Economia de Lucas e consumidores heterogêneos

Fundação Getulio Vargas

Escola de Pós-Graduação em Economia - EPGE

Economia de Lucas e Consumidores Heterogêneos

Dissertação submetida à Escola de Pós-Graduação em Economia

da Fundação Getulio Vargas como requisito de obtenção do

título de Mestre em Economia

Aluno: Pedro Barreira Albano de Aratanha

Orientador: Luis Henrique Bertolino Braido

Rio de Janeiro

Fundação Getulio Vargas

Escola de Pós-Graduação em Economia - EPGE

Economia de Lucas e Consumidores Heterogêneos

Dissertação submetida à Escola de Pós-Graduação em Economia

da Fundação Getulio Vargas como requisito de obtenção do

título de Mestre em Economia

Aluno: Pedro Barreira Albano de Aratanha

Banca Examinadora:

Luis Henrique Bertolino Braido (FGV/EPGE)

Ricardo de Oliveira Cavalcanti (FGV/EPGE)

José Valentim Vicente (Banco Central do Brasil)

Rio de Janeiro

Agradecimentos

R umo

Esta dissertaçã descrevet a o a util aoapara i corporarht e eidade uma eco omia de Lucas. Em mercados iompletos, essa hót

oferece uma oportu o ao de r iime to dos resultados de apreçame to to de um modelo de age te repre tativo.

Mtodos recursivosã plorados como poderosa ferra ta para se mode

elar ec a i trar l rios, em como dese volver algoritmos come

putaci ais. Na primeira aordagem,

mostrada a

t cia de uma f çã

tra çã pode ser atariame te complicada, map a do o estado hoj possíveis estadosaa hã. Na s daaordagem, i ese a possiilidade

de default com colateral. Agora tam possível se c t uma f çã

política ue mapeia chues ó e distri çã de r a em preços e

decisões de carteira.

Fi alme te, a terceira aordagem, ue difere completam te das outras,

uma euaçã de Euler moo dcada t o a i v teme te modela o e

chues idios i s ticos e p t tes.

A act

Thdissertat descr es three approaches used to iorporateh t e

ity i a Lucas tree eco omy. I complete markets, th assumpti may

er t he opport ity to e ch t h prici g implicati of th represe tativee i sumer model.

Threcursive t hd isl ed as a powerful tool mool eco omies, d o l ria a odevl computer algort h aswell. I t hdrst ape

proach, it ishw t heiste iof tra sit fu it whihca e a tarily

complicated, mapp t hstate today to t he state tomorrow I t he si o

approach default a d collateral are i sidered. Nw it is also co structed a

policyf iti th at maps e ous hocka dw alt hdistr uti to prices a oportfolio ch i .

Fi ally, i thethd approach,whihoers cl tlyfromt hformer es,

a modided Eulera t is at t a oyjdiciouslymodell idios i a tca o

persiste t shck

S

m

rio

1 !trod" #$ % 2

2 Á&'ore deL" () * 3

3 L"()*com H +, +&ogeneidade 9

./ 0 4eoriaC56tral . . . 7 ./ 0/ 0 Ergodicidade . . . 08 ./ : Apl; <= >? @àE< @ 6@ c;=de Lucas . . . 0 0 ./ :/ 0 Bodelo . . . 0 0 ./ :/ : E D FiGJ KO;o . . . 0 :

Q L"()*com H +, +&ogeneidade e Default 1U

V/ 0 Bodelo . . . 0 W V/ : EDuiGJ KO;o . . . 0X

U Y&+#%* eHeterogeneidade 21

W / 0 Bodelo . . . : 0 W / : EDuiGJ KO;o . . . : :

^ _

ntrod

o

A explm np qr z de fe{| }~ {os enz {| }mnz a partir do compor€p }~{to de m {i‚ƒ „

duos e…rmas talve†s~‡paˆ ‰m{nmˆal característicam{norporadaŠteorias}p n‰z„

ecz {| }mnp e de…{p {ças moder{as. ‹}o

Œ‡etivo muito perseguido, por

~x~ }ˆlo, éo de

~xplicar preços{peco{ z„

mia como resultado de v ‰ias decisões tomadas

m{ividualme{te e ‘

{a marŽ~},

como se costuma di†er. A

…{p ’ por“ ” ~pagamos ‘

xreais

pelo seguro do carro

e‘•‰~p mpelap qr zde uma deter}m{p a emprep–

‹}p‰npŒouço muito usado para respz {er a perŽ”{tas desse tipo tem sido os

modelos de~“”mƒŒ ‰mzgeral. —~ ~’cadapŽ~{te da eco{omia“ ” ~‰o m~ ˜z‰para

si mesmo. Se foremm{m‚ƒduos, to}p‰r zdecisões de cz{ ”mo e de alocações de ‰~{a com esse…m. —a pr€mnp ’cada um deles te{tarredistrmŒ”ir sua ri“ ”~†p

ao lz {go do tempo e~{tre dif~‰~{tes estados da eco{omia, atravéde mercados

competitivos.

™p o“ue o seguro do carro ou ap qr zde certa empresa têm˜ver com is z– š‰a, eles sro ‡”€p }~ {te algu{ dos m{tru}~{tos “”~ permitem ao i{divíduo

redistriŒuir sua‰~{da. šseguro do carro, por exemplo, permite“”~ele leve o m{˜~m‰z dosm{tp {tes em “ue e € tudo Œem com seu autz }› ‚el, para a“ ” ~le

período de ocor‰ê {cia do si{istro. š preço desse seguro dev~‰ ‘e“uimŒ‰p‰as

decisões de todos os outrosm{ivíduos em‰~p qr za essem{€‰”}~{to,Œem como,

todos os demaisp n z{tecim~{tos da en z{ z}m pem“u~ €r zœ

Apesar de todo o esforço, esses modelos ai{da estr zmuitop “ ”é}de explicar

o comportame{to dos preços“”~zŒservamos. Basicame{te,éessa a}~{agem “ ” ~™~˜‰p e Prescott(1985) passam ao analisar a abordagem de Lucas (1978)

acerca dos preços de ativos.

Grosso modo, o que Lucas (1978) elegantemente mostra é que os preços dos ativos, em uma economia de trocas puras, podem ser descritos como função apenas dos choques exógenos. Mehra e Prescott (1985) rebatem, mostrando que se assim fosse, então estaríamos inexplicavelmente pagando prêmios de risco muito elevados, ou então detestaríamos terrivelmente correr riscos.

Dentre as várias propostas para se contornar o problema, esta dissertação se concentra naquela que ataca a homogeneidade dos agentes na economia de Lucas. Assim, serão descritos aqui três artigos que tomam como ponto de partida uma economia de Lucas, porém, sem agente representativo.

Para começar, a próxima seção descreve muito concisamente o que é uma economia de Lucas, como concebida em seu artigož žŸ  Prices in an Exchange

Economy, além do resultado mencionado acima. Outras conseqüências imedi-atas, e da mesma forma interessantes, sobre apreçamento de ativos são expli-cadas.

A seções três e quatro têm em comum o fato de abordarem a questão da heterogeneidade sob a perspectiva dos métodos recursivos. Aliás, nessas duas seções, a dissertação ganha uma nova dimensão, qual seja, a de modelagem de economias com estruturas recursivas.

A seção três, baseada no artigo Stationary Markov Equilibria, lida com o problema de uma maneira tão geral que traz poucoinsight sobre o

¡¢£to dos preços¤¥ ¦£ §o os i£divíduos s¨ ©difere£tes e os mercadosª £«ompletos.

Por outro lado,¢¬ ­®©¯a°¦±ª®m¢ £te a recursividade da¢ « ©£ ©¡ª ¦²e se uti®ª³¦disso

para provar ¤¥e e¬iste ¢ ¤¥ª®´± ¯ªo. µ¶ estados co£· ¸¡ ta£to v¦¯ª ¹veis e¬º »¢£as ¤¥¦£to e£ § ºge£ ¦¶¼ ½£«lui, port¦£to, os preços. µ¤ue se mostra ¸a e¬ª¶·¾£«ª ¦

de uma fu£ ¿¨o tra£ ¶ª¿¨ ©¤¥¢mapeia estado°©Àe em estados¦¡ ¦£°¨¼ ©£tudo,

essa f¥£¿¨ ©pode ser ar±itrarª¦¡¢£te complicada.

à ¦s¢ ¿¨ ©¤uatro, vemos como o artigoStationary Equilibria in Asset-Pricing

Models with Incomplete Markets and Collateral modela essa mesma eco£omia, £ © e£· ¦£to, com a p©¶ ¶ª±ª®ªdade de default com colateral.  ©£tª£uamos com

uma f¥£¿¨ © ·¯¦£¶ª¿¨ © map¢ ¦£do estados, mas agora para au

¬iliar uma corre Ä

spo£ §¾£«ª¦ política ¤¥¢ mapeia c°o¤¥¢ e¬º »¢ £o e §ª ¶ ·¯ª±¥ª¿¨ © de ri¤¥¢³¦ em

preços e carteiras de ativos. A £ova modelagem permite ¤¥¢ se imple¡¢£te

comp¥ · ¦«ª©£ ¦®¡¢£te um¢ ¤¥ª®´±rio, e¤ue se tire daí¦®»¥£s resultados mais« ©£ Ä

cretos s©± ¯¢o compor·¦¡¢£to dos i£divíduos f¯¢£te ao risco. Fica¦ª £ §a¢¬ ­osta

a v¦£tagem de se aproveitar a estrutura recursiva da e«©£©¡ª ¦para simulações

e outros«¹®«¥®©¶¼

A seç¨ ©«ª £« ©Å£ ¦®¡¢ £te des¢£volve, como£o artigoAsset Pricing with

Het-erogeneous Consumers, uma ¢¬ ­ ¯¢¶ ¶¨ © ¤ue poderia ¢¬ ­®ª « ¦¯ preços de ativos

em¢« ©£omias o£de£¨ © ¸possível a represe£·¦ ¿¨ ©por um ú£ª « ©¦ »¢£te. Para ·¦£to, a· ¸«£ica utilª³¦§a para¢ £« ©£trar e¤ui®´±¯ªos difere c©¡­®¢ · ¦¡¢ £te§ ¦¤¥¢ Ä

las descritas£ ¦¶seções ¦£teriores. Com efeito, a caracterª³¦ ¿¨o dos preços de ¢ ¤¥ª®´±río segue Àustame£te do fato de °aver primitivos com estrutura £¨ © reÄ

cursiva. Æ¡ ¦ £©va e¤u¦ ¿¨ © de Euler ¸ ©±·ª§¦² mod¢®¦£ §©Äse cuidados¦¡¢£te

c°©¤ues idios¶ª£ «¯¹ ·icos p¢¯¶ª ¶ ·¢£tes.

