Simula~ao Monte Carlo om Repesagem
Apliada ao Calor Espeo de Solidos
Roberto daSilva
e J. R. Drugowihde Felio y
Departamento deFsiaeMatematia
FauldadedeFilosoa,Ci^eniaseLetrasdeRibeir~aoPreto-USP
Av. Bandeirantes, 3900,14040-901, Ribeir~aoPreto,S~aoPaulo,SP,Brasil
Reebidoem9deabril,2002. Aeitoem12dejunho,2002.
Apresenta-seumaestimativanumeria paraaontribui~aodasvibra~oesdaredepara oalor
es-peo de um solido ristalino. O metodoMonte Carloe utilizado tanto em suaforma original
quanto emsua vers~aomais moderna,que empregaa tenia darepesagem para extrair mais
in-forma~oesdeadasimula~ao. Mostra-seomoobterurvasontnuasparagrandezasomoaenergia
eoalor espeo emfun~aodatemperaturaapartirdesimula~aofeita emapenasuma
tempe-ratura. Os resultados analtios s~aoinludos para failitar a ompara~ao omos resultados da
simula~ao.
A numerial estimate for theontributionof thelattie tothe speiheat of arystallinesolid
is presented. TheMonteCarlo methodisused suhinitsoriginal formas initsmodernversion
whihexploresthe reweightingtehniquetoextratmoreinformationfrom eahsimulation. One
reveals how to get ontinuous plots for quantities like energy and spei heat, in funtion of
the temperature, performing just one simulation at a onvenient temperature. For the sake of
omparisonwepresentalsothepertinentanalytialresults.
I Introdu~ao
Nos ultimos anos, avanou bastante o onheimento
a respeito de sistemas de muitas partulas que n~ao
podem ser desritos de forma analtia. O progresso
deorre,emgrande parte,darapidezomqueos
om-putadores realizam os alulos neessarios para uma
simula~ao do tipo Monte Carlo, por exemplo. Aqui,
quandofalamosemevolu~ao,estamosnosreferindoao
progresso obtido na eletr^onia (\hardware"). Houve,
porem, um enorme avano tambem na forma de
ex-trair resultadosdassimula~oes. Nesseaso,aevolu~ao
oorreunaprograma~ao(\software"). Resumidamente,
um onjunto deopera~oesque serepetiauma entena
de vezespassoua serfeitade uma unia vez, seus
re-sultados dando origem a uma serie de outros apenas
porumartifiode\repesagem",queseraexpliadona
sequ^enia.
O objetivo prinipal desse artigoe introduzir essa
novamaneirade fazer simula~oes, partindodeum
sis-tema simplesomoeo ristalde Einstein (a primeira
aproxima~aoaoalorespeodesolidosqueprev^eo
limite orretoquando T !0). Para esse sistema,
to-dososresultadosexatoss~aoexibidosnaproximase~ao,
podendoseraompanhadosporalunosdeumurso
in-trodutoriodeme^aniaestatstia. Nase~aoIII,
expli-amosateniadesimula~aoonheidaomoalgortmo
deMetropolisouMonteCarloomamostragempor
im-port^ania. S~aoapresentadasestimativasparaaenergia
e o alor espeo em algumas temperaturas e
om-paradasomosresultadosdase~ao II.Na se~aoIV,a
tenia dohistogramaomrepesagemeapresentadae
osresultados dasimula~ao,feita emapenas uma
tem-peratura,s~aoutilizadosparaobterurvasontnuasda
energiae doalor espeoem um intervalo da
tem-peratura. Alguns omentarios s~ao feitos para ilustrar
omoessaabordagemtemevoludonosultimosanos.
