

|α|Z

Ω

Dαumφdx= (−1)|α|

Z

Ω

uαφdx,

e ent˜aoDαu=uαno sentido fraco. Portantou∈Lp(Ω) eDαu∈Lp(Ω),|α| ≤n. Logou∈Wn,p(Ω).

Observa¸cão: Wn,2(Ω) é um espa¸co de Hilbert. É poss´ıvel mostrar que Wn,p(Ω) é separável (1_≤p <_∞), usando o fato queLp_{(Ω) é separ´}_avel.

Teorema 1.33. (Propriedades de Wn,p(Ω)) Sejam u, v_∈Wn,p(Ω), ent˜ao:

1. Dα_u_∈_Wn−|α|,p_(Ω) _e_Dβ₍_Dα_u_{) =}_Dβ+α_u _{para todo multi-´ındice} _{α, β, com} _|_α_|₊_|_β_{| ≤}_n.

2. ∀λ, µ∈R_, _λu₊_µv_∈_Wn,p_(Ω)_e_Dα₍_λu₊_µv_{) =}_λDα₍_u_{) +}_µDα₍_v₎_.

3. Se Ω′ `e aberto e Ω′ _⊂Ω, ent˜aou_∈Wn,p_(Ω′

).

4. Se ζ _∈C_c∞(Ω) eu_∈W1,p(Ω), ent˜aoζu_∈W1,p(Ω)eD(ζu) = (Dζ)u+ζ(Du).

Observa¸c˜ao: Usando o fato 4 e indu¸c˜ao tem-se que

Dα(ζu) =X

β≤α

  α

β 

DβζDα−βu,

ondeα= (α1, α2, ..., αn), β= (β1, β2, ..., βn),β ≤α se, e somente se,βi≤αi

∀i= 1, ..., n,   α

β 

= _β_!(_αα₋!_β_)!, comα! =α1!α2!...αn!.

Teorema 1.34. (Aproxima¸cão global até a fronteira) Seja n_∈N_, ₁_≤_{p <}_∞_, _Ω_⊂RN _aberto, limitado e de classe C1. Seja u ∈Wn,p(Ω), então existe {um}∞m=1 tal que um ∈C∞(Ω), ∀m∈ N, e

um →u em Wn,p(Ω).

Teorema 1.35. Seja G_∈C1₍_R₎ _{tal que} _G_{(0) = 0}_e _|_G′₍_s₎_{| ≤}_M_, _∀_s_∈_R_{. Seja} _u_∈_W1,p_(Ω)_{, ent˜}_ao

G◦u∈W1,p(Ω) e ∂ ∂xi

(G◦u) = (G′◦u)∂u ∂xi

(28)

Demonstra¸c˜ao. Ver [1, Teorema IX.5, p´ag. 155].

Teorema 1.36. (Mudan¸ca de vari´avel)Sejam Ωe Ω′ dois abertos de RN _{e seja} _H_{: Ω}′ _→_Ω_uma aplica¸c˜ao bijetora, x=H(y), tal que

H_∈C1(Ω′), H−1 _∈C1(Ω), Jac(H)_∈L∞(Ω′), Jac(H−1)_∈L∞(Ω).

onde Jac(H) ´e o jacobiano da aplica¸c˜ao H. Se u_∈W1,p_(Ω)_,_ent˜_ao _u_◦_H_∈_W1,p_(Ω′₎ _e

∂ ∂yj

(u_◦H)(y) =

N

X

i=1

∂u ∂x1

(H(y))∂Hi ∂yj

(y), _∀j= 1, ..., N.

Demonstra¸c˜ao. Ver [1, Teorema IX.6, p´ag. 156].

Defini¸c˜ao 1.37. Se 1_≤p_≤N o conjugado de Sobolev dep ´e

p∗ := N p N ₋p.

Note que

1 p∗ =

1 p −

1 N, p

∗ _{> p.}

Teorema 1.38. (Desigualdade de Sobolev-Gagliardo-Nirenberg) Suponha que 1 ≤ p < N. Existe uma constante C que depende somente de p eN tal que

ku_k_Lp∗

(RN₎ ≤CkDuk_Lp₍RN₎, ∀u∈W₀1,p(RN).

Teorema 1.39. (Teorema de imers˜ao de Sobolev)Sejam Ω⊂RN _{um dom´ınio limitado de classe} Ck e u_∈Hk(Ω).

i) Sek < N/2, ent˜ao u_∈L2N/(N−2k)(Ω) e existe uma constante C >0 tal que

ku_k_L2N/(N−2k)_(Ω) ≤Ckuk_Hk_(Ω).

ii) Se k = N/2, ent˜ao u _∈ Lp(Ω) para todo p _∈ [1,_∞) e, para cada p, existe uma constante C = C(p)>0 tal que

(29)

iii) Se k > j+ (N/2), ent˜aou_∈Cj_(Ω) _{e existe uma constante} _{C >}₀ _{tal que}

ku(x)_k_Cj_(Ω) ≤Ckuk_Hk_(Ω).