Ç È

r

ore de

cas

Em seu artigo se¡ª£¦®de1978,Asset Prices in an Exchange Economy, Robert

Lucas aborda o problema de como avaliar uma trajetória incerta de ‡uxos de pagamentos ao longo do tempo. Seu objetivo principal é analisar teoricamente o comportamento estocástico de preços de equilíbrio dos ativos, em uma certa economia. Sua grande conquista: obtenção de preços como função de choques exógenos e como re‡exo do padrão recursivo da economia.

Inicialmente, suponha uma economia de trocas puras, um único bem e in-…nitos indivíduos. Considere-os maximizadores de uma utilidade esperada von Neumann-Morgenstern. Para que soluções de canto sejam evitadas, considere a função utilidade Bernuilliu:R+ !R+ estritamente côncava. E além disso, crescente e duas vezes diferenciável. Esses agentes vivem in…nitos períodos t, nos quais devem decidir o quanto consumir,ct, do bem e osshares dosnativos

a serem comprados e vendidos, t2Rn.

A cada período ocorre a realização de um estado da natureza, y 2 Y. Os

ativos pagam, em valores reais, de acordo com o estado sorteado. Assim, emyo

ativoj gera um dividendo dedjt(y). Mercados competitivos abrem-se

ÌÍ ÎÏ um fator de desÐ ÏÑto 2 (0;1), um iÑdivíduo, portÍÑto, resolve o

seÒ ÓÔÑte proÕlema de otiÖÔ×ÍØ ÙÏÚ

max

fct;t+1g1_t=0

E0

1

P

t=0

t_u(c

t) s.a. ct+ t+1pt t(pt+dt) 8t

ct; t+1 0 8t

0dado

ÛÕÜ ÝrveÑÍÜrestrições a estrutura dos mercados. ÌÏlado direito da primeira ÔÑÝÞÓÍØ ÙÏ, o valor de toda ßÔÞuÝ×Í ÞÓÝ o Ü Óâeito possui Ñ Ï tempo t. Ìo lado

esÞuerdo, de ÞÓÝ maÑeira poderä distßÔÕÓåæèÍÚ cÏÑÜÓmiæla ëoâe ou trÍÑsferÔæèÍ

paraÍÖÍÑë Ù, eÑtre os possíveis estados daÑaturÝ×a.

SuÕÜtitua, primeirÍÖÝÑte, as restriçõesÑa fÓÑØÙÏ ÏÕâetivo. AsÐ ÏÑdições de

primeira ordem podem assim ser calculadasÚ @

@ j;t+1 E0

1

P

t=0

t_u[

t(pt+dt) t+1pt] = 0

Et[u0(ct+1) (pj;t+1+dj;t+1) u0(ct)pjt] = 0

Et[u0(ct+1) (pj;t+1+dj;t+1)] =u0(ct)pjt

ÌÝÜ Üa forma, ÏÕìÝÖÏÜ Þue a soluØ ÙÏ í uma sÝÞ üîÑcia de Ð ÏÑÜumos e pÏßìæ ï ðèÔÏÜ ao loÑgo do tempo, satisïÍ× ÝÑÎÏñ ÑÝcessarÔÍÖÝÑte, em cada período t e

para cada ativo j uma ÝÞÓÍØÙÏ fÓÑ ÐiÏÑal para os preços, a ÝÞÓÍØÙo de Euler

estoÐäÜtica, como se segueÚ

pjt=Et

u0_(c

t+1) u0_(c

t)

(pj;t+1+dj;t+1) (1)

ou, se de…nirmos o retorno bruto do ativo comoRj;t+1= (pj;t+1_p+_jtdj;t+1),

Et

u0_(c

t+1) u0_(c

t)

Rj;t+1 = 1 (2)

A expressão (1) também pode ser concisamente escrita na forma de uma equação básica de apreçamento:

pjt=Et[mt+1xj;t+1]

ondemt+1 u 0

(ct+1)

u0₍

ct) é o fator estocástico de desconto exj;t+1 pj;t+1+dj;t+1

é simplesmente opayo¤ do ativojemt+ 1. Vale observar que a equação básica de apreçamento pode ser obtida por outras vias que não a do problema do consumidor. No nosso caso, o fator estocático de desconto …cou caracterizado como acima.

Em poucas palavras, o preço do ativo nada mais é do que um valor esperado de seupayo¤ futuro descontado por um fator extraído da economia.

ò referido artigo ô õö ÷ø ùûö ÷ido como uma ýþ ÿ ùþ sca ùte ÷ øùtrþ i ição à lþ

eratura de sùa ùças e de macroö÷ø ùøeþa A ô a þ eù õö a ùto, ùana ö o

caracterize como tal. A apareùte simplicidade daö a ã ø(1) não re‡ete a real

di…culdade para se computar o preço deequil{briodo ativo.

Observe novamente a equação (1). Primeiro: para cada ativo j, ela irá gerar uma seqüência de preços dependente de toda a trajetória estocástica de consumo. Note que para se calcular a seqüência de planos de consumos de equilíbrio, devemos considerar, além das restrições orçamentárias de cada um dos indivíduos, também as condições demarket clearingda economia. Segundo: as esperanças são condicionais a cada tempot. Isto é, a probabilidade de se realizar um certo estado da natureza emt+ 1dependerá tanto do estado em t

quanto do próprio períodotem que se encontra a economia.

Tal complexidade também pode ser notada da seguinte maneira. Suprima em (1) o índicej, para simpli…car a notação. Reescreva (1) parat+ 1e substitua-a na original. Use a lei das expectativas iteradas. Reescreva novamente (1), agora para t+ 2, e substitua-a na expressão anterior, usando a mesma lei. Repita esse procedimento parat+ 3, t+ 4, e assim sucessivamente até que se possa reconhecer um padrão. Vejamos:

pt = Et

u0_(c

t+1) u0_(c

t)

(pt+1+dt+1)

= Et

u0(ct+1) u0_(c

t)

Et+1 u

0_(c

t+2) u0_(c

t+1)

(pt+2+dt+2) +dt+1

= Et Et+1 2 u0_(c

t+2) u0_(c

t)

(pt+2+dt+2) + u0_(c

t+1) u0_(c

t)

dt+1

= Et

u0_(c

t+1) u0_(c

t)

dt+1+ 2 u0_(c

t+2) u0_(c

t)

dt+2 +Et 2

u0_(c

t+2) u0_(c

t)

pt+2

= :::

= Et

1

P

i=1

iu0(ct+i)

u0_(c

t)

dt+i + lim i!1Et

iu0(ct+i)

u0_(c

t)

pt+i

Suponha, por …m, a condição de transversalidade: o segundo termo do lado direito da igualdade acima deve tender a zero. Em palavras, estamos impedindo que os preços cresçam a uma rápida velocidade tal que o indivíduo queira com-prar o ativo hoje só para vendê-lo no futuro, mesmo não gerando dividendos. Então teremos que:

pt=Et

1

P

i=1

iu0(ct+i)

u0_(c

t)

dt+i

ou, usando-se a de…nição de fator estocástico de desconto:

pt=Et

1

P

i=1

mt+idt+i (3)

duasd culdades m io adas aterio te,h aq la relacioada ao c c o u ode umau computacioalm te v vel!

Para co tor ác Lucas(1978) se apóia numa condição central: a

existên-cia de um agente representativo. Para tanto, impõe que os indivíduos sejam idênticos. Esse ponto, base para grande parte da macroeconomia moderna, é crucial.

Observe, no entanto, que a representatividade por um único agente também pode ser obtida quando se tem indivíduos heterogêneos, desde que se imponha a completeza dos mercados. De fato, com su…ciente número e tipos de ativos para se criar o efeito de mercados completos, prova-se a existência de equilíbrio competitivo (Bewley (1972)), donde, pelo Primeiro Teorema do Bem Estar, também constituirá o equilíbrio de um planejador central convenientemente es-colhido. Grosso modo, o mercado completo permite que se iguale as razões da utilidades marginais entre os indivíduos, criando, assim, o efeito de um único agente que os represente.

En…m: o agente representativo, em equilíbrio, irá deter todos os ativos exis-tentes e consumirá todos os frutos (dividendos) gerados por cada árvore (ativo), em cada período:

t= 1 8t

ct= n

P

j=1

djt 8t (4)

Uma economia assim descrita costuma ser denominadaendowment economy. Nas palavras de Cochrane (2005):

Nondurable consumption appears every period. There is nothing anyone can do to save, store, invest, or otherwise transform con-sumption goods this period to concon-sumption goods next period. Hence, asset prices must adjust until people are just happy consuming the endowment process. In this case, consumption is exogenous and as-set prices adjust.

Dessa forma, a análise …ca restrita ao comportamento dos preços diante das variações exógenas dos pagamentos dos ativos. Observe que, em contrapartida, esses preços não mais poderão re‡etir o comportamento de cada agente ou gerar qualquer informação acerca dos seus riscos idiossincráticos (pois, obviamente, estes são redundantes sob a hipótese de homogeneidadeou de mercados com-pletos). É perdida, portanto, a capacidade de se analisar mais profundamente o comportamento do indivíduo frente ao risco intertemporal e entre estados, já que não há negociações de qualquer espécie. Seria como se o consumo e o portfólio fossem trajetórias exógenas. Daí o nomeendowment economy. Esses são os principais custos decorrentes da hipótese feita.

Por …m, Lucas (1978) supõe quedtsegue um processo Markoviano, de…nido

por uma função de transição dada. Na economia até aqui exposta, essa função de transição pode ser representada por uma matrizP, cujo elemento Plm é a

probabilidade de realização do estadoymdado que no período anterior ocorreu

yl. Gosso modo, a propriedade M ov ca a prob b idade de

ocorrcia de uma var el " #ria, dado todo o $ist#co de r %&' " ( m) m to(simplesmete a prob bidade de sua ocorrr* *)+ici)ada * m te , r %&-) o período terior. Oa, daí se segue asbases para a * ) stru& -)de uma estrutura recursiva da* ) omia.

Podemos agora a &-)(1) sob essas condições: agente

represen-tativo e processo Markoviano. Os consumos são substituídos pela expressão (4), lembrando-se que os dividendos são funções apenas dos estados da natureza. A esperança condicional emt torna-se condicional apenas ao estado realizado, digamos, yl. O preço do ativo j em t+ 1 não depende mais de tal período,

mas simplesmente dos possíveis estados. Isto é,dk epk são variáveis aleatórias

sobreY, o conjunto de estados da natureza, qualquer que seja o ativok. Assim, tem-se que:

pj(yl) =E

2

6 6 4

u0 Pn

k=1 dk

u0 Pn

k=1 dk(yl)

(pj+dj)

3

7 7 5

Faça uso da matriz de transição para obter:

pj(yl) =P m

Plm

u0 Pn

k=1 dk(ym)

u0 Pn

k=1 dk(yl)

(pj(ym) +dj(ym)) (5)

Note que, para cada ativo, há simplesmente tantos preços quanto estados da natureza. Cada preço de equilíbrio dependerá do choque exógeno, isto é, dos dividendos do próprio e dos outros ativos. Dessa forma, os cálculos tornam-se incrivelmente facilitados, como veremos no exemplo a seguir.