II O modelo
Considerarum solido ristalinoomo umonjunto de
osiladoresindependentes, ada umdeles omenergia
kT,de aordoomoteoremadaequiparti~ao,onduz
aumaapaidadetermiaiguala3N
0
k=3Ral=mol,
independente da temperatura. Esse e o resultado da
aproxima~ao de Dulong-Petit que vale para solidos a
temperatura ambiente. No entanto, quando a
rsilvadfm.lrp.usp.br
raturaereduzida,osresultadosexperimentais diferem
dessa onstante etendem azeroquandoT !0. Para
orrigir adistor~ao da urva teoria, Einstein prop^os,
em 1907[1℄, aquantiza~ao daenergiadosatomosque
vibramemtornodosstiosdarede. Seguindoumaideia
usada antes por Plank (1900)para tratar aradia~ao
doorponegro,eleimaginouqueapenasalgunsvalores
seriampermitidos para aenergia de ada osilador, o
queeleesreveuomo
"=nh (1)
onde neum inteiro n~ao negativo,h e aonstante de
Plankeafrequ^enia. Comessahipoteseparaa
ener-gia etratandoasvibra~oesomo sendoindependentes
{ todas om a mesma frequ^enia {Einstein hegou a
express~ao =3k (h) 2 exp(h) (exp(h) 1) 2 : (2)
para a ontribui~ao da rede om o alor espeo
do solido. Para alular essa grandeza, basta
lem-brarque,emontatoomumbanhotermio(ensemble
an^onio), aprobabilidade paraum desses osiladores
ouparumestadoomenergia"derese
exponenial-menteomaenergia(fatordeBoltzmann). Assim,om
P(")=exp( ")=( X
"
exp( ")) (3)
e"dadapelaequa~ao(1),teremosparaaenergiamedia
deadaosiladoraexpress~ao
h"i h = 1 P n=0 ne nh 1 P n=0 e nh ; (4)
onde =1=kT;T eatemperaturaek aonstante de
Boltzmann. Oprodutodeporhqueapareenas
ex-poneniais ostuma serrepresentado por
E
=T , onde
E
=hv=keonheidaomoa\temperatura"de
Eins-tein. Observandoque 1 X n=0 ne nh = d d 1 X n=0 e nh ! (5)
e queo somatorio entre par^enteses e uma progress~ao
geometriaderaz~aoq=e h
, onlumosque
1 X n=0 e nh =1= 1 e h (6) e,portanto, h "i h = 1 e h 1 : (7)
Demaneiraanaloga,pode-seobterovalormediode
" 2
e,nalmente,atravesdaseguinte express~ao
()=3k 2 ( " 2 h"i 2 ): (8)
hegaraexpress~ao(2),lembrandoqueofator3e
prove-niente dos tr^esgraus de liberdade para os atomos da
rede.
O alulo da energia media do onjunto de
os-iladorespodeserfeitolanando-sem~aodaexpress~ao
hEi= P
E
E(E)exp( E)
P
E
(E)exp( E)
: (9)
onde a soma n~ao e feita sobre os estados qu^antios
mas sim sobre os nveis de energia. Como a ada
nvel de energia est~ao assoiados diferentes estados
dososiladores,epreisomultipliar ofator de
Boltz-mann pela degeneres^enia do nvel de energia
E= 3N P i=1 n i " i
,ujovalorexatoe[2℄
(N;K)=
(K+3N 1)!
(3N 1)!K!
: (10)
ondeK=E=h :
Eimportanteobservarque(E)eumafun~ao
res-entedaenergia,enquantoofatordeBoltzmanneuma
fun~ao quederese exponenialmente omE. O
pro-duto de (E) pelo fator exp( E), daqui por diante
hamada P(E), tem valores proximosde zero quando
a energia e baixa (epequeno) e tambem quando a
energiaealta(aexponenialvaiassintotiamenteazero
para E ! 1). Oproduto so tem valores apreiaveis
emumafaixadevaloresdeenergiaqueenglobaa
ener-gia media. Essafaixaetanto menorquanto maiorfor
onumerodeosiladores.A Fig. 1mostrao
omporta-mento daprobabilidadeP(E)deenontraroonjunto
de 3N osiladores om energia igual a E, quando o
sistemaestaemontatoomumbanhotermioa
tem-peratura
E
=T =h=1=3.
III O algoritmo de Metropolis
Paraobternumeriamenteosresultadosdase~ao
ante-rior,vamosprimeiramente fazerumasimula~aoMonte
Carlo tradiional [3℄. Essa tenia tem sido utilizada
em uma gama de situa~oes que inlui minimiza~ao
de fun~oes (metodo que ou onheido omo
\reo-zimento simulado" [4℄), oalulo deintegrais
multidi-mensionais[5℄,transi~oesdefaseestruturaisemsolidos
[6℄,alemdeoutrasaplia~oes[7℄. Iniiamosasimula~ao
om 3N osiladores (300 ja e um numero razoavel).