Teorema 1.40. (Teorema de compacidade de Rellich-Kondrachov) Seja Ω⊂RN _{limitado de} classe C1_{. Ent˜}_ao _H1_(Ω)_{esta compactamente imerso em} _L2_(Ω)_.

Proposi¸c˜ao 1.41. Seja Ω⊂RN_×R_{aberto e limitado. Sejam} _{_g_n_} _e_g _fun¸c˜_{oes em} _Lq_(Ω) _{tais que}

kgnkLq_(Ω)≤C e g_n→g q.t.p. emΩ,

ent˜ao gn⇀ g emLq(Ω).

Demonstra¸c˜ao. Ver [15, Lema 8.3, p´ag. 218].

Resultado de Regularidade

Consideremos o operador diferencial de segunda ordem em sua forma divergente

Lu=−

N

X

i,j=1

(aij(x)uxi)xj+

N

X

i=1

bi(x)uxi+c(x)u,

para fun¸c˜oes coeficientes dadas aij_{, b}i_{, c} ₍_{i, j}_{= 1}_{, ..., N}_).

Assumiremos tamb´em a condi¸c˜ao de simetria aij =aji (i, j = 1, ..., N).

Teorema 1.42. (Regularidade H2) Seja Ω ⊂ RN _{limitado, aberto e de classe} _C2_, _aij _∈ C1_(Ω)_{, b}i_{, c}_∈_L∞_{(Ω) (}_{i, j}_{= 1}_{, ..., N}₎ _e_f _∈_L2_(Ω)_.

Se u∈H₀1(Ω)´e uma solu¸c˜ao fraca do problema de valor de contorno 

   

(30)

ent˜aou_∈H2_(Ω)_{e, al´em disso,}

ku_k_H2_(Ω)≤C(kfk_L2_(Ω)+kuk_L2_(Ω)),

onde a constante C >0 depende somente deΩ e dos coeficientes de L.

Teorema 1.43. (Regularidade Hm) Seja m _∈ N _{e assuma que} _Ω _⊂ RN _{´e limitado, aberto e de} classe Cm+2_, _aij_{, b}i_{, c}_∈_Cm+1_{(Ω) (}_{i, j}_{= 1}_{, ..., N}₎ _e_f _∈_Hm_(Ω)_.

Suponha que u_∈H₀1(Ω)´e uma solu¸c˜ao fraca do problema de valor de contorno 

   

Lu=f emΩ, u= 0, sobre ∂Ω.

(1.9)

Ent˜aou_∈Hm+2_(Ω)_{e, al´em disso,}

kukHm+2_(Ω) ≤C(kfk_Hm_(Ω)+kuk_L2_(Ω)),

onde a constante C >0 depende somente dem, Ω e dos coeficientes de L.

Espa¸co Lp(τ, T;X)

SejaX um espa¸co de Banach, para cadat_∈[τ, T] fixo, interpretamos a fun¸c˜ao x_7→u(x, t) como um elemento do espa¸coX. Denotaremos este elemento como u(t)∈X com valores no espa¸coX.

Defini¸cão 1.44. Sejam X um espa¸co de Banach,τ,T fixos, com τ _≤T ep_∈[1,_∞]. Denotamos por Lp(τ, T;X), o conjunto de fun¸cões mesuráveis u: (τ, T)_→X tal que_ku(_·)_kX ∈Lp(τ, T).

Define-se a seguinte norma para o espa¸co Lp(τ, T;X)

(31)

O espa¸co Cm_([_{τ, T}_];_X_), _m _{= 1}_,₂_{, ...} _{consiste de todas as fun¸c˜oes cont´ınuas} _u _{: [}_{τ, T}_] _→ _X _que

possuem derivadas cont´ınuas at´e o ordemm em [τ, T]. A norma emCm([τ, T];X) ´e dada por

ku_k_Cm_([_τ,T_];_X₎=

m

X

i=1

max

t∈[τ,T]ku (i)₍_t₎_k

X.

Proposi¸c˜ao 1.45. Sejam m_∈N_, ₁_≤_{p <}_∞_, _X _e _Y _{espa¸cos de Banach e} K₍₌R _ou C₎_.

(a) Cm([τ, T];X)´e um espa¸co de Banach sobre K_.