Exemplo 1 Considere uma economia a la Lucas com dois estados da natureza: crescimento,y1, e recessão,y2. A matriz de transição é dada por:

P = 2=3 1=3 1=2 1=2

Há dois ativos: um livre de risco, pagando(1;1), e outro arriscado, gerando dividendos(3;2), respectivamente em y1 ey2. Denomine-os ativos 1e 2.

O agente representativo maximiza uma função utilidade CRRA, u(c) =

c1

1 , com = 0;5. Suponha = 0;98. Quais os preços de equilíbrio do

ativo arriscado nessa economia?

Para resolver esse problema, comece supondo que a economia hoje se encon-tra em estado de crescimento. Note que a probabilidade de, amanhã, continuar em crescimento é 2=3. De entrar em recessão, 1=3. Basta aplicar a equação (5). Comou0_{(c) =c , temos:}

p2(y1) = 0;98 (1 + 3) 0;6

2 3(1 + 3)

0;6

(p2(y1) + 3) + 1 3(1 + 2)

0;6

Se supomos que hoje a economia se encontra em recessão, analogamente teremos:

p2(y2) = 0;98 (1 + 2) 0;6

1 2(1 + 3)

0;6

(p2(y1) + 3) + 1 2(1 + 2)

0;6

(p2(y2) + 2)

Resolvemos o sistema de equações lineares anteriores e obtemos que o preço do ativo arriscado quando a economia está crescendo ép2(y1) = 133;5e quando está em recessão ép2(y2) = 115;5. O mesmo pode ser feito para os preços do ativo livre de risco.

Sup. /0a agora 1 23 3 45sta um ativo livre de risco. I67. é 8 possui payo¤ 2/it9 :5o em 1 2; <1uer estado. Logo seRF;t+1 éseu ret.:/. 8 3/7t. da e1u; =t.

de Euler> ? @ 87 3A. 6B

Et[mt+1RF;t+1] = 1)RF;t+1=

1

Et[mt+1]

Podemos dese/volver > ? @ 8 us;/C. o fato de 1 23 cov(X; Y) = E[XY] E[X]E[Y]B

Et[mt+1Rj;t+1] = 1

cov(mt+1; Rj;t+1) +Et[mt+1]E[Rj;t+1] = 1

E[Rj;t+1] = 1

Et[mt+1] cov(mt+1; Rj;t+1) E[Rj;t+1] RF;t+1= RF;t+1cov(mt+1; Rj;t+1)

ou a5/da,

E[Rj;t+1] RF;t+1= RF;t+1cov

u0_(c

t+1) u0_(c

t)

; Rj;t+1 >D@

A e4pre66t. do lado e61 23: C. dessa igualdade é c. /0 3cida como o r37 .:/.

esperado em3 4 E36so do ativo j, ou mais usualm3/te, comop:FA5 .de risco. HJ63rve1ue op:F A5 .de risco ser9positivo> /egativ. @sempre1 23seu r37 .:/.

covariar/egativame/te>positiv.@ com o fator estoE9675E. de desco/to.

Se a fu/= to utilidade for como /o 3 43Aplo acima, CRRA, e/7t. mt+1 =

ct+1

ct . Sup

. /0; 1ue um ativo possua retor/os cada veKmaiores,L medida 1 23 o fator estoE967 5 E. de desE. /to diA5 /ui, i.e., covar5 N / Eia /egativa. I6so 65P/ 5Qca 1 23 ele ‘paga JeARem mom3 /tos em 1ue a eE. / .A5; cresce, ct+1 > ct. Como E./631 üF/cia, seu prFmio de risco é positivo, ou s

3S;8 os

5/divíduos

esperam1 23

7 3/0;um retor /o s

2Qcie

/tem3 /te mais alto1 23a t

;4;livre de risco

para compr9T<. U Por outro lado, se o ativo‘pagaJ3 ARem períodos de crise, e/7t.

os5 /divíduos irt.d3A;/C9T<. mesmo te/Co p:F A5.de risco/3gativo. Éo caso

do seguro, por3 43 Ap<. U

Hpr.Jlema com a e4pres6t.>D@reside/o fato de1 23osp:F A5. 6de risco.JT

WX YutiliZados dados[istó \] ^Y Wde^Y _Wumo agregado. Para explicar os retor_os

em`x ^`sso realme_teYfW`rvados,gpreciso uma maior volatilidade_Y Wpadrões

de^Y _sumo agregado.

jk w `acy fy {Y Wde descrever pode ser e_| `_dido como uma v`\ WX Ydoequity

premium puzzle. j\] } ]_y~{`_te,`[\ye Prescott(1985) chegaram à conclusão

de que, ao se partir da equação de Euler de uma economia de agente rep-resentativo (2) e usando os retornos observados historicamente, os indivíduos apresentariam uma aversão ao risco absurdamente alta, se comparada com a realidade.

Alguns economistas acreditam que opuzzleseja gerado pelo fato de se con-siderar um agente representativo. Isso de certa maneira ‘esconderia’ os efeitos de riscos idiossincráticos sobre os preços dos ativos.

3

Lucas com Heterogeneidade

E se agora os indivíduos não forem idênticos e os mercados forem incompletos? A representação por um único agente não mais será possível. Cada indivíduo irá se deparar com riscos idiossincráticos e não poderá compartilhá-los comple-tamente. De forma a se previnirem de incertezas futuras, negociações surgirão a cada período. Por sua vez, a estrutura de ativos não permitirá que pessoas se protejam de certos eventos como desejariam. Os preços de equilíbrio, por-tanto, estarão intrinsicamente ligados a essas características, período a período. Eles dependerão de como os ativos estarão alocados, mas essas alocações podem mudar ao longo do tempo. Dependerão até das dotações iniciais de cada agente. Portanto, para se descrever o equilíbrio em termos de um único processo de Markov é preciso incluir tanto as variáveis exógenas quanto as endógenas na descrição do estado.

Descreverei aqui como o artigo Stationary Markov Equilibria aborda essas

novas indagações. Pode-se dizer que o paper é dividido em duas partes. Na primeira, é desenvolvida uma técnica para provar a existência de equilíbrios re-cursivos. Na segunda, tal técnica é aplicada a três situações, dentre as quais, a árvore de Lucas, agora com agentes heterogêneos e mercados não necessaria-mente completos.

3.1

Teoria Central

Exponho nessa seção as técnicas desenvolvidas por Du¢e et al. (1994) para provar a existência de um certo objeto matemático. Aplicada a uma economia, tal objeto é um equilíbrio recursivo.

A teoria parte de dois elementos principais: um conjuntoS, que na verdade é um espaço de Borel não-vazio, e uma correspondência com grá…co fechado

G:S ! P(S), sendoP(S) o conjunto de medidas de probabilidade emS. O que se busca é demonstrar que:

ii€ ‚ ƒ „…uma f† ‡çˆ ‰ :J ! P(J), Š† ‹uma seŒç ˆ‰ da corresp‰ ‡ê ‡Žia Grestrita aJ.

 ‡‰ƒ ‡’ “‰ „Gcomocorrespondência de expectativas,eJ comoŽ‰ ‡”†‡to

auto-justi…cado para G.

SeJfor fec•ado ‡…ˆ ‰–pelo teorema de—uratowski-Ryll-Nardzewski, (i))(ii).

Mais ainda, é mensurável, e portanto, por de…nição, uma transição. Logo,

basta provarmos (i) e queJ é fechado.

Dado T 2 N, de…nimos um _{equilíbrio de horizonte T para G} como sendo um processo estocásticofs1; :::; sTg em algum espaço de probabilidades e com

valores emS, tal que, para todot < T, a distribuição condicional dest+1 dado

fs1; :::; stgestá emG(st)quase sempre.

Observe que há um propósito ao denominarmos o objeto matemático acima deequilíbrio. Constituirá, de fato, um equilíbrio de uma economia de horizonte …nito para algumaGconvenientemente escolhida. UmaGque carregue consigo as características de tal economia.

Assim, podemos enunciar o principal resultado dessa primeira parte de Du¢e et al. (1994):

Teorema 1 SejaK Scompacto eT 2N_{. Se existe um equilíbrio de horizonte}

T para G, fs1; :::; sTg, tal que, para todo t,st2K quase sempre, então existe um conjunto compactoJ auto-justi…cado paraG.

A compacidade deJ contribuirá para uma propriedade especial de , abor-dada na subseção a seguir.

A demonstração desse teorema segue a seguinte estratégia. Primeiro, ‘constrói-se’ um candidato paraJ; em seguida, prova-se que ele é auto-justi…cado. Ve-jamos brevemente quem é o candidato:

Dado K S compacto, comece construindo indutivamente uma seqüên-cia de conjuntos. De…na C00 = K, e para todo j 1, considere C0j =

fs2K; existe 2G(s) com (C0j 1) = 1g1. Poderíamos interpretarC0jcomo

o conjunto que contém o estado inicial de qualquer equilíbrio de horizontejpara

G, que permanece emK. Da hipótese do teorema, segue-se queC0j6=?, para

qualquerj. Faça entãoJ =\jC0j, que é não-vazio pois C00 C01 C02:::; e

assim obtemos nosso candidato, que será, de fato, auto-justi…cado paraG.

3.1.1 Ergodicidade

A transição encontrada anteriormente pode, sob determinadas hipóteses, ap-resentar algumas propriedades interessantes. A principal delas é a ergodicidade. Além de ser uma noção mais restritiva de estacionariedade, se aproxima do con-ceito econômico desteady-state, em modelos determinísticos.

Começamos por algumas de…nições.

Uma medida invariante para uma transição :J ! P(J)é uma medida 2 P(J)tal que = . Note que (A) =R

J

s(A)d (s), paraA J.

1_{v (C}

0;j 1)é a medida interna deC0;j 1.

Se˜ ™ uma medidaš ›vaœš ™ ›te.  žco›˜ Ÿ ›to A -invariante  um¡Ÿ ¢£¤ ›¥ ˜Ÿ ›to de J,ž¦›sur§ ¨el, satis©™ª ¦›«o s2 P(A)paras2A ¥¬ ­¡­ ­

Fi›alme›te, uma medidaš›varš™ ›te  ergódicapara :J ! P(J)se, para ¬Ÿ™® ¬uer£ ¤›˜Ÿ›to A ¥š›varš™ ›te, (A) = 0ou (A) = 1.