A energia de ada osilador e igual a um numero
in-teiro dequantas deenergia h que expressaremospor
"
n
=hv =n onden2IN(amenos daenergiadeponto
zero, h=2). No inio da simula~ao, as energias(em
unidades de h)s~ao esolhidas aleatoriamenteentre 0
e um bom numero para esse limite. A partir desse
ponto,vamosevoluiroonjuntode3N osiladores
du-rante 2000 passos que servir~ao para termalizar o
sis-tema. Comofazerisso?Bem,umnovonvelesorteado
para adaosiladore,nasequ^enia,omparadoomo
nvelanterior. Seonvelsorteadoformenorqueo
ante-rior(aenergiaderese),onovonveleaeitoom
pro-babilidade 1. Emasoontrario(">0), umnumero
aleatorioentre0e1esorteadoeomparadoomaraz~ao
entre osfatores deBoltzmann dos nveisvelhoenovo
(probabilidadedetransi~aodovelhoparaonovonvel).
Seonumeroaleatorioformenorqueexp( "),onovo
estadoeaeito. Seformaior,oosiladorontinuaom
a energia anterior. Um passo de Monte Carlo e
on-ludo quando todos os osiladores tiverem sido
visi-tados uma vez (se eles forem esolhidos de forma
de-terminstia) ou quando 3N osiladores tiverem sido
visitados aleatoriamente (aso em que ada osilador
tambem sera visitado uma vez por passo, na media).
Esseproessoimitaatroadeenergiaentreosistemae
umbanhotermioatemperaturaT e,deaordoomo
prinpiodobalaneamentodetalhado(veja[8℄),depois
devariasitera~oesdessetipoosestados ser~aovisitados
omprobabilidadeproporionalaofatordeBoltzmann
exp( "). Essealgoritmoreebeonome de
Metropo-lis, em homenagem ao primeiroautor de um trabalho
publiado em1953[9℄, ujaoriginalidadeestava
justa-mente em proporaamostragem por import^ania. Em
pouaspalavras, trata-sede ummetodoquedespende
pouotempovisitandoestadosdebaixaprobabilidade,
omoeoasodos estadosujas energiasestejamfora
daregi~aoondeoorreopiodaFig. 1.
500
600
700
800
900
1000
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
P(E)
E
Figura1. Ilustra~aodadensidadedeprobabilidadeda
ener-giade3N osiladores aumatemperaturah=1=3.
Terminadosos2000 passosde Monte Carlode
ter-maliza~ao,oquesigniaqueadaatomofoivisitadoe
teveapossibilidadedetroaroseuestado2000vezes,
omeamos a medir a energia media h Eie tambem o
seusegundo momento,
E 2
. Para isso,18000 passos
ser~aoexeutados, seguindoomesmoproedimento
an-terior(resumidonoquadro1).
Monte Carlo om amostragem por import^ania
(1)Sorteia-se uma ongura~ao iniial para ososiladores (0nn
max )
(2)Esolhe-se um dos osiladores
(3)Sorteia-se um novo nveln
novo
. Calula-se a varia~ao de energiaresultante
datroa "=(n
novo n
velho
)hv. Se "<0, onovo nveleaeito.
(4)Se ">0, ent~ao um numeroaleatorio(0r<1) e geradoe omparado
om exp( "). Onovo nveleaeito somente se r<exp( ").
(5)Esolhe-se um outro osiladore repete-se oproedimentoa partir de (3)
Quadro1: Sequ^eniadepassosparaaimplementa~aodoalgoritmodeMetropolis.
A diferena eque agora, ao nal de ada passo, a
energia do sistema sera aumulada em uma variavel
ETOT, que servira para estimar a energia media.
Tambem o quadrado da energia sera armazenado em
uma outra variavelEQUAD,que serviraparaestimar
aenergiaquadratiamedia,aposoterminodos18000
obedeemadistribui~aodeBoltzmann (oprinpiodo
balaneamento detalhado garante isso), o alulo da
energiamediapodeserfeitoomo simplesmedia
arit-metiadas energiasobtidasaonal de adapasso. O
mesmoseapliaaoalulodaenergiaquadratiamedia.
h E n
i= P
E E
n
(E)exp( E)
P
E
(E)exp( E)
: (11)
no ensemble an^onio, e substituda por uma
sim-ples media aritmetia quando usamos o algoritmo
de Metropolis (simula~ao por amostragem de
im-port^ania):
h E n
i= 1
N
MC NMC
X
i=1 E
n
i
: (12)
ondeN
MC
eonumerodepassosdeMonteCarlovalidos
dasimula~ao(numerototalmenosonumerodepassos
utilizadospara atermaliza~ao).