(b) Lp(τ, T;X),1≤p <∞, e L∞([τ, T];X) s˜ao espa¸cos de Banach sobre K_.

(c) O conjunto de todas a fun¸c˜oes escada ´e denso em Lp(τ, T;X).

(d) Cm([τ, T];X) é denso emLp(τ, T;X) e a imersão Cm([τ, T];X)֒→Lp(τ, T;X) é cont´ınua.

(e) Se X é um espa¸co de Hilbert com produto escalar(·,·)X, entãoL2(τ, T;X) também é um espa¸co

de Hilbert com produto escalar

(u, v)_L2₍_τ,T_;_X₎ :=

Z T

τ

(u(t), v(t))Xdt.

(f ) Lp(τ, T;X) é separável, seX é separável e 1_≤p <_∞.

(g) Se X ֒_→Y, ent˜ao Lr(τ, T;X)֒_→Lq(τ, T;Y), 1_≤q_≤r_{≤ ∞}.

Demonstra¸cão. Ver [17, Proposi¸cão 23.2, pág. 407].

Sejam U e V dois espa¸cos vetoriais topol´ogicos. Denotamos por _L(U, V) o espa¸co dos funcionais lineares e cont´ınuos deU emV.

O espa¸co das distribui¸cões sobre (τ, T) com imagem sobreXserá denotado por_D′(τ, T;X). Assim D′₍_{τ, T}_;_X_{) =}_L₍_D₍_{τ, T}_);_X_{) é o conjunto de todas as aplica¸cões lineares e limitadas de}_D₍_{τ, T}_{) em}_X_.

A no¸cão de convergência em_D′(τ, T;X) é dada como segue: SejaS _{∈ D}′(τ, T;X), logoS :_D(τ, T)_→ X é linear e se θn →θ emD(τ, T) então S(θn) →S(θ) em X. Diremos queSn→ S em D′(τ, T;X)

seSn(θ)→S(θ) em X para todoθ∈ D(τ, T).

A derivada dS_dt, paraS_{∈ D}′₍_{τ, T}_;_X_{), ´e definida como o ´}_{unico elemento deste espa¸co que satisfaz}

hdS

dt, φi=−hD, dφ

dti, ∀φ∈ D(τ, T).

(32)

Agora, se f _∈L2₍_{τ, T}_;_X_{), definimos ˜}_f _por

hf , φ˜ _i= Z T

τ

f(t)φ(t)dt, _∀φ_{∈ D}(τ, T).

A fun¸cão f →f˜, de L2(τ, T;X) em D′₍_{τ, T}_;_X_{) é linear e continua, e ainda é injetora. Desta forma,}

identificamos ˜f porf e obtemos

L2(τ, T;X)֒→ D′(τ, T;X).

O espa¸co L1_loc(τ, T;X) ´e o espa¸co das fun¸c˜oesu tais que para todo compacto K ⊂(τ, T),uXK ∈

L1(τ, T;X), onde_XK denota a fun¸c˜ao caracter´ıstica deK.

Defini¸c˜ao 1.46. Seja J ∈ D(R₎ _{tal que} _J₍_t₎_≥₀_, _∀_t_∈R _eR

RJ(t)dt= 1. Dadoε >0, definamos

Jε=

1 εJ(

t

ε) e (Jε∗u)(t) = Z

R

Jε(t−s)u(s)ds,

para as fun¸c˜oesu em que o lado direito da ´ultima igualdade faz sentido.

Proposi¸c˜ao 1.47. Seja u uma fun¸c˜ao definida sobre R_{que anula-se fora de um intervalo} _I_.

(a) Se u_∈L1_loc(R_;_X₎_{, ent˜}_ao _J_ε_∗_u_∈_C∞₍R_;_X₎_.

(b) Seu_∈L2(R_;_X₎_{, ent˜}_ao_J_ε_∗_u_∈_L2₍R_;_X₎_{. Al´em disso,}_k_J_ε_∗_u_k_L2₍R_;_X₎≤ kuk_L2₍R_;_X₎elim_ε_→₀+kJ_ε∗

u₋u_k_L2₍R;X)= 0.

Demonstra¸c˜ao. Ver [17, p´ag. 410].

Consideremos Lp(τ, T;X) e Lq(τ, T;X′). Ent˜ao temos a seguinte rela¸c˜ao de dualidade (Lp₍_{τ, T}_;_X₎₎′ ₌_Lq₍_{τ, T}_;_X′_{) quando} 1

p +1q = 1 devido ao teorema seguinte.