A seguir ilustramos esse£¤ ›£eito mais™ ¢¡trato com um¦¯¦ž°l¤±

Exemplo 2 (Du¢e et al. (1994)) Sejam J = f0;1g, = 1 e

= 1 0

0 1 . Temos que = 1 = , donde é invariante.

Os conjuntosf0g,f1g,f0;1gsão -invariantes, pois obviamente 0= 1 0

pertence aP(f0g)e aP(f0;1g)e 1= 0 1 pertence aP(f1g)e também

aP(f0;1g). Se = 0então (f0g) = 0, (f1g) = 1e (f0;1g) = 1. Logo, é ergódica. Análogo se = 1.

Por²m, pode se provar¬Ÿ¦para se¤ ¢³ ¦œuma tal medida er´ µ«š £ ™¶ , para a

tr™ › ¡š ·¸ ¤  preciso¬Ÿ¦a corresp¤ ›«¹ ›£š™de¦¯ °ectativasGse˜™convex-valued

eJ compacto.

3.2

Aplicação à Economia de Lucas

3.2.1 Modelo

A§œvore de Lucas™¬Ÿ šmodelada uma ec¤ ›¤ žš™de trocas puras¬Ÿ¦segue os

mesmos moldes«™¬Ÿ¦®™descrita™›teriorme›te.  žú ›š£¤¢em enativos reais. º § š › £¦r³ ¦ªas ¬Ÿ™›to aos estados futuros, mercados competitivos a¢rež¥ ¡¦ a

cada período. » ¤e›³™ ›to,³ ¦ž¥ ¡e agoram™´ ¦›tes,¬Ÿ¦¡¸ ¤¼¦ter¤´¹›eos. ½¼ ¤œšªo›te de tempo dessa¦£ ¤›omia T 2N. ¾¯šste um£ ¤›˜Ÿ›to²›ito de

c¼¤¬ues¦¯µge› ¤ ¡¶Y, e fytg  um processo de¿ ™œÀov com³œ ™ › ¡š ·¸ ¤P :Y !

P(Y)š›«¦p¦›« ¦›te do tempo. Á¡³¤  , a distri¢Ÿš ·¸ ¤c¤ ›«š £š¤ ›™®deyt+1 dadas

asœ¦™®šª™· ¦¡fy1; :::; ytgser§P(yt), para todot.

½¡divid¦›dos reais pagos pelos ativos¡¸ ¤repres¦›tados pela fŸ ›· ¸ ¤d:Y ! Rn

+, comdj(y)se›«¤o di¨š« ¦›do¬ue o ativoj paga ao ocorrer o c¼o¬Ÿ¦y. A

fu›·¸o e:Y !R

m

 tal ¬Ÿ¦ei(y) a dotaç¸ ¤de ¢¦›¡ doš›«ivíduoi dado o

c¼¤¬uey.

As pref¦œ ¹›cias de um™´ ¦›tei¡¸ ¤d¦²›idas pela fŸ ›·¸ ¤de utilidadeæœ ›uilli ui :R++ !R, C1, £Ä›£ava, estrš³™ ž¦›tež¤ ›µ ³¤› ™¶ limitada superiorm¦›te e

ilimitadaš›©erš¤œ ž¦›te. ½fator de desc¤ ›to  

i2(0;1).

ř«™ uma s¦¬ ƹ ›ciaC =fCtg

T

t=1 de v™œš§veis™® ¦™³ µœias em algum espaço

de pr¤ ¢™ ¢š®idades, com valores em R++, a fu›· ¸o de utilidade vo›»eŸ ž™ ››¥ ¿ ¤œ´ ¦›¡ter› dei ser§±

UT

i (C) =E T

P

t=1

t iui(Ct)

Ŧ› ¤ žš › ™ž¤ ¡u= (u1; :::; um)e = ( 1; :::;

m). Ŧ¡¡a forma, os primitivos

ÈprÊ ËÌmo passo emÍÌ ÎÏ ÐÑ ÒÓ cÒÔÕ ÖÎ ×Ð ÑÒ de uma estrutura recursiva para

esse modelo sÏÎØ deÙÔÌ Î a varÌØ Úel de estado da ecÒÔÒÛÌÜÝ Þ ÛÜ varÌØ Úel de

estado deve ser uma completa descrÌÐÑ Ò das atuais variØ Úeis, ÖÜÔto eËÊ ßÏÔas â×ÜÔtoÏÔ Í Ê ßÏÔas,Üä å Ûde servir como uma estatística s×ÙæÌÏ Ôte para a evoluÐÑ Ò

futura da eæÒÔÒÛÌÜÝ

Seè Ü = 2R

n m

+ ;

m

P

i=1 i

= 1 o æÒÔè×Ôto de possíveis porÖëÊäÌ ÒÕ Ôum

ÌÔ Õ ÖÜÔteâualâ×Ïr e uma cÊpia sua. ÈìÕerveâue aoÌÔdivíduoÔÑÒåpermitido ÙcarívÏÔÍidÒî. ïÏÙÔimos o cÒÔè×Ôto de varÌØ ÚeisÏÔ Í Ê ßÏ ÔÜÕcomoZ =

Rm

++ Rn+, cuèÒ elemeÔto ; ; c; p represÏÔta, respectivamÏÔte, as carteiras ÜÍâ×ÌÎÌdas pelos ageÔtesÔ ÒperíodoÜÔterior,Üâ×ÏäÜÕformadasÔo atual período,

os cÒÔÕ×mos atuais e todos os preçosÔ ÒÕatuais mercados.

Assim, o espaço de estados,èØrestritos aæÒÔÍições de factiìilidade, serØð

S=

(

y; ; ; c; p 2Y Z;P

i

[ci ei(y)] =P j

dj(y)

)

ñÒ Öe porÖÜÔto â×Ïa traèÏ Ö Êria estoæØÕ ÖÌæ Ü de eâuiäò ìÎÌo devÏ ÎØô ÔÏæessarÌÜõ ÛÏÔte, assumir valores emS.

3.2.2 Equilíbrio

Para cöÏ ßÜÎÛÒÕa um cÒÔæÏito formal deÏâ×Ìä ò ìÎio

åimpor

ÖÜÔte compreÏ ÔÍÏ Îõ

mos porâue seu priÔcipal compÒÔ ÏÔte å um processo estoæØÕ ÖÌæÒÝ Em poucas

palavras, eleåuma represÏ ÔtaçÑ ÒmateÛØÖica dos÷äÜÔ ÒÕcÒÔÖÌ Ô ßÏÔtes idealiøÜõ

dos pelos iÔdivíduos. ùÒÔÕiderÜÛõse todas as possíveis traèÏtÊÎ ÌÜsâue seÌ ÔÌæÌÜ Û Ôum mesmoÔ Êô do período iÔicial, eÖÏ ÎÛÌÔÜÛ em pÒÔtos do período ÙÔal. A

essesæ ÜÛÌ Ôöos estocØsticosÕ Ñ ÒatrÌìuídas prÒìÜ ìÌäidades.

Para a ecÒÔ ÒÛÌÜ acima, seèÜ a sÏâûýÔcia fstg

T

t=1 um processo estoæØÕ ÖÌæÒ

em algum espaço de÷Î ÒìÜ ìilidades, com as f×Ô ÐõesÛÏÔsurØ Úeisstcom valores

em S. Logoå cÒÔöÏcida, por Ï ËÏÛ÷äÒô a ÷Î Òì ÜìÌäÌ ÍÜÍÏ de ocorrer um estado

h

yt; t; t; ct; pt

i

íretiradÒ îdest. È ×as cöÜÔæes deâ×Ïtal estado se realÌ øÏ

dado â×Ï ÜÖå Üâ×ÏäÏ período as ocorÎýÔæias foram fs1; :::; st 1g þ ÿ ì×Õarei da Ô Ò ÖÜÐ ÑÒdÜâui porÍÌÜÔte, poisåsempre claroâuÜÔ Í Òo æÒÔÖÏËto se refere a reõ

aliøaçÑ Òda f×Ô Ð ÑÒou a f×ÔÐÑ Òem si. ñoteÜÌ ÔÍÜâ×Ïtemos fuÔ ÐnÏsÛÏÔÕ×ÎØ Úeis

eÔ Ñ ÒvarÌØ ÚeisÜäÏÜÖ ÊÎias,â×Ïåum caso particular deâ×ÜÔÍoS =R)Ý

EspÏ ÎÜõÕÏ,ÜÔtes de tudo,â×Ïesse processo estocØstico respeite os primitivos

da ecoÔomia,Ì Ôæä×Õive a lei de movÌÛÏÔto para os cöÒâ×ÏÕ Ï Ë Ê ßÏÔos. Assim, ÍÌøÏmosâuefstgåconsistente para desdeâ×Ï, para todot < T, a distÎÌì×Ì ÐÑ Ò æÒÔÍÌæÌÒÔÜä deyt+1 dadofs1; :::; stgse

èÜP(yt)

â×ÜÕ Ïsempre. ïÏÙÔÏõÕe agora do

âue

æÒÔÕistem as decisões de um Ì ÔÍ ÌÚ òduoi. Primeiro,

a ÒìÕ ÏrvâÔcia de sua restÎÌÐÑ ÒorçameÔÖØÎÌÜð uma política factível parai seria

um processo estocØsticof( t; Ct)gÔÒmesmo espaço de proìÜ ìÌäÌdades defstg,

com valores emRn

+ R++, talâ×Ïpara todot,( t; Ct)å(s1; :::; st)õ ÛÏÔ Õ ×rØ Úel

e

com 0= i1.

Assim, uma política factívelf( t; Ct)gseráótimaparaiq oU

T i (fCtg)

UT i

n

C_t0o qquerque se

n 0

t; C

0

t

o

factível.

Por…m, formali aoção mais usual deeqi ioWalrasiao, ou c o

petitivo, para essa ec i

U equilíbrio para éum processo cois ete de estadosfstgtalqe, para

todoi, a políticaf( it; cit)géótima.

O erveque esteéumc ceito seqü êcial.O etivoé, et to, mostrar qeeiste um eqi rio com estrutura recursiva. Etã de…aoo da seite

eir

U transição de equilíbrio para é uma t ião :J ! P(J)comJ

suc toeáel deS, talquer

i paraq qe ; y 2 Y eis e y; ; ; c; p 2J,

ii cada processo deMovfstg com valores emJ e tr iã éumeqi o

lírio para comT = +1.

Oitem (i i ape qeqquer pares iici éadmissível. No eo s to, oserve a sutilidade do item (i i. D uma t ião , a teoria de

processos estocás ic mostra como c s i um processo de Maovfstg em

um espaço de p i i es, tal qe, para todo t, a distriiã c i ci

dest+1dadofs1; :::; stgé (st)qesempre. Como a traiã i epeedo

tempo, dio eqe éestaci áia. N se, pors to, qe de um processo o

vi o com tr içã esci áia decorre a recursividader ésu…ci etec he ce o

mos emque estado se ecotra a ec iemtparaete ermos como ocoreá

a t içã para t+ 1, idepe eteete de t ou da tra etó percorrida as é qe emometo.