Natabela 1, apresentamos osvalores para a
ener-giamediaeparaoalorespeoparadoisvaloresde
temperatura,utilizando ometododa amostragempor
import^ania. O tempo de ada simula~aofoi de 5
se-gundos em umPentiumIII de 933MHz e256 Mbde
memoriaRAM,usando-sealinguagemFortran[10℄. Os
erros foram estimados exeutando-se oprograma om
5diferentessementes,oquesigniaqueforamobtidos
5pontosparaoalulodamediaedodesvio-padr~aoda
mediaparaadatemperatura. Osvaloress~ao
ompara-dosomresultadosexatosdisutidosnase~aoanterior.
Tabela1. Energiaealorespeoparah=0:1e1.0
h Energia Valorexato CalorEspeo Valor Exato
0.1 9,505(7) 9.508... 0.99(1) 0.999...
1.0 0,586(5) 0.582... 0.93(1) 0.921...
Adiuldadeomesseproedimentoequepara
le-vantar umaurvade alorespeo, porexemplo,ha
neessidade de repetir a simula~ao para uma serie de
valoresdatemperatura. Naproximase~ao,nosvamos
mostrar omoe possvelaperfeioaratenia eevitar
a repeti~ao do proesso. Para isso, sera preiso gerar
umhistogramaqueregistreonumerodevezesqueada
energia foi visitada, durante os N
MC
passos da
simu-la~ao.
IV Histograma e a tenia de
repesagem
Nos ultimos anos, ganhou fora uma abordagem que
visa extrair mais informa~ao das simula~oes. A ideia
[11℄, ja proposta nos anos 60 ([12℄,[13℄) , onsiste em
separaro efeito de temperatura(queeum par^ametro
dasimula~ao)dosefeitosentropios,araterstiosdo
sistema e independentes da temperatura. Expliando
melhor, quando se realiza uma simula~ao amostrando
os estados por import^ania (usando o algoritmo de
Metropolis, por exemplo), o numero de vezes que
ada estado aparee obedee a distribui~ao de
Boltz-mann. Poremonumero devezesqueuma dada
ener-gia e enontrada sera proporionalao produto do
fa-tor de Boltzmann pela degeneres^enia daquele nvel
de energia (E). Isso aontee porque a ada nvel
de energiaest~ao assoiados diversos estados qu^antios
do sistema ompatveis om ela e, quanto maior esse
numero, maior sera a hane daquela energia
apare-omamostragemporimport^ania,naqualseonstroio
histogramaH
(E),eonumerodevezesqueosistema
apresentaenergiaigualaE emN
MC
passosdeMonte
Carlo. Essenumeroeproporionaladegeneres^eniae
ontemofatordeBoltzmann,deformaque:
H
(E)_(E)e E
(13)
Deve-se ver,portanto, otermo H
(E)=N
MC omo
uma estimativa para a probabilidade de enontrar o
sistema om uma dada energia E, que no ensemble
an^onioeusualmente esritaomo:
P
(E)=
(E)exp( E)
P
E 0
(E 0
)exp( E 0
)
: (14)
500
600
700
800
900
1000
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
H(E)
E
NaFig. 2,esboamosohistogramaH(E)obtidoem
h=1=3. OhistogramafoiobtidoomN
MC
=20000
passos de Monte Carlo, dispensando2000 passos para
termaliza~ao,eseomparabemomoresultadoexato.
PodemosnotarqueaurvatemamesmaformadaFig.
1(linhaheia)eapresentaumpionaregi~aodaenergia
media(nesseexemplo,hEi=300(e 1=3
1) 1
erg758
erg).
Nasequ^enia,oquesefaze\repesar"ohistograma
para obt^e-lo em uma outra temperatura T= 1=k,
sem preisar repetir asimula~ao. Ressalte-se que esse
proedimento tem limita~oes e em alguns asos e
re-omendavelobterohistogramaemtr^esouquatro
tem-peraturasparadepoishegaramelhorestimativapara
(E). Voltaremosaessadisuss~aononaldestase~ao,
mas, porenquanto, vamos apenas mostrar omo
pro-eder para estender os resultados de um histograma
simplesparaoutrosvaloresdetemperatura. Paraisso,
bastaseguiroraioniodeFerrenbergeSwendsen[11℄,
observando-se que para um 0
6= , tendo em vista a
express~ao(13),podemosesrever
P
0(E)
=
(E)exp( 0
E)
P
E 0
(E 0
)exp( 0
E 0
)
= H
(E)exp( 0
)E
P
E 0
H
(E
0
)exp( )E 0
(15)
de forma que grandezas omo a energia media e seus
momentospossam seraluladasnessaoutra
tempera-tura,utilizando-sesimplesmenteaequa~ao
hE n
i
0
= X
E P
0(E)E
n
(16)
Convemressaltarqueessateniafoiutilizadaom
suesso em uma ole~ao de problemas de me^ania
estatstia [14℄ [15℄. Na Fig. 3, esboamos o alor
espeo e a energia media dos atomos, em fun~ao
da temperatura, utilizando o metodo do histograma.