Teorema 1.48. Seja X um espa¸co de Banach reflexivo e separável,1< p <_∞, 1_p +1_q = 1. (a) Cada fun¸cão v∈Lq(τ, T;X′) corresponde a um único funcional ¯v∈(Lp(τ, T;X))′ dado por

hv, u¯ i= Z T

τ h

v(t)u(t)iXdt, ∀u∈Lp(τ, T;X). (1.10)

Reciprocamente, cada ¯v_∈(Lp(τ, T;X))′ corresponde a exatamente uma fun¸c˜ao v_∈Lq(τ, T;X′) dada por (1.10). Al´em disso_k¯v_k₍_Lp₍_τ,T_;_X₎₎′ =kvk_Lq₍_τ,T_;_X′₎.

(b) O espa¸co de Banach Lp₍_{τ, T}_;_X₎ _{´e reflexivo e separ´}_avel.

(33)

Espa¸co Lp(τ, T;Xt)

Sejam _{O ⊂}RN _{um subconjunto aberto, limitado e n˜}_{ao vazio com fronteira}_∂_O _{de classe}_C2 _e

r :_{O ×}R _→RN

(y, t)_7→r(y, t)

uma fun¸cão que satisfaz as seguintes hipóteses: H1: ré de classe C1(_{O ×}R_;RN_),

H2:r(·, t) :O → Ot´e um difeomorfismo de classe C2,∀t∈R, ondeOt=r(O, t).

Agora denotemos os seguintes conjuntos:

Qτ,T :=

[

t∈(τ,T)

Ot× {t}, ∀T > τ,

Qτ :=

[

t∈(τ,+∞)

Ot× {t}, ∀τ ∈R,

Στ,T :=

[

t∈(τ,T)

∂_Ot× {t},

Στ :=

[

t∈(τ,+∞)

∂_Ot× {t}.

O conjunto Qτ,T ´e um subconjunto aberto de RN+1 cuja fronteira ´e dada por

∂Qτ,T = Στ,T ∪(Oτ× {τ})∪(OT × {T}).

Suponhamos que a fun¸c˜ao ¯r= ¯r(x, t), dada por ¯r(_·, t) =r−1(_·, t), satisfaz H3: ¯r _∈ C2,1₍_Q

τ,T;RN) ∀τ < T, i.e., ¯r, ∂∂t¯r, ∂x∂r¯i,

∂2_¯_r

∂xi∂xj pertencem a C(Qτ,T;R

N_{), para todo}

1_≤i, j_≤N, para todoτ < T.

(34)

Exemplo 1.49. Suponhamos que _O= (0,1), τ = 0 eT >0. Ent˜ao o conjunto Q0,T ´e dado por

Q0,T ={(x, t)∈R×(0, T); α(t)< x < β(t)},

onde α, β ∈ C1(0,∞) s˜ao tais que γ(t) := β(t) −α(t) > 0, ∀t ≥ 0. Fazendo uma mudan¸ca de coordenadas no conjunto Q0,T obtemos o conjunto Q=O ×(0, T), dado por

r:Q0,T →Q

(x, t)_7→(y, t) = x−α(t)

γ(t) , t

Figura 1.3:

Sejam τ, T _∈R _com_τ _≤_T _{e seja}_{_X_t_}_t_∈_[_τ,T_]_{uma fam´ılia de espa¸cos de Banach com} _{k · k}_X

t sendo

suas respectivas normas, tal queXt⊂L1loc(Ot) para todo t∈[τ, T].

Defini¸c˜ao 1.50. Para p∈[1,∞], denotamos por Lp(τ, T;Xt) o conjunto das fun¸c˜oes u∈L1loc(Qτ,T)

tal queu(t) =u(_·, t)_∈Xtpara q.s. t∈(τ, T), e a fun¸c˜aoku(·)kX· definida port7→ ku(t)kXt, pertence

a Lp(τ, T).

Em Lp(τ, T;Xt) consideramos a norma

kukLp₍_τ,T_;_X_t₎ :=kku(·)k_X_·k_Lp₍_τ,T₎.

Cada u_∈L1_loc(Qτ,T), pode ser estendida trivialmente aRn×(τ, T) da seguinte forma:

ˆ

u(x, t) =   

u(x, t), (x, t)_{∈ O}t×(τ, T),

(35)

Para 1_≤p, q_{≤ ∞}, temos

u_∈Lp(τ, T;Lq(_Ot))⇒ub∈Lp(τ, T;Lq(RN)) (1.11)

e

u_∈Lp(τ, T;H₀1(_Ot))⇒ub∈Lp(τ, T;H01(RN)), (1.12)

com

∂bu ∂xi

= ∂uc ∂xi

, ∀1≤i≤N. (1.13)

Defini¸c˜ao 1.51. Seja u∈L1_loc(Qτ,T). Se existev∈L1_loc(Qτ,T) tal que

hv, φi=− Z

Qτ,T

φ′(x, t)u(x, t)dxdt, ∀φ∈C_c∞(Qτ,T),

dizemos que v ´e a derivada de u com respeito ao tempo, no sentido das distribui¸c˜oes em Qτ,T, e

denotamos por u′ ₌_u

t:=v, onde φ′ = ∂φ_∂t ´e a derivada parcial cl´assica.