Fialmete, podemos euci outro imp s te resultado de D¢e et al. ( 4 para a

e c omia de Lucas com etes heter êeos em mercados io

completosr

Teorema 2 Existe uma transição de equilíbrio :J ! P(J)para , com uma medida ergódica.

Gosso modo, o resultado acima é otido da aplicação do teorema ao c to S de estados factíveis, e a uma corresp êciag :S ! P(S), devi o

damete e …i

Comeceetã de…io a corresp êciag:S! P(S), talqepara todo

2g(s0), coms0 dado, teo e r

i o suporte de éo grá…co de alguma fu ã h:Y !Z;

ii a ma

i de em Y é P(y0) e a margial de em é

0, qe

sepe;

iii 8i, p0 i0+ci0=

iv 8i, i

iE[u0(ci1) (p1+d(y1))] u0(ci0)p0 0 e i i0= 0para ! s1com distr"#iç$ % &

v c1 c ' sempre, % *+ ci , tal se -% *'umido em cada período

gerar. utilidade i*ferior a de autar"/

0item 2 "implica toda medida emg(s)t !. suporte3*"to. 5 %teue

a cada c6%ue 78 9 *% '8 ,atri#uído um ú*" -% sistema de preços, co*sumos

e carteiras. Al,m disso, esse item ser .

* ces

'.!io para se

%#ter um

":#rio

spotless em um certo ' *tido.

0item 2 " "visa a respeitar, primeiro, a lei de movim *to dos c6o s, se 9*do, o fato de a carteira escol6ida *% período *terior s <a a mesma

e't. =9 *+% *o período atual. Por sua v >? os ite* ' 2 " " " e 2 "v ! @etem

as c%*+ "AB s de primeira ordem do pr%# Ca de ot "C" >A $ % dos9 *tes, mais

precisC *te, as restrições%!AC *t.!ias e a A $o de Euler.

0 maior d '3o , mostrar g 't "'F> as 6ip8teses do teorema H/ Feito

isto, teremos um-% *< *to compactoJt %< 't " 3cado parag. Por3m,‘c%*v 7 "3camos’g, para *t $o o#termos uma t!*'iç$o com uma medida !9 8+ " -/

0fato f*+C *tal para mostrar e, para todoT, e7iste um ":#rio de 6%! " >% *te T para g, , a 7"'t I* -ia do ":#!io para , com 6%! " >% *te 3*"t %/

Esta, por sua ve>? segue, com adaptações, a prova padr$ % feita por Rad* ! 2H J KL/

Se< T 3*ito. Comece+ 3* "*+o (T)como o -% *< *to de ":#! " % 'para

. P *% C"* tam#, CST =fs2S& 7" 't fstg 2 (T+ 1) coms1=sg como

o-% *<*to de estados"* "- "" 'em algum ":#rio para , com 6or

" >% *te T. Q% 't!' para todo ; y 2 Y 7" 't y; ; ; c; p 2ST, pois<.

se'#eue, de fato, 7" 't Ceuil:#! " %s para .

Agora d 3*a K =fs2S&c cep pg R

. 5%te K , compacto. S% *

sidere tam#, CC0T de3*ido como*teriorme*te, isto,?o co*<*to -% *t,m

o estado" *" -" deua !eui:#! "o de6or" >% *teT parag.

Prov'e ST C0T, + % *+eC0T 6=?. Logo, pelo teoremaH ?J =\jC0j ,compacto et %<'t " 3cado parag.

Fi*alme*te, d 3* seG:S ! P(S) comG(s) se*+ %o fec6o da *vot8!ia -% *v 7 deg(s). 5$%,difícil co*cluirueJ tam#,C' !.t %<'t "3cado para G, e porta*to, 7" 't "!.uma tr*'"A $ % :J ! P(J)com medida !98dica. Em

particular, dado ; y 2 Y, pode' - %* 't !"!um processo deQ! Tovfstg

com valores emJ, comt !*' "A$% , talue

1; y1 = ; y . 0# ' rve

?para c% *- "! C% 'ue

,uma tr

*'"A $ %de ":# ! "% para ,

resta a prova deue um processo deQ! Tovfstg como o acima ser. um eu"

lí#rio para ; *+oT = +1. 0!a, isso decorre di! tC *te da co*struA $ %da G. Pe fato, a-% *' "'t I* -ia desse processo,%# t "+do item2 ""da de3*iç$o deg. V *u*toue, para todoi, a otimalidade da políticaf( it; cit)gdecorre,=! "* -" =C *te dos"t *'2 "" "e2 "v/ X Cp%*to a ser ressaltado, tal otimalidade '8 ocorre *+o levamosT para o" *3* "to.

Y

LemaZ.[de\u] e et al. ^_``abmostradue existep2R n

Éimporu w yte mey {| }yw ~um€ uimo ‚u w€ƒ‚ „ †uaydo{}yve‡ | ˆcamos a{ } ~‰

resp}yŠycia g, por um lado ‹wyƒamos uma medida ‚ ~‹ Œ| {w „ Por outro,

perdemos a propriedade de euilí Ž ~|} sem sunspots.  ‚ |€ í Žrio ‚y { }ytrado

acima, poru w yto, “spotless yum s‚ytido mais fraco.

4

Lucas com Heterogeneidade e

Default

” •w outra forma de lidar com a ƒ‚u ‚r}‹‚ yeidade dos w‹‚ ytes em ec}y } •|ws

com mercados|y {ompletos“w Žordadayo artigoStationary Equilibria in

Asset-Pricing Models with Incomplete Markets. A‚ {}yomia“de trocas puras com as

mesmas características das descritasw yteriormeyte, p} ~“•com um adici}ya€ – a

possiŽilidade de default com colateral. s autores —˜u | ˆcam essa mod| ˆ{w™ š}

com o seguiyte w ~‹ •‚yu } – “ preciso um ˜|‹y | ˆcado e{ }y › •| {} à˜ restrições

de escolƒa dos |yivíduos. Com efeito, em e{ }y}•|w˜ deƒ} ~|œoyte |yˆy |u }, os |yvestidores devem ter suas estrau“gias restritas para‚se evite o—}‹}de P}yœ|„ w˜e{}y } •|w˜vistaswu“agora, simplesmeyte pro| Ž|w ‰˜e v‚ydasždesc} ŽertasŸ.

 ‚˜{revereiw ui as seções do artigoue tratam da modelagem da e{}y } •|w

e da{}ystru™ š} de um eui€íŽ~| } recursivo. este € u |•} p}yto, clarw •‚yte o

artigo |y {} ~¡ora id“|ws de  £ e et al. ¤1994). As diferenças também serão

salientadas. Por exemplo, segundo os próprios autores, em Du¢e et al. (1994) tem-se que:

...the transition function that maps the state today into the state tomorrow can be arbitrarily complicated, and it is often impossible to determine even the set over which it is de…ned.

Além disso, há uma maior preocupação com o desenvolvimento de um al-goritmo para encontrar o equilíbrio e com sua implementação computacional. Partes do artigo foram, de fato, dedicadas exclusivamente a esse …m, mas não serão aqui abordadas.

4.1

Modelo

Considere agora uma economia um pouco mais so…sticada. Além dos ativos físicos, ou árvores de Lucas, existem ainda ativos …nanceiros. Acrescente ainda a possibilidade de os indivíduos darem calote (oudefault).

A cada períodot, acontece um choque exógenoy2Y =f1; :::; Yg (abusare-mos da notação). A incerteza dessa economia é representada pela árvore de eventos P. O nó inicial dessa árvore 0 é dado por um estado …xo y0, no

qual a economia começa. Cada nó é caracterizado pela história de choques, = (y0; :::; yt). O nó possui Y possíveis sucessores,( y), y = 1; :::; Y; e um

único antecessor, . Os choques exógenos seguem um processo de Markov com matriz de transiçãoP.

emnativos físicos, ou¥¦ §ores. ¨ ©períodoª«¦ ©¬cada­® « ¯te ipossui umshare

ij( 0) 0 da¥rvorej. ¨©¦ °­ ±²ª«

m

P

i=1 ij

( 0) = 1 para todoj= 1; :::; n.

Faremos­³ ´²uma sup©µ²¶·©ligeirame¯te d²¸« ¦« ¯¹«º compr­ ¯do uma¥¦ §ore,

o­®«¯te rec« »er¥seus di§² ¼« ¯dos¯o½¯­ ±do mesmo período. ¾divid« ¯¼o³ ´«

um ativojpro¼´ª³´­ ¯do¯a posse do­® « ¯tei¿dado pela f´¯¶·©dij:Y !R+,

dep«¯¼«¯do «À Á±´µivame¯te do c©³ ´« corre¯te. ¨ ©¹« ³ ´«¬ difere¯te°«¯te do

modelo de Lucas ori®²¯­ ±¬ os frutos da¥¦ §ore depe¯¼«r·© do capital Âu°­ ¯© ¼­³ ´«le ³´«far¥ a colÂeita. Assim, se = y, e o­® « ¯te i possui ij( )da ¥¦vorej,« ¯¹ ·o rec« »er¥ ij( ):dij(y)como divide¯¼ ©µ.

é ¯µt­¹­Äµe, po¦¹­ ¯to, ³´« o c©¯µ ´mo agregado ser¥ dep«¯¼«¯te da disÄ

tr²»´²¶ ·©de ativos, e Á© ¯µ«³Å« ¯teme¯te«¯¼Æ® « ¯ ©Ç È« ½¯ ­¬para cada cÂo³´«y,

o limite superior para o c© ¯µ ´mo agregado pore(y) =

P

i

ei(y) +P j

maxidij(y).

Como­ ¯teriorme¯te, o age¯tei°­À²°²ª­uma fu¯¶·o de utilidade esperada

seÊ­¦ ¥vel ¯o temp©º

Ui(c) =E

1

P

t=0

t iui(ct)

A fu¯¶·© ui : R++ ! R ¿ estr²¹­ °« ¯te °©¯ ƹ© ¯­¬ C 2_{, estri}

¹­ °« ¯te Á˯Ä

cava, limitada superi©¦ °« ¯te e ¯·©Ä±²mitada ²¯¸eri©¦ °« ¯te. ¾ parÌ °«tro de ² °Ê­Á² Í ¯cia

i2(0;1).

¾µmercados para a¯egoÁ² ­¶·©de ativos­ »¦« °Äµe a cada período. A¥¦vore j¿

¯egociada pelo preço pj( ). Al

¿m deles,

Â¥tam»¿m¯«µsa eco¯omiaAativos ½¯­ ¯Á«iros. ¾ativo ½¯­ ¯Áeiro a ¯«gociado ¯© ¯ Æ pelo preço qa( )promete

umpayo¤ deba(y)¯ ©µ¯Æµsucessores( y). Èe¯©¹­remos por

i o portfÆlio de

ativos½¯ ­¯ceiros do age¯te i.