Nesse grao,asimula~aofoiexeutada emh=1:0
e a repesagemfoi feitapara astemperaturasT=
E =
(h) 1
nointervalo[0:1;1:0℄. Podemosonstatarque,
para altas temperaturas, a energia varia linearmente
om atemperatura,o queimplia um alorespeo
onstante (leideDulong-Petit), omorealmentese
es-pera nesse limite. A urva obtida om a repesagem
oinideomaurvateoriaemtodoointervaloe
apre-senta,naregi~aoemqueT !0,amesmatend^eniaque
oresultadoanaltio. Valeressaltarqueaonord^ania
entre asurvas n~ao seraboa seohistogramafor
ons-trudoemumatemperaturamaisbaixa,poisnesseaso
nveismaisaltosdeenergiadiilmenteser~aovisitados.
Paradeterminarobjetivamenteointervalode
tempera-turas em quearepesagemevalida[16℄, epreiso
exa-minaravaria~aodaenergiamediaomatemperaturae
exigir queosextremosdointervalo estejamassoiados
a energias que estejam dentro de E2 onde e o
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
-0.1
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
Energia simulada
Calor Específico simulado
Valor teórico
T/
θ
Figura3.Calorespeo(=3k)eenergia(=h)emfun~ao
datemperatura, obtidos pelo metododo repesamento. O
histogramaeobtidoemT=E=(h) 1
=1:0.
840
860
880
900
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
teórico
Ω
(E)
E
Figura4. Densidadedeestadosparaoonjuntode3N
os-iladores. Aurvaontnuaeaprevis~aoteoria.
Opassoseguinteeextrairapenasasinforma~oesque
n~aodependamdatemperatura. Essaeatend^eniados
trabalhosmaisreentesnosquaisabusaepela
densi-dadedeestados,omaqualtodasasgrandezaspodem
ser aluladas, seja qual for a temperatura. No
pre-sente aso, basta multipliaro histogramaH
(E) por
exp(E)paraeliminarofatordeBoltzmann(unioque
depende da temperatura) e ar apenas om a
densi-dadede estados (E), fator entropio que e
indepen-dentedatemperatura. NaFig.4,esboamosumgrao
deemfun~aodeE,obtidodessamaneira.Atravesda
Note-sequeaonord^aniaerazoavelemtodoo
inter-valodeenergiaquefoi exploradonessasimula~ao.
Uma outra variante que pode ser explorada nesse
aso refere-se a depend^enia exlusiva om a
tempe-ratura. Para isso, devemos gerar um histograma da
energia individual dososiladores. Proedendo assim,
n~aoestaremoslevandoemontaadegeneres^eniados
nveis e mediremos, portanto, apenas aprobabilidade
de enontrarumosiladoromenergia". Onovo
his-tograma orrespondesimplesmente ao fator de
Boltz-mann(onforme equa~ao 3). O resultadodessa
inves-tiga~ao,jadividido poruma onstante adequada,esta
mostradonaFig. 5,ondetambem estarepresentadaa
urvateoriaexp( ")omh =1=10.
0
10
20
30
40
50
60
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
exp(-
β
E)
f
β
(E)
E
Figura5. Histograma paraumunio osiladoromparado
omo fatorde Boltzmann(urva ontnua) emfun~ao da
energiaparah=1=10.
Finalmente, alguns omentarios sobre a validade
dessa teniaeas inova~oes dosultimos anos s~ao
per-tinentes. Ha uma limita~ao datenia do histograma
que eimposta pela aus^enia de passagens pelos
esta-dosemqueaprobabilidadeemuitobaixa(asasda
dis-tribui~ao).