Lema 1.52. Seu_∈L2₍_{τ, T}_;_H1

0(Ot))eu′ ∈L2(τ, T;L2(Ot)), ent˜ao a extens˜ao trivial uˆ deu pertence

a H1(RN _×₍_{τ, T}₎₎ _{e sua derivada com respeito ao tempo ´e dada por}

b

u′ =ub′_. _(1.14)

Demonstra¸c˜ao. Como u _∈ L2(τ, T;H₀1(_Ot)) e u′ ∈ L2(τ, T;L2(Ot)), segue que u ∈H1(Qτ,T). De

(1.13) segue que

∂bu ∂xi

= ∂uc ∂xi

, ∀i∈ {1, . . . , N}.

Agora mostremos queu_b′ =ub′_{. De fato; Seja} _φ_∈_C∞

c (RN ×(τ, T)), ent˜ao

Z

RN_×₍_τ,T₎b

u(x, t)φ′(x, t)dxdt = Z

Qτ,T

u(x, t)φ′(x, t)dxdt

=₋ Z

Qτ,T

u′(x, t)φ(x, t)dxdt

=₋ Z

RN_×₍_τ,T₎

b

u′₍_{x, t}₎_φ₍_{x, t}₎_dxdt

e isto mostra (1.14).

Defini¸cão 1.53. Dizemos que uma fun¸cão u∈L1_loc(Qτ,T) pertence a C([τ, T];L2(Ot))se a extensão

(36)

quandom_{→ ∞}, se a sequˆencia _{u_cm} converge para bu em C([τ, T];L2(RN)), quando m→ ∞.

Defini¸c˜ao 1.54. Dizemos que uma fun¸c˜ao u _∈ L1

loc(Qτ,T) est´a em C([τ, T];H01(Ot)) se a extens˜ao

trivialbu∈C([τ, T];H1(RN₎₎_{e dizemos que uma sequˆencia}_{_u_m_}_{converge para}_u_em_C_([_{τ, T}_];_H1

0(Ot)),

quandom_{→ ∞}, se a sequˆencia _{u_cm} converge para bu em C([τ, T];H1(RN)), quando m→ ∞.

A partir de agora usaremos (_·,_·)t e| · |t para denotar o produto interno usual e a norma associada

emL2(Ot) ou (L2(Ot))N.

Corol´ario 1.55. Se u ∈ L2(τ, T;H₀1(Ot)) e u′ ∈ L2(τ, T;L2(Ot)), ent˜ao u ∈ C([τ, T];L2(Ot)) e

satisfaz a igualdade de energia

|u(t2)|2t2− |u(t1)|2t1 = 2

Z t2

t1

(u′(t), u(t))tdt.

Demonstra¸c˜ao. Do Lema 1.52 segue que ub∈H1(RN _×₍_{τ, T}_{)). Da densidade de} _C∞₍RN _×_[_{τ, T}_]),

existe uma sequˆencia_{um}∞m=1 ⊂C∞(RN×[τ, T]) tal queum →buemH1(RN×(τ, T)). Pelo teorema

fundamental do calculo obtemos

|um(t2)|2t2− |um(t1)|2t1 = 2

Z t2

t1

((u′_m(t), um(t))tdt.

Fazendo m→ ∞, obtemos

|bu(t2)|2t2− |bu(t1)|2t1 = 2

Z t2

t1

(_bu′(t),u_b(t))tdt,

para q.s. τ < t1 < t2 < T. Portanto redefinindo u (sobre um conjunto de medida nula) segue que

u∈C([τ, T];L2(Ot)).

Consideremos o intervalo finito [τ, T]. Seja

v(y, t) =u(r(y, t), t) para y_{∈ O}, t_∈[τ, T]

ou equivalentemente,

u(x, t) =v(¯r(x, t), t) para x∈ Ot, t∈[τ, T].

(37)

Lema 1.56. Para 1 _≤p, q _{≤ ∞}, u _∈ Lp₍_{τ, T}_;_Lq₍_O

t)) se, e somente se, v ∈ Lp(τ, T;Lq(O)). Al´em

disso, existem duas constantes positivasC1 eC2 (que dependem unicamente dep, q,r,τ eT) tais que

C1kukLp₍_τ,T_;_Lq₍_O_t₎₎≤ kvk_Lp₍_τ,T_;_Lq₍_O₎₎≤C₂kuk_Lp₍_τ,T_;_Lq₍_O_t₎₎, (1.15)

para todo u_∈Lp(τ, T;Lq(_Ot)).