Por sua veª¬ o ²¯divíduoµÆ pod«¦ ¥ v« ¯der Î ­ desco»er¹© Ï um ativo ½¯­ ¯Ä

ceiro se possuir shares em ¥¦ §ores como colateral. Assim, ¼« ½¯² °©µ o vetor nļime¯µi© ¯­ ± k

a_{( )>0como o colateral associado ao ativo}

½¯­ ¯ceiroa¯©¯Æ

. е¹© ¿, se um ­® « ¯te v«¯¼e uma ´¯idade do ativo a, «¯¹ ·o ele ¿ © »rigado

a possuir ka

j( ) reais em cada¥¦vore j = 1; :::; n. ѳ´²§­ ±«¯te°«¯te, se uma ¥¦vorej pode ser usada como colateral para dif«¦« ¯tes ativos½¯a¯ceiros,« ¯¹ ·©

o­® «¯te¿© »¦²gado a i¯vestirk

a

j( )para cada ativoa= 1; :::; A.

¨© período µ«®´² ¯te, o ²¯divíduo poder¥ dar calote em sua promessa ba. ¨«µµe caso, o comprador dever¥rec« »er o colateral associado.

A margemka

j pode variar¯©µ¯Æµ¬mas para se°­ ¯ter uma estacio¯aridade¿

preciso d« ½¯i

Äla como uma

¸´¯¶·©do c©³´«corre¯te e das vari¥ §eis« ¯¼Æ® « ¯as

corre¯tes. Para alguma fu¯¶ ·© k

a

j(:; y)Á© ¯tí¯ua, escrev­º ka

j( ) =kaj(p( ); q( ); ( ); c( ); y)

Como ¯·o Â¥ pe¯ ­±²ªações para default, um ve¯¼edor de um ativo a ¼­¦ ¥

calote ¯ © ¯Æ = y sempre³´«ba(y)>

P

j

ka j( )

pj( )

ativoaem = y serÔ sempre dado poÕÖ

fa( ) = min

(

ba(y);P j

ka j( )

pj( )

pj( )

)

×Ø ÙeÚÛÜessa forma de se modelardefault ÝÚuÜ ÞÙ ßØ äÔåelæÔ ÚÛÜä çØafeta a

capacidade do devedor de se eäèßåßdaräo futuro, tampouco leva a uma reduëçØ

direta do cØ ä ÞÛmoäØperíodo do calote.

Fiäalmeäte, podemos resumir essaÜìØ äomiaäaìØîÜëçØÖ

= ((ui; i; ei; i( 0); di)m_i=1; b; P; k)

4.2

Equilíbrio

Aäoçço usual deÜÚÛ ßîï ðrio competitivo para a eìØä Øñßòcom ativosôäòäceiros

e possiðilidade de default

Ýassim

èÜôä ßèòÖ um equilíbrio …nanceiro para uma

ecØ äØñßò com cõØÚue ßä ßìßòl y0 e participações ßäßìßòß Þ ( i(

0))mi=1 ÞçØ as

coleções de alocações e preços

i( ); i( ); ci( ) m i=1 2P

(pj( ))n_j=1;(qa( ))A_a=1

2P

satisfaöÜäèo as sÜ÷ Û ßätes coädiçõesÖ

ßø market clearingÖ

P

i

i( ) = 1eP i i

( ) = 0para todo 2Pù

iiø para cada ageäte iÖ

i( ); i( ); ci( ) 2arg 0; ;c 0maxUi(c)

talÚue para todo = y,

ci( ) =ei(y)+ i( )f( )+ i( )p( )+ i( ) (di(y) p( )) i( )q( )

ej= 1; :::; n,

pj( ) ij( ) + P a; _ia( )<0

ka

j( ) ia( ) 0

ComoäØ Þmodelosòäteriores, coäÙ ßäuamos com restrições deshort salesäòÞ ÔÕvores de Lucas. A restÕßëçØ orçameäÙÔ Õßa

Ýa usual, com a modi

ôì òëçØ para

mercados de ativosôäòäìÜiros e para as ÔÕvores

Úue geram frutos äo mesmo

período. A maior difÜÕÜäëa resideäò ßätrodÛëçØda restrßëçØ de colateral.

EmÚualÚÛÜr eÚuiîïðÕßØ ôäòäceiro os preços dos ativos físicos sçØ positivos, p >0, pois, casoìØäÙÕÔ Õio,õòveria oporÙ Ûäidade de aÕ ðßÙÕagem.

…n an ira(cash at hand)na enomia em poder doi ni duoi,n ei n i edon

= y:

!i( ) :=

i( )p( ) + i( )f( )

P

j

pj( )

Sej a ( ) = (!1( ); :::; !m( )). Pela d…n i edef, em i brio sempre

pertn caosi(m 1)-imensiena o

m 1_.

Is te é o!i 0para todo ie

P

i

!i= 1.

Para mostrar a is tn ia do i brio competitivo, Kub c e Schedders

( 3) …n e enstroem um ibcie de recursivo e denstram ue tal

ibrio é o de fato, um i brio …nanceiro. U eui bci e deMarkov, como

serd

n etaeoapresnta estrutura semhante a a descrito em

Du¢e et al. ( 4 )opecécom as adaptações necess ciasàimplementa ecom ta i en a p

Ds reveremosa io espaço de estados utiia ee a constru edo i brio

deM ackov.

OespaçoSde estados da enomia ensisticdo enj nto…nito de cho s nes Y, e do enj nto Z de todas as possíveis varieis en nas

ocorremn en , i.e.,S =Y Z. M aisespe i …cament:

Z = z2 m 1 _Rm

+ Rmn+ RmA Rn+ RA+:

P

i

i= 1;P i i

= 0

en e z( ) = ( ( );(ci( ); i( );

i( )) m

i=1; p( ); q( )). Observe ue, por

de…niço, em ual r ibcie …n an iro todas as varieis en gen as p c-t ncem aZ. Por ves, usaremos aneta eZ =

m 1 _{Z^, o}

ndeZ^ éo enj nto

das varieis en gen ascom edas varies deci ua…n an eira. Nsse modelo, …n-se correspondência de expectativas como uma corr

-sponn ia g : S ! Z

Y

o dado um estado s = (y; z), descreva todos os

estados do cimo período ue sjam ensis tntes com o market clearing e

com as endições de primeira ordem dosi nivíduos. Maisprecisamente, o vetor

de vaciveis e nas z +

1; :::; zY+ 2g(s)se para cada agente valem as s i ntes

trs condições:

i) para todoy= 1; :::; Y,

!+_iy=

ip+y +

P

a ia

min

(

ba(y);

P j ka j p+ jy pj ) P j

p+_jy

c+_iy =ei(y) +!+iy

P

j

p+_jy+ +iy di(y) p+y

+

iyq+y c~i

ii) istmultiplicadores i 2R

n

+ e i2Rn+ talue para todo j,

ijpj+ ij+ (dij pj)u0i(ci) + iEs p+ju

0

ij ij= 0

ij pj ij+ P a; _ia( )<0

kja ia

!

= 0

pj ij+ P a; ia( )<0

ka j ia 0

ii se de

ia( ) = maxf0; iag e ia(+) = maxf0; iag, e ! "

istem multiplicadores i(+); i( )2RA+, taisque para todo a2A,

P

j ij

ka

j qau0i(ci) + iEs fau0i c

+

i ia( ) = 0

qau0i(ci) + iEs fau0i c

+

i + ia(+) = 0 i(+) i(+) = 0

i( ) i( ) = 0

# eque a cod$ % &simples te a d $ de rq' *a+,eira e a

restriço .$ + / .ia 0

. #+% 2 "se as c d$5 s de primeira ordem relativas 6carteira de ativos físicos. E+% , as,dições de primeira ordem relativas6

carteira de ativos+,eiros, de as decisões de compra e v da tratadas

separad+ te.

7'8 9 . e Sc; dders %< = = > adotam uma d $ me + 8strata que ?'@ e et al. (1994) para um equilíbrio recursivo. Descrevem-no por uma

‘cor-respondência política’ que mapeia a distribuição de riqueza no início do período nos preços e portfólios correntes, e dessa correspondência infere-se uma ‘função transição’ que leva o estado atual da economia nos estados endógenos do próx-imo período, de uma forma consistente.

Mais especi…camente, sejaQ:Y m 1_{!Z^umacorrespondência política,}

não-vazia. Note que graf(Q) S. Agora considere a função transição :

graf(Q)!ZY _{tal que para todo s2graf(Q)ey 2Y tem-se (s)2g(s) e}

(y; y(s))2graf(Q).

De…ne-seequilíbrio de Markov como a dupla(Q; ).

O primeiro ponto a ser observado é que a correspondência política Q fun-ciona, para essa economia, como uma regra de decisão, com base nos choques exógenos e nas riquezas …nanceiras de cada agente. Em segundo lugar, note que função transição sugere uma lei de movimento entre estados da economia que respeite a regra de decisão e que satisfaça a otimalidade do problema do indivíduo emarket clearing.

A parte central da demonstração de existência de equilíbrio de Markov está na construção de uma correspondência política apropriada e se assemelha à técnica usada em Du¢e el al. (1994). Em linhas gerais, a estratégia é a seguinte: Comece escolhendo um conjunto compacto _Z^_{, grande o su…ciente para} conter os valores de equilíbrio dos preços, alocações de consumo e portfólio de

3_~c

i é um limite inferior positivo ao consumo ótimo de agente. Segue das oservações feitas

A BC EAuer ecoFomia truF GC Ha. SupJ F LaABPC QCFLRtodas as varST Veis dePAuSW

líXrio possam ser descritas por alguma correspJ FHYFciaABPmapeia o cLJAue e

a distrSXB Su RJde riABPzCdeSF Z GSJde período em , ou sP[a,V

l_:Y m 1_{! .} \P]Fa uma FJva correspJ F HYF Gia V

l+1_{, tal}

Aue para cada cLJA B P y e disW

trSXB Su RJderSAuPzC ,V

l+1_{(y; )}

^o coF[BFto de todas as variTVeisPF H_ ` PFas LJ[PAuefRJ GJ FfisgPFtes com algum(z1; :::; zY)com^zy

0 2Vl(y0;

y0).

lJ FfisW gPFtesF JseFtido de satisfC zP rPQas coFdições de primeira ordem dosC ` PFtes e

o fecLC Q PFto dos mercados. m JgPoQ ^todo de‘SF HuçRo paragrTfvw retrocedPWfP FJtempo

x medida

Aue o íFdicel avC F ua. yrosso modo, dados os eAuiEZXrSos de CQC FLRãJXt^QWfPos eAuilZXr SJs deLJ[ PAue os suportariam.