E por essa raz~ao que o intervalo em que
fazemosarepesagemn~ao pode abrangertemperaturas
que onduzam a energias medias fora da regi~ao onde
P
(E)sejaapreiavel. Tambemepreisoobservarque
opropriointervaloemqueadistribui~aode
probabili-dadeseapreiavelvaiandomenor,quandoonumero
departulas(N)dosistemaaumenta. Sendoassim,a
extens~aodosresultadosparaoasodesistemasmaiores
deve neessariamente serfeita dentro de um intervalo
menordetemperatura. Essalimita~aofezomque
ou-trasabordagensfossem propostasparaalulara
den-sidadede estados. Umadelas foiintroduzida por
Fer-renberg e Swendsen [17℄,[18℄. Trata-se da tenia do
histogramamultiplo,onstrudoiterativamenteapartir
de simula~oes feitasem uma ole~ao detemperaturas.
Uma extens~ao inteligente desse metodo foi proposta
por Berg e Neuhaus [19℄ e ou onheida omo
en-semblemultian^onio. Elaonsisteem\experimentar"
o apareimento de estados daquela faixa. Com isso,
aprobabilidadede enontrarosestadosdaquele
inter-valotorna-seapreiaveledemesmaordemdegrandeza
queosestadosdeoutros intervalos.
E omose
substi-tussemosa distribui~ao daFig. 1poruma outra que
fosse um plat^o. Naturalmente que sera neessario
re-tornaraverdadeiradistribui~aodeprobabilidades,
arti-ialmente modiadapelos diversosbanhosque
om-punham o ensemble multian^onio. Essatenia tem
sidoutilizadaomrelativosuessomasededifil
im-plementa~ao [20℄. Uma outra abordagemfoi proposta
por P. M. C. de Oliveira, T. J. Penna e H. J.
Her-rmann[21℄eouonheidaomo\broad-histogram".
Essa nova abordagem e suas generaliza~oes t^em
pas-sado por diversos testes para veriar se ela obedee
aobalaneamentodetalhado. Tudoindiaque,alemde
uminteressanteestudo de asosnotoante ametodos
deamostragemestatstia,elaserauma ferramentade
pesquisamuitoutil([8℄,[22℄,[23℄).
V Conlus~oes
Utilizamosnestetextosimula~oesdeMonteCarlopara
alulara energiadarede easuaontribui~aopara o
alorespeodeumsolidoisolante,deaordooma
aproxima~aode Einstein. Trabalhando primeiramente
om ometodo da amostragem por import^ania
(algo-ritmodeMetropolis),fomosapazesdeenontrar
valo-restantoparaaenergiaquantoparaoalorespeo,
paraalgunsvaloresdatemperatura. Osresultados
en-ontradosnumeriamenteomparam-semuitobemom
osresultadosexatos.
Emseguida, introduzimos ometodo da repesagem
para obter urvas ontnuas para o alor espeo e
para aenergia em fun~aoda temperatura. Elas est~ao
emompletoaordoomosresultadosanaltios
apre-sentados na se~ao II. Vale a pena ressaltar que a
ex-tens~aopelateniadarepesagemnopresenteasodeve
serfeitaparatemperaturasmenoresdoqueada
simu-la~ao(valoresde maiores). Issoporque,fazendo-sea
simula~aoomumatemperaturamaisalta,osdiversos
nveisdeenergiapodemseroupadosdurantea
~ao. Veriamospelaurvadaenergiaumresimento
linear om a temperatura, no limite de altas
tempe-raturas.
E esse omportamento que leva a um alor
espeoonstante nesse mesmo limite, onforme
es-tabelee aLei de Dulong-Petit. Mais interessante, no
entanto,foiobservaravaria~aodoalorespeoom
atemperatura,onformepreonizaateoriadeEinstein
e garante a experi^enia. Os alunos saber~ao explorar
esse modelo de brinquedo para testarasideias
funda-mentais da me^ania estatstia. Ele tem avantagem
de n~ao ter limita~ao para os nveis de energia, omo
Agradeimentos
Agradeemos a FAPESP, pelo apoio naneiro.
JRDF agradee tambem a Jorge Chahine, Nelson A.
Alves,Nestor CatihaeValter Lberopelas disuss~oes
eslareedorassobreoassunto.
Refer^enias
[1℄ A.Einstein,Ann.Physik,22, 186(1907).
[2℄ S.R.A.Salinas,Introdu~aoaFsiaEstatstia,Edusp
(1997).
[3℄ V. L. Lbero, Revista Brasileira de Ensino deFsia,
22,346(2000).
[4℄ S.Kirkpatrik,C.D.Gelatt,M.P.Vehi,Siene220,
671(1983),J.Stat.Phys.34,975(1984).
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