Demonstra¸c˜ao.

kukp_Lp₍_τ,T_;_Lq₍_O_t₎₎=

Z T

τ

( Z

Ot

|u(x, t)|qdx)pq_dt

= Z T τ ( Z ¯

r(Ot,t)

|u(r(y, t), t)|qJac(r, y, t)dy)pq_dt

≤( max

(y,t)∈O×[τ,T]|

Jac(r, y, t)_|)pq

Z T

τ

( Z

O|

v(y, t)_|qdy)pq_dt

escolhendo 0< C1≤ _(max 1

(y,t)∈O×[τ,T]|Jac(r,y,t)|)q, temos

C1kukLp₍_τ,T_;_Lq₍_O_t₎₎≤ kvk_Lp₍_τ,T_;_Lq₍_O₎₎.

Por outro lado, da hip´otese sobre ¯r segue que existeC2 >0 tal que

kv_k_Lp₍_τ,T_;_Lq₍_O₎₎≤C₂kuk_Lp₍_τ,T_;_Lq₍_O_t₎₎

e isto mostra a desigualdade (1.15).

Se para algum t _∈(τ, T) a fun¸c˜ao u(t) =u(_·, t) _∈ H1₍_O

t), ent˜ao a fun¸c˜ao v(·, t) = u(r(·, t), t) ∈

H1(O) e

∂v ∂yj

(y, t) =

N

X

i=1

∂u ∂xi

(r(y, t), t)∂ri(y, t) ∂yj

.

Analogamente, se para algum t ∈ (τ, T) a fun¸cão v(t) = v(·, t) ∈ H1(O), então a fun¸cão u(·, t) = v(¯r(_·, t), t)_∈H1(_Ot) e

∂u ∂xi

(x, t) =

N

X

j=1

∂v ∂yj

(¯r(x, t), t)∂r¯j(x, t) ∂xi

.

Lema 1.57. u _∈L2₍_{τ, T}_;_H1

0(Ot)) se, e somente se, v ∈L2(τ, T;H01(O)). Al´em disso, existem duas

constantes positivas C1 e C2 (que dependem somente de r, τ eT) tais que

C1kukL2₍_τ,T_;_H1

(38)

para todo u_∈L2₍_{τ, T}_;_H1 0(Ot)).

Demonstra¸c˜ao.

ku_k2_L2₍_τ,T_;_H1 0(Ot))=

Z T

τ

Z

Ot

|u(x, t)_|2+_|Du(x, t)_|2dxdt

= Z T

τ

Z

Ot

|u(x, t)_|2+

N

X

i=1

|_∂x∂u

i

(x, t)_|2dxdt

= Z T

τ

Z

Ot

|u(x, t)|2+

N X i=1 | N X j=1 ∂v ∂yj

(¯r(x, t), t)∂r¯j ∂xi

(x, t)|2dxdt

= Z T

τ

Z

O

(_|v(y, t)_|2+

N X i=1 | N X j=1 ∂v ∂yj

(¯r(r(y, t), t), t)∂r¯j ∂xi

(r(y, t), t)_|2)Jac(r, y, t)dydt

≤ max

i,j=1,...,N{k

∂r¯j

∂xik

2

∞}( max

(y,t)∈O×[τ,T]|

Jac(r, y, t)|) Z T

τ

Z

O|

v(y, t)|2

+

N

X

j=1

|_∂y∂v

j

(y, t)_|2dydt.

Escolhendo 0< C1 ≤(maxi,j=1,...,N{k_∂x∂r¯j_ik2∞}(max(y,t)∈O×[τ,T]|Jac(r, y, t)|))−1/2, segue que

C1kukL2₍_τ,T_;_H1

0(Ot))≤ kvkL2(τ,T;H01(O)).

Fazendo as mesmas contas e sob a hip´otese relativa a ¯r, segue que existeC2 >0 tal que

kv_k_L2₍_τ,T_;_H1

0(O)) ≤C2kukL2(τ,T;H01(Ot)),

e isto mostra a desigualdade (1.16).

Lema 1.58. u _∈ L2₍_{τ, T}_;_H2₍_O

t)) ⇔ v ∈ L2(τ, T;H2(O)). Al´em disso, existem duas constantes

positivasC1 eC2 (que dependem unicamente de r, τ eT) tais que

C1kukL2₍_τ,T_;_H2₍_O_t₎₎≤ kvk_L2₍_τ,T_;_H2₍_O₎₎≤C₂kuk_L2₍_τ,T_;_H2₍_O_t₎₎, (1.17)

para todo u_∈L2₍_{τ, T}_;_H2₍_O

t)).