{C Sf espPG S]cC Q PFte, aP|Sfg YF Gia de decorre daP|SstYFGSC dePA B SE ZXrios ]FC F G Piros de PGJ Fomias com LJ rSzoFte ]FSgJ } Para se GJFftruir a fPABYF GSC V0_{; V}1_{; V}2_{; :::, primeiro de}

]F PWfP, para cada y e , V

0_{(y; ) = .}

~FHutivC W Q PFte, V

l+1

^ JX gS HJ aplicC F HJ Wse um operador H em V

l_{. H mapeia uma}

correspJ FHYFciaV :Y

m 1_{! em outraW :Y} m 1_{! de tal forma} A B Pã para cadaye ,gPQWfPw

W(y; ) = z^= (c; ; ; p; q)2 ;9(z1; :::; zY)2g(y; ;z^) tal Aue

para todoy0_{; z^}

y0 2V(y0; _y0)

Por ]m, para cada y e , d

PFomiFe V (y; ) = \

1

l=1Vl(y; ), ABP ^ por GJ Fstruu RJFRJW VC z SC ãeJX gPF LCa correspJ F HYF GSCpolítica desP[C Ha. AP|Sfg YF W

cia da fuF uRJ trC FfiçRJ de PABS EZXrio decorre da HP]F S uRJ do operador H.  €rSF GS€C Eteorema deBXler e ScLQ Pdders(2003) pode ser assim enunciado:

Teorema 3 A correspondênciaV é não-vazia. Existe um equilíbrio de Markov com correspondência políticaV .

O referido artigo é …nalizado com uma aplicação computacional do modelo desenvolvido. Resumiremos aqui os resultados obtidos.

Exemplo 3 (Kubler e Schmedders (2003))

Considere uma economia com dois agentes com funções utilidades idênticas CRRA e coe…ciente de aversão ao risco igual a 2. Possuem o mesmo = 0;95. Há quatro choques exógenos. Dotações agregadas são dadas por e = (9;9; 10;5; 9;9; 10;5). Os payo¤s das árvores não dependem de seus donos e são dados por d(y) = 0;3e(y), para cada y. Dotações individuais são e1 = (1;386; 2;205; 5;544; 5:145)ee2= 0;7e e1. As probabilidades de transição dos choques sãoP(yjy0_{) = 0;4 sey; y}0 _{= 1;2 ou se y; y}0 _{= 3;4 e P(yjy}0_{) = 0;1}

caso contrário.

Primeiramente, é analisado o impacto no bem-estar dos indivíduos ao se introduzir a possibilidade de default. Compara-se uma economia cujo único ativo disponível é uma árvore de Lucas, com uma economia 0 onde essa ávore pode ser usada como colateral na negociação de um ativo …nanceiro livre de risco. Supõe-se que a margem seja dek= 1;3 em todos os estados e o choque inicial

y0 = 1. A medida de bem-estar usada está em termos de variação equivalente do consumo.

O agente 1, que começa em seu pior choque idiossincrático, tem ganhos signi…cativos. Por exemplo, quando possui apenas10% da árvore, seu consumo na economia teria que aumentar em7;4%em cada estado de forma a deixá-lo tão bem quanto na economia com default. Já os ganhos do indivíduo 2 são bem menores, com a exceção de quando o agente 1 possui quase a totalidade da árvore.

Em seguida, analisa-se como a variação da margemkin‡uencia as decisões de default e, por consequência, o bem-estar. k é gradualmente reduzido de 1;3

para baixo. Quantitativamente, os efeitos sobre o bem-estar são relativamentes pequenos.

Nos equilíbrios computados, quando k > 1;2 o calote nunca ocorre. A margem é tão alta que para o indíviduo é sempre melhor pagar os dividendos do ativo …nanceiro. Quando k = 1;1, a taxa de default é de 5;9% e quando

k= 1;02, os indíviduos dão calote25;9%das vezes.

Por outro lado,quando os níveis iniciais de riqueza são bem diferentes, os indíviduos discordam da margem ótima a ser imposta. O mais rico quer menores margens e o outro prefere margens maiores e que levem a menores taxas de default. Por exemplo, quando o agente 1 detém90% da riqueza inicial, ele tem um ganho de bem-estar de 0;08% ao se reduzir o colateral de 1;3 para 1;02. Já o mais pobre perde 0;12% de bem-estar com essa redução. No entanto, se

k passa de 1;3 para 1;2 apenas, então o ganho do indivíduo mais pobre é de

0;19%, enquanto o outro ganha 0;02%.

5

Preços e Heterogeneidade

‚ ƒ„† ‡seçˆo, descrevo como‰Š ‹„† ‡ ‹tŒ ‹Œ es eŽ  e‡ ’ordam a“uƒ„ † ˆŠ da”ƒ† • ƒ–Š—ƒ‹ ƒidade dos‡—ƒ‹tes em mercadosŒ ‹˜ompletos,‹ŠartigoAsset Pricing with

Heterogeneous Consumers. ŽŒ ™ ƒ–ƒ‹† ƒšƒ‹te das duas seções‡ ‹teriores,‡ “Œ‹ ˆŠ

se recorre aos š›† Šdos recursivos. ‚ƒšpoderia, pois tr‡ ’‡œ”‡–  com c”Š“ ƒ„

persiste‹tes, “ue geram passeios aœƒ‡ † ž–ŒŠ „ Ÿ e ‹ˆŠ com processos mar ovi‡‹os

apƒ‹as.

¡“ui, os riscos idiossi‹˜– †icos „ ˆŠ ˜Š ‹vƒ‹Œ ƒ‹† ƒšƒ‹te modelados, de forma

a gerar “ ‡œ“ ƒ– p‡ –ˆŠ de cŠ ‹„mo agregado e preços de ativos. Em poucas

palavras, veremos comoŠ ’ter umaƒ“‡£ˆo de Euler mo Œ¤cada,“ueŒ‹˜Š–¥ore

a”eteroge‹ƒŒ ‡ e. Resg‡ †‡ •„ƒ, assim, a discus„ ˆŠŒ ‹Œ˜Œ ‡ ‡‹‡seçˆo dois.

5.1

Modelo

‰Š‹ „idere uma ƒ˜Š ‹omia de trocas puras com um ú‹Œ˜Š ’em de ˜Š ‹sumo ‹u• šƒ– –io. E¦istemnativos,Œ ‹ ƒ¦‡ Š „porj. ‚ Šperíodot, um ativojpagadjtde

dividƒ‹dos e possui preçopjt. Se§‡ šd= (d1; :::; dn)ep= (p1; :::; pn)os proces•

sos esto˜„† Œ˜Š „n•ime‹„iŠ ‹‡ Œ „de divide‹Š „e preços. Že¤‹ ‡Dt=

P

j

djtcomo

o di¨Œ  ƒ‹do agregado dessa e˜Š ‹Š šŒ‡‹um certo šŠ šƒ‹to.

¡œ ›š desses ativos, e¦istem títulos©bondsªcom maturidades vari‡ ‹do de1

Se¯° qt = (qt;t+T; :::; qt;t+1) o processo T±²ime³´ µ¶ ³° · dos preços dos títulos. ¸¹ º³a tam»¼½ q^t = (qt;t+T 1) e sup¶ ³¾a ¿À¹ a oferta ·Á ¿uida de títulos se¯° ¹ro.

Essa ec¶ ³¶½µ°possui uma¿À° ³tidade i³º³ µÃ°deĶ ³sumidores² µ´Ãµ³tos. Å µ³²ivíduo i ¼ dotado de uma ƹ³da de ÃÆ°»° ·¾¶ eit e co³some Cit ³¶ período t. A re³ ²° agregada do tr°»al¾o ¼et e o Ķ ³´Àmo agregado ¼Ct = et+Dt.

Sup¶ ³¾aet+Dt>0para todot.

1; 2; 3; :::¼uma´¹ ¿ÀdzÄia cresĹ³te deĶ ³ ¯À³tos deµ³ ȶ ƽ° Éʶ Ëtal¿À¹

tĶ ³Ã ¼½Ë³¶½Á³µ½¶ Ëa¾µ´ÃÌÆ µa daƹ³da agregada do tra

»al¾o, as¾isÃÌrias dos

divid¹³dos dos ativos e as ¾ist

ÌÆ µas dos preços dos ativos e títulos. Å

Ķ ³ ¯À³to de µ³Èoƽ° ÉʶFtpara umĶ ³ ´umidor³o tempot¼aÀ³µÊ¶de

tcom as¾µ´ÃÌÆ µas

dasƹ³dasµ³ ² µÍ µduais do tr°»° ·¾¶ feis; 0 s t;8ig. Î ¶Ã¹¿À¹ pode parecer

muito estr° ³¾¶ ¿À¹ um µ³ ²ivíduo ù³¾a sempre Ķ ³¾¹Äime³to das ƹ³ ²as dos

outros. Îo¹³Ã°³to, o¹¿Àµ·Á»rio³¹´se modelo´¹ÆÏo mesmo i³depe³²¹³te½¹³te

de elesĶ ³¾ecerem ou³ ʶas ƹ³das dos outros.

Î ¶ período t, o µ³divíduo i det¼m o p¶ ÆÃÈÌ·µo it = f ijt;j= 1; :::; ng de

ativos e _it = ijt;j=n+ 1; :::; n+T de títulos. Sup¶³¾a ¿À ¹os c¶ ³´À ½µ ±

dores comecem com uma mesma dot° Éʶde ativos, i; 1= k; 1para todoi; k,

e³¹³¾uma de títulos,

i; 1= (0; :::;0).

гÃʶ Ëpara todot, a restriçʶorçame³ÃÏ Æia pode ser escritaĶ½¶Ñ Cit=eit+ i;t 1(pt+dt) + i;t 1q^t itpt itqt

Å´c¶ ³´Àmidores¹´Ãʶ restritos a estra

à ¼gias de troca limitadas. Î ¶Ã¹

¿ue

os porÃÈÌ·µ¶s ite

itdevem perù³cer ao co³ ¯À³to deµ³ Èor½° Éʶ Ft.

Porºm, os age

³tes possuem preferdzcias ¾omog

dz¹° ´represe³tadas por uma

fÀ³ÉÊo utilidade vo³ ιÀ½° ³³ ±Ò¶ÆÓ¹³´ter³. ¸ifere³te½¹³te dos modelos° ³±

teriores, a¿Ài ¼dada uma forma fÀ³Äµ¶ ³° ·, com co¹ ºÄµ¹³te de aversÊo ao risco

relativoĶ ´Ã° ³te, >0, e t°Ô° de de´Ä¶ ³to´À »¯etivaĶ ³´t° ³te, Ñ

Ui(Ci) =E (1 ) 1

1

P

t=0 e t_C1

it j F0

Assim, a eĶ ³ ¶½µ° pode ser resumida³a coleÉʶÑ

= ; ; d; e; i; 1; i; 1 _i

¶³²ee¼o processo de r¹³da do tr°»a·¾¶ agregada.