Demonstra¸cão. A demonstra¸cão é análoga a dos lemas anteriores.

Lema 1.59. Suponhamos que H1 e H2 valem. A fun¸c˜ao u ∈ C([τ, T];L2(Ot)) se, e somente se,

(39)

Demonstra¸c˜ao.

(a) Suponhamos que v _∈ C([τ, T];L2₍_O_)). _{Vamos mostrar que a extens˜ao trivial} _u_b _∈

C([τ, T];L2(RN_)).

Para t0, t∈[τ, T], temos

Z

RN|b

u(x, t)₋u_b(x, t0)|2dx=

Z

Ot₀∩Ot

|u(x, t)₋u(x, t0)|2dx+

Z

Ot₀\Ot

|u(x, t0)|2dx

+ Z

Ot\Ot0

|u(x, t)|2dx.

(1.18)

No que segue, vamos estimar cada um dos termos do lado direito de (1.18). Pela continuidade uniforme de r sobre _{O ×}[τ, T], temos

mes(_Ot0\Ot)→0, t→t0, (1.19)

ondemesindica a medida de Lebesgue de um conjunto.

Por outro lado, sabemos que v(·, t0) ∈ L2(O), ent˜ao u(x, t0) = v(¯r(x, t0), t0) ∈ L2(Ot0), por

(1.19) temos

Z

Ot0\Ot

|u(x, t0)|2dx→0, t→t0. (1.20)

De (1.19) e das propriedades de ¯r, obtemos mes(¯r(Ot\Ot0, t)) → 0, quando t → t0, logo pela

continuidade dev obtemos Z

Ot\Ot0

|u(x, t)|2dx= Z

¯

r(Ot\Ot0,t)

|v(y, t)|2Jac(r, y, t)dy

= Z

¯

r(Ot\Ot0,t)

|v(y, t)₋v(y, t0) +v(y, t0)|2Jac(r, y, t)dy

≤Cr(

Z

¯

r(Ot\Ot₀,t)

|v(y, t)₋v(y, t0)|2dy+

Z

¯

r(Ot\Ot₀,t)

|v(y, t0)|2dy)

≤Cr(

Z

O|

v(y, t)₋v(y, t0)|2dy+

Z

¯

r(Ot\Ot₀,t)

|v(y, t0)|2dy)→0, t→t0,

(1.21)

ondeJac(r, y, t) denota o valor absoluto do determinante da matriz jacobiana (∂ri

(40)

Finalmente Z

Ot∩Ot0

|u(x, t)−u(x, t0)|2dx=

Z

¯

r(Ot∩Ot0,t0)

|u(r(y, t0), t)−v(y, t0)|2Jac(r, y, t0)dy

= Z

¯

r(Ot∩Ot₀,t0)

|v(¯r(r(y, t0), t), t)−v(y, t0)|2Jac(r, y, t0)dy

= Z

¯

r(Ot∩Ot₀,t0)

|v(¯r(r(y, t0), t), t)−v(¯r(r(y, t0), t), t0)

+v(¯r(r(y, t0), t), t0)−v(y, t0)|2Jac(r, y, t0)dy

≤Cr

Z

¯

r(Ot∩Ot₀,t0)

(_|v(¯r(r(y, t0), t), t)−v(¯r(r(y, t0), t), t0)|2

+_|v(¯r(r(y, t0), t), t0)−v(y, t0)|2)dy.

Observe que

Z

¯

r(Ot∩Ot₀,t0)

(_|v(¯r(r(y, t0), t), t)−v(¯r(r(y, t0), t), t0)|2dy

≤ Z

Ut

(|v(z, t)−v(z, t0)|2Jac(f−1, z, t)dz

≤Cr

Z

Ut

(_|v(z, t)₋v(z, t0)|2dz→0, t→t0,

(1.22)

ondez=f(y) = ¯r(r(y, t0), t), (O ⊃)Ut:= ¯r(Ot∩ Ot0, t0) e usamos a continuidade de v.

Por outro lado, para ε≪1, temos

¯

r(r(y, t0), t)→y ∀y∈r¯(

\

s∈[t0−ε,t0+ε]

Os, t0) t→t0,

(Ot∩ Ot0)\

\

s∈[t0−ε,t0+ε]

Os⊂ Ot0\

\

s∈[t0−ε,t0+ε]

Os,

e j´a que

¯ r(_Ot0 \

\

s∈[t0−ε,t0+ε]

Os, t0)⊂ O \r¯(

\

s∈[t0−ε,t0+ε]

Os, t0)

mes(¯r(_Ot0\

\

s∈[t0−ε,t0+ε]

Os, t0))≤mes(O \r¯(

\

s∈[t0−ε,t0+ε]

(41)

al´em disso, comot_∈[t0−ε, t0+ε], de

Z

¯

r(Ot∩Ot0,t0)

|v(¯r(r(y, t0), t), t0)−v(y, t0)|2dy

≤ Z

¯

r(T_s∈[t₀−ε,t₀₊ε]Os,t0)

|v(¯r(r(y, t0), t), t0)−v(y, t0)|2dy

+ 2 Z

¯

r((Ot∩Ot0)\

T

s∈[t0−ε,t0+ε]Os,t0)

(|v(¯r(r(y, t0), t), t0)|2+|v(y, t0)|2)dy,

obtemos

Z

¯

r(Ot∩Ot₀,t0)

|v(¯r(r(y, t0), t), t0)−v(y, t0)|2dy→0 t→t0. (1.23)

Substituindo (1.20)-(1.23) em (1.18), obtemos que _bu_∈C([τ, T];L2(RN₎₎_.

(b) Agora, assumindo que ˆu∈C([τ, T];L2(RN_{)), vamos mostrar que}_v _∈_C_([_{τ, T}_];_L2₍_O₎₎

para quaisquert0, t∈[τ, T],

Z

O|

v(y, t)−v(y, t0)|2dy =

Z

Ot0

|v(¯r(x, t0), t)−u(x, t0)|2Jac(¯r, x, t0)dy

= Z

Ot₀

|u(r(¯r(x, t0), t), t)−u(x, t0)|2Jac(¯r, x, t0)dy

≤ Z

Ot₀

|u(r(¯r(x, t0), t), t)−uˆ(r(¯r(x, t0), t), t0)|2Jac(¯r, x, t0)dy

+ Z

Ot0

|uˆ(r(¯r(x, t0), t), t0)−u(x, t0)|2Jac(¯r, x, t0)dy

≤Cr(I1(t) +I2(t)),

aqui

I1(t) =

Z

Ot0

|u(r(¯r(x, t0), t), t)−uˆ(r(¯r(x, t0), t), t0)|2dy

= Z

Ot

|u(z, t)₋uˆ(z, t), t0)|2Jac(h−1, z, t)dz→0, t→t0,

(1.24)

(42)

I2(t) =

Z

Ot0

|uˆ(r(¯r(x, t0), t), t0)−u(x, t0)|2dy

= Z

T

s∈[t₀−ε,t₀₊ε]O_s

|uˆ(r(¯r(x, t0), t), t0)−u(x, t0)|2dy

+ Z

Ot₀\T_s∈[t0−ε,t0+ε]O_s

|uˆ(r(¯r(x, t0), t), t0)−u(x, t0)|2dy.

Pelo mesmo argumento feito na parte (a) temos

I2(t)→0 t→t0. (1.25)

A continuidade de v segue imediatamente de (1.24) e (1.25).

Lema 1.60. Das hip´oteses H1 e H2 sobre r, a fun¸c˜ao u _∈ C([τ, T];H₀1(_Ot)) se, e somente se,

v∈C([τ, T];H₀1(O)).

Demonstra¸c˜ao. Pela regra da cadeia, temos que: Se para algumt∈(τ, T) a fun¸c˜ao u(t) =u(·, t)∈ H1₍_O

t), ent˜ao a fun¸c˜ao v(·, t) =u(r(·, t), t)∈H1(O) e

∂v ∂yj

(y, t) =

N

X

i=1

∂u ∂xi

(r(y, t), t)∂ri(y, t) ∂yj

.

Analogamente, se para algum t ∈ (τ, T) a fun¸cão v(t) = v(·, t) ∈ H1(O), então a fun¸cão u(·, t) = v(¯r(_·, t), t)_∈H1₍_O

t) e

∂u ∂xi

(x, t) =

N

X

j=1

∂v ∂yj

(¯r(x, t), t)∂r¯j(x, t) ∂xi

,

ent˜ao a demonstra¸c˜ao segue do mesmo argumento do Lema 1.59.

Do Lema 1.52 sabemos que, se u _∈L2(τ, T;H₀1(_Ot)) eu′ ∈L2(τ, T;L2(Ot)), ent˜ao u∈H1(Qτ,T)

e consequentemente pelo Teorema da regra da cadeia sabemos que v(y, t) = u(r(y, t), t) pertence a H1(_{O ×}(τ, T)) e em particular

v′(y, t) =u′(r(y, t), t) + [(_∇xu)(r(y, t), t)]·

∂r ∂t(y, t),