5.2

Equilíbrio

Como sempre, uma estr°Ã ¼Óµ° Ìtima para o Ķ ³´umidori¼( i;

i; Ci)tal ¿À¹Ë

dados os preços, maÔµ½µÂa a ÈÀ³ Éʶ utilidade su¯¹ito Õ restrµÉ ʶ orçame³ÃÏ Æ µa,

deº³idas acima.

Åe¿ui·Á »Æ µo tam»¼½segue a²¹ º³µÉ ʶusual de e¿uilÁ »Æ µ¶competitivo. SerÏo

processo de preços de ativos e títulos(p; q), e as estÆ°Ã ¼ÓµasÌ Ãimasf( i;

dado (p; q) tais × ØÙ os mercados de ativos e títulos fecÚÛ ÜÝ

P

i

ijt = 1 e

P

i ijt

= 0, para todoj et.

ÞßáÙrve ×ØÙ o market clearing implica ×ue

P

i

Cit = Ct = et+Dt, para

× ØÛ â×uert.

äåæátÛ ætiæides e ç Øè e (1996) consideram que o processo de preços dos

ativos e dos títulos é livre de arbitragem, uma vez que é sabido que a existência de equilíbrio competitivo implica a ausência de arbitragem.

Ademais, pode-se provar que a ausência de arbitragem, por sua vez, im-plica a existência, para cadat, de um Mtestritamente positivo no conjunto de

informação t, tal que:

pjt=

1

Mt

E P1

s=t+1

djtMsj t , j= 1; :::; n

qt;t+s=

1

Mt

E[Mt+sj t]; s= 1; :::; T

Denominamos Mt umpricing kernel. Observe a semelhança do preço livre

de arbitragem descrito acima com a equação (3), onde o preço do ativo e o fator estocástico de desconto são obtidos do problema do consumidor na economia de Lucas. Ora,Mtnada mais é do que um fator estocático de desconto para essa

economia.

O artigo ainda impõe duas condições sobre Mt, a saber:

i) E[Mt]!0quandot! 1;

ii) Mt+1

Mt e

Ct+1

Ct , t= 0;1; :::

Essa última condição permitirá a construção de choques idiossincráticos bem de…nidos. Além disso, implica uma espécie de ‘desigualdade’ de Euler do con-sumo agregado para qualquer ativo ou portfólio com retornoRt+1= pt+1_p+dt+1

t

entret et+ 1:

E

"

Rt+1e

Ct+1 Ct

j t

#

1

Agora poderemos descrever o ponto central do artigo. Ele se refere à con-strução muito conveniente de processos de renda individuais, isto é, de riscos idiossincráticos. Mais do que isso, os choques na renda de cada trabalhador são modelados de forma a serem permanentes, como veremos.

De maneira formal, como são conhecidos o dividendo e a renda agregados, podemos de…nir o processo de renda individual comoeit= itCt Dtonde

it= exp t

P

s=1 is s 2

s

2

t=

2 + 2

1 2

log Mt

Mt 1

+ + log Ct

Ct 1

ef itg êë ìcí ìîues idiosêï ðñrò ó ïcos taisî ô õö

ï÷ para todoiet,

itsegue umaðìøùû üpadrë ìiðdepõ ðý õ ðte deFt 1e te

ii÷ îô û ï êî ô õøsôþñ ì ðÿôðtos distiðtos def

itgêë ìïðýepeðý õ ðtes. Veremos adiaðte îue, em eîuiülþø ïo, a de…ð ïnë ì do cíoî ô õ

it sugere uma

ïðó õøtø õóûnë ìecì ðo ù ïñûpara t,î ôû üêõÿa, o de grau deíeterogeðõïýû ýeõðtre

osûaõðtes. Aü ù disso, os processos deø õðda iðdividuais de …

ðïýos acima t êm

comoìþÿõtivo o

þter um

õîôïülþø ï ìî ô õsõÿa traó ò el, com uma solunë ìõetülcita, Cit= itCt,para os processos de cì ðêômo.

Aðtes de eðuðñiar o resultado prï ðcipal de C ì ðêtû ðtiðides e Du¢e (1996),

deve-se ressaltar que o conjunto de indivíduos dessa economia, , é cuidadosa-mente escolhido de maneira que, em equilíbrio, P

i2

it = 1 (note que estamos

simbolizando uma integração sobre o conjunto ), e assimCt=et+Dt.

Teorema 4 Sob as condições (i) e (ii), existe um equilíbrio, onde não há trocas, que suporta os processos dos preços dos ativos e títulos dados.

A idéia da prova é como se segue. Primeiro, calcula-se as taxas marginais de substituição do consumidori, considerando que não há trocas na economia.

Depois, calcula-se a avaliação privada queipossui acerca do ativoj, sob essas

taxas de substituição. Então se prova que esse valor é igual ao preço dej, dado. Além disso, qualquer desvio factível da estratégia de não se negociar ativos não irá aumentar a utilidade do indivíduo (mas não mostraremos isso aqui).

Mais especi…camente, na ausência de trocas, a taxa marginal de substituição do consumidori, det parat+ 1é:

T M St;t+1(i) = e

Ci;t+1 Cit

= e ei;t+1+Dt+1 eit+Dt

= e i;t+1Ct+1

itCt

= e Ct+1 Ct

exp _i;t+1 t+1 2

t+1

2

Logo, a avaliação privada queipossui sobre o ativoj no tempoté: ^

Pjt(i) = E[(pj;t+1+dj;t+1)T M St;t+1(i)j Ft]

= E

"

(pj;t+1+dj;t+1)e

Ct+1 Ct

Witj Ft

#

onde, usando a lei das expectativas iteradas,

Wit=E exp i;t+1 t+1 2

t+1

2 j Ft[ f t+1g

i pdcia de

it em rel aFt 1e t, temos qu Wit= exp

( + 1) 2

2

t+1 =e

Ct+1 Ct

Mt+1 Mt

Logo,

^

Pjt(i) =E (pj;t+1+dj;t+1) Mt+1

Mt

j Ft

Por outro lado, da i de M, segu q uma espéi de equ

bica de

pjt=E (pj;t+1+dj;t+1) Mt+1

Mt

j _t

Como _t e Ft diferem ap as por vari áeis ici ais que

qquer papel o clculo das esp as c ii i acima, co i q

^

Pjt(i) =pjt. I éa avali privadaqo cosumidoritem acerca do ativo jéigual ao preço dadoo mercado, livre de arbitragem,i p temete de q sa oi ivíduo.

Agora, do qib io otrado, podemos derivar uma q de Euler. Sbemos qa q o de Euler do mo do idivíduoipara o ativoj é

E

"

Rj;t+1e

Ci;t+1 Cit

j Ft

#

= 1

é disso, como htrocaso equib i e trado,Cit=eit+Dt=

itCt. Subti i equ acima, podemos tra

E

"

Rj;t+1e

Ct+1 Ct

exp ( + 1) 2

2

t+1 j t

#

= 1 (7)

Novamente, é interessante a comparação com a equação de Euler (2) da economia de Lucas tradicional (considerando, é claro, função utilidade potên-cia). Observe que diferem uma da outra pelo termoexph ( +1)₂ 2

t+1

i

. Grosso modo, este traduz a heterogeneidade dos indivíduos, os choques idiossincráticos. Para entendê-lo melhor, podemos nos concentrar em 2

t+1.

O termo 2

t+1 pode ser interpretado como a variância da distribuição

cross-sectional do crescimento do consumo. De fato, observe que: log Ci;t+1=Ct+1

Cit=Ct

= log i;t+1

it

= i;t+1 t+1 2 t+1 2 N 2 t+1 2 ; 2 t+1

Em poucas palavras, t+1mede como o crescimento do consumo varia entre

os indivíduos dessa economia. Note que se os consumidores são homogêneos, en-tão 2

repres tativo. Se ter ! eos, e, em particular, 2

t+1 =a+blog CCt+1t ,

" (# )$escritac%& E

"

Rj;t+1e

^ Ci;t+1 Cit

^

j _t

#

= 1

'e^ =

( +1)

2 a e ^ =

( +1)

2 b. O *serve +, ela

$isomorfa à +uela

de umac omia com - te repres tativo, mas com a " -.a de desc to e o

co/c0 te de av1 ao risco mo' 0/cados.

Ac +2c0-p13 "0ca$imedi-" - & sef4semos estimar a +,- 5 de Euler,

e i o13emos a"r eidade dos idivíduos, estaríamos , *e"0%-' ou

sup 1 "0%-'o sua avers ao risco e impaci! c0-6

O.%p7 dado por Co" -"0 0's e8u9e(1996) não deixa dúvida: suponha

que a variância da distribuição cross-sectional do crescimento do consumo au-mente em períodos de recessão econômica (Ct< Ct 1). Comolog (Ct+1=Ct)<

0, então deve-se terb negativo, a …m de respeitar 2

t+1 >0. Logo, ^ > . Ou

seja, se um econometrista não considerasse a heterogeneidade, estaria superes-timando o coe…ciente de aversão ao risco.

No caso mais geral, podemos calcular o retorno em excesso esperado do ativo

j e obtermos:

E[Rj;t+1j t] RF;t+1=

cov(Rj;t+1; Ht+1j t)

E[Ht+1j t]

(8)

ondeRF;t+1 é o retorno do título e

Ht+1= Ct+1

Ct

exp ( + 1) 2

2

t+1

Logo, um ativo terá prêmio de risco positivo (negativo) se seu retorno co-variar negativamente (positiv.) comHt+1.

Aqui se sugere uma nova fonte para o prêmio de risco. De fato, a equação de Euler de uma economia com agente representativo implica um prêmio de risco baixo, uma vez que empiricamente o consumo agregado covaria muito pouco com o retorno dos ativos. Repare na equação (6). Como exemplo extremo, considere o caso no qual o crescimento do consumo agregado é constante. Então teremos prêmio de risco zero para qualquer ativo! Em contrapartida, a equação (8) nos diz que o prêmio de risco para um ativo será positivo (negativo) sempre que seu retorno covariar negativamente (positiv.) com 2

t+1.

Portanto, sugere-se que o prêmio de risco possa ser gerado a partir de choques idiossincráticos na renda. Um ponto central ao modelo é que tais choques de-terminam ocrescimento do consumo, e portanto, são persistentes. Caso

con-trário, os indivíduos poderiam se proteger dos riscos idiossincráticos negociando o conjunto de ativos existentes, emprestando, tomando emprestado ou esto-cando, como já demonstrado na literatura (exemplo, Telmer (1993)). Isto é, riscos idiossincráticos transitórios podem, sim, ser totalmente compartilhados